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\begin{document}
\title{Â§2.7 Eliminationsideale und deren Anwendungen}
\date{}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Generalvoraussetzung}
In diesem Abschnitt sei stets \s{$C|K$ eine KÃ¶rpererweiterung}\\und \s{$C$ algebraisch abgeschlossen}.
\end{frame}

\begin{frame}{Eliminationsideale}
\s{Definition.}
Sei \s{$I\subseteq K[\x]$} ein Ideal und \s{$r\in\{0,\dots,n\}$}.\\
Dann heiÃŸt das Ideal \s{\[I_r:=I\cap K[X_{r+1},\dots,X_n]\]} von
\s{$K[X_{r+1},\dots,X_n]$} das \a{$r$-te Eliminationsideal} von \s{$I$}.
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Geometrische Bedeutung der Eliminationsideale}
\s{Satz.}
Sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal, \s{$r\in\{0,\dots,n\}$} und $\s{\pi\colon\A^n\to\A^{n-r},\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto(x_{r+1},\dots,x_n)}$. Dann gilt
\[\a{V(I_r)=\overline{\pi(V(I))}},\pause\]das heiÃŸt $V(I_r)$ ist die kleinste $K$-UntervarietÃ¤t von $\A^{n-r}$, die $\pi(V(I))$ umfasst.\pause

\s{Beweis.} Es gilt $V(I_r)=V(\sqrt{I_r})$ und $\s{\overline{\pi(V(I))}=V(I(\pi(V(I)))}$. \pause \a{Daher reicht es
$\sqrt{I_r}=I(\pi(V(I)))$ zu zeigen.} \pause Aus der Definition von $I_r$ sieht man aber sofort
$\sqrt{I_r}=\sqrt I\cap K[X_{r+1},\dots,X_n]$. \pause Somit ist zu zeigen:
\[\a{\sqrt I\cap K[X_{r+1},\dots,X_n]=I(\pi(V(I))}.\pause\]
\a{"`$\subseteq$"'} ist trivial: Sei $f\in\sqrt I\cap K[X_{r+1},\dots,X_n]$ und $x\in V(I)$. Zu zeigen: $f(\pi(x))=0$. \pause Wegen $V(I)=V(\sqrt I)$ gilt
$f(x)=0$, wenn man $f$ als Element von $K[\x]$ auffasst. \pause Somit $f(\pi(x))=f(x_{r+1},\dots,x_n)=f(x_1,\dots,x_n)=f(x)=0$.\pause

\smallskip\noindent
\a{"`$\supseteq$"'} Sei $f\in I(\pi(V(I)))$. Zu zeigen: $f\in\sqrt I$. \pause Mit dem Argument von eben gilt $f\in I(V(I))$, wenn man $f$ als Element von
$K[\x]$ auffasst. \pause Nach dem Nullstellensatz gilt aber $I(V(I))=\sqrt I$, also $f\in\sqrt I$.\qed
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Berechnung von Eliminationsidealen}
\s{Satz.}
Sei $I\subseteq K[\x]$ ein Ideal und $G$ eine GrÃ¶bnerbasis von $I$ \a{bezÃ¼glich der lexikographischen Ordnung} $\le_\lex$
auf $[\x]$. FÃ¼r $r\in\{0,\dots,n\}$ ist $\s{G_r:=G\cap K[X_{r+1},\dots,X_n]}$ eine GrÃ¶bnerbasis des $r$-ten Eliminationsideals
$I_r$ bezÃ¼glich $\le_\lex$.\pause

\begin{proof} Sei $r\in\{0,\dots,n\}$ und $p\in I_r$.
\s{Zu zeigen ist die Existenz eines $g\in G_{\a r}\setminus\{0\}$ mit $\LM(g)|\LM(p)$.} \pause
Da $p\in I$ und $G$ eine GrÃ¶bnerbasis von $I$ ist, gibt es
\s{$g\in G\setminus\{0\}$ mit $\LM(g)|\LM(p)$}. \pause Wegen $p\in K[X_{r+1},\dots,X_n]$ gilt $\LM(p)\in[X_{r+1},\dots,X_n]$ und daher auch
$\LM(g)\in[X_{r+1},\dots,X_n]$. \pause Nach Definition von $\le_\lex$ folgt daraus $g\in K[X_{r+1},\dots,X_n]$, also $g\in G_j$.\pause
\end{proof}

\bigskip
\s{Bemerkung.}
Offensichtlich bleibt der Satz richtig, wenn man statt $\le_\lex$ eine beliebige Monomordnung $\le$ auf $[\x]$ benutzt mit
$X_{r+1}^{\al_{r+1}}\dotsm X_n^{\al_n}&lt;X_i$ fÃ¼r alle $r\in\{0,\dots,n\}$ und $i\in\{1,\dots,r\}$.
\end{frame}


\begin{frame}&lt;1-7,11-&gt;
\s{Satz.}
Seien $f_1,\dots,f_m,g_1,\dots,g_s\in K[X_1,\dots,X_n]$. \s{Betrachte den $K$-Algebren\-homo\-morphismus
\[\ph\colon K[Y_1,\dots,Y_m]\to K[X_1,\dots,X_n]/(g_1,\dots,g_s),\ p\mapsto\overline{p(f_1,\dots,f_m)}.\]}
\vspace*{-2.2em}
\begin{overprint}
\onslide&lt;2-10&gt;
\begin{enumerate}[(a)]
\item Der \a{Kern von $\ph$} ist das Eliminationsideal $\a J:=I\cap K[\y]$ von \[\s{I:=(f_1-Y_1,\dots,f_m-Y_m,g_1,\dots,g_s)\subseteq K[\x,\y]}.\]
\end{enumerate}
\uncover&lt;3-&gt;{\s{Beweis fÃ¼r (a).} Man zeigt leicht $\a{(*)\ I\cap K[\x]=(g_1,\dots,g_s)}$.}
\uncover&lt;4-&gt;{Ist $p\in J$, so $p(f_1,\dots,f_m)\equiv_Ip(Y_1,\dots,Y_m)=p\equiv_I0$ und daher
$p(f_1,\dots,f_m)\in I\cap K[\x]\overset{(*)}=(g_1,\dots,g_s)$, das heiÃŸt $\ph(p)=0$.} \uncover&lt;5-&gt;{\a{Dies zeigt $J\subseteq\ker\ph$.}}
\uncover&lt;6-&gt;{Ist umgekehrt $p\in\ker\ph$,
so $p=p(Y_1,\dots,Y_m)\equiv_Ip(f_1,\dots,f_m)\equiv_I0$ und daher $p\in I\cap K[\y]=J$.} \uncover&lt;7-&gt;{\a{Dies zeigt $\ker\ph\subseteq J$.}\qed}
\onslide&lt;11-20&gt;
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(b)] \uncover&lt;11-&gt;{Sei $G$ eine GrÃ¶bnerbasis von $I$ bezÃ¼glich der lexikographischen Ordnung auf $[\x,\y]$.}
\uncover&lt;12-&gt;{Dann ist $\a{G\cap K[\y]}$ eine GrÃ¶bnerbasis von
$J$ bezÃ¼glich der lexikographischen Ordnung auf $[\y]$.} \uncover&lt;13-&gt;{\s{Sei $q\in K[\x]$ und $p\in K[\x,\y]$ reduziert modulo $G$ bezÃ¼glich
$\le_\lex$ mit $q\rd*Gp$.}} \uncover&lt;14-&gt;{Gilt dann $p\in K[\y]$, so $\ph(p)=\overline q$, und andernfalls $\ph^{-1}(\overline q)=\emptyset$.}
\end{enumerate}
\uncover&lt;15-&gt;{\s{Beweis fÃ¼r (b).} Der erste Teil der Aussage folgt aus dem letzten Satz.} \uncover&lt;16-&gt;{\s{Sei nun $q\in K[\x]$ und sei $p\in K[\x,\y]$ reduziert modulo $G$ bezÃ¼glich
$\le_\lex$ mit $q\rd*Gp$.}} \uncover&lt;17-&gt;{Gilt dann $p\in K[\y]$, so $\s{p(f_1,\dots,f_m)\equiv_Ip(Y_1,\dots,Y_m)=p\equiv_Iq}$ und daher
$\a{p(f_1,\dots,f_m)-q\in I\cap K[\x]=(g_1,\dots,g_s)}$, das heiÃŸt $\a{\ph(p)=\overline q}$.} \uncover&lt;18-&gt;{\s{Gelte schlieÃŸlich $\ph^{-1}(\overline q)\ne\emptyset$.}
\a{Zu zeigen ist
dann $p\in K[\y]$.}} \uncover&lt;19-&gt;{WÃ¤hle $p_0\in K[\y]$ mit $\ph(p_0)=\overline q$. Dann $\s{p_0=p_0(Y_1,\dots,Y_m)\equiv_Ip_0(f_1,\dots,f_m)\equiv_Iq}$
und da $\rd{}G$ eindeutig reduziert, muss $p_0\rd*Gp$ gelten.} \uncover&lt;20-&gt;{Nach Wahl der Monomordnung $\le_\lex$ kann wÃ¤hrend dieser
Reduktion kein $X_i$ eingeschleppt werden, das heiÃŸt $p_0\rd*{G\cap \a{K[\y]}}p$.\qed}
\onslide&lt;21-30&gt;
\begin{enumerate}[(a)]
\item[(c)] Der $K$-Morphismus $\s{\ph^*\colon V(g_1,\dots,g_s)\to\A^m}$ ist gegeben durch $\s{\ph^*(x)=(f_1(x),\dots,f_m(x))}$ fÃ¼r
$x\in V(g_1,\dots,g_s)$ und der $K$-Zariskiabschluss seines Bildes ist $V(J)$.\qed
\end{enumerate}
\s{Beweis fÃ¼r (c).} 
\only&lt;21-25&gt;{
FÃ¼r alle $x\in V(g_1,\dots,g_s)$ gilt $\ev_{\ph^*(x)}=\ev_x\circ\ph$ und daher
\begin{eqnarray*}
\uncover&lt;22-&gt;{\ph^*(x)&amp;=&amp;(\ev_{\ph^*(x)}(Y_1),\dots,\ev_{\ph^*(x)}(Y_m))\\}
\uncover&lt;23-&gt;{&amp;=&amp;(\ev_x(\ph(Y_1)),\dots,\ev_x(\ph(Y_m)))\\}
\uncover&lt;24-&gt;{&amp;=&amp;(\ev_x(\overline{f_1}),\dots,\ev_x(\overline{f_m}))\\}
\uncover&lt;25-&gt;{&amp;=&amp;(f_1(x),\dots,f_m(x))}
\end{eqnarray*}
}
\only&lt;26-28&gt;{Sei $h\in K[\y]$. Dann
\begin{eqnarray*}
\uncover&lt;26-&gt;{&amp;&amp;h\in I(\a{\ph^*(V(g_1,\dots,g_s)})\\}
\uncover&lt;26-&gt;{&amp;\iff&amp;\forall x\in V(g_1,\dots,g_s):h(\ph^*(x))=0\\}
\uncover&lt;27-&gt;{&amp;\iff&amp;\forall x\in V(g_1,\dots,g_s):h(f_1(x),\dots,f_m(x))=0\\}
\uncover&lt;27-&gt;{&amp;\iff&amp;h(f_1,\dots,f_m)\in I(V(g_1,\dots,g_s))\\}
\uncover&lt;27-&gt;{&amp;\iff&amp;h(f_1,\dots,f_m)\in\sqrt{(g_1,\dots,g_s)}\\}
\uncover&lt;28-&gt;{&amp;\iff&amp;\exists k\in\N:(h(f_1,\dots,f_m))^k\in(g_1,\dots,g_s)\\}
\uncover&lt;28-&gt;{&amp;\iff&amp;\exists k\in\N:h^k(f_1,\dots,f_m)\in(g_1,\dots,g_s)\\}
\uncover&lt;28-&gt;{&amp;\iff&amp;\exists k\in\N:\ph(h^k)=0\iff\exists k\in\N:h^k\in\ker\ph\\}
\uncover&lt;28-&gt;{&amp;\iff&amp;\exists k\in\N:h^k\in J\iff h\in\sqrt J.}
\end{eqnarray*}
}
\only&lt;29-30&gt;{Es folgt \s{$\sqrt J=I(\ph^*(V(g_1,\dots,g_s))$} und daher \[\a{V(J)=V(\sqrt J)=V(I(\ph^*(V(g_1,\dots,g_s))))
=\overline{\ph^*(V(g_1,\dots,g_s))}}.\]\qed}
\end{overprint}
\end{frame}

\begin{frame}
\s{Bemerkung.} Man Ã¼berlegt sich leicht, dass der letzte Satz im Wesentlichen folgende Probleme lÃ¶st:
\begin{enumerate}[(a)]
\item&lt;1-&gt; Berechnung des Kerns eines Homomorphismus zwischen zwei affinen $K$-Algebren.
\item&lt;2-&gt; Entscheidung, ob ein Element im Bild eines Homomorphismus zwischen zwei affinen $K$-Algebren liegt, und gegebenenfalls Berechnung
eines Urbilds.
\item&lt;3-&gt; Beschreibung des $K$-Zariskiabschlusses des Bildes eines $K$-Morphismus von affinen VarietÃ¤ten.
\end{enumerate}
\uncover&lt;4&gt;{Beachte nÃ¤mlich, dass man in (a) und in (b) \OE\ davon ausgehen kann, dass der $K$-Algebrenhomomorphismus auf einer Polynomalgebra
definiert ist und dass jeder $K$-Algebrenhomomorphismus $K[\y]\to K[\x]/(g_1,\dots,g_s)$ von der im Satz
gegebenen Form ist (wÃ¤hle $f_i\in K[\x]$ mit $\ph(Y_i)=\overline{f_i}$).}
\end{frame}


\begin{frame}&lt;1-3,21-23,31-34&gt;
\frametitle{Implizitierung rationaler Parametrisierungen}
\s{Satz.} Seien $f_1,\dots,f_m,g_1,\dots,g_m\in K[\x]$,
$g:=g_1\cdots g_m$, sei $L|K$ eine KÃ¶rpererweiterung und $L$ ein unendlicher KÃ¶rper, der ein UnterkÃ¶rper von $C$ ist.
Betrachte die Abbildung
\s{
\begin{eqnarray*}
\ph\colon L^n\setminus V(g)&amp;\to&amp;L^m\\
x&amp;\mapsto&amp;\left(\frac{f_1(x)}{g_1(x)},\dots,\frac{f_m(x)}{g_m(x)}\right)
\end{eqnarray*}
}
und das Eliminationsideal $\s{J:=I\cap K[Y_1,\dots,Y_m]}$ des Ideals \[\a{I:=(g_1Y_1-f_1,\dots,g_mY_m-f_m,gT-1)\subseteq K[T,\x,\y]}.\]
Dann ist $\a{V(J)\cap L^m}$ der $K$-Zariskiabschluss des Bildes von $\ph$ in $L^m$.

\medskip
\begin{overprint}
\onslide&lt;2&gt;
\s{Beweis.}
Betrachte die Projektion
\[\s{\pi\colon C^{1+n+m}\to  C^m,\ (t,x,y)\mapsto y\qquad(t\in C,x\in C^n,y\in C^m)}.\]
Dann gilt offensichtlich $\pi(V(I)\cap L^{1+n+m})=\ph(L^n\setminus V(g))$. \a{Wir wissen schon $V(J)=\overline{\pi(V(I))}$.}
\s{Falls $L=C$, so sind wir also bereits fertig.}
\onslide&lt;3-20&gt;
\s{Beweis.}
Den allgemeinen Fall fÃ¼hren wir mittels
\s{
\begin{eqnarray*}
\tilde\ph\colon C^n\setminus V(g)&amp;\to&amp;C^m\\
x&amp;\mapsto&amp;\left(\frac{f_1(x)}{g_1(x)},\dots,\frac{f_m(x)}{g_m(x)}\right)
\end{eqnarray*}
}
auf den Fall $L=C$ zurÃ¼ck.
\onslide&lt;21-30&gt;
\s{Beweis.} \s{Wir zeigen, dass $\tilde\ph(C^n\setminus V(g))$ im $K$-Zariskiabschluss von $\ph(L^n\setminus V(g))$
\underline{in $\A^n=C^n$} enthalten ist.} \uncover&lt;22-&gt;{Dann stimmen nÃ¤mlich die $K$-ZariskiabschlÃ¼sse von $\tilde\ph(C^n\setminus V(g))$ und
$\ph(L^n\setminus V(g))$ \underline{in $\A^n$} Ã¼berein, und deren Schnitt mit $L^m$ ist einerseits nach dem schon bewiesenen Fall $L=C$
gleich $V(J)\cap L^m$} \uncover&lt;23-&gt;{und andererseits gleich dem $K$-Zariskiabschluss von $\ph(L^n\setminus V(g))$ \underline{in $L^m$}.}
\onslide&lt;31-40&gt;
\s{Beweis.}
Sei also $h\in K[\x]$ mit $h\in I(\ph(L^n\setminus V(g)))$. Zu zeigen ist $h\in I(\tilde\ph(C^n\setminus V(g)))$.
\OE\ $g\ne0$. \uncover&lt;32-&gt;{\s{Die rationale Funktion $r:=h\left(\frac{f_1}{g_1},\dots,\frac{f_m}{g_m}\right)\in K(\x)$ verschwindet auf $L^n\setminus V(g)$.}}
\uncover&lt;33-&gt;{WÃ¤hle $k\in\N$ mit $g^kr\in K[\x]$. Dann verschwindet auch $g^kr$ auf $L^n\setminus V(g)$ und $g^{k+1}r$ sogar auf $L^n$.}
\uncover&lt;34-&gt;{Wegen
$\#L=\infty$ folgt $g^{k+1}r=0$. \s{Somit $r=0$ und daher\\$h\in I(\tilde\ph(C^n\setminus V(g)))$.}\qed}
\end{overprint}
\end{frame}

\begin{frame}&lt;1-4,6-8,11-16,21-24,26-28&gt;
\begin{overprint}
\onslide&lt;1-10&gt;
\s{Satz.}
Seien $m\in\N$ und $I_1,\dots,I_m$ Ideale von $K[\x]$.\\ \a{FÃ¼r das Eliminationsideal $J\cap K[\x]$ des Ideals
\[J:=(\{T_1+\ldots+T_m-1\}\cup\{T_ig\mid i\in\{1,\dots,m\},g\in I_i\})\subseteq K[\ushort T,\x]\]
gilt dann \[J\cap K[\x]=I_1\cap\ldots\cap I_m.\]}\only&lt;2-5&gt;{\s{Seien weiter $f_1,\dots,f_m\in K[\x]$ gegeben und
\[L:=(f_1+I_1)\cap\ldots\cap(f_m+I_m)=\{f\in K[\x]\mid f\equiv_{I_1}f_1,\dots,f\equiv_{I_m}f_m\}.\] Dann gilt \[L=f+(I_1\cap\ldots\cap I_m)
=f+(J\cap K[\x])\] fÃ¼r alle $f\in L$.}} \only&lt;3-5&gt;{Sei nun ferner $G$ eine GrÃ¶bnerbasis von $J$ bezÃ¼glich der lexikographischen Ordnung $\le_\lex$ auf
$[\ushort T,\x]$ und $h\in K[\ushort T,\x]$ reduziert modulo $G$ mit $T_1f_1+\ldots+T_mf_m\rd*Gh$.} \only&lt;4-5&gt;{Dann
\[\a{L\ne\emptyset\iff h\in K[\x]\iff h\in L}.\]}\uncover&lt;6-10&gt;{\s{Beweis}. Wir zeigen zunÃ¤chst $J\cap K[\x]=I_1\cap\ldots\cap I_m$.}

\uncover&lt;7-10&gt;{
\smallskip\noindent
"`$\supseteq$"' Sei $g\in I_1\cap\ldots\cap I_m$. Dann $g=1\cdot g\equiv_J(T_1+\ldots+T_m)g=T_1g+\ldots+T_mg\equiv_J0$, also $g\in J$.
}

\uncover&lt;8-10&gt;{
\smallskip\noindent
"`$\subseteq$"' Sei $g\in J\cap K[\x]$ und $i\in\{1,\dots,m\}$. \a{Zu zeigen: $g\in I_i$.} Es gibt $h\in K[\x]$ und $h_1\in I_1,\dots,h_m\in I_m$ mit\\
$\a{g=h(T_1+\ldots+T_m-1)+\sum_{j=1}^mT_jh_j}$.\\Wende den $K$-Algebrenhomomorphismus $\ph\colon K[\ushort T,\x]\to K[\x]$ mit
$\ph(X_j)=X_j$ fÃ¼r $j\in\{1,\dots,n\}$ und $\ph(T_j)=\de_{ij}$ fÃ¼r $j\in\{1,\dots,m\}$ an. Dann
$g=\ph(g)=\ph(h)\underbrace{\ph(T_1+\ldots+T_m-1)}_{=0}+h_i=h_i\in I_i$.}
\onslide&lt;11-30&gt;
\s{Satz.}
Seien $m\in\N$ und $I_1,\dots,I_m$ Ideale von $K[\x]$. FÃ¼r\\
\a{$J:=(\{T_1+\ldots+T_m-1\}\cup\{T_ig\mid i\in\{1,\dots,m\},g\in I_i\})\subseteq K[\ushort T,\x]$}
gilt \a{$J\cap K[\x]=I_1\cap\ldots\cap I_m$}. \only&lt;12&gt;{\a{Dies haben wir gerade gesehen!}}
\uncover&lt;13-&gt;{Seien weiter $f_1,\dots,f_m\in K[\x]$ gegeben und
\s{$L:=(f_1+I_1)\cap\ldots\cap(f_m+I_m)=\{f\in K[\x]\mid f\equiv_{I_1}f_1,\dots,f\equiv_{I_m}f_m\}$}.
Dann gilt \s{$L=f+(I_1\cap\ldots\cap I_m)=f+(J\cap K[\x])$ fÃ¼r alle $f\in L$}.} \only&lt;14&gt;{\a{Dies sieht man sofort!}}
\uncover&lt;15-&gt;{Sei nun ferner $G$ eine GrÃ¶bnerbasis von $J$ bezÃ¼glich der lexikographischen Ordnung $\le_\lex$ auf
$[\ushort T,\x]$ und $h\in K[\ushort T,\x]$ reduziert modulo $G$ mit $T_1f_1+\ldots+T_mf_m\rd*Gh$.
Dann \a{$L\ne\emptyset\iff h\in K[\x]\iff h\in L$}.}

\uncover&lt;16-&gt;{\s{Beweis.} Zu zeigen:
\a{(a) $L\ne\emptyset\implies h\in K[\x]$}, \s{(b) $h\in K[\x]\implies h\in L$}.}

\only&lt;21-25&gt;{

\medskip
\a{Zu (a).} Gelte $L\ne\emptyset$. WÃ¤hle $p\in L$. \uncover&lt;22-&gt;{Dann \[p-(T_1f_1+\ldots+T_mf_m)=\sum_{i=1}^mT_i(p-f_i)+(1-\sum_{i=1}^mT_i)p\in J.\]}\uncover&lt;23-&gt;{Da somit $p\equiv_JT_1f_1+\ldots+T_mf_m$ und $\rd{}G$ eindeutig reduziert, folgt $p\rd*Gh$.} \uncover&lt;24-&gt;{Nach Wahl der Monomordnung $\le_\lex$
gilt mit $p\in K[\x]$ dann aber auch $h\in K[\x]$.}}

\uncover&lt;26-&gt;{

\medskip
\s{Zu (b).} Gelte $h\in K[\x]$. Zu zeigen: $h\in L$.}

\medskip
\uncover&lt;27-&gt;{Sei $i\in\{1,\dots,m\}$. Zu zeigen: $h\equiv_{I_i}f_i$.}

\medskip
\uncover&lt;28-&gt;{Aus $h-(T_1f_1+\ldots+T_mf_m)\in J$ folgt wie oben durch Einsetzen\\
von $1$ fÃ¼r $T_i$ und $0$ fÃ¼r $T_j$ fÃ¼r $j\ne i$, dass
$h-f_i\in I_i$.\qed}
\end{overprint}
\end{frame}

\end{document}</pre></body></html>