<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">% -*- coding: utf-8 -*-
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\DeclareMathOperator\Aut{Aut}
\DeclareMathOperator\irr{irr}
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\DeclareMathOperator\constr{\mathrel \wedge \joinrel \hspace{-1.47ex}\smile}

\begin{document}
\noindent
UniversitÃ¤t Konstanz\hfill EinfÃ¼hrung in die Algebra\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Wintersemester 2017/2018\\
Markus Schweighofer
\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{Â§5.5 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal}
\setcounter{chapter}{5}
\setcounter{section}{5}
\end{center}
\hrule

\bigskip
%\begin{nt}
%Ist $K$ ein KÃ¶rper und $a\in K$, so bezeichne $\sqrt a$ stets eines der hÃ¶chstens zwei Elemente $b\in\overline K$ mit $b^2=a$
%(ist $a\in\R_{\ge0}$, so sei wie Ã¼blich $\sqrt a\ge0$). Man beachte, dass $\sqrt a$ bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt ist. Insbesondere ist $K(\sqrt a)$ der ZerfÃ¤llungskÃ¶rper von $X^2-a$ Ã¼ber $K$.
%\end{nt}

%\begin{pro}
%Sei $L|K$ eine KÃ¶rpererweiterung mit $\chr K\ne2$. Dann \[[L:K]\le2\iff\exists a\in K:L=K(\sqrt a).\]
%\end{pro}
%
%\begin{proof}
%"`$\Longleftarrow$"' klar
%
%\smallskip
%"`$\implies$"'
%Gelte \OE{} $[L:K]=2$. WÃ¤hle $x\in L\setminus K$ und schreibe \[\irr_K(b)=X^2+bX+a\] mit $a,b\in K$. Dann
%\left(X+\frac b2\right)^2+a-\frac{b^2}4=0$ und daher \[L=K(x)=K(x+\frac b2)=K\left(\sqrt{\frac{b^2}4-a}\right).\]
%\end{proof}

\begin{sat}\label{twotow}
Sei $K$ ein vollkommener KÃ¶rper und $a\in\overline K$. Dann sind Ã¤quivalent:
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item Es gibt $n\in\N_0$ und ZwischenkÃ¶rper $F_0,\dots,F_n$ von $\overline K|K$ mit $K=F_0\subseteq F_1\subseteq\dots\subseteq F_n$, $a\in F_n$ und $[F_k:F_{k-1}]=2$ fÃ¼r $k\in\{1,\dots,n\}$.
\item Es gibt einen ZwischenkÃ¶rper $L$ von $\overline K|K$ mit $L|K$ galoissch und $a\in L$ derart, dass
$[L:K]$ eine Zweierpotenz ist.
\item FÃ¼r den ZerfÃ¤llungskÃ¶rper $L$ des Minimalpolynoms von $a$ Ã¼ber $K$ ist $[L:K]$ eine Zweierpotenz.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
\underline{(a)$\implies$(c)} Gelte (a). Dann gibt es $n\in\N_0$ und $a_1,\dots,a_n\in\overline K$ mit $a_n=a$ und
\[[K(a_1,\dots,a_k):K(a_1,\dots,a_{k-1})]\le2\] fÃ¼r alle $k\in\{1,\dots,n\}$. WÃ¤hle $\ph_1,\dots,\ph_m\in\Aut(\overline K|K)$ derart,
dass $\ph_1(a),\dots,\ph_m(a)$ die verschiedenen $K$-Konjugierten von $a$ sind, wobei $\ph_1=\id_{\overline K}$ sei. Dann ist
nach 4.3.11 $L:=K(\ph_1(a),\dots,\ph_m(a))$ der ZerfÃ¤llungskÃ¶rper von $\irr_K(a)$ Ã¼ber $K$. Nach der Gradformel reicht es zu zeigen,
dass
\[[K(a_1,\dots,a_n,\ph_2(a_1),\dots,\ph_2(a_n),\quad.\quad.\quad.\quad,\ph_m(a_1),\dots,\ph_m(a_n)):K]\]
eine Zweierpotenz ist, was mit der Gradformel durch sukzessives Adjungieren folgt.

\medskip\noindent
\underline{(c)$\implies$(b)} trivial

\medskip\noindent
\underline{(b)$\implies$(a)} Sei $L$ ein ZwischenkÃ¶rper von $\overline K|K$ mit $L|K$ galoissch und $a\in L$ derart, dass
$[L:K]$ eine Zweierpotenz ist. Nach Galois 5.2.2 gilt fÃ¼r die Galoisgruppe $G:=\Aut(L|K)$, dass $\#G=[L:K]$ eine Zweierpotenz ist.
Also ist $G$ eine
$2$-Gruppe und nach 3.3.10 daher auflÃ¶sbar. Nach 3.3.12 und dem Satz von Lagrange 1.3.19 gibt es $n\in\N_0$ und Untergruppen
$H_0,\dots,H_n$ von $G$ mit $G=H_0\rhd H_1\rhd\dots\rhd H_n=\{1\}$ und $[H_{k-1}:H_k]=2$ fÃ¼r alle $k\in\{1,\dots,n\}$.
Setzt man $F_k:=L^{H_k}$ fÃ¼r $k\in\{0,\dots,n\}$, so folgt mit Galois 5.2.2
$K=F_0\subseteq F_1\subseteq\dots\subseteq F_n=L$ und $[F_k:F_{k-1}]=2$ fÃ¼r $k\in\{1,\dots,n\}$.
\end{proof}

\begin{nt}
Sei $\{0,1\}\subseteq M\subseteq\C$. Mit $\constr M$ bezeichnen wir den in Aufgabe 43 auf Blatt 12 eingefÃ¼hrten KÃ¶rper aller
aus $M$ mit \emph{Zirkel und Lineal konstruierbaren} Punkte. Weiter sei
$M^*:=\{a^*\mid a\in M\}$.
\end{nt}

\begin{sat}\label{compass}
Sei $\{0,1\}\subseteq M\subseteq\C$ und $a\in\C$. Dann sind Ã¤quivalent:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $a\in\constr M$
\item Es gibt $n\in\N_0$ und ZwischenkÃ¶rper $F_0,\dots,F_n$ von $\C|\Q(M\cup M^*)$ mit $\Q(M\cup M^*)=F_0\subseteq F_1\subseteq\dots\subseteq F_n$, $a\in F_n$ und $[F_k:F_{k-1}]=2$ fÃ¼r $k\in\{1,\dots,n\}$.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
Aufgabe 49(b) auf Blatt 14.
\end{proof}

\begin{sat}\label{knst}
FÃ¼r $a\in\C$ sind Ã¤quivalent:
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item $a$ ist aus $\{0,1\}$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
\item FÃ¼r den ZerfÃ¤llungskÃ¶rper $L$ des Minimalpolynoms von $a$ Ã¼ber $\Q$ ist $[L:\Q]$ eine Zweierpotenz.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
\ref{twotow} und \ref{compass}
\end{proof}

\begin{df}
Zahlen der Form $2^{2^n}+1$ ($n\in\N_0$) nennt man \emph{Fermatzahlen}. Fermatzahlen, die Primzahlen sind, nennt man
\emph{Fermatsche Primzahlen} [Pierre de Fermat *1607 $\dagger$1665].
\end{df}

\begin{bem}
Die einzigen bekannten Fermatschen Primzahlen sind $3$, $5$, $17$, $257$ und $65537$. Man weiÃŸ nicht, ob es noch andere oder
sogar unendlich viele gibt, obwohl Fermat noch glaubte, jede Fermatzahl sei prim.
\end{bem}

\begin{lem}\label{fermatprime}
Jede Primzahl der Form $2^n+1$ ($n\in\N$) ist eine Fermatsche Primzahl.
\end{lem}

\begin{proof}
Sei $n\in\N$ und $2^n+1\in\P$. Um zu zeigen, dass $n$ eine Zweierpotenz ist, seien $r,s\in\N$ mit $n=rs$ und $s$ ungerade. Zu zeigen:
$s=1$. Dann $2^n+1=2^{rs}+1\equiv_{(2^r+1)}(-1)^s+1=0$ und $(2^r+1)\mid(2^n+1)$ in $\Z$. Wegen $2^n+1\in\P$
folgt $r=n$, also $s=1$.
\end{proof}

\begin{sat}{}{\normalfont[Pierre Laurent Wantzel *1814 $\dagger$ 1848]} Sei $n\in\N$. Dann sind Ã¤quivalent:
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item $e^{\frac{2\pi\i}n}$ ist aus $\{0,1\}$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar, das heiÃŸt "`das regelmÃ¤ÃŸige $n$-Eck ist mit Zirkel und Linear
konstruierbar"'.
\item Es gibt $k,m\in\N_0$ und verschiedene Fermatsche Primzahlen $p_1,\ldots,p_m$ mit $n=2^kp_1\dotsm p_m$.
\end{enumerate}
\end{sat}

\begin{proof}
Nach 5.4.12(a) gilt $\irr_\Q(e^{\frac{2\pi\i}n})=\Ph_n$. Der ZerfÃ¤llungskÃ¶rper von $\Ph_n$ Ã¼ber $\Q$ hat nach 5.4.12(b) den Grad
$\ph(n)$ Ã¼ber $\Q$, womit gemÃ¤ÃŸÂ&nbsp;\ref{knst} die Bedingung (a) dazu Ã¤quivalent ist, dass $\ph(n)$ eine Zweierpotenz ist.
Nach 5.4.3(a)(b) ist dies dazu Ã¤quivalent, dass $n$ ein Produkt von einer Zweierpotenz und von paarweise verschiedenen
ungeraden Primzahlen ist, die jeweils eine Zweipotenz ergeben, wenn man sie um eins vermindert. Nach Lemma \ref{fermatprime}
ist dies zu (b) Ã¤quivalent.
\end{proof}

\begin{bem}
Johann Gustav Hermes [*1846 $\dagger$1912] hat Ã¼ber zehn Jahre seines Lebens
mit der expliziten Konstruktion des regelmÃ¤ÃŸigen $65537$-Ecks verbracht.
\end{bem}
\end{document}</pre></body></html>