<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
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\begin{document}
\noindent
UniversitÃ¤t Konstanz\hfill Polynomiale Optimierung\\
Fachbereich Mathematik und Statistik\hfill Sommersemester 2019\\
Markus Schweighofer
\medskip
\hrule
\begin{center}
\section*{Â§3.4 OptimalitÃ¤tskriterien und Finden optimaler LÃ¶sungen}
\setcounter{chapter}{3}
\setcounter{section}{4}
\end{center}
\hrule

\bigskip
\begin{bem}\label{motiv}
\begin{enumerate}[(a)]
\item 3.3.19 besagt, dass man den \emph{Optimalwert} polynomialer Optimierungsprobleme mit kompakter zulÃ¤ssiger Menge prinzipiell
durch Momentenrelaxierungen [$\to$3.1.7] von hohem Grad beliebig genau approximieren kann, zumindest wenn man wie in 3.3.8(c)
ArchimedizitÃ¤t hergestellt hat. Die Berechnung \emph{optimaler LÃ¶sungen}, sofern sie existieren, wurde dagegen bisher
kaum angesprochen. Ein grundlegendes Problem dabei ist, dass mit zwei OptimallÃ¶sungen $x_1^*$ und $x_2^*$ des polynomialen
Optimierungsproblems $(P)$ nicht nur die Auswertungen $\ev_{x_1}\colon\R[\x]_k\to\R$ und $\ev_{x_2}\colon\R[\x]_k\to\R$ in $x_1$ und
in $x_2$  LÃ¶sungen der Momentenrelaxierung $(P_k)$ vom Grad $k$ mit Wert $P^*$ sind, sondern zum Beispiel auch
$\frac12\ev_{x_1}+\frac12\ev_{x_2}$.
\item Das in (a) angesprochene Problem ist gleichzeitig die Ursache fÃ¼r den Erfolg der Momentenmethode: WÃ¤hrend man sich beim "`Absteigen"' auf dem Graphen der Zielfunktion eines polynomialen Optimierungsproblems sehr leicht
in lokalen Minima ("`TÃ¤lern"') verfÃ¤ngt, die keine globalen Minima sind, besteht bei der Momentenrelaxierung der geradlinige Weg
$\{\la L_1+(1-\la)L_2\mid\la\in[0,1]\}$ zwischen zwei zulÃ¤ssigen LÃ¶sungen $L_1$ und $L_2$ wieder aus zulÃ¤ssigen LÃ¶sungen. Auf dem
Weg von einem Tal in ein tiefer gelegenes Tal, muss man also nicht auf eine Passtrasse, sondern kann sich "`hinÃ¼berbeamen"'. Eine
andere Vorstellung ist ein Tunnel zwischen zwei TÃ¤lern, wobei man im Tunnel Probleme hat zu erahnen, wo die Enden
des Tunnels liegen.
\item In Bemerkung 3.1.10(c) haben wir gesehen, dass wir allgemeiner
in einer sehr guten Situation sind, wenn wir eine optimale LÃ¶sung $L$ einer
Momentenrelaxierung kennen, die eine Quadraturformel mit allen StÃ¼tzstellen in der zulÃ¤ssigen Menge $S$
des ursprÃ¼nglichen polynomialen
Optimierungsproblems $(P)$ besitzt. Ist dann $(\la_1,x_1,\dots,\la_r,x_r)$ eine solche Quadraturformel und sind \OE\ alle $\la_i&gt;0$, so gilt
wegen $L(1)=1$, dass $\la_1+\dots+\la_r=1$ und aus
\[P^*=\sum_{i=1}^r\la_iP^*\overset{x_i\in S}\le\sum_{i=1}^r\la_if(x_i)=L(f)\le P^*\]
folgt $f(x_i)=P^*$, wobei $f$ die Zielfunktion von $(P)$ bezeichne. Jede StÃ¼tzstelle $x_i$ ist also dann eine optimale LÃ¶sung von $(P)$.
Erst jetzt sprechen wir das schwierige und wichtige Problem an, wie wir versuchen kÃ¶nnen,
diese gute Situation detektieren zu kÃ¶nnen und wie wir gegebenenfalls die $x_i$ ausrechnen kÃ¶nnen.
\item Sei $k\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_k$.
Wir suchen eine Quadraturformel fÃ¼r $L$ (falls diese existiert),
also $x_1,\dots,x_r\in\R^n$ und $\la_1,\dots,\la_r\in\R_{\ge0}$ mit
\[L(p)=\sum_{i=1}^r\la_ip(x_i)\qquad\text{fÃ¼r alle $p\in\R[\x]_k$}.\]
Mit etwas mehr und anderen Worten: Wir suchen $x_{11},\dots,x_{1n},\dots,x_{r1},\dots,x_{rn}\in\R$ und $a_1,\dots,a_r\in\R$ mit
\[L(p)=\sum_{i=1}^ra_i^2p(x_{i1},\dots,x_{in})\qquad\text{fÃ¼r alle $p\in\R[\x]_k$}\]
beziehungsweise etwas komplizierter geschrieben
\[L(p)=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}p(x_{11},\dots,x_{1n})\\&amp;\ddots\\&amp;&amp;p(x_{r1},\dots,x_{rn})\end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix}a_1\\\vdots\\a_r\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}a_1\\\vdots\\a_r\end{smallmatrix}\right)\right\rangle\text{ fÃ¼r alle $p\in\R[\x]_k$}.\]
Nochmals anders gesagt: Wir suchen $x_{11},\dots,x_{1n},\dots,x_{r1},\dots,x_{rn}\in\R$ und $a\in\R^n$ mit
\[L(p)=\left\langle p\left(\left(\begin{smallmatrix}x_{11}\\&amp;\ddots\\&amp;&amp;x_{r1}\end{smallmatrix}\right),\dots,
\left(\begin{smallmatrix}x_{1n}\\&amp;\ddots\\&amp;&amp;x_{rn}\end{smallmatrix}\right)\right)
a,a\right\rangle\text{ fÃ¼r alle $p\in\R[\x]_k$}.\]
Also suchen wir Diagonalmatrizen $D_1,\dots,D_n\in\R^{r\times r}$ and $a\in\R^r$ mit
\[L(p)=\left\langle p(D_1,\dots,D_n)a,a\right\rangle\text{ fÃ¼r alle }p\in\R[\x]_k,\]
wobei die EintrÃ¤ge der Diagonalmatrix $D_i$ die $i$-ten Koordinaten der StÃ¼tzstellen sind und die EintrÃ¤ge von $a$ Quadratwurzeln der
Gewichte sind.
\item In (c) und (d) bleiben alle Argumente sinngemÃ¤ÃŸ gÃ¼ltig, wenn die Quadraturformel gar keine Quadraturformel fÃ¼r
$L\colon\R[\x]_k\to\R$ ist, sondern nur fÃ¼r die EinschrÃ¤nkung von $L$ auf eine Untermenge von $\R[\x]_k$, die $f$ enthÃ¤lt. 
Im Moment beachten wir diese Erleichterung nicht weiter, obwohl sie uns spÃ¤ter von Nutzen sein wird.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{lem}\label{commlem}
Sie $V$ ein euklidischer Vektorraum und seien $M$ und $N$ selbstadjungierte Endomorphismen von $V$ mit $M\circ N=N\circ M$.
Dann ist jeder Eigenraum von $M$ invariant unter $N$, das heiÃŸt $N(\ker(M-\la\id_V))\subseteq\ker(M-\la\id_V)$ fÃ¼r alle $\la\in\R$.
\end{lem}

\begin{proof}
\OE\ $\la=0$. Sei $v\in\ker M$. Dann $M(N(v))=N(M(v))=N(0)=0$. Also $N(v)\in\ker M$.
\end{proof}

\begin{sat}
Seien $V$ ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum, $n\in\N_0$ und $M_1,\dots,M_n$ kommutierende
(das heiÃŸt $M_i\circ M_j=M_j\circ M_i$) selbstadjungierte Endomorphismen von $V$. Dann gibt es eine Orthonormalbasis
von $V$, die nur aus \emph{gemeinsamen} Eigenvektoren der $M_i$ besteht.
\end{sat}

\begin{proof}
Induktion nach $n$:

\underline{$n=0$} \checkmark

\underline{$n-1\to n\quad(n\in\N)$} Aus der Selbstadjungiertheit von $M_1$ folgt mit linearer Algebra, dass $V$ die orthogonale
Summe der EigenrÃ¤ume von $M_1$ ist. Da nach \ref{commlem} jeder Eigenraum von $M_1$ invariant unter $M_2,\dots,M_n$ ist,
besitzt nach Induktionsvoraussetzung jeder solche Eigenraum eine Orthonormalbasis, die nur aus gemeinsamen Eigenvektoren
der $M_2,\dots,M_n$ besteht. Setzt man diese Basen zusammen, so erhÃ¤lt man eine Basis wie gewÃ¼nscht.
\end{proof}

\begin{kor}[simultane Diagonalisierung kommutierender symmetrischer Matrizen]
\label{diag}
Seien $r,n\in\N_0$ und $M_1,\dots,M_n\in
S\R^{r\times r}$ mit $M_iM_j=M_jM_i$ fÃ¼r alle $i,j\in\{1,\dots,n\}$. Dann gibt es eine orthogonale Matrix $P\in\R^{r\times r}$ derart,
dass $P^*M_iP$ fÃ¼r jedes $i\in\{1,\dots,n\}$ eine Diagonalmatrix ist.
\end{kor}

\begin{bem}\label{crucrem}
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Unter Beachtung der gerade behandelten simultanen Diagonalisierung kÃ¶nnen wir Bemerkung \ref{motiv}(e) fortfÃ¼hren:
Sei $k\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_k$. Eine Quadraturformel fÃ¼r $L$ zu finden, heiÃŸt, kommutierende
Matrizen $M_1,\dots,M_n\in S\R^{r\times r}$ und einen Vektor $v\in\R^r$ zu finden mit
\[(\star)\qquad L(p)=\left\langle p(M_1,\dots,M_n)v,v\right\rangle\text{ fÃ¼r alle }p\in\R[\x]_k.\]
wobei die Eigenwerte von $M_i$ die $i$-ten Komponenten der $r$ StÃ¼tzstellen liefern. Abstrakter ausgedrÃ¼ckt:
Wir suchen einen \emph{endlichdimensionalen} euklidischen Raum $V$, kommutierende selbstadjungierte Endomorphismen
$M_1,\dots,M_n$ von $V$ und einen Vektor $v\in V$ mit $(\star)$, wobei die Dimension von $V$ die Anzahl der StÃ¼tzstellen ist.
\item Sei $L\in\R[\x]^*$ und gelte $L(p^2)&gt;0$ fÃ¼r alle $p\in\R[\x]\setminus\{0\}$. Dann finden wir ganz einfach einen
\emph{unendlichdimensionalen} euklidischen Raum $V$, kommutierende selbstadjungierte Endomorphismen
$M_1,\dots,M_n$ von $V$ und einen Vektor $v\in V$ mit
\[L(p)=\left\langle p(M_1,\dots,M_n)v,v\right\rangle\text{ fÃ¼r alle }p\in\R[\x].\]
Es wird nÃ¤mlich $V:=\R[\x]$ vermÃ¶ge
\[\langle p,q\rangle:=L(pq)\qquad(p,q\in V)
\]
zu einem euklidischen Vektorraum, die "`Multiplikationsoperatoren"'
\[M_i\colon V\to V,\ p\mapsto X_ip\] sind selbstadjungiert und
kommutieren und mit $v:=1\in\R[\x]=V$ gilt
\[L(p)=\left\langle p(M_1,\dots,M_n)v,v\right\rangle\text{ fÃ¼r alle }p\in V.\]
Diese geniale Konstruktion stammt von Gelfand, Neumark und Segal (GNS) [Israel Moissejewitsch Gelfand *1913 $\dagger$2009,
Mark Aronowitsch Neumark *1909 $\dagger$1978, Irving Ezra Segal *1918 $\dagger$1998].
\item Das Hauptproblem mit der Konstruktion in (b) ist, dass $V$ dort unendlichdimensional ist. Wir werden dies versuchen zu lÃ¶sen,
indem wir den Multiplikationsoperator modifizieren durch Anwendung einer orthogonalen Projektion nach der Multiplikation, um den
Grad zu "`schrÃ¶pfen"'. Diese Modifikation kann allerdings leicht die Eigenschaft des Kommutierens zerstÃ¶ren. Ein kleineres Problem
ist, dass wir in (b) $L(p^2)&gt;0$ fÃ¼r alle $p\in\R[\x]\setminus\{0\}$ brauchten, weil ein Skalarprodukt positiv definit sein muss.
Wir wÃ¼rden gerne nur $L(p^2)\ge0$ fÃ¼r alle $p\in\R[\x]$ voraussetzen. Dieses Problem werden wir durch Ãœbergang zu einem Quotienten
lÃ¶sen.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{notpro}\label{gns}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]_{2d}^*$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Dann ist
\[U_L:=\{p\in\R[\x]_d\mid\forall q\in\R[\x]_d:L(pq)=0\}=\{p\in\R[\x]_d\mid L(p^2)=0\}\]
ein Untervektorraum von $\R[\x]_d$, den wir als \emph{GNS-Kern} von $L$ bezeichnen und wir bezeichnen den Quotientenraum
$V_L:=\R[\x]_d/U_L$ als den \emph{GNS-Darstellungsraum} von $L$. Durch
\[\langle\overline p,\overline q\rangle_L:=L(pq)\qquad(p,q\in\R[\x]_d)
\]
wird ein Skalaprodukt auf $V_L$ definiert, welches wir als das \emph{GNS-Skalarprodukt} von $L$ bezeichnen. Dadurch wird $V_L$
zu einem endlichdimensionalen euklidischen Raum. Wir nennen die orthogonale Projektion $\pi_L$ von $V_L$ auf den
Unterraum $\{\overline p\mid p\in\R[\x]_{d-1}\}$ die \emph{GNS-Trunkierung} von $L$ (beachte $\deg0=-\infty&lt;=d-1$). Dann ist fÃ¼r jedes $i\in\{1,\dots,n\}$
\[M_{L,i}\colon\pi_LV_L\to\pi_LV_L,\ \overline p\mapsto\pi_L(\overline{X_ip})\qquad(p\in\R[\x]_{d-1})\]
ein selbstadjungierter Endomorphismus von $\pi_LV_L$, den wir den \emph{$i$-ten trunkierten GNS-Multiplikationsoperator} von $L$
nennen.
\end{notpro}

\begin{proof}
FÃ¼r alle $t\in\R$ und $p,q\in\R[\x]_d$ gilt
\[0\le L((p+tq)^2)=L(p^2)+2tL(pq)+t^2L(q^2),\]
weshalb das Polynom $L(q^2)T^2+2L(pq)T+L(p^2)\in\R[T]_2$ im Fall $L(pq)\ne0$ den Grad $2$ und
Diskriminante $4L(pq)^2-4L(p^2)L(q^2)\le0$ hat. Es gilt also die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
\[L(pq)^2\le L(p^2)L(q^2)\quad\text{ fÃ¼r alle }p,q\in\R[\x]_d.\]
Hieraus folgt sofort $\{p\in\R[\x]_d\mid\forall q\in\R[\x]_d:L(pq)=0\}=\{p\in\R[\x]_d\mid L(p^2)=0\}$.
Dass $U_L$ ein Untervektorraum von $\R[\x]_d$ ist, folgt direkt daraus, dass $L$ linear ist.
Es ist klar, dass $\langle.,.\rangle_L$ eine
wohldefinierte symmetrische Bilinearform ist, die wegen $L(\sum\R[\x]^2)\subseteq\R_{\ge0}$ positiv semidefinit ist. Hieraus folgt, dass
$\langle.,.\rangle_L$ sogar positiv definit und daher ein Skalarprodukt ist, denn ist $p\in\R[\x]_d$ mit
$\langle\overline p,\overline p\rangle_L=0$, so gilt $L(p^2)=0$ und daher $p\in U$, das heiÃŸt $\overline p=0$. Sei nun
$i\in\{1,\dots,n\}$. Um zu zeigen, dass $M_{L_i}$ wohldefiniert ist, mÃ¼ssen wir $\pi_L(\overline{X_ip})=0$ fÃ¼r alle
$p\in\R[\x]_{d-1}\cap U_L$ zeigen, was aber nach Wahl von $q\in\R[\x]_{d-1}$ mit $\overline q=\pi_L(\overline{X_ip})$ aus
\[\langle\overline q,\overline q\rangle_L=\langle\overline{X_ip},\overline q\rangle=L(X_ipq)=L(p(X_iq))
\overset{p\in U_L}=0\] folgt. Um schlieÃŸlich zu zeigen, dass $M_{L,i}$ selbstadjungiert ist, seien
$p,q\in\R[\x]_{d-1}$. Dann gilt
\begin{multline*}
\langle M_{L,i}(\overline p),\overline q\rangle_L=\langle\pi_L(\overline{X_ip}),\overline q\rangle_L
=\langle\overline{X_ip},\pi_L(\overline q)\rangle_L\overset{\overline q\in\pi_LV_L}=\langle\overline{X_ip},\overline q\rangle_L=L(X_ipq)\\
=L(p(X_iq))=\langle\overline p,\overline{X_iq}\rangle_L\overset{\overline p\in\pi_LV_L}=\langle\pi_L(\overline p),\overline{X_iq}\rangle_L
=\langle\overline p,\pi_L(\overline{X_iq})\rangle_L
=\langle\overline p,M_{L,i}(\overline q)\rangle_L.
\end{multline*}
\end{proof}

\begin{bem}\label{simplerem}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Sei $p\in\R[\x]_d$. Dann gilt
\[\overline p\in\pi_LV_L\iff\overline p=\pi_L(\overline p)\iff p\in\R[\x]_{d-1}+U_L.\]
\end{bem}

\begin{lem}\label{corelemma}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$ derart, dass die
trunkierten GNS-Multiplikationsoperatoren von $L$ kommutieren. Dann gilt fÃ¼r alle $p\in\R[\x]_d$
\[p(M_{L,1},\dots,M_{L,n})(\overline1)=\pi_L(\overline p).\]
\end{lem}

\begin{proof}
\OE\ sei $p$ ein Monom, etwa $p=\x^\al$ mit $\al\in\N_0^n$, $|\al|\le d$. Wir fÃ¼hren Induktion
nach $k:=|\al|\in\{0,\dots,d\}$.

\underline{k=0} \quad$\id_{\pi_{V_L}}(\overline 1)=\overline 1=\pi_L(\overline1)$ \checkmark

\underline{$k-1\to k\quad(1\le k\le d)$} \quad Schreibe $p=X_iq$ mit $q\in\R[\x]$. Dann $q=\x^\be$ fÃ¼r ein $\be\in\N_0^n$ mit $|\be|=k-1$, also
$q(M_{L,1},\dots,M_{L,n})(\overline 1)=\pi_L(\overline q)=\overline q$ nach Induktionsvoraussetzung und Bemerkung
\ref{simplerem}. Es folgt
\begin{align*}
p(M_{L,1},\dots,M_{L,n})(\overline 1)&amp;=(M_{L,i}\circ q(M_{L,1},\dots,M_{L,n}))(\overline1)=
M_{L,i}(q(M_{L,1},\dots,M_{L,n})(\overline1))\\
&amp;=M_{L,i}(\overline q)=\pi_L(\overline{X_iq})=\pi_L(\overline p).
\end{align*}
\end{proof}

\begin{sat}\label{maingns}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$ derart, dass die
trunkierten GNS-Multiplikationsoperatoren von $L$ kommutieren und betrachte den Unterraum
\[W_L:=\left\{\sum_{i=1}^mp_iq_i\mid m\in\N_0,p_i\in\R[\x]_d,q_i\in\R[\x]_{d-1}+U_L\right\}\supseteq\R[\x]_{2d-1}\]
von $\R[\x]_{2d}$. Dann besitzt $L|_{W_L}$ eine Quadraturformel \emph{[$\to$2.3.5]}.
\end{sat}

\begin{proof}
Analog zu \ref{crucrem}(a) [$\to$\ref{motiv}(e)] reicht es zu zeigen, dass fÃ¼r alle $g\in W_L$ gilt
\[L(g)=\langle g(M_{L,1},\dots,M_{L,n})\overline1,\overline1\rangle_L.\]
Hierzu reicht es zu zeigen, dass fÃ¼r alle $p\in\R[\x]_d$ und $q\in\R[\x]_{d-1}+U_L$ gilt
\[L(pq)=\langle p(M_{L,1},\dots,M_{L,n})q(M_{L,1},\dots,M_{L,n})\overline1,\overline1\rangle_L.\]
Da die GNS-Multiplikationsoperatoren $M_{L,i}$ selbstadjungiert sind und kommutieren, ist dies gleichbedeutend mit
\[L(pq)=\langle p(M_{L,1},\dots,M_{L,n})\overline1,q(M_{L,1},\dots,M_{L,n})\overline1\rangle_L\]
fÃ¼r alle $p\in\R[\x]_d$ und $q\in\R[\x]_{d-1}+U_L$.  Mit Lemma \ref{corelemma} und Bemerkung \ref{simplerem} heiÃŸt dies
nichts anderes als
\[L(pq)=\langle\pi_L(\overline p),\overline q\rangle_L\]
fÃ¼r alle $p\in\R[\x]_d$ und $q\in\R[\x]_{d-1}+U_L$. Da $\pi_L$ als orthogonale Projektion selbstadjungiert ist, gilt schlieÃŸlich
\[\langle\pi_L(\overline p),\overline q\rangle_L=\langle\overline p,\pi_L(\overline q)\rangle_L\overset{\ref{simplerem}}=
\langle\overline p,\overline q\rangle_L\overset{\ref{gns}}=L(pq).
\]
\end{proof}

\begin{bsp}
Die GNS-Multiplikationsoperatoren von
\[L\colon\R[X_1,X_2]_4\to\R,\ p\mapsto\frac14(p(-1,0)+p(1,0)+p(0,-1)+p(0,1))\]
kommutieren nicht: Man prÃ¼ft leicht nach, dass $\overline 1$, $\overline{\sqrt2X_1}$, $\overline{\sqrt2X_2}$ eine Orthonormalbasis von
$\pi_LV_L$ bilden. Wir behaupten, dass $M_{L,1}(M_{L,2}(\overline X_1))\ne M_{L_2}(M_{L,1}(\overline X_1))$. In der Tat gilt
$X_1X_2\in U_L$ und daher
\[M_{L,1}(M_{L,2}(\overline X_1))=M_{L,1}(\pi_L(\overline{X_2X_1}))=M_{L,1}(\pi_L(0))=0\] und andererseits
\begin{align*}
M_{L,1}(\overline{X_1})&amp;=\pi_L(\overline{X_1^2})=\langle\overline1,\overline{X_1^2}\rangle_L\overline1+
\underbrace{\langle\overline{\sqrt2X_1},\overline{X_1^2}\rangle_L}_{=0}\overline{\sqrt2X_1}+
\underbrace{\langle\overline{\sqrt2X_2},\overline{X_1^2}\rangle_L}_{=0}\overline{\sqrt2X_2}\\
&amp;=L(X_1^2)\overline1=\overline{\frac12}
\end{align*}
und daher $M_{L,2}(M_{L,1}(\overline{X_1}))=M_{L,2}(\overline{\frac12})=\overline{\frac12X_2}=\frac1{2\sqrt2}\overline{\sqrt2X_2}\ne0$.
\end{bsp}

\begin{df}\label{defflat}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Man nennt $L$ \emph{flach}, wenn
$\R[\x]_{d-1}+U_L=\R[\x]_d$ [$\to$\ref{maingns}]
\end{df}

\begin{pro}
Sei $d\in\N_0$, $L\in\R[\x]^*_{2d}$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$ und $L':=L|_{\R[\x]_{2(d-1)}}$. Dann gilt
$U_{L'}=U_L\cap\R[\x]_{d-1}$ und folgende Aussagen sind Ã¤quivalent:
\begin{enumerate}[\normalfont(a)]
\item $L$ ist flach.
\item $\pi_LV_L=V_L$
\item $\forall\al\in\N_0^n:(|\al|=d\implies\exists p\in\R[\x]_{d-1}:\x^\al-p\in U_L)$
\item Die kanonische Abbildung
$$V_{L'}=\R[\x]_{d-1}/U_{L'}\hookrightarrow\R[\x]_d/U_L=V_L$$
ist ein Isomorphismus.
\item $\dim V_{L'}=\dim V_L$
\item Die "`Momentenmatrizen"' \emph{[$\to$3.1.12(f)]} $(L(\x^{\al+\be}))_{|\al|,|\be|\le d-1}$ und $(L(\x^{\al+\be}))_{|\al|,|\be|\le d}$ haben denselben Rang.
\end{enumerate}
\end{pro}

\begin{proof}
$U_{L'}=U_L\cap\R[\x]_{d-1}$ und (a)$\iff$(b)$\iff$(c)$\iff$(d)$\iff$(e) sind klar.

\medskip\noindent
\underline{(e)$\iff$(f)}\quad $(L(\x^{\al+\be})_{|\al|,|\be|\le d}$ ist die Darstellungsmatrix der Bilinearform \[\R[\x]_d\times\R[\x]_d\to\R,\
(p,q)\mapsto L(pq)\] bezÃ¼glich der Monombasis und damit die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $\R[\x]_d\to\R[\x]_d^*,\
p\mapsto(q\mapsto L(pq))$ bezÃ¼glich der Monombasis und der dazu dualen Basis. Der Kern dieser linearen Abbildung ist $U_d$, 
weswegen die Matrix den Rang $\dim\R[\x]_d-\dim U_d=\dim(\R[\x]/U_d)=\dim(V_d)$ hat. Analoges gilt fÃ¼r
$(L(\x^{\al+\be})_{|\al|,|\be|\le d-1}$.
\end{proof}

\begin{sat}\label{flatcommutes}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]_{2d}^*$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Ist $L$ flach, so kommutieren die
GNS-Multiplikationsoperatoren von $L$.
\end{sat}

\begin{proof}
Seien $L$ flach, $i,j\in\{1,\dots,n\}$ und $p\in\R[\x]_{d-1}$. Zu zeigen:
\[M_{L,i}(M_{L_j}(\overline p))=M_{L,j}(M_{L,i}(\overline p)).\]
Schreibe $X_ip=p'+q'$ und $X_jp=p''+q''$ mit $p',p''\in\R[\x]_{d-1}$ und $q',q''\in U_L$. Dann gilt
$M_{L,i}(\overline p)=\pi_L(\overline{X_ip})=\pi_L(\overline{p'})+\pi_L(\overline{q'})=\overline{p'}+0=\overline{p'}$
und analog $M_{L,j}(\overline p)=\overline{p''}$. Es ist also $\pi_L(\overline{X_ip''})=\pi_L(\overline{X_jp'})$ zu zeigen.
Hierzu reicht es \[\langle\pi_L(\overline{X_ip''}),\overline f\rangle=\langle\pi_L(\overline{X_jp'}),\overline f\rangle_L\] fÃ¼r alle $f\in\R[\x]_d$
zu zeigen. Sei also $f\in\R[\x]_d$ und $g\in\R[\x]_{d-1}$ mit $\overline g=\pi_L(\overline f)$. Dann
\begin{align*}
\langle\pi_L(\overline{X_ip''}),\overline f\rangle_L&amp;=\langle\overline{X_ip''},\pi_L(\overline f)\rangle_L=
\langle\overline{X_ip''},\overline g\rangle_L=L(X_ip''g)=\langle\overline{p''},\overline{X_ig}\rangle_L\\
&amp;=\langle\overline{X_jp},\overline{X_ig}\rangle_L
=L(X_jpX_ig)=L(X_ipX_jg)=\langle\overline{X_ip},\overline{X_jg}\rangle_L\\
&amp;=\langle\overline{p'},\overline{X_jg}\rangle_L=L(p'X_jg)=\langle\overline{X_jp'},\overline g\rangle_L=
\langle\overline{X_jp'},\pi_L(\overline f)\rangle_L=\langle\pi_L(\overline{X_jp'}),\overline f\rangle_L.
\end{align*}
\end{proof}

\begin{sat}[Curto und Fialkow]{\normalfont[Raul Curto, Lawrence Fialkow]}
Sei $d\in\N_0$ und $L\in\R[\x]_{2d}^*$ mit $L(\sum\R[\x]_d^2)\subseteq\R_{\ge0}$. Ist $L$ flach, so besitzt $L$ eine Quadraturformel.
\end{sat}

\begin{proof}
\ref{maingns}, \ref{defflat} und \ref{flatcommutes}
\end{proof}
\end{document}</pre></body></html>