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\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
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\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}


%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
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\definechangesauthor[name = {Sarah}, color=blue]{Sarah}
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\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
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\begin{document} 

	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 1\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	

	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} 
	Dieses Blatt ist das erste reguläre Übungsblatt für dieses Semester. Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung 1 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Sei $R$ stets ein kommutativer Ring mit $1$.}
	\\
	\\
	\textbf{Aufgabe 1.1} (Ringe, Ideale und Äquivalenzrelationen) \hfill 	\textbf{[3 + 1 Punkte]}	
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $I\vartriangleleft R$ ein echtes Ideal. Die Relation $\sim$ auf $R$ wird dadurch definiert, dass genau dann $x\sim y$, wenn $x-y\in I$. Zeigen Sie:
			\begin{enumerate}[(i)]
				\item $\sim$ ist eine Äquivalenzrelation auf $R$.
				
				\item Die Verknüpfungen $(x+I) + (y+I) := (x+y) + I$ und $(x+I)\cdot (y+I):=(xy) + I$ auf $R/I$ sind wohldefiniert. (Wie im Skript bezeichnet dabei $x+I$ die Äquivalenzklasse $[x]$ von $x$.)
				
				\item $(R/I,+,\cdot )$ ist ein kommutativer Ring mit $1$.
			\end{enumerate} 
		\item 	Sei $R$ ein endlicher Integritätsbereich. Zeigen Sie, dass $R$ ein Körper 	ist.\\\\
				\emph{(Hinweis: Sei $a\in R\setminus\{0\}$ beliebig. Betrachten Sie die Menge $\{a^n\mid n\in\N\}$.)}
	\end{enumerate}
	

	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\


	\textbf{Aufgabe 1.2} (Eulersche Phi-Funktion) \hfill 	\textbf{[3 + 1 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $\phi$ die eulersche Phi-Funktion.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item	Zeigen Sie:
			\begin{enumerate}[(i)]
				\item Für alle Primzahlen $p\in\N$ und alle $k\in\N$ gilt $\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$.
				\item Für alle $a,b\in\N$ mit $\ggT(a,b)=1$ gilt $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$.
				\item Für alle $n\in\N$ gilt $$\phi(n)=n\prod\limits_{p \mid n, \ p \text{ prim}}\left(1-\frac{1}{p}\right).$$
			\end{enumerate}
		
		\item Geben Sie ein Beispiel für $a,b\in\N$ mit $\phi(ab)\neq \phi(a)\phi(b)$ an.			
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\


	\textbf{Aufgabe 1.3*} (Rechnen mit Idealen) \hfill 	\textbf{[2 + 1 + 1 Punkte]}	
	 
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Seien $I,J \lhd R$. Zeigen Sie:
			\begin{enumerate}[(i)]
				\item $I+J:=\{a+b\mid a\in I, b\in J\}$ ist das kleinste Ideal von $R$, das $I\cup J$ enthält.
				\item $IJ:=\setbr{\left.\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\ \right|\ n\in\N, a_i\in I, b_i\in J}$ ist ein Ideal von $R$, welches in $I\cap J$ enthalten ist. Geben Sie ein Beispiel für $R$, $I$ und $J$ an,	sodass $IJ\neq I\cap J$.
			\end{enumerate}
		
		\item Sei $\mathcal{I}$ eine Indexmenge und sei $I_i$ für jedes $i\in \mathcal{I}$ ein Ideal von $R$. Zeigen Sie, dass $\bigcap\limits_{i\in\mathcal{I}} I_i$ auch ein Ideal von $R$ ist.
		\item Finden Sie ein Beispiel für $R$, $I_1$ und $I_2$ mit  $I_1, I_2\lhd R$, sodass $I_1\cup I_2$ kein Ideal von $R$ ist. 		
	\end{enumerate}
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\textbf{Aufgabe 1.4} (Faktorring) \hfill 	\textbf{[1 + 3 Punkte]}	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass $\Q[x]/\langle x^2-1\rangle$ kein Integerring ist.
		
		\emph{(Hierbei ist $\langle x^2-1\rangle$ das Hauptideal $(x^2-1)\Q[x]$ von $\Q[x]$.)}
		
		\item 	Wir definieren die Ringoperationen $+$ und $\cdot$ auf $\Q^2$ koordinatenweise durch
		$$(r_1,r_2)+(s_1,s_2):=(r_1+s_1,r_2+s_2)\text{ und }(r_1,r_2)\cdot (s_1,s_2):=(r_1s_1,r_2s_2)$$
		für alle $(r_1,r_2),(s_1,s_2)\in \Q^2$. Zeigen Sie, dass die Ringisomorphie $\Q[x]/\langle x^2-1\rangle \simeq \Q^2$ gilt.
		
		\emph{(Sie müssen nicht nachweisen, dass $(\Q^2,+,\cdot)$ ein Ring ist.)}
	\end{enumerate} 

	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 10.\ November 2020, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}