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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}
\definechangesauthor[name = {Sarah}, color=blue]{Sarah}
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%\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
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\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
\newcommand{\gut}[0]{\note[id=Komm.]{Gut!}}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 2\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung 3 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Sei $R$ stets ein kommutativer Ring mit $1$.}
	\\

	\textbf{Aufgabe 2.1}  (Radikalideal) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $I \vartriangleleft R$. Wir definieren induktiv $I^1:=I$ und $I^{n+1}:=II^n$  für alle $n\in \N$.

	\begin{enumerate}[(i)]
		\item  Sei $n\in \N$. Zeigen Sie, dass $I^n$ ein Ideal von $R$ ist und dass $I^n \subseteq I$ gilt.
		\item Zeigen Sie, dass $\sqrt{I}:=\{a \in R \mid   a^n \in I \text{ für ein }n\in\N\}$ ein Ideal von $R$ ist. 
	
	\end{enumerate}


	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\
	

	\textbf{Aufgabe 2.2*} (Teil- und Faktorringe) \hfill 	\textbf{[2 + 2  Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $I \vartriangleleft R$ und sei $\pi\colon R \to R/I, x\mapsto x+I$ die kanonische Projektion.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei $\mathcal{T}$ die Menge der Teilringe von $R$, die $I$ enthalten, und sei $\mathcal{T}_{I}$ die Menge der Teilringe von $R/I$. Zeigen Sie, dass die Abbildung
			\begin{eqnarray*}\psi\colon  \mathcal{T}&\to& \mathcal{T}_I, \\
						   S & \mapsto & \pi(S)
			\end{eqnarray*} bijektiv und inklusionserhaltend (d.h.\ $S_1\subseteq S_2 \Rightarrow \pi(S_1)\subseteq \pi(S_2)$) ist.
			
		\item Sei $\mathcal{I}$ die Menge der Ideale von $R$, die $I$ enthalten, und sei $\mathcal{I}_I$ die Menge der Ideale von $R/I$. Setze $\rho:=\psi|_{\mathcal{I}}$. Zeigen Sie, dass $\rho(\mathcal{I})=\mathcal{I}_I$ ist.
		
		\emph{(Damit haben Sie gezeigt, dass $\rho$ eine bijektive Abbildung von $\mathcal{I}$ nach $\mathcal{I}_I$ ist.)}
			
	\end{enumerate}
		
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\newpage

	\textbf{Aufgabe 2.3} (Lemma von Zorn)  \hfill 	\textbf{[2 + 4 Punkte]}	

	\begin{enumerate}[(a)]
		\item\!\!\!* Sei $K$ ein Körper. Zeigen Sie, dass jeder nicht endlich-dimensionale $K$-Vektorraum $V$ auch eine Basis besitzt.
	
		\textit{(Hinweis: Verwenden Sie das Lemma von Zorn.)}
	
		\item Sei $S \subseteq R$ eine multiplikative Teilmenge von $R$ mit $0 \not\in S$. Zeigen Sie:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Es existiert ein echtes Ideal $I \vartriangleleft R$, welches maximal mit der Eigenschaft $S \cap I = \emptyset$ ist.
		
			\textit{(Dies bedeutet nicht, dass I ein maximales Ideal ist. Siehe hierzu Übungsblatt 3.)}
		
			\item Jedes solche Ideal aus (i) ist prim. 
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}


	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\

	\textbf{Aufgabe 2.4} (Chinesischer Reste-Satz) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 2 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Seien $a,b \in \Z$ und sei $n\in \N$. Wir schreiben
	$$a\equiv b \mod n,$$
	falls $a-b \in n\Z$ gilt.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $k\in \N$ und seien $n_1,\dots, n_k,a_1,\ldots,a_k\in\Z$ mit $\mathrm{ggT}(n_i,n_j)=1$ für alle $i\neq j$. 
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item 		Zeigen Sie, dass es $x_0\in\Z$ gibt, sodass 
			für alle $i\in \{1,\ldots,k\}$ gilt: \[x_0\equiv a_i \mod n_i.\]
			\item Zeigen Sie, dass  $x_0$ aus (i) eindeutig modulo $n_1n_2\ldots n_k$ ist, also dass für jedes $y \in \Z$ mit 
			$y\equiv a_i \mod n_i$ für alle $i\in \{1,\ldots,k\}$ gilt:
			$$y\equiv x_0\mod n_1n_2\ldots n_k.$$
		\end{enumerate}

 		
		\emph{(Hinweis: Wenden Sie den Chinesischen Reste-Satz auf geeignete Ideale von $\Z$ an.)}
		\item Finden Sie alle $x\in\Z$, für die 
		\begin{align*}x&\equiv 2\mod 3,\\
		x&\equiv 4\mod 25 \text{ und }\\
		x&\equiv 9\mod 14
		\end{align*}
		gelten. 
		
		 		
		\emph{(Hinweis: Finden Sie zunächst ein spezielles $x_0 \in \Z$, das alle drei Bedingungen erfüllt.)}
	\end{enumerate}
	
	
		
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 17.\ November 2020, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}