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\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


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%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
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\definechangesauthor[name = {Lothar}, color=orange]{Lothar}
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\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 3\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung 5 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Sei $R$ stets ein kommutativer Ring mit $1$.}
	\\
	


	\textbf{Aufgabe 3.1} (Ideale im Polynomring) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Für $f\in  \R[x]$ bezeichne $f'$ die formale Ableitung von $f$. 
	Welche der folgenden Mengen $I_k$ sind Ideale von $\R[x]$? 
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $I_1=\{f\in\R[x]\mid f(2)=0\}$ 
			
		\item $I_2=\{f\in\R[x]\mid f^\prime(-2)=0\}$
		
		\item $I_3=\{f\in\R[x]\mid f(2)=f(3)=0\}$
		
		\item $I_4=\{f\in\R[x]\mid f(1)=f^\prime(1)=0\}$
			
	\end{enumerate}
	
	Finden Sie für die $I_k$, welche Ideale von $\R[x]$ sind, ein Polynom $f_k\in\R[x]$, das $I_k$ erzeugt.\\
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
		\
		
	\textbf{Aufgabe 3.2} (Maximale Ideale und Primideale) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 2 Punkte]}	
	\begin{enumerate}[(a)]
	\item Sei $P$ ein Primideal von $R$ und setze $S=R\setminus P$. 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass $S$ eine multiplikative Teilmenge von $R$ mit $0\notin S$ ist. 
		\item Sei $I \vartriangleleft R$ ein echtes Ideal, welches maximal mit der Eigenschaft $S \cap I = \emptyset$ ist. (Vgl.\ Aufgabe~2.3 (b).) Zeigen Sie, dass dann schon $I=P$ gilt.
	\end{enumerate}
	\item Wir definieren $\Z[x,y]:=\Z[x][y]$. Finden Sie ein Primideal $P\neq\{0\}$ von $\Z[x,y]$, das nicht maximal ist.
	
	\emph{(Damit ist das zu $P$ gehörige Ideal $I  \lhd \Z[x,y]$ aus (a) nicht maximal. Vgl.\ Aufgabe~2.3.)}
\end{enumerate}

	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\newpage
	

	\textbf{Aufgabe 3.3} (Euklidischer Ring) \hfill \textbf{[4 Punkte]}	\\[3pt]
	Wir betrachten den Ring $R=\Z[\sqrt{-2}]:=\setbr{n+m\i\sqrt{2}\mid n,m\in\Z}\subseteq \C$ und den Körper $K=\Q(\sqrt{-2}):=\setbr{r+s\i\sqrt{2}\mid r,s\in\Q}\subseteq\C$. Wir definieren die Norm 
	$N(r+s\i\sqrt{2}):=r^2+2s^2$ für alle $r,s\in\Q$. 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass $N$ multiplikativ ist, d.h.\ für alle $a,b\in K$ gilt $N(ab)=N(a)N(b)$.
		\item Zeigen Sie, dass $K=\mathrm{Quot}(R)$ der Quotientenkörper von $R$ ist, d.h.\ für alle $a\in K$ gibt es $b,c\in R$ mit $a=\tfrac bc$.
		\item Zeigen Sie, dass es für alle $a,b\in R$ ein $c\in R$ mit $N(\tfrac{a}{b}-c)<1$ gibt.
		\item Folgern Sie, dass $(R,N)$ ein euklidischer Integritätsbereich ist.
	\end{enumerate}

	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	

	\textbf{Aufgabe 3.4*} (Ideale in der Lokalisierung) \hfill \textbf{[4 Punkte]} \\[3pt]
	Sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $S$ eine multiplikative Teilmenge von $R$. Wir identifizieren $R$ mit einem Teilring von $S^{-1}R$ durch die Einbettung $i\colon r\mapsto\frac{r}{1}$.
	Für jedes Ideal $I$ von $R$ bezeichnet $S^{-1}RI$ das von $I$ erzeugte Ideal in $S^{-1}R$.	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass jedes Ideal in $S^{-1}R$ von der Form $S^{-1}RI$ ist, wobei $I$ ein Ideal von $R$ ist.
		\item Zeigen Sie, dass für jedes Primideal $P\triangleleft R$ mit $P\cap S = \emptyset$ das Ideal $S^{-1}RP$ ein Primideal von $S^{-1}R$ ist. 
		\item Zeigen Sie, dass jedes Primideal von $S^{-1}R$ von der Form $S^{-1}RP$ ist, wobei $P$ ein Primideal von $R$ mit $P\cap S=\emptyset$ ist.
	\end{enumerate}

	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	

	

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 24.\ November 2020, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}