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\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


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%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
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\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 4\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~7 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\

	\textbf{Für $a\in \C$ bezeichnen wir mit $\Z[a]$ den Ring $\{p(a)\mid p\in \Z[x]\}$.}
	\\
	

	\textbf{Aufgabe 4.1} (Hauptideale) \hfill \textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei $I\lhd\Z[x]$. Angenommen, es existiert ein normiertes Polynom $f\in I$, sodass für alle $h\in I\backslash\{0\}$ bereits $\deg(f)\leq\deg(h)$ gilt. Zeigen Sie, dass $I$ ein Hauptideal ist.
		\item Finden Sie ein Ideal von $\Z[x]$, das kein Hauptideal ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	

	\textbf{Aufgabe 4.2} (Lemma von Gauß) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei $R\neq\{0\}$ ein Integerring und sei $F=\mathrm{Quot}(R)$. Angenommen, es existieren ein normiertes Polynom $p\in R[x]$ und zwei 
		nicht-konstante normierte Polynome $A,B\in F[x]$,
		sodass $p=AB$ und $A\notin R[x]$. Zeigen Sie, dass $R$ nicht faktoriell ist.
		
		
		\item Folgern Sie aus (i), dass $\Z[2\sqrt{2}]$ nicht faktoriell ist.
		
		\textit{(Hinweis: Betrachten Sie $x^2-2$.)}
	\end{enumerate}
	
	\
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\newpage
	
	\textbf{Aufgabe 4.3} (Irreduzible Polynome) \hfill \textbf{[1 + 1 + 2 Punkte]} 
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $K$ ein Körper und sei $f\in K[x]$ mit $\deg(f)\in\{2,3\}$. Zeigen Sie, dass $f$ genau dann irreduzibel ist, wenn $f$ keine
		Nullstelle hat. Zeigen Sie zudem, dass diese Äquivalenz im Allgemeinen für $\deg(f)\geq 4$ nicht gilt.
		\item Erstellen Sie die Liste aller irreduziblen Polynome vom Grad $ 3$ in $\F_2[x]$.
		\item Bestimmen Sie, ob folgende Polynome in $\F_2[x]$ irreduzibel sind. 
		Falls nicht, geben Sie ihre Primfaktorzerlegung an.
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $x^4+x^2+1$
			\item $x^4+1$
			\item $x^4+x+1$
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

		\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 4.4*} (Nicht faktorieller Ring) \hfill 	\textbf{[2 + 1 + 1 Punkte]}
	\\[3pt]
	Sei $n\in\N$ mit $n\geq 5$ und $\sqrt{n}\notin \N$. Wir setzen $\gamma_n=\i\sqrt{n}\in \C$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass  $\Z[\gamma_n]^\times =\{1,-1\}$ gilt und dass $2$ und $\gamma_n$  irreduzibel in $\Z[\gamma_n]$ sind. 
		
		\emph{(Hinweis: Betrachten Sie die multiplikative Norm $N\colon z\mapsto |z|^2$ auf $\Z[\gamma_n]$; vgl.\ Aufgabe~3.3. Hierbei bezeichnet $|z|$ den Betrag von $z$.)}
		\item Zeigen Sie, dass $\Z[\gamma_6]$ nicht faktoriell ist.
		
		\emph{(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass $\gamma_6$ nicht prim in $\Z[\gamma_6]$ ist.)}
		\item Zeigen Sie, dass das Ideal $\langle 2,\gamma_6\rangle$ in $\Z[\gamma_6]$ kein Hauptideal ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\
	

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 01.\ Dezember 2020, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}