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\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


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%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}
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\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
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\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 5\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~9 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
		
	\textbf{Aufgabe 5.1} (Beweisschritte in Skript 8) \hfill 	\textbf{[2 + 1 + 1 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $R$ ein Integritätsbereich.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $R$ faktoriell und sei $r\in R[x]\setminus\{0\}$. Seien ferner  $p_1,\ldots,p_n,q_1,\ldots,q_m\in R[x]$ irreduzibel mit 
		$$r=p_1\cdots p_n=q_1\cdots q_m.$$
		Zeigen Sie, dass $m=n$ gilt und für jedes $i\in \{1,\ldots, n\}$ ein $j\in \{1,\ldots,n\}$ existiert, für das $p_i$ und $q_j$ assoziiert sind.
		
		\emph{(Hinweis: Beachten Sie dabei, dass $\mathrm{Quot}(R)[x]$ faktoriell ist.)}
		
		\item Sei $R$ faktoriell und sei $n\in \N$. Zeigen Sie, dass $R[x_1,\ldots,x_n]$ faktoriell ist.
		
		\item Seien $a,b\in R[x]$ nicht-konstante Polynome, sodass $a(x)b(x)=x^n$ für ein $n\in \N$. Zeigen Sie, dass $a$ und $b$ Monome sind.
	\end{enumerate}
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 5.2} (Irreduzibilitätskriterien) \hfill 	\textbf{[3 + 1 Punkte]}	
	\begin{enumerate}[(a)]
	\item Zeigen Sie (mit so wenig Rechenaufwand wie möglich), dass folgende Polynome irreduzibel sind: 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $x^5+21x^4+39x^3-15x+15$ in $\Z[x]$
		\item $x^3+5x^2+27x+22$ in $\Z[x]$
		\item $x^3+14x^2+7x+23$ in $\Q[x]$
		\item $x^9+10x^7+55x^6-100x^2+20$ in $\Q[x]$
		\item $4x^3+12x^2+20$ in $\Q[x]$
		\item $x^2y^2+x^3-x^2-y+1$ in $\Q[x,y]$ 
		
			\emph{(Hinweis: Betrachten Sie das Polynom in $\Q[y][x]$.)}
	\end{enumerate}
	\item Sei $f(x)=4x^2+2$. Entscheiden Sie jeweils, ob $f$ in $\Z[x]$ bzw.\ in $\Q[x]$ irreduzibel ist.
	
\end{enumerate}

	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\newpage 
	
	\textbf{Aufgabe 5.3} (Primfaktorzerlegung) \hfill \textbf{[1 + 1 + 2 Punkte]}
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $p\in\N$ eine Primzahl. Zeigen Sie, dass das Polynom $x^4-p$ reduzibel in $\R[x]$ aber irreduzibel in $\Q[x]$ ist.
		\item Finden Sie die Primfaktorzerlegung von $x^{2n}+2x^n+1$ in $\R[x]$ für $n=2$ und $n=3$.
		\item Finden Sie die Primfaktorzerlegung von $x^4+1$ in $\R[x]$ und in $\Q[x]$.
	\end{enumerate}

	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 5.4*} (Quadratische Körpererweiterung) \hfill \textbf{[1 + 3 Punkte]} \\	
	Betrachten Sie erneut den Ring $R=\Z[\sqrt{-2}]$ aus Aufgabe 3.3.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass $1-\i\sqrt{2}$ irreduzibel in $R$ ist.
		\item Sei $f(x)=x^5+6x^3+9x+1-\i\sqrt{2}$. Zeigen Sie, dass $f$ irreduzibel in $\Q(\sqrt{-2})$ ist.
		
		\emph{(Hinweis: Wenden Sie das Lemma von Gauß an.)}
	\end{enumerate}

	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 08.\ Dezember 2020, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}