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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}
\definechangesauthor[name = {Sarah}, color=blue]{Sarah}
\definechangesauthor[name = {Lothar}, color=orange]{Lothar}
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\usepackage{todonotes}
%\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 6\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~11 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\

	\textbf{Aufgabe 6.1} (Einfache algebraische Körpererweiterung) \hfill \textbf{[1 + 2 + 1 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $p(x)=x^3+x^2-2x+1 \in \Q[x]$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass $p$ irreduzibel über $\Q$ ist.
	\end{enumerate}
	Sei nun $\theta$ eine Nullstelle von $p$ in einer Körpererweiterung von $\Q$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Schreiben Sie $(\theta^2-1)^{-1}$ und $\theta^5$ als Linearkombination von $1$, $\theta$ und $\theta^2$ über $\Q$.
		\item Zeigen Sie, dass $\Q(\theta)= \Q(\theta^2-1)$ gilt.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
		
	\textbf{Aufgabe 6.2} (Erweiterungsgrade I) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $L / K$ eine Körpererweiterung.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $[L:K]=p$ mit $p \in \N$ eine Primzahl. Zeigen Sie: Für jedes $\alpha \in L\setminus K$ gilt $K(\alpha)=L$.
		
		\item Sei $[L:K]=2^k$ für ein $k \in \N$. Sei $f \in K[x]$ mit $\deg (f)=3$ ein Polynom, welches eine Nullstelle in $L$ hat. Zeigen Sie, dass $f$ dann bereits eine Nullstelle in $K$ hat. 
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 6.3} (Minimalpolynome) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	\\[3pt]
	Sei $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}\in \R$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Ermitteln Sie die Minimalpolynome $m_{\alpha,\Q}$ und $m_{\alpha,\Q(\sqrt2)}$.
		\item Zeigen Sie, dass $\Q(\alpha)=\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ gilt.
	\end{enumerate}
	
	\
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\


	\newpage 
	
	\textbf{Aufgabe 6.4*} (Erweiterungsgrade II) \hfill \textbf{[2 + 2 Punkte]} 
	\\[3pt]
	Sei $K$ ein Körper und sei $p \in K[x]$ irreduzibel. Sei ferner $n= \deg(p)$ und $\alpha$ eine Nullstelle von $p$ in einer Körpererweiterung von $K$. Zeigen Sie:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Ist $n$ ungerade, dann gilt $K(\alpha)=K(\alpha^2)$.
		\item Zeigen Sie, dass die Folgerung in (i) im Allgemeinen nicht gilt, wenn $n$ gerade ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\vfill
	
	%\begin{center}
	%\includegraphics[width=15cm]{Flyer2.pdf}
	%\end{center}

	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 15.\ Dezember 2020, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}