
\documentclass[12pt]{article}
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\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}
\definechangesauthor[name = {Sarah}, color=blue]{Sarah}
\definechangesauthor[name = {Lothar}, color=orange]{Lothar}
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%\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 7\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~13 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\

	\textbf{Aufgabe 7.1} (Einfache Erweiterungen) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	Sei $K/F$ eine Körpererweiterung. 
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $\alpha \in K$ algebraisch über $F$. Zeigen Sie, dass
		$$F[\alpha ]=\{p(\alpha )\mid p\in F[x]\}$$
		(also der von $\alpha$ über $F$ erzeugte Teilring von $K$) ein Teilkörper von $K$ ist. Folgern Sie, dass $F[\alpha ]=F(\alpha )$ gilt.
		\item Sei $a \in K$ transzendent über $F$. Zeigen Sie, dass der Körper $F(a)$ (also der von $a$ über $F$ erzeugte Teilkörper von $K$) isomorph zu $F(x)$ ist.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\

	\textbf{Aufgabe 7.2} (Algebraischer Abschluss) \hfill 	\textbf{[2 + 1 + 1 Punkte]}
		\begin{enumerate}[(a)]
			\item Zeigen Sie, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper unendliche Kardinalität besitzt.
			\item Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Primkörper $F$. Zeigen Sie, dass $[K:F]$ unendlich ist. 
			\item Zeigen Sie, dass $[\R:\Q]$ unendlich ist.
		\end{enumerate}
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 7.3} (Frobeniushomomorphismus) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $p\in\N$ eine Primzahl und sei $K$ ein Körper mit $\mathrm{Char}(K)=p$.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass für alle $n\in\N$ und alle $a,b\in K$ die Gleichung $(a+b)^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n}$ gilt.
		
		\item Zeigen Sie, dass für alle $n\in\N$ die Abbildung $\sigma_n\colon K \to K, a \mapsto a^{p^n}$ einen Homomorphismus definiert.
		
		\emph{(Die Abbildung $\sigma_1$ wird als Frobeniushomomorphismus bezeichnet.)}
		
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\
	
	\newpage 
	
	\textbf{Aufgabe 7.4*} (Körperidentifikation) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $K'/F'$ eine Körpererweiterung und sei $F$ ein Körper mit $F\cap K'=\emptyset$. Sei ferner $\varphi\colon F\to F'$ ein Ringisomorphismus. 
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Setze $K=(K'\setminus F')\cup F$ und definiere für $a,b\in K$ die binären Operationen $+_K$ und $\cdot_K$ wie folgt:
		\begin{align*}
		a+_Kb&:=\begin{cases}
		a+_{K'}b,&\text{ falls }a,b\in K'\text{ und }a+_{K'}b\notin F',\\
		\varphi^{-1}(a+_{K'}b),&\text{ falls }a,b\in K'\text{ und }a+_{K'}b\in F',\\
		a+_{K'}\varphi(b),&\text{ falls }a\in K', b\in F,\\
		\varphi(a)+_{K'}b,&\text{ falls }a\in F, b\in K',\\
		a+_{F}b,&\text{ falls }a,b\in F;
		\end{cases}\\
		a\cdot_Kb&:=\begin{cases}
		a\cdot_{K'}b,&\text{ falls }a,b\in K'\text{ und }a\cdot_{K'}b\notin F',\\
		\varphi^{-1}(a\cdot_{K'}b),&\text{ falls }a,b\in K'\text{ und }a\cdot_{K'}b\in F',\\
		a\cdot_{K'}\varphi(b),&\text{ falls }a\in K', b\in F,\\
		\varphi(a)\cdot_{K'}b,&\text{ falls }a\in F, b\in K',\\
		a\cdot_{F}b,&\text{ falls }a,b\in F.
		\end{cases}
		\end{align*}
		Zeigen Sie, dass $(K,+_K,\cdot_K)$ eine Körpererweiterung von $F$ ist. Weisen Sie dabei insbesondere die Körperaxiome für $K$ nach.
		
		\item Finden Sie einen Ringisomorphismus $\psi\colon K\to K'$ mit $\psi|_F=\varphi$.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 22.\ Dezember 2020, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}