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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


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%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}
\definechangesauthor[name = {Sarah}, color=blue]{Sarah}
\definechangesauthor[name = {Lothar}, color=orange]{Lothar}
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\usepackage{todonotes}
%\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
\newcommand{\gut}[0]{\note[id=Komm.]{Gut!}}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 8\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~15 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 8.1} (Separabilität) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}	\\[3pt]
	Bestimmen Sie ob folgende Polynome separabel sind: 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $x^2-6x+9$ in $\Q[x]$,
		\item $x^{60}+x^{30}+1$ in $\mathbb{F}_2[x]$,
		\item $x^5+tx+t$ in $\mathbb{F}_5(t)[x]$,
		\item $x^4+6x^3-22x^2+7x-15015$ in $\Q[x]$.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 8.2} (Separabilität über perfekten Körpern) \hfill \textbf{[2 + 2 Punkte]}
	\\[3pt]
	Sei $F$ ein perfekter Körper. Zeigen Sie:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Jedes irreduzible Polynom $f\in F[x]$ ist separabel.
		\item Ein Polynom $f\in F[x]$ mit $\deg f\geq 1$ ist genau dann separabel, wenn die Primfaktorisierung von $f$ in $F[x]$ die folgende Gestalt hat:
		$$f=c\prod_{i=1}^k p_i,$$
		wobei $c \in F^\times$ und $p_i\in F[x]$ normiert und irreduzibel sowie $p_i\neq p_j$ für alle $i,j\in\{1,\ldots,k\}$.
	\end{enumerate}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	
	
	
	\newpage

	\textbf{Aufgabe 8.3} (Beweisschritte aus Skript 12) \hfill \textbf{[2 + 2 Punkte]}
	\\[3pt]
	Sei $F$ ein Körper.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $I$ eine beliebige Menge und $J=\{j_1,\ldots,j_k\}$ eine endliche Teilmenge von $I$. Wir definieren $F[x_j\mid j\in J]$ als den Polynomring $F[x_{j_1},\ldots,x_{j_k}]$, also den Polynomring über $F$ in den Variablen $x_{j_1},\ldots,x_{j_k}$. Weiterhin sei
		$$F[x_i\mid i\in I]:=\bigcup_{J\subseteq I\text{ endlich}}F[x_j\mid j\in J].$$
		Finden Sie geeignete Operationen $+$ und $\cdot$ auf $F[x_i\mid i\in I]$, sodass $(F[x_i\mid i\in I],+,\cdot)$ ein Ring ist, der $F[x_j\mid j\in J]$ für jedes endliche $J\subseteq I$ als Teilring hat.
		
		\emph{(Im Hauptsatz von Skript 12 ist der Polynomring $F[\cdots,x_f,\cdots]$ durch $F[x_i\mid i\in I]$ für die Menge $I=F[x]$ gegeben.)}
		
		\item Seien $K$ und $L$ zwei algebraische Abschlüsse von $F$. Zeigen Sie, dass es einen Ringisomorphismus $\sigma\colon K \to L$ gibt, für den $\sigma(F)=F$ gilt.
	\end{enumerate}

	\

	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	
	\textbf{Aufgabe 8.4*} (Algebraische Zahlen) \hfill \textbf{[4 Punkte]}
	\\[3pt]
	Es bezeichne $\widetilde{\Q}$ den Körper der algebraischen Zahlen und $\widetilde{\Q}^r$ den Körper der reellen algebraischen Zahlen.
	Zeigen Sie:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $[\widetilde{\Q}:\Q]=[\widetilde{\Q}^r:\Q]=\aleph_0$.
		\item $|\widetilde{\Q}|=|\widetilde{\Q}^r|=\aleph_0$.
		\item $|\C \setminus \widetilde{\Q}|=| \R \setminus \widetilde{\Q}^r|=2^{\aleph_0}$.
	\end{enumerate}
	
	\emph{(Hierbei bezeichnet $\aleph_0$ die Kardinalität von $\N$ und $2^{\aleph_0}$ die Kardinalität von $\R$.)}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 12.\ Januar 2021, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}