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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


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%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}
\definechangesauthor[name = {Sarah}, color=blue]{Sarah}
\definechangesauthor[name = {Lothar}, color=orange]{Lothar}
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\usepackage{todonotes}
%\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
\newcommand{\gut}[0]{\note[id=Komm.]{Gut!}}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 9\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~17 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\

	\textbf{Aufgabe 9.1} (Ordnung I) \hfill 	\textbf{[3 + 1 Punkte]}	\\[3pt]	
	Sei $G$ eine Gruppe, sei $x \in G$ und sei $j\in \Z\setminus\{0\}$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Aus $\abs{x}=\infty$ folgt $\abs{x^j}= \infty$.
			\item Aus $\abs{x}=n < \infty$ folgt $\abs{x^j}= \frac{n}{\ggT(n,j)}$.
			\item Aus $\abs{x}=n < \infty$ und $j \mid n$ folgt $\abs{x^j}= \frac{n}{|j|}$.
		\end{enumerate}
		\item Sei $\abs{x}=\infty$. Zeigen Sie, dass $x^j$ genau dann ein Erzeuger von $\langle x \rangle$ ist, wenn $j \in \{-1,1\}$.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 9.2} (Zyklische Gruppen und Ordnung II) \hfill \textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sind die folgenden additiven Gruppen zyklisch? Begründen Sie Ihre Antwort.
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $\Z_2 \times \Z_3$,
			\item $\Z_n \times \Z_n$ mit $n \in \N$,
			\item $\Z \times \Z$.
		\end{enumerate}
		\item Sei $G$ eine (nicht notwendigerweise abelsche) endliche Gruppe und seien $x,y \in G$. Beweisen oder widerlegen Sie mithilfe eines Gegenbeispiels jeweils die folgenden Aussagen:
			\begin{enumerate}[(i)]
				\item $\abs{xy}$ ist ein Teiler von $\textup{kgV}(\abs{x}, \abs{y})$.
				\item Falls $xy=yx$, dann ist $\abs{xy}$ ein Teiler von $\textup{kgV}(\abs{x}, \abs{y})$.
				\item Es gilt $\abs{xy}= \textup{kgV}(\abs{x}, \abs{y})$.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\
	
	\newpage
	
	\textbf{Aufgabe 9.3} (Satz von Lagrange) \hfill \textbf{[2 + 2 Punkte]}
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Zeigen Sie, dass $A_4$ keine Untergruppe der Ordnung $6$ besitzt.
			
					\emph{(Hinweis: Bemerke, dass solch eine Gruppe einen $3$-Zykel enthalten würde.)}
			\item Finden Sie alle Untergruppen von $A_4$. Welche davon sind normal?
		\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\

	\textbf{Aufgabe 9.4*} (Normale Untergruppen) \hfill 	\textbf{[3 + 2 Punkte]}
	\\[3pt]
	Sei $G$ eine Gruppe und sei $H\leq G$. 
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item	Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent zueinander sind:
			\begin{enumerate}[(i)]
				\item $H\unlhd G$.
				\item $N_G(H)=G$.
				\item Für alle $g\in G$ gilt $gH=Hg$.
				\item Die Verknüpfung $(uH,vH)\mapsto (uv)H$ definiert eine Gruppenoperation auf der Menge der linken Nebenklassen von $H$.
				\item Für alle $g\in G$ und alle $h\in H$ gilt $ghg^{-1}\in H$.
			\end{enumerate}
	
		\item 
				\begin{enumerate}[(i)]
						\item Zeigen Sie, dass $N_G(H)$ eine Teilgruppe von $G$ mit $H\unlhd N_G(H)$ ist.
						\item Sei $B\leq G$ mit $H\leq B$. Zeigen Sie, dass genau dann $H\unlhd B$ gilt, wenn $B$ eine Teilgruppe von $N_G(H)$ ist.
				\end{enumerate}
		
		\emph{(Damit ist $N_G(H)$ die größte Teilgruppe von $G$, in der $H$ normal ist.)}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 19.\ Januar 2021, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}