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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


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%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}
\definechangesauthor[name = {Sarah}, color=blue]{Sarah}
\definechangesauthor[name = {Lothar}, color=orange]{Lothar}
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\definechangesauthor[name = {Moritz}, color=green]{Moritz}

\usepackage{todonotes}
%\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
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\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 10\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung 19 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.


	
	\

	
	\textbf{Aufgabe 10.1} (Normalität und Index) \hfill \textbf{[2 + 2 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $G$ eine Gruppe und sei $H \leq G$.
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Setze $N:=\bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$. Zeigen Sie:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $N\unlhd G$ und $N\unlhd H$.
			\item Für jedes $M\unlhd G$ mit $M\leq H$ gilt $M\leq N$.
		\end{enumerate}
		\item Setze $n=[G:H]$.
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Angenommen $n=2$. Zeigen Sie, dass $H$ normal in $G$ ist.
			\item Zeigen Sie, dass die Folgerung aus (i) für den Fall $n=3$ im Allgemeinen nicht gilt.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
		
	\textbf{Aufgabe 10.2} (Diedergruppe) \hfill 	\textbf{[1 + 2 + 1 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sein $n \in \N$ mit $n\geq 3$. Die $n$-te \emph{Diedergruppe} $D_n$ ist die Symmetriegruppe aller Drehungen und Spiegelungen eines regulären $n$-Ecks. Das heißt, $D_n$ wird von der Drehung $r$ um den Winkel $\frac{2 \pi}{n}$ und der Spiegelung $s$ an einer Symmetrieachse des $n$-Ecks erzeugt. Als Gruppe von Matrizen ist $D_n$ daher die Untergruppe der invertierbaren $(2 \times 2)$-Matrizen in $\R$ erzeugt von
	\begin{align*}
		r=\left( 
		\begin{array}{cc}
			\cos\! \left( \frac{2\pi}{n} \right) & -\sin\! \left( \frac{2\pi}{n} \right) \\
			\sin\! \left( \frac{2\pi}{n} \right) & \cos\! \left( \frac{2\pi}{n} \right) 
		\end{array}
		\right)\!, \ s=\left( 
		\begin{array}{cc}
			1 & 0 \\
			0 & -1
		\end{array}
		\right)\!.
	\end{align*}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass $r^n=1$, $s^2=1$ und $srs=r^{-1}$ gelten. (Hierbei steht $1$ für die Identitätsmatrix in der Gruppe der invertierbaren $(n\times n)$-Matrizen über $\R$.)
		\item Zeigen Sie, dass jedes Element aus $D_n$ in der Form $r^i s^j$ mit $i \in \{0,\ldots, n-1\}$ und $j \in \{0,1\}$ geschrieben werden kann. Folgern Sie hieraus, dass $D_n$ die Ordnung $2n$ hat.
		\item Bestimmen Sie die Kommutatorgruppe von $D_n$.
		
		\emph{(Hinweis: Unterscheiden Sie zwischen geradem und ungeradem $n$.)}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\textbf{Aufgabe 10.3} (Kompositionsreihen und Auflösbarkeit) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Finden Sie alle Kompositionsreihen der Gruppen $A_4, D_4$ und $D_5$.
		\item Sei $n\in \N$. Zeigen Sie, dass $D_n$ auflösbar ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	

	\textbf{Aufgabe 10.4*} (Verband-Isomorphismus) \hfill 	\textbf{[1 + 3 Punkte]}
	\\[3pt] 
	Sei $G$ eine Gruppe und sei $N\trianglelefteq G$ eine normale Untergruppe von $G$. Sei $\varphi\colon G \to G/N$ die kanonische Projektion. Falls $A\leq G$ und $N\leq A$, so schreiben
	wir $\overline{A}:=A/N$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass die Abbildung $\varphi^*$ gegeben durch $$\varphi^*\colon A\mapsto \varphi(A)=\overline{A}$$ eine bijektive Abbildung von der Menge der Untergruppen von $G$, die $N$ enthalten, in die Menge der Untergruppen von $G/N$ ist.
		\item Seien $A,B\leq G$ mit $N\leq A$ und $N\leq B$. Zeigen Sie den \emph{Satz des Verband-Isomorphismus}:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Genau dann gilt $A\leq B$, wenn $\overline{A}\leq \overline{B}$. In diesem Fall folgt $[B:A]=[\overline{B}:\overline{A}]$.
			\item Genau dann gilt $A\trianglelefteq B$, wenn $\overline{A}\trianglelefteq\overline{B}$. In diesem Fall gilt $B/A\cong\overline{B}/\overline{A}$.
			\item $\overline{\langle A\cup B\rangle}=\langle \overline{A}\cup\overline{B}\rangle$.
			\item $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap\overline{B}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 26.\ Januar 2021, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}