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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}
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\newcommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}
\definechangesauthor[name = {Sarah}, color=blue]{Sarah}
\definechangesauthor[name = {Lothar}, color=orange]{Lothar}
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\definechangesauthor[name = {Moritz}, color=green]{Moritz}

\usepackage{todonotes}
%\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
\newcommand{\gut}[0]{\note[id=Komm.]{Gut!}}
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\newcommand{\kommentarkurz}[1]{\note[id=Komm.]{#1}}
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\newcommand{\fehlerkurz}[1]{\note[id=Fehler]{#1}}
\newcommand{\fehlerlang}[2]{\added[id=Fehler,comment={#2}]{#1}}
\newcommand{\einschub}[1]{\todo[inline, inlinewidth=5cm, noinlinepar]{#1}}


\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 11\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~21 vorausgesetzt. Es dürfen jedoch alle Resultate verwendet werden, die bis zur Abgabefrist im Online-Skript behandelt wurden.
	Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	
	Dies ist das letzte Blatt, das vor Beginn der vorlesungsfreien Zeit im Tutorium besprochen wird. Es wird jedoch weitere Übungsaufgaben geben, die für die Vorbereitung auf die Klausur hilfreich sind.


	
	\

	\textbf{Aufgabe 11.1} (Sylow-Untergruppen) \hfill \textbf{[2 + 2 Punkte]}
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $n$. Zeigen Sie für die Fälle $n=200$ und $n=462$, dass $G$ nicht einfach ist.
		\item Seien $p$, $q$ und $r$ Primzahlen mit $p<q<r$ und sei $G$ eine Gruppe mit $\vert G \vert = pqr$. Zeigen Sie, dass $G$ für ein $s\in\{p,q,r\}$ eine normale Sylow-$s$-Untergruppe besitzt.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
		
	\textbf{Aufgabe 11.2} (Ordnung und Eindeutigkeit) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Zeigen Sie, dass es (bis auf Isomorphie) genau eine Gruppe der Ordnung 1001 gibt.
	
	\

	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\textbf{Aufgabe 11.3} (Bahnenanzahl) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]} \\[3pt]
	Sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer endlichen Menge $X$ operiert. Für $g\in G$ sei $\mathrm{Fix}(g):=\{x\in X \mid gx=x\}$. Die Menge $\{Gx\mid x\in X\}$ enthält alle verschiedenen Bahnen von Elementen aus $X$. Zeigen Sie:
	$$|\{Gx\mid x\in X\}|=\frac{1}{\vert G \vert}\sum\limits_{g\in G}\vert \mathrm{Fix}(g) \vert.$$
	
	\ 
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\newpage
	
	
	\textbf{Aufgabe 11.4*} (Zentrum) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	\\[3pt] 
	Seien $p,k\in \N$ mit $p$ prim und sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p^k$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass das Zentrum $C_G$ von $G$ nicht-trivial ist.
		\item Sei nun $k=2$. Zeigen Sie, dass $G$ abelsch ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	
	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Dienstag, 02.\ Februar 2021, 15:15 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}