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%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
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\let\phi\varphi

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%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Sarah-Tanja Hess, Patrick Michalski, Moritz Schick\hfill Wintersemester~2020/2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra I \\
		\normalsize Blatt 12 (zweite Hälfte) \\
	\end{center}
	

	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Dieses Blatt wird nicht bepunktet und dient lediglich zu Ihrer eigenen Vorbereitung auf die Klausur. 	Für die Bearbeitung werden alle Resultate der Vorlesung vorausgesetzt.
	\\

	
	\textbf{Aufgabe 12.4} (Galoiserweiterungen)
	\\[3pt]
	Seien $F$, $K$ und $E$ Körper mit $F\subseteq K\subseteq E$. Zeigen Sie:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Falls $E/F$ eine normale Erweiterung ist, dann ist auch  $E/K$ eine normale Erweiterung.
		\item Falls $E/F$ eine separable Erweiterung ist, dann ist auch  $E/K$ eine separable Erweiterung.
		\item Falls $E/F$ eine Galoiserweiterung ist, dann ist auch $E/K$ eine Galoiserweiterung.
		\item Falls  $E/F$ eine Galoiserweiterung ist und $\mathrm{Gal}(E/K)\unlhd\mathrm{Gal}(E/F)$ gilt, dann ist $K/F$ eine Galois\-erweiterung.
	\end{enumerate}

	\

	\textbf{Aufgabe 12.5} (Galois-Korrespondenz I)  	
	\\[3pt]
	Sei $K=\Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})$. Zeigen Sie, dass  $K/\Q$ eine Galoiserweiterung ist.
	Bestimmen Sie $\mathrm{Gal}(K/\Q)$ und geben Sie alle Zwischenkörper der 
	Erweiterung $K/\Q$ an.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 12.6} (Galois-Korrespondenz II)\\
	Sei $f(x)=x^4-2\in\mathbb{Q}[x]$ und sei $L$ ein Zerfällungskörper von $f$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass ${\rm Gal}(L/\mathbb{Q})\cong D_4$ gilt.
		\item Beschreiben Sie die $10$ verschiedenen Untergruppen von $D_4$.
		\item Bestimmen Sie die Zwischenkörper der Erweiterung $L/\mathbb{Q}$ und geben Sie für jeden
		Zwischenkörper $F$ ein primitives Element für $F$ über $\mathbb{Q}$ an.
	\end{enumerate}
	\

	
	
\end{document}