Dozent: Herr Dr. Merlin Carl
Termine: Mittwoch 11.45-13.15 (D 406).
Der Übungstermin ist Dienstag, 8.15-9.45, Raum D431. Die Übungen finden wöchentlich statt, beginnend am 08.05.2012.
Hier finden Sie den Eintrag im Vorlesungsverzeichnis mit weiteren Informationen.
Grundlagen und Inhalte
Die Mengenlehre wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts u.a. mit der Absicht
entwickelt, die gesamte Mathematik auf ein einheitliches Fundament
zurück zu führen. Mit der Einführung des Zermelo-Fraenkelschen
Axiomsystems ZFC kann dieses Ziel im wesentlichen als erreicht
betrachtet werden. Die hierdurch erfolgte Präzisierung des
Mengenbegriffes ermöglichte erstmals eine mathematisch strenge
Behandlung unendlicher Größen. Ferner erlaubt die durch ZFC erreichte
Klärung der Grundannahmen der Mathematik Unabhängigkeitsbeweise, also
Beweise dafür, dass gewisse mathematische Behauptungen, die in
verschiedenen Bereichen wie u.a. Analysis, Algebra, Topologie,
Kombinatorik und der Mengenlehre selbst auftauchen, aufgrund dieser
Grundannahmen weder beweisbar noch widerlegbar sind.
Die Vorlesung wird das Axiomsystem ZFC und seine Motivation behandeln, ferner die Theorie der Ordinal- und Kardinalzahlen sowie ihre Arithmetik, zentrale Resultate der unendlichen Kombinatorik sowie deren Anwendung auf andere Bereiche der Mathematik.
Damit sind die Voraussetzungen geschaffen für eine Fortsetzung im kommenden Semester, die vor allem die zum Beweis von Unabhängigkeitsresultaten benutzte Forcing-Methode zum Thema haben wird.
Als
Themen der Vorlesung sind vorgesehen: Motivation und Einführung der
Zermelo-Fraenkelschen Axiomatisierung der Mengenlehre ZFC, Wohlordnungen
und Ordinalzahlen, transfinite Induktion und Rekursion, die kumulative
Hierarchie V, Arithmetik unendlicher Kardinal- und Ordinalzahlen, Konsequenzen und
äquivalente Formulierungen des Auswahlaxioms, Grundlagen der unendlichen Kombinatorik.
Literatur zur Vorlesung
Die Vorlesung wird sich - vorbehaltlich einzelner thematischer Exkurse,
etwa zum Auswahlaxiom - weitgehend an Keith Devlin's Buch "The Joy of
Sets - Fundamentals of Contemporary Set Theory" orientieren. Als weitere ein- und weiterführende Texte zur Mengenlehre empfehle ich:
H.-D. Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre
K. Kunen: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs
Th. Jech: Set Theory
S. Geschke: Einführung in die Mengenlehre (Vorlesungsskript), online verfügbar:
http://page.mi.fu-berlin.de/geschke/EinfMengenlehre/EMskriptkomplett.pdf
Informationen zur Benotung und der Klausur
Die Note wird durch eine Abschlussklausur ermittelt. Zum Bestehen außerdem
erforderlich ist das Erreichen von mindestens 50% der Übungspunkte. Der
Klausurtermin ist Mittwoch, der 25.07.2012, 11.45-14.00 in Raum C 423.
Übungsblätter
Die Bearbeitungen der Übungsblätter sind am Übungstermin der auf die Ausgabe folgenden Woche abzugeben.
Hinweis: Gegenüber der Fassung, die hier eingestellt wird, können sich bis zur Ausgabe noch einzelne Änderungen ergeben. Gültig ist jeweils die Fassung, die in der Vorlesung als Ausdruck ausgeteilt wird.
Zusatzzettel zur Wiederholung und Vertiefung
Lösungen zu ausgewählten Aufgaben von Zettel 3 finden Sie hier .
Lösungen zu ausgewählten Aufgaben von Zettel 6 finden Sie hier .
Hier finden Sie einige Anmerkungen und Korrekturen zur Vorlesung und den Übungen .