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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
\newcommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{\F}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{\eins}{I_n}
\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\rk}{rk}

%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}


\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}


\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		%\vspace{0.75cm}\\
		\normalsize Blatt 1\\
		%Optionales Thema
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.5cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c||c|}
			\hline
			1&2&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis zum Ende von Kapitel 3 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet.\\

	\textbf{Aufgabe 1.1} (Operatornorm) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
		Seien $E, F, G$ normierte $\K$-Vektorräume. Beweisen Sie:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $L(E,F)$ ist ein $\K$-Vektorraum. Mit der Operatornorm ist $L(E,F)$ ein normierter Raum.
		\item Ist $F$ ein Banachraum, so ist $L(E,F)$ vollständig.
		\item Seien $A\in L(E,F)$ und $B\in L(F,G)$. Dann gilt $\|B \circ A\| \leq \|B\|\cdot\|A\|$.
	\end{enumerate}
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.






	\ \\
	\textbf{Aufgabe 1.2} (Orthogonale Matrizen) \hfill 	\textbf{[2 + 2 + 2* + 2* + 2* + 4* Punkte]}
	
	Sei $n\in \N$. Es bezeichne $\R^{n\times n}$ die Menge aller reellen $(n\times n)$-Matrizen, $\mathrm{GL}(n)$ die Teilmenge aller invertierbaren Matrizen und $O(n)$ die Teilmenge aller orthogonalen Matrizen. Eine Matrixnorm $\left\|\cdot\right\|$ auf $\R^{n\times n}$ sei durch \vspace{-1mm} $$\left\|A\right\|:=\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{x \in \R^n}{x\neq 0}}{\sup}\frac{\left\|Ax\right\|}{\left\|x\right\|}	\vspace{-5mm}$$ 

	definiert. 
	
	Zeigen Sie:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Seien $A\in O(n)$ und $v$ eine Spalte von $A$. Dann gilt $\|v\|=1$.
		\item  $O(n)$ ist kompakt.
		\item[(iii)*] Die Determinante $\det\colon \R^{n\times n} \to \R, 
		A \mapsto \det(A)$ ist eine stetige Funktion.
		
		\emph{(Sie dürfen, falls erwünscht, $n=3$ annehmen.)}
		\item[(iv)*] $\mathrm{GL}(n)\subset \R^{n\times n}$ ist offen.
		\item[(v)*] Sei $m\in \N$. Dann ist der Rang $\rk\colon \R^{n\times m} \to  \R, A \mapsto \rk(A)$ eine unterhalbstetige Funktion.
		%\item $O(n)$ besteht aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten.
		\item[(vi)*] $O(n)$ besteht aus genau zwei Zusammenhangskomponenten.
	\end{enumerate}
	\emph{(Zur Erinnerung: Eine Matrix $A\in \R^{n\times n}$ ist orthogonal, wenn  $A^tA=I_n$ gilt. Hierbei bezeichnet $I_n$ die $n$-dimensionale Einheitsmatrix und $A^t$ die Transponierte von $A$.)}
	\\
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.







	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 24.\ April 2020, 09:54 Uhr}, per E-Mail an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}