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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}

%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
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\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 3\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.5cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Proposition~4.64 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.\\

	\textbf{Aufgabe 3.1} (Regeln von de l'Hospital) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 1 + 1 Punkte]}
	
	 Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte (falls sie existieren):
		\begin{align*}
		\text{(i)}\quad  & \lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{x-a}{\log\abs{\frac x a}} \quad \text{mit } a\in\R\setminus\setbr{0}.
		& \quad \text{(ii)}\quad  &
		\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{\log(x^m+1)}{\log(x^n)} \quad \text{mit } m,n\in\N.\\
		\text{(iii)}\quad  & \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\cos(\mathrm{e}^x-1)-1}{\mathrm{e}^{\sin(x)}-x-1}.
		& \quad \text{(iv)}\quad  &
		\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{\sin(x)} - \frac{1}{x} \right).
		\end{align*}
		
	\emph{(Hinweis: Sie d\"urfen verwenden, dass $\sin'(x) = \cos(x)$ und $\cos'(x) = -\sin(x)$ gelten.)}
	
	\
	\\
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\

	\textbf{Aufgabe 3.2} (Konvexität und zweite Ableitung) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
	Sei $I \subset \R$ ein Intervall. 
	Eine Funktion $f\colon I\to\R$ heißt \textit{konvex}, wenn f\"ur alle $x_1,x_2\in I$ 
	und alle $\lambda\in \R$ mit $0\le\lambda\le1$
	\begin{align*}
		f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)
	\end{align*}
	gilt.
	(Die Funktion hei\ss{}t \textit{konkav}, wenn $-f$ konvex ist.) 
	
	Sei $I\subset \R$ ein offenes Intervall und sei $f\colon I\to\R$ eine zweimal differenzierbare Funktion.
	
	Zeigen Sie:
	$f$ ist genau dann konvex, wenn $f''(x)\geq 0$ f\"ur alle $x\in I$ gilt. 
	\\
	
	\emph{(Hinweise: 
		Nehme für die Hinrichtung zunächst an, dass $f''(x_0)<0$ für ein $x_0\in I$, und betrachte die Funktion $\varphi(x)=f(x)-f'(x_0)(x-x_0)$.
		Wende für die Rückrichtung den Mittelwertsatz auf die Intervalle $(x_1,x)$ und $(x,x_2)$ an, wobei $x$ geeignet zu wählen ist.)}
	
	\
	\\
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\textbf{Aufgabe 3.3} (Konvexität und Beschränktheit) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	Seien $r\in \R_{>0}$ und $I=(-r,r)$.
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		
	\item Sei $a\in \R_{>0}$ und sei $f\colon I\to \R$ eine konvexe Funktion mit $f'(0)>a$ und $f(0)=0$. 
	
	Zeigen Sie: $f(x)>ax$ für alle $x\in (0,r)$.
	
	\item Sei $u\colon I\to\R$ eine konvexe Funktion mit $\norm{u}_{L^\infty(I)}\leq M$ für ein $M\in \R_{>0}$. 
	
	Zeigen Sie: Falls $u$ in $0$ differenzierbar ist, dann gilt $\abs{u'(0)}\leq\frac{2M}{r}$.
	
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.		
		


	\newpage
	\textbf{Aufgabe 3.4} (Eigenwerte symmetrischer Matrizen) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 1 + 1 + 2* Punkte]}
	
	Sei $n\in \N_{>0}$ und sei $A\in \R^{n\times n}$ symmetrisch. Betrachte die Abbildung $\varphi\colon \R^n\to \R, x\mapsto \sprod{Ax,x}$.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Es bezeichne $\sphere^{n-1}$ die Einheitssphäre $\{x\in\R^n\colon \norm{x}=1\}$.
		
		Zeigen Sie, dass $x_0\in \sphere^{n-1}$ mit $\varphi(x_0) = \underset{x\in\sphere^{n-1}} \inf\varphi(x)$ existiert.
		
		\item Sei $y_0 \in \R^n$ senkrecht zu $x_0$, d.\,h.\ es gelte $\sprod{x_0,y_0}=0$. 
		
		Zeigen Sie: Es gibt ein $\varepsilon >0$ und eine stetig differenzierbare Abbildung $\alpha\colon(-\varepsilon,\epsilon)\to\sphere^{n-1}$ mit $\alpha(0)=x_0$ und $\dot{\alpha}(0)=y_0$.
		
		\item Zeigen Sie, dass $Ax_0$ senkrecht zu $x_0^\bot$ steht, d.\,h.\ es gilt $\sprod{Ax_0,z}=0$ für alle $z\in \R^n$ mit $\sprod{x_0,z}=0$.
		
		\item Zeigen Sie, dass $x_0$ ein Eigenvektor der Matrix $A$ ist, d.\,h.\ es existiert $\lambda \in \R$ mit $Ax_0=\lambda x_0$.
		
		\item[(v)*] Zeigen Sie, dass eine orthonormale Basis des $\R^n$ existiert, die aus Eigenvektoren der Matrix $A$ zu reellen Eigenwerten besteht.
		

	\end{enumerate}

	
	\emph{(Hinweis: Für die Beweise aller Aufgabenteile dürfen keine Sätze aus der Linearen Algebra über Eigenvektoren reeller symmetrischer Matrizen angewandt werden.)}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	




	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 08.\ Mai 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}