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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}

%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

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\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
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\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 4\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.5cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Theorem~4.94 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.\\

	\textbf{Aufgabe 4.1} (Partialbruchzerlegung) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 1 + 1 Punkte]}
	
	  F\"uhren Sie die Partialbruchzerlegung f\"ur die folgenden reellen rationalen Funktionen durch, d.\,h.\ finden Sie für jede der folgenden Funktionen $\frac{p(x)}{q(x)}$ die komplexen Zahlen $c_{ij}$, sodass
	  $$\frac{p(x)}{q(x)}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m_i}\frac{c_{ij}}{(x-\zeta_i)^j}.$$
	  Hierbei bezeichnen $\zeta_i$, $1\leq i\leq n$, die paarweise verschiedenen komplexen Nullstellen von $q(x)$ mit Vielfachheit $m_i$.
	  \vspace{-0.4cm}
	 \begin{align*}
	 \text{(i)}\quad\frac{\displaystyle 18x^2+15x-4}{\displaystyle (3x+1)^2(x-2)}, \qquad  
	 &\,\text{(ii)}\quad\frac{\displaystyle x}{\displaystyle (x-2)^3}, \\
	 \text{(iii)}\quad\;\;\frac{\displaystyle 6x^2-12}{\displaystyle (x^2-4)(x+1)}, \qquad 
	 &\,\text{(iv)}\quad\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^4+4}.
	 \end{align*}
	 \emph{(Hinweis: Sie können wie beim Beweis der Existenzaussage in Proposition~4.90 vorgehen.)}
	
	\
	\\
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\

	\textbf{Aufgabe 4.2} (Gronwallsches Lemma und stetige Differenzierbarkeit) \hfill 	\textbf{[3 + 1 Punkte]}
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item 
		Sei $\phi\colon [0,1] \to [0,1]$ eine Funktion mit $\phi(t) \leq t\cdot \sup\limits_{\tau\in [0,t]} \phi(\tau).$
		

		Zeigen Sie, dass $\phi(t) = 0$ f\"ur alle $t\in[0,\tfrac12]$ gilt.
		\item
		Zeigen Sie, dass die Funktion \begin{align*}f\colon &\R\to\R,\\ &x \mapsto 
			\begin{cases}
				x^2\,\cos\!\left(\frac{1}{x}\right), \quad&\, \text{f\"ur } x\neq 0, \\
				0, \quad&\, \text{f\"ur } x=0,
			\end{cases}\end{align*}
		\"uberall differenzierbar, aber nicht \"uberall stetig differenzierbar ist.
	\end{enumerate}
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\newpage

	\textbf{Aufgabe 4.3} (Zweite Ableitungen) \hfill 	\textbf{[2 + 2 + 2* Punkte]}
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie f\"ur eine zweimal differenzierbare Funktion $f\colon\R\to\R$
		die Identit\"at
		\begin{align*}
		f''(x) = \lim\limits_{t\rightarrow 0} \frac{f(x+t) + f(x-t) - 2 f(x)}{t^2}.
		\end{align*}
		
		\item Für eine Abbildung $u\colon A\to \R$, wobei $A$ einen topologischen Raum bezeichnet, nennen wir die Menge $\mathrm{supp}\ u:=\overline{\setbr{x\in A\colon u(x)\neq 0}}$ den \emph{Träger} (englisch: ``support'') von $u$.
		
		Sei $\varphi\colon \R\to \R_{\geq 0}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Zeigen Sie, dass für alle $x\in \R$ mit $\varphi(x)>0$\vspace{-2mm}
		$$\frac{(\varphi'(x))^2}{\varphi(x)}\leq 2 \norm{\varphi''}_{L^\infty}\vspace{-3mm}$$
		gilt.
		
		\emph{(Hinweis: Betrachten Sie für $\varepsilon >0$ ein Maximum der Funktion $\tfrac{(\varphi'(x))^2}{\varphi(x)+\varepsilon}$.)}
		
		\item[(c)*] Sei $\Omega \subset \R$ ein offenes Intervall und sei $g\in C^2(\Omega)$.
		
		Zeigen Sie, dass f\"ur $x_0\in \Omega$ und 
		$A \in \R$ %\cong L(\R,L(\R,\R)) \cong L_2(\R,\R)
		die folgenden Aussagen \"aquivalent sind:\vspace{-2mm}
		\begin{enumerate}[(i)]
		\item $A= g''(x_0)$,
		\item $g(x) = g(x_0) + g'(x_0)\cdot(x-x_0) 
		+ \frac{A}{2}\cdot(x-x_0)^2 + o(|x-x_0|^2).$
		%= f(x_0) + Df(x_0)\langle x-x_0 \rangle 
		%+ A\langle x-x_0,x-x_0 \rangle + o(|x-x_0|^2)$\\
		%$
		%$\phantom{f(x)} 
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	

	\
	
	\textbf{Aufgabe 4.4} (Taylorsche Formeln) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 1 + 1 Punkte]}
	
	Sei $f\colon (-1,\infty)\to \R, x\mapsto \sqrt{1+x}$.\vspace{-2mm}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
	\item Sei $n\in \N$. Ermitteln Sie die Koeffizienten 
	\vspace{-2mm}
	$$a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}, \quad 1\leq k\leq n,\vspace{-2mm}$$
		
	der Taylorentwicklung von $f$ in $x_0=0$.
		
	\item Berechnen Sie den Konvergenzradius $r$ der Taylorreihe
	\vspace{-2mm}
	$$T(f,0)(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k.	\vspace{-2mm}$$

	
	\item Sei $x\in \R$ mit $|x|<r$. Zeigen Sie, dass $(R_n(f,0)(x))_n$ für $n\to\infty$ gegen $0$ konvergiert. Hierbei bezeichnet $R_n(f,0)(x)$ das Restglied aus Theorem~4.94. Folgern Sie, dass $f(x)=T(f,0)(x)$ gilt.
	
	\item Sei $a \in \R_{>0}$ und sei $g\colon (-a,\infty)\to \R, x\mapsto \sqrt{a+x}$. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile (i) bis (iii) für $g$ anstelle von $f$.
	
	\emph{(Hinweis: Verwenden Sie Ihre Ergebnisse für die Funktion $f$ aus den Aufgabenteilen (i) bis (iii) anstatt die Berechnungen für $g$ zu wiederholen.)}
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.		
		
		
		
		
		
		
		
		


	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 15.\ Mai 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}