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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}

%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
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\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
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\newcommand{\einschub}[1]{\todo[inline, inlinewidth=5cm, noinlinepar]{#1}}

\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 5\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.5cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Korollar~5.9 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.\\
	
	\textbf{Aufgabe 5.1} (Integrabilität und Lipschitzstetigkeit) \hfill 	\textbf{[4 + 2* Punkte]}
	
	Seien $a,b\in \R$ mit $a<b$ und sei $I=[a,b]$. Sei ferner $f\colon I\to \R$ eine lipschitzstetige Funktion mit Konstante $L\geq 0$, d.\,h.\ es gelte\vspace{-1mm}
	\[ |f(x) -f(y)| \leq L\cdot |x-y|\vspace{-2mm}\]
	für alle $x,y\in I$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei $P$ eine Partition von $I$. Zeigen Sie, dass\vspace{-1mm}
		\[\sigma(f,P) \leq L\cdot\eta(P)\cdot |b-a|\vspace{-1mm}\]
		gilt. Folgern Sie, dass $f$ das Riemannsche Integrabilitätskriterium erfüllt.
		\item[(ii)*] Untersuchen Sie hölderstetige Funktionen auf Riemannsche Integrabilität.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 5.2} (Riemann Integrabilität) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 1 + 1 Punkte]}
	
	Welche der folgenden Funktionen sind Riemann integrabel?
	\begin{enumerate}[(a)]	
		\item $f\colon [a,b] \to \R, x \mapsto \sin(x)$, mit $a,b\in \R$ und $a<b$.
		\item 		$g\colon [0,2020] \to \R,\quad x\mapsto
		\begin{cases}
		1, & x\in[n,n+1), \quad n\text{ gerade},\\
		-1, & x\in[n,n+1), \quad n\text{ ungerade}.
		\end{cases}$
		\item 		$u\colon [0,1] \to \R,\quad  x \mapsto
		\begin{cases}
		\sin\!\left(\frac{1}{x}\right), & x>0,\\
		0, & x=0.
		\end{cases}$
		
		\emph{(Hinweis: Betrachten Sie für $\varepsilon>0$ die beiden Intervalle $[0,\tfrac{\varepsilon}{4}]$ und $[\tfrac{\varepsilon}{4},1]$.)}
		\item 		$v\colon [-1,1] \to \R,\quad x\mapsto
		\begin{cases}
		1, & x\in\R\setminus\Q,\\
		0, & x\in\Q.
		\end{cases}$
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	
	\newpage
	
	\textbf{Aufgabe 5.3} (Riemannsches Integral) \hfill 	\textbf{[4 + 2* Punkte]}\\
	Sei $f\colon \R\to \R, x\mapsto x^2$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei $a\in \R_{>0}$ und setze $g=f|_{[0,a]}$. Berechnen Sie \vspace{-2mm}
		$$\int_{0}^a g(x)\,dx.\vspace{-2mm}$$
		
		\item[(ii)*] Seien $a,b\in \R$ mit $a\leq b$ und setze $h=f|_{[a,b]}$.
		Berechnen Sie \vspace{-2mm}
		$$\int_{a}^b h(x)\,dx.\vspace{-2mm}$$
		
	\end{enumerate}
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\
	
	\textbf{Aufgabe 5.4} (Gleichmäßige Konvergenz) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 2 Punkte]}
	
	Sei $K$ ein kompakter metrischer Raum und sei $f_n\colon K \rightarrow\R$ eine monoton fallende Folge stetiger Funktionen, d.\,h.\ es gelte
	\[f_n(x)\geq f_m(x)\]
	für alle $x\in K$ und alle $m,n\in \N$ mit $m\geq n$. Sei ferner $g\colon K \rightarrow \R$ stetig und konvergiere $(f_n)_n$ punktweise gegen $g$ für $n\rightarrow\infty$. 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei $h_n=f_n-g$ für alle $n\in \N$. Zeigen Sie, dass $(h_n)_n$ eine monoton fallende Folge stetiger Funktionen ist, die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert.
		
		\item Sei $\varepsilon > 0$. Zeigen Sie, dass die Familie $(A_n)_{n\in \N}$ gegeben durch $A_n:=h_n^{-1}((-\infty,\varepsilon))$ eine offene Überdeckung von $K$ ist.
		
		\item Folgern Sie, dass $f_n \rightrightarrows g$ für $n\rightarrow\infty$ gilt.
	\end{enumerate}

	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.		
		
		
		
		
		
		
		
		


	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 22.\ Mai 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}