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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}
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\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}

%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
\newcommand{\gut}[0]{\note[id=Komm.]{Gut!}}
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\newcommand{\einschub}[1]{\todo[inline, inlinewidth=5cm, noinlinepar]{#1}}

\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 6\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.5cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Korollar~5.18 vorausgesetzt. Zudem darf für alle Aufgaben Proposition~5.25 ohne Beweis angenommen werden. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	Sei $I$ stets ein Intervall $[a,b]\subset \R$ mit $a<b$.\\
	
	\textbf{Aufgabe 6.1} (Konvergenz der $L^p$-Norm) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
	Sei $f\in C^0(I)$. Für $p\in \R_{\geq 1}$ definieren wir\vspace{-2mm}
	$$\norm{f}_{L^p}:=\brackets{\int_{a}^b|f(x)|^p\, dx}^{\frac 1p}\!\!.\vspace{-3mm}$$
	Wir nennen $\norm{\cdot}_{L^p}$ die \emph{$L^p$-Norm}.\vspace{2mm}
	
	Zeigen Sie:
	$\underset{p\to\infty}{\lim} \norm{f}_{L^p}=\norm{f}_{L^\infty}$.\\
	
	\emph{(Hinweis: Sei $x_0\in I$ mit $|f(x_0)|=\underset{x\in I}{\sup} |f(x)|$. Betrachten Sie $f$ auf einer geeigneten Umgebung von $x_0$.)}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 6.2} ($L^1$-Norm) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	\begin{enumerate}[(i)]	
		\item Zeigen Sie, dass $\norm{\cdot}_{L^1}$ eine Norm auf dem $\R$-Vektorraum $C^0(I)$ definiert.
		
		\emph{(Hierbei ist $\norm{\cdot}_{L^1}$ wie in Aufgabe~6.1 für $p=1$ definiert.)}
		
		\item Sei $w\in C^0(I)$. Zeigen Sie, dass \vspace{-2mm}
		$$M\colon\  (C^0(I),\norm{\cdot}_{L^1})\to (C^0(I),\norm{\cdot}_{L^1}),\ \  v\mapsto w\cdot v\vspace{-2mm}$$
		ein stetiger linearer Operator ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 6.3} (Höldersche und Minkowskische Ungleichung) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	Seien $1\leq p,q\leq \infty$ konjugierte Exponenten mit $\tfrac 1p + \tfrac 1q = 1$. Seien ferner $f,g \in C^0(I)$. 
	
	Zeigen Sie \vspace{-4mm}
	
	$$\underset{I}{\int}|f\cdot g|\leq \norm{f}_{L^p}\cdot \norm{g}_{L^q}$$ 
	und\vspace{-1mm}
	$$\norm{f+g}_{L^p}\leq \norm{f}_{L^p}+\norm{g}_{L^p}.$$
	
	\emph{(Erinnerung: Beide Ungleichungen wurden in Theorem~2.15 für $\R^n$ bewiesen.)}\\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\newpage
	
	\textbf{Aufgabe 6.4} (Ableitung und gleichmäßige Konvergenz) \hfill 	\textbf{[2 + 2 + 2* Punkte]}

	\begin{enumerate}[(a)]		
		\item Sei die Funktionsfolge $(g_n)_n$ für $n>0$ durch \vspace{-2mm}
		$$g_n\colon [-1,1]\to \R, x\mapsto \sqrt{\frac 1n + x^2}\vspace{-2mm}$$
		gegeben. Zeigen Sie:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $(g_n)_n$ konvergiert gleichmäßig gegen eine nicht differenzierbare Funktion $g$.
			
			\item $(g'_n)_n$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $v$.
		\end{enumerate}
				
				\item Sei die Funktionsfolge $(f_n)_n$ durch \vspace{-2mm}
		$$f_n\colon [-1,1]\to \R, x\mapsto \frac{x}{1+n^2x^2}\vspace{-2mm}$$
		gegeben. Zeigen Sie:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $(f_n)_n$ konvergiert gleichmäßig gegen eine stetig differenzierbare Funktion $f$.
			
			\item $(f'_n)_n$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $u$.
			
			\item $f'\neq u$.
		\end{enumerate}
	\item[(c)] \hspace{-0.24cm}* Zeichnen Sie aussagekräftige Bilder zu den angegebenen Beispielen.
	\end{enumerate}

	\emph{(Vergleichen Sie die in dieser Aufgabe gewonnenen Erkenntnisse mit Theorem~4.47.)}

	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.		
		
		
		
		
		
		
		
		


	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 29.\ Mai 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}