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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}
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\newcommand{\sprod}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
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\newcommand{\sphere}[0]{\mathbb{S}}
\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}

%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
\newcommand{\gut}[0]{\note[id=Komm.]{Gut!}}
\newcommand{\sehrgut}[0]{\note[id=Komm.]{Sehr gut!}}
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\newcommand{\fehlerkurz}[1]{\note[id=Fehler]{#1}}
\newcommand{\fehlerlang}[2]{\added[id=Fehler,comment={#2}]{#1}}
\newcommand{\einschub}[1]{\todo[inline, inlinewidth=5cm, noinlinepar]{#1}}

\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 7\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Beispiel~5.57 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 7.1} (Integration) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 1 + 1 Punkte]}
	
		Bestimmen Sie:
		\begin{enumerate}[(a)]
			\item $\displaystyle\int\limits_{I} \frac{18e^{3x}+15e^{2x}-4e^x}{(3e^x+1)^2\cdot (e^x-2)}\,dx$, $I=\left[\log\!\brackets{\frac83},\log(3)\right]$.
			\item $\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty} x^3\cdot e^{-x^2}\,dx$.
			\item $\displaystyle\int\limits_{-\sqrt{\frac \pi 2}}^{\sqrt{\pi}} \cos(t^2)\cdot|t|\,dt$.
			\item $\displaystyle\int\limits \sin(\theta)\cdot\cos(\theta)\,d\theta$.
		\end{enumerate}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 7.2} (Integralidentität) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
	Sei $f\in C^0(\R)$. Zeigen Sie, dass für alle $x\in\R$ die Identität
	\[ \int\limits_{0}^x f(t)(x-t) \,dt = \int\limits_{0}^x \left(\int\limits_{0}^u f(t)\,dt\right)du.\vspace{-2mm}\]
	gilt.
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\newpage
	
	\textbf{Aufgabe 7.3} (Integralungleichung) \hfill 	\textbf{[4 + 2* Punkte]}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Seien $a,b\in\R$ mit $a<b$ und sei $f\in C^1([a,b])$ mit $f(a)=0$ und $f'(x)\geq 0$ für alle $x\in[a,b]$. Beweisen Sie:
		\[\int\limits_a^b |ff'| \leq \frac{b-a}{2} \int\limits_a^b \left(f'\right)^2.\]
		\emph{(Hinweis: Wenden Sie die Höldersche Ungleichung auf $1\cdot f'$ an.)}
		\item[(ii)*] Beweisen Sie, dass die obige Ungleichung auch ohne die Annahme $f'(x)\geq 0$ für alle $x\in[a,b]$ richtig bleibt. 
	\end{enumerate}

	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\
	
	\textbf{Aufgabe 7.4} (Schnell oszillierende Funktionen) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
	Seien $a,b\in \R$ mit $a<b$ und sei $f\in R([a,b],\R)$. Zeigen Sie:
	\[
	\lim_{k\to \infty}\int\limits_a^b f(x)  \sin(kx) \,dx = 0.
	\]
	\textit{(Hinweis: Betrachte Sie zun\"achst den Fall, dass $f$ eine Treppenfunktion ist.)}



	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.		
		
		
		
		
		
		
		
		


	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 05.\ Juni 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}