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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}

%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

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\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
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\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 9\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Bemerkung~6.3 vorausgesetzt. %Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. 
	Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 9.1} (Gammafunktion) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
	Die \emph{Gammafunktion} $\Gamma\colon \R_{>0}\to\R$ ist durch
	$$\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt\vspace{-2mm}$$ definiert.
	
	Zeigen Sie:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\Gamma$ ist wohldefiniert, d.\,h.\ das uneigentliche Integral $\displaystyle\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt$ konvergiert für alle $x>0$.
		
		\item Es gilt $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ für alle $x\in \R_{>0}$ und $\Gamma(n+1)=n!$ für alle $n\in \N$.
		
		\item $\Gamma$ ist unendlich oft differenzierbar mit
		$$\Gamma^{(n)}(x)=\int_0^\infty (\log t)^ne^{-t}t^{x-1}\,dt$$
		für alle $n\in \N$ und alle $x>0$. 
	\end{enumerate}	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 9.2} (Definition der Ableitung) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Seien $E,F$ Banachräume, sei $\Omega\subset E$ offen und sei $f\colon \Omega \to F$ in $x_0\in \Omega$ differenzierbar. 
		
		Zeigen Sie, dass es \emph{genau} eine Abbildung $A\in L(E,F)$ gibt, die
		$$f(x)=f(x_0)+A\sprod{x-x_0}+o(\norm{x-x_0})$$
		für alle $x \in \Omega$ erfüllt.
		
		\emph{(Dies zeigt, dass die Ableitung wohldefiniert ist.)}
		\item Sei \vspace{-3mm}
		$$g\colon \R^3 \to \R^2,\quad \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}y(x+z)^2+7\\z+\frac13(x+y)^3\end{pmatrix}\!.\vspace{-1mm}$$
		Zeigen Sie, dass $g$ in $\R^3$ differenzierbar ist, und finden Sie die Ableitung $Df$ von $f$.
	\end{enumerate}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\newpage
	
		\
	
	\textbf{Aufgabe 9.3} (Ableitungen komplexer Funktionen) \hfill 	\textbf{[3 + 1 Punkte]}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Seien $u,v\colon \R^2\to \R$ und sei
		$f\colon \C\to \C$ eine differenzierbare Funktion, die für alle $x,y \in \R$ durch\vspace{-2mm} $$f(x+iy)= u(x,y)+iv(x,y)\vspace{-2mm}$$
		 gegeben ist. 
		 
		 Zeigen Sie, dass $u$ und $v$ partiell differenzierbar sind und die beiden Gleichungen 
		 $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \text{ \ \ und \ \ } \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$
		 erfüllen. Folgern Sie, dass für alle $x_0,y_0\in \R$ die Ableitung von $f$ in $x_0+iy_0$ durch
		 $$f'(x_0+iy_0)\sprod{u}=\brackets{\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)}\cdot u$$
		 für alle $u\in \C$ gegeben ist.
		 
		 \emph{(Hinweis: Betrachten Sie die beiden Differenzenquotienten $\frac{f(z+t)-f(z)}{|t|}$ und $\frac{f(z+it)-f(z)}{|it|}$ für $z\in \C$ und $t\in \R$.)}
		
		\item  Zeigen Sie, dass $k\colon \C\to \C,\ z\mapsto \overline{z}$ nicht differenzierbar ist.
	\end{enumerate}
	
	
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.		
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 9.4} (Stetigkeit und Differenzierbarkeit) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
	Seien $E$ und $F$ Banachräume.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 	Sei $\Omega\subset E$ offen und sei $f\colon \Omega \to F$ in $x_0\in \Omega$ differenzierbar. 
		
		Zeigen Sie, dass $f$ in $x_0$ stetig ist.
		
		\item Sei $\Omega$ wie in Definition~5.71~(i) und sei $f\colon \Omega \to E$ differenzierbar in $x_0 \in \Omega$.
		
		Zeigen Sie, dass $f$ in $x_0$ partiell differenzierbar ist.
		
		\item Sei \vspace{-3mm}
		$$g\colon \R^2\to \R, \quad (x,y)\mapsto\begin{cases}\frac{2xy}{x^2+y^2},&\text{ falls } (x,y)\neq  (0,0),\\0,&\text{ falls } x=y=0.\end{cases}\vspace{-1mm}$$
		Zeigen Sie, dass $g$ partiell differenzierbar, aber nicht stetig ist.
		
		\emph{(Insbesondere ist $g$ partiell differenzierbar, aber nicht differenzierbar.)}
		
	\end{enumerate}

	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 19.\ Juni 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}