<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}
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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\newcommand{\sprod}[1]{\left&lt;#1\right&gt;}
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\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
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\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 10\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&amp;{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&amp;{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&amp;{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&amp;{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Theorem~6.17 vorausgesetzt. %Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. 
	Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 10.1} (Ableitungen und Gradienten) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	Sei $n\in \N_{&gt;0}$. Überprüfen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie die Ableitung sowie den Gradienten in allen Punkten, in denen die jeweilige Funktion differenzierbar ist.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $f\colon \R^n\to \R,\ x\mapsto \norm{x}$.
		
		\item $g\colon \R^n\setminus\{0\}\to \R^n,\ x\mapsto \frac{x}{\norm{x}}$.
	\end{enumerate}	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 10.2} (Eigenwerte symmetrischer Matrizen II) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	Sei $n \in \N_{&gt;0}$ und sei $A \in \R^{n\times n}$ symmetrisch. Betrachte die Abbildung\vspace{-2mm}
	$$\varphi\colon\R^n\setminus\{0\} \to \R, \ x\mapsto \frac{\sprod{Ax,x}}{\norm{x}^2}.\vspace{-1mm}$$
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass es ein $x_0\in \sphere^{n-1}$ mit\vspace{-2mm} $$\phi(x_0)=\inf\limits_{t\in \R^n\setminus\{0\}} \varphi(t)\vspace{-2mm}$$ gibt, d.\,h.\ die Funktion $\varphi$ nimmt ihr globales Minimum in $\sphere^{n-1}$ an. 
		Folgern Sie, dass $D\varphi(x_0)=0$ gilt.
		
		\item Berechnen Sie $D\phi(x)\langle y\rangle$ für $x\in\R^n\setminus\{0\}$ und $y\in\R^n$. Folgern Sie, dass $x_0$ ein Eigenvektor der Matrix $A$ ist. Was ist der zugehörige Eigenwert?
	\end{enumerate}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
		\
	
	\textbf{Aufgabe 10.3} (Wer lebt wo?) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
	Für ihre Vorbereitung auf die Analysis-Klausur findet eine Studentin folgende Zeilen in ihren Mitschriften:\vspace{2mm}
	
	
	
	{\it Seien $n,m\in \N_{&gt;0}$, sei $A\colon \R\times \R \to \R^n$ eine stetige bilineare Abbildung und seien $f,g \in C^1(\R^m)$. Dann gilt für $h(x):=A\sprod{f(x),g(x)}$
	\begin{align*}Dh(x_0)\sprod{y}&amp;=D(A\circ[f\times g]\circ \Delta)(x_0)\sprod{y}&amp;\\
	&amp;=\Big(DA\big([f\times g](\Delta(x_0))\big)\circ D([f\times g]\circ \Delta)(x_0)\Big)\sprod{y}\\
	&amp;=\big(DA(f(x_0),g(x_0))\circ D[f\times g](\Delta(x_0))\circ D\Delta(x_0)\big)\sprod{y}\\
	&amp;=\big(DA(f(x_0),g(x_0))\circ D[f\times g](\Delta(x_0))\big)\sprod{(y,y)}\\
	&amp;=DA(f(x_0),g(x_0))\sprod{(Df(x_0)\sprod{y},Dg(x_0)\sprod{y})}\\
	&amp;=A\sprod{f(x_0),Dg(x_0)\sprod{y}}+A\sprod{Df(x_0)\sprod{y},g(x_0)}.\end{align*}}
	Helfen Sie der Studentin, diesen Beweis wieder zu verstehen, indem Sie
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item die fehlenden Definitionen der auftretenden Funktionen $\Delta$ und $[f\times g]$ ergänzen.
		
		\item für die folgenden Ausdrücke angeben, zu welchen Räumen sie gehören. Benutzen Sie dabei soweit möglich die Schreibweisen $C^{\ldots}(\ldots)$ und $L_{\ldots}(\ldots)$ anstatt $\Abb(\ldots)$.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item $x_0 \in $
		
		\item $y \in $
		
		\item $A \in $
		
		\item $[f \times g] \in $
		
		\item $\Delta \in $
		
		\item $h \in $
		
		\item $[f\times g]\circ \Delta \in $
	
		\item $D([f\times g]\circ \Delta)(x_0) \in $
		
		\item $DA(f(x_0),g(x_0)) \in $
		
		\item $D[f\times g](\Delta(x_0)) \in $
		
		\item $D\Delta(x_0) \in $
		
		\item $Dh(x_0) \in $
		
		\item $Df\in $
		
		\item $A\sprod{Df(x_0)\sprod{y},g(x_0)} \in $
		
	\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen. Lösungen können auch direkt oben in der Aufgabe eingetragen werden.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 10.4} (Interpolationsungleichung II) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}	
	
	Für eine Funktion $f\colon \R^2\to \R$ schreiben wir $\displaystyle\int_{\R^2}f$ für $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x,y) \, dx\, dy$.\vspace{3mm}
	
	In einem alten Buch hat ein Student auf der Suche nach der Lösung zu einer Übungsaufgabe folgenden Beweis gefunden, in dem leider einige Zeilen nicht mehr zu lesen waren:\vspace{3mm}

	
	

	
	\emph{Sei $u \in C^1(\R^2)$ eine Funktion mit kompaktem Träger. }
	$$u^2(x,y)=2\int_{-\infty}^x u(t,y)\frac{\partial u}{\partial x}(t,y)\, dt\leq 2\int_{-\infty}^\infty |u(t,y)|\norm{\nabla u(t,y)}\,dt.$$
	\emph{Daraus folgt} 
	\begin{align*}
		\int_{\R^2}u^4 &amp; \leq 4\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\brackets{\int_{-\infty}^\infty|u(t,y)|\norm{\nabla u(t,y)}dt}\brackets{\int_{-\infty}^\infty|u(x,s)|\norm{\nabla u(x,s)}ds}dx\,dy\\
		&amp;=	4\brackets{\int_{\R^2}|u|\norm{\nabla u}}^2\\
		&amp;\leq 4\brackets{\int_{\R^2}u^2}\brackets{\int_{\R^2}\norm{\nabla u}^2}.
 	\end{align*}
	
	
	Formulieren Sie die Aussage, die hier bewiesen wurde, und begründen Sie die einzelnen Beweisschritte, die hier durchgeführt wurden.
	
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 26.\ Juni 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}</pre></body></html>