\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor}
\usepackage[left=2cm,right=3.5cm,top=0cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage[markup=underlined]{changes}

\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\sprod}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{\F}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{\sphere}[0]{\mathbb{S}}
\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
\newcommand{\gut}[0]{\note[id=Komm.]{Gut!}}
\newcommand{\sehrgut}[0]{\note[id=Komm.]{Sehr gut!}}
\newcommand{\kommentarkurz}[1]{\note[id=Komm.]{#1}}
\newcommand{\kommentarlang}[2]{\added[id=Komm.,comment={#2}]{#1}}
\newcommand{\fehlerkurz}[1]{\note[id=Fehler]{#1}}
\newcommand{\fehlerlang}[2]{\added[id=Fehler,comment={#2}]{#1}}
\newcommand{\einschub}[1]{\todo[inline, inlinewidth=5cm, noinlinepar]{#1}}

\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 11\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Bemerkung~6.36 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. 
	Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Definition.} Seien $E,F$ Banachr\"aume, sei $\Omega \subset E$ offen und sei $f\colon \Omega \to F$. Dann hei"st $f$ in $x\in \Omega$ \emph{Gâteaux-differenzierbar}, falls $A\in L(E,F)$ existiert, sodass f\"ur alle $h\in E$
	$$\lim_{t\to 0} \frac{1}{t} ( f(x+th)-f(x)-A \langle th \rangle ) = 0$$
	gilt. (Hierbei nimmt $t$ Werte in $\R$ an.) Wir nennen $A$ die  \emph{Gâteaux-Ableitung} von $f$ in $x$ und bezeichnen diese mit $f'_G(x)$. Ist $f$ in jedem Punkt $x \in \Omega$ Gâteaux-differenzierbar, so hei"st $f$ \emph{Gâteaux-differenzierbar} und die Abbildung $x\mapsto f'_G(x)$ hei"st \emph{Gâteaux-Ableitung} von $f$.
	
	Die Funktion $f$ hei"st in $x\in \Omega$ \emph{Fr\'{e}chet-differenzierbar}, falls $B\in L(E,F)$ existiert, sodass
	\[
	\lim_{h\to 0} \frac{1}{\|h\|} ( f(x+h)-f(x)-B \langle h \rangle ) = 0
	\]
	gilt. (Hierbei nimmt $h$ Werte in $E$ an.) Wir nennen $B$ die  \emph{Fr\'{e}chet-Ableitung} von $f$ in $x$ und bezeichnen diese mit $f'_F(x)$. Analog zu oben definieren wir \emph{Fr\'{e}chet-Dif\-fe\-ren\-zier\-barkeit} und die \emph{Fr\'{e}chet-Ableitung}.
	
	Die Funktion $f$ hei"st \emph{stetig Gâteaux-differenzierbar} bzw.\ \emph{stetig Fr\'{e}chet-dif\-fe\-ren\-zier\-bar}, falls ihre Gâteaux- bzw.\ Fr\'{e}chet-Ableitung stetig ist.\\
	
	\textbf{Aufgabe 11.1} (Gâteaux- und Fréchet-Ableitung) \hfill 	\textbf{[1 + 1 + 2 + 1* Punkte]}
	
	Seien $E,F$ Banachr\"aume, sei $\Omega \subset E$ offen und sei $f\colon \Omega \to F$. 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass $f$ genau dann Fréchet-differenzierbar ist, wenn es differenzierbar ist. Folgern Sie, dass in diesem Fall $f'_F=Df$ gilt.
		
		\item Sei $f$ Fréchet-differenzierbar. Zeigen Sie, dass $f$ Gâteaux-differenzierbar ist und $f'_G =  f'_F$ erfüllt.
		\item
		Sei $f$ stetig Gâteaux-differenzierbar. Zeigen Sie, dass $f$ auch stetig Fr\'{e}chet-dif\-fe\-ren\-zier\-bar ist und $ f'_F = f'_G$ erfüllt.
		
		\emph{(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass $f$ die  Gleichung \vspace{-3mm}\begin{align*}
			f(x+h)-f(x)&= \int\limits_0^1 \frac{\partial }{\partial t} f(x+t h) \,dt
			= \int\limits_0^1 f'_G(x+th)\langle h \rangle \,dt \\
			&= f'_G(x)\langle h \rangle+\int\limits_0^1 (f'_G(x+th)\langle{h} \rangle - f'_G(x)\langle{h}\rangle) \,dt
			\end{align*}\vspace{-5mm}\ \\
			erfüllt.)}
			
		\item\hspace{-2mm}*\hspace{-0.5mm} Erl\"autern Sie in Worten den Unterschied zwischen Gâteaux- und  Fr\'{e}chet-Differenzierbarkeit und finden Sie eine Funktion, die Gâteaux-, aber nicht Fréchet-differenzierbar ist.
			
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 11.2} (Bilineare Abbildungen) \hfill 	\textbf{[2 + 2 + 0* + 2* Punkte]}
	
	Seien $E_1,E_2,F$ Banachräume und sei $A \in L(E_1,E_2;F)$. 
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
		
			\begin{enumerate}[(i)]
				\item $A$ ist stetig.
				
				\item $A$ ist in $0$ stetig.
				
				\item Die Operatornorm $\norm{A}$ ist endlich.
				
				\item Es gibt ein $c\geq 0$, sodass die Abschätzung\vspace{-2mm}
						$$\norm{A\!\sprod{x,y}}\leq c\norm{x}\norm{y}\vspace{-2mm}$$
						für alle $(x,y)\in E_1\times E_2$ gilt.
				
			\end{enumerate}
		
		\item Zeigen Sie, dass $(L(E_1,E_2;F),\norm{\cdot })$ ein Banachraum ist.
		
		\item\hspace{-2.5mm}*\hspace{-0.5mm} Sei $B\colon E_1\times E_2 \to F$ eine lineare Abbildung, sei $(x,y) \in E_1\times E_2$ und sei $\lambda \in \K$. Vergewissern Sie sich, dass\vspace{-4mm}
		\begin{align*}
		A\!\sprod{\lambda x, \lambda y}&=\lambda^2 A\!\sprod{ x,  y}\text{ \ \ und}\\
		B\!\sprod{(\lambda x, \lambda y)}&=\lambda B\!\sprod{( x,  y)}
		\end{align*}	\vspace{-10mm}
		
		gelten.
		
		\item\hspace{-2.5mm}*\hspace{-0.5mm} Zeigen Sie, dass\vspace{-2.5mm}
		$$\psi\colon L(E_1;L(E_2,F))\to L(E_1,E_2;F),\quad \alpha \mapsto \brackets{(x,y)\mapsto (\alpha(x))(y)}\vspace{-2mm}$$
		einen normerhaltenden Vektorraumisomorphismus definiert.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
		\
	
	\textbf{Aufgabe 11.3} (Distanz zum Einheitsquadrat) \hfill 	\textbf{[1 + 3 Punkte]}
	
	Sei $Q=\{(x,y)\in \R^2\colon \max\{|x|,|y|\}=1\}$ das Einheitsquadrat. Wir betrachten die Distanzfunktion\vspace{-2mm}
	$$\Delta\colon \R^2 \to \R,\ a\mapsto \inf_{\xi \in Q}\norm{a-\xi}.\vspace{-2mm}$$
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeichnen Sie die Niveaulinen von $\Delta$, d.\,h.\ die Mengen\vspace{-2mm} $$\mathcal{N}_\Delta(c):=\Delta^{-1}(\{c\})\subset \R^2,\vspace{-2mm}$$
		für $c=0$, $c=\frac 12$, $c=1$ und $c=\frac 32$.
		
		\item Sei $f= \Delta|_{(0,\infty)^2}$. Prüfen Sie $f$ auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie die Ableitung von $f$ in allen Punkten, in denen es differenzierbar ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen. 
	
	\newpage
	
	\textbf{Aufgabe 11.4} (Numerische Suche nach einem Minimum) \hfill 	\textbf{[1 + 1* + 3 + 4* Punkte]}	
	
	Sei $n \in \N_{>0}$ und sei $u\in C^1(\R^n)$. Die Funktion $u$ heißt \emph{koerziv}, falls  $u(x)\to \infty$ für $\norm{x}\to \infty$ gilt. Sei $(\lambda_k)_k$ eine Folge in $[0,1]$ und sei $x_0 \in \R^n$. Die Folge $(x_k)_k$ in $\R^n$ sei rekursiv durch
	$$x_{k+1}:=x_k-\lambda_{k+1}\nabla u(x_k)$$ für alle $k \in \N$ gegeben. Wir sagen, dass $u$ die \emph{Abstiegseigenschaft ab $x_0$ (mit Schrittfaktorfolge $(\lambda_k)_k$)} hat, falls es für alle $k\in \N$ die Ungleichung
	$$u(x_{k+1})\leq u(x_k)-\frac{\lambda_{k+1}}{3}\cdot \norm{\nabla u (x_k)}^2$$
	erfüllt.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei $(\lambda_k)_k$ die konstante Folge mit $\lambda_k=\frac 1{4}$ für alle $k\in \N$. Finden Sie eine koerzive Funktion $s \in C^1(\R^2)$, die für alle $x_0 \in \R^2$ die Abstiegseigenschaft ab $x_0$ hat.
		
		\item\hspace{-2.5mm}*\hspace{-0.5mm}  Sei $(\lambda_k)_k$ die konstante Folge mit $\lambda_k=\frac 1{10}$ für alle $k\in \N$. Finden Sie eine koerzive Funktion $w \in C^1(\R^2)$, die für kein $x_0 \in \R^2\setminus\{0\}$ die Abstiegseigenschaft ab $x_0$ hat.


		\item
		Sei $u\in C^1(\R^n)$ koerziv und sei $x_0\in\R^n$. Wir nehmen an, dass $u$ die Abstiegseigenschaft ab $x_0$ mit konstanter Schrittfaktorfolge $(\lambda_k)_k$ mit $\lambda_k=\frac14$ besitzt. Zeigen Sie, dass eine Teilfolge der Folge $(x_k)_k$ gegen einen kritischen Punkt von $u$ konvergiert. 
		
		\emph{(Hinweis: Zeigen Sie dazu zunächst, dass es für jedes $\epsilon>0$ und jedes $k_0\in\N$ ein $k\ge k_0$ mit $\Vert\nabla u(x_k)\Vert<\epsilon$ gibt.)} 
		
		\item \hspace{-2.5mm}*\hspace{-0.5mm}  Sei $v \in C^1(\R^n)$ koerziv und sei $x_0 \in \R^n$. Für alle $k \in \N$ wählen wir $m\in \N_{>0}$ minimal mit 
		$$v\!\brackets{x_k-\frac{\nabla v (x_k)}{m}}\leq v(x_k)-\frac{\norm{\nabla v(x_k)}^2}{3m}$$
		und setzen $\lambda_{k+1}=\tfrac{1}{m}$. 
		
		Zeigen Sie, dass die Folge $(\lambda_k)_k$ wohldefiniert ist und $v$ die Abstiegseigenschaft ab $x_0$ hat. Folgern Sie, dass $(x_k)_k$ eine Teilfolge besitzt, die gegen einen kritischen Punkt von $v$ konvergiert.
	\end{enumerate}
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 03.\ Juli 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}