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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
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\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 12\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Dieses Blatt ist das letzte reguläre Übungsblatt für dieses Semester. Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Beispiele~6.58 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. 
	Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	
	\textbf{Aufgabe 12.1} (Richtungsableitungen) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}	
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei
		$$f\colon \R^2 \to \R,\ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{cases}\frac{xy^3}{x^2+y^4},& \text{ falls } (x,y)\neq (0,0),\\
		0,& \text{ falls } x=y=0.\end{cases}$$
		Zeigen Sie, dass $f$ in allen Punkten in jede Richtung differenzierbar ist, und geben Sie jeweils alle Richtungsableitungen an.
		
		\item Sei
		$$g\colon \R^2 \to \R,\ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{cases}(x^2+y^2)\sin\!\brackets{\frac{1}{x^2+y^2}},& \text{ falls } (x,y)\neq (0,0),\\
		0,& \text{ falls } x=y=0.\end{cases}$$
		Zeigen Sie, dass $g$ differenzierbar, aber nicht stetig partiell differenzierbar ist.
	\end{enumerate}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
		
	\textbf{Aufgabe 12.2} (Kurven in Niveaumengen) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}	
	
	Sei $n\in \N_{>0}$ und sei $\Phi \in C^1(\R^n)$. Wir setzen $\mathcal{N}_\Phi(0)=\Phi^{-1}(\{0\})$.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item	Sei $\alpha\colon (-1,1)\to \mathcal{N}_\Phi(0)$ differenzierbar.  Zeigen Sie, dass $\dot{\alpha}(t)$ für alle $t \in (-1,1)$ senkrecht zu $\nabla \Phi(\alpha(t))$ steht.
		
		\item Betrachte nun den Fall $n=2$. Sei $u \in C^1(\R)$ und seien $f,\Phi\in C^1(\R^2)$, wobei $\Phi$ durch
		$$\Phi(x,t)=u(x)-t$$
		für alle $(x,t)\in \R^2$ gegeben ist.	
		Sei ferner $z_0 \in \mathcal{N}_\Phi(0)$ so, dass $f|_{\mathcal{N}_\Phi(0)}$ in $z_0$ sein globales Maximum annimmt. 
		
		
		Wir nehmen an, dass $\nabla \Phi(z_0)\neq 0$ ist.
		Zeigen Sie, dass es ein $\lambda\in \R$ gibt, sodass
		$$\nabla f(z_0)=\lambda \nabla \Phi(z_0)\vspace{-2mm}$$
		gilt.
		
		\emph{(Hinweis: Wenden Sie Aufgabenteil (i) auf ein geeignetes $\alpha$ mit $\alpha(0)=z_0$ an.)}
		
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	%\textbf{Aufgabe 12.3} (Vollständigkeit von $C^1$-Räumen) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}
	
	%Seien $E$ und $F$ Banachr\"aume und sei $\Omega\subset E$ offen.
	%Wir definieren den Funktionenraum\vspace{-1mm}
	%\[
	%C^1_0(\overline{\Omega},F):= \setbr{f\in C^1\big(\overline{\Omega},F\big)\colon f|_{\partial \Omega}\equiv 0}.\vspace{-3mm}
	%\]
	%Zeigen Sie, dass
	%\begin{enumerate}[(i)]
	%	\item $C^1(\overline{\Omega},F)$ und
	%	\item $C^1_0(\overline{\Omega},F)$
	%\end{enumerate}
	%Banachr\"aume bezüglich der $C^1$-Norm sind. (Zeigen Sie also insbesondere die Vollst\"andigkeit dieser R\"aume.)\\
	
	%\textit{(Hinweis: Man kann die Abbildung $\gamma \colon C^1(\overline{\Omega},F) \to C^0(\partial \Omega,F),\ f\mapsto f|_{\partial \Omega}$	verwenden und zeigen, dass diese stetig ist.)}

	%\

	%\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen. 
	
	%\
	
	\textbf{Aufgabe 12.3} (Nicht degenerierte und isolierte kritische Punkte) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}	
	
	Seien $m,n \in \N_{>0}$ und sei $\Omega \subset \R^n$ offen. 
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei $u \in C^{1}(\Omega,\R^m)$ und sei $x_0 \in \Omega$, sodass $Du(x_0)$ eine injektive Abbildung ist. Zeigen Sie, dass es ein $\epsilon>0$ gibt, für das $u|_{B_\epsilon(x_0)}$ injektiv ist.
		
		\emph{(Hinweis: Sei $h(x)=u(x)-Du(x_0)\sprod{x-x_0}$. Zeigen Sie zunächst mithilfe des Mittelwertsatzes, dass für alle $L>0$ ein $\delta >0$ existiert, sodass $h|_{B_\delta(x_0)}$ lipschitzstetig mit Konstante $L$ ist.)}
		
		\item Sei $g \in C^2(\Omega)$ und sei $x_0 \in \Omega$ ein kritischer Punkt von $g$. Wir sagen, dass $x_0$ \emph{nicht degeneriert} ist, wenn die Hessematrix $(D_iD_jg(x_0))_{1\leq i,j\leq n}$ von $g$ in $x_0$ invertierbar ist. Weiterhin sagen wir, dass $x_0$ \emph{isoliert} ist, wenn es ein $\epsilon >0$ gibt, sodass in $B_\epsilon(x_0)$ keine weiteren kritischen Punkte von $g$ liegen.
		
		Zeigen Sie, dass jeder nicht degenerierte kritische Punkt von $g$ isoliert ist.
		
		\emph{(Hinweis: Wenden Sie Aufgabenteil (i) auf $\nabla g$ an.)}
		
	\end{enumerate}
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 12.4} (Charakterisierungen von Konvexität) \hfill 	\textbf{[4 + 3* Punkte]}	
	
	Sei $n\in \N_{>0}$ und sei $A\subset \R^n$ konvex. Eine Funktion $f\colon A\to\R$ heißt \emph{konvex}, falls für alle $x,y\in A$ und für alle $t\in [0,1]$ die Ungleichung\vspace{-2mm}
	$$f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y)\vspace{-3mm}$$
	erfüllt ist.
	
	Sei $\Omega\subset \R^n$ offen und konvex.
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $g \in C^1(\Omega)$. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $g$ ist konvex.
			
			\item Für alle $x,y\in \Omega$ gilt $g(y)\geq g(x)+ Dg(x)\sprod{y-x}$.
			
			\item Für alle $x,y\in \Omega$ gilt $(Dg(y)-Dg(x))\sprod{y-x}\geq 0$.
		\end{enumerate}
	
		\emph{(Hinweis: Betrachten Sie die Funktion $\varphi(t)=(1-t)g(x)+tg(y)-g((1-t)x+ty)$.)}
		
		\item\hspace{-4mm} * \hspace{-2mm} Sei $h \in C^2(\Omega)$. Zeigen Sie, dass $h$ genau dann konvex ist, wenn $D^2h(x)\sprod{\xi,\xi}\geq 0$ für alle $x \in \Omega$ und alle $\xi\in \R^n$ gilt.
		
		\emph{(Zeigen Sie zunächst, dass die Gleichung} $$h(x+\xi)=h(x)+Dh(x)\sprod{\xi}+\displaystyle\int_0^1 (1-t)D^2h(x+t\xi)\sprod{\xi,\xi}dt$$ \emph{für alle $x \in \Omega$ und alle geeigneten $\xi\in \R^n$ gilt.)}
		
		%Theorem 6.72 wird benötigt.
	\end{enumerate}
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 10.\ Juli 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}