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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
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\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

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\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

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\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Zusatzübungsblatt\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Die Bearbeitung dieses Zusatzübungsblatts ist freiwillig. Sämtliche hier erreichten Punkte werden auf den Übungsschein der Analysis II angerechnet.
	Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	
	\textbf{Aufgabe 1} (Ableitung der Determinante) \hfill 	\textbf{[1 + 3 + 2 Punkte]}	
	
	Sei $n\in \N_{>0}$. 
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Zeigen Sie, dass die Determinantenfunktion $\det\colon \R^{n\times n}\to \R$ differenzierbar ist.
		
		\emph{(Hinweis: Betrachten Sie $\det(A)=\sum_{\pi \in S_n}\mathrm{sign}(\pi)\prod_{i=1}^n a_{i\pi(i)}$.)}
		
		\item Es bezeichne $I_n$ die Einheitsmatrix in $\R^{n\times n}$ und $\mathrm{tr}\colon \R^{n\times n}\to\R$ die {Spurabbildung}, welche jede Matrix in $\R^{n\times n}$ auf die Summe ihrer Diagonaleinträge abbildet.
		
		Zeigen Sie, dass 
		die Ableitung von $\det$ in $I_n\in \R^{n\times n}$ für alle $A \in \R^{n\times n}$ durch\vspace{-1mm}
		$$D\det (I_n)\!\sprod{A}=\mathrm{tr}(A)\vspace{-2mm}$$
		gegeben ist.
		
		\emph{(Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Richtungsableitung $D_J\det(I_n)$ für eine Matrix $J$, die an genau einer Stelle den Eintrag $1$ und an allen anderen Stellen den Eintrag $0$ besitzt.)}
		
		\item Sei $X \in \R^{n\times n}$ invertierbar. 
		
		Zeigen Sie, dass 
		die Ableitung von $\det$ in $X$ für alle $A \in \R^{n\times n}$ durch\vspace{-1mm}
		$$D\det (X)\!\sprod{A}=\det (X) \mathrm{tr}(X^{-1}A)\vspace{-2mm}$$
		gegeben ist.
		
		\emph{(Hinweis: Betrachten Sie zunächst eine geeignete Richtungsableitung und verwenden Sie $X+tA=X(I_n+tX^{-1}A)$.)}
	\end{enumerate}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\newpage
	
	\textbf{Aufgabe 2} (Satz über die Umkehrabbildung) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}	
	
	Sei $n \in \N_{>0}$ und sei $A\colon \R^n\to\R^n$ ein Isomorphismus. Sei ferner $g\in C^1(\R^n,\R^n)$, sodass für ein $c>0$ die Ungleichung\vspace{-1mm}
	$$\norm{g(x)}\leq c\norm{x}^2\vspace{-1mm}$$
	für alle $x \in \R^n$ erfüllt ist.
	
	Zeigen Sie, dass es eine Umgebung von $0 \in \R^n$ gibt, in der die Funktion\vspace{-1mm}
	$$f\colon \R^n\to \R^n,\ x\mapsto A(x)+g(x)\vspace{-1mm}$$
	eine stetig differenzierbare Umkehrabbildung besitzt.
	\\
	
	\emph{(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass $Dg(0)=0$ gilt.)}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 3} (Satz von der impliziten Funktion) \hfill 	\textbf{[3 Punkte]}	
	
	Sei $a>0$ und sei
	$$f\colon \R^2\to \R, (x,y)\mapsto (x^2 + y)^2 -2a^2(x^2-y^2).$$
	
	Zeigen Sie, dass es eine Umgebung $\Omega$ von $\sqrt{2} a$ und eine Funktion $\varphi\in C^1(\Omega)$ gibt, sodass $\varphi(\sqrt{2} a)=0$ und \vspace{-1mm}
	$$f(x,\varphi(x))=0$$ für alle $x \in \Omega$ gelten. Berechnen Sie zudem $\varphi'(\sqrt{2} a)$.
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 4} (Lagrangesche Multiplikatorregel) \hfill 	\textbf{[2 + 2 Punkte]}	
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $\sphere^3=\{v\in\R^4\colon \norm{v}=1\}$. Finden Sie alle globalen Extrema der Abbildung
		$$g\colon \sphere^3\mapsto \R, \ (x,y,z,t)\mapsto x^2+y^2+z^2-t^2.$$
		Geben Sie jeweils an, ob es sich um globales Maximum oder ein globales Minimum handelt.
		\item Sei \vspace{-2mm}
		$$M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2=2, x+z=1\}.\vspace{-1mm}$$
		Finden Sie alle lokalen Extrema der Abbildung\vspace{-1mm}
		$$f\colon M \to \R,\ (x,y,z)\mapsto x+y+z.\vspace{-2mm}$$
	\end{enumerate}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 24.\ Juli 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}