Vorlesung Kommutative Algebra, SS 2019
Claus Scheiderer
- Zeit und Ort: Montag 11.45-13.15 (F426), Mittwoch 11.45-13.15 (F426)
- Beginn der Vorlesung: Montag, 15. April 2019
- Übungen zur Vorlesung: 2 st, Mittwoch 13.30-15.00 (D404)
- Beginn der Übungen am 24. April
- 9 ECTS-Punkte
- Verwendbarkeit: Ergänzungsmodul (Bachelor Mathematik), Wahlmodul (Master
Mathematik, Master of Education)
- Klausur:
Donnerstag 8. August 2019, 09.00 Uhr, Raum A704
Klausurergebnisse
Klausureinsicht am Dienstag 13. August, 10-11 Uhr und 13-14 Uhr
Zielgruppe und Vorkenntnisse:
Die Vorlesung wendet sich an Studentinnen und Studenten ab dem 6. Semester
(Bachelor, Master, Lehramt).
Vorausgesetzt werden Grundbegriffe wie kommutative
Ringe und Homomorphismen, Ideale und Primideale, Moduln, Lokalisierung.
Weiter will ich auch Hilbertschen Basissatz, die Begriffe Ganzheit und
ganzer Abschluß sowie das Going-up Theorem von Cohen-Seidenberg
voraussetzen. Diese gehören zum Standardstoff der Vorlesungen
Zahlentheorie (B4) und/oder Algorithmische algebraische Geometrie (B5);
wer sie noch nicht gesehen hat, findet dafür gute Quellen zum Nachlesen.
Die Sprache der algebraischen Geometrie wird generell nicht vorausgesetzt.
Als Hintergrund und Motivation sind Grundkenntnisse in algebraischer
Geometrie jedoch auf jeden Fall hilfreich.
Inhalt der Vorlesung
Kommutative Algebra ist die algebraische Seite der algebraischen Geometrie
(und der komplexen analytischen Geometrie). Nahezu alle Themen der Vorlesung
haben geometrische Interpretationen oder Umformulierungen, und oft kommt die
originale Motivation aus der Geometrie. Die Vorlesung gibt
Einblicke in tiefer liegende Methoden, für die im Rahmen der
einsemestrigen B5 die Zeit fehlt.
Ein Teil des Inhalts wird im Rahmen des Hauptmoduls Reelle algebraische
Geometrie I-II (2019/20) Verwendung finden, z.B. reguläre lokale
Ringe und Komplettierung.
Stichworte zum (geplanten) Inhalt:
I. Grundlagen (Tensorprodukt, Zariskispektrum, Nakayama-Lemma und
Anwendungen, Moduln endlicher Länge, assoziierte Primideale);
II. Dimensionstheorie (ganze und flache Ringerweiterungen, Dimension affiner
Algebren, Krullscher Hauptidealsatz, lokale und reguläre lokale Ringe);
III. Derivationen und Differentiale, Separabilität;
IV. Komplettierung, Potenzreihenringe;
V. Reguläre Folgen, Cohen-Macaulay Ringe und Moduln, Koszulkomplex
und homologische Methoden.
Die
Übungsblätter zur Vorlesung gibt es
hier.
Literaturempfehlungen
- M. Atiyah, B. I. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra.
Addison-Wesley, 1969.
- H. Matsumura: Commutative Ring Theory.
Cambridge University Press 1986.
- D. Eisenbud: Commutative Algebra. With a View Toward
Algebraic Geometry. Springer GTM 150, 1999.
- W. Bruns, J. Herzog: Cohen-Macaulay Rings.
Cambridge University Press 1998.
- W. Brodmann:
Kommutative Algebra.
Skript, vorläufige Version März 2009.
