%
% Aktuelle Analysis-Anwendungen
% Oliver Schn\"urer
%
% Konstanz, Sommer 2020
%
\documentclass[a4paper]{amsart}
%\usepackage[utf8]{inputenc} % Umlaute direkt eingeben
\usepackage[ngerman]{babel}
%\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{citesort}
%\usepackage{amssymb,amsmath}
%\usepackage{ngerman}
% \usepackage[arrow,curve,matrix,tips]{xy}
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}
%\usepackage{fullpage}
\usepackage{enumitem}
% \usepackage{a4} \CompileMatrices \xymatrixnocompile schaltet dies
% fuer eine einzelne Matrix aus.
\usepackage{esint}
\usepackage[arrow,curve,matrix,tips]{xy}
%\usepackage[parfill]{parskip}
\usepackage{graphicx}

% \usepackage[a4paper,twoside,includeheadfoot,%
% inner=1.0cm,outer=1.0cm,top=1.0cm,bottom=1.0cm]{geometry}

\DeclareMathOperator{\tr}{tr} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\diag}{diag} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\graph}{graph}
\DeclareMathOperator*{\fueralle}{\forall}
\DeclareMathOperator*{\existiert}{\exists}
\DeclareMathOperator{\interior}{int} \DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id} \DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rang} \DeclareMathOperator{\ind}{ind}
\DeclareMathOperator{\Null}{null}
\DeclareMathOperator{\divergence}{div}
\DeclareMathOperator{\divergenz}{div} \def\ol#1{\overline{#1}}
\DeclareMathOperator*{\osc}{osc}
\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\Real}{Re}
\DeclareMathOperator{\Imag}{Im}
\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}
\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}
\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
\def\ul#1{\underline{#1}}

\def\R{{\mathbb{R}}}
\def\N{{\mathbb{N}}}
\def\C{{\mathbb{C}}}
\def\S{{\mathbb{S}}}
\def\Q{{\mathbb{Q}}}
\def\Z{{\mathbb{Z}}}
\def\K{{\mathbb{K}}}

\def\O{{\mathcal{O}}}
\def\P{{\mathcal{P}}}
\def\B{{\mathcal{B}}}
\def\U{{\mathcal{U}}}
\def\F{{\mathcal{F}}}
\def\M{{\mathcal{M}}}

\def\theta{{\vartheta}}
\def\phi{{\varphi}}
\def\epsilon{{\varepsilon}}

\def\dt{{\frac{d}{dt}}}
\def\fracp#1#2{{\frac{\partial #1}{\partial #2}}}
\def\tfracp#1#2{{\tfrac{\partial #1}{\partial #2}}}
\long\def\umbruch{{\displaybreak[1]}}
\long\def\neueZeile{{\rule{0mm}{1mm}\\[-2ex]\rule{0mm}{1mm}}}
\long\def\neueZeilealt{{\rule{0mm}{1mm}\\\rule{0mm}{1mm}}}
\def\dh{d.\,h.\ }
\def\oder{\vee}
\def\und{\wedge}
\def\impliziert{\ensuremath{\Longrightarrow}\text{}}
\def\folgtaus{\ensuremath{\Longleftarrow}\text{}}
\def\aequivalent{\ensuremath{\Longleftrightarrow}\text{}}
\def\Hinrichtung{\glqq\ensuremath{\Rightarrow}\grqq:\text{ }}
\def\Rueckrichtung{\glqq\ensuremath{\Leftarrow}\grqq:\text{ }}
% War urspr\"unglich wie bei impliziert und folgt aus mit langen
% Pfeilen definiert, aber das klappt nicht als itemize-[Argument];
% \"Uberl\"ange nach links.
\def\eins{\mbox{\ensuremath{1\hspace*{-0.9ex}1}}}
% \def\interior#1{\overset{{}_\circ}{#1}}
% \newcommand{\margincomment}[1]{\marginpar{\footnotesize{#1}}}
\def\schwachto{\rightharpoondown}
\def\loc{{\text{loc}}}
\def\top{{\text{top}}}
\def\gap{\rule{2cm}{1ex}}
%\def\emph#1{\textbf{#1}}
\def\stern{$\star$ }

\mathchardef\ordinarycolon\mathcode`\: \mathcode`\:=\string"8000
\begingroup \catcode`\:=\active
\gdef:{\mathrel{\mathop\ordinarycolon}}
\endgroup

% Hier ggf. vor der Veroeffentlichung noch etwas aendern.
\long\def\loesung#1{\begin{proof}[L\"osung]#1\end{proof}}
% \long\def\loesung#1{}
\long\def\weg#1{} % {#1}

% \newtheorem{theorem}{Theorem}[chapter]
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{satz}[theorem]{Satz}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Korollar}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{example}[theorem]{Beispiel}
\newtheorem{beispiel}[theorem]{Beispiel}
\newtheorem{beispiele}[theorem]{Beispiele}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{xca}[theorem]{\"Ubung}

\newtheorem{aufgabe}[theorem]{Aufgabe}
% \theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}[theorem]{Bemerkung}
\newtheorem{bemerkung}[theorem]{Bemerkung}

% \numberwithin{section}{chapter}
% \numberwithin{equation}{chapter}
\numberwithin{equation}{section}
\setcounter{tocdepth}{1}

% Absolute value notation
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}

% Blank box placeholder for figures (to avoid requiring any particular
% graphics capabilities for printing this document).
\newcommand{\blankbox}[2]{%
   \parbox{\columnwidth}{\centering
%    Set fboxsep to 0 so that the actual size of the box will match the
%    given measurements more closely.
     \setlength{\fboxsep}{0pt}%
     \fbox{\raisebox{0pt}[#2]{\hspace{#1}}}%
   }%
 }

\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Di-ri-chlet-rand-wer-ten
   Ei-gen-funk-ti-on-en Kom-pakt-heits-satz Viel-fach-heit Funk-tion
   Funk-tion-en}

\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
\title{Aktuelle Analysis-Anwendungen}

% Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
% Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Universit\"at Konstanz, Germany}
% Current address
\curraddr{} \def\amSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\amSeeHome}
% \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{Vielen Dank an einen kritischen Leser f\"ur zahlreiche
  Korrekturen.} 

% General info
%\subjclass[2000]{26-01}
% 26-XX Real functions
% 26-01 Instructional exposition

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

\begin{abstract}
  Durch die aktuelle Coronakrise motiviert, erkl\"are ich einige
  daf\"ur relevante Themen aus der Analysis.
  Dies dient auch als Motivation f\"ur weitere Vorlesungen.
\end{abstract}

\maketitle

%\setcounter{tocdepth}{2}
%\tableofcontents

% \mainmatter

\section{Methode der kleinsten Quadrate}

Die Methode der kleinsten Quadrate wurde um 1800 von C. F. Gau\ss{} entwickelt, um den
Zwergplaneten Ceres nach einigen Beobachtungen wiederzufinden
\cite{wiki}. Das Ziel war, die Parameter der elliptischen
Bahn m\"oglichst genau zu bestimmen, um damit die Position von Ceres vorherzusagen.

Wir illustrieren dies nun am Beispiel der Zahl der Infizierten einer
Krankheit.
Haben wir eine Tabelle mit Zeiten $(t_i)_{1\le i\le n}$ und
zugeh\"origen Infiziertenzahlen $(x_i)_i$, so erwarten wir zun\"achst
einen exponentiellen Zusammenhang $x(t)=\alpha\cdot \exp(\beta t)$ oder
$x(t)=A\cdot2^{Bt}$ und $x_i\approx x(t_i)$. Vielleicht ist aus der
Physik das folgende Vorgehen bei exponentiellem Wachstum bekannt: Man
betrachtet nicht die Punkte $(t_i,x_i)_i$, die in etwa auf einer
exponentiellen Kurve liegen, sondern $(t_i,\log x_i)_i$, die
in etwa auf einer Geraden liegen. Im Falle des obigen exponentiellen
Zusammenhanges ergibt sich n\"amlich $\log x(t) =\log\alpha+\beta t$,
auf der rechten Seite steht also eine Geradengleichung. H\"aufig sieht
man nun schon recht gut am Schaubild, welche Gerade die Messpunkte gut
approximiert. Wir
wollen daher die Daten $(t_i,\log x_i)_i\equiv (t_i,y_i)_i$, also
$y_i=\log x_i$ betrachen.

F\"ur die Gerade machen wir den Ansatz $a+bt$. Im Idealfall k\"onnen
wir $a,b\in\R$ so w\"ahlen, dass $a+bt_i=y_i$ f\"ur alle $i$ gilt. In
der Realit\"at klappt dies jedoch h\"aufig nicht. Bei der Methode der
kleinsten Quadrate m\"ochte man nun die Parameter $a$ und $b$ so
w\"ahlen, dass der Vektor $(|a+bt_i-y_i|)_i \in \R^n$ der Abweichungen
in einer
geeigneten Norm m\"oglichst klein wird. M\"oglich sind beispielsweise die
$l^p$-Normen f\"ur $1\leq p \leq \infty$.
Bei der Methode der
kleinsten Quadrate m\"ochte man $a$ und $b$ so w\"ahlen,
dass \[\sum\limits_{i=1}^n|a+bt_i-y_i|^2\] m\"oglichst klein
wird. Wir betrachten also das Quadrat der euklidischen oder
$l^2$-Norm.

% Es gilt der folgende Satz:
\begin{theorem}
  \label{t:kleinste-quadrate}
  Sei $n\ge2$
  und seien Zahlenpaare $(t_i,y_i)_{1\le i\le n}\subset\R^2$
  gegeben, wobei nicht alle $t_i$ \"ubereinstimmen.
  \par
  Dann nimmt die Funktion
  \begin{align*}
    \phi \colon \R^2
    & \to \R,\\
    (a,b)
    & \mapsto \sum\limits_{i=1}^n |a+bt_i-y_i|^2
      =\sum\limits_{i=1}^n (a+bt_i-y_i)^2
  \end{align*}
  ihr Minimum in genau einem Punkt an. Dieser Punkt ist die
  eindeutige L\"osung des linearen Gleichungssystems
  \eqref{eq:lgs}.
\end{theorem}

\begin{proof}
  \textbf{Existenz:} Wir zeigen zun\"achst, dass die Funktion $\phi$
  ihr Minimum annimmt.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir annehmen, dass
    $t_1\neq t_2$ gilt.
  \item
    Mit Hilfe der Substitution $\tilde{t}=t-t_1$ in der Zeit
    d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $t_1=0$ gilt.
    Dabei wird $t_i$ durch $t_i-t_1$ ersetzt und die Parameter der
    Gerade \"andern sich gem\"a\ss{} der Formel
    \[a+bt =a+bt_1+b(t-t_1) \equiv \tilde a+b\tilde{t}.\]
  \item \textbf{Behauptung:}
    F\"ur alle $M \geq 0$ gibt es ein $R>0$
    mit $\phi(a,b)\ge M$ f\"ur alle
    $(a,b)\in\R^2\setminus B_R(0)$.
  \item
    Wir zeigen nun diese Behauptung. Sei also
    $(a,b)\in\R^2\setminus B_R(0)$ f\"ur ein noch zu bestimmendes
    $R>0$.
    Dann gilt $a^2+b^2\ge R^2$ und
    daher $a^2\ge\frac{R^2}2$ oder $b^2\ge\frac{R^2}2$. Es folgt
    $|a|\ge\frac R{\sqrt 2}$ oder $|b|\ge\frac R{\sqrt 2}$. Sei
    $C\ge0$ so fixiert, dass $|y_1|\le C$ und $|y_2|\le C$ gelten.
  \item Ist $|a|\ge\frac R{\sqrt 2}$, so folgt
    \[|a+t_1b-y_1|=|a+0\cdot b-y_1|\ge |a|-|y_1| \geq \frac R{\sqrt
        2}-C.\]
    F\"ur
    $R\ge\sqrt 2(\sqrt M+C)$ erhalten wir $|a+t_1b-y_1|\ge\sqrt M$ und
    daraus
    \[\phi(a,b) =\sum\limits_{i=1}^n|a+bt_i-y_i|^2\ge
      |a+t_1b-y_1|^2\ge M\] wie gew\"unscht.
  \item Der letzte Schritt zeigt, dass die Behauptung im Fall
    $|a+t_1b-y_1|\ge\sqrt M$ trivial ist.
    F\"ur das weitere Argument d\"urfen wir also ohne
    Einschr\"ankung annehmen, dass $|a+t_1b-y_1| < \sqrt M$
    gilt.
  \item Sonst ist $|b|\ge\frac R{\sqrt 2}$ und wir erhalten
    \begin{align*}
      |a+t_2b-y_2|
      &=|a+t_1b-y_1+(t_2-t_1)b+(y_1-y_2)|\umbruch\\
      &\ge|t_2-t_1|\cdot|b|-|a+t_1b-y_1|-|y_1-y_2|\umbruch\\
      &\ge|t_2-t_1|\frac R{\sqrt 2}-\sqrt M-|y_1|-|y_2|\umbruch\\
      &\ge|t_2-t_1|\frac R{\sqrt 2}-\sqrt M-2C.
    \end{align*}
    F\"ur $R\ge\frac{\sqrt 2}{|t_2-t_1|}(2\sqrt M+2C)$ folgt daher
    $|a+t_2b-y_2|\ge\sqrt M$ und somit analog zu oben ebenfalls
    $\phi(a,b)\ge|a+t_2b-y_2|^2\ge M$.
  \item
    F\"ur alle
    \[R > \max\left\{\sqrt{2}(\sqrt{M}+C),
        \frac{\sqrt{2}}{|t_2-t_1|}(2\sqrt{M}+2C)\right\}\]
    gilt also die gew\"unschte Absch\"atzung, was die
    Behauptung zeigt.
    % \item Setze nun $M:=\phi(0,0)+1$ und sei $R>0$ wie in der
    %   Behauptung. Dann nimmt die stetige
    %   Funktion $\phi$ auf dem Kompaktum $\ol{B_{R}(0)}$ ihr Minimum an,
    %   welches echt kleiner als $M$ ist. Nach Wahl von $R$ nimmt
    %   $\phi$
    %   au\ss{}erhalb dieses Kompaktums Werte $\geq M$ an. Also nimmt $\phi$
    %   sein Minimum in einem Punkt von $\ol{B_R(0)}$ an.
  \item Setzen wir nun insbesondere $M:=\phi(0,0)+1$, so gibt es nach
    der Behauptung ein $R>0$, so dass f\"ur alle
    $(a,b)\in\R^2\setminus B_R(0)$ die Ungleichung
    \[\phi(a,b)\ge
      M>\phi(0,0) \geq \inf\limits_{(a,b)\in\ol{B_R(0)}}\phi(a,b)\]
    gilt.
    Die Funktion $\phi$ kann ihr Infimum daher h\"ochstens in Punkten
    $(a,b) \in \ol{B_R(0)}$ annehmen.
    Da die Funktion $\phi$ stetig ist, nimmt sie auf
    dem Kompaktum $\ol{B_R(0)}$ ihr Minimum an. Folglich nimmt die Funktion
    $\phi\colon\R^2\to\R$ ihr Minimum in einem Punkt von $\ol{B_R(0)}$
    an.
  \end{enumerate}
  \textbf{Eindeutigkeit:} Nun zeigen wir, dass die Funktion $\phi$
  ihr Minimum in genau einem Punkt annimmt.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*), resume]
  \item Sei $(a,b)\in\R^2$ so gew\"ahlt, dass
    die Funktion $\phi$ dort ihr Minimum annimmt. Dann verschwindet
    dort die Ableitung von $\phi$ -- man sagt dann, dass $(a,b)$ ein
    \emph{kritischer Punkt} von $\phi$ ist -- und somit verschwinden
    auch ihre \emph{partiellen
      Ableitungen} $\fracp{}a\phi(a,b)$ und
    $\fracp{}b\phi(a,b)$.
    Partielle Ableitungen sind
    Ableitungen, bei denen alle anderen Variablen als Konstanten
    betrachtet werden. Wir erhalten also
    \begin{align*}
      0
      &= \frac12 \fracp{}a\phi(a,b)\umbruch\\
      &=\sum\limits_{i=1}^n(a+bt_i-y_i)\cdot 1\umbruch\\
      &=na
        +b\sum\limits_{i=1}^nt_i\ -\sum\limits_{i=1}^ny_i\umbruch
        \intertext{und}
        0
      &= \frac12 \fracp{}b\phi(a,b)\umbruch\\
      &= \sum\limits_{i=1}^n(a+bt_i-y_i)\cdot t_i\umbruch\\
      & =a\sum\limits_{i=1}^nt_i +b\sum\limits_{i=1}^nt_i^2
        -\sum\limits_{i=1}^n y_it_i.
    \end{align*}
    Dies schreiben wir als Matrizengleichung \"aquivalent um:
    \begin{equation}
      \label{eq:lgs}
      % A
      % \begin{pmatrix}
      %   a\\ b
      % \end{pmatrix}
      % \equiv
      \underbrace{
        \begin{pmatrix}
          n & \sum\limits_{i=1}^nt_i\\
          \sum\limits_{i=1}^nt_i & \sum\limits_{i=1}^nt_i^2
        \end{pmatrix}
      }_{=:A}
      \begin{pmatrix}
        a\\ b
      \end{pmatrix}
      =
      \begin{pmatrix}
        \sum\limits_{i=1}^ny_i\\
        \sum\limits_{i=1}^ny_it_i
      \end{pmatrix}.
    \end{equation}
    Um zu zeigen, dass die Matrix $A$ invertierbar ist, betrachten wir
    die Determinante
    \[\det A
      =n\sum\limits_{i=1}^nt_i^2
      -\left(\sum\limits_{i=1}^nt_i\right)^2.\]
    Aus
    \[0<\frac12(t_1-t_2)^2 =\frac12t_1^2 +\frac12t_2^2-t_1t_2\]
    folgt die strikte Ungleichung in
    \begin{align*}
      \left(\sum\limits_{i=1}^nt_i\right)^2
      &=\sum\limits_{i=1}^n
        \sum\limits_{j=1}^n t_it_j\umbruch\\
      & < \sum\limits_{i,j=1}^n
        \left(\frac12 t_i^2+\frac12 t_j^2\right)
        \umbruch\\&
      =\frac n2\sum\limits_{i=1}^nt_i^2 +\frac
      n2\sum\limits_{j=1}^nt_j^2 =n\sum\limits_{i=1}^nt_i^2.
    \end{align*}
    Somit ist $\det A>0$, also
    insbesondere $\det A\neq0$. Damit ist $A$ eine invertierbare
    Matrix und unser lineares Gleichungssystem~\eqref{eq:lgs}
    ist eindeutig l\"osbar.
  \item Daraus folgt die Eindeutigkeit: Jedes Minimum von $\phi$ ist
    ein kritischer Punkt von $\phi$ und damit eine L\"osung des
    eindeutig l\"osbaren Gleichungssystems \eqref{eq:lgs}. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Abstrakter kann man Theorem~\ref{t:kleinste-quadrate} wie folgt
formulieren. Man bekommt daraus Theorem~\ref{t:kleinste-quadrate},
indem man $I=\{1, \dots, n\}$ und $(\tau(i), m(i))=(t_i, y_i)$
betrachtet.

\begin{corollary}
  F\"ur $(a,b) \in \R^2$ betrachte die Funktion
  $g_{(a,b)} \colon \R \to \R$, $t \mapsto a+bt$, deren Graph
  eine affine Gerade ist.  Sei
  \begin{equation*}
    \mathcal{G}:=\{g_{(a,b)} \mid (a,b) \in \R^2\}
  \end{equation*}
  die Menge aller solcher Geradenfunktionen.
  Sei $I$ eine endliche Menge und seien $\tau \colon I \to \R$ und $m
  \colon I \to \R$ zwei Funktionen. Es bestehe $\tau(I)$ aus
  mindestens zwei Elementen. Dann besagt
  Theorem~\ref{t:kleinste-quadrate}: Es gibt genau ein $g_0 \in
  \mathcal{G}$ mit
  \begin{equation*}
    \Vert g_0 \circ \tau - m \Vert
    =
    \min_{g \in \mathcal{G}}
    \Vert g \circ \tau - m \Vert.
  \end{equation*}
  Hierbei ist
  \[\Vert f \Vert = \left(\sum\limits_{i \in I} (f(i))^2\right)^{1/2}\]
  die $l^2$-Norm auf dem Raum $\R^I$ aller reellwertigen Funktion
  $f \colon I \to \R$.
\end{corollary}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Im Beweis von Theorem~\ref{t:kleinste-quadrate} haben wir
    partielle Ableitungen verwendet. Diese sind Thema in Analysis II.
  \item Das Gleichungssystem~\eqref{eq:lgs}
    ist leicht explizit l\"osbar. Dazu
    benutzen wir die Formel
    $\frac 1{ad-bc}
    \left(
      \begin{smallmatrix}
        d & -b\\
        -c & a
      \end{smallmatrix}
    \right)$
    f\"ur die Inverse
    einer invertierbaren
    $2\times2$-Matrix $
    \left(
      \begin{smallmatrix}
        a & b\\
        c & d
      \end{smallmatrix}
    \right)$. Damit folgt
    \[
      \begin{pmatrix}
        a\\ b
      \end{pmatrix}
      =
      \frac1{n\sum\limits_{i=1}^nt_i^2
        -\left(\sum\limits_{i=1}^nt_i\right)^2}
      \begin{pmatrix}
        \sum\limits_{i=1}^nt_i^2 & -\sum\limits_{i=1}^nt_i\\
        -\sum\limits_{i=1}^nt_i & n
      \end{pmatrix}
      \begin{pmatrix}
        \sum\limits_{i=1}^ny_i\\
        \sum\limits_{i=1}^ny_it_i
      \end{pmatrix}.
    \]
    Somit sehen wir, dass der Beweis auch eine Methode liefert, $a$
    und $b$ explizit zu bestimmen.
  \item
    Wir geben in
    Kapitel~\ref{sec:das-sage-program}
    ein \texttt{sage}-Programm an, das diese
    Rechnungen durchf\"uhrt. Das Software-Paket \texttt{sage} ist unter
    \texttt{www.sagemath.org} frei verf\"ugbar.
  \item Alternativ h\"atte man $\det A>0$ auch mit Hilfe der
    Cauchy-Schwarzschen Ungleichung zeigen k\"onnen. F\"ur
    \[v=
      \begin{pmatrix}
        1\\ 1\\ \vdots\\ 1
      \end{pmatrix}
      \quad
      \text{und}
      \quad
      w=
      \begin{pmatrix}
        t_1\\ t_2\\ \vdots\\ t_n
      \end{pmatrix}
    \]
    gilt n\"amlich
    \begin{align*}
      \left(\sum\limits_{i=1}^n t_i\right)^2
      &=\langle v, w\rangle^2\umbruch\\
      &\le|v|^2\cdot|w|^2\umbruch\\
      &=\left(\sum\limits_{i=1}^n 1\right)^{2/2}\cdot
         \left(\sum\limits_{i=1}^n t_i^2\right)^{2/2}\umbruch\\
      &=n\cdot\sum\limits_{i=1}^n t_i^2. 
    \end{align*}
    Hierbei gilt Gleichheit genau dann, wenn $v$ und $w$ linear
    abh\"angig sind. Daher erhalten wir im Falle, dass nicht alle
    $t_i$'s gleich sind, die strikte Ungleichung und somit $\det
    A>0$. 
  \item Die Eindeutigkeit folgt leicht aus der strikten Konvexit\"at
    von $\phi$. Eine direkte Rechnung liefert n\"amlich, dass
    die Hessesche
    \[
      \renewcommand\arraystretch{1.5}
      \begin{pmatrix}
        \fracp{^2}{a \partial a}\phi & \fracp{^2}{a\partial b}\phi \\
        \fracp{^2}{b \partial a}\phi  & \fracp{^2}{b \partial b}\phi
      \end{pmatrix}
    \]
    von $\phi$ durch $2A$ mit $A$ wie in
    \eqref{eq:lgs} gegeben ist. Diese ist auf Grund des
    Minorantenkriteriums (wegen $n>0$ und $\det A>0$) positiv definit,
    was die strikte Konvexit\"at liefert.

    Auch ohne Differentialrechnung sieht man, dass $\phi$
    konvex ist, dass also
    \[\phi(\tau a+(1-\tau)\alpha,\tau b+(1-\tau)\beta) \le
      \tau\phi(a,b)+(1-\tau)\phi(\alpha,\beta)\]
    f\"ur alle $\tau \in [0,1]$ gilt.
  \item
    Sprachlich genauer w\"are es, statt von der \emph{Methode der
      kleinsten Quadrate} von der \emph{Methode der
      kleinsten Quadratsumme} zu sprechen.
  \item Varianten dieser Methode benutzen andere Ans\"atze als $a+tb$,
    eine andere Norm, die minimiert werden soll, oder Gewichte in der
    Summe.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\section{Wachstumsgleichungen}
In dieser Anwendung benutzen wir gew\"ohnliche Differentialgleichungen,
die wir in Analysis III behandeln werden. 

Ein Problem bei dem obigen Ansatz ist, dass wir unsere Daten durch
eine Funktion $x(t)=a\exp(bt)$ approximieren, die f\"ur $a,b>0$ und
$t\to\infty$ unendlich wird. Sp\"atestens f\"ur $x(t)\ge 10^{10}$
prognostiziert dieses Modell also mehr Infizierte als die aktuelle
Weltbev\"olkerung.

Auf solche exponentiellen L\"osungen kommt man durch ein Modell
\[\dot x(t)=bx(t),\] was $x(t)=a\exp(bt)$ als allgemeine L\"osung
hat. Es besagt, dass die zeitliche \"Anderung proportional zur
aktuellen Zahl der Infizierten ist. Ein allererstes Modell, was den
zeitlichen Zuwachs begrenzt, sobald man sich einer gewissen Schwelle
$M$ ann\"ahert, ist
\[\dot x(t)=b\cdot x(t)\cdot(M-x(t)).\]
Dabei ist der Zuwachs sowohl proportional zur Anzahl der Infizierten
als auch zur Anzahl der noch nicht Infizierten. \par
Erstaunlicherweise kann man diese Gleichung sogar explizit
l\"osen. Das Verfahren nennt sich Trennung der Variablen und f\"uhrt
in den folgenden Schritten zu einer L\"osung. Auch wenn wir die
Notation zwischendurch nicht mathematisch rechtfertigen, sieht man am
Ende mit direktem Nachrechnen doch, dass eine L\"osung herauskommt.
\begin{align*}
  \frac{dx}{x(M-x)}&=b\,dt,\umbruch\\
  \left(\frac1x+\frac1{M-x}\right)\,dx&=Mb\,dt,\umbruch\\
  \log x-\log(M-x)&=Mb(t-t_0),\umbruch\\
  \frac{x}{M-x}&=e^{Mb(t-t_0)},\umbruch\\
  x(t)\cdot\left(1+e^{Mb(t-t_0)}\right) &=Me^{Mb(t-t_0)},\umbruch\\
  x(t)&=\frac{Me^{Mb(t-t_0)}}{1+e^{Mb(t-t_0)}}
\end{align*}
f\"ur ein $t_0\in\R$.

Wir fassen nun $x(t)$ auch als Funktion von $t_0$ auf und schreiben
daf\"ur in diesem Absatz $x(t,t_0)$.  Es gilt $x(0,t_0)\to0$ f\"ur
$t_0\to+\infty$ und $x(0,t_0)\to M$ f\"ur $t_0\to-\infty$. Somit gibt
es aufgrund der Stetigkeit und Monotonie, die man leicht aus
$\fracp{x(t,t_0)}{t_0}=-\fracp{x(t,t_0)}{t}$ und der
Differentialgleichung bekommt, f\"ur jedes $x_0\in(0,M)$ genau ein
$t_0\in\R$, so dass $x(0,t_0)=x_0$ gilt.

In Analysis III werden wir lernen, dass diese gew\"ohnliche
Differentialgleichung genau eine L\"osung besitzt und wie man die
Existenz einer L\"osung f\"ur allgemeinere gew\"ohnliche
Differentialgleichungen der Form $\dot x(t) =f(t,x(t))$ zeigen kann.

\section{Weiterf\"uhrende Gedanken dazu}
\begin{itemize}
\item M\"ochte man noch die r\"aumliche Verteilung ber\"ucksichtigen,
  so erh\"alt man Gleichungen wie
  \[\dot u(x,t)=\Delta u(x,t) +f(u(x,t)).\] Dies ist eine partielle
  Differentialgleichung. Den Fall $f\equiv0$ werden wir in der
  Vorlesung Theorie partieller Differentialgleichungen betrachten.
\item Die Richtigkeit des Theorems konnten wir beweisen. Um es
  anwenden zu k\"onnen, muss man jedoch die Voraussetzungen kritisch
  hinterfragen:
  \begin{itemize}
  \item Das Modell liefert eine reelle Zahl von Infizierten. Diese
    Zahl wird im ersten Ansatz sogar unbeschr\"ankt.
  \item Ist die Annahme, dass die Entwickung sich f\"ur die
    logarithmischen Daten linear verh\"alt, gerechtfertigt?
  \item Wie gut sind die Daten? Gibt es systematische Fehler, dass
    beispielsweise nur schwere F\"alle erfasst werden oder die Daten
    zu anderen als den angegebenen Zeitpunkten geh\"oren, weil Tests
    lange dauern?
  \end{itemize}
\item Beschreibt die gew\"ohnliche oder partielle
  Differentialgleichung das Geschehen gut genug?
\item Wir haben oben eine sogenannte Heterokline gefunden; dies ist
  eine L\"osung $x(t)$, die f\"ur $t\to\pm\infty$ gegen station\"are
  L\"osungen konvergiert. Hier sind $x(t)\equiv0$ und $x(t)\equiv M$
  die station\"aren L\"osungen. Das Verhalten von L\"osungen von
  gew\"ohnlichen Differentialgleichungen werden wir genauer in
  Analysis III oder in der Vorlesung Gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen mit geometrischen Anwendungen
  betrachten. Auch die Vorlesung Dynamische Systeme besch\"aftigt sich
  damit.
\item Minimierungsaufgaben tauchen in der Veranstaltung
  Variationsrechnung h\"aufig auf, ebenso in
  Optimierung. Minimalfl\"achen sind Minimierer des
  Oberfl\"achenfunktionals und ein wichtiges Beispiel in der
  geometrischen Analysis.
\end{itemize}

\section{Das \texttt{sage}-Programm}
\label{sec:das-sage-program}

\begin{verbatim}
# 2020, Olaf Schnuerer und Oliver Schnuerer
# Daten aus Wikipedia
# https://de.wikipedia.org/wiki/COVID-19-Pandemie_in_Deutschland
# 01. April 2020 ist Zeitpunkt t=1 
var('t')
tabelle=[
# [-36,16],
# [-35,18],
# [-34,21],
# [-33,26],
# [-32,53],
# [-31,66],
# [-30,117],
# [-29,150],
# [-28,188],
# [-27,240],
# [-26,400],
# [-25,639],
# [-24,795],
# [-23,902],
[-22,1139],
[-21,1296],
[-20,1567],
[-19,2369],
[-18,3062],
[-17,3795],
[-16,4838],
[-15,6012],
[-14,7156],
[-13,8198],
[-12,10999],
[-11,13957],
[-10,16662],
[-9,18610],
[-8,22672],
[-7,27436],
[-6,31554],
[-5,36508],
[-4,42288],
[-3,48582],
[-2,52547],
[-1,57298]]

prognoseende=3
maxY=120000

from matplotlib import ticker

start=tabelle[0][0]
ende=tabelle[len(tabelle)-1][0]
n=ende-start+1

logtabelle=list([tabelle[i][0], log(1.0*tabelle[i][1])] \
  for i in range(len(tabelle)))

gesamt=list_plot(tabelle, plotjoined=True, \
  ymax=maxY, scale='semilogy')
gesamt2=list_plot(tabelle, plotjoined=True, \
  ymax=maxY, tick_formatter=(None, ticker.FormatStrFormatter('%d')))

M=Matrix([[n,sum(logtabelle[i][0] \
for i in range(len(logtabelle)))],\
[sum(logtabelle[i][0] for i in range(len(logtabelle))),\
sum(logtabelle[i][0]^2 for i in range(len(logtabelle)))]])

v=vector([sum(logtabelle[i][1] for i in\
range(len(logtabelle))),\
sum(logtabelle[i][0]*logtabelle[i][1] for i in\
range(len(logtabelle)))])		

w=M.solve_right(v) 

gesamt=gesamt+plot(exp(w[0]+t*w[1]),\
(t,start,prognoseende),scale='semilogy', \
rgbcolor=(1,0,0), gridlines='minor') 

gesamt2=gesamt2+plot(exp(w[0]+t*w[1]),\
(t,start,prognoseende), rgbcolor=(1,0,0),\
gridlines='major')

gesamt.save('corona-germany-logarithmisch.pdf')
gesamt2.save('corona-germany.pdf')
\end{verbatim}

Es liefert die folgenden Diagramme:
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{/Users/os/uni/sage/diverses/corona/corona-germany.pdf}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{/Users/os/uni/sage/diverses/corona/corona-germany-logarithmisch.pdf}
\end{figure}

\bibliographystyle{amsplain}
% \bibliography{/Users/admin/uni/math/bib/biblio.bib}
\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio.bib}


\end{document}

