\documentclass[12pt]{article}
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\newtheorem{satz}[thm]{Satz}
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\newtheorem{bsp}[thm]{Beispiel}
\newtheorem{pro}[thm]{Proposition}
\newtheorem{bez}[thm]{Bezeichnung}
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\def\Z{{\mathbb{Z}}}
\def\bew{{\bf Beweis: }}
\def\bewvon#1{{\bf Beweis von #1: }}
\def\qed{\hspace*{\fill}$\blacksquare$}
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\def\reu{{\r1\setminus\{0\}}}
\def\sub{{\rm sub\,}}
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\hyphenation{re-ell-ana-ly-tisch Tu-ben-um-ge-bung}
\parindent0cm
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\sloppy
\begin{document}
%%%%% 08.10.98 %%%%%
\title{Regularit"at minimaler Subgraphen in ${\R}^8$}
\author{Diplomarbeit~von\\
  Oliver~C.~Schn"urer \and
  Betreuer:\\
  Prof.~Dr.~C.~Gerhardt}
\date{September/November 1998}
\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 11.11.98 %%%%%
\section{Einleitung}
Diese Arbeit besch"aftigt sich mit der Regularit"at fast minimaler
Subgraphen in $\R^{n+1}$.
\par
Seien eine offene Menge
$\Omega\subset\R^{n+1}$ und eine me"sbare Menge $E\subset\R^{n+1}$
vorgegeben. $E$ sei fast minimal in $\Omega$, d.~h.\ es gelten
Absch"atzungen der Form
$$\int\limits_{B_\rho(x)}|D\chi_E|\le
  \int\limits_{B_\rho(x)}|D\chi_F|+K\rho^{n+2\lambda}$$
f"ur Vergleichsmengen $F$ mit
$E\vartriangle F\Subset B_\rho(x)$.
\par
Unter diesen Voraussetzungen besteht der
ma"stheoretische Rand $\partial E\cap\Omega$
aus dem relativ offenen reduzierten Rand
$\partial^\star E\cap\Omega$ und einer Singularit"atenmenge
$(\partial E\setminus\partial^\star E)\cap\Omega$.
Die Regularit"atsresultate von \cite{tamanini}
besagen nun
$$\partial^\star E\cap\Omega\mbox{ ist }
  C^{1,\lambda}-\mbox{Mannigfaltigkeit}$$
und
$$H^s((\partial E\setminus\partial^\star E)\cap\Omega)=0\mbox{ f"ur }
  s>n-7.$$
Besonders interessant ist der Fall $n\le6$, hier stimmen n"amlich
ma"stheoretischer und reduzierter Rand "uberein,
da $H^0((\partial E\setminus\partial^\star E)\cap\Omega)=0$ gilt.
Der ma"stheoretische Rand ist damit eine
orientierbare Mannigfaltigkeit der
Klasse $C^{1,\lambda}$.
\par
Dieses Resultat beruht insbesondere auf der Tatsache, da"s es
in $\R^7$ keine minimalen Kegel gibt au"ser der leeren Menge,
$\R^7$ oder Halbr"aumen. In $\R^8$ sind nicht mehr alle minimalen
Kegel von der erw"ahnten Art, und man findet
fast minimale Mengen in $\R^8$, deren ma"stheoretischer Rand
$\partial C$ keine $C^{1,\lambda}$-Mannigfaltigkeit ist.
\par
In dieser Arbeit wird nun ein Regularit"atssatz bewiesen, der
besagt, da"s minimale Kegel $E\subset\r1$, die zus"atzlich
die Eigenschaft haben, als Subgraphen darstellbar zu sein, auch
noch f"ur $n=7$, d.~h.\ f"ur $E\subset\R^8$, Halbr"aume
(oder $\emptyset$, $\R^8$) sind.
\par
Dieser Regularit"atssatz erm"oglicht es nun auch, R"uckschl"usse
auf die Regularit"at des ma"stheoretischen Randes gewisser
fast minimaler Mengen $E\subset\R^8$ zu ziehen. Ist
$E\subset\R^8$ fast minimal und als Subgraph darstellbar, so
erh"alt man unmittelbar aus dem Regularit"atssatz, da"s auch
in diesem Fall der ma"stheoretische Rand $\partial E$
eine $C^{1,\lambda}$-Mannigfaltigkeit ist.
F"ur $E\subset\R^9$ gilt ein analoges Resultat nicht mehr,
ein Gegenbeispiel ist angegeben.
\par
Anwendbar ist der Regularit"atssatz auch, wenn man --
in einer zu einer Tubenumgebung von $S^n$ hom"oomorphen
Menge -- Hyperfl"achen vorgeschriebener mittlerer Kr"ummung
sucht, die hom"oomorph zu $S^n$ sind. Nach \cite{cg} kann
man solche Hyperfl"achen insbesondere f"ur $n\le6$ finden.
Auch auf diese Fragestellung kann man den Regularit"atssatz
anwenden und erh"alt auch noch f"ur $n=7$ Hyperfl"achen
vorgeschriebener mittlerer Kr"ummung hom"oomorph zu $S^n$.
\par
Die Arbeit ist wie folgt gegliedert:
Kapitel \ref{defkap} skizziert verschiedene M"oglichkeiten, den Rand
einer me"sbaren Menge zu definieren.
Kapitel \ref{blowkap} besch"aftigt sich mit dem Blow-up-Verfahren,
mit dessen Hilfe man aus fast minimalen Mengen minimale Kegel bekommt,
weiterhin wird gezeigt, da"s die aus fast minimalen Mengen
-- die zugleich Subgraphen sind -- entstehenden Kegel wieder
Subgraphen sind.
In Kapitel \ref{regsatzkap} wird gezeigt, da"s
als Subgraph darstellbare minimale
Kegel in $\R^{n+1}$ f"ur $n\le7$ Halbr"aume sind.
Kapitel \ref{anwendkap} zeigt, wie diese Resultate nun angewandt
werden k"onnen, um nachzuweisen, da"s der Rand eines fast
minimalen Subgraphen eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
Es wird auch ein Beispiel angegeben, das zeigt, da"s dieses
Resultat bez"uglich der Dimension optimal ist.
Wie man mit diesen Resultaten auch noch in 8-dimensionalen
Mannigfaltigkeiten Hyperfl"achen vorgeschriebener mittlerer
Kr"ummung wie in \cite{cg} erh"alt, wird schlie"slich
in Kapitel \ref{vorgegHkap} beschrieben.
In Kapitel \ref{zitatekap} werden einige zitierte Resultate, insbesondere
aus \cite{giusti} und \cite{mm}, aufgef"uhrt.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 30.09.98 %%%%%
\newpage
\section{Definitionen}\label{defkap}
%%%%% 18.10.98 %%%%%
\begin{bez}{\rm
Die charakteristische Funktion einer Menge $M$ wird im
folgenden mit $\chi_M$ bezeichnet. Treten Koordinaten in $\R^{n+1}$
auf, so wird mit $(x,t)$ der Punkt $(x^1,\ldots,x^n,t)$ bezeichnet.
Auch  $x=(\hat x,x^{n+1})$ fa"st die ersten $n$ Koordinaten
zu $\hat x$ zusammen. Setze stets $n\ge2$ voraus.}
\end{bez}

%%%%% 10.11.98 %%%%%
\begin{df}[Subgraph]
Sei $\varphi:A\to\R$ eine beliebige Funktion.
Definiere den Subgraphen $\sub\varphi$ der Funktion $\varphi$ durch
$${\rm sub\,} \varphi :=
\{(x, t) \in A\times \R : t < \varphi(x)\}$$
\end{df}

%%%%% 07.11.98 %%%%%
\begin{df}[fast minimal] %\label{fastminimal}
Eine me"sbare Menge $E \subset \R^{n+1}$ hei"st fast minimal
in $\Omega\subset\R^{n+1}$, falls f"ur ein $\lambda$ mit
$0<\lambda<1$ und f"ur alle Mengen $A \Subset\Omega$
Zahlen $R$ und $K$ mit
$0 < R < \dist (A, \complement\Omega)$ und $K\ge 0$ existieren,
so da"s
$$ \int\limits_{B_\rho(x)}|D\chi_E|\le
   \int\limits_{B_\rho(x)}|D\chi_F| + K \rho^{n+2\lambda} $$
f"ur alle $x\in A$, $0 < \rho < R$ und
$E \vartriangle F \Subset B_\rho(x)$ gilt.\par
$E$ hei"st (lokal) minimal, falls $K=0$ gew"ahlt werden kann.
\end{df}

%%%%% vor 18.09.98 %%%%%
\begin{df}[Topologischer Rand]
Sei $E\subset \R^{n+1}$ beliebig.
$$\partial^{top}E:=\{x\in \R^{n+1}:B_r(x)\cap E\not=\emptyset\quad
  {\rm und}\quad B_r(x)\cap\complement E
  \not=\emptyset\quad\forall r>0\}$$
\end{df}

%%%%% 30.10.98 %%%%%
Die folgenden Definitionen entsprechen \cite[S.~43]{giusti}:\par
Da bei me"sbaren Mengen die Definition des Randes nur von
der $L^1$-"Aquivalenzklasse abh"angen soll,
ersetzt man die topologische Randdefinition durch:
\begin{df}[Ma"stheoretischer Rand]
Sei $E\subset \R^{n+1}$ me"sbar.
$$\partial E:=\{x\in \R^{n+1}:
  0<|B_r(x)\cap E|<|B_r(x)|\quad\forall r>0\}$$\par
Definiere weiterhin das ma"stheoretische Innere und
das ma"stheoretische Komplement durch
$$E_\mu:=\{x\in\R^{n+1}:\exists r>0: |B_r(x)\cap E|=|B_r(x)|\}$$
und
$$\complement_\mu E:=\{x\in\R^{n+1}:\exists r>0: 0=|B_r(x)\cap E|\}.$$
\end{df}\par
Beachte, da"s damit $E_\mu$ und $\complement_\mu E$ offene Mengen sind.
$\R^{n+1}$ ist disjunkte Vereinigung von $E_\mu$,
$\complement_\mu E$ und $\partial E$.
Schreibe sp"ater auch $E$ oder $\complement E$ f"ur
$E_\mu$ oder $\complement_\mu E$.
Dies ist im Fall $|\partial E|=0$ sinnvoll, denn in diesem
Fall liegen $E$ und $E_\mu$ sowie
$\complement E$ und $\complement_\mu E$ in
der gleichen $L^1$-"Aquivalenzklasse.

%%%%% 10.11.98 %%%%%
\begin{df}[Reduzierter Rand]
Sei $E\subset \R^{n+1}$ Caccioppolimenge,
d.~h.\ es gilt $\int\limits_\Omega|D\chi_E|<\infty$
f"ur alle offenen Mengen $\Omega\Subset\r1$. Der reduzierte
Rand $\partial^\star E$ besteht aus den Punkten $x\in \R^{n+1}$,
f"ur die
$$\int\limits_{B_\rho(x)}|D\chi_E|>0 \quad\forall \rho>0$$
gilt, und der Limes
$$\lim\limits_{\rho\to 0} \nu_\rho(x)=\nu(x)$$
existiert, wobei
$$\nu_\rho(x):=\frac{\int\limits_{B_\rho(x)}D\chi_E}
  {\int\limits_{B_\rho(x)}|D\chi_E|}$$
und zus"atzlich $$|\nu(x)|=1$$
gilt. $\nu(x)$ hei"st innere Normale an E in x.
\end{df}

%%%%% 10.11.98 %%%%%
Eine andere Methode, bei einer me"sbaren Menge den Rand zu definieren,
besteht in der Verwendung der Dichte:
\begin{df}[Dichter Rand, vgl.~{\cite[S.~249]{ziemer}}]
Definiere
$$\partial_M E:=\left\{x\in\R^{n+1}:
  \limsup\limits_{\rho\to 0}
  \frac{\int\limits_{B_\rho(x)}\chi_E}{\int\limits_{B_\rho(x)}1}>0
  \quad{\rm und}\quad
  \liminf\limits_{\rho\to 0}
  \frac{\int\limits_{B_\rho(x)}\chi_E}{\int\limits_{B_\rho(x)}1}<1
  \right\}$$
\end{df}
Einschr"ankender k"onnte man auch $\liminf$ und $\limsup$ vertauschen.
Wie man aber analog zu Lemma \ref{dichtgleichmass} zeigen k"onnte,
h"atte man auch in diesem Fall "Ubereinstimmung von dichtem und
ma"stheoretischem Rand, solange die betrachteten Mengen fast
minimale Caccioppolimengen sind.

%%%%% 18.10.98 %%%%%
\begin{df}[Singularit"at]
$x\in\R^{n+1}$ hei"st Singularit"at der me"sbaren Menge
$M\subset\R^{n+1}$, falls $x\in\partial M\setminus\partial^\star M$.
$\partial M\setminus\partial^\star M$ hei"st Singularit"atenmenge
der Menge $M$. Man spricht auch von der Singularit"atenmenge
der Menge $\partial M$.\par
Nicht singul"are Randpunkte hei"sen regul"ar.
\end{df}

%%%%% vor 18.09.98 %%%%%
\begin{df}[Kegel]
$C\subset\R^{n+1}$ hei"st Kegel mit Spitze x, falls
$$y\in C \Rightarrow x+\tau(y-x)\in C\mbox{ f"ur }0<\tau.$$
Falls $C\not=\emptyset$ und $C\not=\R^{n+1}$, so hei"st $C$
nichttrivialer Kegel.
\end{df}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% vor 18.09.98 %%%%%
\newpage
\section{Das~Blow-up-Verfahren und Darstellbarkeit~als~Subgraph}
\label{blowkap}

%%%%% 10.11.98 %%%%%
\begin{lem} \label{dichtgleichmass}
Sei $E\subset \R^{n+1}$ in der offenen Menge
$\Omega\subset\R^{n+1}$ fast minimale
Caccioppolimenge. Dann stimmen in $\Omega$ dichter und ma"stheoretischer
Rand von $E$ "uberein.
\end{lem}
\bew (Analog zu \cite[Theorem~9.3]{giusti})\\
Stets gilt $\partial_M E\subset\partial E$.\par
Nehme an, es existiert
$x_0\in(\partial E\setminus\partial_M E)\cap\Omega$.
Nehme weiter o.~E.\ $x_0=0$, $B_1(0)\subset\Omega$ an.
Definiere $E_t:=\{x\in\R^{n+1}:tx\in E\}$ f"ur $t>0$.
Da nach Annahme $x_0\notin\partial_M E\cap\Omega$, gilt f"ur eine
beliebige Folge $t_i\to 0$, $i\to\infty$, $t_i>0$, da"s
${(\omega_{n+1} t_i^{n+1})}^{-1}\int\limits_{B_{t_i}}\chi_E$ gegen
$0$ oder $1$ konvergiert f"ur $i\to\infty$:
Falls beispielsweise $\liminf\limits_{\rho\to0}
\frac{|B_\rho(x_0)\cap E|}{|B_\rho(x_0)|}<1$ verletzt ist, gilt
$$1\le\liminf\limits_{\rho\to0}
  \frac{|B_\rho(x_0)\cap E|}{|B_\rho(x_0)|}
  \le\limsup\limits_{\rho\to0}
  \frac{|B_\rho(x_0)\cap E|}{|B_\rho(x)_0|}\le1,$$
d.~h.\ der Grenzwert dieser Folge existiert f"ur $\rho\to0$.
Nehme o.~E.\ an, da"s $\liminf\limits_{\rho\to0}
\frac{|B_\rho(x_0)\cap E|}{|B_\rho(x_0)|}<1$ verletzt ist,
also da"s $\frac{|B_\rho(x_0)\cap E|}{|B_\rho(x_0)|}$ gegen
$1$ konvergiert.
Daraus ergibt sich
$\omega_{n+1}^{-1}\int\limits_{B_1}\chi_{E_{t_i}}\to 1$ f"ur
$i\to\infty$. Also gilt $E_{t_i}\to B_1$ in $L^1(B_1)$.\par
Dies liefert einen Widerspruch, wenn man noch nachweist, da"s
eine Teilfolge in $L^1_{loc}(\R^{n+1})$ gegen eine Menge $C$ mit
$\int\limits_{B_\frac{1}{2}}|D\chi_C|>0=
\int\limits_{B_\frac{1}{2}}|D\chi_{B_1}|$ konvergiert:\par
Nach \cite[S.~137, vgl.~\ref{mm137}]{mm}
gibt es eine Teilfolge, o.~E.\ $t_i$,
so da"s $E_{t_i}\to C$ in $L^1_{loc}(\R^{n+1})$ konvergiert, und $C$
minimaler Kegel in $\R^{n+1}$ mit Spitze 0 ist.
Beachte, da"s auch die reskalierten Mengen $E_{t_i}$ f"ur $0<t_i\le 1$
fast minimal sind:
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B_\rho}|D\chi_{E_t}| & = &
  t^{-n}\int\limits_{B_{\rho t}}|D\chi_E|\\
  & \le & t^{-n}\left(\int\limits_{B_{\rho t}}|D\chi_F|+
    K(\rho t)^{n+2\lambda}\right)\\
  & = & \int\limits_{B_{\rho}}|D\chi_{F_t}|+
    (K t^{2\lambda})\rho^{n+2\lambda}\\
\end{eqnarray*}
$F$ ist dabei eine Vergleichsmenge wie in der Definition beschrieben,
$F_t$ wird analog zu $E_t$ definiert.
\par
Und weiter nach \cite[S.~118, vgl.~\ref{mm118}]{mm} erh"alt man
$$\rho^n\left(\omega_n-\frac{n}{\lambda} K t^{2\lambda}
  \rho^{2\lambda}\right)
  \le\int\limits_{B_\rho}|D\chi_{E_t}|
  =t^{-n}\int\limits_{B_{\rho t}}|D\chi_E|.$$
Nach \cite[S.~139, vgl.~\ref{mm139}]{mm} gilt nun
$$\int\limits_{B_\rho}|D\chi_C|=
  \lim\limits_{t\to 0}t^{-n}\int\limits_{B_{\rho t}}|D\chi_E|.$$
Zusammengenommen erh"alt man
$$\rho^{-n}\int\limits_{B_\rho}|D\chi_{B_1}|=
  0<\omega_n\le\rho^{-n}\int\limits_{B_\rho}|D\chi_C|$$
f"ur alle $1>\rho>0$.
Diese Gleichung zeigt
$C\cap B_\frac{1}{2}\not= B_\frac{1}{2}$,
liefert also den gew"unschten Widerspruch.
\qed

%%%%% 10.11.98 %%%%%
\begin{bem}\label{dichtgleichmassbemerkung}
{\rm
Der Beweis von Lemma \ref{dichtgleichmass} garantiert insbesondere,
da"s beim Blow-up um einen Randpunkt einer
fast minimalen Caccioppolimenge $E$ die Mengen
$E_{t_i}=\{x\in\R^{n+1}:t_ix\in E\}$ in $L^1_{loc}(\R^{n+1})$ weder
gegen die leere Menge noch gegen $\R^{n+1}$ konvergieren
f"ur eine beliebige Folge $t_i\to0$, $t_i>0$.}
\end{bem}


%%%%% 22.11.98 %%%%%
\begin{bem}\label{inkleinendimensionen}{\rm {}
In kleinen Dimensionen, d.~h.\ f"ur $n+1\le8$, hat der Kegel
h"ochstens eine Singularit"at: Angenommen, C habe neben
dem Ursprung noch weitere Singularit"aten, dann enth"alt
die Singularit"atenmenge $\Sigma$, da $C$ Kegel ist,
mindestens eine Halbgerade, und deshalb folgt
$H^1(\Sigma)=+\infty$. Nach
%dem Dimensionsreduktionsverfahren
\cite[Theorem~11.8, S.~134, vgl.~\ref{giu134}]{giusti}
gilt aber $H^s(\Sigma)=0$ f"ur $s>n-7$.
Also gilt hier $s=1\le n-7$ im Widerspruch zu $n+1\le8$, und
somit besitzt $C$ im Fall $n+1\le8$ h"ochstens
eine Singularit"at.
\par
Der Kegelmantel $\partial C$ ohne die m"oglicherweise auftretende
Singularit"at im Ursprung ist dann nach
Theorem \cite[Theorem~2, S.~135, vgl.~\ref{mm135}]{mm}
eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.
\par
Weiterhin kann man o.~E.\ annehmen, da"s $C$ das
ma"stheoretische Innere des Kegels ist, da der Mantel
ohne Ursprung, $\partial C\setminus\{0\}$, als
differenzierbare Mannigfaltigkeit eine
$H^{n+1}$-Nullmenge ist, d.~h.\ die
me"sbare Menge $C$ besitzt in ihrer "Aquivalenzklasse
einen offenen Vertreter.
\par
Mit der gleichen Argumentation erh"alt man dimensionsunabh"angig,
da"s jeder minimale
Kegel $C$ mit h"ochstens einer Singularit"at o.~E.\ offen ist.
Ebenso ist f"ur eine minimale Menge $E$ der reduzierte Rand
$\partial^\star E$ eine reellanalytische Mannigfaltigkeit.}
\end{bem}

%%%%% 30.10.98 %%%%%
Die folgende Definition erweitert den Begriff des Subgraphen,
so da"s man auch von Subgraphen von Funktionen mit Werten
in $\R\cup\{-\infty,+\infty\}=[-\infty,+\infty]$ sprechen kann.
\begin{df}\label{verallgemeinertersubgraph}
{\bf (Subgraph einer Funktion,
  vgl.~{\cite[Definition~16.1, S.~183]{giusti}})}
Sei $\Omega\subset\R^n$ eine offenene Menge,
$u:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ me"sbar.
$$\sub u:=\{(\hat x,t)\in \Omega\times\R:t<u(\hat x)\}$$
hei"st dann Subgraph zur Funktion $u$.
\par
$u$ hei"st Quasi-L"osung der Minimalfl"achengleichung,
falls $\sub u$ in $\Omega\times\R$ minimal ist.
\end{df}

%%%%% 30.10.98 %%%%%
\begin{bem}\label{subgraphensindunterleinslockonvergenzabgeschlossen}
{\rm Ist der Ursprung Randpunkt einer fast minimalen Caccioppolimenge,
so konvergieren die Mengen $E_{t_i}$ aus
Bemerkung \ref{dichtgleichmassbemerkung}
in $L^1_{loc}(\r1)$ nicht gegen die leere Menge oder gegen $\r1$.
Nach \cite[Proposition, S.~137, vgl.~{\ref{mm137}}]{mm}
konvergiert $E_{t_i}$ f"ur eine geeignete Teilfolge $t_i\to0$
gegen einen minimalen Kegel $C$. $C$ ist also nichttrivialer
minimaler Kegel.
\par
Sei nun die Menge $E$ zus"atzlich Subgraph einer me"sbaren Funktion.
Dann sind auch die Mengen $E_{t_i}$ Subgraphen me"sbarer
Funktionen. Nach
Lemma \cite[Lemma~16.3, S.~184, vgl.~\ref{giu184}]{giusti}
ist nun auch $C$ Subgraph einer me"sbaren Funktion
$u:\R^n\to[-\infty,+\infty]$. Da $C$ aber auch ein
Kegel mit Spitze im Ursprung ist, ist $u$ positiv homogen vom
Grade $1$. Weiterhin ist $C=\sub u$ minimal, $u$ also
Quasi-L"osung der Minimalfl"achengleichung.
}\end{bem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 22.10.98 %%%%%
\newpage
\section{Regularit"atssatz}\label{regsatzkap}

%%%%% 20.10.98 %%%%%
\begin{df}
Sei $u:\R^n\to[-\infty,+\infty]$ me"sbar. Definiere
$$P:=\{\hat x\in\R^n:u(\hat x)=+\infty\}$$
und
$$N:=\{\hat x\in\R^n:u(\hat x)=-\infty\}.$$
\par
Falls eine Menge $M$ als Subgraph einer me"sbaren Funktion $u$
darstellbar ist, dann ordnet man $M$ verm"oge $u$ Mengen $P$ und
$N$ gem"a"s der obigen Definition zu.
\end{df}

%%%%% 10.11.98 %%%%%
\begin{bem}
Die Mengen $N$ und $P$ einer als Subgraph darstellbaren Menge $M$
sind als $L^1$-"Aquivalenzklassen wohldefiniert.
\end{bem}
\bew
Zeige die Behauptung nur f"ur $N$. F"ur $P$ verl"auft der Beweis
analog. Seien $u_1$ und $u_2$ zwei me"sbare Funktionen,
$u_i:\R^n\to[-\infty,+\infty]$, $\sub u_i=M$, $i=1,2$.
Definiere f"ur $i=1,2$ zur Funktion $u_i$ die Menge $N_i$.
Nehme an, es gilt $|N_1\vartriangle N_2|>0$. Man erh"alt nun
$$|N_1\setminus N_2|+|N_2\setminus N_1|\ge
  |(N_1\setminus N_2)\cup(N_2\setminus N_1)|=
  |N_1\vartriangle N_2|>0.$$
Nehme daher o.~E.\ $|N_1\setminus N_2|>0$ an.
In $N_1\setminus N_2$ gilt $u_1=-\infty$ und $u_2>-\infty$.
Damit gilt
$$N_1\setminus N_2=\bigcup\limits\sb{k\in\Z}
  \{\hat x\in N_1\setminus N_2:u_2(\hat x)>k\}.$$
Die Mengen $A_k:=\{\hat x\in N_1\setminus N_2:u_2(\hat x)>k\}$
sind aber f"ur beliebiges $k\in\Z$ $n$-dimensionale
Lebesgue-Nullmengen: Sonst erh"alt man f"ur beliebiges $k\in\Z$
\begin{eqnarray*}
0 &=&|\emptyset|=|M\setminus M|\\
  &=&|\sub u_2\setminus \sub u_1|\\
  &\ge & |(\sub u_2\setminus \sub u_1)\cap A_k|\\
  &\ge & |A_k|\cdot (k-(-\infty))\\
  &\ge & |A_k|\cdot 1>0.\\
\end{eqnarray*}
Also ist $A_k$ eine Nullmenge.
Wegen $N_1\setminus N_2=\bigcup\limits_{k\in\Z}A_k$ ist
$N_1\setminus N_2$ also abz"ahlbare Vereinigung von
Nullmengen und damit selber wieder eine Nullmenge, ein
Widerspruch zur Annahme $|N_1\vartriangle N_2|>0$.
Dies zeigt die Wohldefiniertheit.
\qed

%%%%% 25.11.98 %%%%%
\begin{bem}\label{NPkegel}
{\rm Ist ein Kegel mit Zentrum im Ursprung
als Subgraph einer me"sbaren Funktion $u$
darstellbar, so sind die zugeh"origen Mengen $N$ und $P$
ebenfalls Kegel mit Zentrum im Ursprung, und $u$
ist auf ganz $\R^n$ positiv homogen vom Grade $1$.}
\end{bem}

%%%%% 23.11.98 %%%%%
\begin{lem}\label{c1kegelisthalbraumzwei}
Sei $C\subset\R^{n+1}$ ein Kegel, der in einer Umgebung
der Kegelspitze als Subgraph einer
$C^1$-Funktion $u$ darstellbar ist.
Dann stimmt $\partial C$ mit der Tangentialebene $T$ an
$\partial C$ in der Kegelspitze "uberein und $C$ ist
ein Halbraum.
\end{lem}
\bew
Verm"oge einer Translation kann man o.~E.\ annehmen, da"s
die Spitze des Kegels der Ursprung ist.
Da $C$ ein Kegel ist, ist $u$ positiv homogen vom Grade eins
und besitzt eine eindeutig bestimmte Fortsetzung der gleichen
Homogenit"at, die auf ganz $\R^n$ definiert ist und deren
Subgraph somit gerade $C$ ist. Nehme daher o.~E.\ an,
da"s $u$ auf ganz $\R^n$ definiert ist.
Sei $v\in\R^n$ beliebig. Es gilt
$$\langle Du(0),v\rangle=\lim\limits_{t\to0}\frac{u(tv)-u(0)}{t}.$$
Ber"ucksichtigt man nun $u(0)=0$ und die positive Homogenit"at
von $u$, so erh"alt man f"ur $t>0$
$$\langle Du(0),v\rangle=
  \lim\limits_{t\to0}\frac{t\cdot u(v)}{t}=u(v).$$
Die linke Seite dieser Gleichung ist in $v$ linear.
Also ist auch $u$ eine lineare Funktion.
$C$ ist nun Subgraph einer linearen Funktion und somit
ein Halbraum.
\qed

%%%%% 23.11.98 %%%%%
\begin{lem}\label{zentrumistrand}
Sei $K\subset\r1$ ein nichttrivialer me"sbarer Kegel mit
Spitze im Ursprung. Dann gilt $0\in\partial K$.
\end{lem}
\bew
Zeige, da"s weder $0\in K$, noch $0\in\complement K$ gilt:
Angenommen, es gilt $0\in K$, so gibt es nach Definition
des ma"stheoretischen Inneren einer Menge ein $\rho>0$
mit $B_\rho(0)\subset K$. Da $K$ Kegel ist, gilt daher
auch $B_\rho(0)\subset K$ f"ur alle $\rho>0$, d.~h.\
$K=\r1$ im Widerspruch zur Annahme, da"s $K$ nichttrivial ist.
Analog f"uhrt man den Fall $0\in\complement K$ zum Widerspruch.
Somit gilt $0\in\partial K$.
\qed

%%%%% 30.11.98 %%%%%
\begin{thm}[Regularit"atssatz]\label{regsatz}
Sei $C\subset\R^{n+1}$, $n\le7$,
minimaler nichttrivialer Kegel mit Spitze im Ursprung.
Ist $C$ als Subgraph darstellbar,
dann ist $\partial C$ eine Hyperfl"ache und $C$ ein Halbraum.
\end{thm}
Im Fall $n\le6$ gilt dieser Satz nach
Theorem \ref{inkleinendimensionengibtesnurhalbraeume}
auch schon f"ur nicht als Subgraph darstellbare Kegel.
\par
\bew
$C$ besitzt nach Bemerkung \ref{inkleinendimensionen}
h"ochstens eine Singularit"at und diese befindet sich, wenn sie
auftritt, im Ursprung. Au"serdem kann man nach dieser Bemerkung
o.~E.\ annehmen, da"s $C$ offen ist.
Betrachte nun die Mengen $N$ und $P$ wie oben definiert.
Unterscheide zwei F"alle:
\par
{\bf (i)} $N\not=\emptyset$ oder $P\not=\emptyset$:\\
Nehme o.~E.\ $N\not=\emptyset$ an. F"ur $P\not=\emptyset$ verl"auft
der Beweis analog.
Nach \cite[Theorem~16.6, S.~187, vgl.~\ref{giu187}]{giusti}
ist $N\subset\R^n$
minimaler Kegel. Wegen $N\not=\emptyset$ und $C\not=\emptyset$
ist $N$ von $\emptyset$ und $\R^n$ verschieden:
Sei $u:\R^n\to[-\infty,+\infty]$ eine me"sbare Funktion mit
$\sub u=C$. Gilt $N=\R^n$, so ergibt sich $u\equiv-\infty$
und weiterhin $C=\emptyset$, was der Nichttrivialit"at von
$C$ widerspricht. Also gilt $N\not=\R^n$.
\par
Da es in $\R^n$, $n\le 7$, nach
Corollar \ref{inkleinendimensionengibtesnurhalbraeume}
keine minimalen nichttrivialen Kegel au"ser
Halbr"aumen gibt, ist $N$ ein Halbraum.
Ferner gilt $0\in\partial N$ nach Bemerkung \ref{NPkegel}
und Lemma \ref{zentrumistrand}.
Damit liegt aber auch $C$ in einem Halbraum.
Nach \cite[Theorem~15.5, S.~174, vgl.~\ref{giu174}]{giusti}
stimmt $C$ nun mit einem Halbraum
"uberein, wie behauptet war.
\par
{\bf (ii)} $N=P=\emptyset$:\\
Sei $u$ eine me"sbare Funktion $u:\R^n\to\R$ mit ${\rm sub\,}u=C$.
Nach \cite[Proposition~16.7, S.~188, vgl.~\ref{giu188}]{giusti}
ist $u$ in $\R^n$
lokal beschr"ankt: $u\in L^\infty_{loc}(\R^n)$.
Sei $\Omega\Subset\R^n$ eine beliebige offene Kugel.
Da der Subgraph von ${\left.u\right|}_\Omega$ in $\Omega\times\R$
endlichen Perimeter hat, d.~h.\
$\int\limits_{\Omega\times\R}|D\chi_{\sub u}|<\infty$, und
$u\in L^\infty_{loc}(\R^n)$ gilt, erh"alt man nach
\cite[Theorem~1, p.~371, vgl.~\ref{zuBV}]{gia1}
$u\in BV(\Omega)$.
Nach \cite{cg1} ist dann $u\in C^{0,1}(\Omega)$.
Da $u$ aber auch schwache L"osung der Minimalfl"achengleichung
ist, gilt $u\in C^2(\Omega)$.
$\Omega$ war eine beliebige offene Kugel, also
gilt $u\in C^2(\R^n)$.
\par
Die Behauptung folgt nun
unmittelbar aus Lemma \ref{c1kegelisthalbraumzwei}.
\qed

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 30.09.98 %%%%%
\newpage
\section{Anwendungen}\label{anwendkap}

%%%%% 30.11.98 %%%%%
\begin{thm}[Regularit"at f"ur Subgraphen]\label{subgraphanwend}
Ist $E\subset\R^{n+1}$, $n\le 7$, Subgraph und fast
minimal in $\Omega$, $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen,
dann gilt $\partial E\cap\Omega=\partial^\star E\cap\Omega$.
\end{thm}
\bew
Nach Definition gilt stets $\partial^\star E\subset\partial E$.
Sei $x_0\in\partial E\cap\Omega$ beliebig.
Zeige $x_0\in\partial^\star E$:
Verm"oge einer Translation kann man o.~E.\ $x_0=0$ annehmen.
Nach \cite[Proposition, S.~137, vgl.~\ref{mm137}]{mm}
gibt es eine Folge $t_i\to0$, $t_i>0$, so da"s
$E_{t_i}:=\{x\in\R^{n+1}:t_ix\in E\}$
f"ur $i\to\infty$ in $L^1_{loc}(\R^{n+1})$
gegen einen minimalen Kegel $C$ konvergiert.
Nach Bemerkung \ref{dichtgleichmassbemerkung}
ist $C$ nichttrivialer Kegel. Dar"uberhinaus
gilt gem"a"s der erw"ahnten Proposition
$$0\in\partial^\star C\quad\Longleftrightarrow\quad
  x_0=0\in\partial^\star E.$$
Bemerkung \ref{inkleinendimensionen} besagt, da"s man
o.~E.\ annehmen kann, da"s $C$ offen ist. Nach
Bemerkung \ref{subgraphensindunterleinslockonvergenzabgeschlossen}
wei"s man, da"s $C$ als Subgraph darstellbar ist.
Nach Theorem \ref{regsatz} erh"alt man nun,
da"s $\partial C$ eine Hyperebene ist. Wie in
Lemma \ref{dichtgleichmass} kann man $0\in\partial C$ nachweisen.
Offenbar gilt $\partial C=\partial^\star C$
nach Bemerkung \ref{giu44}, da der Rand
$\partial C$ als Hyperebene
eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
Dies zeigt verm"oge der obigen "Aquivalenz
$x_0\in\partial^\star E$ und somit die Behauptung.
\qed

%%%%% 22.10.98 %%%%%
\begin{thm}\label{simonthm}
Simons Kegel
$$K^{2m}:=\left\{x\in\R^{2m}:\sum\limits_{i=1}^m\left(x^i\right)^2<
\sum\limits_{i=m+1}^{2m}\left(x^i\right)^2\right\}$$
ist f"ur $m\ge4$ ein minimaler Kegel.
\end{thm}
\bew
\cite[Theorem~16.4, S.~185]{giusti}
\qed

%%%%% 22.11.98 %%%%%
\begin{lem}\label{neundimensionalesgegenbeispiel}
Theorem \ref{subgraphanwend} gilt in $\R^9$ nicht mehr, d.~h.\
ersetzt man die Voraussetzung $E\subset\r1$, $n\le7$, durch
$E\subset\r1$, $n\le8$, so folgt nicht mehr
$\partial E\cap\Omega=\partial^\star E\cap\Omega$.
\end{lem}
\bew
Sei $K:=K^8$ der in Theorem \ref{simonthm} definierte minimale Kegel.
$K\times\R\subset\R^9$ ist offenbar Subgraph der Funktion $u$ mit
$$u(\hat x):=\left\{\begin{array}{r@{\quad:\quad}l}
  +\infty & \hat x\in K\\
  -\infty & \hat x\not\in K\\
  \end{array}\right.$$
f"ur $\hat x\in\R^8$ und nach
\cite[Beispiel~16.2, S.~183, vgl.~\ref{giu183}]{giusti} minimal.
Ma"stheoretischer und reduzierter Rand stimmen in diesem
Beispiel nicht "uberein, es gilt
$\partial(K\times\R)=
  \partial^\star(K\times\R)\dot{\cup}(\{0\}\times\R)$:
Diese Gleichheit ergibt sich, da f"ur fast minimale Mengen
$E\subset\r1$ der reduzierte Rand genau aus den Randpunkten
$x$ besteht, f"ur die $\partial E$ in einer Umgebung
von $x$ eine $C^1$-Mannigfaltigkeit ist.
\qed

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 07.11.98 %%%%%
\def\ds{{d\overline{s}}}
\def\tN{{\tilde{N}}}
\def\gab{{\overline{g}_{\alpha\beta}}}
\def\g{{\overline{g}}}
\def\gh{{\hat g}}

%%%%% 12.10.98 %%%%%
\newpage
\section{Vorgeschriebene mittlere Kr"ummung}\label{vorgegHkap}
%%%%% 30.11.98 %%%%%
In der Arbeit \cite{cg} wird das folgende Problem betrachtet:\\
In einer vollst"andigen lokal konform flachen $(n+1)$-dimensionalen
Riemannschen Mannigfaltigkeit $N$ wird eine geschlossene zu
$S^n$ hom"oomorphe Hyperfl"ache $M$ vorgeschriebener mittlerer
Kr"ummung $f$, $f\in C^{0,1}(N)$, gesucht, d.~h.\ die
Gleichung $H|_M=f(x)$ soll durch eine Hyperfl"ache der Klasse
$C^{2,\alpha}$ gel"ost werden. Die Hyperfl"ache wird in einer
offenen, zusammenh"angenden, relativ kompakten Teilmenge
$\Omega$ von $N$ gesucht, die man verm"oge eines Diffeomorphismusses
als Teilmenge des $\r1$ betrachtet. Der Rand von
$\Omega$ bestehe aus zwei Komponenten $M_1$ und $M_2$, die sich
in euklidischen Polarkoordinaten $(x^\alpha)_{0\le\alpha\le n}$,
$x^0\equiv r$, mit Hilfe von Funktionen
$u_i\in C^{2,\alpha}(S^n,(0,\infty))$ als Graphen "uber $S^n$
darstellen lassen:
$M_i={\rm graph\,}\left.u_i\right|_{S^n}=
  \{(z,u_i(z)):z\in S^n\}$.
$M_1$ und $M_2$ wirken als Barrieren, d.~h.\ es gilt
$H|_{M_1}\le f$ und $H|_{M_2}\ge f$, wobei der
Normalenvektor stets so ausgew"ahlt wird, da"s die
0-te Komponente negativ ist.\\
In der erw"ahnten Arbeit wird bewiesen, da"s unter den oben
angegebenen Voraussetzungen eine solche Hyperfl"ache $M$
existiert, falls $n\le6$ ist. In diesem Kapitel wird
nun gezeigt, da"s eine solche Hyperfl"ache auch noch im
Fall $n=7$ existiert.

%%%%% 22.11.98 %%%%%
\begin{thm}\label{hyperflaechenbisdimensionacht}
Das Problem
\glqq Finde eine geschlossene Hyperfl"ache $M\subset\overline{\Omega}$
der Klasse $C^{2,\alpha}$ mit $\left.H\right|_M=f$, die
hom"oomorph zu $S^n$ ist.\grqq\ besitzt unter den oben
angegebenen Voraussetzungen
eine L"osung, falls $n\le7$ ist.
\end{thm}
Der Beweis dieses Theorems ben"otigt noch einige Lemmata:

%%%%% 30.11.98 %%%%%
\begin{lem}\label{randinvarianzlemma}
Das metrische Produkt $S^n\times\R$ ist lokal konform "aquivalent
zu $\reu$. Man kann $S^n\times\R$ mit $\reu$ identifizieren.
Der ma"stheoretische Rand einer me"sbaren Menge $E$ in $S^n\times\R$
stimmt mit dem ma"stheoretischen Rand von $E$ in $\reu$ "uberein,
falls man $S^n\times\R$ mit $\reu$ identifiziert. Der
reduzierte Rand $\partial^\star E$ in $\reu$ ist eine Teilmenge
des reduzierten Randes $\partial^\star E$ in $S^n\times\R$,
falls $E$ in $\r1$ fast minimal ist.
\end{lem}
\bew
Sei $\tN=S^n\times\R$ das metrische Produkt von $S^n$ und $\R$.
Die Metrik von $\tN$ l"a"st sich darstellen als
$$\ds_\tN^2=dt^2+\sigma_{ij}dx^idx^j,$$
wobei $(x^i)_{1\le i\le n}$ Koordinaten von $S^n$ sind,
und $t\in\R$ ist. Identifiziere nun die Mannigfaltigkeit $\tN$
mit ihrem Bild in $\r1$ unter dem Diffeomorphismus
\begin{eqnarray*}
\Psi:S^n\times\R &\to& \reu,\\
(x,t) &\mapsto& (x,e^t)\equiv(x,r).\\
\end{eqnarray*}
$\Psi$ ist Isometrie, wenn man $\reu$ mit der Metrik
$$\frac{1}{r^2}dr^2+\sigma_{ij}dx^idx^j$$
versieht. $((x^i)_{1\le i\le n}, r)$ sind dabei Polarkoordinaten
des $\reu$.
Nehme verm"oge dieser Isometrie
$$(\tN,\ds_\tN^2)=(\reu,\frac{1}{r^2}dr^2+\sigma_{ij}dx^idx^j)$$
an. Nun gilt
\begin{eqnarray*}
\ds^2_\tN
&=& \frac{1}{r^2}dr^2+\sigma_{ij}dx^idx^j\\
&=& \frac{1}{r^2}(dr^2+r^2\sigma_{ij}dx^idx^j)\\
&=& \frac{1}{r^2}\ds^2_\r1.\\
\end{eqnarray*}
Die letzte Gleichheit ergibt sich, da $dr^2+r^2\sigma_{ij}dx^idx^j$
die Darstellung der Standardmetrik des $\reu$ in Polarkoordinaten ist.
$\ds^2_\tN=\frac{1}{r^2}\ds^2_\r1$ besagt aber genau, da"s in
beliebigen lokalen Koordinaten f"ur die metrischen Tensoren
$\gab$ von $\tN$ und $\gh_{\alpha\beta}$ von $\reu$
die Beziehung $\gab=\frac{1}{r^2}\gh_{\alpha\beta}
=e^{-2\log r}\gh_{\alpha\beta}$ gilt, d.~h.\
$(\tN,\gab)$ und $(\reu,\gh_{\alpha\beta})$
sind lokal konform "aquivalent.
\par
Da der gr"o"ste und der kleinste Eigenwert von $\gab$ bez"uglich
$\gh_{\alpha\beta}$ auf kompakten Mengen $K$, $K\subset\reu$,
nach oben bzw.\ unten durch $c=c(K)>0$ bzw.\ $\frac{1}{c}$ beschr"ankt
sind, ist auch das Verh"altnis von Wegl"angen von Wegen in $K$
bez"uglich der beiden Metriken
beschr"ankt. Dies bedeutet, da"s die geod"atischen Kugeln
bez"uglich der beiden Metriken f"ur hinreichend kleine Radien
$\rho>0$ geschachtelt sind:
$$B_{\frac{1}{c}\rho}^\gh(x)\subset B_\rho^\g(x)
  \subset B^\gh_{c\rho}(x)\quad{\rm f"ur}\quad x\in K,\,
  c=c(K)>0.$$
\par
Der ma"stheoretische Rand und das ma"stheoretische Innere/Komplement
einer Menge sind im Fall einer Mannigfaltigkeit genauso wie in $\r1$
definiert. Als Kugeln verwendet man hier jedoch geod"atische Kugeln.
Sei $x\in\complement E$ im ma"stheoretischen Sinn in $\tN$. Es gilt
also f"ur ein $\rho>0$
$$\int\limits_{B^\g_\rho(x)}\chi_E\sqrt{\g}=0.$$
Da jede geod"atische Kugel in $\tN$ eine geod"atische Kugel
in $\r1$ enth"alt, existiert ein $r>0$, so da"s
$B_r^\gh(x)\subset B^\g_\rho(x)$ gilt. Nun ergibt sich
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B_r^\gh(x)}\chi_E&\le&
  \int\limits_{B_\rho^\g(x)}\chi_E\\
&\le&\sup\limits_{B_\rho^\g(x)}\frac{1}{\sqrt{\g}}\cdot
  \int\limits_{B_\rho^\g(x)}\chi_E\sqrt{\g}=0\\
\end{eqnarray*}
Ganz analog zeigt man, da"s $x\in\complement E$ in $\r1$
auch $x\in\complement E$ in $\tN$ impliziert.
Ebenfalls analog erh"alt man
$$x\in E\mbox{ in }\tN\Longleftrightarrow x\in E\mbox{ in }\r1$$
und somit
$$x\in \partial E\mbox{ in }\tN
  \Longleftrightarrow x\in \partial E\mbox{ in }\r1.$$
Dies bedeutet, da"s die ma"stheoretischen Mengendefinitionen
in $\r1$ und $\tN$ "ubereinstimmen.
\par
Sei schlie"slich $x\in\partial^\star E$ in $\r1$.
$\partial E$ ist dann in einer Umgebung von $x$ eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit. Da $\Psi$ Diffeomorphismus
ist, und die ma"stheoretischen R"ander "ubereinstimmen,
ist auch $\partial E$ in einer Umgebung von $x$
in $\tN$ eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit. Somit gilt $x\in\partial^\star E$ in $\tN$.
\qed

%%%%% 22.11.98 %%%%%
\begin{lem}\label{alssubgraphdarstellbarlemma}
Sei $E\subset\r1$ me"sbar und als Subgraph "uber $S^n$ darstellbar,
d.~h.
$$E=\{(\hat x,t)\in S^n\times\R^+\subset\reu:t<u(\hat x)\},$$
sei in Polarkoordinaten als Subgraph darstellbar.
Gelte $H^{n+1}(\partial E)=0$, $u(\hat x)\ge c>0$.
Sei $z_0=(0, z_0^{n+1})\subset\r1$ mit $z_0^{n+1}>0$ beliebig.
Konvergiert
$$E_{t_i}=\{y\in\r1:z_0+t_i(y-z_0)\in E\}$$
f"ur eine gegebene Folge $t_i\to0$, $t_i>0$,
$i\in\N\setminus\{0\}$, in $L^1_{loc}(\r1)$
gegen einen Kegel $C$ mit $H^{n+1}(\partial C)=0$, dann ist
$C$ als Subgraph "uber $\R^n\equiv{\langle z_0\rangle}^\perp$ darstellbar.
\end{lem}
\bew
Identifiziere $\R^n$ mit ${\langle z_0\rangle}^\perp$ und
f"uhre orthogonale Koordinaten ein.
Zeige, da"s es kein $\hat x\in\R^n$ gibt, so da"s
$(\hat x, t)\in C\cup\partial C$ und $(\hat x, \tau)\in\complement C$
gilt mit $t>\tau$ oder
$(\hat x, t)\in C$ und $(\hat x, \tau)\in\partial C$ mit $t>\tau$:
\par
{\bf (i)} Nehme verm"oge einer Streckung um den Ursprung o.~E.\ an,
da"s $z_0^{n+1}=1$ gilt.
Damit die folgenden "Uberlegungen einfacher in Koordinaten
darstellbar sind, nimmt man nach einer Translation
des Koordinatensystems $z_0=0$ an. Dann gilt
$$E_{t_i}=\{y\in\r1:t_iy\in E\}.$$
$E$ und $E_{t_i}$ sind nun als Subgraphen "uber $S^n$ mit
Mittelpunkt $(0,-1)$ bzw.\ $(0,-\frac{1}{t_i})$ darstellbar.
\par
{\bf (ii)} $(\hat x, t)\in C\cup\partial C$ und
$(\hat x, \tau)\in\complement C$ $\Longrightarrow$ $t<\tau$:\\
Nehme an, es gibt $\hat x_0\in\R^n$, so da"s
$(\hat x_0,t_0)\in C\cup\partial C$, $(\hat x_0,\tau_0)\in\complement C$
und $t_0>\tau_0$ gilt. $\complement C$ ist eine offene Menge.
Also gibt es ein $\rho>0$, so da"s
$B_\rho((\hat x_0,\tau_0))\subset\complement C$ ist.
Betrachte nun die Halbgeraden $g_i$, die $(\hat x_0,t_0)$ und
$\left(0,-\frac{1}{t_i}\right)$ enthalten und deren Endpunkt
$\left(0,-\frac{1}{t_i}\right)$ ist. Es gilt
$$g_i=\left\{\left(0,-\frac{1}{t_i}\right)+
  \lambda\left[\left(\hat x_0,t_0\right)-
  \left(0,-\frac{1}{t_i}\right)\right]:\lambda\ge0\right\}.$$
Schreibe auch $g_i(\lambda)$ statt
$\left(0,-\frac{1}{t_i}\right)+
  \lambda\left[\left(\hat x_0,t_0\right)-
  \left(0,-\frac{1}{t_i}\right)\right]$.
F"ur alle $r>0$ gilt
$\int\limits_{B_r((\hat x_0,t_0))}\chi_C\ge2\varepsilon(r)>0$,
da $(\hat x_0,t_0)\in C\cup\partial C$.
Da $E_{t_i}$ in $L^1_{loc}(\r1)$ gegen $C$ konvergiert, erh"alt
man auch $\int\limits_{B_r((\hat x_0,t_0))}\chi_{E_{t_i}}\ge
\varepsilon(r)>0$ f"ur $i\ge i_0(r)$.
Setze $r=\frac{\rho}{2}$ und nehme
o.~E.\ an, da"s die obige Ungleichung f"ur alle $i$ gilt.
Analog kann man f"ur hinreichend
gro"se $i$ auch Halbgeraden $g_i^y$ durch
$y\in B_r((\hat x_0,t_0))$ und $\left(0,-\frac{1}{t_i}\right)$
definieren. Ist nun $y\in E_{t_i}$, so ist aufgrund der
Darstellbarkeit von $E_{t_i}$ als Subgraph auch
$g_i^y(\lambda)\in E_{t_i}$ f"ur $0<\lambda<1$.
$y\mapsto g_i^y(\lambda)$ beschreibt genau die Streckung mit
Zentrum $\left(0,-\frac{1}{t_i}\right)$ um den Faktor $\lambda$.
Da $H^{n+1}(\partial E_{t_i})=0$ ist, gilt fast "uberall
$$\chi_{E_{t_i}}(x)=1\quad\Longleftrightarrow\quad x\in E_{t_i}.$$
Nehme o.~E.\ an, da"s diese Relation "uberall gilt.
Nun ergibt sich unter Ber"ucksichtigung von
$y\in E_{t_i}\Longrightarrow g_i^y(\lambda)\in E_{t_i}$ f"ur
$0<\lambda<1$
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B_r((\hat x_0,t_0))}\chi_{E_{t_i}}(y)\,dy
&\le&\int\limits_{B_r((\hat x_0,t_0))}
  \chi_{E_{t_i}}\circ g_i^y(\lambda)\,dy\\
&=&\frac{1}{\lambda^{n+1}}
  \int\limits_{B_{\lambda r}(g_i^{(\hat x_0,t_0)}(\lambda))}
  \chi_{E_{t_i}}.\\
\end{eqnarray*}
Daraus folgert man
$$\int\limits_{B_{\lambda r}(g_i(\lambda))}
  \chi_{E_{t_i}}\ge\lambda^{n+1}\varepsilon(r)>0.$$
W"ahlt man insbesondere
$$\lambda_i=\frac{\tau_0+\frac{1}{t_i}}{t_0+\frac{1}{t_i}},$$
so gilt $\lambda_i<1$ und o.~E., d.~h.\ f"ur $i\ge i_0$,
gilt auch $\lambda_i>0$.
Man erh"alt
\begin{eqnarray*}
g_i(\lambda_i)&=&\left(0,-\frac{1}{t_i}\right)+
  \frac{\tau_0+\frac{1}{t_i}}{t_0+\frac{1}{t_i}}
  \left(\hat x_0,t_0+\frac{1}{t_i}\right)\\
&=&\left(\frac{\tau_0+\frac{1}{t_i}}{t_0+\frac{1}{t_i}}\hat x_0,
  \tau_0\right)\\
&=&\left(\lambda_i x_0,\tau_0\right).\\
\end{eqnarray*}
F"ur $i\to\infty$ konvergiert $\lambda_i$ gegen $1$ und $g_i(\lambda_i)$
gegen $(\hat x_0,\tau_0)$. Da $r<\rho$ ist, gilt f"ur hinreichend
gro"ses $i$
$$B_{\lambda_ir}(g_i(\lambda_i))\subset
  B_{r}(g_i(\lambda_i))\subset B_\rho((\hat x_0,\tau_0)).$$
Durch Kombination der obigen Aussagen schlie"st man
\begin{eqnarray*}
0&=&\int\limits_{B_\rho((\hat x_0,\tau_0))}\chi_C\\
&=&\lim\limits_{i\to\infty}
  \int\limits_{B_\rho((\hat x_0,\tau_0))}\chi_{E_{t_i}}\\
&\ge&\lim\limits_{i\to\infty}
  \int\limits_{B_{\lambda_i r}(g_i(\lambda_i))}\chi_{E_{t_i}}\\
&\ge&\lim\limits_{i\to\infty}
  \lambda_i^{n+1}\varepsilon(r)=\varepsilon(r)>0.\\
\end{eqnarray*}
Dies f"uhrt somit die Annahme zum Widerspruch und zeigt daher,
da"s $(\hat x,t)\in C\cup\partial C$ und
$(\hat x,\tau)\in \complement C$ die Relation $t<\tau$ impliziert.
\par
{\bf (iii)} $(\hat x, t)\in C$ und
$(\hat x, \tau)\in\partial C$ $\Longrightarrow$ $t<\tau$:\\
Man geht ganz analog zu (ii) vor:
Nehme $(\hat x_0, t_0)\in C$ und $(\hat x_0, \tau_0)\in\partial C$
mit $t_0>\tau_0$ an. Es existiert $\rho>0$, so da"s
$\int\limits_{B_\rho((\hat x_0,t_0))}\chi_{\complement C}=0$ gilt.
Definiere wieder Halbgeraden $g_i^y$.
Analog zu oben kommt man zur Ungleichung
$$\int\limits_{B_{\frac{\rho}{2}}((\hat x_0,\tau_0))}
  \chi_{\complement E_{t_i}}\ge
  \varepsilon\left({\frac{\rho}{2}}\right)>0.$$
Die Darstellbarkeit als Subgraph "uber $S^n$ liefert
$$y\in\complement E_{t_i}\quad\Longrightarrow\quad
  g_i^y(\lambda)\in\complement E_{t_i}\mbox{ f"ur }\lambda>1.$$
Betrachte nun Kugeln um $g_i^{(\hat x_0,\tau_0)}(\lambda_i)$
mit $\lambda_i=\frac{t_0+\frac{1}{t_i}}{\tau_0+\frac{1}{t_i}}$
und Radius $\frac{\rho}{2}\lambda_i$.
Wie in (ii) ergibt sich ein Widerspruch.
\par
{\bf (iv)} Man erh"alt also, da"s f"ur festes $\hat x\in\R^n$ Zahlen
$t_1$ und $t_2$ mit $t_1\le t_2$ aus $[-\infty,+\infty]$
existieren, so da"s
$$\{\hat x\}\times(-\infty,t_1)\subset C,$$
$$\{\hat x\}\times([t_1,t_2]\cap\R)\subset\partial C$$
und
$$\{\hat x\}\times(t_2,+\infty)\subset\complement C.$$
F"ur $H^n$-fast alle $\hat x\in\R^n$ gilt
$t_1(\hat x)=t_2(\hat x)$:
Zeige nur, da"s f"ur $H^n$-fast alle $\hat x\in\R^n$
die Ungleichung $t_2(\hat x)-t_1(\hat x)<\frac{1}{k}$
f"ur $k\ge 1$ gilt. Setze
$A_k:=\{\hat x\in\R^n:t_2(\hat x)-t_1(\hat x)\ge\frac{1}{k}\}$.
Es gilt $0=H^{n+1}(\partial C)\ge\frac{1}{k} H^n(A_k)$.
Also ergibt sich $H^n(A_k)=0$.
Daraus folgt aber auch, da"s
$\{\hat x\in\R^n:t_1<t_2\}=\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k$
eine $H^n$-Nullmenge ist.
Damit ist durch $u(\hat x):= t_1(\hat x)$ eine Funktion
erkl"art, so da"s $C=\sub u$ f"ur einen Vertreter aus
der "Aquivalenzklasse von $C$ gilt. $u$ ist eine me"sbare
Funktion, da $C$ me"sbar ist.
\qed

%%%%% 07.11.98 %%%%%
\def\ea{{\eta^\alpha}}
\def\eb{{\eta^\beta}}
\def\eat{{\tilde{\eta}^\alpha}}
\def\ebt{{\tilde{\eta}^\beta}}
\def\eae{{\eta^\alpha_\varepsilon}}
\def\ebe{{\eta^\beta_\varepsilon}}
\def\eate{{\tilde{\eta}^\alpha_\varepsilon}}
\def\ebte{{\tilde{\eta}^\beta_\varepsilon}}

%%%%% 23.11.98 %%%%%
\begin{lem}[C.~Gerhardt, nach einer Seminarnotiz]%
\label{fastminimalbleibterhaltenlemma}
Sei $E$ in $\Omega\Subset S^n\times\R=\tN=(\tN,\gab)$
fast minimal. Betrachte $\tN$ als Teilmenge des $\r1$.
Da $\tN$ lokal konform "aquivalent zu $\r1$ ist, ist $E$
auch in $\Omega\subset\r1=(\r1,\delta_{\alpha\beta})$ fast minimal.
Falls $E$ in $\tN$ mit einer Konstanten $0<\lambda\le\frac{1}{2}$,
$\lambda$ wie in der Definition der Fast-Minimalit"at, fast minimal
ist, so kann diese Konstante auch im $\r1$ beibehalten werden.
\end{lem}
\bew
{\bf (i)} In $\r1$ ist der Perimeter einer me"sbaren Menge $F$ in einer
offenen Menge $\Omega$ wie folgt definiert:
\begin{eqnarray*}
P_\r1(F,\Omega)&=&\int\limits_{\Omega\subset\r1}|D\chi_F|\\
  &=&\sup\left\{\int\limits_\Omega\chi_F\div\eta\,:\,\eta\in
    C^1_c(\Omega,\r1),\,|\eta(x)|\le1\mbox{ f"ur }x\in\Omega\right\}.\\
\end{eqnarray*}
Diese Definition gilt auch in $\tN$:
\begin{eqnarray*}
P_\tN(F,\Omega)&=&\int\limits_{\Omega\subset\tN}|D\chi_F|\\
  &=&\sup\left\{\int\limits_{\Omega\subset\tN}\chi_F
    \div\eta\,:\,\eta^\alpha\in
    C^1_c(\Omega),0\le\alpha\le n,\right.\\
  &&\left.\rule{0em}{4.1ex}
    ||\eta(x)||\le1\mbox{ f"ur }x\in\Omega\right\}\\
  &\equiv&\sup\left\{\int\limits_\Omega\chi_F
    \frac{\partial}{\partial x^\alpha}
    (\sqrt{\overline{g}}\eta^\alpha)\,
    :\,\eta^\alpha\in
    C^1_c(\Omega),{0\le\alpha\le n},\right.\\
   &&\left.\rule{0em}{4.1ex}\overline{g}_{\alpha\beta}(x)
    \eta^\alpha(x)\eta^\beta(x)\le1\mbox{ f"ur }x\in\Omega\right\}\\
\end{eqnarray*}
Dabei ist $\{\overline{g}_{\alpha\beta}\}_{0\le\alpha,\beta\le n}$
die Metrik von $\tN$, $\overline{g}$ ihre Determinante. "Uber doppelt
auftretende griechische Indices wird von $0$ bis $n$ summiert.
Betrachte ab jetzt die Situation stets in einem
Koordinatensystem, in dem die Standardmetrik des $\r1$ durch
den metrischen Tensor
$(\delta_{\alpha\beta})_{0\le \alpha,\beta\le n}$ dargestellt wird.
\par
{\bf (ii)} Die Fast-Minimalit"at von $E$ in $\tN$ bedeutet, da"s
f"ur ein $\lambda$ mit $0<\lambda<1$ und $A\Subset\Omega$
Zahlen $R$ und $K$ mit $0<R<\dist(A,\complement\Omega)$
und $K\ge0$ existieren, so da"s f"ur alle $x\in A$,
$0<\rho<R$ und $F$ mit $E\vartriangle F\Subset B_\rho^\g(x)$
$$\int\limits_{B_\rho^\g(x)\subset\tN}|D\chi_E|\le
  \int\limits_{B_\rho^\g(x)\subset\tN}|D\chi_F|+
  K\rho^{n+2\lambda}$$
gilt. Der obere Index bei den Kugeln deutet an, bez"uglich
welcher Metrik es sich um geod"atische Kugeln handelt.
Nehme o.~E.\ an, da"s $R$ so klein ist, da"s
$B_\rho^\delta(x)\subset B_{c\rho}^\g(x)$ gilt f"ur ein
$c(A)>0$ und f"ur alle $x\in A$ und $\rho$ mit $0<\rho<R$.
F"ur $\rho<\tilde{R}=\frac{R}{c}$ gilt also mit
$\tilde{K}=Kc^{n+2\lambda}$ auch
$$\int\limits_{B_{c\rho}^\g(x)\subset\tN}|D\chi_E|\le
  \int\limits_{B_{c\rho}^\g(x)\subset\tN}|D\chi_F|+
  \tilde{K}\rho^{n+2\lambda}$$
falls $E\vartriangle F\Subset B_\rho^\delta(x)$.
Da die symmetrische Differenz von $E$ und $F$ kompakt in
$B_\rho^\delta(x)$ enthalten ist, stimmen die beiden Integrale
"uberein, wenn man nur "uber
$B_{c\rho}^\g(x)\setminus B_\rho^\delta(x)$ integriert. Diesen
Beitrag kann man auf beiden Seiten abziehen und erh"alt
$$\int\limits_{B_\rho(x)\subset\tN}|D\chi_E|\le
  \int\limits_{B_\rho(x)\subset\tN}|D\chi_F|+
  \tilde{K}\rho^{n+2\lambda}.$$
$B_\rho$ steht dabei f"ur $B_\rho^\delta$. Schreibe im folgenden
auch wieder $R$ statt $\tilde{R}$ und $K$ statt $\tilde{K}$.
Die obige Gleichung besagt insbesondere, da"s es gen"ugt, die Perimeter
f"ur euklidische Kugeln zu vergleichen.
\par
{\bf (iii)} Sei $F$ eine beliebige Caccioppolimenge in $\tN$.
Sei $\varepsilon>0$, $x_0\in A$ beliebig. W"ahle
$\eta^\alpha_\varepsilon \in C^1_c(B_\rho(x_0))$,
${0\le\alpha\le n}$, so da"s
\def\eae{{\eta^\alpha_\varepsilon}}
\def\ebe{{\eta^\beta_\varepsilon}}
$\gab\eae\ebe\le1$ und
$$\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_F|\le\varepsilon+
  \int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}\chi_FD_\alpha\eae.$$
Nun gilt
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_F|
&\le&\varepsilon+\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}\chi_FD_\alpha\eae\\
&=&\varepsilon+\int\limits_{B_\rho(x_0)}\chi_F
 \frac{\partial}{\partial x^\alpha}(\sqrt{\overline{g}(x)}\eae)\\
&=&\varepsilon+\int\limits_{B_\rho(x_0)}\chi_F
 \frac{\partial}{\partial x^\alpha}\left(\sqrt{\overline{g}(x_0)}
 \left(\frac{\sqrt{\overline{g}(x)}}{\sqrt{\overline{g}(x_0)}}
 \eae\right)\right).\\
\end{eqnarray*}
Es gilt f"ur $x\in B_\rho(x_0)$, falls $R=R(A)$ hinreichend
klein ist, f"ur $0<\rho<R$
\begin{eqnarray*}
&&\gab(x_0)\frac{\sqrt{\g(x)}}{\sqrt{\g(x_0)}}\eae(x)
  \frac{\sqrt{\g(x)}}{\sqrt{\g(x_0)}}\ebe(x)\\
&\le&\sup\limits_{y\in A}\sup\limits_{z\in B_\rho(y)}
  \left(\frac{\sqrt{\g(z)}}{\sqrt{\g(x_0)}}\right)^2\cdot\\
&&\cdot((\gab(x_0)-\gab(x))\eta^\alpha(x)\eta^\beta(x)
  +\gab(x)\eta^\alpha(x)\eta^\beta(x))\\
&\le&(1+\rho c(A))\cdot(\rho c(A)+1)\\
&\le&1+\rho c(A).\\
\end{eqnarray*}
Diese Absch"atzungen beruhen insbesondere auf dem Mittelwertsatz.
$c(A)$ steht unter Umst"anden bei jedem neuen Auftreten f"ur
eine andere Konstante, die aber jeweils nur von $A$ abh"angt.
Beachte auch, da"s $R=R(A)=c(A)$ gilt.
Setzt man
$\eate=\frac{\sqrt{\g(x)}}{\sqrt{\g(x_0)}}\eae(x)$,
so erh"alt man
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_F|
&\le&\varepsilon+\int\limits_{B_\rho(x_0)}\chi_F
  \frac{\partial}{\partial x^\alpha}(\sqrt{\g(x_0)}\eate)\\
&=&\varepsilon+\sqrt{1+\rho c(A)}\int\limits_{B_\rho(x_0)}\chi_F
  \frac{\partial}{\partial x^\alpha}
  \left(\sqrt{\g(x_0)}\frac{\eate}{\sqrt{1+\rho c(A)}}\right)\\
&\le&\varepsilon+(1+\rho c(A))\cdot\sup\left\{
  \int\limits_{B_\rho(x_0)}\chi_F
  \frac{\partial}{\partial x^\alpha}
  \left(\sqrt{\g(x_0)}\ea\right):\right.\\
&&\eta^\alpha\in
  C^1_c(B_\rho(x_0)),{0\le\alpha\le n},\\
&&\left.\rule{0em}{4.1ex}
  \gab(x_0)\ea(x)\eb(x)\le1\mbox{ f"ur } x\in B_\rho(x_0)\right\}\\
&\equiv&\varepsilon+(1+\rho c(A))\cdot
  P_{(\r1,\g(x_0))}(F,B_\rho(x_0))\\
\end{eqnarray*}
Da $\varepsilon>0$ beliebig war, folgt
$$\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_F|
  \le(1+\rho c(A))\cdot P_{(\r1,\g(x_0))}(F,B_\rho(x_0)).$$
\par
{\bf (iv)} Sei $F$ wieder eine beliebige Caccioppolimenge in $\tN$,
seien $0<\rho<R$, $x_0\in A$ und
$\eta^\alpha\in C^1_c(B_\rho(x_0))$ mit
$\gab(x_0)\ea(x)\eb(x)\le1$.
F"ur $\eat(x)=\frac{\sqrt{\g(x_0)}}{\sqrt{\g(x)}}\ea(x)$ gilt
dann
\begin{eqnarray*}
&&\gab(x)\eat(x)\ebt(x)\\
&=&\gab(x)\frac{\g(x_0)}{\g(x)}\ea(x)\eb(x)\\
&\le&(1+\rho c(A))
  (\gab(x_0)\ea(x)\eb(x)+(\gab(x)-\gab(x_0))\ea(x)\eb(x))\\
&\le&(1+\rho c(A))(1+\rho c(A))\\
&\le&1+\rho c(A).\\
\end{eqnarray*}
Also folgt
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_F|
&\ge&\frac{1}{1+\rho c(A)}\int\limits_{B_\rho(x_0)}
  \chi_F\frac{\partial}{\partial x^\alpha}(\sqrt{\g(x)}\eat(x))\\
&\ge&\frac{1}{1+\rho c(A)}\int\limits_{B_\rho(x_0)}
  \chi_F\frac{\partial}{\partial x^\alpha}(\sqrt{\g(x_0)}\ea(x))\\
\end{eqnarray*}
Gehe nun in dieser Ungleichung zum Supremum "uber alle
$\ea\in C^1_c(B_\rho(x_0))$
mit $\gab(x_0)\ea(x)\eb(x)\le1$ "uber. Es folgt
$$\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_F|
  \ge\frac{1}{1+\rho c(A)}P_{(\r1,\g(x_0))}(F,B_\rho(x_0))$$
\par
{\bf (v)} Aufgrund der konformen "Aquivalenz gilt
$\gab(x_0)=\vartheta(x_0)\delta_{\alpha\beta}(x_0)$
mit $0<\vartheta(x_0)<\infty$. Nun ergibt sich
\begin{eqnarray*}
&&P_{(\r1,\g(x_0))}(F,B_\rho(x_0))\\
&=&\sup\left\{\int\limits_{B_\rho(x_0)}\chi_F
  \frac{\partial}{\partial x^\alpha}(\sqrt{\g(x_0)}\ea):
  \ea\in C^1_c(B_\rho(x_0)),{0\le\alpha\le n},\right.\\
  &&\left.\rule{0em}{4.1ex}\gab(x_0)\ea(x)\eb(x)\le1\right\}\\
&=&\sup\left\{\int\limits_{B_\rho(x_0)}\chi_F
  \frac{\partial}{\partial x^\alpha}
  ({\vartheta^{\frac{n+1}{2}}(x_0)}
  \sqrt{\det(\delta_{\alpha\beta})}\ea):,\right.\\
  &&\left.\rule{0em}{4.1ex}
  \ea\in C^1_c(B_\rho(x_0)),{0\le\alpha\le n},
  \delta_{\alpha\beta}\ea(x)\eb(x)\le\frac{1}{\vartheta(x_0)}\right\}\\
&=&{\vartheta^{\frac{n}{2}+1}(x_0)}
  \sup\left\{\int\limits_{B_\rho(x_0)}\chi_F
  \frac{\partial}{\partial x^\alpha}\ea:
  \ea\in C^1_c(B_\rho(x_0)),{0\le\alpha\le n},\right.\\
  &&\left.\rule{0em}{4.1ex}
  \delta_{\alpha\beta}\ea(x)\eb(x)\le1\right\}\\
&=&{\vartheta^{\frac{n}{2}+1}(x_0)}\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_F|.\\
\end{eqnarray*}
\par
{\bf (vi)} Sei nun wieder $E\vartriangle F\Subset B_\rho(x_0)$.
Die in (iii) und (iv) hergeleiteten Ungleichungen lassen
sich mit diesem Resultat wie folgt umschreiben:
$$\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_F|\le
  (1+\rho c(A)){\vartheta^{\frac{n}{2}+1}(x_0)}\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_F|$$
und
$$\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_E|\ge
  \frac{1}{1+\rho c(A)}
  {\vartheta^{\frac{n}{2}+1}(x_0)}\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_E|.$$
Diese Ungleichungen gelten f"ur beliebiges $x_0\in A$.
Aus (ii) erh"alt man
$$\int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_E|\le
  \int\limits_{B_\rho(x_0)\subset\tN}|D\chi_F|+
  K\rho^{n+2\lambda}.$$
Durch Kombination der obigen Ungleichungen schlie"st man weiter
$$\frac{1}{1+\rho c(A)}
  {\vartheta^{\frac{n}{2}+1}(x_0)}\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_E|\le
  (1+\rho c(A)){\vartheta^{\frac{n}{2}+1}(x_0)}
  \int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_F|+
  K\rho^{n+2\lambda}.$$
Hieraus folgt
$$\frac{1}{1+\rho c(A)}\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_E|\le
  (1+\rho c(A))\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_F|+
  K{\vartheta^{-\frac{n}{2}-1}(x_0)}\rho^{n+2\lambda}$$
und weiterhin
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_E|&\le&
  (1+\rho c(A))\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_F|\\
  &&+(1+\rho c(A))K{\vartheta^{-\frac{n}{2}-1}(x_0)}\rho^{n+2\lambda}.\\
\end{eqnarray*}
Der Konformit"atsfaktor $\vartheta(x)$ ist positiv und
stetig in $x$. Daher kann man ihn absch"atzen mit
$\vartheta^{-\frac{n}{2}-1}(x)\le c(A)$:
$$\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_E|\le
  (1+\rho \tilde{c}(A))\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_F|
  +c(A)\rho^{n+2\lambda}.$$
Sei $r$ mit $0<r<\rho$ so gew"ahlt, da"s
$$\int\limits_{B_\rho(x_0)\setminus B_r(x_0)}|D\chi_E|
  \le\omega_{n+1}\rho^n$$
gilt. Nun ergibt sich
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_{E\cup B_r(x_0)}|
&\le&\int\limits_{B_\rho(x_0)\setminus B_r(x_0)}|D\chi_E|+
  H^n(\partial B_r(x_0))\\
&\le&\omega_{n+1}\rho^n+(n+1)\omega_{n+1}r^n\\
&\le&(n+2)\omega_{n+1}\rho^n=c(A)\rho^n.\\
\end{eqnarray*}
$E\cup B_r(x_0)$ ist eine zul"assige Vergleichsmenge, die man
f"ur $F$ in die obige Ungleichung einsetzen kann. Es ergibt
sich daraus
$$\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_E|\le
  c(A)(\rho^n+\rho^{n+2\lambda})\le c(A)\rho^n.$$
Multipliziert man diese Ungleichung mit
$\rho\tilde{c}(A)$ und addiert sie zur obigen Ungleichung,
so ergibt sich
$$(1+\rho \tilde{c}(A))\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_E|\le
  (1+\rho \tilde{c}(A))\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_F|
  +c(A)(\rho^{n+2\lambda}+\rho^{n+1}).$$
Nehme nun o.~E.\ an, da"s $\lambda\le\frac{1}{2}$ gilt,
sonst kann man in der obigen Ungleichung
$\lambda=\frac{1}{2}$ setzen, denn es gilt
$\rho^{2(\lambda-\frac{1}{2})}\le R^{2(\lambda-\frac{1}{2})}=c(A)$.
Nun ergibt sich
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_E|
&\le&\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_F|
  +\frac{c(A)}{1+\rho \tilde{c}(A)}\rho^{n+2\lambda}\\
&\le&\int\limits_{B_\rho(x_0)}|D\chi_F|
  +c(A)\rho^{n+2\lambda}.\\
\end{eqnarray*}
Diese Ungleichung besagt aber genau, da"s $E$ in
$\Omega\subset\r1$ mit der euklidischen Metrik fast minimal ist.
\qed

%%%%% 22.11.98 %%%%%
Ein gro"ser Teil des Beweises von
Theorem \ref{hyperflaechenbisdimensionacht}
in \cite{cg} ist dimensionsunabh"angig
g"ultig. Der folgende Beweis konzentriert sich auf die n"otigen
dimensionsabh"angigen "Anderungen.
\par
\bewvon{Theorem \ref{hyperflaechenbisdimensionacht}}
Wie in der angegebenen Arbeit erh"alt man
$u_k\in C^{2,\alpha}(S^n)$, $k\ge3$, mit
$$\left.H\right|_{{\rm graph\,}u_k}=f-\gamma e^{-\mu u_k}[u_k-u_{k-1}]$$
und $u_1\le u_k\le u_{k-1}$. Diese Funktionen konvergieren punktweise,
da $u_k(x)$ f"ur festes $x\in S^n$ in $k$ monoton fallend und
beschr"ankt ist.
Ihr Limes hei"se $u$. Setze $\varphi_k=\log u_k$ und $\varphi=\log u$.
Genauso wie in \cite{cg} erh"alt man, da"s
$E:={\rm sub\,}\varphi=\{(x,t):t<\varphi(x),\,x\in S^n\}$
fast minimal in $S^n\times\R$ ist. $S^n\times\R$ ist dabei
insbesondere auch
metrisches Produkt von $S^n$ und $\R$.
Lemma \ref{randinvarianzlemma} zeigt nun, wie man die Menge
$E$ auch als Teilmenge des $\r1$ auf"|fassen kann, und da"s
insbesondere die ma"stheoretischen R"ander von $E$ in $\r1$ und
$\tN$ "ubereinstimmen. Der Ursprung mu"s nicht gesondert
betrachtet werden, da er wegen der Annahme
$u_i>0$ automatisch
zu $E$ geh"ort. Lemma \ref{fastminimalbleibterhaltenlemma}
besagt dann, da"s $E$ auch als Teilmenge des $\r1$
fast minimal ist. Mit Hilfe von
Lemma \ref{alssubgraphdarstellbarlemma} erh"alt man nun,
da"s die Blow-up-Kegel um Punkte $x\in\partial E$
als Subgraphen darstellbar sind. Nach dem
Regularit"atssatz \ref{regsatz} ist jeder solche
Blow-up-Kegel ein Halbraum. Nun ist
\cite[Proposition, S.~137, vgl.~{\ref{mm137}}]{mm}
anwendbar. Man erh"alt $\partial E=\partial^\star E$ in $\r1$.
Mit Lemma \ref{randinvarianzlemma} kann man diese Aussage
wieder in die Mannigfaltigkeit $\tN$ "ubertragen und
erh"alt auch hier $\partial E=\partial^\star E$.
Der Rest des Beweises in \cite{cg} ist wieder dimensionsunabh"angig
g"ultig und kann also gem"a"s dieser Arbeit gef"uhrt werden.
\qed

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 27.10.98 %%%%%
\newpage
\section{Zitierte Resultate}\label{zitatekap}

%%%%% 04.11.98 %%%%%
\begin{bez}
{\rm In diesem Kapitel bezeichnet $\Omega$ eine offene Menge.
Falls nicht anders angegeben, gilt $\Omega\subset\R^n$.
$E$ und $X$ sind me"sbare Teilmengen des $\r1$.}
\end{bez}

%%%%% 22.11.98 %%%%%
\begin{thm}[vgl.~{\cite[Theorem~1, p.~371]{gia1}}]\label{zuBV}
Sei $u\in L^1(\Omega)$, $\Omega\Subset\R^n$ offen. Dann gilt
$$u\in BV(\Omega)\quad\Longleftrightarrow\quad
\int\limits_{\Omega\times\R}|D\chi_{\sub u}|<+\infty.$$
\end{thm}

%%%%% 11.11.98 %%%%%
\begin{thm}[vgl.~{\cite[Kap.~10, p.~115]{giusti}}]
\label{inkleinendimensionengibtesnurhalbraeume}
Ist $C\subset\r1$ minimaler nichttrivialer Kegel und $n\le6$,
dann ist $C$ ein Halbraum.
\end{thm}

%%%%% 27.10.98 %%%%%
\begin{thm}[vgl.~{\cite[Theorem~11.8, S.~134]{giusti}}]\label{giu134}
Ist $E$ in $\Omega\subset\r1$ minimal und
$\Sigma=(\partial E\setminus\partial^\star E)\cap\Omega$,
dann gilt $H^s(\Sigma)=0$ f"ur alle $s>n-7$.
\end{thm}

%%%%% 27.10.98 %%%%%
\begin{thm}[vgl.~{\cite[Theorem~15.5, S.~174]{giusti}}]\label{giu174}
Sei $E$ minimaler Kegel in $\r1$ mit Spitze im Ursprung.
Ist $E$ im Halbraum $H=\{x\in\r1:x_{n+1}<0\}$ enthalten,
so gilt $E=H$.
\end{thm}

%%%%% 22.11.98 %%%%%
\begin{bsp}[vgl.~{\cite[Beispiel~16.2, S.~183]{giusti}}]\label{giu183}
Sei $E$ me"sbar.
Dann ist $E$ in $\Omega$ genau dann minimal, wenn
$E\times\R$ in $\Omega\times\R$ minimal ist.
\end{bsp}

%%%%% 27.10.98 %%%%%
\begin{lem}[vgl.~{\cite[Lemma~16.3, S.~184]{giusti}}]\label{giu184}
Sei $u_k$ eine Folge me"sbarer Funktionen in $\Omega$.
Nehme an, da"s die charakteristischen Funktionen der
zugeh"origen Subgraphen $U_k$, $\chi_{U_k}$, in
$L^1_{loc}(\Omega\times\R)$ gegen $\chi_U$ konvergieren.
Dann ist $U$ der Subgraph einer me"sbaren Funktion
$u:\Omega\to[-\infty,+\infty]$, und eine Teilfolge der $u_k$
konvergiert fast "uberall gegen $u$.
\end{lem}

%%%%% 27.10.98 %%%%%
\begin{thm}[vgl.~{\cite[Theorem~16.6, S.~187]{giusti}}]\label{giu187}
\hfill\\
Sei $u$ Quasi-L"osung der Minimalfl"achengleichung
in $\Omega\times\R$. Dann ist $P$ minimal
in $\Omega$.
\end{thm}

%%%%% 27.10.98 %%%%%
\begin{pro}[vgl.~{\cite[Proposition~16.7, S.~188]{giusti}}]\label{giu188}
\hfill\\
Sei $u$ Quasi-L"osung der Minimalfl"achengleichung
in $\Omega$ und gelte $P\not=\emptyset$.
Dann ist $u$ in $\Omega$ lokal nach oben beschr"ankt.
\end{pro}

%%%%% 10.11.98 %%%%%
\begin{thm}[vgl.~{\cite[Theorem~1, S.~118]{mm}}]\label{mm118}
Ist $X$ in $\Omega\subset\r1$ fast minimal
mit Konstanten $K$ und $\lambda$, dann gilt
f"ur $x\in\Omega$ und $0<\rho<\dist (x,\partial\Omega)$
$$|D\chi_X|(B_\rho(x))\le\left(
  \frac{n+1}{2}\omega_{n+1}+K\rho^{2\lambda}\right)\rho^n.$$
Nimmt man zus"atzlich $x\in\Omega\cap\partial X$ an,
so erh"alt man als Absch"atzung nach unten
$$|D\chi_X|(B_\rho(x))\ge\rho^n
\left(\omega_n-\frac{n}{\lambda}K\rho^{2\lambda}\right).$$
\end{thm}

%%%%% 10.11.98 %%%%%
\begin{thm}[vgl.~{\cite[Theorem~1, S.~132]{mm}}]\label{mm132}
\hfill\\
Sei $X$ in der offenen Menge $\Omega\subset\r1$ fast minimal
mit Konstanten $K$ und $\lambda$, $x\in\partial C\cap\Omega$.
Existiert f"ur ein
hinreichend kleines $\eta>0$ ein $\rho>0$,
$\rho<\min\left\{\dist(x,\partial\Omega),
\eta^\frac{1}{\lambda}\right\}$, mit
$$|D\chi_X|(B_\rho(x))-|D\chi_X(B_\rho(x))|\le\eta\rho^n,$$
dann existiert ein $\delta>0$ mit
$$\partial X\cap B_\delta(x)=
\partial^\star X\cap B_\delta(x).$$
\end{thm}

%%%%% 28.10.98 %%%%%
\begin{thm}[vgl.~{\cite[Theorem~2, S.~135]{mm}}]\label{mm135}\hfill\\
Sei $X$ fast minimal in $\Omega\subset\r1$ mit Konstanten
$K$ und $\lambda$, dann ist $\partial^\star X\cap\Omega$
eine $C^{1,\frac{\lambda}{2}}$-Hyperfl"ache, und es
gilt $H^n((\partial X\setminus\partial^\star X)\cap\Omega)=0$.
\end{thm}

%%%%% 04.11.98 %%%%%
\begin{bem}\label{tamaninizusatzregularitaet}
{\rm Unter den Voraussetzungen von Theorem \ref{mm135} erh"alt
man nach \cite[1.12, S.~11]{tamanini} f"ur
$0<\lambda\le\frac{1}{2}$ sogar, da"s
$\partial^\star X\cap\Omega$ eine $C^{1,\lambda}$-Hyperfl"ache ist.}
\end{bem}

%%%%% 11.11.98 %%%%%
\begin{bem}[vgl.~{\cite[Beispiel~3.4, S.~44]{giusti}}]\label{giu44}
{\rm {} Ist $C$ in $\Omega\subset\r1$ fast minimal, so ist
$\partial^\star C$ eine orientierbare Mannigfaltigkeit, denn
f"ur $x\in\partial^\star C$ stimmt $\nu(x)$ mit dem klassischen
inneren Normalenvektor an $E$ in $x$ "uberein.
Es gilt allgemein: Ist $\partial E$ in einer offenen Menge $\Omega$
eine $C^1$-Hyperfl"ache, so gilt
$\partial E\cap\Omega=\partial^\star E\cap\Omega$.
Der Beweis dieser Tatsache kann unmittelbar auf
$C^1$-Hyperfl"achen in Mannigfaltigkeiten "ubertragen werden.
Auch in diesem Fall erh"alt man:
$\partial E$ ist $C^1$-Mannigfaltigkeit $\Longrightarrow$
$\partial E=\partial^\star E$.}
\end{bem}

%%%%% 28.10.98 %%%%%
\begin{pro}[vgl.~{\cite[Proposition, S.~137]{mm}}]\label{mm137}
Ist $X$ in $\Omega\subset\r1$ fast minimal und
$0\in\partial X\cap\Omega$, so enth"alt die Familie
$\{X_\rho\}_{\rho>0}$ eine Teilfolge $X_h=X_{\rho_h}$ mit
$\rho_h\to0$ und $X_h\to C$ in $L^1_{loc}(\r1)$. $C$ ist minimaler
Kegel und es gilt $0\in\partial^\star C\Longleftrightarrow
0\in\partial^\star X$.
\end{pro}

%%%%% 28.10.98 %%%%%
\begin{bem}[vgl.~{\cite[S.~139]{mm}}]\label{mm139}
Unter den Voraussetzungen von Proposition \ref{mm137}
gilt
$$\int\limits_{B_\rho}|D\chi_C|=
  \lim\limits_{t\to 0}t^{-n}\int\limits_{B_{\rho t}}|D\chi_X|.$$
\end{bem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 30.09.98 %%%%%
\newpage
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