<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[a4paper]{amsart}
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\long\def\umbruch{{\displaybreak[1]}}
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% Alternative Wuerfel:
%
% \font\domino=domino
% \def\die#1{{\domino#1}}
% \domino\arabic{wuerfel}
%
% \usepackage[misc]{ifsym}
% \Cube{3}
\usepackage{epsdice}

\newcounter{wuerfel}
\setcounter{wuerfel}{0}
\long\def\wuerfelzwei#1#2{\stepcounter{wuerfel}
{\Large\epsdice{\arabic{wuerfel}}}&amp;
\raisebox{0.7ex}{$#1$}&amp;\raisebox{0.7ex}{$#2$}\\} 
\long\def\wuerfelvier#1#2#3#4{\stepcounter{wuerfel}
{\Large\epsdice{\arabic{wuerfel}}}&amp;
\raisebox{0.7ex}{$#1$}&amp;\raisebox{0.7ex}{$#2$}&amp;\raisebox{0.7ex}{$#3$}&amp;
\raisebox{0.7ex}{$#4$}\\} 
\long\def\wuerfeldrei#1#2{\stepcounter{wuerfel}
{\Large\epsdice{\arabic{wuerfel}}}&amp;
\raisebox{0.7ex}{$#1$}&amp;\raisebox{0.7ex}{$\Longrightarrow$}&amp;
\raisebox{0.7ex}{$#2$}\\} 
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\title[Stetigkeitsw\"urfel]{Stetigkeitsw\"urfel: Spielerisch den
  Umgang mit der Definition der Stetigkeit erlernen} \author{Oliver
  C. Schn\"urer} \author{Jan-Hendrik Treude}

\begin{abstract}
    Die Stetigkeitsw\"urfel sind ein mathematisches Spielzeug, mit dem
    wir in einem zus\"atzlichen Kurs f\"ur Studienanf\"anger im
    Kontext der Definition der $\epsilon$-$\delta$-Stetigkeit formales
    Arbeiten ge\"ubt haben. Mit unserem Artikel m\"ochten wir diese
    W\"urfel bekannt machen und dazu einladen, sie auch andernorts
    einzusetzen. Auch erfahrene Mathematiker k\"onnen durch die
    W\"urfel vor kleine Herausforderungen gestellt werden.
\end{abstract}

\maketitle
% \begin{tabular}{c@{\quad}cc}
% \multicolumn{3}{c}{\textbf{$\epsilon$-$\delta$-W\"urfel}}\\ &amp;&amp;\\
% \wuerfelzwei{\forall\,\epsilon&gt;0}{\exists\,\delta&gt;0}
% \wuerfelzwei{\forall\,\epsilon&gt;0}{\exists\,\delta&gt;0}
% \wuerfelzwei{\forall\,\delta&gt;0}{\exists\,\epsilon&gt;0}
% \wuerfelzwei{\exists\,\epsilon&gt;0}{\forall\,\delta&gt;0}
% \wuerfelzwei{\forall\,\epsilon&gt;0}{\forall\,\delta&gt;0}
% \wuerfelzwei{\exists\,\epsilon&gt;0}{\exists\,\delta&gt;0}
% \end{tabular}
% %\quad
% \setcounter{wuerfel}{0}
% \begin{tabular}{c@{\quad}cccc}
% \multicolumn{5}{c}{\textbf{$x$-$y$-W\"urfel}}\\ &amp;&amp;&amp;&amp;\\
% \wuerfelvier{\forall\,x\in\R}{\ldots}{\ldots}{\forall\,y\in\R}
% \wuerfelvier{\forall\,x\in\R}{\ldots}{\ldots}{\forall\,y\in\R}
% \wuerfelvier{\ldots}{\ldots}{\exists\,x\in\R}{\forall\,y\in\R}
% \wuerfelvier{\ldots}{\ldots}{\forall\,x\in\R}{\forall\,y\in\R}
% \wuerfelvier{\ldots}{\forall\,x\in\R}{\ldots}{\forall\,y\in\R}
% \wuerfelvier{\exists\,x\in\R}{\ldots}{\ldots}{\forall\,y\in\R}
% \end{tabular}\\[2ex]
% \setcounter{wuerfel}{0}
% \begin{tabular}{c@{\quad}ccc}
% \multicolumn{4}{c}{\textbf{Implikationsw\"urfel}}\\ &amp;&amp;&amp;\\
% \wuerfeldrei{|x-y|&lt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
% \wuerfeldrei{|x-y|&lt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
% \wuerfeldrei{|f(x)-f(y)|&lt;\delta}{|x-y|&lt;\epsilon}
% \wuerfeldrei{|x-y|+\frac1{1+|x|}&lt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
% \wuerfeldrei{|x+y|&lt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
% \wuerfeldrei{\min\{|x|,\,|y|\}&gt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
% \end{tabular}

%Alternative W\"urfel: \domino1 \domino2 \domino3 \domino4 \domino5
%\domino6 \Cube1 \Cube2 \Cube3 \Cube4 \Cube5 \Cube6


\section{Einf\"uhrung}
\label{sec:einfuehrung}

% An der Universit\"at Konstanz wird seit dem Wintersemester 2016/17
% eine  
Der Einstieg in ein Mathematikstudium f\"allt bekanntlich oft schwer
und erfordert neben dem Erlernen neuer mathematischer Inhalte auch das
Erlernen einer f\"ur die meisten Studienanf\"anger gr\"o{\ss}tenteils
unbekannten Methodik, n\"amlich den Umgang mit formalen
Begriffsdefinitionen und Argumentationen bzw.{} Beweisen. Um
Studienanf\"anger hierbei gezielt zu unterst\"utzen findet an der
Universit\"at Konstanz seit dem Wintersemester 2016/17 eine neue
freiwillige zweisemestrige Lehrveranstaltung mit dem Titel
\emph{Einf\"uhrung in das mathematische Arbeiten (EmA)}
statt.\footnote{Die EmA wird unabh\"angig von diesem Artikel in
  \cite{EmA} vorgestellt.}

Ein Begriff, der erfahrungsgem\"a{\ss} vielen Studienanf\"angern
Schwierigkeiten bereitet, ist die \emph{$\epsilon$-$\delta$-Definition
  der Stetigkeit} einer Funktion $f: \R \to \R$, welche lautet:
\begin{equation}
    \label{eq:stetigkeit-definition}
    \forall\, x \in \R: \forall\, \epsilon &gt; 0: \exists\, \delta &gt; 0:
    \forall\, y \in \R: |x-y| &lt; \delta\, \Longrightarrow\, |f(x)-f(y)|
    &lt; \epsilon \,.
\end{equation}
Genau nachzuvollziehen, wie dieses logische Konstrukt den anschaulich
so einfachen Begriff der Stetigkeit erfasst und wie man korrekt
mit~\eqref{eq:stetigkeit-definition} umgeht, bereitet im ersten
Semester h\"aufig schon in konkreten Beispielen Schwierigkeiten. Da
wir es wichtig finden, bereits fr\"uh im Studium Gewandtheit im Umgang
mit diesem und \"ahnlichen in der Analysis allgegenw\"artigen
Begriffen zu erlangen, haben wir im Rahmen der EmA die
\emph{Stetigkeitsw\"urfel} entwickelt. Diese erm\"oglichen einen
spielerischen Zugang. Sie lassen sich leicht mit normalen W\"urfeln
und diesem Artikel imitieren.


\section{Beschreibung der Stetigkeitsw\"urfel}
\label{sec:wuerfel}

F\"ur die Stetigkeitsw\"urfel haben wir zun\"achst die
Bedingung~\eqref{eq:stetigkeit-definition} der Stetigkeit einer
Funktion $f: \R \to \R$ in drei Teile zerlegt. F\"ur jeden der drei
Teile haben wir uns anschlie{\ss}end f\"unf unterschiedliche
Variationen ausgedacht, die jeweils die Beschriftungen der Seiten
eines W\"urfels bilden, wobei die urspr\"ungliche Variante aus der
Stetigkeitsdefinition stets doppelt enthalten ist:

\begin{center}
    \begin{tabular}{c@{\quad}cc}
      \multicolumn{3}{c}{\textbf{$\epsilon$-$\delta$-W\"urfel}}\\ &amp;&amp;\\
      \wuerfelzwei{\forall\,\epsilon&gt;0}{\exists\,\delta&gt;0}
      \wuerfelzwei{\forall\,\epsilon&gt;0}{\exists\,\delta&gt;0}
      \wuerfelzwei{\forall\,\delta&gt;0}{\exists\,\epsilon&gt;0}
      \wuerfelzwei{\exists\,\epsilon&gt;0}{\forall\,\delta&gt;0}
      \wuerfelzwei{\forall\,\epsilon&gt;0}{\forall\,\delta&gt;0}
      \wuerfelzwei{\exists\,\epsilon&gt;0}{\exists\,\delta&gt;0}
    \end{tabular}
    % \quad
    \setcounter{wuerfel}{0}
    \begin{tabular}{c@{\quad}cccc}
      \multicolumn{5}{c}{\textbf{$x$-$y$-W\"urfel}}\\ &amp;&amp;&amp;&amp;\\
      \wuerfelvier{\forall\,x\in\R}{\ldots}{\ldots}{\forall\,y\in\R}
      \wuerfelvier{\forall\,x\in\R}{\ldots}{\ldots}{\forall\,y\in\R}
      \wuerfelvier{\ldots}{\ldots}{\exists\,x\in\R}{\forall\,y\in\R}
      \wuerfelvier{\ldots}{\ldots}{\forall\,x\in\R}{\forall\,y\in\R}
      \wuerfelvier{\ldots}{\forall\,x\in\R}{\ldots}{\forall\,y\in\R}
      \wuerfelvier{\exists\,x\in\R}{\ldots}{\ldots}{\forall\,y\in\R}
    \end{tabular}\\[2ex]
    \setcounter{wuerfel}{0}
    \begin{tabular}{c@{\quad}ccc}
      \multicolumn{4}{c}{\textbf{Implikationsw\"urfel}}\\ &amp;&amp;&amp;\\
      \wuerfeldrei{|x-y|&lt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
      \wuerfeldrei{|x-y|&lt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
      \wuerfeldrei{|f(x)-f(y)|&lt;\delta}{|x-y|&lt;\epsilon}
      \wuerfeldrei{|x-y|+\frac1{1+|x|}&lt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
      \wuerfeldrei{|x+y|&lt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
      \wuerfeldrei{\min\{|x|,\,|y|\}&gt;\delta}{|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}
    \end{tabular}
\end{center}
Mit dieser Tabelle und handels\"ublichen W\"urfeln lassen sich die
Stetigkeitsw\"urfel auch ohne Basteln einfach imitieren.

\begin{figure}
  \centering
  %\fbox{\rule{0mm}{5cm}\rule{8cm}{0mm}}
  \includegraphics[width=1.0\linewidth]{Wuerfelfoto.jpg}  
  %\caption{Unsere Stetigkeitsw\"urfel/ohne Bezeichnung?}
\end{figure}

Der Einsatz der Stetigkeitsw\"urfel funktioniert nun so: Man w\"urfelt
jeden der drei W\"urfel und setzt die gezeigten Seiten so zusammen,
dass die erw\"urfelten Ausdr\"ucke des $\epsilon$-$\delta$-W\"urfels
in die beiden Leerstellen des $x$-$y$-W\"urfels platziert werden und
der Implikationsw\"urfel zuletzt kommt. Beispielhaft stelle man sich
vor, dass das W\"urfeln zu folgendem Ergebnis gef\"uhrt hat:
\begin{itemize}
\item Der $\epsilon$-$\delta$-W\"urfel zeigt
  \raisebox{-0.2ex}{\Large\epsdice{4}}\,:\quad 
  $\exists\, \epsilon &gt; 0 \quad \forall\, \delta &gt; 0$
\item Der $x$-$y$-W\"urfel zeigt
  \raisebox{-0.2ex}{\Large\epsdice{5}}\,:\quad
  $\ldots\quad \forall\, x \in \R \quad\ldots\quad \forall\, y \in
  \R$
\item Der Implikationsw\"urfel zeigt
  \raisebox{-0.2ex}{\Large\epsdice{1}}\,:\quad
  $|x-x| &lt; \delta \;\Longrightarrow\; |f(x)-f(y)| &lt;
  \epsilon$
\end{itemize}
Hieraus setzt man nun die folgende Aussage zusammen:
\begin{equation}
    \label{eq:beispiel-beschraenkt}
    \exists\, \epsilon &gt; 0: \forall\, x \in \R: \forall\, \delta &gt; 0:
    \forall\, y \in \R:\quad
    |x-y| &lt; \delta
    \;\Longrightarrow\; |f(x)-f(y)| &lt; \epsilon \,.
\end{equation}
Mit den W\"urfeln k\"onnen so $125$ Aussagen \"uber eine Funktion
$f: \R \to \R$ erzeugt und so ohne gro{\ss}e M\"uhe immer wieder neue
\"Ubungssituationen geschaffen werden.


\section{Ein Beispiel f\"ur den Einsatz in einer Vorlesung}

Anhand von~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} wollen wir nun exemplarisch
erkl\"aren, wie wir die W\"urfel in einer Vorlesung oder \"Ubung
eingesetzt haben. Allgemein besteht das Ziel nat\"urlich darin, die
Aussage~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} zu verstehen. Dem kann man
sich mittels unterschiedlicher Fragen n\"ahern, wobei es stets zwei
prinzipiell verschiedene Sichtweisen gibt: Einerseits kann man
\"uberlegen, \emph{unter welchen Voraussetzungen} an eine Funktion
$f\colon\R\to\R$ die Eigenschaft \eqref{eq:beispiel-beschraenkt}
zutrifft. Hierbei w\"urde man~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} als eine
zu beweisende Aussage behandeln. Andererseits kann man \"uberlegen,
welche \emph{Folgerungen} sich f\"ur eine Funktion $f: \R \to \R$
ergeben, die~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} erf\"ullt. Hierbei
w\"urde man~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} als eine Voraussetzung
behandeln. Diese beiden Sichtweisen entsprechen nat\"urlich den Fragen
nach hinreichenden bzw. notwendingen Bedingungen
f\"ur~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt}.



\begin{itemize}
\item \textit{Welche Funktionen
      erf\"ullen~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} bzw.{}
      erf\"ullen~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} nicht?}

    Die Studierenden pr\"ufen graphisch oder formal, ob
    \eqref{eq:beispiel-beschraenkt} f\"ur konkrete Funktionen
    erf\"ullt ist. Hierbei wird~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt}
    nat\"urlich als zu beweisende oder zu widerlegende Aussage
    angesehen. In einem weiteren Schritt denken sich die Studierenden
    selbst Funktionen aus und \"uberlegen sich, ob diese
    \eqref{eq:beispiel-beschraenkt} erf\"ullen oder nicht. \par
    Beispielsweise sieht man f\"ur $f(x)=\sin(x)$, dass die Aussage
    mit $\epsilon=3$ gilt. Im Falle $f(x)=2x$ gilt die Aussage nicht,
    da zu vorgegebenem $\epsilon&gt;0$ die Implikation f\"ur
    $(x,\delta,y)=(0,2\epsilon,\epsilon)$ verletzt ist.
    
\item \textit{Erf\"ullt jede stetige
      Funktion~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt}? Gibt es unstetige
      Funktionen, die~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} erf\"ullen?}

    Wir haben bereits gesehen, dass \eqref{eq:beispiel-beschraenkt}
    f\"ur die stetige Funktion $f(x)=2x$ nicht gilt. Umgekehrt gilt
    \eqref{eq:beispiel-beschraenkt} mit $\epsilon=2$ f\"ur die
    charakteristische Funktion einer beliebigen Teilmenge von $\R$,
    die in der Regel unstetig ist.

\item \textit{Wie l\"asst sich~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt}
      veranschaulichen? Wie sieht der Graph einer Funktion
      $f: \R \to \R$ aus, die~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt}
      erf\"ullt?}

    Die Studierenden erstellen passend
    zu~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} eine Reihe kleiner Skizzen.
    Durch die Abfolge der Skizzen -- oder alternativ das sukzessive
    Erstellen einer Skizze -- wird die Bedeutung der
    \emph{Reihenfolge} in \eqref{eq:beispiel-beschraenkt}
    hervorgehoben.

    In der folgenden Ausf\"uhrung betrachten wir
    \eqref{eq:beispiel-beschraenkt} als geltende Voraussetzung und
    wollen daraus Eigenschaften f\"ur $f$ folgern. Dies spiegelt sich
    im verwendeten Sprachgebrauch wider.
    
    \includegraphics[width=\linewidth]{comic.pdf}

    \begin{enumerate}[label=(\Alph*)]
        % \itemsep=-0.2cm
    \item $\exists\, \epsilon &gt; 0$:\quad Uns wird eine L\"ange
      $\epsilon&gt;0$ \emph{gegeben} (in vertikaler Richtung).
    \item $\forall\, x \in \R$: \quad Wir d\"urfen uns einen
      beliebigen Punkt $x\in\R$ \emph{aussuchen} (auf der
      $x$-Achse). Daraus ergibt sich ein Funktionswert $f(x)$.
    \item $\forall\, \delta &gt; 0$: \quad Wir d\"urfen uns eine
      beliebige L\"ange $\delta&gt;0$ \emph{aussuchen} (horizontal).
    \item
      $\forall\, y \in \R: |x-y| &lt; \delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|
      &lt; \epsilon$: \quad Wir d\"urfen uns einen weiteren Punkt
      $y\in\R$ beliebig \emph{aussuchen} (auf der $x$-Achse). Ist
      dessen Abstand zu $x$ gr\"o{\ss}er oder gleich $\delta$, so ist
      die Implikation automatisch erf\"ullt und es ergibt sich keine
      interessante Folgerung. Ist der Abstand jedoch kleiner als
      $\delta$, dann folgt aus \eqref{eq:beispiel-beschraenkt}, dass
      $f(y)$ von $f(x)$ weniger als $\epsilon$ entfernt ist.
    \end{enumerate}
    
    \begin{minipage}{0.63\linewidth}
      Entscheidend f\"ur das Verst\"andnis
      von~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} ist nat\"urlich, an
      \emph{welche Quantoren} die einzelnen Variablen gebunden sind.
      Die Konsequenzen davon lassen sich anhand der Skizzen weiter
      erkunden oder in weiteren Skizzen darstellen. So k\"onnte man
      von hinten beginnend zun\"achst \"uberlegen, dass man f\"ur $y$
      jeden Punkt im Bereich $(x-\delta,x+\delta)$ einsetzen kann und
      folglich der Graph von $f$ \"uber diesem Bereich in einer im
      Punkt $(x,f(x))$ zentrierten Box der Breite $2\delta$ und H\"ohe
      $2\epsilon$ liegen muss. Anschlie{\ss}end kann man weiter
      feststellen, dass man $\delta$ beliebig gro{\ss} w\"ahlen kann
      und somit der gesamte Graph von $f$ in einem horizontal
      unendlich ausgedehnten und vertikal um $f(x)$ zentrierten
      Streifen der H\"ohe $2\epsilon$ liegt.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.33\linewidth}
        \includegraphics[width=\linewidth]{comic3.pdf}
    \end{minipage}

% \item \textit{Wo und wie darf ich eine Funktion,
%       die~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} erf\"ullt, ab\"andern,
%       sodass die Aussage weiterhin g\"ultig bleibt?}

% \item \textit{Wie wild kann eine Funktion bzw. ihr Graph aussehen,
%       die~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} noch erf\"ullt?}

\item \textit{Wie l\"asst sich \eqref{eq:beispiel-beschraenkt} in
      Worten beschreiben? Kann man~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} auf
      einfachere, aber \"aquivalente Art und Weise ausdr\"ucken?}

    Anhand der vorherigen \"Uberlegungen k\"onnten die Studierenden
    zun\"achst die Vermutung \"au{\ss}ern, dass eine Funktion, die
    \eqref{eq:beispiel-beschraenkt} erf\"ullt, beschr\"ankt sein muss,
    oder auch, dass~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} sogar \"aquivalent
    zur Beschr\"anktheit ist. Im n\"achsten Schritt kann man die
    Studierenden dann auf"|fordern, eine formale Definition von
    Beschr\"anktheit zu geben, etwa
    \begin{equation}
      \label{eq:beschraenkt}
      \exists\, C &gt; 0: \forall\, x \in \R: |f(x)| \leq C \,,
    \end{equation}
    und deren \"Aquivalenz zu~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} zu
    beweisen oder eben doch ein Gegenbeispiel zu finden. Im
    vorliegenden Fall ist der Beweis der \"Aquivalenz (f\"ur erfahrene
    Mathematiker) leicht m\"oglich und f\"ur Studienanf\"anger eine
    gute \"Ubung sowohl f\"ur das Nachweisen wie auch das Anwenden
    quantifzierter Aussagen.

    % dass eine Funktion $f\colon\R\to\R$ genau dann
    % \eqref{eq:beispiel-beschraenkt} erf\"ullt, wenn sie die folgende
    % (\"ubliche) Beschr\"anktheitsbedingung erf\"ullt:
    % \begin{equation}
    %     \label{eq:beschraenkt}
    %     \exists\,C&gt;0: \forall\,x\in\R: |f(x)|\le C \,.
    % \end{equation}
    
    \begin{proof}[Beweis von \glqq (2) $\Longleftrightarrow$ (3)\grqq]        
        Sei $f: \R \to \R$ eine Funktion.
        
        \glqq$\Longrightarrow$\grqq:
        Gelte~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt}. W\"ahle ein
        $\epsilon &gt; 0$ mit
        \[
        \forall\, x \in \R: \forall\, \delta &gt; 0: \forall\, y \in \R:
        \quad |x-y| &lt;
        \delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)| &lt; \epsilon \tag{$*$} \,.
        \]
        Zum Nachweis von~\eqref{eq:beschraenkt} setzen wir
        $C := \epsilon+|f(0)|$. Sei $x \in \R$ gegeben. Wir wenden nun
        ($*$) mit diesem $x$, $\delta := |x|+1$ und $y := 0$ an.
        Wegen $|x-y| = |x| &lt; |x|+1 = \delta$ erhalten wir
        $|f(x)-f(0)| &lt; \epsilon$. Mittels Dreiecksungleichung folgt
        \[
        |f(x)| = |f(x)-f(0)+f(0)| \leq |f(x)-f(0)| + |f(0)| \le \epsilon +
        |f(0)| = C \,.
        \]
        Damit ist \eqref{eq:beschraenkt} nachgewiesen.
  
        \glqq$\Longleftarrow$\grqq: Gelte \eqref{eq:beschraenkt}.
        W\"ahle ein $C &gt; 0$ mit $|f(x)| \le C$ f\"ur alle $x \in \R$.
        Zum Nachweis von~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} setzen wir
        $\epsilon := 2C+1$. Seien $x \in \R$, $\delta &gt; 0$ und
        $y \in \R$ mit $|x-y| &lt; \delta$ gegeben. Nach Wahl von $C$
        gelten $|f(x)| \leq C$ und $|f(y)| \leq C$. Mittels
        Dreiecksungleichung folgt nun 
        \[
        |f(x)-f(y)| \leq |f(x)| + |f(y)| \leq C + C &lt; 2C+1 = \epsilon \,.
        \]
        Damit ist~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} nachgewiesen.
    \end{proof}

% \item \textit{Falls die Studierenden im letzten Punkt unzutreffende
%       Vermutungen ge\"au{\ss}ert haben, kann man fragen, wie man die
%       Aussage~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt} ab\"andern m\"usste, um
%       eine zu den ge\"au{\ss}eten Vermutungen passende Aussage zu
%       erhalten.}

% \item \textit{Welche anderen (vorgegebenen) Aussagen sind hinreichend
%       oder notwendig zum Gelten von~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt}?
%       Welches Gegenbeispiel zeigt, dass keine \"Aquivalenz vorliegt?}

  \item \textit{Was ist, wenn man in~\eqref{eq:beispiel-beschraenkt}
      die Reihenfolge der Quantoren (als relative Quantoren samt
      $\epsilon&gt;0$, $x\in\R$, \ldots) vertauscht oder einen oder
      mehrere der Quantoren durch den jeweils anderen ersetzt? Wann
      ergeben sich \"aquivalente, st\"arkere oder schw\"achere
      Aussagen?}
    
    Im Gegensatz zu einem v\"ollig neuen W\"urfeln kann so nochmals
    speziell die Wichtigkeit der Reihenfolge bzw. der Wahl eines
    Quantors betont werden. Als Lehrperson kann man ganz gezielt
    gewisse Ab\"anderungen vorschlagen, so w\"urde hier zum Beispiel
    das Verr\"ucken von $\exists\, \epsilon &gt; 0$ an die dritte Stelle
    zur Bedingung der lokalen Beschr\"anktheit f\"uhren.

\end{itemize}    

\section{Weitere Beispiele gew\"urfelter Aussagen}

\subsection{Zweites Beispiel}
Hat man mit \raisebox{-0.2ex}{\Large\epsdice{1} \epsdice{5}
  \epsdice{5}} die Aussage
\[\forall\,\epsilon&gt;0: \forall\,x\in\R: \exists\,\delta&gt;0:
  \forall\,y\in\R:\quad |x+y|&lt;\delta\, \Longrightarrow\,
  |f(x)-f(y)|&lt;\epsilon\] erw\"urfelt, so k\"onnte Folgendes passieren:
Zun\"achst bemerkt man, dass man die Reihenfolge der ersten beiden
Allquantoren vertauschen darf und dass
\[\forall\,x\in\R: \forall\,\epsilon&gt;0: \exists\,\delta&gt;0:
  \forall\,y\in\R:\quad |x+y|&lt;\delta\, \Longrightarrow\,
  |f(x)-f(y)|&lt;\epsilon\] bis auf das Vorzeichen bei $x+y$ die
$\epsilon$-$\delta$-Definition von Stetigkeit ist. W\"ahlt man darin
speziell stets $y=-x$, so gilt jeweils $|x+y|=0$. Somit braucht man den
Quantor mit $\delta$ nicht mehr und erh\"alt als Folgerung
\[\forall\,x\in\R: \forall\,\epsilon&gt;0:\quad |f(x)-f(-x)|&lt;\epsilon.\]
Da $\epsilon&gt;0$ beliebig ist, muss $f$ eine gerade Funktion sein, also
$f(x)=f(-x)$ f\"ur alle $x\in\R$ erf\"ullen. Mit dieser Erkenntnis
k\"onnen wir in der urspr\"unglichen Aussage \"uberall $y$ durch $-y$
ersetzen. Beim Allquantor ist keine \"Anderung n\"otig, aus $x+y$ wird
$x-y$ und $f(x)-f(y)$ bleibt unver\"andert, weil $f$ eine gerade
Funktion ist. Wir erhalten also
\[\forall\,x\in\R: \forall\,\epsilon&gt;0: \exists\,\delta&gt;0:
  \forall\,y\in\R:\quad |x-y|&lt;\delta\, \Longrightarrow\,
  |f(x)-f(y)|&lt;\epsilon\] und erkennen, dass $f$ stetig sein
muss. Insgesamt haben wir also gesehen, dass aus der gew\"urfelten
Bedingung folgt, dass $f$ gerade und stetig ist. Es auch
nicht kompliziert, einzusehen, dass dies sogar eine \"Aquivalenz ist. 

\subsection{Drittes Beispiel}
Bei \raisebox{-0.2ex}{\Large\epsdice{1} \epsdice{5}
  \epsdice{6}}, also
\[\forall\,\epsilon&gt;0: \forall\,x\in\R: \exists\,\delta&gt;0:
  \forall\,y\in\R:\quad\min\{|x|,\,|y|\}&gt;\delta\,
  \Longrightarrow\,|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon\] k\"onnen wir
\[\delta=
  \begin{cases}
    2|x|&amp;\text{f\"ur }x\neq0,\\
    1&amp;\text{f\"ur }x=0
  \end{cases}
\]
w\"ahlen, womit $\min\{|x|,\,|y|\}&gt;\delta$ stets verletzt ist. Die
gew\"urfelte Aussage gilt somit f\"ur beliebige Funktionen.

\subsection{Viertes Beispiel}
Erw\"urfeln wir uns mit \raisebox{-0.2ex}{\Large\epsdice{1} \epsdice{4}
  \epsdice{6}} die Aussage \[\forall\,\epsilon&gt;0: \exists\,\delta&gt;0:
  \forall\,x\in\R:
  \forall\,y\in\R:\quad\min\{|x|,\,|y|\}&gt;\delta\,
  \Longrightarrow\,|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon,\]  
so beobachten wir zun\"achst, dass die Einschr\"ankung auf kleine $\epsilon&gt;0$
und gro\ss{}e $\delta&gt;0$ die dazu \"aquivalente Aussage 
\[\forall\,\epsilon\in(0,1): \exists\,\delta\ge1:
  \forall\,x\in\R: \forall\,y\in\R:\quad\min\{|x|,\,|y|\}&gt;\delta\,
  \Longrightarrow\,|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon\] liefert. Nach kurzem
\"Uberlegen sehen wir, dass dies \"aquivalent dazu ist, dass die
beiden Grenzwerte $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ und
$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ existieren und \"ubereinstimmen.

\subsection{F\"unftes Beispiel}
Bei \raisebox{-0.2ex}{\Large\epsdice{5} \epsdice{3}
  \epsdice{4}}, also
\[\forall\,\epsilon&gt;0: \forall\,\delta&gt;0: \exists\,x\in\R:
  \forall\,y\in\R:\quad |x-y|+\frac1{1+|x|}&lt;\delta\, \Longrightarrow\,
  |f(x)-f(y)|&lt;\epsilon\] erkennt man, dass die Pr\"amisse f\"ur kleine
$\delta&gt;0$ nur wahr sein kann, wenn $|x-y|$ klein und $|x|$ gro\ss{}
ist. F\"ur diese Aussage haben wir keine sch\"one \"aquivalente
Umschreibung. Daf\"ur bietet es sich nun an, wilde Funktionen zu
suchen, die diese Bedingung noch erf\"ullen. Beispiele daf\"ur sind
alle Funktionen $f\colon\R\to\R$ mit \[|f(x)-\log x|\le 1/x\] f\"ur
$x\ge1$.

\section{Weitere m\"ogliche Fragen f\"ur Lehrveranstaltungen}
In der folgenden Liste haben wir einige weitere m\"ogliche Fragen
gesammelt, die man Studierenden stellen kann.
\begin{itemize}
\item \textit{Wie kann man eine gegebene Funktion, die eine
      gew\"urfelte Aussage erf\"ullt, so ab\"andern, dass die Aussage
      weiterhin g\"ultig bleibt?}

    Man k\"onnte hier, ausgehend von einfachen Funktionen wie etwa
    Polynomen oder rationalen Funktionen, reichhaltigere Beispiele
    konstruieren.
    
\item \textit{Wie wild kann eine Funktion bzw. ihr Graph aussehen, die
      die gew\"urfelte Aussage noch erf\"ullt?}
    
\item \textit{Welche anderen Aussagen sind hinreichend oder
      not\-wen\-dig f\"ur das Gelten der gew\"urfelten Aussage? Welche
      Gegenbeispiele zeigen, dass keine \"Aquivalenz vorliegt?}

    Falls hierbei Vermutungen ge\"au{\ss}ert werden, die sich als
    falsch herausstellen, kann man sich fragen, wie man die
    \emph{gew\"urfelte} Aussage ab\"andern m\"usste, sodass sie zu der
    ge\"au{\ss}erten Vermutung passt.

    
\item \textit{Wie lautet die Verneinung der Aussage? Ist diese
      leichter zu verstehen?}
    
\item \textit{\"Andert es die Aussage, wenn man $\epsilon&gt;0$ durch
      $\epsilon\in(0,1)$ oder $\epsilon\ge1$ ersetzt?}
\end{itemize}

\section{Kommentare}

\begin{itemize}
\item Trotz des Namens \emph{Stetigkeitsw\"urfel} m\"ussen die
    erw\"urfelten Aussagen nichts mit Stetigkeit zu tun haben, sie
    erinnern jedoch an die $\epsilon$-$\delta$-Definition von
    Stetigkeit.
\item Mit den Stetigkeitsw\"urfeln kann man nicht nur das formale
    Arbeiten, sondern auch die mathematische Intuition trainieren.
\item Da die erw\"urfelten Aussagen h\"aufiger zumindest f\"ur
    Anf\"anger nicht leicht zu verstehen sind, sollte eine
    mathematisch erfahrene Person mitspielen. Sie kann zum Beispiel
    vorgeben, bei welchen Aussagen nur Beispiele oder Gegenbeispiele
    gesucht werden sollen und bei welchen sich eine \"aquivalente
    Beschreibung anbietet.
\item Es empfiehlt sich ein allm\"ahliches Herantasten an die
    erw\"urfelten Aussagen. Dazu eignen sich die obigen
    Fragestellungen.
\item Beim Einsatz in Veranstaltungen im ersten Studienjahr muss man
    sich f\"ur jede erw\"urfelte Aussage viel Zeit lassen.
\item Dank jahrelanger Gew\"ohnung sind wir Dozenten mit der
    Stetigkeitsdefinition vertraut, w\"ahrend uns eine \"ahnliche
    erw\"urfelte Aussage h\"aufig kompliziert erscheint. Anf\"angern
    mag beides gleich schwer fallen. Wir k\"onnen nun beim Spielen mit
    den Stetigkeitsw\"urfeln die Schwierigkeiten mit derartigen
    Aussagen f\"ur uns neu erfahren und so mehr Verst\"andnis f\"ur
    die Schwierigkeiten der Studienanf\"anger bekommen.
\item Eine Kombination mit Funktionen auf Spielkarten, f\"ur die
  jeweils die G\"ultigkeit der erw\"urfelten Aussage gepr\"uft werden
  soll, ist in Planung.
\end{itemize}


\section{Danksagung}

Zun\"achst m\"ochten wir den Teilnehmern der EmA daf\"ur danken, dass
wir mit ihnen diese W\"urfel ausprobieren durften. Weiterhin danken
wir allen Studierenden, die uns durch kreativ durcheinandergebrachte
Definitionen, beispielsweise zur Stetigkeit, auf Gedanken gebracht
haben, die letztlich zu diesen W\"urfeln gef\"uhrt haben.

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{EmA} Jan-Hendrik Treude. \textit{Die Einf\"uhrung in das
      mathematische Arbeiten an der Universit\"at Konstanz}. In
    Vorbereitung. 
\end{thebibliography}

\section{Die Autoren}

\begin{itemize}
\item Oliver Schn\"urer forscht und lehrt an der Universit\"at
  Konstanz und hat dort die Veranstaltung Einf\"uhrung in das
  mathematische Arbeiten ins Leben gerufen.
\item Jan-Hendrik Treude ist als Mitarbeiter f\"ur die Einf\"uhrung in
  das mathematische Arbeiten und individuelle zus\"atzliche Betreuung
  der Studienanf\"anger zust\"andig und dar\"uber hinaus in der Lehre
  aktiv.
\end{itemize}

\end{document}




\iffalse
\section{Weitere Anmerkungen zur Durchf\"uhrung}
\label{sec:weitere-anmerkungen}

\begin{itemize}
\item Es k\"onnen sich schwer zu identifizierende oder auch schwer zu
  beschreibende Eigenschaften erkennen.
\item Ein "`Vorfiltern"' von Seiten der Lehrperson kann sinnvoll sein.
  Die W\"urfel k\"onnen somit auch einfach zur Vorbereitung einer
  Lehrveranstaltung (oder von \"Ubungen) genutzt werden.
\item Weglassen? Es ergeben sich gerne Eigenschaften, die von allen
  stetigen Funktionen erf\"ullt werden (man vertausche einfach einen
  oder beide der ersten beiden $\forall$ durch ein $\exists$). Um
  f\"ur solche Eigenschaften Gegenbeispiele zu konstruieren, muss man
  also Funktionen hinschreiben, die nicht stetig sind. F\"ur viele
  Studienanf\"anger d\"urfte dies eine wesentliche Erweiterung ihres
  Repertoires an Funktionen darstellen.
\item Einige der Kombinationen sind f\"ur alle Funktionen
  $f\colon\R\to\R$ wahr, wie beispielsweise ...
\end{itemize}
\fi

\newpage
\section{Alle M\"oglichkeiten}
\long\def\komb#1#2#3#4{
  \ifthenelse{\equal{#1}{1}}{\def\qeins{\forall\,\epsilon&gt;0}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{2}}{\def\qeins{\forall\,\delta&gt;0}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{3}}{\def\qeins{\exists\,\epsilon&gt;0}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{4}}{\def\qeins{\forall\,\epsilon&gt;0}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{5}}{\def\qeins{\exists\,\epsilon&gt;0}}{}
  %
  \ifthenelse{\equal{#1}{1}}{\def\qzwei{\exists\,\delta&gt;0}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{2}}{\def\qzwei{\exists\,\epsilon&gt;0}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{3}}{\def\qzwei{\forall\,\delta&gt;0}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{4}}{\def\qzwei{\forall\,\delta&gt;0}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{5}}{\def\qzwei{\exists\,\delta&gt;0}}{}
  %
  \ifthenelse{\equal{#2}{1}}{\def\anfang{%
      \forall\,x\in\R: \qeins: \qzwei:\forall\,y\in\R:}}{}
  \ifthenelse{\equal{#2}{2}}{\def\anfang{%
      \qeins: \qzwei: \exists\,x\in\R: \forall\,y\in\R:}}{}
  \ifthenelse{\equal{#2}{3}}{\def\anfang{%
      \qeins: \qzwei: \forall\,x\in\R: \forall\,y\in\R:}}{}
  \ifthenelse{\equal{#2}{4}}{\def\anfang{%
      \qeins: \forall\,x\in\R: \qzwei: \forall\,y\in\R:}}{}
  \ifthenelse{\equal{#2}{5}}{\def\anfang{%
      \exists\,x\in\R: \qeins: \qzwei:\forall\,y\in\R:}}{}
  % Folgendes geht sicherlich auch ohne ifthenelse:
  \ifthenelse{\equal{#1}{1}}{\def\weins{\epsdice{1}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{2}}{\def\weins{\epsdice{3}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{3}}{\def\weins{\epsdice{4}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{4}}{\def\weins{\epsdice{5}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#1}{5}}{\def\weins{\epsdice{6}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#2}{1}}{\def\wzwei{\epsdice{1}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#2}{2}}{\def\wzwei{\epsdice{3}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#2}{3}}{\def\wzwei{\epsdice{4}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#2}{4}}{\def\wzwei{\epsdice{5}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#2}{5}}{\def\wzwei{\epsdice{6}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#3}{1}}{\def\wdrei{\epsdice{1}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#3}{2}}{\def\wdrei{\epsdice{3}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#3}{3}}{\def\wdrei{\epsdice{4}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#3}{4}}{\def\wdrei{\epsdice{5}}}{}
  \ifthenelse{\equal{#3}{5}}{\def\wdrei{\epsdice{6}}}{}
\item \raisebox{-0.3ex}{\Large\weins{} \wzwei{} \wdrei}\,:
  $\anfang
  \ifthenelse{\equal{#3}{1}}
  {|x-y|&lt;\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}{}
  \ifthenelse{\equal{#3}{2}}
  {|f(x)-f(y)|&lt;\delta \Longrightarrow |x-y|&lt;\epsilon}{}
  \ifthenelse{\equal{#3}{3}}
  {|x-y|+\frac1{1+|x|}&lt;\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}{}
  \ifthenelse{\equal{#3}{4}}
  {|x+y|&lt;\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}{}
  \ifthenelse{\equal{#3}{5}}
  {\min\{|x|,\,|y|\}&gt;\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|&lt;\epsilon}{}
  :$\\ %\\[3.6ex]
  % Dies ohne item erzeugt alle M\"oglichkeiten ohne Kommentare. 
  #4
}
\begin{itemize}
\komb{1}{1}{1}{stetig}
\komb{1}{1}{2}{Impliziert injektiv; \"ahnliche Funktionswerte
  geh\"oren zu nahe beieinander liegenden Punkten; $f^{-1}\colon
  f(\R)\to\R$ ist stetig.}
\komb{1}{1}{3}{Gilt f\"ur beliebige Funktionen, da
  $\delta&lt;\frac1{1+|x|}$ gew\"ahlt werden kann.}
\komb{1}{1}{4}{gerade und stetig}
\komb{1}{1}{5}{Gilt immer, da $\delta&gt;0$ gro\ss{} gew\"ahlt werden
  kann.} 
\komb{1}{2}{1}{Zu jedem $\epsilon$ gibt es Intervalle, in denen sich
  die Funktionswerte h\"ochstens um $\epsilon&gt;0$ unterscheiden. Viel
  schw\"acher als Stetigkeit.}
\komb{1}{2}{2}{Nicht so pr\"agnant: F\"ur alle Intervalll\"angen gibt
  es einen Intervallmittelpunkt und ein $\delta$, so dass alle $y$ von
  au\ss{}erhalb dieses Intervalles $|f(x)-f(y)|\ge\delta$ erf\"ullen.}
\komb{1}{2}{3}{Gilt immer, da man $x$ und $\delta$ so w\"ahlen kann,
  dass die Pr\"amisse falsch wird.}
\komb{1}{2}{4}{F\"ur jede Schranke $\epsilon&gt;0$ gibt es Intervalle, in
  denen $f$ und die gerade Spiegelung von $f$ vertikal h\"ochstens um 
  $\epsilon$ voneinander abweichen.}
\komb{1}{2}{5}{Gilt immer, da man $|x|&lt;\delta$ w\"ahlen kann.}
\komb{1}{3}{1}{Gleichm\"a\ss{}ige Stetigkeit}
\komb{1}{3}{2}{Dies impliziert Injektivit\"at und die Umkehrfunktion
  $f^{-1}\colon f(\R)\to\R$ ist gleichm\"a\ss{}ig stetig.}
\komb{1}{3}{3}{Es gibt weit drau\ss{}en kleine Intervalle, in denen
  die Oszillation klein ist. Stetigkeit ist nicht erforderlich, $f$
  kann im Unendlichen h\"ochstens linear wachsen.}
\komb{1}{3}{4}{gerade und gleichm\"a\ss{}ig stetig}
\komb{1}{3}{5}{Die Grenzwerte $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ und
  $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ existieren und stimmen \"uberein.}
% die n\"achsten Kombinationen lassen sich auf 1-1-?
% zur\"uckf\"uhren. 
\komb{1}{4}{1}{Stetigkeit, da man $\forall$-Quantoren vertauschen
  darf.} 
\komb{1}{4}{2}{$f^{-1}$ ist stetig.}
\komb{1}{4}{3}{Gilt immer.}
\komb{1}{4}{4}{gerade und stetig}
\komb{1}{4}{5}{Gilt immer.}
\komb{1}{5}{1}{Es gibt $x_0\in\R$, in dem $f$ stetig ist.}
\komb{1}{5}{2}{Sei $x_0$ der ausgezeichnete Punkt. Wir setzen
  $\delta(\epsilon) :=\frac12\inf\limits_{y\not\in
    (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)} |f(y)-f(x_0)|$. Dies muss f\"ur
  $\epsilon&gt;0$ positiv sein, $f$ darf also den Wert $f(x_0)$ nur
  einmal annehmen und ihm auch au\ss{}er nahe $x_0$ nicht zu nahe
  kommen. Also: Folgen $(x_n)_{n\in\N}\subset\R$ mit $f(x_n)\to
  f(x_0)$ erf\"ullen $x_n\to x_0$ f\"ur $n\to\infty$.}  
\komb{1}{5}{3}{Gilt f\"ur alle Funktionen.}
\komb{1}{5}{4}{Es gibt $x_0=-x$ mit $f(x_0)=f(-x_0)$ und $f$ ist in
  $x_0$ stetig.}
\komb{1}{5}{5}{Gilt f\"ur alle Funktionen.}
%\newpage
\komb{2}{1}{1}{$f$ ist lokal beschr\"ankt.}
\komb{2}{1}{2}{Zun\"achst: F\"ur jedes $x$ wird $f(x)-f(y)$ f\"ur
  $|y|\to\infty$ unbeschr\"ankt. Dies ist \"aquivalent zu:
  $|f(x)|\to\infty$ f\"ur $|x|\to\infty$. Ist $f$ zus\"atzlich stetig,
  so ist $f$ auch eigentlich.}
\komb{2}{1}{3}{$f$ ist lokal beschr\"ankt.}
\komb{2}{1}{4}{$f$ ist lokal beschr\"ankt.}
\komb{2}{1}{5}{$f$ ist auf Komplementen von Nullumgebungen
  beschr\"ankt.} 
\komb{2}{2}{1}{Es gibt Intervalle beliebiger L\"ange, auf denen $f$
  beschr\"ankt ist.}
\komb{2}{2}{2}{Es gibt Stellen, so dass \"ahnliche Funktionswerte nur
  in einer Umgebung angenommen werden.}
\komb{2}{2}{3}{Es gibt beliebig gro\ss{}e Intervalle, auf denen $f$
  beschr\"ankt ist.}
\komb{2}{2}{4}{Es gibt beliebig gro\ss{}e Intervalle, auf denen $f$
  beschr\"ankt ist.}
\komb{2}{2}{5}{Gilt immer.}
\komb{2}{3}{1}{Gleichm\"a\ss{}ig lokal beschr\"ankte Oszillation.}
\komb{2}{3}{2}{Beschr\"ankte Differenzen in den Funktionswerten kommen
  von beschr\"ankten Differenzen der Argumente. Insbesondere wird die 
  Funktion im Unendlichen unbeschr\"ankt.}
\komb{2}{3}{3}{Gleichm\"a\ss{}ig lokal beschr\"ankte Oszillation.}
\komb{2}{3}{4}{\glqq$x\mapsto\{f(x),f(-x)\}$\grqq{} hat
  gleichm\"a\ss{}ig lokal beschr\"ankte Oszillation.}
\komb{2}{3}{5}{Ist auf beliebigen Komplementen von Nullumgebungen
  beschr\"ankt.} 
\komb{2}{4}{1}{Lokal beschr\"ankt.}
\komb{2}{4}{2}{\"Ahnliche Funktionswerte kommen von \"ahnlichen
  Argumenten.} 
\komb{2}{4}{3}{Lokal beschr\"ankt.}
\komb{2}{4}{4}{}
\komb{2}{4}{5}{}
\komb{2}{5}{1}{}
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\komb{2}{5}{5}{}
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\end{itemize}

\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
</pre></body></html>