% 
% Analysis II
% Oliver Schn\"urer
%
% Konstanz, Sommer 2015, 2020, 2025
%
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\def\und{\wedge}
\def\impliziert{\ensuremath{\Longrightarrow}\text{}} 
\def\folgtaus{\ensuremath{\Longleftarrow}\text{}}
\def\aequivalent{\ensuremath{\Longleftrightarrow}\text{}}
\def\Hinrichtung{\glqq\ensuremath{\Rightarrow}\grqq:\text{ }}
\def\Rueckrichtung{\glqq\ensuremath{\Leftarrow}\grqq:\text{ }}
% War urspr\"unglich wie bei impliziert und folgt aus mit langen
% Pfeilen definiert, aber das klappt nicht als itemize-[Argument];
% \"Uberl\"ange nach links.
\def\eins{\mbox{\ensuremath{1\hspace*{-0.9ex}1}}}
% \def\interior#1{\overset{{}_\circ}{#1}}
% \newcommand{\margincomment}[1]{\marginpar{\footnotesize{#1}}}
\def\schwachto{\rightharpoondown}
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% Hier ggf. vor der Veroeffentlichung noch etwas aendern.
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\newtheorem{beispiel}[theorem]{Beispiel}
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\newtheorem{bemerkung}[theorem]{Bemerkung}

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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Di-ri-chlet-rand-wer-ten
   Ei-gen-funk-ti-on-en Kom-pakt-heits-satz Viel-fach-heit Funk-tion
   Funk-tion-en}

\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
\title{Analysis II}

% Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
% Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Universit\"at Konstanz, Germany}
% Current address
\curraddr{} \def\amSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\amSeeHome}
% \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{Vielen Dank an Aline Huck, Andrey Zakharov und die H\"orer der
  Vorlesung f\"ur Korrekturen. In den Sommersemestern 2015 und 2020 in
  Konstanz benutzt.}

% General info
\subjclass[2000]{26-01}
% 26-XX Real functions
% 26-01 Instructional exposition

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

\begin{abstract}
  Skript zu einer Vorlesung Analysis II.
  \vspace*{-3ex}
\end{abstract}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents

% Spezielle Kopfzeilen          
\long\def\Section#1{\section{#1} \def\abschnitt{#1}}
\long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
\markboth{\scriptsize{\textsc{\thesection.{}
      \MakeUppercase{\abschnitt}}}}
{\scriptsize{\textsc{\thesubsection.{}
      \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}

\renewcommand*{\proofname}{Beweis}

% \mainmatter

Dies ist eine Fortsetzung des Skriptes zur Vorlesung Analysis I, siehe
\cite{OSAnaI}.\par
Wir orientieren uns an \cite{CGAnalysisI}, was an \cite{Dieudonne}
orientiert ist,
% aber auch an \cite{AmannEscherAnalysisI,DenkRackeKompendiumI} 
und benutzen manchmal \cite{wiki}.\par
Wir empfehlen wiederum wie im ersten Semester, Resultate mit
Banachr\"aumen zun\"achst im Fall $\R$ oder $\R^n$ zu
verstehen. W\"unschenswert w\"are im zweiten Semester nun insbesondere
ab der Differentialrechnung in mehreren Variablen ein Verst\"andnis
zumindest im Falle von $\R^n$.

\addtocounter{section}{3}

\Section{Differentiation in einer Variablen}
\datumcorona{Mo 20.04.2020}
\datum{Mo 14.04.2025}
Wir beschr\"anken uns hier auf den Fall von auf Teilmengen von $\R$
definierten Funktionen. Vieles l\"asst sich direkt auf den komplexen
Fall \"ubertragen, dies wird aber auch noch in der Vorlesung
Funktionentheorie behandelt. Somit betrachten wir hier in der Regel
auch Banachr\"aume \"uber dem K\"orper $\R$. \par 

\Subsection{Differenzierbare Funktionen}
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R$ offen, $F$ eine Banachraum und $f\colon
  \Omega\to F$ eine Abbildung. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $f$ in $x_0\in\Omega$ \emph{differenzierbar,}
    falls \[\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\Omega\ni x\to x_0}{x\neq
        x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] existiert. Der Quotient
    hei\ss{}t \emph{Differenzenquotient.} Sein Grenzwert hei\ss{}t
    \emph{Ableitung.} Wir bezeichnen ihn mit $f'(x_0)$ oder
    $\frac{df}{dx}(x_0)$. Es gilt $f'(x_0)\in F$.
  \item Ist $f$ in jedem Punkt $x_0\in\Omega$ differenzierbar, so
    hei\ss{}t $f$ \emph{in $\Omega$ differenzierbar.} 
  \item Ist $f$ in $\Omega$ differenzierbar und ist die Abbildung
    $f'\colon\Omega\to F$ mit $x\mapsto f'(x)$ stetig, so hei\ss{}t
    $f$ in $\Omega$ \emph{stetig differenzierbar.}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
    \weg{
  \item \stern Die Aussagen
    \[f'(x_0)=\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to x_0}{x\neq x_0}}
      \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
    und \[\left\Vert\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\right\Vert\to0\]
    f\"ur $x\to x_0$ mit $x\neq x_0$ sind \"aquivalent.
    } % weg
  \item Direkt aus der Definition folgt: Ist $f$ in $x_0$
    differenzierbar, so ist $f$ in $x_0$ auch stetig.
    \weg{ 
  \item \stern Die in $x_0\in\Omega$, die in $\Omega$ und die in $\Omega$
    stetig differenzierbaren Funktionen bilden jeweils einen Unterraum
    des Vektorraumes aller Abbildungen $\Omega\to F$.
  } % weg
\end{enumerate}
\end{remark}


\begin{definition}[Landausymbole]
  Seien $E,\,F$ Banachr\"aume, sei $\Omega\subset E$ offen und seien
  $f\colon \Omega\to F$ und $g\colon\Omega\to\R_{>0}$ Abbildungen. Sei
  $x_0\in\Omega$. Bei den nachfolgenden Definitionen ist stets
  kenntlich zu machen, dass $x_0$ der Bezugspunkt ist.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gilt \[\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to x_0}{\Omega\ni
        x\neq x_0}} \frac{f(x)}{g(x)}=0,\] so schreiben wir $f(x)\in
    o(g(x))$. Wir sagen dann, $f$ sei ein \emph{klein-$o$} von $g(x)$.
  \item Gilt \[\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to x_0}{\Omega\ni x\neq
        x_0}}{\ol\lim} \frac{\Vert f(x)\Vert}{g(x)}<\infty,\] so
    schreiben wir $f(x)\in O(g(x))$. Wir sagen dann, $f$ sei ein
    \emph{gro\ss{}-$O$} von $g(x)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\weg{
  \begin{remark}
    \stern \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\alpha>0$. Wir benutzen h\"aufig $f(x)\in o(\Vert
    x-x_0\Vert^\alpha)$ und sagen, dass \emph{$f$ in $x_0$ von
      h\"oherer Ordnung als $\alpha$ verschwindet.} 
  \item Sei $\alpha>0$. Wir benutzen h\"aufig $f(x)\in O(\Vert
    x-x_0\Vert^\alpha)$.
  \item Wir verwenden diese Definitionen auch, wenn $f$ nur in
    $\Omega\setminus\{x_0\}$ definiert ist. 
  \item Mit $o\left(\Vert x-x_0\Vert^\alpha\right)$, \ldots{} sind
    impliziert Mengen von Funktionen definiert.  Statt $f(x)\in
    o\left(\Vert x\Vert^\alpha\right)$ oder $f(x)\in O\left(\Vert
      x\Vert^\alpha\right)$ schreibt man auch $f(x)=o\left(\Vert
      x\Vert^\alpha\right)$ bzw.{} $f(x)=O\left(\Vert
      x\Vert^\alpha\right)$.
  \item Im Falle $\Omega\subset\R$ benutzen wir diese Notation auch
    f\"ur $x\to\infty$ oder $x\to-\infty$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $f\colon\R\to\R$ die Abbildung $x\mapsto x^n$ f\"ur ein
    $n\in\N_{>0}$. Dann gelten f\"ur
    $x_0=0$
    \[f(x)=o\left(|x|^\alpha\right) \quad\text{f\"ur alle}\quad
      0<\alpha<n\quad\text{und}\quad f(x)=O\left(|x|^n\right).\]
    \weg{
  \item \stern F\"ur $f\colon\R_+\to\R_+$ mit $x\mapsto\sqrt x$ gelten
    f\"ur $x_0=0$ und alle $0<\alpha<\frac12$
  \[f(x)=o\left(x^\alpha\right) \quad\text{und}\quad f(x)=O\left(\sqrt
      x\right).\]
  } % weg
  \item F\"ur $f\colon\R^2\to\R$ mit $f(x)=x^1\cdot x^2$ gilt
    $f(x)=O\left(|x|^2\right)$ und daher folgt f\"ur $x_0=0$ und alle
    $0<\alpha<2$ \[f(x)=o\left(|x|^\alpha\right).\]
  \item Die Funktion $f\colon\R\to\R$ mit \[f(x)=
    \begin{cases}
      x^2\cos\left(\tfrac1x\right),&x\neq0,\\
      0,&x=0, 
    \end{cases}
    \]
    ist in ganz $\R$ differenzierbar, aber $f'$ ist im Punkt $0$ nicht
    stetig. 
    \begin{proof}[Beweis]
      \"Ubung f\"ur sp\"ater oder unter Verwendung von
      Schulkenntnissen. 
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{proposition}
  Sei $F$ ein Banachraum und sei $\Omega\subset\R$ offen. Dann ist
  $f\colon\Omega\to F$ genau dann in $x_0\in\Omega$ differenzierbar,
  wenn es ein $a\in F$ mit
  \begin{equation}
    \label{lin approx eq}
    f(x)=f(x_0)+a\cdot(x-x_0)+o(|x-x_0|)    
  \end{equation}
  f\"ur alle $x\in\Omega$ gibt. In diesem Falle gilt $f'(x_0)=a$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Ist $f$ im Punkt $x_0$ differenzierbar, so w\"ahlen wir
  $a=f'(x_0)$ und erhalten \[f(x)-f(x_0)-a\cdot(x-x_0)=o(|
  x-x_0|)\] nach Definition der Ableitung. \par \Rueckrichtung
  Nach \eqref{lin approx eq} gilt f\"ur $x\neq x_0$ mit
  $x\in\Omega$ \[\left\Vert\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} -a\right\Vert
  =\frac{\Vert o(|x-x_0|)\Vert}{|x-x_0|}\to0\] f\"ur $x\to x_0$. Somit
  ist $f$ im Punkt $x_0$ differenzierbar und es gilt $f'(x_0)=a$. 
\end{proof}

\weg{
\stern Da die linearen stetigen Abbildungen $A\colon \R\to F$ genau
von der Form $x\mapsto a\cdot x$ f\"ur einen Vektor $a=A(1)\in F$
sind, erhalten wir unter Verwendung der Konvention, dass wir Argumente
von linearen Abbildungen in spitzen Klammern schreiben
} % weg
\begin{proposition}
  \label{abl lin approx}
  Sei $F$ ein Banachraum und $\Omega\subset\R$ offen. Dann ist
  $f\colon\Omega\to F$ genau dann in $x_0\in\Omega$ differenzierbar,
  wenn es eine stetige lineare Abbildung $A\in L(\R,F)$
  mit \[f(x)=f(x_0)+A\langle x-x_0\rangle+o(\Vert x-x_0\Vert)\] f\"ur
  alle $x\in\Omega$ gibt. Wir schreiben $A=Df(x_0)$. 
\end{proposition}

\weg{ 
\begin{remark} \stern \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Proposition \ref{abl lin approx} l\"asst sich sp\"ater gut auf
    Funktionen verallgemeinern, die auf offenen Teilmengen eines
    Banachraumes definiert sind.
%  \item Mit $L(E,F)$ bezeichnen wir die stetigen linearen Abbildungen
%    von einem Banachraum $E$ in einen Banachraum $F$. 
%  \item Die stetige lineare Abbildung $A$ aus Proposition \ref{abl lin
%      approx} bezeichnen wir mit \[Df(x_0)\in L(\R,F).\] 
  \item Ist $f$ in $\Omega$ differenzierbar, so bezeichnet $Df$ die
    Ableitung von $f$. $Df$ ist durch
    \begin{align*}
      Df\colon\Omega\to&\,L(\R,F),\\
      x\mapsto&\, Df(x)
    \end{align*}
    gegeben. 
  \item Im reellwertigen Fall ist $A\langle x-x_0\rangle$ durch die
    Multiplikation der beiden reellen Zahlen $f'(x_0)$ und $x-x_0$
    gegeben. Identifizieren wir $f'(x_0)\in\R$ mit der linearen
    stetigen Abbildung $\R\ni y\mapsto f'(x_0)\cdot y\in\R$, so
    schreiben wir auch $f'(x_0)\langle y\rangle$. Entsprechendes gilt
    auch f\"ur vektorwertige Funktionen. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\begin{proposition}
  \label{abl lin prop}
  Sei $\Omega\subset\R$ offen. Seien $f,\,g\colon\Omega\to\R$ in
  $x_0\in\Omega$ differenzierbar.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \label{abl lin i} Es gelten $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$ sowie
    $(\lambda f)'(x_0)=\lambda f'(x_0)$ f\"ur alle $\lambda\in\R$.
  \item Es gilt die Produktregel \[(f\cdot g)'(x_0)= f'(x_0)\cdot
    g(x_0) +f(x_0)\cdot g'(x_0).\]
  \item Ist $g(x_0)\neq0$, so gilt die Quotientenregel
    \[\left(\frac fg\right)'(x_0)
    =\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}.\] 
  \end{enumerate}
\end{proposition}

\weg{
\begin{remark}
  \stern Proposition \ref{abl lin prop} \eqref{abl lin i} besagt, dass die
  Ableitung eine lineare Abbildung auf den in $x_0$ differenzierbaren
  Funktionen nach $L(\R,\R)\cong\R$ ist.   
\end{remark}
} % weg

\begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{abl lin prop}]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Klar nach Definition und Grenzwerts\"atzen.
  \item Es gilt \[f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)=(f(x)-f(x_0))g(x)
    +(g(x)-g(x_0))f(x_0).\] Wir dividieren nun durch $x-x_0$ und gehen
    zum Grenzwert $x\to x_0$ \"uber. Die Behauptung folgt. 
  \item % Wir haben hier $g^2(x_0)\equiv(g(x_0))^2$ verwendet.
    Die Behauptung folgt direkt aus der Produktregel und der noch zu
    zeigenden Identit\"at
    \[\left(\frac1g\right)'(x_0) =-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}.\] Da
    $g(x_0)\neq0$ ist, gilt auch $g(x)\neq0$ in einer ganzen Umgebung
    von $x_0$, da $g$ in $x_0$ stetig ist. Wir erhalten
    also
    \[\frac1{g(x)}-\frac1{g(x_0)} =-\frac{g(x)-g(x_0)}{g(x)g(x_0)}.\]
    Wir dividieren wiederum durch $x-x_0$ und gehen zum Grenzwert
    $x\to x_0$ \"uber. Die Behauptung folgt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $n\in\N_{>0}$. Dann ist $f_n\colon\R\to\R$ mit $x\mapsto x^n$ in
  ganz $\R$ differenzierbar und es gilt \[f_n'(x)=nx^{n-1}.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Behauptung f\"ur $n=1$ ist leicht einzusehen. Gelte daher die
  Aussage bereits f\"ur alle Funktionen $f_m$ mit $m<n$. Mit
  Produktregel erhalten wir daraus 
  \begin{align*}
    f_n'(x)=&\,(f_{n-1}f_1)'(x) =f_{n-1}'(x)f_1(x)
    +f_{n-1}(x)f_1'(x)\umbruch\\
    =&\,(n-1)x^{n-2}\cdot x +x^{n-1}\cdot 1 =nx^{n-1}.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}
\weg{
  \begin{remark}
    \stern Einen Beweis, in dem $(x+y)^n-x^n$ mit Hilfe von
    Binomialkoeffizienten geschrieben wird, lassen wir als \"Ubung.
  \end{remark}
} % weg

\begin{theorem}[Kettenregel] Sei $\Omega,\,\tilde\Omega\subset\R$
  offen.  Seien $g\colon\Omega\to\R$ in $x_0$ und
  $f\colon\tilde\Omega\to\R$ in $g(x_0)\in\tilde\Omega$
  differenzierbar, so ist $f\circ g$ in einer Umgebung von $x_0$
  definiert, in $x_0$ differenzierbar und es gilt \[(f\circ g)'(x_0)
  =f'(g(x_0))\cdot g'(x_0) =f'(g(x_0))\langle
  g'(x_0)\langle\cdot\rangle\rangle.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $g$ ist in $x_0$ differenzierbar, somit auch stetig und daher
    ist $f\circ g$ in einer Umgebung von $x_0$ definiert. Betrachte
    daher ab jetzt nur noch Werte in einer solchen Umgebung. 
  \item Aufgrund der Differenzierbarkeit von $f$ im Punkt $g(x_0)$
    gilt nach Proposition \ref{abl lin approx} mit $g(x)$ und $g(x_0)$
    statt $x$ und $x_0$
    \begin{align*}
      (f\circ g)(x)-(f\circ g)(x_0)=&\,f(g(x))-f(g(x_0))\umbruch\\
      =&\,f'(g(x_0))\langle g(x)-g(x_0)\rangle +o(|g(x)-g(x_0)|).
    \end{align*}
    Weiterhin gilt aufgrund der Differenzierbarkeit von $g$ in
    $x_0$ \[g(x)-g(x_0)=g'(x_0)\langle x-x_0\rangle +o(|x-x_0|).\]
    Zusammengenommen erhalten wir
    \begin{align*}
      (f\circ g)(x)-(f\circ g)(x_0)=&\,f'(g(x_0))\langle
      g'(x_0)\langle x-x_0\rangle\rangle\umbruch\\
      &\,\quad+f'(g(x_0))\langle o(|x-x_0|)\rangle +o(|g(x)-g(x_0)|).
    \end{align*}
  \item Es fehlt noch der Nachweis, dass die beiden Terme in der
    letzten Zeile in $o(|x-x_0|)$ liegen. F\"ur den ersten Term ist
    dies klar. Da wir eine Funktion in $o(|x-x_0|)$ stets in der Form
    $\epsilon(|x-x_0|)\cdot|x-x_0|$ mit $\epsilon(|x-x_0|)\to0$ f\"ur
    $x\to x_0$ schreiben k\"onnen, gen\"ugt der Nachweis,
    dass \[\lim\limits_{x\to x_0}\epsilon(|g(x)-g(x_0)|)\cdot
    \frac{|g(x)-g(x_0)|}{x-x_0}=0\] gilt. Dies folgt nun aus der
    Stetigkeit und Differenzierbarkeit von $g$ in $x_0$ und
    Grenz\-wert\-s\"at\-zen. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern Die Ableitung bezeichnet man nach Gottfried Wilhelm Leibniz
  auch mit $\frac{df}{dx}$. Schreibt man $f(g(x))$ und bezeichnet die
  Variable von $f$ mit $y$ f\"ur $g(x)$, so ergibt sich ohne Argumente
  die an das K\"urzen von Br\"uchen erinnernde
  Merkregel \[\frac{df}{dx} =\frac{df}{dy} \frac{dy}{dx}.\]
\end{remark}
} % weg

Mit Hilfe der Kettenregel kann man die Ableitung der Inversen
bestimmen. Es gilt
\begin{corollary}
  Seien $\Omega,\,\tilde\Omega\subset\R$ offen. Sei
  $f\colon\Omega\to\tilde\Omega$ invertierbar und sei
  $g\colon\tilde\Omega\to\Omega$ die Inverse. Sei $f$ in $x_0$ und $g$
  in $f(x_0)$ differenzierbar, so gilt \[g'(f(x_0))=\frac1{f'(x_0)}.\] 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $\id=g\circ f$. Wir leiten dies ab und erhalten mit Hilfe
  der Kettenregel \[1=\id'=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0).\] Somit ist
  insbesondere $f'(x_0)\neq0$ und wir erhalten die behauptete
  Identit\"at. 
\end{proof}

\datumcorona{Do 23.04.2020}
\datum{Do 17.04.2025}
Wir definieren iterativ h\"ohere Ableitungen und zugeh\"orige
Funktionenr\"aume. 
\begin{definition}
  Sei $F$ ein Banachraum und sei $\Omega\subset\R$ offen.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Fassen wir die Ableitung einer Funktion $f\colon\Omega\to F$
    als Funktion $Df\colon\Omega\to F$ auf, so k\"onnen wir induktiv
    die Abbildungen $D^0f=f\colon\Omega\to F$, $D^1f=Df\colon\Omega\to
    F$, $D^2f=D(Df)\colon\Omega\to F$ sowie
    $D^{n+1}f=D\left(D^nf\right)\colon\Omega\to F$ definieren, soweit
    dies f\"ur die gegebene Funktion $f$ m\"oglich ist. Wir schreiben
    auch $D^nf\equiv f^{(n)}\equiv \frac{d^nf}{dx^n}$. Existiert
    $f^{(n)}$ (in einem Punkt $x_0\in\Omega$), so hei\ss{}t $f$ (in
    $x_0$) \emph{$n$-mal differenzierbar} und $f^{(n)}$ die
    \emph{$n$-te Ableitung} von $f$. 
  \item Ist $f^{(n)}\colon\Omega\to F$ stetig, so hei\ss{}t $f$ eine
    \emph{$n$-mal stetig differenzierbare Funktion.} Existiert
    $f^{(n)}$ f\"ur alle $n\in\N$, so hei\ss{}t $f$ unendlich oft
    differenzierbar.
  \item Wir definieren die folgenden Funktionenr\"aume:
    \begin{align*}
      C^0(\Omega,F):=&\,\{f\colon (f\colon\Omega\to F)\text{ ist
        stetig}\},\umbruch\\
      C^0\left(\ol\Omega,F\right):=&\,\left\{f\colon f \text{ ist
          stetig und beschr\"ankt auf $\ol\Omega$
          fortsetzbar}\right\},\umbruch\\
      C^k(\Omega,F):=&\,\{f\colon\Omega\to F\colon\text{ $f$ ist
        in $\Omega$ $k$-mal stetig differenzierbar}\},\umbruch\\
      C^k\left(\ol\Omega,F\right):=&\,\left\{f\in C^k(\Omega,F)\colon
        \text{ f\"ur alle $0\le n\le k$ ist
          $f^{(n)}$}\right.\\
      &\,\quad\left.  \text{stetig und beschr\"ankt auf $\ol\Omega$
          fortsetzbar}\right\} \intertext{sowie den Raum der glatten
        Funktionen} C^\infty(\Omega,F):=&\,\bigcap\limits_{k\in\N}
      C^k(\Omega,F).
    \end{align*}
    Ist $F=\R$, so schreiben wir $C^0(\Omega)\equiv C^0(\Omega,\R)$,
    $C^k(\Omega)\equiv C^k(\Omega,\R)$, \ldots. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\weg{
  \begin{remark}
    \stern Ist $\ol\Omega$ kompakt, also z.\,B.{} $\Omega\subset\R^n$
    offen und beschr\"ankt, so ist jede stetige Fortsetzung einer
    Funktion nach $\ol\Omega$ automatisch auch beschr\"ankt.
\end{remark}
} % weg

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Auf dem $\R$-Vektorraum $C^0\left(\ol\Omega,F\right)$
    definieren wir eine Norm f\"ur eine Funktion $f\colon\Omega\to F$
    durch
    \[\Vert f\Vert_{C^0}\equiv \Vert f\Vert_{L^\infty}:=
      \sup\limits_{x\in\Omega}\Vert f(x)\Vert_F.\]
    \weg{ 
    \stern Als Indices der Norm
    verwenden wir auch $C^0$, $C^0(\Omega,F)$,
    $C^0\left(\ol\Omega,F\right)$, $L^\infty$, $L^\infty(\Omega,F)$,
    gebr\"auchlich sind aber auch $0$ und $\infty$. Ist $F=\R$, so
    lassen wir dieses Argument $F$ auch weg.
    } % weg
  \item Sei $k\in\N$. Auf dem $\R$-Vektorraum
    $C^k\left(\ol\Omega, F\right)$ definieren wir eine Norm
    durch
    \[\Vert f\Vert_{C^k(\Omega,F)} :=\sum\limits_{i=0}^k\left\Vert
        f^{(i)}\right\Vert_{C^0(\Omega,F)}.\]
    \weg{
      \stern Gebr\"auchlich sind auch hier wieder alle Varianten
      wie bei der $C^0$-Norm oder $\Vert\cdot\Vert_k$.
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{definition}

Um nachweisen zu k\"onnen, dass diese R\"aume Banachr\"aume sind,
ben\"otigen wir, dass Stetigkeit unter gleichm\"a\ss{}iger Konvergenz
erhalten ist.
\begin{theorem}
  \label{glm konv erh stet thm}
  Seien $E,\,F$ metrische R\"aume. Sei $(f_n)_n$ eine Folge von
  stetigen Funktionen $f_n\colon E\to F$, die gleichm\"a\ss{}ig gegen
  eine Funktion $f\colon E\to F$ konvergiert. Dann ist $f$ stetig.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis] Sei $x_0\in E$ beliebig. Sei
  weiterhin $\epsilon>0$ beliebig. Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen
  Konvergenz gibt es ein $n_0\in\N$, so dass f\"ur alle $n\in\N$ mit
  $n\ge n_0$ und alle $x\in E$ \[d(f(x),f_n(x)) <\frac\epsilon3
  \quad\text{gilt.}\] Da $f_{n_0}$ in $x_0$ stetig ist, gibt es ein
  $\delta>0$, so dass f\"ur alle $x\in
  B_\delta(x_0)$ \[d(f_{n_0}(x),f_{n_0}(x_0))<\frac\epsilon3\quad
  \text{gilt.}\] Insgesamt erhalten wir also f\"ur s\"amtliche $x\in
  B_\delta(x_0)$ \[d(f(x),f(x_0))\le
  \underbrace{d(f(x),f_{n_0}(x))}_{<\epsilon/3}
  +\underbrace{d(f_{n_0}(x),f_{n_0}(x_0))}_{<\epsilon/3}
  +\underbrace{d(f_{n_0}(x_0),f(x_0))}_{<\epsilon/3}<\epsilon.\] Somit
  ist $f$ (in $x_0$) stetig.
\end{proof}

\weg{
\begin{proof}[Alternativbeweis mit Doppelfolgen] \stern{} 
  Sei $x_0\in E$ beliebig. Sei $(x_m)_m\subset E$ eine Folge mit
  $x_m\to x_0$ f\"ur $m\to\infty$. Wir wollen nachweisen,
  dass \[f(x_0) =\lim\limits_{m\to\infty} f(x_m)\] gilt. Dies ist
  \"aquivalent zu \[\lim\limits_{n\to\infty}
  \underbrace{\lim\limits_{m\to\infty} f_n(x_m)}_{=f_n(x_0)}
  =\lim\limits_{m\to\infty} \underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}
    f_n(x_m)}_{=f(x_m)}\] und folgt direkt aus unserem Resultat \"uber
  die Vertauschbarkeit von Grenzwerten bei Doppelfolgen, wenn die
  Konvergenz bez\"uglich des einen Indexes gleichm\"a\ss{}ig ist. 
\end{proof}
} % weg

\weg{
Ein entsprechendes Resultat gilt auch f\"ur Reihen:
\begin{theorem}
  \label{glm lim reihe stet} \stern
  Sei $E$ ein metrischer Raum, $F$ ein Banachraum und $f_n\colon E\to
  F$ eine Folge stetiger Funktionen. Konvergiert die Reihe $((f_n))_n$
  f\"ur $n\to\infty$ gleich\-m\"a\-\ss{}ig gegen einen Funktion $f\colon
  E\to F$, so ist $f$ stetig. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wenden Theorem \ref{glm konv erh stet thm} auf die Folge
  $(s_n)_n$ der Partialsummen \[s_n(x)=\sum\limits_{k=0}^nf_k(x)\]
  an. 
\end{proof}
} % weg

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R$ offen und sei $F$ ein Banachraum. Sei
  $k\in\N$. Dann ist $C^k\left(\ol\Omega,F\right)$ mit der $C^k$-Norm
  ein Banachraum.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \stern \"Ubung. Benutze, dass der Grenzwert gleichm\"a\ss{}ig
  konvergenter stetiger Funktionen nach Theorem \ref{glm konv erh stet
    thm} wieder stetig ist und dass $C^0\left(\ol\Omega,F\right)$ ein
  Banachraum ist.
\end{proof}

\begin{proposition}
  Sei $\Omega\subset\R$ offen, sei $n\in\N_{>0}$ und sei
  $f\colon\Omega\to\R^n$ mit $f=\left(f^i\right)_{1\le i\le n}$ eine
  Abbildung. Dann ist $f$ genau dann in $x_0$ differenzierbar, wenn
  die Komponenten $f^i$, $1\le i\le n$, in $x_0$ differenzierbar sind
  und es gilt dann
  \[f'(x_0)=\left(\left(f^i\right)'(x_0)\right)_{1\le i\le n}.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Seien $E$ ein metrischer Raum und $f\colon E\to\R$ eine Abbildung. Sei
  $x_0\in E$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann besitzt $f$ in $x_0$ ein \emph{lokales Minimum,} falls
    ein $U\in\mathcal U(x_0)$ mit $f(x_0)\le f(x)$ f\"ur alle $x\in U$
    existiert.
  \item Dann besitzt $f$ in $x_0$ ein \emph{(globales) Minimum,} falls
    $f(x_0)\le f(x)$ f\"ur alle $x\in E$ gilt.
  \item Gilt sogar $f(x_0)<f(x)$ f\"ur alle entsprechenden $x\neq
    x_0$, so hei\ss{}t $x_0$ ein \emph{striktes lokales/globales
      Minimum.}
  \item \emph{Lokale, globale} und \emph{strikte Maxima} sind analog
    oder als entsprechende Minima von $-f$ definiert.
  \item $f$ besitzt in $x_0$ ein \emph{(lokales) Extremum,} falls $f$
    in $x_0$ ein (lokales) Minimum oder Maximum besitzt.
  \item Besitzt $f$ in $x_0$ ein Extremum, so hei\ss{}t $x_0$ eine
    \emph{Extremalstelle.}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{proposition}
  \label{abl extr null prop}
  Seien $a<b\in\R$, also $a,\,b\in\R$ und $a<b$, sei
  $f\colon(a,b)\to\R$ eine Funktion mit einem lokalen Extremum in
  $x_0\in(a,b)$. Ist $f$ in $x_0$ differenzierbar, so gilt
  $f'(x_0)=0$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir betrachten ohne Einschr\"ankung nur den Fall, dass $f$ in $x_0$
  ein lokales Minimum annimmt. \par Dann gibt es $\epsilon>0$, so dass
  f\"ur alle $x\in B_\epsilon(x_0)$ die Ungleichung $f(x_0)\le f(x)$
  gilt. Wir erhalten \[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge0\] f\"ur alle
  $x\in B_\epsilon(x_0)$ mit $x>x_0$. Somit folgt $f'(x_0)\ge0$.\par
  Durch analoge Betrachtungen f\"ur $x<x_0$ erhalten wir
  $f'(x_0)\le0$. Somit ist $f'(x_0)=0$. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R$ offen.  Sei $f\colon\Omega\to\R$ eine in
  $x_0\in\Omega$ differenzierbare Funktion mit $f'(x_0)=0$. Dann
  hei\ss{}t $x_0$ \emph{kritischer Punkt} von $f$. 
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Proposition \ref{abl extr null prop} zeigt, dass jedes
    lokale Extremum einer auf einer offenen Teilmenge von $\R$
    definierten Funktion ein kritischer Punkt ist. 
  \item $\R\ni x\mapsto \frac14x^4-\frac12x^2\in\R$ besitzt drei
    lokale Extrema, n\"amlich $-1,0,1$, und dies sind auch genau die
    kritischen Punkte dieser Funktion.
  \item $\R\ni x\mapsto x^3$ besitzt in $x=0$ einen kritischen Punkt,
    aber keine lokalen Extrema.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proposition}[Satz von Rolle]
  Seien $a<b\in\R$. 
  Sei $f\in C^0([a,b])$ in $(a,b)$ differenzierbar und gelte
  $f(a)=f(b)$. Dann gibt es ein $\xi\in(a,b)$ mit $f'(\xi)=0$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere \[m:=\inf\limits_{[a,b]}f\qquad\text{und}\qquad
  M:=\sup\limits_{[a,b]}f.\] Da $[a,b]$ kompakt ist, werden Minimum
  und Maximum auch angenommen. Es gilt $M\ge f(a)=f(b)\ge m$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gilt in beiden F\"allen Gleichheit, so ist $f$ konstant und
    somit auch $f'\equiv0$.
  \item Sonst gelte ohne Einschr\"ankung $M>f(a)$. Dann gibt es ein
    $\xi\in(a,b)$ mit $f(\xi)=M$. Nach Proposition \ref{abl extr null
      prop} folgt also $f'(\xi)=0$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Mittelwertsatz (MWS)] 
  \label{mws}
  Seien $a<b\in\R$. Sei $f\in C^0([a,b])$ und in $(a,b)$
  differenzierbar. Dann gibt es ein $\xi\in(a,b)$
  mit \[f(b)-f(a)=f'(\xi)\cdot(b-a).\]   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere die Funktion $g\colon[a,b]\to\R$
  durch \[g(x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).\] Dann erf\"ullt $g$
  die Voraussetzungen des Satzes von Rolle und $\xi\in(a,b)$ mit
  $g'(\xi)=0$ erf\"ullt gerade die Behauptung. 
\end{proof}

F\"ur einen Mittelwertsatz f\"ur vektorwertige Funktionen ben\"otigen
wir noch zwei Resultate: 
\begin{proposition}
  Sei $\Omega\subset\R$ offen, $F$ ein Banachraum und sei
  $f\colon\Omega\to F$ in $x_0$ differenzierbar. Sei $\phi\colon
  F\to\R$ ein stetiges lineares Funktional. Dann ist $g:=\phi\circ f$
  in $x_0$ differenzierbar und es gilt $g'(x_0)=\phi(f'(x_0))\equiv
  \langle f'(x_0),\phi\rangle$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende $\phi$ auf die Gleichung \eqref{lin approx eq} an und beachte,
  dass $\phi(o(|x-x_0|))\subset o(|x-x_0|)$ gilt. Details: \"Ubung.
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{dual norm lem}
  Sei $E$ ein normierter $\K$-Vektorraum. Sei $u\in E$. Dann
  gilt \[\Vert u\Vert=\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\phi\in
      E^*}{\Vert\phi\Vert=1}}|\langle u,\phi\rangle|.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir k\"onnen aktuell nur eine Ungleichung zeigen. Die andere folgt
  aus dem Satz von Hahn-Banach, den wir hier verwenden und sp\"ater
  unabh\"angig davon in der Funktionalanalysis beweisen werden.\par
  \glqq$\ge$\grqq: Nach Definition der Operatornorm gilt f\"ur alle
  $\phi\in E^*$ gerade
  \[\Vert\phi\Vert=\sup\limits_{\Vert u\Vert=1}|\phi(u)|
    =\sup\limits_{\Vert u\Vert=1}|\langle u,\phi\rangle|.\] Somit
  folgt insbesondere
  $|\langle u,\phi\rangle|\le\Vert\phi\Vert\cdot\Vert u\Vert$. \par
  \glqq$\le$\grqq: Der Satz von Hahn-Banach liefert, dass es ein
  stetiges lineares Funktional $\phi_0\in E^*$ mit
  $\Vert\phi_0\Vert=1$ und $\phi_0(u)=\Vert u\Vert$ gibt. Somit
  folgt
  \[\Vert u\Vert =|\langle u,\phi_0\rangle|
    \le\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\phi\in
        E^*}{\Vert\phi\Vert=1}} |\langle u,\phi\rangle|.\] Im
  Spezialfall eines Hilbertraumes (und insbesondere des $\R^n$) nehmen
  wir ohne Einschr\"ankung $\Vert u\Vert=1$ an. Dann ist dieses
  Funktional direkt durch $\phi_0:=\langle \cdot, u\rangle$, also
  $\phi_0(x):=\langle x,u\rangle$ gegeben. In diesem Fall gilt
  $\Vert\phi_0\Vert=\sup\limits_{\Vert x\Vert=1}|\langle x,u\rangle|
  \le\sup\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert x\Vert\cdot\Vert u\Vert =1$
  aufgrund der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Schlie\ss{}lich gelten
  noch
  $\Vert\phi_0\Vert=\sup\limits_{\Vert x\Vert=1} |\langle x,u\rangle|
  \ge|\langle u,u\rangle| =\Vert u\Vert^2=1$ und
  $\phi_0(u)=\Vert u\Vert^2=1$.
\end{proof}

\weg{
  \begin{beispiel}
    \stern Man \"uberlegt sich am Beispiel einer Spirale
    \[\R\ni t\mapsto(\sin t,\cos t, t),\] dass der Mittelwertsatz f\"ur
    vektorwertige Funktionen nicht genau in der Form des obigen
    Mittelwertsatzes gelten kann.
  \end{beispiel}
} % weg

\datum{Di 22.04.2025}
\begin{theorem}[Vektorwertiger Mittelwertsatz]
  Seien $a<b\in\R$. Sei $F$ ein Banachraum, sei $f\colon[a,b]\to F$
  stetig und in $(a,b)$ differenzierbar. Dann gilt \[\Vert
  f(b)-f(a)\Vert\le \sup\limits_{x\in(a,b)}\Vert f'(x)\Vert\cdot
  (b-a) =\sup\limits_{x\in(a,b)} \left\Vert
    f'(x)\right\Vert\cdot|b-a|.\]  
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\phi\in F^*$ mit $\Vert\phi\Vert=1$ beliebig. Wir definieren
  eine Funktion $g\colon[a,b]\to\R$ durch $g(x):=\langle
  f(x),\phi\rangle$. Dann ist $g\in C^0([a,b])$ und in $(a,b)$
  differenzierbar mit $g'(x)=\langle f'(x),\phi\rangle$. Wir wenden
  nun den Mittelwertsatz auf $g$ an und erhalten f\"ur ein
  $\xi\in(a,b)$ mit der Absch\"atzung vom Anfang des Beweises von
  Lemma \ref{dual norm lem}
  \begin{align*}
    \langle f(b)-f(a),\phi\rangle =&\,g(b)-g(a)
    =g'(\xi)\cdot(b-a)\umbruch\\
    =&\,\left\langle f'(\xi),\phi\right\rangle\cdot(b-a) \le\Vert
    f'(\xi)\Vert\cdot\underbrace{\Vert\phi\Vert}_{=1}\cdot(b-a). 
  \end{align*}
  Da dies f\"ur beliebige $\phi\in F^*$ mit $\Vert\phi\Vert=1$ gilt,
  folgt die Behauptung nun aus Lemma \ref{dual norm lem}.
\end{proof}

Im folgenden Korollar ist $[x_0,x]$ kein Intervall, sondern eine
Verbindungsstrecke wie in der Definition von Konvexit\"at. Somit
m\"ussen wir nicht $x_0<x$ annehmen. 
\begin{corollary}
  \label{abl approx diff quot cor}
  Sei $\Omega\subset\R$ ein offenes Intervall, sei $F$ ein Banachraum
  und sei $f\colon\Omega\to F$ differenzierbar. Seien
  $x,\,z_0\in\Omega$. Dann gilt \[\Vert f(x)-f(x_0)-f'(z_0)\langle
  x-x_0\rangle\Vert\le \sup\limits_{y\in[x_0,x]} \Vert
  f'(y)-f'(z_0)\Vert\cdot|x-x_0|.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur festes $z_0\in\Omega$ definieren wir
  $g(x):=f(x)-f'(z_0)\langle x\rangle =f(x)-f'(z_0)\cdot x$. Wegen
  $g'(x)=f'(x)-f'(z_0)$ folgt die Behauptung nun direkt aus dem
  (vektorwertigen) Mittelwertsatz.
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{abl approx diff quot rem}
  \stern In Korollar \ref{abl approx diff quot cor} d\"urfen wir
  \"uberall, auch im Beweis, $f'(z_0)$ durch ein anderes Element
  $v\in F$ ersetzen.
\end{remark}

\begin{corollary}
  \label{abl null fkt konst cor}
  Sei $\Omega\subset\R$ ein offenes Intervall, $F$ ein Banachraum und
  $f\colon\Omega\to F$ differenzierbar. Gilt $f'\equiv0$, so ist $f$
  eine konstante Abbildung. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus dem vektorwertigen Mittelwertsatz. 
\end{proof}

\datumcorona{Mo 27.04.2020}
\begin{definition}
  Sei $I\subset\R$ ein Intervall. Eine Funktion $f\colon I\to\R$
  hei\ss{}t
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \emph{monoton wachsend,} falls f\"ur alle $x_1,\,x_2\in I$ aus
    $x_1\le x_2$ die Ungleichung $f(x_1)\le f(x_2)$ folgt.
  \item \emph{strikt monoton wachsend,} falls f\"ur alle $x_1,\,x_2\in
    I$ aus $x_1<x_2$ die Ungleichung $f(x_1)<f(x_2)$ folgt.
    \weg{
  \item \stern\emph{(strikt) monoton fallend,} falls f\"ur alle
    $x_1,\,x_2\in I$ aus $x_1<x_2$ die Ungleichung $f(x_1)\ge f(x_2)$
    bzw.{} $f(x_1)>f(x_2)$ im strikten Fall folgt.
  } % weg
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{proposition}
  \label{f' nicht null monoton}
  Sei $f\colon(a,b)\to\R$ differenzierbar. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $f$ genau dann monoton wachsend, wenn $f'(x)\ge0$
    f\"ur alle $x\in(a,b)$ gilt.
  \item Gilt $f'(x)>0$ f\"ur alle $x\in(a,b)$, so ist $f$ strikt
    monoton wachsend. 
    \weg{
    \item \stern F\"ur (strikt) monoton fallende Funktionen gelten
      analoge Aussagen.  
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item Ist $f$ monoton wachsend, so ist der Differenzenquotient
    nichtnegativ und folglich auch $f'(x)\ge0$ f\"ur alle $x$. 
  \item Ist $f'(x)\ge0$ oder $f'(x)>0$ f\"ur alle $x$, so folgt die
    (strikte) Monotonie aus dem eindimensionalen
    Mittelwertsatz. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern 
  Das Beispiel $\R\ni x\mapsto x^3$ zeigt, dass strikte Monotonie im
  Allgemeinen nicht $f'(x)>0$ impliziert.
\end{remark}
} % weg

\begin{theorem}
  \label{inv abl thm}
  Sei $I=(a,b)\subset\R$.  Sei $f\colon I\to\R$ differenzierbar und
  gelte $f'\neq0$ in $I$. Dann ist $J:=f(I)\subset\R$ offen und $f$
  besitzt eine differenzierbare Inverse $f^{-1}\colon J\to I$
  mit \[\left(f^{-1}\right)'(f(x)) =\frac1{f'(x)} \quad\text{f\"ur
    alle }x\in I.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f$ ist injektiv, denn sonst g\"abe es nach dem Satz von Rolle
    ein $x\in(a,b)$ mit $f'(x)=0$. 
  \item $J$ ist als stetiges Bild einer zusammenh\"angenden Menge
    wieder zu\-sam\-men\-h\"an\-gend und somit ein Intervall.
  \item $J$ ist offen, denn wenn einer der Endpunkte zu $J$ geh\"ort,
    so nimmt $f$ in $I$ ein Maximum oder Minimum an, was aber wegen
    $f'(x)\neq0$ f\"ur $x\in(a,b)$ ausgeschlossen ist. 
  \item Dieselbe Argumentation liefert, dass $f$ eine offene Abbildung
    ist. Somit ist $f^{-1}\colon J\to I$ stetig, $f\colon I\to J$ also
    ein Hom\"oomorphismus. 
  \item Da $f$ ein Hom\"oomorphismus ist, folgt \[x\to
    x_0\quad\aequivalent\quad f(x)\to f(x_0).\] Wir setzen nun
    $\xi=f(x)$ und $\xi_0=f(x_0)$. Dann
    gilt \[\frac{f^{-1}(\xi)-f^{-1}(\xi_0)} {\xi-\xi_0}
    =\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}
    =\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)^{-1}.\] Wir betrachten nun
    den Grenzwert $x\to x_0$ mit $x\neq x_0$ oder, aufgrund der obigen
    \"Aquivalenz und der Injektivit\"at \"aquivalent dazu,
    $\xi\to\xi_0$ mit $\xi\neq \xi_0$ und erhalten die
    Behauptung. \qedhere 
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
  \begin{beispiel}
    \stern F\"ur $f_n\colon\R_{>0}\to\R_{>0}$, $n\in\N_{>0}$, mit
    $x\mapsto x^n$ ist $g(x)=x^{1/n}$ die Umkehrfunktion und es
    gilt
    \[g'(x) =\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)}
      =\frac1{nx^{\frac1n(n-1)}}.\]
  \end{beispiel}
}

\subsection{Die Regeln von de l'Hospital}
Die Regeln von (de) l'Hospital oder die l'Hospitalschen Regeln
erlauben es, Grenzwerte wie $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ zu
bestimmen. 

Als wichtiges Hilfsmittel ben\"otigen wir den folgenden Satz. 
\begin{theorem}[verallgemeinerter Mittelwertsatz]
  \label{verallg MWS}
  Sei $I=(a,b)\subset\R$ ein Intervall und seien die Funktionen
  $f,\,g\in C^0([a,b])$ in $(a,b)$ differenzierbar. Sei weiterhin
  $g'(x)\neq0$ f\"ur alle $x\in(a,b)$. Dann gibt es ein $\xi\in I$
  mit \[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\] 
\end{theorem}

\weg{
  \begin{remark}
    \stern Nach dem Satz von Rolle gilt $g(b)-g(a)\neq0$. Somit ist
    die linke Seite wohldefiniert. Der \"ubliche Mittelwertsatz, auf
    Z\"ahler und Nenner getrennt angewandt, liefert in der
    vorliegenden Situation die Existenz von $\xi,\,\eta\in I$
    mit \[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\eta)}.\] Der
    Unterschied zum verallgemeinerten Mittelwertsatz ist, dass in
    diesem zus\"atzlich $\xi=\eta$ gilt.
  \end{remark}
} % weg

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{verallg MWS}]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Aufgrund des Zwischenwertsatzes gilt $g'(x)>0$ f\"ur alls
    $x\in(a,b)$ oder $g'(x)<0$ f\"ur alle $x\in(a,b)$. Nach
    Proposition \ref{f' nicht null monoton} ist $g$ daher strikt
    monoton. Also gilt insbesondere $g(a)\neq g(b)$.
  \item Daher k\"onnen wir die Funktion $h$ mit 
    \[h(x):= f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))\]
    definieren. Es gilt $h(a)=f(a)=h(b)$. Somit finden wir nach dem
    Satz von Rolle ein $\xi\in I$
    mit \[0=h'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)\] wie
    behauptet.  \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Der folgende Beweis l\"asst sich gut auf den vektorwertigen Fall
verallgemeinern. 
\begin{proof}[Alternativer Beweis von Theorem \ref{verallg MWS} \stern]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wegen $g'(x)\neq0$ ist $g$ nach dem Satz von Rolle
    injektiv. Aufgrund der Stetigkeit ist $g$ daher auch monoton.
    Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir annehmen, dass $g$ monoton
    wachsend ist. Dann folgt $g([a,b])=[\alpha,\beta]$ mit
    $\alpha=g(a)$ und $\beta=g(b)$. Weiterhin gilt $g'>0$ in $I$. 
  \item Nach Theorem \ref{inv abl thm} besitzt $g$ daher eine in
    $J:=(\alpha,\beta)$ differenzierbare Inverse $\phi$ mit
    $\phi'(g(x)) =\frac1{g'(x)}$ f\"ur alle $x\in I$. Wir definieren
    $h:=f\circ\phi$ und erhalten aus dem
    Mittelwertsatz \[h(\beta)-h(\alpha) =h'(\gamma)(\beta-\alpha)\]
    f\"ur ein $\gamma\in(\alpha,\beta)$. Es gelten $h(\beta)=f(b)$,
    $h(\alpha)=f(a)$, $\beta=g(b)$, $\alpha=g(a)$ sowie \[h'(\gamma)
    =f'(\phi(\gamma))\phi'(\gamma)
    =\frac{f'(\phi(\gamma))}{g'(\phi(\gamma))}.\] Setzen wir dies oben
    ein, so folgt das Theorem mit $\xi=\phi(\gamma)$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
Es gilt die folgende vektorwertige Verallgemeinerung
\begin{theorem}
  \label{verallg MWS vektor}
  \stern{} Sei $F$ ein Banachraum, sei $I=(a,b)\subset\R$ ein
  Intervall und seien $f\in C^0([a,b],F)$, $g\in C^0([a,b])$ in $I$
  differenzierbar. Gilt $g'(x)\neq0$ f\"ur alle $x\in I$, so
  folgt \[\Vert f(b)-f(a)\Vert \le\sup\limits_{\xi\in (a,b)}
  \left\Vert \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\right\Vert\cdot|g(b)-g(a)|.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Gehe wie beim Beweis des verallgemeinerten Mittelwertsatzes vor und
  benutze den vektorwertigen Mittelwertsatz statt der reellen
  Version. 
\end{proof}
} % weg

Wir formulieren das folgende Resultat nur f\"ur rechtsseitige
Umgebungen von $a$. 
\begin{proposition}
  Seien $a\in\R$. Sei $U$ eine offene rechtsseitige Umgebung von $a$,
  \dh eine offene Umgebung von $a$ in $[a,\infty)$. Seien $f,\,g\in
  C^0(U)$ in $U\setminus\{a\}$ differenzierbar. Sei weiterhin
  $f(a)=g(a)=0$ und $g'(x)\neq0$ f\"ur alle $x\in
  U\setminus\{a\}$. Dann
  existiert \[\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{U\ni x\to a}{x\neq a}}
  \frac{f(x)}{g(x)},\qquad\text{falls}\qquad
  \lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{U\ni x\to a}{x\neq a}}
  \frac{f'(x)}{g'(x)}\] existiert, und die beiden Limites stimmen
  \"uberein.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Gelte $[a,b]\subset U$. Sei $x\in(a,b]$ beliebig. Dann gibt es
  aufgrund des verallgemeinerten Mittelwertsatzes ein
  $\xi=\xi(x)\in(a,x)$ mit
  \[\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}
  =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\] Wir lassen nun $x\to a$ und somit
  $\xi(x)\to a$ und erhalten die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt unter Benutzung von Schulwissen ($\sin'x=\cos x$)
    \[\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x =\lim\limits_{x\to 0}
      \frac{\cos x}1 =1.\]
  \weg{  
  \item \stern Weiterhin gilt unter Benutzung von Schulwissen
    \[\lim\limits_{y\to\infty} \frac{\log(y)}y
      =\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to0}{x>0}}
      \frac{\log(1/x)}{1/x}
      =\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to0}{x>0}}
      \frac{\frac x1\left(-\frac1{x^2}\right)}{-\frac1{x^2}}
      =\lim\limits_{x\to0}x = 0.\] 
  \item \stern Existieren die Grenzwerte
    $\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =f'(a)$ und
    $\lim\limits_{x\to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} =g'(a)$ sowie der
    Quotient $\frac{f'(a)}{g'(a)}$, so funktioniert folgender
    einfacherer Beweis, den man von rechts her liest:
    \[\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\to
        a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} =\lim\limits_{x\to
        a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}
      =\frac{\lim\limits_{x\to
          a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to
          a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}} =\frac{f'(a)}{g'(a)}\]
  \item \stern Gegebenenfalls muss man etwas umformen um einen
    Quotienten der Gestalt \glqq$\frac00$\grqq{} zu bekommen.
  \item \stern Es ist m\"oglich, von der Existenz des Grenzwertes von
    $\frac{f''(x)}{g''(x)}$ auf die des Grenzwertes von
    $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ und dann weiter auf die des Grenzwertes von
    $\frac{f(x)}{g(x)}$ zu schlie\ss{}en.
  \item \stern Falls der Grenzwert der Funktionswerte existiert,
    braucht der Grenzwert der Ableitungen nicht zu existieren, siehe
    \cite{wiki}.
  \item \stern Linksseitige Umgebungen definieren wir analog zu
    rechtsseitigen.
   } % weg
  \end{enumerate}
\end{remark}

\weg{
Dazu gibt es noch eine Variante mit Grenzwerten gleich unendlich. 
\begin{proposition}
  \stern{} Sei $U$ eine einseitige Umgebung von $a\in\R$ und seien
  $f,\,g\in C^0(U)$ in $U\setminus\{a\}$ differenzierbar mit
  $g'(x)\neq0$ f\"ur alle $x\in U$. Gelte \[\lim\limits_{x\to
    a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x) =\infty.\] Dann
  existiert \[\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)},
  \qquad\text{falls}\qquad \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
  existiert, und die beiden Grenzwerte stimmen \"uberein.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei ohne Einschr\"ankung $a$ der linke Endpunkt von $U$, also
  $I=[a,b]\subset U$ mit $a<b$. F\"ur beliebige $x,\,x_0$ mit
  $a<x<x_0<b$ gibt es aufgrund des verallgemeinerten Mittelwertsatzes
  ein $\xi\in(x,x_0)$ mit \[\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}
  =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\] Sei \[\alpha=\lim\limits_{x\to
    a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\] Sei $\epsilon>0$. Dann gibt es ein
  $x_0\in(a,b)$ mit $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\le\alpha+\epsilon$ f\"ur
  alle $\xi\in(a,x_0)$. Benutzen wir solche $\xi$, so erhalten wir aus
  der obigen Folgerung aus dem verallgemeinerten
  Mittelwertsatz \[\underset{x\to a}{\ol\lim}
  \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}\le\alpha+\epsilon.\] Wegen
  $\lim\limits_{x\to a}g(x)=\infty$ erhalten wir (Die erste Gleichheit
  gilt auch ohne Limes und man sieht sie leicht durch Multiplikation
  mit $g(x)-g(x_0)$.)
  \begin{align*}
    \underset{x\to a}{\ol\lim} \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} =&\,
    \underset{x\to a}{\ol\lim}
    \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\left(1+\frac{g(x_0)}{g(x)-g(x_0)}\right)
      -\frac{f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}\right\}\umbruch\\ =&\,
    \underset{x\to a}{\ol\lim} \frac{f(x)}{g(x)}.
  \end{align*}
  Da $\epsilon>0$ beliebig war, erhalten wir $\underset{x\to
    a}{\ol\lim} \frac{f(x)}{g(x)}\le\alpha$. \par Entsprechend
  schlie\ss{}t man von \[\underset{x\to
    a}{\ul\lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}\ge\alpha-\epsilon
  \qquad\text{auf}\qquad \underset{x\to a}{\ul\lim}
  \frac{f(x)}{g(x)}\ge\alpha.\] Es gilt also \[\alpha\le
  \underset{x\to a}{\ul\lim} \frac{f(x)}{g(x)}\le\underset{x\to
    a}{\ol\lim} \frac{f(x)}{g(x)}\le\alpha.\] Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{proposition}
  \stern{} Sei $U$ eine Umgebung von $\infty\in\ol\R$. Seien
  $f,\,g\colon U\to\R$ auf $U\cap\R$ stetig und differenzierbar mit
  $g'(x)\neq0$ f\"ur alle $x\in
  U\cap\R$. Gelte \[\lim\limits_{x\to\infty}f(x)
  =\lim\limits_{x\to\infty}g(x) =0\qquad\text{oder}\qquad
  \lim\limits_{x\to\infty}f(x) =\lim\limits_{x\to\infty}g(x)
  =\infty.\] Dann
  existiert \[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)},
  \qquad\text{falls}\qquad
  \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\] existiert, und die
  beiden Grenzwerte stimmen \"uberein.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere
  \begin{align*}
    \phi(x):=&\,f\left(x^{-1}\right),&&
    &\phi(0):=&\,\lim\limits_{x\to\infty}f(x),\umbruch\\ 
    \psi(x):=&\,g\left(x^{-1}\right) &\text{und
    }&&\psi(0):=&\,\lim\limits_{x\to\infty}g(x).  
  \end{align*}
  Dann erf\"ullen $\phi$ bzw.{} $\psi$ die Voraussetzungen
  (Stetigkeit, Differenzierbarkeit, $\psi'\neq0$) unserer bereits
  bewiesenen l'Hospitalschen Regeln und wir erhalten 
  \[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}
  =\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to0}{x>0}}
  \frac{\phi(x)}{\psi(x)}
  =\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to0}{x>0}}
  \frac{\phi'(x)}{\psi'(x)} =\lim\limits_{x\to\infty}
  \frac{f'(x)}{g'(x)}\] wie behauptet.
\end{proof}
} % weg

\subsection{Differentiation von Funktionenfolgen}

Wir haben in Theorem \ref{glm konv erh stet thm} bereits gesehen, dass
gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz Stetigkeit erh\"alt. Gleichm\"a\ss{}ige
Konvergenz sichert auch, dass wir den Grenzwert in der Folge und die
Ableitung, letztlich auch ein Grenzwert, vertauschen d\"urfen, dass
also
\[\lim\limits_{n\to\infty} f'_n =\left(\lim\limits_{n\to\infty}
    f_n\right)'\] gilt.
\begin{theorem}
  \label{diff glm limes thm}
  Sei $\Omega\subset\R$ offen. Sei $F$ ein Banachraum und
  $f_n\colon\Omega\to F$ eine Folge stetig differenzierbarer
  Funktionen mit $f_n\to f$ und $f'_n\rightrightarrows g$ f\"ur eine
  Funktion $g\colon\Omega\to F$. Dann ist auch $f$ stetig
  differenzierbar und es gilt $f'=g$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wollen nachweisen, dass $f$ differenzierbar ist und dass $f'=g$
  gilt. Dazu gen\"ugt nat\"urlich der Nachweis von $f'=g$. Die
  Stetigkeit der Ableitung folgt aus Theorem \ref{glm konv erh stet
    thm}, da $f'_n\rightrightarrows g$ gilt. \par
  Sei $x_0\in\Omega$ beliebig. Sei $\epsilon>0$. Wir wollen
  nachweisen, dass es ein $\delta>0$ gibt, so dass f\"ur alle $x\in
  B_\delta(x_0)$ mit $x\neq x_0$ \[\left\Vert \frac{f(x)-f(x_0)}
    {x-x_0}-g(x_0)\right\Vert <\epsilon\] gilt.
  Es gilt
  \begin{align*}
    &\,\left\Vert
      \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-g(x_0)\right\Vert\umbruch\\
    \le&\,\left\Vert \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
      -\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\right\Vert +\left\Vert
      \frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0} -g(x_0)\right\Vert\umbruch\\
    \equiv&\,I_1+I_2.
  \end{align*}
  Wir zeigen zun\"achst, dass der Term $I_2$ klein wird. Nach Korollar
  \ref{abl approx diff quot cor} mit Bemerkung \ref{abl approx diff
    quot rem} und $g(x_0)$ statt $f'(z_0)$, einem verallgemeinerten
  Mittelwertsatz, gilt f\"ur $x\in B_\delta(x_0)$
  \begin{align*}
    I_2\le&\,\sup\limits_{\xi\in B_\delta(x_0)} \left\Vert
      f'_n(\xi)-g(x_0)\right\Vert\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{\xi\in B_\delta(x_0)} \left\Vert
      f'_n(\xi)-g(\xi)\right\Vert +\sup\limits_{\xi\in B_\delta(x_0)}
    \Vert g(\xi)-g(x_0)\Vert\umbruch\\
    <&\,\frac\epsilon4+\frac\epsilon4
    =\frac{2\epsilon}4 =\frac\epsilon2, 
  \end{align*}
  falls wir zun\"achst $\delta>0$ so klein w\"ahlen, dass der letzte
  Term aufgrund der Stetigkeit von $g$ kleiner als $\epsilon/4$ ist
  und dann $n$ so vergr\"o\ss{}ern, dass der erste Term aufgrund der
  gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz $f'_n\rightrightarrows g$ kleiner als
  $\epsilon/4$ ist. All dies k\"onnen wir so machen (und tun es auch,
  ebenso im Folgenden), dass dies f\"ur alle gr\"o\ss{}eren $n$
  ebenfalls wahr bleibt. \par Wir fixieren nun $x\in
  B_\delta(x_0)$ und erhalten $I_1\le\epsilon/4$ f\"ur gro\ss{}e
  $n$. Zusammengenommen folgt gerade die Behauptung.
\end{proof}

\weg{
Ein entsprechendes Resultat gilt auch f\"ur Reihen von Funktionen. 
\begin{theorem}
  \label{diff glm limes reihen thm}
  \stern Sei $\Omega\subset\R$ offen. Sei $F$ ein Banachraum und sei
  $f_n\colon\Omega\to F$ eine Folge stetig differenzierbarer
  Funktionen. Konvergiere $((f_n(x)))_{n\in\N}$ f\"ur jedes
  $x\in\Omega$. Definiere die Funktion $f\colon\Omega\to F$
  durch \[f(x):=\sum\limits_{n=0}^\infty f_n(x).\] Nehme an, dass die
  Reihe $((f_n'(x)))_n$ bzw.{} die Folge $(s_k)_k$ mit
  $s_k(x)=\sum\limits_{n=0}^k f_n'(x)$ gleichm\"a\ss{}ig in $x$ gegen
  eine Funktion $g\colon\Omega\to F$ konvergiert. Dann ist $f$ stetig
  differenzierbar und es gilt $f'=g$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wenden Theorem \ref{diff glm limes thm} auf die Folge $(s_k)_k$
  der Partialsummen an. Die Stetigkeit von $g$ folgt aus Theorem
  \ref{glm lim reihe stet}. 
\end{proof}
} % weg

\datumcorona{Do 30.04.2020}
\datum{Do 24.04.2025}
Damit k\"onnen wir die Ableitung einer Potenzreihe im Inneren ihres
Konvergenzradiusses durch gliedweises Differenzieren ermitteln. \par 
Dies funktioniert genauso f\"ur Potenzreihen in $\C$, die in der
Funktionentheorie noch eingehend untersucht werden. 
\begin{theorem}
  Sei $\left(\left(a_nx^n\right)\right)_{n\in\N}$ eine Potenzreihe in
  $\R$ mit Konvergenzradius $r>0$. Dann ist die Funktion
  \begin{align*}
    f\colon B_r(0)\to&\,\,\R,\\
    f(x):=&\,\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n
  \end{align*}
  in $B_r(0)$ stetig differenzierbar und es gilt f\"ur $x\in
  B_r(0)$ \[f'(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}.\] Insbesondere
  ist eine Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzradiusses beliebig
  oft (stetig) differenzierbar.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Potenzreihe $((na_nx^{n-1}))_{n\in\N}$ hat (mindestens (es
    gilt sogar Gleichheit)) wieder den Konvergenzradius $r$: Man sieht
    direkt durch Ausklammern eines Faktors $x$, dass die Reihe
    $\left(\left(na_nx^n\right)\right)_n$ genau f\"ur die Werte von
    $x$ konvergiert, f\"ur die die Reihe
    $\left(\left(na_nx^{n-1}\right)\right)_n$ konvergiert.
    \par Nach Lemma \ref{n1n lem} gilt
    $\lim\limits_{n\to\infty} n^{1/n}=1$. Damit folgt
    \[\frac1r =\underset{n\to\infty}{\ol\lim}|a_n|^{1/n}
      =\underset{n\to\infty}{\ol\lim}(n|a_n|)^{1/n}\] wie behauptet.
  \item Sei $\rho<r$. Dann konvergiert die Potenzreihe
    $\left(\left(na_nx^{n-1}\right)\right)_n$ in $B_\rho(0)$
    gleich\-m\"a\-\ss{}ig (Analysis I) und ist nach Theorem \ref{diff
      glm limes reihen thm} (wir d\"urfen Differentiation und
    $n\to\infty$ f\"ur die Partialsummen vertauschen) als gliedweise
    Ableitung der Potenzreihe $((a_nx^n))_n$ in $B_\rho(0)$ die
    Ableitung von $f$. Da $\rho$ mit $0<\rho<r$ beliebig war, hat $f'$
    die angegebene Gestalt.
  \item Per Induktion folgt, dass $f$ in $B_r(0)$
    beliebig oft differenzierbar ist. Somit sind auch s\"amtliche
    Ableitungen von $f$ in $B_r(0)$ stetig. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{n1n lem} \stern
  Es gilt \[\lim\limits_{n\to\infty} n^{1/n}=1.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\epsilon>0$. W\"are $n^{1/n}\ge1+\epsilon$ f\"ur unendlich
  viele $n\in\N$, so folgte f\"ur diese aufgrund der binomischen
  Formel
  \[n\ge(1+\epsilon)^n =\sum\limits_{k=0}^n
    \genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{k}1^{n-k}\epsilon^k \ge 1^n+\frac
    n11^{n-1}\epsilon +\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}1^{n-2}\epsilon^2.\]
  Dies ist nicht m\"oglich, da die linke Seite linear in $n$, aber die
  rechte Seite quadratisch in $n$ w\"achst. 
\end{proof}

\weg{
\begin{proof}[Alternativbeweis mit Schulwissen]
  \stern Aufgrund der l'Hospitalschen Regel gilt
  \begin{align*}
    \lim\limits_{n\to\infty} n^{1/n}
    =&\,\lim\limits_{n\to\infty}\exp
       \left(\frac{\log n}n\right) =\exp\left(\lim\limits_{n\to\infty}
       \frac{\log n}n\right)\umbruch\\ =&\,\exp\left(\lim\limits_{n\to\infty}
       \frac{\frac1n}{1}\right) =\exp(0) =1
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}
} % weg

\begin{beispiel}
  \label{exp abl beispiel}
  F\"ur die Exponentialfunktion gilt mit Indexverschiebung 
  \[\exp'(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x^n}{n!}\right)'
  =\sum\limits_{n=1}^\infty n\frac{x^{n-1}}{n!}
  =\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=\exp(x).\] 
\end{beispiel}

\Subsection{Elementare Funktionen}
\datum{Lesestoff}
Wir beginnen mit einem Resultat \"uber gew\"ohnliche
Differentialgleichungen, das wir erst im dritten Semester beweisen
werden. 
\begin{theorem}
  \label{lin ode ex eind thm}
  Sei $E$ ein reeller Banachraum, $A\in L(E)$ und $x_0\in E$. Dann
  besitzt das Anfangswertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \dot x(t)=Ax(t), & t\in\R,\\
    x(0)=x_0
  \end{cases}
  \]
  eine eindeutig bestimmte L\"osung $x\in C^\infty(\R,E)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Drittes Semester. In diesem speziellen Fall kann man eine L\"osung
  direkt hinschreiben, die Eindeutigkeit folgt aus dem Gronwallschen
  Lemma, das jedoch Integrale benutzt. Vergleiche
  \cite{WillemMinimax}. 
  % Elementare Form z. B. Willem, Minimax, S. 100. 
\end{proof}

\iffalse
\begin{definition}
  \stern Seien $E,F$ metrische R\"aume und $f_n,f\colon E\to F$
  Abbildungen.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $f_n$ \emph{lokal gleichm\"a\ss{}ig konvergent}
    mit Grenzwert $f$, wenn jeder Punkt $x_0\in E$ eine Umgebung $U$
    besitzt, so dass $f_n\rightrightarrows f$ in $U$ gilt. 
  \item Dann hei\ss{}t $f_n$ \emph{kompakt konvergent} mit Grenzwert
    $f$, wenn f\"ur jede kompakte Teilmenge $K\subset E$
    gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz $f_n|_K\rightrightarrows f|_K$
    vorliegt, d.\,h.{} f\"ur jede kompakte Teilmenge $K\subset E$ und
    jedes $\epsilon>0$ gibt es ein $n_0\in\N$, so dass f\"ur alle
    $n\ge n_0$ und alle $x\in K$ die Absch\"atzung
    $d(f_n(x),f(x))<\epsilon$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  \stern Seien $E,F$ metrische R\"aume und $f_n,f\colon E\to F$
  Abbildungen.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Konvergiert $f_n$ lokal gleichm\"a\ss{}ig gegen $f$, so ist
    $(f_n)_n$ kompakt konvergent mit Grenzwert $f$.
  \item Ist $E$ lokal kompakt, d.\,h.{} besitzt jeder Punkt in $E$
    eine kompakte Umgebung, so folgt aus kompakter Konvergenz
    definitionsgem\"a\ss{} auch lokal gleichm\"a\ss{}ige
    Konvergenz. (In dieser Situation spricht man eher von lokal
    gleichm\"a\ss{}iger Konvergenz als von kompakter Konvergenz.) 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}
\fi

\begin{remark}
  Unsere Aussagen \"uber Reihen und deren gliedweise Ableitungen
  erlauben es, zu zeigen, dass
  \[x(t)=e^{tA}x_0\qquad\text{mit}\qquad
  e^{tA}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{t^nA^n}{n!}\] gilt. Dabei
  konvergieren die Reihe und die ihre Ableitung darstellende Reihe
  lokal gleichm\"a\ss{}ig absolut.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\weg{
Unter Vorwegnahme des Integrals zeigen wir das Gronwallsche Lemma und
wie man daraus die Eindeutigkeit der L\"osung einer linearen
gew\"ohnlichen Differentialgleichung erh\"alt. 
\begin{lemma}[Gronwallsches Lemma]
  \stern Seien $a,b\ge0$ und $T\ge0$. Sei $f\colon [0,T]\to\R_+$
  stetig und gelte \[f(t)\le a+b\int\limits_0^tf(s)\,ds\] f\"ur alle
  $t\in[0,T]$. Dann folgt \[f(t)\le ae^{bt}\] f\"ur alle $t\in[0,T]$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir annehmen, dass $b>0$ gilt, da die
  Aussage sonst trivial ist. Nach Voraussetzung erhalten wir 
  \begin{align*}
    \dt\left(e^{-bt}\int\limits_0^tf(s)\,ds\right)=&\,
    -be^{-bt}\int\limits_0^t f(s)\,ds +e^{-bt}f(t)\umbruch\\
    \le&\,-be^{-bt}\int\limits_0^tf(s)\,ds
    +e^{-bt}\left(a+b\int\limits_0^t f(s)\,ds\right)\umbruch\\
    \le&\,a e^{-bt}.
  \end{align*}
  Wir integrieren dies nun unter Benutzung des Hauptsatzes der
  Differential- und Integralrechnung, also $\int\limits_0^t\frac
  d{ds}f(s)\,ds =f(t)-f(0)$, und erhalten 
  \begin{align*}
    e^{-bt}\int\limits_0^tf(s)\,ds=&\,
    e^{-bt}\int\limits_0^tf(s)\,ds-0\umbruch\\
    \le&\,\int\limits_0^tae^{-bs}\,ds =\left.-\frac
      abe^{-bs}\right|_0^t =\frac ab\left(1-e^{-bt}\right).
  \end{align*}
  Dies multiplizieren wir nun mit $e^{bt}$ und verwenden nochmals die
  Integralungleichung aus der Voraussetzung und erhalten 
  \[ f(t)\le a+b\int\limits_0^tf(s)\,ds \le a+b\left[\frac
    ab\left(e^{bt}-1\right)\right] =ae^{bt}\]
  wie behauptet.
\end{proof}
} % weg

\weg{
\begin{corollary}
  \stern Die L\"osung $x$ aus Theorem \ref{lin ode ex eind thm} ist
  (wie dort behauptet) eindeutig bestimmt.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $x$ und $y$ L\"osungen der Differentialgleichungen $\dot x=Ax$
  bzw.{} $\dot y=Ay$. Wir definieren $\phi(t):=x(t)-y(t)$ und
  erhalten \[\dot\phi(t)=\dot x(t)-\dot y(t) =Ax(t)-Ay(t) =A\langle
  x(t)-y(t)\rangle =A\phi(t).\] Wir integrieren dies und erhalten mit
  dem Hauptsatz der Differential- und
  Integralrechnung \[\phi(t)=\phi(0) +\int\limits_0^t A\phi(s)\,ds.\]
  Nun betrachten wir die Betr\"age beider Seiten, wenden die
  Dreiecksungleichung an, ziehen die Betr\"age in das Integral hinein
  und erhalten unter Verwendung der Operatornorm $\Vert
  A\Vert$ \[\Vert\phi(t)\Vert \le\Vert\phi(0)\Vert
  +\int\limits_0^t\Vert A\Vert\cdot\Vert\phi(s)\Vert\,ds,\] also f\"ur
  $f(t):=\Vert\phi(t)\Vert$ die Ungleichung \[f(t)\le f(0)
  +\int\limits_0^t\Vert A\Vert\cdot f(s)\,ds.\] Ist $f(0)=0$, so folgt
  aufgrund des Gronwallschen Lemmas $f\equiv0$ und daher die
  behauptete Eindeutigkeit.
\end{proof}
} % weg

\weg{
Wir erw\"ahnen zun\"achst bereits Bekanntes oder direkt daraus
Ableitbares \"uber die Potenzfunktionen und die Exponentialfunktion.
\begin{remark}[Potenzfunktionen] \stern
  Seien $n,m\in\N_{>0}$. Dann ist die Funktion $f_n\colon\R_+\to\R_+$
  mit $f_n(x)=x^n$ unendlich oft differenzierbar mit $f'_n(x)=nx^{n-1}$
  und wegen $f'_n(x)>0$ f\"ur $x>0$ strikt monoton wachsend. Somit ist
  $f_n\colon\R_+\to\R_+$ ein Hom\"oomorphismus (kleine \"Ubung). Die
  Umkehrfunktion $g_n(x)=x^{1/n}$ ist in $\R_+$ stetig und wegen
  $f'_n(x)>0$ f\"ur $x>0$ in $\R_{>0}$ (unendlich oft)
  differenzierbar.\par Sei $a>0$. Dann gilt
  $\left(a^n\right)^{\frac1m}=\big(a^{\frac1m}\big)^n$, wie man durch
  Potenzieren mit $m$ sieht. Wir definieren \[a^\frac nm
  =\left(a^n\right)^{\frac1m}\qquad\text{und}\qquad a^{-\frac
    nm}=\left(a^{-1}\right)^{\frac nm}.\] Damit gelten die
  Potenzgesetze \[a^{x+y}=a^x\cdot a^y\qquad\text{und}\qquad
  \left(a^x\right)^y =a^{x\cdot y}\] f\"ur $x,y\in\Q$, vergleiche auch
  die zugeh\"orige \"Ubungsaufgabe.
\end{remark}
} % weg

\begin{lemma}[Exponentialfunktion]
  Die Exponentialfunktion $\exp\colon\R\to\R_{>0}$ ist ein
  Hom\"oomorphismus und besitzt eine $C^\infty$-Inverse:
  $\log\colon\R_{>0}\to\R$ mit $\log'(x)=\frac1x$.   
\end{lemma}
\begin{proof}
  Beispiel \ref{exp abl beispiel} liefert die Differenzierbarkeit und
  $\exp'=\exp$. F\"ur $x>0$ gilt klarerweise $\exp(x)>0$. Wegen
  $1=\exp(0)=\exp(x)\cdot\exp(-x)$ ist $\exp(x)$ f\"ur alle $x\in\R$
  positiv. Weiterhin folgt wegen $\exp(x)\to\infty$ f\"ur $x\to\infty$
  daraus auch $\exp(x)\to0$ f\"ur $x\to-\infty$. Dank der Stetigkeit
  ist $\exp\colon\R\to\R_{>0}$ somit surjektiv.
  Nach Theorem \ref{inv abl thm} ist $\exp$ ein
  Hom\"oomorphismus (siehe Beweis), die Inverse
  $\log$ ist differenzierbar und es gilt
  $\log'(\exp(x))=\frac1{\exp(x)}$. Da sich jedes $y>0$ als $\exp(x)$
  darstellen l\"a\ss{}t, erhalten wir den Ausdruck f\"ur
  $\log'$. Daher ist der Logarithmus beliebig oft differenzierbar. 
\end{proof}

% \begin{remark}[Exponentialfunktion]
%   Wir hatten die Exponentialfunktion als 
%   \[\exp(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\] f\"ur $x\in\R$
%   definiert. Wir wissen bereits, dass \[\exp(x+y)
%   =\exp(x)\cdot\exp(y)\] f\"ur alle $x,y\in\R$ gilt.  Wegen
%   $1=\exp(0)=\exp x\cdot \exp(-x)$ gilt somit $\exp(x)\neq0$ f\"ur
%   alle $x\in\R$ und wegen $\exp(x)=\exp\left(\frac x2\right)\cdot
%   \exp\left(\frac x2\right) >0$ oder der letzten Identit\"at ist
%   $\exp(x)>0$ f\"ur alle $x\in\R$. Schlie\ss{}lich gilt
%   $\exp'=\exp$. \par Wegen $\exp'(x)>0$ f\"ur alle $x\in\R$ ist die
%   Exponentialfunktion invertierbar. Sie ist ein Hom\"oomorphismus
%   $\exp\colon\R\to\R_{>0}$, da $\exp(x)\to\infty$ f\"ur $x\to\infty$
%   und somit wegen $1=\exp(x)\cdot\exp(-x)$ auch $\exp(x)\to0$ f\"ur
%   $x\to-\infty$ gelten. Wir definieren den Logarithmus,
%   $\log\colon\R_{>0}\to\R$, als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
%   Aufgrund der Regel f\"ur die Ableitung der Umkehrfunktion gilt
%   $\log'(x)=\frac1x$. Daher ist der Logarithmus beliebig oft
%   differenzierbar.
% \end{remark}

\begin{lemma}
  \label{exp x y lem}
  Seien $x\in\R$ und $y\in\Q$. Dann gilt \[(\exp x)^y=\exp(xy).\]
  Insbesondere folgt mit $x=\log a$ f\"ur $a>0$ die Identit\"at
  $a^y=\exp(y\log a)$ f\"ur alle $y\in\Q$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren $f(x):=(\exp x)^y$ und $g(x):=\exp(xy)$. Es gelten
  $f(0)=1$ und $g(0)=1$. Die Funktionen $f$ und $g$ l\"osen beide eine
  Differentialgleichung, n\"amlich $f'(x)=yf(x)$ bzw.{}
  $g'(x)=yg(x)$. Da die L\"osung dieser Differentialgleichung bei
  gleichem Anfangswert eindeutig bestimmt ist, folgt $f=g$ und somit
  die Behauptung. 
\end{proof}

Motiviert durch diese Beziehung f\"ur rationale Exponenten definieren
wir
\begin{definition}
  \label{a x def}
  Seien $a>0$ und $x\in\R$. Dann definieren wir \[a^x:=\exp(x\log a).\] 
\end{definition}

\weg{
\begin{remark}
  \stern\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur $x\in\Q$ stimmt diese Definition nach Lemma \ref{exp x y
      lem} mit der bereits bekannten Definition
    \"u\-ber\-ein. Definieren wir
    $a^x:=\lim\limits_{n\to\infty} a^{x_n}$ mit $\Q\ni x_n\to x\in\R$,
    so erhalten wir aufgrund der Stetigkeit \"Ubereinstimmung mit
    Definition \ref{a x def}.
  \item F\"ur $e:=\exp(1)=a$ und somit $\log(e)=1$ erhalten wir daher
    $e^x=\exp(x)$.
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

Die Exponentialfunktion w\"achst schneller als jede Potenz f\"ur
$x\to\infty$ und f\"allt schneller als jede Potenz f\"ur
$x\to-\infty$. 
\begin{proposition}
  Es gelten f\"ur beliebiges $n\in\N$ \[\lim\limits_{x\to\infty}
  \frac{e^x}{x^n} =\infty\qquad\text{und}\qquad
  \lim\limits_{x\to-\infty} e^{x}|x|^n=0.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur $x>0$ erhalten wir aus der Exponentialreihe
  $e^x\ge\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$. Hieraus folgt die erste
  Behauptung. F\"ur die zweite Behauptung benutzen wir $e^x|x|^n
  =\frac{|-x|^n}{e^{-x}}$ und die erste Behauptung.
\end{proof}

\begin{proposition}
  Der Logarithmus erf\"ullt f\"ur alle $x,y,\epsilon\in\R_{>0}$ und
  alle $\lambda\in\R$
  \[\log(xy)=\log x+\log y,\quad \log \left(x^\lambda\right)
    =\lambda\log x\quad\text{und}\quad\lim\limits_{x\to\infty}
    \frac{\log x}{x^\epsilon}=0.\]
\end{proposition}
Somit w\"achst der Logarithmus langsamer als jede Potenz. 
\begin{proof}[Beweis]
  Die ersten beiden Identit\"aten zeigt man durch Anwenden der
  Exponentialfunktion, die dritte folgt aus der Regel von l'Hospital. 
\end{proof}

\datumcorona{Mo 04.05.2020}
\begin{definition}
  Sei $A:=
  \begin{pmatrix}
    0&1\\ -1&0
  \end{pmatrix}\in\R^{2\times 2}$. Sei $x\in
  C^\infty\left(\R,\R^2\right)$ die eindeutig bestimmte L\"osung der
  Differentialgleichung \[
  \begin{cases}
    \dot x(t)=A\,x(t),&t\in\R,\\
    x(0)=(0,1)^T.
  \end{cases}
\] Dann definieren wir die Funktionen \emph{Sinus} $\sin\colon\R\to\R$
und \emph{Kosinus} $\cos\colon\R\to\R$ durch $\sin(t):=x^1(t)$ sowie
$\cos(t):=x^2(t)$, also $x(t)\equiv
  \begin{pmatrix}
    \sin(t)\\ \cos(t)
  \end{pmatrix}$.\par
  Wir schreiben $\sin^kt\equiv(\sin t)^k$ bzw.{} $\cos^kt\equiv(\cos
  t)^k$ f\"ur alle zul\"assigen Exponenten, also zumindest f\"ur alle
  $k\in\N$.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gelten $\sin't=\cos t$ sowie $\cos't=-\sin t$ f\"ur alle
    $t\in\R$.
    \weg{
  \item\stern Wir haben fr\"uher bereits die Potenzreihen f\"ur die
    Sinus- und die Kosinusfunktion angegeben. Nun wollen wir jedoch
    die Definition als L\"osung einer gew\"ohnlichen
    Differentialgleichung verwenden und daraus dann sp\"ater die
    Potenzreihendarstellung herleiten.
  \item\stern Es l\"asst sich zwar leicht \"uberpr\"ufen, dass die
    \"uber Potenzreihen definierten Funktionen $\sin$ und $\cos$ die
    Differentialgleichung l\"osen, ohne weitere Theorie ist jedoch
    nicht klar, dass dies die einzigen L\"osungen sind.
    } % wegs
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proposition}
  Es gilt \[\sin^2t+\cos^2t=1\] f\"ur alle $t\in\R$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren $\phi(t):=\sin^2t+\cos^2t$. Es folgt \[\dot\phi(t)
  =2\sin t\cos t -2\cos t\sin t=0\] und wir erhalten die Behauptung,
  da $(\sin(0),\cos(0))=(0,1)$ gilt. 
\end{proof}

Sinus und Kosinus sind ungerade bzw.{} gerade Funktionen. 
\begin{proposition}
  Es gelten $\sin t=-\sin(-t)$ und $\cos t=\cos(-t)$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur $t=0$ gilt die Behauptung. Definiere $\phi(t):=-\sin(-t)$ und
  $\psi(t):=\cos(-t)$ Nun gilt \[\dt
  \begin{pmatrix}
    \phi(t)\\ \psi(t)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \cos(-t)\\ \sin(-t)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \psi(t)\\
    -\phi(t)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0&1\\
    -1&0
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    \phi(t)\\
    \psi(t)
  \end{pmatrix}. 
  \]
  Damit l\"osen $(\sin(t),\cos(t))^T$ und $(\phi(t),\psi(t))^T$
  dasselbe Anfangswertproblem mit demselben Anfangswert f\"ur $t=0$
  und stimmen daher \"uberein.
\end{proof}

Um sich die folgenden Additionstheoreme zu merken, vergleicht man eine
Drehmatrix um den Winkel $\alpha+\beta$ mit dem Produkt von zwei
Drehmatrizen um die Winkel $\alpha$ und $\beta$. Dies benutzt jedoch
implizit, dass die Abbildung, die $\alpha$ auf die Drehmatrix um den
Winkel $\alpha$ abbildet, ein Gruppenhomomorphismus ist. 
\begin{proposition}[Additionstheoreme]
  Seien $x,\,y\in\R$. Dann gelten
  \begin{align*}
    \sin(x+y)=&\,\sin x\cdot\cos y +\cos x\cdot\sin y
    \intertext{und}
    \cos(x+y)=&\,\cos x\cdot\cos y -\sin x\cdot\sin y. 
  \end{align*}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren $\Phi(x):=(\sin(x+y),\cos(x+y))^T$
  und \[\Psi(x):=
  \begin{pmatrix}
    \sin x\cdot\cos y +\cos x\cdot\sin y\\
    \cos x\cdot\cos y -\sin x\cdot\sin y
  \end{pmatrix}
  .\] Wir behaupten nun, dass $\Phi(x)=\Psi(x)$ f\"ur alle $x\in\R$
  gilt. F\"ur $x=0$ gilt \[\Phi(0)=(\sin(y),\cos(y))^T =\Psi(0).\] 
  Weiterhin gelten
  \begin{align*}
    \frac d{dx}\Phi(x)=
    \begin{pmatrix}
      \cos(x+y)\\ -\sin(x+y)
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      0&1\\ -1&0
    \end{pmatrix}
    \Phi(x)
    \intertext{sowie}
    \frac d{dx}\Psi(x)=
    \begin{pmatrix}
      \cos x\cdot\cos y-\sin x\cdot\sin y\\
      -\sin x\cdot\cos y-\cos x\cdot\sin y
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      0&1\\ -1&0
    \end{pmatrix}
    \Psi(x). 
  \end{align*}
  Da $\Phi$ und $\Psi$ also dieselbe lineare gew\"ohnliche
  Differentialgleichung erf\"ullen und $\Phi(0)=\Psi(0)$ gilt, folgt
  $\Phi=\Psi$. 
\end{proof}

Aus $\sin^2x+\cos^2x=1$ folgt $\sin x,\cos x\in[-1,1]$ f\"ur alle
$x\in\R$. Wir wollen nun zeigen, dass $\im\sin=\im\cos=[-1,1]$ gilt. 
Dazu zeigen wir zun\"achst
\begin{lemma}
  Es gibt ein $x>0$ mit $\cos x=0$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $\cos 0=1$. Falls es kein $x>0$ mit $\cos x=0$ gibt, so
  folgt aufgrund des Zwischenwertsatzes $\cos x>0$ f\"ur alle
  $x>0$. Somit ist $[0,\infty)\ni x\mapsto\sin x$ wegen $\sin'x=\cos
  x>0$ strikt monoton wachsend und wir erhalten \[0=\sin 0<\sin
  1\le\sin x\quad\text{f\"ur alle }x\ge1.\] Damit liefert aber der
  Mittelwertsatz f\"ur den Kosinus auf dem Intervall $[1,x]$ f\"ur ein
  $\xi\in[1,x]$ \[\cos x-\cos 1=-\sin\xi\cdot(x-1)\le-\sin
  1\cdot(x-1).\] F\"ur $x\to\infty$ konvergiert die rechte Seite gegen
  minus Unendlich. Dies widerspricht $\cos^2x\le 1$.
\end{proof}

\begin{definition}[Die Kreiszahl $\pi$]
  Wir haben gezeigt, dass \[M:=\{x\in\R_+\colon\cos x=0\}\] nichtleer
  ist. Aufgrund der Stetigkeit des Kosinusses ist $M$
  abgeschlossen. Somit gilt f\"ur $\pi:=2\cdot\inf M$ die Identit\"at
  $\cos\frac\pi2=0$. 
\end{definition}

\begin{proposition}
  Auf $\left[0,\frac\pi2\right]$ ist der Sinus strikt monoton wachsend
  und es gilt \[0=\sin 0<\sin x<\sin\frac\pi2=1\quad\text{f\"ur alle
  }0<x<\frac\pi2.\] 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition von $\pi$ gilt $\sin'x=\cos x>0$ f\"ur
  $0<x<\frac\pi2$. Wegen $\cos\frac\pi2=0$, der Monotonie und
  $\sin^2x+\cos^2x=1$ insbesondere f\"ur $x=\frac\pi2$ erhalten wir
  $\sin\frac\pi2=1$. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Aufgrund der Additionstheoreme erhalten wir daraus
  \begin{align*}
    \sin\pi=&\,\sin\frac\pi2\cdot\cos\frac\pi2
    +\cos\frac\pi2\cdot\sin\frac\pi2 =1\cdot0+0\cdot1=0,\umbruch\\
    \cos\pi=&\,\cos\frac\pi2\cdot\cos\frac\pi2
    -\sin\frac\pi2\cdot\sin\frac\pi2 =0\cdot0-1\cdot1=-1,\umbruch\\
    \sin2\pi=&\,\sin\pi\cdot\cos\pi +\cos\pi\cdot\sin\pi
    =2\cdot1\cdot0=0,\umbruch\\ 
    \cos2\pi=&\,\cos\pi\cdot\cos\pi-\sin\pi\cdot\sin\pi
    =(-1)\cdot(-1)-0\cdot0 =1.
  \end{align*}
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Bereits in die Formulierung eingebaut. 
\end{proof}

Allgemeiner gilt
\begin{corollary}
  \label{sin vielf pi cor}
  F\"ur alle $x\in\R$ gelten
  \begin{align*}
    \sin\left(x+\frac\pi2\right)=&\,\cos x,&\sin(x+\pi)=&\,-\sin x,&
    \sin(x+2\pi)=&\,\sin x,\umbruch\\
    \cos\left(x+\frac\pi2\right)=&\,-\sin x,& \cos(x+\pi)=&\,-\cos x,&
    \cos(x+2\pi)=&\,\cos x. 
  \end{align*}
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze die Additionstheoreme. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Es gilt $\sin(\R)=[-1,1]=\cos(\R)$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gelten $\sin\frac\pi2=1$, $\sin\frac{3\pi}2=\cos\pi=-1$ und
  $\cos0=1$. Somit werden aufgrund des Zwischenwertsatzes s\"amtliche
  Funktionswerte im Intervall $[-1,1]$ vom Sinus und Kosinus
  angenommen. Wegen $\sin^2x+\cos^2x=1$ f\"ur alle $x\in\R$ ist dies
  bereits das gesamte Bild.
\end{proof}

Nach Korollar \ref{sin vielf pi cor} sind der Sinus und der Kosinus
mit Periode $2\pi$ periodisch. 
\begin{definition}
  Sei $E$ ein Vektorraum und $F$ eine Menge. Sei $0\neq\xi\in E$. Eine
  Abbildung $f\colon E\to F$ hei\ss{}t mit Periode $\xi$
  \emph{periodisch}, falls
  \[f(x+\xi)=f(x)\quad\text{f\"ur alle }x\in E\] gilt. Hieraus folgt
  nat\"urlich auch $f(x+k\xi)=f(x)$ f\"ur alle $x\in E$ und alle
  $k\in\Z$.
\end{definition}

\begin{proposition}
  Die Abbildung 
  \begin{align*}
    \phi\colon[0,2\pi)\to&\,\R^2,\\
    t\mapsto(\cos t,\sin t)
  \end{align*}
  ist injektiv und es gilt $\im\phi=\S^1\subset\R^2$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis] 
  Im Intervall $\left[0,\frac\pi2\right]$ ist der Sinus strikt monoton
  wachsend von $0$ bis $1$. Somit ist $\phi$ dort injektiv. Wegen
  $\cos'x=-\sin x<0$ f\"ur $0<x<\frac\pi2$ ist der Kosinus in diesem
  Intervall von $1$ nach $0$ fallend, ist also insbesondere
  nichtnegativ. $\sin x$ durchl\"auft in diesem Intervall alle Werte
  in $[0,1]$. Da es zu jedem $a=\sin x$ genau ein $b\ge0$ mit
  $a^2+b^2=1$, das den Einheitskreis beschreibt, gibt und $b=\cos x$
  die Gleichung $a^2+b^2=1$ erf\"ullt, folgt \[\S^1\cap \Gamma_+\equiv
  \S^1\cap\left\{x=\left(x^i\right)\in\R^2\colon x^i>0
    \quad\text{f\"ur alle }i=1,2\right\} \subset\im\phi.\] $\Gamma_+$
  hei\ss{}t positiver Quadrant und wird im $\R^n$ entsprechend als die
  Menge definiert, in der alle Koordinaten bez\"uglich der
  Standardbasis positiv sind. \par
  Analoge \"Uberlegungen f\"ur die weiteren Quadranten und die
  Intervalle $\left[\frac\pi2,\pi\right]$,
  $\left[\pi,\frac{3\pi}2\right]$ sowie
  $\left[\frac{3\pi}2,2\pi\right]$ liefern nun die Behauptung \"uber
  das Bild. Die Injektivit\"at folgt aus der Injektivit\"at auf jedem
  dieser Intervalle und Vorzeichenbetrachtungen. 
\end{proof}

\begin{proposition}[Eulersche Formel]
  F\"ur $t\in\R$ gilt \[e^{it}=\cos t+i\sin t.\] 
\end{proposition}
F\"ur $t=\pi$ vereint $e^{i\pi}+1=0$ viele wichtigen Konstanten der
Analysis in einer einzigen Formel. 
\begin{proof}[Beweis]
  Wir k\"onnen auch komplexe Potenzreihen definieren und innerhalb
  ihres Konvergenzradiusses ableiten. Hier bedeutet der Ausdruck
  $e^{it}$ daher, dass wir $it$ in die Potenzreihe der
  Exponentialfunktion eingesetzt haben. \par Nach Kettenregel folgt
  f\"ur $z(t):=e^{it}$ \[\dot z(t)=ie^{it}=iz(t).\] F\"ur
  $\zeta(t):=\cos t+i\sin t$ gilt ebenfalls $\dot\zeta(t)=-\sin
  t+i\cos t=i\zeta(t)$. Da die Anfangswerte $z(0)=1=\zeta(0)$
  \"ubereinstimmen, erhalten wir $z=\zeta$ und daher die Behauptung.
\end{proof}

\datumcorona{Do 07.05.2020}
Hieraus ergibt sich die angek\"undigte Potenzreihenentwicklung f\"ur
den Sinus und den Kosinus. 
\begin{proposition}
  Es gelten f\"ur alle $x\in\R$
  \begin{align*}
    \sin x=&\,\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
    =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\pm\ldots
    \intertext{und} \cos x=&\,\sum\limits_{n=0}^\infty
    (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
    =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\pm\ldots.
  \end{align*}
  Insbesondere haben beide Potenzreihen den Konvergenzradius
  $+\infty$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir betrachten die Exponentialfunktion an der Stelle $ix$, $x\in\R$,
  und erhalten
  \[e^{ix} =\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{i^nx^n}{n!}.\] 
  Da diese Reihe absolut konvergiert, k\"onnen wir sie umordnen, nach
  Real- und Imagin\"arteil sortieren und erhalten 
  \[e^{ix} =\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
  +i\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\] 
  Die Eulersche Formel liefert nun die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{proposition}
  Es gilt f\"ur $z\in\C$
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $e^z=1$ genau dann, wenn $z=2\pi ik$ mit $k\in\Z$ und
  \item $e^z=-1$ genau dann, wenn $z=i\pi+2\pi ik$ mit $k\in\Z$. 
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir schreiben $z=x+iy$ mit $x,\,y\in\R$. Dann folgt $e^z=e^x\cdot
  e^{iy}$ und $\left|e^z\right| =e^x\cdot\left|e^{iy}\right|
  =e^x$. Somit kann $e^z=\pm1$ nur f\"ur $x=0$ erf\"ullt sein. Nun
  gilt $e^{iy}=\cos y+i\sin y$. Da der Sinus und der Kosinus
  $2\pi$-periodisch sind und $[0,2\pi)\ni y\mapsto(\cos y,\sin
  y)\in\S^1$ bijektiv ist, kann es bis auf Vielfache von $2\pi i$
  jeweils nur genau ein solches $z$ geben. Da die angegebenen Zahlen
  $z$ die Identit\"aten $e^z=\pm1$ erf\"ullen, folgt die Behauptung. 
\end{proof}

Allgemeiner folgt direkt aus der Eulerschen Formel
\begin{corollary}
  Die Exponentialfunktion $\C\ni z\mapsto e^z\in\C$ ist $2\pi
  i$-periodisch. 
\end{corollary}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur $x\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ definieren wir
    den \emph{Tangens,} $\tan x$, durch $\tan x=\frac{\sin x}{\cos
      x}$.
    \weg{
  \item \stern F\"ur $x\in(0,\pi)$ definieren wir den \emph{Cotangens}
    bzw.{} \emph{Kotangens,} $\cot x$, durch $\cot x=\frac{\cos
      x}{\sin x}$.
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{definition}

\weg{
\begin{remark}
  \stern Tangens und Cotangens sind unendlich oft differenzierbar und
  bilden ihren jeweiligen Definitionsbereich hom\"oomorph auf $\R$
  ab. Es gelten \[\tan'x=\frac1{\cos^2x}=1+\tan^2x\qquad
  \text{und}\qquad \cot'x =-\frac1{\sin^2x} =-1-\cot^2x.\]
\end{remark}
} % weg

\weg{
\begin{definition}[Arcusfunktionen]
  \stern Wir definieren
  \begin{align*}
    \arcsin:=&\,\left(\sin|_{\left(-\frac\pi2,
          \frac\pi2\right)}\right)^{-1}\colon
    (-1,1)\to\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right),\umbruch\\
    \arccos:=&\,\left(\cos|_{(0,\pi)}\right)^{-1}\colon
    (-1,1)\to(0,\pi),\umbruch\\
    \arctan:=&\,\left(\tan|_{\left(-\frac\pi2,
          \frac\pi2\right)}\right)^{-1}\colon
    \R\to\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right),\umbruch\\
    \arccot:=&\,\left(\cot|_{(0,\pi)}\right)^{-1}\colon \R\to(0,\pi).
  \end{align*}
\end{definition}
} % weg

\weg{
\begin{remark}
  \stern \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur $x\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ gelten
    $\sin'x=\cos x\neq0$ und $\tan'x=\frac1{\cos^2x}\neq0$ und f\"ur
    $x\in(0,\pi)$ gelten $\cos'x=-\sin x\neq0$ sowie
    $\cot'x=-\frac1{\sin^2x}\neq0$. Daher sind die Arcusfunktionen
    wohldefiniert. 
  \item Es gilt
    \begin{align*}
      \arcsin'x=&\,\frac1{\sqrt{1-x^2}},&
      \arccos'x=&\,-\frac1{\sqrt{1-x^2}},\umbruch\\
      \arctan'x=&\,\frac1{1+x^2},& \arccot'x=&\,-\frac1{1+x^2}.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}
} % weg

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Aus der Eulerschen Formel erhalten wir \[\cos
    x=\frac12\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)\qquad\text{und}\qquad \sin
    x=\frac1{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right).\] Somit definieren wir
    die komplexen trigonometrischen Funktionen durch \[\cos
    z=\frac12\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)\qquad\text{und}\qquad \sin
    z=\frac1{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right).\] Die
    Potenzreihendarstellungen stimmen mit den reellen
    Potenzreihendarstellungen \"uberein. Additionstheoreme und
    Ableitungsregeln gelten genauso wie im Reellen, jedoch ist $|\sin
    z\,|\le1$ nun im Allgemeinen falsch.
    \weg{
  \item \stern Mit rein komplexen Argumenten erhalten wir Funktionen
    mit neuen Namen:
    \begin{align*}
      \sinh x:=&\,-i\sin ix =\frac12\left(e^x-e^{-x}\right),& \cosh
      x:=&\,\cos
      ix=\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)\\
      \intertext{und}\tanh x:=&\,\frac{\sinh x}{\cosh x}.
    \end{align*}
  \item \stern Es gelten die folgenden Beziehungen:
    \begin{align*}
      \cosh^2x-\sinh^2x=&\,1,\umbruch\\
      \cosh(x+y)=&\,\cosh x\cdot\cosh y+\sinh x\cdot\sinh y,\umbruch\\
      \sinh(x+y)=&\,\sinh x\cdot\cosh y+\cosh x\cdot\sinh y,\umbruch\\
      \sinh'x=&\,\cosh x,\umbruch\\
      \cosh'x=&\,\sinh x,\umbruch\\
      \tanh'x=&\,\frac1{\cosh^2 x}. 
    \end{align*}
  } % weg
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}
\begin{remark}[Polarkoordinaten in $\R^2$] 
  Sei $x\in\R^2\setminus\{0\}$. Dann gilt $x=|x|\cdot\frac
  x{|x|}\equiv r\cdot\xi$ f\"ur $r\ge0$ und $\xi\in\S^1$. Somit
  l\"asst sich $\xi\in\S^1$ in eindeutiger Weise als $(\cos t,\sin t)$
  mit $t\in(-\pi,\pi]$, oder, wenn wir $\R^2$ mit $\C$ identifizieren,
  als $e^{it}$ darstellen. $(r,t)$ hei\ss{}en dann Polarkoordinaten
  des Vektors $x=re^{it}$. \par $t$ hei\ss{}t auch Argument der
  komplexen Zahl $z=re^{it}$, $t=\arg z$. Die Argumentfunktion ist in
  $\R_{\le0}\subset\C$ unstetig.
\end{remark}

\begin{lemma}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Exponentialfunktion bildet den Streifen \[S=\{z=x+iy\colon
    -\pi<y\le\pi\}\] bijektiv auf $\C\setminus\{0\}$ ab.
  \item Sei $\log\colon\C\setminus\{0\}\to S$ die Umkehrfunktion von
    $\exp\colon S\to\C\setminus\{0\}$, so gilt $\log'z=\frac1z$ f\"ur
    alle Punkte in $\C\setminus\R_{\le0}$. 
  \end{enumerate}  
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item Wir schreiben Punkte in $S$ in der Form $x+iy$ und sehen
    zun\"achst, dass $e^z=e^w$ nur bei gleichem Realteil von $z$ und
    $w$ m\"oglich ist. Die Imagin\"arteile m\"ussen ebenfalls
    \"ubereinstimmen, da $(-\pi,\pi]\ni y\mapsto e^{iy}\in\S^1$
    bijektiv ist. 
  \item Die Surjektivit\"at folgt aus der Darstellung in
    Polarkoordinaten. 
  \item Die Ableitung ergibt sich wie im reellen Fall aus der Formel
    f\"ur die Ableitung der Umkehrfunktion. \qedhere 
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\Subsection{Polynome \stern}
\begin{remark}[Wiederholung]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $E$ ein Vektorraum. Dann sind die Polynome $P(\K,E)$ mit
    Koeffizienten in $E$ aus der linearen Algebra bekannt. Wir
    schreiben $P(\K)$ f\"ur $P(\K,\K)$. Der Grad eines Polynoms $\deg
    f$, hat Werte in $\N\cup\{-\infty\}$, der f\"uhrende Koeffizient
    Werte in $E$. In $P(\K)$ gilt $\deg(fg)=\deg f+\deg g$. 
  \item Jedes Polynom $p(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k$ l\"asst sich
    in der Form $\sum\limits_{k=0}^nb_k(x-x_0)^k$ schreiben. Dabei
    gilt $a_n=b_n$. Grad und f\"uhrender Koeffizient sind also vom
    \emph{Entwicklungspunkt} $x_0$ unabh\"angig.
    \begin{proof}[Beweis]
      Schreibe
      \[p(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_k((x-x_0)+x_0)^k\] und expandiere den
      Ausdruck mit Hilfe der binomischen Formel. 
    \end{proof}
  \item Sei $f$ ein Polynom mit $\deg f\ge1$. Gelte $f(x_0)=0$. Dann
    gibt es ein Polynom $g$ mit $\deg g=(\deg f)-1$ und
    $f(x)=(x-x_0)g(x)$.
    \begin{proof}[Beweis]
      Polynomdivision. Alternativ kann man $f$ als
      $f(x)=\sum\limits_{k=0}^na_k(x-x_0)^k$ schreiben und sieht, dass
      $a_0=0$ gilt. 
    \end{proof}
  \item Ein Polynom vom Grad $n\ge1$, das nicht das Nullpolynom ist,
    besitzt h\"ochstens $n$ Nullstellen, wobei wir Nullstellen mit
    ihren Vielfachheiten z\"ahlen.
    \begin{proof}[Beweis]
      Dies folgt direkt durch sukzessives Abspalten von Nullstellen
      von $f$ in der Form $f(x)=(x-x_0)g(x)$. 
    \end{proof}
  \item Zwei Polynome vom Grad kleiner oder gleich $n\ge1$, die an
    $n+1$ Stellen \"ubereinstimmen, sind gleich. 
    \begin{proof}[Beweis]
      Spalte induktiv alle Nullstellen des Polynoms, das als Differenz
      der beiden Polynome definiert ist, ab.
    \end{proof}
  \item Mit der Gradfunktion bilden die Polynome einen Euklidischen
    Ring, \dh es gibt eine Division mit Rest. 
  \item Komplexe nichtkonstante Polynome besitzen mindestens eine
    Nullstelle (Fundamentalsatz der Algebra, siehe z.\,B.{}
    Funktionentheorievorlesung) und zerfallen daher in Linearfaktoren
    (Induktionsbeweis).
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proposition}[Partialbruchzerlegung]
  \label{part bruch prop}\neueZeilealt
  Seien $f,g$ komplexe Polynome mit $\deg f<\deg g$. Seien $\zeta_i$,
  $1\le i\le m$, die (paarweise verschiedenen) Nullstellen von $g$ mit
  Vielfachheiten $m_i$, dann besitzt $f/g$ eine eindeutige
  Darstellung \[\frac fg(z)\equiv\frac{f(z)}{g(z)}
  =\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^{m_i}
  \frac{c_{ij}}{(z-\zeta_i)^j}\] mit $c_{ij}\in\C$.
\end{proposition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Der Quotient zweier Polynome bzw.{} Polynomfunktionen
    hei\ss{}t eine \emph{rationale} Funktion. Eine rationale Funktion
    $f/g$ mit $\deg f<\deg g$ hei\ss{}t \emph{echt rationale}
    Funktion.
  \item Mittels Polynomdivision l\"asst sich jede rationale Funktion
    als Summe eines Polynoms und einer echt rationalen Funktion
    darstellen.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{part bruch prop}]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Existenz: Wir zeigen zun\"achst per Induktion nach $\deg g$,
    dass es solch eine Zerlegung gibt. \par Im Fall $\deg g=1$ sind
    wir fertig. \par Sei also $\deg g=n$ und die Behauptung bereits
    f\"ur $\deg g<n$ bewiesen. \par Nach dem Fundamentalsatz der
    Algebra besitzt $g$ eine Nullstelle $\zeta\in\C$. Sei $m$ die
    Vielfachheit dieser Nullstelle, gelte also
    $g(z)=(x-\zeta)^mg_1(z)$ f\"ur ein komplexes Polynom $g_1$ mit
    $g_1(\zeta)\neq0$. Wir behaupten, dass es ein $c\in\C$ gibt, so
    dass \[\frac{f(z)}{g(z)} -\frac c{(z-\zeta)^m}\] eine echt
    rationale Funktion ist, bei der das Polynom im Nenner einen Grad
    $<n$ besitzt. Dazu bringen wir den Ausdruck auf den Hauptnenner
    \[\frac{f(z)}{g(z)} -\frac c{(z-\zeta)^m}
    =\frac{f(z)-cg_1(z)}{(z-\zeta)^m g_1(z)}.\] Nun w\"ahlen wir $c$
    so, dass $f(\zeta)-cg_1(\zeta)=0$ gilt, also
    $c=\frac{f(\zeta)}{g_1(\zeta)}$. Wegen $g_1(\zeta)\neq0$ ist dies
    wohldefiniert. Somit ist $\zeta$ eine Nullstelle des Z\"ahlers und
    des Nenners auf der rechten Seite. Wir k\"onnen also den
    gemeinsamen Faktor $(z-\zeta)$ k\"urzen und
    erhalten \[\frac{f(z)}{g(z)} -\frac c{(z-\zeta)^m} =
    \frac{f_1(z)}{(z-\zeta)^{m-1}\cdot g_1(z)}\] f\"ur ein Polynom
    $f_1(z)$ vom Grad $\le\deg f-1$. Somit k\"onnen wir die
    Induktionsvoraussetzung anwenden und die Behauptung folgt per
    Induktion.
  \item Eindeutigkeit: Sei $f/g$ ohne Einschr\"ankung vollst\"andig
    gek\"urzt. Sei \[h(z)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n_i}
    \frac{d_{ij}}{(z-\xi_i)^j}\] eine weitere solche Darstellung.
    Dann wird $(f/g)(z)$ genau dann unbeschr\"ankt, wenn $z$ gegen
    eine Nullstelle von $g$ konvergiert. Daher muss bis auf
    Umnummerierung $\zeta_i=\xi_i$ gelten. Somit gilt auch $n=m$. Die
    \"Ubereinstimmungen $m_i=n_i$ und $c_{ij}=d_{ij}$ erhalten wir
    schlie\ss{}lich, indem wir beide Ausdr\"ucke mit $(z-\zeta_i)^k$,
    $k=\max\{n_i,m_i\}$, multiplizieren und den Grenzwert
    $z\to\zeta_i$ betrachten. Dann erhalten wir in beiden F\"allen
    $c_{ik}$ und $d_{ik}$ bzw.{} $0$, falls diese Ausdr\"ucke nicht
    definiert sind. Wir subtrahieren nun den Term
    $\frac{c_{ik}}{(z-\zeta_i)^k}$ und erhalten per Induktion die
    Behauptung.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}
} % weg

\Subsection{Taylorsche Formeln}
\datum{Do 24.04.2025}
\weg{
\begin{remark}
  \stern F\"ur Polynome \[f(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_k(x-x_0)^k\] mit
  $x\in\R$ und $a_k$ aus einem Banachraum gilt
  $a_k=\frac1{k!} f^{(k)}(x_0)$ und somit
  \[f(x)=\sum\limits_{k=0}^n \frac1{k!} f^{(k)}(x_0)\cdot(x-x_0)^k.\]
\end{remark}
} % weg

Taylorreihen verallgemeinern solch eine Darstellung f\"ur beliebige
Funktionen. 
\begin{theorem}
  \label{taylor model thm}
  Sei $E$ ein reeller Banachraum, $I=(a,b)$ ein Intervall mit $0,1\in
  I$ und sei $f\in C^n(I,E)$ mit $n\ge1$. Dann gilt 
  \[f(1)=\sum\limits_{k=0}^n\frac1{k!} f^{(k)}(0) +R_n(f,0)(1),\]
  wobei sich das Restglied $R_n(f,0)(1)$ in der Form \[\Vert
  R_n(f,0)(1)\Vert \le\frac1{(n-1)!} \sup\limits_{0<t<1} \left\Vert
    f^{(n)}(t) -f^{(n)}(0)\right\Vert\] absch\"atzen l\"asst.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir m\"ussen nur die Normabsch\"atzung f\"ur das Restglied beweisen,
  da es solch ein Restglied n\"amlich stets gibt: Definiere es als die
  Differenz der anderen beiden Terme. \par Wir definieren f\"ur $t\in
  I$ die Funktion \[\phi(t)=f(1)-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac1{k!}
  f^{(k)}(t)\cdot(1-t)^k -\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(1-t)^n.\] Man beachte
  die unterschiedlichen Argumente von $f$.  Es gelten
  $\phi(0)=R_n(f,0)(1)$ nach Definition des Restes sowie $\phi(1)=0$,
  da alle Terme mit $(1-t)^k$, $k\ge1$, dort verschwinden und die
  restlichen beiden sich gerade aufheben.  F\"ur die Ableitung
  erhalten wir
  \begin{align*}
    \phi'(t)=&\,-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac1{k!}
    f^{(k+1)}(t)\cdot(1-t)^k +\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac k{k!}
    f^{(k)}(t)(1-t)^{k-1} +\frac{f^{(n)}(0)}{(n-1)!}
    (1-t)^{n-1}\umbruch\\
    =&\,-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac1{k!}  f^{(k+1)}(t)\cdot(1-t)^k
    +\sum\limits_{k=0}^{n-2}\frac 1{k!}  f^{(k+1)}(t)(1-t)^k
    +\frac{f^{(n)}(0)}{(n-1)!}  (1-t)^{n-1} \intertext{nach einer
      Indexverschiebung in der zweiten Summe} =&\,\frac1{(n-1)!}
    \left(f^{(n)}(0)-f^{(n)}(t)\right)\cdot (1-t)^{n-1}. 
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt nun aus dem Mittelwertsatz
  \begin{align*}
    \Vert R_n(f,0)(1)\Vert =&\,\Vert\phi(1)-\phi(0)\Vert
    \le\sup\limits_{0<t<1}\Vert\phi'(t)\Vert\umbruch\\
    \le&\,\frac1{(n-1)!}\sup\limits_{0<t<1} \left\Vert
      f^{(n)}(t)-f^{(n)}(0)\right\Vert.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Das folgende Theorem gilt auch noch f\"ur auf konvexen Teilmengen von
$\C$ definierten Funktionen.
\begin{theorem}[Taylorsche Formel]
  \label{taylor fml thm}
  Sei $\Omega\subset\R$ ein offenes Intervall, sei $E$ ein reeller
  Banachraum und sei $f\in C^n(\Omega,E)$ mit $n\ge1$. Seien
  $x,x_0\in\Omega$, dann l\"asst sich $f$ in der Form \[f(x)
  =\sum\limits_{k=0}^n\frac1{k!} f^{(k)}(x_0)\cdot(x-x_0)^k
  +R_n(f,x_0)(x)\] darstellen und es gilt die
  Restgliedabsch\"atzung \[\Vert R_n(f,x_0)(x)\Vert \le\frac1{(n-1)!}
  \sup\limits_{\xi\in(x_0,x)} \left\Vert f^{(n)}(\xi)
    -f^{(n)}(x_0)\right\Vert\cdot|x-x_0|^n.\] Dabei bezeichne
  $(x,x_0)$ die offene Verbindungsstrecke zwischen $x$ und $x_0$, also
  das Intervall $(x,x_0)$ oder das Intervall $(x_0,x)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren \[\phi(t):=f(tx+(1-t)x_0)\] f\"ur $0\le
  t\le1$. $\phi$ ist auch noch etwas \"uber $[0,1]$ hinaus von der
  Klasse $C^n$. Daher k\"onnen wir Theorem \ref{taylor model thm}
  anwenden und erhalten mit \[\phi^{(k)}(t) =f^{(k)}(tx+(1-t)x_0)\cdot
  (x-x_0)^k\] sowie $R_n(\phi,0)(1)=R_n(f,x_0)(x)$ die Behauptung.
\end{proof}

\datumcorona{Mo 11.05.2020}
\begin{definition}[Taylorsche Polynome]
  Sei $E$ ein Banachraum \"uber $\K$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\K$ offen und $f\in C^n(\Omega,E)$, $n\ge1$,
    so hei\ss{}t $T_n(f,x_0)\in P(\K,E)$ mit \[T_n(f,x_0)(x)
    =\sum\limits_{k=0}^n \frac1{k!} f^{(k)}(x_0)\cdot(x-x_0)^k\] das
    \emph{Taylorpolynom} $n$-ten Grades von $f$ im Punkt $x_0$. 
  \item In $\Omega$ definieren wir das $n$-te \emph{Restglied}
    $R_n(f,x_0)$ durch \[R_n(f,x_0):=f-T_n(f,x_0).\] 
  \item Ist $f\in C^\infty(\Omega,E)$, so hei\ss{}t die
    Potenzreihe \[\left(\left( \frac1{n!}f^{(n)}(x_0)
        \cdot(x-x_0)^n\right)\right)_n\] Taylorreihe von $f$ im Punkt
    $x_0\in\Omega$. Ihre $n$-te Partialsumme ist gerade
    $T_n(f,x_0)$. F\"ur alle $x$, f\"ur die die Taylorreihe
    konvergiert, definieren
    wir \[T(f,x_0)(x):=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac1{k!}
    f^{(k)}(x_0)\cdot (x-x_0)^k.\] 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\datum{Mo 28.04.2025}
Aus der Taylorschen Formel erhalten wir 
\begin{proposition}
  Sei $\Omega\subset\R$ ein offenes Intervall, sei $E$ ein reeller
  Banachraum, sei $f\in C^n(\Omega,E)$ mit $n\ge 1$ und sei
  $x_0\in\Omega$. Dann gilt 
  \[f(x)=T_n(f,x_0)(x)+o\left(|x-x_0|^n\right)\] und
  $T_n(f,x_0)$ ist das einzige Polynom mit dieser Eigenschaft.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus der Taylorschen Formel und der Stetigkeit der $n$-ten Ableitung
  von $f$ erhalten wir, dass das Restglied von der Ordnung
  $o\left(|x-x_0|^n\right)$ ist. \par
  G\"abe es ein weiteres Polynom, so liefert Differenzbildung ein
  Polynom vom Grade $\le n$ in $o\left(|x-x_0|^n\right)$. Dies kann
  nur das Nullpolynom sein und wir erhalten die behauptete
  Eindeutigkeit.
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
    \weg{
  \item \stern Sei $f\in C^\infty(\Omega,E)$. Dann gilt $f=T(f,x_0)$ in
    $B_\epsilon(x_0)$ nach Definition genau dann, wenn die $n$-ten
    Restglieder $R_n(f,x_0)$ in $B_\epsilon(x_0)$ f\"ur $n\to\infty$
    punktweise gegen Null konvergieren, wenn also f\"ur alle $x\in
    B_\epsilon(x_0)$ \[\lim\limits_{n\to\infty} R_n(f,x_0)(x)=0\]
    gilt.
  \item \stern Gibt es zu $x_0\in\Omega$ ein solches $\epsilon>0$ mit
    $\lim\limits_{n\to\infty} T_n(f,x_0)(x)=f(x)$ bzw., \"aquivalent
    dazu, $\lim\limits_{n\to\infty} R_n(f,x_0)(x)=0$ f\"ur alle $x\in
    B_\epsilon(x_0)$, so hei\ss{}t $f$ in $x_0$ \emph{(reell)
      analytisch.} Ist $A\subset\Omega$ und $f$ in jedem $x\in A$
    analytisch, so schreiben wir daf\"ur $f\in C^{\omega}(A,E)$.
    } % weg
  \item In $B_{1/2}(0)\subset\C$ ist die Funktion $f(z)=\log(1+z)$
    durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungspunkt im Ursprung
    darstellbar. Es gilt also \[f(z)=\sum\limits_{k=1}^\infty
    \frac{(-1)^{k-1}}kz^k.\]
    \begin{proof}[Beweis]
      Es gilt $f\in C^\infty(B_1(0))$. Per Induktion erhalten
      wir \[f^{(n)}(z)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+z)^n}\] f\"ur alle
      $n\ge1$. \par Wir m\"ussen also noch nachweisen,
      dass \[\lim\limits_{n\to\infty} R_n(f,0)(z)=0\] f\"ur alle $z\in
      B_{1/2}(0)$ gilt. Aus der Taylorschen Formel und unserer
      Darstellung f\"ur die Ableitung erhalten wir nacheinander
      \begin{align*}
        |R_n(f,0)(z)|\le&\,\sup\limits_{|\zeta|<\frac12}
        \left|\frac1{(1+\zeta)^n}-1\right|\cdot|z|^n,\umbruch\\  
        \left|\frac1{1+\zeta}\right|\le&\,\frac1{1-|\zeta|}\le2\quad
        \text{f\"ur }|\zeta|\le\frac12,\umbruch\\
        |R_n(f,0)(z)|\le&\,\left(1+2^n\right)\cdot|z|^n
      \end{align*}
      und wegen $|z|<\frac12$ die Behauptung. 
    \end{proof}
    \weg{
  \item \stern Das folgende Beispiel zeigt, dass $T(f,x_0)$ zwar
    konvergieren kann, aber trotzdem nicht $f=T(f,x_0)$ zu gelten
    braucht. \par
    Sei dazu $x_0=0$.  Betrachte nun die Funktion $f\colon\R\to\R$
    mit \[f(x)=
      \begin{cases}
        e^{-\frac1{x^2}},&x<0,\\
        0,&x\ge0.
      \end{cases}
    \]
    Per Induktion zeigt man, dass die Ableitungen f\"ur $x<0$ von der
    Gestalt $f^{(k)}(x)=\frac{p_k(x)}{x^{3k}}e^{-\frac1{x^2}}$ f\"ur
    Polynome $p_k$ sind. Nun gilt
    \[\lim\limits_{y\to\infty}e^{-y}y^l=0\] f\"ur alle $l>0$. Daraus
    erhalten wir erstens 
    \[\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\to0}{x<0}}f^{(k)}(x)=0\] f\"ur
    alle $k\in\N$ und weiterhin (nutze lokale Beschr\"anktheit der
    Ableitungen, deren Verschwinden im Ursprung und integriere
    mehrfach)
    \[|f(x)|\le|x|^{k+1}\] f\"ur alle $k\in\N$ und
    $x\in(-\epsilon_k,\epsilon_k)$ f\"ur $\epsilon_k>0$. Somit gilt
    $f^{(k)}(0)=0$ f\"ur alle $k\in\N$. Wir erhalten also 
    $f\in C^\infty$. Aufgrund der Formel f\"ur $f^{(k)}(0)$ folgt
    somit $T(f,x_0)\equiv0$, jedoch gilt in keiner Umgebung des
    Ursprunges $f\equiv0$.
    } % weg 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Wir leiten noch eine weitere Restgliedabsch\"atzung her. 
\begin{theorem}
  \label{lagr mod thm}
  Sei $E$ ein reeller Banachraum, sei $I\subset\R$ ein offenes
  Intervall mit $0,1\in I$, sei $f\colon I\to E$ eine $(n+1)$-mal
  differenzierbare Funktion mit $n\ge0$. Dann
  gilt \[f(1)=\sum\limits_{k=0}^n\frac1{k!}  f^{(k)}(0) +R_n(f,0)(1)\]
  mit
  \[\Vert R_n(f,0)(1)\Vert \le\frac1{(n+1)!}
    \sup\limits_{0<t<1}\left\Vert f^{(n+1)}(t)\right\Vert.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren \[\phi(t)=\sum\limits_{k=0}^n\frac1{k!}
  f^{(k)}(t)\cdot(1-t)^k \quad\text{und}\quad g(t)=(1-t)^{n+1}.\]
  $\phi$ und $g$ sind in $I$ differenzierbar und es gilt
  \begin{align*}
    \phi(0)=&\,T_n(f,0)(1),\quad\phi(1)=f(1),\quad
    \phi(1)-\phi(0)=R_n(f,0)(1),\umbruch\\ 
    g(0)=&\,1,\quad g(1)=0,\umbruch\\
    \phi'(t)=&\,\sum\limits_{k=0}^n\frac1{k!} f^{(k+1)}(t)\cdot(1-t)^k
    -\sum\limits_{k=1}^n \frac k{k!}f^{(k)}(t)\cdot
    (1-t)^{k-1},\umbruch\\
    =&\,\frac1{n!} f^{(n+1)}(t)\cdot(1-t)^n,\umbruch\\
    g'(t)=&\,-(n+1)(1-t)^n
  \end{align*}
  Hierauf wenden wir nun den verallgemeinerten Mittelwertsatz, Theorem
  \ref{verallg MWS vektor} (oder Theorem \ref{verallg MWS}), auf dem
  Intervall $(0,1)$ an und erhalten \[\Vert\phi(1)-\phi(0)\Vert
  \le\sup\limits_{0<t<1}\left\Vert\frac{\phi'(t)}{g'(t)}\right\Vert
  \cdot|g(1)-g(0)| \le\frac1{(n+1)!} \sup\limits_{0<t<1}\left\Vert
    f^{(n+1)}(t)\right\Vert\] wie behauptet.
\end{proof}

\begin{theorem}[Lagrangesche Restgliedabsch\"atzung]
  Sei $\Omega\subset\K$ offen und konvex und seien
  $x,x_0\in\Omega$. Sei $E$ ein Banachraum \"uber $\K$ und
  $f\colon\Omega\to E$ sei $(n+1)$-mal differenzierbar mit
  $n\ge0$. Dann gilt \[f(x)=T_n(f,x_0)(x) +R_n(f,x_0)(x)\] mit
  \[\Vert R_n(f,x_0)(x)\Vert \le \frac1{(n+1)!}
    \sup\limits_{\xi\in(x_0,x)}\left\Vert
      f^{(n+1)}(\xi)\right\Vert\cdot |x-x_0|^{n+1}.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Folge dem Beweis von Theorem \ref{taylor fml thm} und benutze dabei
  Theorem \ref{lagr mod thm} statt Theorem \ref{taylor model thm}.
\end{proof}

\weg{
Ohne Abzusch\"atzen erh\"alt man
\begin{theorem}[Lagrangesches Restglied]
  \stern Sei $\Omega\subset\R$ ein Intervall und seien
  $x,x_0\in\Omega$. Sei $f\colon\Omega\to\R$ eine $(n+1)$-mal
  differenzierbare Funktion mit $n\ge0$. Dann gilt
  \[f(x)=T_n(f,x_0)(x) +\frac1{(n+1)!}  f^{(n+1)}(\xi)\cdot
    (x-x_0)^{n+1}\] f\"ur ein $\xi\in[x,x_0]$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir gehen wie im Beweis von Theorem \ref{lagr mod thm} vor und
  erhalten in der dortigen Notation aber mit $F$ statt $f$
  \begin{align*}
    F(1)-\sum\limits_{k=0}^n \frac1{k!} F^{(k)}(0)
    &=\phi(1)-\phi(0)\umbruch\\
    &=-\frac{\phi(1)-\phi(0)}{g(1)-g(0)}\umbruch\\
    &=-\frac{\phi'(\xi)}{g'(\xi)}\umbruch
      \intertext{f\"ur ein $\xi\in[x,x_0]$}
    &=\frac1{(n+1)!}F^{(n+1)}(\xi). 
  \end{align*}
  Nun wenden wir dies f\"ur $F(t):=f(tx+(1-t)x_0)$ an und erhalten
  aufgrund der Kettenregel die Behauptung.
\end{proof}
} % weg

\weg{
Weitere Restglieddarstellungen benutzen Integrale. 
\begin{lemma} 
  \label{restglied taylor integralform lem}
  \stern
  Sei $F$ ein Banachraum. 
  Seien $I=(a,b)$ und $x,y\in I$. Sei $f\in C^n(I,F)$ mit
  $n\in\N_{\ge1}$. Dann gilt
  \begin{align*}
    f(x)=&\,f(y)+\frac {x-y}{1!}f'(y) +\frac{(x-y)^2}{2!}f''(y)+\ldots
    +\frac{(x-y)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n-1)}(y)\\ &\,\quad
    +\int\limits_y^x  \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}
    f^{(n)}(t)\,dt\umbruch\\ 
    =&\,\sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac{(x-y)^i}{i!}f^{(i)}(y)
    +\int\limits_y^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}
    f^{(n)}(t)\,dt\umbruch\\
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Induktionsanfang \glqq$n=1$\grqq{}
  lautet \[f(x)=f(y)+\int\limits_y^x f'(t)\,dt\] und ist gerade der
  Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 
  \par Induktionsschritt: Gelte also die Behauptung bereits f\"ur ein
  festes $n\in\N_{\ge1}$. Dann liefert die folgende Rechnung mit
  partieller Integration, dass sie auch f\"ur $n+1$ gilt.
  \begin{align*}
    &\,\frac{(x-y)^n}{n!} f^{(n)}(y) +\int\limits_y^x
    \underbrace{\frac{(x-t)^n}{n!}}_{=G(t)}
    \underbrace{f^{(n+1)}(t)}_{=F'(t)}\,dt\umbruch\\
    =&\,\frac{(x-y)^n}{n!}f^{(n)}(y) +\left.\left\{\frac{(x-t)^n}{n!}
        f^{(n)}(t)\right\}\right|_{t=y}^{t=x} -\int\limits_y^x
    -\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(t)\,dt\umbruch\\
    =&\,\int\limits_y^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(t)\,dt. 
  \end{align*}
  Dies liefert gerade die Behauptung. 
\end{proof}
} % weg

\weg{
Als direkte Verallgemeinerung daraus erhalten wir das folgende
Korollar. Dies benutzt jedoch auf Banachr\"aumen definierte
Funktionen. Wir empfehlen daher, dies erst nach der mehrdimensionalen
Differentialrechnung anzusehen. 
\begin{corollary}
  \stern Seien $E,F$ Banachr\"aume. Sei $\Omega\subset E$ offen. Seien
  $x,x_0\in\Omega$ und gelte $[x,x_0]\subset\Omega$. Sei $f\in
  C^n(\Omega,F)$ mit $n\in\N_{\ge1}$. F\"ur $v\in E$ und $k\in\N$
  schreiben wir $\langle v\rangle^{(k)}$ f\"ur $\langle
  v,\ldots,v\rangle$, wobei $v$ in den spitzen Klammern genau $k$-mal
  vorkommt. Dann gilt
  \begin{align*}
    f(x)=&\,f(x_0)+\frac1{1!}f'(x_0)\langle x-x_0\rangle +\frac1{2!}
    f''(x_0) \langle x-x_0\rangle^{(2)} +\ldots\\
    &\,\quad+\frac1{(n-1)!} f^{(n-1)}(x_0)\langle
    x-x_0\rangle^{(n-1)}\\ 
    &\,\quad+\int\limits_0^1 \frac{(1-t)^{n-1}}{(n-1)!}
    f^{(n)}(tx+(1-t)x_0)\,dt\,\langle x-x_0\rangle^{(n)}.
  \end{align*}
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende Lemma \ref{restglied taylor integralform lem} auf die Funktion
  $\phi\colon (-\epsilon,1+\epsilon)\to F$ mit
  $\phi(t):=f(tx+(1-t)x_0)$ an. 
\end{proof}
} % weg

\Section{Integration in einer Variablen}
Wir werden hier einen ersten Integralbegriff kennenlernen, das
Riemannintegral. Im dritten Semester werden wir das Lebesgueintegral
behandeln, das es beispielsweise erlaubt, weitere Grenzwerts\"atze zu
zeigen und mehr Funktionen zu integrieren. \par Wenn man Integrale
berechnet, verwendet man meist das Riemannsche Integral, erh\"alt aber
f\"ur das Lebesguesche Integral bessere allgemeine S\"atze.

\Subsection{Das Riemannsche Integral}
Sei $[a,b]\subset\R$ kompakt und sei $f\colon[a,b]\to\R$ reell,
nicht-negativ und beschr\"ankt. Dann wollen wir mit dem Integral
\"uber die Funktion $f$ den Fl\"acheninhalt der Menge \[Q(f):=
\left\{(x,y)\in\R^2\colon a\le x\le b\,\text{ und }\,0\le y\le
  f(x)\right\}\] in einer Weise beschreiben, dass f\"ur konstante
Funktionen mit $f(x)\equiv h$ f\"ur alle $x$ gerade die
Rechtecksfl\"ache $(b-a)\cdot h$ herauskommt. 

Um $Q$ in kleine St\"ucke aufteilen zu k\"onnen, definieren wir 
\begin{definition}[Partition]
  Sei $I=[a,b]\subset\R$ ein kompaktes Intervall.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann definiert $P=\{x_0,\,x_1,\,\ldots,x_n\}$, $n\in\N$, mit
    $a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ eine \emph{Partition} von $I$, die aus
    den Teilintervallen $I_i=[x_i,x_{i+1}]$ besteht:
    $\{I_i\}_{1\le i\le n-1}$. \par Wir nennen $P$ mit den
    angeordneten Punkten $x_i$ und die Intervalle $I_i$ eine Partition
    von $I$. Anders als bei einer Partition aus Analysis I lassen wir
    \"Uberschneidungen an den endlich vielen Endpunkten der Intervalle
    zu. Die Punkte aus $P$ hei\ss{}en \emph{Teil-} oder
    \emph{Endpunkte}.
    \weg{
    \par \stern Wir werden auch laxerweise $P$ selbst
    als Partition bezeichnen.
    } % weg
  \item Sei $P=\{x_0,\,x_1,\,\ldots,x_n\}$ eine Partition. Dann
    hei\ss{}t \[\eta(P):=\sup\limits_{0\le i\le n-1}|x_{i+1}-x_i|\]
    die \emph{Feinheit} der Partition $P$. 
  \item Eine Partition $P'$ hei\ss{}t \emph{feiner} als $P$, $P\prec
    P'$, falls (unter Verwendung der laxen Bezeichnung) $P\subset P'$
    gilt. 
  \item Seien $P_1$ und $P_2$ zwei Partitionen von $I$. Dann hei\ss{}t
    die Partition $P_1\vee P_2:=P_1\cup P_2$ (laxe Bezeichnung) die
    gemeinsame \emph{Verfeinerung} von $P_1$ und $P_2$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  Seien $P_1$ und $P_2$ Partitionen von $I=[a,b]$. Dann
  gilt \[P_1\prec P_2 \quad\impliziert\quad\eta(P_2)\le\eta(P_1).\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Klar. 
\end{proof}

\datumcorona{Do 14.05.2020} Mit Partitionen k\"onnen wir einen
naheliegenden Fl\"acheninhaltsbegriff motivieren. \par Definiere
$f_i:=f|_{I_i}$, $\ul Q_i:=I_i\times[0,\inf f_i]$ und
$\ol Q_i:=I_i\times[0,\sup f_i]$. Wegen
\[\bigcup\limits_{i=0}^{n-1} \ul Q_i\subset
  Q\subset\bigcup\limits_{i=0}^{n-1}\ol Q_i\] ist der Fl\"acheninhalt
aller $\ul Q_i$'s addiert zu klein und der Fl\"acheninhalt aller
$\ol Q_i$'s addiert zu gro\ss{} f\"ur einen sinnvollen
Fl\"acheninhaltsbegriff von $Q$: $|Q|$. Wir wollen $|Q|$ definieren.
Dass diese Rechtecke auf endlich vielen Linien \"uberlappen tr\"agt
nichts zum Fl\"acheninhalt bei. Wir fordern
also
\[\sum\limits_{i=0}^{n-1} \big|\ul Q_i\big|
  \equiv\sum\limits_{i=0}^{n-1}\inf f_i\cdot|I_i| \le|Q|
  \le\sum\limits_{i=0}^{n-1} \left|\ol Q_i\right|
  \equiv\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sup f_i\cdot|I_i|.\] Der Ausdruck auf
der linken Seite hei\ss{}t \emph{Untersumme,} der auf der rechten
Seite \emph{Obersumme.}\par
Wenn nun f\"ur eine beliebige Folge von Partitionen $(P_k)_k$ mit
Feinheit $\eta(P_k)\to0$ f\"ur $k\to\infty$ die Grenzwerte der linken
und der rechten Seite existieren und \"ubereinstimmen, so nennen wir
dies den \emph{Fl\"acheninhalt} von $Q$. \par Dies ist sicher nur
m\"oglich, falls es f\"ur jedes $\epsilon>0$ eine Partition $P$
mit
\[\sum\limits_{i=0}^{n-1} (\sup f_i-\inf f_i)\cdot |I_i|<\epsilon\]
gibt.

\datum{Mo 05.05.2025}
Ersetzen wir $\sup f_i-\inf f_i$ durch die Oszillation von $f_i$, so
k\"onnen wir dieses Vorgehen auch auf banachraumwertige Funktionen
verallgemeinern. 
\begin{definition}
  Sei $I=[a,b]\subset\R$ kompakt, sei $E$ ein Banachraum und sei
  $f\colon I\to E$ beschr\"ankt. Sei $P=\{x_0,\,x_1,\,\ldots,\,x_n\}$
  eine Partition von $I$ und seien $I_i$ sowie $f_i$ wie oben. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir definieren die \emph{Oszillation} von $f$ als \[\osc
    f:=\sup\limits_{x,\,y\in I}\Vert f(x)-f(y)\Vert.\]
    (F\"ur reellwertige Funktionen gilt $\osc f=\sup\limits_{x\in I}
    f(x) -\inf\limits_{y\in I} f(y)$.)
  \item Multiplizieren wir die Oszillationen auf den Teilintervallen
    mit den Intervalll\"angen, so erhalten wir die
    Definition \[\sigma(f,P):=\sum\limits_{i=0}^{n-1} \osc
    f_i\cdot|I_i|.\]
  \item Seien $\xi_i\in I_i$ beliebig und $Z:=\{\xi_i\colon 0\le i\le
    n-1\}$.  Die Punkte $\xi_i$, $0\le i\le n-1$, hei\ss{}en
    \emph{Zwischenpunkte} der Partition $P$.  Dann definieren wir die
    \emph{Riemannsche Summe} als \[S(f,P,Z)\equiv
    S(P,Z):=\sum\limits_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\cdot|I_i|.\]
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  \label{verf sigma kleiner lem}
  Sei $f\colon I\to E$ beschr\"ankt, seien $P$ und $P'$ zwei
  Partitionen von $I$ mit $P\prec P'$ und habe $P'$ genau $\lambda$
  Teilpunkte mehr als $P$. Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\sigma(f,P')\le\sigma(f,P)$ und
  \item $|\sigma(f,P')-\sigma(f,P)|\le2\lambda\Vert
    f\Vert_{L^\infty}\cdot\eta(P)$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $I_i$, $0\le i\le n-1$ die Teilintervalle der Partition
    $P$ und $I'_j$, $0\le j\le m-1$ die Teilintervalle von $P'$. Dann
    setzen sich die Intervalle $I_i$ aus Intervallen $I'_j$ zusammen
    und wir erhalten mit $f_i=f|_{I_i}$ und $f'_j=f|_{I'_j}$
    \begin{align*}
      \sigma(f,P')&= \sum\limits_{j=0}^{m-1}\osc f'_j\cdot|I'_j|
      =\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{\{j\colon I'_j\subset
        I_i\}} \osc f'_j\cdot|I'_j| \umbruch\\
      &\le \sum\limits_{i=0}^{n-1} \osc f_i\sum\limits_{\{j\colon
        I'_j\subset I_i\}} |I'_j|=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\osc
      f_i\cdot|I_i| =\sigma(f,P).
    \end{align*}
  \item Wir f\"uhren den Beweis nur im Falle $\lambda=1$. Der
    allgemeine Fall folgt daraus dann direkt per Induktion. \par Sei
    dazu ohne Einschr\"ankung $I_1$ ein Teilintervall, das sich aus
    den beiden Teilintervallen $I'_1$ und $I'_2$ (bis auf einen Punkt)
    disjunkt zusammensetzt. Alle anderen Teilintervalle stimmen
    \"uberein. Dann folgt
    \begin{align*}
      0\le&\,\sigma(f,P)-\sigma(f,P') =\osc f_1\cdot|I_1|-(\osc
      f'_1\cdot |I'_1|+\osc f'_2\cdot|I'_2|)\umbruch\\
      \le&\,\osc f_1\cdot|I_1| \le2\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot|I_1|
      \le 2\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot\eta(P).\qedhere
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{diff riem sum lem}
  Seien $I=[a,b]$ und $E$ wie bisher. Sei $f\colon I\to E$
  beschr\"ankt. Seien $P$ und $P'$ zwei Partitionen des Intervalles
  $I$ mit Zwischenpunkten $Z$ bzw.{} $Z'$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gilt $P\prec P'$, so folgt \[\Vert S(P,Z) -S(P',Z')\Vert
    \le\sigma(f,P).\]
  \item Sind $P$ und $P'$ beliebige Partitionen von $I$, so
    gilt \[\Vert S(P,Z)-S(P',Z')\Vert \le\sigma(f,P) +\sigma(f,P').\] 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $I_i$ mit $0\le i\le n-1$ die Teilintervalle von $P$ und
    $I'_j$ mit $0\le j\le m-1$ die Teilintervalle von $P'$. Da sich
    die Intervalll\"angen aller Intervalle $I'_j$ mit $I'_j\subset
    I_i$ zu $|I_i|$ aufaddieren, erhalten wir
    \begin{align*}
      &\,\left\Vert f(\xi_i)\cdot|I_i| -\sum\limits_{\{j\colon
          I'_j\subset I_i\}} f\left(\xi'_j\right)\cdot
        \left|I'_j\right|\,\right\Vert\umbruch\\
      \le&\,\underbrace{\left\Vert f(\xi_i)\cdot|I_i|
          -\sum\limits_{\{j\colon I'_j\subset I_i\}} f(\xi_i)\cdot
          \left|I'_j\right|\, \right\Vert}_{=0}
      +\sum\limits_{\{j\colon I'_j\subset I_i\}}
      \underbrace{\left\Vert f(\xi_i)
          -f\left(\xi'_j\right)\right\Vert}_{\le\osc f_i}\cdot
      \left|I'_j\right|\umbruch\\
      \le&\,\osc f_i\cdot|I_i|.
    \end{align*}
    Diese Absch\"atzungen f\"ur die einzelnen Intervalle $I_i$
    addieren wir nun und erhalten 
    \begin{align*}
      \Vert S(P,Z) -S(P',Z')\Vert =&\, \left\Vert
        \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\left|I_i\right|
        -\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{\{j\colon I'_j\subset
          I_i\}} f\left(\xi'_j\right)\cdot\left|I'_j\right|\,
      \right\Vert\umbruch\\
      \le&\,\sum\limits_{i=0}^{n-1} \left\Vert
        f(\xi_i)\cdot\left|I_i\right| -\sum\limits_{\{j\colon
          I'_j\subset I_i\}} f\left(\xi'_j\right) \cdot
        \left|I'_j\right|\,\right\Vert\umbruch\\
      \le&\,\sum\limits_{i=0}^{n-1}\osc f_i\cdot|I_i| =\sigma(f,P). 
    \end{align*}
  \item Sei $P^*=P\vee P'$ oder eine beliebige andere gemeinsame
    Verfeinerung von $P$ und $P'$ mit beliebigen Zwischenpunkten
    $Z^*$. Dann folgen $P\prec P^*$ und $P'\prec P^*$ und direkt nach
    der Dreiecksungleichung erhalten wir
    \begin{align*}
      &\,\Vert S(P,Z)-S(P',Z')\Vert\umbruch\\
      \le&\,\Vert S(P,Z)-S(P^*,Z^*)\Vert +\Vert
      S(P^*,Z^*)-S(P',Z')\Vert\umbruch\\ 
      \le&\,\sigma(f,P)+\sigma(f,P'). \qedhere
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}[Riemannsches Integrabilit\"atskriterium]
  \label{sigma klein lem}
  Sei $f\colon I=[a,b]\to E$ beschr\"ankt. Dann sind die folgenden
  beiden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{part aequiv i} $\fueralle\limits_{\epsilon>0}
    \existiert\limits_{P}\quad \sigma(f,P)<\epsilon\quad$ und
  \item\label{part aequiv ii} $\fueralle\limits_{\epsilon>0}
    \existiert\limits_{\delta>0}
    \fueralle\limits_P\quad\eta(P)<\delta\quad\impliziert\quad
    \sigma(f,P)<\epsilon$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item \glqq\eqref{part aequiv i}\impliziert \eqref{part aequiv
      ii}\grqq: Sei $\epsilon>0$ beliebig und $P$ eine Partition mit
    $\sigma(f,P)<\epsilon$. Wir nehmen an, dass $P$ gerade $\lambda$
    Teilpunkte besitzt und d\"urfen weiterhin ohne Einschr\"ankung
    annehmen, dass $\Vert f\Vert_{L^\infty}\neq0$ gilt. Wir
    w\"ahlen \[\delta:=\frac\epsilon{2\lambda\Vert
      f\Vert_{L^\infty}}.\] Sei nun $P'$ eine beliebige Partition von
    $I$ mit $\eta(P')<\delta$. Sei $P^*:=P\vee P'$. Dann besitzt $P^*$
    maximal $\lambda$ zus\"atzliche Teilpunkte gegen\"uber $P'$.  Es
    folgt
    \begin{align*}
      \sigma(f,P')\le&\,\sigma(f,P^*)+|\sigma(f,P')-\sigma(f,P^*)|\umbruch\\
      \le&\,\sigma(f,P) +2\lambda\Vert
      f\Vert_{L^\infty}\cdot\eta(P')\qquad
      \text{(nach Lemma \ref {verf sigma kleiner lem})}\umbruch\\
      \le&\,\epsilon+2\lambda\Vert
      f\Vert_{L^\infty}\cdot\delta=\epsilon+\epsilon=2\epsilon.
    \end{align*}
  \item \glqq\eqref{part aequiv ii}\impliziert \eqref{part aequiv
      i}\grqq: Ist klar. \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

Damit definieren wir uns nun die Menge der Riemann integrierbaren
Funktionen. 
\begin{definition}[Riemannsches Integral]
  Sei $I=[a,b]\subset\R$ kompakt und sei $E$ ein Banachraum.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine beschr\"ankte Funktion $f\colon I\to E$ hei\ss{}t
    \emph{Riemann integrabel} oder \emph{integrabel,} falls $f$ eine
    der Bedingungen aus Lemma \ref{sigma klein lem} erf\"ullt. \par
    Wir sagen dann, dass $f$ das \emph{Riemannsche
      Integrabilit\"atskriterium} erf\"ullt.
  \item Sei $f$ Riemann integrabel und $(P_k)_k$ eine Folge von
    Partitionen von $I$ mit Zwischenpunkten $(Z_k)_k$ und
    $\eta(P_k)\to0$ f\"ur $k\to\infty$. Dann definieren wir das
    \emph{(bestimmte) Riemannsche Integral} von $f$ \"uber $I$
    durch \[\int\limits_a^bf\equiv \int\limits_a^b f(x)\,dx \equiv
    \int\limits_I f :=\lim\limits_{k\to\infty} S(P_k,Z_k).\] (Der
    Zusatz \glqq bestimmt\grqq{} deutet dabei an, dass wir das
    Integrationsintervall $I$ festgelegt haben.)
  \end{enumerate}
\end{definition}

\datum{Do 08.05.2025}
\begin{theorem}
  Das Riemannsche Integral ist wohldefiniert.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\epsilon>0$. W\"ahle $\delta>0$, so dass f\"ur jede
    Partition $P$ mit $\eta(P)<\delta$ die Ungleichung
    $\sigma(f,P)<\epsilon$ folgt. Seien $P$ und $P'$ zwei Partitionen
    mit $\eta(P)<\delta$ und $\eta(P')<\delta$ sowie Zwischenpunkten
    $Z$ und $Z'$. Nach Lemma \ref{diff
      riem sum lem} folgt dann 
    \begin{equation}
      \label{SPZ absch}
      \Vert S(P,Z)-S(P',Z')\Vert
      \le\sigma(f,P) +\sigma(f,P')<2\epsilon.
    \end{equation}
  \item Sei $(P_k)_k$ eine beliebige Folge von Partitionen von $I$ mit
    $\eta(P_k)\to0$ f\"ur $k\to\infty$ und Zwischenpunkten $Z_k$. Dann
    erhalten wir aufgrund der obigen \"Uberlegungen f\"ur fast alle
    $k,\,l$ die Absch\"atzung $\Vert S(P_k,Z_k)
    -S(P_l,Z_l)\Vert<2\epsilon$. Somit ist $(S(P_k,Z_k))_k\subset E$
    eine Cauchyfolge und $\lim\limits_{k\to\infty} S(P_k,Z_k)$
    existiert. 
  \item Ein bekanntes Argument liefert, dass dieser Grenzwert nicht
    von der speziellen Wahl der Folge $(P_k)_k$ und ihren
    Zwischenpunkten $Z_k$, $k\in\N$, abh\"angt: Sei eine weitere Folge
    von Partitionen $(P'_k)_k$ und Zwischenpunkten $(Z'_k)_k$
    gegeben. Dann k\"onnen wir die obige Argumentation auch auf die
    Folge \[P_0,\,P'_0,\,P_1,\,P'_1,\,P_2,\,P'_2,\,\ldots\] und ihre
    zugeh\"origen Zwischenpunkte anwenden und erhalten eine
    Cauchyfolge mit Gliedern $S(P_k,Z_k)$ und $S(P'_k,Z'_k)$. Dies ist
    aber nur m\"oglich, wenn die Grenzwerte von $S(P_k,Z_k)$ und
    $S(P'_k,Z'_k)$ \"ubereinstimmen. Somit folgt die
    Behauptung. \qedhere 
  \end{enumerate}
\end{proof}

Wir halten gesondert fest, dass wir, durch Betrachtung einer Folge
$(P'_k,Z'_k)_k$, im Grenzwert $k\to\infty$ aus Gleichung \eqref{SPZ
  absch} das folgende Korollar erhalten.
\begin{corollary}
  \label{fein nahe int cor}
  F\"ur beliebiges $\epsilon>0$ gibt es ein $\delta>0$, so dass f\"ur
  alle Partitionen $P$ mit $\eta(P)<\delta$ und Zwischenpunkten $Z$
  die Ungleichung \[\left\Vert \int\limits_a^b
    f-S(P,Z)\right\Vert<\epsilon\] gilt.  
\end{corollary}

\Subsection{Integrationsregeln}
\datumcorona{Mo 18.05.2020}
\begin{proposition}
  Sei $f\colon I=[a,b]\to E$ Riemann integrabel und sei
  $[\alpha,\beta]\subset[a,b]$. Dann ist
  $f|_{[\alpha,\beta]}\colon [\alpha,\beta]\to E$ ebenfalls Riemann
  integrabel.
\end{proposition}
\weg{
\begin{proof}[Beweis]
  \stern Sei $\epsilon>0$ und sei $P$ eine Partition von $I$ mit
  $\sigma(f,P)<\epsilon$. Verfeinere $P$ so zu $P'$, dass auch
  $\alpha$ und $\beta$ Teilpunkte der Partition $P'$ sind. Wir
  erhalten $\sigma(f,P')\le\sigma(f,P)$. Sei schlie\ss{}lich $P''$ die
  Partition von $[\alpha,\beta]$, die genau die Teilpunkte aus $P'$
  als Teilpunkte besitzt, die zu $[\alpha,\beta]$ geh\"oren. Dann
  folgt $\sigma(f|_{[\alpha,\beta]},P'')\le\sigma(f,P')$ und wir
  erhalten die Behauptung.
\end{proof}
} % weg

\begin{proposition}
  \label{int additiv def ber prop}
  Sei $c\in[a,b]$.  Sei $f$ (oder genauer dessen Einschr\"ankung auf
  die entsprechenden Intervalle) \"uber $[a,c]$ und \"uber $[c,b]$
  integrierbar. Dann ist $f$ auch \"uber $[a,b]$ integrierbar und es
  gilt \[\int\limits_a^c f+\int\limits_c^bf=\int\limits_a^bf.\]
\end{proposition}
\weg{
\begin{proof}[Beweis]
  \stern \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $P$ und $P'$ Partitionen von $[a,c]$ bzw.{}
    $[c,b]$. Dann liefert die Vereinigung der Teilpunkte von $P$ und
    $P'$ eine Partition $P''$ von $[a,b]$ und es gilt
    \[\sigma(f,P'')=\sigma(f,P)+\sigma(f,P').\] Hieraus folgt, dass
    $f$ auch auf $[a,b]$ das Riemannsche Integrabilit\"atskriterium
    erf\"ullt. 
  \item Seien $Z$ und $Z'$ beliebige Zwischenpunkte der Partitionen
    $P$ bzw.{} $P'$ und $Z''=Z\cup Z'$. Wir erhalten \[S(P'',Z'')
    =S(P,Z) +S(P',Z').\] Betrachten wir immer feinere Partitionen und
    gehen zum Grenzwert \"uber, so erhalten wir daraus gerade die
    obige Behauptung f\"ur die bestimmten Integrale.
  \end{enumerate}
\end{proof}
} % weg

\weg{
\begin{definition}
  \stern Sei $f$ \"uber $[a,b]$ integrierbar, so definieren
  wir
  \[\int\limits_a^a f=0\quad\text{und}\quad \int\limits_b^a
    f=-\int\limits_a^b f.\]
\end{definition}
} % weg

\weg{
Mit Proposition \ref{int additiv def ber prop} erhalten wir daraus
\begin{proposition}
  \stern Sei $f\colon I=[a,b]\to E$ integrierbar. Seien $a_i\in I$,
  $1\le i\le n$ beliebig. Dann folgt
  \[\int\limits_{a_1}^{a_n}f =\sum\limits_{i=1}^{n-1}
    \int\limits_{a_i}^{a_{i+1}} f.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt per Induktion nach $n$. Details: \"Ubung. 
\end{proof}
} % weg

\begin{theorem}[Dreiecksungleichung]
  Sei $f\colon[a,b]\to E$ (Riemann) integrierbar. Dann ist auch $\Vert
  f\Vert\colon[a,b]\to\R$ (Riemann) integrierbar und es gilt
  \[\left\Vert\int\limits_a^b f\right\Vert \le\int\limits_a^b\Vert
  f\Vert.\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nach Dreiecksungleichung gilt f\"ur alle
    $x,\,y\in[a,b]$ \[|\Vert f(x)\Vert-\Vert f(y)\Vert|\le\Vert
    f(x)-f(y)\Vert\] Somit erhalten wir $\osc \Vert f_i\Vert\le\osc
    f_i$ f\"ur alle Intervalle $I_i\subset[a,b]$. Daher gilt auch
    $\sigma(\Vert f\Vert,P)\le \sigma(f,P)$ f\"ur beliebige
    Partitionen von $[a,b]$ und erhalten die Integrabilit\"at.
  \item Sei $\epsilon>0$. Da $f$ und $\Vert f\Vert$ integrabel sind,
    gibt es ein $\delta>0$, so dass f\"ur alle Partitionen $P$ von
    $[a,b]$ mit $\eta(P)<\delta$ und beliebigen Zwischenpunkten die
    Absch\"atzungen \[\left\Vert \int\limits_a^b
      f-S(f,P,Z)\right\Vert<\epsilon\quad\text{und}\quad \left|
      \int\limits_a^b \Vert f\Vert-S(\Vert
      f\Vert,P,Z)\right|<\epsilon\] gelten.\par Wir verwenden nun die
    \"ublichen Bezeichnungen. Aus \[S(\Vert f\Vert,P,Z)=|S(\Vert
    f\Vert,P,Z)|\] folgt im Limes $\left|\int\limits_a^b\Vert
      f\Vert\right| =\int\limits_a^b\Vert f\Vert$. Somit erhalten wir
    \begin{align*}
      \left\Vert\int\limits_a^b f\right\Vert \le&\,\left\Vert
        \int\limits_a^b f-S(f,P,Z)\right\Vert +\Vert
      S(f,P,Z)\Vert\umbruch\\
      \le&\,\epsilon+\left\Vert \sum\limits_{i=0}^{n-1}
        f(\xi_i)\cdot|I_i|\right\Vert \umbruch\\
      \le&\,\epsilon+\sum\limits_{i=0}^{n-1} \Vert f(\xi_i)\Vert
      \cdot|I_i|\umbruch\\ 
      =&\,\epsilon+S(\Vert f\Vert,P,Z) =\epsilon+|S(\Vert
      f\Vert,P,Z)|\umbruch\\
      \le&\,\epsilon+\left|S(\Vert f\Vert,P,Z) -\int\limits_a^b\Vert
        f\Vert \right| +\left|\int\limits_a^b\Vert
        f\Vert\right|\umbruch\\ 
      \le&\,2\epsilon+\int\limits_a^b\Vert f\Vert. 
    \end{align*}
    Mit $\epsilon\searrow0$ folgt die Behauptung.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proposition}[Monotonie des Integrals]
  Seien $f,\,g\colon[a,b]\to\R$ Riemann integrabel. Gilt $f\le g$, so
  folgt \[\int\limits_a^b f\le\int\limits_a^b g.\] Insbesondere
  gilt \[-(b-a)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty} \le\int\limits_a^b f
  \le(b-a)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty}.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Ungleichung $S(f,P,Z)\le S(g,P,Z)$ bleibt auch im
    Grenzwert erhalten. 
  \item Benutze $-\Vert f\Vert_{L^\infty}\le f\le\Vert
    f\Vert_{L^\infty}$ und $\int\limits_a^b c=(b-a)\cdot c$ f\"ur alle
    $c\in\R$.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Der erste Teil des folgenden Korollars wird auch als Mittelwertsatz
bezeichnet. (Dabei verwenden wir schon das erst in Proposition
\ref{prod riem int prop} gezeigte Resultat, dass das Produkt von
Riemann integrablen Funktionen wieder Riemann integrabel ist.)
\begin{corollary}[Mittelwertsatz]
  \label{inf sup int est cor}
  Sei $I=[a,b]$ und seien $f,\,g\colon I\to\R$ Riemann
  integrabel. Gelten $0\le g$ und $m\le f\le M$, so
  folgen \[m\int\limits_a^b g\le \int\limits_a^b fg \le
  M\int\limits_a^b g\qquad\text{und}\qquad m(b-a)\le\int\limits_a^b
  f\le M(b-a).\]
\end{corollary}

\begin{proposition}
  Sei $f\colon I=[a,b]\to\R^n$ mit $f=\left(f^i\right)_{1\le i\le n}$
  gegeben. Dann ist $f$ genau dann Riemann integrabel, wenn dies f\"ur
  die Komponentenfunktionen zutrifft und es gilt
    \[\int\limits_a^b f =\left(\int\limits_a^b f^i\right)_{1\le i\le
        n}.\]
\end{proposition}
\weg{
\stern Dieses Resultat gilt auch f\"ur Funktionen mit Werten in einem
Produktraum $\prod\limits_{i=1}^n E_i$ von Banachr\"aumen $E_i$,
$1\le i\le n$.
} % weg
\weg{
\begin{proof}[Beweis]
  \stern \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Beschr\"anktheit: Es ist klar, dass $f$ genau dann
    beschr\"ankt ist, wenn alle Komponenten $f^i$, $1\le i\le n$,
    beschr\"ankt sind. 
  \item Integrabilit\"at: Aus der
    Absch\"atzung \[\left|f^i(x)-f^i(y)\right| \le |f(x)-f(y)|
    \le\sum\limits_{i=1}^n \left|f^i(x)-f^i(y)\right|\] f\"ur alle
    $x,\,y\in I$ folgt \[\sigma\left(f^i,P\right) \le\sigma(f,P)
    \le\sum\limits_{i=1}^n \sigma\left(f^i,P\right)\] und daher die
    Behauptung \"uber die Integrabilit\"at.
  \item Wert des Integrals: Die Riemannsche Summe $S(f,P,Z)$ ist
    gleich dem Vektor, dessen Komponenten die Riemannschen Summen
    $S\left(f^i,P,Z\right)$ sind. Gehen wir nun zum Grenzwert \"uber
    und ber\"ucksichtigen, dass im $\R^n$ der Grenzwert einer Folge
    gleich dem Vektor ist, dessen Komponenten die Grenzwerte der
    Komponentenfolgen sind, so erhalten wir die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}
} % weg

\begin{proposition}
  Sei $E$ ein Banachraum \"uber dem K\"orper $\K$. Dann bilden die
  Riemann integrierbaren Funktionen $f\colon I=[a,b]\to E$ einen
  $\K$-Vektorraum: $R(I,E)$. Wir schreiben $R(I)\equiv R(I,\R)$. Es
  gelten f\"ur alle $f,\,g\in R(I,E)$ und alle $\lambda\in\K$
  \[\int\limits_a^b(f+g) =\int\limits_a^b f +\int\limits_a^b g
    \qquad\text{und}\qquad \int\limits_a^b \lambda f=\lambda
    \int\limits_a^b f.\] Dies bedeutet, dass das Integral mit
  $f\mapsto \int\limits_I f$ als Abbildung $R(I,E)\to E$ ein linearer
  Operator (= lineare Abbildung) ist.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $f,\,g\in R(I,E)$.  Die Beschr\"anktheit von $f+g$ bzw.{}
  $\lambda f$ ist klar.  Sei $J\subset I$
  beliebig. Aus \[\osc(f|_J+g|_J) \le\osc(f|_J) +\osc(g|_J)\] erhalten
  wir \[\sigma(f+g,P)\le\sigma(f,P) +\sigma(g,P)\] f\"ur beliebige
  Partitionen $P$ von $I$. Somit ist $f+g$ wieder Riemann
  integrabel. \par Der Rest des Beweises ist einfach: \"Ubung.
\end{proof}

\datumcorona{Mo 25.05.2020}
\datum{Mo 12.05.2025}
\begin{proposition}
  Seien $E,\,F$ Banachr\"aume. Sei $I=[a,b]$ und sei $f\in
  R(I,E)$. Sei $\phi\colon E\to F$ Lipschitzstetig auf $R(f)$. Dann
  gilt $\phi\circ f\in R(I,F)$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Beschr\"anktheit: Wegen $f\in R(I,E)$ ist $R(f)$ beschr\"ankt,
    \dh es gibt $x_0\in E$ und $r>0$ mit $f(I)\subset B_r(x_0)$. F\"ur
    beliebige $x\in B_r(x_0)$ folgt nun
    $\Vert \phi(x)-\phi(x_0)\Vert\le L\cdot\Vert x-x_0\Vert\le Lr$,
    wobei $L$ die Lipschitzkonstante von $\phi$ ist. Also ist
    $\phi\circ f(I)\subset B_{Lr}(\phi(x_0))$. Somit ist $\phi\circ f$
    beschr\"ankt.
  \item Integrierbarkeit: Sei $L$ die Lipschitzkonstante von $f$ auf
    $R(f)$. Dann folgt $\Vert\phi(x)-\phi(y)\Vert\le L\cdot\Vert
    x-y\Vert$ f\"ur alle $x,\,y\in R(f)$. Sei $J\subset I$
    beliebig. Wir erhalten dann $\osc(\phi\circ f|_J)\le
    L\cdot\osc(f|_J)$ und folgern, dass $\sigma(\phi\circ f,P)\le
    L\cdot\sigma(f,P)$ f\"ur alle Partitionen $P$ von $I$ gilt. Wir
    erhalten die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $I=[a,b]$. Ist $f\in R(I,E)$ und ist $p\in[1,\infty)$, so folgt
  $\Vert f\Vert^p\in R(I,\R)$. 
\end{corollary}

\begin{proposition}
  \label{prod riem int prop}
  Sei $I=[a,b]$ und seien $f,g\in R(I,\K)$, so folgen \[fg\in
  R(I,\K)\qquad\text{und}\qquad \frac fg\in R(I,\K),\quad\text{ falls
  }\inf\limits_I|g|>0.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Besch\"anktheit von $fg$ und $f/g$ ist jeweils klar. 
  \item Sei $J\subset I$ beliebig und seien $x,\,y\in J$. Dann folgt
    aus \[f(x)g(x)-f(y)g(y) =f(x)(g(x)-g(y)) +(f(x)-f(y))g(y)\] die
    Oszillationsabsch\"atzung \[\osc((fg)|_J) \le \Vert
    f\Vert_{L^\infty} \cdot\osc(g|_J) + \osc(f|_J)\cdot \Vert
    g\Vert_{L^\infty}.\] Somit ist $fg\in R(I,\K)$.
  \item Gehe analog vor. \"Ubung. \qedhere 
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{proposition}
  \label{dicht gleich int gleich prop}
  \stern Sei $I=[a,b]$ und seien $f,\,g\in R(I,E)$. Stimmen $f$ und
  $g$ auf einer dichten Teilmenge von $I$ \"uberein, so
  gilt \[\int\limits_a^b f =\int\limits_a^b g.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  W\"ahle in den approximierenden Riemannschen Summen die
  Zwischenpunkte aus der dichten Teilmenge, in der $f$ und $g$
  \"ubereinstimmen. 
\end{proof}
} % weg

\subsubsection*{Integration von Folgen und Reihen}

Das Riemannsche Integral verh\"alt sich unter gleichm\"a\ss{}iger
Konvergenz gutartig. Bei punktweiser Konvergenz werden wir im dritten
Semester sehen, dass sich das Lebesguesche Integral besser verh\"alt.
\begin{theorem}
  \label{glm konv riem thm}
  Sei $I=[a,b]$. Sei $(f_n)_n$ eine Folge von Riemann integrierbaren
  Funktionen $f_n\in R(I,E)$, die gleichm\"a\ss{}ig gegen eine
  Funktion $f\colon I\to E$ konvergieren. Dann gilt auch $f\in R(I,E)$
  und f\"ur das Integral erhalten wir \[\lim\limits_{n\to\infty}
  \int\limits_a^b f_n =\int\limits_a^b f.\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Beschr\"anktheit: Aus \[\Vert f(x)\Vert\le \Vert f_n(x)\Vert
    +\Vert f(x)-f_n(x)\Vert \le\Vert f_n\Vert_{L^\infty} +\Vert
    f-f_n\Vert_{L^\infty}\] folgt die Beschr\"anktheit von $f$.
  \item Integrabilit\"at: $f_n\rightrightarrows f$ ist \"aquivalent zu
    $\Vert f-f_n\Vert_{L^\infty}\to0$ f\"ur $n\to\infty$. Sei
    $A\subset I$ beliebig und seien $x,\,y\in A$. Sei $n\in\N$
    fest. Dann erhalten wir
    \begin{align*}
      \Vert f(x)-f(y)\Vert \le&\,\Vert f(x)-f_n(x)\Vert +\Vert
      f_n(x)-f_n(y)\Vert +\Vert f_n(y)-f(y)\Vert\umbruch\\
      \le&\,\Vert f-f_n\Vert_{L^\infty} +\osc(f_n|_A) +\Vert
      f_n-f\Vert_{L^\infty}
      \intertext{und somit}
      \osc(f|_A)\le&\,\osc(f_n|_A) +2\Vert f-f_n\Vert_{L^\infty}
      \intertext{sowie f\"ur eine beliebige Partition $P$ von $I$}
      \sigma(f,P)\le&\,\sigma(f_n,P)+2(b-a)\Vert
      f-f_n\Vert_{L^\infty}. 
    \end{align*}
    F\"ur festes $\epsilon>0$ w\"ahlen wir nun zun\"achst $n$ so
    gro\ss{}, dass $2(b-a)\Vert f-f_n\Vert_{L^\infty}<\epsilon$
    gilt. Nun w\"ahlen wir die Partition $P$ so, dass auch
    $\sigma(f_n,P)<\epsilon$ ist. Somit gibt es eine Partition $P$ von
    $I$ mit $\sigma(f,P)<2\epsilon$ und $f$ ist integrabel. 
  \item Wert des Integrals: Mit Dreiecksungleichung und der Monotonie
    des Integrals erhalten wir \[\left\Vert \int\limits_a^b
      f-\int\limits_a^b f_n\right\Vert_E \le\int\limits_a^b\Vert
    (f-f_n)(x)\Vert_E\,dx \le\int\limits_a^b\Vert
    f-f_n\Vert_{L^\infty} \le(b-a)\cdot\Vert f-f_n\Vert_{L^\infty}.\]
    Dies liefert die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern Der punktweise (sogar monotone) Grenzwert von Riemann
  integrablen Funktionen ist i.\,a.{} nicht Riemann integrierbar:
  Sei dazu $(x_i)_{i\in\N}$ eine Abz\"ahlung von $\Q\cap[0,1]$. Wir
  definieren \[f_n(x):=
    \begin{cases}
      1,&\text{falls }x=x_i\text{ f\"ur ein }i\le n,\\
      0,&\text{sonst}. 
    \end{cases}
  \]
  Es gilt $f_n(x)\in R([0,1],\R)$ f\"ur alle $n\in\N$ und
  $f_n\to\chi_{\Q\cap[0,1]}$ f\"ur $n\to\infty$, aber
  $\chi_{\Q\cap[0,1]}\not\in R([0,1],\R)$. 
\end{remark}
} % weg

\weg{
\begin{theorem}[Integration von Reihen] \stern 
  Sei $I=[a,b]$, sei $(f_n)_n$ eine Folge mit $f_n\in R(I,E)$,
  $n\in\N$. Konvergiere die Reihe $((f_n))_n$ in $I$ gleichm\"a\ss{}ig
  gegen $f$, gelte also insbesondere $f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty
  f_n(x)$. Dann gelten $f\in R(I,E)$ und \[\int\limits_a^b f
  =\sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_a^b f_n.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(s_n)_n$ die $n$-te Partialsumme der Folge. Da $R(I,E)$ ein
  Vektorraum ist, folgt $s_n\in R(I,E)$. Die Behauptung erhalten wir
  nun direkt aus Theorem \ref{glm konv riem thm}.
\end{proof}
} % weg

\Subsection{Monotone und stetige Funktionen}

Bisher wissen wir nur, dass konstante Funktionen Riemann integrierbar
sind. In diesem Kapitel werden wir sehen, dass auch alle monotonen
Funktionen und alle stetigen Funktionen Riemann integrierbar sind. 

\begin{proposition}
  Sei $I=[a,b]$. Sei $f\colon I\to E$ stetig, also $f\in
  C^0(I,E)$. Dann ist $f\in R(I,E)$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $I$ kompakt ist, ist $f$ auf $I$ gleichm\"a\ss{}ig stetig. Zu
  $\epsilon>0$ gibt es also ein $\delta>0$, so dass \[|x-y|<\delta
  \quad\impliziert\quad \Vert f(x)-f(y)\Vert<\epsilon\] f\"ur alle
  $x,y\in I$ gilt. Insbesondere gilt f\"ur alle Teilmengen $J\subset
  I$ mit $\diam J=\sup\limits_{x,\,y\in J}|x-y|<\delta$ die
  Absch\"atzung $\osc(f|_J)<\epsilon$. \par Sei nun $P$ eine beliebige
  Partition von $I$ mit $\eta(P)<\delta$. Dann erhalten
  wir \[\sigma(f,P)<\epsilon\cdot(b-a).\] 
  Die Beschr\"anktheit von $f$ ist klar.  Somit ist $f\in R(I,E)$.
\end{proof}

\begin{proposition}
  Sei $f\colon I=[a,b]\to\R$ monoton, so ist $f$ Riemann integrabel. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $f$ monoton
  w\"achst. Sei $J=[\alpha,\beta]\subset I$ ein beliebiges
  Teilintervall. Dann erhalten wir \[\osc(f|_J) =f(\beta)-f(\alpha).\]
  Wir zeigen nun das Riemannsche Integrabilit\"atskriterium mit Hilfe
  der \"aquidistanten Partition $P_n$, $n\in\N_{>0}$, von $I$, die
  durch $x_{i+1}-x_i=\frac{b-a}n$ f\"ur $0\le i\le n-1$
  charakterisiert ist. F\"ur die Partition $P_n$ bekommen wir eine
  Teleskopsumme und erhalten \[\sigma(f,P_n) =\frac{b-a}n
  \sum\limits_{i=0}^{n-1} (f(x_{i+1})-f(x_i)) =\frac{b-a}n
  (f(b)-f(a))\to0\] f\"ur $n\to\infty$.  Die Beschr\"anktheit von $f$
  ist aufgrund der Monotonie klar.  Somit ist $f\in R(I,\R)$.
\end{proof}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $A\subset X$ eine Menge. Dann ist $\chi_A\colon X\to\R$,
    die \emph{charakteristische Funktion} der Menge $A$ durch
    \[\chi_A(x)=
      \begin{cases}
        1,& x\in A,\\
        0,& x\not\in A
      \end{cases}
    \]
    definiert.
  \item Eine Funktion $f\colon I=[a,b]\to E$ hei\ss{}t
    \emph{Treppenfunktion,} falls es eine Partition
    $P=\{x_0,\,x_1,\,\ldots,\,x_n\}$ von $I$ gibt, so dass $f$ auf den
    Teilintervallen $I_i=[x_i,x_{i+1})$ konstant ist. Es gilt
    dann \[f=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_i\chi_{I_i}\] f\"ur geeignete
    $a_i\in E$, $0\le i\le n-1$, (au\ss{}er in $x_n$). Wir sprechen
    auch von einer Treppenfunktion, wenn die Werte in den Teilpunkten
    $x_i$ nicht zu dieser Definition passen.
  \item Eine Funktion $f\colon I=[a,b]\to E$ hei\ss{}t
    \emph{st\"uckweise stetig} bzw.{} \emph{st\"uckweise von der
      Klasse $C^m$,} $m\ge0$, falls eine Partition $P$ von $I$
    existiert, so dass $f$ bzw.{} alle Ableitungen von $f$ bis zur
    Ordnung $m$ auf allen Intervallen
    $\overset\circ{I_i}=(x_i,x_{i+1})$, $0\le i\le n-1$, 
    stetig sind und sich stetig auf jedes $\ol{I_i}$ fortsetzen
    lassen.
    \weg{
  \item \stern St\"uckweise affin lineare Funktionen, st\"uckweise
    quadratische Funktionen sowie st\"uckweise polynomiale Funktionen
    und st\"uckweise konstante Funktionen (= Treppenfunktionen) sind
    analog definiert.
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{definition}


\begin{proposition}
  St\"uckweise stetige Funktionen und daher auch
  Treppenfunktionen sind Riemann integrabel.
\end{proposition}
\weg{
\begin{proof}[Beweis]
  \stern Benutze, dass die Einschr\"ankungen auf die Intervalle $I_i$
  zu einer geeigneten Partition stetig und daher auch Riemann
  integrabel sind. Nach Proposition \ref{int additiv def ber prop}
  sind die Funktionen damit auch auf dem gesamten Definitionsbereich
  Riemann integrabel.
\end{proof}
} % weg

\Subsection{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}
\datum{Do 15.05.2025}

F\"ur das Integral gilt das folgende Resultat, das gelegentlich auch
als Mittelwertsatz bezeichnet wird. 
\begin{proposition}[Mittelwertsatz]
  Sei $I=[a,b]$ und sei $f\in C^0(I)$. Dann gibt es ein $\xi\in I$
  mit \[\int\limits_a^b f =f(\xi)(b-a).\] 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Korollar \ref{inf sup int est cor} erhalten wir $(b-a)\inf
  f\le\int f\le (b-a)\sup f$. Jede Zahl in diesem Bereich l\"asst sich
  aber aufgrund des Zwischenwertsatzes f\"ur stetige Funktionen in der
  Form $f(\xi)\cdot(b-a)$ schreiben. 
\end{proof}

F\"ur vektorwertige Funktionen erhalten wir ebenfalls eine Variante
des Mittelwertsatzes.
\begin{proposition}[Mittelwertsatz]
  Sei $I=[a,b]$ und sei $f\in R(I,E)$, so gilt \[\left\Vert
    \int\limits_a^b f\right\Vert \le\sup\limits_{x\in I} \Vert
  f(x)\Vert\cdot (b-a) \equiv\Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot(b-a).\]   
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Dreiecksungleichung gilt \[\left\Vert \int\limits_a^b
    f\right\Vert \le \int\limits_a^b\Vert f\Vert \le
  \int\limits_a^b\Vert f\Vert_{L^\infty} =\Vert
  f\Vert_{L^\infty}\cdot(b-a)\] wie behauptet. 
\end{proof}

\datumcorona{Do 28.05.2020}
\begin{proposition}
  \label{int ob gr lip prop}
  Sei $I=[a,b]$ und sei $f\in R(I,E)$. Dann definieren wir eine
  Abbildung
  \[F\colon I\to E\qquad\text{durch}\qquad
  x\mapsto\int\limits_a^xf.\] Die Abbildung $F$ ist Lipschitzstetig
  mit Lipschitzkonstante $\le\Vert f\Vert_{L^\infty}$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $x,\,y\in I$ und gelte ohne Einschr\"ankung $x<y$. Dann
  erhalten wir \[\Vert F(y)-F(x)\Vert =\left\Vert \int\limits_a^y
    f-\int\limits_a^x f\right\Vert =\left\Vert \int\limits_x^y
    f\right\Vert \le\int\limits_x^y \Vert f\Vert \le\Vert
  f\Vert_{L^\infty}\cdot |y-x|\] wie behauptet. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
  Sei $I=[a,b]$ und sei $f\in C^0(I,E)$. Dann ist die Funktion $F$ aus
  Proposition \ref{int ob gr lip prop} in $(a,b)$ (stetig)
  differenzierbar und es gilt dort $F'=f$. 
\end{theorem}
Grundidee des Beweises ist, dass $\int\limits_{x_0}^{x_0+\epsilon}
f\approx f(x_0)\cdot\epsilon$ gilt. 
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $x,\,x_0\in (a,b)$. Dann folgt \[\Vert
  F(x)-F(x_0)-f(x_0)\cdot(x-x_0)\Vert =\left\Vert\,\int\limits_{x_0}^x
    (f-f(x_0))\right\Vert \le\sup\limits_{\xi\in[x_0,x]} \Vert
  f(\xi)-f(x_0)\Vert\cdot|x-x_0|.\] Wenn wir nun durch $|x-x_0|$
  dividieren, konvergiert die rechte Seite f\"ur $x\to x_0$ aufgrund
  der Stetigkeit von $f$ immer noch gegen Null. Dies besagt aber nach
  Definition der Differenzierbarkeit gerade, dass $F$ an der Stelle
  $x_0$ differenzierbar ist und die Ableitung $f(x_0)$ ist. Die
  Stetigkeit der Ableitung folgt aus der Stetigkeit von $f$.
\end{proof}

\begin{corollary}
  \label{hauptsatz diff int cor}
  Sei $\Omega\subset\R$ ein offenes Intervall. Sei $f\in
  C^1(\Omega,E)$. Dann gilt \[f(x)=f(x_0)+\int\limits_{x_0}^x
  f'(t)\,dt\] f\"ur alle $x,\,x_0\in\Omega$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\Omega$ fest. Betrachte beide Seiten als Funktionen von
  $x$.  Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  stimmen die Ableitungen der rechten und der linken Seite nach $x$ in
  $\Omega$ \"uberein. Somit ist die Differenz nach Korollar \ref{abl
    null fkt konst cor} eine Konstante in $E$. F\"ur $x=x_0$ gilt
  Gleichheit, somit ist die Konstante $0\in E$ und die Behauptung
  folgt. 
\end{proof}

Aus Korollar \ref{hauptsatz diff int cor} erhalten wir das folgende
h\"aufig verwendete Resultat.
\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R$ ein offenes Intervall. Sei $f\in
  C^1(\Omega,E)$. Dann gilt \[f(x)-f(x_0) =\int\limits_0^1 \frac d{dt}
  f(tx+(1-t)x_0)\,dt =\int\limits_0^1 Df(tx+(1-t)x_0)\langle
  x-x_0\rangle\,dt\] f\"ur alle $x,x_0\in\Omega$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren $\phi(t):=f(tx+(1-t)x_0)$ und erhalten aufgrund der
  Kettenregel $\phi'(t) =Df(tx+(1-t)x_0)\langle x-x_0\rangle$. Das
  Resultat folgt nun aus Korollar \ref{hauptsatz diff int cor}. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R$ eine offenes Intervall. 
  Sei $f\colon \Omega\to E$ stetig. Eine Funktion $F\colon \Omega\to
  E$ mit $F'=f$ hei\ss{}t \emph{Stammfunktion} von $f$. 
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $f$ stetig, so definiert $F(x)=\int\limits_{x_0}^x f$ eine
    Stammfunktion von $f$.
    \weg{
  \item\stern Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ und $c\in E$, so ist
    auch $x\mapsto F(x)+c$ eine Stammfunktion von $f$.
  \item\stern Seien $F$ und $G$ zwei Stammfunktionen von $f$. Dann
    stimmen $F$ und $G$ bis auf eine additive Konstante \"uberein.
    \begin{proof}[Beweis]
      Es gilt $F'=G'$. Somit folgt die Behauptung aus Korollar
      \ref{abl null fkt konst cor}. 
    \end{proof}
    } % weg 
  \item Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann folgt nach Korollar
    \ref{hauptsatz diff int cor} f\"ur beliebige
    $x_1,\,x_2\in(a,b)$
    \[\int\limits_{x_1}^{x_2}f =F(x_2)-F(x_1) \equiv
      \left.F\right|_{x_1}^{x_2}.\]
    \weg{
  \item\stern Als \emph{unbestimmtes Integral} $\int f$ bezeichnen wir
    die Menge aller Stammfunktionen von $f$.
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{remark}

Als Vorbereitung auf das folgende Kapitel halten wir noch einen Satz
\"uber die Ableitung des Integrals in dem Fall, dass die obere
Integrationsgrenze variabel ist, fest.
\begin{proposition}
  \label{diff int obere grenze prop}
  Sei $I=[a,b]$ und sei $f\in C^0(I,E)$. Sei $\Omega\subset\R$ offen
  und sei $\phi\in C^1(\Omega,\R)$ mit $\im\phi\subset(a,b)$. Dann ist
  die Funktion \[G(x):=\int\limits_a^{\phi(x)} f(t)\,dt\] in $\Omega$
  (stetig) differenzierbar und es gilt f\"ur $x_0\in\Omega$ \[G'(x_0)
  =f(\phi(x_0))\cdot\phi'(x_0).\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  In der Notation des Beweises des Hauptsatzes der Differential- und
  Integralrechnung gilt $G(x)=F(\phi(x))$. Daher folgt die Behauptung
  aus der Kettenregel. \par Die Stetigkeit der Ableitung ist wieder
  klar.
\end{proof}

\Subsection{Integrals\"atze und Transformationsregeln}
\neueZeilealt
Die partielle Integration ist eine integrierte Version der
Produktregel. 
\begin{theorem}[Partielle Integration]
  Sei $I=[a,b]$ und seien $f,\,g\in C^1(I,\K)$. Dann
  gilt \[\int\limits_{x_0}^x f'g =\left.(fg)\right|_{x_0}^x
  -\int\limits_{x_0}^x fg'\] f\"ur alle $x,\,x_0\in I$.
\end{theorem}
\weg{
  \stern Eine der beiden Funktionen kann auch banachraumwertig sein.
  } % weg
\begin{proof}[Beweis]
  In $(a,b)$ gilt aufgrund der Produktregel $(fg)'=f'g+fg'$. Wir
  nehmen zun\"achst an, dass $x,\,x_0\in(a,b)$ gelten. Wir integrieren
  dies $\int\limits_{x_0}^x$ und benutzen $\int\limits_{x_0}^x(fg)'
  =\left.(fg)\right|_{x_0}^x$. Somit folgt die Behauptung in diesem
  Fall. Durch Grenz\"ubergang erhalten wir aufgrund der Stetigkeit
  aller Summanden die Behauptung auch f\"ur beliebige $x,\,x_0\in I$.
\end{proof}

\weg{
\begin{beispiele}
  \stern % \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur $a,\,b>0$ folgt mit $f'(t)=t$ und $g(t)=\log t$
    \begin{align*}
      \int\limits_a^b t\log t\,dt =&\,\left.\frac12 t^2\log
        t\right|_a^b -\int\limits_a^b \frac12 t^2\frac1t\,dt\\\umbruch
      =&\,\left.\left(\frac12 t^2\log t-\frac14t^2\right)\right|_a^b. 
    \end{align*}
  \item F\"ur $a,\,b\in\R$ folgt mit $f'(t)=\sin t$ und $g(t)=t$
    \begin{align*}
      \int\limits_a^b t\sin t\,dt =&\,\left.t(-\cos t)\right|_a^b
      -\int\limits_a^b 1\cdot(-\cos t)\,dt\umbruch\\
      =&\,\left.\left(-t\cos t+\sin t\right)\right|_a^b.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{beispiele}
} % weg

\begin{theorem}[Transformationsformel]
  Seien $I=[a,b]$, $J=[\alpha,\beta]$, $\phi\in C^1(J)$ mit
  $\phi(J)\subset I$, $a=\phi(\alpha)$ und $b=\phi(\beta)$. Sei $f\in
  C^0(I,E)$, so gilt \[\int\limits_a^b f(x)\,dx
  =\int\limits_\alpha^\beta f\circ\phi(t)\phi'(t)\,dt.\]
\end{theorem}
Die Transformationsformel ist letztlich eine integrierte Form der
Kettenregel. 
\begin{proof}[Beweis]
  Wir betrachten beide Seiten als Funktion der oberen Grenze $\beta$,
  also insbesondere auch $b=\phi(\beta)$, benutzen $\gamma$ statt
  $\beta$ und $c=\phi(\gamma)$ statt $b$, da die obere Grenze nun
  variabel sein soll und erhalten mit Proposition \ref{diff int obere
    grenze prop}
  \begin{align*}
    \frac d{d\gamma} \int\limits_a^c f(x)\,dx
    =&\, \frac d{dc}
       \int\limits_a^c f(x)\,dx\cdot \frac {d\phi(\gamma)}{d\gamma}
       =f(c)\phi'(\gamma) \intertext{und andererseits} \frac d{d\gamma}
       \int\limits_\alpha^\gamma 
       f\circ\phi(t)\phi'(t)\,dt
       =&\,f\circ\phi(\gamma)\phi'(\gamma).
  \end{align*}
  Daher stimmen die Ableitungen beider Seiten \"uberein.\par
  F\"ur $\gamma=\alpha$ sind beide Seiten Null. Somit folgt die
  Behauptung.
\end{proof}

\weg{
\begin{beispiel}
  \stern 
  Seien $f(t)=e^{-t}$ und $\phi(x)=x^2$. Mit der Transformationsformel
  k\"onnen wir nun das folgende in der Stochastik wichtige Integral
  bestimmen. Sei $a>0$. Es gilt
  \begin{align*}
    \int\limits_0^a e^{-x^2}x\,dx =&\,\frac12 \int\limits_0^a
    f(\phi(x))\phi'(x)\,dx =\frac12 \int\limits_{\phi(0)}^{\phi(a)}
    e^{-t}\,dt\umbruch\\ =&\,\frac12 \int\limits_0^{a^2} e^{-t}\,dt
    =\left.-\frac12e^{-t}\right|_0^{a^2}
    =\frac12\left(1-e^{-a^2}\right).
  \end{align*}
\end{beispiel}
} % weg

\weg{
\Subsection{Integration rationaler Funktionen \stern} Wir wollen in
diesem Abschnitt lernen, wie man eine echt rationale reelle Funktion
$h=f/g$, die als komplexe Partialbruchzerlegung durch \[h(z)
=\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^{m_i}
\frac{c_{ij}}{(z-\zeta_i)^j}\] gegeben ist, integriert.

Zur Vorbereitung zeigen wir
\begin{lemma}
  Sei $f\in P(\C)$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Sei $\zeta$
  eine Nullstelle von $f$. Dann ist auch $\bar\zeta$ eine Nullstelle
  von $f$ und die Vielfachheiten der Nullstelle von $\zeta$ und
  $\bar\zeta$ stimmen \"uberein. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da $f$ reelle Koeffizienten hat, folgt $\ol{f(z)}=f(\ol z)$
    f\"ur alle $z\in\C$. Insbesondere folgt aus $f(\zeta)=0$ also auch
    $f\left(\ol\zeta\right)=0$.
  \item Sei $\zeta$ eine nicht reelle Nullstelle von $f$. Wir k\"onnen
    $f$ mittels Polynomdivision als
    $f(z)=(z-\zeta)\left(z-\ol\zeta\right)g(z)$ mit einem Polynom $g$
    schreiben. Da
    $(z-\zeta)\left(z-\ol\zeta\right)=z^2-\left(\zeta+\ol\zeta\right)z
    -\zeta\ol\zeta$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten ist, ist
    auch $g$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Somit folgt die
    Aussage \"uber die Vielfachheit der Nullstellen per
    Induktion. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Da die Nenner in der Partialbruchzerlegung gerade von den Nullstellen
von $g$ in $h=f/g$ herkommen, k\"onnen wir die Partialbruchzerlegung
auch in der Form 
\begin{equation}
  \label{partial bruch zwei eq}
  h(z)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{m_i}
  \frac{a_{ij}}{(z-\xi_i)^j} +\sum\limits_{i=1}^{n'}
  \sum\limits_{j=1}^{m'_i} \left(\frac{b_{ij}}{(z-\zeta_i)^j}
    +\frac{c_{ij}}{\left(z-\ol\zeta_i\right)^j}\right)
\end{equation}
schreiben, wobei $\xi_i$ die reellen Nullstellen von $g$ und
$\zeta,\,\ol\zeta_i$ die komplexen, nicht reellen Nullstellen von $g$
sind.

\begin{lemma}
  Sei $h=f/g$ eine rationale Funktion mit reellen Koeffizienten. Dann
  gelten in der Partialbruchzerlegung in der Form \eqref{partial bruch
    zwei eq} die Aussagen $a_{ij}\in\R$ und $\bar b_{ij}=c_{ij}$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus \eqref{partial bruch zwei eq} und da die Koeffizienten reell
  sind, erhalten wir \[h(\bar z) =\ol{h(z)} =\sum\limits_{i=1}^n
  \sum\limits_{j=1}^{m_i} \frac{\bar a_{ij}}{(\bar z-\xi_i)^j}
  +\sum\limits_{i=1}^{n'} \sum\limits_{j=1}^{m'_i} \left(\frac{\bar
      b_{ij}}{\left(\bar z-\bar\zeta_i\right)^j} +\frac{\bar
      c_{ij}}{\left(\bar z-\zeta_i\right)^j}\right).\]
  Dies gilt f\"ur beliebige $z\in\C$, also insbesondere auch f\"ur $z$
  statt $\bar z$. Wir vergleichen das Ergebnis mit \eqref{partial
    bruch zwei eq} und erhalten durch Koeffizientenvergleich aufgrund
  der Eindeutigkeit der Partialbruchzerlegung die Behauptung. 
\end{proof}

F\"ur den rein reellen Anteil mit $a_{ij}$ in \eqref{partial bruch
  zwei eq} k\"onnen wir eine reelle Stammfunktion mit $\log|z-\xi_i|$
im Falle $j=1$ und als rationale Funktion f\"ur $j>1$ direkt angeben.
Daher gen\"ugt es, im Falle \[f(x)=\frac b{(x-\zeta)^m} +\frac{\bar
  b}{\left(x-\ol\zeta\right)^m},\quad m\ge1,\] eine reelle
Stammfunktion anzugeben. 

Diese kann man mit Fallunterscheidung direkt angeben: 
\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $m\ge 2$. Wir geben eine Stammfunktion $F$ in zwei
    verschiedenen Formen an. An der ersten Form liest man direkt ab,
    dass es sich um eine Stammfunktion handelt, an der zweiten sieht
    man, dass die Funktion reell ist. 
    \begin{align*}
      F(x)=&\,-\frac1{m-1}\left(\frac b{(x-\zeta)^{m-1}} +\frac{\bar
          b}{\left(x-\bar\zeta\right)^{m-1}}\right)\umbruch\\
      =&\,-\frac1{m-1}\frac{b\left(x-\bar\zeta\right)^{m-1} +\bar
        b(x-\zeta)^{m-1}}{\left(x^2-x\left(\zeta+\bar\zeta\right)
          +|\zeta|^2\right)^{m-1}}.
    \end{align*}
  \item Ist $m=1$, so k\"onnen wir die Funktion $f$ in der Form \[f(x)
    =\frac{b\left(x-\bar\zeta\right)+\bar b(x-\zeta)}{x^2
      -x\left(\zeta+\bar\zeta\right) +|\zeta|^2} \equiv\frac{\alpha
      x+\beta}{x^2+px+q}\] mit $\alpha,\,\beta,\,p,\,q\in\R$
    darstellen. Der Nenner besitzt nach Voraussetzung keine reelle
    Nullstelle und ist daher \"uberall strikt
    positiv. Wegen \[x^2+px+q =\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac
      p2\right)^2 +q\equiv \left(x+\frac p2\right)^2-D\] ist dies nur
    f\"ur $D<0$ m\"oglich.
  \item Es gilt \[\frac d{dx} \left(\frac1{\sqrt{-D}}
      \arctan\frac{x+\frac p2}{\sqrt{-D}}\right) =\frac1{x^2+px+q}.\]
    Dies rechnet man direkt unter Benutzung von $\arctan'x
    =\frac1{1+x^2}$ nach.
  \item Es gilt \[\frac d{dx} \frac12\log\left(x^2+px+q\right)
          =\frac {x+\frac p2}{x^2+px+q}.\]
    Auch dies rechnet man direkt nach. 
  \item Aus diesen Ausdr\"ucken l\"asst sich nun stets eine reelle
    Stammfunktion zusammensetzen. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\weg{
\Subsection{Lebesguesches Integrabilit\"atskriterium \stern}
\neueZeilealt Wir wollen in diesem Abschnitt zeigen, dass eine
beschr\"ankte Funktion genau dann Riemann integrabel ist, wenn sie
au\ss{}erhalb einer Nullmenge stetig ist.

\begin{definition}[Nullmenge]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Menge $M\subset\R$ hei\ss{}t \emph{(Lebesguesche)
      Nullmenge,} falls es zu jedem $\epsilon>0$ eine h\"ochstens
    abz\"ahlbare \"Uberdeckung $(I_i)_{i\in A}$ von $M$ durch offene
    Intervalle mit \[\sum\limits_{i\in A}|I_i|<\epsilon\] gibt. 
  \item Eine Aussage $p=p(x)$ gilt \emph{fast \"uberall} (f.\,\"u.) in
    $M\subset\R$, falls die Menge $\{x\in M\colon p(x) \text{ gilt
      nicht}\}$ eine Nullmenge ist. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir haben nicht gefordert, dass die Intervalle $I_i$ paarweise
    disjunkt sind. 
  \item Jede h\"ochstens abz\"ahlbare Teilmenge von $\R$ ist eine
    Nullmenge.
  \item Jede Teilmenge einer Nullmenge ist selber wieder eine
    Nullmenge.
  \item Die h\"ochstens abz\"ahlbare Vereinigung von Nullmengen ist
    wieder eine Nullmenge. (Benutze ein $2^{-i}\epsilon$-Argument.)
  \item Eine kompakte Menge $K\subset\R$ ist genau dann eine
    Nullmenge, wenn es zu jedem $\epsilon>0$ eine endliche
    \"Uberdeckung $(I_i)_{1\le i\le n}$ mit offenen Intervallen
    und \[\sum\limits_{i=1}^n |I_i|<\epsilon\] gibt. 
  \item Eine \"aquivalente Definition einer Nullmenge erhalten wir,
    wenn wir statt offenen Intervallen in der \"Uberdeckung beliebige
    Intervalle zulassen. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Einfache \"Ubung. 
\end{proof}

F\"ur dieses Kapitel f\"uhren wir eine ad hoc Definition ein. 
\begin{definition}
  Seien $E,\,F$ metrische R\"aume. Sei $f\colon E\to F$ eine
  Abbildung.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir definieren die \emph{Oszillation} von $f$ durch
    \[\osc f:=\sup\limits_{x,\,y\in E}d(f(x),f(y)).\]
  \item Ist $A\subset E$, so definieren wir die Oszillation von $f$ in
    $A$ durch \[\osc(f,A):=\osc(f|_A).\]
  \item Ist $x\in E$, so definieren wir die Oszillation von $f$ in $x$
    durch \[\osc(f,x):=\lim\limits_{r\downarrow0}\osc(f,B_r(x)).\] (Da
    $r\mapsto\osc(f,B_r(x))$ monoton wachsend ist, existiert der
    Grenzwert, ist aber m\"oglicherweise gleich $+\infty$.)
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Seien $E,\,F$ metrische R\"aume und $f\colon E\to F$ eine
  Abbildung. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $f$ genau dann in $x\in E$ stetig, wenn $\osc(f,x)=0$
    gilt. 
  \item Mit $\Sigma(f)$ bezeichnen wir die Menge der
    Unstetigkeitspunkte von $f$. Weiterhin definieren wir
    $\Sigma_\epsilon(f):=\{x\in E\colon\osc(f,x)\ge\epsilon\}$. Dann
    gilt \[\Sigma(f) =\bigcup\limits_{m=1}^\infty \Sigma_{\frac
      1m}(f).\]
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Sei $f\colon E\to F$ eine Abbildung zwischen metrischen
  R\"aumen. Sei $\epsilon>0$. Dann ist die Menge $\Sigma_\epsilon(f)$
  abgeschlossen.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Gelte $\Sigma_\epsilon(f)\ni x_i\to x_0$ f\"ur $i\to\infty$. Sei
  $r>0$ beliebig. Es gen\"ugt der Nachweis, dass es $a,\,b\in
  B_r(x_0)$ mit $d(f(a),f(b))\ge\epsilon$ gibt. Sei dazu $x_{i_0}\in
  B_{r/2}(x_0)$. Dann gibt es nach Voraussetzung $a,\,b\in
  B_{r/2}(x_{i_0})$ mit $d(f(a),f(b))\ge\epsilon$. Nach
  Dreiecksungleichung gilt $a,\,b\in B_r(x_0)$ und die Behauptung
  folgt.
\end{proof}

Das Hauptergebnis dieses Kapitels ist
\begin{theorem}
  \label{riem int char thm}
  Sei $f\colon I=[a,b]\to E$ beschr\"ankt. Dann ist $f$ genau dann
  Riemann integrabel, wenn $f$ fast \"uberall stetig ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item[\Hinrichtung] Sei $f\in R(I,E)$. Es gen\"ugt der Nachweis,
    dass f\"ur jedes $m\in\N_{>0}$ die Menge $\Sigma_{\frac1m}(f)$
    eine Nullmenge ist, denn dann ist auch $\Sigma(f)=
    \bigcup\limits_{i=1}^\infty \Sigma_{\frac1m}(f)$ eine Nullmenge.
    \par Sei $\epsilon>0$ beliebig und $m\in\N_{>0}$ fest. Wir wollen
    zeigen, dass sich die Menge $\Sigma_{\frac1m}(f)$ durch Intervalle
    mit aufsummierter L\"ange $<\epsilon$ \"uberdecken l\"asst. \par
    Da $f$ Riemann integrierbar ist, gibt es eine Partition
    $P=\{x_0,\,\ldots,\,x_n\}$ von $I$, so
    dass \[\sigma(f,P)<\frac\epsilon{2m}\] gilt. Wir definieren
    $\Lambda\subset\{0,\,1,\,\ldots,\,n-1\}$ als die Menge der Indices
    $i$, so dass $\Sigma_{\frac1m}(f)\cap\overset\circ
    I_i\neq\emptyset$ gilt. Dann erhalten wir \[\Sigma_{\frac1m}(f)
    \subset\bigcup\limits_{i\in\Lambda}
    I_i\cup\bigcup\limits_{i=0}^n\{x_i\}.\] Wir m\"ussen nun
    insbesondere die Gesamtl\"ange der Intervalle in der ersten
    Vereinigung absch\"atzen. Sei dazu $i\in\Lambda$ und
    $\xi\in\Sigma_{\frac1m}(f)\cap\overset\circ I_i$. Dann gibt es
    eine Kugel/ein Intervall $B_\delta(\xi)$ mit $B_\delta(\xi)\subset
    \overset\circ I_i$. Es folgt nach Definition und Monotonie der
    Oszillation im Definitionsbereich \[\tfrac1m \le\osc(f,\xi)
    \le\osc(f,B_\delta(\xi))\le\osc(f,I_i)\equiv\osc(f_i).\] Wir
    summieren \"uber alle $i\in\Lambda$ und erhalten
    aus \[\frac1m\sum\limits_{i\in\Lambda} |I_i|
    \le\sum\limits_{i\in\Lambda} \osc(f_i)\cdot|I_i| \le\sigma(f,P)
    <\frac\epsilon{2m}\] die Absch\"atzung \[\sum\limits_{i\in\Lambda}
    |I_i| <\frac\epsilon2.\] Die endlich vielen Zwischenpunkte aus der
    Partition $P$ \"uberdecken wir mit Intervallen $J_i$, $0\le i\le
    n-1$, mit $x_i\in J_i$ der aufsummierten Gesamtl\"ange
    $<\frac\epsilon2$. Insgesamt erhalten wir also
    \[\Sigma_{\frac1m}(f)\subset\bigcup\limits_{i\in\Lambda} I_i\cup
    \bigcup\limits_{i=0}^n J_i \quad\text{und}\quad
    \sum\limits_{i\in\Lambda} |I_i|
    +\sum\limits_{i=0}^n|J_i|<\epsilon.\] 
  \item[\Rueckrichtung] Sei umgekehrt $\Sigma(f)$ eine Nullmenge. Sei
    $\epsilon>0$ beliebig und sei $(J_k)_{k\in\Lambda}$ eine
    h\"ochstens abz\"ahlbare \"Uberdeckung von $\Sigma(f)$ durch
    offene Intervalle $J_k$ mit $\sum\limits_{k\in\Lambda}
    |J_k|<\epsilon$. \par Zu jedem Punkt $\xi\in I\setminus\Sigma(f)$
    gibt es ein $\delta>0$, so dass \[\osc\big(f,\ol{B_\delta(\xi)\cap
      I}\big) \equiv \osc\big(f,\ol{B(\xi)}\big)<\epsilon\] gilt. Die
    Mengen $(J_k)_{k\in\Lambda}$ und $(B(\xi))_{\xi\in
      I\setminus\Sigma(f)}$ bilden zusammen eine offene \"Uberdeckung
    von $I$. Da $I$ kompakt ist, besitzt diese \"Uberdeckung eine
    endliche Teil\"uberdeckung, \[I\subset
    \bigcup\limits_{k\in\Lambda'} J_k\cup\bigcup\limits_{j=1}^N
    B(\xi_j).\] Wir betrachten nun die Partition $P$, deren Teilpunkte
    alle Endpunkte der obigen Intervalle sowie $a$ und $b$ sind. Dann
    liegt jedes Teilintervall $I_i$, $0\le i\le n-1$, in einem $\bar
    J_k$ mit $k\in\Lambda'$ oder in einem $\ol{B(\xi_j)\cap I}$, $1\le
    j\le N$. Wir definieren $\Lambda_1$ und $\Lambda_2$ als eine
    Zerlegung von $\{0,\,\ldots,\,n-1\}$, so dass f\"ur die Intervalle
    $I_i$ mit $i\in\Lambda_1$ stets $I_i\subset \bar J_k$ f\"ur ein
    $k\in\Lambda'$ und f\"ur $i\in\Lambda_2$ stets $I_i\subset
    \ol{B(\xi_j)\cap I}$ f\"ur ein $1\le j\le N$ gelten. Wir erhalten
    also die Absch\"atzung
    \begin{align*}
      \sigma(f,P) =&\,\sum\limits_{i=0}^{n-1} \osc f_i\cdot|I_i|
      =\sum\limits_{i\in\Lambda_1}\osc f_i\cdot|I_i|
      +\sum\limits_{i\in\Lambda_2}\osc f_i\cdot|I_i|\umbruch\\
      \le&\,2\cdot \Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot\epsilon
      +\epsilon\cdot|I|
      =(2\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty} +(b-a))\cdot\epsilon.
    \end{align*}
    Da $\epsilon>0$ beliebig war, folgt die
    Riemann-Integrierbarkeit. \qedhere 
  \end{itemize}
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{komp leb null dicht lem}
  Sei $I\subset\R$ ein Intervall mit nichtleerem Inneren und sei
  $A\subset I$ eine Lebesgue-Nullmenge. Dann liegt $I\setminus A$
  dicht in $I$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls nicht, so gibt es $x\in I$ und $\epsilon>0$ mit
  $B_\epsilon(x)\subset I$ und $B_\epsilon(x)\cap(I\setminus
  A)=\emptyset$. Also folgt $B_\epsilon(x)\subset A$. Dies ist bei
  einer Nullmenge $A$ nat\"urlich nicht m\"oglich. Formal f\"uhren wir
  dies wie folgt zu einem Widerspruch. Die Menge
  $K:=\ol{B_{\epsilon/2}(x)}$ ist kompakt. In einer \"Uberdeckung von
  $A$ durch h\"ochstens abz\"ahlbar viele offene Intervalle mit einer
  aufsummierten Gesamtl\"ange $<\delta$ gibt es also endlich viele,
  $I_i$, $1\le i\le n$, die bereits $K$ \"uberdecken. Wir
  erhalten \[\epsilon=|K|\le\sum\limits_{i=1}^n |I_i|<\delta,\] wobei
  man \glqq$\le$\grqq{} in der obigen Ungleichung durch sukzessives
  Verschieben der Intervalle, so dass sie direkt aneinander
  ansto\ss{}end liegen, zeigt. Da $A$ eine Nullmenge ist, k\"onnen wir
  $\delta>0$ beliebig vorgeben. Widerspruch. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $f\in R(I,E)$. Dann gilt \[\Vert f\Vert_{L^1}\equiv
  \int\limits_I\Vert f\Vert=0 \qquad\aequivalent\qquad f\equiv0 \text{
    fast \"uberall}.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item[\Hinrichtung] Gelte $\Vert f\Vert_{L^1}=0$. Wir definieren
    $\Lambda:=I\setminus\Sigma(f)$ und behaupten, dass
    $f|_\Lambda\equiv0$ gilt: \par
    Sei dazu $\xi\in\Lambda$ mit $f(\xi)\neq0$. Dann ist $f$ in $\xi$
    stetig und es gibt eine (relativ) offene Kugel $B_\delta(\xi)$ mit
    $0<\frac12\Vert f(\xi)\Vert\le\Vert f(x)\Vert$ f\"ur alle $x\in
    B_\delta(\xi)$. Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
    zumindest die rechte oder linke H\"alfte der Kugel/des Intervalles
    $B_\delta(\xi)$ in $I$ liegt. Sonst m\"ussen wir in der folgenden
    Absch\"atzung $\delta$ durch $|I|$ ersetzen.  Aufgrund der
    Monotonie des Integrals im Integrationsbereich bei nichtnegativen
    \emph{Integranden} (:= der Funktion \glqq unter\grqq{} dem
    Integral) und im Integranden erhalten wir \[\int\limits_a^b\Vert
    f\Vert \ge\int\limits_{B_\delta(\xi)\cap I} \Vert f\Vert \ge\frac12
    \Vert f(\xi)\Vert\cdot\delta>0.\] Widerspruch.
  \item[\Rueckrichtung] Gelte fast \"uberall $f=0$. Wir definieren
    $\Lambda:=\{x\in I\colon f(x)\neq0\}$. Dann ist $\Lambda$ nach
    Voraussetzung eine Lebesgue-Nullmenge. Nach Lemma \ref{komp leb
      null dicht lem} liegt $I\setminus\Lambda$ also dicht in $I$. Auf
    einer dichten Teilmenge von $I$ gilt also $f=0$. Nach 
    Proposition \ref{dicht gleich int gleich prop} folgt daher
    $\int\limits_I f=\int\limits_I0=0$ wie behauptet. \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}
} % weg

\Subsection{Uneigentliche Integrale}
\datum{Mo 19.05.2025}

In diesem Kapitel werden wir Funktionen integrieren, die am Rand des
Definitionsintervalles \glqq singul\"ar\grqq{} werden. 

\begin{definition}
  Sei $E$ ein metrischer Raum und $V\subset E$. Dann hei\ss{}t
  $A\subset V$ \emph{kompakt enthalten} in $V$, $A\Subset V$, falls
  $\ol A$ kompakt ist und $\ol A\subset V$ gilt. 
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $E=V$, so ist $A\Subset V$ gleichbedeutend zur relativen
    Kompaktheit von $A$ in $E$. 
  \item Ist $V$ offen in $\R^n$ und $A\Subset V$, so gilt insbesondere
    $\dist(\ol A,\partial V)>0$.
  \item Wir erinnern daran, dass $\nearrow$ bzw.{} $\searrow$ monotone
    Konvergenz bezeichnen. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $(x_n)_n\subset\R$ eine Folge und $a\in\R$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur $x_n\to a$ f\"ur $n\to\infty$ mit $x_n<a$ f\"ur alle
    $n\in\N$ schreiben wir $x_n\uparrow a$ f\"ur $n\to\infty$. Man
    findet auch $x_n\to a^-$.
    \weg{
  \item \stern F\"ur $x_n\to a$ f\"ur $n\to\infty$ mit $x_n>a$ f\"ur alle
    $n\in\N$ schreiben wir $x_n\downarrow a$ f\"ur $n\to\infty$. Man
    findet auch $x_n\to a^+$.
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $E$ ein Banachraum und sei $\emptyset\neq I\subset\R$ ein
  beliebiges nichtleeres Intervall. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Funktion $f\colon I\to E$ hei\ss{}t \emph{lokal
      integrierbar,} $f\in R_\loc(I,E)$, falls $f|_J\in R(J,E)$ f\"ur
    alle Intervalle $J\Subset I$ gilt.
  \item Sei $I=[a,b)$ und gelte $f\in R_\loc(I,E)$. Dann sagen wir,
    dass das \emph{uneigentliche Integral} $\int\limits_a^bf$
    existiert oder konvergiert,
    falls \[\lim\limits_{\delta\downarrow0}
    \int\limits_a^{b-\delta}f\] existiert. Wir definieren dann
    $\int\limits_a^bf$ als diesen Grenzwert und schreiben $f\in
    R(I,E)$.
    \weg{
  \item \stern Entsprechend definieren wir im Falle $I=(a,b]$ und
    $f\in R_\loc(I,E)$, falls der folgende Grenzwert
    existiert, \[\int\limits_a^b f:=\lim\limits_{\delta\downarrow0}
    \int\limits_{a+\delta}^b f.\]
  \item \stern Ist $I=(a,b)$ und $f\in R_\loc(I,E)$, so definieren
    wir, sofern diese Grenzwerte
    existieren, \[\lim\limits_{\delta\downarrow0}
    \int\limits_c^{b-\delta}f +\lim\limits_{\epsilon\downarrow0}
    \int\limits_{a+\epsilon}^c f\] f\"ur ein beliebiges
    $c\in(a,b)$.\par (Diese Definition h\"angt nicht von der
    speziellen Wahl von $c\in(a,b)$ ab.)
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{definition}

\weg{
\begin{beispiel}
  \stern Es gilt
  \[\int\limits_0^1\frac1{\sqrt x}\,dx
    =\lim\limits_{\delta\downarrow0} \int\limits_\delta^1 \frac1{\sqrt
      x}\,dx =\lim\limits_{\delta\downarrow0}\left. 2\sqrt
      x\right|_\delta^1 =2.\]
\end{beispiel}
} % weg

\weg{
\datumcorona{Do 04.06.2020}
Ganz analog definieren wir f\"ur unbeschr\"ankte Integrationsbereiche
\begin{definition}
  \stern %  \neueZeile
  \label{uneig int def}
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $I=[a,\infty)$ und $f\in R_\loc(I,E)$. Dann sagen wir,
    dass das \emph{uneigentliche Integral} $\int\limits_a^\infty f$
    existiert oder konvergiert, falls
    \[\lim\limits_{x\to\infty} \int\limits_a^x f\] existiert und
    definieren in diesem Fall $\int\limits_a^\infty f$ als diesen
    Grenzwert.
  \item Falls $f\in R_\loc((-\infty,a],E)$ ist, so definieren
    wir entsprechend \[\int\limits_{-\infty}^a
    f=\lim\limits_{x\to-\infty} \int\limits_x^af,\] falls dieser
    Grenzwert existiert.
  \item Ist $f\in R_\loc(\R,E)$, so definieren wir
    \[\int\limits_{-\infty}^\infty f =\lim\limits_{x\to-\infty}
      \int\limits_x^a f +\lim\limits_{y\to\infty} \int\limits_a^y f\]
    f\"ur ein beliebiges $a\in\R$, falls diese Grenzwerte beide
    existieren. \par (Diese Definition ist wiederum von der Wahl von
    $a$ unabh\"angig.)
  \end{enumerate}
\end{definition}
} % weg 

\weg{
\begin{beispiel}
  Es gilt \[\int\limits_0^\infty e^{-t}\,dt =\lim\limits_{x\to\infty}
  \int\limits_0^x e^{-t} =\lim\limits_{x\to\infty}
  \left.-e^{-t}\right|_0^x =1.\] 
\end{beispiel}
} % weg

\weg{
\begin{remark} \stern
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur $f\in R([a,b],E)$ stimmt das uneigentliche Integral
    \"uber $(a,b)$ mit dem gew\"ohnlichen Integral \"uber $[a,b]$
    \"uberein, da das Integral f\"ur beschr\"ankte Funktionen
    bez\"uglich seiner Grenzen stetig ist.
  \item Das uneigentliche Integral ist linear in $f$, additiv
    bez\"uglich seiner Grenzen und im Falle $E=\R$ auch monoton. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\weg{
\begin{lemma}
  \stern Ist $f\in R_\loc((a,b),\R)$ mit $f\ge0$ in $(a,b)$,
  $a,\,b\in\R$ bzw.{} $(a,b)=(-\infty,\infty)$, so gelten
  \[\int\limits_a^b f=\lim\limits_{\delta\downarrow0}
    \int\limits_{a+\delta}^{b-\delta} f\qquad\text{bzw.}\qquad
    \int\limits_{-\infty}^\infty f=\lim\limits_{x\to\infty}
    \int\limits_{-x}^x f,\]
  wobei wir auch den Wert $+\infty$ zulassen. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \stern Ist \[f(x)=
  \begin{cases}
    +1,&x\ge0,\\
    -1,&x<0,
  \end{cases}
  \]
  so existiert $\int\limits_{-\infty}^\infty f$ nicht, es gilt
  jedoch \[\lim\limits_{x\to\infty} \int\limits_{-x}^xf=0.\] 
\end{remark}
} % weg

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $f\in R_\loc((a,b),E)$, $a,b\in\R\cup\{\pm\infty\}$. Dann
    hei\ss{}t das uneigentliche Integral $\int\limits_a^b f$
    \emph{absolut konvergent} oder \emph{absolut integrierbar,} falls
    $\int\limits_a^b \Vert f\Vert$ konvergiert.
  \item $f\in R_\loc(\R,E)$ hei\ss{}t \emph{integrierbar}
    (\"uber $\R$), falls $\int\limits_{-\infty}^\infty f$ existiert. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

Da uneigentliche Integrale als Grenzwerte definiert sind, existieren
sie genau dann, wenn die zugeh\"origen Cauchykriterien erf\"ullt
sind. Im Fall $\int\limits_a^\infty f$ geben wir es hier an, in den
anderen F\"allen lauten sie analog.
\begin{proposition}[Cauchykriterium]
  Das uneigentliche Integral $\int\limits_a^\infty f$ existiert genau
  denn, wenn \[\fueralle\limits_{\epsilon>0}\,
  \existiert\limits_{R>a}\, \fueralle\limits_{x,y\ge R} \left\Vert
    \int\limits_a^x f-\int\limits_a^y f\right\Vert =\left\Vert
    \int\limits_x^y f\right\Vert<\epsilon\] gilt. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt nach Definition. 
\end{proof}

Damit erhalten wir direkt
\begin{corollary}
  Ein absolut konvergentes Integral ist konvergent. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus dem Cauchykriterium und der folgenden
  Folgerung aus der Dreiecksungleichung \[\left\Vert \int\limits_x^y
    f\right\Vert \le\left|\int\limits_x^y \Vert f\Vert\right|.\] 
\end{proof}

\begin{proposition}[Majorantenkriterium]\neueZeilealt
  Sei $I=[a,\infty)$ und gelten $g\in R_\loc(I,\R_+)$, $f\in
  R_\loc(I,E)$ sowie $\Vert f(x)\Vert\le g(x)$ f\"ur alle $x\in
  I$. Existiert $\int\limits_a^\infty g$, so ist auch $f$ absolut
  integrierbar.   
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur alle $x>a$ gilt \[\int\limits_a^x \Vert f\Vert \le
  \int\limits_a^x g\le \int\limits_a^\infty g.\] Hieraus folgt die
  Behauptung aufgrund der Monotonie der linken Seite in $x$.  
\end{proof}

% 5.8.11-5.8.21: ausgelassen

\weg{
\begin{remark}
  Ist das Integrationsintervall nichtkompakt, so k\"onnen unerwartete
  Effekte auftraten. Auch bei gleichm\"a\ss{}iger Konvergenz gilt dann
  im Allgemeinen nicht mehr \[\int\limits_0^\infty
  \lim\limits_{n\to\infty} f_n =\lim\limits_{n\to\infty}
  \int\limits_0^\infty f_n.\]
  Dies sehen wir an dem folgenden Beispiel. Definiere f\"ur $n\in\N$
  Funktionen $f_n\colon\R_+\to\R$ durch \[f_n(x):=
  \begin{cases}
    \frac1n, &n\le x\le 2n,\\
    0,&\text{sonst.}
  \end{cases}
  \]
  Dann gilt einerseits $f_n\rightrightarrows0$, andererseits gilt aber
  auch $\int\limits_0^\infty f_n=1\not\to0$ f\"ur $n\to\infty$.
\end{remark} 
} % weg

Ist der Grenzwert $\lim\limits_{x\to\infty}\int\limits_a^x f_n$ in der
Definition des uneigentlichen Integrales jedoch gleichm\"a\ss{}ig in
$n$, so erhalten wir
\begin{theorem}
  \label{lokal glm konv int thm}
  Sei $I=[a,\infty)$ und sei $f_n\in R_\loc(I,E)$ eine Folge von
  Funktionen, die lokal gleichm\"a\ss{}ig (und daher auch kompakt, \dh
  gleichm\"a\ss{}ig auf kompakten Teilmengen) gegen eine Funktion
  $f\colon I\to E$ konvergieren. Konvergieren die uneigentlichen
  Integrale $\int\limits_a^\infty f_n$ gleichm\"a\ss{}ig, \dh die
  Cauchybedingung bez\"uglich der oberen Grenze kann gleichm\"a\ss{}ig
  f\"ur alle $n$ erf\"ullt werden, so ist $f$ lokal Riemann
  integrabel, $\int\limits_a^\infty f$ existiert und es gilt
  \[\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_a^\infty
    f_n=\int\limits_a^\infty f.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Behauptung $f\in R_\loc(I,E)$ folgt direkt aus Theorem
    \ref{glm konv riem thm}. 
  \item Wir schreiben die gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz der Integrale
    explizit als gleich\-m\"a\-\ss{}i\-ge Cauchybedingung auf. Es
    gilt \[\fueralle\limits_{\epsilon>0}\, \existiert\limits_{R>a}\,
    \fueralle\limits_{x,\,y\ge R}\,\fueralle\limits_{n\in\N}
    \quad\left\Vert \int\limits_x^y f_n\right\Vert<\epsilon.\] Mit
    Theorem \ref{glm konv riem thm} k\"onnen wir zum Grenzwert
    $n\to\infty$ \"ubergehen und erhalten f\"ur das $\epsilon$ und das
    $R$ von oben \[\left\Vert \int\limits_x^y
      f\right\Vert\le\epsilon\qquad\text{f\"ur alle }x,\,y\ge R.\]
    Diese Cauchybedingung besagt aber gerade, dass
    $\int\limits_a^\infty f$ konvergiert.
  \item Zur Behauptung \"uber den Wert des Integrals: Sei
    $\epsilon>0$. Dann gibt es aufgrund der obigen
    Integralabsch\"atzungen f\"ur $f$ und $f_n$ ein $R>a$
    mit \[\left\Vert\int\limits_R^\infty f_n\right\Vert +\left\Vert
      \int\limits_R^\infty f\right\Vert\le2\epsilon\] f\"ur alle
    $n\in\N$, da wir in den obigen Absch\"atzungen zum Grenzwert
    $y\to\infty$ \"ubergehen durften. \par
    Da $f_n\rightrightarrows f$ auf $[a,R]$ gilt, gibt es $n_0\in\N$,
    so dass f\"ur alle $n\ge n_0$ \[\left\Vert
      \int\limits_a^R(f-f_n)\right\Vert\le \epsilon\] gilt.
    Zusammengenommen erhalten wir somit
    \begin{align*}
      \left\Vert \int\limits_a^\infty (f-f_n)\right\Vert \le&\,
      \left\Vert \int\limits_a^R(f-f_n)\right\Vert
      +\left\Vert\int\limits_R^\infty (f-f_n)\right\Vert\umbruch\\
      \le&\,\epsilon+\left\Vert\int\limits_R^\infty f\right\Vert
      +\left\Vert \int\limits_R^\infty f_n\right\Vert \le 3\epsilon. 
    \end{align*}
    Die Behauptung folgt.  \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{glm schr impl glm konv bem}
  Eine Folge von uneigentlichen Integralen $\int\limits_a^\infty f_n$
  ist gleichm\"a\ss{}ig konvergent, falls es eine Funktion $g\in
  R_\loc([a,\infty),\R)$ mit $\int\limits_a^\infty g<\infty$ und
  $\Vert f_n(x)\Vert\le g(x)$ f\"ur alle $n\in\N$ und alle
  $x\in[a,\infty)$ gibt. \par Beachte, dass somit automatisch
  $g(x)\ge0$ f\"ur alle $x\in[a,\infty)$ gilt.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\Subsection{Parameterabh\"angige Integrale}
\datum{Do 22.05.2025}

Sei $f\colon I\times\Omega\to E$ eine Funktion. Dabei ist $I=[a,b]$
ein kompaktes Intervall, $\Omega$ ein metrischer Raum, eine offene
Teilmenge von $\K$ oder ein Intervall, dann auch mit
$J=[\alpha,\beta]$ bezeichnet, und $E$ ein Banachraum.

\begin{proposition}
  \label{param abh int stet prop}
  Sei $\Omega$ ein metrischer Raum und $f\in
  C^0(I\times\Omega,E)$. Dann ist \[F(x):=\int\limits_a^b f(t,x)\,dt\]
  in $\Omega$ stetig. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $x_n\to x_0$ eine konvergente Folge in $\Omega$. Dann ist
    $K:=\{x_i\colon i\in\N\}\ni x_0$ kompakt. Die Einschr\"ankung von
    $f$ auf die kompakte Menge $I\times K$ ist somit gleichm\"a\ss{}ig
    stetig. Sei nun $f$ ohne Einschr\"ankung auf $I\times K$ definiert
    und daher gleichm\"a\ss{}ig stetig.
  \item Wir definieren nun Funktionen $f_n:=f(\cdot, x_n)$ und
    $g:=f(\cdot,x_0)$. Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Stetigkeit
    folgt $f_n\rightrightarrows g$ f\"ur $n\to\infty$.  Da wir den
    Limes bei gleichm\"a\ss{}iger Konvergenz mit dem Integral
    vertauschen d\"urfen, erhalten wir
    \[\int\limits_a^b f(t,x_0)\,dt =\int\limits_a^b g
      =\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_a^b f_n
      =\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_a^b f(t,x_n)\,dt\] wie
    behauptet. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Eine Definition, die uns auch in Kapitel \ref{diff BR sec} noch
intensiver besch\"aftigen wird, ist
\begin{definition}[Partielle Ableitungen]
  \neueZeile \label{partielle abl def}
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $\Omega_i\subset\R$, $1\le i\le n$, offene nichtleere
    Intervalle. Sei $\Omega:=\prod\limits_{i=1}^n\Omega_i\subset\R^n$
    und sei $f\colon \Omega\to E$ eine Funktion. Dann hei\ss{}t die
    Funktion $f$ im Punkt $x_0=\left(x_0^i\right)$ nach $x^k$ oder in
    Richtung $k$ \emph{partiell differenzierbar,} falls die
    Funktion \[g\colon\Omega_k\to E\quad\text{mit}\quad
    g(t):=f\left(x^1_0,\,\ldots,\,x^{k-1}_0,\,t,\,
      x_0^{k+1},\,\ldots,\,x_0^n\right) \equiv f\left(\hat
      x^k_0,t\right)\] im Punkt $t=x_0^k\in\Omega_k$ differenzierbar
    ist. Wir bezeichnen die Ableitung von $g$ mit $\fracp f{x^k}$,
    $\fracp{}{x^k}f$ oder $D_kf$.
    \weg{
  \item \stern Eine entsprechende Definition gilt auch im Falle, dass
    eine offene Menge $\Omega\subset\R^n$ nicht in Produktgestalt
    ist. Wir schr\"anken dabei $f$ auf eine Umgebung in Produktgestalt
    ein.
    } % weg
  \item Ist $f$ in ganz $\Omega$ partiell nach $x^k$ differenzierbar,
    so hei\ss{}t $f$ in $\Omega$ nach $x^k$ differenzierbar. Wir
    erhalten in diesem Fall eine Abbildung $D_kf\colon\Omega\to E$.
  \item Ist die \emph{partielle Ableitung} $D_kf$ stetig, so hei\ss{}t
    $f$ \emph{stetig partiell} nach $x^k$ \emph{differenzierbar}. 
  \item $f$ hei\ss{}t \emph{partiell differenzierbar,} falls alle
    Ableitungen $D_kf$, $1\le k\le n$, existieren und \emph{stetig
      partiell differenzierbar,} falls diese zus\"atzlich stetig
    sind. 
  \item Ist $D_kf$ wieder partiell differenzierbar, so schreiben wir
    f\"ur die entsprechenden partiellen Ableitungen
    $D_kD_kf=\frac{\partial^2f}{\left(\partial x^k\right)^2}$, $D_lD_k
    f=\fracp{}{x^l} \fracp{}{x^k} f =\fracp{^2f}{x^l\partial x^k}$
    oder entsprechende Ausdr\"ucke f\"ur h\"ohere Ableitungen.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\datumcorona{Mo 08.06.2020}
\begin{theorem}
  \label{diff unter int thm}
  Sei $\Omega\subset\K$ nichtleer und offen, seien $f,\,D_2f
  \equiv\fracp fx\in C^0(I\times\Omega,E)$. Dann
  ist \[F(x)=\int\limits_a^b f(t,x)\,dt\] stetig differenzierbar und
  es gilt \[F'(x)=\int\limits_a^b \fracp fx(t,x)\,dt.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\Omega$. Sei $\delta>0$, so dass
  $B_\delta(x_0)\subset\Omega$ gilt. Dann erhalten wir f\"ur $x\in
  B_\delta(x_0)$ \[\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} -\int\limits_a^b \fracp
  fx(t,x_0)\,dt =\int\limits_a^b \frac{f(t,x) -f(t,x_0)}{x-x_0}
  -\fracp fx(t,x_0)\,dt\equiv I.\] Wir sch\"atzen dies mit der
  Dreiecksungleichung f\"ur Integrale und dem Mittelwertsatz in der
  Form von Korollar \ref{abl approx diff quot cor} ab und erhalten
  \begin{align*}
    \Vert I\Vert \le&\,\int\limits_a^b \left\Vert f(t,x)-f(t,x_0)
      -\fracp fx(t,x_0)\cdot(x-x_0) \right\Vert\,dt\,\cdot
    \frac1{|x-x_0|}\umbruch\\ 
    \le&\,\int\limits_a^b\sup\limits_{\xi\in[x_0,x]} \left\Vert \fracp
      fx(t,\xi) -\fracp f x(t,x_0)\right\Vert\,dt,    
  \end{align*}
  wobei das $\xi$, in dem das Supremum bzw.{} Maximum angenommen wird,
  von $t$ abh\"angen darf. Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Stetigkeit
  der Einschr\"ankung von $\fracp fx$ auf die kompakte Menge
  $[a,b]\times \ol{B_r(x_0)}$ f\"ur $r>0$ mit
  $B_{2r}(x_0)\subset\Omega$ konvergiert die rechte Seite f\"ur
  $x\to x_0$ gegen Null und wir erhalten aus
  $0=\lim\limits_{x\to x_0}I$ die Behauptung. \par
  Die Stetigkeit der Ableitung folgt nun aus Proposition \ref{param
    abh int stet prop}.
\end{proof}

Im Fall, dass auch noch die Grenzen des Intervalles von $x$
abh\"angen, erhalten wir 
\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R$ nichtleer und offen, seien $f,\,\fracp fx\in
  C^0(I\times\Omega,E)$. Seien
  $\phi,\,\psi\colon\Omega\to\overset\circ I$ in $x_0\in\Omega$
  differenzierbar, so
  ist \[F(x)=\int\limits_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t,x)\,dt\] in $x_0$
  differenzierbar und es
  gilt \[F'(x_0)=f(\phi(x_0),x_0)\cdot\phi'(x_0)
  -f(\psi(x_0),x_0)\cdot\psi'(x_0)
  +\int\limits_{\psi(x_0)}^{\phi(x_0)} \fracp fx(t,x_0)\,dt.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gelte ohne Einschr\"ankung
    $0\in\Omega$. Verm\"oge \[F(x)=\int\limits_{\psi(x)}^{\phi(x)}
    f(t,x)\,dt =\int\limits_0^{\phi(x)} f(t,x)\,dt
    -\int\limits_0^{\psi(x)} f(t,x)\,dt\] gen\"ugt es, die Behauptung
    im Fall $\psi(x)\equiv0$ zu zeigen.
  \item Es gilt
    \begin{align*}
      &\,F(x)-F(x_0)\umbruch\\ =&\,\int\limits_0^{\phi(x)}f(t,x)\,dt
      -\int\limits_0^{\phi(x_0)} f(t,x_0)\,dt\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^{\phi(x)} f(t,x)-f(t,x_0)\,dt
      +\int\limits_0^{\phi(x)} f(t,x_0)\,dt -\int\limits_0^{\phi(x_0)}
      f(t,x_0)\,dt\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^{\phi(x_0)} f(t,x)-f(t,x_0)\,dt
      +\int\limits_{\phi(x_0)}^{\phi(x)} f(t,x)-f(t,x_0)\,dt
      +\int\limits_{\phi(x_0)}^{\phi(x)} f(t,x_0)\,dt.
    \end{align*}
    Wir dividieren nun durch $x-x_0$ und lassen $x\to x_0$. Dann
    konvergiert der erste Term auf der rechten Seite wegen Theorem
    \ref{diff unter int thm} gegen den Integralterm aus der Behauptung
    und der dritte Term konvergiert nach Proposition \ref{diff int
      obere grenze prop} gegen den ersten Term auf der rechten Seite
    in der Behauptung.
  \item Es gen\"ugt also, die folgende Behauptung zu zeigen:
    \[0\overset!=\lim\limits_{x\to x_0} \left\Vert \frac 1{x-x_0}
      \int\limits_{\phi(x_0)}^{\phi(x)}
      f(t,x)-f(t,x_0)\,dt\,\right\Vert\equiv\lim\limits_{x\to x_0} I.\]
    Es gilt aufgrund des vektorwertigen Mittelwertsatzes
    \begin{align*}
      I\le&\,\left|\,\,\int\limits_{\phi(x_0)}^{\phi(x)} \left\Vert
          \frac{f(t,x)-f(t,x_0)}{x-x_0}\right\Vert\,
        dt\,\right|\umbruch\\
      \le&\,|\phi(x)-\phi(x_0)|\cdot
      \sup\limits_{t\in[\phi(x),\phi(x_0)]} \left\Vert
        \frac{f(t,x)-f(t,x_0)}{x-x_0} \right\Vert\umbruch\\
      \le&\,|\phi(x)-\phi(x_0)|\cdot
      \sup\limits_{t\in[\phi(x),\phi(x_0)]}\cdot
      \sup\limits_{\xi\in[x,x_0]} \left\Vert \fracp
        fx(t,\xi)\right\Vert.
    \end{align*}
    Aufgrund der Stetigkeit von $\fracp fx$ ist der zweite Faktor
    beschr\"ankt. Aufgrund der Stetigkeit von $\phi$ konvergiert der
    erste Faktor f\"ur $x\to x_0$ gegen Null. Somit folgt die
    Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\datum{Mo 26.05.2025}
\begin{theorem}[Doppelintegrale]
  \label{doppel int thm}
  Seien $I=[a,b]$ und $J=[\alpha,\beta]$ kompakte Intervalle und $f\in
  C^0(I\times J,E)$, so gilt 
  \[\int\limits_\alpha^\beta\left(\int\limits_a^b
      f(t,x)\,dt\right)\,dx
    =\int\limits_a^b\left(\int\limits_\alpha^\beta
      f(t,x)\,dx\right)\,dt,\] \dh es kommt nicht auf die
  Integrationsreihenfolge an und wir schreiben auch
  $\int\limits_{I\times J}f$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Proposition \ref{param abh int stet prop} ist das Ergebnis nach
  der jeweils inneren Integration eine stetige und daher auch
  integrierbare Funktion. Somit sind die Doppelintegrale auf beiden
  Seiten wohldefiniert. \par
  Wir definieren nun f\"ur $y\in[\alpha,\beta]$ die
  Funktionen \[\phi(y):=\int\limits_\alpha^y\left(\int\limits_a^b
    f(t,x)\,dt\right)\,dx \quad\text{und}\quad
  \psi(y):=\int\limits_a^b \left(\int\limits_\alpha^y
    f(t,x)\,dx\right)\,dt.\] Es gilt
  $\phi(\alpha)=0=\psi(\alpha)$. Weiterhin sind $\phi$ und $\psi$ in
  $(\alpha,\beta)$ nach Theorem \ref{diff unter int thm} ($\psi$) (die
  daf\"ur n\"otigen Voraussetzungen wollen wir nachfolgend pr\"ufen),
  Proposition \ref{param abh int stet prop} ($\phi$ und $\psi$) und
  dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ($\phi$ und
  $\psi$) differenzierbar und es gilt dort \[\phi'(y) =\int\limits_a^b
  f(t,y)\,dt=\psi'(y).\] Somit stimmen $\phi$ und $\psi$
  \"uberein.\par F\"ur die Anwendbarkeit von Theorem \ref{diff unter
    int thm} m\"ussen wir noch die Stetigkeit von $g\colon I\times
  J\to E$ mit \[I\times J\ni(t,y)\mapsto \int\limits_\alpha^y
  f(t,x)\,dx\] und die Stetigkeit von $D_2g=f$, die klar ist,
  \"uberpr\"ufen. Sei $(t_0,y_0)\in I\times J$ und $(t,y)\in I\times
  J$ mit $|t-t_0|+|y-y_0|<\delta$. Sei $\epsilon>0$. Wir wollen
  zeigen, dass f\"ur hinreichend kleines $\delta>0$ auch $\Vert
  g(t,y)-g(t_0,y_0)\Vert<\epsilon$ gilt. Da $t\mapsto g(t,y_0)$ nach
  Proposition \ref{param abh int stet prop} stetig ist, gibt es ein
  $\delta>0$, so dass $\Vert g(t,y_0)-g(t_0,y_0)\Vert<\epsilon$
  gilt. Wir erhalten 
  \begin{align*}
    \Vert g(t,y)-g(t_0,y_0)\Vert \le&\,\Vert g(t,y)-g(t,y_0)\Vert
    +\Vert g(t,y_0)-g(t_0,y_0)\Vert\umbruch\\
    \le&\,\left\Vert \int\limits^y_{y_0}f(t,x)\,dx\right\Vert
    +\epsilon
    \le|y-y_0|\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty}+\epsilon<2\epsilon
  \end{align*}
  f\"ur $\delta<\frac{\epsilon}{1+\Vert f\Vert_{L^\infty}}$. Da
  $\epsilon>0$ beliebig war, folgt hieraus die Behauptung. 
\end{proof}

\weg{
Per Induktion erh\"alt man daraus die folgende Verallgemeinerung. 
\begin{theorem}[Mehrfachintegrale] \stern
  Seien $I_i=[a_i,b_i]$, $i=1,\,\ldots,\,n$, kompakte Intervalle, $E$
  ein Banachraum und $f\in C^0\left(\prod\limits_{i=1}^n
    I_i,E\right)$, so
  ist \[\int\limits_{a_1}^{b_1}\cdots\int\limits_{a_n}^{b_n}
  f\left(x^1,\,\ldots,\,x^n\right)\,dx^1\,\cdots\,dx^n\] wohldefiniert
  und ergibt unabh\"angig von der Integrationsreihenfolge stets
  denselben Wert. 
\end{theorem}
} % weg

\weg{
\subsubsection*{Parameterabh\"angige uneigentliche Integrale \stern}
Wir behandeln hier nur den Fall $I=[a,\infty)$. 

\begin{proposition}
  \label{uneig int param stet}
  Sei $I=[a,\infty)$, sei $\Omega$ ein metrischer Raum und sei $f\in
  C^0(I\times\Omega,E)$. Angenommen, die Integrale \[F(x)
  =\int\limits_a^\infty f(t,x)\,dt\] konvergieren gleichm\"a\ss{}ig in
  $x\in\Omega$, \dh der Limes $\lim\limits_{T\to\infty}\int\limits_a^T
  f(t,x)\,dt$ ist gleichm\"a\ss{}ig in $x$, dann ist $F$ in $\Omega$
  stetig. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir gehen \"ahnlich wie beim Beweis von Proposition \ref{param abh
    int stet prop} vor. \par
  Sei $x_n\to x_0$ eine konvergente Folge in $\Omega$. Dann k\"onnen
  wir $f$ auf $I\times K$ mit der kompakten Menge $K=\{x_n\colon
  n\in\N\}$ einschr\"anken und d\"urfen daher ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $f$ lokal gleichm\"a\ss{}ig stetig ist.\par Somit
  konvergiert $f_n:=f(\cdot,x_n)$ lokal gleichm\"a\ss{}ig gegen
  $f:=f(\cdot,x_0)$. Nach Theorem \ref{lokal glm konv int thm} folgt
  $\int f_n\to \int f$ und somit die Behauptung.
\end{proof}

\begin{proposition}
  Sei $I=[a,\infty)$, sei $\Omega\subset\K$ offen, seien
  $f,\,D_2f\equiv \fracp fx\in
  C^0(I\times\Omega,E)$. Angenommen, \[\int\limits_a^\infty \fracp
  fx(t,x)\,dt\] konvergiert gleichm\"a\ss{}ig in $x\in\Omega$
  und \[\int\limits_a^\infty f(t,x)\,dt\] konvergiert f\"ur alle
  $x\in\Omega$. \par Dann konvergieren die
  Integrale \[F(x)=\int\limits_a^\infty f(t,x)\,dt\] lokal
  gleichm\"a\ss{}ig in $\Omega$, $F$ ist stetig differenzierbar und es
  gilt \[F'(x)=\int\limits_a^\infty \fracp fx(t,x)\,dt.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $a\le t_n\to\infty$ eine beliebige Folge. Wir
    definieren \[F_n(x):=\int\limits_a^{t_n} f(t,x)\,dt.\] Nach
    Definition von $F$ gilt $F_n(x)\to F(x)$ f\"ur alle
    $x\in\Omega$. \par
    Da das Integrationsgebiet $[a,t_n]$ kompakt ist, erhalten wir aus
    Theorem \ref{diff unter int thm} die Differenzierbarkeit von $F_n$
    und eine Formel f\"ur die Ableitung. Da die Ausdr\"ucke f\"ur die
    Ableitung $F'_n$ nach Voraussetzung gleichm\"a\ss{}ig in $x$
    konvergieren, erhalten wir \[F'_n(x) =\int\limits_a^{t_n} \fracp
    fx(t,x)\,dt \rightrightarrows \int\limits_a^\infty \fracp
    fx(t,x)\,dt.\] Die Funktionenfolge $F_n$ konvergiert also
    punktweise und die Ableitungen $F'_n$ konvergieren
    gleichm\"a\ss{}ig. Daher d\"urfen wir die beiden Grenzwerte
    ($n\to\infty$ und Differentiation) vertauschen und
    erhalten \[F'(x)=\lim\limits_{n\to\infty} F'_n(x)
    =\int\limits_a^\infty \fracp fx (t,x)\,dt.\]
  \item Zur lokal gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz: Sei dazu
    $B=B_\delta\subset\Omega$ ein Ball. Wir wollen
    $F_n\rightrightarrows F$ in $B$ zeigen. Aufgrund des
    Mittelwertsatzes gilt f\"ur $x,x_0\in B$ \[\Vert
    (F_n(x)-F(x))-(F_n(x_0)-F(x_0))\Vert
    \le\sup\limits_{\xi\in[x_0,x]} \Vert F'_n(\xi)-F'(\xi)\Vert\cdot
    |x-x_0|.\] Aufgrund der Dreiecksungleichung erhalten wir in
    $B$ \[\Vert F_n(x)-F(x)\Vert \le \Vert F_n(x_0)-F(x_0)\Vert
    +\sup\limits_{\xi\in B}\Vert F'_n(\xi)-F'(\xi)\Vert\cdot\delta.\]
    Auf der rechten Seite konvergiert nun f\"ur $n\to\infty$ der erste
    Term aufgrund der punktweisen Konvergenz $F_n\to F$ in $\Omega$
    gegen Null und wegen $F'_n\rightrightarrows F'$ konvergiert der
    zweite Term gegen Null. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

F\"ur Doppelintegrale mit einem unbeschr\"ankten Integrationsbereich
erhalten wir
\begin{proposition}
  \label{doppel int unbeschr prop}
  Seien $I=[a,\infty)$, $J=[\alpha,\beta]$, $f\in C^0(I\times J,E)$
  und sei \[F(x)=\int\limits_a^\infty f(t,x)\,dt\] gleichm\"a\ss{}ig
  konvergent. Dann gilt \[\int\limits_\alpha^\beta F(x)\,dx
  =\int\limits_\alpha^\beta \int\limits_a^\infty f(t,x)\,dt\,dx
  =\int\limits_a^\infty \int\limits_\alpha^\beta f(t,x)\,dx\,dt.\] 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Proposition \ref{uneig int param stet} ist $F$ stetig. Somit
  ist das Integral auf der linken Seite wohldefiniert.\par
  Sei nun $a\le t_n\to\infty$ eine beliebige Folge. Nach Theorem
  \ref{doppel int thm} erhalten wir \[\int\limits_\alpha^\beta
  \underbrace{\int\limits_a^{t_n} f(t,x)\,dt}_{=:F_n(x)}\,dx
  =\int\limits_a^{t_n} \int\limits_\alpha^\beta f(t,x)\,dx\,dt.\] Nach
  Voraussetzung gilt $F_n\rightrightarrows F$ und das das
  Integrationsintervall $[\alpha,\beta]$ kompakt ist, d\"urfen wir den
  Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty}$ und $\int\limits_\alpha^\beta$
  vertauschen und erhalten 
  \begin{align*}
    \int\limits_\alpha^\beta \int\limits_a^\infty f(t,x)\,dt\,dx
    =&\,\int\limits_\alpha^\beta \lim\limits_{n\to\infty}
    \int\limits_a^{t_n} f(t,x)\,dt\,dx =\lim\limits_{n\to\infty}
    \int\limits_\alpha^\beta \int\limits_a^{t_n}
    f(t,x)\,dt\,dx\umbruch\\
    =&\,\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_a^{t_n}
    \int\limits_\alpha^\beta f(t,x)\,dx\,dt = \int\limits_a^\infty
    \int\limits_\alpha^\beta f(t,x)\,dx\,dt
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

Lassen wir die gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz in der Voraussetzung weg,
so gibt es Gegenbeispiele:
\begin{beispiel}
  Sei $f\in C^1([-\epsilon,\infty))$ und gelte
  $f(0)=\lim\limits_{t\to\infty}f(t)$. Wir definieren $F$ nachfolgend
  und erhalten \[F(x):=\int\limits_0^\infty f'(xt)\,dt =\left.\frac
    1xf(xt)\right|_0^\infty =0\] f\"ur alle $x>0$. Somit gilt
  $\int\limits_0^\beta F(x)\,dx=0$ f\"ur alle $\beta>0$. Andererseits
  gilt f\"ur beliebige $t>0$ \[\int\limits_0^\beta f'(xt)\,dx =\frac1t
  (f(\beta t)-f(0)).\] Somit folgt \[\int\limits_0^\infty
  \int\limits_0^\beta f'(xt)\,dx\,dt =\int\limits_0^\infty
  \frac1t(f(\beta t)-f(0))\,dt.\] Im Falle $f(t)=t^2e^{-t}$ und
  $\beta=1$ erhalten wir f\"ur die rechte Seite \[\int\limits_0^\infty
  t\beta^2 e^{-\beta t}\,dt >0.\] Somit d\"urfen wir in diesem Falle
  die Integrationsreihenfolge nicht umdrehen.
\end{beispiel}
}

\weg{
\subsubsection*{Doppelintegrale mit unbeschr\"anktem
  Integrationsbereich \stern}

\begin{theorem}
  \label{doppel int abs thm}
  Seien $I=[a,\infty)$ und $J=[\alpha,\infty)$. Sei $f\in C^0(I\times
  J,E)$. Angenommen, die uneigentlichen
  Integrale \[\int\limits_a^\infty\Vert f(t,x)\Vert\,dt
  \qquad\text{und}\qquad \int\limits_\alpha^\infty \Vert
  f(t,x)\Vert\,dx\] konvergieren gleichm\"a\ss{}ig. Existiert dann
  eines der beiden Doppelintegrale \[\int\limits_a^\infty
  \int\limits_\alpha^\infty \Vert f(t,x)\Vert\,dx\,dt
  \qquad\text{oder}\qquad \int\limits_\alpha^\infty
  \int\limits_a^\infty \Vert f(t,x)\Vert\,dt\,dx,\] so existieren
  beide und ihre Werte stimmen \"uberein.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Angenommen, $\int\limits_a^\infty \int\limits_\alpha^\infty\Vert
  f(t,x)\Vert\,dx\,dt$ existiert. Sei $\beta>\alpha$. Nach
  Proposition \ref{doppel int unbeschr prop} erhalten wir dann 
  \[\int\limits_\alpha^\beta \int\limits_a^\infty \Vert
  f(t,x)\Vert\,dt\,dx =\int\limits_a^\infty
  \int\limits_\alpha^\beta \Vert f(t,x)\Vert\,dx\,dt
  \le\int\limits_a^\infty \int\limits_\alpha^\infty \Vert
  f(t,x)\Vert\,dx\,dt.\] Die Existenz dieser in $\beta$
  gleichm\"a\ss{}igen oberen Schranke besagt gerade, dass auch das
  zweite Doppelintegral konvergiert. Im Grenzwert $\beta\to\infty$
  erhalten wir daraus \[\int\limits_\alpha^\infty \int\limits_a^\infty
  \Vert f(t,x)\Vert\,dt\,dx \le \int\limits_a^\infty
  \int\limits_\alpha^\infty \Vert f(t,x)\Vert\,dx\,dt.\] Mit
  vertauschten Rollen der beiden Integrale erhalten wir die umgekehrte
  Ab\-sch\"at\-zung und somit insgesamt die Behauptung. 
\end{proof}

F\"ur die Integrale ohne Normen erhalten wir 
\begin{corollary}
  Sei die Situation aus Theorem \ref{doppel int abs thm}
  gegeben. \par Nochmals explizit: 
  Seien $I=[a,\infty)$, $J=[\alpha,\infty)$. Sei $f\in C^0(I\times
  J,E)$. Angenommen, die uneigentlichen
  Integrale \[\int\limits_a^\infty \Vert f(t,x)\Vert\,dt
  \qquad\text{und}\qquad \int\limits_\alpha^\infty \Vert
  f(t,x)\Vert\,dx\] konvergieren gleichm\"a\ss{}ig und eines der
  Doppelintegrale \[\int\limits_a^\infty \int\limits_\alpha^\infty
  \Vert f(t,x)\Vert\,dx\,dt \qquad\text{oder}\qquad
  \int\limits_\alpha^\infty \int\limits_a^\infty \Vert
  f(t,x)\Vert\,dt\,dx\] existiert (und damit nach Theorem \ref{doppel
    int abs thm} beide). \par
  Dann existieren die Doppelintegrale \[\int\limits_a^\infty
  \int\limits_\alpha^\infty f(t,x)\,dx\,dt \qquad\text{und}\qquad
  \int\limits_\alpha^\infty \int\limits_a^\infty f(t,x)\,dt\,dx\] und
  stimmen \"uberein. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item In einem Banachraum impliziert absolute Konvergenz einfache
    Konvergenz. Somit konvergieren die Integrale \[F(x):=
    \int\limits_a^\infty f(t,x)\,dt \quad\text{und}\quad G(t):=
    \int\limits_\alpha^\infty f(t,x)\,dx\] gleichm\"a\ss{}ig und sind
    nach Proposition \ref{uneig int param stet} (wie im Beweis von
    Proposition \ref{doppel int unbeschr prop}) stetige Funktionen.
  \item Existenz: Nach Theorem \ref{doppel int abs thm} konvergieren die
    Doppelintegrale absolut. Daher konvergieren auch die
    uneigentlichen Integrale \"uber $F$ bzw.{} $G$ absolut. Daraus
    folgt die Existenz der beiden angegebenen Doppelintegrale.
  \item Gleichheit: Da die Integrale $F(x)$ gleichm\"a\ss{}ig in $x$
    konvergieren, k\"onnen wir Proposition \ref{doppel int unbeschr
      prop} anwenden und erhalten f\"ur alle
    $n>\alpha$ 
    \begin{equation} 
      \label{int vert endl unendl eq}
      \int\limits_a^\infty \int\limits_\alpha^n
      f(t,x)\,dx\,dt =\int\limits_\alpha^n \int\limits_a^\infty
      f(t,x)\,dt\,dx.
    \end{equation}
    Definiere nun \[G_n(t) :=\int\limits_\alpha^n f(t,x)\,dx.\] Dann
    konvergieren die Funktionen $G_n$ f\"ur $n\to\infty$ nach
    Voraussetzung gleich\-m\"a\-\ss{}ig nach $G$. Andererseits
    gilt \[\Vert G_n(t)\Vert \le \int\limits_\alpha^n \Vert
    f(t,x)\Vert\,dx \le \int\limits_\alpha^\infty \Vert
    f(t,x)\Vert\,dx\equiv\Gamma(t).\]
    % Diese Ungleichung integrieren wir nun $\int\limits_a^k\ldots\,dt$
    % f\"ur $k>a$, sch\"atzen zun\"achst auf der rechten Seite durch den
    % Grenzwert $k\to\infty$ ab und erhalten dann auch f\"ur die linke
    % Seite eine gleich\-m\"a\-\ss{}i\-ge Schranke in $k$, so dass wir
    % auch hier den Grenzwert $k\to\infty$ betrachten d\"urfen und
    % erhalten \[\int\limits_a^\infty \Vert G_n(t)\Vert\,dt \le
    % \int\limits_a^\infty \int\limits_\alpha^\infty \Vert
    % f(t,x)\Vert\,dx\,dt.\]
    $\Gamma$ ist eine von $n$ unabh\"angige obere \"uber das Intervall
    $[a,\infty)$ integrierbare Schranke. Somit folgt nach Bemerkung
    \ref{glm schr impl glm konv bem}, dass die Integrale
    $\int\limits_a^\infty G_n(t)\,dt$ gleichm\"a\ss{}ig konvergent
    sind. Nun wenden wir Theorem \ref{lokal glm konv int thm} auf
    $G_n$ und $G$ an und erhalten unter Benutzung von \eqref{int vert
      endl unendl eq}
    \begin{align*}
      \int\limits_a^\infty \int\limits_\alpha^\infty f(t,x)\,dx\,dt
      =&\,\int\limits_a^\infty G(t)\,dt =\lim\limits_{n\to\infty}
      \int\limits_a^\infty G_n(t)\,dt\umbruch\\
      =&\,\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_a^\infty
      \int\limits_\alpha^n f(t,x)\,dx\,dt =\lim\limits_{n\to\infty}
      \int\limits_\alpha^n \int\limits_a^\infty
      f(t,x)\,dt\,dx\umbruch\\
      =&\,\int\limits_\alpha^\infty \int\limits_a^\infty
      f(t,x)\,dt\,dx 
    \end{align*}
    wie behauptet. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}
} % weg

\Section{Differentiation in Banachr\"aumen}
\label{diff BR sec}

Sie sollten versuchen, die Resultate in diesem Abschnitt zumindest in
dem Fall zu verstehen, dass die Banachr\"aume euklidische R\"aume
$\R^n$, $n\in\N$, sind.

\Subsection{Differenzierbarkeit}
\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $E,\,F$ Banachr\"aume. Sei $\Omega\subset E$ offen. Dann
    hei\ss{}t eine Abbildung $f\colon\Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$
    \emph{differenzierbar,} falls es eine stetige lineare Abbildung
    $A\in L(E,F)$ mit \[f(x)=f(x_0)+A\langle x-x_0\rangle +o(\Vert
    x-x_0\Vert)\] f\"ur alle $x\in\Omega$ gibt.
  \item Wir nennen dann $A$ die \emph{Ableitung} von $f$ im Punkt
    $x_0$ und bezeichnen sie mit $Df(x_0)$, $df(x_0)$ oder $f'(x_0)$.
  \item Ist $f$ in jedem Punkt in $\Omega$ differenzierbar, so
    hei\ss{}t $f$ in $\Omega$ \emph{differenzierbar.}
    Wir nennen dann die Abbildung
    \begin{align*}
      Df\colon\Omega\to&\,L(E,F),\\
      x\mapsto&\,Df(x)
    \end{align*}
    \emph{Ableitung} oder \emph{Differential} von $f$. 
  \item Ist $Df\colon\Omega\to L(E,F)$ stetig, so hei\ss{}t $f$ in
    $\Omega$ \emph{stetig differenzierbar.}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\weg{
\begin{remark}
  \stern 
  Seien $E,\,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und
  $f\colon\Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$ differenzierbar.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\dim E<\infty$, so ist jede lineare Abbildung $A\colon
    E\to F$ automatisch stetig, siehe Analysis I. 
  \item $f$ ist im Punkt $x_0$ stetig.
  \item Die Ableitung $Df(x_0)$ ist eindeutig bestimmt. 
  \item Ist $E=\K$, so stimmt diese Definition mit der Definition
    f\"ur Funktionen in einer Variablen \"uberein.
    \weg{
    \item Ist $E=\R^0=\{0\}$, so ist $Df(0)=0$ und $L(\R^0,F)=\{0\}$.
      } % weg
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\weg{
\begin{remark}
  \stern Seien $E,\,F$ Banachr\"aume und sei $\Omega\subset E$
  offen. Seien die Funktionen $f,\,g\colon\Omega\to F$ in
  $x_0\in\Omega$ differenzierbar. Dann sind auch $f+g$ und $\lambda f$
  f\"ur beliebige $\lambda\in\K$ in $x_0$ differenzierbar und es
  gelten
  \[D(f+g)(x_0)=Df(x_0)+Dg(x_0) \quad\text{und}\quad D(\lambda f)(x_0)
  =\lambda Df(x_0).\] Somit bilden die in einer vorgegebenen Menge
  $V\subset\Omega$, z.\,B.{} $V=\{x_0\}$, differenzierbaren Funktionen
  einen Unterraum des Vektorraumes aller Abbildungen $\Omega\to F$.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Klar. 
\end{proof}
} % weg

\datumcorona{Mo 15.06.2020}
\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \weg{
  \item Konkretes Beispiel: Sei $f\colon\R^2\to\R^3$ mit \[
    \begin{pmatrix}
      x\\ y
    \end{pmatrix}
    \mapsto
    \begin{pmatrix}
      x^2\\ x^2y\\ y^3
    \end{pmatrix}.
    \]
    Wir benutzen die Definition der
    Ableitung \[f((x,y)+(u,v))-f((x,y)) =Df((x,y))\langle(u,v)\rangle
    +o(\Vert(u,v)\Vert)\] und erhalten
    \begin{align*}
      &\,
      f\left(
        \begin{pmatrix}
          x+u\\ y+v
        \end{pmatrix}
      \right)
      -
      f\left(
        \begin{pmatrix}
          x\\ y
        \end{pmatrix}
      \right)\umbruch\\
      =&\,
      \begin{pmatrix}
        (x+u)^2-x^2\\
        (x+u)^2(y+v)-x^2y\\
        (y+v)^3-y^3
      \end{pmatrix}\umbruch\\
      =&\,
      \begin{pmatrix}
        x^2+2xu+u^2-x^2\\
        x^2y+2xuy+u^2y+x^2v+2xuv+u^2v-x^2y\\
        y^3+3y^2v+3yv^2+v^3-y^3
      \end{pmatrix}
      \umbruch\\
      =&\,
      \begin{pmatrix}
        2xu\\
        2xyu+x^2v\\
        3y^2v
      \end{pmatrix}
      +o(\Vert(u,v)\Vert),
    \end{align*}
    da beispielsweise $u^2\in o(\Vert(u,v)\Vert)$ wegen
    \[\left|\frac{u^2}{\Vert(u,v)\Vert}\right|
      =\left|\frac{u^2}{\sqrt{u^2+v^2}}\right|=\left|\frac
        u{\sqrt{u^2+v^2}}\right|\cdot|u|\le|u|\] gilt.\par
    Wir bemerken, dass wir unter Verwendung einer \"aquivalenten Norm
    auf $\R^2$ dasselbe Ergebnis erhalten.
    \par Somit gilt \[Df((x,y))\langle(u,v)\rangle =
    \begin{pmatrix}
      2x&0\\
      2xy&x^2\\
      0&3y^2
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      u\\v
    \end{pmatrix}.\] Es ist kein Zufall, dass in dieser $3\times
    2$-Matrix gerade die partiellen Ableitungen der Komponenten
    stehen. Wir werden dies sp\"ater allgemeiner zeigen. 
  \item Sei $f\colon\Omega\to F$ konstant. Dann ist $f$ in jedem Punkt
    aus $\Omega$ differenzierbar und es gilt $Df(x)=0\in L(E,F)$ f\"ur
    alle $x\in\Omega$.
    } % weg
  \item Ist $f=A\in L(E,F)$, dann ist $f$ differenzierbar und es gilt
    $Df(x)=A$ f\"ur alle $x\in E$, da \[Ax=Ax_0 +A\langle x-x_0\rangle
      +0\] gilt.
    \weg{
    \par Achtung, es sieht so aus, als ob die Ableitung von
    $f$ wieder dieselbe Funktion w\"are und somit alle Ableitungen von
    $f$ gleich $A$ w\"aren. Dies scheint der eindimensionalen
    Erfahrung zu widersprechen. Es gelten jedoch $f(x)=Ax$ und
    $Df(x)=A$. Somit ist $Df$ eine konstante Abbildung w\"ahrend $f$
    nichtkonstant ist.
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

Beim ersten Lesen betrachte man diese Definition nur f\"ur den Fall
$n=2$ und $E_i=\R$. Wir werden multilineare Abbildungen sp\"ater f\"ur
die Behandlung h\"oherer Ableitungen benutzen.
\begin{definition}
  Seien $E_1,\,E_2,\,\ldots,\,E_n,\,F$ Banachr\"aume. Sei \[A\colon
  E_1\times E_2\times\ldots\times E_n \equiv\prod\limits_{j=1}^n
  E_j\to F\] eine Abbildung.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sind die Abbildungen $E_i\ni z\mapsto
    A\left(x^1,\,\ldots,\,x^{i-1},\,z,\,x^{i+1},\,\ldots,\,x^n\right)$
    f\"ur alle
    $\big(x^1,\,\ldots,\,\widehat{x^i},\,\ldots,\,x^n\big)\in
    \prod\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=1}{j\neq i}}^n E_j$ und alle
    $1\le i\le n$ linear, so hei\ss{}t $A$ \emph{multilinear.} Wir
    verwenden auch in diesem Fall spitze Klammern,
    $A\langle\ldots\rangle$. 
  \item Wir bezeichnen den Banachraum aller stetigen multilinearen
    Abbildungen \[\prod\limits_{i=1}^n E_i\to F\] als
    $L(E_1,\,E_2,\,\ldots,\,E_n;\,F)$ und versehen ihn mit der
    \emph{Operatornorm} \[\Vert A\Vert:=\sup\limits_{0\neq x^i\in E_i}
    \frac{\Vert A\left\langle x^1,\,\ldots,\,x^n
      \right\rangle\Vert}{\Vert x^1\Vert\cdot\ldots\cdot\Vert
      x^n\Vert}.\]
  \item Gilt $E_1=E_2=\ldots=E_n=E$, so schreiben wir \[L_n(E;F)\equiv
    L(E_1,\,E_2,\,\ldots,\,E_n;\,F).\]
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \label{mult lin abb rem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $A\colon E_1\times\ldots\times E_n\to F$ eine multilineare
    Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item $A$ ist stetig.
    \item $A$ ist in $0$ stetig. 
    \item Die oben definierte Operatornorm $\Vert A\Vert$ ist
      endlich. 
    \item Es gibt ein $c\ge0$, so dass die Absch\"atzung \[\left\Vert
        A\left\langle x^1,\,\ldots,\,x^n\right\rangle\right\Vert\le
      c\cdot\left\Vert x^1\right\Vert\cdot\ldots\cdot\left\Vert
        x^n\right\Vert\] f\"ur alle
      $\left(x^1,\,\ldots,\,x^n\right)\in \prod\limits_{i=1}^n E_i$
      gilt.
    \end{enumerate}
  \item $L(E_1,\,\ldots,\,E_n;F)$ ist mit der angegebenen Norm ein
    Banachraum.
  \item Ist $A\colon E_1\times E_2\to F$ multilinear, so gilt
    $A\langle\lambda x,\lambda y\rangle=\lambda^2 A\langle
    x,y\rangle$.\\ Ist $A\colon E_1\times E_2\to F$ linear, so gilt
    $A\langle(\lambda x,\lambda y)\rangle=\lambda
    A\langle(x,y)\rangle$. 
  \item Es gibt einen normerhaltenden Isomorphismus
    \[L(E_1;\,L(E_2;\,F))\to L(E_1,\,E_2;\,F).\] Er ist durch
    $\alpha\mapsto((x,y)\mapsto(\alpha(x))(y))$ f\"ur $\alpha\in
    L(E_1;\,L(E_2;\,F))$ gegeben.
  \weg{
  \item \stern Analoge Bezeichnungen verwendet man in der Linearen
    Algebra auch f\"ur beliebige Vektorr\"aume $E_1,\ldots,E_n,F$
    und lineare nicht notwendigerweise stetige Abbildungen.
  } % weg
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Wichtige \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Seien $E_1,\,E_2,\,F$ Banachr\"aume. Setze $E:=E_1\times E_2$ mit
  der Produktmetrik. Sei $A\in L(E_1,\,E_2;\,F)$ eine stetige
  bilineare Abbildung. Dann ist $A$ in einem beliebigen Punkt
  $(x_0,\,y_0)\in E_1\times E_2$ differenzierbar und es gilt
  \[DA(x_0,\,y_0)\langle(u,v)\rangle= A(x_0,v) +A(u,y_0).\]
  \begin{proof}[Beweis]
    Es gilt
    \begin{align*}
      &\,A(x_0+u,\,y_0+v)-A(x_0,\,y_0)\umbruch\\
      =&\,A(x_0,\,y_0) +A(x_0,\,v)
      +A(u,\,y_0) +A(u,\,v) -A(x_0,\,y_0)\umbruch\\
      =&\,A(x_0,\,v) +A(u,\,y_0) +A(u,\,v)\umbruch\\
      =&\,DA(x_0,\,y_0)\langle(u,v)\rangle +o(\Vert u\Vert+\Vert
      v\Vert).
    \end{align*}
    F\"ur die letzte Gleichheit rechnen wir noch nach, dass
    $A(u,\,v)\in o(\Vert u\Vert+\Vert v\Vert)$ gilt, wobei wir daran
    erinnern, dass $\Vert u\Vert+\Vert v\Vert$ die Norm auf dem
    Produktraum $E_1\times E_2$ ist. Es gilt \[\Vert A(u,\,v)\Vert
    \le\Vert A\Vert\cdot\Vert u\Vert\cdot\Vert v\Vert \le\Vert
    A\Vert\cdot(\Vert u\Vert+\Vert v\Vert)^2\in o(\Vert u\Vert+\Vert
    v\Vert).\] 
    Schlie\ss{}lich m\"ussen wir noch zeigen, dass $DA(x_0,\,y_0)\in
    L(E_1\times E_2;\,F)$ ist. Die Linearit\"at ist klar. Seien $\Vert
    u\Vert+\Vert v\Vert\le1$. Dann folgt 
    \begin{align*}
      \Vert DA(x_0,\,y_0)\langle(u,\,v)\rangle\Vert \le&\,\Vert
      A(x_0,\,v)\Vert +\Vert A(u,\,y_0)\Vert\umbruch\\ \le&\,\Vert
      A\Vert\cdot\Vert x_0\Vert\cdot\Vert v\Vert +\Vert
      A\Vert\cdot\Vert u\Vert\cdot\Vert y_0\Vert\umbruch\\ \le&\,\Vert
      A\Vert\cdot\Vert x_0\Vert +\Vert A\Vert\cdot\Vert y_0\Vert
    \end{align*}
    und somit die Stetigkeit von $DA(x_0,\,y_0)$. 
  \end{proof}
  \weg{
  \stern Ein entsprechendes Resultat gilt auch f\"ur multilineare
  Abbildungen.
  } % weg
\end{beispiel}

\datum{Di 27.05.2025}
Ohne den Darstellungssatz von Fr\'echet-Riesz k\"onnen wir den
Gradienten zwar definieren, dessen Existenz aber im Allgemeinen nicht
zeigen. 
\begin{definition}[Gradient]
  Seien $H$ ein Hilbertraum, $\Omega\subset H$ offen und
  $f\colon\Omega\to\K$ in $x_0\in\Omega$ differenzierbar. Dann ist
  $Df(x_0)\in L(H;\K)\equiv H^*$. Aufgrund der allgemeinen
  Hilbertraumtheorie (Darstellungssatz von Fr\'echet-Riesz) gibt es
  einen Vektor $v\in H$ mit $\langle\cdot,v\rangle_H
  =Df(x_0)\langle\cdot\rangle$. Dann hei\ss{}t $v$ der \emph{Gradient}
  von $f$ in $x_0$. Wir schreiben daf\"ur $\text{grad}\, f(x_0)$ oder $\nabla
  f(x_0)$. Es gilt dann f\"ur alle $u\in H$ \[\langle u,\nabla
  f(x_0)\rangle =Df(x_0)\langle u\rangle.\] 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
    \weg{
  \item \stern Konkretes Beispiel zum Selbststudium:\\ Sei
    $f\colon\R^2\to\R$ die Abbildung $(x,y)\mapsto x^2\cdot y$. Dann
    gelten \[Df(x_0,y_0)\langle u,v\rangle =2x_0y_0u+x_0^2v\] und
    \[\nabla f(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}2x_0y_0\\ x_0^2\end{pmatrix}.\] 
    \begin{proof}[Beweis]
      Wir benutzen die Definition der Ableitung \[f((x_0,y_0)+(u,v))
      =f((x_0,y_0)) +Df((x_0,y_0))\langle(u,v)\rangle
      +o(\Vert(u,v)\Vert)\] und erhalten 
      \begin{align*}
        (x_0+u)^2(y_0+v)-x_0^2y_0 =&\,x_0^2y_0 -x_0^2y_0 +2x_0uy_0
        +u^2y_0 +x_0^2v +2x_0uv +u^2v\umbruch\\
        =&\,2x_0y_0u+x_0^2v +o(\Vert(u,v)\Vert)\umbruch\\
        =&\,
        \begin{pmatrix}
          2x_0y_0&x_0^2
        \end{pmatrix}
        \begin{pmatrix}
          u\\v
        \end{pmatrix}
        +o(\Vert(u,v)\Vert)\umbruch\\
        =&\,\left\langle\genfrac(){0pt}{}uv,
          \genfrac(){0pt}{}{2x_0y_0}{x_0^2}\right\rangle  
        +o(\Vert(u,v)\Vert).\qedhere
      \end{align*}
    \end{proof}
  } % weg
  \item Sei $H$ ein reeller Hilbertraum und $f\colon H\to\R$ durch
    $f(x)=\Vert x\Vert^2=\langle x,x\rangle$ definiert. Dann gilt
    $\nabla f(x_0)=2x_0$ f\"ur alle $x_0\in H$.
    \begin{proof}[Beweis]
      Es gilt f\"ur alle $x\in H$ \[f(x_0+x) =f(x_0) +2\langle
      x_0,x\rangle +f(x).\] Hieraus folgt die Behauptung.
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{theorem}[Kettenregel]
  Seien $E,F,G$ Banachr\"aume und seien $\Omega\subset E$ und
  $V\subset F$ offen. Seien $g\colon\Omega\to F$ in $x_0$ und $f\colon
  V\to G$ in $g(x_0)\in V$ differenzierbar. Dann ist die Verkn\"upfung
  $f\circ g$ in einer Umgebung $B_\delta(x_0)$ von $x_0$ wohldefiniert
  und in $x_0$ differenzierbar. Es gilt
  \[(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\circ g'(x_0).\]   
\end{theorem}
Wir folgen im Wesentlichen dem eindimensionalen Beweis der
Kettenregel und wiederholen den Beweis, da die Kettenregel wichtig
ist.  
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wohldefiniertheit: Wir haben angenommen, dass $g(x_0)\in V$
    gilt. Da $V$ offen ist, gibt es eine Umgebung $B_r(g(x_0))$ von
    $g(x_0)$ mit $B_r(g(x_0))\subset V$. Aufgrund der Stetigkeit von
    $g$ in $x_0$ gibt es ein $\delta>0$ mit
    $B_\delta(x_0)\subset\Omega$ und $g(B_\delta(x_0))\subset
    B_r(g(x_0))$. Somit ist die Verkn\"upfung $f\circ g$ in
    $B_\delta(x_0)$ wohldefiniert.
  \item Aufgrund der Differenzierbarkeit von $f$ in $g(x_0)$ erhalten
    wir \[f\circ g(x)-f\circ g(x_0) =f'(g(x_0))\langle
    g(x)-g(x_0)\rangle +o(\Vert g(x)-g(x_0)\Vert).\] Aufgrund der
    Differenzierbarkeit von $g$ in $x_0$ erhalten
    wir \[g(x)-g(x_0)=g'(x_0)\langle x-x_0\rangle +o(\Vert
    x-x_0\Vert).\] Zusammengenommen erhalten wir also
    \begin{align*}
      f\circ g(x) -f\circ g(x_0) =&\,f'(g(x_0))\langle g'(x_0)\langle
      x-x_0\rangle \rangle +f'(g(x_0))\langle o(\Vert
      x-x_0\Vert)\rangle\umbruch\\ 
      &\,+o(\Vert g(x)-g(x_0)\Vert).
    \end{align*}
  \item Die beiden Restterme liegen in $o(\Vert x-x_0\Vert)$: Dies ist
    f\"ur den ersten Restterm klar. Den zweiten Restterm schreiben wir
    als \[o(\Vert g(x)-g(x_0)\Vert) =\epsilon(\Vert
    g(x)-g(x_0)\Vert)\cdot\Vert g(x)-g(x_0)\Vert\] mit einer Funktion
    $\epsilon$, die $\epsilon\to0$ f\"ur $g(x)\to g(x_0)$
    erf\"ullt. Wir erhalten nach Anwendung der Norm und der
    Dreiecksungleichung auf die Definition von Differenzierbarkeit
    f\"ur $g$ \[\Vert g(x)-g(x_0)\Vert \le\Vert g'(x_0)\Vert\cdot\Vert
    x-x_0\Vert +o(\Vert x-x_0\Vert).\] Aufgrund dieser Absch\"atzung
    bleibt $\frac{\Vert g(x)-g(x_0)\Vert}{\Vert x-x_0\Vert}$ im
    Grenzwert $x\to x_0$ beschr\"ankt und da $x\to x_0$ aufgrund der
    Stetigkeit von $g$ auch $g(x)\to g(x_0)$ impliziert, folgt
    $\epsilon(\Vert g(x)-g(x_0)\Vert)\to0$. Somit erhalten
    wir \[o(\Vert g(x)-g(x_0)\Vert)\in o(\Vert x-x_0\Vert)\] und die
    Behauptung folgt.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\datumcorona{Do 18.06.2020}
\begin{corollary}
  Seien $E,E'$ Banachr\"aume, seien $\Omega\subset E$ und
  $\Omega'\subset E'$ offene Teilmengen und sei
  $f\colon\Omega\to\Omega'$ invertierbar und $g\colon\Omega'\to\Omega$
  die Inverse. Sei $f$ in $x_0\in\Omega$ differenzierbar und $g$ in
  $f(x_0)$ differenzierbar, so gilt \[g'(f(x_0))
  =\left(f'(x_0)\right)^{-1}.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gelten $\id_\Omega=g\circ f$ und $\id_{\Omega'}=f\circ g$. Setze
  $y_0:=f(x_0)$.  Wir erhalten aufgrund der
  Kettenregel \[\id_E=g'(f(x_0))\circ f'(x_0) \quad\text{und}\quad
  \id_{E'}=f'(g(y_0))\circ g'(y_0) =f'(x_0)\circ g'(f(x_0)).\] 
  Somit ist $g'(f(x_0))$ beidseitige Inverse von $f'(x_0)$ und 
  nach Voraussetzung stetig, also in $L(E',E)$. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{homoeo inv thm}
  Seien $E,E'$ Banachr\"aume. Seien $\Omega\subset E$ und
  $\Omega'\subset E'$ offene Teilmengen. Sei $f\colon\Omega\to\Omega'$
  ein Hom\"oomorphismus mit Inverse $g\colon\Omega'\to\Omega$. Falls
  $f$ in $x_0$ differenzierbar ist und $f'(x_0)$ ein Hom\"oomorphismus
  ist, ist $g$ in $f(x_0)$ differenzierbar und es gilt \[g'(f(x_0))
  =\left(f'(x_0)\right)^{-1}.\] 
\end{theorem}
Beachte, dass wir hier nicht mehr voraussetzen, dass $g$ in $f(x_0)$
differenzierbar ist. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur einen linearen Hom\"oomorphismus $A$ gilt allgemein
    folgendes: $A^{-1}$ ist stetig (und linear). Somit gibt es ein
    $c>0$, so dass $\Vert A^{-1}y\Vert\le c^{-1}\cdot\Vert y\Vert$
    f\"ur alle $y$ gilt. Wir w\"ahlen speziell $y=Ax$ und erhalten
    $c\cdot\Vert x\Vert\le\Vert Ax\Vert$. Somit erhalten wir in
    unserer Situation ein $c>0$ mit \[c\Vert x\Vert\le\Vert
    f'(x_0)\langle x\rangle\Vert\quad\text{f\"ur alle }x\in E.\] 
  \item\label{ii f homoeo thm} Aufgrund der Differenzierbarkeit von
    $f$ in $x_0$ erhalten wir mit der schon bekannten Schreibweise
    $\epsilon(\Vert a\Vert)$ f\"ur eine Funktion mit $\epsilon(\Vert
    a\Vert)\to0$ f\"ur $a\to0$
    \begin{align*}
      \Vert f(x)-f(x_0)\Vert\ge&\,\Vert f'(x_0)\langle
      x-x_0\rangle\Vert -\Vert o(\Vert x-x_0\Vert)\Vert\umbruch\\
      \ge&\,c\Vert x-x_0\Vert -\epsilon(\Vert x-x_0\Vert)\cdot \Vert
      x-x_0\Vert\umbruch\\
      \ge&\,\tfrac c2\Vert x-x_0\Vert
    \end{align*}
    f\"ur alle $x\in B_\delta(x_0)$, falls wir $\delta>0$ so klein
    w\"ahlen, dass f\"ur $x\in B_\delta(x_0)$ bereits $\epsilon(\Vert
    x-x_0\Vert)\le\frac c2$ gilt. 
  \item Wir k\"urzen nun $y=f(x)$ und $y_0=f(x_0)$ ab und erhalten
    \begin{align*}
      &\,g(y)-g(y_0)-\left(f'(x_0)\right)^{-1}\langle
      y-y_0\rangle\umbruch\\
      =&\,x-x_0-\left(f'(x_0)\right)^{-1}\langle
      f(x)-f(x_0)\rangle\umbruch\\
      =&\,\left(f'(x_0)\right)^{-1}\left\langle f'(x_0)\langle
        x-x_0\rangle -f(x)+f(x_0)\right\rangle\umbruch\\
      =&\,\left(f'(x_0)\right)^{-1}\langle -o(\Vert x-x_0\Vert)\rangle
      \overset!=o(\Vert y-y_0\Vert).
    \end{align*}
    Zur Begr\"undung der letzten Behauptung gen\"ugt aufgrund der
    Stetigkeit von $\left(f'(x_0)\right)^{-1}$ der Nachweis, dass
    $o(\Vert x-x_0\Vert)\in o(\Vert y-y_0\Vert)$ gilt. Es
    gilt \[o(\Vert x-x_0\Vert) =\epsilon(\Vert x-x_0\Vert)\cdot\Vert
    x-x_0\Vert \overset{\text{\eqref{ii f homoeo thm}}}\le
    \epsilon(\Vert x-x_0\Vert)\cdot\tfrac2c\Vert y-y_0\Vert.\]
    Wegen $x\to x_0$ \aequivalent{} $y\to y_0$ folgt damit $o(\Vert
    x-x_0\Vert)\in o(\Vert y-y_0\Vert)$ und somit auch die Behauptung
    \"uber die Differenzierbarkeit von $g$ in $f(x_0)$. \qedhere 
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proposition}
  \label{diffbarkeit fkt komp prop}
  Seien $E$ ein Banachraum, $\Omega\subset E$ offen und
  $F=\prod\limits_{i=1}^n F_i$ ein Produktraum von Banachr\"aumen. Sei
  $f\colon\Omega\to F$ mit $f=\left(f^i\right)_{1\le i\le n}$ eine
  Abbildung. Dann ist $f$ genau dann in $x_0$ differenzierbar, falls
  jede Komponente $f^i$, $1\le i\le n$, in $x_0$ differenzierbar ist
  und es gilt \[Df(x_0) =\left(Df^1(x_0),\ldots,Df^n(x_0)\right),\]
  wobei wir $L(E,F)$ und $\prod\limits_{i=1}^n L(E,F_i)$ (mit
  Maximumsnorm) wie nachfolgend angegeben identifizieren.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Zur Identifikation: 
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item Zu $A\in L(E,F)$ definieren wir $A_i=\pi_i\circ A\in
      L(E,F_i)$.
    \item Umgekehrt ordnen wir den Abbildungen $A_i\in L(E,F_i)$,
      $1\le i\le n$, die Abbildung $A\colon x\mapsto
      (A_1x,\ldots,A_nx)$ zu.
    \item Nach Definition der Maximumsnorm auf dem Produktraum gilt
      $\Vert Ax\Vert =\max\limits_{1\le i\le n} \Vert A_ix\Vert$ und
      wir erhalten \[\Vert A\Vert =\sup\limits_{\Vert x\Vert=1} \Vert
      Ax\Vert =\sup\limits_{\Vert x\Vert=1} \max\limits_{1\le i\le n}
      \Vert A_ix\Vert =\max\limits_{1\le i\le n} \sup\limits_{\Vert
        x\Vert=1} \Vert A_i x\Vert = \max\limits_{1\le i\le n}\Vert
      A_i\Vert.\] Damit sind die angegebenen Abbildungen normtreue
      Isomorphismen, wir d\"urfen die beiden R\"aume also wie
      angegeben identifizieren.
    \end{enumerate}
  \item Differenzierbarkeit:
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item Die kanonische Projektion $\pi_i\colon F\to F_i$ ist eine
      lineare stetige Abbildung. Ist $f$ in $x_0$ differenzierbar, so
      auch $f^i=\pi_i\circ f$ und nach Kettenregel gilt $Df^i(x_0)
      =\pi_i\circ Df(x_0)$.
    \item Seien umgekehrt die Abbildungen $f^i$, $1\le i\le n$, in
      $x_0$ differenzierbar. Dann erhalten wir f\"ur jedes
      $i$ \[f^i(x) =f^i(x_0) +Df^i(x_0)\langle x-x_0\rangle +o(\Vert
      x-x_0\Vert).\] Diese Komponenten fassen wir zusammen und
      erhalten mit Hilfe der obigen Identifikation
      \begin{align*}
        f(x)=&\,f(x_0) +\left(Df^1(x_0),\ldots,Df^n(x_0)\right)\langle
        x-x_0\rangle\\ &\,\quad+\underbrace{(o(\Vert
          x-x_0\Vert),\ldots,o(\Vert x-x_0\Vert))}_{\in o(\Vert
          x-x_0\Vert)},
      \end{align*}
      wobei \glqq$\in$\grqq{} nach Definition der Produktnorm
      folgt. \qedhere 
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\datum{Mo 02.06.2025}
\begin{proposition}[Produkt- und Quotientenregel]
  Seien $E$ ein Banachraum, $\Omega\subset E$ offen und
  $f,\,g\colon\Omega\to\K$ in $x_0\in\Omega$ differenzierbar. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist auch $h:=fg$ in $x_0$ differenzierbar und es gilt
    f\"ur $Dh(x_0)\in L(E;\K)$ sowie $v\in E$
    \[Dh(x_0)\langle v\rangle = Df(x_0)\langle v\rangle \cdot g(x_0)
      +f(x_0)\cdot Dg(x_0)\langle v\rangle\in\K.\]
    % \[Dh(x_0) =Df(x_0)\cdot g(x_0) +f(x_0)\cdot Dg(x_0).\] (Dabei ist
    % $Dh(x_0)\in L(E;\K)$ durch \[E\ni v\mapsto Df(x_0)\langle v\rangle
    % \cdot g(x_0) +f(x_0)\cdot Dg(x_0)\langle v\rangle\in\K\] gegeben.)
  \item Ist $f\neq0$ nahe $x_0$, so ist auch $h:=\frac1f$ in $x_0$
    differenzierbar und es gilt dort \[Dh(x_0)=-\frac1{f^2(x_0)}
    Df(x_0).\]
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Statt dies von Hand zu zeigen, k\"onnen wir wie folgt
    Bekanntes verwenden: Sei $a\in L_2(\K;\K)$ definiert durch
    $a(s,t):=s\cdot t$. Sei weiter $\phi\colon\Omega\to\K^2$ die
    Abbildung mit $\phi(x):=(f(x),g(x))$. Dann gilt $h=a\circ\phi$,
    $h$ ist nach Kettenregel differenzierbar und es gilt
    $Dh(x_0)=Da(\phi(x_0))\langle D\phi(x_0) \langle\cdot
    \rangle\rangle$. Man \"uberzeugt sich anhand der bereits
    hergeleiteten Formeln f\"ur $Da$ und $D\phi$, dass dies
    tats\"achlich die Behauptung zeigt.
  \item \"Ubung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{max abl null thm}
  Seien $E$ ein Banachraum, $\Omega\subset E$ offen und
  $f\colon\Omega\to\R$ eine in $x_0\in\Omega$ differenzierbare
  Funktion, die in $x_0$ ein lokales Maximum annimmt. Dann gilt
  $Df(x_0)=0$. \par
\end{theorem}
\weg{
Analog zum Fall eines eindimensionalen Definitionsgebietes definieren
wir kritische Punkte.
\begin{definition}
  Sei $E$ ein Banachraum, $\Omega\subset E$ offen und
  $f\colon\Omega\to\R$ in $x_0\in\Omega$ differenzierbar. Dann
  hei\ss{}t $x_0$ \emph{kritischer Punkt}, falls $Df(x_0)=0$ gilt.   
\end{definition}
} % weg
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{max abl null thm}]
  Sei $e\in E$ ein beliebiger Vektor. Dann gibt es $\epsilon>0$, so
  dass $x_0+t e\in\Omega$ f\"ur alle $t\in(-\epsilon,\epsilon)$
  gilt. Nach Kettenregel ist die Funktion $\phi\colon\R\to\R$ mit
  $\phi(t):=f(x_0+te)$ in $t=0$ differenzierbar und nimmt in $t=0$ ein
  lokales Maximum an. Somit gilt nach Proposition \ref{abl extr null
    prop} \[0=\phi'(0) =Df(x_0)\langle e\rangle.\] Da $e\in E$
  beliebig war, folgt $Df(x_0)=0\in L(E,\R)$.
\end{proof}

Die Funktionenr\"aume der einmal stetig differenzierbaren Funktionen
definieren wir formal genauso wie f\"ur $\Omega\subset\R$. Auch hier
ist $C^1\left(\ol\Omega,F\right)$ mit der $C^1$-Norm ein Banachraum.
\weg{
\begin{definition}
  \stern
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und $\Omega\subset E$ offen. Dann
  definieren wir die folgenden Funktionenr\"aume: 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $C^1(\Omega,F):=\{f\colon\Omega\to F\,\,\colon f\text{ ist in
      $\Omega$ stetig differenzierbar}\}$.
  \item $C^1\left(\ol\Omega,F\right)
    :=\left\{\rule{0mm}{1.2ex}\right.\!f\in C^1(\Omega,F)\colon f$ und
    $Df$ lassen sich stetig und beschr\"ankt auf $\ol\Omega$
    fortsetzen$\left.\!\rule{0mm}{1.2ex}\right\}$.
  \item Wir definieren die $C^1$-Norm auf
    $C^1\left(\ol\Omega,F\right)$ durch \[\Vert
    f\Vert_{C^1\left(\ol\Omega,F\right)} \equiv \Vert
    f\Vert_{C^1(\Omega,F)} \equiv \Vert f\Vert_{C^1}:=
    \sup\limits_{x\in\Omega} \Vert f(x)\Vert_F
    +\sup\limits_{x\in\Omega} \Vert Df(x)\Vert_{L(E,F)}.\]
  \item Ist $F=\R$, so schreiben wir auch $C^1(\Omega)\equiv
    C^1(\Omega,\R)$, $C^1\left(\ol\Omega\right)\equiv
    C^1\left(\ol\Omega,\R\right)$ oder gelegentlich auch
    $|f|_{C^1}\equiv\Vert f\Vert_{C^1}$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und sei $\Omega\subset E$ offen. Dann ist
  der Vektorraum $C^1\left(\ol\Omega,F\right)$ mit der $C^1$-Norm ein
  Banachraum.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}
} % weg

\subsubsection*{Eulersche Homogenit\"atsrelation} 
\datumcorona{Mo 22.06.2020}
\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $E$ ein $\R$-Vektorraum. Dann hei\ss{}t $\Gamma\subset E$
    ein \emph{Kegel,} falls \[x\in\Gamma\quad\impliziert\quad
    tx\in\Gamma\] f\"ur alle $t>0$ gilt. 
  \item Seien $E,F$ zwei $\R$-Vektorr\"aume und $\Gamma\subset E$ ein
    Kegel. Dann hei\ss{}t eine Funktion $\phi\colon\Gamma\to F$
    \emph{positiv homogen} vom Grade $\alpha$ mit $\alpha\in\R$,
    falls \[\phi(tx)=t^\alpha\phi(x)\] f\"ur alle $t>0$ und alle
    $x\in\Gamma$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{proposition}[Eulersche Homogenit\"atsrelation]
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ ein offener Kegel und
  sei $\phi\colon\Omega\to F$ differenzierbar. Dann ist $\phi$ genau
  dann positiv homogen vom Grade $\alpha$, wenn die \emph{Eulersche
    Homogenit\"atsrelation} \[D\phi(x)\langle x\rangle
  =\alpha\phi(x)\] f\"ur alle $x\in\Omega$ gilt.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item[\Hinrichtung] Sei $\phi$ positiv homogen vom Grade
    $\alpha$. Fixiere $x\in\Omega$ beliebig und definiere
    $f(t):=\phi(tx)$ f\"ur $t>0$. Wegen $f(t)=t^\alpha\phi(x)$
    k\"onnen wir $f$ auf zwei Arten differenzieren und
    erhalten \[f'(t)= D\phi(tx)\langle x\rangle =\alpha
    t^{\alpha-1}\phi(x).\] Wir werten dies im Punkt $t=1$ aus und
    erhalten die Behauptung.
    \weg{
    \item[\Rueckrichtung] \stern Gelte umgekehrt die Eulersche
      Homogenit\"atsrelation. Definiere wieder $f(t):=\phi(tx)$ f\"ur
      festes $x\in\Omega$ und $t>0$. Wir differenzieren und erhalten
      mit Hilfe der Eulerschen Homogenit\"atsrelation
      \[f'(t) =D\phi(tx)\langle x\rangle =\tfrac1t D\phi(tx)\langle
        tx\rangle =\tfrac1t\alpha\phi(tx) =\tfrac1t\alpha f(t).\] Dies
      ist eine Differentialgleichung f\"ur $f$. Andererseits l\"ost
      auch $h(t):=t^\alpha f(1)$, $t>0$, dieselbe
      Differentialgleichung, wie man direkt nachrechnet. Nun gilt
      f\"ur $t>1$ aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und
      Integralrechnung
      \begin{align*}
        \Vert f(t)-h(t)\Vert
        &\le\underbrace{\Vert f(1)-h(1)\Vert}_{=0}
             +\left\Vert \int\limits_1^t f'(s)\,ds- \int\limits_1^t
             h'(s)\,ds\right\Vert\umbruch\\
        &\le\int\limits_1^t\Vert f'(s)-h'(s)\Vert\,ds =\int\limits_1^t
             \frac1s|\alpha|\cdot \Vert f(s)-h(s)\Vert\,ds
      \end{align*}
      und das Gronwallsche Lemma, angewandt auf
      $\psi(t)=\Vert f(t)-h(t)\Vert$, liefert aufgrund der
      Beschr\"anktheit von $\frac1s|\alpha|$ f\"ur $s\in[1,t]$ die
      Eindeutigkeit.  (Solch eine Argumentation wird uns im dritten
      Semester noch in allgemeineren Situationen begegnen. Der Fall
      $\alpha=0$ funktioniert auch direkt ohne Gronwallsches Lemma.)
      Eine analoge Argumentation funktioniert im Falle $t<1$.  Somit
      folgt $f=h$ und wir erhalten die Behauptung.
    } % weg
    \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

\Subsection{Der Mittelwertsatz und Anwendungen}

Den schon bekannten Mittelwertsatz k\"onnen wir wie folgt
verallgemeinern. 
\begin{theorem}[Mittelwertsatz (MWS)]
  \label{mws thm}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und sei
  $f\colon\Omega\to F$ differenzierbar. Seien $x,y\in\Omega$ mit
  $[x,y]\subset\Omega$. Dann folgt
  \[\Vert f(x)-f(y)\Vert \le\sup\limits_{0\le t\le 1} \Vert
    Df(tx+(1-t)y)\Vert\cdot\Vert x-y\Vert =\sup\limits_{z\in[x,y]}
    \Vert Df(z)\Vert\cdot\Vert x-y\Vert.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren $\phi(t):=f(tx+(1-t)y)$. (Manche Autoren bevorzugen
  die \"aquivalente Definition $\phi(t):=f(y+t(x-y))$. Auf jeden Fall
  werden solche \emph{Konvexkombinationen} h\"aufiger verwandt.) Da
  $\Omega$ offen ist, ist $\phi$ nicht nur auf $[0,1]$ sondern auch
  noch auf $(-\epsilon,1+\epsilon)$ f\"ur ein kleines $\epsilon>0$
  definiert und aufgrund der Kettenregel differenzierbar. Mit Hilfe
  des Mittelwertsatzes f\"ur auf Intervallen definierte Funktionen und
  der Kettenregel erhalten wir
  \begin{align*}
    \Vert f(x)-f(y)\Vert=&\,\Vert\phi(1)-\phi(0)\Vert
    \le\sup\limits_{0\le t\le 1}\Vert\phi'(t)\Vert\cdot|1-0|\umbruch\\
    =&\,\sup\limits_{0\le t\le 1} \Vert Df(tx+(1-t)y)\langle
    x-y\rangle\Vert\umbruch\\ \le&\,\sup\limits_{0\le t\le 1} \Vert
    Df(tx+(1-t)y)\Vert \cdot\Vert x-y\Vert
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

Analog zum Eindimensionalen erhalten wir auch hier das folgende 
\begin{corollary}
  \label{mws br cor}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und
  $f\colon\Omega\to F$ differenzierbar. Seien $x,y,x_0\in\Omega$
  beliebig mit $[x,y]\subset\Omega$. Dann gilt \[\Vert
  f(x)-f(y)-Df(x_0)\langle x-y\rangle\Vert \le \sup\limits_{z\in[x,y]}
  \Vert Df(z)-Df(x_0)\Vert\cdot\Vert x-y\Vert.\] 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende den Mittelwertsatz auf die
  Funktion \[g(x):=f(x)-Df(x_0)\langle x\rangle\] an. 
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern Auch hier k\"onnen wir wie im Eindimensionalen $Df(x_0)$
  durch ein beliebiges Element $A\in L(E,F)$ ersetzen.
\end{remark}
} % weg

\begin{corollary}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ ein \emph{Gebiet,}
  d.\,h.{} eine offene und zusammenh\"angende Menge, und
  $f\colon\Omega\to F$ differenzierbar. Gilt $Df\equiv0$ in $\Omega$,
  so ist $f$ konstant.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\Omega$.  Aus Theorem \ref{mws thm} folgt, dass $f$
  auf Geradenst\"ucken in $\Omega$, \dh Mengen der Form
  $[x,y]\subset\Omega$, konstant ist. Somit folgt, dass
  $\Lambda:=\{x\in\Omega\colon f(x)=f(x_0)\}$ offen, abgeschlossen und
  nichtleer ist, genauer:
  \begin{itemize}
  \item offen: Sei $y\in\Lambda$. Dann gibt es ein $\epsilon>0$ mit
    $B_\epsilon(y)\subset\Omega$. Sei $z\in B_\epsilon(y)$
    beliebig. Wegen $[y,z]\in\Omega$ ist $f$ auf $[y,z]$
    konstant. Somit folgt insbesondere $z\in\Lambda$ und $\Lambda$ ist
    offen.
  \item abgeschlossen: Aufgrund der Stetigkeit von $f$ ist $\Lambda$
    (relativ) abgeschlossen. (Wie bei der Offenheit k\"onnte man hier
    auch vom Grenzwert einer in $\Omega$ konvergenten Folge her
    argumentieren.) 
  \item nichtleer: Es gilt $x_0\in\Lambda$. 
  \end{itemize}
  Da $\Omega$ zusammenh\"angend ist, folgt die Behauptung.
\end{proof}

\Subsection{Differentiation von Funktionenfolgen}
\datum{Lesestoff}
Wir erhalten \"ahnliche Resultate wie im Eindimensionalen, z.\,B.{}
wie in Theorem \ref{diff glm limes thm}.
\begin{theorem}
  \label{n abl vert eins thm}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen. Sei
  $(f_n)_n\subset C^1(\Omega,F)$ eine Funktionenfolge mit $f_n\to f$
  und $Df_n\rightrightarrows g$ f\"ur Funktionen $f\colon\Omega\to F$
  und $g\colon\Omega\to L(E,F)$. Dann ist $f$ ebenfalls stetig
  differenzierbar und es gilt $Df=g$.  Ist $\Omega$ zus\"atzlich
  konvex und beschr\"ankt, so folgt $f_n\rightrightarrows f$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $g$ ist als Grenzwert stetiger Funktionen unter
    gleichm\"a\ss{}iger Konvergenz selbst wieder stetig.
  \item $Df=g$: Sei $x_0\in\Omega$ beliebig. F\"ur den Nachweis, dass
    $f$ differenzierbar ist und $Df=g$ gilt, d\"urfen wir ohne
    Einschr\"ankung annehmen, dass $\Omega$ ein Ball ist.\par Seien
    $x,x_0\in\Omega$. Der Mittelwertsatz, Korollar \ref{mws br cor},
    impliziert \[\Vert f_n(x)-f_n(x_0)-Df_n(x_0)\langle
    x-x_0\rangle\Vert \le\sup\limits_{y\in[x,x_0]}\Vert Df_n(y)
    -Df_n(x_0)\Vert\cdot\Vert x-x_0\Vert.\] Aufgrund der punktweisen
    Konvergenz $f_n\to f$ und $Df_n\to g$ konvergiert die linke Seite
    f\"ur $n\to\infty$ gegen $\Vert f(x)-f(x_0)-g(x_0)\langle
    x-x_0\rangle\Vert$. F\"ur die rechte Seite liefert die
    Dreiecksungleichung 
    \begin{align*} 
      &\,\sup\limits_{y\in[x,x_0]} \Vert
      Df_n(y)-Df_n(x_0)\Vert\umbruch\\ \le&\,\sup\limits_{y\in[x,x_0]}
      \Vert Df_n(y)-g(y)\Vert +\sup\limits_{y\in[x,x_0]} \Vert
      g(y)-g(x_0)\Vert +\Vert g(x_0)-Df_n(x_0)\Vert.
    \end{align*}
    Auf der rechten Seite konvergiert der erste Term aufgrund der
    gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz $Df_n\rightrightarrows g$ gegen
    Null und der dritte Term konvergiert aufgrund der punktweisen
    Konvergenz ebenfalls f\"ur $n\to\infty$ gegen Null. Somit
    folgt \[\Vert f(x)-f(x_0)-g(x_0)\langle x-x_0\rangle\Vert
    \le\sup\limits_{y\in[x,x_0]} \Vert g(y)-g(x_0)\Vert\cdot\Vert
    x-x_0\Vert.\] Da $g$ stetig ist, folgt $\sup\limits_{y\in[x,x_0]}
    \Vert g(y)-g(x_0)\Vert\to0$ f\"ur $x\to x_0$. Somit liegt die
    rechte Seite in $o(\Vert x-x_0\Vert)$, $f$ ist an der Stelle $x_0$
    differenzierbar und es gilt $g=Df$.
  \item\label{iii n lim vert thm} $f_n\rightrightarrows f$: Sei
    $d:=\diam\Omega$. Sei $\epsilon>0$. Sei $x\in\Omega$ beliebig und
    sei $y\in\Omega$ fest gew\"ahlt. Dann impliziert der
    Mittelwertsatz, angewandt auf die Funktion $f_n-f_m$,
    \[\Vert (f_n(x)-f_m(x)) -(f_n(y)-f_m(y))\Vert
      \le\sup\limits_{z\in\Omega}\Vert Df_n(z)-Df_m(z)\Vert\cdot d.\]
    Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz ist die rechte Seite
    f\"ur gro\ss{}e $n,m$ kleiner als $\epsilon$ und aufgrund der
    punktweisen Konvergenz gilt $\Vert f_n(y)-f_m(y)\Vert\le\epsilon$
    f\"ur gro\ss{}e $n,m$. Somit folgt f\"ur solche $n,m$ aufgrund der
    Dreiecksungleichung f\"ur beliebige $x\in\Omega$
    \begin{align*} 
      &\,\Vert f_n(x)-f_m(x)\Vert\umbruch\\ \le&\,
      \Vert(f_n(x)-f_m(x))-(f_n(y)-f_m(y))\Vert +\Vert
      f_n(y)-f_m(y)\Vert \le 2\epsilon.
    \end{align*}
    Die Behauptung folgt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
Aufgrund der \"Uberlegungen des letzten Abschnittes k\"onnen wir statt
$f_n\to f$ auch nur $f_n(x_0)\to f(x_0)$ f\"ur ein $x_0\in\Omega$
fordern und erhalten
\begin{theorem} \stern
  \label{n abl vert zwei thm}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und $\Omega\subset E$ ein Gebiet. Sei
  $(f_n)_n\in C^1(\Omega,F)$ eine Funktionenfolge mit $f_n(x_0)\to
  f(x_0)$ f\"ur ein $x_0\in\Omega$ (wobei wir $f(x_0)$ als diesen
  Grenzwert definieren). Nehme an, dass $Df_n$ lokal gleichm\"a\ss{}ig
  gegen $g$ konvergiert. Dann definiert
  $f(x):=\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)$ f\"ur $x\in\Omega$ eine
  Funktion $f\colon\Omega\to F$. Weiterhin ist $f$ stetig
  differenzierbar, es gilt $Df=g$ und die Funktionen $f_n$
  konvergieren lokal gleichm\"a\ss{}ig gegen $f$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir zeigen zun\"achst, dass $f_n\to f$ gilt.  
  \item $g$ ist als gleichm\"a\ss{}iger Limes stetiger Funktionen in
    geeigneten B\"allen dort und deshalb \"uberall selbst ebenfalls
    stetig.
  \item Definiere \[\Lambda:=\{x\in\Omega\colon (f_n(x))_n \text{
      konvergiert}\}.\] Es gilt $x_0\in\Lambda$ und somit
    $\Lambda\neq\emptyset$.
  \item\label{pkt konv glm konv item} In Theorem \ref{n abl vert eins
      thm} \eqref{iii n lim vert thm} haben wir gesehen, dass
    $f_n\rightrightarrows f$ in einem Ball $B_\delta$, in dem
    $Df_n\rightrightarrows g$ gilt, gilt, falls $f_n(y)\to f(y)$ f\"ur
    ein $y\in B_\delta$ gilt, selbst wenn die Wortwahl nicht besonders
    abwechslungsreich ist.\par Genauer haben wir dort nur die
    entsprechende Cauchyfolgenbedingung gezeigt. Mit $m\to\infty$ fort
    dort aber sofort die Existenz von $f$ und die Behauptung
    $f_n\rightrightarrows f$ in $B_\delta$.
  \item $\Lambda$ ist offen: Sei $y\in\Lambda$. Nach \eqref{pkt konv
      glm konv item} erhalten wir aufgrund der Konvergenz in $y$, dass
    $f_n\rightrightarrows f$ in einem Ball $B_\delta(y)\subset\Omega$
    gilt, in dem $Df_n$ gleichm\"a\ss{}ig gegen $g$ konvergiert. 
  \item $\Lambda$ ist abgeschlossen: Sei $x_k\to \hat x\in\Omega$ eine
    Folge in $\Omega$ mit $x_k\in\Lambda$ f\"ur alle $k$. Sei
    $B_\delta(\hat x)\subset\Omega$ ein Ball, in dem $Df_n$
    gleichm\"a\ss{}ig gegen $g$ konvergiert. F\"ur gro\ss{}e $k$ gilt
    $x_k\in B_\delta(\hat x)$. Wegen $f_n(x_k)\to f(x_k)$ f\"ur solche
    $k$ erhalten wir nach \eqref{pkt konv glm konv item}
    $f_n\rightrightarrows f$ in $B_\delta(\hat x)$ und daher
    insbesondere Konvergenz in $\hat x$. Somit ist $\Lambda$ auch
    abgeschlossen.
  \item Da $\Omega$ zusammenh\"angend ist, folgt $\Lambda=\Omega$ und
    somit $f_n\to f$ in $\Omega$. 
  \item Nun folgt der Rest der Behauptung nach Theorem \ref{n abl vert
      eins thm}.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}
}

\subsubsection*{Differentiation von Reihen}

\datum{Do 05.06.2025}
\weg{
\begin{theorem} \stern Seien $E,F$ Banachr\"aume. Sei $\Omega\subset
  E$ ein Gebiet und $(f_n)_n\in C^1(\Omega,F)$. Angenommen, die Reihe
  $((f_n(x_0)))_n$ konvergiert f\"ur ein $x_0\in\Omega$ und zu jedem
  $y\in\Omega$ gibt es eine Kugel $B=B_\delta(y)\subset\Omega$, in der
  $((Df_n))_n$ gleichm\"a\ss{}ig konvergiert. Dann konvergiert die
  Reihe $((f_n))_n$ lokal gleichm\"a\ss{}ig in $\Omega$. Definiere
  f\"ur $x\in\Omega$ \[f(x):=\sum\limits_{n\in\N} f_n(x).\] Dann ist
  $f\in C^1(\Omega,F)$ und es gilt \[Df=\sum\limits_{n\in\N} Df_n.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende Theorem \ref{n abl vert zwei thm} auf die Folge der
  Partialsummen an. 
\end{proof}
} % weg

\begin{beispiel}
  Sei $E$ ein Banachraum. Definiere
  \begin{align*}
    \exp\colon L(E)\to&\,L(E),\\
    A\mapsto&\,\exp A\equiv e^A:= \sum\limits_{n\in\N} \frac{A^n}{n!}. 
  \end{align*}
  Wir m\"ochten nun die Ableitung der Exponentialfunktion
  ausrechnen. Dies wird im dritten Semester f\"ur lineare
  gew\"ohnliche Differentialgleichungen wichtig. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Definiere $f_n\colon L(E)\to L(E)$ durch $A\mapsto A^n$.
  \item Wir definieren weiterhin die lineare Abbildung
    $\phi\colon L(E)\to L(E)^n$ durch $A\mapsto(A,\ldots,A)$ und
    erhalten $D\phi(A)\langle B\rangle =(B,\ldots,B)$.
  \item Definiere schlie\ss{}lich die multilineare Abbildung
    $a\in L_n(L(E);L(E))$
    durch \[a(A_1,\ldots,A_n)=A_1\circ\ldots\circ A_n.\] Als
    multilineare Abbildung ist $a$ differenzierbar und es
    gilt
    \[Da(A_1,\ldots,A_n)\langle B,\ldots,B\rangle =\sum\limits_{i=1}^n
      A_1\circ\ldots\circ A_{i-1}\circ B\circ A_{i+1}\circ\ldots\circ
      A_n.\]
  \item Es gilt $f_n=a\circ\phi$ und daher nach Kettenregel
    \[Df_n(A)\langle B\rangle =Da(\phi(A))\langle D\phi(A)\langle
      B\rangle\rangle =\sum\limits_{i=1}^n
      \underbrace{A\circ\ldots\circ A}_{i-1\text{ St\"uck}}\circ
      B\circ \underbrace{A\circ\ldots\circ A}_{n-i\text{ St\"uck}}.\]
  \item Es gilt
    $\Vert Df_n(A)\langle B\rangle\Vert \le n\Vert A\Vert^{n-1}\Vert
    B\Vert$ und somit folgt
    $\Vert Df_n(A)\Vert \le n\Vert A\Vert^{n-1}$. Also konvergiert die
    Reihe $\left(\left(\frac1{n!}Df_n(\cdot)\right)\right)_n$ auf
    beliebigen aber festen B\"allen $B_r(0)\subset L(E)$
    gleichm\"a\ss{}ig (Majorantenkriterium mit
    $\exp'(r)=\exp(r)$). Somit ist die Exponentialfunktion
    differenzierbar und es gilt
    \[D\exp(A)\langle B\rangle =\sum\limits_{n\in\N} \frac1{n!}
      Df_n(A)\langle B\rangle.\]
  \item Der Ausdruck f\"ur die Ableitung wird im Falle $[A,B]=0$,
    d.\,h.{} $AB=BA$ \"ubersichtlicher. In diesem Fall gilt
    $Df_n(A)\langle B\rangle =nA^{n-1}B$ und wir erhalten
    \[D\exp(A)\langle B\rangle =e^AB=Be^A.\]
  \end{enumerate}
\end{beispiel}

\Subsection{Partielle Ableitungen}
\datumcorona{Do 25.06.2020} Wir beschr\"anken uns hier auf den
$\R^n$-Fall. Beim ersten Lesen gen\"ugt es, den Fall $\R$-wertiger
Funktionen zu verstehen. Der Banachraumfall ist herauskommentiert und
als Anhang in der \texttt{tex}-Datei vorhanden.

\weg{
Wir wiederholen Definition \ref{partielle abl def}.
\begin{definition}
  \stern 
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $F$ ein Banachraum und sei
  $f\colon\Omega\to F$ eine Funktion. Sei
  $x_0=\left(x^i_0\right)_{1\le i\le n}\in\Omega$ und sei
  $\epsilon>0$, so dass f\"ur alle
  $z=\left(z^i\right)_{1\le i\le n}\in\R^n$ mit
  $\left|x^i_0-z^i\right|<\epsilon$ auch $z\in\Omega$ gilt.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $f$ in $x_0$ in Richtung $i$, $1\le i\le n$,
    \emph{partiell differenzierbar}, falls die
    Abbildung
    \[\left(x^i_0-\epsilon,x^i_0+\epsilon\right)\ni x^i\mapsto
      f\left(x^1_0,\ldots,x^{i-1}_0,x^i,x^{i+1}_0,\ldots,x^n_0\right)
      \equiv f\left(\hat x^i_0,x^i\right)\] in $x^i_0$ differenzierbar
    ist. Die Ableitung dieser Funktion hei\ss{}t \emph{partielle
      Ableitung} von $f$ in $x_0$ in Richtung $i$ (oder bez\"uglich
    $x^i$). Wir schreiben
    $D_if(x_0)\equiv\fracp f{x^i}(x_0)\equiv f_i(x_0)$. Es gilt
    $D_if(x_0)\in L(\R,F)\cong F$.
  \item $f$ hei\ss{}t in $x_0$ \emph{partiell differenzierbar,} falls
    $f$ in $x_0$ in alle Richtungen $i$, $1\le i\le n$, partiell
    differenzierbar ist.
  \item Ist $f$ in allen Punkten $x\in\Omega$ partiell
    differenzierbar, so ist $D_if$ eine Abbildung
    $D_if\colon\Omega\to F$ und $f$ hei\ss{}t in $\Omega$
    \emph{partiell differenzierbar.} Sind alle diese Abbildungen
    $D_if$, $1\le i\le n$, stetig, so hei\ss{}t $f$ \emph{stetig
      partiell differenzierbar.}
  \end{enumerate}
\end{definition}
} % weg

\weg{
\begin{remark}
  \stern 
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die obige Bedingung an $z$ ist \"aquivalent
    zu
    \[\prod\limits_{i=1}^n \left(x^i_0-\epsilon,x^i_0+\epsilon\right)
      \subset\Omega.\]
  \item Die Definition von partieller Differenzierbarkeit ist
    unabh\"angig von der Wahl von $\epsilon>0$. Auch gen\"ugt es, dass
    die Verbindungsstrecke
    \[\left[\left(\hat x_0^i,x_0^i-\epsilon\right),\left(\hat
        x_0^i,x_0^i+\epsilon\right)\right]\subset\Omega\] erf\"ullt. 
    \begin{proof}[Beweis]
      \"Ubung. 
    \end{proof}
  \item Die Existenz eines solchen $\epsilon>0$ folgt aus der
    Offenheit von $\Omega$, unabh\"angig von der Wahl einer
    (\"aquivalenten) Norm auf $\R^n$.
  \item Wir haben oben $L(\R,F)$ und $F$ verm\"oge der
    Abbildung \[L(\R,F)\ni\phi\mapsto \phi(1)\in F\] identifiziert und
    wollen dies sp\"ater ohne weitere Erw\"ahnung ebenfalls
    machen. Diese Abbildung ist ein Vektorraumisomorphismus und
    erh\"alt die Norm:
    $\Vert\phi\Vert_{L(\R,F)} =\Vert\phi(1)\Vert_F$. \par Man
    bezeichnet eine solche Abbildung auch als isometrischen
    Ba\-nach\-raum\-iso\-mor\-phis\-mus. (Bei einem
    Banachraumisomorphismus $\Phi\colon E\to F$ w\"are auch
    $\frac1c\Vert x\Vert_E\le \Vert\Phi(x)\Vert_F \le c\Vert x\Vert_E$
    f\"ur ein $c>0$ und beliebige $x\in E$ m\"oglich.)
  \item Zur Abgrenzung gegen\"uber partiellen Ableitungen bezeichnen
    wir die \"ubliche Ableitung gelegentlich als \emph{totale}
    Ableitung.
  \item Wir werden zun\"achst eher die Bezeichnung $D_if$ verwenden,
    da ein Ausdruck wie $\fracp{f}{x^1}\left(x^2,x^1\right)$ oder
    $f_1\left(x^2,x^1\right)$ leichter zu Missverst\"andnissen
    f\"uhrt. Sp\"ater werden wir jedoch diese Schreibweisen
    bevorzugen.
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\begin{proposition}
  \label{abl komp prop}
  Sei $\Omega\subset \R^n$ offen. Sei $F$ ein Banachraum und sei
  $f\colon\Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$ differenzierbar. Dann ist $f$
  in $x_0$ auch partiell differenzierbar.\par Ist
  $\chi_i\colon \R\hookrightarrow \R^n$ mit
  $x\mapsto(0,\ldots,0,x,0,\ldots,0)$ die kanonische Einbettung (in
  die $i$-te Komponente), so
  folgt \[D_if(x_0)=Df(x_0)\circ\chi_i.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\epsilon>0$ so klein, dass
  $\left(\hat x_0^i,x^i\right)
  \equiv\left(x_0^1,\ldots,x_0^{i-1},x^i,x_0^{i+1},\ldots,x_0^n\right)
  \in\Omega$ f\"ur alle
  $x^i\in\left(x^i_0-\epsilon, x^i_0+\epsilon\right)$ gilt. Wir
  definieren die Abbildung
  \begin{align*}
    \phi\colon(x_0^i-\epsilon,x_0^i+\epsilon)\to&\,\Omega,\umbruch\\
    x^i\mapsto&\,\left(\hat x_0^i,x^i\right).
  \end{align*}
  Da $\phi$ affin linear ist, folgt
  \[D\phi\left(x^i\right)\langle t\rangle =(0,\ldots,0,t,0,\ldots,0)
    =\chi_i\langle t\rangle\] f\"ur alle
  $x^i\in (x_0^i-\epsilon,x_0^i+\epsilon)$ und alle $t\in\R$, also
  $D\phi\left(x^i\right) =\chi_i$. Nun gilt
  \[f\left(\hat x_0^i,x^i\right) =f\circ\phi\left(x^i\right).\] Auf
  der linken Seite steht hier die Funktion aus der Definition der
  partiellen Ableitung. Wenden wir die Kettenregel auf die rechte Seite
  an, so erhalten wir
  \[D_if(x_0) =Df\left(\phi\left(x^i_0\right)\right) \left\langle
      D\phi\left(x^i_0\right)\right\rangle =Df(x_0)\circ\chi_i\] und
  daher gerade die Behauptung.
\end{proof}

Die Ableitung einer Funktion ergibt sich aus den partiellen
Ableitungen. 
\begin{corollary}
  \label{abl komp cor}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $F$ ein Banachraum. Sei
  $f\colon\Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$ differenzierbar. Dann
  folgt \[Df(x_0)\langle u\rangle =\sum\limits_{i=1}^n
  D_if(x_0)\left\langle u^i\right\rangle\quad\text{f\"ur
  }u=\left(u^i\right)_{1\le i\le n}\in\R^n,\] d.\,h.{} es gilt
  \[Df(x_0)=\sum\limits_{i=1}^n D_if(x_0)\circ\pi_i,\] wobei
  $\pi_i\colon\R^n\to\R$ die kanonische Projektion auf die $i$-te
  Komponente bezeichnet. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt nach Proposition \ref{abl komp prop} in der dortigen
  Notation und aufgrund der Linearit\"at
  \[\sum\limits_{i=1}^n D_if(x_0)\left\langle u^i\right\rangle
    =\sum\limits_{i=1}^n Df(x_0) \left\langle\chi_i \left\langle
        u^i\right\rangle \right\rangle =Df(x_0) \left\langle
      \sum\limits_{i=1}^n \chi_i\left\langle u^i\right\rangle
    \right\rangle =Df(x_0)\langle u\rangle\] wie behauptet.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $f\colon\Omega\to\R$ in
  $x_0\in\Omega$ differenzierbar, so haben wir $Df(x_0)$ mit einem
  Vektor in $\R^n$ identifiziert. Nun gilt
  \[\nabla f(x_0)=(f_1,\ldots,f_n)^T.\]
\end{remark}

\weg{
Umgekehrt braucht eine partiell differenzierbare Funktion nicht
differenzierbar zu sein.
\begin{beispiel}
  \label{partiell diffb nicht diffb bsp}
  Definiere $f\colon\R^2\to\R$ durch
  \[f(x,y):=
  \begin{cases}
    \frac{x^3}{x^2+y^2},&(x,y)\neq0,\\
    0,&(x,y)=0.
  \end{cases}
  \]
  Insbesondere gelten $f(x,0)=x$ und $f(0,y)=0$.  Daher ist $f$ im
  Ursprung partiell differenzierbar mit $f_1(0)\equiv f_x(0)=1$ und
  $f_2(0)\equiv f_y(0)=0$. \par W\"are $f$ im Ursprung
  differenzierbar, so folgte insbesondere \[o(|x|)=
  f(x,x)-f(0,0)-\left\langle
    \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
      x\\x \end{pmatrix}\right\rangle =\frac12x-x=-\frac12x.\]
  Widerspruch. 
\end{beispiel}
} % weg

\datum{Do 12.06.2025}
F\"ur stetig differenzierbare Funktionen gilt die Umkehrung jedoch 
\begin{theorem}
  \label{stet diff stet part diff aequiv thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $F$ ein Banachraum. Dann ist
  $f\colon\Omega\to F$ genau dann in $\Omega$ stetig differenzierbar,
  wenn $f$ in $\Omega$ stetig partiell differenzierbar ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen Proposition \ref{abl komp prop} gen\"ugt es zu zeigen, dass
  $f$ in $\Omega$ stetig differenzierbar ist, falls $f$ in $\Omega$
  stetig partiell differenzierbar ist, dass also
  \glqq$\Longleftarrow$\grqq{} richtig ist. \par Ist $f$
  differenzierbar, so k\"onnen wir nach Korollar \ref{abl komp cor}
  die Ableitung $Df$ mit Hilfe der partiellen Ableitungen $D_if$
  darstellen. Damit ist $Df$ stetig, falls dies f\"ur $D_if$ gilt und
  wir m\"ussen nur noch die Differenzierbarkeit von $f$ in $\Omega$
  nachweisen. Sei dazu $x_0\in\Omega$ beliebig und $\Omega$ ohne
  Einschr\"ankung konvex. Wir wollen zeigen,
  dass \[f(x)=f(x_0) +\sum\limits_{i=1}^n D_if(x_0)\left\langle
    x^i-x^i_0\right\rangle +o(\Vert x-x_0\Vert)\] gilt. \par Zur
  besseren \"Ubersicht f\"uhren wir den Rest des Beweises nur im Falle
  $n=2$ durch. Es gilt
  \begin{align}
    f\left(x^1,x^2\right)-f\left(x^1_0,x^2_0\right)
    =&\,f\left(x^1,x^2\right) -f\left(x^1_0,x^2\right)
    +f\left(x^1_0,x^2\right) -f\left(x^1_0,x^2_0\right)\umbruch\nonumber\\
    =&\,D_1f\left(x^1_0,x^2\right)\left\langle x^1-x^1_0\right\rangle
    +o_{x^2}\left(\left\Vert x^1-x^1_0\right\Vert\right)
    \label{fx minus fx0 eq}\\
    &\,\quad+D_2f\left(x^1_0,x^2_0\right)\left\langle
      x^2-x^2_0\right\rangle +o\left(\left\Vert
        x^2-x^2_0\right\Vert\right).\nonumber
  \end{align}
  Auf der rechten Seite hat der erste Term noch das falsche Argument,
  der zweite Term h\"angt noch in unerw\"unschter Weise von $x^2$ ab
  und die beiden letzten Terme haben die gew\"unschte Form. \par F\"ur
  den zweiten Term benutzen wir die Definition dieses Terms und den
  Mittelwertsatz und erhalten
  \begin{align*}
    \left\Vert o_{x^2}\left(\left\Vert x^1-x^1_0\right\Vert\right)
    \right\Vert =&\, \left\Vert f\left(x^1,x^2\right)
      -f\left(x^1_0,x^2\right) -D_1f\left(x^1_0,x^2\right)\left\langle
        x^1-x^1_0\right\rangle\right\Vert\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{\xi\in\left[x^1,x^1_0\right]} \left\Vert
      D_1f\left(\xi,x^2\right) -D_1f\left(x^1_0,x^2\right)\right\Vert
    \cdot\underbrace{\left\Vert x^1-x^1_0\right\Vert}_{\le\Vert
      x-x_0\Vert}. 
  \end{align*}
  Aufgrund der Stetigkeit von $D_1f$ sehen wir, dass der Term
  $o_{x^2}\left(\left\Vert x^1-x^1_0\right\Vert\right)$ ein $o(\Vert
  x-x_0\Vert)$-Term ist. Insbesondere wird also der erste Faktor in
  einer kleinen Umgebung von $\left(x^1_0,x^2_0\right)$ unabh\"angig
  von $x^2$ klein. \par Nun zum ersten Term der rechten Seite in
  \eqref{fx minus fx0 eq}. Es gilt
  \begin{align*}
    D_1f\left(x^1_0,x^2\right) \left\langle x^1-x^1_0\right\rangle
    =&\,D_1f\left(x^1_0,x^2_0\right) \left\langle
      x^1-x^1_0\right\rangle\umbruch\\
    &\,\quad +\left(D_1f\left(x^1_0,x^2\right)
      -D_1f\left(x^1_0,x^2_0\right)\right)\left\langle
      x^1-x^1_0\right\rangle.    
  \end{align*}
  Da $D_1f$ stetig ist, ist auch diese Differenz in $o(\Vert
  x-x_0\Vert)$.
\end{proof}

In Kombination mit der Kettenregel erhalten wir 
\begin{theorem}
  \label{kettenregel komp thm}
  Seien $\Omega\subset\R^n$ und $\Omega'\subset\R^m$ offen. Sei $F$
  ein Banachraum. Seien $f\colon\Omega\to F$ und
  $g=\left(g^i\right)_i\colon\Omega'\to\Omega\subset\R^n$
  differenzierbar:
  \[
    \xymatrix@R=3mm{
      {\Omega'} \ar[r]_-{g} \ar@{}[d]|-{\cap}
      \ar@/^{2ex}/[rr]^-h&
      {\Omega} \ar[r]_-{f} \ar@{}[d]|-{\cap} &
      {F}\\
      {\R^m} &
      {\R^n}
    }
  \]
  Dann ist auch $h=f\circ g$ differenzierbar und es
  gilt
  \[Dh=\sum\limits_{i=1}^n D_if(g)\left\langle Dg^i\right\rangle,\]
  d.\,h.{} mit Argumenten $x'\in\Omega'$ und $u\in\R^m$ erhalten wir
  \begin{align*}
    Dh(x')\langle u\rangle
    =&\,\sum\limits_{i=1}^n
       D_if(g(x'))\left\langle Dg^i(x')\langle
       u\rangle\right\rangle\umbruch 
       \intertext{und f\"ur $F=\R^l$ und $1\le j\le m$ sowie $1\le k\le
       l$}
       \fracp{h^k}{{x'}^j}(x')
       =&\,\sum\limits_{i=1}^n \fracp
          {f^k}{x^i}(g(x'))\fracp{g^i}{{x'}^j}(x').
  \end{align*}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Kettenregel gilt $Dh=Df(g)\langle Dg\rangle$. Explizit erhalten
  wir
  \begin{align*}
    Dh(x)\langle u\rangle =&\,Df(g(x))\langle Dg(x)\langle
    u\rangle\rangle =Df(g(x))\left\langle
      \left(Dg^1(x),\ldots,Dg^n(x)\right)\langle u\rangle
    \right\rangle\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_{i=1}^n D_if(g(x)) \left\langle\pi_i \left(Dg^1(x)
        \langle u\rangle,\ldots,Dg^n(x) \langle
        u\rangle\right)\right\rangle\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_{i=1}^nD_if(g(x))\left\langle Dg^i(x)\langle
      u\rangle\right\rangle 
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

\begin{remark}[Jacobimatrix]
  Seien $\Omega\subset\R^n$ offen und $f\colon\Omega\to\R^m$
  differenzierbar. Nach Korollar \ref{abl komp cor} gilt f\"ur
  $x_0\in\Omega$ und $u\in\R^n$ \[Df(x_0)\langle u\rangle
    =\sum\limits_{i=1}^nD_if(x_0)u^i\equiv \sum\limits_{i=1}^n \fracp
    f{x^i}(x_0) u^i.\] Die $j$-te Komponente, $1\le j\le m$, davon
  lautet $\sum\limits_{i=1}^n\fracp{f^j}{x^i}(x_0)u^i$. \par Die
  Ableitung k\"onnen wir bez\"uglich der kanonischen Basis des $\R^n$
  bzw.{} $\R^m$ als Matrixmultiplikation darstellen. Die die lineare
  Abbildung $Df(x_0)$ darstellende Matrix hei\ss{}t
  \emph{Jacobimatrix.} Wir bezeichnen sie mit
  $\left(\fracp{f^j}{x^i}(x_0)\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le j\le
      m}{1\le i\le n}}$ oder $J_f(x_0)$. In Matrizendarstellung
  erhalten wir \[\left(\fracp{f^j}{x^i}\right)_{i,j} =
    \begin{pmatrix}
      \fracp{f^1}{x^1}&\ldots&\fracp{f^1}{x^n}\\
      \vdots&&\vdots\\
      \fracp{f^m}{x^1}&\ldots&\fracp{f^m}{x^n}
    \end{pmatrix}.\] Dann erhalten wir $Df(x_0)\langle u\rangle$ in
  Koordinaten als Matrixprodukt zwischen der Jacobimatrix $J_f(x_0)$ und
  dem Spaltenvektor $u=\left(u^i\right)_i\in\R^n$. \par
  Ist $n=m$, so hei\ss{}t
  % $J_f(x_0)\equiv
  $\det J_f(x_0) \equiv\det\fracp{f^j}{x^i} 
  \equiv\det\frac{df}{dx}$ \emph{Funktionaldeterminante.} \par
  Aus Theorem \ref{kettenregel komp thm} erhalten wir f\"ur die
  Jacobimatrizen \[J_h(x)=J_f(g(x))\cdot J_g(x).\]
\end{remark}

\weg{
\begin{remark}[Einsteinsche Summenkonvention] \stern
  Physiker summieren gerne \"uber Indices, die in einer Formel doppelt
  einmal unten und einmal oben auftauchen. Unter Benutzung dieser
  \emph{Einsteinschen Summenkonvention} erhalten wir \[Df(x_0)\langle
  u\rangle =\fracp f{x^i}(x_0)u^i \equiv f_i(x_0)u^i.\] Daher
  bezeichnen wir die $j$-te Komponente von $f$ mit $f^j$ und die
  $i$-te partielle Ableitung von $f$ mit $f_i$. Wir werden die
  Einsteinsche Summenkonvention auch ab Vorlesungen \"uber
  Differentialgeometrie oder Partielle Differentialgleichungen (meinen
  Spezialgebieten) verwenden. \par Oben und unten stehende Indices
  erlauben es auch besser, zwischen Elementen in Vektorr\"aumen und
  Dualr\"aumen zu unterscheiden. Dementsprechend ist es sinnvoll, die
  Eintr\"age von Matrizen mit $a^i_j$ zu bezeichnen. Details dazu
  finden sich in \cite{OSLA1}.
\end{remark}
} % weg

\datumcorona{Mo 29.06.2020}
\datum{Lesestoff}
Wir zeigen einen eindimensionalen Hebbarkeitssatz. 
\begin{lemma}
  \label{abl hebbar lem}
  Sei $\Omega\subset\R$ offen mit $0\in\Omega$. Seien
  $f,g\colon\Omega\to\R$ stetig und $f$ in $\Omega\setminus\{0\}$
  stetig differenzierbar mit $f'=g$ in $\Omega\setminus\{0\}$. Dann
  ist $f$ in ganz $\Omega$ stetig differenzierbar und es gilt dort
  $f'=g$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $\Omega$ ein
  Intervall ist. Es gen\"ugt zu zeigen, dass $f$ in $0$
  differenzierbar ist und $f'(0)=g(0)$ erf\"ullt, dass
  also \[f(x)-f(0)-g(0)x=o(|x|)\quad\text{f\"ur alle }x\in\Omega\]
  gilt. Dazu zeigen wir, dass es zu beliebigen $\epsilon>0$ ein
  $\delta>0$ mit \[|f(x)-f(0)-g(0)x|\le\epsilon\cdot|x|\] f\"ur alle
  $|x|<\delta$ gibt. \par Definiere dazu $\phi\colon[0,1]\to\R$
  durch \[\phi(t):=f(x)-f(tx)-g(0)(1-t)x.\] Dann ist $\phi$ auf
  $[0,1]$ stetig und in $(0,1)$ differenzierbar. Der Mittelwertsatz
  ist also anwendbar. Es gelten
  \begin{align*}
    \phi(1)=&\,0,\umbruch\\
    |\phi(0)|=&\,|f(x)-f(0)-g(0)x|
    \overset!\le\epsilon\cdot|x|,\umbruch\\  
    |\phi(0)|=&\,|\phi(0)-\phi(1)|\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{t\in(0,1)}|\phi'(t)|\cdot 1\umbruch\\
    =&\,\sup\limits_{t\in(0,1)}|-f'(tx)x-g(0)(-1)x|\umbruch\\
    =&\,\sup\limits_{t\in(0,1)}|f'(tx)-g(0)|\cdot|x|\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{0<|y|<\delta}
    |f'(y)-g(0)|\cdot|x|\quad\text{f\"ur }|x|\le\delta,\umbruch\\
    =&\,\sup\limits_{0<|y|<\delta} |g(y)-g(0)|\cdot|x|.
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt nun aus der Stetigkeit von $g$. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Seien $f\colon\Omega\to\R$ und
  $g\colon\Omega\to\R^n$ stetig. Sei $H\subset\R^n$ eine Hyperebene,
  also ein $n-1$-dimensionaler affiner Unterraum. Sei $f$ in
  $\Omega\setminus H$ stetig differenzierbar mit $Df=g$. Dann ist $f$
  in ganz $\Omega$ stetig differenzierbar und es gilt dort $Df=g$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{stet diff stet part diff aequiv thm} gen\"ugt es
  zu zeigen, dass $f$ in $\Omega$ partiell differenzierbar ist und
  dort $f_i=g\langle e_i\rangle$ gilt. Dies folgt in einem gedrehten
  Koordinatensystem, in dem keiner der Basisvektoren $e_i$ in $H$
  liegt, aus Lemma \ref{abl hebbar lem}.
\end{proof}

\weg{
Dieses Resultat \"ubertr\"agt sich wie folgt auf die erst im
n\"achsten Kapitel definierten h\"oheren Ableitungen. 
\begin{corollary}
  \stern Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $H\subset\R^n$ eine
  Hyperebene. Sei $f\colon\Omega\to\R$ in $\Omega\setminus H$ eine
  $k$-mal stetig differenzierbare Funktion und seien s\"amtliche
  Ableitungen bis zur Ordnung $k$ stetig auf ganz $\Omega$
  fortsetzbar. Dann ist auch $f$ in ganz $\Omega$ $k$-mal stetig
  differenzierbar.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Induktion nach der Ordnung der Ableitung. 
\end{proof}
} % weg

\weg{
\begin{remark}
  \stern Lemma \ref{abl hebbar lem} l\"asst sich nicht problemlos auf
  Funktionen \"ubertragen, die auf dem Komplement einer
  abgeschlossenen Menge $A$ mit $\interior A=\emptyset$ definiert
  sind. Die Cantorsche Treppenfunktion ist ein Gegenbeispiel
  daf\"ur. % Hinweis von Markus Kunze.
\end{remark}
} % weg

\subsubsection*{Richtungsableitung}
\begin{definition}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und $\Omega\subset E$ offen. Sei $e\in E$
  mit $\Vert e\Vert=1$. Sei $f\colon\Omega\to F$ eine Funktion. Dann
  hei\ss{}t $f$ in $x_0$ \emph{in Richtung $e$ differenzierbar,} falls
  die Funktion $\phi(t):=f(x_0+te)$, die f\"ur kleine $\epsilon>0$ in
  $(-\epsilon,\epsilon)$ definiert ist, in $t=0$ differenzierbar
  ist. Dann hei\ss{}t $\dot\phi(0)$ \emph{Richtungsableitung} von $f$
  im Punkt $x_0$ in Richtung $e$. Wir schreiben daf\"ur $D_ef(x_0)$,
  $\nabla_ef(x_0)$ oder $\fracp fe$.  
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $E=\R^n$, so sind die partiellen Ableitungen gerade die
    Richtungsableitungen in Richtung $e_i$, $f_i(x_0)=D_{e_i}f(x_0)$. 
  \item Ist $f$ in $x_0$ differenzierbar, so gilt nach Kettenregel
    $D_ef(x_0) =Df(x_0)\langle e\rangle$ f\"ur alle $e\in E$ mit
    $\Vert e\Vert=1$.
    \weg{
  \item\stern Gelegentlich erlaubt man in der Definition der
      Richtungsableitung auch beliebige $e\neq0$.
  \item\stern Die Funktion aus Beispiel \ref{partiell diffb nicht
      diffb bsp} ist im Ursprung in jede Richtung differenzierbar,
    jedoch nicht differenzierbar.
  \item\stern Einen Vektor der L\"ange $1$ nennen wir
    \emph{Richtung} oder \emph{Einheitsvektor}. 
  } % weg
  \end{enumerate}
\end{remark}

\Subsection{Ableitungen h\"oherer Ordnung}
\datum{Mo 23.06.2025}

In der folgenden Definition werden wir h\"ohere Ableitungen induktiv
definieren und zur besseren Anschauung die zweite und dritte Ableitung
zus\"atzlich explizit definieren. Beachte dabei, dass wir die
bisherige Definition von Differenzierbarkeit anwenden k\"onnen, da
auch $L(E,F)$, $L(E,L(E,F))$, \ldots mit der Operatornorm wieder
Banachr\"aume sind.
\begin{definition}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und
  $f\colon\Omega\to F$ eine Abbildung. Sei $x_0\in\Omega$ beliebig. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir definieren $D^0f:=f\colon\Omega\to F$ als die $0$-te
    Ableitung von $f$. Ist $f$ in $U\subset\Omega$ differenzierbar, so
    definieren wir die \emph{erste Ableitung} von $f$ durch
    $D^1f:=Df\colon U\to L(E,F)$.
  \item Ist $Df$ in einer Umgebung $U$ von $x_0$ definiert und die
    Abbildung $Df\colon U\to L(E,F)$ in $x_0$ differenzierbar, so
    hei\ss{}t $D(Df)(x_0)\equiv D^2f(x_0)\colon E\to L(E,F)$, also
    $D^2f(x_0)\in L(E,L(E,F))$ \emph{zweite Ableitung} von $f$ in
    $x_0$.
    \weg{
    \item\stern Ist $D^2f\colon U\to L(E,L(E,F))$ in einer Umgebung
      $U$ von $x_0$ definiert und in $x_0$ differenzierbar, so
      hei\ss{}t die Ableitung dieser Funktion \emph{dritte Ableitung}
      von $f$ in $x_0$:
      $D(D^2f)(x_0)\equiv D^3f(x_0) \equiv DDDf(x_0)\in
      L(E,L(E,L(E,F)))$.
    \item\stern Ist die $k$-te Ableitung $D^kf$ von $f$ in einer
      Umgebung $U$ von $x_0$ definiert und ist
      $D^kf\colon U\to L(E,\ldots,L(E,F)\ldots)$ in $x_0$
      differenzierbar, so hei\ss{}t die Ableitung dieser Funktion,
      $D\left(D^kf\right)(x_0)\equiv D^{k+1}f(x_0)$, die
      \emph{$(k+1)$-ste Ableitung} von $f$ in $x_0$.
    \item\stern Existiert die $k$-te Ableitung von $f$ in allen
      $x\in\Omega$, so hei\ss{}t $f$ in $\Omega$ \emph{$k$-mal
        differenzierbar.}
    \item\stern Existiert die $k$-te Ableitung von $f$ in allen
      $x\in\Omega$ und ist sie in $\Omega$ stetig, so hei\ss{}t $f$ in
      $\Omega$ \emph{$k$-mal stetig differenzierbar} oder von der
      \emph{Klasse $C^k(\Omega,F)$.}
    \item\stern Sind $k\in\N$, $f\in C^k(\Omega,F)$ und alle
      Ableitungen von $f$ bis zur Ordnung $k$ auf $\ol\Omega$ stetig
      und beschr\"ankt fortsetzbar, so ist $f$ von der Klasse
      $C^k\left(\ol\Omega,F\right)$,
      $f\in C^k\left(\ol\Omega,F\right)$.
    \item\stern Ist $f\in C^k(\Omega,F)$ f\"ur alle $k\in\N$, so
      hei\ss{}t f \emph{glatt} oder von der \emph{Klasse
        $C^\infty(\Omega,F)$.}
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
    \weg{
  \item\stern Da $L(E,F)$ selbst wieder ein Banachraum ist, k\"onnen
    wir die Definition von Differenzierbarkeit auf die Abbildung
    $Df\colon U\to L(E,F)$ anwenden.
    } % weg
  \item Aus der linearen Algebra, siehe auch Bemerkung \ref{mult lin
      abb rem}, kennen wir den (normtreuen)
    Isomorphismus \[L(E,L(E,F))\cong L_2(E;F),\] $A\mapsto a$
    mit
    \[a(u,v):=\underbrace{(A\langle u\rangle)}_{\in L(E,F)}\langle
      v\rangle \quad\text{f\"ur alle }u,v\in E.\]
  \end{enumerate}
\end{remark}

Damit erhalten wir direkt
\begin{proposition}
  % \label{multilin ident prop}
  Sei $\Omega\subset E$ im Banachraum $E$ offen. 
  Sei $f\colon\Omega\to F$ in $x_0$ zweimal differenzierbar. Dann ist,
  verm\"oge der Identifikation \[L(E,L(E,F))\cong L_2(E;F),\]
  $D^2f(x_0)\in L_2(E;F)$ und es gilt 
  \[D^2f(x_0)(u,v)\equiv D^2f(x_0)\langle u,v\rangle
  =\left(D^2f(x_0)\langle u\rangle\right)\langle v\rangle.\]
\end{proposition}

\weg{
\begin{remark}\stern
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Hier stehen links die bilinearen Abbildungen, bei denen wir
    auch wieder $\langle\cdot,\cdot\rangle$ benutzen werden um die
    Linearit\"at in den angegebenen Argumenten zu verdeutlichen. 
  \item Wir wollen k\"unftig stets $D^2f(x_0)$ f\"ur das Element in
    $L(E,L(E,F))$ oder $L_2(E;F)$ schreiben. 
  \item Entsprechend schreiben wir stets $D^kf(x_0)$ f\"ur das
    entsprechende Element in \[L(E,\ldots,L(E,F)\ldots)\] oder in
    $L_k(E;F)$. Dabei benutzen wir induktiv, dass \[L(E,L_k(E;F))\cong
    L_{k+1}(E;F)\] gilt.
    \begin{proof}[Beweis]
      \"Ubung. 
    \end{proof}
  \item Ist $f$ in $\Omega$ zun\"achst $m$-mal differenzierbar und
    $D^mf$ in $\Omega$ noch $n$-mal differenzierbar, so ist $f$ in
    $\Omega$ mindestens $(m+n)$-mal differenzierbar.
    \begin{proof}[Beweis]
      Induktion. \"Ubung
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\weg{
\begin{definition}[$C^k$-Normen]
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und $\Omega\subset E$ offen. Dann
  definieren wir auf $C^k\left(\ol\Omega,F\right)$ eine Norm, die
  $C^k$-Norm, durch \[\Vert f\Vert_{C^k(\Omega,F)}
  :=\sum\limits_{i=0}^k \left\Vert
    D^if\right\Vert_{C^0(\Omega,L_i(E;F))}\] mit $L_0(E,F)\equiv F$.  
\end{definition}

Genauso wie im eindimensionalen Fall sehen wir, dass die R\"aume
$C^k\left(\ol\Omega,F\right)$ Banachr\"aume sind. 
\begin{theorem}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und sei $\Omega\subset E$ offen. Sei
  $k\in\N$. Dann ist $C^k\left(\ol\Omega,F\right)$ mit der $C^k$-Norm
  ein Banachraum.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}
} % weg

\begin{lemma}
  \label{abl von abl mit fester richtung lem}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und $\Omega\subset E$ offen. Sei
  $f\colon \Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$ zweimal differenzierbar. Sei
  $U$ eine Umgebung von $x_0$, in der $f$ einmal differenzierbar
  ist. ($U$ existiert nach Definition von zweimaliger
  Differenzierbarkeit.) Sei $v\in E$ fest. Definiere
  $\phi\colon U\to F$ durch $\phi(x)=Df(x)\langle v\rangle$. Dann ist
  $\phi$ in $x_0$ differenzierbar und es gilt f\"ur alle $u\in
  E$ \[D\phi(x_0)\langle u\rangle =D^2f(x_0)\langle v,u\rangle.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir schreiben $\phi$ als Komposition der linearen
  Abbildung \[\Phi\colon L(E,F)\to F\quad\text{mit}\quad A\mapsto Av\]
  und der Abbildung $Df\colon U\to L(E,F)$: $\phi=\Phi\circ Df$.  Die
  Abbildung $\Phi$ ist wegen
  \[\Vert Av\Vert_F\le \Vert A\Vert_{L(E,F)}\cdot \Vert v\Vert_E,\]
  wobei nun anders als sonst $\Vert v\Vert_E$ die Konstante liefert,
  stetig.  Aus
  \[\Phi(A)-\Phi(A_0)=(A-A_0)\langle v\rangle =D\Phi(A_0)\langle
  A-A_0\rangle\] wie bei jeder stetigen linearen Abbildung folgt hier
  $D\Phi(A_0)\langle B\rangle =B\langle v\rangle$. Nach Kettenregel
  ist $\phi$ somit in $x_0$ differenzierbar und es gilt
  $D\phi=D\Phi(Df)\circ D^2f$ und in expliziterer Form
  \begin{align*}
    D\phi(x_0)\langle u\rangle=&\, D\Phi(Df(x_0))\langle
    D(Df(\cdot)\langle\cdot\rangle)(x_0)\langle u\rangle\rangle\umbruch\\
    =&\,D\Phi(Df(x_0)) \left\langle
      D^2f(x_0)\langle\cdot\rangle\langle
      u\rangle\right\rangle =D^2f(x_0)\langle v,u\rangle,
  \end{align*} 
  wobei $Df(\cdot)\langle\cdot\rangle$ eine Funktion $x\mapsto L(E,F)$
  bezeichnet.
\end{proof}

\datumcorona{Do 02.07.2020}
Das folgende Resultat ist eine Variante des noch folgenden Satzes von
Schwarz. Beachte, dass hier die Existenz der zweiten Ableitung in
$x_0$ und nicht nur die partieller Ableitungen gefordert wird.
\begin{theorem}
  \label{zweite abl ex schw thm}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und sei
  $f\colon\Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$ zweimal differenzierbar. Dann
  ist die bilineare Abbildung $D^2f(x_0)$ symmetrisch, d.\,h.{} es
  gilt f\"ur alle $u,v\in E$ \[D^2f(x_0)\langle u,v\rangle
  =D^2f(x_0)\langle v,u\rangle.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir behaupten, dass
  \begin{equation}
    \label{zwei abl symm eq}
    f(x_0+u+v)-f(x_0+u)-f(x_0+v)+f(x_0) =D^2f(x_0)\langle u,v\rangle
    +o\left((\Vert u\Vert+\Vert v\Vert)^2\right)
  \end{equation}
  gilt, falls $u,v$ so gew\"ahlt sind, dass alle Ausdr\"ucke
  wohldefiniert sind, also z.\,B.{} $u,v\in B_r(0)$ mit $r>0$, so dass
  $B_{2r}(x_0)\subset\Omega$ gilt, was wir im Folgenden annehmen
  werden. \par Aus \eqref{zwei abl symm eq} folgt die Behauptung: Die
  linke Seite ist in $u$ und $v$ symmetrisch. Somit gilt
  \[\left\Vert D^2 f(x_0)\langle u,v\rangle -D^2f(x_0)\langle
      v,u\rangle\right\Vert =o\left((\Vert u\Vert+\Vert
      v\Vert)^2\right)\] und f\"ur alle Einheitsvektoren
  $\ol u,\ol v\in E$ und alle $|t|<r$ erhalten wir
  daraus
  \[t^2\left\Vert D^2f(x_0)\langle\ol u,\ol v\rangle
      -D^2f(x_0)\langle\ol v,\ol u\rangle\right\Vert
    =o\left(t^2\right).\] Wir dividieren nun durch $t^2\neq0$ und
  erhalten im Grenzwert $t\to0$ die Behauptung.\par Somit ist noch
  \eqref{zwei abl symm eq} zu zeigen. Definiere f\"ur $0\le t\le1$ die
  Funktion \[\phi(t):=f(x_0+u+tv)-f(x_0+tv).\] Die behauptete
  Gleichheit werden wir dann aus einer Absch\"atzung f\"ur
  $\phi(1)-\phi(0)-\phi'(0)$ erhalten, vergleiche das Ende dieses
  Beweises. \par Es gilt der Mittelwertsatz f\"ur auf Teilmengen von
  $\R$ definierte Funktionen in der Form
  \[\Vert\phi(1)-\phi(0)-\phi'(0)\Vert \le\sup\limits_{0\le t\le
    1} \Vert\phi'(t)-\phi'(0)\Vert.\] Die rechte Seite wollen wir
  weiter absch\"atzen. Nach Kettenregel
  gilt \[\phi'(t)=Df(x_0+u+tv)\langle v\rangle -Df(x_0+tv)\langle
  v\rangle.\] Wir addieren eine Null und schreiben die beiden
  Differenzen aufgrund der Differenzierbarkeit mit Hilfe der zweiten
  Ableitung, benutzen die Linearit\"at der Ableitungen im
  \glqq$\langle\cdot\rangle$\grqq-Argument und erhalten
  \begin{align*}
    \phi'(t)=&\,\left\{Df(x_0+u+tv)-Df(x_0)
      -[Df(x_0+tv)-Df(x_0)]\right\}\langle v\rangle\umbruch\\
    =&\,\left\{D^2f(x_0)\langle u+tv\rangle +o(\Vert u+tv\Vert)
      -D^2f(x_0)\langle tv\rangle -o(\Vert tv\Vert) \right\}\langle
    v\rangle\umbruch\\
    =&\,D^2f(x_0)\langle v\rangle\langle u\rangle +o(\Vert
       u+tv\Vert)\langle v\rangle -o(\Vert tv\Vert)\langle
       v\rangle
  \end{align*}
  und somit
  \[\left\Vert \phi'(t)-D^2f(x_0)\langle v\rangle \langle
      u\rangle \right\Vert =o(\Vert u+tv\Vert)\Vert v\Vert +o(\Vert
    tv\Vert)\Vert v\Vert.\]
  (Zur hier angegebenen Reihenfolge der
  Argumente: Bei der ersten Ableitung gibt es f\"ur das lineare
  Argument noch eine Leerstelle, in die $v$ nachher eingesetzt
  wird. Daher kommt das zun\"achst ausgeklammerte $\langle v\rangle$,
  obwohl es nun ganz hinten steht, an die erste Stelle. Die zweite
  Ableitung ist die Ableitung bevor $v$ eingesetzt wird. Daher wird
  $v$ auch bei der Anwendung der charakterisierenden Gleichung f\"ur
  die zweite Ableitung nicht mitber\"ucksichtigt, sondern \glqq
  wartet\grqq{} au\ss{}en darauf, sp\"ater als Argument eingesetzt zu
  werden.) \par (Alternativ k\"onnte man auch mit Lemma \ref{abl von
    abl mit fester richtung lem} argumentieren. Dabei wird allerdings
  nicht klar, warum $o(\ldots)$ nicht auch noch von $v$, was ja nun
  Bestandteil der betrachteten Funktion ist, abh\"angt.)  \par Wie man
  sich beispielsweise mit Hilfe der $\epsilon$-Notation leicht
  \"uberzeugt, sind beide Fehlerterme in
  $o\left((\Vert u\Vert+\Vert v\Vert)^2\right)$. Hieraus folgt
  einerseits
  \[\sup\limits_{0\le t\le1} \Vert\phi'(t)-\phi'(0)\Vert \le
    o\left((\Vert u\Vert +\Vert v\Vert)^2\right),\] andererseits
  k\"onnen wir den Ausdruck f\"ur $\phi'(t)$, ausgewertet an der
  Stelle $t=0$, auch in der Folgerung aus dem Mittelwertsatz einsetzen
  und erhalten
  \[\phi(1)-\phi(0) =D^2f(x_0)\langle v,u\rangle +o\left((\Vert u\Vert
      +\Vert v\Vert)^2\right).\] Nach Definition von $\phi$ ist dies
  aber gerade die Behauptung.
\end{proof}

\datum{Do 26.06.2025}
Auch f\"ur zweite Ableitungen bekommen wir einen Zusammenhang zwischen
$D^2f$ und zweiten partiellen Ableitungen.
\begin{proposition}
  \label{part abl aus abl prop}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $F$ ein Banachraum.  Sei
  $f\colon\Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$ zweimal
  differenzierbar und seien $1\le i,j\le n$. Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item  \[D_iD_jf(x_0) =D^2f(x_0)\langle e_j,e_i\rangle\]
  \item und \[D_iD_jf(x_0)=D_jD_if(x_0),\] \dh die
    zweiten partiellen Ableitungen kommutieren.
    % Ein analoges Resultat in Banachr\"aumen sieht nicht so sch\"on
    % aus, weil dann auch die Argumenten in den spitzen Klammern
    % vertauscht werden m\"ussen. 
  \end{enumerate}
\end{proposition}
Die Reihenfolge der linearen Argumente ist eine Konvention und kommt
in der Literatur auch anders herum vor. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur die ersten partiellen Ableitungen von $f$ haben wir in
    Proposition \ref{abl komp prop} bereits
    $D_jf(\cdot) =Df(\cdot)\circ\chi_j$, $1\le j\le n$, mit der
    Standardeinbettung $\R\to\R^n$ in die $j$-te Komponente
    gezeigt. Daraus erhalten wir
    $D_jf(\cdot) =Df(\cdot)\langle e_j\rangle$ durch Anwenden auf
    $1$. Wir differenzieren dies nochmals und benutzen dabei nochmals
    Proposition \ref{abl komp prop} und Lemma \ref{abl von abl mit
      fester richtung lem}
    \[D_iD_jf(x_0) =D(Df(\cdot)\langle e_j\rangle)(x_0)\langle
      e_i\rangle =D^2f(x_0)\left\langle
        e_j, e_i\right\rangle.\] 
  \item Dies folgt nun unmittelbar aus Theorem \ref{zweite abl ex schw
      thm}. Es gilt n\"amlich
    \[D_iD_jf(x_0) =D^2f(x_0)\langle e_j,e_i\rangle =D^2f(x_0)\langle
      e_i,e_j\rangle =D_jD_if(x_0).\qedhere\]
  \end{enumerate}
\end{proof}

Existieren die zweiten partiellen Ableitungen und sind stetig, so
existieren auch die zweiten Ableitungen. Als Vorbereitung daf\"ur
zeigen wir
\begin{lemma}
  \label{L prod isom br lem}
  Sei $F$ ein Banachraum. Dann sind $L(\R^n,F)$ und
  $(L(\R,F))^n \cong F^n$ isomorphe Banachr\"aume, \dh es gibt eine
  beschr\"ankte lineare Abbildung zwischen ihnen mit beschr\"ankter
  Inversen. \par Ist $\chi_i\colon \R\hookrightarrow \R^n$ die
  kanonische Einbettung in die $i$-te Komponente und
  $\pi_i\colon \R^n\to\R$ die Projektion auf den $i$-ten Faktor, so
  ist ein m\"oglicher solcher Banachraumisomorphismus durch
  $\Phi\colon A\mapsto(A_i)_{1\le i\le n}$ mit $A_i=A\circ\chi_i$ und
  die Inverse dazu ist durch $A=\sum\limits_{i=1}^n A_i\circ\pi_i$
  gegeben.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Direktes Nachrechnen. Beachte, dass wir nicht behaupten, dass der
  Banachraumisomorphismus normerhaltend ist.
\end{proof}

\weg{
  \begin{remark}
    \stern Lemma \ref{L prod isom br lem} l\"asst sich sehr
    anschaulich mit Vektoren darstellen. Eine Abbildung
    $A\in L(\R^n,F)$ entspricht einem Zeilenvektor, in dem die
    Elemente $A\langle e_i\rangle\in F$ stehen. Dann operiert $A$ als
    Vektormultiplikation auf
    $x=\left(x^i\right)_{1\le i\le n}\in\R^n$: \[A\langle x\rangle =
    \begin{pmatrix}
      A\langle e_1\rangle & \ldots & A\langle e_n\rangle
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      x^1\\ \vdots\\ x^n
    \end{pmatrix}.\]
  Nun ist $\Phi(A)\in F^n$ gerade dieser Zeilenvektor. 
\end{remark}
} % weg
  
\begin{theorem}
  \label{zweimal stetig partiell stetig diffbar aequiv thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $F$ ein Banachraum. Sei
  $f\colon\Omega\to F$ eine Abbildung. Dann ist $f$ genau dann zweimal
  stetig in $\Omega$ differenzierbar, wenn $f$ in $\Omega$ zweimal
  stetig partiell differenzierbar ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{stet diff stet part diff aequiv thm} (stetige
  und stetige partielle Differenzierbarkeit sind \"aquivalent) ist die
  Behauptung f\"ur die ersten Ableitungen bekannt.
  \begin{itemize}
  \item[\Hinrichtung] Sei $f$ zun\"achst zweimal stetig
    differenzierbar. Nach Proposition \ref{part abl aus abl prop} gilt
    $D_iD_jf(x_0)\langle\cdot,\cdot\rangle =D^2f(x_0)\langle e_j,
    e_i\rangle$ und wir erhalten die Behauptung f\"ur die zweiten
    Ableitungen.
  \item[\Rueckrichtung] Sei nun $f$ umgekehrt zweimal stetig partiell
    differenzierbar, $D_if$ und $D_jD_if$, $1\le i,j\le n$ existieren
    also und sind stetig. Nach Theorem \ref{stet diff stet part diff
      aequiv thm} sind somit $f$ und $D_if$ in $\Omega$ stetig
    differenzierbar. \par Wir verwenden nun $\Phi$ aus Lemma \ref{L
      prod isom br lem} und erhalten eine Abbildung
    $\Phi\circ Df\colon \Omega\to F^n$. Nach Proposition \ref{abl komp
      prop} sind die Komponenten dieser Abbildung gerade die
    partiellen Ableitungen $D_if$. \par Nach Voraussetzung sind die
    Funktionen $D_if$, die ja gerade die Komponenten der Abbildung
    $\Phi\circ Df$ sind, in $\Omega$ differenzierbar. Somit ist nach
    Proposition \ref{diffbarkeit fkt komp prop} auch die Abbildung
    $\Phi\circ Df$ in $\Omega$ differenzierbar. Wir verkn\"upfen diese
    Funktion noch mit der linearen Abbildung $\Phi^{-1}$ und erhalten,
    dass $Df=\Phi^{-1}\circ\Phi\circ Df$ in $\Omega$ differenzierbar
    ist. \par Zur Stetigkeit der Abbildung $x\mapsto D^2f(x)$: Seien
    $u=\left(u^i\right)_{1\le i\le n}, v=\left(v^j\right)_{1\le j\le
      n}\in\R^n$. Es gilt
    \begin{align*}
      D^2f(x)\langle u,v\rangle
      =&\,D^2f(x)\left\langle\sum\limits_{i=1}^n
         u^i e_i, \sum\limits_{j=1}^n
         v^j e_j\right\rangle\umbruch\\
      =&\,\sum\limits_{i,j=1}^n u^i\cdot v^j\cdot D^2f(x)\left\langle 
         e_i, e_j\right\rangle
         =\sum\limits_{i,j=1}^n u^i\cdot v^j\cdot D_jD_if(x) 
         \intertext{und somit erhalten wir}
         D^2f(x)=&\,\sum\limits_{i,j=1}^n \pi_i(\cdot)\cdot
                   \pi_j(\cdot)\cdot D_jD_if(x). 
    \end{align*}
    Hieraus folgt die Stetigkeit. \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

\begin{corollary}[Satz von Schwarz]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $F$ ein Banachraum. Sei
  $f\colon\Omega\to F$ zweimal stetig partiell differenzierbar, so
  sind die zweiten partiellen Ableitungen symmetrisch, \dh f\"ur alle
  $1\le i,j\le n$ und alle $x\in\Omega$
  gilt \[D_iD_jf(x)=D_jD_if(x).\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{zweimal stetig partiell stetig diffbar aequiv thm}
  ist $f$ in $\Omega$ zweimal differenzierbar. Nun k\"onnen wir
  Proposition \ref{part abl aus abl prop} anwenden und erhalten die
  behauptete Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $f\colon\Omega\to\R$
    zweimal differenzierbar. Dann erhalten wir f\"ur alle $x\in\Omega$
    und alle $u,v\in\R^n$ nach Proposition \ref{part abl aus abl prop}
    und der Linearit\"at
    % oder aus dem Beweis von Theorem \ref{zweimal stetig partiell
    % stetig diffbar aequiv thm}
    \[D^2f(x)\langle u,v\rangle =\sum\limits_{i,j=1}^n D_iD_jf(x)
      u^jv^i.\]
  \item Wie in der linearen Algebra k\"onnen wir auch hier die
    symmetrische Bilinearform $D^2f(x)$ durch eine Matrix darstellen,
    n\"amlich durch $(D_iD_jf(x))_{1\le i,j\le n}$, die
    \emph{Hessematrix} oder \emph{Hessesche} von $f$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\weg{
Viele Eigenschaften, die wir f\"ur zweite Ableitungen gezeigt haben,
\"ubertragen sich per Induktion auf h\"ohere Ableitungen. Wir
erw\"ahnen hier nur die entsprechenden Resultate.
\begin{remark}
  \stern Seien $n,m\in\N_{>0}$, $F$ ein Produktraum mit
  $F=\prod\limits_{j=1}^m F_j$ f\"ur Banachr\"aume $F_j$,
  $\Omega\subset\R^n\equiv E$ offen und $f\colon \Omega\to F$ eine
  Abbildung. H\"aufig machen wir von der Produktgestalt keinen
  Gebrauch; dies entspricht den F\"allen $n=1$ oder $m=1$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $f$ eine $k$-mal differenzierbare Abbildung, so k\"onnen
    wir $D^kf(x_0)$ als Element in $L_k(E;F)$ auf"|fassen. 
  \item Ist $f$ eine $k$-mal differenzierbare Abbildung und $D^kf$
    eine $l$-mal differenzierbare Abbildung, so ist $f$ eine $k+l$-mal
    differenzierbare Abbildung. 
  \item Seien $f$ eine $k$-mal differenzierbare Abbildung und
    $u_1,\ldots,u_{k-1}\in E$. Dann ist die Abbildung
    $\phi\colon\Omega\to F$ mit \[\phi(x)=D^{k-1}f(x)\langle
    u_1,\ldots,u_{k-1}\rangle\] in $\Omega$ differenzierbar und es
    gilt \[D\phi(x)\langle\cdot\rangle =D^kf(x)\langle
    u_1,\ldots,u_{k-1},\cdot\rangle.\] Ist $f$ sogar $k+1$-mal
    differenzierbar, so gilt eine entsprechende Aussage auch f\"ur die
    zweite Ableitung von $\phi$, \ldots.
  \item Sei $f$ eine im Punkt $x_0\in\Omega$ mindestens $k$-mal
    differenzierbare Abbildung. So
    ist \[E^k\ni(u_1,\ldots,u_k)\mapsto D^kf(x_0)\langle
    u_1,\ldots,u_k\rangle\] eine symmetrische Abbildung, \dh es gilt
    \[D^kf(x_0)\langle u_1,\ldots,u_k\rangle =D^kf(x_0)\langle
    u_{\sigma(1)},\ldots,u_{\sigma(k)}\rangle\] f\"ur alle
    $u_1,\ldots,u_k\in E$ und alle $\sigma\in S(k)$, der symmetrischen
    Gruppe, die die ersten $k$ nat\"urlichen Zahlen beliebig
    permutiert. 
  \item Sei $f$ in $x_0\in\Omega$ eine $k$-mal differenzierbare
    Abbildung. Dann ist $f$ in $x_0$ auch
    $k$-mal partiell differenzierbar und es gilt f\"ur alle $i_j$ mit
    $1\le i_j\le n$, $1\le j\le k$,
    \[D_{i_k}\ldots D_{i_1} f(x_0) =D^kf(x_0) \langle\chi_{i_1}(1),
      \ldots,\chi_{i_k}(1)\rangle.\] Somit sind die $k$-ten partiellen
    Ableitungen symmetrisch; es gilt
    \[D_{i_k}\ldots D_{i_1}f(x_0) =D_{i_{\sigma(k)}}\ldots
      D_{i_{\sigma(1)}} f(x_0)\] f\"ur alle $\sigma\in S(k)$.
  \item Die Funktion $f=\left(f^i\right)_{1\le i\le m}$ ist genau dann
    in einem Punkt $k$-mal differenzierbar, wenn dies f\"ur alle
    Komponentenfunktionen $f^i$, $1\le i\le m$, gilt und es folgt in
    diesem Falle
    \[D^kf(x) =\left(D^kf^1(x), \ldots,D^kf^m(x)\right),\] wobei wir
    $L_k(E,F)$ mit $\prod\limits_{i=1}^m L_k(E,F_i)$ identifizieren.
  \item Auch f\"ur h\"ohere Ableitungen $k$-mal differenzierbarer
    Funktionen gilt eine Kettenregel, allerdings sehen die
    Darstellungen h\"oherer Ableitungen von Verkn\"upfungen
    komplizierter aus.
  \item Ist $f\in C^k(\Omega)$, so gilt
    \[D_{i_k}\ldots D_{i_1} f(x) =D^kf(x)\langle
      e_{i_1},\ldots,e_{i_k}\rangle\] f\"ur alle $x\in\Omega$ und alle
    $i_l$ mit $1\le i_l\le n$, $1\le l\le k$. \par F\"ur Vektoren
    $u_l=\left(u^1_l,\ldots,u^n_l\right)^T$ folgt
    \[D^kf(x)\langle u_1,\ldots,u_k\rangle
    =\sum\limits_{i_1,\ldots,i_k=1}^n D_{i_k}\ldots D_{i_1} f(x)
    u^{i_1}_1\cdots u^{i_k}_k.\]
  \end{enumerate}
\end{remark}
}  % weg

\begin{beispiele}
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $f\colon\R^2\to\R$ durch $(x,y)\mapsto x^2y$ gegeben. Dann
    ist
    \[f_{12}((x,y)) =D_2(2xy) =2x =D_1\left(x^2\right)
      =f_{21}((x,y)).\]
    \weg{
  \item\stern Die Funktion $f\colon\R^2\to\R$ mit \[f(x,y)=
    \begin{cases}
      \dfrac{xy\left(x^2-y^2\right)}{x^2+y^2}, &(x,y)\neq(0,0),\\
      0, &(x,y)=(0,0), 
    \end{cases}
    \]
    ist im Ursprung zweimal partiell differenzierbar, jedoch sind die
    zweiten partiellen Ableitungen dort weder stetig noch symmetrisch.
    \begin{proof}[Beweis]
      \"Ubung. 
    \end{proof}
    } % weg
  \item Sei $B\colon \R^n\times \R^m\equiv \R^{n+m}\to \R^k$ bilinear.
    Somit ist $B$ automatisch auch stetig. Dann ist $B\in C^\infty$ und
    $D^3B\equiv0$.
    \begin{proof}[Beweis]
      Es gilt \[DB(u,v)\langle (a,b)\rangle =B(a,v)+B(u,b).\] Die
      Abbildung
      $DB(\cdot,\cdot)\langle(a,b)\rangle\colon \R^n\times\R^m\to\R^k$
      ist linear. Somit gilt
      \begin{align*}
        D(DB(\cdot,\cdot)\langle(a,b)\rangle)(u,v)\langle(c,d)\rangle
        &=D^2B(u,v)\langle(a,b),(c,d)\rangle\umbruch\\
        &=B(a,d)+B(c,b).
      \end{align*}
      Dies ist von $(u,v)$ unabh\"angig. Also ist $D^3B\equiv0$.
    \end{proof}
\datumcorona{Mo 06.07.2020}
  \item Sei $E$ ein Banachraum und $GL(E)\subset L(E)$ die (offene)
    Menge der Operatoren in $L(E)$ mit Inverser Abbildung in
    $L(E)$. Dann ist \[\Phi\colon GL(E)\ni A\mapsto A^{-1}\in
    GL(E)\subset L(E)\] in $GL(E)$ differenzierbar und es gilt
    $D\Phi(A)\langle B\rangle =-A^{-1}BA^{-1}$. (Vergleiche dies mit
    $\left(g^{-1}\right)'=-\frac{g'}{g^2}$.) Es gilt $\Phi\in
    C^\infty$.
    \begin{proof}[Beweis]
      Wir zeigen nur die Behauptung \"uber $D\Phi$ und lassen es als
      \"Ubung, die Glattheit von $D\Phi$ mit Hilfe der Glattheit der
      in $(A,C)$ bilinearen Abbildung \[\Psi(A,C)\langle B\rangle
      :=-ABC,\] der Kettenregel und Induktion zu zeigen.\par
      \textbf{Differenzierbarkeit:} Statt
      $\Phi(A+B)-\Phi(A)-D\Phi(A)\langle B\rangle\in o(\Vert B\Vert)$
      zu zeigen, multiplizieren wir die Gleichung von links mit $A$
      und erhalten
      \begin{align*}
        o(\Vert B\Vert)\overset!=&\,A(B+A)^{-1}-AA^{-1}
        +AA^{-1}BA^{-1}\umbruch\\ 
        =&\,\left((B+A)A^{-1}\right)^{-1} -\eins +BA^{-1}\umbruch\\
        =&\,\left(BA^{-1}+\eins\right)^{-1}-\eins+BA^{-1}.        
      \end{align*}
      Die Behauptung folgt nun mit Hilfe der Neumannschen Reihe, denn
      es gilt \[\left(\eins+BA^{-1}\right)^{-1} =\eins -BA^{-1}
      +\left(BA^{-1}\right)^2 -\left(BA^{-1}\right)^3 \pm\ldots\] f\"ur
      $\left\Vert BA^{-1}\right\Vert<1$.
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\Subsection{Taylorsche Formel}

\datum{Mo 30.06.2025}
\begin{definition}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und
  $f\colon\Omega\to F$ eine $k$-mal differenzierbare Abbildung. Seien
  $u\in E$ und $x\in\Omega$.  Dann setzen wir
  \[D^kf(x)\langle u\rangle^k:=D^kf(x)\underbrace{\langle
      u,\ldots,u\rangle}_{k \text{ St\"uck}}\] f\"ur $k\in\N_{>0}$ und
  $D^0f(x)\langle u\rangle^0=f(x)$.
\end{definition}

\begin{lemma}
  \label{phi konv abl lem}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und
  $f\colon\Omega\to F$ eine $k$-mal differenzierbare Abbildung. Seien
  $x,u\in E$ mit $[x,x+u]\subset\Omega$. Dann ist
  $[0,1]\ni t\mapsto \phi(t)\equiv f(x+tu)\in F$ ebenfalls $k$-mal
  differenzierbar und es gilt \[\phi^{(k)}(t)=D^kf(x+tu)\langle
  u\rangle^k.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Kettenregel und Induktion. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Taylorsche Formel]
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und $f\in
  C^p(\Omega,F)$, $p\in\N$. Sei $x\in\Omega$. Dann gilt f\"ur alle
  $u\in E$ mit $x+u\in\Omega$ die
  Darstellung \[f(x+u)=\sum\limits_{k=0}^p \frac1{k!}D^kf(x)\langle 
  u\rangle^k +o(\Vert u\Vert^p).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $\Omega$ offen ist, d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen,
  dass $\delta>0$ so gew\"ahlt ist, dass $B_\delta(x)\subset\Omega$
  gilt. Da die Behauptung nur im Falle, dass $\Vert u\Vert$ klein ist,
  nichttrivial ist, d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung $\Vert
  u\Vert<\delta$ annehmen. Wir betrachten nun $\phi$ mit $[0,1]\ni
  t\mapsto \phi(t)\equiv f(x+tu)\in F$ wie in Lemma \ref{phi konv abl
    lem}. Dann ist $\phi$ sogar noch in einer kleinen Umgebung von
  $[0,1]\subset\R$ von der Klasse $C^p$. Wir wenden nun den
  eindimensionalen Satz von Taylor, Theorem \ref{taylor model thm}, an
  und erhalten \[\phi(1) =\sum\limits_{k=0}^p\frac1{k!}\phi^{(k)}(0)
  +R_p(\phi,0)(1)\] sowie die Restgliedabsch\"atzung \[\Vert
  R_p(\phi,0)(1)\Vert \le\frac1{(p-1)!} \sup\limits_{0<t<1}\left\Vert
    \phi^{(p)}(t)-\phi^{(p)}(0)\right\Vert.\] Die Behauptung folgt nun
  direkt mit Hilfe der Formel f\"ur die Ableitungen von $\phi$ aus
  Lemma \ref{phi konv abl lem}. 
\end{proof}

\begin{remark}[Lagrangesche Restgliedabsch\"atzung]
  Ist $f\in C^{p+1}(\Omega,F)$, so erhalten wir mit einem
  analogen Vorgehen, diesmal unter Verwendung von Theorem \ref{lagr
    mod thm}, die Absch\"atzung \[f(x+u) =\sum\limits_{k=0}^p
  \frac1{k!} D^kf(x)\langle u\rangle ^k +O\left(\Vert
    u\Vert^{p+1}\right).\] 
\end{remark}

Stellen wir totale Ableitungen mit Hilfe der partiellen Ableitungen dar,
so erhalten wir aus der Taylorschen Formel
\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $F$ ein Banachraum und $f\in
  C^p(\Omega,F)$ mit $p\ge1$. Dann gilt f\"ur alle
  $x,x+u\in\Omega$ \[f(x+u) =\sum\limits_{k=0}^p \frac1{k!}
  \sum\limits_{i_1,\ldots,i_k=1}^n D_{i_1}\ldots
  D_{i_k}f(x)u^{i_1}\ldots u^{i_k} +o\left(\Vert u\Vert^p\right).\]
\end{corollary}

\weg{
\begin{remark}[Multiindexschreibweise] \stern
  Ist $\alpha\in\N^n$, so schreiben wir $D^\alpha f$ f\"ur die
  Ableitung $D_1^{\alpha_1}\ldots D_n^{\alpha_n} f$ und nennen
  $|\alpha|=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i$ die Ordnung der Ableitung.
  Weiterhin schreiben wir $\prod\limits_{i=1}^n
  \left(u^i\right)^{\alpha_i}\equiv u^\alpha$.  In dieser Schreibweise 
  erhalten wir die folgende Form der Taylorschen Formel: \[f(x+u)
  =\sum\limits_{|\alpha|\le k} \frac1{\alpha!} D^\alpha
  f(x)u^\alpha+o\left(\Vert u\Vert^p\right)\] mit
  $\alpha!:=\alpha_1!\cdot\ldots\cdot \alpha_n!$. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt aus rein kombinatorischen \"Uberlegungen aus der obigen
  Taylorschen Formel.
\end{proof}
} % weg

\Subsection{Lokale Extrema}

Hinreichende und notwendige Bedingungen f\"ur lokale Extrema benutzen
die aus der linearen Algebra bekannte Definitheit. 
\begin{definition} 
  Sei $E$ ein Banachraum und $a\in L_2(E;\R)$ eine symmetrische
  Bilinearform. Dann hei\ss{}t $a$
  \begin{enumerate}[(i)]
    \weg{
  \item \stern \emph{positiv semidefinit,} $a\succcurlyeq0$, falls
    $a(x,x)\ge0$ f\"ur alle $x\in E$ gilt.
  \item \stern \emph{positiv definit,} $a\succ0$, falls $a(x,x)>0$
    f\"ur alle $x\in E\setminus\{0\}$ gilt.
    } % weg
  \item \emph{gleichm\"a\ss{}ig positiv definit,} falls es ein $c>0$
    mit $a(x,x)\ge c$ f\"ur alle $x\in E$ mit $\Vert x\Vert=1$
    gibt.
    \weg{
  \item \stern \emph{negativ semidefinit,} $a\preccurlyeq0$, falls
    $-a$ positiv semidefinit ist; \par \emph{negativ definit,}
    $a\prec0$, falls $-a$ positiv definit ist; \ldots.
  \item \stern \emph{(gleichm\"a\ss{}ig) definit,} falls $a$
    (gleichm\"a\ss{}ig) positiv oder negativ definit ist. 
  \item \stern \emph{indefinit,} falls es Vektoren $x,y\in E$ mit
    $a(x,x)>0$ und $a(y,y)<0$ gibt.
    } % weg
  \item Ist $H$ ein reeller Hilbertraum und $A\in L(H)$
    selbstadjungiert, so hei\ss{}t $A$ \emph{positiv semidefinit,}
    \ldots, falls dies f\"ur die symmetrische Bilinearform
    $(x,y)\mapsto \langle Ax,y\rangle$ gilt. Wir schreiben hier ebenso
    $A\succcurlyeq0$, \ldots.
    \weg{
  \item \stern Im komplexen Fall benutzen wir die entsprechenden
    Definitionen f\"ur hermitesche (gleiche Linearit\"atseigenschaften
    wie beim komplexen Skalarprodukt) Sesquilinearformen $a\in
    L_2(E;\C)$.
  \item \stern H\"aufig schreibt man auch einfach $a\ge0$, $a>0$,
    \ldots.
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{definition}

\weg{
\begin{remark}\stern 
  Ist $\dim E<\infty$, so ist jede positiv definite Bilinearform auch
  gleichm\"a\ss{}ig positiv definit.
\end{remark}
} % weg

\weg{
Bei symmetrischen $\R^{n\times n}$-Matrizen kann man mit Hilfe der
Eigenwerte Definitheit \"uberpr\"ufen, siehe \cite{OSLA2}:
\begin{lemma}\stern 
  Sei $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}\in\R^{n\times n}$ eine eine
  symmetrische Bilinearform darstellende Matrix und seien
  $(\lambda_i)_{1\le i\le n}$ deren Eigenwerte mit
  Vielfachheiten. Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $A\succcurlyeq 0$\quad\aequivalent\quad
    $\lambda_i\ge0\quad\forall\,i$, 
  \item $A\succ 0$\quad\aequivalent\quad $\lambda_i>0\quad\forall\,i$, 
  \item $A\preccurlyeq 0$\quad\aequivalent\quad
    $\lambda_i\le0\quad\forall\,i$,
  \item $A\prec0$\quad\aequivalent\quad $\lambda_i<0\quad\forall\,i$
    und 
  \item $A$ ist indefinit\quad\aequivalent\quad $\exists\,i,j\colon
    \lambda_i<0<\lambda_j$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Diagonalisiere $A$. 
\end{proof}
} % weg

\weg{
Bei symmetrischen $\R^{n\times n}$-Matrizen kann man die strikte
Definitheit mit Hilfe der Vorzeichen von Unterdeterminanten
untersuchen, siehe \cite{OSLA2}:
\begin{lemma}\stern
  Sei $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}\in\R^{n\times n}$ eine eine
  symmetrische Bilinearform darstellende Matrix. Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $A\succ0$\quad\aequivalent\quad $\det(a_{ij})_{1\le i,j\le
      k}>0\quad\forall\,1\le k\le n$,
  \item $A\prec0$\quad\aequivalent\quad $(-1)^k\det(a_{ij})_{1\le
      i,j\le k}>0\quad\forall\,1\le k\le n$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Siehe \cite{OSLA2}. 
\end{proof}
} % weg

\weg{
\begin{remark}
  \stern Beachte, dass die entsprechende \"Aquivalenz im Falle
  $A\succcurlyeq0$ nicht mehr gilt, betrachte dazu
  $A= \left(\begin{smallmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1
\end{smallmatrix}\right).$
\end{remark}
} % weg

\begin{theorem}
  Sei $E$ ein Banachraum, $\Omega\subset E$ offen und $f\in
  C^2(\Omega,\R)$. Sei $x_0\in\Omega$ eine lokale Extremalstelle von
  $f$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $x_0$ ein kritischer Punkt von $f$, \dh es gilt
    $Df(x_0)=0$.
  \item Weiterhin gilt $D^2f(x_0)\succcurlyeq0$ in einem lokalen
    Minimum\\
    \stern bzw.{} $D^2f(x_0)\preccurlyeq0$ in einem lokalen
    Maximum.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $u\in E$ beliebig. Dann ist $0$ eine lokale Extremalstelle
    der Funktion $\phi$ mit $(-\epsilon,\epsilon)\ni t\mapsto
    \phi(t)\equiv f(x_0+tu)\in\R$, die f\"ur ein kleines $\epsilon>0$
    definiert ist. Da $\phi$ auf einer offenen Teilmenge von $\R$
    definiert ist, folgt $0=\phi'(0)$, also aufgrund der Kettenregel
    $Df(x_0)\langle u\rangle=0$.  Da $u\in E$ beliebig war, folgt
    $Df(x_0)=0$ und $x_0$ ist ein kritischer Punkt von $f$.
  \item Aus der Taylorschen Formel folgt nun \[f(x_0+u)=f(x_0)+\frac12
    D^2f(x_0)\langle u\rangle^2 +o\left(\Vert u\Vert^2\right)\] f\"ur
    alle $u$ in einem hinreichend kleinen Ball $B_r(0)$, so dass
    $B_r(x_0)\subset\Omega$ gilt. Wir betrachten ab jetzt ohne
    Einschr\"ankung den Fall eines lokalen Minimums. Durch
    Verkleinerung von $r>0$ k\"onnen wir erreichen, dass $f(x_0+u)\ge
    f(x_0)$ f\"ur alle $u\in B_r(0)$ gilt. Setzen wir in die
    Taylorsche Formel nun speziell $u=te$ mit $0<t<r$ und ein
    beliebiges $e\in E$ mit $\Vert e\Vert=1$ ein, so folgt \[0\le
    f(x_0+te)-f(x_0) =\frac12t^2D^2f(x_0)\langle e,e\rangle
    +o\left(t^2\right).\] Wir dividieren nun durch $t^2$, lassen
    $t\to0$ und erhalten, da $e\in E$ mit $\Vert e\Vert=1$ beliebig
    war, die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{remark} \stern
  Bereits im eindimensionalen Fall haben wir gesehen, dass
  $D^2f(x_0)\succcurlyeq0$ zwar eine notwendige, jedoch keine
  hinreichende Bedingung f\"ur ein lokales Minimum ist, wie man am
  Beispiel $\R\ni t\mapsto t^3\in\R$ sieht.   
\end{remark}
} % weg

\begin{theorem}
  Sei $E$ ein Banachraum. Sei $\Omega\subset E$ offen und $f\in
  C^2(\Omega)$. Sei $x_0\in\Omega$ ein kritischer Punkt von $f$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $D^2f(x_0)$ gleichm\"a\ss{}ig positiv definit, so nimmt
    $f$ in $x_0$ ein lokales Minimum an. 
  \item Ist $D^2f(x_0)$ gleichm\"a\ss{}ig negativ definit, so nimmt
    $f$ in $x_0$ ein lokales Maximum an.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
Ist $\dim E<\infty$, also z.\,B.{} $E=\R^n$, so gen\"ugt die positive
bzw.{} negative Definitheit als Voraussetzung.
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $D^2f(x_0)$ ohne Einschr\"ankung gleichm\"a\ss{}ig positiv
  definit, \dh es gibt ein $c>0$, so dass $D^2f(x_0)\langle
  u,u\rangle\ge 2c\Vert u\Vert^2$ f\"ur alle $u\in E$ gilt. Sei $r>0$,
  so dass $B_r(x_0)\subset\Omega$ gilt. Sei $\Vert u\Vert<r$. Dann
  folgt aus der Taylorschen Formel \[f(x_0+u)\ge f(x_0)+c\Vert
  u\Vert^2 +o\left(\Vert u\Vert^2\right).\] Ist $r$ klein genug, so
  erhalten wir $\left|o\left(\Vert u\Vert^2\right)\right|\le \frac
  c2\Vert u\Vert^2$ und es folgt \[f(x_0+u)\ge f(x_0) +\frac c2\Vert
  u\Vert^2\] f\"ur alle $u\in B_r(0)$. Dies impliziert die Behauptung.
\end{proof}

\weg{
\begin{beispiele} \stern
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Funktion $f\colon \R^2\to\R$ mit $(x,y)\mapsto x^2-y^2$
    hat in $(0,0)$ einen kritischen Punkt. $D^2f(0)$ ist indefinit;
    wir nennen solch einen Punkt einen \emph{Sattelpunkt.} Die Anzahl
    der negativen Eigenwerte von $D^2f(0)$ hei\ss{}t \emph{Index} von
    $f$ im kritischen Punkt $0$. F\"ur den Index gilt hier $\ind
    f(0)=1$. 
  \item Die Funktion $\R^2\ni (x,y)\mapsto
    e^{-3\left(x^2+y^2\right)}\left(x^2-y^2\right)$ hat zwei lokale
    Minima, zwei lokale Maxima und einen Sattelpunkt.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}
} % weg

\Section{Existenzs\"atze}
\datum{Do 03.07.2025}
\Subsection{Banachscher Fixpunktsatz}
Mit kontrahierenden Abbildungen bekommen wir eine weitere
M\"oglichkeit, die Existenz von $\sqrt 2$ zu zeigen. 
\begin{definition}
  Sei $E$ ein metrischer Raum und $T\colon E\to E$ eine
  Abbildung. Dann hei\ss{}t $T$ \emph{kontrahierend} oder eine
  \emph{Kontraktion,} falls es ein $k\in[0,1)$ gibt, so dass f\"ur
  alle $x,y\in E$ \[d(T(x),T(y))\le kd(x,y)\] gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  Jede Kontraktion ist stetig. 
\end{remark}

\begin{theorem}[Banachscher Fixpunktsatz]
  \label{Banach Fix thm}
  Sei $E$ ein vollst\"andiger metrischer Raum und sei $T$ eine
  kontrahierende Abbildung mit Konstante $k\in[0,1)$. Dann gibt es
  genau ein $\hat x\in E$ mit $\hat x=T(\hat x)$, \dh $\hat x$ ist der
  (einzige) Fixpunkt von $T$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in E$ beliebig. Definiere induktiv $x_{n+1}:=T(x_n)$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \textbf{$(x_n)_n$ ist eine Cauchyfolge:} Es gilt
    \begin{align*}
      d(x_{n+m},x_n)\le&\,
      d(x_{n+m},x_{n+m-1})+\ldots+d(x_{n+1},x_n)\umbruch\\
      \le&\,\left(k^{n+m-1}+\ldots +k^n\right)\cdot
      d(x_1,x_0)\umbruch\\
      =&\,k^n\left(k^{m-1}+\ldots+1\right)\cdot d(x_1,x_0)\umbruch\\
      \le&\,k^n\sum\limits_{j=0}^\infty k^j \cdot d(x_1,x_0)\umbruch\\ 
      =&\,\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0).
    \end{align*}
    Die rechte Seite konvergiert f\"ur $n\to\infty$ gegen Null. Somit
    ist $(x_n)_n$ eine Cauchyfolge. 
  \item \textbf{Existenz eines Fixpunktes $\hat x$:} Da $E$
    vollst\"andig ist, konvergiert die Cauchyfolge gegen ein
    $\hat x\in E$. Wegen $x_n\to\hat x$ erhalten wir
    \begin{align*}
      d(\hat x,T(\hat x))\le&\,d(\hat x,x_n) +d(x_n,T(\hat
      x))\umbruch\\
      =&\,d(\hat x,x_n) +d(T(x_{n-1}),T(\hat x))\umbruch\\
      \le&\,d(\hat x,x_n) +kd(x_{n-1},\hat
      x)\underset{n\to\infty}\longrightarrow0. 
    \end{align*}
  \item \textbf{Eindeutigkeit:} Sei $\ol x$ ein weiterer
    Fixpunkt. Dann gelten $T(\ol x)=\ol x$ und
    \[d(\ol x,\hat x) =d(T(\ol x),T(\hat x)) \le kd(\ol x,\hat x).\]
    Somit ist $d(\ol x,\hat x)=0$. Daher ist der Fixpunkt eindeutig
    bestimmt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern
  Mit $m\to\infty$ erh\"alt man aus der l\"angsten Absch\"atzung aus dem
  Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes die Ungleichung \[d(\hat
  x,x_n)\le \frac{k^n}{1-k} d(x_1,x_0).\] Damit kann man absch\"atzen,
  wie genau man einen Fixpunkt nach $n$ Iterationen erreicht hat. 
\end{remark}
} % weg

\begin{beispiel}
  Auf dem vollst\"andigen metrischen Raum $[1,2]\subset\R$ betrachten
  wir die Abbildung $T\colon[1,2]\to\R$ mit $x\mapsto x+c(2-x^2)$
  f\"ur unterschiedliche Werte von $c$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt $T(1)=1+c$. Somit kann $T$ h\"ochstens f\"ur
    $c\in[0,1]$ eine Selbstabbildung sein. 
  \item Es gilt $T(2)=2-2c$. Daher kann $T$ h\"ochstens f\"ur
    $c\in\left[0,\frac12\right]$ eine Selbstabbildung sein. 
  \item F\"ur $c=0$ gilt $T(x)=x$, also ist $T$ keine Kontraktion. 
  \item Quadratisches Erg\"anzen liefert \[T(x)=x+2c-cx^2
    =-c\left(x^2-\frac1cx-2\right)
    =-c\left(\left(x-\frac1{2c}\right)^2-\frac1{4c^2}-2\right).\] Die
    Funktion $T$, auf $\R$ fortgesetzt, besitzt also an der Stelle
    $x=\frac1{2c}$ ein lokales Maximum. Ist $1\le\frac1{2c}\le 2$, so
    ist dies im Definitionsbereich von $T$. Dann gilt also $\frac14\le
    c\le\frac12$. Der Wert in diesem Maximum ist dann also durch 
    \[-c\left(-\frac1{4c^2}-2\right) =\frac1{4c}+2c \le1+1=2\] nach
    oben abgesch\"atzt. 
  \item Somit gilt f\"ur $c\in\left[0,\frac12\right]$ die Inklusion
    $T([1,2])\subset[1,2]$. Betrachte daher $T$ als Selbstabbildung
    $T\colon[1,2]\to[1,2]$. 
  \item Um zu sehen, wann $T$ eine Kontraktion ist, betrachten wir
    \begin{align*}
      |T(x)-T(y)|=&\,\left|x+c\left(2-x^2\right)
        -y-c\left(2-y^2\right)\right| 
      =\left|x-cx^2-y+cy^2\right|\umbruch\\
      =&\,|x-y|\cdot|1-c(x+y)|.
    \end{align*}
    Wegen $x+y\in[2,4]$ und $c(x+y)\in(0,2)$ f\"ur $0<c<\frac12$ ist
    $T$ f\"ur $c\in\left(0,\frac12\right)$ eine Kontraktion.
  \item F\"ur den Fixpunkt $\hat x\in[1,2]$ gilt also $\hat x=\hat
    x+c\left(2-\hat x^2\right)$, also $\hat x^2=2$ im Falle
    $0<c<\frac12$.
  \end{enumerate}
\end{beispiel}

\weg{
Die Abbildung $T$ liefert auch im Falle $c=\frac12$, wenn $T$ keine
Kontraktion mehr ist, eine M\"oglichkeit, $\sqrt 2$ zu berechnen. Es
gilt allgemeiner
\begin{theorem}
  \stern
  Sei $E$ ein kompakter metrischer Raum. Sei $T\colon E\to E$ eine
  Abbildung und gelte \[d(T(x),T(y))<d(x,y)\] f\"ur alle $x\neq y\in
  E$. Dann besitzt $T$ einen eindeutig bestimmten Fixpunkt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. \par Man kann den Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes wie
  folgt modifizieren: Betrachte f\"ur ein $x\in E$ die Folge
  $d(x,T(x))$, $d(T(x),T(T(x)))$, \ldots. Solange alle betrachteten
  Punkte $T^k(x),T^{k+1}(x)\in E$ die Ungleichung
  $d\left(T^k(x),T^{k+1}(x)\right)\ge\epsilon$ erf\"ullen, erh\"alt
  man eine Kontraktion. Auf diese Weise findet man ein $y\in E$ mit
  $d(y,T(y))<\epsilon$. Es gibt aber noch einen deutlich k\"urzeren
  Beweis.
\end{proof}
} % weg

\weg{
F\"ur sp\"ater ben\"otigen wir noch die
folgende Variante des Banachschen Fixpunktsatzes.
\begin{theorem}
  \label{banach ohne selbstabb thm}
  \stern
  Sei $E$ ein Banachraum und $f\colon\bar B_r(0)\to E$ mit
  $\bar B_r(0)\subset E$ eine Kontraktion mit Kontraktionskonstante
  $\kappa$. Gelte $\Vert f(0)\Vert \le r(1-\kappa)$. Dann besitzt $f$
  einen Fixpunkt.
\end{theorem}
Im Unterschied zum Banachschen Fixpunktsatz nehmen wir hier nicht an,
dass $f\colon \bar B_r(0)\to \bar B_r(0)$ eine Selbstabbildung
ist. Trotzdem gehen wir \"ahnlich wie beim Beweis des Banachschen
Fixpunktsatzes vor und iterieren die Abbildung $f$. 
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren induktiv $x_0:=0$ und $x_{n+1}:=f(x_n)$ f\"ur alle
  $n\in\N$. Solange $x_n\in\bar B_r(0)$ gilt, ist auch $x_{n+1}$
  wohldefiniert. Sei $N\in\N$, so dass $x_n\in \ol{B_r(0)}$ f\"ur alle
  $0\le n\le N$ gilt. Wie beim Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes
  erhalten wir f\"ur alle $0<n\le N+1$
  \begin{align*}
    \Vert x_n -x_{n-1}\Vert =&\,\Vert f(x_{n-1})-f(x_{n-2})\Vert
    \le\kappa\cdot\Vert x_{n-1}-x_{n-2}\Vert\umbruch\\
    =&\,\kappa\cdot\Vert f(x_{n-2})-f(x_{n-3})\Vert
    \le\kappa^2\cdot\Vert x_{n-2}-x_{n-3}\Vert \le \ldots\umbruch\\
    \le&\, \kappa^{n-1}\cdot\Vert x_1-x_0\Vert =\kappa^{n-1}\cdot
    \Vert f(0)\Vert,\umbruch\\
    \Vert x_{N+1}\Vert =&\,\Vert x_0-x_{N+1}\Vert \le\Vert x_0-x_1\Vert
    +\ldots +\Vert
    x_N-x_{N+1}\Vert\umbruch\\
    \le&\,\sum\limits_{i=0}^N\kappa^i\cdot\Vert f(0)\Vert
    \le\frac1{1-\kappa}\cdot\Vert f(0)\Vert\le r.
  \end{align*}
  Hieraus folgt, dass auch noch $x_{N+1}\in \bar B_r(0)$
  gilt. Induktiv folgt also $x_n\in\bar B_r(0)$ f\"ur alle
  $n\in\N$. \par Mit einer Absch\"atzung \"ahnlich wie oben oder wie
  im Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes folgt nun, dass $(x_n)_n$
  eine Cauchyfolge ist und der Limes ist der gesuchte Fixpunkt in
  $\bar B_r(0)$.
\end{proof}
}

\Subsection{Satz \"uber die Umkehrabbildung}
\datumcorona{Do 09.07.2020}
Wir beginnen mit etwas Vorbereitung. 

\weg{
Da einige Resultate auch f\"ur H\"olderr\"aume gelten, definieren wir
diese. 
\begin{definition}\stern
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $E$ ein metrischer Raum und sei $F$ ein Banachraum.  Eine
    Funktion $f\colon E\to F$ hei\ss{}t \emph{lokal h\"olderstetig}
    mit Exponent $\alpha$, $0<\alpha\le1$,
    falls \[\fueralle\limits_{x_0\in E}
    \existiert\limits_{U\in\mathcal U(x_0)} \existiert\limits_{c\ge0}
    \fueralle\limits_{x,y\in U} \Vert f(x)-f(y)\Vert\le
    cd(x,y)^\alpha\] gilt. Ist $\alpha=1$, so sprechen wir von lokal
    Lipschitzstetigen Funktionen. Wir schreiben $C^{0,\alpha}(E,F)$,
    $C^{0,1}(E,F)$ bzw.{} im Fall $F=\R$ auch $C^{0,\alpha}(E)$ und
    $C^{0,1}(E)$.
  \item Sind $E,F$ Banachr\"aume und sei $\Omega\subset E$ offen. Sei
    $m\in\N_{>0}$ und $0<\alpha\le1$. Dann definieren
    wir \[C^{m,\alpha}(\Omega,F):=\left\{f\in C^m(\Omega,F)\colon
      D^mf\in C^{0,\alpha}(\Omega,L_m(E;F))\right\}\] und schreiben
    $C^{m,\alpha}(\Omega,\R)\equiv C^{m,\alpha}(\Omega)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}
} % weg

Wichtig wird in diesem Kapitel die Menge der Diffeomorphismen. 
\begin{definition}[Diffeomorphismus]
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und $U\subset E$ sowie $V\subset F$
  offen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Abbildung $f\colon U\to V$ hei\ss{}t ein
    \emph{$C^k$-Diffeomorphismus,} $k\in\N_{>0}\cup\{\infty\}$, falls
    $f$ bijektiv ist und $f$ und $f^{-1}$ von der Klasse $C^k$
    sind. Wir bezeichnen die Menge aller $C^k$-Diffeomorphismen von
    $U$ nach $V$ mit $\Diff^k(U,V)$. 
  \item Eine Abbildung $f\colon U\to F$ hei\ss{}t \emph{lokaler
      $C^k$-Diffeomorphismus,} falls $f$ eine offene Abbildung ist
    (dies ist n\"otig um sp\"ater die Definition von $\Diff^k$
    anwenden zu k\"onnen) und jeder Punkt $x_0\in U$ eine offene
    Umgebung $B_r(x_0)\subset U$ besitzt, so dass $f\in\Diff^k
    (B_r(x_0),f(B_r(x_0)))$ gilt. Wir bezeichnen die Menge aller
    lokalen $C^k$-Diffeomorphismen von $U$ nach $F$ mit
    $\Diff^k_{\loc}(U,F)$. 
  \item Die (m\"oglicherweise leere) Menge aller topologischen
    (linearen) Isomorphismen (oder linearen Hom\"oomorphismen) von $E$
    nach $F$ bezeichnen wir mit $L_{\top}(E,F)$. (Eine Abbildung
    $\phi\in L_{\top}(E,F)$ ist linear, stetig und bijektiv, ebenso
    $\phi^{-1}$. Weiterhin bemerken wir, dass $L_{\top}(E,E)=GL(E)$
    gilt.) 
  \end{enumerate}
\end{definition}
% Ich habe hier und auch bei den h\"olderstetigen Diffeomorphismen
% bisher keine Bezeichnung f\"ur den Fall eingef\"uhrt, dass die
% Funktionen zus\"atzlich in $C^k(\ol\Omega,E)$ sind. Dies
% unterscheidet diese Definition von der in [CG, Analysis II]

\weg{
F\"ur h\"olderstetige Funktionen gilt
\begin{lemma}\stern \label{Hoelder diffeos lem}
  Seien $E_i$, $1\le i\le 3$, Banachr\"aume und $\Omega_i\subset E_i$
  offen. Seien $m\in\N_{>0}$ und $0<\alpha\le 1$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $f\in C^{m,\alpha}(\Omega_1,E_2)$ und $g\in
    C^{m,\alpha}(\Omega_2,E_3)$ mit $f(\Omega_1)\subset\Omega_2$. Dann
    gilt $g\circ f\in C^{m,\alpha}(\Omega_1,E_3)$. 
  \item Sei $f\in\Diff^m(\Omega_1,\Omega_2)$ und gelte $f\in
    C^{m,\alpha}(\Omega_1,E_2)$. Dann folgt f\"ur die Umkehrabbildung
    $f^{-1}$ auch $f^{-1}\in C^{m,\alpha}(\Omega_2,E_1)$. \par Daher
    bezeichnen wir solche Diffeomorphismen auch mit
    $\Diff^{m,\alpha}(\Omega_1,\Omega_2)$ und im Fall lokaler
    Diffeomorphismen mit $\Diff^{m,\alpha}_\loc(\Omega_1,\Omega_2)$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}
} % weg

\begin{theorem}[Satz \"uber die Umkehrfunktion, Satz von der inversen
  Abbildung, ``Inverse function theorem'']\neueZeilealt \label{inverse
    fct thm} Seien $E,F$ Banachr\"aume, sei $\Omega\subset E$ offen
  und $f\in C^k(\Omega,F)$ mit $k\ge1$. Sei $x_0\in\Omega$. Ist
  $Df(x_0)\in L_\top(E,F)$, so gibt es eine offene Umgebung
  $U=B_r(x_0)\subset\Omega$, so dass $V=f(U)$ offen ist und
  $f\in\Diff^k(U,V)$ gilt. \par
  Gilt also $Df(x)\in L_\top(E,F)$ f\"ur alle $x\in\Omega$, so folgt
  $f\in\Diff^k_\loc(\Omega,F)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir nehmen ohne Einschr\"ankung an, dass $E=F$ gilt. Sonst
    wenden wir das Resultat auf die Abbildung $g:=(Df(x_0))^{-1}\circ
    f$ an. Es gelten $g\in C^k(\Omega,E)$ sowie $Dg(x_0)=\id$. Ist $g$
    ein $C^k$-Diffeomorphismus, so auch $f$. 
  \item Sei $f\in C^k(\Omega,E)$ und $Df(x_0)\in GL(E)$. Wir erinnern
    daran, dass $GL(E)\subset L(E)$ eine offene Teilmenge ist und dass
    die Abbildung $\Phi\colon GL(E)\to GL(E)$ mit $A\mapsto A^{-1}$
    von der Klasse $C^\infty$ ist. \par Wegen $f\in C^1$, also $Df\in
    C^0$, gibt es eine Umgebung $U=B_r(x_0)$, so dass f\"ur alle $x\in
    B_r(x_0)$ auch $Df(x)\in GL(E)$ gilt. \par Wir nehmen nun an, dass
    $f\colon U\to V:=f(B_r(x_0))$ ein Hom\"oomorphismus ist (und
    zeigen dies sp\"ater noch). Sei $g:=(f|_U)^{-1}$. Nach Theorem
    \ref{homoeo inv thm}, dessen Voraussetzungen in jedem Punkt $x\in
    U$ erf\"ullt sind, ist $g$ differenzierbar und f\"ur alle $x\in U$
    gilt \[Dg(f(x)) =(Df(x))^{-1} =\Phi\circ Df(x),\] also
    $Dg=\Phi\circ Df\circ g$. Da wir vorausgesetzt haben, dass $f|_U$
    ein Hom\"oomorphismus ist, ist $g=(f|_U)^{-1}$ stetig und aufgrund
    der Formel f\"ur $Dg$ gilt $g\in C^1$. \par Da $Df\in C^{k-1}$
    ist, erhalten wir per Induktion $g\in C^k(V,E)$.\par Bis auf den
    Beweis der nachfolgenden Behauptung beweist dies unser Theorem. 
  \item
\datum{Mo 07.07.2025}
    \emph{Behauptung:} Es gibt ein $r>0$, so dass $f|_U\colon U\to V$
    mit $U=B_r(x_0)$ und $V=f(B_r(x_0))$ ein Hom\"oomorphismus
    ist. Dies werden wir in den noch folgenden Punkten zeigen.
  \item Surjektivit\"at und Stetigkeit sind klar. 
  \item Injektivit\"at: Wir gehen \"ahnlich wie beim Beweis von
    Theorem \ref{homoeo inv thm} vor. Wir behaupten, dass $f|_U$ f\"ur
    hinreichend kleine $r>0$ injektiv ist. Seien $x,y\in B_r(x_0)$
    beliebig. Dann folgt \[f(x)-f(y)=Df(y)\langle x-y\rangle +o(\Vert
    x-y\Vert).\] In einer hinreichend kleinen Umgebung von $x_0$ gibt
    es eine Konstante $c>0$, so dass f\"ur $y$ aus dieser Umgebung
    $\Vert Df(y)\langle v\rangle\Vert\ge c\Vert v\Vert$
    gilt. (Erkl\"arung dazu: Aufgrund der Stetigkeit von
    $(Df(x_0))^{-1}$ gibt es eine Konstante $c>0$, so dass $\left\Vert
      (Df(x_0))^{-1}\langle u\rangle\right\Vert\le\frac1{2c}\Vert
    u\Vert$ f\"ur alle $u\in E$ gilt. Wir setzen nun insbesondere
    $u=Df(x_0)\langle v\rangle$ und erhalten $2c\cdot\Vert v\Vert\le
    \Vert Df(x_0)\langle v\rangle\Vert$ f\"ur alle $v\in E$. Indem wir
    eine hinreichend kleine Umgebung von $x_0$ betrachten, d\"urfen
    wir f\"ur alle $y$ in dieser Umgebung annehmen, dass $\Vert
    Df(y)-Df(x_0)\Vert\le c$ in der Operatornorm gilt. Daher folgt
    f\"ur solche $y$
    \begin{align*}
      \Vert Df(y)\langle v\rangle\Vert\ge&\,\Vert Df(x_0)\langle
      v\rangle\Vert -\Vert Df(x_0)\langle v\rangle-Df(y)\langle
      v\rangle  \Vert\umbruch\\
      \ge&\,2c\cdot\Vert v\Vert -\Vert Df(x_0)-Df(y)\Vert\cdot\Vert
      v\Vert \ge c\cdot\Vert v\Vert
    \end{align*}
    wie oben behauptet.) \par Indem wir die Umgebung gegebenenfalls
    weiter verkleinern, k\"onnen wir erreichen, dass $\Vert o(\Vert
    x-y\Vert)\Vert\le \frac c2 \Vert x-y\Vert$ f\"ur alle $x,y$ in
    dieser Umgebung gilt, da wir aufgrund des Mittelwertsatzes die
    Absch\"atzung
    \begin{align*}
      \Vert o(\Vert x-y\Vert)\Vert =&\,\Vert
    f(x)-f(y)-Df(y)\langle x-y\rangle\Vert\umbruch\\ \le&\,\Vert
    x-y\Vert\cdot \sup\limits_{\xi\in[x,y]} \Vert Df(\xi)-Df(y)\Vert
    \end{align*}
    haben und $Df$ stetig ist. Wir erhalten somit f\"ur $x,y\in
    B_r(x_0)$ f\"ur geeignete kleine $r>0$ \[\Vert f(x)-f(y)\Vert \ge
    \frac c2\Vert x-y\Vert\] und somit die Injektivit\"at. 
  \item $f|_U$ ist eine offene Abbildung: Sei $\tilde U\subset U$
    offen und $\bar x\in \tilde U$ beliebig. Wir m\"ochten nachweisen,
    dass es ein $\epsilon>0$ gibt, so dass $B_\epsilon(f(\bar
    x))\subset f\big(\tilde U\big)$ gilt. \par Ohne Einschr\"ankung
    d\"urfen wir (nach Anwendung von Translationen) annehmen, dass
    $\bar x=0$ und $f(\bar x)=0$ gelten. \par Sei $\kappa$ mit
    $0<\kappa<1$ beliebig. Da $Df$ stetig ist, gibt es ein $\rho>0$,
    so dass $B_\rho(0)\subset \tilde U$ und \[\left\Vert
      \id-(Df(0))^{-1}\circ \int\limits_0^1
      Df(tx+(1-t)y)\,dt\,\right\Vert \le\kappa\] f\"ur alle $x,y\in \bar
    B_\rho(0)$ gelten. (Erkl\"arung dazu: Es gilt
    \begin{align*}
      &\,\left\Vert\id-(Df(0))^{-1}\circ\int\limits_0^1
        Df(tx+(1-t)y)\,dt\,\right\Vert\umbruch\\
      =&\,\left\Vert (Df(0))^{-1}\circ (Df(0)) -(Df(0))^{-1}
        \circ\int\limits_0^1 Df(tx+(1-t)y)\,dt\,\right\Vert\umbruch\\
      =&\,\left\Vert (Df(0))^{-1}\circ \left(Df(0) -\int\limits_0^1
          Df(tx+(1-t)y)\,dt\right)\right\Vert\umbruch\\
      \le&\,\left\Vert(Df(0))^{-1}\right\Vert \cdot \left\Vert\,
        \int\limits_0^1 Df(0)\,dt
        -\int\limits_0^1 Df(tx+(1-t)y)\,dt\,\right\Vert,\umbruch
      \intertext{da $Df(0)$ von $t$ unabh\"angig ist,}
      =&\,\left\Vert(Df(0))^{-1}\right\Vert \cdot \left\Vert\,
        \int\limits_0^1 Df(0)
        -Df(tx+(1-t)y)\,dt\,\right\Vert\umbruch\\
      \le&\,\left\Vert(Df(0))^{-1}\right\Vert \cdot
      \sup\limits_{z\in[x,y]} \Vert Df(0)-Df(z)\Vert\cdot 1\umbruch\\
      \le&\,\left\Vert(Df(0))^{-1}\right\Vert \cdot
      \sup\limits_{z\in B_\rho(0)} \Vert Df(0)-Df(z)\Vert
    \end{align*}
    und dieses letzte Supremum k\"onnen wir aufgrund der Stetigkeit
    von $Df$ durch Verkleinern von $\rho>0$ beliebig klein machen.)
    \par Sei $u\in B_\epsilon(0)$ beliebig, wobei
    wir $\epsilon>0$ gegebenenfalls noch verkleinern d\"urfen. Wir
    definieren die Abbildung $\phi\colon\bar B_\rho(0)\to E$ f\"ur
    $\rho>0$ wie oben durch \[\phi(x):=x+(Df(0))^{-1}\langle
    u-f(x)\rangle\] und wollen zeigen, dass $\phi$ f\"ur kleine
    $\epsilon>0$ die Voraussetzungen von Theorem~\ref{banach ohne
      selbstabb thm} erf\"ullt. Dann erhalten wir hieraus n\"amlich
    einen Fixpunkt, was gleichbedeutend mit $u-f(x)=0$ ist und die
    Offenheit liefert, da $u\in B_\epsilon(0)$ beliebig war. \par
    Seien also $x,y\in\bar B_\rho(0)$. Dann folgt unter Verwendung des
    Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
    \begin{align*}
      \phi(x)-\phi(y)=&\,x-y-(Df(0))^{-1}\langle
      f(x)-f(y)\rangle\umbruch\\
      =&\,x-y-(Df(0))^{-1}\left\langle\int\limits_0^1 \dt
        f(tx+(1-t)y)\,dt\right\rangle\umbruch\\
      =&\,x-y-(Df(x))^{-1}\left\langle\int\limits_0^1
        Df(tx+(1-t)y)\langle
        x-y\rangle\,dt\right\rangle\umbruch\\
      =&\,\left(\id -(Df(0))^{-1}\circ\int\limits_0^1Df(tx+(1-t)y)\,dt
      \right)\langle x-y\rangle.
    \end{align*}
    Somit erhalten wir aufgrund der Wahl von $\rho$ \[\Vert
    \phi(x)-\phi(y)\Vert\le \kappa\cdot\Vert x-y\Vert\] f\"ur alle
    $x,y\in\bar B_\rho(0)$. Somit ist $\phi$ wie gew\"unscht eine
    Kontraktion. \par Mit Theorem~\ref{banach ohne selbstabb thm}
    folgt nun die Behauptung, falls wir noch
    $\Vert\phi(0)\Vert\le\rho(1-\kappa)$ beweisen k\"onnen. Aufgrund
    unserer Annahme $f(0)=0$ erhalten wir aber \[\Vert\phi(0)\Vert
    =\left\Vert (Df(0))^{-1}\langle u\rangle\right\Vert \le\left\Vert
      (Df(0))^{-1}\right\Vert \cdot\Vert u\Vert \le\left\Vert
      (Df(0))^{-1}\right\Vert\cdot\epsilon.\] Somit erhalten wir die
    behauptete Absch\"atzung, indem wir $\epsilon>0$ falls n\"otig
    verkleinern, so dass \[\epsilon\le\left\Vert
      (Df(0))^{-1}\right\Vert^{-1}\rho(1-\kappa)\] gilt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}\stern 
  Beachte, dass wir in der letzten Absch\"atzung den Ausdruck 
  $\left\Vert (Df(0))^{-1}\right\Vert^{-1}$ nicht durch $\Vert Df(0)\Vert$
  ersetzen d\"urfen. Dies sind im Allgemeinen unterschiedliche reelle
  Zahlen.
\end{remark}
} % weg

\weg{
\begin{corollary}\stern 
  Gilt im Satz \"uber die Umkehrfunktion zus\"atzlich $f\in
  C^{k,\alpha}(\Omega,F)$, so folgt auch
  $f\in\Diff^{k,\alpha}_\loc(\Omega,F)$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Kombiniere den Satz \"uber die Umkehrfunktion, Theorem \ref{inverse
    fct thm} mit Lemma \ref{Hoelder diffeos lem}. 
\end{proof}
} % weg

\datumcorona{Mo 13.07.2020}
\weg{
Als weiteres Korollar zum Satz \"uber die Umkehrfunktion erhalten wir
die folgende globale Variante
\begin{corollary}
  \stern
  \label{satz umkehr global cor}
  Sei $\Omega\subset E$ offen und $f\in C^k(\Omega,F)$, $k\ge 1$,
  injektiv. Sei weiterhin $Df(x)\in L_\top(E,F)$ f\"ur alle
  $x\in\Omega$. Dann ist $f(\Omega)$ offen und es gilt
  $f\in\Diff^k(\Omega,f(\Omega))$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}
} % weg

Sind $E$ oder $F$ endlichdimensional, so folgt aus der Bijektivit\"at
von $Df(x_0)$, dass $E$ und $F$ endlichdimensional sind. Wir
betrachten also den Fall einer Abbildung
$f\colon\Omega\subset\R^n\to\R^m$. Dann folgt aus der Bijektivit\"at
von $Df(x_0)$ bereits $n=m$ und wir erhalten
\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $f\in C^k(\Omega,\R^n)$,
  $k\ge1$. Gelte f\"ur die Jacobimatrix $\det J_f(x_0)\neq0$ in
  $x_0\in\Omega$. Dann gibt es eine offene Umgebung $U=B_r(x_0)$, so
  dass auch $V:=f(U)$ offen ist und $f\in\Diff^k(U,V)$ gilt. \par
  Also folgt aus $\det J_f(x)\neq0$ f\"ur alle $x\in\Omega$, dass
  $f\in\Diff^k_\loc(\Omega,f(\Omega))$ gilt.
\end{corollary}

\weg{
Eine Variante des Satzes \"uber die Umkehrfunktion gilt auch, wenn
$Df(x_0)$ lediglich surjektiv ist. Wir empfehlen hier dringend, den
Fall allgemeiner Banachr\"aume bis zur Vorlesung \"uber
Funktionalanalysis zu \"uberbl\"attern, da es nicht so ganz einfach
ist, sich abgeschlossene Teilr\"aume vorzustellen, die nicht splitten
(ein deutscher Begriff dazu scheint nicht \"ublich zu sein).  
\begin{definition}\stern
  Sei $E$ ein normierter Raum und $M\subset E$ ein abgeschlossener
  Teilraum. Dann \emph{splittet} $M$ den Raum $E$, falls $M$ ein
  \emph{topologisches Komplement} besitzt, \dh es gibt einen
  abgeschlossenen Teilraum $N\subset E$, so dass $E$ die
  \emph{algebraische direkte Summe,} \dh direkte Summe im Sinne der
  linearen Algebra, ist, also $E=M\oplus N$ gilt und $E$ als
  topologischer Raum zum Produktraum $M\times N$ isomorph ist, \dh die
  Abbildung \[j\colon M\times N\to E\quad\text{mit}\quad (x,y)\mapsto
  x+y\] ist ein topologischer Isomorphismus, oder, \"aquivalent dazu,
  falls es eine Konstante $c>0$ mit \[\frac1c\Vert x+y\Vert
  \le\max(\Vert x\Vert,\Vert y\Vert)\le c\cdot\Vert x+y\Vert\] f\"ur
  alle $(x,y)\in M\times N$ gibt. In diesem Falle hei\ss{}t $N$ ein
  \emph{topologisches Komplement} von $M$. $E$ hei\ss{}t
  \emph{topologische direkte Summe} von $M$ und $N$.   
\end{definition}
} % weg

\weg{
\begin{remark}
  \stern Sei $E=M\oplus N$. Betrachten wir $M,N$ als Teilmengen von
  $E$, so k\"onnen wir jeden Vektor $z\in E$ in eindeutiger Weies als
  $z=x+y$ mit $x\in M$ und $y\in N$ schreiben. Dies definiert lineare
  Abbildungen $P_M\colon E\to E$ mit $P_Mz=x$ und $P_N\colon E\to E$
  mit $P_Nz=y$. Die Abbildungen $P_M$ und $P_N$ sind idempotent, \dh
  es gelten $P_M^2=P_M$ und $P_N^2=P_N$. 
\end{remark}
} % weg

\weg{
\begin{definition}
  \stern Sei $E$ ein normierter Raum. Dann hei\ss{}t $P\in L(E)$ ein
  \emph{Projektor,} falls $P^2=P$ gilt, $P$ also \emph{idempotent}
  ist.
\end{definition}
} % weg

\weg{
\begin{lemma} 
  \stern Sei $E$ ein Banachraum und $M\subset E$ ein abgeschlossener
  Teilraum. Dann splittet $M$ den Raum $E$ genau dann, wenn es einen
  Projektor $P\in L(E)$ mit $R(P)=M$ gibt.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item[\Hinrichtung] Sei $E=M\oplus N$ eine topologische direkte
    Summe. Wir definieren $P:=P_M$. Dann ist $P$ idempotent und es
    gilt $R(P)=M$. Wir m\"ussen noch nachweisen, dass $P$ stetig ist,
    \dh dass $P\in L(E)$ gilt. Nach Voraussetzung gibt es ein $c>0$,
    so dass f\"ur alle $z=x+y$ mit $(x,y)\in M\times N$ die
    Absch\"atzung $\max(\Vert x\Vert,\Vert y\Vert)\le c\cdot\Vert
    x+y\Vert$ gilt. Somit folgt $\Vert Pz\Vert =\Vert x\Vert
    \le\max(\Vert x\Vert,\Vert y\Vert)\le c\cdot\Vert z\Vert$ f\"ur
    alle $z\in E$. Also ist $P$ stetig. 
  \item[\Rueckrichtung] Sei $P\in L(E)$ ein Projektor mit
    $R(P)=M$. Wir definieren $N:=P^{-1}(\{0\})$. \par Wir behaupten,
    dass $E=M\oplus N$ gilt: Sei dazu $z\in E$. Wir definieren dazu
    $x:=P(z)$ und $y:=z-P(z)$. Es gilt $(x,y)\in M\times N$; die
    Inklusion f\"ur $x$ ist klar, die f\"ur $y$ folgt aus
    $P(y)=P(z-P(z)) =P(z)-P^2(z) =P(z)-P(z)=0$. Die Eindeutigkeit der
    Darstellung folgt, wenn in einer Darstellung $0=x+y$ mit $(x,y)\in
    M\times N$ stets $x=y=0$ gilt. Aus $x\in M$ folgt, dass es ein
    $\bar x\in E$ mit $P(\bar x)=x$ gibt. Damit folgt $P(x)=P(P(\bar
    x)) =P(\bar x) =x$. Wir wenden nun $P$ auf $0=x+y$ an und erhalten
    $0=x+0$ nach Definition von $N$. Somit ist $x=0$ und folglich gilt
    auch $y=0$. Also ist $E$ die algebraische direkte Summe von $M$
    und $N$. \par Zu den Normabsch\"atzungen: Es gilt nach
    Dreiecksungleichung $\Vert x+y\Vert\le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert
    \le 2\max(\Vert x\Vert,\Vert y\Vert)$. Die Stetigkeit der
    Abbildungen $P$ und $\id-P$ impliziert $\Vert x\Vert =\Vert
    Pz\Vert \le\Vert P\Vert\cdot\Vert z\Vert$ sowie $\Vert y\Vert
    =\Vert(\id-P)z\Vert \le\Vert\id-P\Vert\cdot\Vert z\Vert$. Beide
    Ungleichungen zusammen liefern $\max(\Vert x\Vert,\Vert y\Vert)\le
    c\cdot\Vert z\Vert$. Somit splittet $M$. \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}
} % weg

\weg{
Das folgende Lemma gilt insbesondere f\"ur $H=\R^n$. 
\begin{lemma}
  \stern Sei $H$ ein Hilbertraum und $M\subset H$ ein abgeschlossener
  Teilraum. Dann splittet $M$ den Raum $H$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Das orthogonale Komplement $M^\perp$ ist auch ein topologisches
  Komplement. F\"ur $z=x+y$ mit $\langle x,y\rangle=0$ folgt
  insbesondere $\Vert x+y\Vert^2=\Vert x\Vert^2+\Vert y\Vert^2$ und
  somit die zweite Ungleichung in der Definition eines splittenden
  Unterraumes. \par
  Endlichdimensional k\"onnen wir eine Orthonormalbasis
  $(a_1,\ldots,a_k)$ von $M$ zu einer Orthonormalbasis
  $(a_1,\ldots,a_n)$ von $H$ erg\"anzen und erhalten das orthogonale
  Komplement als $\langle a_{k+1},\ldots,a_n\rangle$.
\end{proof}
} % weg

\weg{
\begin{proposition}
  \label{endl dim br split prop}
  \stern Sei $E$ ein Banachraum und $M\subset E$ ein Unterraum mit
  $\dim M<\infty$. Dann besitzt $M$ ein topologisches Komplement in
  $E$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $\dim M=n$ und $(e_1,\ldots,e_n)$ eine Basis von
  $M$. Definiere $M_i:=\langle e_1,\ldots,e_{i-1}, e_{i+1},\ldots,
  e_n\rangle$, $1\le i\le n$. Dann gibt es aufgrund des Satzes von
  Hahn-Banach stetige Linearformen $\phi_i\in E^*$ mit
  $\phi_i|_{M_i}=0$ und $\langle e_i,\phi_i\rangle =1$. Wir definieren
  nun eine Abbildung $P\colon E\to E$ durch \[P(z):=
  \sum\limits_{i=1}^n e_i\langle z,\phi_i\rangle.\] Man rechnet direkt
  nach, dass $P(e_i)=e_i$, $R(P)\subset M$ und damit $R(P)=M$ und
  $P^2=P$ gelten.  Die Stetigkeit von $P$ ist klar. Somit splittet $M$
  den Raum $E$.
\end{proof}
} % weg

\weg{
\stern Bei der folgenden Folgerung aus dem Satz \"uber die Umkehrabbildung
empfehlen wir, zun\"achst nur den Fall zu betrachten, dass $E=\R^n$
gilt oder $E$ ein Hilbertraum ist.
} % weg
\datum{Do 10.07.2025}
\begin{theorem}
  \label{sur offen thm}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume. Sei $\Omega\subset E$ offen und $f\in
  C^1(\Omega,F)$. Sei $x_0\in\Omega$ ein Punkt, so dass $Df(x_0)\colon
  E\to F$ surjektiv ist und eine der folgenden Bedingungen erf\"ullt
  sind:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $E=\R^n$,
    \weg{
  \item $E$ ist ein Hilbertraum oder \hfill \stern
  \item $\ker(Df(x_0))$ splittet $E$. \hfill \stern
    } % weg
  \end{enumerate}
  Dann gibt es ein $\epsilon>0$, so dass $B_\epsilon(f(x_0))\subset
  f(\Omega)$ gilt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund einer der drei vorausgesetzten Bedingungen gibt es zu
  $E_1:=\ker(Df(x_0))\subset E$ einen abgeschlossenen Unterraum
  $E_2\subset E$, so dass $E=E_1\times E_2$ mit einer zur Produktnorm
  \"aquivalenten Metrik ist. Entsprechend schreiben wir Vektoren in
  $E$ als $x=\left(x^1,x^2\right)$. \par Im Falle $E=\R^n$ erreichen
  wir dies beispielsweise, indem wir eine Orthonormalbasis von $E_1$
  mit $(a_k,\ldots,a_n)$ zu einer Orthonormalbasis von $E$ erg\"anzen
  und $E_2:=\langle a_k,\ldots,a_n\rangle$ definieren. \par Nun gilt
  f\"ur $u\in E$
  \[Df(x_0)\langle u\rangle =D_1f(x_0)\left\langle u^1\right\rangle
    +D_2f(x_0)\left\langle u^2\right\rangle.\] (Die Notation $D_i$
  f\"ur partielle Ableitungen zu Unterr\"aumen f\"uhren wir in Kapitel
  \ref{impl fct sec} bzw.{} Anhang \ref{br part abl sec} ein.)  Nach
  Voraussetzung gilt
  $D_1f(x_0)\left\langle u^1\right\rangle
  =Df(x_0)\left\langle\left(u^1,0\right)\right\rangle =0$ und
  $D_2f(x_0)\colon E_2\to F$ ist surjektiv, da $Df(x_0)$ nach
  Voraussetzung surjektiv ist. \par Dann ist die Abbildung $D_2f(x_0)$
  offen, da
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $D_2f(x_0)$ als injektive und surjektive Abbildung bijektiv
    ist.
    \weg{
  \item (im Fall mit \stern) dies aus dem Satz von der offenen
    Abbildung folgt, siehe Funktionalanalysis.
    } % weg
  \end{enumerate}
  Somit folgt in allen F\"allen $D_2f(x_0)\in L_\top(E_2,F)$. Die
  Abbildung $g:=f\left(x^1_0,\cdot\right)$ erf\"ullt daher die
  Voraussetzungen des Satzes von der inversen Abbildung. Somit gibt es
  eine Umgebung $U\in \mathcal U\left(x^2_0\right)$ in $E_2$, so dass
  $g\colon U\to g(U)$ ein $C^1$-Diffeomorphismus ist. Insbesondere ist
  $g(U)\subset f(\Omega)$ offen. 
\end{proof}

\weg{
Wir wollen damit eine nichtlineare gew\"ohnliche Differentialgleichung
l\"osen. Diese Methode kann man sp\"ater auch auf nichtlineare
partielle Differentialgleichungen anwenden.
\begin{beispiel}
  \stern Seien $E=C^1([0,1])$ und $F=C^0([0,1])$ mit der $C^1$- bzw.{}
  der $C^0$-Norm. Wir definieren die nichtlineare Abbildung
  $\phi\colon E\to F$ durch \[\phi(u):=\dot u+u^2\] f\"ur $u\in
  E$. Dann gilt $\phi\in C^1(E,F)$, ja sogar $\phi\in C^\infty$, und
  aus \[\phi(u+u_0)=\phi(u_0)+\dot u +2u_0u+u^2\] erhalten
  wir \[D\phi(u_0)\langle u\rangle =\dot u+2u_0u\] f\"ur $u,u_0\in
  E$. Wir betrachten nun speziell $u_0=0$. Dann ist $D\phi(0)=\dt\in
  L(E,F)$. Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und
  Integralrechnung ist $D\phi(0)$ surjektiv, da n\"amlich $\left.\frac
    d{ds}\int\limits_0^sf(\tau)\,d\tau \right|_{s=t}=f(t)$ f\"ur alle
  $f\in F$ gilt. Weiterhin besteht $\ker D\phi(0)$ gerade aus den
  konstanten Funktionen, ist daher eindimensional und besitzt somit
  nach Proposition \ref{endl dim br split prop} ein topologisches
  Komplement. \par Wir k\"onnen daher Theorem \ref{sur offen thm}
  anwenden und erhalten, dass es ein $\epsilon>0$ gibt, so dass f\"ur
  alle $f\in F$ mit $\Vert f\Vert_{C^0([0,1])}<\epsilon$ ein $u\in E$
  mit \[\dot u+u^2=f\] existiert. Wir haben damit eine nichtlineare
  gew\"ohnliche Differentialgleichung gel\"ost.
\end{beispiel}
} % weg

\Subsection{Satz von der impliziten Funktion}
\label{impl fct sec}

\begin{remark}
  Der Satz von der impliziten Funktion verallgemeinert das folgende
  Resultat aus der linearen Algebra: Sei $A=(A_1\, A_2)$ eine
  Blockmatrix, so dass $A_2$ bijektiv ist. Dann gibt es f\"ur jedes
  $x^1$ ein $x^2=\phi\left(x^1\right)$, so dass
  $A\left(\begin{smallmatrix} x^1\\ x^2
  \end{smallmatrix}\right) =0$ gilt. 
\end{remark}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\stern Den folgenden Satz \"uber implizite Funktionen
    betrachten wir aufgrund der einfacheren Notierbarkeit in einer
    Banachraumversion. Die Variante im Euklidischen erh\"alt man mit
    offenen $\Omega_1\subset\R^n$, $\Omega_2\subset\R^m$, f\"ur eine
    Funktion $f\colon\Omega_1\times\Omega_2\to\R^m$ und
    \begin{align*}
      D_1f(x,y)
      &=
        \begin{pmatrix}
          \fracp{f^1}{x^1} & \ldots & \fracp{f^1}{x^n}\\
          \vdots & &\vdots\\
          \fracp{f^k}{x^1} & \ldots & \fracp{f^k}{x^n}
        \end{pmatrix}(x,y)\umbruch \intertext{sowie} D_2f(x,y) &=
      \begin{pmatrix}
        \fracp{f^1}{y^1} & \ldots & \fracp{f^1}{y^m}\\
        \vdots & &\vdots\\
        \fracp{f^m}{y^1} & \ldots & \fracp{f^m}{y^m}
      \end{pmatrix}(x,y).
    \end{align*}
    Die Bedingung $D_2f(x_0,y_0)\in L_{\text{top}}(\R^m,\R^m)$ wird
    dabei zu \[\det D_2f(x_0,y_0)\neq0.\]
  \weg{
  \item \stern Beachte, dass beim Definitionsbereich und Zielraum von
    $f$, also in
    \[\R^n\times\R^m\supset \Omega_1\times\Omega_2\ni(x,y)\overset
      f{\mapsto} f(x,y)\in\R^m\] zweimal $m$ auftritt. Dies ist
    n\"otig, damit
    $D_2f(x_0,y_0)\in L_{\text{top}}$ \"uberhaupt erf\"ullt sein
    kann.
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}[Satz von der impliziten Funktion, Satz \"uber
  implizite Funktionen, ``Implicit function
  theorem'']\neueZeilealt
  \label{implicit fct thm}
  Seien $E_1,E_2,F$ Banachr\"aume, $\Omega_i\subset E_i$ offen,
  $i=1,2$ und $f\in C^k(\Omega_1\times\Omega_2,F)$, $k\ge1$. Sei
  $(x_0,y_0)\in\Omega_1\times\Omega_2$ und
  gelte \[f(x_0,y_0)=0\quad\text{sowie} \quad D_2f(x_0,y_0)\in
  L_\top(E_2,F).\] Dann gibt es eine offene Umgebung $U$ von $x_0$ und
  $\phi\in C^k(U,E_2)$ mit $\phi(x_0)=y_0$ und \[f(x,\phi(x))=0\]
  f\"ur alle $x\in U$. \par Die Abbildung $\phi$ ist eindeutig
  bestimmt und es gilt \[D\phi(x) =-(D_2f(x,\phi(x)))^{-1}\circ
  D_1f(x,\phi(x)).\] Gilt $f\in C^{k,\alpha}$, $0<\alpha\le 1$, so
  folgt auch $\phi\in C^{k,\alpha}$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir m\"ochten den Satz von der Umkehrabbildung benutzen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Um die Existenz von $\phi$ zu zeigen, definieren
    wir \[g\colon\Omega_1\times\Omega_2\to E_1\times
    F\quad\text{durch}\quad (x,y)\mapsto (x,f(x,y)).\] Es gilt $g\in
    C^k(\Omega_1\times\Omega_2,E_1\times F)$, weil die Komponenten
    selber in $C^k$ sind und f\"ur die Ableitung erhalten
    wir \[Dg=(D\pi_1,Df).\] Wir schreiben dies komponentenweise
    \begin{align*}
      Dg(x,y)\langle u,v\rangle =&\,D_1g(x,y)\langle u\rangle
      +D_2g(x,y)\langle v\rangle\umbruch\\
      =&\,(u,D_1f(x,y)\langle u\rangle) +(0,D_2f(x,y)\langle
      v\rangle)\umbruch\\
      =&\,(u,D_1f(x,y)\langle u\rangle +D_2f(x,y)\langle v\rangle).
    \end{align*}
    In Matrixnotation k\"onnen wir dies als \[Dg(x,y)=
    \begin{pmatrix}
      \id_{E_1}&0\\
      D_1f(x,y)&D_2f(x,y)
    \end{pmatrix}\] schreiben. 
  \item Wir m\"ochten nun nachweisen, dass $Dg(x_0,y_0)\in
    L_\top(E_1\times E_2,E_1\times F)$ gilt. Das Argument $(x_0,y_0)$
    ist hier nicht so relevant, da stets gleich. 
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item Die Injektivit\"at von $Dg(x_0,y_0)$ folgt aus der
      Injektivit\"at von $D_2f(x_0,y_0)$. 
    \item Surjektivit\"at von $Dg(x_0,y_0)$: Sei $(\bar u,\bar v)\in
      E_1\times F$ beliebig und definiere \[(u,v):=\left(\bar
        u,(D_2f(x_0,y_0))^{-1}\langle \bar v-D_1f(x_0,y_0)\langle \bar
        u\rangle\rangle\right).\] Durch Einsetzen in die obige Formel
      f\"ur $g$ sieht man direkt, dass sich der Term
      $D_1f(x_0,y_0)\langle\bar u\rangle$ weghebt und
      $Dg(x_0,y_0)\langle u,v\rangle =(\bar u,\bar v)$ gilt.  Wir
      haben damit als Formel f\"ur die
      Inverse \[\left(Dg(x_0,y_0)\right)^{-1}\langle \bar u,\bar
        v\rangle =\left(\bar u,(D_2f(x_0,y_0))^{-1}\langle
        \bar v-D_1f(x_0,y_0)\langle\bar u\rangle \rangle\right).\]
    \item Stetigkeit von $(Dg(x_0,y_0))^{-1}$: Aus der obigen Formel
      erhalten wir direkt mit von $\Vert (D_2f(x_0,y_0))^{-1}\Vert$
      und $\Vert D_1f(x_0,y_0)\Vert$ abh\"angigen Konstanten
      \begin{align*}
        \left\Vert (Dg(x_0,y_0))^{-1}\langle\bar u,\bar
          v\rangle\right\Vert =&\,\max\left(\Vert\bar u\Vert,
          \left\Vert (D_2f(x_0,y_0))^{-1}\langle \bar
            v-D_1f(x_0,y_0)\langle \bar
            u\rangle\rangle\right\Vert\right)\umbruch\\
        \le&\,c\cdot\max\left(\Vert\bar u\Vert, \left\Vert \bar
            v-D_1f(x_0,y_0)\langle \bar
            u\rangle\right\Vert\right)\umbruch\\
        \le&\,c\cdot\max\left(\Vert\bar u\Vert, \Vert \bar v\Vert
          +\Vert D_1f(x_0,y_0)\langle \bar
          u\rangle\Vert\right)\umbruch\\
        \le&\,c\cdot\max\left(\Vert\bar u\Vert, \Vert \bar v\Vert
          +\Vert \bar u\Vert\right)
        \le c\cdot\max\left(\Vert\bar u\Vert, \Vert \bar v\Vert
          \right).
      \end{align*}
      Somit ist $Dg(x_0,y_0)\in L_\top(E_1\times E_2,E_1\times F)$. 
    \end{enumerate}
\datum{Mo 14.07.2025}
  \item Nach dem Satz \"uber die Umkehrfunktion gibt es daher ein
    $r>0$, so dass mit $U_0:=B_r(x_0)$ und $V_0:=B_r(y_0)$ sowie der
    offenen Menge $W_0:=g(U_0\times V_0)\subset E_1\times F$ je nach
    Differenzierbarkeit von $f$
    \[g\in\Diff^k(U_0\times V_0,W_0)\quad\text{oder}\quad
      g\in\Diff^{k,\alpha}(U_0\times V_0,W_0)\] gilt. Wir bezeichnen
    die lokale Inverse von $g$ mit $h$
    \[h\colon W_0\to U_0\times V_0.\] Wir schreiben
    $h=\left(h^1,h^2\right)$ und erhalten f\"ur
    $(x,z)\in W_0\subset E_1\times F$
    \[(x,z) =g\circ h(x,z) =g\left(h^1(x,z),h^2(x,z)\right)
      =\left(h^1(x,z),f\left(h^1(x,z),h^2(x,z)\right)\right).\] Somit
    gelten f\"ur alle $(x,z)\in W_0$ die Identit\"aten $h^1=\pi_1$
    (Projektion auf die erste Komponente) und
    $f\left(x,h^2(x,z)\right)=z$.\par Wir definieren nun
    $U:=\{x\in U_0\colon (x,0)\in W_0\}$. Wegen
    $g(x_0,y_0) =(x_0,f(x_0,y_0)) =(x_0,0)$ folgt $x_0\in U$ und $U$
    ist offen, da $U_0$ und $W_0$ offene Mengen sind. Weiterhin
    definieren wir $\phi\colon U\to V_0$ durch
    $\phi:=h^2(\cdot,0)$. Dann gilt nach Definition $f(x,\phi(x))=0$
    f\"ur alle $x\in U$ und es ist $\phi\in C^k(U,E_2)$ bzw.{}
    $\phi\in C^{k,\alpha}(U,E_2)$. \par
    Aus $g(x_0,y_0)=(x_0,f(x_0,y_0))=(x_0,0)$ erhalten wir
    $h(x_0,0)=(x_0,y_0)$, $h^2(x_0,0)=y_0$ und somit
    $\phi(x_0)=y_0$. \par
    Ohne Einschr\"ankung k\"onnen wir durch Verkleinern von $U$
    schlie\ss{}lich noch annehmen, dass $U$ wegzusammenh\"angend ist
    und $\Vert\phi(x)-y_0\Vert\le r/2$ f\"ur alle $x\in U$ gilt.
  \item Eindeutigkeit: Wir zeigen, dass f\"ur die gew\"ahlte Menge $U$
    die Abbildung $\phi\colon U\to E_2$ die einzige stetige Abbildung
    ist, so dass $f(x,\phi(x))=0$ und $\phi(x_0)=y_0$ gelten.
    \par Zun\"achst beschr\"anken wir uns dabei auf den Fall von
    Werten in $V_0$: Sei dazu $(x,y)\in U_0\times V_0$ beliebig mit
    $f(x,y)=0$. Dann folgt $g(x,y)=(x,f(x,y))=(x,0)$. Da
    $g\colon U_0\times V_0\to W_0$ injektiv ist, kann es zu festem
    $x\in U_0\supset U$ maximal ein solches $y\in V_0$ geben. \par Wir
    m\"ussen nun noch den Fall ausschlie\ss{}en, dass solch eine
    Abbildung Werte au\ss{}erhalb von $V_0$ annimmt: Angenommen,
    $\psi\colon U\to E_2$ w\"are eine weitere stetige Abbildung mit
    $f(x,\psi(x))=0$ f\"ur alle $x\in U$ und $\psi(x_0)=y_0$. Wir
    nehmen weiterhin an, dass es $x_1\in U$ mit
    $\phi(x_1)\neq \psi(x_1)$ gibt. Aufgrund der gerade gezeigten
    Eindeutigkeit innerhalb von $V_0=B_r(y_0)$ und
    $\Vert \phi(x_1)-y_0\Vert\le r/2$ erhalten wir
    $\Vert \psi(x_1)-y_0\Vert\ge r$.  Da $U$ wegzusammenh\"angend ist,
    gibt es einen Weg $\gamma\colon[0,1]\to U$ mit $\gamma(0)=x_0$ und
    $\gamma(1)=x_1$. Da weiterhin $d\colon[0,1]\to\R$ mit
    $t\mapsto \Vert\psi(\gamma(t))-y_0\Vert$ stetig ist und $d(0)=0$
    sowie $d(1)\ge r$ erf\"ullt, gibt es $t_{3/4}\in[0,1]$ mit
    $d(t_{3/4}) =\Vert\psi(\gamma(t_{3/4}))-y_0\Vert =\frac34r$. Wir
    definieren $x_2:=\gamma(t_{3/4})\in U$ und erhalten somit
    $f(x_2,\psi(x_2)) =0 =f(x_2,\phi(x_2))$ mit zwei verschiedenen
    Werten $\phi(x_2),\psi(x_2)\in V_0$ im Widerspruch zur oben
    gezeigten Eindeutigkeit in $V_0$. \par
    Daher ist $\phi$ eindeutig bestimmt.
  \item Formel f\"ur die Ableitung: Da
    $Dg(x,y)\in L_\top(E_1\times E_2,E_1\times F)$ f\"ur
    $(x,y)\in U_0\times V_0$ gilt, lesen wir aus der Matrixdarstellung
    von $Dg$ ab, dass $D_2f(x,y)\in L_\top(E_2,F)$ ebenfalls f\"ur
    $(x,y)\in U_0\times V_0$ gilt: Wir setzen dazu speziell Vektoren
    ein, die nur in der zweiten Komponente von Null verschiedene
    Eintr\"age haben und sehen, dass sich Ungleichungen der Form
    $\frac1c\Vert v\Vert \le \Vert Bv\Vert\le c\Vert v\Vert$ von $Dg$
    auf $D_2f$ \"ubertragen. \par
    Mit der Kettenregel erhalten wir aus $f(x,\phi(x))=0$ die
    Identit\"at \[D_1f(x,\phi(x))\langle\cdot\rangle
    +D_2f(x,\phi(x))\langle D\phi(x)\langle\cdot\rangle\rangle=0.\]
    F\"ur $x\in U$ gilt $(x,\phi(x))\in U_0\times V_0$. Somit ist
    $D_2f(x,\phi(x))$ invertierbar und durch direktes Aufl\"osen der
    obigen Gleichheit nach $D\phi$ erhalten wir die
    Behauptung. 
  \item Ist $f\in C^{k,\alpha}$, so liest man an der Formel f\"ur
    $D\phi$ ab, dass dann auch $\phi\in C^{k,\alpha}$ gilt.  \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern % \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Im Satz von der impliziten Funktion kann man durch Betrachten
    von $f-z_0$ statt $f$  die Bedingung $f(x_0,y_0)=0$ auch durch
    $f(x_0,y_0)=z_0\in F$ ersetzen. 
  \item Sei $A\in L(\R^n,\R^m)$. Dann gilt stets f\"ur den Rang von
    $A$ die Absch\"atzung $\rk A\le\min(m,n)$. Gilt $\rk A=\min(m,n)$,
    so sagen wir, dass $A$ \emph{maximalen} oder \emph{vollen Rang}
    besitzt.
  \item Wir bemerken, dass aus der Unterhalbstetigkeit des Ranges oder
    der Stetigkeit jeder Unterdeterminante folgt, dass die Menge, in
    der eine Abbildung $Df$ f\"ur ein $f\in C^1(\Omega,\R^m)$,
    $\Omega\subset\R^n$ offen, maximalen Rang besitzt, offen ist.
  \item Ist $f\colon \R^n\times\R^m\equiv \R^{n+m}\to\R^m$ gegeben, so
    gilt die Bedingung $D_2f(x_0,y_0)\in L_\top(\R^m,\R^m)$ aus dem
    Satz von der impliziten Funktion genau dann, wenn $D_2f(x_0,y_0)$
    surjektiv (oder injektiv) ist.
  \item Ist $f\colon\R^{n+m}\to\R^m$ gegeben und $Df(x_0,y_0)$
    surjektiv bzw.{} $J_f(x_0,y_0)$ hat vollen Rang, so k\"onnen wir
    durch Umnummerierung der Koordinaten im $\R^{n+m}$ erreichen, dass
    wir eine Abbildung $\tilde f\colon\R^{n+m}\to\R^m$ mit bijektivem
    $D_2\tilde f(x_0,y_0)$ erhalten.
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\datumcorona{Do 16.07.2020}
\weg{
\begin{aufgabe}
  Zeige, dass es unter den Voraussetzungen des Satzes \"uber implizite
  Funktionen eine Umgebung $A$ von $(x_0,y_0)$ mit \[\{(x,y)\in
  A\colon f(x,y)=0\} =\{(x,\phi(x))\colon x\in U\}\cap A \equiv
  \graph\phi\cap A\] gibt, \dh dass sich lokal die gesamte Menge
  $\{f=0\}$ als $\graph\phi$ beschreiben l\"a\ss{}t. 
\end{aufgabe}
\begin{proof}[Hinweis]
  Benutze den Teil des Beweises des Satzes \"uber implizite
  Funktionen, in dem wir die Eindeutigkeit von $\phi$ gezeigt haben. 
\end{proof}
} % weg

In diesem Zusammenhang verwendet man h\"aufiger die folgende
Definition. Sie verallgemeinert auch die bisherige Definition eines
kritischen Punktes. 
\begin{definition}
  Sei $E$ ein Banachraum und $\Omega\subset E$ offen. Sei $f\in
  C^1(\Omega,\R^m)$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $x\in\Omega$ ein \emph{regul\"arer Punkt} von
    $f$, falls $Df(x)$ surjektiv ist. Sonst hei\ss{}t $x$ ein
    \emph{kritischer Punkt.}
  \item Ein Punkt $y\in\R^m$ hei\ss{}t \emph{regul\"arer Wert} von
    $f$, falls $f^{-1}(\{y\})$ nur aus regul\"aren Punkten
    besteht. Sonst hei\ss{}t $y$ ein \emph{singul\"arer Wert.}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\weg{
\begin{remark}
  \stern 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Beachte, dass $\complement f(\Omega)$ aus regul\"aren Werten
    besteht.
  \item Da der Zielraum endlichdimensional ist, gibt es nach
    Proposition \ref{endl dim br split prop} stets einen splittenden
    endlichdimensionalen Teilraum $M$, so dass $Df(x)|_M$ bijektiv
    ist. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

In der folgenden Bemerkung f\"uhren wir die sp\"ater in der
Differentialgeometrie noch wichtigen Hyperfl\"achen ein.
\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $f\in C^k(\Omega)$, $\Omega\subset\R^n$ offen und
    $k\ge1$. Die Bedingung, dass $\nabla f$ bzw.{} $J_f$ in einem
    Punkt $x_0\in\Omega$ vollen Rang besitzt ist dann \"aquivalent zu
    $\nabla f(x_0)\neq0$.
  \item  Sei $c\in\R$. Gilt $\nabla f\neq0$
    \"uberall in der Menge $\Omega$, so gibt es f\"ur jeden Punkt
    $x_0\in M_c:=f^{-1}(\{c\})$ eine Umgebung, so dass in dieser
    Umgebung von $x_0$ die Menge $M_c$ mit dem Graphen einer auf einer
    offenen Teilmenge von $\R^{n-1}$ definierten $C^k$-Funktion
    \"ubereinstimmt, wobei $\R^{n-1}$ senkrecht zu einer Richtung
    $e_i$ steht, so dass $Df\langle e_i\rangle\neq0$ gilt. Es gen\"ugt
    sogar, die Bedingung $\nabla f\neq0$ nur auf $M_c$ zu
    fordern. 
  \item Ist $f(x_0)=c$ und $Df(x_0)\langle e_n\rangle\neq0$, so gibt
    es aufgrund des Satzes \"uber implizite Funktionen eine Umgebung
    $U$ von $\hat x_0\equiv\left(x^1_0,\ldots,x^{n-1}_0\right)$ und
    ein $\epsilon>0$ sowie eine Funktion $\phi\in C^k(U)$ mit
    $\phi(\hat x_0)=x^n_0$
    und \[M_c\cap\left(U\times\left(x^n_0-\epsilon,
        x^n_0+\epsilon\right)\right)=\graph\phi\] bzw.{} $f(\hat
    x,\phi(\hat x))=c$ f\"ur alle $\hat x\in U$.
  \item Mengen $M_c$ mit dieser Eigenschaft hei\ss{}en
    \emph{Hyperfl\"achen} der Klasse $C^k$ in $\Omega\subset\R^n$ oder
    $n-1$-dimensionale \emph{Untermannigfaltigkeiten} von
    $\Omega\subset\R^n$. Im Falle $n=2$ hei\ss{}en sie auch
    \emph{Niveaulinien} und im Falle $n=3$ \emph{Niveaufl\"achen}.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Wir halten diese wichtige Definition noch einmal gesondert fest.
\begin{definition}
  Seien $\Omega\subset\R^n$ offen, $f\in C^k(\Omega)$, $k\ge1$, und
  $c$ ein regul\"arer Wert von $f$. Dann hei\ss{}t
  $M_c:=f^{-1}(\{c\})$ eine \emph{$C^k$-Hyperfl\"ache} in
  $\Omega\subset\R^n$.
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $f\colon\R^n\to\R$ durch $x\mapsto|x|^2$ gegeben. Dann sind die
  Mengen $M_c:=f^{-1}(\{c\})$ f\"ur alle $c\neq0$ glatte
  Hyperfl\"achen in $\R^n$. Es gilt $M_c=\partial B_{\sqrt c}(0)$
  f\"ur alle $c>0$. Es gilt $M_c\cap\{x^n>0\} =\graph\big(\hat
  x\mapsto \sqrt{c-|\hat x|^2}\big)$.
\end{beispiel}

\begin{aufgabe}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $f\in C^2(\Omega,\R)$. Sei $c$
  ein regul\"arer Wert von $f$. Dann gibt es f\"ur jedes $x_0\in
  M_c=f^{-1}(\{c\})$ eine offene Umgebung $U$ von $x_0$, eine
  Translation $T$, eine orthogonale Abbildung $O$ und eine Funktion
  $\phi\in C^2(\R^{n-1})$, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $M_c\cap U=(TO\graph\phi)\cap U$,
  \item $TO(0)=x_0$, 
  \item $\nabla\phi(0)=0$ gelten und die Hessematrix
    $(\phi_{ij}(0))_{1\le i,j\le n-1}$ diagonal ist. 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\weg{
\Subsection{Das Rangtheorem \stern}
Sei $r\le\min(m,n)$ und sei $\phi\colon\R^n\to\R^m$ eine Abbildung mit
$\phi(x):=(x^1,\ldots,x^r,0,\ldots,0)$. Dann hat $D\phi$ \"uberall den
konstanten Rang $r$. Das Rangtheorem besagt nun, dass lokal bis auf
Diffeomorphismen auch die Umkehrung hiervon gilt. 

\begin{definition}
  Ein \emph{(achsenparalleler) W\"urfel} im $\R^n$ mit Kantenl\"ange
  $2r$ und Mittelpunkt $x_0$ ist die Menge \[W_r(x_0)\equiv
  W^n_r(x_0):=\left\{x\in\R^n\colon \left|x^i-x^i_0\right|<r\text{
      f\"ur alle }1\le i\le n\right\}.\]
  Schreiben wir $\R^n=\R^l\times\R^m$, so erhalten wir
  $W^n_r(x_0,y_0)=W^l_r(x_0)\times W^m_r(y_0)$. 
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $f\in C^k(\Omega,\R^m)$ mit
  $k\ge1$. Nehme an, dass die Ableitung der Abbildung $f$ in $\Omega$
  den konstanten Rang $r$ hat, $\rk Df(x)=r$ f\"ur alle $x\in\Omega$.
  (In diesem Fall gilt automatisch $r\le\min(n,m)$.) Sei
  $x_0\in\Omega$ beliebig. Dann gibt es offene Umgebungen
  $U\in\mathcal U(x_0)$ und $V\in\mathcal U(f(x_0))$ und
  $C^k$-Diffeomorphismen $\phi_n\in\Diff^k(W^n_1(0),U)$ und $\phi_m\in
  C^k(V,W^m_1(0))$, so dass die Abbildung $\phi_m\circ
  f\circ\phi_n\colon W^n_1(0)\to W^m_1(0)$
  durch \[\left(x^1,\ldots,x^n\right)\mapsto
  \left(x^1,\ldots,x^r,0,\ldots,0\right)\] gegeben ist.\par Ist
  zus\"atzlich $f\in C^{k,\alpha}$, so k\"onnen wir auch $\phi_n$ und
  $\phi_m$ in $C^{k,\alpha}$ w\"ahlen. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ohne Einschr\"ankung wollen wir annehmen, dass $x_0=0$,
    $f(x_0)=0$ sowie $Df(0)\langle u\rangle
    =\left(u^1,\ldots,u^r,0,\ldots,0\right)$ f\"ur alle $u\in\R^n$
    gelten. Sonst verkn\"upfen wir $f$ mit Translationen um die ersten
    beiden Bedingungen zu erf\"ullen oder Elementen $B\in GL(m)$
    bzw.{} $A\in GL(n)$, so dass $B\circ Df(0)\circ A$ das
    Differential $B\circ Df(0)\circ A\langle u\rangle
    =\left(u^1,\ldots,u^r,0,\ldots,0\right)$ f\"ur alle $u\in\R^n$
    hat. 
  \item Wir definieren eine Funktion $g\in C^k(\Omega,\R^n)$
    durch \[g(x)=\left(f^1(x),\ldots,f^r(x),x^{r+1},
      \ldots,x^n\right),\] wobei wie ganz bewusst einige der
    Komponenten von $f=\left(f^1,\ldots,f^m\right)$ weglassen. Man
    rechnet leicht nach, dass $Dg(0)=\id_{\R^n}$ gilt. 
  \item Aufgrund des Satzes \"uber die Umkehrabbildung gibt es eine
    Umgebung $U\in\mathcal U(0)$ in $\R^n$ und einen W\"urfel
    $W^n_\epsilon\in\mathcal U(0)$, so dass
    $g|_U\in\Diff^k(U,W^n_\epsilon)$ gilt. Wir definieren $\phi_n'$
    als Inverse von $g|_U$ und definieren weiterhin
    $\psi:=f\circ\phi'_n\colon W^n_\epsilon\to\R^m$. Dann gilt $\rk
    D\phi'_n=n$ und somit folgt $\rk D\psi=\rk(Df\circ D\phi'_n) =\rk
    Df =r$ in $W^n_\epsilon$, wobei wir die Argumente weggelassen
    haben. Nach Definition von $\psi$ folgt
    \begin{equation}
      \label{psi darst eq}
      \psi(y) =\left(y^1,\ldots,y^r, h^{r+1}(y),\ldots,h^m(y)\right) 
    \end{equation}
    f\"ur alle $y\in W^n_\epsilon$, wobei $h^j$, $r+1\le j\le m$,
    $C^k$-Funktionen sind.
  \item Wir behaupten, dass die Funktionen $h^j$ nur von
    $(y^1,\ldots,y^r)$ abh\"angen: Seien $e_i$ bzw.{} $e'_j$ die
    kanonischen Basisvektoren von $\R^n$ bzw.{} $\R^m$ und sei
    $\big(a^j_i\big) =\big(a^j_i(y)\big)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le
        i\le n}{1\le j\le m}} =J_\psi(y)$ die Jacobimatrix von
    $\psi$. Dann folgt f\"ur alle $1\le i\le n$ nach Definition der
    Komponenten einer Matrix $D\psi(y)\langle e_i\rangle
    =\sum\limits_{j=1}^m a^j_i(y)e'_j$. Unter Benutzung der
    Darstellung \eqref{psi darst eq} erhalten wir \[D\psi(y)\langle
    e_i\rangle =e'_i\quad\text{f\"ur alle }1\le i\le r\]
    und \[D\psi(y)\langle e_i\rangle
    =\sum\limits_{j=r+1}^m\fracp{h^j}{y^i}e'_j \quad\text{f\"ur alle
    }r+1\le i\le n.\] Nun gilt $\rk D\psi(y)=r$, die Vektoren $e'_i$,
    $1\le i\le r$, erzeugen bereits ein $r$-dimensionales Bild und die
    Vektoren $e'_j$, $r+1\le j\le n$, stehen orthogonal dazu. Folglich
    d\"urfen letztere keinen weiteren Beitrag zu $R(D\psi(y))$
    liefern. Dies bedeutet,
    dass \[\fracp{h^j}{y^i}(y)=0\quad\text{f\"ur alle }i,j\text{ mit
    }r+1\le i\le n \text{ und } r+1\le j\le m\] f\"ur alle $y\in
    W^n_\epsilon$ gilt.\par Schreiben wir $W^n_\epsilon
    =W^r_\epsilon\times W^{n-r}_\epsilon$ mit Elementen $y=(y_1,y_2)$,
    so haben wir $D_{y_2}h^j=0$ f\"ur alle $r+1\le j\le m$ gezeigt. Da
    die W\"urfel zusammenh\"angend sind, folgt $h^j(y_1,y_2) =h^j(y_1)
    =h^j\left(y^1,\ldots,y^r\right)$ f\"ur alle $r+1\le j\le m$.
  \item Wir definieren eine Funktion $h\colon
    W^r_\epsilon\times\R^{m-r}\to W^r_\epsilon\times \R^{m-r}$
    durch \[h=\left(0,\ldots,0,h^{r+1},\ldots,h^m\right),\] wobei
    s\"amtliche Komponenten nur von den ersten $r$ Variablen
    $(y^1,\ldots,y^r)\in W^r_\epsilon$ abh\"angen. Wir definieren
    weiterhin $\alpha\colon W^r_\epsilon\times\R^{m-r}\to
    W^r_\epsilon\times \R^{m-r}$ durch $\alpha(y):=y-h(y)$. Zerlegen
    wir Vektoren $y\in W^r_\epsilon\times\R^{m-r}$ (ein anderes $y$
    als oben in $W^r_\epsilon\times W^{n-r}_\epsilon=W^n_\epsilon$)
    als $y=(y_1,y_2)$, so folgt
    $\alpha(y_1,y_2)=(y_1,y_2)-h(y_1)$. Die Abbildung $\alpha$ ist von
    der Klasse $C^k$, wie wir direkt an der Definition von $h$ ablesen
    k\"onnen, auch injektiv, und f\"ur
    $u=(u_1,u_2)\in\R^r\times\R^{m-r}$ gilt \[D\alpha(y)\langle
    u_1,u_2\rangle =(u_1,u_2)-D_{y_1}h(y)\langle u_1\rangle.\] In
    Matrixschreibweise mit $h=(0,h_2)$ erhalten wir \[D\alpha(y)=
    \begin{pmatrix}
      \id_{\R^r}&0\\
      D_{y_1}h_2(y)&\id_{\R^{m-r}}
    \end{pmatrix}\] und somit $D\alpha(y)\in GL(m)$ f\"ur beliebige
    $y\in W^r_\epsilon\times\R^{m-r}$.\par Aus der Darstellung
    $\alpha(y_1,y_2)=(y_1,y_2-h_2(y_1))$ sieht man leicht, dass
    $\alpha$ auch surjektiv ist. \par Nach Korollar \ref{satz umkehr
      global cor} ist $\alpha$ somit ein Diffeomorphismus.
  \item Aus \eqref{psi darst eq} und der Darstellung
    $\alpha(y_1,y_2)=(y_1,y_2)-h(y_1)$ lesen wir direkt ab,
    dass \[\alpha\circ\psi(y)
    =\left(y^1,\ldots,y^r,0,\ldots,0\right)\] f\"ur alle $y\in
    W^n_\epsilon$ gilt. Insbesondere erhalten wir daraus
    $\alpha\circ\psi(W^n_\epsilon)\subset W^m_\epsilon$. \par
    Wir definieren $V:=\alpha^{-1}(W^m_\epsilon)$ und
    $\phi'_m:=\alpha|_V$. Dann erhalten wir durch Anwenden von
    $\alpha^{-1}$ auf die gerade bewiesene Mengeninklusion
    $\psi(W^n_\epsilon)\subset V$. \par Nach Definition von $\psi$
    gilt $\psi=f\circ\phi'_n$. Somit erhalten wir aus der obigen
    Darstellung f\"ur $\alpha\circ\psi$ \[\phi'_m\circ
    f\circ\phi'_n(y) =\alpha\circ\psi(y)
    =\left(y^1,\ldots,y^r,0,\ldots,0\right)\in
    W^r_\epsilon\times\R^{m-r}\] f\"ur alle $y\in W^n_\epsilon$. \par
    Als Verkn\"upfung mit Streckungen definieren wir schlie\ss{}lich
    $\phi_n(y):=\phi'_n(\epsilon y)$ f\"ur $y\in W^n$ und $\psi_m(y)
    =\epsilon^{-1}\phi'_m(y)$. Damit folgt die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Invarianz der Dimension]
  Seien $\Omega_n\subset\R^n$ und $\Omega_m\subset\R^m$ offen. Sei
  $f\colon\Omega_n\to\Omega_m$ ein Hom\"oomorphismus. Dann gilt
  $m=n$. 
\end{theorem}
Wir k\"onnen mit unseren momentanen Kenntnissen nur den Fall
behandeln, dass $f$ zus\"atzlich von der Klasse $C^1$ ist. Wir kommen
jedoch ohne die Voraussetzung aus, dass $f$ ein $C^1$-Diffeomorphismus
ist; in diesem Fall w\"are die Aussage vergleichsweise trivial. Der
allgemeine Fall wird beispielsweise in Algebraischer Topologie oder
Differentialtopologie bewiesen.
\begin{proof}[Beweis im $C^1$-Fall]
  Da $\rk Df(x)$ nur Werte in $\N_{\le\min(m,n)}$ annimmt, gibt es
  $x_0\in\Omega_n$ mit \[r=\rk Df(x_0)=\max\limits_{x\in\Omega_n} \rk
  Df(x).\] Dann gibt es aufgrund der Unterhalbstetigkeit des Ranges
  einer Matrix ein $\epsilon>0$ mit $\rk Df(x)=r$ f\"ur alle $x\in
  B_\epsilon(x_0)$. Aufgrund des Rangtheorems gibt es nun
  Diffeomorphismen $\phi_n$ und $\phi_m$, so dass \[\phi_m\circ
  f\circ\phi_n =\left(x^1,\ldots,x^r,0,\ldots,0\right)\in\R^m\] f\"ur
  alle $x\in W^n_1$ gilt. Da $r$ der Rang einer $m\times n$-Matrix
  ist, gilt $r\le\min(m,n)$. \par
  Die Abbildung $\phi_m\circ f\circ\phi_n$ ist injektiv. Dies
  erfordert $r\ge n$. Also gilt $r=n$. \par 
  Andererseits ist die Abbildung $\phi_m\circ f \circ\phi_n$ als
  Verkettung eines Hom\"oomorphismusses mit Diffeomorphismen eine
  offene Abbildung. Dies erfordert $r=m$. Wir erhalten die
  Behauptung. 
\end{proof}
} % weg

\Subsection{Extrema mit Nebenbedingungen}
\datum{Do 17.07.2025}

\begin{theorem}[Lagrangesche Multiplikatorregel]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $f\in
  C^1(\Omega)$ und sei $\Phi=\left(\Phi^i\right)\in C^1(\Omega,\R^m)$
  mit $m<n$.  Erf\"ulle $z_0\in\Omega$ die Bedingungen
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Phi(z_0)=0$, 
  \item $f|_{\{\Phi=0\}}$ nimmt in $z_0$ ein lokales Extremum an, \dh
    wenn wir $f$ nur auf der Menge $\bigcap\limits_i\,\{\Phi^i=0\}$
    betrachten, so nimmt $f$ in $z_0$ ein lokales Extremum an, und
  \item $\rk D\Phi(z_0)=m$, \dh es gilt $\dim\im D\Phi(z_0)=m$. 
  \end{enumerate}
  Dann gibt es $\lambda=(\lambda_i)_i\in(\R^m)^*$, so dass $z_0$ ein
  kritischer Punkt der (nun auf ganz $\Omega$ definierten) Funktion
  $g\colon\Omega\to\R$ \[g:=f+\sum\limits_{i=1}^m \lambda_i\Phi^i\]
  ist. Insbesondere gilt also \[0=\nabla g(z_0) =\nabla f(z_0)
  +\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i\nabla\Phi^i(z_0).\]
\end{theorem}
\weg{
\stern Auch hier gilt eine entsprechend technischere
Banachraumvariante. Unter den in diesem Fall \"ublichen
Voraussetzungen funktioniert auch hier der angegebene Beweis. Auf
Details verzichten wir hier jedoch.
} % weg
\begin{proof}[Beweis]
  Falls n\"otig nummerieren wir die Koordinaten um und schreiben
  $\R^n=\R^{n-m}\times\R^m$ mit $z=(x,y)$ sowie
  $z_0=(x_0,y_0)$. (Insbesondere f\"ur diese Aufsplittung des
  Definitionsbereiches ben\"otigt man in Banachr\"aumen die
  Zusatzvoraussetzungen.) Damit k\"onnen wir es erreichen, dass
  $D_2\Phi(z_0)\in GL(m)$ gilt. (Da $GL(m)$ offen ist, gilt
  $D_2\Phi(z)\in GL(m)$ auch noch f\"ur $z$ in einer kleinen Umgebung
  von $z_0$.)  Nach dem Satz \"uber die inverse Funktion finden wir
  eine Umgebung $U$ von $x_0$ in $\R^{n-m}$ und eine Funktion $\phi\in
  C^1(U,\R^m)$ mit $\phi(x_0)=y_0$, so dass $\Phi(x,\phi(x))=0$ f\"ur
  alle $x\in U$ gilt und $(x,\phi(x))$ lokal alle Punkte mit $\Phi=0$
  beschreibt, \dh es gibt ein $r>0$, so dass $\{z\in
  B_r(z_0)\colon\Phi(z)=0\} =\{(x,\phi(x))\colon x\in U\}\cap
  B_r(z_0)$ gilt. Wie im Satz von der inversen Funktion gilt $D\phi(x)
  =-(D_2\Phi(x,\phi(x)))^{-1}\circ D_1\Phi(x,\phi(x))$ f\"ur alle
  $x\in U$. \par Nun haben wir $\{\Phi=0\}$ lokal als $\graph\phi$
  geschrieben und erhalten daher, dass die Funktion $h\colon U\to\R$
  mit $h(x):=f(x,\phi(x))$ in $x_0\in U$ ein lokales Extremum
  annimmt. Somit folgt nach Kettenregel \[0=Dh(x_0)
  =D_1f(x_0,\phi(x_0)) +D_2f(x_0,\phi(x_0))\circ D\phi(x_0).\] Nun
  benutzen wir die Darstellung f\"ur $D\phi$ und erhalten mit
  $\phi(x_0)=y_0$ \[0=D_1f(x_0,y_0) -D_2f(x_0,y_0)\circ
  (D_2\Phi(x_0,y_0))^{-1} \circ D_1\Phi(x_0,y_0).\] Wir definieren nun
  $\lambda :=-D_2f(z_0)\circ (D_2\Phi(z_0))^{-1}\in(\R^m)^*$. Somit
  k\"onnen wir aus $Dh=0$ letztlich folgern, dass in
  $z_0$ \[0=D_1f+\sum\limits_{j=1}^m\lambda_jD_1\Phi^j\]
  gilt. Weiterhin folgt durch Umsortieren der Definition von $\lambda$
  in $z_0$ \[0=D_2f+\sum\limits_{j=1}^m\lambda_jD_2\Phi^j.\] Also ist
  $z_0$ ein kritischer Punkt der Funktion \[g=f+\sum\limits_{j=1}^m
  \lambda_j\Phi^j.\] Dies war gerade die Behauptung.
\end{proof}

Als Beispiel erhalten wir eine M\"oglichkeit, Eigenwerte und
Eigenvektoren symmetrischer Matrizen zu bestimmen. 
\begin{theorem}[Eigenwerte symmetrischer Matrizen]
  \label{min char ew thm}\neueZeilealt
  Sei $A\in\R^{n\times n}$ symmetrisch. Nehme die Funktion
  $f\colon\S^{n-1}\to\R$ mit \[f(x):=\langle Ax,x\rangle\] ihr Minimum
  in $x_0\in\S^{n-1}$ an. Dann ist $x_0$ ein Eigenvektor von $A$ zum
  Eigenwert $f(x_0)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Ohne Unterscheidung in der Bezeichnung k\"onnen wir auch annehmen,
  dass $f\colon\R^n\to\R$ durch $f(x):=\langle Ax,x\rangle$ definiert
  ist. Dann ist $x_0$ ein Minimum von $f$ unter der Nebenbedingung
  $\Phi=0$ mit $\Phi\colon\R^n\to\R$ und $\Phi(x)=|x|^2-1$. Es gilt
  $D\Phi(x_0)\neq0$.  Nach der Lagrangeschen Multiplikatorregel folgt
  daher, dass es ein $\lambda\in\R^*\cong\R$ gibt, so dass $x_0$ ein
  kritischer Punkt von $g:=f+\lambda\Phi$ ist. Wir erhalten somit
  f\"ur alle $y\in\R^n$ aufgrund der Symmetrie von $A$
  \begin{align*}
    0=&\,Dg(x_0)\langle y\rangle =Df(x_0)\langle y\rangle
    +\lambda D\Phi(x_0)\langle y\rangle\umbruch\\
    =&\,\langle Ay,x_0\rangle +\langle Ax_0,y\rangle +2\lambda \langle 
    x_0,y\rangle\umbruch\\
    =&\,2\langle Ax_0+\lambda x_0,y\rangle.
  \end{align*}
  Da $y\in\R^n$ beliebig ist, folgt $Ax_0=-\lambda x_0$. \par Wir
  m\"ussen noch nachweisen, dass $-\lambda=f(x_0)$ gilt. Dazu setzen
  wir die Eigenwertgleichung $Ax_0=-\lambda x_0$ in die Definition von
  $f$ ein und erhalten $f(x_0) =\langle Ax_0,x_0\rangle =\langle
  -\lambda x_0,x_0\rangle =-\lambda$, da $|x_0|^2=1$ gilt. 
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern 
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Betrachtet man im Beweis von Theorem \ref{min char ew thm}
    $g:=f-\lambda\Phi$, so erh\"alt man direkt die optisch gewohntere
    Eigenwertgleichung $Ax_0=\lambda x_0$. 
  \item Aufgrund der Kompaktheit von $\S^{n-1}\subset\R^n$ und der
    Stetigkeit von $f$ ist klar, dass die Funktion $f$ ihr Minimum auf
    $\S^{n-1}$ annimmt.
  \item Dieses Minimum ist der kleinste Eigenwert von $A$. Dies sieht
    man leicht, da $f$ in gr\"o\ss{}eren Eigenwerten von $A$ auch
    gr\"o\ss{}ere Werte annimmt.
  \item Indem man als zus\"atzliche Nebenbedingung noch fordert, dass
    die Vektoren senkrecht auf den ersten bereits gefundenen
    Eigenvektoren stehen, erlaubt es diese Methode auch, weitere
    Eigenwerte und Eigenvektoren zu finden.
  \item Mit min-max-Methoden, siehe z.\,B.{} \cite{OSLA2}, erh\"alt
    man, dass nicht nur der kleinste Eigenwert stetig von $A$
    abh\"angt, siehe das nachfolgende Korollar \ref{ew stet cor},
    sondern alle $n$ Eigenwerte.
  \item Eigenvektoren h\"angen i.\,a.{} nicht stetig von der Matrix
    $A$ ab. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\begin{corollary}
  \label{ew stet cor}
  Sei $X$ ein metrischer Raum und $A\colon X\to\R^{n\times n}$ eine
  stetige Funktion, die f\"ur jedes $x\in X$ eine symmetrische
  $n\times n$-Matrix $A(x)$ liefert. Dann h\"angt der kleinste
  Eigenwert von $A(x)$ stetig von $x$ ab.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{min char ew thm} und der nachfolgenden Bemerkung
  gen\"ugt der Nachweis, dass
  $x\mapsto\min\limits_{\xi\in\S^{n-1}}\langle A(x)\xi,\xi\rangle$
  stetig ist. \par Auf $\R^{n\times n}$ sind alle Normen
  \"aquivalent. Daher k\"onnen wir die Operatornorm verwenden und
  erhalten f\"ur symmetrische $n\times n$-Matrizen mit
  $\Vert A-B\Vert\le\epsilon$ f\"ur
  $|\xi|=1$
  \[\min\limits_{\zeta\in\S^{n-1}} \langle A\zeta,\zeta\rangle\le
    \langle A\xi,\xi\rangle =\langle B\xi,\xi\rangle
    +\langle(A-B)\xi,\xi\rangle \le\langle B\xi,\xi\rangle
    +\underbrace{\Vert
      A-B\Vert}_{\le\epsilon}\cdot\underbrace{|\xi|^2}_{=1}.\] Nun
  folgt zun\"achst
  $\min\limits_{\zeta\in\S^{n-1}}\langle A\zeta,\zeta\rangle\le
  \langle B\xi,\xi\rangle +\epsilon$ f\"ur alle $\xi\in\S^{n-1}$. Da
  $\xi\in\S^{n-1}$ beliebig war, erhalten wir auch
  $\min\limits_{\zeta\in\S^{n-1}} \langle A\zeta,\zeta\rangle \le
  \min\limits_{\zeta\in\S^{n-1}} \langle B\zeta,\zeta\rangle
  +\epsilon$. Im obigen Beweis h\"atten wir die Rollen von $A$ und $B$
  auch austauschen k\"onnen. Somit folgt die behauptete Stetigkeit des
  Minimums.
\end{proof}

\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{1}}
\weg{
  \Section{Numerische Suche nach einem Minimum \stern}
  \Subsection{Theorie zur Numerik}
  Die Idee bei dieser Suche nach einem Minimum ist es, Schritt f\"ur
  Schritt jeweils in Richtung des negativen Gradienten weiter zu
  gehen, bis man bei einem Minumum bzw.{} einem kritischen Punkt
  landet. Dabei muss man jeweils weit genug gehen, darf aber auch
  nicht zu weit gehen. Man kann dabei keine Konvergenz erwarten
  (Kugelbahn an einer umgedrehten Parabel), au\ss{}er man hat weitere
  Zusatzvoraussetzungen wie Analytizit\"at oder Konvexit\"at. Das
  Folgende ist ein rein theoretisches Resultat, l\"asst sich jedoch
  (bis auf die Teilfolgenauswahl) direkt auch numerisch umsetzen.
  \begin{theorem}
    Sei $u\in C^1(\R^n)$ mit $u(x)\to\infty$ f\"ur $|x|\to\infty$. Sei
    $x_0\in\R^n$ beliebig. Definiere
    induktiv \[x_{k+1}:=x_k-\frac1m\cdot\nabla u(x_k)\] bzw.{}
    $x_{k+1}:=x_k$ f\"ur $\nabla u(x_k)=0$ f\"ur das minimale
    $m=m_k\in\N_{>0}$ mit
    \[u\left(x_k-\frac1m\cdot\nabla u(x_k)\right) \le u(x_k)
      -\frac13\cdot \frac1m\cdot |\nabla u(x_k)|^2.\] Dann existiert
    eine Teilfolge $(x_{k_l})_l$, die gegen einen kritischen Punkt von
    $u$ konvergiert, \dh eine Teilfolge von $(x_k)_k$ mit
    \[\nabla u\left(\lim\limits_{l\to\infty} x_{k_l}\right)=0.\]
  \end{theorem}
  \begin{proof}[Beweis]
    \neueZeile
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item \label{num grad meth i} Die Folge ist wohldefiniert: Sei
      $x\in\R^n$ mit $\nabla u(x)\neq 0$. Wir wollen zeigen, dass wir
      von jedem Punkt -- wir betrachten hier $x$ statt $x_k$ oben --
      ausgehend eine nichtleere Menge an $m\in\N_{>0}$ finden, so dass
      die obige $m$ definierende Ungleichung erf\"ullt wird. Damit
      kann dann $x_k$ \"uber das minimale $m$ wohldefiniert definiert
      werden.  Da $u\in C^1$ ist, gibt es $\zeta>0$ mit
      \[\langle \nabla u(x),\nabla u(y)\rangle \ge\frac12\cdot|\nabla
        u(x)|^2\] f\"ur alle $y\in \overline{B_\zeta(x)}$. Setze
      $\xi:=\nabla u(x)$. Es folgt f\"ur
      $0\le t\le\frac{\zeta}{|\nabla u(x)|}$
      \begin{align*}
        u(x-t\xi)-u(x)
        &=\int\limits_0^1 \frac d{d\tau} u(x-\tau
          t\xi)\,d\tau\umbruch\\
        &=-\int\limits_0^1\langle\nabla u(x-\tau t\xi), \nabla
          u(x)\rangle\, d\tau\cdot t\umbruch\\
        &\le -\frac12\cdot|\nabla u(x)|^2\cdot 1\cdot t.
      \end{align*}
      Dabei haben wir
      \[|x-\tau t\xi-x|\le\frac{\zeta}{|\nabla u(x)|}\cdot
        |\xi|\le\zeta\] benutzt. Daher ist die gew\"unschte
      Ungleichung f\"ur hinreichend gro\ss{}e $m\in\N_{>0}$ erf\"ullt.
    \item Die Folge $(u(x)_k))_k$ ist offensichtlicherweise monoton
      fallend. Daher ist die Folge nach oben beschr\"ankt. Aufgrund
      der Wachstumsbedingung an $u$ folgt auch die Beschr\"anktheit
      der Folge $(x_k)_k\subset\R^n$. Wir k\"onnen daher ein $R>0$ mit
      $x_k\in B_R(0)$ f\"ur alle $k\in\N$ w\"ahlen. 
    \item \label{num grad meth iii} Sei $\epsilon>0$
      beliebig. Betrachte die Menge
      \[K_\epsilon \equiv K:=\left\{x\in\overline{B_R(0)}\colon|\nabla
          u(x)|\ge\epsilon\right\}.\] Wir behaupten, dass es ein
      Folgeglied $x_{k_\epsilon}$ mit
      $x_{k_\epsilon}\not\in K_\epsilon$ gibt. Wir zeigen die in
      \eqref{num grad meth iv} in einer Weise, dass der Index
      $k_\epsilon$ gr\"o\ss{}er als ein vorgegebener Wert ist. \par
      Induktiv erhalten wir f\"ur $l\ge 1$ Indices $k_l\in\N$ mit
      $k_{l+1}>k_l$, $x_{k_l}\in \ol{B_R(0)}\setminus K_{\frac1c}$ und
      somit $|\nabla u(x_{k_l})|\le \frac1l$. \par Es ist klar, dass
      eine Teilfolge von $(x_{k_l})_l$ gegen einen kritischen Punkt
      von $u$ konvergiert.
    \item \label{num grad meth iv} Zur Behauptung aus \eqref{num grad
        meth iv}: Wir f\"uhren einen Widerspruchsbeweis. Angenommen,
      es gibt ein festes $\epsilon>0$ und $k_0\in\N$, so dass
      $x_k\in K_\epsilon$ f\"ur alle $k\ge k_0$ gilt. \par Die Menge
      $K_\epsilon$ ist kompakt.\par Zu $x\in K_\epsilon$ gibt es
      $\delta>0$ mit
      \[|\nabla u(x)-\nabla u(y)| \le \frac1{10}\cdot |\nabla u(x)|\]
      f\"ur alle $y\in B_\delta(x)$. Wir bemerken, dass die rechte
      Seite nach Definition von $K_\epsilon$ strikt positiv ist. Seien
      nun $y,z\in B_\delta(x)$. Dann folgt
      \begin{align*}
        &\equad \left|\langle\nabla u(y),\nabla u(z)\rangle -|\nabla
          u(y)|^2\right|\umbruch\\ 
        &=|\langle\nabla u(y),\nabla u(z)-\nabla
          u(y)\rangle|\umbruch\\
        &\le|\nabla u(y)|\cdot\left\{|\nabla u(z)-\nabla u(x)| +|\nabla
          u(x)-\nabla u(y)|\right\}\umbruch\\
        &\le\frac 2{10}\cdot|\nabla u(y)|\cdot|\nabla u(x)|. 
      \end{align*}
      Den zweiten Faktor wollen wir weiter absch\"atzen. Es gilt
      \begin{align*}
        |\nabla u(x)|
        &=|\nabla u(x)-\nabla u(y)+\nabla
          u(y)|\umbruch\\
        &\le|\nabla u(x)-\nabla u(y)| +|\nabla u(y)|\umbruch\\
        &\le\frac1{10}\cdot|\nabla u(x)| +|\nabla u(y)|.
      \end{align*}
      Hier addieren wir $-\frac1{10}\cdot|\nabla u(x)|$ und
      multiplizieren anschlie\ss{}end das Ergebnis mit
      $\frac{10}9$. Dies ergibt \[|\nabla u(x)|\le
        \frac{10}9\cdot|\nabla u(y)|.\] 
      Also folgt
      \begin{align*}
        |\nabla u(y)|^2 -\langle\nabla u(y),\nabla u(z)\rangle
        &\le \frac2{10}\cdot|\nabla u(y)|\cdot|\nabla u(x)|\umbruch\\
        &\le\frac2{10}\cdot\frac{10}9\cdot |\nabla u(y)|^2\umbruch\\
        &=\frac29\cdot|\nabla u(y)|^2. 
      \end{align*}
      Wir erhalten
      \[\frac12\cdot|\nabla u(y)|^2 \le\frac79\cdot|\nabla u(y)|^2
        \le\langle\nabla u(y),\nabla u(z)\rangle\] f\"ur alle
      $y,z\in B_\delta(x)$. Wir setzen $\delta(x):=\delta>0$. \par
      Endlich viele B\"alle der Form $B_{\frac{\delta(x)}2}(x)$
      \"uberdecken die kompakte Menge $K_\epsilon$. Wir betrachten die
      zugeh\"origen endlich vielen $x_i$'s und
      $\delta_i=\delta(x_i)$'s. Setze
      $\zeta:=\min\limits_i\frac12\delta_i>0$. Somit gelten die
      \"Uberlegungen aus \eqref{num grad meth i} unabh\"angig von
      $x\in K_\epsilon$, also die Absch\"atzung f\"ur die
      Funktionswerte:
      \[u(x-t\cdot\nabla u(x)) \le u(x)-\frac12\cdot t\cdot|\nabla
        u(x)|^2\] f\"ur alle $t$ mit
      $0\le t\le\frac{\zeta}{|\nabla u(x)|}\le
      \frac{\zeta}{\epsilon}$. Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir,
      gegebenenfalls nach Verkleinerung von $\zeta>0$, annehmen, dass
      $\frac\zeta\epsilon\le1$ gilt. \par Somit ist die $m$
      charakterisierende Gleichung f\"ur $m\le m_0$ mit
      $\frac1{m_0}\le\frac\zeta\epsilon$ erf\"ullt. Wir d\"urfen $m_0$
      minimal mit $\frac1{m_0}\le\frac\zeta\epsilon$ w\"ahlen. Somit
      gilt \[\frac\zeta{2\epsilon} \le\frac1{m_0} \le\frac1m\] und wir
      erhalten
      \[u(x_{k+1})\le
        u(x_k)-\frac12\cdot\frac\zeta{2\epsilon}\cdot\epsilon^2.\] Auf
      der rechten Seite wird nun eine feste positive Konstante
      abgezogen, die insbesondere nicht mehr von $k$ abh\"angt. Per
      Induktion folgt daher
      \[u(x_k)\le u(x_0)-k\cdot\frac{\zeta\cdot\epsilon}4 \to-\infty\]
      f\"ur $k\to\infty$. Dies widerspricht aber
      \[u(x_k)\ge\inf\limits_{\ol{B_R(0)}}u >-\infty.\] Somit
      verl\"asst die Folge $x_k$ die Menge $K_\epsilon$. \qedhere
    \end{enumerate}
  \end{proof}
} % weg
  
\weg{  
  \Section{Zusatzmaterial zur Differenzierbarkeit \stern}
  \label{br part abl sec}
  \Subsection{Zusatzmaterial}
  Ist komplizierter und daher herauskommentiert.
\iffalse
\Subsection{Partielle Ableitungen}

Wir hatten partielle Ableitungen schon im Spezialfall einer auf
$\Omega\subset\K^n$ definierten Funktion kennengelernt. 

\begin{definition}
  Seien $n\in\N_{>0}$, $E_1,\ldots,E_n,F$ Banachr\"aume und
  $\Omega_i\subset E_i$, $1\le i\le n$, offen. Seien
  $E:=\prod\limits_{i=1}^n E_i\equiv E_1\times E_2\times\ldots\times
  E_n$ und $\Omega:=\prod\limits_{i=1}^n \Omega_i \equiv
  \Omega_1\times \Omega_2\times\ldots\times \Omega_n$. Sei
  $f\colon\Omega\to F$ eine Abbildung. Sei
  $x_0=\left(x_0^i\right)_{1\le i\le n}\in\Omega$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t die Abbildung $f$ in $x_0$ in Richtung $i$,
    $1\le i\le n$, \emph{partiell differenzierbar,} falls die
    Abbildung \[\Omega_i\ni x^i\mapsto
    f\left(x_0^1,\ldots,x_0^{i-1},x^i,x_0^{i+1},\ldots,x_0^n\right)
    \equiv f\left(\hat x_0^i,x^i\right)\] in $x_0^i\in\Omega_i$
    differenzierbar ist. Die Ableitung hei\ss{}t \emph{partielle
      Ableitung} von $f$ in $x_0$ in Richtung $i$ oder bez\"uglich
    $x^i$. Wir bezeichnen sie mit $D_if(x_0)$. Es gilt $D_if(x_0)\in
    L(E_i,F)$.
  \item $f$ hei\ss{}t in $x_0$ \emph{partiell differenzierbar,} falls
    $f$ in $x_0$ in alle Richtungen $i$, $1\le i\le n$, partiell
    differenzierbar ist.
  \item Ist $f$ in allen Punkten $x\in\Omega$ partiell
    differenzierbar, so ist $D_if$ eine Abbildung $D_if\colon\Omega\to
    L(E_i,F)$ und $f$ hei\ss{}t in $\Omega$ \emph{partiell
      differenzierbar.} Sind alle diese Abbildungen $D_if$, $1\le i\le
    n$, stetig, so hei\ss{}t $f$ \emph{stetig partiell
      differenzierbar.}
  \item Ist $E=\R^n$, so schreiben wir $\fracp f{x^i}\equiv D_if$ oder
    $f_i$. In diesem Fall k\"onnen wir $L(\R,F)$ mit $F$
    identifizieren und erhalten $f_i(x_0)\in F$. 
  \item Ist $f$ in einer offenen Teilmenge $\Omega$ von $E$ mit
    $x_0\in\Omega$ definiert, die nicht notwendigerweise
    Produktgestalt hat, so k\"onnen wir partielle Differenzierbarkeit
    in $x_0$ mit Hilfe der Einschr\"ankung $f|_{B_r(x_0)}$ mit
    $B_r(x_0) \equiv B_r^{E_1}\left(x_0^1\right)\times\ldots\times
    B_r^{E_n}\left(x_0^n\right)\subset\Omega$ definieren. Diese
    Definition ist unabh\"angig von der Wahl von $r>0$.
  \item Zur Abgrenzung gegen\"uber partiellen Ableitungen bezeichnen
    wir die \"ubliche Ableitung gelegentlich als \emph{totale}
    Ableitung.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{proposition}
  \label{abl komp prop br}
  Seien $E=\prod\limits_{i=1}^n E_i$ ein Produkt von Banachr\"aumen,
  $\Omega\subset E$ offen und $f\colon\Omega\to F$ in $y\in\Omega$
  differenzierbar. Dann ist $f$ in $y$ auch partiell
  differenzierbar.\par Ist $\chi_i\colon E_i\hookrightarrow E$ mit
  $x\mapsto(0,\ldots,0,x,0,\ldots,0)$ die kanonische Einbettung, so
  folgt \[D_if(y)=Df(y)\circ\chi_i.\] 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $y\in\Omega$ und sei $r>0$ so klein, dass
  $B_r(y)=\prod\limits_{j=1}^n B^{E_j}_r\left(y^j\right)
  \subset\Omega$ gilt. Wir definieren nun die Abbildung $\phi\colon
  B^{E_i}_r\left(y^i\right) \to\Omega$ durch \[x^i\mapsto
  \left(y^1,\ldots,y^{i-1},x^i,y^{i+1},\ldots,y^n\right)\] und
  erhalten $D\phi\left(x^i\right) =(0,\ldots,0,\id_{E_i},0,\ldots,0)
  =\chi_i$, wobei wir die Identifikation
  $L(E_i,E)\cong\prod\limits_{j=1}^n L(E_i,E_j)$ benutzt haben.  Die
  Abbildung $B^{E_i}_r\left(y^i\right)\ni x^i\mapsto
  f\left(y^1,\ldots,y^{i-1},x^i,y^{i+1},\ldots,y^n\right)$ ist durch
  $f\circ\phi$ gegeben und somit erhalten wir nach Kettenregel und
  Definition der partiellen Ableitung $D_if(y)\langle\cdot\rangle
  =Df(y)\langle\chi_i \langle\cdot\rangle\rangle$ wie behauptet.
\end{proof}

Die Ableitung einer Funktion ergibt sich aus den partiellen
Ableitungen wie folgt. 
\begin{corollary}
  \label{abl komp cor br}
  Seien $E_i$, $1\le i\le n$, und $F$ Banachr\"aume und sei
  $E=\prod\limits_{i=1}^nE_i$. Seien $\Omega\subset E$ offen und
  $f\colon\Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$ differenzierbar. Dann
  gelten \[Df(x_0)\langle u\rangle =\sum\limits_{i=1}^n
  D_if(x_0)\left\langle u^i\right\rangle\quad\text{f\"ur
  }u=\left(u^i\right)_{1\le i\le n}\in E,\] d.\,h.{} es gilt
  \[Df(x_0)=\sum\limits_{i=1}^n D_if(x_0)\circ\pi_i,\] wobei
  $\pi_i\colon E\to E_i$ die kanonische Projektion auf die $i$-te
  Komponente bezeichnet.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt nach Proposition \ref{abl komp prop br} in der dortigen
  Notation und aufgrund der Linearit\"at
  \[\sum\limits_{i=1}^n D_if(x_0)\left\langle u^i\right\rangle
    =\sum\limits_{i=1}^n Df(x_0) \left\langle\chi_i \left\langle
        u^i\right\rangle \right\rangle =Df(x_0) \left\langle
      \sum\limits_{i=1}^n \chi_i\left\langle u^i\right\rangle
    \right\rangle =Df(x_0)\langle u\rangle\] wie behauptet.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sind $E=\R^n$, $F=\R$, $\Omega\subset\R^n$ offen und
  $f\colon\Omega\to\R$ in $x_0\in\Omega$ differenzierbar, so haben wir
  $Df(x_0)$ mit einem Vektor in $\R^n$ identifiziert. Nun
  gilt \[\nabla f(x_0)=(f_1,\ldots,f_n)^T.\]
\end{remark}

Umgekehrt braucht eine partiell differenzierbare Funktion nicht
differenzierbar zu sein.
\begin{beispiel}
  \label{partiell diffb nicht diffb bsp br}
  Definiere $f\colon\R^2\to\R$ durch
  \[f(x,y):=
  \begin{cases}
    \frac{x^3}{x^2+y^2},&(x,y)\neq0,\\
    0,&(x,y)=0.
  \end{cases}
  \]
  Insbesondere gelten $f(x,0)=x$ und $f(0,y)=0$.  Daher ist $f$ im
  Ursprung partiell differenzierbar mit $f_1(0)\equiv f_x(0)=1$ und
  $f_2(0)\equiv f_y(0)=0$. \par W\"are $f$ im Ursprung
  differenzierbar, so folgte insbesondere \[o(|x|)=
  f(x,x)-f(0,0)-\left\langle
    \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
      x\\x \end{pmatrix}\right\rangle =\frac12x-x=-\frac12x.\]
  Widerspruch. 
\end{beispiel}

F\"ur stetig differenzierbare Funktionen gilt die Umkehrung jedoch 
\begin{theorem}
  \label{stet diff stet part diff aequiv thm br}
  Seien $E_i$, $1\le i\le n$, und $F$ Banachr\"aume,
  $E=\prod\limits_{i=1}^n E_i$ und $\Omega\subset E$ offen. Dann ist
  $f$ genau dann in $\Omega$ stetig differenzierbar, wenn $f$ in
  $\Omega$ stetig partiell differenzierbar ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen Proposition \ref{abl komp prop br} gen\"ugt es zu zeigen, dass
  $f$ in $\Omega$ stetig differenzierbar ist, falls $f$ in $\Omega$
  stetig partiell differenzierbar ist, dass also
  \glqq$\Longleftarrow$\grqq{} richtig ist. \par Ist $f$
  differenzierbar, so k\"onnen wir nach Korollar \ref{abl komp cor br}
  die Ableitung $Df$ mit Hilfe der partiellen Ableitungen $D_if$
  darstellen. Damit ist $Df$ stetig, falls dies f\"ur $D_if$ gilt und
  wir m\"ussen nur noch die Differenzierbarkeit von $f$ in $\Omega$
  nachweisen. Sei dazu $x_0\in\Omega$ beliebig und $\Omega$ ohne
  Einschr\"ankung konvex. Wir wollen zeigen, dass
  \[f(x)=f(x_0) +\sum\limits_{i=1}^n D_if(x_0)\left\langle
      x^i-x^i_0\right\rangle +o(\Vert x-x_0\Vert)\] gilt. \par Zur
  besseren \"Ubersicht f\"uhren wir den Rest des Beweises nur im Falle
  $n=2$ durch. Es gilt
  \begin{align}
    f\left(x^1,x^2\right)-f\left(x^1_0,x^2_0\right)
    =&\,f\left(x^1,x^2\right) -f\left(x^1_0,x^2\right)
    +f\left(x^1_0,x^2\right) -f\left(x^1_0,x^2_0\right)\umbruch\nonumber\\
    =&\,D_1f\left(x^1_0,x^2\right)\left\langle x^1-x^1_0\right\rangle
    +o_{x^2}\left(\left\Vert x^1-x^1_0\right\Vert\right)
    \label{fx minus fx0 eq br}\\
    &\,\quad+D_2f\left(x^1_0,x^2_0\right)\left\langle
      x^2-x^2_0\right\rangle +o\left(\left\Vert
        x^2-x^2_0\right\Vert\right).\nonumber
  \end{align}
  Auf der rechten Seite hat der erste Term noch das falsche Argument,
  der zweite Term h\"angt noch in unerw\"unschter Weise von $x^2$ ab
  und die beiden letzten Terme haben die gew\"unschte Form. \par F\"ur
  den zweiten Term benutzen wir die Definition dieses Terms und den
  Mittelwertsatz und erhalten
  \begin{align*}
    \left\Vert o_{x^2}\left(\left\Vert x^1-x^1_0\right\Vert\right)
    \right\Vert =&\, \left\Vert f\left(x^1,x^2\right)
      -f\left(x^1_0,x^2\right) -D_1f\left(x^1_0,x^2\right)\left\langle
        x^1-x^1_0\right\rangle\right\Vert\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{\xi\in\left[x^1,x^1_0\right]} \left\Vert
      D_1f\left(\xi,x^2\right) -D_1f\left(x^1_0,x^2\right)\right\Vert
    \cdot\underbrace{\left\Vert x^1-x^1_0\right\Vert}_{\le\Vert
      x-x_0\Vert}. 
  \end{align*}
  Aufgrund der Stetigkeit von $D_1f$ sehen wir, dass der Term
  $o_{x^2}\left(\left\Vert x^1-x^1_0\right\Vert\right)$ ein $o(\Vert
  x-x_0\Vert)$-Term ist. Insbesondere wird also der erste Faktor in
  einer kleinen Umgebung von $\left(x^1_0,x^2_0\right)$ unabh\"angig
  von $x^2$ klein. \par Nun zum ersten Term der rechten Seite in
  \eqref{fx minus fx0 eq br}. Es gilt
  \begin{align*}
    D_1f\left(x^1_0,x^2\right) \left\langle x^1-x^1_0\right\rangle
    =&\,D_1f\left(x^1_0,x^2_0\right) \left\langle
      x^1-x^1_0\right\rangle\umbruch\\
    &\,\quad +\left(D_1f\left(x^1_0,x^2\right)
      -D_1f\left(x^1_0,x^2_0\right)\right)\left\langle
      x^1-x^1_0\right\rangle.    
  \end{align*}
  Da $D_1f$ stetig ist, ist auch diese Differenz in $o(\Vert
  x-x_0\Vert)$.
\end{proof}

In Kombination mit der Kettenregel erhalten wir
\begin{theorem}
  \label{kettenregel komp thm br}
  Seien $E_i$, $1\le i\le n$, $E'$ und $F$ Banachr\"aume und seien
  $\Omega\subset E:=\prod\limits_{i=1}^nE_i$ sowie $\Omega'\subset E'$
  offen. Seien $f\colon\Omega\to F$ und
  $g=\left(g^i\right)_i\colon\Omega'\to\Omega\subset E$
  differenzierbar. Dann ist auch $h=f\circ g$ differenzierbar und es
  gilt \[Dh=\sum\limits_{i=1}^n D_if(g)\left\langle
    Dg^i\right\rangle,\] d.\,h.{} mit Argumenten $x\in\Omega'$ und
  $u\in E'$ erhalten wir \[Dh(x)\langle u\rangle =\sum\limits_{i=1}^n
  D_if(g(x))\left\langle Dg^i(x)\langle u\rangle\right\rangle.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Kettenregel gilt $Dh=Df(g)\langle Dg\rangle$. Explizit erhalten
  wir
  \begin{align*}
    Dh(x)\langle u\rangle =&\,Df(g(x))\langle Dg(x)\langle
    u\rangle\rangle =Df(g(x))\left\langle
      \left(Dg^1(x),\ldots,Dg^n(x)\right)\langle u\rangle
    \right\rangle\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_{i=1}^n D_if(g(x)) \left\langle\pi_i \left(Dg^1(x)
        \langle u\rangle,\ldots,Dg^n(x) \langle
        u\rangle\right)\right\rangle\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_{i=1}^nD_if(g(x))\left\langle Dg^i(x)\langle
      u\rangle\right\rangle 
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

\subsubsection*{Differenzierbare Funktionen im $\R^n$}

\begin{remark}[Jacobimatrix]
  Seien $\Omega\subset\R^n$ offen und $f\colon\Omega\to\R^m$
  differenzierbar. Nach Korollar \ref{abl komp cor} gilt f\"ur
  $x_0\in\Omega$ und $u\in\R^n$ \[Df(x_0)\langle u\rangle
  =\sum\limits_{i=1}^nD_if(x_0)u^i\equiv \sum\limits_{i=1}^n \fracp
  f{x^i}(x_0) u^i.\] Die $j$-te Komponente, $1\le j\le m$, davon
  lautet $\sum\limits_{i=1}^n\fracp{f^j}{x^i}(x_0)u^i$. \par Die
  Ableitung k\"onnen wir bez\"uglich der kanonischen Basis des $\R^n$
  bzw.{} $\R^m$ als Matrixmultiplikation darstellen. Die die lineare
  Abbildung $Df(x_0)$ darstellende Matrix hei\ss{}t
  \emph{Jacobimatrix.} Wir bezeichnen sie mit
  $\left(\fracp{f^j}{x^i}(x_0)\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le j\le
      m}{1\le i\le n}}$ oder $J_f(x_0)$. In Matrizendarstellung
  erhalten wir \[\left(\fracp{f^j}{x^i}\right)_{i,j} =
  \begin{pmatrix}
    \fracp{f^1}{x^1}&\ldots&\fracp{f^1}{x^n}\\
    \vdots&&\vdots\\
    \fracp{f^m}{x^1}&\ldots&\fracp{f^m}{x^n}
  \end{pmatrix}.\] 
  Dann erhalten wir $Df(x_0)\langle u\rangle$ in Koordinaten als
  Matrixprodukt zwischen der Jacobimatrix $J_f(x_0)$ und dem
  Spaltenvektor $u=\left(u^i\right)_i\in\R^n$. \par
  Ist $n=m$, so hei\ss{}t $\det J_f(x_0)\equiv|J_f(x_0)|
  \equiv\left|\fracp{f^j}{x^i} \right|  \equiv\left|\frac{df}{dx}
  \right|$ \emph{Funktionaldeterminante.} 
\end{remark}

\weg{
\begin{remark}[Einsteinsche Summenkonvention] \stern
  Physiker summieren gerne \"uber Indices, die in einer Formel doppelt
  einmal unten und einmal oben auftauchen. Unter Benutzung dieser
  \emph{Einsteinschen Summenkonvention} erhalten wir \[Df(x_0)\langle
  u\rangle =\fracp f{x^i}(x_0)u^i \equiv f_i(x_0)u^i.\] Daher
  bezeichnen wir die $j$-te Komponente von $f$ mit $f^j$ und die
  $i$-te partielle Ableitung von $f$ mit $f_i$. Wir werden die
  Einsteinsche Summenkonvention auch ab Vorlesungen \"uber
  Differentialgeometrie oder Partielle Differentialgleichungen (meinen
  Spezialgebieten) verwenden. \par Oben und unten stehende Indices
  erlauben es auch besser, zwischen Elementen in Vektorr\"aumen und
  Dualr\"aumen zu unterscheiden. Dementsprechend ist es sinnvoll, die
  Eintr\"age von Matrizen mit $a^i_j$ zu bezeichnen. Details dazu
  finden sich in \cite{OSLA1}.
\end{remark}
} % weg

Aus Theorem \ref{kettenregel komp thm br} erhalten wir als Korollar
direkt die Kettenregel in Koordinaten.
\begin{theorem}
  Seien $\Omega\subset\R^n$ und $\Omega'\subset\R^l$ offen. Seien
  $f\colon\Omega\to\R^m$ und $g\colon\Omega'\to\Omega\subset\R^n$
  differenzierbar: \[\R^l\supset\Omega'\overset
  g\longrightarrow\R^n\supset\Omega\overset f\longrightarrow\R^m.\]
  Dann ist auch $h:=f\circ g\colon\Omega'\to\R^m$ differenzierbar und
  es gilt in Koordinaten bzw.{} als Matrixmultiplikation der
  zugeh\"origen Jacobimatrizen \[\fracp {h^j}{{x'}^k}
  =\sum\limits_{i=1}^n \fracp{f^j}{x^i} \fracp{g^i}{{x'}^k}
  \qquad\text{bzw.}\qquad J_h(x')=J_f(g(x'))\cdot J_g(x').\]
\end{theorem}

Wir zeigen einen eindimensionalen Hebbarkeitssatz. 
\begin{lemma}
  \label{abl hebbar lem br}
  Sei $\Omega\subset\R$ offen mit $0\in\Omega$. Seien
  $f,g\colon\Omega\to\R$ stetig und $f$ in $\Omega\setminus\{0\}$
  stetig differenzierbar mit $f'=g$ in $\Omega\setminus\{0\}$. Dann
  ist $f$ in ganz $\Omega$ stetig differenzierbar und es gilt dort
  $f'=g$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $\Omega$ ein
  Intervall ist. Es gen\"ugt zu zeigen, dass $f$ in $0$
  differenzierbar ist und $f'(0)=g(0)$ erf\"ullt, dass
  also \[f(x)-f(0)-g(0)x=o(|x|)\quad\text{f\"ur alle }x\in\Omega\]
  gilt. Dazu zeigen wir, dass es zu beliebigen $\epsilon>0$ ein
  $\delta>0$ mit \[|f(x)-f(0)-g(0)x|\le\epsilon\cdot|x|\] f\"ur alle
  $|x|<\delta$ gibt. \par Definiere dazu $\phi\colon[0,1]\to\R$
  durch \[\phi(t):=f(x)-f(tx)-g(0)(1-t)x.\] Dann ist $\phi$ auf
  $[0,1]$ stetig und in $(0,1)$ differenzierbar. Der Mittelwertsatz
  ist also anwendbar. Es gelten
  \begin{align*}
    \phi(1)=&\,0,\umbruch\\
    |\phi(0)|=&\,|f(x)-f(0)-g(0)x|
    \overset!\le\epsilon\cdot|x|,\umbruch\\  
    |\phi(0)|=&\,|\phi(0)-\phi(1)|\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{t\in(0,1)}|\phi'(t)|\cdot 1\umbruch\\
    =&\,\sup\limits_{t\in(0,1)}|-f'(tx)x-g(0)(-1)x|\umbruch\\
    =&\,\sup\limits_{t\in(0,1)}|f'(tx)-g(0)|\cdot|x|\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{|y|<\delta}
    |f'(y)-g(0)|\cdot|x|\quad\text{f\"ur }|x|\le\delta,\umbruch\\
    =&\,\sup\limits_{|y|<\delta} |g(y)-g(0)|\cdot|x|.
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt nun aus der Stetigkeit von $g$. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Seien $f\colon\Omega\to\R$ und
  $g\colon\Omega\to\R^n$ stetig. Sei $H\subset\R^n$ eine Hyperebene,
  also ein $n-1$-dimensionaler affiner Unterraum. Sei $f$ in
  $\Omega\setminus H$ stetig differenzierbar mit $Df=g$. Dann ist $f$
  in ganz $\Omega$ stetig differenzierbar und es gilt dort $Df=g$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{stet diff stet part diff aequiv thm br} gen\"ugt
  es zu zeigen, dass $f$ in $\Omega$ partiell differenzierbar ist und
  dort $f_i=g\langle e_i\rangle$ gilt. Dies folgt in einem gedrehten
  Koordinatensystem, in dem keiner der Basisvektoren $e_i$ in $H$
  liegt, aus Lemma \ref{abl hebbar lem br}.
\end{proof}

\weg{
Dieses Resultat \"ubertr\"agt sich wie folgt auf die erst im
n\"achsten Kapitel definierten h\"oheren Ableitungen. 
\begin{corollary}
  \stern Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $H\subset\R^n$ eine
  Hyperebene. Sei $f\colon\Omega\to\R$ in $\Omega\setminus H$ eine
  $k$-mal stetig differenzierbare Funktion und seien s\"amtliche
  Ableitungen bis zur Ordnung $k$ stetig auf ganz $\Omega$
  fortsetzbar. Dann ist auch $f$ in ganz $\Omega$ $k$-mal stetig
  differenzierbar.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Induktion nach der Ordnung der Ableitung. 
\end{proof}
} % weg

\weg{
\begin{remark}
  \stern Lemma \ref{abl hebbar lem br} l\"asst sich nicht problemlos
  auf Funktionen \"ubertragen, die auf dem Komplement einer
  abgeschlossenen Menge $A$ mit $\interior A=\emptyset$ definiert
  sind. Die Cantorsche Treppenfunktion ist ein Gegenbeispiel
  daf\"ur. % Hinweis von Markus Kunze.
\end{remark}
} % weg

\subsubsection*{Richtungsableitung}
\begin{definition}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und $\Omega\subset E$ offen. Sei $e\in E$
  mit $\Vert e\Vert=1$. Sei $f\colon\Omega\to F$ eine Funktion. Dann
  hei\ss{}t $f$ in $x_0$ \emph{in Richtung $e$ differenzierbar,} falls
  die Funktion $\phi(t):=f(x_0+te)$, die f\"ur kleine $\epsilon>0$ in
  $(-\epsilon,\epsilon)$ definiert ist, in $t=0$ differenzierbar
  ist. Dann hei\ss{}t $\dot\phi(0)$ \emph{Richtungsableitung} von $f$
  im Punkt $x_0$ in Richtung $e$. Wir schreiben daf\"ur $D_ef(x_0)$,
  $\nabla_ef(x_0)$ oder $\fracp fe$.  
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $E=\R^n$, so sind die partiellen Ableitungen gerade die
    Richtungsableitungen in Richtung $e_i$, $f_i(x_0)=D_{e_i}f(x_0)$. 
  \item Ist $f$ in $x_0$ differenzierbar, so gilt nach Kettenregel
    $D_ef(x_0) =Df(x_0)\langle e\rangle$ f\"ur alle $e\in E$ mit
    $\Vert e\Vert=1$.
  \item Gelegentlich erlaubt man in der Definition der
    Richtungsableitung auch beliebige $e\neq0$. 
  \item Die Funktion aus Beispiel \ref{partiell diffb nicht diffb bsp br}
    ist im Ursprung in jede Richtung differenzierbar, jedoch nicht
    differenzierbar.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\Subsection{Ableitungen h\"oherer Ordnung}

In der folgenden Definition werden wir h\"ohere Ableitungen induktiv
definieren und zur besseren Anschauung die zweite und dritte Ableitung
zus\"atzlich explizit definieren. Beachte dabei, dass wir die
bisherige Definition von Differenzierbarkeit anwenden k\"onnen, da
auch $L(E,F)$, $L(E,L(E,F))$, \ldots mit der Operatornorm wieder
Banachr\"aume sind.
\begin{definition}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und
  $f\colon\Omega\to F$ eine Abbildung. Sei $x_0\in\Omega$ beliebig. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir definieren $D^0f:=f\colon\Omega\to F$ als die $0$-te
    Ableitung von $f$. Ist $f$ in $U\subset\Omega$ differenzierbar, so
    definieren wir die \emph{erste Ableitung} von $f$ durch
    $D^1f:=Df\colon U\to L(E,F)$.
  \item Ist $Df$ in einer Umgebung $U$ von $x_0$ definiert und die
    Abbildung $Df\colon U\to L(E,F)$ in $x_0$ differenzierbar, so
    hei\ss{}t $D(Df)(x_0)\equiv D^2f(x_0)\colon E\to L(E,F)$, also
    $D^2f(x_0)\in L(E,L(E,F))$ \emph{zweite Ableitung} von $f$ in
    $x_0$.
  \item Ist $D^2f\colon U\to L(E,L(E,F))$ in einer Umgebung $U$ von
    $x_0$ definiert und in $x_0$ differenzierbar, so hei\ss{}t die
    Ableitung dieser Funktion \emph{dritte Ableitung} von $f$ in
    $x_0$: $D(D^2f)(x_0)\equiv D^3f(x_0) \equiv DDDf(x_0)\in
    L(E,L(E,L(E,F)))$.
  \item Ist die $k$-te Ableitung $D^kf$ von $f$ in einer Umgebung $U$
    von $x_0$ definiert und ist $D^kf\colon U\to
    L(E,\ldots,L(E,F)\ldots)$ in $x_0$ differenzierbar, so hei\ss{}t
    die Ableitung dieser Funktion, $D\left(D^kf\right)(x_0)\equiv
    D^{k+1}f(x_0)$, die \emph{$(k+1)$-ste Ableitung} von $f$ in $x_0$.
  \item Existiert die $k$-te Ableitung von $f$ in allen $x\in\Omega$,
    so hei\ss{}t $f$ in $\Omega$ \emph{$k$-mal differenzierbar.}
  \item Existiert die $k$-te Ableitung von $f$ in allen $x\in\Omega$
    und ist sie in $\Omega$ stetig, so hei\ss{}t $f$ in $\Omega$
    \emph{$k$-mal stetig differenzierbar} oder von der \emph{Klasse
      $C^k(\Omega,F)$.}
  \item Sind $k\in\N$, $f\in C^k(\Omega,F)$ und alle Ableitungen von
    $f$ bis zur Ordnung $k$ auf $\ol\Omega$ stetig und beschr\"ankt
    fortsetzbar, so ist $f$ von der Klasse
    $C^k\left(\ol\Omega,F\right)$, $f\in C^k\left(\ol\Omega,F\right)$.
  \item Ist $f\in C^k(\Omega,F)$ f\"ur alle $k\in\N$, so hei\ss{}t f
    \emph{glatt} oder von der \emph{Klasse $C^\infty(\Omega,F)$.}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da $L(E,F)$ selbst wieder ein Banachraum ist, k\"onnen wir die
    Definition von Differenzierbarkeit auf die Abbildung $Df\colon
    U\to L(E,F)$ anwenden. 
  \item Aus der linearen Algebra, siehe auch Bemerkung \ref{mult lin
      abb rem}, kennen wir den (normtreuen)
    Isomorphismus \[L(E,L(E,F))\cong L_2(E;F),\] $A\mapsto a$
    mit
    \[a(u,v):=\underbrace{(A\langle u\rangle)}_{\in L(E,F)}\langle
      v\rangle \quad\text{f\"ur alle }u,v\in E.\]
  \end{enumerate}
\end{remark}

Damit erhalten wir direkt
\begin{proposition}
  Sei $\Omega\subset E$ im Banachraum $E$ offen. 
  Sei $f\colon\Omega\to F$ in $x_0$ zweimal differenzierbar. Dann ist,
  verm\"oge der Identifikation \[L(E,L(E,F))\cong L_2(E;F),\]
  $D^2f(x_0)\in L_2(E;F)$ und es gilt 
  \[D^2f(x_0)(u,v)\equiv D^2f(x_0)\langle u,v\rangle
  =\left(D^2f(x_0)\langle u\rangle\right)\langle v\rangle.\]
\end{proposition}

\weg{
\begin{remark}\stern
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Hier stehen links die bilinearen Abbildungen, bei denen wir
    auch wieder $\langle\cdot,\cdot\rangle$ benutzen werden um die
    Linearit\"at in den angegebenen Argumenten zu verdeutlichen. 
  \item Wir wollen k\"unftig stets $D^2f(x_0)$ f\"ur das Element in
    $L(E,L(E,F))$ oder $L_2(E;F)$ schreiben. 
  \item Entsprechend schreiben wir stets $D^kf(x_0)$ f\"ur das
    entsprechende Element in \[L(E,\ldots,L(E,F)\ldots)\] oder in
    $L_k(E;F)$. Dabei benutzen wir induktiv, dass \[L(E,L_k(E;F))\cong
    L_{k+1}(E;F)\] gilt.
    \begin{proof}[Beweis]
      \"Ubung. 
    \end{proof}
  \item Ist $f$ in $\Omega$ zun\"achst $m$-mal differenzierbar und
    $D^mf$ in $\Omega$ noch $n$-mal differenzierbar, so ist $f$ in
    $\Omega$ mindestens $(m+n)$-mal differenzierbar.
    \begin{proof}[Beweis]
      Induktion. \"Ubung
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\begin{definition}[$C^k$-Normen]
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und $\Omega\subset E$ offen. Dann
  definieren wir auf $C^k\left(\ol\Omega,F\right)$ eine Norm, die
  $C^k$-Norm, durch \[\Vert f\Vert_{C^k(\Omega,F)}
  :=\sum\limits_{i=0}^k \left\Vert
    D^if\right\Vert_{C^0(\Omega,L_i(E;F))}\] mit $L_0(E,F)\equiv F$.  
\end{definition}

Genauso wie im eindimensionalen Fall sehen wir, dass die R\"aume
$C^k\left(\ol\Omega,F\right)$ Banachr\"aume sind. 
\begin{theorem}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und sei $\Omega\subset E$ offen. Sei
  $k\in\N$. Dann ist $C^k\left(\ol\Omega,F\right)$ mit der $C^k$-Norm
  ein Banachraum.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{abl von abl mit fester richtung lem br}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume und $\Omega\subset E$ offen. Sei
  $f\colon \Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$ zweimal differenzierbar. Sei
  $U$ eine Umgebung von $x_0$, in der $f$ einmal differenzierbar
  ist. ($U$ existiert nach Definition von zweimaliger
  Differenzierbarkeit.) Sei $v\in E$ fest. Definiere
  $\phi\colon U\to F$ durch $\phi(x)=Df(x)\langle v\rangle$. Dann ist
  $\phi$ in $x_0$ differenzierbar und es gilt f\"ur alle $u\in
  E$ \[D\phi(x_0)\langle u\rangle =D^2f(x_0)\langle v,u\rangle.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir schreiben $\phi$ als Komposition der linearen
  Abbildung \[\Phi\colon L(E,F)\to F\quad\text{mit}\quad A\mapsto Av\]
  und der Abbildung $Df\colon U\to L(E,F)$: $\phi=\Phi\circ Df$.  Aus
  $\Phi(A)-\Phi(A_0)=(A-A_0)\langle v\rangle =D\Phi(A_0)\langle
  A-A_0\rangle$ wie bei jeder stetigen linearen Abbildung folgt hier
  $D\Phi(A_0)\langle B\rangle =B\langle v\rangle$. Nach Kettenregel
  ist $\phi$ somit in $x_0$ differenzierbar und es gilt
  $D\phi=D\Phi(Df)\circ D^2f$ und in expliziterer Form
  \begin{align*}
    D\phi(x_0)\langle u\rangle=&\, D\Phi(Df(x_0))\langle
    D(Df(\cdot)\langle\cdot\rangle)(x_0)\langle u\rangle\rangle\umbruch\\
    =&\,D\Phi(Df(x_0)) \left\langle
      D^2f(x_0)\langle\cdot\rangle\langle
      u\rangle\right\rangle =D^2f(x_0)\langle v,u\rangle,
  \end{align*} 
  wobei $Df(\cdot)\langle\cdot\rangle$ eine Funktion $x\mapsto L(E,F)$
  bezeichnet.
\end{proof}

Das folgende Resultat ist eine Variante des noch folgenden Satzes von
Schwarz. Beachte, das hier die Existenz der zweiten Ableitung in $x_0$
und nicht nur die partieller Ableitungen gefordert wird.
\begin{theorem}
  \label{zweite abl ex schw thm br}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und sei
  $f\colon\Omega\to F$ in $x_0\in\Omega$ zweimal differenzierbar. Dann
  ist die bilineare Abbildung $D^2f(x_0)$ symmetrisch, d.\,h.{} es
  gilt f\"ur alle $u,v\in E$ \[D^2f(x_0)\langle u,v\rangle
  =D^2f(x_0)\langle v,u\rangle.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir behaupten, dass
  \begin{equation}
    \label{zwei abl symm eq br}
    f(x_0+u+v)-f(x_0+u)-f(x_0+v)+f(x_0) =D^2f(x_0)\langle u,v\rangle
    +o\left((\Vert u\Vert+\Vert v\Vert)^2\right)
  \end{equation}
  gilt, falls $u,v$ so gew\"ahlt sind, dass alle Ausdr\"ucke
  wohldefiniert sind, also z.\,B.{} $u,v\in B_r(0)$ mit $r>0$, so dass
  $B_{2r}(x_0)\subset\Omega$ gilt, was wir im Folgenden annehmen
  werden. \par Aus \eqref{zwei abl symm eq br} folgt die Behauptung:
  Die linke Seite ist in $u$ und $v$ symmetrisch. Somit
  gilt
  \[\left\Vert D^2 f(x_0)\langle u,v\rangle -D^2f(x_0)\langle
      v,u\rangle\right\Vert =o\left((\Vert u\Vert+\Vert
      v\Vert)^2\right)\] und f\"ur alle \emph{Einheitsvektoren} (=
  Vektoren der L\"ange eins) $\ol u,\ol v\in E$ und alle $|t|<r$
  erhalten wir daraus
  \[t^2\left\Vert D^2f(x_0)\langle\ol u,\ol v\rangle
      -D^2f(x_0)\langle\ol v,\ol u\rangle\right\Vert
    =o\left(t^2\right).\] Wir dividieren nun durch $t^2\neq0$ und
  erhalten im Grenzwert $t\to0$ die Behauptung.\par Somit ist noch
  \eqref{zwei abl symm eq br} zu zeigen. Definiere f\"ur $0\le t\le1$
  die Funktion \[\phi(t):=f(x_0+u+tv)-f(x_0+tv).\] Die behauptete
  Gleichheit werden wir dann aus einer Absch\"atzung f\"ur
  $\phi(1)-\phi(0)-\phi'(0)$ erhalten, vergleiche das Ende dieses
  Beweises. \par Es gilt der Mittelwertsatz f\"ur auf Teilmengen von
  $\R$ definierte Funktionen in der Form
  \[\Vert\phi(1)-\phi(0)-\phi'(0)\Vert \le\sup\limits_{0\le t\le
    1} \Vert\phi'(t)-\phi'(0)\Vert.\] Die rechte Seite wollen wir
  weiter absch\"atzen. Nach Kettenregel
  gilt \[\phi'(t)=Df(x_0+u+tv)\langle v\rangle -Df(x_0+tv)\langle
  v\rangle.\] Wir addieren eine Null und schreiben die beiden
  Differenzen aufgrund der Differenzierbarkeit mit Hilfe der zweiten
  Ableitung, benutzen die Linearit\"at der Ableitungen im
  \glqq$\langle\cdot\rangle$\grqq-Argument und erhalten
  \begin{align*}
    \phi'(t)=&\,\left\{Df(x_0+u+tv)-Df(x_0)
      -[Df(x_0+tv)-Df(x_0)]\right\}\langle v\rangle\umbruch\\
    =&\,\left\{D^2f(x_0)\langle u+tv\rangle +o(\Vert u+tv\Vert)
      -D^2f(x_0)\langle tv\rangle -o(\Vert tv\Vert) \right\}\langle
    v\rangle\umbruch\\
    =&\,D^2f(x_0)\langle u\rangle\langle v\rangle +o(\Vert
    u+tv\Vert)\Vert v\Vert +o(\Vert tv\Vert)\Vert v\Vert.
  \end{align*}
  Wie man sich beispielsweise mit Hilfe der $\epsilon$-Notation leicht
  \"uberzeugt, sind beide Fehlerterme in $o\left((\Vert u\Vert+\Vert
    v\Vert)^2\right)$. Hieraus folgt einerseits \[\sup\limits_{0\le
    t\le1} \Vert\phi'(t)-\phi'(0)\Vert \le o\left((\Vert u\Vert +\Vert
    v\Vert)^2\right),\] andererseits k\"onnen wir den Ausdruck f\"ur
  $\phi'(t)$, ausgewertet an der Stelle $t=0$, auch in der Folgerung
  aus dem Mittelwertsatz einsetzen und erhalten \[\phi(1)-\phi(0)
  =D^2f(x_0)\langle u,v\rangle +o\left((\Vert u\Vert +\Vert
    v\Vert)^2\right).\] Nach Definition von $\phi$ ist dies aber
  gerade die Behauptung.
\end{proof}

Auch f\"ur zweite Ableitungen bekommen wir einen Zusammenhang zwischen
$D^2f$ und zweiten partiellen Ableitungen.
\begin{proposition}
  \label{part abl aus abl prop br}
  Sei $E=\prod\limits_{i=1}^n E_i$ ein Produktraum von
  Banachr\"aumen. Sei $\Omega\subset E$ offen und $f\colon\Omega\to F$
  in $x_0$ zweimal differenzierbar. Beachte, dass f\"ur feste $i,j$
  mit $1\le i,j\le n$ die partiellen Ableitungen $D_iD_jf(x_0)\colon
  E_i\times E_j\to F$ bilineare Abbildungen sind. Seien $\chi_i\colon
  E_i\hookrightarrow E$, $1\le i\le n$, die kanonischen Einbettungen.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann gilt f\"ur alle $\left(u^i,u^j\right)\in E_i\times
    E_j$ \[D_iD_jf(x_0)\left\langle u^j,u^i\right\rangle
    =D^2f(x_0)\left\langle\chi_j\left(u^j\right),
      \chi_i\left(u^i\right)\right\rangle.\]
  \item Ist $E=\K^n$, so gilt \[D_iD_jf(x_0)=D_jD_if(x_0),\] \dh die
    zweiten partiellen Ableitungen kommutieren.
    % Ein analoges Resultat in Banachr\"aumen sieht nicht so sch\"on
    % aus, weil dann auch die Argumenten in den spitzen Klammern
    % vertauscht werden m\"ussen. 
  \end{enumerate}
\end{proposition}
Die Reihenfolge der linearen Argumente ist eine Konvention und kommt
in der Literatur auch anders herum vor. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur die ersten partiellen Ableitungen von $f$ haben wir
    bereits $D_jf(\cdot) =Df(\cdot)\circ\chi_j$, $1\le j\le n$,
    gezeigt. Wenn wir dies auf $u^j\in E_j$ anwenden, erhalten wir
    $D_jf(\cdot)\left\langle u^j\right\rangle =Df(\cdot)\left\langle
      \chi_j\left(u^j\right)\right\rangle$. Wir differenzieren dies
    nochmals und benutzen dabei Lemma \ref{abl von abl mit fester
      richtung lem br} f\"ur die rechte Seite. Es folgt f\"ur $u\in
    E$ \[D\left(D_jf(\cdot) \left\langle u^j\right\rangle\right)
    (x_0)\langle u\rangle =D^2f(x_0)\left\langle
      \chi_j\left(u^j\right), u\right\rangle.\] Insbesondere f\"ur
    $u=\chi_i\left(u^i\right)$ erhalten wir also
    \begin{align*} D_i\left(D_jf(\cdot)\left\langle
          u^j\right\rangle\right)(x_0)\left\langle u^i\right\rangle
      =&\,D\left(D_jf(\cdot)\left\langle u^j\right\rangle
      \right)(x_0)\left\langle \chi_i\left(u^i\right)\right\rangle\umbruch\\
      =&\,D^2f(x_0)\left\langle \chi_j\left(u^j\right),
        \chi_i\left(u^i\right) \right\rangle.
    \end{align*} 
    Wir schreiben \[D_iD_jf(x_0)\left\langle u^j,u^i\right\rangle
    \equiv D_i\left(D_jf(\cdot)\left\langle
        u^j\right\rangle\right)(x_0) \left\langle u^i\right\rangle,\]
    was man analog zu Lemma \ref{abl von abl mit fester richtung lem br}
    rechtfertigt, und erhalten \[D_iD_jf(x_0)\langle\cdot,\cdot\rangle
    =D^2f(x_0)\langle\chi_j(\cdot),\chi_i(\cdot)\rangle\] wie
    behauptet.
  \item Dies folgt insbesondere aus Theorem \ref{zweite abl ex schw
      thm br}. Es gilt $D_if(x_0)=Df(x_0)\langle e_i\rangle$ und somit
    erhalten wir
    \[ D_iD_jf(x_0) \equiv D_iD_jf(x_0)\langle 1,1\rangle
      =D^2f(x_0)\langle e_j,e_i\rangle =D^2f(x_0)\langle
      e_i,e_j\rangle =D_jD_if(x_0).\qedhere\]
  \end{enumerate}
\end{proof}

Existieren die zweiten partiellen Ableitungen und sind stetig, so
existieren auch die zweiten Ableitungen. Als Vorbereitung daf\"ur
zeigen wir
\begin{lemma}
  \label{L prod isom br lem br}
  Sei $E=\prod\limits_{i=1}^nE_i$ ein Produkt von Banachr\"aumen und
  $F$ ein weiterer Banachraum. Dann sind $L(E,F)$ und
  $\prod\limits_{i=1}^n L(E_i,F)$ isomorphe Banachr\"aume, \dh es gibt
  eine beschr\"ankte lineare Abbildung zwischen ihnen mit
  beschr\"ankter Inversen. \par Ist
  $\chi_i\colon E_i\hookrightarrow E$ die kanonische Einbettung und
  $\pi_i\colon E\to E_i$ die Projektion auf den $i$-ten Faktor, so
  sind ein m\"oglicher solcher Banachraumisomorphismus durch
  $\Phi\colon A\mapsto(A_i)_{1\le i\le n}$ mit $A_i=A\circ\chi_i$ und
  die Inverse dazu ist durch $A=\sum\limits_{i=1}^n A_i\circ\pi_i$
  gegeben.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Direktes Nachrechnen. Beachte, dass wir nicht behaupten, dass der
  Banachraumisomorphismus normerhaltend ist.
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{zweimal stetig partiell stetig diffbar aequiv thm br}
  Sei $E=\prod\limits_{i=1}^nE_i$ ein Produktraum von Banachr\"aumen
  und sei $F$ ein weiterer Banachraum. Seien $\Omega\subset E$ offen
  und $f\colon\Omega\to F$ eine Abbildung. Dann ist $f$ genau dann
  zweimal stetig in $\Omega$ differenzierbar, wenn $f$ in $\Omega$
  zweimal stetig partiell differenzierbar ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{stet diff stet part diff aequiv thm} (stetige
  und stetige partielle Differenzierbarkeit sind \"aquivalent) ist die
  Behauptung f\"ur die ersten Ableitungen bekannt.
  \begin{itemize}
  \item[\Hinrichtung] Sei $f$ zun\"achst zweimal stetig
    differenzierbar. Nach Proposition \ref{part abl aus abl prop br}
    gilt
    $D_iD_jf(x_0)\langle\cdot,\cdot\rangle
    =D^2f(x_0)\langle\chi_i(\cdot),\chi_j(\cdot)\rangle$ und wir
    erhalten die Behauptung f\"ur die zweiten Ableitungen.
  \item[\Rueckrichtung] Sei nun $f$ umgekehrt zweimal stetig partiell
    differenzierbar, $D_if$ und $D_jD_if$, $1\le i,j\le n$ existieren
    also und sind stetig. Nach Theorem \ref{stet diff stet part diff
      aequiv thm} sind somit $f$ und $D_if$ in $\Omega$ stetig
    differenzierbar. \par Wir verwenden nun $\Phi$ aus Lemma \ref{L
      prod isom br lem br} und erhalten eine Abbildung
    $\Phi\circ Df\colon \Omega\to\prod\limits_{i=1}^nL(E_i,F)$. Nach
    Proposition \ref{abl komp prop} sind die Komponenten dieser
    Abbildung gerade die partiellen Ableitungen $D_if$. \par Nach
    Voraussetzung sind die Funktionen $D_if$, die ja gerade die
    Komponenten der Abbildung $\Phi\circ Df$ sind, in $\Omega$
    differenzierbar. Somit ist nach Proposition \ref{diffbarkeit fkt
      komp prop} auch die Abbildung $\Phi\circ Df$ in $\Omega$
    differenzierbar. Wir verkn\"upfen diese Funktion noch mit der
    linearen Abbildung $\Phi^{-1}$ und erhalten, dass
    $Df=\Phi^{-1}\circ\Phi\circ Df$ in $\Omega$ differenzierbar
    ist. \par Zur Stetigkeit der Abbildung $x\mapsto D^2f(x)$: Seien
    $u=\left(u^i\right)_{1\le i\le n}$ und
    $v=\left(v^j\right)_{1\le j\le n}$. Es gilt
    \begin{align*}
      D^2f(x)\langle u,v\rangle
      =&\,D^2f(x)\left\langle\sum\limits_{i=1}^n
        \chi_i\left(u^i\right), \sum\limits_{j=1}^n
        \chi_j\left(v^j\right)\right\rangle\umbruch\\
      =&\,\sum\limits_{i,j=1}^n D^2f(x)\left\langle
        \chi_i\left(u^i\right), \chi_j\left(v^j\right)\right\rangle
      =\sum\limits_{i,j=1}^n D_jD_if(x)\left\langle u^i, v^j
      \right\rangle 
      \intertext{und somit erhalten wir}
      D^2f(x)=&\,\sum\limits_{i,j=1}^n D_jD_if(x)\langle\pi_i(\cdot),
      \pi_j(\cdot)\rangle. 
    \end{align*}
    Hieraus folgt die Stetigkeit. \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

\begin{corollary}[Satz von Schwarz]
  Seien $n\in\N_{>0}$ und $F$ ein Banachraum,
  $\Omega\subset\K^n$ offen und $f\colon\Omega\to F$ zweimal stetig
  partiell differenzierbar, so sind die zweiten partiellen Ableitungen
  symmetrisch, \dh f\"ur alle $1\le i,j\le n$ und alle $x\in\Omega$
  gilt \[D_iD_jf(x)=D_jD_if(x).\] 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{zweimal stetig partiell stetig diffbar aequiv thm
    br} ist $f$ in $\Omega$ zweimal differenzierbar. Nun k\"onnen wir
  Proposition \ref{part abl aus abl prop br} anwenden und erhalten die
  behauptete Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen.
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $f\colon\Omega\to\R$
    zweimal differenzierbar. Dann erhalten wir f\"ur alle $x\in\Omega$
    und alle $u,v\in\R^n$ nach Proposition \ref{part abl aus abl prop
      br}
    \[D^2f(x)\langle u,v\rangle =\sum\limits_{i,j=1}^n D_iD_jf(x)
      u^jv^i.\]
  \item Wie in der linearen Algebra k\"onnen wir auch hier die
    symmetrische Bilinearform $D^2f(x)$ durch eine Matrix darstellen,
    n\"amlich durch $(D_iD_jf(x))_{1\le i,j\le n}$, die
    \emph{Hessematrix} oder \emph{Hessesche} von $f$. 
  \item Wir werden auch im vektorwertigen Fall $D^2f(x)\in L_2(E;F)$
    als \emph{Hessesche} bezeichnen. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\weg{
Viele Eigenschaften, die wir f\"ur zweite Ableitungen gezeigt haben,
\"ubertragen sich per Induktion auf h\"ohere Ableitungen. Wir
erw\"ahnen hier nur die entsprechenden Resultate.
\begin{remark}
  \stern
  Seien $n,m\in\N_{>0}$, $E,F$ Produktr\"aume mit
  $E=\prod\limits_{i=1}^n E_i$ und $F=\prod\limits_{j=1}^m F_j$ f\"ur
  Banachr\"aume $E_i$ und $F_j$, $\Omega\subset E$ offen und $f\colon
  \Omega\to F$ eine Abbildung. H\"aufig machen wir von der
  Produktgestalt keinen Gebrauch; dies entspricht den F\"allen $n=1$
  oder $m=1$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $f$ eine $k$-mal differenzierbare Abbildung, so k\"onnen
    wir $D^kf(x_0)$ als Element in $L_k(E;F)$ auf"|fassen. 
  \item Ist $f$ eine $k$-mal differenzierbare Abbildung und $D^kf$
    eine $l$-mal differenzierbare Abbildung, so ist $f$ eine $k+l$-mal
    differenzierbare Abbildung. 
  \item Seien $f$ eine $k$-mal differenzierbare Abbildung und
    $u_1,\ldots,u_{k-1}\in E$. Dann ist die Abbildung
    $\phi\colon\Omega\to F$ mit \[\phi(x)=D^{k-1}f(x)\langle
    u_1,\ldots,u_{k-1}\rangle\] in $\Omega$ differenzierbar und es
    gilt \[D\phi(x)\langle\cdot\rangle =D^kf(x)\langle
    u_1,\ldots,u_{k-1},\cdot\rangle.\] Ist $f$ sogar $k+1$-mal
    differenzierbar, so gilt eine entsprechende Aussage auch f\"ur die
    zweite Ableitung von $\phi$, \ldots.
  \item Sei $f$ eine im Punkt $x_0\in\Omega$ mindestens $k$-mal
    differenzierbare Abbildung. So
    ist \[E^k\ni(u_1,\ldots,u_k)\mapsto D^kf(x_0)\langle
    u_1,\ldots,u_k\rangle\] eine symmetrische Abbildung, \dh es gilt
    \[D^kf(x_0)\langle u_1,\ldots,u_k\rangle =D^kf(x_0)\langle
    u_{\sigma(1)},\ldots,u_{\sigma(k)}\rangle\] f\"ur alle
    $u_1,\ldots,u_k\in E$ und alle $\sigma\in S(k)$, der symmetrischen
    Gruppe, die die ersten $k$ nat\"urlichen Zahlen beliebig
    permutiert. 
  \item Sei $f$ in $x_0\in\Omega$ eine $k$-mal differenzierbare
    Abbildung und $E$ habe Produktgestalt. Dann ist $f$ in $x_0$ auch
    $k$-mal partiell differenzierbar und es gilt f\"ur alle $i_j$ mit
    $1\le i_j\le n$, $1\le j\le k$, und alle $u_j\in
    E_{i_j}$ \[D_{i_k}\ldots D_{i_1} f(x_0)\langle u_1,\ldots
    u_k\rangle =D^kf(x_0) \langle\chi_{i_1}(u_1),
    \ldots,\chi_{i_k}(u_k)\rangle.\] Sind alle Faktoren $E_i$ gleich,
    so ist $D^kf(x_0)$ eine symmetrische Multilinearform in $k$
    Argumenten. \par Gilt insbesondere $E_i=\K$ f\"ur alle $1\le i\le
    n$, so ist \[D_{i_k}\ldots D_{i_1}f(x_0) =D_{i_{\sigma(k)}}\ldots
    D_{i_{\sigma(1)}} f(x_0)\] f\"ur alle $\sigma\in S(k)$.
  \item Hat $F$ Produktgestalt, so ist $f=\left(f^i\right)_{1\le i\le
      m}$ genau dann in einem Punkt $k$-mal differenzierbar, wenn dies
    f\"ur alle Komponentenfunktionen $f^i$, $1\le i\le m$, gilt und es
    folgt in diesem Falle \[D^kf(x) =\left(D^kf^1(x),
      \ldots,D^kf^m(x)\right),\] wobei wir $L_k(E,F)$ mit
    $\prod\limits_{i=1}^m L_k(E,F_i)$ identifizieren. 
  \item Auch f\"ur h\"ohere Ableitungen $k$-mal differenzierbarer
    Funktionen gilt eine Kettenregel, allerdings sehen die
    Darstellungen h\"oherer Ableitungen von Verkn\"upfungen
    komplizierter aus.
  \item Hat $E$ Produktgestalt, so ist $f$ genau dann $k$-mal stetig
    differenzierbar, wenn $f$ oder die Komponenten $f^i$ alle $k$-mal
    stetig partiell differenzierbar sind.
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Ist $f\in C^k(\Omega)$, so
    gilt \[D_{i_k}\ldots D_{i_1} f(x) =D^kf(x)\langle
    e_{i_1},\ldots,e_{i_k}\rangle\] f\"ur alle $x\in\Omega$ und alle
    $i_l$ mit $1\le i_l\le n$, $1\le l\le k$. \par F\"ur Vektoren
    $u_l=\left(u^1_l,\ldots,u^n_l\right)$ folgt
    \[D^kf(x)\langle u_1,\ldots,u_k\rangle
    =\sum\limits_{i_1,\ldots,i_k=1}^n D_{i_k}\ldots D_{i_1} f(x)
    u^{i_1}_1\cdots u^{i_k}_k.\]
  \end{enumerate}
\end{remark}
}  % weg

\begin{beispiele}
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $E_1,E_2,F$ Banachr\"aume. Sei $B\colon E_1\times
    E_2\equiv E\to F$ bilinear und stetig. Dann ist $B\in C^\infty$
    und $D^3B\equiv0$.
    \begin{proof}[Beweis]
      Es gilt \[DB(u,v)\langle (a,b)\rangle =B(a,v)+B(u,b).\] Die
      Abbildung $DB(\cdot,\cdot)\colon E\to F$ ist linear. Somit
      gilt \[D(DB(\cdot)\langle(a,b)\rangle)(u,v)\langle(c,d)\rangle
      =D^2B(u,v)\langle(a,b),(c,d)\rangle =B(a,d)+B(c,b).\] Dies ist
      von $(u,v)$ unabh\"angig. Also ist $D^3B\equiv0$.
    \end{proof}
  \item Sei $E$ ein Banachraum und $GL(E)\subset L(E)$ die (offene)
    Menge der Operatoren in $L(E)$ mit Inverser Abbildung in
    $L(E)$. Dann ist \[\Phi\colon GL(E)\ni A\mapsto A^{-1}\in
    GL(E)\subset L(E)\] in $GL(E)$ differenzierbar und es gilt
    $D\Phi(A)\langle B\rangle =-A^{-1}BA^{-1}$. (Vergleiche dies mit
    $\left(g^{-1}\right)'=-\frac{g'}{g^2}$.) Es gilt $\Phi\in
    C^\infty$.
    \begin{proof}[Beweis]
      Wir zeigen nur die Behauptung \"uber $D\Phi$ und lassen es als
      \"Ubung, die Glattheit von $D\Phi$ mit Hilfe der Glattheit der
      in $(A,C)$ bilinearen Abbildung \[\Psi(A,C)\langle B\rangle
      :=-ABC,\] der Kettenregel und Induktion zu zeigen.\par
      \textbf{Differenzierbarkeit:} Statt
      $\Phi(A+B)-\Phi(A)-D\Phi(A)\langle B\rangle\in o(\Vert B\Vert)$
      zu zeigen, multiplizieren wir die Gleichung von links mit $A$
      und erhalten
      \begin{align*}
        o(\Vert B\Vert)\overset!=&\,A(B+A)^{-1}-AA^{-1}
        +AA^{-1}BA^{-1}\umbruch\\ 
        =&\,\left((B+A)A^{-1}\right)^{-1} -\eins +BA^{-1}\umbruch\\
        =&\,\left(BA^{-1}+\eins\right)^{-1}-\eins+BA^{-1}.        
      \end{align*}
      Die Behauptung folgt nun mit Hilfe der Neumannschen Reihe, denn
      es gilt \[\left(\eins+BA^{-1}\right)^{-1} =\eins -BA^{-1}
      +\left(BA^{-1}\right)^2 -\left(BA^{-1}\right)^3 \pm\ldots\] f\"ur
      $\left\Vert BA^{-1}\right\Vert<1$.
    \end{proof}
  \item Die Funktion $f\colon\R^2\to\R$ mit \[f(x,y)=
    \begin{cases}
      \dfrac{xy\left(x^2-y^2\right)}{x^2+y^2}, &(x,y)\neq(0,0),\\
      0, &(x,y)=(0,0), 
    \end{cases}
    \]
    ist im Ursprung zweimal partiell differenzierbar, jedoch sind die
    zweiten partiellen Ableitungen dort weder stetig noch symmetrisch.
    \begin{proof}[Beweis]
      \"Ubung. 
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{beispiele}
\fi
} % weg

\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain} 
%\bibliography{/Users/admin/uni/math/bib/biblio.bib}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio.bib}
\def\weg#1{} \def\unterstrich{\underline{\rule{1ex}{0ex}}} \def\cprime{$'$}
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\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
% \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR.
\providecommand{\MRhref}[2]{%
  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{Dieudonne}
Jean\weg{Dieudonne} Dieudonn{\'e}, \emph{Foundations of modern analysis},
  Academic Press, New York, 1969, Enlarged and corrected printing, Pure and
  Applied Mathematics, Vol. 10-I.

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Claus\weg{CGAnalysisI} Gerhardt, \emph{Analysis. {I}}, {German} ed.,
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Oliver~C. Schn\"urer\weg{OSAnaI}, \emph{{Analysis I}}, 2024, Skript zur
  Vorlesung.

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Oliver~C. Schn\"urer\weg{OSLA1}, \emph{{Lineare Algebra I}}, 2010, Skript zur
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Wikipedia\weg{wiki}, \emph{{\rm \texttt{https://www.wikipedia.org}}}.

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Michel Willem, \emph{Minimax theorems}, Progress in Nonlinear Differential
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\end{thebibliography}

\end{document}

