% 
% Algebraische Topologie 
% Oliver Schn\"urer
% FU Berlin, Sommer 2007
%
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Algebraische Topologie}

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Freie Universit\"at Berlin,
   Arnimallee 6, 14195 Berlin, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\fuaddress{@math.fu-berlin.de}
\email{Oliver.Schnuerer\fuaddress}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{Vielen Dank an Tobias Retzlaff, Colin Stastny und Mark Urupin
  f\"ur Korrekturen.}
% Tobias, Colin, Mark: Lesekurs Algebraische Topologie Sommer 2024. 

%    General info
\subjclass[2000]{55-01}
% 55-xx Algebraic topology
% 55-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) 

%\date{Oktober 2006-\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Algebraische Topologie an der 
  \begin{itemize}
  \item Freien Universit\"at Berlin im Sommersemester 2007 und an der 
  \item Universit\"at Konstanz im Sommersemester 2011.
  \end{itemize}
  Wir folgen insbesondere \cite{Hatcher}. Vielen Dank an Arno Fehm,
  Felix Jachan und Ananda Lahiri f\"ur zahlreiche Korrekturen.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

% Spezielle Kopfzeilen
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      \MakeUppercase{\abschnitt}}}}
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%\mainmatter
\addtocounter{section}{-1}
\Section{Ziele der Algebraischen Topologie}
\begin{itemize}
\item Wie kann man topologischen R\"aumen oder einer Klasse von
topologischen R\"aumen algebraische Objekte, beispielsweise Gruppen, 
  zuordnen, die es erlauben, R\"aume zu unterscheiden. Wunsch: Finde 
  eine Zuordnung
$$\fbox{\text{topologische
    R\"aume}}\longrightarrow\fbox{\text{Gruppen}},$$
die es erlaubt, topologisch unterschiedliche R\"aume zu unterscheiden,
aber auf h\"omoomorphen R\"aumen dasselbe Ergebnis liefert. 
Diese Zuordnung sollte effizient berechenbar sein und f\"ur nicht zu
komplizierte topologische R\"aume ebensolche Gruppen liefern. 
\item Wir haben mit Hilfe der Fundamentalgruppe R\"aume und Wege
  unterscheiden k\"onnen, beispielsweise Wege in
  $\R^2\setminus\{p,q\}$ oder kombinatorische Graphen. 
\item Zweidimensionale kompakte Fl\"achen konnten
  wir mit Hilfe der Fundamentalgruppe sogar klassifizieren, \dh wir
  konnten Modellfl\"achen angeben und mit Hilfe ihrer
  Fundamentalgruppen untersuchen, so dass jede solche Fl\"ache zu
  einer dieser Modellfl\"achen hom\"oomorph ist. 
\item Die Dimension eines Raumes (bei der der Zielraum keine Gruppe
  ist) erlaubt es, R\"aume zu unterscheiden. Aus der Analysis ist
  bekannt, dass offene Teilmengen des $\R^n$ und des $\R^m$ nur f\"ur
  $m=n$ diffeomorph sind. Wir werden sehen, dass dies auch f\"ur
  Hom\"oomorphismen richtig ist. 
\item Wir werden Existenzs\"atze beweisen, beispielsweise, dass jede
  stetige Selbstabbildung von $\ol{B_1(0)}\subset\R^n$ einen Fixpunkt
  besitzt. 
\item In der Variationsrechnung ist es h\"aufig n\"utzlich, Minima in
  einer Homotopieklasse zu suchen, wenn globale Minima trivial sind,
  beispielsweise bei geschlossenen Kurven in einer Mannigfaltigkeit,
  wenn wir das L\"angenfunktional minimieren. 
\item Klassifiziere alle geschlossenen dreidimensionalen
  Mannigfaltigkeiten (Thurston).
\item Eine geschlossene dreidimensionale Mannigfaltigkeit $M$ mit
  $\pi_1(M)\cong\{0\}$ ist hom\"oomorph zu $\S^3$ (Poincar\'e,
  Hamilton, Perelman).
\item \ldots
\end{itemize}

\Section{Motivation Homologie}
Wir haben gesehen (Topologie Vorlesung), dass die Fundamentalgruppe es
erlaubt, topologische R\"aume \glqq niederer Dimension\grqq{} zu
unterscheiden. Allerdings h\"angt die Fundamentalgruppe eines
CW-Komplexes nur von seinem $2$-Skelett ab. Als h\"oherdimensionale
Verallgemeinerung der Fundamentalgruppe $\pi_1(X)$, bei der
Abbildungen $\S^1\to X$ betrachtet werden, kann man h\"ohere
Homotopiegruppen $\pi_k(X)$, bei denen man Homotopieklassen von
Abbildungen $\S^k\to X$ betrachtet, berechnen. Diese erm\"oglichen es
beispielsweise, Sph\"aren unterschiedlicher Dimension zu
unterscheiden, sind aber im allgemeinen kompliziert zu berechnen. 

Homologiegruppen erlauben es ebenfalls, beispielsweise Sph\"aren
unterschiedlicher Dimension zu unterscheiden, sind aber im allgemeinen
einfacher als Homotopiegruppen zu berechnen. 

\Subsection{Beispiele}
Sei $X_1$ ein Graph, der aus zwei Ecken $x$ und $y$ und vier
gerichteten Kanten $a$, $b$, $c$ und $d$ besteht, die jeweils von $x$
nach $y$ laufen. Dann ist $\pi_1(X_1)\cong\Z*\Z*\Z$. Wir machen nun
$\pi_1(X_1)$ k\"unstlich abelsch. Damit werden $ab^{-1}$ und $b^{-1}a$
gleich. W\"ahrend $ab^{-1}$ ein Weg von $x$ nach $x$ ist, ist
$b^{-1}a$ ein Weg von $y$ nach $y$. Wege bei denen Anfangs- und
Endpunkt festgelegt sind, werden also zu geschlossenen Wegen mit
beliebigen Anfangs- und Endpunkten, zu \emph{Zykeln}.

Wir schreiben die erhaltene Gruppe nun additiv, also beispielsweise
$a-b+c-d$. Wir nennen dies \emph{Ketten} von Kanten. Manchmal gibt es
mehrere Zerlegungen in geschlossene Wege, z.\,B.{} gilt
$(a-c)+(b-d)=(a-d)+(b-c)$. Diese unterscheiden wir nicht. Wir nennen
nun allgemeiner einen Zykel eine Summe von Kanten, f\"ur die es
mindestens eine solche Zerlegung in geschlossene Wege gibt. 

Eine Kette $ka+lb+mc+nd$ mit $k$, $l$, $m$, $n\in\Z$ ist genau dann
ein Zykel, falls jede Ecke genau so oft betreten wie verlassen wird
(Kleine \"Ubung). In unserem Fall ist die Anzahl, wie oft $y$ betreten
(positiv gez\"ahlt) und verlassen (negativ ge\"ahlt) wird, gerade
$k+l+m+n$. F\"ur $x$ erhalten wir entsprechend $-k-l-m-n$. Somit ist 
$ka+lb+mc+nd$ genau dann ein Zykel, falls $k+l+m+n=0$ gilt. 

Sei nun etwas allgemeiner $C_1$ die freie abelsche Gruppe, die von den
Kanten $a$, $b$, $c$, $d$ erzeugt wird und $C_0$ die freie abelsche
Gruppe, die von den Ecken $x$ und $y$ erzeugt wird. Elemente von $C_1$
sind dann Ketten von Kanten oder $1$-dimensionale Ketten und Elemente
von $C_0$ sind Ketten von Punkten oder $0$-dimensionale Ketten. Wir
definieren nun einen Homomorphismus $\partial:C_1\to C_0$, indem wir
jede der vier Kanten $a$, $b$, $c$, $d$ in unserem Beispiel auf $y-x$
abbilden, also auf den Endpunkt des Weges minus den Anfangspunkt des
Weges. Daher gilt 
$$\partial(ka+lb+mc+nd)=(k+l+m+n)y-(k+l+m+n)x$$ 
und somit sind die Zykel gerade die Elemente in $\ker\partial$. Man
\"uberlegt sich, dass $a-b$, $b-c$ und $c-d$ eine Basis f\"ur den Kern
von $\partial$ bilden. Somit ist jeder Zykel in $X_1$ eine
Linearkombination von diesen drei Zykeln. Diese Zykel entsprechen
gerade den drei \glqq L\"ochern\grqq{} in $X_1$. 

Kleben wir nun entlang $a-b$ eine $2$-Zelle $A$ ein, so erhalten wir
einen neuen Komplex: $X_2$. Ist $A$ geeignet orientiert, so ist $a-b$
gerade der Rand der $2$-Zelle $A$. Damit wird $a-b$ zusammenziehbar,
also homotop trivial. Dies legt es nahe, aus der Gruppe der Zykel
f\"ur $X_1$ die von $a-b$ erzeugte Untergruppe
herauszudividieren. Damit werden in dieser neuen Gruppe insbesondere
$a-c$ und $b-c$ gleich, was der Tatsache entspricht, dass sie in $X_2$
homotop zueinander sind. 

Sei nun $C_2$ die unendliche zyklische von $A$ erzeugte Gruppe. Wir
definieren $\partial_2:C_2\to C_1$ durch $\partial_2(A)=a-b$. Den
Gruppenhomomorphismus, der hier $\partial$ im Beispiel $X_1$
entspricht, wollen wir mit $\partial_1:C_1\to C_0$ bezeichnen. Wir
erhalten ein Paar von Homomorphismen
$$\xymatrix@1{C_2\ar[r]^{\partial_2}&C_1\ar[r]^{\partial_1}&C_0}.$$
Wir interessieren uns nun f\"ur $\ker\partial_1/\im\partial_2$, also
f\"ur die $1$-dimensionalen Zykel modulo der Zykel, die R\"ander von
$2$-Zellen sind. Dies ist die \emph{Homologiegruppe} $H_1(X_2)$. 

Wir k\"onnen nun weiter h\"oherdimensionale Zellen in $X_2$
hineinkleben und $\partial_i$ entsprechende Randoperatoren
definieren. Dies funktioniert wie folgt.

Zu einem Zellkomplex $X$ definieren wir Kettengruppen $C_n(X)$ als
freie abelsche Gruppen, die von den $n$-Zellen von $X$ als Basis
erzeugt werden. Wir definieren geeignete Randabbildungen
$\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ und erhalten Homologiegruppen
$H_n(X)=\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$. Insbesondere sind also die
Randabbildungen $\partial_n$ noch geeignet zu definieren.

Wir werden im Folgenden Homologie zun\"achst f\"ur Komplexe und danach
f\"ur allgemeine topologische R\"aume definieren. Simpliziale und
Singul\"are Homologie wurden von Eilenberg und Zilber um 1944/1950
herum eingef\"uhrt. 

\Section{Simpliziale Homologie}
\Subsection{$\Delta$-Komplexe}
Hierf\"ur und f\"ur sehr \"ahnliche Konstruktionen gibt es in der
Literatur unterschiedliche Bezeichnungen, z.\,B.{} (semi-)simpliziale
Komplexe.

Wir haben gesehen (Topologie Vorlesung), dass wir geschlossene
orientierbare Fl\"achen (bis auf Hom\"oomorphismen) erhalten, indem
wir Kanten an Dreiecken identifizieren. Dies wird hier nun
verallgemeinert.

\begin{definition}[Simplex]
  Seien $v_0,\,\ldots,\,v_n$ Punkte in $\R^m$, die nicht in einer
  affinen Ebene mit Dimension $<n$ liegen, d.\,h.{} die Vektoren
  $v_1-v_0,\,\ldots,\,v_n-v_0$ sollen linear unabh\"angig sein. Dann
  ist die konvexe H\"ulle dieser Punkte, $[v_0,\,\ldots,\,v_n]$, ein
  \emph{$n$-Simplex} und $v_i$ sind die Ecken des Simplizes (oder
  Simplices?). Das \emph{Standard $n$-Simplex} ist gegeben durch
$$\Delta^n=\left\{(t_0,\,\ldots,\,t_n)\in\R^{n+1}:
  \sum\limits_{i=0}^nt_i=1\text{ und }t_i\ge0 \text{ f\"ur alle
  }i\right\}.$$
\par
Wir unterscheiden Simplizes je nach Reihenfolge der Ecken.
\par
Wir erhalten einen kanonischen linearen Homomorphismus
  \begin{align*}
    \Delta^n\to&\,[v_0,\,\ldots,\,v_n],\\
    (t_0,\,\ldots,\,t_n)\mapsto&\,\sum\limits_{i=0}^nt_iv_i.
  \end{align*}
  Die Koeffizienten $t_i$ hei\ss{}en \emph{baryzentrische Koordinaten}
  des Punktes $$\sum\limits_{i=0}^nt_iv_i\in[v_0,\,\ldots,\,v_n].$$
\par  
Lassen wir eine der $(n+1)$ Ecken eines $n$-Simplizes
$[v_0,\,\ldots,\,v_n]$ weg, so erzeugen die restlichen $n$ Ecken ein
$(n-1)$-Simplex, eine \emph{Seite} von $[v_0,\,\ldots,\,v_n]$. Wir
wollen dabei die Ecken in der Seite eines Simplizes immer so anordnen,
wie sie im Simplex angeordnet waren. Wir schreiben f\"ur die Seite,
die wir erhalten, wenn wir die Ecke $v_i$ weglassen, 
$[v_0,\,\ldots,\,\hat v_i,\,\ldots,\,v_n]$ oder
$[v_0,\,\ldots,\,v_{n-1},\,v_{n+1},\,\ldots,\,v_n]$. 
\par 
Die Vereinigung aller Seiten eines Simplizes $\Delta^n$ hei\ss{}t
\emph{Rand} von $\Delta^n$, wir schreiben $\partial\Delta^n$.  Das
offene Simplex $\dot\Delta^n$ ist das \glqq Innere\grqq{} von
$\Delta^n$, $\Delta^n\setminus\partial\Delta^n$.
\end{definition}

\begin{definition}\label{delta komplex}
  Eine \emph{$\Delta$-Komplex Struktur} auf einem topologischen Raum
  $X$ ist eine Familie von stetigen Abbildungen
  $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$, wobei $n$ von $\alpha$ abh\"angt, so
  dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Einschr\"ankung $\sigma_\alpha|\dot\Delta^n$ ist injektiv
    und jeder Punkt in $X$ liegt im Bild von genau einer solchen
    Einschr\"ankung $\sigma_\alpha|\dot\Delta^n$.
  \item Jede Einschr\"ankung von $\sigma_\alpha$ auf eine Seite von
    $\Delta^n$ ist eine der Abbildungen $\sigma_\beta:\Delta^{n-1}\to
    X$. Hierbei identifizieren wir eine Seite von $\Delta^n$ mit
    $\Delta^{n-1}$ verm\"oge des kanonischen linearen Isomorphismusses
    zwischen ihnen, der die Reihenfolge der Eckpunkte erh\"alt.
  \item Eine Menge $A\subset X$ ist genau dann offen, wenn
    $\sigma_\alpha^{-1}(A)$ f\"ur alle $\sigma_a$ in $\Delta^n$ offen
    ist.
  \end{enumerate}
  $X$ hei\ss{}t \emph{$\Delta$-Komplex}.
  Die Abbildungen $\sigma_\alpha$ werden auch als \emph{charakteristische
  Abbildungen} bezeichnet.
\end{definition}

\begin{remark}
  Die \"ublichen Zerlegungen von Torus oder Kleinscher Flasche mit
  geeigneter Nummerierung der Ecken liefern gerade eine
  $\Delta$-Komplex Struktur. \par
  Die letzte Bedingung schlie\ss{}t Trivialit\"aten aus wie
  beispielsweise, dass wir $X$ als Vereinigung seiner Punkte
  darstellen. \par
  Die letzte Bedingung sichert weiterhin, dass $X$ (bis auf einen
  Hom\"oomorphismus) ein Quotientenraum von einer Familie von
  disjunkten Simplizes $\Delta^n_\alpha$ ist.  Wir nehmen ein Simplex
  $\Delta^n_\alpha$ f\"ur jede Abbildung $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$
  und betrachten den Quotientenraum, indem wir jede Seite von
  $\Delta^n_\alpha$ mit dem Simplex $\Delta^{n-1}_\beta$
  identifizieren, der in der zweiten Bedingung auftaucht,
  $\sigma_\beta$ ist also gerade die Einschr\"ankung von
  $\sigma_\alpha$ auf die entsprechende Seite. \par
  Wir k\"onnen einen $\Delta$-Komplex induktiv aufbauen, indem wir an
  Punkte $1$-Sim\-pli\-zes, $2$-Simplizes, \ldots{} ankleben. Auf
  diese Weise sehen wir, dass wir einen $\Delta$-Komplex rein
  kombinatorisch als Familie von $n$-Simplizes $\Delta^n_\alpha$ f\"ur
  alle $n$ mit Abbildungen von einer Seite eines $n$-Simplizes
  $\Delta^n_\alpha$ auf ein $(n-1)$-Simplex $\Delta^{n-1}_\beta$
  beschreiben k\"onnen. \par
  Nach Definition eines $\Delta$-Komplexes sind diese Abbildungen
  affin linear.
\end{remark}

% Moegliche \"Ubung: Der letzte Abschnitt auf S. 104 (Hatcher) direkt
% vor dem Kapitel \"uber Simpliziale Homologie. Dies benutzt auch den
% Anhang A.2 \"uber CW-Komplexe.

\subsubsection*{Aufgaben}
\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein CW-Komplex. Sei $X_k$ das $k$-Skelett von $X$. Dann
  induziert die Abbildung $i:X_k\hookrightarrow X$ einen
  Gruppenhomomorphismus $i_*:\pi_1(X_k)\to\pi_1(X)$. Zeige, dass $i_*$
  f\"ur $k=1$ surjektiv und f\"ur $k\ge2$ ein Isomorphismus ist.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Zeige, dass die folgenden R\"aume CW-Komplexe sind, bzw.{} eine
  $\Delta$-Komplex Struktur besitzen: $\mathbb T^2$, $\S^2$, die
  Kleinsche Flasche, $\R P^2$. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Zeige, dass es eine stetige surjektive Abbildung $[0,1]\to[0,1]^3$
  gibt und gib ein Beispiel f\"ur solch eine Abbildung an, die kein
  Hom\"oomorphismus ist (oder beweise, dass keine solche Abbildung ein
  Hom\"oomorphismus ist). 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Untersuche, welche der folgenden R\"aume zueinander hom\"oomorph
  bzw.{} hom\"oomorph zu einem Teilraum sind:
  \[\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|}
\subset&\R&\S^1&\S^2&\R^2&\mathbb T^2&\R^3\\\hline\hline
\R&&&&&&\\\hline
\S^1&&&&&&\\\hline
\S^2&&&&&&\\\hline
\R^2&&&&&&\\\hline
\mathbb T^2&&&&&&\\\hline
\R^3&&&&&&\\\hline
\end{array}\]
Einige F\"alle kann man mit dem aktuellen Kenntnisstand noch nicht
behandeln.  
\end{aufgabe}

\Subsection{Simpliziale Homologie}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein $\Delta$-Komplex. Sei $\Delta_n(X)$ die freie abelsche
  Gruppe, die von den offenen $n$-Simplizes
  $e^n_\alpha\equiv\dot\Delta^n_\alpha$ erzeugt wird. Die Elemente von
  $\Delta_n(X)$ hei\ss{}en \emph{$n$-Ketten} und lassen sich als
  \textbf{endliche} formale Summen $\sum\limits_\alpha n_\alpha
  e^n_\alpha$ mit Koeffizienten $n_\alpha\in\Z$ schreiben. Alternativ
  schreibt man auch $\sum\limits_\alpha n_\alpha\sigma_\alpha$, wobei
  $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$ wie in Definition \ref{delta komplex}
  eine charakteristische Abbildung ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  Solch eine Summe $\sum\limits_\alpha n_\alpha\sigma_\alpha$ kann man
  sich als endliche Famile (oder Kette) von $n$-Simplizes in $X$ mit
  ganzzahligen Vielfachheiten $n_\alpha$ vorstellen. \par
  Wollen wir auf Simplizes einen Randoperator einf\"uhren, so wollen
  wir dies so machen, dass sich die Orientierung des Simplizes auf
  seine Seiten vererbt. In niederen Dimensionen erhalten wir 
  \begin{align*}
    \partial[v_0,v_1]=&\,[v_1]-[v_0],\\
\partial[v_0,v_1,v_2]=&\,[v_1,v_2]-[v_0,v_2]+[v_0,v_1],\\
\partial[v_0,v_1,v_2,v_3]=&\,[v_1,v_2,v_3]-[v_0,v_2,v_3]
+[v_0,v_1,v_3]-[v_0,v_1,v_2].
  \end{align*}
  Dies legt die folgende Definition nahe.
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein $\Delta$-Komplex. Wir definieren einen
  \emph{Randoperator} $\partial_n:\Delta_n(X)\to\Delta_{n-1}(X)$ durch
  Festlegung auf Basiselementen
  $\sigma_\alpha\colon\Delta^n\equiv[v_0,\ldots,v_n]\to X$ (und
  linearer Fortsetzung):
  $$\partial_n(\sigma_\alpha)=\sum\limits_i(-1)^i\sigma_\alpha|
  [v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n].$$ (Genauer sollte man keine
  Einschr\"ankung betrachten, sondern mit der affin linearen Abbildung
  vom Standard-$(n-1)$-Simplex nach $[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]$
  komponieren, die die Ecken der Reihenfolge nach aufeinander
  abbildet.) Beachte dabei, dass die rechte Seite in $\Delta_{n-1}(X)$
  liegt, da jede Einschr\"ankung $\sigma_\alpha|[v_0,\ldots,\hat
  v_i,\ldots,v_n]$ eine charakteristische Abbildung eines
  $(n-1)$-Simplizes von $X$ ist.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{dd=0 lem}
F\"ur $\xymatrix@1{\Delta_n(X)\ar[r]^-{\partial_n}&\Delta_{n-1}(X)
\ar[r]^-{\partial_{n-1}}&\Delta_{n-2}(X)}$ gilt
  $\partial_{n-1}\circ\partial_n=0$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt 
\begin{align*}
\partial_n(\sigma)=&\,\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\sigma|
[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]
\intertext{und daher}
\partial_{n-1}\partial_n(\sigma)=&\,\sum\limits_{j<i}(-1)^i(-1)^j
\sigma|[v_0,\ldots,\hat v_j,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]\\
&\,+\sum\limits_{j>i}(-1)^i(-1)^{j-1}\sigma|
[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,\hat v_j,\ldots,v_n].
\end{align*}
Diese beiden Summen stimmen aber bis auf das Vorzeichen \"uberein.
Daher gilt $\partial_{n-1}\partial_n(\sigma)=0$ f\"ur alle $\sigma$ in
einer Basis von $\Delta_n(X)$ und damit folgt die Behauptung aufgrund
der Linearit\"at.
\end{proof}

\begin{definition}
  Seien $C_i:=\Delta_i(X)$ Gruppen wie oben. Wir definieren
  $\partial_0:C_0\to0$ als die Nullabbildung; gegebenenfalls auch
  f\"ur alle negativen Indices. Dann erhalten wir eine Folge von
  Homomorphismen abelscher Gruppen
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&C_{n+1}\ar[r]^-{\partial_{n+1}}&
  C_n\ar[r]^-{\partial_n}&C_{n-1}\ar[r]&\ldots\ar[r]&
  C_1\ar[r]^-{\partial_1}&C_0\ar[r]^-{\partial_0}&0.}$$ Es gilt
$\partial_n\partial_{n+1}=0$ f\"ur alle $n$. Ist eine solche Folge
abelscher Gruppen und eine Folge von Homomorphismen mit
$\partial_n\partial_{n+1}=0$ gegeben, so hei\ss{}t eine solche Folge
von Homomorphismen abelscher Gruppen \emph{Kettenkomplex}. \par
Aus $\partial_n\partial_{n+1}=0$ folgt
$\im\partial_{n+1}\subset\ker\partial_n$. Da die beteiligten Gruppen
abelsch sind, k\"onnen wir den Quotienten bilden. Wir definieren die
$n$-te \emph{Homologiegruppe} des Kettenkomplexes als die
Quotientengruppe $H_n:=\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$. Elemente in
$\ker\partial_n$ hei\ss{}en \emph{Zykel} und Elemente in
$\im\partial_{n+1}$ hei\ss{}en \emph{R\"ander}. Die Nebenklassen von
$\im\partial_{n+1}$ sind die Elemente von $H_n$ und hei\ss{}en
\emph{Homologieklassen}. Zwei Zykel, die dieselbe Homologieklasse
repr\"asentieren, hei\ss{}en \emph{homolog}. Die Differenz zweier
homologer Zykel ist daher ein \emph{Rand}, d.\,h.{} das Bild einer
Kette unter dem Randoperator $\partial$.
\end{definition}

\begin{definition}[Simpliziale Homologie]
  Ist $C_n=\Delta_n(X)$, dann hei\ss{}t der Quotient
  $\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$ die $n$-te \emph{simpliziale
  Homologiegruppe} von $X$ und wird mit $H^\Delta_n(X)$ bezeichnet. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $X=\S^1$ mit einer Ecke $v$ und einer Kante $e$. Dann sind
  $\Delta_0\left(\S^1\right)$ und $\Delta_1\left(\S^1\right)$ beide
  isomorph zu $\Z$ und es gilt $\partial_1(e)=v-v=0$. F\"ur $n\ge2$
  ist $\Delta_n\left(\S^1\right)\cong0$, da in diesen Dimensionen
  keine Simplizes auftreten. Der Kettenkomplex hat damit die Gestalt
  $$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&0\ar[r]&0\ar[r]^-0&{\Z}\ar[r]^-0&
    {\Z}\ar[r]^-0&0.}$$ Es gilt daher
  $$H^\Delta_n\left(\S^1\right)\cong
  \begin{cases}
    \Z&\text{f\"ur }n=0,1,\\
    0&\text{f\"ur }n\ge2.
  \end{cases}$$
  Es gilt allgemein, dass die Homologiegruppen eines Kettenkomplexes
  isomorph zu den Kettengruppen selbst sind, wenn alle Randabbildungen
  $\partial$ verschwinden. 
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
  Sei $X=\mathbb T^2$ der zweidimensionale Torus mit einer
  $\Delta$-Komplex Struktur bestehend aus zwei Dreiecken $U$ und $L$,
  die an einer gemeinsamen Kante $c$ zu einem Quadrat zusammengeklebt
  sind, zwei weiteren Kanten $a$ und $b$, die jeweils geeignet
  identifiziert werden und einer Ecke. Es folgt wie im letzten
  Beispiel, dass $\partial_1=0$ gilt. Somit ist $\im\partial_1=0$ und
  es folgt $H^\Delta_0\left(\mathbb T^2\right)
  \cong\ker\partial_0\cong\Z$. Es gilt
  $\partial_2U=a+b-c=\partial_2L$. Nun ist $\{a,b,a+b-c\}$ eine Basis
  f\"ur $\Delta_1\left(\mathbb T^2\right)$. Daher gilt $H^\Delta_1
  \left(\mathbb T^2\right)\cong\Z\oplus\Z$ und die Homologieklassen
  $[a]$ und $[b]$ bilden eine Basis davon. Da keine $3$-Simplizes
  auftreten, gilt $H^\Delta_2\left(\mathbb T^2\right)
  \cong\ker\partial_2$. Dieser ist isomorph zu $\Z$ und besitzt als
  Basis Elemente der Form $U-L$, denn es gilt $\partial_2(pU+qL)=
  (p+q)(a+b-c)=0$ genau dann, wenn $p=-q$ ist. Wir erhalten also
$$H^\Delta_n\left(\mathbb T^2\right)\cong
\begin{cases}
  \Z\oplus\Z&\text{f\"ur }n=1,\\
\Z&\text{f\"ur }n=0,2,\\
0&\text{f\"ur }n\ge3.
\end{cases}$$
\end{beispiel}

\begin{remark}
  Bisher haben wir uns noch nicht \"uberlegt, ob die Gruppen
  $H^\Delta_n(X)$ von der $\Delta$-Komplex Struktur auf $X$
  abh\"angen. Oder allgemeiner: Haben homotopie\"aquivalente R\"aume
  isomorphe simpliziale Homologiegruppen? Diese Fragen wollen wir mit
  Hilfe der singul\"aren Homologietheorie sp\"ater beantworten. Wir
  werden dazu insbesondere zeigen, dass die simplizialen und die
  singul\"aren Homologiegruppen f\"ur $\Delta$-Komplexe
  \"ubereinstimmen.
\end{remark}

\subsubsection*{Aufgaben}

\begin{aufgabe}\neueZeile
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Seien $\partial_i:C_i\to C_{i-1}$, $i\in\Z$, Homomorphismen
    abelscher Gruppen.  Zeige, dass
    $\partial_n\partial_{n+1}=0\quad\Longleftrightarrow
    \quad\im\partial_{n+1}\subset\ker\partial_n$ ist.
\item Zeige, dass $H_n:=\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$
  wohldefiniert ist.
\item Bestimme die Homologiegruppen zu
  \[\ldots\longrightarrow0\longrightarrow\Z\oplus\Z\longrightarrow0.\]
\item Bestimme die Homologiegruppen zu
\[\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &0\ar[r] &\Z\ar[r]^-{\times 2} &\Z\ar[r] &0,}\] 
wobei in der Mitte die Abbildung $x\mapsto2x$ steht.
\item Bestimme die Homologiegruppen zu
\[\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &0\ar[r] &0\ar[r] &\Z\ar[r]^-{\eins}
  &\Z\ar[r] &0\ar[r]
  &\Z\ar[r]^-{i_1}&\Z\oplus\Z\ar[r]^-{p_2}&\Z\ar[r]&0,}\] 
wobei
\begin{align*}
i_1:\Z\to&\Z\oplus\Z,&p_2:\Z\oplus\Z\to&\Z,\\
x\mapsto&(x,0),&(x,y)\mapsto&y.
\end{align*}
\item Bestimme die Homologiegruppen zu 
  \[\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &0\ar[r] &\Z\ar[r]^-{\eins} &\Z\ar[r]^-0
    &\Z\ar[r]^-\eins &\Z\ar[r]^-0 &\Z\ar[r]^-0 &\Z\ar[r] &0.}\]
\item Untersuche, wann $H_n\cong0$ f\"ur alle $n$ gilt. 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Berechne die simpliziale Homologie der Kleinschen Flasche. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Berechne die simpliziale Homologie der Sph\"are $\S^2$.  Gib f\"ur
  $\S^k$, $k\ge2$, eine $\Delta$-Struktur an und berechne die
  simpliziale Homologie von $\S^k$, (zun\"achst) $H_n(\S^k)$ mit
  $k\le3$ und $H_k(\S^k)$. Die anderen Homologiegruppen sind nicht so
  einfach zug\"anglich.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe in deiner Lieblingsquelle die Definition einer
  freien Gruppe und wie man daraus durch Herausdividieren von
  Relationen eine freie abelsche Gruppe bekommt. Wieso ist die
  Beschreibung \"uber W\"orter und Relationen zu den Beschreibungen
  als formal endliche Summe und als direkte Summe von Kopien von $\Z$
  \"aquivalent. (Dies ist eine Lese- und Verstehaufgabe. Es geht also
  darum, dass du die Aussagen so gut verstehst, dass du sie in der
  \"Ubung vortragen kannst, eine schriftliche Abgabe ist nicht
  n\"otig, eine m\"undliche gegenseitige Probeerkl\"arung aber sehr
  empfohlen.)
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[Finaltopologie, Wiederholung]
  Wiederhole Definition, sowie Ein\-deu\-tig\-keits- und Existenzsatz
  f\"ur die Finaltopologie. Wiederhole ebenso die Definition der
  Quotiententopologie und die Tatsache, dass $A\subset X/\!\!\sim$
  genau dann offen ist, wenn $\pi^{-1}(A)\subset X$ offen ist, wobei
  $\pi:X\to X/\!\!\sim$ die kanonische Projektion ist. Vergleiche dazu
  beispielsweise das Skript zur mengentheoretischen Topologie.
\end{aufgabe}

\Section{Singul\"are Homologie}
\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. Ein \emph{singulares $n$-Simplex} in
  $X$ ist per Definition eine stetige Abbildung $\sigma:\Delta^n\to
  X$. (\glqq Singul\"ar\grqq{} bedeutet hier nur, dass das Bild nicht
  wie ein Simplex aussehen muss.) Sei $C_n(X)$ die freie abelsche
  Gruppe, die als Basis die singul\"aren Simplizes in $X$ besitzt.
  Elemente in $C_n(X)$ hei\ss{}en \emph{(singul\"are) $n$-Ketten} und
  sind endliche formale Summen der Form $\sum\limits_in_i\sigma_i$,
  wobei $n_i\in\Z$ ist und $\sigma_i:\Delta^n \to X$ stetige
  Abbildungen sind. \par
  Mit der gleichen Formel wie bei der simplizialen Homologie
  definieren wir einen Randoperator $\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$:
$$\partial_n(\sigma)=\sum\limits_i(-1)^i\sigma|
[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n].$$ Auch hier identifizieren wir
wieder $[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]$ in kanonischer Weise mit
$\Delta^{n-1}$, wobei wir die Anordnung der Ecken
beibehalten. Verm\"oge dieser Identifikation k\"onnen wir
$\sigma|[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]$ als Abbildung
$\Delta^{n-1}\to X$ betrachten, also als singul\"ares
$(n-1)$-Simplex. \par
Wir schreiben auch $\partial$ statt $\partial_n$ f\"ur die Abbildung
$\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ (genauer: f\"ur die Familie
$(\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-1}(X))_{n\in\N}$ von Abbildungen),
wenn keine Missverst\"andnisse zu bef\"urchten sind. Lemma \ref{dd=0
  lem} bleibt samt Beweis wortw\"ortlich g\"ultig, es gilt also
$\partial_n\partial_{n+1}=0$ oder in Kurzschreibweise
$\partial^2=0$. \par
Daher k\"onnen wir $H_n(X):=\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$ als die
$n$-te \emph{singul\"are Homolopiegruppe} definieren.
\end{definition}

Beide Definitionen haben Vor- und Nachteile, selbst f\"ur
$\Delta$-Komplexe.
\begin{remark}
  Unklar ist, ob $H^\Delta_n$ von Wahl der simplizialen Struktur eines
  topologischen Raumes abh\"angt.\par
  Nach Definition stimmen die singul\"aren Homologiegruppen $H_n$
  f\"ur hom\"oomorphe R\"aume \"uberein. Dies war f\"ur $H^\Delta_n$
  ebenso nicht klar. \par
  F\"ur die Gruppen $H_n$ ist nicht offensichtlich, dass sie f\"ur
  einen konkret gegebenen Raum, wie z.\,B. einen Torus, endlich
  erzeugt sind. Auch ist in diesem Falle nicht klar, dass nur endlich
  viele Gruppen $H_n\not\cong0$ sind.
\end{remark}

% Nicht besprochen: Singul\"arer Komplex (S. 108), der es erlaubt,
% singul\"are Homologie als einen Spezialfall der simplizialen
% Homologie zu betrachten.  Ebenso ausgelassen, geometrische
% Interpretation der singul\"aren Homologie, da dies i.\,a.{} nur
% au\ss{}erhalb von Singularit\"aten funktioniert.

Die singul\"aren Homologiegruppen eines topologischen Raumes $X$ sind
vollst\"andig durch die singul\"aren Homologiegruppen auf den
Wegzusammenhangskomponenten von $X$ bestimmt.
\begin{proposition}\label{weg komp hom prop}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, bestehend aus den
  Wegzusammenhangskomponenten $X_\alpha$. Dann sind $H_n(X)$ und die
  direkte Summe $\bigoplus\limits_\alpha H_n(X_\alpha)$ isomorph.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Das Bild eines Simplizes unter einer stetigen Abbildung ist immer
  wegzusammenh\"angend. Daher ist $C_n(X)\cong\bigoplus\limits_\alpha
  C_n(X_\alpha)$. Die Randabbildung erh\"alt diese Zerlegung als
  direkte Summe, $C_n(X_\alpha)$ wird nach $C_{n-1}(X_\alpha)$
  abgebildet. Daher lassen sich auch $\ker\partial_n$ und
  $\im\partial_{n+1}$ in direkte Summen zerlegen. Dies \"ubertr\"agt
  sich schlie\ss{}lich noch auf die Homologiegruppen und somit folgt
  $H_n(X)\cong\bigoplus\limits_\alpha H_n(X_\alpha)$.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{weg komp H0 prop}
  Sei $X\neq\emptyset$ und wegzusammenh\"angend. Dann gilt
  $H_0(X)\cong\Z$. Daher ist f\"ur jeden Raum $X$ die Gruppe $H_0(X)$
  eine direkte Summe von Kopien von $\Z$ und zwar von einer pro
  Wegzusammenhangskomponente. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Da nach Definition $\partial_0=0$ gilt, folgt
  $H_0(X)=C_0(X)/\im\partial_1$. Wir definieren einen Homomorphismus
  $\epsilon:C_0(X)\to\Z$ durch
  $\epsilon\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right) =\sum\limits_in_i$.
  Ist $X\neq\emptyset$, so ist $\epsilon$ surjektiv. Falls wir zeigen
  k\"onnen, dass $\ker\epsilon=\im\partial_1$ f\"ur einen
  wegzusammenh\"angenden Raum $X$ gilt, so folgt die Behauptung, denn
  dann gilt
  $H_0(X)=C_0(X)/\im\partial_1 =C_0(X)/\ker\epsilon
  \cong\im\epsilon=\Z$ ($\cong$ in dieser Gleichung gilt f\"ur
  beliebige Homomorphismen nach dem Homomorphiesatz).\par
  Wir wollen also $\ker\epsilon=\im\partial_1$ beweisen. Sei
  $\sigma:\Delta^1\to X$ ein singul\"ares $1$-Simplex. Dann gilt
  $\epsilon\partial_1(\sigma)= \epsilon(\sigma|[v_1]-\sigma|[v_0])=
  1-1=0$. Also gilt $\im\partial_1\subset\ker\epsilon$. Sei
  andersherum $\epsilon\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right)=0$, also
  $\sum\limits_in_i=0$. Die singul\"aren $0$-Simplizes
  $\sigma_i:\Delta^0\to X$ k\"onnen wir mit ihren Bildpunkten in $X$
  identifizieren. W\"ahle einen Basispunkt $x_0\in X$.  Sei $\sigma_0$
  das singul\"are $0$-Simplex mit $\im\sigma_0=\{x_0\}$.  W\"ahle
  f\"ur jedes $i$ einen Weg $\tau_i:I\to X$ von $x_0$ nach
  $\sigma_i(v_0)$. (Solche Wege existieren, da $X$ nach Voraussetzung
  wegzusammenh\"angend ist.) Wir k\"onnen jedes $\tau_i$ als ein
  singul\"ares $1$-Simplex $\tau_i:[v_0,v_1]\to X$ auf\/fassen. Es
  gilt $\partial\tau_i=\sigma_i-\sigma_0$, wobei wir hier $\tau_i$ als
  Simplex auf\/fassen. Da nach Voraussetzung $\sum\limits_in_i=0$
  gilt, erhalten wir
  $$\partial\left(\sum\limits_in_i\tau_i\right)
  =\sum\limits_in_i\sigma_i -\sum\limits_in_i\sigma_0
  =\sum\limits_in_i\sigma_i.$$ Daher ist $\sum\limits_in_i\sigma_i$
  ein Rand (Bild unter $\partial_1$) und es folgt
  $\ker\epsilon\subset\im\partial_1$.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{pkt hom prop} 
  Sei $X$ ein Punkt, dann gilt
$$H_n(X)\cong
\begin{cases}
  0&\text{f\"ur }n>0,\\
  \Z&\text{f\"ur }n=0.
\end{cases}$$
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
In diesem Falle gibt es in jeder Dimension nur ein eindeutig
bestimmtes $n$-dimensionales Simplex $\sigma_n$ und es gilt
$\partial(\sigma_n)=\sum\limits_i(-1)^i\sigma_{n-1}$. Da ein
$n$-Simplex $n+1$ Seiten besitzt, treten $n+1$ Summanden
auf. Somit gilt 
$$\partial(\sigma_n)=
\begin{cases}
  0&\text{f\"ur ungerades }n,\\
  \sigma_{n-1}&\text{f\"ur gerades }n\ge2,\\
  0&\text{f\"ur }n=0.
\end{cases}$$
Wir erhalten also den folgenden Kettenkomplex
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&{\Z}\ar[r]^-\cong&{\Z}\ar[r]^-0&{\Z}\ar[r]^-\cong 
&{\Z}\ar[r]^-0 &{\Z}\ar[r]^-0&0.}$$
Daher folgt f\"ur die Homologiegruppen
$$H_n(X)\cong
\begin{cases}
  \Z,&n=0,\\
  0,&\text{sonst.}
\end{cases}$$
\end{proof}

Mit der folgenden Definition von reduzierten Homologiegruppen ist die
Homologie eines Punktes in jeder Dimension trivial.
\begin{definition}
  Wir definieren die \emph{reduzierten Homologiegruppen} $\tilde
  H_n(X)$ als die Homologiegruppen des erweiterten Kettenkomplexes
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &C_2(X)\ar[r]^-{\partial_2} 
  &C_1(X)\ar[r]^-{\partial_1} &C_0(X)\ar[r]^-{\epsilon}&\Z\ar[r]&0,}$$
wobei $\epsilon\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right)=\sum\limits_in_i$
wie im Beweis von Proposition \ref{weg komp H0 prop} ist. Wir wollen
annehmen, dass $X\neq\emptyset$ ist, damit wir keine nichttriviale
Homologiegruppe in Dimension $-1$ erhalten.
\end{definition}

\begin{remark}\label{reduz hom rem}
  Es gilt $\epsilon\partial_1=0$, $\epsilon$ verschwindet also auf
  $\im\partial_1$ und somit induziert $\epsilon$ eine Abbildung
  $H_0(X)\to\Z$. Nach Definition von $\tilde H_0(X)$ ist $\tilde
  H_0(X)$ gerade der Kern der von $\epsilon$ induzierten Abbildung. Da
  $\epsilon$ f\"ur $X\neq\emptyset$ surjektiv ist, d.\,h.\
  $\im\epsilon=\Z$ gilt, folgt $H_0(X)\cong\tilde H_0(X)\oplus\Z$.
  Nach Definition der reduzierten Homologiegruppen ist klar, dass
  $H_n(X)\cong\tilde H_n(X)$ f\"ur $n>0$ gilt. \par
  Formal erh\"alt man das $\Z$ im erweiterten Kettenkomplex als die
  von der eindeutig bestimmten Abbildung $[\emptyset]\to X$ erzeugte
  Gruppe, wobei $[\emptyset]$ der leere Simplex ohne Ecken ist. Dann
  ist $\epsilon$ gerade der \"ubliche Randoperator, denn es gilt
  $\partial[v_0]=[\hat v_0]=[\emptyset]$.
\end{remark}

\subsubsection*{Aufgaben}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe \cite[Theorem 2A.1]{Hatcher}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Seien $X$ und $Y$ hom\"oomorphe topologische R\"aume. Dann gilt
  $$H_n(X)\cong H_n(Y)$$ f\"ur alle $n$. 
\end{aufgabe}

\Section{Homotopieinvarianz}
Wir wollen zeigen, dass homotopie\"aquivalente R\"aume isomorphe
Homologiegruppen haben. Dazu zeigen wir zun\"achst, dass eine
Abbildung $f:X\to Y$ einen Homomorphismus $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ f\"ur
alle $n$ erzeugt und dass $f_*$ ein Isomorphismus ist, wenn $f$ eine
Homotopie\"aquivalenz ist. 

\begin{definition}
  Sei $f:X\to Y$ stetig. Dann induziert $f$ eine Abbildung
  $f_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)$ verm\"oge
  $f_\sharp(\sigma)=f\circ\sigma: \Delta^n\to Y$ f\"ur singul\"are
  $n$-Simplizes $\sigma:\Delta^n\to X$. (Genauer m\"usste man
  eigentlich von unterschiedlichen Abbildungen sprechen, etwa
  $f^n_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)$. Wie bei den Randabbildungen
  verzichten wir aber auch hier auf diesen Index.) Wir setzen
  $f_\sharp$ linear fort:
  $$f_\sharp\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right)
  =\sum\limits_in_if_\sharp(\sigma_i)
  =\sum\limits_in_i(f\circ\sigma_i).$$ 
\end{definition}

\begin{remark}\label{sharp partial vertauschen}
Die Abbildungen $f_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)$ erf\"ullen
$f_\sharp\circ\partial=\partial\circ f_\sharp$, denn es gilt
\begin{align*}
  f_\sharp\partial(\sigma)=&\,f_\sharp\left(\sum\limits_i(-1)^i
\sigma|[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]\right)\\
=&\,\sum\limits_i(-1)^i(f\circ\sigma)|[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]\\
=&\,\partial f_\sharp(\sigma).
\end{align*}
\end{remark}

\begin{definition}
  Wir nennen ein Diagramm von Abbildungen ein \emph{kommutatives
    Diagramm}, wenn man Elemente eines Objektes mit Hilfe der
  gegebenen Pfeile (Abbildungen) auf ein anderes Objekt abbildet und
  dabei das Ergebnis unabh\"angig von der gew\"ahlten (endlichen)
  Folge von Pfeilen ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  Nach Bemerkung \ref{sharp partial vertauschen} ist das folgende
  Diagramm also kommutativ
$$\xymatrix{\ldots\ar[r]&C_{n+1}(X)\ar[r]^-\partial
  \ar[d]^{f_\sharp}&C_n(X)\ar[r]^-\partial\ar[d]^{f_\sharp}
  &C_{n-1}(X)\ar[r]\ar[d]^{f_\sharp}&\ldots\\
  \ldots\ar[r]&C_{n+1}(Y)\ar[r]^-\partial&C_n(Y)\ar[r]^-\partial
  &C_{n-1}(Y)\ar[r]&\ldots\,,}$$
was in diesem Falle \"aquivalent zu $f_\sharp\partial=\partial
f_\sharp$ ist. 
\end{remark}

Die folgende Definition und das nachfolgende Lemma sind rein
algebraisch. 
\begin{definition}\label{abb von ketten kompl def}
  Seien $((C_n),(\partial_n))$ und $((K_n),(d_n))$
  Kettenkomplexe. Dann ist eine Familie von Gruppenhomomorphismen
  $(f_n)$ mit $f_n:C_n\to K_n$ eine \emph{Abbildung
    von Kettenkomplexen} oder \emph{Kettenabbildung}, falls
  $f_{n-1}\partial_n=d_nf_n$ f\"ur jedes $n$ gilt.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{ketten abb induz homolgr}
  Sei $f$ eine Abbildung von Kettenkomplexen. Dann induziert $f$ einen
  Homomorphismus zwischen den Homologiegruppen der beiden Kettenkomplexe.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha$ in $\ker\partial$. Dann ist auch
  $f\alpha\in\ker\partial$, denn es gilt $\partial f\alpha
  =f\partial\alpha=f(0)=0$. Zwei Repr\"asentanten einer
  Homologieklasse unterscheiden sich um einen Rand $\partial\beta$.
  Daher ist nachzuweisen, dass $f\partial\beta$ wieder ein Rand ist.
  Dies folgt aber ebenso aus $f\partial=\partial f$.
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Seien $X$ und $Y$ topologische R\"aume und $f:X\to Y$ eine stetige
  Abbildung. Dann ist $f_\sharp$ nach Bemerkung \ref{sharp partial
    vertauschen} eine Abbildung von Kettenkomplexen. Nach Lemma
  \ref{ketten abb induz homolgr} induziert $f_\sharp$ nun eine
  Abbildung $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$.
\end{beispiel}

Das folgende Lemma zeigt, dass es sich beim \"Ubergang zu den
induzierten Abbildungen zwischen Homologiegruppen um einen Funktor
handelt.
\begin{lemma}\label{funktor homotopiegr}
  Seien $X$, $Y$ und $Z$ topologische R\"aume, $g:X\to Y$ und $f:Y\to
  Z$ stetige Abbildungen, $\xymatrix@1{X\ar[r]^g&Y\ar[r]^f&Z}$. Seien
  $\eins:X\to X$ und $\eins:H_n(X)\to H_n(X)$ die jeweiligen
  Identit\"aten. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $(fg)_*=f_*g_*$.
  \item $\eins_*=\eins$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis]
  Die erste Behauptung folgt aus der Assoziativit\"at bei der
  Komposition $$\xymatrix@1{\Delta^n\ar[r]^\sigma &X\ar[r]^g &Y\ar[r]^f
    &Z}.$$ Der zweite Teil ist offensichtlich.
\end{proof}

Der Hauptsatz dieses Abschnittes ist
\begin{theorem}\label{homotop isomorph homotopiegr}
  Seien $f$, $g:X\to Y$ zwei homotope Abbildungen, dann gilt $f_*=g_*$
  f\"ur die induzierten Homomorphismen $f_*$, $g_*:H_n(X)\to H_n(Y)$.
\end{theorem}

Hieraus folgt wegen Lemma \ref{funktor homotopiegr} 
\begin{corollary}\label{Homot aequiv iso cor}
  Seien $X$, $Y$ topologische R\"aume und $f:X\to Y$ eine
  Homotopie\"aquivalenz. Dann sind die Abbildungen $f_*:H_n(X)\to
  H_n(Y)$ f\"ur alle $n$ Isomorphismen.\par
  Ist $X$ kontrahierbar, so gilt $\tilde H_n(X)\cong0$. 
\end{corollary}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{homotop isomorph homotopiegr}]
  Wir unterteilen f\"ur den Beweis $\Delta^n\times I$ in
  $(n+1)$-Simplizes. Seien $\Delta^n\times\{0\}=[v_0,\ldots,v_n]$ und
  $\Delta^n\times\{1\}=[w_0,\ldots,w_n]$. Hierbei w\"ahlen wir die
  Ecken $v_i$ und $w_i$ so, dass $v_i$ und $w_i$ unter der
  Projektionsabbildung $\Delta^n\times I\to\Delta^n$ dasselbe Bild
  haben. Wir betrachten nun eine Folge von Simplizes der Form
  $[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$. Der $n$-Simplex
  $[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$ ist der Graph der Funktion
  $\phi_i:\Delta^n\to I$, wobei $\phi_i$ in
  baryzentrischen Koordinaten durch
  $$\phi_i(t_0,\ldots,t_n)=t_{i+1}+\ldots+t_n$$ gegeben ist. Die Ecken
  des Simplizes $[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$ sind n\"amlich
  im Graph enthalten, die Funktion $\phi_i$ ist affin linear und unter
  der Projektionsabbildung $\Delta^n\times I\to\Delta^n$ wird
  $[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$ hom\"oomorph auf $\Delta^n$
  abgebildet. Da $\phi_i\le\phi_{i-1}$ ist, liegt $\graph\phi_i$ unter
  $\graph\phi_{i-1}$. Dazwischen liegt ein $(n+1)$-Simplex
  $[v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]$, da
  $w_i\not\in[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$. Entsprechend der
  Ungleichungskette
  $0=\phi_n\le\phi_{n-1}\le\ldots\le\phi_0\le\phi_{-1}=1$ sehen wir,
  dass $\Delta^n\times I$ die Vereinigung der $(n+1)$-Simplizes
  $[v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]$ ist, wobei aufeinanderfolgende
  Simplizes jeweils ein $n$-Simplex als gemeinsame Seite haben. \par
  Sei nun $F:X\times I\to Y$ eine Homotopie von $f$ zu $g$. Wir wollen
  zeigen, dass $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ und $g_*:H_n(X)\to H_n(Y)$
  \"ubereinstimmen. Definiere einen \emph{Prismenoperator}
  $P:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)$ durch
$$P(\sigma)=\sum\limits_i(-1)^iF\circ(\sigma\times\eins)|
[v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]$$ f\"ur $\sigma:\Delta^n\to
X$. ($F\circ(\sigma\times\eins)$ ist hierbei die Komposition
$\Delta^n\times I\to X\times I\to Y$.) Der Prismenoperator erf\"ullt
die Identit\"at
\begin{equation}\label{prisma eqn}
\partial P=g_\sharp-f_\sharp-P\partial.
\end{equation}
Dies kann man geometrisch (auf der linken Seite) als Rand des Prismas
und (auf der rechten Seite) als Oberseite $\Delta^n\times\{1\}$,
Unterseite $\Delta^n\times\{0\}$ und Seiten $\partial\Delta^n\times I$
des Prismas verstehen. Zum Beweis von \eqref{prisma eqn} berechnen wir
\begin{align*}
  \partial P(\sigma)=&\,\sum\limits_{j\le
    i}(-1)^i(-1)^jF\circ(\sigma\times\eins)| [v_0,\ldots,\hat
  v_j,\ldots, v_i, w_i,\ldots,w_n]\\
  &\,+\sum\limits_{j\ge i}(-1)^i(-1)^{j+1}F\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,\hat w_j,\ldots,w_n]\umbruch\\
  =&\,\sum\limits_{j<i}(-1)^i(-1)^jF\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,\hat
  v_j,\ldots, v_i, w_i,\ldots,w_n]\\
  &\,+\sum\limits_{j>i}(-1)^i(-1)^{j+1}F\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,\hat w_j,\ldots,w_n]\\
  &\,+F\circ(\sigma\times\eins)|[\hat v_0,w_0,\ldots,w_n]\\
  &\,-F\circ(\sigma\times\eins)|[v_0,\ldots,v_n,\hat w_n]\umbruch\\
  =&\,-\sum\limits_{i>j}(-1)^{i-1}(-1)^{j}F\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,\hat v_j,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]\\
  &\,-\sum\limits_{i<j}(-1)^i(-1)^jF\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,v_i, w_i,\ldots,\hat w_j,\ldots,w_n]\\
  &\,+F\circ(\sigma\times\eins)|[\hat v_0,w_0,\ldots,w_n]
  -F\circ(\sigma\times\eins)|[v_0,\ldots,v_n,\hat w_n]\umbruch\\
  =&\,-P\partial(\sigma)
  +g\circ\sigma-f\circ\sigma\\
  =&\,-P\partial(\sigma)+g_\sharp(\sigma)-f_\sharp(\sigma).
\end{align*}
In dieser letzten Rechnung haben wir folgendes benutzt: Die Terme mit
$i=j$ bilden eine Teleskopsumme, von der nur die \"au\ss{}ersten
beiden Terme \"ubrigbleiben. Auf der zu den $w_i$'s geh\"orenden
Oberseite ist $F$ gerade $g$ und auf der zu den $v_i$'s geh\"orenden
Unterseite gerade $f$. Die Summen \"uber $j$ ergeben am Ende gerade
den Randoperator. \par
Wir benutzen nun \eqref{prisma eqn} um zu zeigen, dass $f_*=g_*$ gilt.
Sei $\alpha\in C_n(X)$ ein Zykel, also $\partial\alpha=0$. Dann gilt
$g_\sharp(\alpha)-f_\sharp(\alpha)=\partial P(\alpha)
+P\partial(\alpha) =\partial P(\alpha)$. Also ist
$g_\sharp(\alpha)-f_\sharp(\alpha)$ ein Rand (n\"amlich von
$P(\alpha)$). Damit sind $f_\sharp(\alpha)$ und $g_\sharp(\alpha)$
Repr\"asentanten derselben Homologieklasse und somit ist
$f_*([\alpha])=g_*([\alpha])$ ($[\alpha]$ ist die Homologieklasse von
$\alpha$).
\end{proof}

Der letzte Teil des Beweises legt die folgende algebraische
Proposition, Proposition \ref{ketten hom isom prop}, nahe. Den Beweis
dazu erhalten wir direkt aus den obigen \"Uberlegungen. F\"ur die
Formulierung der Proposition ben\"otigen wir die folgende
\begin{definition}
  Seien $A$, $B$ Kettenkomplexe. Seien $f_n:A_n\to B_n$ und
  $g_n:A_n\to B_n$ Kettenabbildungen. Ein Operator $P_n:A_n\to
  B_{n+1}$ hei\ss{}t \emph{Kettenhomotopie} zwischen den Abbildungen
  $f$ und $g$, falls er ein Gruppenhomomorphismus ist und falls
  $\partial P+P\partial=g-f$ (genauer:
  $\partial^B_{n+1}P_n+P_{n-1}\partial^A_n=g_n-f_n$) gilt.
  $$\xymatrix{\ldots\ar[rr]^{\partial}
    &&A_{n+1}\ar[rr]^{\partial^A_{n+1}}\ar@<2.5pt>[dd]^{f_{n+1}}
    \ar@<-2.5pt>[dd]_{g_{n+1}}\ar[ddll]_P
    &&A_n\ar[rr]^{\partial^A_n}\ar@<2.5pt>[dd]^{f_n}
    \ar@<-2.5pt>[dd]_{g_n}\ar[ddll]_{P_{n}}
    &&A_{n-1}\ar[rr]^{\partial}\ar@<2.5pt>[dd]^{f_{n-1}}
    \ar@<-2.5pt>[dd]_{g_{n-1}}\ar[ddll]_{P_{n-1}}
    &&\ldots\ar[ddll]_P\\ \\
    \ldots\ar[rr]_\partial &&B_{n+1}\ar[rr]_{\partial^B_{n+1}}
    &&B_n\ar[rr]_{\partial^B_n} &&B_{n-1}\ar[rr]_\partial
    &&\ldots\,.}$$ 
\end{definition}

\begin{proposition}\label{ketten hom isom prop}
  Kettenhomotope Kettenabbildungen induzieren dieselben Homomorphismen
  zwischen den zugeh\"origen Homologiegruppen. 
\end{proposition}

\subsubsection*{Aufgaben}
\begin{aufgabe}
  Beweise das F\"unferlemma. Zusatz: Wie kann man die Voraussetzungen
  an die vertikalen Pfeile abschw\"achen?
\end{aufgabe}

\begin{lemma}[F\"unferlemma]
Sei 
\[\xymatrix{A\ar[r]^-i\ar[d]^-\alpha&B\ar[r]^-j\ar[d]^-\beta
&C\ar[r]^-k\ar[d]^-\gamma&D\ar[r]^-l\ar[d]^-\delta
&E\ar[d]^-\epsilon\\
A'\ar[r]^-{i'}&B'\ar[r]^-{j'}&C'\ar[r]^-{k'}
&D'\ar[r]^-{l'}&E'}
\]
ein kommutatives Diagramm abelscher Gruppen mit exakten Zeilen. Sind
die Homomorphismen $\alpha,\,\beta,\,\delta$ und $\epsilon$
Isomorphismen, so ist auch $\gamma$ ein Isomorphismus.
\end{lemma}

\begin{aufgabe}
  Zeige dass die Kettenhomotopie von Kettenabbildungen eine
  \"Aquivalenzrelation liefert. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $f\simeq g$ f\"ur Abbildungen $f,\,g:X\to Y$. Zeige, dass
  $f_*,\,g_*:\tilde H_n(X)\to\tilde H_n(Y)$ f\"ur alle $n$
  \"ubereinstimmen, $f_*=g_*$. 
\end{aufgabe}
% Details dazu fuer reduzierte Homologiegruppen als Uebung,
% vgl. S. 113, direkt vor dem neuen Kapitel.

\begin{aufgabe}
  Sei $A\to B\to C\to D\to E$ eine exakte Sequenz. Zeige, dass genau
  dann $C\cong 0$ ist, wenn $A\to B$ surjektiv und $D\to E$ injektiv
  sind.\par
  Sei $(X,A)$ ein Paar topologischer R\"aume. Zeige, dass die
  Inklusionsabbildung $A\hookrightarrow X$ genau dann f\"ur alle $n$
  einen Isomorphismus $H_n(A)\to H_n(X)$ induziert, wenn
  $H_n(X,A)\cong0$ f\"ur alle $n$ gilt.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Zeige, dass die simplizialen Homologiegruppen $H^\Delta_n$ von
  $\S^1\times\S^1$ und $\S^1\vee\S^1\vee\S^2$ in jeder Dimension
  isomorph sind. Zeige weiterhin, dass diese beiden R\"aume jedoch
  nicht hom\"oomorph und sogar nicht homotopie\"aquivalent sind.
\end{aufgabe}

\Section{Exakte Sequenzen und Ausschneidungen}
Naiv k\"onnte man hoffen, dass f\"ur $A\subset X$ auch $H_n(A)\subset
H_n(X)$ bis auf Isomorphie gilt. Dies kann nicht richtig sein, denn
jeder Raum $X$ ist im Kegel \"uber $X$, $\mathcal CX:=(X\times
I)/(X\times\{0\})$, enthalten und jeder solche Kegel ist
kontrahierbar. \par
Stattdessen bekommen wir f\"ur $A\subset X$ Beziehungen zwischen den
Gruppen $H_n(X)$, $H_n(A)$ und $H_n(X/A)$. 

\begin{definition}
  Sei $$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&A_{n+1}\ar[r]^-{\alpha_{n+1}}
    &A_n\ar[r]^-{\alpha_n}&A_{n-1}\ar[r]&\ldots}$$ eine Folge von
  Gruppen und (Gruppen-)Homomorphismen. Dann hei\ss{}t diese Folge
  (oder Sequenz) exakt, falls $\ker\alpha_n=\im\alpha_{n+1}$ gilt.
  (Zun\"achst ist $\im\alpha_{n+1}\subset\ker\alpha_n$
  \"aquivalent zu $\alpha_n\alpha_{n+1}=0$. Diese Bedingung kennen wir
  schon von Kettenkomplexen. Die Bedingung
  $\ker\alpha_n\subset\im\alpha_{n+1}$ besagt gerade dass die
  Homologiegruppen dieses Kettenkomplexes trivial sind.)
\end{definition}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\xymatrix@1{0\ar[r]&A\ar[r]^\alpha&B}$ ist genau dann exakt,
    wenn $\ker\alpha=0$, wenn also $\alpha$ injektiv ist.
  \item $\xymatrix@1{A\ar[r]^\alpha&B\ar[r]&0}$ ist genau dann exakt,
    wenn $\im\alpha=B$ gilt, wenn also $\alpha$ surjektiv ist.
  \item $\xymatrix@1{0\ar[r]&A\ar[r]^\alpha&B\ar[r]&0}$ ist nach den
    vorhergehenden \"Uberlegungen genau dann exakt, wenn $\alpha$ ein
    Isomorphismus ist.
  \item $\xymatrix@1{0\ar[r]&A\ar[r]^\alpha&B\ar[r]^\beta&C\ar[r]&0}$
    ist genau dann exakt, wenn $\alpha$ injektiv und $\beta$ surjektiv
    sind und wenn $\ker\beta=\im\alpha$ gilt. Also ist
    $\im\alpha=\ker\beta$ ein Normalteiler und $\beta$ induziert einen
    Isomorphismus $C\cong B/\im\alpha$ und wenn wir $A$ mit $\im\alpha$
    identifizieren, erhalten wir $C\cong B/A$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}
  Ist $0\to A\to B\to C\to 0$ exakt, so hei\ss{}t dies eine
  \emph{kurze exakte Sequenz}.
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $A\subset X$ abgeschlossen und
  besitze $A$ eine Umgebung $U$, so dass $A$ Deformationsretrakt
  von $U$ ist. Dann hei\ss{}t $(X,A)$ ein \emph{gutes Paar}.
\end{definition}

\begin{example}
  Ein Teilkomplex $A$ eines CW-Komplexes $X$ ist eine Vereinigung von
  Zellen von $X$, so dass mit jeder Zelle auch deren Abschluss in $A$
  enthalten ist. \"Aquivalent ist ein Teilkomplex $A$ eine
  abgeschlossene Teilmenge von $X$, die die Vereinigung von Zellen in
  $X$ ist. \par Sei $X$ ein CW-Komplex und $A$ ein nichtleerer
  Teilkomplex. Dann ist $(X,A)$ ein gutes Paar.
\end{example}
\begin{proof}[Beweis]
  \cite[Proposition A.5]{Hatcher}.
\end{proof}


\begin{theorem}\label{lange exakte hom seq}
  Sei $(X,A)$ ein gutes Paar. Sei $i:A\hookrightarrow X$ die
  Inklusionsabbildung und $j:X\to X/A$ die Projektionsabbildung. Dann
  gibt es eine Abbildung (Homomorphismus) $\partial:\tilde
  H_n(X/A)\to\tilde H_{n-1}(A)$ (f\"ur jedes $n$), so dass die Sequenz
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]
&\tilde H_n(A)\ar[r]^-{i_*}
&\tilde H_n(X)\ar[r]^-{j_*}
&\tilde H_n(X/A)\ar[r]^-\partial
&\tilde H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}
&}$$
$$\xymatrix@1{&&&
\ar[r]^-{i_*}&\tilde H_{n-1}(X)\ar[r]
&\ldots
&\ldots\ar[r]
&\tilde H_0(X/A)\ar[r]
&0}$$
exakt ist. Die Sequenz hei\ss{}t \emph{lange exakte Homologiesequenz}.
\end{theorem}

\begin{remark}
  Den Beweis werden wir sp\"ater im Zusammenhang mit relativen
  Homologiegruppen f\"uhren und in Proposition \ref{lange ex hom seq
    bew prop} beenden.\par
  Wir werden die Abbildung $\partial$ im Beweis konstruieren. Die
  zugrunde liegende Idee dabei ist, dass $x\in\tilde H_n(X/A)$ sich
  als Kette $\alpha$ in $X$ darstellen l\"asst, so dass
  $\partial\alpha$ ein Zykel in $A$ ist, dessen Homologieklasse
  $\partial x\in\tilde H_{n-1}(A)$ ist.
\end{remark}

\begin{corollary}\label{Sn homol cor}
  Es gilt
\[\tilde H_i\left(\S^n\right)\cong
\begin{cases}
  \Z,&i=n,\\
  0,&i\neq n.
\end{cases}
\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei zun\"achst $n>0$. Sei $(X,A)=\left(D^n,\S^{n-1}\right)$. Dann
  ist $(X,A)$ ein gutes Paar und $X/A$ ist hom\"oomorph zu $\S^n$. Es
  gilt $\tilde H_i\left(D^n\right)\cong0$, da $D^n$ kontrahierbar
  ist. Dann liefert die Exaktheit aus Theorem \ref{lange exakte hom
    seq}, dass die Abbildungen $\partial:\tilde
  H_i\left(\S^n\right)\to\tilde H_{i-1}\left(\S^{n-1}\right)$ f\"ur
  $i>0$ Isomorphismen sind. Im Falle $i=0$ ist $\tilde
  H_0\left(\S^n\right)\cong0$. \par
  Im Falle $n=0$ folgt das Korollar aus Proposition \ref{weg komp hom
    prop}, Proposition \ref{pkt hom prop} und Bemerkung \ref{reduz hom
    rem}. \par
  Aus den obigen \"Uberlegungen folgt damit die Behauptung f\"ur alle
  $n\in\N$ per Induktion nach $n$.
\end{proof}

Wir erhalten die folgende Anwendung, die wir zweidimensional 
aus $\pi_1\left(\S^1\right)\cong\Z$ gefolgert hatten.
\begin{corollary}[Brouwerscher Fixpunktsatz] F\"ur $n\ge1$ ist der
  Rand $\partial D^n$ kein Retrakt von $D^n$. Daher besitzt jede
  stetige Abbildung $f:D^n\to D^n$ einen Fixpunkt.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $r:D^n\to\partial D^n=\S^{n-1}$ eine Retraktion. Sei $i:\partial
D^n\to D^n$ die Inklusion. Dann gilt $ri=\eins$ auf $\S^{n-1}$. Also
ist die Verkn\"upfung 
$$\xymatrix@1{\tilde H_{n-1}\left(\partial D^n\right)\ar[r]^-{i_*}&
  \tilde H_{n-1}\left(D^n\right)\ar[r]^-{r_*}&\tilde
  H_{n-1}\left(\partial D^n\right)}$$ die Identit\"at. Da aber $\tilde
H_{n-1}\left(D^n\right)\cong0$ ist, sind $i_*$ und $r_*$ die
Nullabbildungen. Weil $\tilde H_{n-1}\left(\partial D^n\right)=\tilde
H_{n-1}\left(\S^{n-1}\right)\cong\Z$ ist, kann die Nullabbildung nicht
die Identit\"at sein. Widerspruch. Somit gibt es keine stetige
Retraktion $r:D^n\to\partial D^n$. \par
(Wir gehen nun wortw\"ortlich wie im letzten Semester vor, ersetzen
aber $2$ durch $n$:) Falls es eine Abbildung $f:D^n\to D^n$ gibt, die
keinen Fixpunkt besitzt, definieren wir eine stetige Retraktion von
$D^n$ nach $\S^{n-1}$, \dh eine stetige Abbildung $r:D^n\to\S^{n-1}$,
so dass $r|_{\S^{n-1}}$ die Identit\"at ist.  Sei $x\in D^n$.
Definiere $r(x)$ als den Punkt, in dem eine Halbgerade, die in $f(x)$
startet und durch $x$ geht, den Rand $\partial D^n=\S^{n-1}$
schneidet. Aufgrund der Stetigkeit von $f$ und der Fixpunktfreiheit
ist dies eine stetige Abbildung $D^n\to\S^{n-1}$. Nach Definition ist
auch klar, dass $r$ eine Retraktion ist.\par
Wir erhalten also einen Widerspruch, da wir oben gesehen hatten, dass
es keine Retraktion $r:D^n\to\S^{n-1}$ geben kann. 
\end{proof}

\Subsection{Relative Homologiegruppen}
\begin{definition}\label{rel hom gr def}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$. Sei
  $C_n(X,A):=C_n(X)/C_n(A)$. (Ketten in $A$ sind also in $C_n(X,A)$
  trivial.) Der Randoperator $\partial:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ bildet
  $C_n(A)$ nach $C_{n-1}(A)$ ab. Daher induziert $\partial$ auch auf
  den Quotientenr\"aumen einen Randoperator $\partial:C_n(X,A)\to
  C_{n-1}(X,A)$, \dh ist dort wohldefiniert. Wir erhalten also eine Folge
  von Abbildungen
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&C_n(X,A)\ar[r]^-\partial
&C_{n-1}(X,A)\ar[r]&\ldots\,.}$$
Diese erf\"ullen $\partial^2=0$, denn dies gilt bereits, bevor man zu
den Quotientengruppen \"ubergeht. Wir erhalten also einen
Kettenkomplex. Definiere die \emph{relativen Homologiegruppen}
$H_n(X,A)$ durch $H_n(X,A):=\ker\partial/\im\partial$. 
\end{definition}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Repr\"asentanten von Elementen in $H_n(X,A)$ hei\ss{}en
    \emph{relative Zykel} und sind repr\"asentiert durch $n$-Ketten
    $\alpha\in C_n(X)$, so dass $\partial\alpha\in C_{n-1}(A)$ ist.
  \item Ein relativer Zykel repr\"asentiert durch $\alpha$ ist in
    $H_n(X,A)$ genau dann trivial, wenn er ein \emph{relativer Rand}
    ist: $\alpha=\partial\beta+\gamma$ mit $\beta\in C_{n+1}(X)$ und
    $\gamma\in C_n(A)$. (Dies folgt, da in $H_n(X,A)$ aus $C_n(X)$
    gerade die Gruppen $\im\partial_{n+1}$ und $C_n(A)$
    herausdividiert werden.)
  \item Dies beschreibt gerade, dass $H_n(X,A)$ die \glqq Homologie
    von $X$ modulo $A$\grqq{} ist.
  \item $C_n(X)/C_n(A)$ ist (bis auf Isomorphie) auch eine Untergruppe
    von $C_n(X)$, mit den singul\"aren Simplizes $\sigma:\Delta^n\to
    X$ als Basis, deren Bild nicht vollst\"andig in $A$ liegt. (Sie
    l\"asst sich als Untergruppe auffassen, da ihre Erzeuger als
    Teilmenge der Erzeuger von $C_n(X)$ gew\"ahlt werden k\"onnen.) Da
    diese Untergruppe jedoch nicht unter $\partial$ abgeschlossen ist
    (betrachte Simplizes, deren Bild teilweise in $A$ liegt),
    betrachten wir die Quotientengruppe $C_n(X)/C_n(A)$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}\label{paare lange ex seq}
Sei $(X,A)$ ein Paar topologischer R\"aume. Dann gibt es eine lange
exakte Sequenz der Form 
\begin{align*}
\ldots&\to H_n(A)\to H_n(X)\to H_n(X,A)\to\\
\to&H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(X)\to H_{n-1}(X,A)\to\\
\to&\ldots\to H_0(X,A)\to0.
\end{align*}  
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $i:C_n(A)\to C_n(X)$ die von der Inklusion $A\hookrightarrow X$
  induzierte Abbildung und $j:C_n(X)\to C_n(X,A)$ die
  Projektionsabbildung. Dann kommutiert das folgende Diagramm (mit
  exakten Zeilen)
$$\xymatrix{0\ar[r]&C_n(A)\ar[r]^-i\ar[d]^\partial
&C_n(X)\ar[r]^-j\ar[d]^\partial
&C_n(X,A)\ar[r]\ar[d]^\partial
&0\\
0\ar[r]&C_{n-1}(A)\ar[r]^-i
&C_{n-1}(X)\ar[r]^-j
&C_{n-1}(X,A)\ar[r]&0}$$
nach Definiton der Abbildungen $\partial$, bzw.{} nach Bemerkung
\ref{sharp partial vertauschen} und Definition \ref{rel hom gr def}. 
Die Behauptung folgt nun aus dem (rein algebraischen) Theorem \ref{alg
  lange ex hom seq thm}. Wir verwenden dabei die rotierte Form des
obigen kommutativen Diagramms. 
\end{proof}

\begin{definition}\label{ku ex seq ketten komp def}
  Eine \emph{kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen} 
$$0\to A\to B\to C\to0$$ ist ein kommutatives Diagramm der Form
\[\xymatrix{&0\ar[d]&0\ar[d]&0\ar[d]&\\
\ldots\ar[r]^-\partial&A_{n+1}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-i
&A_{n}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-i
&A_{n-1}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-i&\ldots\\
\ldots\ar[r]^-\partial&B_{n+1}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-j
&B_{n}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-j
&B_{n-1}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-j&\ldots\\
\ldots\ar[r]^-\partial&C_{n+1}\ar[r]^-\partial\ar[d]
&C_{n}\ar[r]^-\partial\ar[d]
&C_{n-1}\ar[r]^-\partial\ar[d]&\ldots\\
&0&0&0&}\]
in dem die Zeilen Kettenkomplexe und die Spalten kurze exakte
Sequenzen sind. (Die Abbildungen $i$ und $j$ sind hier Abbildungen
von Kettenkomplexen wie in Definition \ref{abb von ketten kompl def}.)
\end{definition}

\begin{theorem}\label{alg lange ex hom seq thm}
  Sei $0\to A\to B\to C\to 0$ eine kurze exakte Sequenz von
  Kettenkomplexen mit Bezeichnungen wie in Definition \ref{ku ex seq
    ketten komp def}. Seien $H_n(\cdot):=\ker\partial/\im\partial$ wie
  \"ublich f\"ur $\cdot=A,\,B,\,C$ die zugeh\"origen Homologiegruppen.
  Dann gibt es eine Abbildung $\partial:H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ f\"ur
  alle $n$, so dass
\begin{align*}
&\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&H_n(A)\ar[r]^-{i_*}&H_n(B)\ar[r]^-{j_*}
&H_n(C)\ar[r]^-\partial&}\\
&\xymatrix@1{\ar[r]^-\partial&H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}&H_{n-1}(B)
\ar[r]^-{j_*}&H_{n-1}(C)\ar[r]&\ldots}
\end{align*}
eine lange exakte Sequenz von Homologiegruppen ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst einmal konstruieren wir die Abbildung $\partial$.  (Dann
  werden wir die Exaktheit der Sequenz beweisen.) \par
  Die Randabbildung $\partial$ soll eine Abbildung $\partial:H_n(C)\to
  H_{n-1}(A)$ sein. Sei also $c\in C_n$ ein Zykel.  Da $j$ surjektiv
  ist, gibt es ein $b\in B_n$ mit $c=j(b)$. (Beachte, dass es hier
  zun\"achst einmal nur darum geht, dem Element $c\in C_n$ ein Element
  $\partial c\in A_{n-1}$ zuzuordnen. Erst sp\"ater wollen wir uns um
  die Wohldefiniertheit k\"ummern.) Aufgrund der Kommutativit\"at des
  Diagramms in der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen gilt
  $j\partial b=\partial jb=\partial c=0$, wobei wir ausgenutzt haben,
  dass $c=jb$ ist und dass $c$ ein Zykel ist, also $\partial c=0$
  erf\"ullt. Also gilt $B_{n-1}\ni \partial b\in\ker j$. \par
  Da die Sequenz exakt ist, gilt $\im i=\ker j$ und somit finden wir
  ein $a\in A_{n-1}$, so dass $ia=\partial b$ ist. Das Element $a$ ist
  ein Zykel, denn es gilt $i\partial a=\partial ia=\partial\partial
  b=0$ aufgrund der Kommutativit\"at des Diagrammes, wegen
  $ia=\partial b$ und da $\partial^2=0$ ist. $\partial a=0$ folgt nun,
  denn $i$ ist injektiv. \par
  Wir definieren nun $\partial:H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ durch
  $\partial[c]:=[a]$, wobei $[\cdot]$ die jeweiligen Homologieklassen
  bezeichnet. \par
  Nachweis der Wohldefiniertheit:
  \begin{itemize}
  \item $a$ ist eindeutig bestimmt durch $\partial b$, denn $i$ ist
    injektiv. 
  \item W\"ahlt man statt $b$ ein anderes Element $b'\in B_n$, so dass
    $j(b')=j(b)$ gilt, so ist $b'-b\in\ker j=\im i$. Also gibt es ein
    $a'\in A_n$ mit $b'-b=ia'$ oder $b'=b+ia'$. Dann erh\"alt man
    statt $a\in A_{n-1}$ das Element $a+\partial a'$, denn es gilt
    $i(a+\partial a')=ia+i\partial a'=\partial b+\partial
    ia'=\partial(b+ia')$ und somit erf\"ullt $a+\partial a'$ die oben
    angegebene Vorschrift, um aus $b\in B_n$ ein Element $a\in
    A_{n-1}$ zu gewinnen. Bei Betrachtung der Homologiegruppen ist
    aber $[a]=[a+\partial a']$, da sich die Repr\"asentanten nur um
    ein Element in $\im\partial$ unterscheiden.
  \item Sei $c+\partial c'$ ein anderer Vertreter f\"ur die
    Homologieklasse $[c]$ mit $c'\in C_{n+1}$. Da $j$ surjektiv ist,
    finden wir $b'\in B_{n+1}$ mit $jb'=c'$. Dann gilt $c+\partial
    c'=c+\partial j b'=c+j\partial b'=j(b+\partial b')$ aufgrund der
    Kommutativit\"at des Diagramms. Also wird $b$ in der obigen
    Konstruktion durch $b+\partial b'$ ersetzt, aber $\partial
    b=\partial(b+\partial b')$ wegen $\partial^2=0$ und somit sind wir
    in $B_{n-1}$ wieder bei $\partial b$, was auch wieder dasselbe
    $a\in A_{n-1}$ liefert.
  \end{itemize} \par
  Die Abbildung $\partial:H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ ist ein
  Homomorphismus, denn wenn $\partial[c_1]=[a_1]$ und
  $\partial[c_2]=[a_2]$ verm\"oge $b_1$ bzw.{} $b_2$ gelten, dann ist
  $j(b_1+b_2)=jb_1+jb_2=c_1+c_2$ und $i(a_1+a_2)=ia_1+ia_2=\partial
  b_1+\partial b_2=\partial(b_1+b_2)$. Somit gilt auch
  $\partial([c_1]+[c_2])=[a_1]+[a_2]$. Hier haben wir (\"ofters)
  benutzt, dass wir schon wissen, dass alle Abbildungen, au\ss{}er der
  neu konstruierten Randabbildung $\partial$, Homomorphismen sind. \par
  Nun wollen wir nachrechnen, dass die angegebene Sequenz (an jeder
  Stelle) exakt ist.
\[\xymatrix@1{H_n(A)\ar[r]^-{i_*}&H_n(B)\ar[r]^-{j_*}
&H_n(C)\ar[r]^-\partial&H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}&H_{n-1}(B)}\]
Es sind die folgenden sechs Inklusionen nachzurechnen:
\begin{itemize}
\item $\im i_*\subset\ker j_*$: Es gilt $ji=0$, da das Diagramm exakt
  ist. Somit gilt auch $j_*i_*=0$ und die Behauptung folgt.
\item $\im j_*\subset\ker\partial$: Sei $b$ ein Zykel. Dann ist
  $j_*[b]$ ein beliebiges Element in $\im j_*$ und es gilt
  $\partial^Bb=0$.  Somit ist nach Definition $a=0$ in der
  Konstruktion von $\partial$ und die Behauptung folgt.
\item $\im\partial\subset\ker i_*$: Mit den Bezeichnungen aus der
  Konstruktion von $\partial$ gilt $i_*\partial[c]=[\partial
  b]=0$, da in $H_\cdot(B)$ \"Aquivalenzklassen modulo $\im\partial$
  betrachtet werden.
\item $\ker j_*\subset\im i_*$: Nach Definition besitzt eine
  Homologieklasse in $\ker j_*$ als Vertreter einen Zykel $b\in B_n$,
  so dass $jb$ ein Rand ist (und daher $j_*[b]=0$ gilt). Also gibt es
  $c'\in C_{n+1}$ mit $\partial c'=jb$. Da $j$ surjektiv ist, finden
  wir $b'\in B_{n+1}$, so dass $c'=j(b')$ gilt. Es gilt $\partial
  jb'=\partial c'=jb$ und daher folgt $j(b-\partial b')=jb-j\partial
  b'=jb-\partial jb'=0$. Also ist $b-\partial b'\in\ker j=\im i$
  aufgrund der Exaktheit der kurzen exakten Sequenzen. Daher gibt es
  $a\in A_n$ mit $ia=b-\partial b'$. Es gilt $i\partial a=\partial
  ia=\partial(b-\partial b')=\partial b=0$, da $b$ ein Zykel ist. Nun
  ist $i$ injektiv und daher ist auch $a$ ein Zykel. Somit folgt
  $i_*[a]=[b-\partial b']=[b]$. Somit haben wir zu einer
  Homologieklasse $[b]\in\ker j_*$ ein $a$ gefunden, so dass
  $i_*[a]=[b]$ gilt, also folgt $\ker j_*\subset\im i_*$ wie
  behauptet.
\item $\ker\partial\subset\im j_*$: Wir verwenden wieder die
  Bezeichnungen aus der Konstruktion von $\partial$. Sei $c$ ein
  Vertreter einer Homologieklasse in $\ker\partial$. Dann gilt
  $a=\partial a'$ f\"ur ein $a'\in A_n$. Dann ist $b-ia'$ ein Zykel,
  denn es gilt $\partial(b-ia')=\partial b-\partial ia'=\partial
  b-i\partial a'=\partial b-ia=0$ nach Wahl von $a$. Weiterhin gilt
  $j(b-ia')=jb-jia'=jb=c$. Beachte, dass $j_*$ auf $[b-ia']$ definiert
  ist, da $b-ia'$ ein Zykel ist. Es gilt $j_*[b-ia']=[c]$ und wir
  schlie\ss{}en, dass $\ker\partial\subset\im j_*$ gilt.
\item $\ker i_*\subset\im\partial$: Sei $a\in A_{n-1}$ ein Zykel, so
  dass $[a]\in\ker i_*$ gilt. Dann gibt es $b\in B_n$ mit $ia=\partial
  b$. Es gilt $\partial jb=j\partial b=jia=0$ und somit ist $jb$ ein
  Zykel. Nach Definition von $\partial$ gilt schlie\ss{}lich noch
  $\partial[jb]=[a]$ und die Behauptung folgt.
\end{itemize}
\end{proof}
Die hier benutzte Methode wird \"ofter als Diagrammjagd bezeichnet.
Mit Hilfe einer exakten Sequenz k\"onnen viele Aussagen recht elegant
und komprimiert dargestellt werden. Die obigen algebraischen
\"Uberlegungen geh\"oren zum Gebiet der homologischen Algebra.

\begin{remark}\label{partial beschr paar rem}
  Die Randabbildung $\partial:H_n(X,A)\to H_{n-1}(A)$ in der langen
  exakten Sequenz 
  \begin{align*}
    &\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&H_n(A)\ar[r]^-{i_*}&H_n(X)\ar[r]^-{j_*}
      &H_n(X,A)\ar[r]^-\partial&}\\
    &\xymatrix@1{\ar[r]^-\partial&H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}&H_{n-1}(X)\ar[r]
      &\ldots\ar[r]&H_0(X,A)\ar[r]&0}
  \end{align*}
  in Theorem \ref{paare lange ex seq} ist aufgrund der Konstruktion
  von $\partial$ in Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm} die
  folgende Abbildung. Sei $\alpha$ ein relativer Zykel in $C_n(X)$,
  $[\alpha]\in H_n(X,A)$. Dann ist
  $\partial[\alpha]=[\partial\alpha]\in H_{n-1}(A)$.
\end{remark}

\begin{corollary}
  Sei $(X,A)$ ein Paar topologischer R\"aume und
  $H_n(X,A)\cong0$ f\"ur alle $n$. Dann induziert $i:A\hookrightarrow
  X$ Isomorphismen $\xymatrix@1{i_*:H_n(A)\ar[r]^-{\cong}&H_n(X)}$ f\"ur
  alle $n$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
F\"ur alle $n$ ist 
$$\xymatrix@1{0\ar[r]&H_n(A)\ar[r]^{i_*}&H_n(X)\ar[r]&0}$$
eine exakte Sequenz.   
\end{proof}
% Aus der auf S. 118 angedeuteten Umkehrung vielleicht eine
% Uebungsaufgabe machen. 

\begin{remark}\label{red homol seq paar}
  Sei $(X,A)$ ein Paar topologischer R\"aume mit $A\neq\emptyset$.
  Erweitere die kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $0\to
  C_n(A)\to C_n(X)\to C_n(X,A)\to 0$ f\"ur $n\ge0$ um die kurze exakte
  Sequenz 
$$\xymatrix@1{0\ar[r]&{\Z}\ar[r]^-\eins&{\Z}\ar[r]&0\ar[r]&0}$$
in Dimension $-1$. Dann liefert die algebraische Konstruktion von
Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm} die folgende lange exakte
Homologiesequenz
  \begin{align*}
&\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&\tilde H_n(A)\ar[r]^-{i_*}
&\tilde H_n(X)\ar[r]^-{j_*}&H_n(X,A)\ar[r]^-\partial&}\\
&\xymatrix@1{\ar[r]^-\partial&\tilde H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}
&\tilde H_{n-1}(X)\ar[r]&\ldots\ar[r]&H_0(X,A)\ar[r]&0.}
  \end{align*}
Beachte dazu, dass $\epsilon:C_0(A)\to\Z$ f\"ur $A\neq\emptyset$
surjektiv ist und somit keine negativen Homologiegruppen auftreten. 
% Die Behauptung, dass H_0(X,A)=\tilde H_0(X,A) gilt, ist mir unklar
% oder einfach nur Definition.
\end{remark}
% Reduzierte lange exakte Homologiesequenz (Details dazu) als
% Uebungsaufgabe stellen. Vgl. dazu insbesonder den Hinweis auf S. 118
% oben.

\begin{beispiel}\label{Dn delDn bsp}
  Sei $n>0$. In der langen exakten Homologiesequenz f\"ur das Paar
  $(D^n,\partial D^n)$ gilt $\tilde H_i(D^n)\cong0$ f\"ur alle $i$.
  Daher sind die Abbildungen $$\partial:H_i(D^n,\partial D^n)\to\tilde
  H_{i-1}(\S^{n-1})=\tilde H_{i-1}(\partial D^n)$$ Isomorphismen f\"ur $i>0$.
  F\"ur $i=0$ benutzen wir, dass in der Homologiesequenz 
  $0\to H_0(D^n,\partial D^n)\to0$ auftritt. Wir erhalten also
\[H_i(D^n,\partial D^n)\cong
\begin{cases}
  \Z,&i=n,\\
  0,&\text{sonst.}
\end{cases}\]
Im Falle $n=0$ benutzen wir Proposition \ref{pkt hom prop} und
erhalten ebenfalls 
\[H_i(D^0,\partial D^0)=H_i(D^0,\emptyset)\cong H_i(D^0)\cong
\begin{cases}
  \Z,&i=0,\\
  0,&\text{sonst.}
\end{cases}\]
\end{beispiel}

\begin{beispiel}\label{X pkt paar bsp}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $x_0\in X$. Wir wenden die lange
  exakte Homologiesequenz f\"ur die reduzierten Homologiegruppen auf
  das Paar $(X,x_0)$ (oder genauer: $(X,\{x_0\})$) an. Da $\tilde
  H_n(x_0)\cong0$ f\"ur alle $n$ gilt, erhalten wir $H_n(X,x_0)\cong
  \tilde H_n(X)$ f\"ur alle $n$. 
\end{beispiel}

\begin{lemma}
  Sei $f:(X,A)\to(Y,B)$ eine Abbildung von Paaren, \dh $f:X\to Y$ ist
  eine stetige Abbildung zwischen topologischen R\"aumen und es gilt
  $f(A)\subset B$. Dann induziert $f$ einen Homomorphismus
  $f_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst induziert $f$ einen Homomorphismus $f_\sharp:C_n(X,A)\to
  C_n(Y,B)$, da die Kettenabbildung $f_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)$ auch
  $f_\sharp(C_n(A))\subset C_n(B)$ erf\"ullt. Daher ist $f_\sharp$
  auch auf den Quotientengruppen wohldefiniert. In den absoluten
  Kettengruppen $C_n(X)$ und $C_n(Y)$ gilt die Beziehung
  $f_\sharp\partial=\partial f_\sharp$. Somit gilt diese Relation auch
  f\"ur die relativen Kettengruppen $C_n(X)/C_n(A)$ und
  $C_n(Y)/C_n(B)$. Wir k\"onnen also Lemma \ref{ketten abb induz
    homolgr} anwenden und erhalten einen induzierten Homomorphismus
  $f_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{paar homot induz iso prop}
  Seien zwei Abbildungen $f,\,g:(X,A)\to(Y,B)$ mittels einer Homotopie
  von Paaren homotop, dann gilt $f_*=g_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Prismenoperator aus dem Beweis von Theorem \ref{homotop isomorph
    homotopiegr} bildet $C_n(A)$ nach $C_{n+1}(B)$ ab. Daher induziert
  er einen relativen Prismenoperator auf den Quotientengruppen,
  $P:C_n(X,A)\to C_{n+1}(Y,B)$. Wir hatten nachgewiesen, dass
  $\partial P+P\partial=g_\sharp-f_\sharp$ gilt. Diese Formel bleibt
  auch richtig, wenn wir zu Quotientengruppen \"ubergehen. Daher sind
  die Abbildungen $f_\sharp$ und $g_\sharp$ kettenhomotop zueinander
  und induzieren daher nach Proposition \ref{ketten hom isom prop}
  denselben Homomorphismus $f_*=g_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$.
\end{proof}

\begin{definition}
  Ein Tripel $(X,A,B)$ topologischer R\"aume ist ein topologischer
  Raum $X$ mit Teilmengen $A$ und $B$, so dass $B\subset A\subset X$.
\end{definition}

\begin{corollary}\label{tripel homol seq}
  Sei $(X,A,B)$ ein Tripel topologischer R\"aume. Dann gibt es eine
  lange exakte Homologiesequenz
$$\ldots\to H_n(A,B)\to H_n(X,B)\to H_n(X,A)\to H_{n-1}(A,B)\to\ldots.$$
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  (Dies ist ein Korollar zu Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm}.)
  Wir haben die kurze exakte Sequenz
$$0\to C_n(A)\to C_n(X)\to
\underbrace{C_n(X)/C_n(A)}_{=C_n(X,A)}\to0.$$
Hieraus erhalten wir durch Quotientenbildung die kurze exakte Sequenz
$$0\to C_n(A,B)\to C_n(X,B)\to C_n(X,A)\to0.$$
Die zugeh\"orige lange exakte Sequenz ist gerade die oben angegebene
Sequenz. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Bestehe nun speziell $B$ aus einem einzelnen Punkt. Nach Beispiel
  \ref{X pkt paar bsp} ist $H_n(X,B)\cong\tilde H_n(X)$ und
  $H_n(A,B)\cong\tilde H_n(A)$. Dann erhalten wir aus der langen
  exakten Homologiesequenz f\"ur Tripel die reduzierte lange exakte
  Homologiesequenz f\"ur das Paar $(X,A)$ wie in Bemerkung \ref{red
    homol seq paar}.
\end{remark}

\Subsection{Ausschneidungen}
Manchmal \"andern sich die relativen Homologiegruppen $H_n(X,A)$
nicht, wenn man eine Teilmenge $Z\subset A$ ausschneidet bzw.{}
wegl\"asst. 

\begin{theorem}\label{ausschneid thm}
  Seien topologische R\"aume $Z\subset A\subset X$ gegeben, so dass
  $\ol Z\subset\interior A$ gilt. Dann induziert die Inklusion
  $(X\setminus Z, A\setminus Z)\hookrightarrow(X,A)$ f\"ur alle $n$
  Isomorphismen $H_n(X\setminus Z,A\setminus Z)\to H_n(X,A)$. \par
  Anders ausgedr\"uckt gilt f\"ur Teilmengen $A,\,B\subset X$ mit
  $X=\interior A\cup\interior B$, dass $(B,A\cap
  B)\hookrightarrow(X,A)$ f\"ur alle $n$ einen Isomorphismus
  $H_n(B,A\cap B)\to H_n(X,A)$ induziert.
\end{theorem}

\begin{remark}
  Zun\"achst einmal sind die beiden Formulierungen \"aquivalent, denn
  setzen wir in der zweiten Formulierung $B=X\setminus Z$, dann gilt 
  $Z=X\setminus B$ und weiter $A\cap B=A\setminus Z$. Es gilt 
  \begin{align*}
    &\,\ol Z\subset\interior A\\
    \aequivalent&\,\ol{X\setminus B}\subset\interior A\\
    \aequivalent&\,X\setminus\interior B\subset\interior A\\
    \aequivalent&\,\interior A\cup\interior B=X.
  \end{align*}
\end{remark}

F\"ur den Beweis von Theorem \ref{ausschneid thm} werden wir
Homologiegruppen mit Hilfe von \glqq kleinen\grqq{} Simplizes berechnen,
die wir aus baryzentrischen Unterteilungen erhalten. Kleinheit
bedeutet hier in einem metrischen Raum, dass der Durchmesser des
Bildes klein ist. In allgemeinen topologischen R\"aumen definieren wir
Kleinheit dadurch, dass das Bild in einer Menge einer vorgegebenen
\"Uberdeckung enthalten ist.

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $\U=\{U_j\}$ eine Familie von
  Teilmengen, so dass $\bigcup\limits_j\interior U_j=X$ gilt. Sei
  $C^{\U}_n(X)$ die Untergruppe von $C_n(X)$, die aus allen Ketten
  $\sum\limits_i n_i\sigma_i$ besteht, so dass f\"ur jedes $i$ ein $j$
  existiert, so dass $\im\sigma_i\subset U_j$ gilt. Nach Definition
  der Randabbildung liegen Bilder von Ketten aus $C^{\U}_n(X)\subset
  C_n(X)$ in $C^{\U}_{n-1}(X)\subset C_{n-1}(X)$. Wir erhalten also durch
  Einschr\"ankung eine Randabbildung $\partial:C^{\U}_n(X)\to
  C^{\U}_{n-1}(X)$. Daher bilden die Gruppen $C^{\U}_n(X)$ mit
  Randabbildung $\partial$ einen Kettenkomplex. Die zugeh\"origen
  Homologiegruppen bezeichnen wir mit $H^{\U}_n(X)$. 
\end{definition}

F\"ur den Beweis von Theorem \ref{ausschneid thm} ben\"otigen wir die
folgende technische 
\begin{proposition}\label{bary sub div prop}
  Die Inklusion $\iota:C^{\U}_n(X)\hookrightarrow C_n(X)$ ist eine
  Kettenhomotopie\"aquivalenz, \dh es gibt eine Kettenabbildung
  $\rho:C_n(X)\to C^{\U}_n(X)$, so dass $\iota\rho$ und $\rho\iota$
  kettenhomotop zur Identit\"at sind. Also induziert $\iota$ nach
  Proposition \ref{ketten hom isom prop} f\"ur alle $n$ einen
  Isomorphismus $H^{\U}_n(X)\cong H_n(X)$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Der l\"angere Beweis mit baryzentrischer Unterteilung gliedert sich in
vier Schritte.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Baryzentrische Unterteilung der Simplizes: Ein Simplex
  $[v_0,\ldots,v_n]$ besteht aus den Punkten $\sum\limits_it_iv_i$ mit
  $\sum\limits_it_i=1$ und $t_i\ge0$ f\"ur alle $i$. Das
  \emph{Baryzentrum} oder der \glqq Schwerpunkt\grqq{} des Simplizes
  $[v_0,\ldots,v_n]$ ist der Punkt $b=\sum\limits_i\frac1{n+1}v_i$,
  f\"ur den wir also $t_i=\frac1{n+1}$ f\"ur alle $i$ setzen. Die
  \emph{baryzentrische Unterteilung} ist nun induktiv definiert. Sei
  $[v_0,\ldots,v_n]$ ein Simplex. Seine baryzentrische Unterteilung
  ist eine Unterteilung in die $n$-Simplizes $[b,w_0,\ldots,w_{n-1}]$,
  wobei $[w_0,\ldots,w_{n-1}]$ ein $(n-1)$-Simplex in der
  baryzentrischen Unterteilung einer Seite $[v_0,\ldots,\hat
  v_i,\ldots,v_n]$ ist. Induktionsanfang ist dabei die baryzentrische
  Unterteilung von $[v_0]$, die als $[v_0]$ selbst definiert ist.
  (Hier ist das Bild selber wieder nur ein Punkt und wir m\"ussen
  daher auch nicht weiter unterteilen.) F\"ur $n=1$ unterteilen wir
  das Simplex $[v_0,v_1]$ in $[b,v_0]$ und $[b,v_1]$, zwei Strecken,
  und f\"ur $n=2$ unterteilen wir $[v_0,v_1,v_2]$ in sechs Dreiecke,
  wenn wir die Baryzentren von $[v_0,v_1]$ mit $b_2$ bezeichnen,
  \ldots, so sind die Dreiecke ($2$-Simplizes) gerade $[b,b_2,v_0]$,
  $[b,b_2,v_1]$, $[b,b_0,v_1]$, $[b,b_0,v_2]$, $[b,b_1,v_2]$ und
  $[b,b_1,v_0]$. Die baryzentrische Unterteilung eines $3$-Simplizes
  besteht aus 24 $3$-Simplizes. Aufgrund der induktiven Definition
  sind die Ecken der Simplizes in der baryzentrischen Unterteilung
  gerade die Baryzentren aller $k$-dimensionalen Seiten
  $[v_{i_0},\ldots,v_{i_k}]$ von $[v_0,\ldots,v_n]$ f\"ur alle $0\le
  k\le n$. F\"ur $k=0$ erhalten wir gerade eine Ecke $v_i$ des
  urspr\"unglichen Simplizes, denn sie ist das Baryzentrum des
  $0$-Simplizes $[v_i]$. Das Baryzentrum von
  $[v_{i_0},\ldots,v_{i_k}]$ hat die baryzentrischen Koordinaten
  $(t_i)$ mit
\[t_i=
\begin{cases}
  \frac1{k+1}&\text{f\"ur }i\in\{i_0,\ldots,i_k\},\\
  0&\text{sonst.}
\end{cases}\]
\par
Wir bemerken, dass die $n$-Simplizes einer baryzentrischen
Unterteilung von $\Delta^n$ und alle ihre Seiten eine
$\Delta$-Komplexstruktur f\"ur $\Delta^n$ bilden, sogar eine
simpliziale Struktur.
\par
Wir behaupten, dass der Durchmesser jedes Simplizes in der
baryzentrischen Unterteilung von $[v_0,\ldots,v_n]$ h\"ochstens $\frac
n{n+1}$ mal der Durchmesser von $[v_0,\ldots,v_n]$ ist. Der
Durchmesser ist hier der Durchmesser des Simplizes, wenn wir ihn als
Teilmenge eines Euklidischen Raumes $\R^k$ betrachten. Zun\"achst
einmal wird der Durchmesser zwischen zwei Ecken des Simplizes
angenommen, denn es gilt f\"ur zwei Punkte $v,\,\sum\limits_it_iv_i\in
[v_0,\ldots,v_n]$
$$\left|v-\sum\limits_it_iv_i\right|=\left|\sum\limits_it_i(v-v_i)\right|
\le\sum\limits_it_i|v-v_i|\le\sum\limits_it_i\max\limits_i|v-v_i|
=\max\limits_i|v-v_i|.$$ Wenden wir diese Formel auf den Abstand
zwischen zwei beliebigen Punkten im Simplex an, so k\"onnen wir also
den Abstand vergr\"o\ss{}ern, wenn wir einen dieser Punkte durch eine
Ecke ersetzen. Nach nochmaliger Anwendung haben wir beide Punkte durch
Eckpunkte ersetzt. F\"ur die eigentliche Absch\"atzung argumentieren
wir per Induktion. Wir d\"urfen $n\ge1$ annehmen. Seien also $w_j$ und
$w_k$ zwei beliebige Ecken eines Simplizes $[w_0,\ldots,w_n]$ aus der
baryzentrischen Unterteilung von $[v_0,\ldots,v_n]$. Ist keiner der
beiden Punkte das Baryzentrum, so liegen sie beide in einem Simplex,
den wir nach baryzentrischer Unterteilung von $[v_0,\ldots,\hat
v_i,\ldots,v_n]$ erhalten haben. Daher ist der Abstand nach
Induktionsvoraussetzung durch $\frac{n-1}n\le\frac n{n+1}$ mal dem
Durchmesser von $[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]$ nach oben
beschr\"ankt, der kleiner als der von $[v_0,\ldots,v_n]$ ist. Sei also
ohne Einschr\"ankung $w_j$ das Baryzentrum $b$ und $w_k$ eine Ecke
$v_i$. Sei nun $b_i$ das Baryzentrum von $[v_0,\ldots,\hat
v_i,\ldots,v_n]$, also der Punkt f\"ur den alle baryzentrischen
Koordinaten $1/n$ sind bis auf $t_i=0$. Dann gilt
$b=\frac1{n+1}v_i+\frac n{n+1}b_i$. Wir haben also $b$ als
Konvexkombination von $v_i$ und $b_i$ dargestellt. Auf der Geraden
durch $v_i$, $b$ und $b_i$ ist also $\dist(b,v_i)=\frac
n{n+1}\dist(b_i,v_i)$. Daher ist $\dist(b,v_i)$ nach oben durch $\frac
n{n+1}$-mal dem Durchmesser von $[v_0,\ldots,v_n]$ beschr\"ankt. \par
Beachte, dass der Faktor $\frac n{n+1}$ nur von der Dimension
abh\"angt, bei iterierter baryzentrischer Unterteilung also in
kontrollierter Weise gegen Null geht, obwohl die Form der Simplizes in
der baryzentrischen Unterteilung unterschiedlich ist.
\item Baryzentrische Unterteilung linearer Ketten: Im Beweis wollen
  wir insbesondere einen Unterteilungsoperator $S:C_n(X)\to C_n(X)$
  konstruieren und nachweisen, dass dieser kettenhomotop zur
  Identit\"at ist. Zun\"achst wollen wir solch einen Operator in einem
  einfacheren Fall konstruieren.\par
  Sei $Y$ eine konvexe Teilmenge eines Euklidischen Raumes. Die
  (affin) linearen Abbildungen $\Delta^n\to Y$ erzeugen eine
  Untergruppe von $C_n(Y)$. Wir bezeichnen sie mit $LC_n(Y)$, die
  Gruppe der \emph{linearen Ketten}. Nach Definition des Randoperators
  bildet $\partial:C_n(Y)\to C_{n-1}(Y)$ die Menge $LC_n(Y)$ nach
  $LC_{n-1}(Y)$ ab. Daher bilden die Gruppen $LC_n(Y)$ und die
  Randabbildung $\partial$ einen Unterkomplex von $C_n(Y)$. Definiere
  f\"ur einen Simplex $[w_0,\ldots,w_n]\subset Y$ eine affin lineare
  Abbildung $\lambda:\Delta^n\to Y$ durch $\lambda(e_i):=w_i$ und
  affin lineare Fortsetzung, wobei $e_i$ die Ecken des
  Standardsimplizes $\Delta^n$ bezeichnen. Um keine
  Fallunterscheidungen f\"ur $0$-Simplizes machen zu m\"ussen,
  erweitern wir den Komplex $LC(Y)$ durch $LC_{-1}(Y)=\Z$, erzeugt vom
  leeren Simplex $[\emptyset]$ sowie $\partial[w_0]=[\emptyset]$ f\"ur
  alle $0$-Simplizes $[w_0]$.  (Dies ist nat\"urlich weiterhin ein
  Komplex, da das Bild eines $1$-Simplizes aus zwei $0$-Simplizes mit
  unterschiedlichen Vorzeichen besteht.)\par
  F\"ur einen beliebigen Punkt $b\in Y$ erhalten wir einen
  Homomorphismus $b:LC_n(Y)\to LC_{n+1}(Y)$ (unter Verwendung von
  leicht doppeldeutiger Notation) durch
  $b([w_0,\ldots,w_n]):=[b,w_0,\ldots,w_n]$ (genauer w\"are dies f\"ur
  die entsprechenden Abbildungen zu definieren). Dies entspricht
  geometrisch dem Kegeloperator mit $[w_0,\ldots,w_n]$ als Basis und
  $b$ als Spitze. Nach Definition des Randoperators erhalten wir
  \begin{align*}
    \partial b([w_0,\ldots,w_n])=&\,[w_0,\ldots,w_n]+\sum\limits_{i=0}^n
    (-1)^{i+1}[b,w_0,\ldots,\hat w_i,\ldots,w_n]\\
    =&\,[w_0,\ldots,w_n]-b\partial[w_0,\ldots,w_n].
  \end{align*}
  Aufgrund der Linearit\"at erhalten wir $\partial
  b(\alpha)=\alpha-b(\partial\alpha)$ f\"ur alle $\alpha\in LC_n(Y)$.
  Dies dr\"uckt algebraisch die geometrische Tatsache aus, dass der
  Rand eines Kegels aus der Basis und dem Kegel des Randes besteht.
  Schreiben wir diese Relation um, so erhalten wir $\partial
  b+b\partial=\eins$, also ist $b$ eine Kettenhomotopie zwischen der
  Identit\"at und der Nullabbildung im erweiterten Komplex
  $LC(Y)$.\par
  Wir definieren nun induktiv einen Unterteilungshomomorphismus
  $$S:LC_n(Y)\to LC_n(Y).$$ Sei $\lambda:\Delta^n\to Y$ eine affin
  lineare Abbildung in $LC_n(Y)$ und sei
  $$b_\lambda:=\lambda\left(\frac1{n+1},\ldots,\frac1{n+1}\right)$$ das
    Bild des Baryzentrums von $\Delta^n$ unter $\lambda$. Induktiv
    definieren wir nun $S$ mit Hilfe des Kegeloperators $b_\lambda$,
    definiert wie im letzten Abschnitt,
    $S(\lambda):=b_\lambda(S\partial\lambda)$. Als Induktionsanfang
    definieren wir $S:LC_{-1}(Y)\to LC_{-1}(Y)$ als Identit\"at,
    $S([\emptyset]):=[\emptyset]$. Wir beobachten, dass $S:LC_0(Y)\to
    LC_0(Y)$ ebenfalls die Identit\"at ist, denn in diesem Fall
    erhalten wir $S([w_0])=w_0(S\partial[w_0])=w_0(S[\emptyset])
    =w_0([\emptyset])=[w_0]$. Ist nun $\lambda:\Delta^n\to Y$ eine
    Einbettung mit $\im\lambda=[w_0,\ldots,w_n]$, dann ist
    $S(\lambda)$ die Summe (mit gewissen Vorzeichen) von $n$-Simplizes
    in der baryzentrischen Unterteilung von $[w_0,\ldots,w_n]$. Dies
    folgt, wenn man die induktiven Definitionen f\"ur die
    baryzentrische Unterteilung und den Unterteilungshomomorphismus
    $S$ vergleicht.\par
Wir behaupten nun, dass $S:LC(Y)\to LC(Y)$ eine Kettenabbildung ist,
also $\partial S=S\partial$ erf\"ullt. Zun\"achst gilt $S=\eins$ auf
$LC_{-1}(Y)$ und $LC_0(Y)$. Die allgemeine Behauptung folgt nun per
Induktion aus der folgenden Rechnung
\begin{align*}
  \partial
  S\lambda=&\,\partial(b_\lambda(S\partial\lambda))&&\text{nach
    Definition von $S$}\\
  =&\,S\partial\lambda-b_\lambda\partial S\partial\lambda
  &&\text{da }\partial b_\lambda+b_\lambda\partial=\eins\\
  =&\,S\partial\lambda-b_\lambda(S\partial\partial\lambda)&&\text{nach
    Induktionsannahme}\\
  =&\,S\partial\lambda&&\text{da }\partial\partial=0.
\end{align*}
Wir definieren nun eine Kettenhomotopie $T:LC_n(Y)\to LC_{n+1}(Y)$
zwischen $S$ und der Identit\"at, die in das folgende Diagramm passt
\[\xymatrix{\ldots\ar[r]&LC_2(Y)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-S
&LC_1(Y)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-S\ar[dl]^-T
&LC_0(Y)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{S=\eins}\ar[dl]^-T
&LC_{-1}(Y)\ar[r]\ar[d]^-{S=\eins}\ar[dl]^-{T=0}&0\\
\ldots\ar[r]&LC_2(Y)\ar[r]^-\partial
&LC_1(Y)\ar[r]^-\partial
&LC_0(Y)\ar[r]^-\partial
&LC_{-1}(Y)\ar[r]&0\,.
}\]
Definiere $T:LC_n(Y)\to LC_{n+1}(Y)$ induktiv durch
\[T(\lambda):=
\begin{cases}
  0,&n=-1,\\
  b_\lambda(\lambda-T\partial\lambda),&n\ge0.
\end{cases}\]
(Geometrisch kann man sich dies veranschaulichen mit Hilfe einer
induktiv definierten Unterteilung von $\Delta^n\times I$, die man
erh\"alt, indem man alle Simplizes in $(\Delta^n\times\{0\})\cup
(\partial\Delta^n\times I)$, die man auf diese Weise erh\"alt mit dem
Schwerpunkt von $\Delta^n\times\{1\}$ verbindet. $T$ entspricht dann
gerade dem Bild dieser Unterteilung unter der Projektion
$\Delta^n\times I\to\Delta^n$.)\par
Wir wollen nun $\partial T+T\partial=\eins-S$ nachrechnen, was besagt,
dass $T$ eine Kettenhomotopie ist. F\"ur die Abbildung $LC_{-1}(Y)\to
LC_{-1}(Y)$ ist dies erf\"ullt, denn in dieser Dimension gilt $T=0$
und $S=\eins$. Wir gehen nun induktiv vor und wollen die Formel f\"ur
Abbildungen $LC_n(Y)\to LC_n(Y)$ nachrechnen:
\begin{align}\label{Tdel delT}
  \partial T\lambda=&\,\partial(b_\lambda(\lambda-T\partial\lambda))
  &&\text{nach Definition}\\
=&\,(\eins-b_\lambda\partial)(\lambda-T\partial\lambda)&&\text{da }
\partial b_\lambda=\eins-b_\lambda\partial\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda\partial\lambda
+b_\lambda\partial T\partial\lambda&&\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda\partial\lambda
+b_\lambda(-T\partial+\eins-S)\partial\lambda
&&\text{nach Induktion}\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda\partial\lambda
-b_\lambda T\partial\partial\lambda+b_\lambda\partial\lambda
-b_\lambda S\partial\lambda&&\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda S\partial\lambda&&
\text{da }\partial\partial=0\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-S\lambda,&&\nonumber
\end{align}
da nach Definition $S\lambda=b_\lambda S\partial\lambda$.\par
Nun sind wir mit der Induktion fertig und lassen ab jetzt wieder
$LC_{-1}(Y)$ weg. Die Relation $\partial T+T\partial=\eins-S$ bleibt
auch ohne die Gruppe $LC_{-1}(Y)$ g\"ultig, denn $T:LC_{-1}(Y)\to
LC_0(Y)$ war die Nullabbildung. 
\item Baryzentrische Unterteilung allgemeiner Ketten: Definiere den
  Unterteilungshomomorphismus $S:C_n(X)\to C_n(X)$ durch
  $S\sigma:=\sigma_\sharp S\eins_{\Delta^n}=\sigma_\sharp S$ f\"ur ein
  Simplex $\sigma:\Delta^n\to X$ und $\eins_{\Delta^n}\in
  LC_n\left(\R^{n+1}\right)$. Da $S\eins_{\Delta^n}$ eine Summe von
  $n$-Simplizes in der baryzentrischen Unterteilung von $\Delta^n$
  (mit gewissen Vorzeichen) ist, ist $S\sigma$ die entsprechende Summe
  (mit Vorzeichen) der Einschr\"ankungen von $\sigma$ auf die
  $n$-Simplizes in der baryzentrischen Unterteilung von $\Delta^n$.
  Um nachzurechnen, dass die Abbildung $S$ eine Kettenabbildung ist,
  definieren wir $\Delta^n_i:=[e_0,\ldots,\hat e_i,\ldots,e_n]$. Wir
  erhalten damit
  \begin{align*}
    \partial S\sigma=&\,\partial\sigma_\sharp S\eins_{\Delta^n}
    =\sigma_\sharp\partial S\eins_{\Delta^n}
    =\sigma_\sharp S\partial\eins_{\Delta^n}\umbruch\\
    =&\,\sigma_\sharp S
    \left(\sum\limits_i(-1)^i\eins_{\Delta^n_i}\right)
    =\sum\limits_i(-1)^i\sigma_\sharp S\eins_{\Delta^n_i}\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_i(-1)^iS(\sigma|_{\Delta^n_i})
    =S\left(\sum\limits_i(-1)^i\sigma|_{\Delta^n_i}\right)\umbruch\\
    =&\,S\partial\sigma.
  \end{align*}
  (Genauer: $\Delta^{n-1}\to[e_0,\ldots,\hat e_i,\ldots,e_n]$ statt
  $\eins_{\Delta^n_i}$.)\par
    Analog definieren wir $T:C_n(X)\to C_{n+1}(X)$ durch
    $T\sigma:=\sigma_\sharp T\eins_{\Delta^n}$. Wir wollen
    nachrechnen, dass $T$ eine Kettenhomotopie zwischen $S$ und der
    Identit\"at ist, also $\partial T+T\partial=\eins-S$
    erf\"ullt. Wir erhalten unter Verwendung von \eqref{Tdel delT}
  \begin{align*}
    \partial T\sigma=&\,\partial\sigma_\sharp T\eins_{\Delta^n}
    =\sigma_\sharp\partial T\eins_{\Delta^n}
    =\sigma_\sharp(\eins_{\Delta^n}-S\eins_{\Delta^n}
    -T\partial\eins_{\Delta^n})\\
    =&\,\sigma-S\sigma-\sigma_\sharp T\partial\eins_{\Delta^n}
    =\sigma-S\sigma-T\partial\sigma.
  \end{align*}
F\"ur die letzte Gleichheit haben wir dabei die folgenden Umformungen,
die denen beim Nachweis von $\partial S\sigma=S\partial\sigma$ sehr
\"ahnlich sind, benutzt
\begin{align*}
  \sigma_\sharp T\partial\eins_{\Delta^n}=&\,\sigma_\sharp
  T\left(\sum\limits_i(-1)^i\eins_{\Delta^n_i}\right)
  =\sum\limits_i(-1)^i\sigma_\sharp T\eins_{\Delta^n_i}\\
  =&\,\sum\limits_i(-1)^iT\sigma|_{\Delta^n_i}
  =T\left(\sum\limits_i(-1)^i\sigma|_{\Delta^n_i}\right)
  =T\partial\sigma.
\end{align*}
\item Iterierte baryzentrische Unterteilungen:
Definiere $D_m:C_n(X)\to C_{n+1}(X)$ durch
$D_m:=\sum\limits_{i=0}^{m-1}TS^i$. Wir behaupten, dass $D_m$ eine
Kettenhomotopie zwischen $\eins$ und $S^m$ ist, dass also $\partial
D_m+D_m\partial=\eins-S^m$ gilt. Mit Hilfe einer Teleskopsumme
erhalten wir
\begin{align*}
  \partial D_m+D_m\partial=&\,\sum\limits_{i=0}^{m-1}\partial
  TS^i+TS^i\partial
  =\sum\limits_{i=0}^{m-1}\partial TS^i+T\partial S^i&& \text{da
  }\partial S=S\partial\\
=&\,\sum\limits_{i=0}^{m-1}(\partial T+T\partial)S^i
=\sum\limits_{i=0}^{m-1}(\eins-S)S^i&&\text{siehe oben}\\
=&\,\sum\limits_{i=0}^{m-1}S^i-S^{i+1}
=\eins-S^m&&\text{Teleskopsumme.}
\end{align*}
F\"ur jedes singul\"are $n$-Simplex $\sigma:\Delta^n\to X$ gibt es ein
$m$, so dass jeder Simplex in $S^m\Delta^n$ von $\sigma$ in ein
$U_j\in\mathcal U$ abgebildet wird und somit insbesondere $S^m\sigma$
in $C^{\U}_n(X)$ liegt. (Dies folgt mit Hilfe der Kompaktheit von
$\Delta^n$ direkt wie folgt. Wir bezeichnen $S^m\eins_{\Delta^n}$ mit
$S^m\Delta^n$. Aufgrund des ersten Teiles finden wir f\"ur jedes
$\epsilon>0$ ein $m$, so dass alle Simplizes in $S^m\Delta^n$, als
Teilmengen von $\Delta^n$ aufgefasst, einen Durchmesser kleiner als
$\epsilon$ haben. \"Uberdecke $\Delta^n$ mit den offenen Mengen
$\sigma^{-1}\left(\interior U_j\right)$, $U_j\in\U$. Aufgrund der
Kompaktheit von $\Delta^n$ gibt es ein $\epsilon>0$ (Lebesguezahl), so
dass es f\"ur alle $x\in\Delta^n$ ein $j$ gibt, so dass
$B_\epsilon(x)\cap\Delta^n\subset\sigma^{-1}\left(\interior
  U_j\right)$ ist.  Damit gilt f\"ur gen\"ugend gro\ss{}es $m$, dass
jeder Simplex $A$ aus $S^m\Delta^n$, aufgefasst als Teilmenge von
$\Delta^n$, $A\subset\sigma^{-1}\left(\interior U_j\right)$ f\"ur ein
$j$ erf\"ullt.  Damit gilt $\sigma(A)\subset U_j$ f\"ur ein
$j$. Beachte, dass dieses $m$ von $\sigma$ abh\"angt.) Sei
$m(\sigma)\in\N$ minimal, so dass $S^m\sigma$ in $C^{\U}_n(X)$
ist.\par
Definiere nun $D:C_n(X)\to C_{n+1}(X)$ durch
$D\sigma:=D_{m(\sigma)}\sigma$ und lineare Fortsetzung. Beachte, dass
hier bei einer Summe von Simplizes verschiedene Operatoren $D_m$
auftreten k\"onnen. Wir wollen nachrechnen, dass $D$ eine
Kettenhomotopie ist. Wir haben bereits gesehen, dass
$$\partial D_{m(\sigma)}\sigma+D_{m(\sigma)}\partial\sigma
=\sigma-S^{m(\sigma)}\sigma$$ gilt. Da $\partial
D_{m(\sigma)}\sigma=\partial D\sigma$ ist, ist dies \"aquivalent zu
\begin{align*}
\partial D\sigma+D\partial\sigma =&\,\sigma -\left(S^{m(\sigma)}\sigma
  +D_{m(\sigma)}(\partial\sigma)-D\partial\sigma\right)\\
\equiv&\,\sigma-\rho(\sigma),
\end{align*}
wobei die letzte Zeile $\rho:C_n(X)\to C_n(X)$ definiert. Wir
behaupten, dass sogar $\rho(\sigma)\in C^{\U}_n(X)\subset C_n(X)$
gilt. Nach Definition von $m(\sigma)$ ist dies f\"ur
$S^{m(\sigma)}\sigma$ der Fall. Betrachte also
$D_{m(\sigma)}(\partial\sigma)-D(\partial\sigma)$. Bezeichnen wir die
Einschr\"ankung von $\sigma$ auf die $i$-te Seite von $\Delta^n$ mit
$\sigma_i$, dann gilt $m(\sigma_i)\le m(\sigma)$. 
% Hier ist es wichtig, $m$ \"uber Teilsimplices zu definieren, damit
% sich keine Summanden wegheben k\"onnen. 
Wir erhalten 
\begin{align*}
  D_{m(\sigma)}(\partial\sigma)-D(\partial\sigma)=&\,
  D_{m(\sigma)}\left(\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\sigma_i\right)
  -D\left(\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\sigma_i\right)\umbruch\\
  =&\,\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\left(D_{m(\sigma)}(\sigma_i)-D(\sigma_i)
  \right)\umbruch\\
  =&\,\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\left(\sum\limits_{j=0}^{m(\sigma)-1}
    TS^j\sigma_i -\sum\limits_{j=0}^{m(\sigma_i)-1}TS^j\sigma_i\right)
  \umbruch\\
  =&\,\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\sum\limits_{j=m(\sigma_i)}^{m(\sigma)-1}
  TS^j\sigma_i\in C^{\U}_{n}(X),
\end{align*}
denn da $j\ge m(\sigma_i)$ f\"ur alle $i$, $j$ in der Summe gilt, sind
alle Terme der Form $S^j\sigma_i\in C^{\U}_n(X)$. Der Operator
$T:C_{n-1}(X)\to C_n(X)$ ist mit Hilfe von Randoperatoren und
baryzentrischen Unterteilungen definiert. Daher gilt
$T\left(C^{\U}_{n-1}(X)\right)\subset C^{\U}_n(X)$ und
$\rho(\sigma)\subset C^{\U}_n(X)$ folgt.\par
Die Abbildung $\rho:C_n(X)\to C^{\U}_n(X)$ (mit neuem Zielbereich) ist
eine Kettenabbildung, denn aufgrund der definierenden Gleichung
$\partial D\sigma+D\partial\sigma=\sigma-\rho\sigma$ folgt
$$\partial\rho\sigma=\partial(\sigma-\partial D\sigma-D\partial\sigma)
=\partial\sigma-\partial D\partial\sigma =\partial\sigma-\partial
D\partial\sigma-D\partial\partial\sigma =\rho\partial\sigma.$$ Die
definierende Gleichung f\"ur $\rho$ besagt, dass $D\partial+\partial
D=\eins-\iota\rho$ gilt, wobei $\iota:C^{\U}_n(X)\hookrightarrow
C_n(X)$ die Inklusionsabbildung ist. Weiterhin ist f\"ur $D:C_n(X)\to
C_{n+1}(X)$ die Einschr\"ankung auf $C^{\U}_n(X)$ trivial, denn f\"ur
$\sigma\in C^{\U}_n(X)$ ist $m(\sigma)=0$, also ist die Summe in der
Definition von $D\sigma$ die Summe \"uber die leere Menge (ebenso
f\"ur $\partial\sigma$), also folgt nach Definition von $\rho$
$$\rho(\sigma)=S^{m(\sigma)}\sigma +D_{m(\sigma)}(\partial\sigma)
-D(\partial\sigma) =S^0\sigma=\sigma.$$ Damit ist $\rho\iota=\eins$,
erf\"ullt also $0\partial+\partial0=\eins-\rho\iota$ f\"ur die
Kettenhomotopie $0:C^{\U}_n(X)\to C^{\U}_{n+1}(X)$. Nach der Definition in
der Formulierung von Proposition \ref{bary sub div prop} ist also
$\imath$ eine Kettenhomotopie\"aquivalenz.\par
Es folgt nach Proposition \ref{ketten hom isom prop}, dass
$\rho_*\iota_*=(\rho\iota)_*=\eins$ auf $H^{\U}_n(X)$ und
$\iota_*\rho_*=(\iota\rho)_*=\eins$ auf $H_n(X)$ gilt. Somit induziert
$\iota$ (wie auch $\rho$ in umgekehrter Richtung) f\"ur alle $n$ einen
Isomorphismus $i_*:H^{\U}_n(X)\to H_n(X)$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{ausschneid thm}]
  Wir beweisen die zweite Fassung des Theorems. Seien also
  $A,\,B\subset X$ zwei Mengen mit $\interior A\cup\interior B=X$. Sei
  $\U=\{A,B\}$. Wir schreiben $C_n(A+B)$ f\"ur $C^{\U}_n(X)$, also
  f\"ur Summen von Ketten, die ganz in $A$ oder in $B$ liegen ($\neq
  C_n(A\cup B)$). Im Beweis von Proposition \ref{bary sub div prop}
  hatten wir (in der dortigen Notation) nachgewiesen, dass $\partial
  D+D\partial=\eins_{C_n(X)}-\iota\rho$ und
  $\rho\iota=\eins_{C_n(A+B)}$ gelten. Alle Abbildungen in diesen
  Formeln bilden Ketten in $A$ auf Ketten in $A$ ab. Daher induzieren
  sie Abbildungen auf den Quotientengruppen, wenn wir Ketten in $A$
  herausdividieren. Diese induzierten Abbildungen erf\"ullen nach
  Definition ganz automatisch dieselben Formeln f\"ur die
  Quotientengruppen. Daher induziert die von den Inklusionen
  $A\hookrightarrow X$ und $B\hookrightarrow X$ induzierte Abbildung
  $C_n(A+B)/C_n(A)\hookrightarrow C_n(X)/C_n(A)$ einen Isomorphismus
  der Homologiegruppen $H_n^{\U}(X,A)\cong H_n(X,A)$. \par
  Die Inklusion $C_n(B)\to C_n(A+B)$ liefert nach Herausfaktorisieren
  von $C_n(A)$ die Abbildung $C_n(B)/C_n(A\cap B)\to C_n(A+B)/C_n(A)$.
  Dies ist ein Isomorphismus, denn beide Gruppen sind freie abelsche
  Gruppen, die von den singul\"aren $n$-Simplizes in $B$ erzeugt
  werden, die (genauer: deren Bilder) nicht ganz in $A$ liegen. Wir
  erhalten also einen Isomorphismus $H_n(B,A\cap B)\cong
  H^{\U}_n(X,A)$. \par
  Zusammen mit dem letzten Abschnitt erhalten wir also gerade den
  behaupteten Isomorphismus $H_n(X,A)\cong H_n(B,A\cap B)$.
\end{proof}

Die folgende Proposition beendet zusammen mit Bemerkung \ref{red homol
  seq paar}, die insbesondere Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm}
benutzt, den Beweis von Theorem \ref{lange exakte hom seq}.
Beachte, dass Bemerkung \ref{red homol seq paar} $A\neq\emptyset$
voraussetzt, f\"ur $A=\emptyset$ Theorem \ref{lange exakte hom seq}
aber offensichtlich auch wahr ist. 
\begin{proposition}\label{lange ex hom seq bew prop}
  Sei $(X,A)$ ein gutes Paar mit $A\neq\emptyset$. Dann induziert die
  Quotientenabbildung $q:(X,A)\to(X/A,A/A)$ f\"ur alle $n$ einen
  Isomorphismus
$$q_*:H_n(X,A)\to H_n(X/A,A/A)\cong\tilde H_n(X/A).$$  
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Der letzte Isomorphismus folgt nach Beispiel \ref{X pkt paar bsp}.
\par
Sei $V$ eine Umgebung von $A$, so dass $A$ Deformationsretrakt von $V$
ist. Betrachte das folgende kommutative Diagramm
\[\xymatrix{H_n(X,A)\ar[r]\ar[d]^-{q_*}&H_n(X,V)\ar[d]^-{q_*}
&H_n(X\setminus A,V\setminus A)\ar[l]\ar[d]^-{q_*}\\
H_n(X/A,A/A)\ar[r]&H_n(X/A,V/A)
&H_n((X/A)\setminus(A/A),(V/A)\setminus(A/A))\ar[l]\,.}\]
Die horizontalen Pfeile sind jeweils von den Inklusionen induziert.
\par
Wir behaupten, dass die Abbildung $H_n(X,A)\to H_n(X,V)$ links oben
ein Isomorphismus ist. Dazu betrachten wir die lange exakte
Homologiesequenz f\"ur das Tripel $(X,V,A)$ aus Korollar \ref{tripel
  homol seq}. Es gen\"ugt daher zu zeigen, dass $H_n(V,A)\cong0$ f\"ur
alle $n$ ist, denn dann sind die dazwischenliegenden Abbildungen
$H_n(X,A)\to H_n(X,V)$ Isomorphismen. Die Behauptung $H_n(V,A)\cong0$
folgt aus Proposition \ref{paar homot induz iso prop}, analog zur
Argumentation bei der Untersuchung der Fundamentalgruppe, dass
$\pi_i(V)\cong\pi_i(A)$ ist. Seien n\"amlich
$i:(A,A)\hookrightarrow(V,A)$ die Inklusion und $r:(V,A)\to(A,A)$ die
zur Deformationsretraktion geh\"orige Retraktion, so erhalten wir
\[\xymatrix@1{(A,A)\ar[r]^-i\ar@/_{3ex}/[rr]_-\eins&(V,A)\ar[r]^-r
  \ar@/_{3ex}/[rr]_-{\simeq\eins} &(A,A)\ar[r]^-i&(V,A)\,,}\] also
$ri=\eins$ und $ir\simeq\eins$ verm\"oge der Deformationsretraktion.
Somit gilt nach Proposition \ref{paar homot induz iso prop}
$r_*i_*=\eins:H_n(A,A)\to H_n(A,A)$ und $i_*r_*=\eins:H_n(V,A)\to
H_n(V,A)$. $i_*:H_n(A,A)\to H_n(V,A)$ und $r_*:H_n(V,A)\to H_n(A,A)$
sind daher Isomorphismen. Also ist $H_n(V,A)\cong H_n(A,A)\cong0$.
Links oben steht also ein Isomorphismus. \par
Ist $A$ ein Deformationsretrakt von $V$, so ist auch $A/A$ ein
Deformationsretrakt von $V/A$, denn die Stetigkeit der induzierten
Deformationsretraktion folgt aus der Definition der
Quotiententopologie. Somit liefert dieselbe Argumentation wie im
letzten Abschnitt, dass auch $H_n(X/A,A/A)\to H_n(X/A,V/A)$ links
unten im kommutativen Diagramm ein Isomorphismus ist. \par
Nach dem Ausschneidungssatz, Theorem \ref{ausschneid thm} (den wir
anwenden d\"urfen, da nach Definition eines guten Paares $A=\ol
A\subset \interior V$ gilt), ist $H_n(X\setminus A,V\setminus A)\cong
H_n(X,V)$ verm\"oge der Inklusion ein Isomorphismus. Nach Definition
der Quotiententopologie ist auch $(V/A,A/A)$ ein gutes Paar und somit
ist auch die von der Inklusion induzierte Abbildung
$H_n((X/A)\setminus(A/A),(V/A)\setminus(A/A))\to H_n(X/A,V/A)$ ein
Isomorphismus. \par
Die Abbildung $q$, auf $X\setminus A$ eingeschr\"ankt, liefert einen
Hom\"oomorphismus $X\setminus A\to (X/A)\setminus (A/A)$, ebenso f\"ur
$V$ statt $X$. Daher ist die Abbildung $q_*:H_n(X\setminus
A,V\setminus A)\to H_n((X/A)\setminus(A/A),(V/A)\setminus(A/A))$ auf
der rechten Seite ein Isomorphismus.\par
Die Abbildung $q_*:H_n(X,A)\to H_n(X/A,A/A)$ auf der linken Seite ist
nun ebenfalls ein Isomorphismus, denn das obige Diagramm ist
kommutativ.
\end{proof}

% Wir halten als Korollar zum Beweis von Proposition \ref{lange ex hom
%   seq bew prop} noch das folgende n\"utzliche Korollar fest.
% Es folgt auch aus Korollar \ref{Homot aequiv iso cor} (erster Teil)
% und Proposition \ref{paar homot induz iso prop} (zweiter Teil). 
% \begin{corollary}\label{def retr homol iso}
%   Sei $X$ ein topologischer Raum und $A$ ein Deformationsretrakt von
%   $X$, $i:A\hookrightarrow X$ die Inklusionsabbildung. Dann ist
%   $i_*:H_n(A)\stackrel\cong\longrightarrow H_n(X)$ ein Isomorphismus. \par
%   Sei $(X,Y)$ ein Paar topologischer R\"aume und $(A,B)\subset(X,Y)$.
%   Ist $(A,B)$ ein Deformationsretrakt von $(X,Y)$ (also $A\supset B$,
%   $X\supset Y$, $A\subset X$, $B\subset Y$ und es gibt eine
%   Deformationsretraktion von $X$ auf $A$, die, eingeschr\"ankt auf
%   $Y$, eine Deformationsretraktion von $Y$ auf $B$ ist) und
%   $i:(A,B)\hookrightarrow(X,Y)$ die Inklusionsabbildung, so ist
%   $i_*:H_n(A,B)\stackrel\cong\longrightarrow H_n(X,Y)$ ein Isomorphismus.
% \end{corollary}

F\"ur beliebige Paare erhalten wir
\begin{lemma}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $\emptyset\neq A\subset X$. Sei
  $X\cup\mathcal CA$ der Abbildungskegel der Inklusion
  $A\hookrightarrow X$. (Hier ist $\mathcal CA=(A\times
  I)/(A\times\{0\})$ und wir identifizieren $A\times\{1\}$ mit
  $A\subset X$.) Dann ist $H_n(X,A)\cong\tilde H_n(X\cup\mathcal CA)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $p\in\mathcal CA$ die Kegelspitze $A\times\{0\}$. Wir erhalten
  die folgende Kette von Isomorphismen
\[\tilde H_n(X\cup\mathcal CA)\cong H_n(X\cup\mathcal CA,\mathcal CA)
\cong H_n((X\cup\mathcal CA)\setminus\{p\},\mathcal CA\setminus\{p\})
\cong H_n(X,A)\,.\] Der Isomorphismus $\tilde H_n(X\cup\mathcal CA)
\cong H_n(X\cup\mathcal CA,\mathcal CA)$ folgt aus der reduzierten
langen exakten Homologiesequenz in Bemerkung \ref{red homol seq paar},
denn $\mathcal CA$ ist kontrahierbar und somit ist $\tilde
H_n(\mathcal CA)\cong0$ f\"ur alle $n$. Der zweite Isomorphismus folgt
aus dem Ausschneidesatz, Theorem \ref{ausschneid thm}. Da $\mathcal
CA\setminus\{p\}$ die Menge $A$ als Deformationsretrakt besitzt, folgt
der letzte Isomorphismus aus Proposition \ref{paar homot induz iso
  prop}. %Korollar \ref{def retr homol iso}.
\end{proof}

\begin{beispiel}\label{sphaeren zykel bsp}
  Wir wollen nun explizit Zykel angeben, die die unendlichen
  zyklischen Gruppen $H_n(D^n,\partial D^n)$ und $\tilde H_n(\S^n)$
  erzeugen. Wir haben in Beispiel \ref{Dn delDn bsp} bereits gesehen,
  dass $H_n(D^n,\partial D^n)\cong\Z$ gilt. Nach Korollar \ref{Sn
    homol cor} gilt $\tilde H_n(\S^n)\cong\Z$. \par
  Wir betrachten zun\"achst $(D^n,\partial D^n)$ oder genauer das dazu
  hom\"oomorphe Paar $(\Delta^n,\partial\Delta^n)$ und wollen zeigen,
  dass die Abbildung $i_n=\eins:\Delta^n\to\Delta^n$, als singul\"ares
  $n$-Simplex aufgefasst, ein $H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)$
  erzeugender Zykel ist. Da wir modulo $\partial\Delta^n$ rechnen, ist
  klar, dass $i_n$ ein Zykel ist. Wir gehen induktiv vor. F\"ur $n=0$
  ist klar, dass $i_n$ einen Erzeuger repr\"asentiert. Sei also
  $n\ge1$. Induktionsschritt: Sei $\Lambda\subset\Delta^n$ die
  Vereinigung aller $(n-1)$-dimensionaler Seiten bis auf eine. Dann
  behaupten wir, dass die folgenden Abbildungen Isomorphismen sind
  \[H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\longrightarrow
  H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)\longleftarrow
  H_{n-1}(\Delta^{n-1},\partial\Delta^{n-1}).\] F\"ur die erste
  Abbildung betrachten wir die lange exakte Homologiesequenz zum
  Tripel $(\Delta^n,\partial\Delta^n,\Lambda)$ aus Korollar
  \ref{tripel homol seq}. Da $\Lambda$ Deformationsretrakt von
  $\Delta^n$ ist und wir $n\ge1$ annehmen durften, folgt
  $H_n(\Delta^n,\Lambda)\cong H_n(\Lambda,\Lambda)\cong0$ und wir
  erhalten
\[\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &0\ar[r]
  &H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\ar[r]^-\partial
  &H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)\ar[r]&0\ar[r]&\ldots\,.}\]
F\"ur den zweiten Isomorphismus betrachten wir die Inklusion
$\Delta^{n-1}\hookrightarrow\partial\Delta^n$ als die Einbettung auf
die Seite, die nicht in $\Lambda$ enthalten ist. Diese Einbettung
induziert einen Hom\"oomorphismus zwischen
$\Delta^{n-1}/\partial\Delta^{n-1}$ und
$\partial\Delta^n/\Lambda$. Also gilt $\tilde
H_{n-1}(\Delta^{n-1}/\partial\Delta^{n-1}) \cong\tilde
H_{n-1}(\partial\Delta^n/\Lambda)$. Da es sich bei den beteiligten
R\"aumen um gute Paare handelt, k\"onnen wir Proposition \ref{lange ex
  hom seq bew prop} anwenden und erhalten
\[H_{n-1}(\Delta^{n-1},\partial\Delta^{n-1})\cong \tilde
H_{n-1}(\Delta^{n-1}/\partial\Delta^{n-1}) \cong\tilde
H_{n-1}(\partial\Delta^n/\Lambda)\cong
H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda),\] was gerade den zweiten
Isomorphismus liefert. Der Induktionsschritt folgt nun, denn unter dem
Isomorphismus $\partial:H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\to
H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)$ wird $i_n$ auf $\partial i_n$
abgebildet, was in $C_{n-1}(\partial\Delta_n,\Lambda)$ bzw.{}
$C_{n-1}(\Delta^{n-1},\partial\Delta^{n-1})$ gerade $\pm i_{n-1}$ ist.
\par
Um die Erzeuger von $\tilde H_n(\S^n)$ zu finden, betrachten wir
$\S^n$ als Vereinigung von zwei Simplizes $\Delta^n_1$ und
$\Delta^n_2$, deren R\"ander auf geeignete Weise zusammengeklebt sind,
so dass die Reihenfolge der Ecken erhalten ist. Dann ist
$\Delta^n_1-\Delta^n_2$ (eigentlich die entsprechenden Identit\"aten),
als $n$-Kette aufgefasst, ein Zykel. Wir behaupten, dass
$\Delta^n_1-\Delta^n_2$ ein Erzeuger der Gruppe $\tilde
H_n(\S^n)\cong\Z$ ist. Zun\"achst einmal liefert die reduzierte lange
exakte Homologiesequenz f\"ur das Paar $(\S^n,\Delta^n_2)$, Bemerkung
\ref{red homol seq paar}, da $\tilde H_n(\Delta^n_2)\cong0$ ist, den
Isomorphismus $\tilde H_n(\S^n)\to H_n(\S^n,\Delta^n_2)$. Dies
funktioniert nur f\"ur $n\ge1$, aber im Falle $n=0$ ist ohnehin klar,
dass die hier auftretenden Abbildungen Isomorphismen sind. Weiterhin
sehen wir wie oben, da (verm\"oge des durch die Inklusion induzierten
Isomorphismus) $\Delta^n_1/\partial\Delta^n_1$ hom\"oomorph zu
$\S^n/\Delta^n_2$ ist, dass
\[H_n(\Delta^n_1,\partial\Delta^n_1)\cong H_n(\S^n,\Delta^n_2)\]
gilt. Wir erhalten also die folgende Kette von Isomorphismen
\[\tilde H_n(\S^n)\longrightarrow H_n(\S^n,\Delta^n_2)\longleftarrow
H_n(\Delta^n_1,\partial\Delta^n_1).\] Der Zykel
$\Delta^n_1-\Delta^n_2$ in der ersten Gruppe entspricht dem Zykel
$\Delta^n_1$ in der dritten Gruppe. Wir haben im ersten Teil des
Beispiels bereits gesehen, dass $\Delta^n_1$ in dieser Gruppe einen
Erzeuger repr\"asentiert. Also repr\"asentiert $\Delta^n_1-\Delta^n_2$
auch einen Erzeuger in $\tilde H_n(\S^n)$.
\end{beispiel}

Aus der obigen Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} erhalten wir
noch
\begin{corollary}
  Sei $X$ ein CW-Komplex. Seien $A,\,B$ Teilkomplexe mit $X=A\cup B$.
  Dann induziert die Inklusionsabbildung $(B,A\cap
  B)\hookrightarrow(X,A)$ f\"ur alle $n$ einen Isomorphismus
  $H_n(B,A\cap B)\to H_n(X,A)$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Im Falle $A\cap B=\emptyset$ ist die Aussage klar. Nehme also an,
  dass $A\cap B\neq\emptyset$ ist. Da CW-Komplexe und ihre
  Teilkomplexe gute Paare bilden, k\"onnen wir benutzen, dass
  $B/(A\cap B)$ und $X/A$ hom\"oomorph sind. Wir benutzen nun 
  Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} und erhalten
\[H_n(B,A\cap B)\cong\tilde H_n(B/(A\cap B))\cong\tilde H_n(X/A)\cong
H_n(X,A).\qedhere\]
\end{proof}

Zur obigen Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} erhalten wir
weiterhin
\begin{corollary}\label{bigvee hom iso cor}
  Seien $X_\alpha$ topologische R\"aume und $x_\alpha\in X_\alpha$, so
  dass $(X_\alpha,x_\alpha)$ (oder genauer $(X_\alpha,\{x_\alpha\})$)
  gute Paare sind. Dann induzieren die Inklusionen
  $i_\alpha:X_\alpha\hookrightarrow\bigvee\limits_\alpha X_\alpha$
  einen Isomorphismus $$\bigoplus\limits_\alpha
  (i_{\alpha})_*:\bigoplus\limits_\alpha\tilde H_n(X_\alpha)\to\tilde
  H_n\left(\bigvee\limits_\alpha X_\alpha\right).$$
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren \[(X,A):=\left(\coprod\limits_\alpha X_\alpha,
    \coprod\limits_\alpha\{x_\alpha\}\right).\] Hierauf wenden wir nun
  Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} an und erhalten 
\begin{align*}
  \tilde H_n\left(\bigvee\limits_\alpha X_\alpha\right) =&\tilde
  H_n\left(\coprod\limits_\alpha X_\alpha/
    \coprod\limits_\alpha\{x_\alpha\}\right)\cong
  H_n\left(\coprod\limits_\alpha X_\alpha,
    \coprod\limits_\alpha\{x_\alpha\}\right)\\
  \cong&\bigoplus\limits_\alpha H_n\left(X_\alpha,\{x_\alpha\}\right)
  \cong\bigoplus\limits_\alpha\tilde H_n\left(X_\alpha\right).
\end{align*}
Der Isomorphismus zwischen dem Koprodukt (der disjunkten Vereinigung)
und der direkten Summe funktioniert hier ganz analog zur Zerlegung in
Proposition \ref{weg komp hom prop}, wo wir solch ein Resultat f\"ur
Homologiegruppen statt f\"ur relative Homologiegruppen gezeigt haben.
\end{proof}

Das folgende Theorem \"uber die Invarianz der Dimension geht auf
L. E. J. Brouwer zur\"uck, der es 1910 mit anderen Methoden bewies.
\begin{theorem}\label{dim inv thm}
  Seien $U\subset\R^m$ und $V\subset\R^n$ offen und nichtleer. Sind
  $U$ und $V$ hom\"oomorph, so gilt $m=n$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien ohne Einschr\"ankung $m,\,n\ge2$. Sei $x\in U$. Betrachte die
  Teilr\"aume $\R^m\supset\R^m\setminus\{x\}\supset\R^m\setminus U$.
  Der Ausschneidungssatz, Theorem \ref{ausschneid thm}, liefert
  $H_k(U,U\setminus\{x\})\cong H_k(\R^m,\R^m\setminus\{x\})$. Die
  lange exakte Sequenz, Bemerkung \ref{red homol seq paar}, f\"ur das
  Paar $(\R^m,\R^m\setminus\{x\})$ liefert, da $\tilde H_k(\R^m)\cong
  0$, den Isomorphismus $\partial: H_k(\R^m,\R^m\setminus\{x\}) \to
  \tilde H_{k-1}(\R^m\setminus\{x\})$. Nun besitzt
  $\R^m\setminus\{x\}$ als Deformationsretrakt einen Raum hom\"oomorph
  zu $\S^{m-1}$. Aus den obigen Resultaten schlie\ss{}en wir also,
  dass
  \[H_k(U,U\setminus\{x\})\cong
  \begin{cases}
    \Z,&k=m,\\
    0,&\text{sonst}.
  \end{cases}\]
  Analog schlie\ss{}en wir f\"ur $y\in V$, dass
  \[H_k(V,V\setminus\{y\})\cong
  \begin{cases}
    \Z,&k=n,\\
    0,&\text{sonst}.
  \end{cases}\] Nun induziert ein Hom\"oomorphismus $h:U\to V$ einen
  Hom\"oomorphismus $U\setminus\{x\}\to V\setminus\{h(x)\}$ und damit
  einen Isomorphismus $H_k(U,U\setminus\{x\})\to
  H_k(V,V\setminus\{h(x)\})$ f\"ur alle $k$. Somit folgt $m=n$.
\end{proof}

Die Techniken aus dem obigen Beweis motivieren die folgende
\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir definieren die \emph{lokalen
    Homologiegruppen} von $X$ an einem Punkt $x\in X$ als
  $H_n(X,X\setminus\{x\})$. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $X$ ein $T_1$-Raum, $x\in X$ und $U\in\U(x)$. Punkte sind also
  abgeschlossen. W\"ahle eine offene Menge $V$ mit $x\in V\subset U$.
  Dann gilt $\ol{X\setminus U}\subset\ol{X\setminus V}=X\setminus
  V\subset X\setminus\{x\}=\interior\,(X\setminus\{x\})$.  Wie im Beweis
  von Theorem \ref{dim inv thm} sehen wir mit Hilfe des
  Ausschneidungssatzes (der aufgrund der obigen Rechnungen anwendbar
  ist), dass $H_n(X,X\setminus\{x\})\cong H_n(U,U\setminus\{x\})$
  gilt. Daher h\"angen die lokalen Homologiegruppen nur von der \glqq
  lokalen Topologie\grqq{} von $X$ in einer Umgebung von $x$ ab. Da
  f\"ur Hom\"oomorphismen stets $H_n(X,X\setminus\{x\})\cong
  H_n(Y,Y\setminus\{f(x)\})$ f\"ur alle $x\in X$ und $n$ gilt,
  k\"onnen wir mit Hilfe dieser Gruppen wie im Beweis der Invarianz
  der Dimension damit gegebenenfalls aussagen, dass zwei R\"aume lokal
  nicht hom\"oomorph (mit einer naheliegenden Definition) sind.
\end{remark}

\subsubsection*{Aufgaben}
\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe \cite[Proposition A.2]{Hatcher}.
\end{aufgabe}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. Definiere die \emph{Suspension}
  (oder Einh\"angung) von $X$, den Doppelkegel \"uber $X$, durch
  $SX:=(X\times[0,1])/\!\!\sim$ mit $(x,t)\sim(y,s)$, falls
  $(x,t)=(y,t)$ oder $s=t=0$ oder $s=t=1$ gilt.  Es ist
  $SX:=((X\times[0,1])/(X\times\{0\}))/(X\times\{1\})$.
\end{definition}

% F\"ur die folgenden beiden Aussagen ist es erlaubt, $H_n(X)\cong
% H^\Delta_n(X)$ f\"ur $\Delta$-Komplexe $X$ zu benutzen. 

\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein topologischer Raum.  Zeige, dass $\tilde
  H_n(X)\cong\tilde H_{n+1}(SX)$ f\"ur alle $n$ gilt.\par
  Allgemeiner: Der Raum $SX$ ist hom\"oomorph zur Vereinigung zweier
  Kegel $\mathcal CX=(X\times[0,1])/(X\times\{0\})$ an der Basis
  $X\times\{1\}$, $((\mathcal CX\times\{a\})\cup(\mathcal
  CX\times\{b\}))/\!\!\sim$, wobei $\sim$ die von $(x,1,a)\sim(x,1,b)$
  erzeugte \"Aquivalenzrelation ist.  Was gilt f\"ur die
  Homologiegruppen, wenn man $k$ Kegel in entsprechender Weise an der
  jeweiligen Basis zusammenklebt?
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Berechne die Homologiegruppen $H_n(X,A)$ im Falle, wenn $A$
    eine endliche Menge von Punkten und $X=\S^2$ oder
    $X=\S^1\times\S^1$ ist.
  \item Sei $X$ eine geschlossene orientierbare Fl\"ache vom Geschlecht
    $2$. Seien $A$ und $B$ Kreise, die \glqq die beiden Tori
    trennen\grqq{} oder \glqq einem Erzeuger der Fundamentalgruppe
    eines der Tori entsprechen\grqq. Bild siehe Tafel: \ldots\\
    Bestimme die Gruppen $H_n(X,A)$ und $H_n(X,B)$. \"Andern sich im
    Falle \glqq $B$\grqq{} die Gruppen, wenn man einen anderen
    Erzeuger w\"ahlt? 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe im Anhang bis \cite[Proposition A.5]{Hatcher}. 
\end{aufgabe}

\begin{definition}
  Ein $\Delta$-Komplex hei\ss{}t \emph{simplizialer Komplex}, wenn die
  Simplizes eindeutig durch ihre Ecken bestimmt sind. Also hat jeder
  $n$-Simplex $n+1$ verschiedene Eckpunkte und kein anderer Simplex
  besitzt dieselben Eckpunkte.
\end{definition}

\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein $\Delta$-Komplex. Zeige, dass die zweite baryzentrische
  Unterteilung von $X$ ein simplizialer Komplex ist. Zeige dazu, dass
  die erste baryzentrische Unterteilung einen $\Delta$-Komplex
  liefert, so dass alle Ecken eines Simplizes verschieden sind und
  dann, dass die baryzentrische Unterteilung eines solchen Komplexes
  ein simplizialer Komplex ist. Warum muss man zweimal baryzentrisch
  unterteilen? 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $f:(X,A)\to(Y,B)$ eine Abbildung von Paaren, so dass $f:X\to Y$
  und $f|A:A\to B$ Homotopie\"aquivalenzen sind. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Zeige, dass $f_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$ f\"ur alle $n$ ein
    Isomorphismus ist.
  \item Zeige, dass die Inklusion
    $f:(D^n,\S^{n-1})\hookrightarrow(D^n,D^n\setminus\{0\})$ keine
    Homotopie\"aquivalenz von Paaren ist; es gibt n\"amlich keine
    Abbildung $g:(D^n,D^n\setminus\{0\})\to(D^n,\S^{n-1})$, so dass
    $fg$ und $gf$ verm\"oge von Homotopien von Paaren homotop zur
    Identit\"at sind. Hinweis (der nicht unbewiesen verwendet werden
    soll): Ist $(X,A)\to(Y,B)$ eine Homotopie\"aquivalenz von Paaren,
    so ist auch $(X,\ol A)\to(Y,\ol B)$ eine Homotopie\"aquivalenz von
    Paaren. 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe im Appendix bis vor Theorem A.6.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
Sei $X$ der Quotientenraum, den man erh\"alt, indem man in einer
endlichen Familie von $2$-Simplizes Paare von Seiten (in affin
linearer Weise) identifiziert. Zeige, dass $X$ lokal hom\"oomorph zu
$\R^2$ ist.   
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein endlichdimensionaler CW-Komplex. Zeige, z.\,B. per
  Induktion, die folgenden Aussagen.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Hat $X$ die Dimension $n$ (in naheliegender Weise definiert),
    dann gilt $H_i(X)\cong0$ f\"ur $i>n$ und $H_n(X)$ ist eine freie
    abelsche Gruppe. Mit welchem geometrischen Objekt h\"angen die
    Erzeuger dieser Gruppe zusammen?
\item $H_n(X)$ ist eine freie abelsche Gruppe, deren Erzeuger sich
  bijektiv auf die $n$-Zellen abbilden lassen, falls es keine Zellen
  in den Dimensionen $n+1$ und $n-1$ gibt. 
\item Besteht $X$ aus $k$ St\"uck $n$-Zellen, so ist die Gruppe
  $H_n(X)$ von h\"ochstens $k$ Elementen erzeugt. 
  \end{enumerate}
  Dazu kann es n\"utzlich sein, zun\"achst einmal zu zeigen, dass
  $X^n/X^{n-1}$ hom\"oomorph zu einer Einpunktvereinigung von
  $n$-Sph\"aren ist.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe im Appendix Theorem A.6 (und ggf.{} zus\"atzlich
  das nachfolgende Gegenbeispiel).
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Betrachte ein $3$-Simplex. Identifiziere Paare von Seiten, so dass
  der Quotientenraum hom\"oomorph zu $\S^3$ ist und der $3$-Simplex
  eine $\Delta$-Struktur auf $\S^3$ liefert. Berechne die simpliziale
  Homologie dieses $\Delta$-Komplexes.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Wir konstruieren einen $3$-dimensionalen $\Delta$-Komplex $X$ wie
  folgt aus $n$ Tetraedern $T_1,\ldots,T_n$: Zun\"achst identifizieren
  wir Seiten, so dass jeweils aufeinanderfolgende Tetraeder $T_i$ und
  $T_{i+1}$ (mit $T_{n+1}\equiv T_1$) genau eine Seite gemeinsam haben
  und alle Tetraeder die an die beiden identifizierten Seiten
  grenzende Kante teilen. Bild: \ldots\,. Identifiziere nun die
  Unterseite von $T_i$ mit der Oberseite von $T_{i+1}$ mit Hilfe
  zweier Rotationen. Dies ist ein Beispiel f\"ur einen Linsenraum.
  Zeige, dass die (simplizialen) Homologiegruppen in den Dimensionen
  $0$ bis $3$ isomorph zu $\Z$, $\Z/n\Z$, $0$ und $\Z$ sind.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $X$ der Kegel \"uber dem $1$-Skelett von $\Delta^3$, also
  hom\"oomorph zur Vereinigung aller Strecken vom Schwerpunkt zu
  Punkten in den sechs Kanten von $\Delta^3$. Berechne f\"ur $x\in X$
  die lokalen Homologiegruppen $H_n(X,X\setminus\{x\})$. Auf welcher
  Teilmenge (von Punkten $x$) von $X$ gilt
  $H_n(X,X\setminus\{x\})\cong0$ f\"ur alle $n$. Diese Menge
  bezeichnen wir mit $\partial X$. (Warum ist diese Bezeichnung \glqq
  als Rand\grqq{} sinnvoll?) Berechne die lokalen Homologiegruppen
  $H_n(\partial X,\partial X\setminus\{x\})$. Sei $f:X\to X$ ein
  Hom\"oomorphismus. Bestimme mit Hilfe der obigen Rechnungen, welche
  Teilmengen $A\subset X$ die Eigenschaft haben, dass $f(A)\subset A$
  gilt (unabh\"angig von der speziellen Wahl des Hom\"oomorphismusses).
\end{aufgabe}

\Subsection{Nat\"urlichkeit}\label{natuerlich sec}
Die Eigenschaft der Nat\"urlichkeit werden wir sp\"ater in Beweisen
ben\"otigen. 

Im Beispiel der langen exakten Sequenz von Paaren aus Theorem
\ref{paare lange ex seq} besagt dies:
\begin{definition}
  Die lange exakte Sequenz von Paaren ist \emph{nat\"urlich} (oder
  funktoriell), wenn f\"ur alle Paare $(X,A)$ und $(Y,B)$ und f\"ur
  alle stetigen Abbildungen $f:(X,A)\to(Y,B)$ das folgende Diagramm
  kommutiert
\[\xymatrix{\ldots\ar[r] &H_n(A)\ar[r]^-{i_*}\ar[d]^-{f_*}
  &H_n(X)\ar[r]^-{j_*}\ar[d]^-{f_*}
  &H_n(X,A)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{f_*}
  &H_{n-1}(A)\ar[r]\ar[d]^-{f_*} &\ldots\\
\ldots\ar[r] &H_n(B)\ar[r]^-{i_*} &H_n(Y)\ar[r]^-{j_*}
&H_n(Y,B)\ar[r]^-\partial &H_{n-1}(B)\ar[r] &\ldots\,.
}\]
Dies ist \"aquivalent dazu, dass $f_*$ eine Kettenabbildung ist. Wir
wollen andere lange exakte Sequenzen ebenso nat\"urlich nennen, wenn
die von allen stetigen Abbildungen zwischen den langen exakten
Sequenzen induzierten Homomorphismen Kettenabbildungen sind; ebenso,
wenn diese Abbildungen wie in Theorem \ref{leS nat thm} von
Gruppenhomomorphismen induziert sind.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Die lange exakte Sequenz von Paaren aus Theorem \ref{paare lange ex
    seq} ist nat\"urlich.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Quadrate, die nur $f_*,\,i_*$ und $j_*$ enthalten, sind
  kommutativ, denn die entsprechenden Quadrate sind zwischen den
  Kettengruppen $C_n$ kommutativ. Dies \"ubertr\"agt sich direkt auf
  die Homologiegruppen. \par
  F\"ur das noch fehlende Quadrat benutzen wir, dass nach Bemerkung
  \ref{sharp partial vertauschen} auf der Ebene von Ketten
  $f_\sharp\partial=\partial f_\sharp$ ist und dass die Randabbildung
  in unserem Fall nach Bemerkung \ref{partial beschr paar rem} durch
  die Randabbildung $\partial:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ induziert ist. Sei
  also $\alpha\in C_n(X,A)$ ein relativer Zykel, also $[\alpha]\in
  H_n(X,A)$. Dann gilt $f_*\partial[\alpha] =f_*[\partial\alpha]
  =[f_\sharp\partial\alpha] =[\partial f_\sharp\alpha]
  =\partial[f_\sharp\alpha] =\partial f_*[\alpha]$ und die Behauptung
  folgt.
\end{proof}

Statt dies f\"ur jede exakte Sequenz extra beweisen zu m\"ussen,
zeigen wir dies einmal algebraisch. Dies funktioniert, da die bisher
betrachteten langen exakten Sequenzen alle Theorem \ref{alg lange ex
  hom seq thm} benutzen.
\begin{theorem}\label{leS nat thm}
  Die lange exakte Sequenz von Homologiegruppen die wir aus einer
  kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen konstruiert haben, ist
  nat\"urlich. Dies bedeutet: F\"ur ein kommutatives Diagramm von
  kurzen exakten Sequenzen von Kettenkomplexen der Form
\[\xymatrix@=2ex{&&&0\ar[dd]&&0\ar[dd]&&0\ar[dd]&&\\
  &&0\ar[dd]&&0\ar[dd]&&0\ar[dd]&&&\\
%
  &\ldots\ar[rr]|-\hole&&
  A'_{n+1}\ar[rr]|-\hole^<<<<\partial\ar[dd]|-\hole^<<<{i'}&&
  A'_n\ar[rr]|-\hole^-<<<<\partial\ar[dd]|-\hole^<<<{i'}
  &&A_{n-1}'\ar[rr]\ar[dd]|-\hole^<<<{i'}&&\ldots\\
  \ldots\ar[rr]&& 
  A_{n+1}\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\alpha\ar[dd]^<<<i&&
  A_n\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\alpha\ar[dd]^<<<i&&
  A_{n-1}\ar[rr]\ar[ru]^-\alpha\ar[dd]^<<<i&& \ldots&\\
%
  &\ldots\ar[rr]|-\hole&&
  B'_{n+1}\ar[rr]|-\hole^<<<<\partial\ar[dd]|-\hole^<<<{j'}&&
  B'_n\ar[rr]|-\hole^-<<<<\partial\ar[dd]|-\hole^<<<{j'}
  &&B_{n-1}'\ar[rr]\ar[dd]|-\hole^<<<{j'}&&\ldots\\
  \ldots\ar[rr]&& 
  B_{n+1}\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\beta\ar[dd]^<<<j&&
  B_n\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\beta\ar[dd]^<<<j&&
  B_{n-1}\ar[rr]\ar[ru]^-\beta\ar[dd]^<<<j&& \ldots&\\
%
  &\ldots\ar[rr]|-\hole&&
  C'_{n+1}\ar[rr]|-\hole^<<<<\partial\ar[dd]|-\hole&&
  C'_n\ar[rr]|-\hole^-<<<<\partial\ar[dd]|-\hole
  &&C_{n-1}'\ar[rr]\ar[dd]|-\hole&&\ldots\\
  \ldots\ar[rr]&& 
  C_{n+1}\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\gamma\ar[dd]&&
  C_n\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\gamma\ar[dd]&&
  C_{n-1}\ar[rr]\ar[ru]^-\gamma\ar[dd]&& \ldots&\\
%
&&&0&&0&&0&&\\
  &&0&&0&&0&&&
}\]
ist das induzierte Diagramm
\[\xymatrix{\ldots\ar[r]&H_n(A)\ar[r]^-{i_*}\ar[d]^-{\alpha_*}
  &H_n(B)\ar[r]^-{j_*}\ar[d]^-{\beta_*}
  &H_n(C)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{\gamma_*}
  &H_{n-1}(A)\ar[r]\ar[d]^-{\alpha_*} &\ldots\\  
\ldots\ar[r] &H_n(A')\ar[r]^-{i'_*} &H_n(B')\ar[r]^-{j'_*}
&H_n(C')\ar[r]^-\partial &H_{n-1}(A')\ar[r] &\ldots 
}\]
kommutativ.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur die ersten beiden Quadrate ist die Aussage klar, da $\beta
  i=i'\alpha$ impliziert, dass $\beta_*i_*=i'_*\alpha_*$ gilt, und aus
  $\gamma j=j'\beta$ folgt $\gamma_*j_*=j'_*\beta_*$. \par
  F\"ur das dritte Quadrat erinnern wir uns daran, dass die Abbildung
  $\partial:H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ durch $\partial[c]:=[a]$ definiert
  ist, wobei $c=j(b)$ und $ia=\partial b$ gelten. Wir wollen also
  zeigen, dass $\partial[\gamma(c)]=[\alpha a]$ gilt. Nun ist $\gamma
  c=\gamma jb=j'\beta b$ und $i'\alpha a=\beta ia=\beta\partial
  b=\partial\beta b$. Vergleiche dies nun mit der Definition des
  Randoperators. Somit folgt $\partial\gamma_*[c] =\alpha_*[a]
  =\alpha_*\partial[c]$.   
\end{proof}

Da wir bei der Konstruktion der langen exakten Sequenzen insbesondere 
Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm} benutzt haben, folgt 
\begin{corollary}
  Die lange exakte Homologiesequenz eines Tripels topologischer
  R\"au\-me, Korollar \ref{tripel homol seq}, und die reduzierte lange
  exakte Homologiesequenz eines Paares topologischer R\"aume,
  Bemerkung \ref{red homol seq paar}, sind nat\"urlich.
\end{corollary}

\begin{lemma}
  Die lange exakte Homologiesequenz f\"ur gute Paare, reduzierte
  Homologiegruppen und Quotientenr\"aume aus Theorem \ref{lange exakte
    hom seq} ist nat\"urlich.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f:(X,A)\to(Y,B)$ eine stetige Abbildung von Paaren. Dann wollen
  wir nachweisen, dass das Diagramm
\[\xymatrix{\ldots\ar[r] &\tilde H_n(A)\ar[r]^-{i_*}\ar[d]^-{f_*}
  &\tilde H_n(X)\ar[r]^-{q_*}\ar[d]^-{f_*} &\tilde
  H_n(X/A)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{\ol f_*} &\tilde
  H_{n-1}(A)\ar[r]\ar[d]^-{f_*} &\ldots\\
\ldots\ar[r] &\tilde H_n(B)\ar[r]^-{i_*} &\tilde H_n(Y)\ar[r]^-{q_*}
&\tilde H_n(Y/B)\ar[r]^-\partial &\tilde H_{n-1}(B)\ar[r] &\ldots}\]
kommutativ ist, wobei $i:A\hookrightarrow X$ die Inklusionsabbildung,
$q:X\to X/A$ die Projektionsabbildung und $\ol f:X/A\to Y/B$ die auf
den Quotienten von $f$ induzierte Abbildung ist.\par
Zun\"achst einmal gilt $fi=if$ und $\ol fq=qf$ und somit sehen wir
wieder direkt, dass die ersten beiden Quadrate kommutieren.\par
Das dritte Quadrat k\"onnen wir wie folgt erweitern (vergleiche
Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop})
\[\xymatrix{\tilde H_n(X/A)\ar[r]^-{j_*}_-\cong \ar[d]^-{\ol f_*}
  &H_n(X/A,A/A)\ar[d]^-{\ol f_*}
  &H_n(X,A)\ar[l]_-{q_*}^-\cong\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{f_*}
  &\tilde H_{n-1}(A)\ar[d]^-{f_*}\\
  \tilde H_n(Y/B)\ar[r]^-{j_*}_-\cong &H_n(Y/B,B/B)
  &H_n(Y,B)\ar[l]_-{q_*}^-\cong\ar[r]^-\partial &\tilde
  H_{n-1}(B)\,.}\]
Die horizontalen Pfeile im ersten Quadrat sind nach Bemerkung \ref{red
  homol seq paar} Isomorphismen und die horizontalen Pfeile im zweiten
Quadrat sind nach Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop}
Isomorphismen. Beachte auch, dass diese hier auftretenden
Isomorphismen gerade die sind, die in Proposition \ref{lange ex hom
  seq bew prop} auftraten und die wir verwendet haben, um $H_n(X,A)$
in Theorem \ref{paare lange ex seq} durch $\tilde H_n(X/A)$ zu
ersetzen. Wegen der Na\"urlichkeit der langen exakten Homologiesequenz
aus Bemerkung \ref{red homol seq paar} sehen wir, dass das erste
Quadrat kommutiert.  Mit der gleichen Begr\"undung kommutiert auch das
dritte Quadrat. Das mittlere Quadrat kommutiert, da $\ol fq=qf$ auf
der Ebene von Ketten gilt.
\end{proof}

\Section{Die \"Aquivalenz von simplizialer und 
singul\"arer Homologie}\label{aequiv simp sing hom sec}
Wir wollen zeigen, dass singul\"are und simpliziale Homologie f\"ur
$\Delta$-Komplexe stets isomorph sind. Wir wollen hier auch den Fall
relativer Homologiegruppen mitbehandeln. Sei also $X$ ein
$\Delta$-Komplex und $A\subset X$ ein Unter-$\Delta$-Komplex, also
eine Vereinigung von Simplizes in $X$, so dass $A$ damit eine
$\Delta$-Komplex Struktur bekommt. Wir nennen $(X,A)$ auch ein Paar
von $\Delta$-Komplexen. \par
Wir definieren relative Ketten durch
$\Delta_n(X,A):=\Delta_n(X)/\Delta_n(A)$ und genauso wie bei der
singul\"aren Homologie auch relative simpliziale Homologiegruppen
$H^\Delta_n(X,A)$. Genauso wie im Falle der singul\"aren Homologie
erhalten wir f\"ur das Paar $(X,A)$ eine lange exakte Homologiesequenz
analog zu Theorem \ref{paare lange ex seq}. Der Beweis funktioniert
ganz analog zum singul\"aren Fall, insbesondere, da die Hauptarbeit
rein algebraisch war. \par
Da simpliziale Ketten formale Summen von charakteristischen
Abbildungen $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$ sind, sind sie in
kanonischer Weise auch singul\"are Ketten. Wir erhalten also eine
Abbildung $\Delta_n(X,A)\to C_n(X,A)$. Dies induziert einen
kanonischen Homomorphismus $H^\Delta_n(X,A)\to H_n(X,A)$.\par
Hier schlie\ss{}en wir $A=\emptyset$ nicht aus. Die \"Uberlegungen
beinhalten also den absoluten (nicht relativen) Fall, da in
kanonischer Weise $H_n(X,\emptyset)\cong H_n(X)$ und
$H^\Delta_n(X,\emptyset)\cong H^\Delta_n(X)$ gelten.

Als algebraisches Hilfsmittel werden wir beim Beweis der \"Aquivalenz
von simplizialer und singul\"arer Homologie das F\"unferlemma
benutzen. 
\begin{lemma}[F\"unferlemma]
Sei 
\[\xymatrix{A\ar[r]^-i\ar[d]^-\alpha&B\ar[r]^-j\ar[d]^-\beta
&C\ar[r]^-k\ar[d]^-\gamma&D\ar[r]^-l\ar[d]^-\delta
&E\ar[d]^-\epsilon\\
A'\ar[r]^-{i'}&B'\ar[r]^-{j'}&C'\ar[r]^-{k'}
&D'\ar[r]^-{l'}&E'}
\]
ein kommutatives Diagramm abelscher Gruppen mit exakten Zeilen. Sind
die Homomorphismen $\alpha,\,\beta,\,\delta$ und $\epsilon$
Isomorphismen, so ist auch $\gamma$ ein Isomorphismus.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir werden zeigen, dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\gamma$ surjektiv ist, wenn $\beta$ und $\delta$ surjektiv
    und $\epsilon$ injektiv sind,
  \item $\gamma$ injektiv ist, wenn $\beta$ und $\delta$ injektiv sind
    und $\alpha$ surjektiv ist.
  \end{enumerate}
  Damit k\"onnen wir die Voraussetzungen an $\alpha$ und $\epsilon$
  abschw\"achen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $c'\in C'$. Da $\delta$ surjektiv ist, gibt es ein $d\in
    D$, so dass $\delta d=k'c'$ gilt. Es gilt $\epsilon ld=l'\delta
    d=l'k'c'=0$, da insbesondere die letzte Zeile exakt ist. Aus
    $\epsilon ld=0$ und der Injektivit\"at von $\epsilon$ folgt
    $ld=0$. Da die erste Zeile exakt ist, finden wir ein $c\in C$, so
    dass $d=kc$ gilt. Es gilt $k'(c'-\gamma c)=k'c'-k'\gamma c=
    k'c'-\delta kc=k'c'-\delta d=0$ aufgrund von schon hergeleiteten
    Identit\"aten. Aufgrund der Exaktheit gibt es ein $b'\in B'$, so
    dass $c'-\gamma c=j'b'$ gilt. Weil $\beta$ surjektiv ist,
    existiert $b\in B$ mit $b'=\beta b$. Es gilt nun
    $\gamma(c+jb)=\gamma c+\gamma jb=\gamma c+j'\beta b=\gamma
    c+j'b'=c'$ und daher ist $\gamma$ surjektiv. 
  \item Sei nun $c\in C$ mit $\gamma c=0$. Es gilt $\delta kc=k'\gamma
    c=0$. Da $\delta$ injektiv ist, folgt auch $kc=0$. Daher gibt es
    ein $b\in B$ mit $c=jb$. Es gilt $j'\beta b=\gamma jb=\gamma c=0$.
    Aufgrund der Exaktheit finden wir also $a'\in A'$, so dass $\beta
    b=i'a'$ gilt. Nun ist $\alpha$ surjektiv, es gibt also ein $a\in
    A$, so dass $a'=\alpha a$ ist. Es gilt $\beta(ia-b)=\beta ia-\beta
    b=i'\alpha a-\beta b=i'a'-\beta b=0$. Da $\beta$ injektiv ist,
    folgt auch $ia-b=0$ oder, \"aquivalent dazu, $b=ia$. Weiterhin
    gilt $c=jb=jia=0$ aufgrund der Exaktheit ($ji=0$). Also ist
    $\ker\gamma$ trivial und $\gamma$ injektiv.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{HHDelta aequiv thm}
  Sei $(X,A)$ ein Paar von $\Delta$-Komplexen. Dann sind die
  Homomorphismen $H^\Delta_n(X,A)\to H_n(X,A)$ f\"ur alle $n$
  Isomorphismen. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X$ zun\"achst endlichdimensional, \dh f\"ur ein $n_0$ und f\"ur
  alle $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$ gelte $n\le n_0$. Sei weiterhin
  zun\"achst $A=\emptyset$. Sei $X^k$ das $k$-Skelett von $X$,
  definiert als die Vereinigung (der Bilder) aller Simplizes mit
  Dimension $\le k$, also aller $n$-Simplizes mit $n\le k$. \par
Wir betrachten das folgende kommutative Diagramm, dessen Zeilen lange
exakte Homologiesequenzen von Paaren, vergleiche Theorem \ref{paare
  lange ex seq}, sind
\begin{equation}\label{HHDelta diagramm}
\xymatrix@=1.4ex{H^\Delta_{n+1}\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n\left(X^{k-1}\right)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n\left(X^k\right)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_{n-1}\left(X^{k-1}\right)\ar[d]\\
  H_{n+1}\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[r] &H_n\left(X^{k-1}\right)\ar[r]
  &H_n\left(X^k\right)\ar[r] &H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[r]
  &H_{n-1}\left(X^{k-1}\right)\,.}
\end{equation}
Da die vertikalen Pfeile gerade die kanonischen Abbildungen
$H^\Delta_n\to H_n$ sind, ist das Diagramm kommutativ. \par
Wir wollen zun\"achst zeigen, dass der erste und der vierte vertikale
Pfeil Isomorphismen sind, genauer, dass
$H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\to H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$
f\"ur alle $n$ ein Isomorphismus ist. Nehme dazu ohne Einschr\"ankung
an, dass $X^k\neq\emptyset$. \par
F\"ur die simplizialen Kettengruppen gilt
$\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\cong0$, falls $k\neq n$ ist. F\"ur
$k=n$ ist $\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ die freie abelsche
Gruppe, die von den ($k$- oder) $n$-Simplizes von $X$ erzeugt wird.
Damit ist $\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ f\"ur festes $k$ ein
Kettenkomplex, in dem s\"amtliche Randabbildungen die Nullabbildungen
sind (da nur in einer Dimension eine m\"oglicherweise nichttriviale
Gruppe steht). F\"ur solch einen Kettenkomplex stimmen die
Homologiegruppen gerade mit den Kettengruppen \"uberein. Somit
verschwindet auch $H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ f\"ur $k\neq n$
und ist im Falle $k=n$ die von den $k$-Simplizes in $X$ erzeugte freie
abelsche Gruppe.\par
Zur Berechnung der singul\"aren Homologiegruppen
$H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ betrachten wir die Abbildung
$$\Phi:\coprod\limits_\alpha\left(\Delta^k_\alpha,
  \partial\Delta^k_\alpha\right) \to\left(X^k,X^{k-1}\right),$$   
die auf den Simplizes gerade durch die charakteristischen Abbildungen
$\Delta^k\to X$ aller $k$-Simplizes von $X$ gegeben ist. Nach
Definition eines $\Delta$-Komplexes induziert $\Phi$ eine Abbildung
auf den Quotientenr\"aumen. Dies ist sogar ein Hom\"oomorphismus
zwischen $\coprod\limits_\alpha\Delta^k_\alpha/\coprod\limits_\alpha
\partial\Delta^k_\alpha$ und $X^k/X^{k-1}$. Somit induziert $\Phi$
einen Isomorphismus zwischen den zugeh\"origen singul\"aren
Homologiegruppen 
\[H_n\left(\coprod\limits_\alpha \Delta^k_\alpha/\coprod\limits_\alpha
  \partial\Delta^k_\alpha\right)\cong H_n\left(X^k/X^{k-1}\right)\]
f\"ur alle $n$. Da beide topologischen R\"aume hom\"oomorph sind,
stimmen auch die reduzierten Homologiegruppen \"uberein. Nun sind
$\Delta$-Kom\-ple\-xe CW-Komplexe und damit ist ein $\Delta$-Komplex
und ein $\Delta$-Unterkomplex insbesondere ein gutes Paar. Wir
k\"onnen also Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} auf die
vertikalen Pfeile im folgenden Diagramm anwenden und erhalten dort den
oberen Isomorphismus
\[\xymatrix{H_n\left(\coprod\limits_\alpha \Delta^k_\alpha,
    \coprod\limits_\alpha \partial\Delta^k_\alpha\right)\ar[r]^-\cong
  \ar[d]^-\cong &H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[d]^-\cong\\
  \tilde H_n\left(\coprod\limits_\alpha
    \Delta^k_\alpha/\coprod\limits_\alpha
  \partial\Delta^k_\alpha\right)\ar[r]^-\cong
&\tilde H_n\left(X^k/X^{k-1}\right).}\] Nach Definition ist der
Quotient $\coprod\Delta^k_\alpha/\coprod\partial\Delta^k_\alpha$ (bis auf
einen Hom\"oomorphismus) eine Einpunktvereinigung von
$k$-dimensionalen Sph\"aren. Mit Hilfe von Korollar \ref{bigvee hom
  iso cor} erhalten wir also
% Das folgende Kommando braucht aus irgendeinem Grund die geschweifte
% Klammer um den ersten Eintrag, der dadurch leicht verschoben
% erscheint. 
\[\xymatrix{{\bigoplus\limits_\alpha\tilde H_n(\mathbb S^k)}\ar[r]^-\cong
  &\tilde H_n\left(\bigvee\limits_\alpha \S^k\right)\ar[r]^-\cong
  &\tilde H_n\left(\coprod\limits_\alpha\Delta^k_\alpha/
    \coprod\limits_\alpha\partial\Delta^k_\alpha\right).}
\]
Dabei wissen wir aufgrund von Beispiel \ref{sphaeren zykel bsp}, dass
f\"ur $k=n$ die Homologiegruppen $H_n(\Delta^k,\partial\Delta^k)$ von
$\eins:\Delta^k\to\Delta^k$ erzeugt werden und au\ss{}erdem trivial
sind, falls $k\neq n$ ist. \par
Dies alles zusammengenommen haben wir dieselbe Beschreibung f\"ur die
Homologiegruppen $H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ wie f\"ur
$H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ einschlie\ss{}lich der Erzeuger,
falls $n>0$ ist, also in dem Fall, wenn reduzierte und nicht
reduzierte Homologiegruppen \"ubereinstimmen. F\"ur $n=0$ ist die
Aussage aber offenbar ebenfalls wahr. Es gilt n\"amlich
\begin{align*}
  &\xymatrix{C_1(X^0,\emptyset)\ar[r]^-{\partial=0}&
    C_0(X^0,\emptyset),}\\
  &\xymatrix{0\cong\Delta_1(X^0,\emptyset)\ar[r]^-0&
    \Delta_0(X^0,\emptyset).}
\end{align*}
F\"ur $k>0$ ist die Behauptung einfach einzusehen. Somit ist
\[H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\to H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\]
f\"ur alle $n,\,k$ ein Isomorphismus. \par
Betrachte nun das kommutative Diagramm \eqref{HHDelta diagramm}. Die
Zeilen sind exakt. Wir haben gerade gezeigt, dass der erste und der
vierte vertikale Pfeil Isomorphismen sind. Wir gehen nun per Induktion
(nach $k$) vor und d\"urfen daher annehmen, dass auch der zweite und
der f\"unfte vertikale Pfeil Isomorphismen sind. Dann liefert das
F\"unferlemma, dass auch der mittlere Pfeil ein Isomorphismus ist.
Dies zeigt die Behauptung im Fall, wenn $X$ endlichdimensional ist und
$A=\emptyset$ gilt. \par
Wir betrachten als n\"achstes den Fall, wenn $X$ unendlichdimensional
ist, wenn also $X$ nicht endlichdimensional ist. Wir wollen dazu
benutzen, dass eine kompakte Menge in $X$ nur endlich viele offene
Zellen $D^k_\alpha$ in $X$ (also die hom\"oomorphen Bilder von
$\interior D^k_\alpha$) schneiden kann. Dies gilt allgemein f\"ur
CW-Komplexe, vergleiche \cite[Proposition A.1]{Hatcher}. F\"ur
$\Delta$-Komplexe sieht man dies direkt wie folgt ein: Falls eine
kompakte Menge $C$ unendlich viele solcher offenen Simplizes
schneidet, so finden wir eine Folge von Punkten $(x_i)_{i\in\N}$,
$x_i\in C$, so dass jeder Punkt $x_i$ in einem anderen offenen Simplex
liegt. Nach Definition eines $\Delta$-Komplexes, Definition \ref{delta
  komplex}, sind die Mengen $U_i:=X\setminus\bigcup\limits_{j\neq
  i}\{x_j\}$ in $X$ offen, da alle Urbilder unter den
charakteristischen Abbildungen der Simplizes offen sind. Die Mengen
$U_i$ \"uberdecken $C$, besitzen aber keine endliche
Teil\"uberdeckung. Widerspruch. Somit ist $C$ bereits in endlich
vielen offenen Simplizes enthalten. \par
Wir wollen nun damit zeigen, dass $H^\Delta_n(X)\to H_n(X)$ surjektiv
ist. F\"ur ein beliebiges Element in $H_n(X)$ finden wir einen
singul\"aren $n$-Zykel $z$, der das vorgegebene Element
repr\"asentiert. Der Zykel $z$ ist eine endliche Linearkombination aus
singul\"aren Simplizes. Diese haben kompakte Bilder in $X$ und treffen
daher nur endlich viele offene Simplizes in der gegebenen
$\Delta$-Struktur von $X$. Also sind alle diese Bilder im $k$-Skelett
$X^k$ f\"ur ein geeignetes $k$ enthalten. Wir wissen bereits, dass
$H^\Delta_n\left(X^k\right)\to H_n\left(X^k\right)$ ein Isomorphismus
und daher insbesondere surjektiv ist. Also ist $z$ in $X^k$ (und damit
auch in $X$) zu einem simplizialen Zykel (singul\"ar) homolog. Somit
ist die Abbildung $H^\Delta_n(X)\to H_n(X)$ surjektiv.\par
Zur Injektivit\"at: Sei ein simplizialer $n$-Zykel $z$ der Rand einer
singul\"aren Kette $a$ in $X$. Dies bedeutet, dass $z$ im Kern der
Abbildung $H^\Delta_n(X)\to H_n(X)$ liegt. Nun ist das Bild dieser
Kette $a$ in $X$ kompakt, liegt also (ebenso wie $z$) wieder in einem
$X^k$. Damit ist $z$ aber auch ein Element des Kernes von
$H^\Delta_n\left(X^k\right)\to H_n\left(X^k\right)$. Da diese
Abbildung nach Voraussetzung jedoch ein Isomorphismus ist, ist $z$ in
$X^k$ ein simplizialer Rand und somit auch in $X$. \par
Sei schlie\ss{}lich $X$ beliebig und $A\neq\emptyset$.  Analog zu
\eqref{HHDelta diagramm} betrachten wir das folgende kommutative
Diagramm, dessen Zeilen lange exakte Homologiesequenzen von Paaren und
dessen vertikale Pfeile die kanonischen Abbildungen, erzeugt von
$C^\Delta_n\to C_n$, sind
\[\xymatrix@=2.0ex{H^\Delta_{n+1}(X,A)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n(A)\ar[r]\ar[d] &H^\Delta_n(X)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n(X,A)\ar[r]\ar[d] &H^\Delta_{n-1}(A)\ar[d]\ar[r]
  &H^\Delta_{n-1}(X)\ar[d]\\
  H_{n+1}(X,A)\ar[r] &H_n(A)\ar[r] &H_n(X)\ar[r] &H_n(X,A)\ar[r]
  &H_{n-1}(A)\ar[r] &H_{n-1}(X)\,.}\]
(Im Vergleich zu \eqref{HHDelta diagramm} haben wir rechts noch ein
Quadrat angeh\"angt.) Aufgrund der obigen \"Uberlegungen sind in den
vier rechten Quadraten die beiden \"au\ss{}eren vertikalen Pfeile
Isomorphismen. Nach F\"unferlemma ist daher auch $H^\Delta_n(X,A)\to
H_n(X,A)$ ein Isomorphismus. 
\end{proof}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Aus Theorem \ref{HHDelta aequiv thm} folgt insbesondere, dass
    die Gruppen $H_n(X)$ endlich erzeugt sind, wenn $X$ eine
    $\Delta$-Komplex Struktur mit endlich vielen $n$-Simplizes
    besitzt. (In diesem Falle sind n\"amlich die simplizialen
    Kettengruppen $\Delta_n(X)$ endlich erzeugt, also (kleiner Satz)
    auch die Untergruppe der Zykel und somit schlie\ss{}lich ebenso
    $H^\Delta_n(X)$.)
  \item Theorem \ref{HHDelta aequiv thm} liefert auch, dass
    $H^\Delta(X)$ (bis auf einen Gruppenisomorphismus) nicht von der
    Wahl einer $\Delta$-Struktur auf $X$ abh\"angt.
  \item Schreiben wir $H_n(X)$, falls diese Gruppe endlich erzeugt
    ist, als die direkte Summe zyklischer Gruppen, so hei\ss{}t die
    Anzahl der $\Z$ Summanden von $H_n(X)$ die $n$-te \emph{Bettizahl}
    von $X$. Die nat\"urlichen Zahlen, die die Ordnung der endlichen
    zyklischen Summanden angeben, hei\ss{}en
    \emph{Torsionskoeffizienten}.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsubsection*{Aufgaben}
Ziel der folgenden Lese- und Verstehaufgaben ist der Beweis des
$n$-dimensionalen Satzes von Borsuk und Ulam \cite[Corollary
2B.7]{Hatcher}. 
\begin{theorem}[Borsuk--Ulam]
  Sei $g:\S^n\to\R^n$ stetig. Dann gibt es ein $x\in\S^n$, so dass
  $g(x)=g(-x)$ gilt. 
\end{theorem}
Wichtig ist bei der Homologie mit Koeffizienten daher insbesondere der
Fall $G=\Z/2\Z$. 

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe \"uber Homologietheorien mit von $\Z$
  verschiedenen Koeffizienten auf Seite 153 in \cite{Hatcher}, soweit
  wir dies f\"ur Koeffizienten in $\Z$ schon besprochen haben.  
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Besorge dir die Grundkenntnisse zu \"Uberlagerungen, wie sie f\"ur
  die n\"achste Aufgabe n\"otig sind. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe die Herleitung der langen exakten Sequenz zwischen
  der Formulierung und dem Beweis von Proposition 2B.6 in
  \cite{Hatcher}. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe Lemma 2.49 \cite{Hatcher}.
\end{aufgabe}

\Section{Abbildungsgrad}\label{abb grad sec}
Der Abbildungsgrad wurde schon vor der Entwicklung der singul\"aren
Homologietheorie mit Hilfe der sogenannten \glqq simplizialen
Approximation\grqq{} definiert.

\begin{definition}
  Sei $f:\S^n\to\S^n$ eine stetige Abbildung f\"ur $n>0$. Dann
  induziert $f$ eine Abbildung $f_*:H_n(\S^n)\to H_n(\S^n)$. $f_*$ ist
  eine Abbildung zwischen zwei unendlichen zyklischen Gruppen. Also
  ist $f_*$ von der Form $f_*(\alpha)=d\alpha$ f\"ur alle $\alpha\in
  H_n(\S^n)$ und f\"ur ein $d\in\Z$, wobei $d$ nur von $f$ abh\"angt.
  Wir nennen $d$ den \emph{Abbildungsgrad} (oder \emph{Grad} oder
  \emph{Brouwergrad} oder \emph{Brouwerschen Abbildungsgrad}) der
  Abbildung $f$. Wir bezeichnen ihn mit $\deg f$.
\end{definition}

Es gelten die folgenden (relativ) elementaren Eigenschaften des
Abbildungsgrades
\begin{lemma}\label{abb grad eig}
Seien $f,\,g:\S^n\to\S^n$ stetige Abbildungen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Abbildung $\eins:\S^n\to\S^n$ erf\"ullt $\deg\eins=1$.
  \item Ist $f$ nicht surjektiv, so gilt $\deg f=0$. 
  \item Homotope Abbildungen $f,\,g:\S^n\to\S^n$ haben denselben
    Abbildungsgrad. 
  \item $\deg(f\circ g)=\deg f\cdot\deg g$.
  \item Ist $f:\S^n\to\S^n$ eine Homotopie\"aquivalenz, so gilt $\deg
    f=\pm 1$. 
  \item Ist $f(\hat x,x^{n+1})=(\hat x,-x^{n+1})$, in Koordinaten
    $\left(\hat x,x^{n+1}\right)$ des $\R^{n+1}$ beschrieben, eine
    Reflektion an der $(n-1)$-Sph\"are $\left\{x^{n+1} =0\right\}
    \cap\S^n$, so gilt $\deg f=-1$.
  \item F\"ur die Antipodalabbildung $-\eins:x\mapsto-x$ gilt
    $\deg\,(-\eins)=(-1)^{n+1}$. 
  \item Besitzt $f$ keine Fixpunkte, so gilt $\deg f=(-1)^{n+1}$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist klar, da $\eins_*=\eins$. 
  \item Sei $x_0\in\S^n\setminus f(\S^n)$. Dann k\"onnen wir $f$
    zerlegen als 
\[\xymatrix{\S^n\ar[rr]^-f\ar[dr]^-{\tilde f}&&\S^n\\
&\S^n\setminus\{x_0\}\ar@{^(->}[ru]^-i&}\]
und erhalten Abbildungen
\[\xymatrix{H_n(\S^n)\ar[rr]^-{f_*}\ar[dr]^-{\left(\tilde f\right)_*}&&
  H_n(\S^n).\\ 
  &{\underbrace{H_n(\S^n\setminus\{x_0\})}_{\cong0}}\ar[ru]^-{i_*}&}\]
Somit ist $f_*:H_n(\S^n)\to H_n(\S^n)$ die Nullabbildung und es folgt
$\deg f=0$.
  \item Ist $f\simeq g$, so folgt $f_*=g_*$ und daher gilt $\deg
    f=\deg g$. (Die Umkehrung ist komplizierter und wurde von
    Hopf bewiesen, \cite[Korollar 4.25]{Hatcher} ist ein Beweis, der
    Homotopietheorie verwendet.)
  \item Folgt direkt aus $(fg)_*=f_*g_*$.  
  \item Ist $f$ eine Homotopie\"aquivalenz, so gibt es eine Abbildung
    $g$, so dass $fg\simeq\eins$ ist. Aus der Multiplikativit\"at des
    Abbildungsgrades folgt $\deg f\cdot\deg g=\deg\eins=1$. Da $\deg
    f,\,\deg g\in\Z$ ist, folgt $\deg f=\pm1$. 
  \item $\S^n$ besitzt eine $\Delta$-Komplex Struktur mit genau zwei
    $n$-Simplizes $\Delta^n_1$ und $\Delta^n_2$, die der oberen und
    der unteren Hemisph\"are entsprechen. Nach Beispiel \ref{sphaeren
      zykel bsp} repr\"asentiert $\Delta^n_1-\Delta^n_2$ gerade einen
    Erzeuger von $H_n(\S^n)$ (beachte, dass wir dort die Reihenfolge
    der Ecken beim Zusammenkleben beibehalten haben). Die Reflektion
    vertauscht gerade $\Delta^n_1$ und $\Delta^n_2$, bildet also den
    Erzeuger von $H_n(\S^n)$ auf sein Inverses ab. 
  \item Die Antipodalabbildung $-\eins$ l\"asst sich als
    Verkn\"upfung von $n+1$ Reflexionen, alle mit Abbildungsgrad $-1$,
    schreiben. Bei jeder dieser Reflexionen wird gerade das Vorzeichen
    einer Koordinate im $\R^{n+1}$ ge\"andert.
  \item Gilt $x\neq f(x)$ f\"ur alle $x\in\S^n$ so liegt der Ursprung
    nicht auf der Verbindungsstrecke von $f(x)$ zu $-x$, definiert
    durch $[0,1]\ni t\mapsto(1-t)f(x)+t(-x)$. Also definiert 
    \[f_t(x):=\frac{(1-t)f(x)-tx}{|(1-t)f(x)-tx|}\] eine Homotopie
    zwischen $f_0=f$ und $f_1=-\eins$.\par (Beachte, dass die
    Antipodalabbildung $-\eins$ keine Fixpunkte besitzt. Die Aussage,
    dass jede fixpunktfreie Abbildung -- bis auf Homotopie -- die
    Antipodalabbildung ist, k\"onnen wir als Umkehrung davon
    auf\/fassen.)
  \end{enumerate}
\end{proof}

Eine Anwendung des Abbildungsgrades ist
\begin{theorem}\label{tang vf Sn}
  Auf $\S^n$ gibt es genau dann ein stetiges nirgends verschwindendes
  tangentiales Vektorfeld, wenn $n$ ungerade ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die differentialgeometrische Aussage \"uber die Existenz eines
  nullstellenfreien Vektorfeldes ist \"aquivalent dazu, dass es eine
  stetige Abbildung $v:\S^n\to\R^{n+1}$ gibt mit $\langle
  v(x),x\rangle=0$ und $v(x)\neq0$ (oder sogar $|v(x)|=1$) f\"ur alle
  $x$. \par
  \Hinrichtung Wir nehmen nun an, dass $v$ eine solche Abbildung mit
  $|v(x)|=1$ ist. F\"ur $t\in[0,1]$ definieren wir eine Homotopie
  $f_t(x):=x\cdot\cos\pi t+v(x)\cdot\sin\pi t$. Diese Homotopie spielt
  sich f\"ur einen festen Wert von $x$ auf dem Gro\ss{}kreis durch $x$
  und $v(x)$ ab. Beachte, dass $\langle x,v(x)\rangle=0$ sichert, dass
  $f_t$ nullstellenfrei ist ($f_t$ braucht auch nicht mehr normiert zu
  werden). Die Abbildung $f_t$ ist eine Homotopie
  zwischen $f_0=\eins$ und $f_1=-\eins$. Daher gilt
  $1=\deg\eins=\deg\,(-\eins)=(-1)^{n+1}$ und somit ist $n$
  ungerade.\par
\Rueckrichtung Sei $n=2k-1$. Definiere
\[v\left(x^1,x^2,\ldots,x^{2k-1},x^{2k}\right)
:=\left(-x^2,x^1,\ldots,-x^{2k},x^{2k-1}\right).\] Motiviert durch den
Fall $\S^1\subset\R^2$ drehen wir also in jeder zweidimensionalen
Ebene um $90^\circ$. Es gilt $\langle x,v(x)\rangle=0$, also ist $v$
ein tangentiales Vektorfeld. Es verschwindet nirgends, denn f\"ur alle
$x\in\S^n$ ist $|v(x)|=1$.
\end{proof} 
Komplizierter ist es, die maximale Anzahl von tangentialen
Vektorfeldern auf $\S^n$ zu finden, die in jedem Punkt linear
unabh\"angig sind.

\begin{remark}
  Theorem \ref{tang vf Sn} besagt, dass jedes tangentiale Vektorfeld
  auf $\S^2$ (oder auf $\S^{2k}$) eine Nullstelle besitzt. Dies
  bedeutet umgangssprachlich: \glqq Ein Igel l\"asst sich nicht
  ohne Wirbel k\"ammen.\grqq
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum.  Die Hom\"oomorphismen $X\to X$
  bilden eine Gruppe bez\"uglich Komposition. Eine Gruppe $G$
  \emph{operiert} auf einem Raum $X$, wenn es einen
  Gruppenhomomorphismus von $G$ in die Gruppe der Hom\"oomorphismen
  $X\to X$ gibt. (Wir ordnen also jedem Gruppenelement $g\in G$ einen
  Hom\"oomorphismus $X\to X$ zu, so dass dem Produkt von
  Gruppenelementen die Verkettung der zugeh\"origen Hom\"oomorphismen
  und $\eins\in G$ die Identit\"at $\eins:X\to X$ zugeordnet werden.)
  Die Gruppe $G$ operiert \emph{frei} auf $X$, wenn nur dem Element
  $\eins\in G$ ein Hom\"oomorphismus zugeordnet wird, der einen
  Fixpunkt besitzt. (Die Zuordnung
  $\Z/2\Z\ni0\mapsto(\eins:\S^n\to\S^n)$ und
  $\Z/2\Z\ni1\mapsto(-\eins:\S^n\to\S^n)$ beschreibt eine freie
  Operation von $\Z/2\Z$ auf $\S^n$.)
\end{definition}

\begin{proposition}
  Die Gruppe $\Z/2\Z$ ist (bis auf Isomorphismen) die einzige
  nichttriviale Gruppe, die f\"ur gerades $n$ frei auf $\S^n$
  operiert.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $G$ eine nichttriviale Gruppe, $g\mapsto f_g$ sei die freie
  Operation von $g$ auf $\S^n$, $n$ gerade, also ist insbesondere
  $f_g:\S^n\to\S^n$ ein Hom\"oomorphismus. Da Hom\"oomorphismen $f$
  einen Abbildungsgrad $\deg f=\pm1$ besitzen, liefert die Komposition
  $g\mapsto f_g\mapsto\deg f_g$ eine Funktion $d:G\to\{\pm1\}$. Da der
  Abbildungsgrad multiplikativ ist,
  $\deg\,(f_{g_1}\circ f_{g_2})=(\deg f_{g_1})\cdot(\deg f_{g_2})$,
  ist $d$ ein Homomorphismus.  Wir hatten gesehen, Lemma \ref{abb grad
    eig}, dass eine fixpunktfreie Abbildung $f_g:\S^n\to\S^n$
  Abbildungsgrad $\deg f_g=(-1)^{n+1}=-1$ hat, falls $n$ gerade
  ist. Somit ist keine fixpunktfreie Abbildung im Kern der Abbildung
  $G\ni g\mapsto\deg f_g$.  Es gilt daher $\ker(d)=\{\eins\}$. Wegen
  $|G|>1$ ist $d$ surjektiv, also auch bijektiv und wir erhalten
  $G\cong\Z/2\Z$.
\end{proof}

Mit Hilfe des \emph{lokalen Abbildungsgrades} kann man oft den
Abbildungsgrad einer Abbildung berechnen.
\begin{definition}\label{lok abb grad}
  Sei $f:\S^n\to\S^n$, $n>0$, eine stetige Abbildung. Nehme an, dass es
  einen Punkt $y\in\S^n$ gibt, so dass $f^{-1}(y)$ nur aus endlich
  vielen Punkten $x_1,\ldots,x_m$ besteht. (Bei einer glatten
  Abbildung ist dies aufgrund des Sardschen Satzes f\"ur fast alle
  Bildpunkte der Fall.) Sei $V$ eine offene Umgebung von $y$.  Seien
  $U_1,\ldots,U_m$ disjunkte Umgebungen der Punkte $x_1,\ldots,x_m$,
  die wir so w\"ahlen, dass $f(U_i)\subset V$ f\"ur alle $i$
  gilt. Dann ist auch $f(U_i\setminus\{x_i\})\subset
  V\setminus\{y\}$. Wir erhalten das folgende kommutative Diagramm
\[\xymatrix{&H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\}) \ar[r]^-{f_*} \ar[dl]_-\cong
  \ar[d]^-{k_i} &H_n(V,V\setminus\{y\}) \ar[d]^-\cong\\
H_n(\S^n,\S^n\setminus\{x_i\}) &H_n\left(\S^n,\S^n\setminus
  f^{-1}(y)\right) \ar[l]_-{p_i} \ar[r]^-{f_*}
&H_n(\S^n,\S^n\setminus\{y\})\\ 
&H_n(\S^n)\ar[ul]^-\cong \ar[u]^j \ar[r]^-{f_*} &H_n(\S^n)
\ar[u]_-\cong\,,}\] 
wobei $k_i$ und $p_i$ durch die entsprechenden Inklusionen induziert
sind und alle anderen Abbildungen die offensichtlichen Abbildungen
sind. Daher ist das Diagramm kommutativ. Die beiden Isomorphismen in
der oberen H\"alfte des Diagrammes kommen vom Ausschneidungssatz,
Theorem \ref{ausschneid thm}, genauso wie im Beweis von Theorem
\ref{dim inv thm} (Invarianz der Dimension). Da f\"ur $p\in\S^n$
aufgrund der Voraussetzung $n>0$ aber $H_n(\S^n\setminus\{p\})\cong0$
folgt, liefert die lange exakte Sequenz von Paaren die beiden
Isomorphismen im unteren Teil des Diagrammes (In Dimension $n=1$ ist
noch die folgende Zusatz\"uberlegung n\"otig: Zun\"achst einmal ist
$H_0(\S^n,\S^n\setminus\{p\})\cong0$, wie man beispielsweise aus der
langen exakten Homologiesequenz f\"ur Tripel sieht. Daher ist $\Z\cong
H_0(\S^n\setminus\{p\})\to H_0(\S^n)\cong\Z$ ein Isomorphismus und
somit $H_1(\S^n,\S^n\setminus\{p\})\to H_0(\S^n\setminus\{p\})$ die
Nullabbildung.  Also ist auch hier $H_1(\S^n)\to
H_1(\S^n,\S^n\setminus\{p\})$ ein Isomorphismus.). Mit Hilfe dieser
vier Isomorphismen sehen wir, dass die beiden Gruppen
$H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\})$ und $H_n(V,V\setminus\{y\})$ isomorph
zu $H_n(\S^n)\cong\Z$ sind. Also ist die Abbildung $f_*$ in der
obersten Zeile des Diagrammes verm\"oge dieser Identifikation gerade
eine Multiplikation mit einer Zahl in $\Z$. Wir nennen diese Zahl den
\emph{lokalen Abbildungsgrad} von $f$ in $x_i$ und bezeichnen ihn mit
$\deg f|x_i$. (Beachte insbesondere, dass die Kommutativit\"at des
obigen Diagrammes nicht impliziert, dass der lokale Abbildungsgrad mit
dem Abbildungsgrad \"ubereinstimmen muss. Beachte weiterhin, dass
die Kommutativit\"at des gesamten Diagrammes nicht zwangsl\"aufig aus
der Kommutativit\"at der einzelnen K\"astchen folgt. Hier ist dies
jedoch hinreichend. M\"oglich ist die Situation des folgenden
Diagrammes
\[\xymatrix{&&\Z\ar[rr]^-{\times1}\ar[d]^-{i_1}\ar[dll]_-{\times1}
  &&\Z\ar[d]^-{\times1}\\\Z
  &&\Z\oplus\Z\ar[ll]_-{p_1+p_2}\ar[rr]^-{p_1+2p_2} &&\Z\\ 
  &&\Z\ar[llu]^-{\times 1}\ar[u]^-{i_2}\ar[rr]_-{\times 2}
  &&\Z\ar[u]_-{\times1},}\] 
wobei $p_j$ die Projektion au die $j$-te Komponente und $i_j$ die
Injektion in die $j$-te Komponente bezeichnen.)\par
Der lokale Abbildungsgrad ist aufgrund des Ausschneidungssatzes nicht
von der speziellen Wahl der Umgebungen $U_i$ abh\"angig. F\"ur die
Unabh\"angigkeit von der Wahl von $V$ argumentiert man analog. Zu
Umgebungen $U_i$ und $W_i$ finden wir einen kleinen offenen Ball $B$
um $x_i$, so dass $\ol B\subset U_i$ und $\ol B\subset W_i$ gelten.
Wir erhalten dann aufgrund des Ausschneidungssatzes das kommutative
Diagramm
\[\xymatrix{H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\})\ar[rd]^-{f_*}&\\
H_n(B,B\setminus\{x_i\})\ar[u]^-\cong\ar[r]^-{f_*}&
H_n(V,V\setminus\{y\})}\]
was die Wohldefiniertheit zeigt, da $\deg_{U_i} f|x_i=\deg_B f|x_i$
gilt und wir analog auch $\deg_{W_i} f|x_i=\deg_B f|x_i$ erhalten.
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $f$ nun zus\"atzlich ein Hom\"oomorphismus. Dann gibt es f\"ur
  jeden Punkt $y$ genau einen Punkt $x_i$ mit $f(x_i)=y$. Dann sind
  alle Abbildungen im obigen Diagramm Isomorphismen (wir k\"onnen
  sogar die oberste Zeile weglassen bzw.{} $V=\S^n$ und $U_i=\S^n$
  w\"ahlen) und es gilt $\deg f|x_i=\deg f=\pm1$. (Das Ergebnis muss
  $\pm1$ sein, da $f^{-1}$ existiert.) Bildet allgemeiner $f$ jede
  Menge $U_i$ hom\"oomorph auf $V$ ab, dann gilt $\deg f|x_i=\pm1$
  (oder $\mp1$) f\"ur alle $i$.  (Die Begr\"undung f\"ur $\pm1$ ist
  hier wieder analog zu oben mit Hilfe der Existenz einer
  Inversen. Die Surjektivit\"at der Einschr\"ankung von $f$ kann man
  auch durch Verkleinern der beteiligten Mengen k\"unstlich
  herstellen.) (Das Vorzeichen kann man h\"aufig in Anwendungen
  aufgrund der Homotopieinvarianz des Abbildungsgrades bestimmen.)
\end{remark}

Lokaler Abbildungsgrad und Abbildungsgrad h\"angen wie folgt zusammen:
\begin{proposition}\label{lok abb grad prop}
In der Situation von Definition \ref{lok abb grad} gilt 
\[\deg f=\sum\limits_i\deg f|x_i.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund des Ausschneidungsatzes ist
  \[H_n\left(\S^n,\S^n\setminus f^{-1}(\{y\})\right)
  \cong\bigoplus\limits_i H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\}) \cong
  \bigoplus\limits_i\Z,\] wobei wir benutzt haben, dass die Mengen
  $U_i$ disjunkt sind, um die direkte Summe zu erhalten. $k_i$ ist
  dann gerade die Inklusionsabbildung f\"ur den $i$-ten Summanden,
  induziert von $(U_i, U_i \setminus \{x_i\}) \hookrightarrow
  \left(\S^n, \S^n \setminus f^{-1}(\{y\})\right)$. Das
  obere Dreieck kommutiert und somit sind $p_i$ die Abbildungen des
  $i$-ten direkten Summanden auf $H_n(\S^n,\S^n\setminus\{x_i\})$. Wie
  bisher identifizieren wir die \"au\ss{}eren Gruppen im obigen
  kommutativen Diagramm mit $\Z$. Die Kommutativit\"at des unteren
  Dreiecks impliziert $p_ij(1)=1$, also muss in $j(1)$ aufgrund der
  Ausschneidungseigenschaft ($H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\})\cong
  H_n(\S^n,\S^n\setminus\{x_i\})$ verm\"oge der auf den $i$-ten
  Summanden eingeschr\"ankten Abbildung $p_i$) in jeder Komponente
  eine Eins stehen, $j(1)=(1,\ldots,1)$.  Also ist
  $j(1)=(1,\ldots,1)=\sum\limits_ik_i(1)$. Das obere Quadrat ist
  kommutativ. Also bildet die mittlere Abbildung $f_*$ das Element
  $k_i(1)$ auf $\deg f|x_i$ ab und somit wird $\sum\limits_ik_i(1)
  =j(1)$ auf $\sum\limits_i\deg f|x_i$ abgebildet.  Da $f_*$ in der
  untersten Zeile $1$ auf $\deg f$ abbildet, folgt $\deg
  f=\sum\limits_i\deg f|x_i$.
\end{proof}

Vergleiche dies mit der folgenden Definition aus der nichtlinearen
Funktionalanalysis \cite{Deimling}, wo man mit Hilfe einer analogen
Formel den Abbildungsgrad definiert.
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $f\in
  C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)\cap C^1(\Omega,\R^n)$. F\"ur einen
  regul\"aren Wert $y\in\R^n\setminus f(\partial\Omega)$ von
  $f|_\Omega$ definieren wir den Brouwer-Grad 
  \[G(f,\Omega,y):=\sum\limits_{x\in f^{-1}(y)}\sgn\det df(x).\]
\end{definition}

Wir wollen Proposition \ref{lok abb grad prop} benutzen, um
nachzuweisen, dass es f\"ur jedes $k\in\Z$ und jedes $n>0$ eine
Abbildung mit Abbildungsgrad $k$ gibt.
\begin{example}
  Sei $n\ge1$, $k\in\Z$. Wir wollen ohne Einschr\"ankung annehmen,
  dass $k>0$ ist. Im Falle $k<0$ gen\"ugt es, an geeigneter Stelle im
  Beweis zus\"atzliche Reflektionen einzubauen und im Falle $k=0$
  gen\"ugt es, eine konstante Abbildung zu betrachten. Sei
  $q:\S^n\to\bigvee\limits_{i=1}^k\S^n$ die Quotientenabbildung, die
  das Komplement von $k$ disjunkten offenen Kugeln $B_i$ in $\S^n$ zu
  einem Punkt identifiziert und aus jeder Kugel (zusammen mit dem
  Punkt, der bei der Identifikation des Komplementes der offen Kugeln
  entsteht) eine $\S^n$ macht. Sei
  $p:\bigvee\limits_{i=1}^k \S^n\to\S^n$ eine Abbildung, die alle
  Sph\"aren mit einer einzigen Sph\"are identifiziert,
  \glqq$\S^n\times\{i\}\to\S^n$\grqq.  Betrachte die Abbildung
  $f:=pq$. F\"ur fast alle $y\in\S^n$ (n\"amlich gerade f\"ur alle,
  die nicht dem identifizierten Punkt aus der Einpunktvereinigung
  entsprechen; es gilt also f\"ur alle Punkte bis auf einen) besteht
  $f^{-1}(y)$ aus je einem Punkt $x_i\in B_i$.  Eingeschr\"ankt auf
  eine geeignete Umgebung von $x_i$ (z.\,B.{} auf $B_i$ und mit einer
  entsprechenden Einschr\"ankung im Bild) ist $f$ ein
  Hom\"oomorphismus. Daher ist $\deg f|x_i=\pm1$.  Falls n\"otig
  wenden wir vor $p$ noch eine Reflektion der entsprechenden Sph\"aren
  $\S^n$ in $\bigvee\limits_{i=1}^k\S^n$ an und erhalten
  $\deg f|x_i=1$ f\"ur alle $i$ (oder $=-1$). Proposition \ref{lok abb
    grad prop} liefert nun
  $\deg f=\sum\limits_{i=1}^k\deg f|x_i=\sum\limits_{i=1}^k1=k$ und
  wir haben wie gew\"unscht eine Abbildung mit Abbildungsgrad $k$
  konstruiert.
\end{example}

\begin{example}\label{zk abb grad bsp}
  Betrachte $\S^1\subset\C$. Sei $k\in\Z$. Wir behaupten, dass die
  Abbildung $f(z):=z^k$ den Abbildungsgrad $\deg f=k$ besitzt. F\"ur
  $k=0$ ist dies offensichtlich, denn dann ist $f$ konstant, also
  insbesondere nicht surjektiv. Durch Komposition mit $z\mapsto
  z^{-1}$, einer Spiegelung, d\"urfen wir annehmen, dass $k>0$ ist.
  Sei $y\in\S^1$. F\"ur jedes $y\in\S^1$ besteht $f^{-1}(y)$ aus $k$
  Punkten $x_1,\ldots,x_k$. Wenn wir $f$ auf eine kleine Umgebung
  eines dieser Punkte $x_i$ einschr\"anken, ist $f$ ein
  Hom\"oomorphismus, der um den Faktor $k$ streckt und dreht. Durch
  lokales Homotopieren von $f$, das den lokalen Abbildungsgrad von $f$
  nicht ver\"andert, k\"onnen wir die Streckung wegdeformieren. (Dies
  folgt aus der Homotopieinvarianz und aufgrund des
  Ausschneidungssatzes.) Also stimmt der lokale Abbildungsgrad mit dem
  lokalen Abbildungsgrad einer Rotation \"uberein. Eine Rotation ist
  ein Hom\"oomorphismus, also stimmen ihr lokaler (Abbildungsgrad) und
  (globaler) Abbildungsgrad \"uberein. Weiterhin ist eine Rotation
  homotop zur Identit\"at, besitzt also den Abbildungsgrad $+1$. Also
  gilt $\deg f|x_i=1$ f\"ur alle $i=1,\ldots,k$ und wir erhalten nach
  Proposition \ref{lok abb grad prop}, dass $\deg f=k$ gilt.
\end{example}

F\"ur beliebige Sph\"aren $\S^n$, $n\ge1$, erhalten wir Abbildungen mit
dem (lokalen) Abbildungsgrad (in einem speziellen Punkt, hier einem
der Pole, falls $n\ge2$) auch mit Hilfe von Suspensionen der
Abbildungen $z\mapsto z^k$ aus Beispiel \ref{zk abb grad
  bsp}.
\begin{definition}
  Seien $X$ und $Y$ topologische R\"aume. Sei $f:X\to Y$ eine stetige
  Abbildung. Sei $\mathcal CX:=(X\times I)/(X\times\{1\})$ der Kegel
  von $X$. Wir definieren die von $f$ induzierte Abbildung $\mathcal
  Cf:\mathcal CX\to\mathcal CY$ vertreterweise (d.\,h.{} von $X\times
  I$ nach $Y\times I$ ohne Quotientenbildung) durch
\[\mathcal Cf(x,t):=(f(x),t).\]
Analog definieren wir die \emph{Suspension} von $f$, $Sf:SX\to SY$,
vertreterweise durch $Sf(x,t):=(f(x),t)$. Beachte, dass diese
Abbildungen jeweils auf den Kegeln bzw.{} Suspensionen wieder
wohldefiniert und stetig sind.
\end{definition}

Der \"Ubergang zur Suspension erh\"alt den Abbildungsgrad, was die
obige Behauptung zeigt, dass der (lokale) Abbildungsgrad (f\"ur
$n\ge2$) beliebige Werte aus
$\Z$ annehmen kann:
\begin{proposition}
  Sei $f:\S^n\to\S^n$ stetig und $Sf:\S^{n+1}\to\S^{n+1}$ die
  Suspension von $f$. Dann gilt $\deg Sf=\deg f$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir haben hier $S\S^n$ und $\S^{n+1}$ identifiziert.\par Bezeichne
  $\mathcal C\S^n$ den Kegel $(\S^n\times I)/(\S^n\times\{1\})$ und
  identifiziere die Basis wie folgt mit $\S^n$:
  $\S^n\equiv\S^n\times\{0\}\subset\mathcal C\S^n$. Dann ist $\mathcal
  C\S^n/\S^n$ die Suspension von $\S^n$. Die induzierte Abbildung
  $\mathcal Cf:(\mathcal C\S^n,\S^n)\to(\mathcal C\S^n,\S^n)$, die auf
  dem zweiten Faktor mit $f$ \"ubereinstimmt, ohne die Notation
  $\mathcal Cf$ abzu\"andern, induziert auf dem Quotientenraum
  $\S^{n+1}\simeq S\S^n=\mathcal C\S^n/\S^n$ gerade die Suspension
  $Sf$ der Abbildung $f$. Nach Kapitel \ref{natuerlich sec} ist die
  lange exakte Homologiesequenz f\"ur Paare aus Bemerkung \ref{red
    homol seq paar} nat\"urlich. Wir wenden dies auf $(\mathcal
  C\S^n,\S^n)$ an und erhalten den rechten Teil des folgenden
  kommutativen Diagrammes 
\[\xymatrix{\tilde H_{n+1}(\S^{n+1})\ar[d]^-{(Sf)_*}
\ar@/^{5ex}/[rr]^-\partial_-\cong
&H_{n+1}(\mathcal C\S^n,\S^n)\ar[r]^-\partial_-\cong\ar[d]^-{(Cf)_*}
\ar[l]_-\cong
&\tilde H_n(\S^n)\ar[d]^-{f_*}\\
\tilde H_{n+1}(\S^{n+1})\ar@/_{5ex}/[rr]^-\partial_-\cong
&H_{n+1}(\mathcal C\S^n,\S^n)\ar[r]^-\partial_-\cong\ar[l]_-\cong
&\tilde H_n(\S^n)\,.}\]
Hier haben wir links bereits $S\S^n$ und $\S^{n+1}$ identifiziert und
auch f\"ur $Sf$ keine neue Notation eingef\"uhrt. Die beiden Pfeile
nach links sind von der Quotientenabbildung induziert und nach
Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} Isomorphismen, da es sich
um gute Paare handelt. Schlie\ss{}lich ist $\partial$ (gerader Pfeil)
ein Isomorphismus, da $\tilde H_i(\mathcal C\S^n)\cong0$ f\"ur alle
$i$ gilt, da ein Kegel \"uber einer Menge stets kontrahierbar ist.
Benutzen wir die Identifikation von $S\S^n$ und $\S^{n+1}$ und
Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop}, so erhalten wir die
gekr\"ummten Pfeile und brauchen ab jetzt nur noch die \"au\ss{}eren
Pfeile zu betrachten. Die Kommutativit\"at des obigen Diagrammes
liefert also, dass $f_*$ und $Sf_*$ Multiplikationen mit der gleichen
Zahl sind. Somit stimmen die beiden Abbildungsgrade wie behauptet
\"uberein.
\end{proof}

\subsubsection*{Aufgaben}
\begin{aufgabe}
  Betrachte stetige Abbildungen $f:\S^n\to\S^n$ f\"ur $n\ge1$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gib eine stetige surjektive Abbildung $f:\S^n\to\S^n$ an, so
    dass $f_*:H_n(\S^n)\to H_n(\S^n)$ die Nullabbildung ist.
  \item Sei $f:\S^n\to\S^n$ stetig. Zeige, dass $f$ homotop zu einer
    Abbildung ist, die einen Fixpunkt besitzt. 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $f:D^n\to D^n$ stetig. Zeige, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt,
  also den Brouwerschen Fixpunktsatz erf\"ullt, indem du mit Hilfe von
  $f$ eine Abbildung $\S^n\to\S^n$ konstruierst, die die gesamte
  Sph\"are auf die \glqq s\"udliche\grqq{} Hemisph\"are abbildet und
  dann den Abbildungsgrad benutzt. (Solch einen Beweis hat auch
  Brouwer angegeben.)
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe}
  Sei $f:\S^{2n}\to\S^{2n}$ eine stetige Abbildung. Zeige, dass es
  einen Punkt $x\in\S^{2n}$ gibt, so dass entweder $f(x)=x$ oder
  $f(x)=-x$ gilt. Schlie\ss{}e daraus, dass jede stetige Abbildung $\R
  P^2\to\R P^2$ einen Fixpunkt besitzt. Benutze lineare Abbildungen
  $\R^{2n}\to\R^{2n}$, um eine Abbildung $\S^{2n-1}\to\S^{2n-1}$ zu
  konstruieren, so dass weder $f$ noch $-f$ einen Fixpunkt besitzt.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Eine Reflektion des $\R^{n+1}$ an einer $n$-dimensionalen Hyperebene
  durch den Ursprung induziert eine Abbildung $\S^n\to\S^n$. Seien
  $A$, $B:\S^n\to\S^n$ zwei solche Abbildungen. Zeige, dass $A$ und
  $B$ homotop sind. Es gen\"ugt sogar, eine Homotopie $f_t$ zu
  benutzen, so dass jede Abbildung $f_t$ wie beschrieben von einer
  Reflektion induziert ist. (Es k\"onnte n\"utzlich sein, eine
  Reflektion zun\"achst mit Hilfe des Skalarproduktes zu beschreiben.)
\end{aufgabe}

\Section{Zellul\"are Homologie}
F\"ur CW-Komplexe kann man mit Hilfe des Abbildungsgrades sehr
effizient Homologiegruppen ausrechnen. Dazu ben\"otigen wir zun\"achst
das folgende technische Lemma.
\begin{lemma}\label{zh lem}
Sei $X$ ein CW-Komplex. Dann gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item\label{zh1} $H_k(X^n,X^{n-1})\cong0$ f\"ur $k\neq n$.
  $H_n(X^n,X^{n-1})$ ist eine freie abelsche Gruppe, deren Erzeuger
  bijektiv auf die $n$-Zellen von $X$ abgebildet werden k\"onnen.
\item\label{zh2} $H_k(X^n)\cong0$ f\"ur $k>n$. Insbesondere gilt
  $H_k(X)\cong0$, falls $X$ ein endlichdimensionaler CW-Komplex ist
  und $k>\dim X$ gilt.
\item\label{zh3} Ist $k<n$, so induziert die Inklusion
  $i:X^n\hookrightarrow X$ einen Isomorphismus $i_*:H_k(X^n)\to
  H_k(X)$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item $(X^n,X^{n-1})$ ist ein gutes Paar und $X^n/X^{n-1}$ ist
    hom\"oomorph zu einer Einpunktvereinigung von $n$-dimensionalen
    Sph\"aren und zwar von einer $n$-Sph\"are pro $n$-Zelle. Nach
    Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} gilt
    $H_k(X^n,X^{n-1})\cong\tilde H_k(X^n/X^{n-1})$. Der obige
    Hom\"oomorphismus liefert $\tilde H_k(X^n/X^{n-1})\cong\tilde
    H_k\left(\bigvee \limits_l\S^n\right)$ f\"ur $l$ in einer
    geeigneten Indexmenge und nach Korollar \ref{bigvee hom iso cor}
    ist $\tilde H_k\left(\bigvee
      \limits_k\S^n\right)\cong\bigoplus\limits_l\tilde H_k(\S^n)$.
    Nun ist $\tilde H_k(\S^n)\cong\Z$ f\"ur $k=n$ und $\cong0$ f\"ur
    $k\neq n$. Die Behauptung \eqref{zh1} folgt also.
  \item Die lange exakte Sequenz f\"ur Paare, Theorem \ref{paare lange
      ex seq}, enth\"alt
    \[H_{k+1}(X^n,X^{n-1})\to H_k(X^{n-1})\to H_k(X^n)\to
    H_k(X^n,X^{n-1}).\] Sei zun\"achst $k\neq n$, $k\neq n-1$. Dann
    verschwinden die beiden \"au\ss{}eren Gruppen in dieser Sequenz
    nach \eqref{zh1}. Wir erhalten also Isomorphismen
    $H_k(X^{n-1})\cong H_k(X^n)$, falls $k\neq n$, $k\neq n-1$. \par
    Ist $k>n$ (also insbesondere $k>0$), so erhalten wir daraus
    $H_k(X^n)\cong H_k(X^{n-1})\cong H_k(X^{n-2})\cong\ldots\cong
    H_k(X^0)\cong0$ und \eqref{zh2} folgt.
  \item Ist $k<n$, so folgt f\"ur alle $m\ge0$, dass $H_k(X^n)\cong
    H_k(X^{n+1}) \cong \ldots \cong H_k(X^{n+m})$ gilt. Dies zeigt
    \eqref{zh3}, falls $X$ ein endlichdimensionaler CW-Komplex
    ist.\par
    (Lediglich die folgenden Gruppen brauchen also nicht isomorph zu
    beiden \glqq Nachbarn\grqq{} zu sein: $H_k(X^{k+1})$, $H_k(X^k)$
    und $H_k(X^{k-1})$.)\par
    Beachte, dass die obigen Isomorphismen jeweils von den
    Inklusionsabbildungen $X^{n-1}\hookrightarrow X^n$ induziert sind.
    % F\"ur den folgenden Teil steht bei Hatcher noch ein
    % allgemeinerer Ansatz, den wir hier jedoch nicht ben\"otigen.
  \item Es bleibt also noch, \eqref{zh3} f\"ur unendlichdimensionale
    CW-Komplexe $X$ nachzuweisen. Eine singul\"are Kette in $X$ hat
    ein kompaktes Bild, trifft also nach \cite[Appendix A.1]{Hatcher}
    nur das Innere von endlich viele Zellen des CW-Komplexes $X$.
    Daher liegt jede singul\"are Kette in einem endlichen Skelett
    $X^m$. \par
    Sei $\alpha$ ein $k$-Zykel in $X$. Dann ist $\alpha$ also auch ein
    $k$-Zykel in einem $X^m$ f\"ur $m$ gen\"ugend gro\ss; wir d\"urfen
    $m>n$ annehmen. Aufgrund der Isomorphismen aus der
    endlichdimensionalen Variante von \eqref{zh3} ist $\alpha$ homolog
    zu einem Zykel in $X^n$. Also kommt jeder $k$-Zykel in $X$ von
    einem $k$-Zykel in $X^n$, falls $n>k$ ist. Somit ist
    $i_*:H_k(X^n)\to H_k(X)$ surjektiv. \par
    Die Argumentation f\"ur die Injektivit\"at funktioniert analog.
    Sei $\alpha$ ein $k$-Zykel in $X^n$ mit $[\alpha]\in\ker i_*$.
    Nehme an, dass $\alpha=\partial\beta$ f\"ur einen $(k+1)$-Zykel in
    $X$ gilt. Dann liegt $\beta$ ein einem $X^m$ f\"ur geeignetes
    gro\ss{}es $m\ge n$. Also ist $[\alpha]$ auch schon im Kern der
    Abbildung $H_k(X^n)\to H_k(X^m)$. Diese Abbildung ist aber ein
    Isomorphismus. Somit ist $[\alpha]=0$ in $H_k(X^n)$ und
    \eqref{zh3} folgt auch f\"ur unendlichdimensionale CW-Komplexe.
    \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

F\"ur die Paare $(X^{n+1},X^n)$, $(X^n,X^{n-1})$ und
$(X^{n-1},X^{n-2})$ erhalten wir aus den langen exakten Sequenzen aus
Theorem \ref{paare lange ex seq} mit Hilfe von Lemma \ref{zh lem}
\begin{align*}
  &\xymatrix@R=8pt{H_{n+1}(X^{n+1},X^n)\ar[r]^-{\partial_{n+1}}
    &H_n(X^n)\ar[r] & H_n(X^{n+1}) \ar[r] \ar[d]^-{\cong}
    &{H_n(X^{n+1},X^n)}\ar[d]^-{\cong}\\
    &&H_n(X) & 0},\umbruch\\
  &\xymatrix@R=8pt{H_n(X^{n-1})\ar[r]\ar[d]^-\cong
    &H_n(X^n)\ar[r]^-{j_n}\ar[r]
    &H_n(X^n,X^{n-1})\ar[r]^-{\partial_n} &H_{n-1}(X^{n-1}),\\
    0&&&&}\umbruch\\
  &\xymatrix@R=8pt{H_{n-1}(X^{n-2})\ar[r]\ar[d]^-\cong
    &H_{n-1}(X^{n-1})\ar[r]^-{j_{n-1}}
    &H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2}).\\
    0&&&&}
\end{align*}
Diese Teile aus exakten Sequenzen von Paaren bauen wir nun in ein
gemeinsames Diagramm ein.
\[\xymatrix@C-40pt{
    &&&&&0&&&\\
    &&0\ar[dr]&&H_n(X)\ar[ru]&&&&\\
    &{\phantom{HnnnX}}&&{\phantom{n}}H_n(X^n){\phantom{n}}
    \ar[ur]^-{i_n}\ar[dr]^-{j_n}&&&&&\\
    \ldots\ar[rr]
    &&H_{n+1}(X^{n+1},X^n)\ar[rr]^-{d_{n+1}}\ar[ur]^-{\partial_{n+1}}
    &&H_n(X^n,X^{n-1})\ar[rr]^-{d_n}\ar[dr]_-{\partial_n}
    &&H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})\ar[rr]
    &&{\ldots}\\
    &&&&&H_{n-1}(X^{n-1})\ar[ur]_-{j_{n-1}}&&{\phantom{HnnnX}}&\\
    &&&&0\ar[ru]&&&&}\] Dieses Diagramm machen wir kommutativ, indem
wir $d_n:=j_{n-1}\partial_n$ f\"ur alle $n$ definieren.  Nach
Bemerkung \ref{partial beschr paar rem} ist der obige Randoperator
$\partial$ mit Hilfe eines Randoperators f\"ur $n$-Ketten
definiert. Daher treten in $d_nd_{n+1}$ zwei solche Randoperatoren auf
und da $j$ von Projektionsabbildungen induziert ist, folgt
$d_nd_{n+1}=0$ f\"ur alle $n$. Also ist die Zeile im obigen Diagramm
ein Kettenkomplex. Die Kettengruppen $H_n\left(X^n,X^{n-1}\right)$
sind aufgrund der \"Uberlegungen beim Beweis der \"Aquivalenz von
singul\"arer und simplizialer Homologie von den $n$-Zellen in $X$
erzeugt und frei, siehe Kapitel \ref{aequiv simp sing hom sec}. Daher
bezeichnen wir diesen Kettenkomplex als \emph{zellul\"aren
  Kettenkomplex}. Die Homologiegruppen dieses Kettenkomplexes
hei\ss{}en \emph{zellul\"are Kettengruppen} von $X$. Wir bezeichnen
sie mit $H^{CW}_n(X)$, lassen den Index CW aber gleich wieder weg,
denn es gilt
\begin{theorem}\label{CW sing aequiv thm}
  Sei $X$ ein CW-Komplex. Dann gilt $H_n^{CW}(X)\cong H_n(X)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund des obigen Diagrammes k\"onnen wir die Gruppen $H_n(X)$ und
  $H_n(X^n)/\im\partial_{n+1}$ identifizieren.  Da $i_n$ surjektiv und
  die Sequenz exakt ist, gilt
  $H_n(X^n)/\im\partial_{n+1}=H_n(X^n)/\ker i_n\cong\im i_n=H_n(X)$.
  Die Abbildung $j_n$ ist injektiv, bildet also $\im\partial_{n+1}$
  isomorph auf $\im(j_n\partial_{n+1})=\im d_{n+1}$ ab. Weiterhin
  bildet sie aufgrund der Exaktheit $H_n(X^n)$ isomorph auf
  $\im j_n=\ker\partial_n$ ab. Auch $j_{n-1}$ ist injektiv. Somit
  haben $\partial_n$ und $j_{n-1}\partial_n=d_n$ denselben Kern, es
  folgt also $\ker\partial_n=\ker d_n$. Zusammengenommen induziert
  $j_n$ also einen Isomorphismus
  $H_n(X^n)/\im\partial_{n+1}\cong \ker\partial_n/\im d_{n+1} =\ker
  d_n/\im d_{n+1}\equiv H_n^{CW}(X)$. Aufgrund der allerersten
  Identifikation im Beweis erhalten wir also $H_n(X)\cong H_n^{CW}(X)$
  wie behauptet.
\end{proof}

\begin{remark}\label{H HCW bem}
Wir erhalten direkt die folgenden Konsequenzen.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Ist $X$ ein CW-Komplex ohne $n$-Zellen, so ist $H_n(X)\cong0$,
  da die $n$-te zellul\"are Kettengruppe $H_n(X^n,X^{n-1})$ dann nach
  Lemma \ref{zh lem} trivial ist.
\item Ist $X$ ein CW-Komplex mit $k$ $n$-Zellen, so l\"asst sich
  $H_n(X)$ mit $k$ oder weniger Elementen erzeugen. (Wie bei der
  ersten Behauptung folgt dies, denn wenn $H_n(X^n,X^{n-1})$ von $k$
  Elementen erzeugt ist, so sind $\ker d_n$ und $\ker d_n/\im d_{n+1}$
  von $k$ oder weniger Elementen erzeugt.)
\item Ist $X$ ein CW-Komplex ohne Zellen in den Dimensionen $n+1$ und
  $n-1$, so ist $H_n(X)$ eine freie abelsche Gruppe deren Erzeuger
  gerade den $n$-Zellen von $X$ entsprechen. Dies liegt daran, dass
  in diesem Falle $X^{n+1}=X^n$ und $X^{n-1}=X^{n-2}$ gelten und somit
  der relevante Teil des zellul\"aren Kettenkomplexes gerade die
  Gestalt $0\cong H_{n+1}(X^{n+1},X^n)\to H_n(X^n,X^{n-1})\to
  H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})\cong0$ hat. 
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{aufgabe}
  Benutze die letzte Beobachtung in Bemerkung \ref{H HCW bem}, um die
  Homologiegruppen von $\mathbb CP^n$ zu bestimmen: Stelle $\mathbb
  CP^n$ als CW-Komplex mit jeweils genau einer Zelle in jeder geraden
  Dimension $\le 2n$ dar und schlie\ss{}e daher, dass
\[H_i(\mathbb CP^n)\cong
\begin{cases}
  \Z&\text{f\"ur }i=0,2,4,\ldots,2n,\\
  0&\text{sonst.}
\end{cases}\] Stelle $\S^n\times\S^n$ als CW-Komplex mit genau einer
$0$-Zelle, zwei $n$-Zellen und einer $2n$-Zelle dar. Berechne
$H_i(\S^n\times\S^n)$. (Der Fall $n=1$ braucht nicht mehr zu behandelt
werden, denn \ldots\,.)\par
Hier ist jeweils auch zu begr\"unden, warum die topologischen R\"aume
hom\"oomorph zu einem CW-Komplex mit der angegebenen Zellenzahl sind.
\end{aufgabe}

Um etwas ausrechnen zu k\"onnen m\"ussen wir insbesondere noch die
Randabbildungen kennen. Betrachten wir zun\"achst $d_1:H_1(X^1,X^0)\to
H_0(X^0)$. Erzeuger von $H_1(X^1,X^0)$ sind gerade (bis auf einen
Isomorphismus) die $1$-Zellen und da in Dimension $1$ die Definitionen
f\"ur CW-Komplexe und $\Delta$-Komplexe \"ubereinstimmen, gerade
$\cong\Delta_1(X)$. Wir hatten $d_1$ so definiert, dass das folgende
Diagramm kommutativ wird
\[\xymatrix{H_1(X^1,X^0)\ar[rr]^-{d_1}\ar[dr]_-{\partial_1}
&&H_0(X^0).\\
&H_0(X^0)\ar[ru]_-{j_0}&}\]
Daher ist $d_1$ gerade die Randabbildung $\Delta_1(X)\to\Delta_0(X)$
des $\Delta$-Komplexes $X^1$. \par
Im Spezialfall, dass $X$ genau eine $0$-Zelle besitzt (und daher
zusammenh\"angend ist), ist $d_1=0$, da (geometrische Begr\"undung)
alle $1$-Zellen an beiden Seiten an diese $1$-Zelle angeklebt werden
oder da (algebraische Begr\"undung) sonst $H^{CW}_0(X)=H_0(X^0)/\im
d_1\cong\Z/\im d_1\not\cong H_0(X)\cong\Z$ w\"are. \par
Falls $n>1$ ist, erhalten wir die Randabbildungen aus dem folgenden
\begin{lemma}
Sei $n>1$. Es gilt
\[d_n(e^n_\alpha)=\sum\limits_\beta d_{\alpha\beta}e^{n-1}_\beta,\]
wobei $d_{\alpha\beta}$ der Abbildungsgrad der Abbildung
\[\S^{n-1}_\alpha\to X^{n-1}\to\S^{n-1}_\beta\] ist, die sich aus der
anheftenden Abbildung von $e^n_\alpha$ und der Quotientenabbildung,
unter der $X^{n-1}\setminus e^{n-1}_\beta$ zu einem Punkt kollabiert,
zusammensetzt.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir identifizieren hier die Zellen $e^n_\alpha$ und $e^{n-1}_\beta$
  mit Erzeugern der jeweiligen Summanden der zellul\"aren
  Kettengruppen. Die anheftende Abbildung f\"ur eine Zelle
  $e^n_\alpha$ hat kompaktes Bild, trifft also nach \cite[Proposition
  A.1]{Hatcher} nur endlich viele $(n-1)$-dimensionale Zellen
  $e^{n-1}_\beta$ in ihrem Inneren, so dass sich ein nichttrivialer
  Abbildungsgrad ergeben kann. Daher ist die angegebene Summe
  endlich.\par
  Um die angegebene Formel herzuleiten, betrachten wir das folgende
  kommutative Diagramm
\[\xymatrix@C=3.0ex{
H_n(D^n_\alpha,\partial D^n_\alpha)\ar[r]^-\partial_-\cong
\ar[d]^-{\Phi_{\alpha*}}
&\tilde H_{n-1}(\partial D^n_\alpha)\ar[r]^-{\Delta_{\alpha\beta*}}
\ar[d]^-{\phi_{\alpha*}}
&\tilde H_{n-1}(\S^{n-1}_\beta)\\
H_n(X^n,X^{n-1})\ar[r]^-{\partial_n}\ar[dr]_-{d_n}
&\tilde H_{n-1}(X^{n-1})\ar[r]^-{q_*}\ar[d]^-{j_{n-1}}
&\tilde H_{n-1}(X^{n-1}/X^{n-2})\ar[u]^-{q_{\beta*}}\ar[d]^-\cong\\
&H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})\ar[r]^-\cong
&H_{n-1}(X^{n-1}/X^{n-2},X^{n-2}/X^{n-2}),}\]
wobei
\begin{itemize}
\item $\Phi_\alpha$ die charakteristische Abbildung der Zelle
  $e^n_\alpha$ und $\phi_\alpha$ ihre anheftende Abbildung ist.  
\item $q:X^{n-1}\to X^{n-1}/X^{n-2}$ die Projektionsabbildung auf den
  Quotienten ist. 
\item die Abbildung $q_\beta:X^{n-1}/X^{n-2}\to\S^{n-1}_\beta$ das
  Komplement der offenen Zelle $e^{n-1}_\beta$ auf einen Punkte
  abbildet. Das Ergebnis ist ein topologischer Raum hom\"oomorph zu
  einer Sph\"are $\S^{n-1}$. Verm\"oge der charakteristischen
  Abbildung $\Phi_\beta$ identifizieren wir sie mit
  $\S^{n-1}_\beta=D^{n-1}_\beta/\partial D^{n-1}_\beta$.
\item die Abbildung
  $\Delta_{\alpha\beta}:\partial D^n_\alpha\to\S^{n-1}_\beta$ als
  $\Delta_{\alpha\beta}:=q_\beta q\phi_\alpha$ definiert ist. Damit
  ist das obige Quadrat per definitionem
  kommutativ. $\Delta_{\alpha\beta}$ kann auch als Komposition der
  anheftenden Abbildung f\"ur $e^n_\alpha$ mit der Quotientenabbildung
  $X^{n-1}\to\S^{n-1}_\beta$ aufgefasst werden, wobei bei der
  Quotientenbildung das Komplement von $e^{n-1}_\beta$ in $X^{n-1}$
  auf einen Punkt abgebildet wird.
\end{itemize}
Das Quadrat links oben ist kommutativ, da die vertikalen Pfeile von
der charakteristischen und der anheftenden Abbildung her kommen und
die horizontalen Pfeile von Randabbildungen herkommen.  Benutze dann
die Nat\"urlichkeit der reduzierten langen exakten Homologiesequenz
f\"ur Paare. Das Quadrat rechts unten ist offensichtlich kommutativ
und das rechts oben nach Definition. Das Dreieck links unten ist ein
Teil des Diagrammes in der Definition der Randabbildungen $d_n$ f\"ur
die zellul\"are Homologie.  Beachte hierbei stets, dass wir zur Zeit
$n>1$ annehmen, wir also reduzierte oder nicht reduzierte
Homologiegruppen verwenden k\"onnen.  Die beiden Isomorphismen rechts
unten sind klar, der links oben folgt aus der reduzierten langen
exakten Homologiesequenz f\"ur Paare, da die reduzierten
Homologiegruppen von $D^n_\alpha$ trivial sind. \par
Sei also $\left[D^n_\alpha\right]\in H_n\left(D^n_\alpha,\partial
  D^n_\alpha\right)\cong\Z$ ein Erzeuger. Die Abbildung
${\Phi_{\alpha}}_*$ bildet diesen auf einen Erzeuger des Summanden
$\Z$ der Gruppe $H_n\left(X^n,X^{n-1}\right)$ ab, der der Zelle
$e^n_\alpha$ entspricht. Bezeichne diesen Erzeuger mit $e^n_\alpha$;
also gilt ${\Phi_\alpha}_*\left[D^n_\alpha\right]=e^n_\alpha$. Die
Kommutativit\"at des linken Teils des obigen Diagrammes liefert
\[d_n(e^n_\alpha)=j_{n-1}{\phi_\alpha}_*\partial
\left[D^n_\alpha\right].\] W\"ahle f\"ur
$H_{n-1}\left(X^{n-1},X^{n-2}\right)$ eine Basis, die den Zellen
$e^{n-1}_\beta$ entspricht. Dann ist die Abbildung ${q_\beta}_*$ die
Projektion von $H_{n-1}\left(X^{n-1}/X^{n-2}\right)$ auf den Summanden
$\Z\cong\tilde H_{n-1}\left(\S^{n-1}_\beta\right)$, der gerade
$e^{n-1}_\beta$ entspricht. (F\"ur
$H_{n-1}\left(X^{n-1},X^{n-2}\right)$ und $\tilde
H_{n-1}\left(X^{n-1}/X^{n-2}\right)$ k\"onnen wir dabei dieselben
Erzeuger w\"ahlen und brauchen diese Gruppen daher nicht zu
unterscheiden.)  Nach Korollar \ref{bigvee hom iso cor} ist
$d_n(e^n_\alpha)$ durch diese Bilder eindeutig bestimmt. Aufgrund der
Kommutativit\"at des obigen Diagrammes ist die $e^{n-1}_\beta$
entsprechende Komponente von $d_n(e^n_\alpha)$ durch
${\Delta_{\alpha\beta}}_*
\partial\left[D^n_\alpha\right] ={q_\beta}_*q_* {\phi_\alpha}_*
\partial\left[D^n_\alpha\right]$ gegeben. (Beachte, dass
$\partial\left[D^n_\alpha\right]$ ein Erzeuger von $\tilde
H_{n-1}\left(\partial D^n_\alpha\right)$ ist.) Der Koeffizient in
dieser Darstellung mit Erzeugern, die Zellen $e^{n-1}_\beta$
entsprechen, kommt also gerade von der Abbildung
${\Delta_{\alpha\beta}}_*:\tilde H_{n-1}\left(\partial
  D^n_\alpha\right)\to \tilde H_{n-1}\left(\S^{n-1}_\beta\right)$ und
ist damit der oben beschriebene Abbildungsgrad.
\end{proof}

\begin{aufgabe}\label{zellul hom bsp}
  Bestimme die zellul\"aren Homologiegruppen der folgenden R\"aume:
  $\mathbb T^2$, $\mathbb T^3\simeq(\S^1)^3$, $\R{}P^2$, $\S^n$,
  Kleinsche Flasche, $\C{}P^n$.
\end{aufgabe}

\Section{Eulercharakteristik}
\begin{definition}
Sei $X$ ein endlicher CW-Komplex, also ein CW-Komplex, der aus endlich
vielen Zellen aufgebaut ist. Definiere die \emph{Eulercharakteristik}
von $X$, $\chi(X)$, durch $\chi(X):=\sum\limits_n(-1)^nc_n$, wobei
$c_n$ die Anzahl der $n$-Zellen in $X$ bezeichnet.   
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Stelle $G$ als
  direkte Summe zyklischer Gruppen dar. Die Anzahl der Summanden
  isomorph zu $\Z$ hei\ss{}t \emph{Rang} von $G$, $\rang G$. 
\end{definition}

Es gilt
\begin{lemma}
  Sei $0\to A\to B\to C\to0$ eine kurze exakte Sequenz endlich
  erzeugter abelscher Gruppen. Dann gilt $\rang B=\rang A+\rang C$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

Wir wollen nun nachweisen, dass $\chi(X)$ homologisch definiert werden
kann und daher nur vom Homotopietyp von $X$ abh\"angt, insbesondere
also von der gew\"ahlten CW-Struktur auf $X$ unabh\"angig ist.
\begin{theorem}
  Sei $X$ ein endlicher CW-Komplex. Dann gilt
  \[\chi(X)=\sum\limits_n(-1)^n\rang H_n(X).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Das Theorem l\"asst sich algebraisch wie folgt umformulieren: Sei 
\[\xymatrix{0\ar[r] &C_k\ar[r]^-{d_k} &C_{k-1}\ar[r] &\ldots\ar[r]
  &C_1\ar[r]^-{d_1} &C_0\ar[r] &0}\]
ein Kettenkomplex aus endlich erzeugten abelschen Gruppen. Dann wollen
wir zeigen, dass
\[\sum\limits_{i=1}^k(-1)^i\rang C_i=\sum\limits_{i=1}^k(-1)^i\rang H_i\]
gilt, wobei $H_k$ die entsprechenden Homologiegruppen bezeichnet.
Wenden wir dies auf den zellul\"aren Kettenkomplex mit
$C_k=H_k\left(X^k,X^{k-1}\right)$ an, so ist die linke Seite gerade
die Eulercharakteristik, da $H_k\left(X^k,X^{k-1}\right)$ eine freie
abelsche Gruppe ist, die von den $k$-Zellen erzeugt wird. F\"ur die
rechte Seite benutzen wir, dass nach Theorem \ref{CW sing aequiv thm}
bei dieser Wahl der Gruppen $C_k$ der zellul\"are Kettenkomplex gerade
Homologiegruppen liefert, die isomorph zu denen der singul\"aren
Homologie sind, also insbesondere denselben Rang wie diese haben.\par
Definiere also
\begin{itemize}
\item die Zykel $Z_n:=\ker d_n$, 
\item die R\"ander $B_n:=\im d_{n+1}$, 
\item die Homologiegruppen $H_n:=Z_n/B_n$. 
\end{itemize}
Wir erhalten kurze exakte Sequenzen \[0\to Z_n\to C_n\to B_{n-1}\to0\]
und \[0\to B_n\to Z_n\to H_n\to0.\] Diese entsprechen den kurzen exakten
Sequenzen \[0\to\ker d_n\to C_n\to\im d_n\to0\] (was allgemein f\"ur
Gruppenhomomorphismen $d_n$ gilt) und \[0\to\im d_{n+1}\to\ker
d_n\to\ker d_n/\im d_{n+1}\to0\] (was f\"ur Kettenabbildungen gilt).
F\"ur die R\"ange der jeweiligen Gruppen folgt also
\begin{align*}
  \rang C_n=&\,\rang Z_n+\rang B_{n-1},\\
  \rang Z_n=&\,\rang B_n+\rang H_n.
\end{align*}
Wir setzen die zweite Gleichung in die erste ein, summieren mit
Vorfaktoren $(-1)^n$, benutzen, dass sich alle Bildr\"ange gegenseitig
aufheben, und erhalten
\[\sum\limits_n(-1)^n\rang C_n=\sum\limits_n(-1)^n(\rang B_n+\rang
B_{n-1}+\rang H_n)=\sum\limits_n(-1)^n\rang H_n.\]
Das Theorem folgt. 
\end{proof}

\begin{aufgabe}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Bestimme die Eulercharakteristik f\"ur die Beispiele aus
    Aufgabe \ref{zellul hom bsp}. 
  \item Bestimme die Eulercharakteristik eines Fahrradvorderrades mit
    Schlauch, Felge, Speichen und Nabe.
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

%Dieses Kapitel kann vorgezogen werden; nur die klassischen
%Anwendungen bauen darauf auf. Dies haette Vorteile fuer die
%Uebungsaufgaben, denn zu Mayer-Vietoris Sequenzen kann man leicht
%eine ganze Menge davon stellen. 
\Section{Mayer-Vietoris Sequenzen}
F\"ur R\"aume und Teilr\"aume gibt es noch eine weitere wichtige
exakte Sequenz, die Mayer-Vietoris Sequenz. 
\begin{theorem}\label{mv seq thm}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $A,\,B\subset X$ mit $\interior
A\cup\interior B=X$. Dann ist die folgende Sequenz eine lange exakte
Sequenz
\[\xymatrix@=3.3ex{\ldots\ar[r]&H_n(A\cap B)\ar[r]^-\Phi&H_n(A)\oplus
  H_n(B)\ar[r]^-\Psi&H_n(X)\ar[r]^-\partial&H_{n-1}(A\cap
  B)\ar[r]&\ldots&}\]
\[\xymatrix@=3.3ex{\ldots\ar[r]&H_0(X)\ar[r]&0.}\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir verwenden den Kettenkomplex $C_n(A+B)$ wie im Beweis von Theorem
  \ref{ausschneid thm}. Nach Proposition \ref{bary sub div prop}
  induziert $C_n(A+B)\hookrightarrow C_n(X)$ einen Isomorphismus der
  Homologiegruppen $H_n(A+B)\cong H_n(X)$. Die Mayer-Vietoris Sequenz
  ist nun die lange exakte Sequenz, die man mit Theorem \ref{alg lange
    ex hom seq thm} aus der kurzen exakten Sequenz
\[\xymatrix{0\ar[r]&C_n(A\cap B)\ar[r]^-\phi&C_n(A)\oplus
  C_n(B)\ar[r]^-\psi&C_n(A+B)\ar[r]&0}\]
und dem obigen Isomorphismus bekommt. (Die Abbildungen sind in der
langen exakten Sequenz in naheliegender Weise bezeichnet.) Die obige
Sequenz ist dabei eine kurze exakte Sequenz, wenn wir
$\phi(x):=(x,-x)$ und $\psi(x,y):=x+y$ setzen: Zun\"achst ist
$\ker\phi=0$, denn eine Kette in $A\cap B$, die in $A$ (oder $B$)
verschwindet, verschwindet auch schon in $A\cap B$. Nach Definition
von $\phi$ und $\psi$ gilt $\psi\phi=0$, also ist
$\im\phi\subset\ker\psi$. Zu $\ker\psi\subset\im\phi$: Sei $(x,y)\in
C_n(A)\oplus C_n(B)$, so dass $x+y=0$ gilt und damit auch
$x=-y$. Daher ist $x\in C_n(A)$ und $x\in C_n(B)$, also gilt auch
$x\in C_n(A\cap B)$. Nun ist $\phi(x)=(x,-x)=(x,y)$. Daher ist jedes
Element in $\ker\psi$ auch in $\im\phi$ und die Behauptung folgt. Die
Exaktheit an der Stelle $C_n(A+B)$ ist klar, da $\psi$ offensichtlich
surjektiv ist. Somit ist die angegebene kurze Sequenz exakt und das
Theorem folgt. 
\end{proof}

\begin{aufgabe}
  Erweitere die kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen, die man
  erh\"alt, wenn man die kurzen exakten Sequenzen aus dem Beweis von
  Theorem \ref{mv seq thm} \"ubereinanderschreibt, wie folgt
  \[\xymatrix{ 0\ar[r]&C_0(A\cap
    B)\ar[r]^-\phi\ar[d]^-\epsilon&C_0(A)\oplus
    C_0(B)\ar[r]^-\psi\ar[d]^-{\epsilon\oplus\epsilon}
    &C_0(A+B)\ar[r]\ar[d]^-\epsilon&0\\ 
0\ar[r]&\Z\ar[r]^-\phi&\Z\oplus\Z\ar[r]^-\psi&\Z\ar[r]&0}\] 
und erhalte daraus eine Mayer-Vietoris Sequenz f\"ur reduzierte
Homologiegruppen, falls $A\cap B\neq\emptyset$ ist, n\"amlich 
\[\xymatrix@=3.3ex{\ldots\ar[r]&\tilde H_n(A\cap B)\ar[r]^-\Phi&\tilde
  H_n(A)\oplus \tilde H_n(B)\ar[r]^-\Psi&\tilde
  H_n(X)\ar[r]^-\partial&\tilde H_{n-1}(A\cap B)\ar[r]&\ldots&}\]
\[\xymatrix@=3.3ex{\ldots\ar[r]&\tilde H_0(X)\ar[r]&0.}\]
\end{aufgabe}

Die folgende Aufgabe l\"asst sich insbesondere auf CW-Komplexe und
ihre Unterkomplexe anwenden.
\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $A,\,B\subset X$ und gelte $X=A\cup
  B$. Seien $U\supset A$ und $V\supset B$ Umgebungen von $A$ bzw.{}
  $B$, so dass 
  \begin{itemize}
  \item $A$ Deformationsretrakt von $U$,
  \item $B$ Deformationsretrakt von $V$ und
  \item $A\cap B$ Deformationsretrakt von $U\cap V$ ist.
  \end{itemize}
  Benutze das F\"unferlemma, um zu zeigen, dass $C_n(A+B)\to C_n(U+V)$
  einen Isomorphismus auf der Ebene der Homologiegruppen erzeugt.
  Leite daraus eine Mayer-Vietoris Sequenz f\"ur $A$, $B$ und $X$ her.
\end{aufgabe}

\begin{example}
  Sei $X=\S^n$ und seien $A$ und $B$ die abgeschlossene n\"ordliche
  und s\"udliche Hemisph\"are. Dann gilt $A\cap B\simeq\S^{n-1}$
  ($\simeq\,\,:=$ ist hom\"oomorph zu). Nun ist
  $\tilde H_i(A)\oplus\tilde H_i(B)\cong0$, da $A$ und $B$ auf einen
  Punkt kontrahierbar sind.  Sei nun $n\ge1$. Wir erhalten f\"ur
  $i\ge1$ aus der Mayer-Vietoris Sequenz die Isomorphismen
  $\tilde H_i\left(\S^n\right)\cong\tilde
  H_{i-1}\left(\S^{n-1}\right)$. Per Induktion kann man hieraus
  nochmals die Homologiegruppen der Sph\"aren berechnen.
\end{example}

\begin{aufgabe}
  Zerlege die Kleinsche Flasche in zwei M\"obiusb\"ander und bestimme
  mit Hilfe einer Mayer-Vietoris Sequenz die Homologiegruppen der
  Kleinschen Flasche. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $(X,Y)=(A\cup B,C\cup D)$ ein Paar topologischer R\"aume, so
  dass $C\subset A$, $D\subset B$, $X=\interior A\cup\interior B$ und
  $Y=\interior C\cup\interior D$ gelten. Dann ist die folgende lange
  relative Mayer-Vietoris Sequenz exakt:
\[\xymatrix@=3.5ex{\ldots\ar[r]&H_n(A\cap B,C\cap D)\ar[r]^-\Phi
  &H_n(A,C)\oplus H_n(B,D)\ar[r]^-\Psi&H_n(X,Y)\ar[r]^-\partial
  &\ldots\,.}\] Zeige dazu zun\"achst, dass in dem folgenden
kommutativen Diagramm mit von Inklusionen induzierten Abbildungen alle
Zeilen und Spalten exakt sind
\[\xymatrix@=3.5ex{&0\ar[d]&0\ar[d]&0\ar[d]&\\
  0\ar[r]&C_n(C\cap D)\ar[r]^-\phi\ar[d] &C_n(C)\oplus
  C_n(D)\ar[r]^-\psi\ar[d]
  &C_n(C+D)\ar[r]\ar[d]&0\\
  0\ar[r]&C_n(A\cap B)\ar[r]^-\phi\ar[d] &C_n(A)\oplus
  C_n(B)\ar[r]^-\psi\ar[d]
  &C_n(A+B)\ar[r]\ar[d]&0\\
  0\ar[r]&C_n(A\cap B,C\cap D)\ar[r]^-\phi\ar[d] &C_n(A,C)\oplus
  C_n(B,D)\ar[r]^-\psi\ar[d]
  &C_n(A+B,C+D)\ar[r]\ar[d]&0\\
  &0&0&0&.}\] Hierbei ist $C_n(A+B,C+D)$ die Quotientengruppe aus
$C_n(A+B)\subset C_n(X)$ und $C_n(C+D)\subset C_n(Y)$. Komplizierter
ist dabei die Exaktheit der dritten Zeile. Zeige dazu zun\"achst
einmal, dass die dritte Zeile ein Kettenkomplex ist und folgere dann
die Exaktheit mit Hilfe einer langen exakten Homologiesequenz.
\end{aufgabe}

\Section{Klassische Anwendungen}
Eine Einbettung hatten wir als stetige Abbildung definiert, die ein
Hom\"oomorphismus auf ihr Bild ist. 
\begin{proposition}\neueZeile\label{klass prop}
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $h:D^k\to\S^n$ eine Einbettung. Dann gilt $\tilde
    H_i\left(\S^n\setminus h\left(D^k\right)\right)\cong0$ f\"ur alle
    $i$. 
  \item Sei $h:\S^k\to\S^n$ eine Einbettung und $k<n$. Dann ist
\[\tilde H_i\left(\S^n\setminus h\left(\S^k\right)\right)\cong
\begin{cases}
  \Z,&i=n-k-1,\\
  0,&\text{sonst.}
\end{cases}\]
  \end{enumerate}
\end{proposition}

Als Folgerung erhalten wir den verallgemeinerten Jordanschen Kurvensatz:
\begin{corollary}
  Sei $A\subset\R^n$ mit $A\simeq\S^{n-1}$. Dann ist $\R^n\setminus A$
  die disjunkte Vereinigung von zwei offenen wegzusammenh\"angenden
  Mengen. Die Aussage bleibt auch richtig, wenn wir $\R^n$ durch
  $\S^n$ ersetzen. 
\end{corollary}
Der Satz von Sch\"onfliess besagt, dass jede Einbettung
$\S^1\hookrightarrow\S^2$ \"aquivalent zur Standardeinbettung
ist. \"Aquivalenz besagt hier, dass es einen Hom\"oomorphismus von
$\S^2$ gibt, der das Bild von $\S^1$ auf den \"Aquator abbildet. 

Beachte aber, dass die Komplemente einer eingebetteten Sph\"are
$\S^{n-1}\subset\S^n$ nicht einfach zusammenh\"angend sein m\"ussen. 
Die Alexander-Sph\"are liefert das entsprechende Gegenbeispiel.

In Dimension $n=4$ ist die entsprechende Aussage zum Satz von
Sch\"onfliess f\"ur glatte Einbettungen eine offene Vermutung, die
Sch\"onfliess Vermutung.

Einbettungen $\S^1\to\S^3$ sind im allgemeinen nicht \"aquivalent zu
Standardeinbettungen. Gegenbeispiele sind Knoten. Hieran sehen wir,
dass Homologiegruppen (ohne zur universellen \"Uberlagerung
\"uberzugehen) es nicht erlauben, Knoten zu unterscheiden, wie wir
dies in Spezialf\"allen mit Hilfe der Fundamentalgruppe k\"onnen. 

Mit Hilfe von Theorem \ref{gebietsinvarianz thm} folgt, dass es
Einbettungen $D^k\to\S^n$ oder $\S^k\to\S^n$ nur f\"ur $k\le n$ geben
kann. Betrachte dazu die Einschr\"ankung auf einen $n$-dimensionalen
Unterraum. Dieser hat in $\S^n$ schon ein offenes Bild. Damit l\"asst
sich die Abbildung nicht stetig und injektiv in die Zusatzdimensionen
fortsetzen.

\begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{klass prop}]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir beweisen das Resultat per Induktion nach $k$. F\"ur $k=0$
    ist $\S^n\setminus h\left(D^0\right)$ hom\"oomorph zu $\R^n$ und
    das Resultat folgt. Wir f\"uhrend den Induktionsschritt f\"ur
    $I^k$ statt $D^k$. Setze $A:=\S^n\setminus
    h\left(I^{k-1}\times\left[0,\frac12\right]\right)$ und
    $B:=\S^n\setminus
    h\left(I^{k-1}\times\left[\frac12,1\right]\right)$. Es gilt $A\cap
    B=\S^n\setminus h\left(I^k\right)$ und $A\cup B=\S^n\setminus
    h\left(I^{k-1}\times\left\{\frac12\right\}\right)$. Nach
    Induktionsannahme gilt $\tilde H_i(A\cup B)\cong0$ f\"ur alle $i$.
    $A$ und $B$ sind offene Mengen. Damit ist die Mayer-Vietoris
    Sequenz f\"ur $A$ und $B$ exakt. (Um die reduzierte Mayer-Vietoris
    Sequenz exakt zu machen, ist insbesondere nachzuweisen, dass
    $A\cap B\neq\emptyset$ ist. Dies entspricht hier gerade dem
    Nachweis, dass $h:D^k\to\S^n$ nicht surjektiv ist. Dies ist aber
    der Fall, da eine surjektive Einbettung ein Hom\"oomorphismus ist,
    die Homologiegruppen von $D^k$ und $\S^n$ unabh\"angig von $k$ und
    $n$ jedoch nicht \"ubereinstimmen.) Also ist $\Phi:\tilde
    H_i\left(\S^n\setminus h\left(I^k\right)\right)=\tilde H_i(A\cap
    B)\to\tilde H_i(A)\oplus\tilde H_i(B)$ f\"ur alle $i$ ein
    Isomorphismus. Bis auf Vorzeichen induzieren die Inklusionen
    $\S^n\setminus h\left(I^k\right)\hookrightarrow A$ und
    $\S^n\setminus h\left(I^k\right)\hookrightarrow B$ die beiden
    Komponenten von $\Phi$. Gibt es also einen $i$-dimensionalen Zykel
    $\alpha$ in $\S^n\setminus h\left(I^k\right)$, der kein Rand in
    $\S^n\setminus h\left(I^k\right)$ ist, also einen Repr\"asentanten
    einer nichttrivialen Homologieklasse, dann ist $\alpha$ auch in
    $A$ oder in $B$ kein Rand (da es das Bild von $\alpha$ unter der
    Inklusion ist, die den Isomorphismus $\Phi$ induziert). (Im Falle
    $i=0$ ist \glqq Rand\grqq{} im Sinne von erweiterten
    Kettenkomplexen zu verstehen, da der obige Isomorphismus
    reduzierte Homologiegruppen verwendet.) Wir sind zu $A$ und $B$
    gekommen, indem wir auf den letzten Faktor in $I^k$ eine
    Intervallhalbierung angewandt haben. Iterieren wir nun dieses
    Argument, so erhalten wir eine geschachtelte Folge von Intervallen
    $I=I_1\supset I_2\supset\ldots$ mit $\bigcap\limits_{i=1}^\infty
    I_i=\{p\}\in I$ und $\alpha$ ist in keiner der Mengen
    $\S^n\setminus h\left(I^{k-1}\times I_m\right)$ f\"ur beliebiges
    $m\in\N$ ein Rand. Da wir nach Induktionsvoraussetzung bereits
    wissen, dass $\tilde H_i\left(\S^n\setminus
      h\left(I^{k-1}\times\{p\}\right)\right)\cong0$ ist, ist $\alpha$
    in $\S^n\setminus h\left(I^{k-1}\times\{p\}\right)$ ein Rand von
    einer Kette $\beta$, $\alpha=\partial\beta$. Die Kette $\beta$ ist
    aber eine endliche Linearkombination singul\"arer Simplizes, deren
    Bilder in $\S^n\setminus h\left(I^k\times\{p\}\right)$ kompakt
    sind und auch deren Vereinigung ist in dieser Menge kompakt. Da
    diese Vereinigung eine kompakte Menge ist und von den
    geschachtelten offenen Mengen $\S^n\setminus h\left(I^{k-1}\times
      I_m\right)$ \"uberdeckt wird, gibt es ein $m\in\N$, so dass
    $\beta$ bereits eine Kette in $\S^n\setminus h\left(I^{k-1}\times
      I_m\right)$ ist. In dieser Menge gilt nat\"urlich auch
    $\alpha=\partial\beta$. Dies zeigt aber, dass $\alpha$ auch schon
    in $\S^n\setminus h\left(I^k\right)$ ein Rand ist. Es folgt, dass
    $\tilde H_i\left(\S^n\setminus h\left(I^k\right)\right)\cong0$ wie
    behauptet gilt.
  \item Wir beweisen die Aussage wiederum per Induktion. F\"ur $k=0$
    ist $\S^n\setminus h(\S^0)\simeq\S^{n-1}\times\R$, also $\tilde
    H_i\left(\S^n\setminus h\left(\S^0\right)\right)\cong\tilde
    H_i(\S^{n-1})$ und die Behauptung folgt nach Korollar \ref{Sn
      homol cor}. F\"ur den Induktionsschritt zerlegen wir
    $\S^k=D^k_+\cup D^k_-$, wobei $D^k_+$ die obere abgeschlossene und
    $D^k_-$ die untere abgeschlossene Hemisph\"are sind. Es gilt
    $D^k_+\cap D^k_-\simeq\S^{k-1}$. Definiere $A:=\S^n\setminus
    h\left(D^k_+\right)$ und $B:=\S^n\setminus h\left(D^k_-\right)$.
    Aufgrund des ersten Teiles gilt $\tilde H_i(A)\cong\tilde
    H_i(B)\cong0$ f\"ur alle $i$. Also liefert die reduzierte
    Mayer-Vietoris Sequenz f\"ur $i\ge0$ den Isomorphismus $\tilde
    H_{i+1}(\S^n\setminus h(\S^{k-1}))\cong\tilde H_i(\S^n\setminus
    h(\S^k))$. (Beachte wie oben, dass die reduzierte Mayer-Vietoris
    Sequenz exakt ist, da $h$ f\"ur $k<n$ nicht surjektiv sein kann.
    Somit ist auch $\tilde H_{-1}(\S^n\setminus h(\S^k))\cong0$.) Dies
    zeigt die Behauptung nach Induktionsannahme.
  \end{enumerate}
\end{proof}

Zum zweiten Teil des Beweises erhalten wir das folgende
\begin{corollary}
  Sei $h:\S^n\to\S^n$ eine Einbettung. Dann ist $h$ surjektiv. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls $h$ nicht surjektiv w\"are, k\"onnten wir wie im zweiten Teil
  des obigen Beweises argumentieren und erhielten aus der
  Mayer-Vietoris Sequenz $0\oplus0\cong\tilde H_0(A)\oplus\tilde
  H_0(B)\to\tilde H_0(\S^n\setminus h(\S^{n-1}))\to0$. Also w\"are
  $\tilde H_0(\S^n\setminus h(\S^{n-1}))\cong0$ im Widerspruch zum
  zweiten Teil von Proposition \ref{klass prop}. Der Widerspruch
  l\"ost sich aber im Falle $A\cap B=\emptyset$ auf, da dann die $0$
  rechts in der Mayer-Vietoris Sequenz durch $\tilde
  H_{-1}(\emptyset)\cong\Z$ ersetzt wird. Somit ist $h$ surjektiv.
\end{proof}

\begin{aufgabe}
  Zeige mit Techniken \"ahnlich denen bereits in diesem Abschnitt
  verwendeten:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gibt keine Einbettung $\S^n\hookrightarrow\R^n$.
\item F\"ur $m>n$ gibt es keine Einbettung $\R^m\hookrightarrow\R^n$.
\item F\"ur $m>n$ gibt es keine stetige injektive Abbildung
  $\R^m\to\R^n$. 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[Geh\"ornte Alexander-Sph\"are]
  Es gibt eine zu $\S^2$ hom\"oomorphe Teilmenge $S$ des $\R^3$, so
  dass eine Zusammenhangskomponente von $\R^3\setminus S$ nicht
  einfach zusammenh\"angend ist.
\end{aufgabe}

\Subsection{Gebietsinvarianz}
Die Offenheit von Mengen ist unter Einbettungen zwischen R\"aumen
gleicher Dimension erhalten.
\begin{theorem}\label{gebietsinvarianz thm}
  Sei $U\subset\R^n$ offen. Sei $h:U\to\R^n$ eine Einbettung. Dann ist
  $h(U)\subset\R^n$ offen.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte die Einpunktkompaktifizierung $\S^n$ von $\R^n$. Wir
  wollen die zur Behauptung \"aquivalente Aussage zeigen, dass $h(U)$
  in $\S^n$ offen ist. Sei also $h:U\to\S^n$ eine Einbettung. Sei
  $x\in U$ und $\epsilon>0$, so dass $\ol B_\epsilon(x)\subset U$ ist.
  Es gen\"ugt zu zeigen, dass $h(B_\epsilon(x))=h\left(\ol
    B_\epsilon(x) \setminus\partial B_\epsilon(x)\right)$ in $\S^n$
  offen ist. Nach Proposition \ref{klass prop} besteht $\S^n\setminus
  h(\partial B_\epsilon(x))$ aus zwei Wegzusammenhangskomponenten.
  Diese beiden Wegzusammenhangskomponenten sind gerade
  $h(B_\epsilon(x))$ und $\S^n\setminus h\left(\ol
    B_\epsilon(x)\right)$, denn diese beiden Mengen sind zun\"achst
  einmal disjunkt und disjunkt zu $h(\partial B_\epsilon(x))$. Dann
  ist die erste Menge das Bild von $B_\epsilon(x)$ unter einer
  stetigen Abbildung (sogar hom\"oomorph zu $B_\epsilon(x)$) und damit
  wegzusammenh\"angend. Die zweite Menge ist nach Proposition
  \ref{klass prop} wegzusammenh\"angend. Schlie\ss{}lich ist
  $h(B_\epsilon(x))\cup\left(\S^n\setminus h\left(\ol
      B_\epsilon(x)\right)\right)=\S^n\setminus h(\partial
  B_\epsilon(x))$. Somit sind die angegebenen Mengen gerade die
  Wegzusammenhangskomponenten von $\S^n\setminus h(\partial
  B_\epsilon(x))$. Nun ist $\S^n\setminus h(\partial B_\epsilon(x))$
  in $\S^n$ offen. Damit sind die Wegzusammenhangskomponenten, die in
  $\S^n\setminus h(\partial B_\epsilon(x))$ offen sind (da dies ein
  Raum ist, der lokal hom\"oomorph zu $\R^n$ ist), auch in $\S^n$
  offen. Insbesondere ist also $h(B_\epsilon(x))\subset\S^n$ offen.
  Das Theorem folgt.
\end{proof}

F\"ur topologische Mannigfaltigkeiten erhalten wir hieraus
\begin{corollary}
  Sei $M$ eine geschlossene (geschlossen := kompakt, ohne Rand)
  $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, $N$ eine
  zusammenh\"angende $n$-di\-men\-sio\-na\-le topologische Mannigfaltigkeit.
  Sei $h:M\to N$ eine Einbettung. Dann ist $h$ surjektiv und damit
  insbesondere ein Hom\"oomorphismus.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition einer Mannigfaltigkeit sind $M$ und $N$
  Hausdorffr\"aume. $h(M)$ ist daher als stetiges Bild einer kompakten
  Menge wieder kompakt. Insbesondere ist $h(M)$ also
  abgeschlossen. Nach Theorem \ref{gebietsinvarianz thm} ist $h(M)$
  aber auch offen in $N$. Da $N$ zusammenh\"angend ist, gilt
  $h(M)=N$ und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{aufgabe}
  Vervollst\"andige nun die Aufgabe vom Anfang des Semesters und
  untersuche, welche der topologischen R\"aume $\R$, $\S^1$, $\S^2$,
  $\R^2$, $\mathbb T^2$ und $\R^3$ zueinander hom\"oomorph bzw.{}
  hom\"oomorph zu einem Teilraum sind. 
\end{aufgabe}

\iffalse
\begin{verbatim}
\Section{Homologie mit Koeffizienten}
Wir haben bisher Ketten der Form $\sum\limits_in_i\sigma_i$
betrachtet, wobei $n_i\in Z$ war und $\sigma_i$ singul\"are Simplizes
waren. Nun wollen wir alles beibehalten, au\ss{}er, dass wir $n_i\in
G$ f\"ur eine abelsche Gruppe zulassen. Wir erhalten eine abelsche
Gruppe der $n$-Ketten, die wir mit $C_n(X;G)$ bezeichnen. Relative
Ketten bezeichnen wir mit $C_n(X,A;G):=C_n(X;G)/C_n(A;G)$. F\"ur die
Randabbildung $\partial$ benutzen wir die alte Definition
$\partial\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right) =\sum\limits_{i,j}
(-1)^jn_i\sigma_i|[v_0,\ldots,\hat v_j,\ldots,v_n]$. Dazu definieren
wir $(-1)^jn_i$ als $n_i$ f\"ur gerades $j\in\Z$ und f\"ur ungerades
$j\in\Z$ als $-n_i$, wobei wir die Gruppen weiterhin additiv schreiben
wollen. Die Relation $\partial^2=0$ bleibt richtig und somit bilden
die Kettengruppen $C_n(X;G)$ und $C_n(X,A;G)$ Kettenkomplexe. Die
daraus entstehenden Homologiegruppen (die wir bilden d\"urfen, da $G$
abelsch ist), hei\ss{}en \emph{Homologiegruppen mit Koeffizienten in
  $G$} und werden mit $H_n(X;G)$ bzw.{} $H_n(X,A;G)$ bezeichnet.
Reduzierte Homologiegruppen erhalten wir, indem wir den erweiterten
Kettenkomplex $\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &C_0(X;G)\ar[r]^-\epsilon
  &G\ar[r] &0}$ betrachten, wobei $\epsilon$ wieder durch Aufsummieren
der Koeffizienten definiert ist. \par
Ein wichtiges Beispiel ist $G=\Z/2\Z\equiv\Z_2$, wenn es nicht auf die
Orientierung ankommt.\par
Die bisherigen theoretischen Resultate \"ubertragen sich auf
Homologietheorien mit Koeffizienten. (Beim Abbildungsgrad aus Kapitel
\ref{abb grad sec} und den Anwendungen auf zellul\"are
Homotopietheorien und insbesondere bei der Bestimmung der
Koeffizienten in den Randoperatoren ist Vorsicht geboten.) Bei
Berechnungen \"andern sich die Resultate entsprechend (und sind dann
gegebenenfalls nicht mehr so aussagekr\"aftig, wenn die Gruppe zu
einfach ist). Wir erhalten beispielsweise f\"ur $H_n(X;G)$ die Gruppe
$G$, falls $n=0$ und sonst $0$ (bis auf $\cong$). Entsprechend ist
$\tilde H_n(\S^k;G)$ die Gruppe $G$ f\"ur $n=k$ und $0$ sonst.

\Section{Borsuk-Ulam Theorem}
Dieses Kapitel kann man noch einf\"ugen, wenn dies die Zeit erlaubt. 
Achtung, dies ben\"otigt nicht nur S. 174-176 in \cite{Hatcher},
sondern auch Lemma 2.49 von Seite 154 dort. 
Ist Leseaufgabe geworden. 
\end{verbatim}
\fi

\Section{Homotopietheorie}
\Subsection{Definitionen und erste Konstruktionen}
\begin{definition}
  Sei $(X,x_0)$ ein punktierter topologischer Raum. Sei
  $I=[0,1]$. Dann ist $\pi_n(X,x_0)$ die Menge der Homotopieklassen
  von (stetigen) Abbildungen \[f\colon (I^n,\partial I^n)\to(X,x_0)\]
  mit $f_t(\partial I^n)=\{x_0\}$ f\"ur die betrachteten Homotopien
  und f\"ur beliebige $t$. \par
  F\"ur $n=0$ ist $I^0$ ein Punkt, $\partial I^0=\emptyset$ und
  $\pi_0(X,x_0)$ die Menge der Wegzusammenhangskomponennten von $X$.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Mit \[(f+g)\left(x^1,\ldots,x^n\right)=
  \begin{cases}
    f\left(2x^1,x^2,\ldots,x^n\right),&x^1\in\left[0,\frac12\right],\\
    g\left(2x^1-1,x^2,\ldots,x^n\right),&x^1\in\left[\frac12,1\right]
  \end{cases}
  \]
  wird $\pi_n(X,x_0)$ f\"ur $n\ge1$ zu einer Gruppe. F\"ur $n\ge2$ ist
  diese abelsch.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Assoziativit\"at, Existenz von inversem und neutralem Element zeigt
  man wie im Falle der Fundamentalgruppe: Die konstante Abbildung auf
  $x_0$ ist das neutrale Element und es
  gilt \[-f\left(x^1,\ldots,x^n\right)
  =f\left(-x^1,x^2,\ldots,x^n\right).\] Die folgende anschauliche
  \"Uberlegung zeigt, dass die Gruppe f\"ur $n\ge2$ abelsch ist: F\"ur
  $n\ge2$ schrumpft man die Definitionsgebiete von $f$ und $g$ in
  $I^n$ auf kleine W\"urfel, bewegt diese aneinander vorbei und
  vergr\"o\ss{}ert sie wieder. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir werden $\pi_n$ in dem hier f\"ur uns interessanten Fall
    $n\ge2$ additiv schreiben.
  \item Abbildungen $\left(I^n,\partial I^n\right)\to(X,x_0)$
    entsprechen gerade den Abbildungen \[I^n/\partial I^n\simeq\S^n\to
    X,\] die einen festen Punkt $s_0\in\S^n$ nach $x_0$
    abbbilden. Somit werden wir $\pi_n(X,x_0)$ aus als
    Homotopieklassen von Abbildungen $\left(\S^n,s_0\right)\to(X,x_0)$
    bestehenden Raum betrachten. In dieser Interpretation ist $f+g$
    als
    Verkn\"upfung \[\xymatrix{\S^n\ar[r]^-c&\S^n\vee\S^n\ar[r]^-{f\vee
        g}&X}\] definiert, wobei $c$ den \"Aquator
    $\S^{n-1}\subset\S^n$ mit $s_0\in\S^{n-1}$ zu einem Punkt
    zusammenschrumpft und $f\vee g$ die auf jeweils einer Sph\"are von
    $\S^n\vee\S^n$ von $f$ bzw.{} $g$ induzierte Abbildung ist.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $n\ge1$. Sei $X$ ein wegzusammenh\"angender topologischer Raum,
  $x_0,x_1\in X$. Dann sind $\pi_n(X,x_0)$ und $\pi_n(X,x_1)$ f\"ur
  alle $n\in\N$ isomorph. Daher schreiben wir in dieser Situation
  zuk\"unftig auch $\pi_n(X)$ f\"ur $\pi_n(X,x_0)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisskizze]
  Sei $\gamma\colon I\to X$ stetig und gelte $\gamma(0)=x_0$ und
  $\gamma(1)=x_1$. Wir ordnen einer Abbildung
  $f\colon\left(I^n,\partial I^n\right)\to(X,x_1)$ eine Abbildung
  $\gamma f\colon \left(I^n,\partial I^n\right)\to(X,x_0)$ zu: Setze
  $I_k:=[-k,k]$ und nehme ohne Einschr\"ankung nach Verschiebung und
  Streckung an, dass $f$ auf $I_2^n$ definiert ist. Setze
  \[
  (\gamma f)(x):=
  \begin{cases}
    f(2x),& x\in I_1^n,\\
    \gamma(\lambda),& x\in I_2^n\setminus I_1^n \text{ mit }
    x=(2-\lambda)y,\ y\in\partial I_1^n,\ \lambda\in[0,1].
  \end{cases}
  \]
  (Vorsicht: Im Fall $n=1$ ist diese Notation nicht mit der
  Verkn\"upfung von Wegen kompatibel.) Es gilt mit analog zu den oben
  verwendeten Bezeichnungen, falls die Verkn\"upfungen wohldefiniert
  sind: 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{homot basis pkt i} $\gamma(f+g)\simeq\gamma f+\gamma g$,  
  \item\label{homot basis pkt ii} $(\gamma\eta)f\simeq\gamma(\eta f)$,
  \item\label{homot basis pkt iii} $1f\simeq f$, wobei $1$ der
    konstante Weg ist.
  \end{enumerate}
  \eqref{homot basis pkt i} folgt, indem wir die Definitionsgebiete
  von $\gamma f$ und $\gamma g$ nebeneinander legen, den Beitrag von
  $\gamma$ zwischen $f$ und $g$ weghomotopieren und schlie\ss{}lich
  die Definitionsgebiete von $f$ und $g$ wie in der Definition von
  $f+g$ verkleinern. \par
  Definiere nun die Basispunktwechselabbildung
  $\beta_\gamma\colon\pi_n(X,x_1)\to \pi_n(X,x_0)$ durch
  $\beta_\gamma([f])=[\gamma f]$. Nach \eqref{homot basis pkt i} ist
  $\beta_\gamma$ ein Gruppenhomomorphismus. \eqref{homot basis pkt ii}
  und \eqref{homot basis pkt iii} sichern, dass $\beta_\gamma$ ein
  Isomorphismus ist: Sei $\bar\gamma$ der zu $\gamma$ inverse
  Weg. Dann gilt $\beta_{\bar\gamma}\beta_\gamma
  f=[(\bar\gamma\gamma)f] =[1f] =[f]$. 
\end{proof}

\begin{remark}
  $\pi_1$ operiert auf $\pi_n$, $n\ge1$:
  \[\pi_1(X,x_0)\ni [\gamma]\mapsto([f]\mapsto[\gamma
  f])\in\Aut(\pi_n(X,x_0)).\] Wegen
  $\beta_{\gamma\eta}=\beta_\gamma\beta_\eta$ ist dies ein
  Homomorphismus. 
%  In Analogie zum eindimensionalen Fall sagen wir, dass $X$ abelsch
%  sei, wenn die $\pi_1$-Operation auf allen Homotopiegruppen $\pi_n$
%  trivial ist. 
\end{remark}

\begin{remark}
  Eine Abbildung $\phi\colon(X,x_0)\to (Y,y_0)$ induziert
  \[\phi_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,y_0)\] verm\"oge
  $\phi_*([f])=[\phi f]$. $\phi_*$ ist wohldefiniert und f\"ur $n\ge1$
  ein Homomorphismus. Wegen $(\phi\psi)_* =\phi_*\psi_*$ und
  $\eins_*=\eins$ ist $\pi_n$ ein Funktor. Ist $\phi_t\colon(X,x_0)\to
  (Y,y_0)$ eine Homotopie, so folgt $(\phi_0)_* =(\phi_1)_*$. \par
  Eine Homotopie punktierter R\"aume $(X,x_0)\simeq(Y,y_0)$ induziert
  einen Isomorphismus aller Homotopiegruppen $\pi_n$. (Wie f\"ur die
  Fundamentalgruppe \"uberlegt man sich, dass dies auch stimmt, wenn
  die ausgezeichneten Punkte w\"ahrend der Homotopie bewegt werden.)
\end{remark}

\begin{proposition}
  Sei $p\colon\left(\tilde X,\tilde x_0\right)\to (X,x_0)$ eine
  \"Uberlagerung. Dann ist \[p_*\colon\pi_n\big(\tilde X,\tilde
    x_0\big)\to\pi_n(X,x_0)\] f\"ur alle $n\ge2$ ein Isomorphismus. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $\S^n$ f\"ur $n\ge 2$ einfach zusammenh\"angend ist, l\"asst sich
  jede Abbildung $f\colon(\S^n,s_0)\to (X,x_0)$ zu einer Abbildung
  $\tilde f$ liften:
  \[\xymatrix{&\left(\tilde X,\tilde x_0\right)\ar[d]^-p\\
    \left(\S^n,s_0\right)\ar[ru]^-{\tilde f}\ar[r]_-f &(X,x_0).}\]
  Somit ist $p_*$ surjektiv. \par
  Die Injektivit\"at folgt ebenso, da sich auch Homotopien liften
  lassen. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Insbesondere gilt also $\pi_n(X)\cong0$ f\"ur $n\ge2$ und f\"ur
  einen topologischen Raum $X$ mit zusammenziehbarer universeller
  \"Uberlagerung, also z.\,B.{} f\"ur $\S^1$ oder $\mathbb
  T^n=(\S^1)^n$.
\end{remark}

\begin{proposition}
  Seien $X_\alpha$ wegzusammenh\"angende R\"aume. Dann
  gilt \[\pi_n\left(\prod_\alpha
    X_\alpha\right)\cong\prod_\alpha\pi_n(X_\alpha)\] f\"ur alle $n$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Eine Abbildung $f\colon Y\to\prod\limits_\alpha X_\alpha$ ist (nach
  Definition der Produkttopologie) eine Familie von Abbildungen
  $f_\alpha\colon Y\to X_\alpha$. Wir wenden dies mit $\S^n$ und
  $\S^n\times I$ statt $Y$ an und erhalten das Resultat. 
\end{proof}

\Subsection{Relative Homotopiegruppen}
\begin{definition}
  Sei $(X,A)$ ein Paar, $x_0\in A$. Wir wollen eine relative
  Homologiegruppe $\pi_n(X,A,x_0)$ definieren. \par Identifiziere
  $I^{n-1}$ mit der Seite $\{x^n=0\}\subset I^n$. Sei
  $J^{n-1}:=\ol{\partial I^n\setminus I^{n-1}}$. Dann definieren wir
  $\pi_n(X,A,x_0)$, $n\ge1$, als Menge der Homotopieklassen von
  Abbildungen $(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to (X,A,x_0)$, wobei wir
  Homotopien von Abbildungen dieser Form zulassen. (Die Definition von
  $\pi_0(X,A,x_0)$ sei nicht so klar.) Beachte, dass wegen
  $\pi_n(X,x_0,x_0)\cong \pi_n(X,x_0)$ Homotopiegruppen ein
  Spezialfall von relativen Homotopiegruppen sind. \par Die Addition
  in $\pi_n(X,A,x_0)$ definieren wir f\"ur $n\ge 2$ mit derselben
  Formel wie die Addition in $\pi_n(X,x_0)$: Wieder werden die
  Abbildungen \glqq in der $x^1$-Richtung gestaucht und dann
  nebeneinandergeklebt.\grqq{} Die $x^n$-Koordinate spielt f\"ur
  relative Homotopiegruppen eine spezielle Rolle. F\"ur $n\ge3$ ist
  $\pi_n(X,A,x_0)$ abelsch. F\"ur $n=1$ erhalten wir $I^1=[0,1]$,
  $I^0=\{0\}$ und $J^0=\{1\}$. Daher ist $\pi_1(X,A,x_0)$ die Menge
  aller Homotopieklassen von Wegen von $x_0$ nach $A$. Hier haben wir
  keine nat\"urliche Gruppenstruktur. \par Wir k\"onnen
  $\pi_n(X,A,x_0)$ auch als Klasse von Abbildungen von der Sph\"are
  betrachten: Identifiziert man die Punkte in $J^{n-1}$ zu einem
  Punkt, so wird aus dem Tripel $(I^n,\partial I^n,J^{n-1})$ das
  Tripel $(D^n,\S^{n-1},s_0)$. In dieser Sichtweise erhalten wir eine
  Addition mit Hilfe der Abbildung $c\colon D^n\to D^n\vee D^n$, die
  eine geeignete $D^{n-1}\subset D^n$ (durch $s_0$) zu einem Punkt
  kollabiert.
\end{definition}

\begin{proposition}[Kompressionskriterium]
  Eine Abbildung $f\colon(D^n,\S^{n-1},s_0)\to (X,A,x_0)$ ist genau
  dann ein Repr\"asentant des Nullelementes, wenn es relativ zu
  $\S^{n-1}$ (\dh die Homotopie ist auf $\S^{n-1}$ in $t$ konstant) zu
  einer Abbildung mit Bild in $A$ homotop ist.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir betrachten hier Repr\"asentanten relativer Homologiegruppen als
  Abbildungen $(D^n,\S^{n-1},s_0)\to (X,A,x_0)$. \par
  \Rueckrichtung Sei eine solche Homotopie relativ zu $\S^{n-1}$ zu
  einer Abbildung $g$ gegeben. Dann ist die Homotopie auch in
  $\pi_n(X,A,x_0)$ zul\"assig, da sie ja sogar in $\S^{n-1}$ konstant
  ist. Also gilt $[f]=[g]$. Verkn\"upfen wir $g$ mit einer Homotopie,
  die $D^n$ (z.\,B.{} auf Geradenst\"ucken) auf $s_n$ deformiert, so
  folgt $[g]=0$. \par
  \Hinrichtung Sei $F\colon D^n\times I\to X$ eine Homotopie, die
  $[f]=0$ liefert. Wir schr\"anken $F$ auf eine Familie von
  Kreisscheiben (mit Parameter $t\in I$) ein, die mit $D^n\times\{0\}$
  startet und bei $(D^n\times\{1\})\cup(\S^{n-1}\times I)$
  endet. (\glqq Deformiere einen Deckel des Zylinders $D^n\times I$
  auf den restlichen Rand.\grqq) Dies liefert eine Homotopie von
  Abbildungen von $f$ zu einer Abbildung mit Bild in $A$. Da der Rand
  der Kreisscheiben konstant ist, ist die Homotopie auf $\S^{n-1}$
  konstant.
\end{proof}

\begin{remark}
  Wie im Fall von Homotopiegruppen induziert eine (stetige) Abbildung
  $\phi\colon (X,A,x_0)\to(Y,B,y_0)$ eine Abbildung \[\phi_*\colon
  \pi_n(X,A,x_0)\to \pi_n(Y,B,y_0).\] F\"ur $n\ge2$ erhalten wir
  Homomorphismen. Weiterhin folgt wie im absoluten Fall $(\phi\psi)_*
  =\phi_*\psi_*$, $\eins_*=\eins$ und $\phi_*=\psi_*$, falls
  $\phi\simeq\psi$ gilt, also $\phi$ und $\psi$ verm\"oge einer
  Familie von Abbildungen $(X,A,x_0)\to (Y,B,y_0)$ homotop sind.
\end{remark}

\begin{theorem}
  Die Sequenz \[\xymatrix@=4ex{\ldots\ar[r] &\pi_n(A,x_0)\ar[r]^-{i_*}
    &\pi_n(X,x_0)\ar[r]^-{j_*} &\pi_n(X,A,x_0)\ar[r]^-\partial
    &\pi_{n-1}(A,x_0)\ar[r] &\ldots\\ &&\ldots\ar[r]
    &\pi_0(X,x_0)&&}\] ist exakt. Dabei sind $i\colon
  (A,x_0)\hookrightarrow (X,x_0)$ und $j\colon
  (X,x_0,x_0)\hookrightarrow (X,A,x_0)$ die Inklusionen. Die Abbildung
  $\partial$ kommt von der Einschr\"ankung von $(I^n,\partial
  I^n,J^{n-1})\to (X,A,x_0)$ auf $I^{n-1}\equiv I^{n-1}\times\{0\}$
  oder von der Einschr\"ankung von Abbildungen $(D^n,\S^{n-1},s_0)\to
  (X,A,x_0)$ auf $\S^{n-1}$. F\"ur $n\ge2$ ist $\partial$, die
  Randabbildung, ein Homomorphismus. \par
  Am Ende \[\xymatrix{\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(X,x_0,x_0)\ar[r]^-{j_*}
    &\pi_1(X,A,x_0)\ar[r]^-\partial &\pi_0(A,x_0)\ar[r]^-{i_*}
    &\pi_0(X,x_0),}\] wo $\pi_1(X,A,x_0)$ keine Gruppe mehr ist, ist
  die Exaktheit als $\im j_*=\ker\partial$ zu verstehen und
  $\ker\partial$ ist die Menge aller Homotopieklassen von Abbildungen,
  die auf die Homotopieklasse der konstanten Abbildung abgebildet
  werden. Ebenso ist die Exaktheit an der Stelle $\pi_0(A,x_0)$ zu
  verstehen. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir zeigen etwas mehr, n\"amlich die Exaktheit der langen exakten
  Sequenz f\"ur das Tripel $(X,A,B,x_0)$ mit $x_0\in B\subset A\subset
  X$. \[\xymatrix@=3ex{\ldots\ar[r] &\pi_n(A,B,x_0)\ar[r]^-{i_*}
    &\pi_n(X,B,x_0)\ar[r]^-{j_*} &\pi_n(X,A,x_0)\ar[r]^-\partial
    &\pi_{n-1}(A,B,x_0)\ar[r] &\ldots\\ &&&\ldots\ar[r]
    &\pi_1(X,A,x_0).}\] Im Fall $B=x_0$ erhalten wir daraus die
  behauptete lange exakte Sequenz von Paaren, lediglich die Exaktheit
  an den letzten beiden Stellen in der langen exakten Sequenz f\"ur
  Paare ist noch gesondert zu betrachten. An den Stellen, wo keine
  Gruppen stehen, wollen wir unter dem Kern einer Abbildung die
  Homotopieklassen verstehen, die auf die Homotopieklasse der
  konstanten Abbildung abgebildet werden. \par
  Exaktheit an der Stelle $\pi_n(X,B,x_0)$: 
  \[\xymatrix{\pi_n(A,B,x_0)\ar[r]^-{i_*}
    &\pi_n(X,B,x_0)\ar[r]^-{j_*} &\pi_n(X,A,x_0).}\]
  Es gilt $j_*i_*=0$, denn jede Abbildung $(I^n,\partial I^n,J^{n-1})
  \to(A,B,x_0)$ ist nach dem Kompressionskriterium nullhomotop. \par
  Zu $\ker j_*\subset\im i_*$: Sei $f\colon(I^n,\partial
  I^n,J^{n-1})\to (X,B,x_0)$ ein Vertreter des Nullelementes in
  $\pi_n(X,A,x_0)$. Dann ist, wiederum aufgrund des
  Kompressionskriteriums, $f$ relativ zu $\partial I^n$ zu einer
  Abbildung mit Bild in $A$ homotop. Somit ist $[f]\in\pi_n(X,B,x_0)$
  auch in $\im i_*$. \par
  Exaktheit an der Stelle $\pi_n(X,A,x_0)$:
  \[\xymatrix{\pi_n(X,B,x_0)\ar[r]^{j_*}
    &\pi_n(X,A,x_0)\ar[r]^-\partial &\pi_{n-1}(A,B,x_0).}\]
  Es gilt $\partial j_*=0$, da die Einschr\"ankung einer Abbildung
  $(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to (X,B,x_0)$ auf $I^{n-1}$ eine
  Abbildung mit Bild in $B$ liefert. Diese ist nach
  Kompressionskriterium eine Vertreterin der Null.\par Sei umgekehrt
  die Einschr\"ankung von $f\colon (I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to
  (X,A,x_0)$ auf $I^{n-1}$ in $\pi_{n-1}(A,B,x_0)$ homotop zur
  konstanten Abbildung. Somit gibt es nach Kompressionskriterium eine
  Homotopie $F\colon I^{n-1}\times I\to A$ relativ zu $\partial
  I^{n-1}$ mit Bild von $F(\cdot,0)\subset B$ und
  $f|_{I^{n-1}}=F(\cdot,1)$. Indem wir die Homotopie $F$ \glqq
  unter\grqq{} der Abbildung $f\colon I^{n-1}\times I\to X$ anf\"ugen,
  \dh $F(\cdot,t+1)$ f\"ur $-1\le t\le 0$ verwenden, erhalten wir nach
  \glqq Stauchen\grqq{} des entstandenen Rechteckes eine Abbildung
  $(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to (X,B,x_0)$. Indem wir die Abbildung
  $F$ nur f\"ur $-\tau\le t\le 0$, $0\le\tau\le1$ unter $f$ anf\"ugen,
  sehen wir, dass $f$ in der Klasse der Abbildungen $(I^n,\partial
  I^n,J^{n-1})\to (X,A,x_0)$ zu einer Abbildung $(I^n,\partial
  I^n,J^{n-1})\to (X,B,x_0)$ homotop ist. Somit ist $[f]\in\im
  j_*$. \par Exaktheit an der Stelle $\pi_n(A,B,x_0)$:
  \[\xymatrix{\pi_{n+1}(X,A,x_0)\ar[r]^-\partial
    &\pi_n(A,B,x_0)\ar[r]^-{i_*} &\pi_n(X,B,x_0).}\] 
  Die Komposition $i_*\partial$ verschwindet, denn die Einschr\"ankung
  einer Abbildung \[f\colon(I^{n+1},\partial I^{n+1},J^n)\to
  (X,A,x_0)\] auf $I^n$ ist relativ zu $\partial I^n$ homotop zu einer
  konstanten Abbildung: Verwende die Abbildung $f$ selbst und die
  $x^{n+1}$-Koordinate als Homotopieparameter. \par
  F\"ur die Umkehrung, $\ker i_*\subset\im\partial$, betrachten wir
  zun\"achst den einfacheren Fall, dass $B$ nur aus einem Punkt
  besteht, also $B=\{x_0\}$. Sei $f_t\colon(I^n,\partial I^n)\to
  (X,x_0)$ eine Homotopie von $f_0$ zur konstanten Abbildung. Fassen
  wir den Homotopieparameter als zus\"atzliche Koordinate auf, so
  erhalten wir eine Abbildung $F\colon (I^{n+1},\partial I^{n+1},J^n)
  \to (X,A,x_0)$ mit $F|_{\{x^{n+1}=0\}}=f_0$, also
  $\partial([F])=f_0$. Die Inklusion folgt damit, wenn $B$ aus nur
  einem Punkt besteht. \par Sei nun $B\subset A$ beliebig. Sei $F$
  eine Homotopie von der Abbildung \[f\colon (I^n,\partial
  I^n,J^{n-1})\to (A,B,x_0)\] zur konstanten Abbildung unter
  Verwendung von Abbildungen $(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to (X,B,x_0)$
  ($A$ statt $X$ im ersten Tripel ergibt sich, da wir ein Element in
  $\ker i_*$ betrachten.). Schr\"anke nun $F$ auf
  $(I^{n-1}\times\{0\})\times I$ ein:
  $g:=F_{(I^{n-1}\times\{0\})\times I}$. Dann ist $F$ auf einem
  $(n+1)$-dimensionalen W\"urfel definiert dessen Seite $\{t=0\}$
  eingeschr\"ankt wir gerade $f$ und auf dessen Seite $\{x^n=0\}$
  eingeschr\"ankt wir gerade $g$ erhalten. Auf der Seite $\{t=1\}$
  erhalten wir die konstante Abbildung auf $x_0$, ebenso auf allen
  weiteren Seiten, da dort $x^n>0$ gilt. Durch eine Deformation des
  W\"urfels k\"onnen wir die beiden Seiten, auf denen die Abbildungen
  $f$ und $g$ definiert sind, auf eine Seite, weiterhin mit einer
  gemeinsamen Kante, bringen. Alle anderen Seiten werden weiterhin auf
  $x_0$ abgebildet. Wir erhalten einen Vertreter einer Klasse in
  $\pi_{n+1}(X,A,x_0)$. Somit ist die durch \glqq
  \"Ubereinanderlegen\grqq{} der Definitionsbereiche von $f$ und $g$
  entstandene Abbildung (\glqq oben liegt $f$, unten $g$\grqq)
  entstandene Abbildung in $\im\partial$. Da $\im g\subset B$ ist,
  k\"onnen wir die untere Grenze des Definitionsbereiches nach oben
  \glqq verschieben\grqq{} und erhalten nach dieser Homotopie gerade
  $f$. Die Behauptung folgt.\par
  Exaktheit am Ende: Bei $\pi_1(X,A,x_0)$:
  $j_*\colon\pi_1(X,x_0,x_0)\to \pi_1(X,A,x_0)$ bildet
  Homotopieklassen von Abbildungen $(I,\{0,1\},\{1\})\to (X,x_0,x_0)$
  in die Homotopieklassen von Abbildungen $(I,\{0,1\},\{1\})\to
  (X,A,x_0)$ ab. Somit besteht $\im j_*$ gerade aus den
  Homotopieklassen von Kurven in $X$, die in $x_0$ starten und
  irgendwo in der Wegzusammenhangskomponente von $A$ enden, die $x_0$
  enth\"alt. Schr\"anken wir $\partial\colon\pi_1(X,A,x_0)\to
  \pi_0(A,x_0)$ auf $\{0,1\}$ ein, so besteht der Zielraum aus je
  einem Element, f\"ur jede Wegzusammenhangskomponente von $A$. Da
  $\im j_*$ gerade die Kurven liefert, die in der
  Wegzusammenhangskomponente von $A$ mit $x_0\in A$ enden, also nach
  Einschr\"ankung auf $\{0,1\}$ homotop zur konstanten Abbildung sind,
  folgt $\im j_*=\ker\partial$. \par
  Exaktheit bei $\pi_0(A,x_0)$: Wir sehen, dass $\im\partial$ gerade
  aus Homotopieklassen von Abbildungen \[(\{0,1\},\{1\})\to(A,x_0)\]
  besteht, die sich zu einer verbindenden Kurve zwischen Anfangs- und
  Endpunkt fortsetzen lassen. Somit erhalten wir nur Endpunkte in der
  Wegzusammenhangskomponente von $X$ mit $x_0\in X$. Dies ist aber
  auch genau der Kern von $i_*$. Dies liefert die Exaktheit an der
  letzten Stelle.
\end{proof}

\newpage

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da $CX$ kontrahierbar ist, liefert die lange exakte
    Homotopiesequenz f\"ur das Paar $(CX,X)$ die
    Isomorphismen \[\xymatrix{0\cong \pi_{i+1}(CX)\ar[r]
      &\pi_{i+1}(CX,X)\ar[r]^-\partial &\pi_i(X)\ar[r]
      &\pi_i(CX)\cong0.}\] Da es zu jeder Gruppe $G$ einen Raum $X$
    mit $\pi_1(X)\cong G$ gibt, gibt es auch einen Raum $X$ mit
    $\pi_2(CX,X)\cong G$. 
  \item Die lange exakte Homotopiesequenz von Tripeln ist in der
    folgenden Weise nat\"urlich: Eine Abbildung $(X,A,B,x_0)\to
    (Y,C,D,y_0)$ zwischen punktierten Tripeln induziert eine Abbildung
    zwischen den zugeh\"origen langen exakten Homotopiesequenzen, so
    dass die entstehenden Quadrate (und damit das gesamte Diagramm)
    kommutieren.
  \item F\"ur die absoluten Homotopiegruppen kommt es nicht auf den
    Basispunkt an. Eine analoge Konstruktion mit $\beta_\gamma\colon
    \pi_n(X,A,x_1) \to\pi_n(X,A,x_0)$ und $\beta_\gamma([f])=[\gamma
    f]$ funktioniert auch in diesem Fall, nur ist hier das Quadrat, in
    dem in $\gamma f$ die urspr\"ungliche Abbildung $f$ steht, in
    Richtung $-x^n$ zu verschieben, bis es die Ebene $\{x^n=0\}$
    ber\"uhrt. Man erh\"alt damit, dass $\pi_n(X,A,x_0)$ nicht von
    $x_0$ abh\"angt, falls $A$ wegzusammenh\"angend ist. (Details:
    \"Ubung.) 
  \item $\pi_1(A,x_0)$ operiert wie im absoluten Fall auf
    $\pi_n(X,A,x_0)$ verm\"oge $\gamma\mapsto\beta_\gamma$. L\"asst
    man $\pi_1(A,x_0)$ gem\"a\ss{} dieser Vorschrift auf die lange
    exakte Homotopiesequenz wirken, so vertauscht diese Operation mit
    den Abbildungen der Sequenz. (Kleine \"Ubung.)
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}
  Ein punktierter topologischer Raum $(X,x_0)$ hei\ss{}t
  $n$-zu\-sam\-men\-h\"an\-gend, falls $\pi_i(X,x_0)\cong0$ f\"ur alle
  $i\le n$ gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  Ein $0$-zusammenh\"angender Raum ist wegzusammenh\"angend, ein
  $1$-zusammenh\"angender Raum ist einfach zusammenh\"angend. Ein
  $n$-zu\-sam\-men\-h\"an\-gen\-der Raum ist insbesondere auch
  $0$-zusammenh\"angend. Somit kommt es bei dieser Definition nicht
  auf die spezielle Wahl des Basispunktes $x_0$ an. Somit ist
  $(X,x_0)$ genau dann f\"ur ein $x_0\in X$ ein
  $n$-zusammenh\"angender topologischer Raum, wenn dies f\"ur alle
  $x_0\in X$ gilt. Eine Formulierung ohne $x_0$ ist folgende: \par
  Ein Raum $X$ ist genau dann $n$-zusammenh\"angend, wenn eine der
  drei folgenden \"aquivalenten (kleine \"Ubung) Bedingungen f\"ur
  alle $i\le n$ erf\"ullt sind:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Jede Abbildung $\S^i\to X$ ist zu einer konstanten Abbildung
    homotop. 
  \item Jede Abbildung $\S^i\to X$ l\"asst sich zu einer Abbildung
    $D^{i+1}\to X$ fortsetzen.
  \item $\pi_i(X,x_0)\cong 0$ f\"ur alle $x_0\in X$. 
  \end{enumerate}
  F\"ur relative Homotopiegruppen sind die folgenden Bedingungen
  \"aquivalent (sofern definiert; $\pi_0$ haben wir im relativen Fall
  nicht definiert). Dies folgt direkt mit Hilfe des
  Kompressionskriteriums. 
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item\label{pair n conn i} Jede Abbildung $(D^i,\partial D^i)\to
    (X,A)$ ist relativ zu $\partial D^i$ zu einer Abbildung $D^i\to A$
    homotop.
  \item Jede Abbildung $(D^i,\partial D^i)\to (X,A)$ ist mit einer
    Homotopie von solchen Abbildungen zu einer Abbildung $D^i\to A$
    homotop. 
  \item Jede Abbildung $(D^i,\partial D^i)\to (X,A)$ ist mit einer
    Homotopie von solchen Abbildungen zu einer konstanten Abbildung
    $D^i\to A$ homotop.
  \item\label{pair n conn iv} $\pi_i(X,A,x_0)\cong 0$ f\"ur alle $x_0\in A$. 
  \end{enumerate}
  Jede der ersten drei Bedingungen liefert im Falle $i=0$, dass jede
  Wegzusammenhangskomponente von $X$ einen Punkt aus $A$ enth\"alt, da
  $D^0$ ein Punkt ist und $\partial D^0=\emptyset$ gilt. 
\end{remark}

\begin{definition}
  Ein Paar $(X,A)$ hei\ss{}t $n$-zusammenh\"angend, falls die obigen
  Bedingungen \eqref{pair n conn i}-\eqref{pair n conn iv} (au\ss{}er
  \eqref{pair n conn iv} im Fall $i=0$) f\"ur alle $i\le n$ erf\"ullt
  sind. 
\end{definition}

\Subsection{Satz von Whitehead}
\begin{theorem}
  Sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen zusammenh\"angenden
  CW-Komplexen. Induziert $f$ f\"ur alle $n$ einen Isomorphismus
  $f_*\colon \pi_n(X)\to\pi_n(Y)$, so ist $f$ eine
  Homotopie\"aquivalenz. \par Ist $f\colon X\hookrightarrow Y$
  zus\"atzlich die Inklusionsabbildung eines Unterkomplexes $X$, so
  ist $X$ ein Deformationsretrakt von $Y$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Ohne Beweis]  
\end{proof}

\Subsection{Zellul\"are Approximation}
\begin{definition}
  Seien $X,Y$ CW-Komplexe. Dann hei\ss{}t $f\colon X\to Y$ zellul\"ar,
  wenn f\"ur die Skelette und alle $n\in\N$ die Inklusion
  $f(X^n)\subset Y^n$ gilt. 
\end{definition}

\begin{theorem}
  Jede Abbildung $f\colon X\to Y$ von CW-Komplexen ist homotop zu
  einer zellul\"aren Abbildung. Ist $f$ auf einem CW-Unterkomplex
  $A\subset X$ bereits zellul\"ar, so k\"onnen wir eine auf $A$
  station\"are Homotopie w\"ahlen. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweisskizze]
  Sei dies bis zu $n-1$ bereits richtig. Wie im Kapitel \"uber
  Morsetheorie k\"onnen wir nun $f$ auf einer einzelnen $n$-Zelle in
  $X$ so homotopieren, dass die Behauptung gilt. Dies funktioniert
  auch f\"ur alle an $X^{n-1}$ angehefteten $n$-Zellen
  gleichzeitig. \par F\"uhrt man nun die Homotopien f\"ur alle
  $n$-Zellen auf einem Intervall der Form $\left[1-\frac1{2^n},
    1-\frac1{2^{n+1}}\right]$ durch, so erh\"alt man die gew\"unschte
  Homotopie. Beachte, dass die Stetigkeit auch bei $t=1$ gegeben ist,
  da die Homotopie in jedem Punkt vor $t=1$ bereits konstant wird.
\end{proof}

\begin{corollary}
  F\"ur $n<k$ gilt $\pi_n(\S^k)\cong0$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte auf $\S^n$ und $\S^k$ als CW-Komplexe mit einem Punkt und
  einer angehefteten $n$- bzw.{} $k$-dimensionalen Zelle. Sei
  $f\colon\S^n\to\S^k$ eine Abbildung, die den ausgezeichneten Punkt
  respektiert. Dann kann diese Abbildung unter Fixierung des
  ausgezeichneten Punktes zu einer zellul\"aren Abbildung deformiert
  werden. Wegen $n<k$ ist diese Abbildung dann aber automatisch
  konstant und die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Ein konvexer Polyeder ist die L\"osungsmenge von endlich vielen
  affin linearen Ungleichungen der Form $\sum\limits_ia_ix^i\le
  b$. Ein Polyeder ist eine endliche Vereinigung von konvexen
  Polyedern. Eine Abbildung von einem Polyeder in den $\R^k$ hei\ss{}t
  st\"uckweise linear (piecewise linear, PL), falls es eine Zerlegung
  des Polyeders in konvexe Polyeder gibt, so dass die Einschr\"ankung
  der Abbildung auf jeden dieser konvexen Polyeder eine (affin)
  lineare Abbildung ist. 
\end{definition}

\begin{lemma}\label{CW approx lokal PL lem}
  Sei $f\colon I^n\to Z$ eine Abbildung, wobei der Raum $Z$ aus dem
  Teilraum $W$ durch Anheften einer Zelle $e^k$ entstanden ist. Dann
  ist $f$ relativ zu $f^{-1}(W)$ homotop zu einer Abbildung $f_1$,
  f\"ur die es einen Polyeder $K\subset I^n$ mit den folgenden
  Eigenschaften gibt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f_1(K)\subset e^k$ und $f_1|_K$ ist nach Identifikation von
    $e^k$ mit einer Teilmenge von $\R^k$ st\"uckweise (affin) linear. 
  \item Es gibt eine offenen Teilmenge $U\subset e^k$ mit $K\supset
    f_1^{-1}(U)$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Im Urbild von kompakten Teilmengen von $e^k$ ist $f$
  gleichm\"a\ss{}ig stetig. Betrachte $B_1\subset B_2\Subset e^k$ und
  als kompakte Mengen in $e^k$ die Mengen
  $K_i:=\ol{f^{-1}(B_i)}$. Zerlege $I^n$ in kleine W\"urfel und
  betrachte eine Kollektion solcher, die in $K_2$ enthalten sind und
  $K_1$ \"uberdecken. Mit einer weiteren Schicht von W\"urfeln und
  einer st\"uckweise linearen Abschneidefunktion zu einer Unterteilung
  der W\"urfel in Polyeder $\eta$ mit $\eta|_{K_1}=1$ und
  $\eta|_{\complement K_2}=0$ schreiben wir $f=\eta f+(1-\eta)f$. Den
  Teil $\eta f$ homotopieren wir nun mit derselben Unterteilung wie
  bei $\eta$ zu einer st\"uckweise linearen Funktion. Man kann nun
  $K=K_1$ w\"ahlen. Der Rest ist als \"Ubung zu \"uberpr\"ufen. 
\end{proof}

\begin{lemma}[Zellul\"are Approximation von Paaren]
  Jede Abbildung $f\colon(X,A)\to(Y,B)$ von CW-Paaren kann in der
  Klasse dieser Abbildungen ($(X,A)\to(Y,B)$) zu einer zellul\"aren
  Abbildung deformiert werden. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Deformiere zun\"achst die Einschr\"ankung $f\colon A\to B$ in eine
  zellul\"are Abbildung, erweitere dann die Homotopie zu einer
  Homotopie auf $X$ und deformiere schlie\ss{}lich das Ergebnis zu
  einer zellul\"aren Abbildung, ohne es auf $A$ noch weiter
  abzu\"andern. \par 
  Man k\"onnte die Deformation sogar so durchf\"uhren, dass $f$ auf
  allen Subkompkexen, auf denen $f$ bereits zellul\"ar ist, konstant
  bleibt. 
\end{proof}

Als Korollar zur zellul\"aren Approximation erhalten wir:
\begin{corollary}
  Sei $(X,A)$ ein CW-Paar. Nehme an, dass alle Zellen in $X\setminus
  A$ eine Dimension strikt gr\"o\ss{}er als $n$ haben. Dann ist
  $(X,A)$ ein $n$-zusammenh\"angendes Paar. \par
  Insbesondere ist das Paar $(X,X^n)$ ein $n$-zusammenh\"angendes
  Paar. Somit induziert die Inklusion $X^n\hookrightarrow X$ im Falle
  $i<n$ Isomorphismen f\"ur $\pi_i$ und eine surjektive Abbildung
  f\"ur $\pi_n$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $i\le n$. Nach zellul\"arer Approximation ist $(D^i,\partial
  D^i)\to (X,A)$ relativ zu $\partial D^i$ homotop zu einer Abbildung
  mit Bild in $A$. Somit ist $(X,A)$ ein $n$-zusammenh\"angendes
  Paar. \par
  Die lange exakte Homotopiesequenz f\"ur Paare liefert f\"ur $i\le n$
  \[\xymatrix{\pi_{i+1}(X,X^n,x_0)\ar[r] &\pi_i(X^n,x_0)\ar[r]
    &\pi_i(X,x_0)\ar[r] &\pi_i(X,X^n,x_0)\cong0.}\] Im Falle $i<n$
  gilt au\ss{}erdem $\pi_{i+1}(X,X^n,x_0)\cong0$. Somit folgt die
  Behauptung. 
\end{proof}

\Subsection{CW-Approximation}
Ohne Beweis halten wir f\"ur sp\"ater das folgende Resultat fest. 
\begin{lemma}\label{CW Paare n zshg dim Zellen lem}
  Sei $(X,A)$ ein $n$-zusammenh\"angendes CW-Paar. Dann gibt es ein
  CW-Paar $(Z,A)$ mit $(Z,A)\simeq(X,A)$ relativ zu $A$, so dass alle
  Zellen in $Z\setminus A$ mindestens Dimension $n+1$ haben. 
\end{lemma}


\Subsection{Ausschneidungen f\"ur Homotopiegruppen}

\begin{theorem}[Ausschneidungssatz f\"ur Homotopiegruppen]
  \label{Vor Freudenthal thm}
  Sei $X$ ein CW-Komplex, der aus zwei Unterkomplexen $A$ und $B$ mit
  $C=A\cap B$ besteht. Sei $C$ zusammenh\"angend und gelte
  $C\neq\emptyset$. Sei $(A,C)$ $m$-zusammenh\"angend und $(B,C)$
  $n$-zusammenh\"angend, $m,n\ge0$. Dann ist die von der
  Inklusionsabbildung induzierte Abbildung \[\pi_i(A,C)\to\pi_i(X,B)\]
  f\"ur $i<m+n$ ein Isomorphismus und f\"ur $i=m+n$ surjektiv. 
\end{theorem}

\begin{corollary}[Freudenthalscher Suspensionssatz]
  Die \glqq Suspensionsabbildung\grqq{}
  \begin{align*}
    \pi_i(\S^n)\to &\, \pi_{i+1}(\S^{n+1}),\\
    [f\colon\S^i\to\S^n]\mapsto &\, [Sf\colon S\S^i\simeq \S^{i+1}\to
    S\S^n\simeq \S^{n+1}],
  \end{align*}
  ist f\"ur $i<2n-1$ ein Isomorphismus und f\"ur $i=2n-1$
  surjektiv. \par
  Dies gilt auch f\"ur beliebige Suspensionen und induzierte
  Abbildungen $\pi_i(X)\to\pi_{i+1}(SX)$, falls $X$ ein
  $(n-1)$-zusammenh\"angender CW-Komplex ist.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Formulierung mit $X$ ist eine Verallgemeinerung, da $\S^n$ und
  $S\S^n$ CW-Komplexe sind. Au\ss{}erdem ist jede Sph\"are $\S^n$ ein
  $(n-1)$-zusammenh\"angender topologischer Raum: Benutze Gl\"attungen
  und den Satz von Sard oder zellul\"are Approximation. \par
  Wir zerlegen die Suspension $SX$ in zwei Kegen $C_+X$ und $C_-X$,
  die sich in einer Kopie von $X$ schneiden. S\"amtliche
  Homotopiegruppen von Kegeln verschwinden f\"ur $n\ge0$, da $C_+X$
  kontrahierbar ist. Somit erhalten wir aus den langen exakten
  Homotopiesequenzen f\"ur Paare
  \begin{align*}
    &\xymatrix{0\cong \pi_{i+1}(C_+X)\ar[r]
      &\pi_{i+1}(C_+X,X)\ar[r]^-\partial &\pi_i(X)\ar[r]
      &\pi_i(C_+X)\cong0}
    \intertext{und}
    &\xymatrix{0\cong\pi_{i+1}(C_-X)\ar[r] &\pi_{i+1}(SX)\ar[r]
      &\pi_{i+1}(SX,C_-X)\ar[r] &\pi_i(C_-X)\cong0.}
  \end{align*}
  Betrachte \[\pi_i(X)\cong \pi_{i+1}(C_+X,X)\to
  \pi_{i+1}(SX,C_-X)\cong\pi_{i+1}(SX),\] wobei die mittlere Abbildung
  von der Inklusion $(C_+X,X)\hookrightarrow(SX,C_-X)$ induziert ist
  und die beiden Isomorphismen am Rand aus den obigen beiden exakten
  Sequenzen stammen. Die Verkettung dieser Abbildungen ist gerade die
  Suspensionsabbildung; um dies zu sehen benutze man die
  Kegelstruktur. \par Aus der langen exakten Homotopiesequenz f\"ur
  das Paar $(C_\pm X,X)$ (vergleiche die erste Sequenz dieses
  Beweises) erhalten wir, dass $(C_\pm X,X)$ genau dann
  $n$-zusammenh\"angend ist, wenn $X$ ein $(n-1)$-zusammenh\"angender
  Raum ist ($i=0$ bzw.{} ist hier unproblematisch, da ein Kegel $C_\pm
  X$ stets wegzusammenh\"angend ist.). Nach Theorem \ref{Vor
    Freudenthal thm} ist damit $\pi_{i+1}(C_+X,X)\to
  \pi_{i+1}(SX,C_-X)$ f\"ur $i+1<2n$ ein Isomorphismus und f\"ur
  $i+1=2n$ surjektiv (Beachte die Indexverschiebung um eins
  gegen\"uber Theorem \ref{Vor Freudenthal thm}.).
\end{proof}

\begin{corollary}
  Es gilt $\pi_n(\S^n)\cong\Z$ f\"ur alle $n\ge1$. Die Identit\"at ist
  ein Erzeuger dieser Gruppe. Insbesondere ist also der Abbildungsgrad
  $\pi_n(\S^n)\to\Z$ ein Isomorphismus. Somit sind zwei Abbildungen
  $\S^n\to\S^n$ genau denn homotop, wenn ihr Abbildungsgrad
  \"ubereinstimmt. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte die Folge von
  Suspensionsabbildungen \[\pi_1(\S^1)\longrightarrow
  \pi_2(\S^2)\longrightarrow \pi_3(\S^3)\longrightarrow \ldots.\] Nach
  dem Suspensionssatz von Freudenthal ist die erste Abbildung
  surjektiv und alle weiteren sind Isomorphismen. Da $\pi_1(\S^1)$ von
  der Identit\"at erzeugt ist, aufgrund der Surjektivit\"at aller
  dieser Abbildungen und nach Definition der Suspensionsabbildung sind
  auch alle weiteren Gruppen von der Identit\"at erzeugt. Es gilt
  $\pi_1(\S^1)\cong\Z$. Wir m\"ussen also lediglich noch den Fall
  ausschlie\ss{}en, dass $\pi_2(\S^2)\cong \pi_3(\S^3)\cong \ldots$
  endliche zyklische Gruppen sind. Dies ist jedoch ausgeschlossen, da
  wir bereits Abbildungen $\S^n\to\S^n$ mit beliebigem Abbildungsgrad
  in $\Z$ kennen und der Abbildungsgrad eine Homotopieinvariante
  ist. Somit kennen wir unendlich viele nicht homotope Abbildungen,
  $\pi_n(\S^n)$ kann also keine endliche Gruppe sein. \par Der
  Abbildungsgrad $\pi_n(\S^n)\cong\Z\to\Z$ ist surjektiv (f\"uhere
  Resultate, benutze alternativ die Suspensionen von Abbildungen
  $\S^1\ni z\mapsto z^k\in\S^1$, $k\in\Z$, die alle nach dem
  Freudenthalschen Suspensionssatz Abbildungsgrad $k$ haben). Eine
  surjektive Abbildung $\Z\to\Z$ ist aber auch injektiv. Somit ist der
  Abbildungsgrad ein Isomorphismus. 
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{Vor Freudenthal thm}]
%  \neueZeilealt
  \textbf{Fall 1:} Nehme an, dass $A$ aus $C$ durch Anheften von
  Zellen $e^{m+1}_\alpha$ und $B$ aus $C$ durch das Anheften einer
  Zelle $e^{n+1}$ entstanden seien. Zur \textbf{Surjektivit\"at} von
  $\pi_i(A,C)\to\pi_i(X,B)$: Sei Sei $f\colon (I^i,\partial
  I^i,J^{n-1})\to (X,B,x_0)$ vorgegeben. Da $\im f$ kompakt ist,
  trifft es nur endlich viele der Zellen $e^{m+1}_\alpha$ und
  $e^{n+1}$. Nach Lemma \ref{CW approx lokal PL lem} ist $f$ durch
  Abbildungen $(I^i,\partial I^i,J^{i-1})\to (X,B,x_0)$ zu einer
  Abbildung, ohne Einschr\"ankung wieder mit $f$ bezeichnet, homotop,
  zu der es Simplices $\Delta_\alpha^{m+1}\subset e^{m+1}_\alpha$ und
  $\Delta^{n+1}\subset e^{n+1}$ gibt, so dass
  $f^{-1}(\Delta^{m+1}_\alpha)$ und $f^{-1}(\Delta^{n+1})$ endliche
  Vereinigungen von konvexen Polyedern sind und auf jedem dieser
  konvexen Polyeder ist $f$ affin linear. Wir sagen, eine solche affin
  lineare Abbildung sei surjektiv, wenn ihre Fortsetzung
  $\R^i\to\R^{m+1}$ bzw.{} $\R^i\to\R^n$ surjektiv sei (oder wenn das
  Differential surjektiv ist). Durch Verkleinerung der Simplices
  $\Delta^{m+1}_\alpha$ und $\Delta^{n+1}$, so dass sie die Bilder der
  nicht surjektiven affin linearen Abbildungen vermeiden, k\"onnen wir
  annehmen, dass alle diese affin linearen Abbildungen surjektiv
  sind. \par
  \textbf{Behauptung:} Ist $i\le m+n$, so gibt es Punkte
  $p_\alpha\in\Delta^{m+1}_\alpha$ und $q\in\Delta^{n+1}$ sowie eine
  Abbildung $\phi\colon I^{i-1}\to [0,1)$, so dass folgende
  Bedingungen erf\"ullt sind:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f^{-1}(q)$ liegt unterhalb von $\graph\phi\subset
    I^{i-1}\times I=I^i$. 
  \item F\"ur jedes $\alpha$ liegt $f^{-1}(q_\alpha)$ oberhalb von
    $\graph\phi$. 
  \item Es gilt $\phi|_{\partial I^{i-1}}=0$. 
  \end{enumerate}
  \begin{proof}[Beweis der Behauptung]
    Sei $q\in\Delta^{n+1}$ beliebig. Dann ist $f^{-1}(q)$ eine
    endliche Vereinigung von konvexen Polyedern der Dimension $\le
    i-n-1$, denn $f^{-1}(\Delta^{n+1})$ ist eine endliche Vereinigung
    von Polyedern und auf jedem dieser Polyeder ist $f$ die
    Einschr\"ankung einer surjektiven linearen Abbildung
    $\R^i\to\R^{n+1}$. \par Wir wollen die Punkte $p_\alpha\in
    \Delta^{m+1}_\alpha$ so w\"ahlen, dass $f^{-1}(q)$ und
    $f^{-1}(p_\alpha)$ unter der Projektion $\pi\colon I^i\to i^{i-1}$
    auf die ersten $(i-1)$-Komponenten diskunkte Bilder haben. Dies
    ist \"aquivalent zur Forderung, dass $f^{-1}(p_\alpha)$ f\"ur
    jedes $\alpha$ disjunkt zu $T:=\pi^{-1}(\pi(f^{-1}(q)))$ ist. Da
    $f^{-1}(q)$ eine endliche Vereinigung konvexer Polyeder der
    Dimension $\le i-n-1$ ist, ist $T$ eine endliche Vereinigung von
    Polyedern der Dimension $\le i-n$. Lineare Abbildungen erh\"ohen
    die Dimension nicht. Somit ist $f(T)\cap\Delta^{m+1}_\alpha$ in
    einer endlichen Vereinigung konvexer Polyeder der Dimension $\le
    i-n$ enthalten. Gilt also $m+1>i-n$, so gibt es einen Punkt
    $p_\alpha\in \Delta^{m+1}_\alpha\setminus f(T)$. Wir erhalten also
    $f^{-1}(p_\alpha)\cap T=\emptyset$ f\"ur $i\le m+n$. Somit gibt es
    eine Umgebung $U$ von $\pi(f^{-1}(q))$ in $I^{n-1}$, die f\"ur
    alle $\alpha$ zu $\pi(f^{-1}(p_\alpha))$ disjunkt ist. Die
    Abbildung $f\colon(I^i,\partial I^i,J^{i-1})\to (X,B,x_0)$ bildet
    den \glqq nicht unteren Rand\grqq{} nach $x_0$ ab. Somit \glqq
    h\"alt\grqq{} die in $I^n$ kompakte Menge $f^{-1}(q)$ von dem
    \glqq nicht unteren Rand\grqq{} einen positiven Abstand. Somit
    gibt es eine Funktion $\phi\colon I^{i-1}\to[0,1)$ mit kompaktem
    Tr\"ager in $U$, so dass $f^{-1}(q)$ unterhalb von $\graph\phi$
    liegt. Dies zeigt die Behauptung. 
  \end{proof}
  Setze $P:=\bigcup\limits_\alpha\{p_\alpha\}$ und $Q:=\{q\}$.  Sei
  $f_t$ eine Homotopie, die die Menge unter $\graph\phi$
  herausschneidet, indem sie auf die Menge oberhalb von
  $\graph(t\phi)$ f\"ur $0\le t\le1$ einschr\"ankt und vertikal
  reparametrisiert. Dies ist eine Homotopie durch Abbildungen
  $(I^i,\partial I^i,J^{i-1})\to (X,X\setminus P,x_0)$. Nach der
  bewiesenen Behauptung sind $f_t(I^{i-1})$ und $P$ f\"ur alle $t$
  disjunkt und $f_1(I^i)$ sowie $Q$ sind ebenfalls disjunkt. \par
  Da $B$ ein Deformationsretrakt von $X\setminus P$ ist (deformiere in
  den Zellen $e^{m+1}_\alpha$ von $p_\alpha$ weg, erhalten wir
  $\pi_i(X,B)\cong \pi_i(X,X\setminus P)$ (kleine
  \"Ubung). Deformieren wir ebenso von $p_\alpha$ und $q$ weg, so
  sehen wir dass $A$ ein Defomrmationsretrakt von $X\setminus Q$ und,
  unter derselben Defomrationsretraktion $C$ ein Deformationsretrakt
  von $X\setminus(P\cup Q)$ ist. Auch hier folgt (kleine \"Ubung)
  $\pi_i(A,C)\cong \pi_i(X\setminus Q,X\setminus(P\cup Q))$. \par
  Verm\"oge $(X,B)\hookrightarrow(X,X\setminus P)$ betrachten wir nun
  $[f]\in\pi_i(X,B)$ als Element in der isomorphen Gruppe
  $\pi_i(X,X\setminus P)$. In $\pi_i(X,X\setminus P)$ gilt
  $[f]=[f_1]$. Nach Konstruktion ist $f_1\colon (I^i,\partial
  I^i,J^{i-1})\to (X\setminus Q,X\setminus(P\cup Q))$. Betrachte das
  Diagramm \[\xymatrix{\pi_i(A,C)\ar[r]\ar[d]_-\cong
    &\pi_i(X,B)\ar[d]^-\cong\\ \pi_i(X\setminus Q,X\setminus(P\cup
    Q))\ar[r] &\pi_i(X,X\setminus P).}\] Dabei sind alle horizontalen
  Abbildungen von Inklusionen induziert. Zu $[f]$ rechts oben haben
  wir rechts unten ein $[f_1]=[f]$ gefunden, wobei $[f_1]$ ein Bild
  von links unten ist. Sei $[f_2]\in\pi_i(A,C)$ das Urbild von
  $[f_1]$. Da alle Pfeile von Deformationsretraktionen oder
  Inklusionen stammen, kommutier das Diagramm. $[f_2]$ wird also
  horizontal auf $[f]$ abgebildet. Dies zeigt die Surjektivit\"at
  f\"ur $i\le m+n$.\par
  Zur \textbf{Injektivit\"at:} Seien $f_0,f_1\colon(I^i,\partial
  I^i,J^{n-1})\to (A,C,x_0)$ zwei Vertreter von Elementen in
  $\pi_i(A,X,x_0)$ mit gleichem Bild in $\pi_i(X,B,x_0)$. Somit finden
  wir eine Homotopie $F\colon(I^i,\partial I^i,J^{n-1})\times[0,1]\to
  (X,B,x_0)$ von $f_0$ nach $f_1$ f\"ur die Gruppe
  $\pi_i(X,B,x_0)$. Wir gehen \"ahnlich wie beim Beweis der
  Surjektivit\"at vor. Wieder benutzen wir Lemma \ref{CW approx lokal
    PL lem} f\"ur eine erste Deformation von $F$. Wiederum
  konstruieren wir eine trennende Funktion $\phi\colon I^{i-1}\times
  I\to[0,1)$, die $F^{-1}(q)$ wie oben von den Punkten
  $F^{-1}(p_\alpha)$ trennt. Damit k\"onnen wir wiederum $F^{-1}(q)$
  aus dem Definitionsbereich von $F$ heraushomotopieren. Somit ist die
  Homotopie f\"ur die Gruppe $\pi_i(A,C,x_0)$ zul\"assig und wir
  sehen, dass $f_0$ und $f_1$ in dieser Gruppe dasselbe Element
  darstellen. Bei dieser Konstruktion haben wir nun statt mit $I^i$
  oben mit $I^i\times I$ gearbeitet. Somit wird die Einschr\"ankung
  $i\le m+n$ an die Dimensionen von oben zur Einschr\"ankung $i+1\le
  m+n$ oder $i<m+n$. Die Injektivit\"at folgt in diesem Fall. \par
  (Der Beweis bis hierher gen\"ugt f\"ur die obige Berechnung von
  $\pi_n(\S^n)$.) \par
  \textbf{Fall 2:} Sei $A$ wie oben aus $C$ durch Ankleben von
  $(m+1)$-Zellen entstanden. Nehme an, dass $B$ durch Ankleben von
  Zellen der Dimension $\ge n+1$ aus $C$ entstanden sei. Zur
  Surjektivit\"at von $\pi_i(A,C)\to\pi_i(X,B)$: Sei $f\colon
  (I^i,\partial I^i,J^{n-1})\to (X,B,x_0)$, ein Vertreter f\"ur ein
  Element in $\pi_i(X,B)$, gegeben. $\im f$ ist kompakt, trifft also
  nur endlich viele Zellen. Wir wenden also den Fall 1 wiederholt an
  und k\"onnen die Abbildung $f$ nacheinander von den Zellen in
  $B\setminus C$ wegdr\"ucken. Wir starten dabei mit den Zellen der
  h\"ochsten Dimension. Beachte dazu, dass die obige Behauptung auch
  noch funktioniert, wenn wir $n$ vergr\"o\ss{}ern. Der
  Injektivit\"atsbeweis funktioniert \"ahnlich unter Verwendung einer
  Homotopie $F\colon(I^i,\partial I^i,J^{i-1})\times I\to (X,B,x_0)$,
  die wir nacheinander von den Zellen in $B\setminus C$
  wegdr\"ucken. \par
  \textbf{Fall 3:} Sei nun $B$ wie in Fall 2 und $A$ aus $C$ durch
  Ankleben von Zellen der Dimension $\ge m+1$ entstanden. Nehme ohne
  Einschr\"ankung an, dass alle Zellen in $A\setminus C$ eine
  Dimension $\le m+n+1$ haben, da sie sonst aufgrund der zellul\"aren
  Approximation keinen Einfluss auf die Homotopiegruppen $\pi_i$ f\"ur
  $i\le m+n$ haben. (\glqq$+1$\grqq{} kommt hier wieder vom
  Homotopieparameter.) Sei $A_k\subset A$ die Vereinigung von $C$ mit
  allen Zellen der Dimension $\le k$. Setze $X_k:=A_k\cup B$. Wir
  zeigen die Behauptung nun f\"ur die Abbildungen $\pi_i(A_k,C)\to
  \pi_i(X_k,B)$ per Induktion nach $k$. Der Induktionsanfang $k=m+1$
  ist gerade unser Fall 2. Induktionsschritt: Betrachte die Tripel
  $(A_k,A_{k-1},C)$ und $(X_k,X_{k-1},B)$. Die Inklusionsabbildung
  liefert das folgende kommutative Diagramm, wobei die Zeilen gerade
  die langen exakten Homotopiesequenzen f\"ur Tripel
  sind: \[\xymatrix@=2ex{\pi_{i+1}(A_k,A_{k+1})\ar[r]\ar[d]
    &\pi_i(A_{k-1},C)\ar[r]\ar[d] &\pi_i(A_k,C)\ar[r]\ar[d]
    &\pi_i(A_k,A_{k-1})\ar[r]\ar[d] &\pi_{i-1}(A_{k-1},C)\ar[d]\\
    \pi_{i+1}(X_k,X_{k+1})\ar[r] &\pi_i(X_{k-1},C)\ar[r]
    &\pi_i(X_k,C)\ar[r] &\pi_i(X_k,X_{k-1})\ar[r]
    &\pi_{i-1}(X_{k-1},C).}\] Die Paare $(A_k,A_{k-1})$ und
  $(X_k,X_{k-1})$ sind $(k-1)$-zusammenh\"angend und es gilt $k-1\ge
  m+1$, da wir $k=m+1$ bereits im Induktionsanfang behandelt
  haben. Also ist $k\ge m+2$ und f\"ur $i<m+n<k+n$, was $i+1<k+n$
  impliziert, erhalten wir, dass der erste und der vierte vertikale
  Pfeil Isomorphismen sind.  Nach Induktionsannahme sind der zweite
  und der f\"unkfte vertikale Pfeil f\"ur $i<m+n$ Isomorphismen, denn
  $(A_k,C)$ ist $m$-zusammenh\"angend und $(B,C)$ ist
  $n$-zusammenh\"angend. Also ist auch die Abbildung in der Mitte nach
  F\"unferlemma ein Isomorphismus. \par Ist $i=m+n$, so ist die zweite
  (vertikale) Abbildung nach Induktion surjektiv. Der vierte Pfeil ist
  ein Isomorphismus (Begr\"undung wie beim ersten Pfeil f\"ur
  $i<m+n$; wir ben\"otigen die Surjektivit\"at). Per Induktion ist der
  f\"unfte Pfeil ein Isomorphismus, insbesondere also injektiv. Nach
  F\"unferlemma ist somit der mittlere Pfeil surjektiv. \par Im Falle
  $i=2$ stehen rechts keine Gruppen mehr und die Gruppen brauchen
  nicht abelsch zu sein. Eine kleine Modifikation des F\"unferlemma
  ist aber anwendbar (\"Ubung). \par Ist $i=1$, so unterscheiden wir
  f\"ur $\pi_1(A,C)\to\pi_1(X,B)$ zwei F\"alle. F\"ur $m\ge1$ sind
  beide Ausdr\"ucke trivial, da wir $A$ aus $C$ durch Ankleben von
  Zellen der Dimension $\ge2$ erhalten haben und da Wege in
  $B\setminus C$ h\"ochstens enden k\"onnen. Ist $m=0$, so ist $n\ge1$
  und zellul\"are Approximation liefert, dass sich die Wege aus
  $B\setminus C$ heraushomotopieren lassen. \par 
  \textbf{Fall 4:} Seien $C,A,B,X$ wie in der Behauptung des
  Theorems. Nach Lemma \ref{CW Paare n zshg dim Zellen lem} ist
  $(A,C)$ homotopie\"aquivalent zu einem Paar $(A',C)$ wie im Fall 3
  und die Homotopie\"aquivalenz ist auf $C$ konstant. Ein ebensolches
  Paar $(B',C)$ gibt es zu $(B,C)$. Da beide Homotopie\"aquivalenzen
  auf $C$ konstant sind, erhalten wir eine Homotopie\"aquivalenz
  $A\cup B\simeq A'\cup B'$. Somit ist dieser Fall auf Fall 3
  zur\"uckgef\"uhrt und das Theorem folgt. 
\end{proof}

Die folgende Proposition liefert einen Zusammenhang zwischen relativen
Homotopiegruppen und absoluten Homotopiegruppen des Quotientenraumes,
wie wir ihn in \"ahnlicher Form auch f\"ur Homologiegruppen kennen. 
\begin{proposition}
  Sei $(X,A)$ ein $r$-zusammenh\"angendes CW-Paar, $A$ ein
  $s$-zu\-sam\-men\-h\"an\-gen\-der Raum und gelte $r,s\ge0$. Dann ist
  die von der Quotientenabbildung $X\to X/A$ induzierte
  Abbildung \[\pi_i(X,A)\to\pi_i(X/A)\] f\"ur $i\le r+s$ ein
  Isomorphismus und f\"ur $i=r+s+1$ eine Surjektion.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X\cup\mathcal CA$ der Komplex, der entsteht, wenn wir den Kegel
  $\mathcal CA$ l\"angs $A\subset X$ an $X$ ankleben. $\mathcal CA$
  ist ein zusammenziehbarer Unterkomplex von $X\cup\mathcal CA$. Somit
  ist $X\cup\mathcal CA\to (X\cup\mathcal CA)/\mathcal CA =X/A$ eine
  Homotopie\"aquivalenz. Wir erhalten das kommutative
  Diagramm \[\xymatrix{\pi_i(X,A)\ar[r] &\pi_i(X\cup\mathcal
    CA,\mathcal CA)\ar[r] &\pi_i(X\cup\mathcal CA/\mathcal CA)
    =\pi_i(X/A).\\ &\pi_i(X\cup\mathcal
    CA)\ar[u]^-\cong\ar[ru]_-\cong}\] Kommutativit\"at und
  Wohldefiniertheit sind klar. Der vertikale Isomorphismus im Diagramm
  stammt dabei aus der langen exakten Homotopiesequenz f\"ur
  Paare \[0\cong\pi_i(\mathcal CA)\to \pi_i(X\cup\mathcal CA)\to
  \pi_i(X\cup\mathcal CA,\mathcal CA)\to \pi_{i-1}(\mathcal CA)\cong
  0.\] Betrachte nun die erste Abbildung. Die exakte Sequenz f\"ur das
  Paar $(A,\mathcal CA)$ lautet \[\pi_{s+1}(A)\to\pi_{s+1}(\mathcal
  CA)\to\pi_{s+1}(\mathcal CA,A)\to\pi_s(A).\] Ist $A$ ein
  $s$-zusammenh\"angender Raum, so liefert diese Sequenz, dass an der
  letzten Stelle und an der zweiten Stelle, da $\mathcal CA$ ein Kegel
  ist, Nullen stehen. Somit ist $\pi_{s+1}(\mathcal CA,A)\cong
  0$. Dieses Argument funktioniert auch f\"ur $s$, $s-1$,
  \ldots. Somit ist $(\mathcal CA,A)$ ein $(s+1)$-zusammenh\"angendes
  Paar. \par Nach Voraussetzung ist $(X,A)$ ein
  $r$-zusammenh\"angendes Paar. Somit
  ist \[\pi_i(X,A)\to\pi_i(X\cup\mathcal CA,\mathcal CA)\] f\"ur
  $i<r+(s+1)$, also f\"ur $i\le r+1$, ein Isomorphismus und f\"ur
  $i=r+s+1$ eine Surjektion. Die Behauptung ergibt sich nun aus dem
  obigen kommutativen Diagramm.
\end{proof}

\Subsection{Der Satz von Hurewicz}
Einen Zusammenhang zwischen Homologiegruppen und Homotopiegruppen
liefert der Satz von Hurewicz. Mit seiner Hilfe kann man induktiv die
niedrigste nichttriviale Homotopiegruppe ($n\ge2$) aus der Kenntnis
der Homologiegruppen bestimmen.
\begin{theorem}[Hurewicz]
  Sei $X$ ein $(n-1)$-zusammenh\"angender topologischer Raum,
  $n\ge2$. Dann ist $\tilde H_i(X)\cong0$ f\"ur $i<n$ und
  $\pi_n(X)\cong H_n(X)$. \par Ist $(X,A)$ ein
  $(n-1)$-zusammenh\"angendes Paar mit $n\ge2$, $A\neq\emptyset$ und
  ist $A$ einfach zusammenh\"angend, so gilt $H_i(X,A)\cong0$ f\"ur
  alle $i<n$ und $\pi_n(X,A)\cong H_n(X,A)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Ohne Beweis]  
\end{proof}

\newpage
\begin{appendix}

\Section{Topologische Grundlagen}
% Dieser Abschnitt ist aus den Vorlesungen Topologie,
% Differentialtopologie und Differentialgeometrie (indirekt)
% zusammenkopiert.
Wir wiederholen einige wichtige Grundbegriffe aus der Topologie. 

Seien $X,Y$ topologische R\"aume.  Setze $I:=[0,1]$.
\begin{definition}[Homotopie]
  Seien $X,Y$ topologische R\"aume. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine \emph{Homotopie} ist eine Familie $(\phi_t)_{t\in I}$ von
    Abbildungen $\phi_t:X\to Y$, so dass die Abbildung $\Phi:X\times
    I\to Y$, definiert durch $\Phi(x,t):=\phi_t(x)$, stetig ist.
  \item Zwei Abbildungen $f_0$, $f_1:X\to Y$ zwischen topologischen
    R\"aumen hei\ss{}en \emph{homotop}, wenn es eine Homotopie
    $(g_t)_{t\in I}$ mit $g_t:X\to Y$, $g_0=f_0$ und $g_1=f_1$
    gibt. Wir schreiben $f_0\simeq f_1$. 
  \item Eine stetige Abbildung $f:X\to Y$ zwischen topologischen
    R\"aumen hei\ss{}t \emph{Homotopie\"aquivalenz}, wenn es eine
    stetige Abbildung $g:Y\to X$ gibt, so dass $f\circ g\simeq\eins_Y$
    und $g\circ f\simeq\eins_X$ gelten.
  \item Zwei topologische R\"aume $X$ und $Y$ haben den gleichen
    \emph{Homotopietyp} oder sind bis auf Homotopie \"aquivalent oder
    sind \emph{homotopie\"aquivalent}, wenn es eine
    Homotopie\"aquivalenz zwischen ihnen gibt. Wir schreiben $X\simeq
    Y$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Retrakte]\label{retrakt def}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $A$ ein \emph{Retrakt} von $X$, wenn es eine stetige
    Abbildung $r:X\to A$ (\emph{Retraktion}) gibt, so dass
    $r|_A=\eins_A$ ist.
  \item Dann ist $A$ ein (strenger) \emph{Deformationsretrakt} von
    $X$, wenn es eine Familie $(f_t)_{t\in I}$ von Abbildungen
    $f_t:X\to X$ gibt, so dass $f_0=\eins_X$, $f_1(X)=A$ und
    $f_t|_A=\eins_A$ f\"ur alle $t\in I$ gelten und dass weiterhin
    $X\times I\ni(x,t)\mapsto f_t(x)$ stetig ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\partial B_1((-1,0))\cup\partial B_1((1,0))$ ist ein Retrakt
    und ein Deformationsretrakt von $\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\}$.
  \item Die Menge $\partial B_1((1,0))$ ist ein Retrakt, aber kein
    Deformationsretrakt von $\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\}$.\par
    Die Tatsache, dass es sich nicht um einen Deformationsretrakt
    handelt ist zwar anschaulich klar, ein Beweis ben\"otigt aber
    Betrachtungen \"uber Fundamentalgruppen.
  \item Sei $M\subset\R^n$ eine Untermannigfaltigkeit mit
    Tubenumgebung $U$. Dann ist $M$ ein Deformationsretrakt von $U$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{lemma}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $A\subset X$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $A$ ein Deformationsretrakt von $X$, so ist $A$ ein
    Retrakt von $X$. 
  \item Ist $A$ ein Deformationsretrakt von $X$, so sind $A$ und $X$
    homotopie\"aquivalent. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item W\"ahle $r=f_1$. 
  \item Benutze die Abbildung $f_1\colon X\to A$ und die Inklusion
    $i\colon A\to X$. Es gilt $f_1\circ i =\id_A$. Die Homotopie $f_t$
    zeigt, dass $i\circ f_1\simeq\id_X$ gilt. 
    \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Ein wichtiges Beispiel f\"ur homotope Abbildungen sind 
  homotope Wege. Ein Weg ist eine stetige Abbildung von $[0,1]$ in
  einen topologischen Raum. Ein geschlossener Weg ist eine stetige
  Abbildung $f$ von $[0,1]$ in einen topologischen Raum mit
  $f(0)=f(1)$ oder, \"aquivalent dazu, eine Abbildung von $\S^1$ in
  einen topologischen Raum. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Frei homotope geschlossene Wege: Sei $X$ ein topologischer
    Raum und seien $\alpha,\beta\colon\S^1\to X$ geschlossene
    Wege. Dann ist $\alpha$ (frei) homotop zu $\beta$, falls die
    Abbildungen $\alpha$ und $\beta$ homotop zueinander sind. 
  \item Wege mit festen Endpunkten: Sei $X$ ein topologischer Raum,
    $x_0,x_1\in X$. Seien $\alpha,\beta\colon [0,1]\to X$ stetige
    Abbildungen mit $\alpha(0) =\beta(0) =x_0$ und $\alpha(1)
    =\beta(1) =x_1$. Dann hei\ss{}t $\alpha$ homotop zu $\beta$, wenn
    es eine stetige Abbildung $\Phi\colon [0,1]\times[0,1]\to X$ mit
    $\Phi(\cdot,0)=\alpha$, $\Phi(\cdot,1)=\beta$, $\Phi(0,t)=x_0$ und
    $\Phi(1,t)=x_1$ f\"ur alle $t\in I$ gibt.
  \item Geschlossene Wege mit festen Endpunkten: Wie bei festen
    Endpunkten, falls $x_0=x_1$ ist. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Homotope Wege mit festen Endpunkten sind Beispiel f\"ur relative
Homotopien: 
\begin{definition}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Homotopie $\phi_t:X\to Y$ hei\ss{}t \emph{relativ} zu
    einer Menge $A\subset X$, wenn $\phi_t(a)$ f\"ur beliebiges aber
    festes $a\in A$ unabh\"angig von $t\in I$ ist.  (Einen Spezialfall
    davon haben wir bereits beim Deformationsretrakt kennen gelernt.
    Dort hatten wir gefordert, dass $f_t|_A=\eins_A$ f\"ur alle
    $t\in I$ gilt.)
  \item Sei $\phi_t:X\to Y$ eine Homotopie und seien $A\subset X$ und
    $B\subset Y$. Falls $\phi_t(A)\subset B$ f\"ur alle $t\in I$ gilt,
    so sprechen wir von einer Homotopie von Paaren
    $\phi_t:(X,A)\to(Y,B)$. Im Spezialfall, dass $A=\{x_0\}$ und
    $B=\{y_0\}$ gelten, sprechen wir von einer Homotopie von
    punktierten R\"aumen und schreiben $\phi_t:(X,x_0)\to(Y,y_0)$.
  \item Entsprechend hei\ss{}en punktierte R\"aume $(X,x_0)$ und
    $(Y,y_0)$ \emph{homotopie\"aquivalent}, wenn es stetige
    Abbildungen $\phi:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ und $\psi:(Y,y_0)\to (X,x_0)$
    gibt, so dass $\phi\circ\psi\simeq\eins_Y$ und
    $\psi\circ\phi\simeq\eins_X$ gelten, wobei \glqq$\simeq$\grqq{}
    sich auf Homotopien punktierter R\"aume bezieht. Die Abbildungen
    $\phi$ und $\psi$ hei\ss{}en dann \emph{Homotopieinverse}
    voneinander. Wir schreiben $(X,x_0)\simeq(Y,y_0)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Finaltopologie, Quotiententopologie]
  Sei $Y$ eine Menge und seien $(X_i,\mathcal O_i)$, $i\in I$,
  topologische R\"aume. Seien $f_i:X_i\to Y$ Abbildungen. Dann
  existiert eine feinste Topologie auf $Y$, die Finaltopologie, so
  dass alle $f_i$ stetig werden, n\"amlich $\mathcal O:=\{A\subset
  Y:f_i^{-1}(A)\in\mathcal O_i \text{ f\"ur alle }i\in I\}$. \par
  \textbf{Spezialfall Quotientenraum:} Sei $(X,\mathcal O)$ ein
  topologischer Raum und $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf $X$. Sei
  $\bar x$ die \"Aquivalenzklasse von $x$ und $\bar X:=\{\bar x:x\in
  X\}$. Definiere die Projektion $p:X\to\bar X$ durch $x\mapsto\bar
  x$. Die zugeh\"orige Finaltopologie hei\ss{}t
  Quotiententopologie. $U\subset\bar X$ ist genau dann offen, wenn
  $p^{-1}(U)\subset X$ offen ist.
\end{definition}

\begin{definition}[Zusammenkleben von R\"aumen]
  Seien $X$ und $Y$ disjunkte topologische R\"aume, $A\subset X$ eine
  abgeschlossene Teilmenge und $f:A\to Y$ eine stetige Abbildung.  Wir
  definieren auf $X\cup Y$ eine \"Aquivalenzrelation $\sim$ durch
  $$z_1\sim z_2:\aequivalent
  \begin{cases}
    (z_1,\,z_2\in A&\text{und}\quad f(z_1)=f(z_2))\quad\text{oder}\\
    (z_1\in A,\,z_2\in f(A)&\text{und}\quad f(z_1)=z_2)\quad\text{oder}\\
    (z_2\in A,\,z_1\in f(A)&\text{und}\quad f(z_2)=z_1)\quad\text{oder}\\
    &\phantom{\text{und}}\quad(z_1=z_2).
  \end{cases}$$
  Den Faktorraum $(X\cup Y)/\!\!\sim$ bezeichnen wir mit $Y\cup_f X$.
  $Y\cup_f X$ hei\ss{}t der durch Zusammenkleben von $X$ mit $Y$
  mittels $f$ entstandene Raum. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Insbesondere werden beim Zusammenkleben von $X\cup Y$ zu $Y\cup_f X$
  die Punkte aus $f(A)$ mit allen ihren Urbildern identifiziert.
\end{remark}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X=[0,1]$, $A=\{0\}\cup\{1\}$, $Y=[2,3]$ und $f(0)=2$,
    $f(1)=3$. Dann ist $X\cup_f Y$ hom\"oomorph zu $\S^1$.
  \item Sei $X=\ol{B_1(0)}\subset\R^n$, $A=\partial B_1(0)$,
    $Y=\{p\}$ eine einpunktige Menge und sei $f(x)=p$ f\"ur alle
    $x\in A$. Dann ist $Y\cup_f X$ hom\"oomorph zu $\S^n$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}[Ankleben von Zellen]
  Definiere $D^n:=\ol{B_1(0)}\subset\R^n$ als die abgeschlossene
  $n$-dimensionale Einheitskugel, $e^n:=B_1(0)\subset\R^n$ als die
  offene $n$-dimensionale Einheitskugel und $\S^{n-1}:=\partial
  B_1(0)\equiv D^n\setminus\dot D^n$ als die $(n-1)$-dimensionale
  Sph\"are.  Wir nennen auch $D^n$ eine $n$-dimensionale Kugel, $e^n$
  eine $n$-dimensionale Zelle und $\S^n$ eine $n$-dimensionale
  Sph\"are.\par
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $f:\S^{n-1}\to X$ eine stetige
  Abbildung. Wir sagen, dass $X\cup_f D^n$ (oder ein dazu
  hom\"oomorpher Raum) durch Ankleben (oder Anheften) einer $n$-Zelle
  mittels $f$ entstanden sei.  Man schreibt auch laxerweise $X\cup_f
  e^n$ statt $X\cup_f D^n$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $p:X\cup D^n\to X\cup_f D^n$ die kanonische Projektion.  Dann
  ist $p|_{e^n}:e^n\to p(e^n)$ ein Hom\"oomorphismus.  Dies erkl\"art,
  warum man vom Anheften/Ankleben einer $n$-Zelle spricht.
\end{remark}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X=D^n$ und $f:\S^{n-1}\to D^n$ die kanonische
    Inklusionsabbildung (in einen zweiten $n$-Ball).  Dann ist
    $X\cup_f D^n$ hom\"oomorph zu einer $n$-dimensionalen Sph\"are.
  \item Sei $X:=\{(x,y)\in\R^2:0\le x\le1,\,0\le y\le1\}$,
    $A:=\{(x,y)\in X:x=0\vee x=1\}$, $Y:=[0,1]$. Sei $f:A\to Y$ durch
    $f(0,y):=y$ und $f(1,y):=1-y$ definiert. Dann ist $M:=Y\cup_f X$
    hom\"oomorph zu dem (abgeschlossenen) M\"obiusband.\par
    Der Rand $\partial M=M\setminus\dot M$ des M\"obiusbandes ist
    hom\"oomorph zu $\S^1$. Somit l\"asst sich an $M$ eine $2$-Zelle
    mittels einer Abbildung $g:\S^1\to\partial M$ injektiv
    ankleben. Wir k\"onnen f\"ur $g$ einen Hom\"oomorphismus
    w\"ahlen. Wir erhalten einen neuen Raum. (Dieser ist hom\"oomorph
    zu $\R P^2$.)
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

Wir k\"onnen auch mehrere Zellen gleichzeitig ankleben.
\begin{definition}
  Seien $D^n\times\{i\}$, $i\in I$, $n$-B\"alle und
  $f_i:\S^{n-1}\times\{i\}\to X$ stetige Abbildungen der
  dazugeh\"origen $(n-1)$-Sph\"aren in einen topologischen Raum
  $X$. $\S^{n-1}_I =\bigcup\limits_{i\in
    I}\left(\S^{n-1}\times\{i\}\right)$ ist ein Unterraum von
  $D^n_I:=\bigcup\limits_{i\in I} (D^n\times\{i\})$. Wir erhalten eine
  stetige Abbildung $f:\S^{n-1}_I\to X$ durch die Definition
  $f(x,i):=f_i(x)$.  Man sagt, dass $X':=X\cup_f D^n_I$ durch Ankleben
  der $n$-Zellen $e^n\times\{i\}$, $i\in I$, an $X$ entstanden sei.
\end{definition}

CW-Komplexe wurden von J. H. C. Whitehead eingef\"uhrt.  Sie werden
induktiv definiert. (CW steht f\"ur ``closure-finite weak
topology''.)
\begin{definition}[endliche CW-Komplexe]
  Ein nulldimensionaler CW-Komplex ist eine endliche Menge von
  Punkten, die mit der diskreten Topologie versehen ist.\par
  Ein $n$-dimensionaler CW-Komplex ist ein Raum der Form $X\cup_f
  e^n_I$, wobei $f$ stetig, $X$ ein $k$-dimensionaler CW-Komplex mit
  $k<n$ und $e^n_I=\bigcup\limits_{i\in I}(e^n\times\{i\})$,
  $|I|<\infty$, die topologische Summe von $n$-Zellen mit $n\ge1$
  ist.\par Die Menge aller Punkte in einem CW-Komplex, die bereits in
  einem $k$-di\-men\-sio\-na\-len CW-Komplex enthalten sind hei\ss{}t
  $k$-Skelett oder $k$-Ger\"ust.
\end{definition}

F\"ur unendliche CW-Komplexe verwendet man die folgende Definition.
\begin{definition}[CW-Komplex]
  Ein CW-Komplex $X$ ist ein Hausdorffraum $X$ mit einer (disjunkten)
  Zerlegung $\mathcal E$ in Zellen, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item es zu jeder $n$-Zelle $e$ eine stetige Abbildung
    $\Phi_e\colon\bar e\to X$ gibt, die $e$ hom\"oomorph auf $e$ und
    $\partial e$ in die Vereinigung der maximal $(n-1)$-dimensionalen
    Zellen abbildet. Die Abbildungen $\Phi_e$ bezeichnet man auch als
    charakteristische Abbildungen. 
  \item $\bar e$ (oder genauer $\Phi_e(\bar e)$) f\"ur jedes
    $e\in\mathcal E$ nur endlich viele andere Zellen in $\mathcal E$
    trifft (H\"ullenendlichkeit).
  \item $A\subset X$ genau dann abgeschlossen ist, wenn $A\cap\bar e$
    (genauer $A\cap\Phi_e(\bar e)$) f\"ur jede Zelle $e\in\mathcal E$
    abgeschlossen ist (schwache Topologie).
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\S^2$ ist hom\"oomorph zu einem zweidimensionalen
    CW-Komplex. Man klebt zun\"achst eine $1$-Zelle $e^1$ an einen
    Punkt und erh\"alt einen zu $\S^1$ hom\"oomorphen Raum. Durch
    Ankleben von zwei $2$-Zellen $e^2_1$ und $e^2_2$ an den
    entstandenen Raum erh\"alt man einen zu $\S^2$ hom\"oomorphen
    Raum.
  \item Man erh\"alt auch einen zu einer $\S^2$ hom\"oomorphen
    CW-Komplex, indem man eine $2$-Zelle an einen Punkt klebt.
  \item Klebt man eine $n$-Zelle an einen Punkt, so erh\"alt man einen
    $n$-dimensionalen CW-Komplex hom\"oomorph zu $\S^n$.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}[Kegel]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir definieren den Kegel
    \"uber $X$ als $CX:=(X\times[0,1])/(X\times\{0\})$. 
  \item Sei $f\colon X\to Y$ stetig. Dann ist $C_f$, der
    Abbildungskegel von $f$ als $Y\cup_fCX$ definiert. (\glqq Wir
    kleben den Kegel \"uber $X$ mit Hilfe von $f$ in den Raum
    $Y$.\grqq{} Hier betrachten wir die Abbildung $f$ als auf
    $X\times\{1\}\subset CS$ definiert.)
  \end{enumerate}
\end{definition}

\end{appendix}

\bibliographystyle{amsplain}

\def\emph#1{\textit{#1}}

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{Deimling}
Klaus Deimling, \emph{Nichtlineare {G}leichungen und {A}bbildungsgrade},
  Springer-Verlag, Berlin, 1974, Hochschultext.

\bibitem{Hatcher}
Allen Hatcher, \emph{Algebraic topology}, Cambridge University Press,
  Cambridge, 2002,\\ {\tt http://www.math.cornell.edu/\~{}hatcher/}.

\end{thebibliography}
\markboth{\scriptsize{\textsc{\MakeUppercase{Literatur}}}}
{\scriptsize{\textsc{\MakeUppercase{Literatur}}}} 
\end{document}
