% 
% Differentialgeometrie I
% Oliver Schn\"urer
% FU Berlin, Winter 2008/2009, kleiner Teil
% Uni Konstanz, Sommer 2010, Winter 2013/14, Winter 2017/18
%
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Differentialgeometrie I}

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Fachbereich Mathematik und Statistik,
  Universit\"at Konstanz, 78457 Konstanz, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

%    General info
\subjclass[2000]{53-01}
% 53-xx Differential geometry
% 53-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) 
% 53C22 Geodesics [See also 58E10]

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

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%\setlength{\parskip}{0.5em}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Differentialgeometrie I an der Universit\"at Konstanz, entstanden
  aus dem fr\"uheren Manuskript zur Elementaren Differentialgeometrie:
  Wintersemester 2017/18.
  % alt/dg1.tex.15 ist die alte Version, bevor ich mehr in Richtung
  % Differentialgeometrie von Untermannigfaltigkeiten umgestellt
  % habe. 
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

%\mainmatter
%\addtocounter{section}{-1}

% Spezielle Kopfzeilen 
\long\def\Section#1{\section{#1} \def\abschnitt{#1}}
\long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
\markboth{\scriptsize{\textsc{\thesection.{} 
\MakeUppercase{\abschnitt}}}}%
{\scriptsize{\textsc{\thesection.{} 
\MakeUppercase{\abschnitt}}}}{}
%{\scriptsize{\textsc{\thesubsection.{} \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}

\noindent In der Differentialgeometrie geht es um Mannigfaltigkeiten
und deren Kr\"um\-mung.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Wir orientieren uns an \cite{KuwertElDG,StruweDG1}, benutzen aber auch
\cite{TomiDG1}.

\Section{Isometrien des $\R^n$}

\begin{definition}
  Eine Abbildung $f\colon(X_1,d_1)\to(X_2,d_2)$ zwischen zwei
  metrischen R\"aumen $(X_i,d_i)$ hei\ss{}t Isometrie, falls
  \[d_2(f(x),f(y))=d_1(x,y)\] f\"ur alle $x,y\in X_1$ gilt und $f$
  surjektiv ist. 
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann bildet die Menge der
  Isometrien $f\colon(X,d)\to(X,d)$ bez\"uglich der Komposition von
  Abbildungen eine Gruppe. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Isometrien sind injektiv, also auch bijektiv und daher invertierbar
  mit bijektiver Inversen. Seien $f,g$ Isometrien. Dann folgt aus
  $d(f(x),f(y))=d(x,y)$ auch $d(x,y)=d(f^{-1}(x),f^{-1}(y))$. Daher
  ist $f^{-1}$ ebenfalls eine Isometrie. Es gilt \[d(f\circ
  g(x),f\circ g(y)) =d(g(x),g(y)) =d(x,y),\] jeweils f\"ur alle
  $x,y\in X$. Die Bijektivit\"at von $f$ und $g$ \"ubertr\"agt sich
  auf die Komposition $f\circ g$. Die Identit\"at $x\mapsto x$ ist das
  neutrale Element.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Die Isometrien $f\colon\R^n\to\R^n$ des $\R^n$ sind genau die
  Abbildungen der Form \[f(x)=Ax+b\] mit $A\in O(n)$ und $b\in\R^n$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Gelte $f(x)=Ax+b$. Dann rechnet man direkt nach, dass
  es sich um eine Isometrie handelt.\par
  \Rueckrichtung Sei $f$ eine beliebige Isometrie. Durch Addition
  eines konstanten Vektors in $\R^n$ d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $f(0)=0$ gilt. Wir erhalten \[|f(x)| =d(f(x),0)
  =d(f(x),f(0)) =d(x,0) =|x|\] f\"ur alle $x\in\R^n$. Da $f$ eine
  Isometrie ist, gilt $|f(x)-f(y)|=|x-y|$. Aufgrund der
  Polarisationsformel (oder durch direktes Ausmultiplizieren der
  quadrierten Normen) erhalten wir
  \begin{align*}
    2\langle f(x),f(y)\rangle =&\,|f(x)|^2+|f(y)|^2-|f(x)-f(y)|^2\\
    =&\,|x|^2+|y|^2-|x-y|^2 =2\langle x,y\rangle.
  \end{align*}
  Somit erh\"alt $f$ auch das Skalarprodukt. Sei $(e_i)_{1\le i\le n}$
  die Standardbasis des $\R^n$. Wir erhalten $\langle
  f(e_i),f(e_j)\rangle =\langle e_i,e_j\rangle =\delta_{ij}$. Dies
  besagt, dass auch $(f(e_i))_{1\le i\le n}$ eine \ONB ist. Daher gilt
  f\"ur $x\in\R^n$ \[f(x)=\sum\limits_{i=1}^n\langle
  f(x),f(e_i)\rangle f(e_i) =\sum\limits_{i=1}^n\langle x,e_i\rangle
  f(e_i) =\sum\limits_{i=1}^nx^if(e_i).\] Somit ist $f$ eine lineare
  Abbildung. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass eine lineare
  Abbildung, die eine \ONB auf eine andere \ONB abbildet, durch eine
  orthogonale Matrix dargestellt wird. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Die Isometrien $f(x)=Sx+b$, $S\in O(n)$, $b\in\R^n$, $x\in\R^n$
  hei\ss{}en (Euklidische) Bewegungen. \par
  Die Isometrie $f(x)=Sx+b$ hei\ss{}t orientierungserhaltend oder
  eigentliche Bewegung, falls $\det S=1$ f\"ur die orthogonale Matrix
  $S$ gilt.
\end{definition}

\begin{definition}
  Seien $x,y\in\R^n\setminus\{0\}$. Dann hei\ss{}t 
  \[\sphericalangle(x,y)=\arccos\frac{\langle
    x,y\rangle}{|x|\cdot|y|}\in [0,\pi]\]
  der Winkel zwischen $x$ und $y$. 
\end{definition}

\Section{Kurven im $\R^n$}
\Subsection{Kurven, Bogenl\"ange und Umparametrisierung}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $I\subset\R$ ein Intervall. Eine Abbildung $\alpha\in
    C^k\left(I,\R^n\right)$,
    $k\in\N\cup\{\infty\}\equiv\{0,1,2,\ldots\} \cup\{\infty\}$,
    hei\ss{}t parametrisierte Kurve der Klasse $C^k$ im $\R^n$.
  \item Eine $C^1$-Kurve $\alpha$ hei\ss{}t regul\"ar, falls
    $\alpha'(t)\neq0$ f\"ur alle $t\in I$ gilt.
  \item Eine $C^k$-Kurve $\alpha\colon[a,b]\to\R^n$ hei\ss{}t
    $C^k$-geschlossen, falls \[\alpha^{(l)}(a)=\alpha^{(l)}(b)\] f\"ur
    alle $0\le l\le k$ gilt. 
  \item Eine Kurve $\alpha$ hei\ss{}t st\"uckweise von der Klasse
    $C^k$, $k\in\N\cup\{\infty\}$, falls es ein $N\in\N$ und
    $a_i\in\R$, $0\le i\le N$, mit $I=[a_0,a_N]$ und
    $\alpha|_{[a_i,a_{i+1}]}\in C^k$ f\"ur alle $0\le i\le N-1$ gibt.
  \item Ist $\alpha\colon[0,2\pi]\to\R^n$ eine $C^k$-geschlossene
    Kurve, so stellen wir die Kurve auch als Abbildung 
    \begin{align*}
      \tilde\alpha\colon\S^1\to&\,\R^n,\\
      e^{i\phi}\mapsto&\,\alpha(\phi)
    \end{align*}
    mit $\phi\in[0,2\pi]$ dar. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Bogenl\"ange]
  Sei $\alpha\colon [a,b]\to\R^n$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve. Dann
  ist \[L(\alpha):=\int\limits_a^b|\alpha'(t)|\,dt\] die
  Bogenl\"ange der Kurve $\alpha$, wobei die Integration jeweils
  einzeln \"uber Intervalle, auf denen $\alpha$ von der Klasse $C^1$
  ist, ausgef\"uhrt wird. 
\end{definition}

\begin{definition}
  Seien $\alpha_i\colon I_i\to\R^n$, $i=1,2$, parametrisierte
  Kurven. Dann hei\ss{}t $\alpha_2$ Umparametrisierung von $\alpha_1$,
  falls es eine Bijektion $\phi\in C^1(I_2,I_1)$ mit $\phi'(t)\neq0$
  f\"ur alle $t\in I_2$ (also einen Diffeomorphismus) gibt, so
  dass \[\alpha_2=\alpha_1\circ\phi\] gilt. \par $\phi$ hei\ss{}t
  Parametertransformation. Sie hei\ss{}t richtungstreu, falls
  $\phi'>0$ gilt und richtungsumkehrend, wenn $\phi'<0$ gilt.\par Zur
  Umparametrisierung von Kurven der Klasse $C^k$ verwenden wir
  Parametertransformationen der Klasse $C^k$. 
\end{definition}

\begin{lemma}
  Auf der Menge aller parametrisierten Kurven in $\R^n$ ist $\sim$ mit
  $\alpha\sim\beta$, falls $\beta$ eine Umparametrisierung von
  $\alpha$ ist, eine \"Aquivalenzrelation. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Beachte dazu insbesondere, dass die Inverse einer
  Parametertranformation wieder eine Parametertransformation ist und
  dass die Verkn\"upfung von zwei Parametertransformationen (bei
  geeigneten Definitionsbereichen) ebenfalls eine
  Parametertransformation ist. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha_2$ eine Umparametrisierung von $\alpha_1$,
  $\alpha_2=\alpha_1\circ\phi$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann gilt $L(\alpha_1)=L(\alpha_2)$.
  \item Der normierte Tangentialvektor $\frac{\alpha_i'}{|\alpha_i'|}$
    ist bei einer orientierungserhaltenden Parametertransformation
    invariant, \dh es gilt \[\frac{\alpha_2'}{|\alpha_2'|}
    =\frac{\alpha_1'}{|\alpha_1'|}\circ\phi.\] 
  \item Ist $\alpha_1$ regul\"ar, so auch $\alpha_2$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}[(i)]
\item Sei $\alpha_i$ auf $I_i=[a_i,b_i]$ definiert. Dann erhalten wir
  mit Hilfe der Transformationsformel f\"ur Integrale \[L(\alpha_2)
  =\int\limits_{a_2}^{b_2}|\alpha'_2(t)|\,dt
  =\int\limits_{a_2}^{b_2}|\alpha'_1(\phi(t))|\cdot|\phi'(t)|\,dt
  =\int\limits_{a_1}^{b_1}|\alpha'_1(\tau)|\,d\tau =L(\alpha_1).\] Ist
  $\phi'<0$, so wird der Faktor $\frac{|\phi'|}{\phi'}=-1$ aufgrund
  der Integraltransformation durch Vertauschen der Integrationsgrenzen
  wieder kompensiert. 
\item Es gilt \[\frac{\alpha'_2(t)}{|\alpha'_2(t)|}
  =\frac{\dt\alpha_1(\phi(t))}{\left|\dt\alpha_1(\phi(t))\right|}
  =\frac{\alpha'_1(\phi(t))}{|\alpha'_1(\phi(t))}\cdot
  \frac{\phi'(t)}{|\phi'(t)|}.\] 
\item Dies folgt ebenfalls aus der Kettenregel
  $\alpha'_2(\phi(t))=\alpha'_1(\phi(t))\cdot\phi'(t)$. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
  Eine $C^1$-Kurve $\alpha\colon I\to\R^n$ hei\ss{}t nach der
  Bogenl\"ange parametrisiert, falls $|\alpha'(t)|=1$ f\"ur alle $t\in
  I$ gilt. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Ist $\alpha\colon[a,b]\to\R^n$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert,
  so folgt $L(\alpha)=b-a$. 
\end{remark}

\begin{theorem}\label{bogenl param thm}
  Sei $\alpha\colon I\to\R^n$ eine regul\"are $C^k$-Kurve,
  $k\ge1$. Dann gibt es eine (orientierungserhaltende)
  Parametertransformation $\phi\in C^k(J,I)$, so dass
  $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere die Bogenl\"angenfunktion $\sigma\colon I\to\R$ f\"ur ein
  $t_0\in\R$ durch \[\sigma(t) :=\int\limits_{t_0}^t
  |\alpha'(\tau)|\,d\tau\] und setze $J:=\sigma(I)$. Wegen $\sigma'(t)
  =|\alpha'(t)|>0$ ist $\sigma\in C^k(I,J)$ invertierbar. Setze
  $\phi(s):=\sigma^{-1}(s)$. Wir erhalten aus
  $\phi(\sigma(\tau))=\tau$ zun\"achst
  $\phi'(\sigma(\tau))\sigma'(\tau)=1$ und
  $\phi'(s)=\frac1{\sigma'(\phi(s))}$. Somit gilt \[\left|\frac
    d{ds}\alpha(\phi(s))\right|
  =|\alpha'(\phi(s))|\cdot\frac1{\sigma'(\phi(s))}=1\] und wir
  erhalten die Behauptung. \par Es ist \"ublich, $s$ als Parameter
  f\"ur eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte Kurve zu verwenden.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sind $\alpha_i$, $i=1,2$, beide nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  und gelte $\alpha_2(t)=\alpha_1(\phi(t))$, dann
  folgt \[1=|\alpha'_2(t)| =|\alpha'_1(\phi(t))|\cdot|\phi'(t)|
  =|\phi'(t)|\] und daher ist $\phi(t)=t_0\pm t$. Die Parametrisierung
  nach der Bogenl\"ange ist also bis auf eine Isometrie von $\R$
  eindeutig bestimmt.
\end{remark}

\Subsection{Die isoperimetrische Ungleichung}

% \begin{remark}
%   Bei explizit angegebenen Vektoren im $\R^{n+1}$ werden wir
%   h\"aufiger in der Notation etwas nachl\"assig sein und bei
%   $\alpha(t)=(x(t),y(t))$, $\nu=\frac{(-\nabla u,1)}{\sqrt{1+|Du|^2}}$
%   oder $X(x)=(x,u(x))$ die Transposition der Vektoren weglassen.
% \end{remark}

\begin{theorem}[Isoperimetrische Ungleichung]\label{isop ungl}
  Sei $G\subset\R^2$ beschr\"ankt und sei $\partial G$ das Bild einer
  nach der Bogenl\"ange parametrisierten st\"uckweisen $C^1$-Kurve
  $\alpha:[0,L]\to\R^2$. Sei $\mathcal A:=|G|$ der Fl\"acheninhalt von
  $G$ und $L$ die (Bogen-)L\"ange von $\alpha$. Dann gilt \[\mathcal
  A\le\frac1{4\pi} L^2\] und Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $G$
  ein Ball ist.
\end{theorem}

\begin{lemma}
  Sei $G\subset\R^2$ beschr\"ankt und sei $\partial G$ das Bild einer
  st\"uckweisen $C^1$-Kurve $\alpha:[0,a]\to\R^2$. Sei
  $\alpha|_{[0,a)}$ injektiv und gelte $\alpha(0)=\alpha(a)$. Sei
    $\alpha(t)=(x(t),y(t))^T$. Dann gilt
    $|G|=\int\limits_0^ax(t)y'(t)\,dt$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $G$. Nehme an, dass $G$ links
  der Kurve liegt und dass diese nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  ist. Dann sind $T=\alpha'=(x',y')^T$ und $\nu=(y',-x')^T$. Nach dem
  Divergenzsatz gilt \[2|G|=\int\limits_G2
  =\int\limits_G\divergenz(x,y)^T =\int\limits_{\partial
    G}\left\langle\nu,(x,y)^T\right\rangle =\int\limits_0^a
  (xy'-yx')(s)\,ds.\] Da $\alpha$ eine geschlossene Kurve ist, sehen
  wir mit partieller Integration, dass beide Summanden denselben
  Beitrag liefern. Aufgrund der Integraltranformationsformel gilt die
  Behauptung auch, wenn $\alpha$ nicht nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert ist.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von \ref{isop ungl}]
  Sei $x(t)$ ohne Einschr\"ankung in $t=0$ minimal und in $t=t_0$
  maximal. Sei $(x(t),\bar y(t))$ eine Parametrisierung eines Kreises
  vom Radius $r$, ohne Einschr\"ankung $B_r(0)$, der nach orthogonaler
  Projektion auf die $x$-Achse dasselbe Bild wie die Kurve $\alpha$
  hat.  Es gilt
  \begin{align}
    \mathcal A+\pi r^2=&\,\int\limits_0^L xy'-\bar yx'\,ds
    =\int\limits_0^L \left\langle
    \begin{pmatrix} x\\ \bar y\end{pmatrix},
    \begin{pmatrix} y'\\ -x'\end{pmatrix}\right\rangle\,ds \nonumber\\ 
  \le&\,\int\limits_0^L \underbrace{\sqrt{x^2+\bar y^2}}_{=r,\text{ da
    }(x,\bar y)\in\partial B_r(0)}\cdot\quad
  \underbrace{\sqrt{x'^2+y'^2}}_{=|\alpha'|=1}\,ds = Lr. \label{fl
    absch}
  \end{align}
  Somit ist 
  \begin{equation}\label{ab ungl}
    2\sqrt{A}\cdot\sqrt{\pi r^2}\le\mathcal A+\pi r^2 \le Lr
  \end{equation}
  und die isoperimetrische Ungleichung folgt.\par Gilt \"uberall
  Gleichheit, so folgt aus der ersten Ungleichung in \eqref{ab ungl}
  $A=\pi r^2$. $r$ h\"angt damit insbesondere nicht von der Richtung
  ab, in die wir die Kurve projizieren. Aus \eqref{fl absch} folgt
  $(xy'-\bar yx')^2=(x^2+\bar y^2)(x'^2+y'^2)$, also auch (direktes
  Ausmultiplizieren oder: drehe einen Vektor um $90^\circ$ und benutze
  die Orthogonalit\"at) $(xx'+\bar yy')^2=0$. Aus dieser Gleichung
  folgen die ersten beiden Gleichheitszeichen in \[\frac x{y'}
  =-\frac{\bar y}{x'} =\pm\frac{\sqrt{x^2+\bar y^2}}{\sqrt{x'^2+y'^2}}
  =\pm r.\] (Falls $y'=0$ ist, folgt $x=0$ und die n\"achste Gleichung
  gilt trotzdem.)  Also gilt $x=\pm ry'$. Da $r$ unabh\"angig von
  Drehungen des Koordinatensystems ist, folgt ebenso $y=\pm rx'$. Also
  ist $x^2+y^2=r^2(x'^2+y'^2)=r^2$. $\alpha$ durchl\"auft also einen
  Kreis.
\end{proof}

\Section{Kr\"ummung von Kurven}
\Subsection{Definition der Kr\"ummung von Kurven in der Ebene}

\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^k\left(I,\R^2\right)$, $k\ge1$, regul\"ar. Wir
  setzen $J:=
  \begin{pmatrix}
    0&-1\\
    1&0
  \end{pmatrix}
  $. Es gilt $J^2=-\eins$ und $\langle Jv,w\rangle=\det(v,w)$ f\"ur
  alle $v,w\in\R^2$. Identifizieren wir einen Vektor $z=
  \begin{pmatrix}
    a\\ b
  \end{pmatrix}$ mit $z:=a+ib\subset\C$, so ist bez\"uglich dieser
  Identifizierung $Jz=iz$. \par
  Definiere den Tangentialvektor von $\alpha$ durch
  $\tau(t):=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}$.  Dann ist $\nu$ mit
  $\nu(t):=J\tau(t)$ in $C^{k-1}\left(I,\R^2\right)$ und
  $\tau(t),\nu(t)$ ist ein positiv orientiertes (normiertes) $2$-Bein
  l\"angs $\alpha$, \dh $\tau(t)$ ist ein positives Vielfaches von
  $\alpha'(t)$, $|\tau(t)|=1$, $|\nu(t)|=1$ und
  $\det(\tau(t),\nu(t))=1$. $\nu$ hei\ss{}t Normale (Einheitsnormale)
  an $\alpha$. Somit steht $\nu$ senkrecht auf $\tau$:
  $\langle\tau(t),\nu(t)\rangle=0$. (Sie ist eindeutig bestimmt.) \par
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Dann definieren wir die (orientierte) Kr\"ummung
  $\kappa\colon I\to\R$ von $\alpha$
  durch \[\kappa(s):=\langle\alpha''(s),\nu(s)\rangle.\] Ist $\alpha$
  nicht nach der Bogenl\"ange parametrisiert, so definieren wir die
  Kr\"ummung von $\alpha$ durch \[\kappa_\alpha
  :=\kappa_{\alpha\circ\phi}\circ\phi^{-1},\] wobei $\phi$ eine
  orientierungserhaltende $C^2$-Parametertransformation ist, so dass
  $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert ist.
\end{definition}
Den Beweis, dass die Kr\"ummung einer nicht nach der Bogenl\"ange
parametrisierten Kurve wohldefiniert ist, lassen wir als
\"Ubungsaufgabe.

\begin{lemma}
  Sei $\alpha\colon I\to\R^2$ eine regul\"are $C^2$-Kurve. Dann
  gilt \[\kappa(t)=\frac{\det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{|\alpha'(t)|^3}.\]
  Ist $\alpha$ ein Graph, also von der Form $\alpha(x)=(x,u(x))$ mit
  $u\in C^2(I,\R)$, so gilt \[\kappa(x)=\frac{u''(x)}
  {\left(1+(u'(x))^2\right)^{3/2}}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert und gelte
  $\phi'>0$.  Wir leiten zun\"achst Formeln f\"ur die Ableitungen von
  $\phi$ her:
  \begin{align*}
    1=&\,|(\alpha\circ\phi)'(s)| =|\alpha'|_{\phi(s)}|\cdot\phi'(s),\\
    \phi'(s)=&\,\frac1{|\alpha'(\phi(s))|},\\
    \phi''(s)=&\,-\frac1{|\alpha'(\phi(s))|^2}\cdot
    \frac12\cdot\frac1{|\alpha'(\phi(s))|}\cdot
    2\cdot\langle\alpha'(\phi(s)),
    \alpha''(\phi(s))\cdot\phi'(s)\rangle\umbruch\\
    =&\,-\frac1{|\alpha'(\phi(s))|^4}
    \langle\alpha'(\phi(s)), \alpha''(\phi(s))\rangle,\\
    \kappa_\alpha(t)=&\,\langle(\alpha'(\phi(s))\cdot\phi'(s))',
    J\alpha'(\phi(s))\cdot\phi'(s)\rangle|_{s=\phi^{-1}(t)}\\
    =&\,\langle\alpha''(\phi(s))\cdot(\phi'(s))^2
    +\alpha'(\phi(s))\cdot\phi''(s),
    J\alpha'(\phi(s))\cdot\phi'(s)\rangle|_{s=\phi^{-1}(t)}\\
    =&\,\left\langle\alpha''(t)\cdot\left(\phi'\left(\phi^{-1}(t)
        \right)\right)^2 -\frac{\langle \tau_\alpha(t),
        \alpha''(t)\rangle \tau_\alpha(t)}{|\alpha'(t)|^2},
      J\alpha'(t)\cdot\phi'\left(\phi^{-1}(t)\right)
    \right\rangle\\
    =&\,\frac1{|\alpha'(t)|^2}
    \langle\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),\tau_\alpha(t)\rangle
    \tau_\alpha(t),J\tau_\alpha(t)\rangle\\
    =&\,\frac{\det(\tau_\alpha(t),\alpha''(t))}{|\alpha'(t)|^2}
    =\frac{\det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{|\alpha'(t)|^3}.
  \end{align*}
  Im graphischen Fall erhalten wir aus $\alpha(x)=(x,u(x))^T$ f\"ur
  die Ableitungen $\alpha'(x)=(1,u'(x))^T$ und
  $\alpha''(x)=(0,u''(x))^T$. Mit $|\alpha'(x)|=\sqrt{1+(u'(x))^2}$
  folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Sei $s_0\in\overset\circ I=\interior I$. Definiere
  die beiden Halbebenen
  \begin{align*}
    E^+ =&\,\left\{x\in\R^2\colon\langle
      x-\alpha(s_0),\nu(s_0)\rangle>0\right\} \intertext{und} E^-
    =&\,\left\{x\in\R^2\colon\langle
      x-\alpha(s_0),\nu(s_0)\rangle<0\right\}.
  \end{align*}
  Setze $h(s):=\langle\alpha(s)-\alpha(s_0),\nu(s_0)\rangle$. Dann
  sind $h(s)>0$ und $\alpha(s)\in E^+$ sowie $h(s)<0$ und
  $\alpha(s)\in E^-$ jeweils \"aquivalent. Es gilt $h(s_0)=0$,
  $h'(s_0)=\langle\alpha'(s_0),\nu(s_0)\rangle =0$ und
  $h''(s_0)=\langle\alpha''(s_0),\nu(s_0)\rangle =\kappa(s_0)$. Nach
  Taylor erhalten wir $h(s)=\frac12\kappa(s_0)(s-s_0)^2
  +o(|s-s_0|^2)$. Somit erhalten wir im Falle $\kappa(s_0)>0$, dass
  $\alpha(s)\in E^+$ f\"ur $s\neq s_0$ nahe bei $s_0$ gilt
  (Linkskurve). Eine entsprechende Aussage gilt f\"ur $\kappa(s_0)<0$
  und $\alpha(s)\in E^-$. 
\end{remark}

\begin{lemma}\label{rot kr lem}
  Sei $F(x)=Sx+a$ mit $S\in O(2)$ und $a\in\R^2$ eine starre
  Bewegung. Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Setze $\tilde\alpha:=F\circ\alpha$. Dann
  gelten \[\tilde \tau=S\tau,\quad \tilde\nu=\det S\cdot S\nu,\quad
  \text{und}\quad \tilde\kappa=\det S\cdot\kappa.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $|\tilde\alpha'|=|S\alpha'|=|\alpha'|=1$ ist $\tilde\alpha$
  ebenfalls nach der Bogenl\"ange parametrisiert. Es gilt $\tilde
  \tau=\frac{S\alpha'}{|\tilde\alpha'|} =S\alpha' =S\tau$. Weiterhin
  gilt $\langle\tilde\alpha',S\nu\rangle =\langle S\alpha',S\nu\rangle
  =\langle\alpha',\nu\rangle =0$, $|S\nu|=|\nu|=1$ sowie
  $\det(\tilde\alpha',S\nu) =\det(S\alpha',S\nu) =\det
  S\cdot\det(\alpha',\nu) =\det S$. Somit ist $\tilde\nu=\det S\cdot
  S\nu$ die gesuchte Normale l\"angs $F\circ\alpha$. Schlie\ss{}lich
  gilt \[\tilde\kappa =\langle\tilde\alpha'',\tilde\nu\rangle =\det
  S\cdot\langle S\alpha'',S\nu\rangle =\det S\cdot\kappa.\qedhere\]
\end{proof}

Das nachfolgende Lemma erkl\"art die geometrische Bedeutung der
Kr\"ummung einer Kurve.
\begin{lemma}[Schmiegekreis]
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ regul\"ar, ohne
  Einschr\"ankung nach Lemma \ref{rot kr lem} und Umparametrisierung
  (Satz \"uber implizite Funktionen) lokal sogar von der Form
  $\alpha(x)=(x,u(x))$.  Sei $x_0\in I$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\kappa(x_0)=0$, so ist $\alpha$ bis zu zweiter Ordnung
    asymptotisch zu der Geraden $\beta(x)=(x,u(x_0)+(x-x_0)\cdot
    u'(x_0))$, \dh es gilt $|\alpha(x)-\beta(x)|=o(|x-x_0|^2)$ oder
    $|u(x)-u(x_0)+(x-x_0)\cdot u'(x_0)|=o(|x-x_0|^2)$. 
  \item Ist $\kappa(x_0)\neq0$, so ist $\alpha$ bis zu zweiter Ordnung
    asymptotisch zu einem Kreis $\beta$ mit Mittelpunkt
    $(x_0,u(x_0))^T+\frac1{\kappa(x_0)}\frac{(-u',1)^T}
    {\sqrt{1+|u'|^2}}(x_0)$ und Radius $\frac1{\kappa(x_0)}$, \dh es
    gelten in Graphendarstellung
    \begin{align*}
      \beta(x)=&\,(x,h(x))^T \intertext{mit} h(x)=&\,-\sign(\kappa(x_0))
      \sqrt{\frac1{\kappa(x_0)^2}
        -\left|x-x_0+\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
            \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\right|^2}\\ 
      &\,\qquad+u(x_0) +\frac1{\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}
      \intertext{und} &\,|\alpha(x)-\beta(x)|=o(|x-x_0|^2)
      \intertext{oder} &\,|u(x)-h(x)|=o(|x-x_0|^2).
    \end{align*}
  \end{enumerate}
  Sind $\alpha\circ\phi$ und $\beta\circ\psi$ nach
  orientierungserhaltenden Parametertransformationen $\phi$ bzw.{}
  $\psi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert und ist
  $\phi(s_0)=x_0=\psi(s_0)$, so gilt ebenfalls
  $|\alpha\circ\phi(s)-\beta\circ\psi(s)|=o(|s-s_0|^2)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Folgt direkt nach Taylor.
  \item Es gilt mit $\kappa(x)
    =\frac{u''(x)}{\left(1+(u'(x))^2\right)^{3/2}}$
    \begin{align*}
      h(x_0)=&\,\underbrace{-\frac{\sign\kappa(x_0)}{|\kappa(x_0)|}}
      _{=\frac{-1}{\kappa(x_0)}}
      \sqrt{1-\frac{(u'(x_0))^2}{1+(u'(x_0))^2}} +u(x_0)
      +\frac1{\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\umbruch\\
      =&\,u(x_0),\umbruch\\
      h'(x)=&\,-\frac12\sign(\kappa(x_0))\frac{-2}{\sqrt{\ldots}}
      \left(x-x_0+\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
          \sqrt{1+(u'(x_0))}}\right),\umbruch\\
      h'(x_0)=&\,\frac{\sign(\kappa(x_0))}{\sqrt{\ldots}}
      \cdot\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
        \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\umbruch\\ 
      =&\,\underbrace{|\kappa(x_0)|\cdot\sign(\kappa(x_0))}
      _{=\kappa(x_0)} \cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2} \cdot\frac{u'(x_0)}
      {\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\umbruch\\
      =&\,u'(x_0),\umbruch\\
      h''(x_0)=&\,\frac{\sign(\kappa(x_0))}{(\sqrt{\ldots})^3}
      \cdot\left(\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
          \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\right)^2
      +\frac{\sign(\kappa(x_0))}{\sqrt{\ldots}}\umbruch\\
      =&\,\sign(\kappa(x_0))\cdot|\kappa(x_0)|^3\cdot
      \left(1+(u'(x_0))^2\right)^{3/2}\cdot
      \left(\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
          \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\right)^2\\
      &\,\qquad+\sign(\kappa(x_0))\cdot|\kappa(x_0)|
      \cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}\umbruch\\  
      =&\,\kappa(x_0)\cdot\left(1+(u'(x_0))^2\right)^{3/2} =u''(x_0). 
    \end{align*}
    Die Behauptung folgt nun ebenfalls nach Taylor. 
  \end{enumerate}
  Wir halten fest, dass $\alpha(x_0)=\beta(x_0)$,
  $\alpha'(x_0)=\beta'(x_0)$ und $\alpha''(x_0)=\beta''(x_0)$
  gelten. \par 
  Es gilt $1=|(\alpha\circ\phi)'(s)| =|\alpha'(\phi(s))|\cdot\phi'(s)
  =|\beta'(\psi(s))|\cdot\psi'(s)$ und daher insbesondere
  $\phi'(s_0)=\psi'(s_0)$. Nochmaliges Differenzieren
  liefert \[0=\frac{\langle\alpha'(\phi(s)),\alpha''(\phi(s))\rangle}
  {|\alpha'(\phi(s))|}(\phi'(s))^2 +|\alpha'(\phi(s))|\cdot\phi''(s).\]
  Da aber $\alpha(x_0)=\beta(x_0)$, $\alpha'(x_0)=\beta'(x_0)\neq0$
  und $\alpha''(x_0)=\beta''(x_0)$ gelten, folgt auch
  $\phi''(s_0)=\psi''(s_0)$. Somit folgt auch die letzte Behauptung
  mit Taylor.
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Dann gelten f\"ur $\tau=\alpha'$ und $\nu=J\tau$ die
  Gleichungen
  \begin{align*}
    \tau'=&\,\kappa\nu,\\
    \nu'=&\,-\kappa\tau
    \intertext{oder}
    \frac d{ds}
    \begin{pmatrix}
      \tau\\ \nu
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \begin{pmatrix}
      0&\kappa\\
      -\kappa&0
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      \tau\\ \nu
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $\langle\tau(s),\tau(s)\rangle=1$ folgt durch Differenzieren
  $0=2\langle\tau(s),\tau'(s)\rangle$. Damit und nach Definition der
  Kr\"ummung ($\kappa(s)=\langle\alpha''(s),\nu\rangle$) sowie
  $\tau(s)=\alpha'(s)$ folgt die erste Gleichheit. Differenzieren von
  $0=\langle\tau,\nu\rangle$ liefert $\kappa=\langle\tau',\nu\rangle
  =-\langle\tau,\nu'\rangle$. Aus $|\nu|=1$ folgt wie oben, dass
  $\langle\nu',\nu\rangle=0$ gilt. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\Subsection{Kr\"ummung von Raumkurven}
\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^n\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Dann definieren wir die Kr\"ummung
  $\kappa(s)\in[0,\infty)$ von $\alpha$ im
  Punkt $s$ durch \[\kappa(s):=|\alpha''(s)|.\] 
\end{definition}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Kurve $\alpha(s)=r\left(\cos\frac sr,\sin\frac sr\right)$,
    $r>0$, ist ein nach der Bogenl\"ange parametrisierter Kreis. Es
    gilt \[\kappa(s)=\frac1r\] f\"ur alle $s$.
  \item Eine Gerade $\alpha(s)=x_0+s\cdot e$ mit $x_0\in\R^n$ und
    $e\in\S^{n-1}$ hat \"uberall die Kr\"ummung Null.
  \item Seien $r,a\in\R$ und $L>0$ noch zu w\"ahlen. Dann ist die
    Schraubenlinie \[\alpha(t)=\left(r\cos\frac tL,r\sin\frac
      tL,a\frac tL\right)\] wegen $|\alpha'(t)| =\sqrt{r^2+a^2}\frac
    1L$ genau f\"ur $L=\sqrt{r^2+a^2}$ nach der Bogenl\"ange
    parametrisiert. Somit ist \[\kappa(t)=\frac r{r^2+a^2}\]
        f\"ur alle $t$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^1\left(I,\R^n\right)$ regul\"ar. Eine Familie
  $(v_i)_{1\le i\le n}$ von Funktionen $v_i\in C^0\left(I,\R^n\right)$
  hei\ss{}t ein l\"angs $\alpha$ begleitendes $n$-Bein,
  falls \[v_1(t)=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|} \quad\text{und} \quad
  \langle v_i(t),v_j(t)\rangle=\delta_{ij}\] f\"ur alle $1\le i,j\le
  n$ und alle $t\in I$ gelten.
\end{definition}

Man vergleiche das folgende Resultat mit dem Satz der Linearen
Algebra, dass jede differenzierbare Familie $A(t)$ orthogonaler
Matrizen mit $A(0)=\eins$ eine schiefsymmetrische Ableitung $\dot
A(0)$ besitzt.
\begin{lemma}\label{ons abl schief lem}
  Seien $v_i\in C^1\left(I,\R^n\right)$, $1\le i\le n$, und $t_0\in I$
  beliebig.  Dann sind die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{schief sym i} $\langle
      v_i(t),v_j(t)\rangle=\delta_{ij}$ f\"ur alle $t\in I$ und
    alle $1\le i,j\le n$.
  \item\label{schief sym ii} Es gibt eine $t$-abh\"angige Matrix
    $A=(a_{ij})\in C^0\left(I,\R^{n\times n}\right)$ mit $A=-A^T$,
    also $a_{ij}(t)=-a_{ji}(t)$ f\"ur alle $1\le i,j\le
    n$, \[v_i'=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}v_j \quad\text{f\"ur}\quad
    1\le i\le n\quad\text{und}\quad\langle
    v_i(t_0),v_j(t_0)\rangle=\delta_{ij}.\]
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \glqq\eqref{schief sym i}\impliziert\eqref{schief sym
    ii}\grqq: Da die Vektoren $v_i$ eine \ONB bilden, l\"asst sich
  jeder Vektor (und damit insbesondere auch $v_i'$)
  hiermit darstellen. Es gilt $v_i'=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}v_j$ mit
  $a_{ij}=\langle v_i',v_j\rangle$. Wir erhalten
  \[a_{ji} =\langle v_j',v_i\rangle =\underbrace{\langle
    v_j,v_i\rangle'}_{=0} -\langle v_j,v_i'\rangle =-a_{ij}.\]
  \glqq\eqref{schief sym ii}\impliziert\eqref{schief sym i}\grqq:
  Definiere $g_{ij}:=\langle v_i,v_j\rangle$. Dann gelten
  $g_{ij}(t_0)=\delta_{ij}$ und 
  \begin{align*}
    g_{ij}' =&\,\langle v_i',v_j\rangle +\langle v_i,v_j'\rangle
    =\left\langle \sum\limits_{k=1}^na_{ik}v_k,v_j\right\rangle
    +\left\langle v_i,\sum\limits_{k=1}^n a_{jk}v_k\right\rangle\\
    =&\,\sum\limits_{k=1}^na_{ik}g_{kj} +\sum\limits_{k=1}^n
    a_{jk}g_{ik}.
  \end{align*}
  Damit l\"osen die Funktionen $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ ein lineares
  System von $n^2$ gew\"ohnlichen Differentialgleichungen. Da
  $a_{ij}$ schiefsymmetrisch ist, l\"ost $\delta_{ij}$ dieses System
  ebenfalls, \[\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\delta_{kj}
  +\sum\limits_{k=1}^n a_{jk}\delta_{ik} =a_{ij} +a_{ji} =0
  =\delta_{ij}'.\] Der Eindeutigkeitssatz f\"ur gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen liefert nun $g_{ij}(t)=\delta_{ij}$. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ eine nach der Bogenl\"ange
  parametrisierte Kurve mit $\kappa(s)\neq0$ f\"ur alle $s\in
  I$. Dann hei\ss{}t $\alpha$ Frenetkurve. $T,N,B$ mit
  $T,N,B\colon I\to\S^2\subset\R^3$ hei\ss{}t Frenet-Dreibein zu
  $\alpha$ und ist durch
  \begin{align*}
    T:=&\,\alpha'\quad\text{(Tangentenvektor)},\\
    N:=&\,\frac{\alpha''}{|\alpha''|}\quad\text{(Hauptnormalenvektor)}
    \intertext{und}
    B:=&\,T\times N\equiv
    \begin{pmatrix}
      T^1\\ T^2\\ T^3
    \end{pmatrix}
    \times
    \begin{pmatrix}
      N^1\\ N^2\\ N^3
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      T^2N^3-T^2N^1\\ T^3N^1-T^1N^3\\ T^1N^2-T^2N^1
    \end{pmatrix}
    \quad\text{(Binormalenvektor)}
  \end{align*}
  definiert. Dabei hei\ss{}t \glqq$\times$\grqq$\colon
  \R^3\times\R^3\to\R^3$ mit der angegebenen Definition
  Kreuzprodukt. Wir definieren die Torsion von $\alpha$, $\tau\colon
  I\to\R$, durch \[\tau(s):=\langle N'(s),B(s)\rangle.\]
\end{definition}

\begin{lemma}[Frenetgleichungen]
  Sei $\alpha\in C^3\left(I,\R^3\right)$ eine nach der Bogenl\"ange
  parametrisierte Frenetkurve mit Frenet-Dreibein $T,N,B$. Dann gilt
  \begin{align*}
    T'=&\,\kappa N,\\
    N'=&\,-\kappa T +\tau B,\\
    B'=&\,-\tau N
    \intertext{oder}
    \begin{pmatrix}
      T'\\ N'\\ B'
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \begin{pmatrix}
      0&\kappa&0\\
      -\kappa&0&\tau\\
      0&-\tau&0
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      T\\ N\\ B
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Lemma \ref{ons abl schief lem} wissen wir, dass die Matrix
  schiefsymmetrisch sein muss. Nun gilt $T=\alpha'$ und $T''=\alpha''
  =\kappa N$ nach Definition von $\kappa$ und $N$. Weiterhin nach
  Definition gilt $\tau=\langle N',B\rangle$. Somit ist die Matrix
  eindeutig bestimmt. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\kappa\equiv0$, so ist $\alpha(I)$ Teilmenge einer Geraden.
  \item Ist $\alpha\in C^3$ und eine Frenetkurve mit $\tau\equiv0$, so
    liegt $\alpha(I)$ in einer Ebene.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Aus $\kappa\equiv0$ erhalten wir
    $\alpha''\equiv0$. Integrieren liefert $\alpha(s)=p+sv$ f\"ur
    $p,v\in\R^3$.
  \item Nach Annahme und den Frenetgleichungen erhalten wir
    $B'\equiv0$. Also gilt $B(s)\equiv b$ f\"ur ein
    $b\in\S^2\subset\R^3$. Mit $\alpha'=T\perp B$ erhalten wir
    $\langle\alpha(s),b\rangle' =\langle\alpha'(s),b\rangle
    \equiv0$. Somit ist $\langle\alpha(s),b\rangle$ konstant und wir
    schlie\ss{}en $\alpha(I)\subset\{x\in\R^3\colon \langle
    x,b\rangle=a\}$ f\"ur ein $a\in\R$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
  Seien $k\in C^1(I)$ mit $k>0$ und $\omega\in C^0(I)$ gegeben. Dann
  gibt es eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte Kurve $\alpha\in
  C^3\left(I,\R^3\right)$ mit Kr\"ummung $\kappa=k$ und Torsion
  $\tau=\omega$. Bis auf eine orientierungserhaltende Euklidische
  Bewegung ist $\alpha$ eindeutig bestimmt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $T,N,B$ eine $C^1$-L\"osung des Differentialgleichungssystems
  \[
  \begin{pmatrix}
  T'\\ N'\\ B'
  \end{pmatrix}=
  \begin{pmatrix}
  0&k&0\\
  -k&0&\omega\\
  0&-\omega&0
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
  T\\N\\B
  \end{pmatrix}
  \] mit gegebenen
  Anfangswerten $T(s_0)=e_1$, $N(s_0)=e_2$ und $B(s_0)=e_3$. Diese
  existiert nach Picard-Lindel\"of.  Nach Lemma \ref{ons abl schief
    lem} bilden diese Vektoren f\"ur jedes $s$ eine
  Orthonormalbasis. Setze $\alpha(s):=\int\limits_{s_0}^s
  T(\sigma)\,d\sigma$. Dann ist $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$, da
  $T\in C^1$ ist und ist nach der Bogenl\"ange parametrisiert. Wir
  erhalten $\alpha'=T$ und $\alpha''=T'=kN$. Damit folgt $k=\kappa$
  und $N$ ist die Hauptnormale an $\alpha$. Wegen $k,N\in C^1$
  erhalten wir $\alpha\in C^3$. Es gilt $\det(T,N,B)=1$. Zun\"achst
  ist dies f\"ur $s=s_0$ klar und folgt dann allgemein aufgrund der
  Stetigkeit und dass die drei Vektoren stets eine \ONB bilden. Somit
  ist $B$ der Binormalenvektor an die Kurve $\alpha$. Wegen
  $\tau=\langle N',B\rangle =\omega$ ist die Torsion wie
  angegeben. \par Zur Eindeutigkeit: Nach einer Euklidischen Bewegung
  d\"urfen wir annehmen, dass eine beliebige L\"osung $\beta$ mit
  $\tilde T$, $\tilde N$ und $\tilde B$ in $s_0$ \[T=\tilde T,\quad
  N=\tilde N,\quad\text{und}\quad B=\tilde B\] erf\"ullt. Aufgrund der
  Eindeutigkeit von L\"osungen gew\"ohnlicher Differentialgleichungen
  gilt dann \"uberall $(T,N,B)=\left(\tilde T,\tilde N,\tilde
    B\right)$. Nach Integration sehen wir, dass $\beta(s)-\alpha(s)
  =\beta(s_0)-\alpha(s_0)$ konstant ist. Somit stimmen $\alpha$ und
  $\beta$ bis auf eine Euklidische Bewegung \"uberein.
\end{proof}

% \begin{definition}\label{kappa t def}
%   Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ regul\"ar. Sei
%   $\tilde\alpha:=\alpha\circ\phi\colon J\to\R^3$ eine richtungstreue
%   Umparametrisierung nach der Bogenl\"ange. Definiere
%   \begin{enumerate}[(i)] 
%   \item die Kr\"ummung $\kappa(t):=\tilde\kappa(\phi^{-1}(t))$ von
%     $\alpha$. 
%   \item das Frenetdreibein $T(t):=\tilde T(\phi^{-1}(t))$,
%     $N(t):=\tilde N(\phi^{-1}(t))$, $B(t):=\tilde B(\phi^{-1}(t))$
%     f\"ur $\kappa\neq0$. 
%   \item die Torsion $\tau(t):=\tilde\tau\circ\phi^{-1}(t)$ f\"ur
%     $\alpha\in C^3$ und $\kappa\neq0$. 
%   \end{enumerate}
% \end{definition}

% \begin{lemma}
%   $T$, $N$, $B$, $\kappa$ und $\tau$ sind wohldefiniert und es gilt
%   f\"ur beliebige richtungstreue (\glqq$+$\grqq) oder
%   richtungsumkehrende (\glqq$-$\grqq) Umparametrisierungen
%   $\beta=\alpha\circ\phi$ von $\alpha$
%   \begin{align*}
%     T_\beta=&\,\pm T_\alpha\circ\phi,\quad
%     N_\beta=N_\alpha\circ\phi,\quad B_\beta=\pm B_\alpha\circ\phi,\\
%     \kappa_\beta=&\,\kappa_\alpha\circ\phi\quad\text{und} \quad
%     \tau_\beta=\tau_\alpha\circ\phi.
%   \end{align*}
% \end{lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
%   Jede regul\"are $C^1$-Kurve l\"asst sich nach Theorem \ref{bogenl
%     param thm} nach der Bogenl\"ange parametrisieren. Daher k\"onnen
%   wir die Definition \ref{kappa t def} verwenden. \par Seien nun
%   $\phi_i\colon J_i\to I$ zwei orientierungserhaltende
%   Parametertransformationen, so dass $\alpha_i :=\alpha\circ\phi_i$
%   jeweils nach der Bogenl\"ange parametrisiert sind. Dann sind
%   $\phi_1^{-1}\circ\phi_2$ und $\phi_2^{-1}\circ\phi_1$ jeweils von
%   der Form $s\mapsto s+s_0$, bei nicht orientierungserhaltenden
%   Transformationen auch von der Form $s\mapsto\pm s+s_0$. Die
%   Gr\"o\ss{}en aus Definition \ref{kappa t def} sind wohldefiniert, es
%   gilt n\"amlich
%   \begin{align*}
%     T(t)\overset{\text{def.}}=&\,(\alpha\circ
%     \phi_1)'|_{\phi_1^{-1}(t)}\\
%     =&\,(\alpha\circ\phi_2\circ\phi_2^{-1}\circ
%     \phi_1)'|_{\phi_1^{-1}(t)}\\
%     =&\,(\alpha\circ\phi_2)'|_{\phi_2^{-1}\circ\phi_1
%       \circ\phi_1^{-1}(t)}\cdot\underbrace{\left(\phi_2^{-1}\circ
%         \phi_1\right)'}_{=\pm1}|_{\phi_1^{-1}(t)}\quad
%     \text{(Produktregel)}\\ 
%     =&\,\pm(\alpha\circ\phi_2)'|_{\phi_2^{-1}(t)}
%   \end{align*}
%   und analoge Rechnungen funktionieren auch f\"ur die anderen
%   Gr\"o\ss{}en. \par
%   Sei nun $\beta=\alpha\circ\phi$ beliebig. Mit zwei
%   orientierungserhaltenden Transformationen $\phi_\alpha$ und
%   $\phi_\beta$ k\"onnen wir annehmen, dass $\beta\circ\phi_\beta$ und
%   $\alpha\circ\phi_\alpha$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
%   sind. \"Ahnlich wie bei der obigen Rechnung erhalten wir
%   \begin{align*}
%     T_\beta(t)=&\,(\beta\circ\phi_\beta)'|_{\phi_\beta^{-1}(t)}\\
%     =&\,\left(\alpha\circ\phi_\alpha\circ\phi_\alpha^{-1}\circ\phi
%       \circ\phi_\beta\right)'|_{\phi_\beta^{-1}(t)}\\
%     =&\,(\alpha\circ\phi_\alpha)|_{\phi_\alpha^{-1}\circ\phi
%       \circ\phi_\beta\circ\phi_\beta^{-1}(t)}
%     \cdot\underbrace{\left(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi\circ
%         \phi_\beta\right)'}_{=\pm1}|_{\phi_\beta^{-1}(t)}\\
%     =&\,\pm T_\alpha|_{\phi(t)},
%   \end{align*}
%   da $\beta\circ\phi_\beta$ und $\alpha\circ\phi_\alpha$ nach der
%   Bogenl\"ange parametrisiert sind. Wegen $\beta\circ\phi_\beta
%   =(\alpha\circ\phi_\alpha)\circ(\phi_\alpha^{-1}
%   \circ\phi\circ\phi_\beta)$ ist der Term in der letzten Klammer
%   wieder von der Form $s\mapsto\pm s+s_0$. \par
%   Argumentation f\"ur die anderen Gr\"o\ss{}en: \"Ubung. 
% \end{proof}

% \begin{lemma}
%   Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ eine regul\"are Kurve. Dann
%   gelten f\"ur Kr\"ummung, Frenet-Dreibein (im Falle $\kappa\neq0$)
%   und Torsion (im Falle $\kappa\neq0$ und $\alpha\in C^3$)
%   \begin{align*}
%     \kappa =&\,\frac{|\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle
%       T|}{|\alpha'|^2} =\frac{\sqrt{|\alpha''|^2-\langle\alpha'',
%         T\rangle^2}}{|\alpha'|^2},\\
%     T=&\,\frac{\alpha'}{|\alpha'|},\quad
%     N=\frac{\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle
%       T}{|\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle T|},\quad
%     B=\frac{\alpha'\times\alpha''}
%     {|\alpha'||\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle T|} \intertext{und}
%     \tau=&\,\frac{\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')}
%     {|\alpha'|^2\cdot|\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle T|^2}
%     =\frac{\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')}{|\alpha'\times\alpha''|^2}.
%   \end{align*}
% \end{lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
%   Sei $\phi$ eine richtungserhaltende Parametertransformation, so dass
%   $\tilde\alpha:=\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
%   ist. Dann folgt
%   \begin{align*}
%     1=&\,\left(\phi\circ\phi^{-1}(t)\right)'
%     =\phi'|_{\phi^{-1}(t)}\cdot
%     \left(\phi^{-1}\right)'(t),\\
%     \phi'(s)=&\,\frac1{(\phi^{-1})'(\phi(s))},\\
%     1=&\,|\tilde\alpha'(s)|=|(\alpha\circ\phi)'(s)|
%     =|\alpha'(\phi(s))|\cdot\phi'(s),\\
%     |\alpha'(t)|=&\,\left(\phi^{-1}\right)'(t).
%   \end{align*}
%   Damit erhalten wir \[\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}
%   =\frac{\left(\tilde\alpha\circ\phi^{-1}\right)'(t)}
%   {\left(\phi^{-1}\right)'(t)} =\tilde\alpha'\left(\phi^{-1}(t)\right)
%   =T(t).\] Analog erhalten wir
%   \begin{align*}
%     \tilde T'\left(\phi^{-1}(t)\right) =&\,\frac{\left(\tilde
%       T\circ\phi^{-1}\right)'(t)}{\left(\phi^{-1}\right)'(t)}
%     =\frac1{|\alpha'(t)|}\left(\frac
%       d{dt}\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}\right)\umbruch\\
%     =&\,\frac{\alpha''(t)}{|\alpha'(t)|^2}
%     -\frac12\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}
%     \left(|\alpha'(t)|^2\right)^{-3/2}\cdot
%     2\cdot\langle\alpha'(t),\alpha''(t)\rangle\umbruch\\
%     =&\,\frac{\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
%       T(t)}{|\alpha'(t)|^2}. 
%   \end{align*}
%   Die Frenetgleichungen liefern, dass
%   \begin{align*}
%     \tilde T'\left(\phi^{-1}(t)\right)
%     =&\,\tilde\kappa\left(\phi^{-1}(t)\right)\cdot \tilde
%     N\left(\phi^{-1}(t)\right) =\kappa(t)N(t) \intertext{gilt und
%       somit erhalten wir aus der L\"ange des Vektors} \kappa(t)
%     =&\,\frac{|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
%       T(t)|}{|\alpha'(t)|^2}
%     =\frac{\sqrt{|\alpha''(t)|^2-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle^2}}
%     {|\alpha'(t)|^2} \intertext{und} N(t)
%     =&\,\frac{\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle T(t)}
%     {|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle T(t)|}.
%   \end{align*}
%   Wegen $0=\alpha'(t)\times\alpha'(t)$ erhalten wir direkt aus der
%   Definition des Binormalenvektors
%   \[B(t)=\frac{\alpha'(t)\times\alpha''(t)}
%   {|\alpha'(t)|\cdot|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
%     T(t)|}.\]
%   Nach Definition der Torsion erhalten wir
%   \[\tau(t) =\left\langle\tilde N'(\phi^{-1}(t)),\tilde
%     B(\phi^{-1}(t))\right\rangle =\left\langle\frac{\left(\tilde
%         N\circ\phi^{-1}\right)(t)}{(\phi^{-1})'(t)}, \tilde
%     T\left(\phi^{-1}(t)\right) \times\tilde
%     N\left(\phi^{-1}(t)\right)\right\rangle.\] Aus $T(t)=\tilde
%   T\left(\phi^{-1}(t)\right)$ folgt mit der Kettenregel und den
%   Frenetformeln\[T'(t)=\tilde T'\left(\phi^{-1}(t)\right)
%   \cdot\left(\phi^{-1}\right)'(t) =\tilde
%   T'\left(\phi^{-1}(t)\right)\cdot|\alpha'(t)|
%   =|\alpha'(t)|\kappa(t)N(t).\] Damit erhalten wir
%   \begin{align*}
%     \tau(t) =&\,\frac1{|\alpha'(t)|}\left\langle \frac
%       d{dt}\frac{\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
%         T(t)}{|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
%         T(t)|},T(t)\times N(t)\right\rangle\\
%     =&\,\frac{\langle\alpha'''(t),T(t)\times
%       N(t)\rangle}{|\alpha'(t)|\cdot|\alpha''(t)
%       -\langle\alpha''(t),T(t)\rangle T(t)|}\\
%     =&\,\frac{\langle\alpha''',\alpha'\times\alpha''\rangle}
%     {|\alpha'(t)|^2\cdot |\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
%       T(t)|^2}. 
%   \end{align*}
%   Die Behauptung folgt nun direkt aus $\langle a\times b,c\rangle
%   =\det(a,b,c)$ f\"ur $a,b,c\in\R^3$ und \[|a\times b|^2 =|a|^2\cdot
%   \left|b-\left\langle b,\tfrac{a}{|a|}\right\rangle\tfrac
%     a{|a|}\right|^2,\] ebenfalls f\"ur alle $a,b\in\R^3$ (\"Ubung).
% \end{proof}

% \begin{lemma}
%   Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ regul\"ar und $F(x):=Sx+a$
%   eine Euklidische Bewegung mit $S\in O(3)$ und $a\in\R^3$. Dann ist
%   $\tilde\alpha:=F\circ\alpha$ ebenfalls regul\"ar und es gilt
%   \begin{enumerate}[(i)]
%   \item $\tilde\kappa=\kappa$,
%   \item $\tilde T=ST$, $\tilde N=SN$, $\tilde B=\det S\cdot SB$, 
%   \item $\tilde\tau=\det S\cdot\tau$,
%   \end{enumerate}
%   wobei $\alpha$ f\"ur Aussagen \"uber $N$ und $\tau$ sogar eine
%   $C^3$-Frenetkurve sei.
% \end{lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
%   Es gen\"ugt, das Lemma f\"ur nach der Bogenl\"ange parametrisierte
%   Kurven zu zeigen. Sei also $\alpha$ ohne Einschr\"ankung nach der
%   Bogenl\"ange parametrisiert. Es gilt
%   \[(F\circ\alpha)'=S\alpha',\quad\text{und}\quad
%   (F\circ\alpha)''=S\alpha''.\] Mit $S\in O(3)$ und
%   $\kappa=|\alpha''|$ erhalten wir $\tilde\kappa =\kappa$ und $\tilde
%   T=ST$. Somit ist $\tilde\alpha$ eine Frenetkurve, wenn $\alpha$ eine
%   solche ist. Wir erhalten $\tilde N=SN$. Somit gilt $\tilde B=\pm SB$
%   und wegen $\det(T,N,B)=1\overset!=\det\left(\tilde T,\tilde N,\tilde
%     B\right)$ erhalten wir aus mit dem
%   Determinantenmultiplikationssatz $\tilde B=\det S\cdot
%   SB$. Schlie\ss{}lich folgt nach Definition $\tilde\tau
%   =\left\langle\tilde N',\tilde B\right\rangle =\det S\langle
%   SN',SB\rangle =\det S\cdot\tau$. 
% \end{proof}

% \begin{beispiel}[Lokale Graphendarstellung einer Kurve]
%   Sei $\beta\in C^3\left(I,\R^3\right)$ eine Frenetkurve, ohne
%   Einschr\"ankung $0\in I$. Nach einer orientierungserhaltenden
%   Isometrie des $\R^3$ d\"urfen wir $T(0)=e_1$, $N(0)=e_2$ und
%   $B(0)=e_3$ sowie $\beta(0)=0$ annehmen.\par Nach dem Satz \"uber
%   implizite Funktionen gibt es ein $\delta>0$ und eine Funktion
%   $u\colon(-\delta,\delta)\to\R^2$ mit $u(0)=0$, so dass $\alpha\colon
%   x\mapsto (x,u(x))$ eine Umparametrisierung von $\beta$ ist (Details:
%   \"Ubung). Es gilt \[\alpha'(x)=(1,u'(x)),\quad
%   \alpha''(x)=(0,u''(x)),\quad \alpha'''(x)=(0,u'''(x)).\] Aus
%   $T(x)=\frac{(1,u'(x))} {\sqrt{1+|u'(x)|^2}}$ erhalten wir
%   $u'(0)=0$. F\"ur die Kr\"ummung erhalten
%   wir \[\kappa(x)=\frac{\sqrt{|u''|^2-\frac{\langle
%         u',u''\rangle^2}{1+|u'|^2}}}{1+|u'|^2}
%   =\frac{\sqrt{\left(1+|u'|^2\right)|u''|^2-\langle
%       u',u''\rangle^2}}{\left(1+|u'|^2\right)^{3/2}}.\] Im Punkt $x=0$
%   erhalten wir $\kappa(0)=|u''(0)|$ und
%   $e_2=N(0)=\frac{\alpha''(0)}{|\alpha''(0)|}
%   =\frac{(0,u''(0))}{\kappa(0)}$. Wir differenzieren die Formel f\"ur
%   $\kappa(x)$ und erhalten \[\kappa'(0)=\frac{\langle
%     u''(0),u'''(0)\rangle}{\kappa(0)} =\left\langle
%     (0,u'''(0))^T,e_2\right\rangle =\left\langle
%     u'''(0),(1,0)^T\right\rangle.\] Als Torsion erhalten
%   wir \[\tau(0)=\frac{\det\left(e_1,\kappa(0)e_2,(0,u'''(0))^T\right)}{\kappa(0)^2}
%   =\frac{\langle u'''(0),(0,1)\rangle}{\kappa(0)} =\frac{\left\langle
%       (0,u'''(0))^T,e_3\right\rangle}{\kappa(0)}.\] Sei nun $\alpha\in
%   C^3$ eine Frenetkurve. Aus der Taylordarstellung erhalten wir durch
%   Koeffizientenvergleich \[\alpha(x)=(x,u(x)) =xe_1
%   +\frac12x^2\kappa(0)e_2 +\frac16x^3\left(\kappa'(0)e_2
%     +\tau(0)\kappa(0)e_3\right) +o\left(|x|^3\right).\]
% \end{beispiel}

% \Subsection{L\"angenvergleich und der Satz von Fenchel}

% Die folgenden beiden Theoreme sind f\"ur den Beweis der Fenchelschen
% Ungleichung n\"otig. 

% \begin{definition}
%   Ein Gro\ss{}kreis ist der Schnitt einer Ebene durch den Ursprung mit
%   $\S^2\subset\R^3$. Beachte: Durch zwei verschiedene Punkte auf
%   $\S^2$ gibt es genau einen Gro\ss{}kreis.
% \end{definition}

% \begin{theorem}\label{kuerzeste sphaere thm}
%   Sei $\gamma\colon[a,b]\to\S^2\subset\R^3$ st\"uckweise von der
%   Klasse $C^1$. Dann gilt
%   \[L(\gamma)\ge\sphericalangle(\gamma(a),\gamma(b)).\] Bei Gleichheit
%   durchl\"auft $\gamma$ einen Gro\ss{}kreisbogen von $\gamma(a)$ nach
%   $\gamma(b)$ ohne Richtungsumkehr.
% \end{theorem}
% \begin{proof}[Beweis]
%   In Polarkoordinaten erhalten wir die Sph\"are $\S^2$ als \[\left\{
%     \begin{pmatrix}
%       \sin\theta\cdot\cos\phi\\
%       \sin\theta\cdot\sin\phi\\
%       \cos\theta
%     \end{pmatrix}\equiv X(\theta,\phi)
%     \colon \theta\in [0,\pi], \phi\in\R\right\}.\] Da
%   $(r,\theta,\phi)\mapsto r\cdot X(\theta,\phi)$ f\"ur $r>0$,
%   $0<\theta<\pi$ und $\phi\in\R$ ein lokaler Diffeomorphismus ist,
%   gibt es zu jeder $C^1$-Kurve $\alpha\colon I\to \S^2\subset\R^3$
%   eine $C^1$-Kurve $w:I\to(0,\pi)\times\R$ mit $X\circ w=\alpha$,
%   falls $(0,0,\pm1)\not\in\im\alpha$ ist: Beachte dazu dass $r$, der
%   Abstand zum Ursprung, nicht auftaucht, da dieser stets konstant
%   gleich eins ist. Aufgrund des Satzes \"uber implizite Funktionen
%   existiert solch eine Abbildung $w$ zun\"achst nur lokal. Da aber $w$
%   bis auf Addition von Vielfachen von $2\pi$ in der zweiten Komponente
%   wohldefiniert ist, k\"onnen wir dies korrigieren und erhalten die
%   gesuchte Funktion. Schreibe $w(x)\equiv(\theta(x),\phi(x))$. \par
%   Sei ohne Einschr\"ankung $\gamma(a)=(0,0,-1)$, der S\"udpol. Gelte
%   $\gamma(b)=X(\theta_b,\phi_b)$ mit $\theta_b<\pi$. Sei $\epsilon>0$
%   mit $3\epsilon<\pi-\theta_b$. Da $\gamma$ jede horizontale Ebene
%   zwischen $\{x^3=-1\}$ und $\{x^3=\gamma^3(b)\}$ schneidet, und deren
%   Schnitte mit $\S^2$ zu konstantem $\theta$ in der Parametrisierung
%   geh\"oren, existieren
%   \begin{align*}
%     a_\epsilon:=&\,\sup\{t\in[a,b]\colon \theta(t)\ge\pi-\epsilon\}
%     \intertext{sowie} 
%     b_\epsilon:=&\,\inf\{t\in[a,b]\colon
%     \theta(t)\le\theta_b+\epsilon\}. 
%   \end{align*}
%   Anschaulich ist dann $\gamma_\epsilon
%   :=\gamma|_{[a_\epsilon,b_\epsilon]}$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve,
%   die eine Ebene etwas oberhalb von $\gamma(a)$ mit einer Ebene etwas
%   unterhalb von $\gamma(b)$ verbindet. Da
%   $(0,0,\pm1)\not\in\im\gamma_\epsilon$ gilt, gibt es st\"uckweise
%   $C^1$-Funktionen $\theta_\epsilon\colon[a_\epsilon,b_\epsilon]\to
%   [\theta_b+\epsilon,\pi-\epsilon]$ und $\phi_\epsilon
%   \colon[a_\epsilon,b_\epsilon]\to\R$ mit
%   $\gamma_\epsilon(t)=X(\theta_\epsilon(t),\phi_\epsilon(t))$ f\"ur
%   alle $t\in[a_\epsilon,b_\epsilon]$. $\epsilon>0$ ist n\"otig, weil
%   die Parametrisierung auf der $x^3$-Achse kein Diffeomorphismus ist
%   und somit die Regularit\"at von $\theta_\epsilon$ und
%   $\phi_\epsilon$ nicht klar w\"are. Setze
%   \begin{align*}
%     \beta_\epsilon\colon[a_\epsilon,b_\epsilon]\to&\,\S^2,\\
%     \beta_\epsilon:=&\,X(\theta_\epsilon(t),0).
%   \end{align*}
%   Dann gilt
%   \begin{align*}
%     L(\gamma_\epsilon) =&\,\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon}
%     \left|\dt X(\theta_\epsilon(t), \phi_\epsilon(t))\right|\,dt
%     =\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon}\left|\fracp X\theta\frac
%       {d\theta_\epsilon(t)}{dt}+\fracp
%       X\phi\frac{d\phi_\epsilon(t)}{dt}\right|\,dt\\
%     \ge&\,\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon}\left|\fracp
%       X\theta\frac{d\theta_\epsilon(t)}{dt}\right|\,dt
%     =\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon} \left|\dt
%       X(\theta_\epsilon(t),0)\right|\,dt =L(\beta_\epsilon),
%     \intertext{da} \fracp X\theta=&\,
%       \begin{pmatrix}
%         \cos\theta\cdot\cos\phi\\
%         \cos\theta\cdot\sin\phi\\
%         -\sin\theta
%       \end{pmatrix}
%       \perp
%       \begin{pmatrix}
%         -\sin\theta\cdot\sin\phi\\
%         \sin\theta\cdot\cos\phi\\
%         0
%       \end{pmatrix}
%       =\fracp X\phi
%   \end{align*}
%   f\"ur alle $(\theta,\phi)\in(0,\pi)\times\R$ gilt. Wir haben also
%   zwei Kurven, $\gamma_\epsilon$ und $\beta_\epsilon$, die beide die
%   Kreise $\im X(\pi-\epsilon,\cdot)$ und $\im
%   X(\theta_\beta+\epsilon,\cdot)$ miteinander verbinden. Die obige
%   Absch\"atzung liefert, dass $L(\gamma_\epsilon)\ge
%   L(\beta_\epsilon)$ mit Gleichheit genau dann, wenn $\gamma_\epsilon$
%   bereits auf einem Gro\ss{}kreis durch den S\"udpol $(0,0,-1)$
%   verl\"auft. \par
%   Sei $[a,b]\ni t\mapsto\theta(t)\in[0,\pi]$ monoton, ohne
%   Einschr\"ankung wachsend. Dann gilt \[L(X\circ\theta)
%   =\int_a^b\left|\fracp X\theta \frac{d\theta}{dt}\right|\,dt
%   =\int_a^b\frac{d\theta}{dt}\,dt =\theta(b)-\theta(a).\] Andererseits
%   ist f\"ur beliebiges $\phi_0\in\R$
%   \begin{align*}
%     \sphericalangle(X(\theta(b),\phi_0),X(\theta(a),\phi_0))
%     =&\,\arccos\langle X(\theta(b),\phi_0),X(\theta(a),\phi_0)\rangle\\
%     =&\,\arccos(\sin\theta(a)\cdot\sin\theta(b)
%     +\cos\theta(a)\cdot\cos\theta(b))\\
%     =&\,\arccos(\cos(\theta(b)-\theta(a)))\\
%     =&\,|\theta(b)-\theta(a)|=\theta(b)-\theta(a).
%   \end{align*}
%   Auf $\beta_\epsilon$ angewandt erhalten wir \[L(\gamma_\epsilon)\ge
%   L(\beta_\epsilon) \ge(\pi-\epsilon)-(\theta_b+\epsilon)
%   =\sphericalangle(\gamma_\epsilon(a_\epsilon),
%   \gamma_\epsilon(b_\epsilon))\] mit Gleichheit genau dann, wenn
%   $\gamma_\epsilon$ mit monotonem $\theta_\epsilon$ auf einem
%   Gro\ss{}kreis durch den S\"udpol verl\"auft. Mit $\epsilon\searrow0$
%   folgt die Behauptung. Beachte dabei, dass Gleichheit nur f\"ur
%   $a_\epsilon\to a$ und $b_\epsilon\to b$ f\"ur $\epsilon\searrow0$
%   gelten kann oder falls $\gamma$ auf $[a,a+\zeta]$ oder $[b-\zeta,b]$
%   f\"ur ein $\zeta>0$ konstant ist. 
% \end{proof}

% \begin{lemma}\label{kurve in hemisph lem}
%   Sei $\gamma\colon [a,b]\to\S^2\subset\R^3$ eine geschlossene
%   st\"uckweise $C^1$-Kurve mit $L(\gamma)\le 2\pi$. Dann liegt
%   $\gamma$ komplett in einer Halbsp\"are, \dh in einer Menge der Form
%   $\{x\in\S^2\colon \langle x,e\rangle\ge0\}$ f\"ur ein
%   $e\in\S^2$. Ist $L(\gamma)<2\pi$, so gibt es ein $e\in\S^2$ mit
%   $\langle\gamma(t),e\rangle>0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$, $\gamma$ liegt
%   also sogar im Inneren der Halbsph\"are. 
% \end{lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
%   W\"ahle $\tau\in[a,b]$ mit $L(\gamma|_{[a,\tau]})
%   =L(\gamma|_{[\tau,b]}) =L(\gamma)/2$. Setze $p:=\gamma(a)$ und
%   $q:=\gamma(\tau)$. Ist $\sphericalangle(p,q)=\pi$, so gilt
%   $L(\gamma)\ge2\pi$, also nach Voraussetzung $L(\gamma)=2\pi$. Nach
%   Theorem \ref{kuerzeste sphaere thm} liegen daher
%   $\gamma|_{[a,\tau]}$ und $\gamma|_{[\tau,b]}$ auf
%   Gro\ss{}kreisen. Als $e$ kann man eine der Normalen w\"ahlen, die zu
%   den Ebenen geh\"oren, auf denen die Gro\ss{}kreise liegen. \par Sei
%   daher ab jetzt $\sphericalangle(p,q)<\pi$. Sei ohne Einschr\"ankung
%   $p\neq q$. Sei $e$ der Mittelpunkt des k\"urzeren
%   Gro\ss{}kreisbogens von $p$ nach $q$, $e=\frac{p+q}{|p+q|}$. Nach
%   einer Drehung d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
%   $e=e_3$ gilt. Dann ist $p=\left(p^1,p^2,p^3\right)$ mit $p^3>0$ und
%   $q=\left(q^1,q^2,q^3\right) =\left(-p^1,-p^2,p^3\right)$. \par Nun
%   gilt entweder $\langle\gamma(t),e_3\rangle>0$ f\"ur alle
%   $t\in[a,\tau]$ oder es gibt ein $t_0\in(a,\tau)$ mit
%   $\langle\gamma(t_0),e_3\rangle =0$. Im zweiten Fall definieren wir
%   $S\colon\R^3\to\R^3$ durch $S(x^1,x^2,x^3):=(x^1,x^2,-x^3)$
%   und \[\tilde\gamma(t):=
%   \begin{cases}
%     \gamma(t)&\text{f\"ur }t\in[a,t_0],\\
%     S\gamma(t)&\text{f\"ur }t\in[t_0,\tau].
%   \end{cases}
%   \] Dann ist $\tilde\gamma$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve mit
%   $\tilde\gamma(a)=p$ und $\tilde\gamma(\tau)=S(q)=-p$. Nach Theorem
%   \ref{kuerzeste sphaere thm} erhalten wir \[L(\gamma)
%   =2L(\gamma|_{[a,\tau]}) =2L(\tilde\gamma) \ge2\pi.\] Wir erhalten
%   $L(\gamma)=2\pi$ und nochmals nach Theorem \ref{kuerzeste sphaere
%     thm} durchl\"auft $\tilde\gamma$ einen halben Gro\ss{}kreis von
%   $p$ nach $S(q)=-p$. Also ist $\langle\tilde\gamma(t),e_3\rangle\ge0$
%   f\"ur $t\in[a,t_0]$ und $\langle\tilde\gamma(t),e_3\rangle\le0$
%   f\"ur $t\in[t_0,b]$. Also gilt $\langle\gamma(t),e_3\rangle\ge0$
%   f\"ur alle $t\in[a,\tau]$. Eine analoge Aussage erhalten wir f\"ur
%   $t\in[\tau,b]$. Insgesamt folgt also
%   $\langle\gamma(t),e_3\rangle\ge0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$. Falls
%   nicht $\langle\gamma(t),e_3\rangle>0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$ gilt,
%   so folgt aus den obigen \"Uberlegungen, dass Gleichheit maximal in
%   zwei Punkten gilt und dass in diesem Fall $\im\gamma$ in der N\"ahe
%   dieser Punkte aus jeweils zwei B\"ogen auf unterschiedlichen
%   Gro\ss{}kreisen besteht. Sind diese beiden Punkte antipodal, so
%   k\"onnen wir nach Umparametrisierung (\"uber $[a,b]$ hinaus) wie im
%   Fall $\sphericalangle(p,q)=\pi$ argumentieren. Sonst ersetzen wir
%   $e$ durch einen geeigneten Vektor in der N\"ahe.
% \end{proof}

% \begin{theorem}[Fenchel]
%   Sei $\alpha\colon[0,L]\to\R^3$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
%   und $C^2$-geschlossen. Dann gilt
%   \[\int\limits_0^L\kappa(s)\,ds\ge2\pi\] mit Gleichheit genau dann
%   wenn $\alpha$ eine ebene einfach geschlossene Kurve ist, die ein
%   konvexes Gebiet berandet. (Die Aussage, dass $\alpha$ ein konvexes
%   Gebiet berandet, werden wir hier nicht beweisen.)\par Der
%   Integralausdruck hei\ss{}t Totalkr\"ummung der Kurve $\alpha$.
% \end{theorem}
% Eine Kurve hei\ss{}t einfach geschlossen, wenn $\alpha$ geschlossen
% ist und $\alpha|_{[0,L)}$ eine injektive Abbildung ist. 
% \begin{proof}[Beweis]
%   Sei $\alpha\colon[0,L]\to\R^3$ eine $C^2$-geschlossene Kurve mit
%   $|\alpha'|\equiv1$. Dann ist
%   \begin{align*}
%     \gamma\colon[0,L]\to&\,\S^2\subset\R^3,\\
%     s\mapsto&\,\alpha'(s)
%   \end{align*}
%   eine $C^1$-geschlossene Kurve. Sei $e\in\S^2$. Es gilt
%   \[\int\limits_0^L\langle\gamma(s),e\rangle\,ds =\int\limits_0^L
%   \frac d{ds}\langle\alpha(s),e\rangle\, ds =\langle\alpha(L),e\rangle
%   -\langle\alpha(0),e\rangle =0.\] Somit gibt es keinen Vektor
%   $e\in\S^2$ mit $\langle\gamma(s),e\rangle>0$ f\"ur alle
%   $s\in[0,L]$. Nach Lemma \ref{kurve in hemisph lem} gilt daher
%   $L(\gamma)\ge2\pi$. Wir erhalten also f\"ur die Kr\"ummung $\kappa$
%   der Kurve $\alpha$ \[\int\limits_0^L\kappa(s)\,ds
%   =\int\limits_0^L|\alpha''(s)|\,ds =\int\limits_0^L|\gamma'(s)|\,ds
%   =L(\gamma) \ge2\pi.\] Dies zeigt die Behauptung. \par Lediglich die
%   Aussagen f\"ur den Fall, dass die Totalkr\"ummung gleich $2\pi$ ist,
%   sind noch zu zeigen. Nach Lemma \ref{kurve in hemisph lem} gibt es
%   dann ein $e\in\S^2$ mit $\langle\gamma(s),e\rangle\ge0$ f\"ur alle
%   $s\in[0,L]$. Aus $\int\limits_0^L\langle\gamma(s),e\rangle\,ds=0$
%   folgt daher $\langle\gamma(s),e\rangle\equiv0$ f\"ur alle
%   $s\in[0,L]$. Also ist $\frac d{ds}\langle\alpha(s),e\rangle
%   =\langle\gamma(s),e\rangle =0$ und $\im\alpha$ liegt in einer Ebene
%   $\{x\colon\langle x,e\rangle=c\}$ f\"ur ein $c\in\R$. \par Wir
%   zeigen nun noch, dass $\alpha|_{[0,L)}$ injektiv ist. Falls nicht,
%   so gibt es ohne Einschr\"ankung ein $\tau\in(0,L)$ mit
%   $\alpha(0)=\alpha(\tau)$. Wir behaupten, dass
%   $L(\gamma|_{[0,\tau]})>\pi$ gilt. W\"are dem nicht so, so k\"onnten
%   wir ein $\sigma\in(0,\tau)$ mit
%   $L(\gamma|_{[0,\sigma]})=L(\gamma|_{[\sigma,\tau]})\le\pi/2$
%   w\"ahlen. Wir setzen $e:=\gamma(\sigma)$ und erhalten nach Theorem
%   \ref{kuerzeste sphaere thm} $\langle\gamma(s),e\rangle\ge0$ f\"ur
%   alle $s\in[0,\tau]$. Andererseits ist \[\int\limits_0^\tau
%   \langle\gamma(s), e\rangle\,ds
%   =\langle\alpha(\tau),e\rangle-\langle\alpha(0),e\rangle =0.\] Somit
%   ist $\langle\gamma(s),e\rangle\equiv0$. Dies liefert f\"ur
%   $s=\sigma$ einen Widerspruch. Wir schlie\ss{}en, dass \[L(\gamma)
%   =L(\gamma|_{[0,\tau]}) +L(\gamma|_{[\tau,L]})>\pi+\pi=2\pi\]
%   ist. Dies widerspricht der Annahme $L(\gamma)=2\pi$. Daher ist
%   $\alpha|_{[0,L)}$ wie behauptet injektiv. 
% \end{proof}

% In \cite{MilnorTotalCurvatureKnots} verallgemeinert J. Milnor diesen
% Satz und zeigt, dass eine $C^2$-geschlossene nach der Bogenl\"ange
% parametrisierte Kurve $\alpha\colon[a,b]\to\R^3$ mit
% $\int\limits_a^b\kappa(s)\,ds\le4\pi$ \glqq unverknotet\grqq{} ist.

\Section{Hyperfl\"achen}
\Subsection{Induzierte Metriken}
Wir betrachten Hyperfl\"achen (zun\"achst) als Abbildungen. Alternativ
kann man Hyperfl\"achen auch als Teilmengen betrachten. Dies ist
jedoch technisch aufw\"andiger. 
\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Eine Abbildung $X\in
    C^k\left(\Omega,\R^l\right)$,
    $k\in\N\setminus\{0\}\cup\{\infty\}$, hei\ss{}t eine (regul\"ar
    parametrisierte) $n$-dimensionale Hyperfl\"ache oder
    $n$-dimensionale Immersion der Klasse $C^k$, falls $\rang DX(x)=n$
    f\"ur alle $x\in\Omega$ gilt. Wir schreiben auch $dX$ f\"ur
    $DX$. Die Bedingung an den Rang hei\ss{}t, dass die
    Vektoren \[\fracp X{x^1}(x),\ldots,\fracp X{x^n}(x)\] f\"ur alle
    $x\in\Omega$ linear unabh\"angig sind.
  \item Ist $l=n+1$, so hei\ss{}t $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$
    Hyperfl\"ache. \par
    Ist $n=2$, so hei\ss{}t $X\colon\Omega\to\R^l$ Fl\"ache. 
  \item Eine Immersion hei\ss{}t Einbettung, falls $X\colon \Omega\to
    X(\Omega)$ ein Hom\"oomorphismus ist, wobei wir auf $X(\Omega)$
    die Unterraumtopologie verwenden. (In der Topologie verlangt bei
    einer Einbettung lediglich, dass $X\colon\Omega\to X(\Omega)$ ein
    Hom\"oomorphismus ist.)
  \item Der Unterraum \[\im DX(x)=\left\langle \fracp
      X{x^1}(x),\ldots, \fracp X{x^n}(x)\right\rangle\] hei\ss{}t
    Tangentialraum von $X$ im Punkt $x$. Wir schreiben $T_xM$. Der
    affine Unterraum $X(x)+\im DX(x)$ hei\ss{}t affiner
    Tangentialraum. Wir sprechen auch von Tangentialebenen oder,
    genauer, Tangentialhyperebenen.
  \item Betrachte ab jetzt nur noch Hyperfl\"achen, also Abbildungen
    $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ mit $\Omega\subset\R^n$. Eine stetige
    Funktion $\nu\colon\Omega\to\R^n$ hei\ss{}t Einheitsnormale an die
    Hyperfl\"ache l\"angs $X$, falls $|\nu(x)|=1$ und $\nu(x)\perp\im
    DX(x)$ f\"ur alle $x\in\Omega$ gelten.
  \item Ist $X\colon\Omega\to\R^3$ eine immersierte Fl\"ache und
    $\Omega$ zusammenh\"angend, so gibt es genau zwei Einheitsnormalen
    l\"angs $X$, n\"amlich \[\nu^{\pm}\colon\Omega\to\S^2\subset\R^3
    \quad\text{mit}\quad \nu^{\pm}(x):=\pm\frac{X_1(x)\times
      X_2(x)}{|X_1(x)\times X_2(x)|},\] wobei wir die Abk\"urzungen
    $X_i(x):=\fracp X{x^i}(x)$ verwendet haben. (Bis auf die explizite
    Formel gilt dies auch f\"ur Hyperfl\"achen in beliebiger Dimension.)
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}[Graphen]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $u\in C^k$. Dann ist der Graph
  von $u$, $\graph u$, das Bild der parametrisierten Hyperfl\"ache
  \begin{align*}
    X\colon\Omega\to&\,\R^{n+1},\\
    X(x)=&\,(x,u(x))^T\in\R^n\times\R.
  \end{align*}
  Es gilt $DX(x)=(X_1,\ldots,X_n)=
  \begin{pmatrix}
    \eins\\ Du
  \end{pmatrix}$. Die Bedingung $\rang DX(x)=n$ ist
  offensichtlicherweise f\"ur jede $C^1$-Funktion $u$ erf\"ullt. Eine
  Normale ist durch $\nu(x)=\frac{(Du,-1)^T}{\sqrt{1+|Du|^2}}$
  gegeben. Bei Graphen wollen wir stets die \glqq untere\grqq{}
  Normale, \dh die Normale mit $\langle\nu,e_3\rangle<0$,
  verwenden. Beachte: Dies ist genau die umgekehrte Wahl des
  Vorzeichens verglichen mit ebenen graphischen Kurven. Die
  Unterschiede sind historisch bedingt. 
\end{beispiel}

\begin{beispiel}[Rotationsfl\"achen]
  Sei $\alpha\colon(a,b)\to\left\{x\in\R^3\colon x^2=0\text{ und
    }x^1>0\right\}$ eine regul\"are Kurve in der \glqq rechten\grqq{}
  Halbebene der
  $x^1-x^3$-Ebene. Schreibe \[\alpha(t)=(r(t),0,h(t))^T.\] Durch
  Rotation um die $x^3$-Achse erhalten wir eine immersierte
  Hyperfl\"ache \[X\colon(a,b)\times\R\to\R^3\] mit
  \[X(t,\phi)=
  \begin{pmatrix}
    \cos\phi & -\sin\phi & 0\\
    \sin\phi & \cos\phi & 0\\
    0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    r(t)\\ 0\\ h(t)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    r(t)\cos\phi\\
    r(t)\sin\phi\\
    h(t)
  \end{pmatrix}.
  \]
  \"Ubung: \"Uberpr\"ufe, dass dies eine immersierte Fl\"ache ist und
  bestimme eine Normale.
\end{beispiel}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Kurve $\R\ni t\mapsto\left(1+e^t\right)(\cos t,\sin
    t)^T\in\R^2$ ist eine Einbettung.
  \item Die Kurve $\gamma\colon(-\infty,2\pi)\to\R^2$ mit \[\gamma(t)= 
    \begin{cases}
      (1,t)^T&t<0,\\
      (\cos t,\sin t)^T&t\ge0
    \end{cases}
    \] ist eine injektive Immersion, jedoch keine Einbettung. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{remark}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Immersion. Sei
  $x_1\in\Omega$. Dann haben wir den Tangentialraum $T_{x_1}M$
  definiert. Naiv k\"onnte man daran denken, mit $y:=X(x)$ diesen
  Tangentialraum als $T_yM$ zu bezeichnen und als $\im
  DX\left(X^{-1}y\right)$ zu definieren. Ist $X$ jedoch nicht mehr
  injektiv, so mag es $x_1,x_2\in X^{-1}(\{y\})$ mit $\im
  DX(x_1)\neq\im DX(x_2)$ geben. 
\end{remark}

\begin{definition}[Erste Fundamentalform]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen.  Sei $X\in
  C^1\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine regul\"are Hyperfl\"ache. Dann
  hei\ss{}t die Bilinearform \[g(x)\langle u,v\rangle:=\langle
  DX(x)\langle v\rangle, DX(x)\langle u\rangle\rangle\] f\"ur
  $x\in\Omega$ und $u,v\in\R^n$ die erste Fundamentalform von $X$. Die
  Schreibweise $u\mapsto DX(x)\langle u\rangle$ soll auf die
  Linearit\"at der Abbildung hinweisen. \[g\in C^0\left(\Omega,L^2
    \left(\R^n,\R^n;\R\right)\right)\] ist eine stetige Abbildung von
  $\Omega$ in den Raum der bilinearen Abbildungen
  $\R^n\times\R^n\to\R$. Bez\"uglich der Standardbasis ist $g$ durch
  die Koeffizienten(funktionen)
  \begin{align*}
    g_{ij}\colon\Omega\to&\,\R,\\
    g_{ij}(x):=&\,\langle X_i(x),X_j(x)\rangle \equiv\langle
    dX(x)\langle e_i\rangle, dX(x)\langle e_j\rangle\rangle 
  \end{align*}
  f\"ur $1\le i,j\le n$ gegeben. Die zugeh\"orige Matrix
  $G=(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ bez\"uglich der Standardbasis des
  $\R^n$ sei $G\colon\Omega\to\R^{n\times n}$ und ist durch
  $G(x):=dX(x)^TdX(X)$ gegeben. Wir werden sp\"ater auch $g$ f\"ur
  diese Matrix schreiben.\par
  Bezeichnen wir Komponenten von $X$ im $\R^{n+1}$ mit kleinen
  griechischen Indices und partielle Ableitungen mit kleinen
  lateinischen Indices, so erhalten
  wir \[g_{ij}=\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^n
  X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta} X^\beta_j\equiv \left\langle\fracp
    X{x^i},\fracp X{x^j}\right\rangle.\] 
\end{definition}

\begin{remark}\label{metrik bem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur jedes $x\in\Omega$ ist $g(x)$ ein Skalarprodukt auf
    $\R^n$.
    \begin{enumerate}[a)]
    \item $g(x)$ ist symmetrisch: 
      \[g(x)\langle u,v\rangle =\langle dX(x)\skl u, dX(x)\skl
      v\rangle =\skl{dX(x)\skl v,dX(x)\skl u} =g(x)\skl{v,u}.\] Daher
      ist auch die Matrix $G=(g_{ij})$ symmetrisch: $g_{ij}=g_{ji}$
      f\"ur alle $1\le i,j\le n$. 
    \item $g(x)$ ist bilinear: Seien $\lambda,\mu\in\R$ und
      $v_1,v_2,u\in\R^n$. Dann gilt 
      \begin{align*}
        g(x)\skl{\lambda v_1+\mu v_2,u} =&\,\skl{dX(x)\skl{\lambda
            v_1+\mu v_2},dX(x)\skl u}\\
        =&\,\skl{\lambda dX(x)\skl{v_1} +\mu dX(x)\skl{v_2}, dX(x)\skl 
          u}\\
        =&\,\lambda\skl{dX(x)\skl{v_1},dX(x)\skl u}
        +\mu\skl{dX(x)\skl{v_2},dX(x)\skl u}\\
        =&\,\lambda g(x)\skl{v_1,u} +\mu g(x)\skl{v_2,u}.
      \end{align*}
      Da $g(x)$ symmetrisch ist, ist es auch in der zweiten Komponente
      linear. 
    \item $g(x)$ ist positiv definit: Sei $v\in\R^n$. Dann
      gilt \[g(x)\skl{v,v} =\langle dX(x)\skl v,dX(x)\skl v\rangle
      =|dX(x)\skl v|^2\ge0.\] Im Falle von Gleichheit folgt aus der
      Dimensionsformel $\dim\ker dX(x) =\dim\R^n-\dim\im dX(x)
      =0$. Also ist $dX(x)$ injektiv und es folgt $v=0$. 
    \end{enumerate}
  \item Die Abbildung $dX(x)\colon\left(\R^n,g(x)\right)\to\left(\im
      dX(x),\skl{\cdot,\cdot}_{\R^{n+1}}\right)$ ist eine Isometrie
    zwischen Euklidischen Vektorr\"aumen. Es gilt
    n\"amlich \[|dX(x)\skl v|^2_{\R^3} =g(x)\skl{v,v} =\Vert
    v\Vert^2_{g(x)}.\]
  \item\label{winkel fml} Seien $u,v\in\R^n\setminus\{0\}$. Dann
    erf\"ullt der Winkel zwischen den Vektoren $dX(x)\skl u$ und
    $dX(x)\skl v$ aufgrund der Isometrieeigenschaft
    \begin{align*}
      \sphericalangle(dX(x)\skl u,dX(x)\skl v)
      =&\,\arccos\frac{\skl{dX(x)\skl u,dX(x)\skl v}}{|dX(x)\skl
        u|\cdot |dX(x)\skl v|}\\
      =&\,\arccos\frac{g(x)\skl{u,v}}{\Vert u\Vert_{g(x)}\cdot \Vert
        v\Vert_{g(x)}} =:\sphericalangle_{g(x)}(u,v). 
    \end{align*}
  \item Ein Skalarprodukt, das von $x\in\Omega$ abh\"angt, hei\ss{}t
    Riemannsche Metrik auf $\Omega$. Ist klar, an welchem $x\in\Omega$
    das Skalarprodukt $g(x)\skl{\cdot,\cdot}$ ausgewertet wird,
    schreibt man h\"aufig $g(u,v)$ statt $g(x)\skl{u,v}$.
  \item Statt von der ersten Fundamentalform sprechen wir h\"aufiger
    von der (induzierten) Metrik, die aber etwas anderes als die
    Metrik $d(\cdot,\cdot)$ eines metrischen Raumes ist.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{char metrik lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $X\in
  C^1\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine regul\"are Hyperfl\"ache.  Sei
  $\alpha:[a,b]\to\Omega$ eine $C^1$-Kurve. Dann ist die Metrik die
  eindeutig definierte stetige symmetrische $n\times n$-Matrix
  (genauer: Tensor), so dass
  \[L(X\circ\alpha)=\int\limits_a^b\sqrt{\sum\limits_{i,j=1}^n
  g_{ij}(\alpha(t)) (\alpha'(t))^i (\alpha'(t))^j}\,dt\] f\"ur alle
  solchen Kurven gilt. 
\end{lemma}
\begin{remark}[Einsteinsche Summenkonvention]
  Wir wollen die Einsteinsche Summenkonvention verwenden. D.\,h.{} wir
  summieren \"uber doppelt auftretende Indices (einmal \glqq
  oben\grqq{} und einmal \glqq unten\grqq) und zwar von $1$ bis $n$
  f\"ur lateinische Indices (da $\Omega\subset\R^n$) und von $1$ bis
  $n+1$ f\"ur griechische Indices (da $\im X\subset\R^{n+1}$). Wir
  summieren nicht (nochmals), wenn bereits explizit Summen ($\sum$)
  dastehen. Wir schreiben $\delta= (\delta_{\alpha\beta})_{1\le\alpha,
    \beta\le n+1}$ f\"ur das Euklidische
  Skalarprodukt. Beispiele: \[g_{ij}V^iW^j =\sum\limits_{i,j=1}^n
  g_{ij}V^iW^j \text{ oder }
  g_{ij}=X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j
  =\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^{n+1} X_i^\alpha\delta_{\alpha\beta}
  X_j^\beta=\langle X_i,X_j\rangle_{\R^{n+1}}.\]
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{char metrik lem}]
  Setze $\gamma:=X\circ\alpha$. Dann gilt nach Definition und
  Kettenregel
  \begin{align*}
    L(\gamma)=&\,\int\limits_a^b|\gamma'(t)|\,dt =\int\limits_a^b
    |DX(\alpha(t))\langle\alpha'(t)\rangle|\,dt =\int\limits_a^b
    \left|X_i(\alpha(t))(\alpha')^i(t)\right|\,dt\\ =&\,\int\limits_a^b
    \sqrt{(\alpha')^i(t)X^\beta_i(\alpha(t)) \delta_{\beta\gamma}
      X^\gamma_j(\alpha(t)) (\alpha')^j(t)}\,dt\\ =&\,\int\limits_a^b
    \sqrt{(\alpha')^i(t) g_{ij}(\alpha(t)) (\alpha')^j(t)}\,dt.
  \end{align*}
  Dies gilt f\"ur alle Kurven, insbesondere auch f\"ur solche mit
  $\alpha'\in\{e_i,e_j,e_i+e_j,e_i-e_j\}$. Wegen der Stetigkeit von
  $g$ und der Polarisationsformel charakterisiert das die Metrik $g$. 
\end{proof} 

% \begin{lemma}\label{bogenl auf fl lem}
%   Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^3\right)$ eine (regul\"are) Fl\"ache
%   und $\gamma\in C^1(I,\Omega)$ eine Kurve. Dann
%   gilt \[L(X\circ\gamma) =\int\limits_I
%   \sqrt{g(\gamma(t))\skl{\gamma'(t),\gamma'(t)}}\,dt =\int\limits_I
%   \Vert\gamma'(t)\Vert_{g(\gamma(t))}\,dt.\]
% \end{lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
%   Da $dX$ eine Isometrie ist, folgt \[L(X\circ\gamma)
%   =\int\limits_I|(X\circ\gamma)'(t)|\,dt
%   =\int\limits_I|dX(\gamma(t))\skl{\gamma'(t)}|\,dt
%   =\int\limits_I\sqrt{g(\gamma(t))\skl{\gamma'(t),\gamma'(t)}}\,dt.
%   \qedhere\]
% \end{proof}

\begin{beispiel}[Erste Fundamentalform von Graphen]
  Sei $X$ mit $X(x)=(x,u(x))$, $x\in\Omega\subset\R^n$, ein
  Graph. Dann erhalten wir $X_i(x)=(e_i,u_i(x))$ und $g_{ij}(x)
  =\delta_{ij}+u_i(x)u_j(x)$, also \[(g_{ij})_{1\le i,j\le 2} =
  \begin{pmatrix}
    1+u_1^2& u_1u_2&\ldots & u_1u_n\\
    u_1u_2&1+u_2^2&\ldots & u_2u_n\\
    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
    u_1u_n&u_2u_n&\ldots&1+u_n^2
  \end{pmatrix}.\] Ist $\gamma\colon I\to\Omega\subset\R^n$ eine
  $C^1$-Kurve, so folgt \[L(X\circ\gamma) =\int\limits_I
  \sqrt{\sum\limits_{i,j=1}^n
    (\delta_{ij}+u_i|_{\gamma(t)}u_j|_{\gamma(t)})
    \gamma'^i(t)\gamma'^j(t)}\,dt.\]
\end{beispiel}

\begin{remark}
  Um den Fl\"acheninhalt zu definieren, leiten wir zun\"achst einen
  Ausdruck f\"ur den Fl\"acheninhalt von Parallelogrammen her.  Seien
  $u,v\in\R^3\setminus\{0\}$ beliebig. Dann hat das von ihnen
  aufgespannte Parallelogramm den Fl\"acheninhalt
  \begin{align*}
    \mathcal A=&\,|u|\cdot\underbrace{\left|v-\left\langle v,\frac
          u{|u|}\right\rangle\frac
        u{|u|}\right|}_{=\text{H\"ohe}}\umbruch\\
    =&\,\sqrt{\left\langle v|u|-\langle v,u\rangle \frac1{|u|}
        u,v|u|-\langle v,u\rangle \frac1{|u|}
        u\right\rangle}\umbruch\\
    =&\,\sqrt{|v|^2|u|^2-2\langle u,v\rangle^2+\langle
      u,v\rangle^2}\umbruch\\
    =&\,\sqrt{|v|^2|u|^2-\langle u,v\rangle^2}.
  \end{align*}
  Damit das Fl\"achenelement nach Integration f\"ur affin lineare
  Funktionen auf rechteckigen Gebieten den f\"ur Parallelogramme
  bekannten Wert ergibt, setzen wir f\"ur $X\in
  C^1\left(\Omega,\R^3\right)$
  \begin{align*}
    d\mathcal A:=&\,\mathcal A(X_1,X_2)\,dx^1dx^2
    =\sqrt{|X_1|^2|X_2|^2-\langle X_1,X_2\rangle^2}\,dx\\
    =&\,\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}\,dx =\sqrt{\det(g_{ij}(x))}\,dx.
  \end{align*}
  Man kann zeigen, dass der verm\"oge $\int\limits_\Omega\,d\mathcal
  A$ definierte Fl\"acheninhalt f\"ur injektive Immersionen
  $X\colon\Omega\to\R^3$ mit dem zweidimensionalen Hausdorffma\ss{}
  $\mathcal H^2(\im X)$ \"ubereinstimmt. Entsprechendes gilt in $n$
  Dimensionen.
\end{remark}

\begin{definition}\label{def fl}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Immersion. Dann definieren wir
  den Fl\"acheninhalt von $X$ als
  \[\mathcal A(X):=\int\limits_\Omega\sqrt{\det(g_{ij})}=:\mathcal
  A_g(\Omega).\]  
  F\"ur eine messbare Teilmenge $E\subset\Omega$ definieren
  wir \[\mathcal A(E):=\int\limits_E\sqrt{\det(g_{ij})}.\]
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $X$ mit $X(x)=(x,u(x))$, $x\in\Omega$, ein Graph. Dann gilt
  $\det(g_{ij}) =\det(\delta_{ij}+u_iu_j) =1+|Du|^2$. Somit erhalten
  wir \[A(X) =\int\limits_\Omega \sqrt{1+|Du|^2}.\]
\end{beispiel}

\begin{definition}
  Seien $\Omega,\hat\Omega\subset\R^n$ offen.  Sei
  $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $C^k$-Hyperfl\"ache, $k\ge1$. Dann
  hei\ss{}t $\hat X\colon\hat\Omega\to\R^{n+1}$ Umparametrisierung von
  $X$, falls es einen $C^k$-Diffeomorphismus
  $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$ mit \[\hat X=X\circ\phi\] gibt. \par
  Der Diffeomorphismus $\phi$ ist i.\,a.{} nicht eindeutig bestimmt,
  wenn $X$ nicht bereits injektiv ist. Z.\,B.\ stimmen $X(t,\theta)
  =(\cos\theta,\sin\theta,t)^T$, $(t,\theta)\in\R^2$, und
  $X\circ\phi_k$ mit $\phi_k(t,\theta):=(t,\theta+2\pi k)^T$ f\"ur
  alle $k\in\Z$ \"uberein.
\end{definition}

\begin{remark}
  Auf der Menge der parametrisierten $C^k$-Hyperfl\"achen ist die
  Relation \[X\sim\hat X\quad :\Longleftrightarrow\quad \hat X\text{
    ist eine Umparametrisierung von }X\] eine \"Aquivalenzrelation.
\end{remark}

\begin{theorem}[Transformationsverhalten der Metrik]
  \label{trafo metrik thm}
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine regul\"are
  Hyperfl\"ache.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$ ein Diffeomorphismus, also
    $\hat X:=X\circ\phi$ eine Umparametrisierung von $X$. Dann gilt
    f\"ur die zugeh\"origen Metriken \[\hat g(x)\skl{v,w}
    =g(\phi(x))\skl{d\phi\skl v,d\phi\skl w}\] oder, jeweils
    \"aquivalent dazu, mit $G=(g_{ij})$ und
    $\phi^k_i=\fracp{\phi^k}{x^i}$ \[\hat
    G=(d\phi)^T(G\circ\phi)(d\phi)\quad\text{oder}\quad \hat g_{ij}(x)
    =\sum\limits_{k,l=1}^2
    g_{kl}\circ\phi(x)\phi^k_i(x)\phi^l_j(x)\equiv
    g_{kl}\phi^k_i\phi^l_j.\]
  \item Ist $B\colon\R^{n+1}\to\R^{n+1}$ eine Euklidische Bewegung und
    $\hat X=B\circ X$, so gilt $\hat g=g$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt
    \begin{align*}
      \hat g(v,w) =&\,\skl{d(X\circ\phi)\skl v,d(X\circ\phi)\skl
        w}
      =\skl{(dX)|_\phi d\phi\skl v,(dX)|_\phi d\phi\skl w}\\
      =&\,g|_\phi\skl{(d\phi)\skl v,(d\phi)\skl w}. 
      \intertext{Somit erhalten wir}
      \hat g_{ij} =&\,\hat g(e_i,e_j) =g|_\phi\skl{(d\phi)\skl
        {e_i},(d\phi)\skl {e_j}} =g|_\phi\skl{\phi_i,\phi_j}
      =\sum\limits_{k,l=1}^2 g_{kl}|_\phi\phi^k_i\phi^k_j.
    \end{align*}
    Direkt k\"onnen wir die Formel f\"ur die Metrik $\hat G$ auch
    wie folgt herleiten:
    \begin{align*}
      \hat G=&\,(d(X\circ\phi))^Td(X\circ\phi) =(dX|_\phi
      d\phi)^TdX|_\phi d\phi\\
      =&\,d\phi^T\left((dX|_\phi)^T(dX|_\phi)\right)d\phi
      =d\phi^T((dX)^T(dX))|_\phi d\phi =d\phi^T G|_\phi d\phi.
    \end{align*}
  \item Wir stellen $B$ in der Form $Bx=Sx+a$ mit $S\in O(3)$ und
    $a\in\R^3$ dar. Dann gilt $dB(x)\skl y=Sy$. Also folgt 
    \begin{align*}
      \hat g(x)\skl{v,w} =&\,\skl{d(B\circ X)(x)\skl v,d(B\circ
        X)(x)\skl w}\\ =&\,\skl{SdX(x)\skl v,SdX(X)\skl w}
      =\skl{dX(x)\skl v,dX(x)\skl w}\\ =&\,g(x)\skl{v,w}.\qedhere
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Man \"uberlege sich, wie sich die Inverse der Metrik
  transformiert. \hfill \"Ubung. 
\end{remark}

Nun wollen wir herleiten, dass Bogenl\"ange, Winkel und
Fl\"acheninhalt von der Wahl der speziellen Parametrisierung
unabh\"angig sind. Beachte, dass wir dazu lediglich das
Transformationsverhalten der Metrik und nicht die Abbildung $X$
benutzen werden.
\begin{corollary}\label{L winkl fl trafo cor}
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine regul\"are
  Hyperfl\"ache. Sei $\phi\in C^1\big(\hat\Omega,\Omega\big)$ ein
  Diffeomorphismus und $\hat X=X\circ\phi$ eine Umparametrisierung von
  $X$. Wir bezeichnen die induzierten Metriken von $X$ und $\hat X$
  mit $g$ bzw.{} $\hat g$. Dann gelten die folgenden Beziehungen f\"ur
  L\"ange, Winkel und Fl\"acheninhalt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $L_g(\phi\circ\gamma)=L_{\hat g}(\gamma)$ f\"ur alle
    $C^1$-Kurven $\gamma\colon I\to\hat\Omega$.
  \item $\sphericalangle_{g(\phi(x))}(d\phi(x)\skl v,d\phi(x)\skl w)
    =\sphericalangle_{\hat g(x)}(v,w)$ f\"ur alle $x\in\hat\Omega$
    und alle $v,w\in\R^n\setminus\{0\}$. 
  \item $\mathcal A_g(\phi(E)) =\mathcal A_{\hat g}(E)$ f\"ur alle
    messbaren Teilmengen $E\subset\hat\Omega$.
  \end{enumerate}
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{trafo metrik thm} gilt $g(\phi(x))
  \skl{d\phi(x)\skl v,d\phi(x)\skl w} =\hat g\skl{v,w}$. Somit
  ist \[\Vert d\phi(x)\skl v\Vert_{g(\phi(x))} =\Vert v\Vert_{\hat
    g(x)} \quad\text{und}\quad
  \sphericalangle_{g(\phi(x))}(d\phi(x)\skl v,d\phi(x)\skl w)
  =\sphericalangle_{\hat g(x)}(v,w).\] Nach Kettenregel gilt
  $(\phi\circ\gamma)'(t) =d\phi|_{\gamma(t)}\gamma'(t)$. Somit
  erhalten wir \[L_g(\phi\circ\gamma) =\int\limits_I\Vert
  d\phi|_{\gamma(t)}\gamma'(t)\Vert_{g(\phi(\gamma(t)))}\,dt
  =\int\limits_I \Vert\gamma'(t)\Vert_{\hat g(\gamma(t))}\,dt
  =L_{\hat g}(\gamma).\] Schlie\ss{}lich erhalten wir aus dem
  Transformationsverhalten der Metrik, der Transformationsformel
  f\"ur Integrale und der Determinantenmultiplikationsformel
  \begin{align*}
    \mathcal A_g(\phi(E)) =&\,\int\limits_{\phi(E)}\sqrt{\det G}
    =\int\limits_E
    \sqrt{\det G\circ\phi}\cdot|\det d\phi|\\
    =&\,\int\limits_E \sqrt{\det((d\phi)^T(G\circ\phi)d\phi)}
    =\mathcal A_{\hat g}(E).\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Es gibt folgende spezielle Umparametrisierungen:
\begin{definition}
  Eine Hyperfl\"ache $X\in C^1\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ hei\ss{}t
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item l\"angentreu parametrisiert,
    falls \[L(X\circ\gamma)=L_{\R^n}(\gamma)\] f\"ur alle Kurven
    $\gamma\colon I\to\Omega$ gilt. 
  \item fl\"achentreu parametrisiert, falls \[\mathcal A(X|_V)
    =\mathcal A_{\R^n}(V) =|V|\] f\"ur alle messbaren Mengen
    $V\subset\Omega$ gilt.
  \item winkeltreu oder konform parametrisiert,
    falls \[\sphericalangle(dX(x)\skl v,dX(x)\skl w)
    =\sphericalangle_{\R^n}(v,w)\] f\"ur alle $x\in\Omega$ und alle
    $v,w\in\R^n\setminus\{0\}$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Im allgemeinen gibt es zu einer Abbildung
    $X\colon\Omega\to\R^3$ keine l\"angentreue Umparametrisierung. In
    h\"oheren Dimensionen funktionier dies umso weniger. Ein
    Gegenbeispiel ist jede Parametrisierung einer offenen Teilmenge
    von $\S^2$. Dies ben\"otigt jedoch etwas Theorie (Theorema
    egregium). Anschaulich bedeuted dies, dass man flaches Papier nur
    mit gr\"o\ss{}eren Eingriffen (Falze, Rei\ss{}en) in Kugelform
    bringen kann.
  \item Konforme Parametrisierungen gibt es f\"ur Fl\"achen $X\colon
    \Omega\to\R^3$ mit $\Omega\subset\R^2$, im allgemeinen aber nicht
    f\"ur h\"oherdimensionale Hyperfl\"achen. Die Existenz einer
    solchen Parametrisierung erfordert jedoch Kenntnisse \"uber
    partielle Differentialgleichungen.
  \item Fl\"achentreue Parametrisierungen kann man durch das L\"osen
    von gew\"ohnlichen Differentialgleichungen finden. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine F\"ache mit Metrik
  $G=(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X$ ist genau dann l\"angentreu, wenn $G=(\delta_{ij})$ gilt. 
  \item $X$ ist genau dann fl\"achentreu, wenn $\det G=1$ gilt. 
  \item $X$ ist genau dann winkeltreu oder konform parametrisiert,
    wenn es eine Funktion $\lambda\colon\Omega\to\R_+$ mit
    $G=\lambda^2(\delta_{ij})$ gibt.
  \item Insbesondere ist also $X$ genau dann l\"angentreu, wenn $X$
    fl\"achentreu und winkeltreu ist. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \Rueckrichtung Gilt $g_{ij}=\delta_{ij}$, so so erhalten wir
    aus Lemma \ref{char metrik lem} $L(X\circ\gamma)
    =L_g(\gamma)=L_{\R^2}(\gamma)$. \par
    \Hinrichtung Sei $X$ l\"angentreu. Seien $x_0\in\Omega$ und
    $v\in\R^n$ beliebig. Betrachte die Kurve $\gamma(t)=x_0+tv$. Da
    $X$ l\"angentreu ist, erhalten wir
    \begin{align*}
      \sqrt{g(x_0)\skl{v,v}} =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
      \frac1\epsilon\int\limits_0^\epsilon
      \sqrt{g(x_0+tv)\skl{v,v}}\,dt =\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
      \frac1\epsilon L_g\left(\gamma|_{[0,\epsilon]}\right)\\
      =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0} \frac1\epsilon
      L_{\R^n}\left(\gamma|_{[0,\epsilon]}\right) =|v|.
    \end{align*}
    Mit Hilfe der Polarisationsformel erhalten wir
    $g_{ij}=\delta_{ij}$. 
  \item \Rueckrichtung Dies folgt direkt aus Definition \ref{def fl},
    da $\det(g_{ij})=1$ gilt. \par
    \Hinrichtung Sei wiederum $x_0\in\Omega$ beliebig und
    $B_\epsilon(x_0) =\left\{x\in\R^n\colon|x-x_0|<\epsilon\right\}$
    der \"ubliche Euklidische Ball. Dann gilt
    \begin{align*}
      \sqrt{\det G(x_0)} =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
      \frac1{\omega_n\epsilon^n} \int\limits_{B_\epsilon(x_0)}
      \sqrt{\det G} =\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
      \frac1{\omega_n\epsilon^n}
      \mathcal A\left(X|_{B_\epsilon(x_0)}\right)\\
      =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0} \frac1{\omega_n\epsilon^n}
      \mathcal A_{\R^n}(B_\epsilon(x_0)) =1.
    \end{align*}
  \item \Rueckrichtung Dies folgt nach Bemerkung \ref{metrik bem}
    \eqref{winkel fml}, da sich die zus\"atzlichen Faktoren $\lambda$
    gerade k\"urzen. \par
    \Hinrichtung Wir benutzen nochmals Bemerkung \ref{metrik bem}
    \eqref{winkel fml} und erhalten 
    \begin{align*}
      g_{12} =&\,g(e_1,e_2) =\Vert e_1\Vert_g\cdot\Vert e_2\Vert_g
      \cdot \cos\sphericalangle(dX\skl{e_1}, dX\skl{e_2})\\ =&\,\Vert
      e_1\Vert_g\cdot\Vert e_2\Vert_g \cdot
      \cos\sphericalangle_{\R^n}(e_1,e_2) =0
      \intertext{sowie}
      g_{11}-g_{22} =&\,g(e_1+e_2,e_1-e_2) =\Vert e_1+e_2\Vert_g \cdot
      \Vert e_1-e_2\Vert_g \cdot
      \cos\sphericalangle_g(e_1+e_2,e_1-e_2)\\
      =&\,\Vert e_1+e_2\Vert_g\cdot \Vert e_1-e_2\Vert_t
      \cdot\cos\sphericalangle_{\R^n}(e_1+e_2,e_1-e_2)=0.
    \end{align*}
    Entsprechende Rechnungen liefern f\"ur beliebige $i\ne j$ die
    Gleichungen $g_{ij}=0$ und $g_{ii}=g_{jj}$.  Mit
    $\lambda=\sqrt{g_{11}} =\sqrt{g_{ii}}$, $i$ beliebig, erhalten wir
    also die gew\"unschte Darstellung.
  \item Ist klar.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}\label{spez param char cor}
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$. Wir wollen angeben,
  welche Gleichung ein Diffeomorphismus
  $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$ erf\"ullen muss, damit wir eine
  spezielle Parametrisierung f\"ur $\hat X$ erhalten:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\hat G=(d\phi)^T(G\circ\phi)d\phi=1$ f\"ur eine l\"angentreue
    Parametrisierung,
  \item $\det\hat G =(\det G)\circ\phi\cdot(\det d\phi)^2=1$ f\"ur
    eine fl\"achentreue Parametrisierung und 
  \item $\hat G=(d\phi)^T(G\circ\phi)d\phi\in\R_+\cdot\eins$ f\"ur eine
    winkeltreue Parametrisierung. 
  \end{enumerate}
\end{corollary}

\begin{theorem}[Existenz fl\"achentreuer Parameter] \stern 
  Sei $X\in C^\infty\left(\Omega,\R^3\right)$ eine regul\"are Fl\"ache
  und $x_0\in\Omega$. Dann gibt es eine Umgebung $U$ von $x_0$ und
  einen Diffeomorphismus $\phi\colon U\to\phi(U)\subset\Omega$ mit
  $\phi(x_0)=x_0$, so dass $X\circ\phi\colon U\to\R^3$ fl\"achentreu
  parametrisiert ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nehme ohne Einschr\"ankung $x_0=0$ an. Wir machen f\"ur $\phi$ den
  Ansatz \[\phi\left(x^1,x^2\right)=\left(x^1,\psi\left(x^1,x^2\right)\right)
  \quad\text{mit }\psi(0,0)=0.\] Es folgt $d\phi=
  \begin{pmatrix}
    1&0\\\psi_1&\psi_2
  \end{pmatrix}$. Wir haben in Korollar \ref{spez param char cor}
  gesehen, dass $X\circ\phi$ genau dann fl\"achentreu ist, wenn
  $\det(G\circ\phi)\cdot(\det d\phi)^2=1$ gilt. Es gen\"ugt also, eine
  glatte L\"osung $\psi$ des Anfangswertproblems \[\fracp\psi{x^2}(x)
  =\frac1{\sqrt{\det G(x^1,\psi(x^1,x^2))}}\quad\text{mit}
  \quad\psi(x^1,0)=0\] zu finden. Eine solche L\"osung existiert nach
  Picard-Lindel\"of f\"ur ein $\epsilon>0$ in $B_\epsilon(0)$ und
  h\"angt glatt von $x\in B_\epsilon(0)$ ab. (Dieses Argument
  funktioniert auch f\"ur $X\in C^2$.)
\end{proof}

\Section{Kr\"ummung von Hyperfl\"achen}
\Subsection{Zweite Fundamentalform und Weingartenabbildung}

\begin{definition}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ regul\"ar mit einer
  Einheitsnormalen $\nu\colon\Omega\to\S^n$ l\"angs $X$. Dann
  hei\ss{}t $A$ mit \[A(x)\skl{v,w} :=-\left\langle d^2X(x)\skl{v,w},
    \nu\right\rangle\] f\"ur $x\in\Omega$ und $v,w\in\R^n$ zweite
  Fundamentalform von $X$ bez\"uglich $\nu$. Wie die Metrik ist auch
  die zweite Fundamentalform $A\in C^0\left(\Omega,L^2
    \left(\R^n,\R^n;\R\right)\right)$ eine stetige Abbildung von
  $\Omega$ in den Raum der bilinearen Abbildungen
  $\R^n\times\R^n\to\R$.\par
  Bez\"uglich der Standardbasis des $\R^n$ hat $A=(h_{ij})_{1\le
    i,j\le n}$ die Koeffizienten \[h_{ij}(x)
  =-\skl{X_{,ij}(x),\nu(x)}\] f\"ur $1\le i,j\le n$, wobei $X_{,ij}:=
  \fracp{X}{x^ix^j}$ mit dem Komma darauf hinweist, dass es sich um
  partielle Ableitungen handelt. (Solange noch keine
  Verwechslungsgefahr mit kovarianten Ableitungen besteht, k\"onnten
  wir auch $X_{ij}$ schreiben.)
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $X(x)=(x,u(x))^T$, $x\in\Omega$ ein Graph. Dann gilt \[\nu
  =\frac{(\nabla u,-1)^T}{\sqrt{1+|Du|^2}}\quad\text{und}\quad g_{ij}
  =\delta_{ij}+u_iu_j.\] Die zweite Fundamentalform ist wegen
  $X_{,ij}=(0,u_{,ij})^T$ durch $A=(h_{ij})$ mit \[h_{ij}
  =-\skl{X_{,ij},\nu} =\frac{u_{,ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}\] gegeben.
\end{beispiel}

Das folgende Lemma ist eigentlich ein Resultat der Linearen Algebra.
\begin{lemma}
  Sei $g(\cdot,\cdot)$ ein Skalarprodukt und $B(\cdot,\cdot)$ mit
  Matrixdarstellung $(b_{ij})$ eine Bilinearform auf $\R^n$. Dann gibt
  es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $S\colon\R^n\to\R^n$
  mit \[B(v,w)=g(v,Sw)\quad\text{f\"ur alle }v,w\in\R^n.\] Ist $B$
  symmetrisch, so ist $S$ bez\"uglich $g(\cdot,\cdot)$
  selbstadjungiert, \dh es gilt \[g(Sv,w)=g(v,Sw)\quad\text{f\"ur alle
  } v,w\in\R^n.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\left(g^{ij}\right)$ die inverse Matrix zu $(g_{ij})$, \dh
  gelte $g^{ij}g_{jk} =\delta^i_k$ f\"ur alle $1\le i,k\le n$. Wir
  definieren $S=\left(S^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ durch
  $S^j_l:=g^{jk}b_{kl}$ f\"ur $j,l=1,\ldots,n$. \par Wir rechnen die
  behauptete Gleichheit f\"ur Elemente der Standardbasis nach. Es gilt
  $Se_l=S^j_le_j$ und daher folgt \[g(e_i,Se_l) = g_{ij}S^j_l
  =g_{ij}g^{jk}b_{kl} =\delta_i^kb_{kl} =b_{il}.\] Die Eindeutigkeit
  von $S$ ist einfach einzusehen. Ist $B$ symmetrisch, so folgt
  direkt, dass $S$ selbstadjungiert ist.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine Hyperfl\"ache mit
  Normale $\nu$ l\"angs $X$. Sei $A=(h_{ij})$ die zweite
  Fundamentalform von $X$. Dann hei\ss{}t die eindeutig bestimmte
  Abbildung $S(x)\colon \R^n\to\R^n$ mit \[A(x)\skl{v,w}
  =g(x)\skl{v,Sw}\quad\text{f\"ur alle }v,w\in\R^n\]
  Weingartenabbildung von $X$. Bez\"uglich der Standardbasis hat sie
  die Matrixdarstellung \[S(x)e_k =S^i_k(x)e_i\quad\text{mit}\quad
  S^i_k(x) = g^{ij}(x)h_{jk}(x).\] Die Weingartenabbildung $S(x)$ ist
  f\"ur alle $x\in\Omega$ bez\"uglich $g(x)$ selbstadjungiert.
\end{definition}

\begin{remark}
  Im Allgemeinen ist $\{e_1,\ldots,e_n\}$ keine Orthogonalbasis
  bez\"uglich der Metrik $g(x)$ und die Matrix von $S$ bez\"uglich der
  Standardbasis ist nicht symmetrisch.
\end{remark}

\begin{remark}[Heben und Senken von Indices]
  F\"ur die Weingartenabbildung $S$ ist die Matrixschreibweise
  $S=\left(h^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ mit $h^i_j=g^{ik} h_{kj}$
  \"ublich. Man sagt, ein Index sei mit Hilfe der Metrik
  gehoben. Umgekehrt gilt $h_{ij} =h^k_ig_{kj} =h_{li}g^{lk}g_{kj}
  =h_{li}\delta^l_j =h_{ij}$, wobei die Reihenfolge der Indices bei
  $h_{ij}$, $g_{ij}$ und $g^{ij}$ keine Rolle spielt, da diese
  symmetrisch sind. Auch bei anderen Gr\"o\ss{}en (genauer: Tensoren)
  kann man Indices mit Hilfe der Metrik und ihrer Inversen heben und
  senken.  \par
  Beispiele f\"ur das Heben und Senken von Indices mit dem sp\"ater
  noch zu definierenden Riemannschen Kr\"ummungstensor $R_{ijkl}$
  sind \[R_{ijkl}g^{km} =R_{ij}{}^m{}_l\quad \text{oder} \quad
  R_{ij}{}^m{}_lg_{mk} =R_{ijkl}.\]\par
  Das Senken von Indices ist aus der linearen Algebra bekannt. F\"ur
  einen Endomorphismus $A$ und eine Bilinearform $B$ definiert
  $B(\cdot,A\cdot)$ eine Bilinearform. Wir bezeichnen auch die
  zugeh\"origen Matrizen mit denselben Buchstaben: $A=(a^i_j)_{1\le
    i,j\le n}$ und $B=(b_{ij})_{1\le i,j\le n}$. Beachte dabei
  zun\"achst, dass die Indices beim Endomorphismus oben und unten
  stehen, da er aus einem Vektor $x=(x^j)_{1\le j\le n}$ (mit oben
  stehendem Index $j$) wieder einen Vektor $a^i_jx^j$ (mit oben
  stehendem Index $i$) macht. Bei der Bilinearform stehen die Indices
  dagegen unten, da sie aus einem Vektor eine Form $b_{ij}x^j$
  macht. Dabei ist eine Form ein Element aus dem Dualraum, also ein
  Objekt mit unten stehendem Index, das, auf einen weiteren Vektor
  angewandt, eine Zahl, d.\,h.{} eine K\"orperelement, liefert.  In
  Koordinaten wird aus $B(\cdot,A\cdot)$ also $b_{ij}a^j_k$ bzw.{} aus
  $B(y,Ax)$ der Ausdruck $y^ib_{ij}a^j_kx^k$.
\end{remark}

\begin{theorem}[Weingartengleichung]
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ regul\"ar mit zweiter
  Fundamentalform $A=(h_{ij})$ und Weingartenabbildung
  $S=\left(h^i_j\right)$ bez\"uglich der Normalen $\nu$. Dann gilt
  \[D\nu =dX\cdot S \quad\text{und}\quad A(v,w) =\skl{D\nu\skl
    v,dX\skl w}\] bzw.{} in Koordinaten 
  \[\nu_i\equiv\fracp\nu{x^i} =h^k_iX_k \quad\text{oder}\quad
  \nu_i^\alpha =h^k_iX^\alpha_k\quad\text{und}\quad h_{ij}
  =\skl{\nu_i,X_j} =\nu_i^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j.\]
\end{theorem}
Zur Wiederholung nochmals zur Einsteinschen Summenkonvention: Dabei
haben wir die Komponenten der Vektoren $\nu$ und $X$, beide im
$\R^{n+1}$, mit griechischen Indices und die Euklidische Metrik des
$\R^{n+1}$ mit $\delta_{\alpha\beta}$ bezeichnet. Die Einsteinsche
Summenkonvention erfordert hier also eine Summation \"uber mehrfache
griechische Indices von $1$ bis $n+1$, w\"ahrend mehrfache lateinische
Indices von $1$ bis $n$ summiert werden. Es ist \"ublich, lateinische
Indices f\"ur Gr\"o\ss{}en im Definitionsgebiet und griechische
Indices f\"ur Gr\"o\ss{}en im Zielraum zu verwenden. Ausgeschrieben
mit Summenzeichen bedeutet also die letzte Gleichheit \[h_{ij}
=\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^{n+1} \nu_i^\alpha \delta_{\alpha\beta}
X^\beta_j.\] In dieser Notation wird $G=(DX)^TDX$
zu \[g_{ij}=X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j\] und aus
$0=\skl{dX\skl V,\nu}$ f\"ur alle $V\in\R^n$ wird \[0=\nu^\alpha
\delta_{\alpha\beta} X^\beta_iV^i.\] Diese Formel gilt auch ohne
$V^i$. Die Definition der zweiten Fundamentalform wird
zu \[h_{ij}:=-X^\alpha_{,ij} \delta_{\alpha\beta} \nu^\beta\] und die
Transformationsformel f\"ur die Metrik zu $\hat X=X\circ\phi$ wird
zu \[\hat g_{ij}=g_{kl}\phi^k_i\phi^l_j.\] \par
Beide Schreibweisen haben Vorteile; so erleichtern weniger Indices die
\"Ubersicht, wird es jedoch komplizierter, gibt es in Indexnotation
weniger m\"ogliche Missverst\"andnisse und die Indexnotation ist bei
Rechnungen meist einfacher zu handhaben. Es ist ratsam, beide
Notationen zu beherrschen.
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $\skl{\nu,\nu}=1$ folgt $0=\fracp{}{x^i}\skl{\nu,\nu}
  =2\langle\nu,\nu_i\rangle$. Es gilt
  \begin{align*}
    \skl{\nu_j,X_k} =&\,\fracp{}{x^j}\underbrace{\skl{\nu,X_k}}_{=0}
    -\skl{\nu,X_{,jk}} =h_{jk} =A(e_j,e_k)\\
    =&\,g(Se_j,e_k) =\skl{dX\cdot Se_j,dX e_k}.
  \end{align*}
  Aus der ersten Gleichung folgt $\skl{D\nu\skl v,\nu}=0$, aus der
  zweiten $\skl{D\nu\skl v,dX\skl w} =\skl{dX\cdot S\skl v,dX\skl w}$
  f\"ur alle $v,w\in\R^n$. Die erste Behauptung folgt, da die erste
  dieser beiden Gleichungen gerade das Skalarprodukt der behaupteten
  Gleichheit mit $\nu$ und die zweite das Skalarprodukt mit $dX\skl w$
  liefert, die Gleichung also beim Test mit einer \ONB stimmt. \par
  Zur zweiten Behauptung: Es gilt aufgrund der ersten
  Behauptung \[A(v,w) =g(Sv,w) =\skl{dX\cdot S v,dX\skl w}
  =\skl{D\nu\skl v,dX\skl w}.\] Daraus liest man auch direkt die
  Formeln in Koordinaten ab.\par Wir leiten sie noch einmal
  unabh\"angig davon in Koordinatenschreibweise her: Es gilt
  $1=\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta$. Differenzieren nach
  $x^i$ liefert $0=2\nu^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta$. Jeder
  Vektor in $\R^3$ l\"asst sich in der Form $a^kX_k+b\nu$
  darstellen. Also gibt es Funktionen $a^k_i$ und $b_i$ mit
  $\nu_i=a^k_iX_k +b_i\nu$. Wir setzen dies in die obige Gleichung ein
  und erhalten $0=\nu^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta
  =a^k_iX_k^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta
  +b_i\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta =0+b_i$.  Also gilt
  $\nu_i=a^k_iX_k$. Wir differenzieren $0=\nu^\alpha
  \delta_{\alpha\beta} X^\alpha_j$, $j=1,\ldots,n$, setzen die
  Gleichung f\"ur $\nu_i$ ein und
  erhalten \[0=\nu_i^\alpha\delta_{\alpha\beta} X^\beta_j
  +\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta} X^\beta_{,ji} =a^k_iX_k^\alpha
  \delta_{\alpha\beta} X^\beta_j -h_{ij} =a^k_i g_{kj} -h_{ij}.\] Wir
  multiplizieren dies mit $g^{jl}$ und erhalten $a^l_i
  =a^k_i\delta_k^l =a^k_ig_{kj}g^{jl} =h_{ij}g^{jl} =h_i^l$. Somit
  gilt $\nu_i=h_i^lX_l$ oder $\nu^\alpha_i=h_i^lX^\alpha_l$.\par
  Weiterhin gilt \[\nu^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j
  =h^k_iX^\alpha_k\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j =h_{il}g^{lk}g_{kj}
  =h_{il}\delta^l_j =h_{ij}.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ zusammenh\"angend. Sei $X\in
  C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ mit Normale $\nu$ und zweiter
  Fundamentalform $A$. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{ebene thm i} $X(\Omega)$ liegt in einer Hyperebene,
  \item\label{ebene thm ii} $A\equiv0$ und
  \item\label{ebene thm iii} $\nu$ ist konstant.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \glqq\eqref{ebene thm i}$\Longrightarrow$\eqref{ebene
    thm ii}\grqq: Liegt $X(\Omega)$ in einer affinen Hyperebene $p+E$,
  so bilden $X_1,\ldots,X_n$ eine Basis von $E$ und $\nu$ ist ein
  Normalenvektor von $E$. Da auch $X_{,ij}$ in $E$ liegt, folgt
  $h_{ij}=-\skl{X_{,ij},\nu}=0$. \par
  \glqq\eqref{ebene thm ii}$\Longrightarrow$\eqref{ebene thm
    iii}\grqq: Aus $A=(h_{ij})\equiv0$ folgt
  $S=\left(h^i_j\right)=0$. Somit ist $D\nu =DX\cdot S=0$ aufgrund der
  Weingartengleichung. Da $\Omega$ zusammenh\"angend ist, ist $\nu$
  konstant. \par
  \glqq\eqref{ebene thm iii}$\Longrightarrow$\eqref{ebene thm i}\grqq:
  Ist $\nu$ konstant, so folgt $D\skl{X,\nu} =\skl{DX,\nu}
  +\skl{X,D\nu} =0$. Somit ist $\skl{X,\nu}$ konstant. Da $\nu$
  konstant ist, besagt dies, dass $X(x)$ in einer Hyperebene liegt.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und zusammenh\"angend. Sei $X\in
  C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ und $R>0$. Dann sind die folgenden
  beiden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{sph thm i} $X(\Omega)$ liegt in einer Sp\"are vom Radius
    $R$ und
  \item\label{sph thm ii} $A=\pm\frac1RG$ bzw.{} $S=\pm\frac1R\eins$
    oder, in Koordinaten, $h_{ij}=\pm\frac1R g_{ij}$ bzw.{} $h^i_j
    =\pm\frac1R\delta^i_j$.
  \end{enumerate}
  Weiterhin ist die Existenz eines $p\in\R^{n+1}$, so dass in jedem Punkt
  $X-p$ ein Vielfaches von $\nu$ ist, \"aquivalent zur Tatsache, dass
  $X(\Omega)$ in einer Sp\"are von nicht spezifiziertem Radius um $p$
  liegt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \glqq\eqref{sph thm i}$\Longrightarrow$\eqref{sph thm
    ii}\grqq: Sei $m\in\R^{n+1}$ beliebig. Definiere
  $f(x):=\frac12|X(x)-m|^2$. Dann gilt \[f_i
  =\skl{X-m,X_i}\quad\text{und}\quad f_{,ij}=\skl{X-m,X_{,ij}}
  +g_{ij}.\] Sei nun $m$ der Mittelpunkt der Sph\"are und $X(\Omega)$
  in der Sph\"are enthalten. Dann ist $f$ konstant. Wir schlie\ss{}en
  also, dass $X-m\perp\im dX$ gilt. Somit ist $X-m$ ein Vielfaches von
  $\nu$. (Dies zeigt die Richtung \glqq$\Longleftarrow$\grqq{} f\"ur
  die letzte Behauptung.) Da die Sph\"are den Radius $R$ hat, gilt
  $|X-m|=R$ und wegen $|\nu|=1$ folgt $X-m=\pm R\nu$. Somit erhalten
  wir \[0=f_{,ij} =\skl{\pm R\nu,X_{,ij}} +g_{ij} =\mp Rh_{ij}
  +g_{ij}.\] \par
  \glqq\eqref{sph thm ii}$\Longrightarrow$\eqref{sph thm i}\grqq:
  Setze $\rho:=X\pm R\nu$. Dann folgt nach Voraussetzung mit Hilfe der
  Weingartengleichung \[\rho_j=X_j\pm R\nu_j =X_j\pm R h_j^kX_k
  =X_j\pm R\left(\pm\frac1R\delta^k_j\right)X_k =0.\] Also ist
  $\rho\in\R^{n+1}$ konstant und aus $X=\rho\mp R\nu$ folgt, dass $\im
  X$ in einer Sph\"are vom Radius $R$ um $\rho$ enthalten ist. \par
  \Rueckrichtung Siehe oben.\par
  \Hinrichtung Gelte $X-p=r(x)\nu$. Sei ohne Einschr\"ankung
  $p=0$. Setze $f:=|X-r_0\nu|^2$ f\"ur $r_0:=r(q)$ f\"ur ein festes
  $q\in\Omega$. Es gilt \[f_i =2\langle X_i-r_0\nu_i,X-r_0\nu\rangle
  =2\skl{X_i-r_0h_i^kX_k, (r(x)-r_0)\nu} =0\] f\"ur
  $x\in\Omega$. Somit ist $f\equiv 0$ und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{theorem}[Transformationsverhalten der zweiten Fundamentalform] 
  \label{trafo 2ff thm} \neueZeilealt
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine Hyperfl\"ache mit
  zweiter Fundamentalform $A$ (bez\"uglich der Normalen $\nu$).
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$ ein
    $C^2$-Diffeomorphismus und $\hat X:=X\circ\phi$, so gilt f\"ur
    die zweite Fundamentalform $\hat A=\left(\hat h_{ij}\right)$ von
    $\hat X$ bez\"uglich $\hat\nu=\nu\circ\phi$
    \[\hat A(v,w) =A|_\phi(d\phi\skl v,d\phi\skl w)
    \quad\text{bzw.}\quad \hat h_{ij}=h_{kl}\phi^k_i\phi^l_j\] und
    f\"ur die Weingartenabbildung \[\hat S=(d\phi)^{-1}S|_\phi
    d\phi\quad\text{bzw.}\quad \hat h^i_j
    =(\phi^{-1})^i_kh^k_l\phi^l_j.\] 
  \item Sei $\hat X=QX+a$ mit $Q\in O(n+1)$ und $a\in\R^{n+1}$ die
    Hyperfl\"ache verkn\"upft mit einer Euklidischen Bewegung. Dann
    gilt $\hat A=A$ und $\hat S=S$ bez\"uglich der Normalen
    $\hat\nu=Q\nu$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren den Beweis in Koordinaten.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nach Ketten- und Produktregel erhalten wir $\hat
    X_i=X_k\phi^k_i$ und \[\hat X_{,ij}=X_{,kl}\phi^k_i\phi^l_j
    +X_k\phi^k_{,ij}.\] Die Definition der zweiten Fundamentalform
    liefert \[\hat h_{ij} =-\left\langle\hat X_{,ij}, \hat\nu
    \right\rangle =-\phi^k_i\phi^l_j \skl{X_{,kl},\nu}
    =h_{kl}\phi^k_i\phi^l_j.\] Aus $\hat g_{ij} =g_{kl}
    \phi^k_i\phi^l_j$ erhalten wir $\hat g^{ij} =g^{kl}
    (\phi^{-1})^i_k (\phi^{-1})^j_l$. Somit folgt \[\hat h^i_j =\hat
    g^{ik} \hat h_{kj} =(\phi^{-1})^i_r g^{rs}(\phi^{-1})^k_s\cdot
    \phi^a_k h_{ab}\phi^b_j =(\phi^{-1})^i_r g^{rs} h_{sb}\phi^b_j
    =(\phi^{-1})^i_r h^r_b\phi^b_j.\]
  \item Es gilt $\hat X_{,ij}=QX_{,ij}$. Wir erhalten \[\hat h_{ij}
    =-\left\langle\hat X_{,ij},\hat\nu\right\rangle
    =-\skl{QX_{,ij},Q\nu} =-\skl{X_{,ij},\nu} =h_{ij}.\] Da wir
    in Theorem \ref{trafo metrik thm} bereits gesehen haben, dass
    $\hat g_{ij}=g_{ij}$ gilt, erhalten wir $\hat h^i_j=\hat
    g^{ik}\hat h_{kj} =g^{ik}h_{kj} =h^i_j$.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\Subsection{Hauptkr\"ummungen und Kr\"ummungsfunktionen}

\begin{definition}
  Seien $g$, $A$ symmetrische Bilinearformen auf $\R^n$. Dann
  hei\ss{}t $v\in\R^n\setminus\{0\}$ Eigenvektor von $A$ bez\"uglich
  $g$ zum Eigenwert $\lambda\in\R$, falls \[\lambda
  g(\cdot,v)=A(\cdot, v)\] oder, \"aquivalent dazu, $\lambda
  g(w,v)=A(w,v)$ f\"ur alle $w\in\R^n$ gilt.
\end{definition}

\begin{definition}[Hauptkr\"ummungen]
  Sei $X$ eine $C^2$-Hyperfl\"ache mit Metrik $g$ und zweiter
  Fundamentalform $A=(h_{ij})$. Dann hei\ss{}en die Eigenwerte der
  zweiten Fundamentalform $A(x)$ bez\"uglich $g(x)$ Hauptkr\"ummungen
  von $X$ in $x$. \par In Koordinaten ist $\lambda$ eine
  Hauptkr\"ummung, wenn es ein $\xi\neq0$ mit \[\lambda
  g_{ij}\xi^j=h_{ij}\xi^j\] gibt.
\end{definition}

\begin{remark}[Wohldefiniertheit]
  Die Hauptkr\"ummungen sind auf den \"Aquivalenzklassen von
  $C^2$-Hyperfl\"achen mit $C^2$-Umparametrisierungen wohldefiniert:
  Wir bemerken dazu zun\"achst, dass f\"ur einen Diffeomorphismus
  $\phi$ aus $\phi\circ\phi^{-1}=\id$ aufgrund der Kettenregel
  $\phi^b_j|_{\phi^{-1}}(\phi^{-1})^j_k=\delta^b_k$ folgt, wobei die
  oberen Indices f\"ur Komponenten der Abbildungen und die unteren
  f\"ur partielle Ableitungen stehen.  Sei $\hat X=X\circ\phi$. Aus
  $\lambda g_{ij}\xi^j =h_{ij}\xi^j$ folgt mit
  $\hat\xi^k:=(\phi^{-1})^k_i\xi^i$ n\"amlich \[\lambda\hat
  g_{ij}\hat\xi^j =\lambda\phi^a_i g_{ab}\phi^b_j(\phi^{-1})^j_k\xi^k
  =\lambda \phi^a_ig_{ab}\xi^b =\phi^a_ih_{ab}\xi^b
  =\phi^a_ih_{ab}\phi^b_j(\phi^{-1})^j_k\xi^k =\hat h_{ij}\hat\xi^j,\]
  da die Metrik und die zweite Fundamentalform dasselbe
  Transformationsverhalten haben.
\end{remark}

\begin{remark}
  Sei $E\colon\R^{n+1}\to\R^{n+1}$ eine Euklidische Transformation mit
  $Ex=Ax+b$ mit $A\in O(n+1)$ und $b\in\R^{n+1}$. Sei $X$ eine
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Definiere $\tilde X:=E\circ X$. Dann stimmen
  Metrik und zweite Fundamentalform von $X$ und $\tilde X$ \"uberein. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $A=(a^\alpha_\beta)_{1\le \alpha,\beta\le n+1}$ und
  $b=(b^\alpha)_{1\le\alpha\le n+1}$ bez\"uglich der Standardbasis des
  $\R^{n+1}$. Dann gilt 
  \begin{align*}
    \tilde X^\alpha=&\,a^\alpha_\beta X^\beta+b\alpha,\umbruch\\
    \tilde X^\alpha_i=&\,a^\alpha_\beta X^\beta_i,\umbruch\\
    \tilde X^\alpha_{,ij}=&\,a^\alpha_\beta X^\beta_{,ij},\umbruch\\
    \tilde\nu^\alpha=&\,a^\alpha_\beta\nu^\beta,\umbruch\\
    \tilde
    g_{ij}=&\,\tilde X^\beta\delta_{\beta\gamma}\tilde X^\beta_j
    =X^\alpha_ia_\alpha^\beta \delta_{\beta\gamma} 
    a^\gamma_\epsilon X^\epsilon_j =X^\alpha_i\delta_{\alpha\epsilon}
    X^\epsilon_j =g_{ij},\umbruch\\
    \tilde h_{ij}=&\,-\tilde
    X^\beta_{,ij}\delta_{\beta\gamma}\tilde\nu^\gamma =-X^\alpha_{,ij}
    a^\alpha_\beta \delta_{\beta\gamma} a^\gamma_\epsilon\nu^\epsilon
    =-X^\alpha_{,ij}\delta_{\beta\epsilon}\nu^\epsilon =h_{ij}. 
  \end{align*}
  Dabei haben wir benutzt, dass $a^\alpha_\beta$ orthogonal ist, dass
  also $a^\beta_\alpha\delta_{\beta\gamma}a^\gamma_\epsilon
  =\delta_{\alpha\epsilon}$ gilt. Dies benutzt man auch, um die
  Eigenschaften der Normalen $\tilde\nu$ zu \"uberpr\"ufen. 
\end{proof}

\begin{lemma}\label{hauptkr exist lem}
  Sei $X$ eine $n$-dimensionale $C^2$-Hyperfl\"ache mit Metrik $g$ und
  zweiter Fundamentalform $A$. Dann besitzt $A$ bez\"uglich $g$ gerade
  $n$ bez\"uglich $g$ orthogonale Eigenvektoren und $n$ zugeh\"orige
  (nicht notwendigerweise verschiedene) Hauptkr\"ummungen.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wollen mit $A$ und $g$ auch die bez\"uglich der Standardbasis
  zugeh\"origen Matrizen bezeichnen. Da $g$ und $g^{-1}$ symmetrisch
  und positiv definit sind, gibt es Quadratwurzeln $\sqrt g$ und
  $\sqrt{g^{-1}}$. (Versuchen Sie nicht, das in konsistenter Weise mit
  oberen und unteren Indices aufzuschreiben.) Da $\sqrt{g^{-1}} A
  \sqrt{g^{-1}}$ symmetrisch ist, gibt es $n$ bez\"uglich des
  Standardskalarproduktes orthogonale
  Eigenvektoren. Sei \[\sqrt{g^{-1}}A\sqrt{g^{-1}} \hat\xi
  =\lambda\hat\xi.\] Setze $\xi:=\sqrt{g^{-1}}\hat\xi$. Dann gilt
  $\hat\xi=\sqrt g\xi$. Es folgt \[A\xi =\lambda\sqrt g\sqrt g\xi
  =\lambda g\xi.\] Mit $\hat\zeta=\sqrt g\zeta$ erhalten
  wir \[\left\langle\hat\xi,\hat\zeta\right\rangle_{\R^n}
  =\skl{\xi,\zeta}_g.\] Somit folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $C^2$-Hyperfl\"ache. Sei
  $\mu>0$. Definiere $\hat X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ durch $\hat
  X(p):=\mu\cdot X(p)$. Dann gilt f\"ur die (angeordneten)
  Hauptkr\"ummungen $\hat\lambda_i=\frac1\mu\lambda_i$ f\"ur $1\le
  i\le n$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. Untersuche bei der Herleitung auch das Skalierungsverhalten
  der Metrik und der zweiten Fundamentalform. 
\end{proof}

\begin{definition}[Konvexit\"at]
  Eine Hyperfl\"ache hei\ss{}t (lokal) konvex, falls
  $h_{ij}\succcurlyeq0$ gilt und strikt (lokal) konvex, falls
  $h_{ij}\succ0$ gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Lokale Konvexit\"at bzw.{} strikte lokale Konvexit\"at sind
    \"aquivalent zu $\lambda_i\ge0$ bzw.{} $\lambda_i>0$ f\"ur alle
    $1\le i\le n$.
  \item Die Kurve $X\colon\R\to\R^2$ mit $x\mapsto(x,x^4)$ ist lokal
    konvex, aber nicht strikt lokal konvex, da die Kr\"ummung im
    Ursprung verschwindet. \par Dies scheint nicht zur Tatsache zu
    passen, dass die Menge $K:=\{(x,y)\subset\R^2\colon y\ge x^4\}$ in
    dem Sinne strikt konvex ist, dass f\"ur alle $p,q\in K$ und alle
    $\lambda\in(0,1)$ der Punkt $\lambda p+(1-\lambda)q$ im Inneren
    von $K$ liegt, die obige Definition ist jedoch in der
    Differentialgeometrie geeigneter.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}
  Symmetrische Funktionen der Hauptkr\"ummungen $(\lambda_i)$ sind
  wohldefiniert. Dies gilt insbesondere f\"ur die
  elementarsymmetrischen Funktionen \[S_k((\lambda_i)_{1\le i\le
    n})=\sum\limits_{1\le i_1<\ldots<i_k\le n}
  \lambda_{i_1}\cdot\ldots\cdot\lambda_{i_n}.\] Wir setzen
  \begin{align*}
    H:=&\,S_1((\lambda_i)_{1\le i\le n}) =\lambda_1+\ldots+\lambda_n
    =\tr\left(\sqrt{g^{-1}}A\sqrt{g^{-1}}\right)
    =\tr\left(g^{-1}A\right)\umbruch\\ =&\,h^i_i
    =h_{ij}g^{ij},\umbruch\\ 
    K:=&\,S_n((\lambda_i)) =\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n
    =\det\left(\sqrt{g^{-1}}A\sqrt{g^{-1}}\right)\\
    =&\,\det A\cdot\left(\det\sqrt{g^{-1}}\right)^2 =\det
    A\cdot\det\left(g^{-1}\right) =\frac{\det h_{ij}}{\det
      g_{ij}}\umbruch \intertext{und}
    |A|^2:=&\,\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i^2
    \overset{\text{\"Ubung}}{=\!=\!=\!=\!=} h_{ij}g^{jk}h_{kl}g^{li}. 
  \end{align*}
  $H$ hei\ss{}t mittlere Kr\"ummung, $K$ Gau\ss{}kr\"ummung und $|A|
  =\sqrt{|A|^2}$ Norm der zweiten Fundamentalform. \par
\end{definition}

\begin{remark}
  W\"ahlt man $-\nu$ statt $\nu$ als Normale, so \"andert sich das
  Vorzeichen von $h_{ij}$ und $H$, das von $|A|^2$, $S_2$, $S_4$,
  \ldots bleibt unver\"andert.
\end{remark}

\begin{lemma}[Min-Max Charakterisierung der Hauptkr\"ummungen]
  Sei $X$ eine $n$-dimensionale $C^2$-Hyperfl\"ache mit Metrik
  $g=(g_{ij})$ und zweiter Fundamentalform $A=(h_{ij})$. Dann gilt
  f\"ur die angeordneten Hauptkr\"ummungen $\lambda_i$ mit
  $\lambda_1\le\ldots\le\lambda_n$
  \[\lambda_i=\min\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{V\subset\R^n}{\dim
      V=i}} \max\limits_{0\neq\xi\in V}\frac{h_{ij}\xi^i\xi^j}
  {g_{ij}\xi^i\xi^j} \equiv \min\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
    {V\subset\R^n}{\dim V=i}} \max\limits_{0\neq\xi\in V}
  \frac{A(\xi,\xi)}{g(\xi,\xi)}.\] Insbesondere folgt
  $\lambda_1=\min\limits_{0\neq\xi\in\R^n}
  \frac{h_{ij}\xi^i\xi^j}{g_{ij}\xi^i\xi^j}$ und
  $\lambda_n=\max\limits_{0\neq\xi\in\R^n}
  \frac{h_{ij}\xi^i\xi^j}{g_{ij}\xi^i\xi^j}$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale
  $C^2$-Hyperfl\"ache mit nach ihrer Gr\"o\ss{}e sortierten
  Hauptkr\"ummungen $\lambda_1(x)\le\ldots\le\lambda_n(x)$ in
  $x\in\Omega$. Dann ist $\Omega\ni x\mapsto\lambda_i(x)$ f\"ur jedes
  $1\le i\le n$ stetig.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{beispiel}[Hauptkr\"ummungen von Graphen]
  \label{graph kr bsp} \neueZeilealt
  F\"ur Graphen gelten $h_{ij}=\frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}$ und
  $g_{ij}=\delta_{ij}+u_iu_j$. Wir erhalten 
  \begin{align*}
    g^{ij}=&\,\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2},\\
    H=&\,h^i_i =g^{ij}h_{ij}
    =\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}}\left(\delta^{ij}u_{ij} 
      -\frac{u_{ij}u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)\\
    =&\,\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}} \left(\Delta
      u-\frac{D^2u\skl{\nabla u,\nabla u}}{1+|Du|^2}\right)
    \intertext{und nach etwa zwei Zwischenschritten}
    =&\,\divergenz\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}\right)
    \intertext{mit}
    \divergenz(\xi)\equiv&\,\divergenz\left(\left(\xi^i\right)\right)
    :=\sum\limits_{i=1}^n \fracp{\xi^i}{x^i} \quad\text{und}\quad
    \nabla u =\left(u^i\right)_{1\le i\le n}
    =\left(\delta^{ij}u_j\right)_{1\le i\le n}.
  \end{align*}
  F\"ur die Gau\ss{}kr\"ummung gilt
  \begin{align*}
    K=&\,\frac{\det h_{ij}}{\det g_{ij}} =\frac{\det
      u_{ij}}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac n2}}
    \frac1{1+|Du|^2} =\frac{\det
      D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}}.  
  \end{align*}
  Wir betrachten nun speziell rotationssymmetrische Graphen. Sei
  \[X(x)=(x,u(x))^T\equiv (x,\phi(|x|))^T,\] $x\in\Omega$,
  $\Omega=B_R(0)\setminus B_\rho(0)$, $0\le \rho<R\le\infty$, mit
  $\phi\in C^2$ und $\phi'(0)=0$ falls $\rho=0$. Ohne die letzte
  Bedingung w\"are $u(x)=\phi(|x|)$ im Urspung weder in $C^1$ noch in
  $C^2$. Setze $r:=|x|$. Es gilt f\"ur $r>0$
  \begin{align*}
    u_i(x)=&\,\phi'(r)\frac{x_i}{|x|},\\
    u_{ij}(x)=&\,\phi'(r)\frac1{|x|}\left(\delta_{ij}
      -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)
    +\phi''(r)\frac{x_i}{|x|}\frac{x_j}{|x|},\\
    |Du|^2=&\,(\phi')^2,\\
    g_{ij}=&\,\delta_{ij}+u_iu_j =\delta_{ij}
    +(\phi')^2 \frac{x_i}{|x|} \frac{x_j}{|x|},\\
    h_{ij}=&\,\frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}} \left(\frac{\phi'}{|x|}
      \left(\delta_{ij}-\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)
      +\phi''\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right).
  \end{align*}
  Eine gemeinsame Basis aus Eigenvektoren von $g_{ij}$ und $h_{ij}$
  bez\"uglich $\delta_{ij}$ ist au\ss{}erhalb des Ursprungs durch
  $\frac{x}{|x|}$ oder $x$ und eine Basis von $\skl{x}^\perp$
  gegeben. F\"ur die Eigenwerte bez\"uglich der Euklidischen Metrik
  gilt
  \[\begin{array}{|c||c|c|}
    \hline
    &x&{\skl{x}}^\perp\\\hline\hline
    g_{ij}&1+(\phi')^2&1\\\hline
    h_{ij}&\frac{\phi''}{\sqrt{1+(\phi')^2}}
    &\frac{\phi'}r\frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}}\\\hline
  \end{array}\]
  Als Hauptkr\"ummungen erhalten wir somit einmal $\frac{\phi''}
  {\left(1+(\phi')^2\right)^{3/2}}$ und $(n-1)$-mal den Wert
  $\frac{\phi'}{r\sqrt{1+(\phi')^2}}$. 
\end{beispiel}

\begin{theorem}[Lokale Normalform von Hyperfl\"achen] 
  Sei $\hat X\colon\hat\Omega\to\R^{n+1}$ eine regul\"are
  $C^k$-Hyperfl\"ache mit $k\ge1$ und Normale $\hat\nu$. Dann gibt es
  zu $x_0\in\hat\Omega$ eine Euklidische Bewegung $B:x\mapsto Qx+a$
  mit $Q\in O(n+1)$ und $a\in\R^{n+1}$ sowie eine offene Menge
  $\Omega\subset\R^n$ und einen Diffeomorphismus $\phi\colon\Omega
  \to\phi(\Omega)\subset\hat\Omega$ mit $\phi(0)=x_0$ und ein $u\in
  C^k(\Omega,\R)$ mit $u(0)=0$ und $Du(0)=0$, so dass $X:=B\circ\hat
  X\circ\phi$ folgendes erf\"ullt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X(x)=(x,f(x))$ f\"ur alle $x\in\Omega$,
  \item\label{fl norm form thm ii} $u(x)=\sum\limits_{i=1}^n \frac12
    \hat\kappa_i(x_0) \cdot\left(x^i\right)^2 +o\left(|x|^2\right)$,
    falls $k\ge2$ ist,
  \end{enumerate}
  wobei $\hat\kappa_i$ die Hauptkr\"ummungen von $\hat X$ in
  $x_0\in\hat\Omega$ sind. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien die Vektoren $\hat\xi_i$, $1\le i\le n$, Eigenvektoren von
  $\hat h_{ij}$ bez\"uglich $\hat g_{ij}$ zu den Eigenwerten
  $\hat\kappa_i$ im Punkt $x_0$. (Im Falle $\hat\kappa_1(x_0)
  =\hat\kappa_2(x_0)$ seien $\hat\xi_1$ und $\hat\xi_2$ bez\"uglich
  $\hat g_{ij}$ orthogonal zueinander gew\"ahlt und f\"ur $k=1$
  w\"ahlen wir beliebige bez\"uglich $\hat g_{ij}$ orthogonale
  Vektoren.) Dann bilden $\hat\nu(x_0)$, $d\hat
  X(x_0)\left\langle\hat\xi_1\right\rangle$ und $d\hat
  X(x_0)\left\langle\hat\xi_2\right\rangle$ nach Lemma \ref{hauptkr
    exist lem} eine \ONB des $\R^{n+1}$. Somit gibt es eine
  Euklidische Bewegung $B$, die $\hat X(x_0)$ auf $0$, $\hat\nu(x_0)$
  auf $-e_{n+1}$ und $d\hat X(x_0)\left\langle\hat\xi_i\right\rangle$
  auf $\pm e_i$ (Vorzeichen beliebig), $1\le i\le n$, abbildet. Sei
  $\pi_{n+1}\colon\R^3\to\R^2$ die orthogonale Projektion von
  $\R^{n+1}$ auf $\skl{e_{n+1}}^\perp$, wobei wir diesen Raum mit
  $\R^n$ identifizieren. Da $\hat X$ regul\"ar ist, ist
  $\pi_{n+1}\circ B\circ\hat X\colon\hat\Omega\to\R^n$ ein lokaler
  Diffeomorphismus von einer Umgebung von $x_0$ auf eine Umgebung von
  $0$. Definiere nach Einschr\"ankung auf solche Umgebungen
  $\psi:=\left(\pi_{n+1}\circ B\circ \hat
    X|_{\ldots}\right)^{-1}$. Dann hat $Y:=B\circ\hat X\circ\psi$ die
  Form $Y(x)=(x,F(x))$. $F(0)=0$ gilt nach Konstruktion und wegen
  $B\hat\nu(x_0)=-e_{n+1}$ ist $DF(0)=0$. \par
  Einfacher als nachzurechnen, dass \eqref{fl norm form thm ii}
  erf\"ullt ist, ist nun folgendes Vorgehen: $F$ erf\"ullt $F(0)=0$,
  $DF(0)=0$ und $D^2F(0)$ ist eine Matrix mit Eigenwerten
  $\hat\kappa_1(x_0)$ und $\hat\kappa_2(x_0)$, da weder $\phi$ noch
  $B$ die Hauptkr\"ummungen ver\"andern und $g_{ij}(0)=\delta_{ij}$
  gilt. Durch eine Rotation $R$ in $\R^n$ k\"onnen wir $D^2(F\circ
  R)(0)$ auf die gew\"unschte Diagonalgestalt bringen. Also ist
  $X:=B\circ\hat X\circ\phi$ mit $\phi:=\psi\circ R$ wie gew\"unscht
  und $u:=F\circ R$ die in \eqref{fl norm form thm ii} gesuchte
  Funktion.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine regul\"are Hyperfl\"ache mit der
  Normalen $\nu$. Sei $x_0\in\Omega$. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\lambda_i(x_0)>0$ f\"ur alle $1\le i\le n$, so gibt es
    eine Umgebung $U$ von $x_0$ mit $\skl{X(x)-X(x_0),\nu(x_0)}>0$
    f\"ur alle $x\in U\setminus\{x_0\}$ oder
    $\skl{X(x)-X(x_0),\nu(x_0)}<0$ f\"ur alle $x\in
    U\setminus\{x_0\}$, \dh $\im X$ liegt lokal auf einer Seite der
    affinen Tangentialhyperebene in $x_0$.
  \item Ist gibt es $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ mit
    $\lambda_i(x_0)<0<\lambda_j(x_0)$, so gibt es in jeder Umgebung
    $U$ von $x_0$ Punkte $x_\pm\in U$
    mit \[\skl{X(x_+)-X(x_0),\nu(x_0)}>0 \quad\text{und}\quad
    \skl{X(x_-)-X(x_0),\nu(x_0)}<0,\] \dh $\im X$ liegt selbst lokal
    auf beiden Seiten der affinen Tangentialhyperebene in $x_0$.
  \end{enumerate}
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze die Normalform f\"ur Hyperfl\"achen. 
\end{proof}

\Section{Minimalfl\"achen}

\Subsection{Erste Variation des Fl\"acheninhaltes}

\begin{definition}[Integration auf Hyperfl\"achen]
  Sei $X\colon U\to\R^{n+1}$ eine $C^1$-Hy\-per\-fl\"a\-che und
  $f\colon\Omega\to\R$. Dann definieren wir
  \[\int\limits_\Omega f\,d\mathcal A_g:=\int\limits_\Omega
  f(x)\sqrt{\det(g_{ij})}\,dx,\] falls das rechte Integral als
  Riemann- oder Lebesgueintegral existiert. \[d\mathcal A_g =\sqrt{ 
    \det(g_{ij})}\] hei\ss{}t das induzierte Fl\"achenelement.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Die Integration auf Hyperfl\"achen ist unabh\"angig von der
  Parametrisierung.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\hat X=X\circ\phi$ f\"ur einen $C^1$-Diffeomorphismus
  $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$. Dann folgt aus dem
  Transformationssatz f\"ur Integrale mit $x=\phi(y)$ und
  $f\colon\Omega\to\R$ sowie
  \begin{align*}  
    \hat g_{ij}(y)
    =&\,g_{kl}\circ\phi(y) \phi^k_i(y)\phi^l_j(y),\\
    \intertext{dass} &\,\int\limits_{\hat\Omega}
    f\circ\phi(y)\,dA_{\hat g}(y)\\ =&\,\int\limits_{\hat\Omega}
    f\circ\phi(y)
    \sqrt{\det\left(\hat g_{ij}\right)(y)}\,dy\\
    =&\,\int\limits_\Omega
    f(x)\sqrt{\det\left((g_{kl})(x)\phi^k_i(\phi^{-1}(x))\phi^l_j
        (\phi^{-1}(x))\right)}\cdot \frac1{|\det
      d\phi(\phi^{-1}(x))|}\,dx\\
    =&\,\int\limits_\Omega f(x)\sqrt{\det(g_{ij})(x)}\,dx
    =\int\limits_\Omega f\,d\mathcal A_g.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $C^2$-Hyperfl\"ache. Wir
  definieren den mittleren Kr\"ummungsvektor $\vec H$ durch $\vec
  H:=-H\nu$. \par Wir bemerken, dass $\vec H$ unabh\"angig von der
  Wahl der Normalen $\nu$ definiert ist, da sich bei der Wahl von
  $-\nu$ statt $\nu$ auch das Vorzeichen von $h_{ij}$ \"andert. Bei
  einer Sph\"are zeigt er nach innen.
\end{definition}

Wir wiederholen ein Lemma aus der linearen Algebra, beweisen es hier
aber nur im zweidimensionalen Fall, den wir sehr explizit und daher
einfach behandeln k\"onnen. Im Anhang zu meinem Skript \"uber voll
nichtlineare partielle Differentialgleichungen befindet sich ein
Beweis in beliebigen Dimensionen.
\begin{lemma}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt \[\frac\partial{\partial a_{ij}}\det(a_{kl})
    =\det(a_{kl})a^{ji},\] falls $(a_{ij})$ invertierbar ist und
    $a^{ij}$ die Inverse ist, \dh wenn $a^{ij}a_{jk}=\delta^i_k$ gilt.
  \item Sei $\left(a_{ij}(t)\right)$ differenzierbar von $t$
    abh\"angig mit inverser Matrix $\left(a^{ij}(t)\right)$. Dann gilt
    \[\dt a^{ij}=-a^{ik}a^{lj}\dt a_{kl}.\]
  \end{enumerate}
\end{lemma}
Die Determinante ist ein Polynom in ihren Eintr\"agen und daher auch
im Falle nicht invertierbarer Matrizen differenzierbar.
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir zeigen die erste Behauptung nur f\"ur
    $(2\times2)$-Matrizen. Es gilt \[
    \begin{pmatrix}
      a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}
    \end{pmatrix}^{-1}
    =\frac1{\det(a_{ij})}
    \begin{pmatrix}
      a_{22}&-a_{12}\\ -a_{21}&a_{11}
    \end{pmatrix}.\] 
    Somit ist \[\det(a_{ij})\cdot
    \begin{pmatrix}
      a^{11}&a^{21}\\ a^{12}&a^{22}
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      a_{22}&-a_{21}\\ -a_{12}&a_{11}
    \end{pmatrix}.\]
    Differenziert man $\det(a_{ij})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$, so
    erh\"alt man gerade die behaupteten Eintr\"age. 
  \item Gelte allgemein $AB=BA=\eins$. Dann erh\"alt man durch
    Differenzieren $\dot AB+A\dot B=0$, also $A\dot B=-\dot AB$ oder
    $\dot B=-B\dot AB$. Wegen $B=A^{-1}$ folgt die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Erste Variation des Fl\"acheninhaltes]\neueZeilealt
  \label{erste variation flaeche thm}
  Sei $X\colon\Omega\times(-\epsilon_0,\epsilon_0)\to\R^{n+1}$ von der
  Klasse $C^2$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X(\cdot,0)\colon\Omega\to\R^{n+1}$ regul\"ar,
  \item $\mathcal A(X(\cdot,0))<\infty$ und
  \item gebe es eine kompakte Menge $K\subset\Omega$, so dass $X(x,t)$
    f\"ur $x\in\Omega\setminus K$ von $t$ unabh\"angig ist.
  \end{enumerate}
  Dann gibt es ein $\epsilon>0$, so dass
  $X(\cdot,t)\colon\Omega\to\R^{n+1}$ f\"ur alle
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$ regul\"ar ist. Mit $\Phi:=\fracp Xt$
  erhalten wir \[\dt\mathcal A(X(\cdot,t)) =-\int\limits_\Omega
  \left\langle\vec H,\Phi\right\rangle\,d\mathcal A_g\] f\"ur
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$.
\end{theorem}
$\Phi$ oder $X$ hei\ss{}t Variation von $X(\cdot,0)$.
\begin{proof}[Beweis]
  Da f\"ur $t=0$ \[\inf\limits_{x\in K}\inf\limits_{v\in\S^n}
  |dX(x,t)\skl v|>0\] ist, gilt dies aus Stetigkeitsgr\"unden auch
  noch f\"ur kleine $\epsilon>0$ und $t\in(-\epsilon,\epsilon)$.
  \par Nun gilt
  \begin{align*}
    \dt\mathcal A(X(\cdot,t))
    =&\,\int\limits_\Omega\dt\sqrt{\det(g_{ij})}\,dx
    =\int\limits_\Omega\frac12\frac1{\sqrt{\det(g_{ij})}}\det(g_{ij})
    g^{ij}\dot g_{ij}\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega\frac12 g^{ij}\cdot2 \left\langle\dot
      X_{,i},X_j\right\rangle \sqrt{\det(g_{ij})}\,dx
    =\int\limits_\Omega g^{ij}\left\langle\dot
      X_{,i},X_j\right\rangle\,dA_g.
  \end{align*}
  Schreibe nun $\dot X=\phi\nu+\psi^kX_k$ f\"ur $C^1_c$-Funktionen
  $\phi$ und $\psi^k$ mit kompaktem Tr\"ager in $\Omega$. Wir erhalten 
  \begin{align*}
    \dot X_{,i} =&\,\phi_i\nu +\phi h_i^kX_k +\psi^k_iX_k
    +\psi^kX_{,ki}\umbruch\\
    \intertext{und hieraus mit partieller Integration} \dt \mathcal
    A(X(\cdot,t)) =&\,\int\limits_\Omega g^{ij}\left\langle \phi
      h^k_iX_k+\psi^k_iX_k +\psi^kX_{,ki},X_j\right\rangle
    d\mathcal A_g\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega g^{ij}\phi h^k_ig_{kj}
    +g^{ij}\psi^k_ig_{kj} +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,d\mathcal
    A_g
    \umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega\phi H +\psi^i_i
    +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,d\mathcal A_g\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega -\left\langle\Phi,\vec H\right\rangle
    +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,d\mathcal A_g +\int\limits_\Omega
    \left(\fracp{}{x^i}\psi^i\right) \sqrt{\det(g_{kl})}\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega -\left\langle\Phi,\vec H\right\rangle
    +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,d\mathcal A_g\\
    &\qquad-\int\limits_\Omega
    \psi^i\frac{\det(g_{kl})}{2\sqrt{\det(g_{kl})}} \cdot g^{kl}\cdot
    2\left\langle
      X_{,ki},X_l\right\rangle\,dx\umbruch\\
    =&\,-\int\limits_\Omega \left\langle\Phi,\vec H\right\rangle\,
    d\mathcal A_g
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $Y\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache. Sei $X$ eine
  Variation von $Y$, \dh wie in Theorem \ref{erste variation flaeche
    thm} mit $X(\cdot,0)=Y$. Dann sind die Aussagen
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $H(X(\cdot,0))=0$ und
  \item $\left.\dt\mathcal A(X(\cdot,t))\right|_{t=0}=0$ f\"ur alle
    solchen Variationen $X$
  \end{enumerate}
  \"aquivalent. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Klar nach Theorem \ref{erste variation flaeche
    thm}.\par
  \Rueckrichtung Nehme an, das $H\not\equiv0$ gilt. W\"ahle l\"angs
  $X(\cdot,0)$ ein $C^2$-Vektorfeld $V\colon\Omega\to\R^3$ mit
  kompaktem Tr\"ager und $\left\langle\vec H,V\right\rangle\ge0$, aber
  so, dass nicht \"uberall Gleichheit gilt. Setze
  $X(x,t):=Y(x)+tV$. Dann ist die erste Variation $\left.\dt \mathcal
    A(X(\cdot,t))\right|_{t=0}$ negativ. Widerspruch.
\end{proof}

Wir wollen $X_{,ij}$ als Linearkombination des Normalenvektors $\nu$
und der Tangentialvektoren $X_i$ darstellen. Es gilt das folgende
\begin{lemma}\label{Gauss fml lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $C^2$-Hyperfl\"ache. Dann
  ist \[X_{,ij} =\Gamma^k_{ij}X_k -h_{ij}\nu\] mit
  $\Gamma^k_{ij}=\frac12 g^{kl}(g_{il,j} +g_{jl,i} -g_{ij,l})$. Setzt
  man \[X_{;ij}:=X_{,ij} -\Gamma^k_{ij}X_k,\] so gilt die Gau\ss{}sche
  Formel \[X_{;ij} =-h_{ij}\nu.\]
\end{lemma}
Die Gr\"o\ss{}e $X_{;ij}$ wird uns noch als zweite kovariante
Ableitung begegnen. Die Ausdr\"ucke $\Gamma^k_{ij}$ nennt man 
Christoffelsymbole.
\begin{proof}[Beweis]
  Die Gau\ss{}sche Formel folgt aus der ersten Behauptung direkt nach
  Definition. \par Es ist klar, dass sich $X_{,ij}$ als eine solche
  Linearkombination darstellen l\"asst. Der Faktor vor $\nu$ stimmt
  aufgrund unserer Definition $h_{ij}:=-\skl{X_{,ij},\nu}$. Sei also
  $X_l$ ein beliebiger Tangentialvektor. Wir m\"ussen daher noch
  nachweisen, dass das Skalarprodukt der Gleichung mit $X_l$ auf
  beiden Seiten denselben Wert ergibt. Es gilt nach Definition von
  $\Gamma^k_{ij}$ 
  \begin{align*}
    0\overset!=&\,2\skl{X_{,ij},X_l}
    -2\Gamma^k_{ij}\skl{X_k,X_l}\umbruch\\ 
    =&\,2\skl{X_{,ij},X_l} -2\tfrac12 g^{kr}(g_{ir,j} +g_{jr,i}
    -g_{ij,r}) g_{kl}\umbruch\\
    =&\,2\skl{X_{,ij},X_l} -(g_{il,j} +g_{jl,i}
    -g_{ij,l})\umbruch\\
    =&\,2\skl{X_{,ij},X_l} -\skl{X_{,ij},X_l} -\skl{X_i,X_{,lj}}
    -\skl{X_{,ji},X_l} -\skl{X_j,X_{,li}}\\ &\qquad+\skl{X_{,il},X_j}
    +\skl{X_i,X_{,jl}}\umbruch\\
    =&\,0,
  \end{align*}
  da partielle Ableitungen symmetrisch sind. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Wir nennen eine Hyperfl\"ache mit $H=0$ oder, \"aquivalent dazu, $\vec
  H=0$, eine Minimalfl\"ache.
\end{definition}

\begin{remark}
  Aufgrund der Normalform f\"ur Hyperfl\"achen gibt es f\"ur jeden
  Punkt auf einer Minimalfl\"ache ein $\kappa$, so dass sich die
  Minimalfl\"ache \"uber ihrer Tangentialebene nach geeigneter Drehung
  lokal als $\graph u$ mit \[u(x,y)=\frac12\kappa x^2 -\frac12\kappa
  y^2 +o\left(|(x,y)|^2\right)\] darstellen l\"asst. Somit ist jeder
  Punkt einer Minimalfl\"ache ein Sattelpunkt.
\end{remark}

\begin{remark}
  Die Bezeichnung Minimalfl\"ache ist leicht irref\"uhrend, weil wir
  gesehen haben, dass die erste Variation des Fl\"acheninhalts einer
  Minimalfl\"ache verschwindet. Dies besagt nat\"urlich nicht, dass
  eine Minimalfl\"ache ein (lokales) Minimum des Fl\"acheninhalts ist.
\end{remark}

Wir k\"onnen die Minimalfl\"achengleichung $H=0$ oder $\vec H=0$ mit
Hilfe des folgenden Operators kurz darstellen.
\begin{definition}[Laplace-Beltrami Operator]
  Sei $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ eine Riemannsche Metrik auf einer
  offenen Menge $\Omega\subset\R^n$ mit inverser Metrik
  $\left(g^{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$. Dann definieren wir den
  Laplace-Beltrami Operator $\Delta_g\colon C^2(\Omega)\to
  C^0(\Omega)$ durch \[\Delta_gu:=\frac1{\sqrt{\det(g_{kl})}}\cdot
  \fracp{}{x^i}\left(\sqrt{\det(g_{kl})} g^{ij}\fracp{}{x^j}
    u\right).\]
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine Hyperfl\"ache mit
  Metrik $g$ und Normalenvektor $\nu$. Dann gilt \[\Delta_g X=\vec
  H=g^{ij}X_{;ij}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir berechnen mit Lemma \ref{Gauss fml lem}
  \begin{align*}
    \Delta_gX=&\,\frac1\sqrtdetg\fracp{}{x^i} \left(\sqrtdetg\cdot
      g^{ij}\fracp{}{x^j} X\right)\umbruch\\
    =&\,\frac1\sqrtdetg\frac12\frac{\detg}{\sqrtdetg}2g^{kl}
    \skl{X_{,ki},X_l} g^{ij}X_j\\
    &\quad-g^{ik}g^{lj}(\skl{X_{,ki},X_l} +\skl{X_k,X_{,li}})X_j
    +g^{ij}X_{,ij}\umbruch\\
    =&\,\underline{g^{kl}\skl{X_{,ki},X_l}g^{ij}X_j}
    -g^{ik}g^{lj}\skl{X_{,ki},X_l}X_j
    -\underline{g^{ik}g^{lj}\skl{X_k,X_{,li}}X_j}\\
    &\quad+g^{ij}\left(-h_{ij}\nu+\Gamma^k_{ij} X_k\right)\umbruch\\
    =&\,-H\nu -g^{ik}g^{lj}\skl{X_{,ki},X_l}X_j +\tfrac12
    g^{ij}g^{kl}(g_{il,j} +g_{jl,i} -g_{ij,l})X_k\umbruch\\
    =&\,\vec H -g^{ik}g^{lj}\skl{X_{,ki},X_l}X_j\\
    &\quad+\tfrac12g^{ij}g^{kl}\left(\skl{X_{,ij},X_l}
      +\underline{\skl{X_i,X_{,lj}}}
      +\skl{X_{,ji},X_l} +\underline{\skl{X_j,X_{,li}}}\right.\\
    &\qquad\qquad\qquad\left.-\underline{\skl{X_{,il},X_j}}
      -\underline{\skl{X_i,X_{,jl}}}\right)X_k\umbruch\\
    =&\,\vec H =-H\nu =-g^{ij}h_{ij}\nu =g^{ij}X_{;ij}.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\Subsection{Beispiele}

\begin{beispiele}[Helikoid, Katenoid und Scherkfl\"ache]
  Das Helikoid, parametrisiert durch \[\R^2\ni(r,\phi)\mapsto
  (r\cos\phi,r\sin\phi,\phi)^T,\] das Katenoid, parametrisiert
  durch \[\R^2\ni(r,\phi)\mapsto (\cosh r\cdot\cos\phi, \cosh
  r\cdot\sin\phi, r)^T\] und die Scherkfl\"ache, als Graph
  von \[(0,\pi)^2\ni(x,y)\mapsto\log\sin x-\log\sin x\] dargestellt,
  sind Minimalfl\"achen.
\end{beispiele}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir werden mit unterschiedlichen Methoden nachrechnen, dass die
  angebebenen Fl\"achen Minimalfl\"achen sind.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \textbf{Helikoid:} Wir erhalten
    \begin{align*}
      X_r=&\,(\cos\phi,\sin\phi,0)^T,\umbruch\\
      X_{,rr}=&\,0,\umbruch\\
      X_\phi=&\,(-r\sin\phi,r\cos\phi,1)^T,\umbruch\\
      X_{,\phi\phi}=&\,(-r\cos\phi,-r\sin\phi,0)^T,\umbruch\\
      g_{rr}=&\,1,\umbruch\\
      g_{r\phi}=&\,0,\umbruch\\
      g_{\phi\phi}=&\,1+r^2,\umbruch\\
      \det g_{ij}=&\,1+r^2,\umbruch\\
      \vec H=&\,\Delta_g X\umbruch\\
      =&\,\frac1{\sqrt{1+r^2}}\fracp{}{x^i}\left(\sqrt{1+r^2}
        g^{ij}\fracp{}{x^i}X\right)\umbruch\\
      =&\,\frac1{\sqrt{1+r^2}} \fracp{}r\left(\sqrt{1+r^2}\cdot 1\cdot
        X_r\right) +\frac1{\sqrt{1+r^2}}\fracp{}\phi
      \left(\frac{\sqrt{1+r^2}}{1+r^2} X_\phi\right)\umbruch\\
      =&\,\frac1{\sqrt{1+r^2}}\frac r{\sqrt{1+r^2}}
      \begin{pmatrix}\cos\phi\\ \sin\phi\\ 0\end{pmatrix} +\frac1{1+r^2}
      X_{,\phi\phi}\\
      =&\,\frac r{1+r^2}
      \begin{pmatrix}
        \cos\phi\\\sin\phi\\0
      \end{pmatrix}
      +\frac1{1+r^2}
      \begin{pmatrix}
        -r\cos\phi\\-r\sin\phi\\0
      \end{pmatrix}=0
    \end{align*}
    Somit ist das Helikoid eine Minimalfl\"ache. 
  \item \textbf{Katenoid:} Wir erinnern zun\"achst an
    \begin{align*}
      \cosh x=&\,\frac12(e^x+e^{-x}),\umbruch\\
      \sinh x=&\,\frac12(e^x-e^{-x}) =\frac{d}{dx}\cosh x
      =\frac{d^2}{dx^2}\sinh x
      \intertext{und} 
      1+\sinh^2x=&\,1+\frac14\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right) =\cosh^2x. 
    \end{align*}
    Nun gilt
    \begin{align*}
      X=&\,(\cosh r\cdot\cos\phi,\cosh r\cdot\sin\phi,r)^T,\umbruch\\
      X_r=&\,(\sinh r\cos\phi,\sinh r\sin\phi,1)^T,\umbruch\\
      X_{,rr}=&\,(\cosh r\cos\phi,\cosh r\sin\phi,0)^T,\umbruch\\
      X_\phi=&\,(-\cosh r\sin\phi,\cosh r\cos\phi,0)^T,\umbruch\\
      X_{,\phi\phi}=&\,(-\cosh r\cos\phi,-\cosh
      r\sin\phi,0)^T,\umbruch\\ 
      X_{,r\phi}=&\,(-\sinh r\sin\phi,\sinh r\cos\phi,0)^T,\umbruch\\
      g=&\,
      \begin{pmatrix}
        g_{rr}&g_{r\phi}\\
        g_{r\phi}&g_{\phi\phi}
      \end{pmatrix}
      =
      \begin{pmatrix}
        1+\sinh^2r&0\\
        0&\cosh^2r
      \end{pmatrix}
      =
      \cosh^2r
      \begin{pmatrix}
        1&0\\
        0&1
      \end{pmatrix},\umbruch\\
      \nu=&\,
      \frac1{\text{Normierung}}
      \begin{pmatrix}
        \sinh r\cos\phi\\
        \sinh r\sin\phi\\
        1
      \end{pmatrix}
      \times
      \begin{pmatrix}
        -\cosh r\sin\phi\\
        \cosh r\cos\phi\\
        0
      \end{pmatrix}
      \umbruch\\
      =&\,
      \frac1{\text{Normierung}}
      \begin{pmatrix}
        -\cosh r\cos\phi\\
        -\cosh r\sin\phi\\
        \sinh r\cosh r
      \end{pmatrix}
      =
      \frac1{\cosh r}
      \begin{pmatrix}
        -\cos\phi\\
        -\sin\phi\\
        \sinh r
      \end{pmatrix},\umbruch\\
      A=&\,
      \begin{pmatrix}
        h_{rr}&h_{r\phi}\\
        h_{r\phi}&h_{\phi\phi}
      \end{pmatrix}
      =
      \begin{pmatrix}
        -1&0\\
        0&1
      \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Somit gilt $H=0$ und das Katenoid ist eine Minimalfl\"ache. \par
    Da die Metrik ein Vielfaches der Euklidischen Metrik auf $\R^2$
    ist, ist das Katenoid konform parametrisiert. 
  \item \textbf{Scherkfl\"ache:} Es gilt
    \begin{align*}
      u=&\,\log\sin x-\log\sin x,\umbruch\\
      u_x=&\,\frac{\cos x}{\sin x},\umbruch\\
      u_y=&\,-\frac{\cos y}{\sin y},\umbruch\\
      u_{xx}=&\,\frac{-\sin x\sin x-\cos x\cos x}{\sin^2x}
      =-\frac1{\sin^2x},\umbruch\\
      u_{xy}=&\,0,\umbruch\\
      u_{yy}=&\,\frac1{\sin^2y},\umbruch\\
      \Delta u-\frac{u_{ij}u^iu_j}{1+|Du|^2} =&\,
      u_{xx}+u_{yy}-\frac{u_{xx}u_x^2+u_{yy}u_y^2
        +2u_{xy}u_xu_y}{1+u_x^2+u_y^2}\umbruch\\
      =&\,\frac{u_{xx}\left(1+u_y^2\right)
        +u_{yy}\left(1+u_x^2\right)}{1+u_x^2+u_y^2},\umbruch\\
      u_{xx}\left(1+u_y^2\right)
      =&\,-\frac1{\sin^2x}\left(1+\frac{\cos^2y}{\sin^2y}\right) 
      =-\frac1{\sin^2x\sin^2y}. 
    \end{align*}
    Aufgrund der Symmetrie erhalten wir $\Delta
    u-\frac{u_{ij}u^iu^j}{1+|Du|^2}=0$ und somit $H=0$. Somit ist auch
    die Scherkfl\"ache eine Minimalfl\"ache. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Minimalfl\"achen geh\"oren zu den differentialgeometrischen
    Themen, die schon seit sehr langer Zeit untersucht
    werden. Leonhard Euler beschreibt 1744 als erste Minimalfl\"ache
    nach der Ebene das Katenoid, Jean Baptiste
    Meusnier 1776 das Helikoid und Heinrich Scherk beschreibt 1834 die
    nach ihm benannte Fl\"ache. 
  \item Mit Hilfe von Funktionentheorie kann man Minimalfl\"achen
    darstellen: Weierstra\ss{}darstellung. 
  \item Helikoid und Katenoid lassen sich ineinander deformieren: Ein
    Filmchen dazu gibt es auf Wikipedia \cite{wiki}. 
  \item Stellt man Kopien der Scherkfl\"ache auf die schwarzen Felder
    eines unendlichen Schachbrettes, so erh\"alt man eine Fl\"ache,
    die sich periodisch wiederholt und nirgends aufh\"ort. Solche
    Hyperfl\"achen werden wir sp\"ater als vollst\"andig bezeichnen.
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt mit glattem
    Rand. Sei $\phi\colon\R^n\to\R$ glatt. Suchen wir nun eine
    Hyperfl\"ache, die \"uber $\Omega$ als $\graph u$ gegeben ist, die
    Minimalfl\"ache ist und \"uber $\partial\Omega$ mit $\graph\phi$
    \"ubereinstimmt, so m\"ussen wir dazu die folgende partielle
    Differentialgleichung mit Randwerten l\"osen: 
    \[
    \begin{cases}
      \divergenz\left(\dfrac{\nabla
          u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)=0&\text{in }\Omega,\\
        u=\phi&\text{auf }\partial\Omega.
    \end{cases}
    \]
    Dies ist f\"ur beliebige glatte Funktionen $\phi$ m\"oglich, falls
    $\partial\Omega$ \"uberall nichtnegative mittlere Kr\"ummung hat,
    jedoch komplizierter. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\Section{Niveaufl\"achen, Untermannigfaltigkeiten}
\label{niveau unter kap}
Parametrisierte Hyperfl\"achen sind im Allgemeinen nur immersiert und
nicht eingebettet. Daf\"ur muss man eine Parametrisierung
angeben. Untermannigfaltigkeiten, Niveaufl\"achen oder eingebettete
Hyperfl\"achen d\"urfen sich hingegen nicht selbst
durchdringen. Daf\"ur reicht es, die Hyperfl\"ache als Menge
anzugeben. Eine Parametrisierung ist nicht n\"otig.

Beim ersten Lesen empfehlen wir, die folgenden Definitionen und
S\"atze bis Theorem \ref{niveaufl ist umfkt thm} zun\"achst f\"ur den
Fall zu betrachten, dass die auftretenden Funktionen linear sind. 

Die folgende Definition haben wir nach der Kodimension aufgeteilt. 
\begin{definition}[Niveaufl\"achen]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Teilmenge $M\subset\R^{n+1}$ hei\ss{}t
    Niveauhyperfl\"ache (oder Niveaufl\"ache) der Klasse $C^k$ f\"ur
    ein $k\ge1$, falls es zu jedem $p\in M$ eine offene Umgebung
    $U\subset\R^{n+1}$ und eine Funktion $f\in C^k(U)$ mit
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item $M\cap U=f^{-1}(\{0\})$ und
    \item $df(q)\neq0$ f\"ur alle $q\in U$
    \end{enumerate}
    gibt. 
  \item Eine Teilmenge $M\subset\R^n$ hei\ss{}t Niveaufl\"ache der
    Klasse $C^k$ der Dimension $m$ und der Kodimension $n-m$ f\"ur ein
    $k\ge1$, falls es f\"ur jedes $p\in M$ eine offene Umgebung
    $U\subset\R^n$ und eine Funktion $f\in C^k(U,\R^{n-m})$ mit
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item $M\cap U=f^{-1}\{0_{\R^{n-m}}\}$ und
    \item surjektiver Abbildung $Df(p)\colon\R^n\to\R^{n-m}$
    \end{enumerate}
    gibt. 
  \end{enumerate}
\end{definition}
Wir werden uns nachfolgend insbesondere mit Niveauhyperfl\"achen
besch\"aftigen und nehmen ab jetzt an, dass die Kodimension stets eins
ist, wenn wir dies nicht explizit anders angeben. 

\begin{definition}[Untermannigfaltigkeit]
  Eine Teilmenge $M\subset\R^n$ hei\ss{}t $m$-di\-men\-sio\-na\-le
  $C^k$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit von $\R^n$ mit $k\ge0$,
  falls es f\"ur jedes $x_0\in M$ eine offene Umgebung $U\in\mathcal
  U(x_0)$ und einen $C^k$-Diffeomorphismus (bzw.{} Hom\"oomorphismus)
  $\Phi\colon\R^n\to\R^n$ mit $\Phi(x_0)=0$
  und \[\Phi(M)=\Phi(U)\cap(\R^m\times\{0_{\R^{n-m}}\})\] gibt. $n-m$
  hei\ss{}t Kodimension von $M$.
\end{definition}

\begin{definition}
  Eine Untermannigfaltigkeit $M$ hei\ss{}t geschlossen, falls sie
  kompakt ist. (Normalerweise fordert man zus\"atzlich, dass $M$
  keinen Rand besitzt, jedoch haben wir bisher nur
  Untermannigfaltigkeiten ohne Rand definiert.)
\end{definition}

Regul\"are Hyperfl\"achen sind lokal Untermannigfaltigkeiten. Es gilt
sogar
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $X\colon\Omega\to\R^m$ eine
  Immersion. Dann gibt es zu jedem $x_0\in\Omega$ eine offene Umgebung
  $U\in\mathcal U(x_0)$ mit $U\subset\Omega$, so dass $\im X(U)$ eine
  $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^m$ ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir erg\"anzen eine Basis des Tangentialraumes $T_{x_0}M$ zu einer
  Basis von $\R^n$: Seien $Y_{n+1},\ldots,Y_m$ so gew\"ahlt,
  dass \[\im dX(x_0)\oplus\langle Y_{n+1},\ldots,Y_m\rangle=\R^m\]
  gilt. Definiere die Abbildung \[\Phi\colon\Omega \times
  \R^{m-n}\ni(x,y)\mapsto X(x)+\sum\limits_{i=n+1}^m y^iY_i.\] Nach
  Konstruktion ist dann $D\Phi(x_0,0)\colon\R^n\times\R^{m-n}\to\R^m$
  ein Vektorraumisomorphismus. Somit gibt es nach dem Satz von der
  inversen Abbildung eine Umgebung $V$ von $(x_0,0)$, so dass
  $\Phi|_V$ ein Diffeomorphismus ist. Wir definieren
  $U:=V\cap(\R^n\times\{0_{\R^{m-n}}\})$.  Dann ist $(\Phi|_V)^{-1}$
  eine Abbildung, die zeigt, dass $X(U)$ eine Untermannigfaltigkeit
  ist.
\end{proof}

\begin{beispiel}
  \label{graph umfk bsp}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $u\in C^k(\Omega,\R^m)$. Dann
  ist \[\left\{(x,u(x))^T\colon x\in\Omega\right\}=\graph u\] eine
  $n$-dimensionale $C^k$-Untermannigfaltigkeit des $\R^{n+m}$.
\end{beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
  Zu $p=(x,u(x))^T\in M$ k\"onnen wir stets $U=\Omega\times\R^m$ und
  $f\colon U\to\R$ mit \[f\left(x^1,\ldots,x^n,
    x^{n+1},\ldots,x^{n+m}\right)
  :=\left(x^{n+1},\ldots,x^{n+m}\right)
  -u\left(x^1,\ldots,x^n\right)\] w\"ahlen.
\end{proof}

Niveaufl\"achen sind ebenfalls Untermannigfaltigkeiten. 
\begin{theorem}
  \label{niveaufl ist umfkt thm}
  Sei $M=f^{-1}(\{0_{\R^n}\})\subset\R^{m+n}$ eine $m$-dimensionale
  Niveaufl\"ache. Dann ist $M$ eine Untermannigfaltigkeit von
  $\R^{m+n}$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in M$. Nach einer Drehung des Koordinatensystems im
  $\R^{m+n}$ d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $\R^n\ni
  y\mapsto Df(x_0)\langle(0_{\R^m},y)\rangle\in\R^n$ surjektiv
  ist. Dann folgt aus dem Satz \"uber implizite Funktionen, dass es
  eine Abbildung $\phi\colon\R^m\to\R^n$ und eine Umgebung $U$ von
  $x_0$ gibt, so dass $M\cap U=\{(x,\phi(x))\colon x\in\R^n\}\cap U$
  gilt. Benutze nun Bemerkung \ref{graph umfk bsp}.
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Die Sph\"are $\S^n:=\left\{x\in\R^{n+1}\colon|x|=1\right\}$ ist eine
  $n$-dimensionale $C^\infty$-Untermannigfaltigkeit des $\R^{n+1}$:
  W\"ahle $\Omega:=\R^{n+1}\setminus\{0\}$ und $f(x):=|x|^2-1$ oder
  $f(x):=|x|-1$. 
\end{beispiel}

\begin{definition} \stern
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine $C^k$-Untermannigfaltigkeit $M\subset\R^n$ hei\ss{}t
    kompakt oder kompakte eingebettete Mannigfaltigkeit, falls $M$
    kompakt ist.
  \item Eine $m$-dimensionale $C^k$-Untermannigfaltigkeit
    $M\subset\R^n$ mit $k\ge1$ hei\ss{}t kompakt oder kompakt
    immersierte $C^k$-Mannigfaltigkeit, falls es eine
    $m$-di\-men\-sio\-na\-le kompakte eingebettete Mannigfaltigkeit
    $N\subset\R^N$, eine offene Umgebung $U\subset\R^N$ von $N$ und
    eine $C^k$-Abbildung $\Phi\colon U\to\R^n$ mit $\Phi(N)=M$ und
    \[\dim d\Phi(x)\langle T_xN\rangle=m\] gibt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \stern 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Sph\"are ist ein Beispiel f\"ur eine kompakte eingebettete
    Mannigfaltigkeit, die Figur \glqq$8$\grqq{} ein Beispiel f\"ur
    eine kompakte immersierte Mannigfaltigkeit.
  \item Insbesondere der zweite Teil dieser Definition wird sp\"ater
    leichter verst\"andlich und leichter zu definieren, wenn wir
    abstrakte Mannigfaltigkeiten kennengelernt haben. Dann k\"onnen
    wir dies als Einbettungen bzw.{} Immersionen von kompakten
    abstrakten Mannigfaltigkeiten definieren.
  \end{enumerate}
\end{remark}

% Lokal sind parametrisierte Hyperfl\"achen auch eingebettete
% Hyperfl\"achen. Global stimmt dies nicht, ein Gegenbeispiel w\"are die
% Ziffer \glqq$8$\grqq.
% \begin{theorem}
%   Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine regul\"are Hyperfl\"ache mit
%   Normale $\nu$. Dann gibt es zu jedem Punkt $x_0\in\Omega$ eine
%   Umgebung $\hat\Omega$ von $x_0$, so dass $\im X|_{\hat\Omega}$ eine
%   eingebettete Hyperfl\"ache ist.
% \end{theorem}
% \begin{proof}[Beweis]
%   Definiere $F\colon\Omega\times\R$ durch \[F(x,t):=X(x)+t\nu(x).\]
%   Dann ist $dF(x_0)$ durch eine invertierbare $((n+1)\times(n+1))$-Matrix
%   dargestellt. Somit gibt es nach dem Satz von der inversen Abbildung
%   eine Umgebung der Form $\hat\Omega \times(-\epsilon,\epsilon)$ von
%   $x_0\times\{0\}$, so dass $F|_{\hat\Omega \times
%     (-\epsilon,\epsilon)}$ ein Diffeomorphismus auf das Bild
%   $U:=F\left(\hat\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\right)$ ist.
%   \par Wir behaupten nun, dass $\im X\left(\hat\Omega\right)$ eine
%   eingebettete Hyperfl\"ache ist. Es gilt $M:=X\left(
%     \hat\Omega\right)=F\left(\hat\Omega\times\{0\}\right)\subset U$.
%   Setze $f:=\pi_{n+1}\circ F^{-1}\colon U\to(-\epsilon,\epsilon)$,
%   wobei $\pi_{n+1}\colon \hat\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)
%   \to(-\epsilon,\epsilon)$ durch $\pi_{n+1}\left(\hat
%     x,x^{n+1}\right):=x^{n+1}$ definiert ist. Dann
%   gilt \[f^{-1}(\{0\}) =\left(\pi_{n+1}\circ F^{-1}\right)^{-1}(\{0\})
%   =F\circ \pi_{n+1}^{-1}(\{0\}) =F\circ\left(\hat\Omega
%     \times\{0\}\right) =M =M\cap U.\] Da $F$ ein Diffeomorphismus ist,
%   verschwindet auch die Ableitung der $(n+1)$-sten Komponente von
%   $F^{-1}$, also $df$, nicht. Die Behauptung folgt.
% \end{proof}

\begin{definition}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale
  $C^k$-Untermannigfaltigkeit. Eine lokale Parametrisierung von $M$
  nahe $x_0\in M$ ist eine $C^k$-Abbildung $X\colon\Omega\to
  M\subset\R^{n+1}$ mit $x_0\in\im X$, wobei $\Omega\subset\R^n$ offen
  ist, $X$ injektiv ist und $\rang dX(x)=n$ f\"ur alle $x\in\Omega$
  gilt. $\Omega$ hei\ss{}t Parametergebiet und $V:=X(\Omega)\subset M$
  hei\ss{}t das Kartengebiet von $X$. Die Abbildung $X^{-1}\colon
  V\to\Omega$ hei\ss{}t Karte.
\end{definition}

\begin{theorem}[Existenz und Eigenschaften von Karten]
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit
  des $\R^{n+1}$ der Klasse $C^k$ mit $k\ge1$. Dann gelten folgenden
  Aussagen:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Zu jedem $p\in M$ gibt es eine lokale Parametrisierung von $M$
    nahe $p$ und eine Karte $\phi\colon V\to\Omega$ mit $p\in V$.
  \item Ist $X\colon\Omega\to X(\Omega)=:V$ eine lokale
    Parametrisierung, so ist $V$ relativ offen in $M$. Die Abbildung
    $X^{-1}\colon V\to\Omega$ ist stetig und somit ist
    $X\colon\Omega\to V$ ein Hom\"oomorphismus.
  \item Seien $\phi_i\colon V_i\to\Omega_i$, $i=1,2$, Karten von
    $M$. Dann ist \[\phi_2\circ\phi_1^{-1}\colon\phi_1(V_1\cap
    V_2)\to\phi_2^{-1}(V_1\cap V_2)\] ein $C^k$-Diffeomorphismus. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
Karten werden sp\"ater wichtig, wenn wir abstrakte Mannigfaltigkeiten
definieren wollen. Das Verh\"altnis von abstrakten Mannigfaltigkeiten
zu Untermannigfaltigkeiten ist mit dem von topologischen R\"aumen zu
Teilmengen des $\R^n$ mit induzierter Topologie vergleichbar.

Dieser Satz gilt auch f\"ur Untermannigfaltigkeiten h\"oherer
Kodimension. Dann ist die Normale wieder geeignet durch Vektoren zu
ersetzen, die zusammen mit einer Basis des Tangentialraumes eine Basis
bilden. Details: \"Ubung. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nach dem Satz \"uber implizite Funktionen ist $M$ lokal als
    Graph darstellbar: Zu $p\in M$ gibt es eine Euklidische Bewegung
    $B\colon\R^{n+1}\to\R^{n+1}$ mit $B(p)=0$, offene Mengen $0\in
    \Omega\subset\R^n$ und $0\in I\subset\R$ sowie $u\in
    C^k(\Omega,I)$ mit \[B(M)\cap(\Omega\times I) =\{(x,u(x))\colon
    x\in\Omega\}.\] Insbesondere folgt $u(0)=0$. Dann ist
    $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ mit $X(x):=B^{-1}(x,u(x))$ die gesuchte
    Parametrisierung und es gilt $X(0)=p\in X(\Omega)$.
  \item $V$ ist relativ offen, da $F(x,t):=X(x)+t\nu(x)$ ein lokaler
    Diffeomorphismus nahe $t=0$ ist. (Im Fall $k=1$ ist $\nu(x)$ im
    Allgemeinen nicht mehr differenzierbar. Wir k\"onnen dann jedoch
    $F(x,t):=X(x)+t\tilde\nu(x)$ f\"ur eine $C^1$-Funktion $\tilde\nu$
    mit $\langle\nu(x),\tilde\nu(x)\rangle>0$ f\"ur alle $x\in\Omega$
    verwenden.) $F^{-1}$ ist ebenfalls ein lokaler
    Diffeomorphismus. Somit ist die Einschr\"ankung $X^{-1}$ stetig
    und die Behauptung folgt.
  \item Betrachte die lokalen Parametrisierungen $X_1:=\phi_1^{-1}$
    und $X_2:=\phi_2^{-1}$. Deren Fortsetzungen $\hat
    X_i(x,t):=X_i(x)+t\nu(x)$ sind wiederum lokale Diffeomorphismen
    (Verfahre f\"ur $k=1$ wie oben.). Dies gilt auch f\"ur die
    Verkn\"upfung $\hat X_2^{-1}\circ\hat X_1$ und daher auch f\"ur
    die Einschr\"ankung auf $t=0$, also f\"ur
    $\phi_2\circ\phi_1^{-1}$. Da Parametrisierungen und damit auch
    Karten (globale) Hom\"oomorphismen sind, ist
    $\phi_2\circ\phi_1^{-1}\colon \phi_1(V_1\cap
    V_2)\to\phi_2^{-1}(V_1\cap V_2)$ auch ein (globaler)
    Diffeomorphismus.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Die folgende Definition liefert f\"ur immersierte Fl\"achen $X$ wieder
$\im DX$ (kleine \"Ubung). 
\begin{definition}[Tangentialebene]
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale
  $C^1$-Un"-ter"-man"-nig"-fal"-tig"-keit des $\R^{n+1}$. Dann
  hei\ss{}t $V\in\R^{n+1}$ Tangentialvektor in $p\in M$, falls es eine
  Kurve $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M$ mit $\gamma(0)=p$ und
  $\gamma'(0)=V$ gibt. Die Menge aller Tangentialvektoren in $p$
  bezeichnen wir mit $T_pM$. Man schreibt auch $(p,V)$ f\"ur den
  Tangentialvektor. 
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $U\subset\R^{n+1}$ offen und sei $M=f^{-1}(\{0\})\cap U$ eine
  $C^1$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit. Sei $x_0\in M$. Dann
  gilt \[\langle\nabla f(x_0),V\rangle=0\] f\"ur alle $V\in T_{x_0}M$,
  d.\,h.{} bis auf die Wahl des Vorzeichens ist $\frac{\nabla
    f}{|\nabla f|}$ die Normale an $M$ in $x_0$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M\subset\R^{n+1}$ eine
  Kurve mit $\gamma(0)=x_0$ und $\gamma'(0)=V$. Es gilt
  $f(\gamma(t))=0$ f\"ur alle $t\in(-\epsilon,\epsilon)$. Nach
  Kettenregel folgt $\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle=0$,
  ebenfalls f\"ur alle $t$. F\"ur $t=0$ erhalten wir die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale
  $C^1$-Untermannigfaltigkeit des $\R^{n+1}$. Dann ist $T_pM$ ein
  Unterraum von $\R^{n+1}$ und es gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $T_pM =\im dX(x)$ f\"ur eine lokale Parametrisierung
    $X\colon\Omega\to M$ mit $X(x)=p$. 
  \item $T_pM =\ker df(p)$, falls $M\cap U =f^{-1}(\{0\})$ f\"ur eine
    offene Menge $U$ mit $p\in U$ und f\"ur $f\in C^1(U)$ mit
    $df\neq0$ in $U$ gilt. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X(x)=p$. Die Inklusionen $\im dX(x) \subset T_pM \subset\ker
  df(p)$ folgen direkt nach Definition. Wegen $\dim\im dX(x)=n$ und
  $\dim\ker df(p)=n$ gilt jedoch \"uberall Gleichheit.
\end{proof}

\vspace*{0.5ex}
\fbox{Die folgende Bemerkung, Bemerkung \ref{1st order tab rem}, steht
  auf einer gesonderten Seite.}
\vspace*{1.5ex}

\begin{sidewaystable}
  \begin{remark}\label{1st order tab rem}
    \vspace*{10cm}
    Wir stellen nun in einer Tabelle im ersten Teil einige
    Gr\"o\ss{}en \glqq erster Ordnung\grqq{} f\"ur eingebettete
    Hyperfl\"achen und dieselben Gr\"o\ss{}en f\"ur parametrisierte
    Hyperfl\"achen einander gegen\"uber. \par Im zweiten Teil haben wir
    eine analoge Gegen\"uberstellung f\"ur Gr\"o\ss{}en \glqq zweiter
    Ordnung\grqq, die wir erst sp\"ater betrachten werden.\\[1ex]
    \rule{0mm}{1mm}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|l||l|l|l|}
        \hline
        & Parametrisierung & Niveaufl\"ache & Relation\\
        & $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ & $f^{-1}(\{0\})\subset\R^{n+1}$ &
        $X(x)=p$\\\hline\hline
        Tangentialraum & $\im dX(x)$ & $\ker df(p)$ & $T_pM$\\\hline
        Tangentialvektor & $dX\skl v$ & $V\in T_pM\subset\R^{n+1}$ &
        $dX(x)\skl v=V$\\\hline
        Normale & $\nu=\pm\frac{X_1\times X_2}{|X_1\times
          X_2|}$\quad\text{f\"ur }$n=2$ & 
        $\hat\nu =-\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ & $\nu=\pm\hat\nu\circ
        X$\\\hline 
        Metrik & $g(\cdot,\cdot)$ & $\skl{\cdot,\cdot}
        =\skl{\cdot,\cdot}_{\R^{n+1}}$ & $g(x)\skl{v,w}=\skl{dX(x)\skl
          v,dX(x)\skl w}$\\\hline 
        Bogenl\"ange & $L_g(\gamma)$ &
        $L(\alpha)=L_{\R^{n+1}}(\alpha)$ & 
        $L_g(\gamma) =L_{\R^{n+1}}(X\circ\gamma)$\\\hline
        Winkel & $\sphericalangle_g$ &
        $\sphericalangle=\sphericalangle_{\R^{n+1}}$ &
        $\sphericalangle_g(v,w) =\sphericalangle(dX\skl v,dX\skl
        w)$\\\hline 
        Fl\"acheninhalt & $A_g(E)$ & $\mathcal H^n(E)$ & $A_g(E)
        =\mathcal H^n(X(E))$\\\hline\hline
        2. Fundamentalform & $h(x)\skl{\cdot,\cdot}
        =-\skl{D^2X(x)\skl{\cdot,\cdot},\nu}$ & $\hat
        h(p)\skl{\cdot,\cdot}=-\frac{D^2f(p)\skl{\cdot,\cdot}}{|Df(p)|}$
        & $h(x)\skl{v,w}=\hat h(p)\skl{dX\skl v,dX\skl w}$\\\hline
        Weingartenabbildung & $h(x)\skl{v,w} =g(v,Sw)$ & $\hat
        h(p)\skl{V,W} =\left\langle X,\hat SY\right\rangle$ & $\hat
        S\cdot dX =dX\cdot S$\\\hline
        Hauptkr\"ummungen & $Sv_i=\kappa_iv_i$ & $\hat
        SV_i=\kappa_iV_i$ & $V_i=dX\skl{v_i}$\\\hline
        Weingartengleichung & $D\nu=DX\cdot S$ & $D\hat\nu=\hat S$ &
        \\\hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    \rule{0mm}{3mm}\par
    Die Notation $\hat\cdot$ f\"ur Gr\"o\ss{}en im Zusammenhang mit
    Niveaufl\"achen ist eine ad hoc Notation. 
  \end{remark}
\end{sidewaystable}

Wir wollen nun die zweite Fundamentalform von Untermannigfaltigkeiten
ohne Zuhilfenahme einer Parametrisierung bestimmen. Die Wahl des
Vorzeichens von $\nu$ ist prinzipiell beliebig. Bei dieser Konvention
erhalten wir f\"ur die Niveaufl\"achendarstellung von schrumpfenden
Sph\"aren die \"au\ss{}ere Normale. 
\begin{lemma}\label{2ff niveau lem}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine parametrisierte
  Hyperfl\"ache, $U\subset\R^{n+1}$ eine Umgebung von $p=X(x)$ und
  $f\in C^2(U)$ mit $f\circ X\equiv0$ und $Df\neq0$ nahe $p$. Dann
  gilt
  \[h(x)\skl{v,w} =-\frac{D^2f(p)\skl{DX(x)\skl v,DX(x)\skl
      w}}{|Df(p)|} \quad\text{bez\"uglich}\quad \nu=-\frac{\nabla
    f}{|\nabla f|}\circ X.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir differenzieren $f\circ X\equiv 0$ und erhalten 
  \begin{align*}
    0=&\,f_l(X(x))X^l_i(x),\\
    0=&\,f_{,kl}(X(x))X^k_i(x)X^l_j(x) +f_l(X(x))X^l_{,ij}. 
  \end{align*}
  Wir benutzen $\nu(x)=-\frac{\nabla f(X(x))}{|\nabla f(X(x))|}$ und
  erhalten aus der Definition der zweiten Fundamentalform
  \[h_{ij}(x)|Df(X(x))| =-f_{,kl}f(X(x))X^k_i(x)X^l_j(x).\] Die
  Behauptung folgt. 
\end{proof}

Dies rechtfertigt die folgende Definition. 
\begin{definition}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale
  $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei $U\subset\R^{n+1}$ offen und $f\in
  C^2(U)$ mit $Df\neq0$ in $U$. Gelte $M\cap U=f^{-1}(\{0\})$. Dann
  definieren wir die zweite Fundamentalform $\hat h$, $M\cap\Omega\ni
  p\mapsto L^2(T_pM,T_pM;\R)$ und die Weingartenabbildung $\hat S$,
  $M\cap\Omega\ni p\mapsto\text{Hom}\,(T_pM,T_pM)$, durch
  \[\hat h(p)\skl{v,w} =\left\langle v,\hat S(p)w\right\rangle
  =-\frac{D^2f(p)\skl{v,w}}{|Df(p)|}\] f\"ur $v,w\in
  T_pM\subset\R^{n+1}$.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da wir $p$ auf ein Element in $L^2(T_pM,T_pM;\R)$ abbilden und
    somit der Zielraum von $p$ abh\"angig ist, erf\"ullt dies nicht
    die Definition einer Funktion. Dieses Problem l\"asst sich auf
    zwei Arten l\"osen: Man f\"uhrt Schnitte im Tangentialb\"undel ein
    (siehe nachfolgende Vorlesung) oder man betrachtet $\hat A$ als
    Funktion $M\cap\Omega\to L^2\left(\R^{n+1},\R^{n+1};\R\right)$ und
    definiert \[\hat A(p)\skl{v,w}:=-\frac{D^2f(p)\skl{\pi(x)\skl
        v,\pi(x)\skl w}}{|Df(p)|},\] wobei
    $\pi(x)\colon\R^{n+1}\to\R^{n+1}$ die orthogonale Projektion von
    $\R^{n+1}$ auf den Tangentialraum $T_{X(x)}M\subset\R^{n+1}$ ist,
    also $\pi(x)\skl v:=v -\skl{v,\nu(x)}\nu(x)$. \par W\"ahlt man $f$
    lokal als signierte Distanzfunktion zu $M$, so werden wir sehen,
    dass $D^2f(\nabla f,\cdot)=0$ gilt. Somit sind die Projektionen in
    diesem Falle nicht n\"otig.
  \item Nach Lemma \ref{2ff niveau lem} ist $\hat
    h(p)\skl{\cdot,\cdot}$ unabh\"angig von der speziellen Wahl von
    $f$ definiert.
  \item Nach Lemma \ref{2ff niveau lem} folgt
    \begin{align*}
      \skl{dX\skl v,dX\skl{Sw}} =&\,g(v,Sw) =h(v,w) =\hat h\skl{dX\skl
        v,dX\skl w}\\ 
      =&\,\left\langle dX\skl v,\hat S\cdot dX\skl
        w\right\rangle.      
    \end{align*}
    Also folgt \[\hat S\cdot dX=dX\cdot S.\] 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Um die Weingartengleichung auch f\"ur Niveaufl\"achen formulieren zu
k\"onnen, m\"ussen wir zun\"achst definieren, wie man eine nur auf
einer Untermannigfaltigkeit definierte Funktion ableitet.
\begin{definition}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale
  $C^1$-Untermannigfaltigkeit. Eine Funktion $f\colon M\to\R$
  hei\ss{}t von der Klasse $C^1$, falls $f\circ X\in C^1(\Omega)$
  f\"ur jede lokale $C^1$-Parametrisierung $X\colon\Omega\to W\subset
  M$ ist. Sei $p=X(x)$. Wir definieren die Ableitung von $f$ durch
  \begin{align*}
    Df(p)\colon T_pM\to&\,\R,\\
    Df(p)\skl{DX(x)\skl v}:=&\,D(f\circ X)(x)\skl v.
  \end{align*}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Definition von $Df$ benutzt $\im DX(x)=T_pM$, also, dass
    sich jeder Vektor in $T_pM$ als Bild unter $DX(x)$ schreiben
    l\"asst.
  \item Die Definition ist von der Parametrisierung unabh\"angig: Sei
    $\phi\in C^1\left(\hat\Omega,\Omega\right)$ ein Diffeomorphismus
    und $\hat X:=X\circ\phi$. Sei $x=\phi(y)$. Dann gilt nach
    Definition einerseits
    \begin{align*}
      Df(p)\skl{DX(x)\skl v} =&\,D(f\circ X)(x)\skl v \intertext{und
        andererseits} Df(p)\left\langle D\hat
        X\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w\right\rangle
      =&\,D\left(f\circ\hat X\right)\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w.
    \end{align*}
    Die Relation zwischen $v$ und $w$ ergibt sich aus 
    \begin{align*}
      DX(x)\skl
      v=&\,D\hat X\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w\\
      =&\,DX\left(\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\right)\cdot
      D\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w =DX(x)\cdot
      D\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w
    \end{align*}
    aufgrund der Injektivit\"at von $DX(\cdot)$ als
    $D\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w=v$. Also folgt die
    Wohldefiniertheit mit Hilfe der Kettenregel aus
    \begin{align*}
      D(f\circ X)(x)\skl v\overset!= &\,D\left(f\circ\hat X\right)
      \left(\phi^{-1}(x)\right) \skl w\\ =&\,D((f\circ
      X)\circ\phi)\left(\phi^{-1}(x)\right) \skl w\\
      =&\,D(f\circ X)\left(\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\right) \cdot
      D\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w\\ =&\,D(f\circ X)(x) \skl
      v.
    \end{align*}
    \item Ist $M=\R^n$, so stimmt diese Definition von Ableitung mit
      der \"ublichen Definition \"uberein. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Es gilt die Weingartengleichung f\"ur
  $C^2$-Untermannigfaltigkeiten \[D\hat\nu=\hat S.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition und mit $\hat S\cdot DX=DX\cdot S$ folgt
  \[D\hat\nu\cdot DX =D(\hat\nu\circ X) =D\nu =DX\cdot S =\hat S\cdot
  DX.\] Wir erhalten die Behauptung. 
\end{proof}

\vspace*{0.5ex} \fbox{Wir erhalten die restlichen Zeilen in der
  Tabelle in Bemerkung \ref{1st order tab rem}.}  \vspace*{1.5ex}

\begin{lemma}
  Sei $f\in C^2(U,\R)$ f\"ur eine offene Teilmenge
  $U\subset\R^{n+1}$. Sei $Df\neq0$ auf $f^{-1}(\{0\})$. Setze
  $M:=f^{-1}(\{0\})$. Sei $p\in M$. Dann ist die mittlere Kr\"ummung
  $\hat H$ von $M$ in $p$ durch
  \[\hat H(p) =-\divergenz\left(\frac{\nabla f}{|\nabla f|}\right)\]
  gegeben.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $\hat\nu =-\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$. Nun ist 
  \begin{align*}
    \hat H=&\,\hat h^i_i =\tr_{T_pM}(D\hat\nu)
    =-\tr_{T_pM}\left(D\frac{\nabla f}{|\nabla f|}\right)\umbruch\\
    =&\,-\tr_{\R^{n+1}}\left(D\frac{\nabla f}{|\nabla f|}\right)
    =-\divergenz\left(\frac{\nabla f}{|\nabla f|}\right).
  \end{align*}
  Beachte dabei, dass sich sowohl Spur als auch Divergenz, sofern
  nicht anders angegeben, auf alle $n+1$ Richtungen und nicht nur auf
  $T_pM\subset\R^{n+1}$ beziehen. Da $\left|\frac{\nabla f}{|\nabla
      f|}\right|=1$ ist, verschwindet jedoch $\left\langle
    D\frac{\nabla f}{|\nabla f|},\frac{\nabla f}{|\nabla
      f|}\right\rangle$ und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\Section{Die Distanzfunktion}
H\"aufig ist es n\"utzlich, eine Menge als Niveaufl\"ache einer
speziellen Funktion darzustellen, der signierten
Distanzfunktion. Beispielsweise impliziert nichtnegative mittlere
Kr\"ummung bei geeigneter Vorzeichenwahl $-\Delta d\ge0$. Dies kann
man beispielsweise bei der Konstruktion von Barrieren nutzen. 

\begin{remark}[Generalvoraussetzung]
  \label{rand glatt vor}
  In diesem Kapitel wollen wir stets annehmen, dass
  $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und von der Klasse $C^k$ mit
  $k\ge2$ ist. \par Definiere die (signierte) Distanzfunktion
  $d\colon\R^n\to\R$ durch \[d(x):=\dist(x,\R^n\setminus\Omega)
  -\dist(x,\Omega),\] so dass $d$ in $\Omega$ positiv ist. In $\Omega$
  gilt dann auch $d(x)=\dist(x,\partial\Omega)$. \par
  Sei $\epsilon>0$. Definiere eine $\epsilon$-Umgebung des Randes
  durch \[(\partial\Omega)_\epsilon:=\{x\in\R^n\colon
  |d(x)|<\epsilon\}.\]
\end{remark}

\begin{lemma}
  \label{tubenumg d lem}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}. Dann gibt es $\epsilon>0$, so
  dass $d$ in $(\partial\Omega)_\epsilon$ von der Klasse $C^k$
  ist. \par Solch eine Umgebung $(\partial\Omega)_\epsilon$ hei\ss{}t
  Tubenumgebung von $\partial\Omega$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\partial\Omega$. Dann d\"urfen wir nach einer Rotation
  und Verschiebung des Koordinatensystems ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $x_0=0$ gilt und dass es $\omega\colon\R^{n-1}\to\R$
  in $C^k$ mit $D\omega(0)=0$ und \[\Omega\cap B_r(0)
  =\left\{\left(\hat x,x^n\right)\colon x^n>\omega\left(\hat
      x\right)\right\}\cap B_r(0)\] f\"ur ein $r>0$ gibt. Sei
  $\rho>0$, so dass f\"ur alle $\hat x\in B^{n-1}_\rho(0)$ auch
  $\left(\hat x,\omega\left(\hat x\right)\right)\in B_r(0)$ gilt.
  Dann ist die \"au\ss{}ere Normale an $\Omega$ f\"ur $\hat x\in
  B_\rho(0)$ durch \[\nu(\hat x,\omega(\hat x))=\frac{(D\omega(\hat
    x),-1)}{\sqrt{1+|D\omega(\hat x)|^2}}\] gegeben. Setze $\nu$ durch
  $\nu\left(\hat x,x^n\right):=\nu(\hat x,\omega(\hat x))$ nach $\R^n$
  fort.\par Definiere die Abbildung
  \begin{align*}
    \Phi\colon&\,\R^{n-1}\times\R\to\R^n \intertext{durch}
    \Phi(\hat x,t)=&\,(\hat x,\omega(\hat x)) -t\nu(\hat x,\omega(\hat
    x)), 
  \end{align*}
  wobei wir die Formel f\"ur $\nu$ auch f\"ur $x\not\in B_\rho(0)$
  verwenden.  Nat\"urlich interessieren wir uns nur dort f\"ur die
  Abbildung $\Phi$, wo $\graph\omega$ mit $\partial\Omega$
  \"ubereinstimmt.  Wir k\"onnen diese Abbildung auch auf ganz
  $\partial\Omega\times\R$ durch $\Psi(x,t):=x-t\nu(x)$
  definieren. Wir haben sie oben lediglich mit Hilfe von $\omega$
  lokal in einer Karte dargestellt. \par Wir behaupten, dass $\Phi$
  nahe $(0,0)$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. Es gilt n\"amlich
  \begin{align*}
    \fracp{}{x^i}\Phi(\hat x,t) =&\,(e_i,\omega_i) -t\nu_i
    -t\nu_n\omega_i,\umbruch\\
    \left.\fracp{}{x^i}\Phi(\hat x,t)\right|_{(\hat x,t)=0}
    =&\,(e_i,0),\umbruch\\
    \left.\fracp{}t\Phi(\hat x,t)\right|_{(\hat x,t)=0}
    =&\,-\nu(0,0)=e_n, \intertext{also} D\Phi(0) =&\,
    \begin{pmatrix}
      \eins& 0\\ 
      0& 1
    \end{pmatrix}. 
  \end{align*}
  Somit ist $\Phi$ und daher auch $\Psi$ nach dem Satz \"uber
  implizite Funktionen ein lokaler Diffeomorphismus. Da
  $\partial\Omega$ kompakt ist, gibt es endlich viele Punkte, deren
  Umgebungen, in denen $\Psi$ (bzw.{} $\Phi$) ein Diffeomorphismus
  ist, nach Projektion auf die nicht-$t$-Komponenten bereits
  $\partial\Omega$ \"uberdecken. Somit ist $\Psi$ auf
  $\partial\Omega\times(-\delta,\delta)$ f\"ur ein $\delta>0$ ein
  lokaler Diffeomorphismus. Wir behaupten, dass (ggf.{} nach
  Verkleinerung von $\delta>0$) $\Psi$ sogar ein Diffeomorphismus auf
  sein Bild ist. W\"are dem nicht so, so w\"are die Injektivit\"at
  verletzt, es g\"abe also zu jedem $k\in\N$ auch
  $(x_k,t_k)\neq(y_k,\tau_k)\in\partial\Omega
  \times\left(-\frac1k,\frac1k\right)$ mit
  $\Psi(x_k,t_k)=\Psi(y_k,\tau_k)$. Nach \"Ubergang zu einer nicht
  umbenannten Teilfolge d\"urfen wir $x_k\to x\in\partial\Omega$
  annehmen. Wegen $|x_k-\Psi(x_k,t_k)|<\frac1k$ und
  $|y_k-\Psi(y_k,t_k)|<\frac1k$ folgt auch $y_k\to x$. Dies
  widerspricht aber der Tatsache, dass $\Psi$ bzw.{} $\Phi$ in einer
  geeigneten Umgebung von $(x,0)$ f\"ur einen beliebigen Punkte
  $x\in\partial\Omega$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. Nehme also ab
  jetzt an, dass $\Psi\colon\partial\Omega\times (-\epsilon,\epsilon)
  \to\R^n$ ein Diffeomorphismus auf sein Bild ist. \par Wir behaupten,
  dass f\"ur $t\in(-\epsilon,\epsilon)$
  \begin{equation}
    \label{exp abb d rel}
    \{x\in\R^n\colon d(x)=t\}
    =\Psi(\partial\Omega,t)
  \end{equation} gilt. F\"ur $t=0$ ist dies
  offensichtlich. Sei also $x\in\Psi(\partial\Omega,t)$ f\"ur ein $t$
  mit $0<|t|<\epsilon$. Da $|\nu|=1$ ist, folgt $|d(x)|\le |t|$. W\"are
  $|d(x)|<|t|$, so g\"abe es aufgrund der Kompaktheit ein
  $y\in\partial\Omega$ mit $|x-y|=|d(x)|<|t|$. Wir behaupten, dass
  $\frac{x-y}{|x-y|}=\pm\nu(y)$ gilt. Sei
  $\alpha\colon(-\delta,\delta)\to\partial\Omega$ eine $C^1$-Kurve mit
  $\alpha(0)=y$. Dann ist $|x-\alpha(\tau)|^2$ nach Definition von $d$
  f\"ur $\tau=0$ minimal. Es gilt also \[0=2\langle
  x-\alpha(0),-\alpha'(0)\rangle =-2\langle x-y,\alpha'\rangle.\] Da
  also $x-y$ zu einem beliebigen Tangentialvektor $\alpha'$ in $y$
  senkrecht steht folgt die Behauptung. Somit ist aber f\"ur ein
  geeignetes
  Vorzeichen \[\Psi(y,\pm|x-y|)=x \in\Psi(\partial\Omega,t).\] Dies
  ist jedoch nicht m\"oglich, da $|x-y|<|t|$ gilt und da $\Psi$ auf
  $\partial\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)$ ein Diffeomorphismus
  ist. Somit folgt \glqq$\supseteq$\grqq{} in \eqref{exp abb d
    rel}.\par Die umgekehrte Inklusion funktioniert analog. F\"ur
  $x\in\R^n$ mit $|d(x)|<\epsilon$ und $d(x)\ne0$ finden 
  wir wie oben einen n\"achsten Punkt $y\in\partial\Omega$ mit
  Normalenvektor $\pm\frac{x-y}{|x-y|}$. Dann gilt $\Psi(y,d(x))=x$,
  da das Vorzeichen vor $t$ in der Definition von $\Psi$ geeignet
  gew\"ahlt ist bzw.{} da nach Definition der \"au\ss{}eren Normalen
  $x+t\nu(x)\not\in\Omega$ f\"ur kleine $t>0$ gilt. Es folgt \eqref{exp
    abb d rel}. \par 
  Damit ist $d(x)=\pi_n\Psi^{-1}(x)$, wobei $\pi_n$ die Projektion auf
  die $n$-te bzw.{} $t$-Komponente bezeichnet.\par Ist
  $\partial\Omega\in C^k$, so ist $\nu\in C^{k-1}$, $\Psi\in C^{k-1}$
  und daher auch $d\in C^{k-1}$. \par 
  Da $d$ die Abstandsfunktion zu einer Menge ist, folgt $|\nabla d|\le
  1$. Nun gilt $d(x-t\nu) =\pi_n\Psi^{-1}(x-t\nu)
  =\pi_n(x,t)=t$. Da also
  bereits $\dt d(x-t\nu)=1=\nabla d(x-t\nu)\langle-\nu\rangle$ gilt,
  verschwindet die zu $\nu$ orthogonale Komponente von $\nabla d$ und
  es gilt $\nabla d(x-t\nu)=-\nu(x)$. Wegen $\nu\in C^{k-1}$ folgt also
  auch $d\in C^k$. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{tuben bew bem}
  Im Beweis des Lemmas haben wir noch folgendes gezeigt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Psi\colon\partial\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\to\R^n$
    mit $(x,t)\mapsto x-t\nu(x)$ ist ein $C^{k-1}$ Diffeomorphismus auf
    sein Bild, falls $\epsilon>0$ klein genug ist.
  \item In $\Omega_\epsilon$ gilt $|\nabla d|=1$. 
  \item $\nabla d(\Psi(x,t))=-\nu(x)$. 
  \item Zu $y\in(\partial\Omega)_\epsilon$ gibt es stets einen
    eindeutig bestimmten Punkt $x=\pi(y)\in\partial\Omega$, der
    $|\pi(y)-y|$ minimiert. Es gilt also $d(y)=|\pi(y)-y|$ f\"ur
    $y\in\Omega\cap(\partial\Omega)_\epsilon$.
  \item Daraus folgt auch $\ol{B_{d(y)}(y)}\cap\partial\Omega
    =\{\pi(y)\}$ f\"ur $x\in\Omega\cap(\partial\Omega)_\epsilon$.    
  \item Es gilt $\pi(\Psi(x,t))=x$ f\"ur $x\in\partial\Omega$ und
    $|t|<\epsilon$. 
  \item Es gilt $d(\Psi(x,t))=t$ f\"ur $x\in\partial\Omega$ und
    $|t|<\epsilon$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Um die zweiten Ableitungen der Distanzfunktion mit der Geometrie des
Randes in Verbindung zu bringen, ben\"otigen wir ein paar
Vorbereitungen.
\begin{lemma}
  \label{gleicher tang grad lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ von der Klasse $C^1$. Seien
  $f,g\colon\R^n\to\R$ mit $f=g$ auf $\partial\Omega$. Sei
  $x_0\in\partial\Omega$ und $\xi\in T_{x_0}\partial\Omega$, \dh sei
  $\xi$ im Punkte $x_0$ ein Tangentialvektor an $\partial\Omega$. Dann
  gilt \[\langle \nabla(f-g)(x_0),\xi\rangle\equiv
  D(f-g)(x_0)\langle\xi\rangle=0.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach einer Rotation und Translation des Koordinatensystems d\"urfen
  wir annehmen, dass $x_0=0$ gilt und dass lokal in der N\"ahe des
  Ursprungs \[\Omega=\{(\hat x,x^n)\colon x^n>\omega(\hat x)\}\] f\"ur
  eine $C^1$-Funktion $\omega\colon\R^n\to\R$ mit $D\omega(0)=0$
  gilt. Weiterhin d\"urfen wir annehmen, dass $\xi=e_1$ gilt. Gelte
  zus\"atzlich ohne Einschr\"ankung $g\equiv0$, denn sonst k\"onnen
  wir das Lemma f\"ur $f-g$ und $0$ statt $f$ und $g$ zeigen.\par
  Definiere $\alpha\colon(-\epsilon,\epsilon)\to\R^n$ durch
  $\alpha(t)=(te_1,\omega(te_1))$. Dann ist $\alpha'(0)=e_1=\xi$ und
  es gilt $f\circ\alpha\equiv0$, falls $\epsilon>0$ so klein ist, dass
  $\alpha$ in einer Umgebung des Ursprungs bleibt, in der
  $\partial\Omega$ als $\graph\omega$ dargestellt ist. Nach
  Kettenregel erhalten wir daraus \[Df(\alpha(t))
  \langle\alpha'(t)\rangle=0\] f\"ur alle
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$. F\"ur $t=0$ erhalten wir die Behauptung.
\end{proof}

Wir erinnern an die Definition der Hauptkr\"ummungen in einer
speziellen Situation. 
\begin{remark}
  \label{rem hauptkr}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ von der Klasse $C^2$.  Sei
  $0\in\partial\Omega$ und gelte in der N\"ahe des
  Ursprungs \[\Omega=\{(\hat x,x^n)\colon x^n>\omega(\hat x)\}\] f\"ur
  eine $C^2$-Funktion $\omega$ mit $D\omega(0)=0$. Dann stimmen die
  $n-1$ Hauptkr\"ummungen $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}$ von
  $\partial\Omega$ in $0$ mit den Eigenwerten von $D^2\omega(0)$
  \"uberein. Ist die obige geometrische Situation nicht gegeben, so
  stellt man sie zun\"achst durch eine Rotation und eine Translation
  her. 
\end{remark}

Aus dem folgenden Lemma ergibt sich nochmals, dass die
Hauptkr\"ummungen des Randes nicht von der n\"otigen Translation und
Rotation abh\"angen, da die Eigenwerte von $D^2d$ unter diesen
Operationen invariant sind.
\begin{lemma}
  \label{d hauptkr lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ von der Klasse $C^2$. Sei $d\colon\R^n\to\R$
  die signierte Distanzfunktion zu $\partial\Omega$. Dann sind die
  Eigenwerte von $-D^2d$ in einem Randpunkt durch die
  Hauptkr\"ummungen von $\partial\Omega$ und $0$ gegeben. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $|Dd|\le 1$. Im Beweis von Lemma \ref{tubenumg d lem} haben
  wir bereits gesehen, dass in $\Omega_\epsilon$ sogar $|Dd|=1$ gilt.
  Wir differenzieren das Quadrat dieser Gleichung und erhalten
  $0=D^2d\langle Dd\rangle\equiv \sum\limits_{j=1}^n d_{ij}d_j$. Damit
  ist der Normalenvektor $\nu=-\nabla d$ ein Eigenvektor von $D^2d$
  zum Eigenwert $0$. \par
  F\"ur den Vergleich der Eigenwerte mit den anderen Hauptkr\"ummungen
  w\"ahlen wir ein Koordinatensystem wie in Bemerkung \ref{rem
    hauptkr}. Zus\"atzlich d\"urfen wir nach einer weiteren Rotation
  annehmen, dass $D^2\omega(0)$ diagonal ist. Um die zweiten
  Ableitungen von $d$ zu bestimmen, benutzen wir, dass $\nabla d=-\nu$
  auf $\partial\Omega$ gilt. Es ist $-\nu=\frac{(-D\omega,1)}
  {\sqrt{1+|D\omega|^2}}$ auf $\partial\Omega$. Wenden wir Lemma
  \ref{gleicher tang grad lem} komponentenweise an, so sehen wir, dass
  $D^2d\langle\xi\rangle =-D\tilde\nu\langle\xi\rangle$ f\"ur
  beliebige Tangentialvektoren $\xi\in T_0\partial\Omega$ gilt, wobei
  wir f\"ur $\tilde\nu$ eine beliebige $C^1$-Fortsetzung von $\nu$
  w\"ahlen d\"urfen. Setze \[-\tilde\nu(\hat
  x,x^n):=\frac{(-D\omega(\hat x),1)} {\sqrt{1+|D\omega|^2}}.\] Wir
  erhalten \[D(-\tilde\nu)(0) =
  \begin{pmatrix}
    (-\omega_{ij})&(0)\\
    (0)&0
  \end{pmatrix}.
  \]
  Die Behauptung folgt. \par Wir bemerken, dass sich die
  $0$-Eintr\"age von $D(-\tilde\nu)$ bei einer anderen
  Fortsetzung von $\nu$ \"andern k\"onnen. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}.  Sei
  $0\in\partial\Omega$.  Sei $D^2d(0)$ in einem Koordinatensystem wie
  im Beweis von Lemma \ref{d hauptkr lem} diagonal,
  \[-D^2d(0)=\diag\{\lambda_1(0),\ldots, \lambda_{n-1}(0),0\}.\] Sei
  $(\partial\Omega)_\epsilon$ eine Tubenumgebung des Randes. Dann gilt
  f\"ur $t\in(-\epsilon,\epsilon)$
  \[D^2d(te_n)
  =\diag\left\{\frac{-\lambda_1(0)}{1-t\lambda_1(0)},\ldots,
    \frac{-\lambda_n(0)}{1-t\lambda_n(0)},0\right\}.\] Allgemein gilt
  somit f\"ur $y\in\Omega_\epsilon$, dass $D^2d(y)$ die
  Eigenwerte \[\frac{-\lambda_1(\pi(y))}{1-d(y)\lambda_1(\pi(y))},\ldots,
  \frac{-\lambda_n(\pi(y))}{1-d(y)\lambda_n(\pi(y))},0\] besitzt,
  wobei $\pi(y)$ die Projektion auf den n\"achsten Punkt in
  $\partial\Omega$ ist und $\lambda_i(\pi(y))$, $1\le i\le n-1$, die
  Hauptkr\"ummungen von $\partial\Omega$ in $\pi(y)$ sind.
\end{lemma}
Das folgende Argument haben wir von G. Bellettini gelernt. 
\begin{proof}[Beweis]
  Aus dem Beweis von Lemma \ref{tubenumg d lem}, siehe Bemerkung
  \ref{tuben bew bem}, folgt, dass $\pi$ in $\Omega_\epsilon$
  wohldefiniert ist. \par Sei zun\"achst $k\ge3$.  Aus $|\nabla
  d|^2=1$ erhalten wir
  \[0=\sum\limits_{l=1}^n d_{il}d_l\quad\text{und}\quad
  0=\sum\limits_{l=1}^n d_{ilj}d_l+\sum\limits_{l=1}^nd_{il}d_{lj}.\]
  Setze $D(t):=\left(d_{ij}(x-t\nu(x))\right)_{1\le i,j\le n}$ f\"ur
  $x\in\partial\Omega$. Dann folgt
  \begin{align*}
    \dot D(t) =&\,\left(\sum\limits_{l=1}^n -\underbrace{d_{ijl}(x-
        t\nu(x))}_{=d_{ilj}(x-t\nu(x))}
      \underbrace{\nu_l(x)}_{\genfrac
        {}{}{0pt}{}{=-d_l(x)} {=-d_l(x-t\nu(x))}}\right)_{i,j}\umbruch\\
    =&\,-\left(\sum\limits_{l=1}^n
      d_{il}d_{lj}(x-t\nu(x))\right)_{i,j} =-D^2(t).
  \end{align*}
  Die gew\"ohnliche Differentialgleichung $\dot f(t)=-f^2(t)$ mit
  $f(0)=a$ wird durch $f(t)=\frac a{1+ta}$ gel\"ost. Beachte, dass
  $d(x-t\nu(x))=t$ gilt. Setze $y=x-t\nu(x)$ und spezialisiere auf den
  Fall $x=0$. Somit erf\"ullen die Eintr\"age der Diagonalmatrix die
  Differentialgleichung mit dem gew\"unschten Anfangswert f\"ur
  $t=0$. Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes f\"ur L\"osungen
  gew\"ohnlicher Differentialgleichungen mit Lipschitz stetiger
  rechter Seite folgt die erste Behauptung f\"ur $k\ge3$. \par Durch
  Approximation erh\"alt man die Behauptung auch f\"ur
  $k\ge2$. Einige Details dazu sind nachfolgend aufgef\"uhrt. \par
  Da die Eigenwerte von $D^2d$ sich unter einer Rotation oder
  Translation des Koordinatensystems nicht \"andern, folgt die
  allgemeine Behauptung aus der Behauptung im diagonalen Fall.
\end{proof}

Das folgende Lemma zeigt, dass die Menge, in der eine approximierende
Funktion $\Psi_\epsilon$ von $\Psi$ ein Diffeomorphismus ist, sich im
Grenzwert nicht verkleinert. 
\begin{lemma} 
  \stern Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $\phi\colon\Omega\to\R^n$
  ein Diffeomorphismus auf $\im\phi$. Sei $K\Subset\Omega$. Dann gibt
  es ein $\epsilon>0$, so dass jede $C^1$-Abbildung
  $\psi\colon\Omega\to\R^n$ mit $\Vert \phi-\psi
  \Vert_{C^1(\Omega)}<\epsilon$ einen Diffeomorphismus $\psi\colon
  K\to\psi(K)$ liefert.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $K$ ohne Einschr\"ankung kompakt. F\"ur $\epsilon>0$ klein genug
  folgt $\det d\psi\neq0$ in $K$. Somit ist $\psi$ ein lokaler
  Diffeomorphismus. Wir m\"ussen also noch nachweisen, dass $\psi$
  auch injektiv ist. Aufgrund der Kompaktheit von $K$ gibt es ein
  $\delta>0$ (Le\-bes\-gue\-zahl), so dass f\"ur jedes $x\in K$ die
  Abbildung $\psi|_{B_\delta(x)}$ ein Diffeomorphismus auf ihr Bild
  ist. Seien also $x_0\ne y_0\in K$ mit $\psi(x_0)=\psi(x_0)$. Dann
  gilt $|x_0-y_0|\ge\delta$. Die Menge \[(\phi\times\phi)\{(x,y)\in
  K\times K\colon |x-y|\ge\delta\}\] ist als stetiges Bild einer
  kompakten Menge selbst wieder kompakt. Dabei haben wir
  $(\phi\times\phi)(x,y) =(\phi(x),\phi(x))$ verwendet. Da $\phi$
  injektiv ist, hat diese Menge einen positiven Abstand $\zeta>0$ zur
  Diagonalen $\{(x,x)\colon x\in\R^n\}$. Somit folgt
  $|\phi(x_0)-\phi(y_0)|\ge\zeta>0$. Wir erhalten
  \begin{align*}
    0=&\,|\psi(x_0)-\psi(y_0)|\umbruch\\
    =&\,|(\psi(x_0)-\phi(x_0)) +(\phi(x_0)-\phi(y_0))
    +(\phi(y_0)-\psi(y_0))|\umbruch\\  
    \ge&\,|\phi(x_0)-\phi(y_0)| -|\psi(x_0)-\phi(x_0)|
    -|\phi(y_0)-\psi(y_0)|\umbruch\\
    \ge&\,\zeta-2\epsilon. 
  \end{align*}
  Ist $\epsilon>0$ klein genug gew\"ahlt, so erhalten wir einen
  Widerspruch. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \stern Approximieren wir den Rand in $C^2$, so erhalten wir f\"ur
  die zugeh\"origen Diffeomorphismen $\Psi_\epsilon\to\Psi$ in
  $C^1$. Sei $x$ aus $\partial\Omega$ beliebig und $y=x-t\nu(x)$ f\"ur
  ein kleines $t$. Dann ist $x=\pi_1\Psi^{-1}(y)$ und wir
  erhalten \[\nabla d(y)=\nabla d(x-t\nu(x)) =\nu(x)
  =\nu\left(\pi_1\Psi^{-1}(y)\right).\] Die Rechnung
  \begin{align*}
    &\,|\phi_\epsilon\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi(x)|\umbruch\\
    \le&\,|\phi_\epsilon\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi_\epsilon(x)|
    +|\phi\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi(x)|\umbruch\\
    \le&\,\Vert\phi_\epsilon-\phi\Vert_{C^0}
    +|\phi\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi(x)|
  \end{align*}
  zeigt, dass $\phi_\epsilon\to\phi$ und $\psi_\epsilon\to\psi$ in
  $C^0$ auch $\phi_\epsilon\circ\psi_\epsilon\to\phi\circ\psi$
  impliziert. Auf Kompakta ist das Stetigkeitsmodul von $\phi$ (die
  Wahl von $\delta$ in Abh\"angigkeit von $\epsilon$ in der \"ublichen
  Stetigkeitsdefinition) gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. Daher
  konvergiert der zweite Term auch lokal gleichm\"a\ss{}ig in $x$
  gegen Null. Analog zeigt man, dass auch $C^1$-Konvergenz unter
  Verkettungen erhalten ist, wobei man noch die Stetigkeit der
  Multiplikation ben\"otigt. \par
  Wegen $\Psi_\epsilon\to\Psi$ in $C^1$ folgt
  $\pi_2\circ\Psi^{-1}_\epsilon =d_\epsilon\to d$ in $C^1$. Wir gehen
  nun analog zum Beweis von Lemma \ref{tubenumg d lem}
  vor. Aus \[\nabla d_\epsilon
  =\nu_\epsilon\circ\pi_1\circ\Psi^{-1}_\epsilon
  \to\nu\circ\pi_1\circ\Psi^{-1} =\nabla d\quad\text{in }C^1\]
  erhalten wir lokal auch $d_\epsilon\to d$ in $C^2$.
\end{remark}

\begin{corollary}
  \label{H Delta d cor}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}. Dann gilt f\"ur $y$ in einer
  Tubenumgebung $(\partial\Omega)_\epsilon\cap\Omega$ \[-\Delta
  d(y)\ge H(\pi(y)),\] wobei
  $\pi\colon(\partial\Omega)_\epsilon\to\partial\Omega$ die Projektion
  auf den n\"achsten Randpunkt ist.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Aussage gilt f\"ur $y\in\partial\Omega$ mit Gleichheit und folgt
  allgemein aus \[\frac d{dt}\left(\frac{\lambda_i(\pi(y))}
    {1-t\lambda_i(\pi(y))}\right)\ge0.\qedhere\]
\end{proof}

\Section{Die Gau\ss{}kr\"ummung integrieren}
Im n\"achsten Abschnitt werden wir mit Hilfe des mittleren
Kr\"ummungsflusses die isoperimetrische Ungleichung f\"ur konvexe
Hyperfl\"achen im $\R^3$ beweisen. Dabei ben\"otigen wir eine untere
Absch\"atzung an $\int\limits_MK$. Diese behandeln wir nun. 

\begin{lemma}
  \label{int K lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $u\in
  C^2\left(\ol\Omega\right)$ strikt konvex und $x\mapsto Du(x)$ ein
  Diffeomorphismus auf $Du(\Omega)$. Sei $M=\graph
  u\subset\R^{n+1}$. Dann gilt \[\int\limits_M K\,d\mu =|\nu(M)|,\]
  wobei $K$ die Gau\ss{}kr\"ummung von $M$ bezeichnet. 
\end{lemma}

\begin{remark}
  Die Abbildung $x\mapsto Du(x)$ ist f\"ur strikt konvexe Funktionen
  $u$ lokal stets ein Diffeomorphismus (Details: \"Ubung). Global ist
  dies f\"ur konvexe Mengen $\Omega$ ebenfalls richtig, so dass diese
  Voraussetzung in Anwendungen h\"aufig automatisch erf\"ullt ist. 
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{int K lem}]
  Wir stellen die beiden Seiten der behaupteten Gleichheit zun\"achst
  in geeigneter Form dar: Es gilt f\"ur die linke
  Seite \[\int\limits_MK\,d\mu =\int\limits_\Omega\fracd{\det
    D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}}
  \cdot\left(1+|Du|^2\right)^{1/2}\,dx.\] Die Abbildung $\R^n\ni
  y\mapsto\frac y{\sqrt{1+|y|^2}}\in B_1\subset\R^n$ ist ein
  Diffeomorphismus (kleine \"Ubung). Somit ist auch \[\Omega\ni
  x\mapsto\frac{\nabla u(x)}{\sqrt{1+|Du(x)|^2}}\in B_1\] ein
  Diffeomorphismus. Gleichzeitig stimmen $\frac{\nabla
    u}{\sqrt{1+|Du|^2}}$ und die ersten $n$ Komponenten von $\nu$
  \"uberein. Sind die ersten $n$ Komponenten von $\nu$ gleich $z\in
  B_1\subset\R^n$, so erhalten wir \[\nu
  =\left(z,\sqrt{1-|z|^2}\right)^T \equiv (z,f(z))^T.\] Somit erhalten
  wir f\"ur den Ausdruck auf der rechten Seite der behaupteten
  Gleichheit
  \begin{align*}
    |\nu(M)|=&\,\int\limits_{\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|Du|^2}}(\Omega)}
    \sqrt{1+|Df|^2}\,dz
    =\int\limits_{\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|Du|^2}}(\Omega)}
    \frac1{\sqrt{1-|z|^2}}\,dz,\umbruch \intertext{da}
    f(z)=&\,\sqrt{1-|z|^2},\umbruch\\
    f_i=&\,\frac{-z_i}{\sqrt{1-|z|^2}}\umbruch \intertext{und}
    1+|Df|^2=&\, 1+\frac{|z|^2}{1-|z|^2} =\frac1{1-|z|^2}.
  \end{align*}
  Wir m\"ochten nun die Transformationsformel f\"ur Integrale
  benutzen. Definiere dazu
  \[\phi(x) =\frac{\nabla u(x)}{\sqrt{1+|Du(x)|^2}} \equiv z.\]
  Es folgt
  \begin{align*}
    \phi^i_j\equiv&\,\fracp{\phi^i}{x^j} =\fracp{}{x^j}
    \frac{u^i}{\sqrt{1+|Du|^2}} =\frac{u^i_j}{\sqrt{1+|Du|^2}}
    -\frac{u^iu_{jk}u^k}{\sqrt{1+|Du|^2}^3}\umbruch\\
    =&\,\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}^3}\cdot
    u_{jk}\left(\delta^{ki}\left(1+|Du|^2\right)
      -u^iu^k\right),\umbruch\\
    \det D\phi =&\,\left(1+|Du|^2\right)^{-\frac{3n}2} \cdot\det D^2u
    \cdot\det\left(\delta^{ki}\left(1+|Du|^2\right)
      -u^iu^k\right)\umbruch\\
    =&\,\left(1+|Du|^2\right)^{-\frac{3n}2}\cdot\det
    D^2u\cdot\left(1+|Du|^2\right)^{n-1}\umbruch\\
    =&\,\left(1+|Du|^2\right)^{-\frac{n+2}2}\cdot\det D^2u
    =K>0,\umbruch\\
    \frac1{\sqrt{1-|\phi(x)|^2}}
    =&\,\frac1{\sqrt{1-\frac{|Du|^2}{1+|Du|^2}}} =\sqrt{1+|Du|^2}.
  \end{align*}
  Mit $z=\phi(x)$ und $\frac{dz}{dx}=\phi'$ erhalten wir nach
  Integraltransformationsformel \[\int\limits_\Omega \det D\phi\cdot
  h(\phi(x))\,dx =\int\limits_{\phi(\Omega)} h(z)\,dz.\] Wenden wir
  dies auf $h(z) =\frac1{\sqrt{1-|z|^2}}$ an, so erhalten
  wir \[\int\limits_\Omega K\cdot\sqrt{1+|Du|^2}\,dx
  =\int\limits_{\phi(\Omega)} \frac1{\sqrt{1-|z|^2}}\,dz\] wie
  behauptet.
\end{proof}

F\"ur das n\"achste Korollar ben\"otigen wir noch die Surjektivit\"at
von $\nu$ bei geschlossenen $C^1$-Untermannigfaltigkeiten. 
\begin{lemma}
  \label{nu surj lem}
  Sei $M^n\subset\R^{n+1}$ eine geschlossene
  $C^1$-Untermannigfaltigkeit. Dann ist \[\nu\colon M^n\to\S^n\]
  surjektiv.
\end{lemma}
F\"ur eine kompakte immersierte $C^1$-Hyperfl\"ache gilt dieses
Resultat im Allgemeinen nicht mehr. Die Figur \glqq$\infty$\grqq{} ist
ein Gegenbeispiel daf\"ur.
\begin{proof}[Beweis]
  Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $M$
  zusammenh\"angend ist. Sonst betrachten wir eine
  Zusammenhangskomponente von $M$. Es ist bekannt, dass
  $\R^{n+1}\setminus M$ aus genau zwei Zusammenhangskomponenten
  besteht. Ist $M$ hom\"oomorph zur Sph\"are, so benutzt man daf\"ur
  den Abbildungsgrad, siehe z.\,B.{} \cite{OSDiffTopo}, sonst
  Differentialtopologie
  \cite{SamelsonOrientability,LimaJordanBrouwerSmooth}.  Da $M$
  beschr\"ankt ist, ist genau eine dieser beiden
  Zusammenhangskomponenten von $\R^{n+1}\setminus M$
  unbeschr\"ankt. Seien $Z_1$ und $Z_2$ diese beiden
  Zusammenhangskomponenten, $Z_2$ sei unbeschr\"ankt. Dann gilt auch
  $\partial Z_1=\partial Z_2=M$. \par (Ein Blick auf die geh\"ornte
  Sph\"are von W. Alexander, die hom\"oomorph zu $\S^2$ ist, mag
  verdeutlichen, dass solch ein Resultat nichttrivial ist. Im
  Komplement dieser Sph\"are gibt es nicht kontrahierbare
  $\S^1$-en.) \par Wir m\"ochten nun eine Normale ausw\"ahlen, die
  \"uberall in einem noch zu definierenden Sinne in die
  unbeschr\"ankte Komponente weist: H\"atte $Z_1$ einen $C^2$-Rand,
  k\"onnten wir den negativen Gradienten der signierten
  Distanzfunktion w\"ahlen. Nun w\"ahlen wir in jedem Punkt $x\in M$
  die Normale $\nu(x)$, die $x+t\nu(x)\in Z_2$ f\"ur kleine $t>0$
  erf\"ullt. An einer lokalen Graphendarstellung \"uber einem
  zusammenh\"angenden Gebiet sieht man, dass die zusammenh\"angenden
  Mengen ober- und unterhalb des Graphen jeweils Teilmengen von $Z_1$
  oder $Z_2$ sein m\"ussen. Weiterhin liegt $Z_1$ oberhalb von $M$ und
  $Z_2$ unterhalb von $M$ oder umgekehrt, da sonst nicht $\partial
  Z_1=\partial Z_2=M$ gelten kann. Somit sieht man, dass das
  Vorzeichen der Normalen wohldefiniert (es gibt also immer eine
  solche Vorzeichenwahl) und die Normale stetig ist.\par
  Anschaulich gesprochen fixiert man nun ein $p\in\S^n$ und verschiebt
  eine Hyperebene mit Normale $p$ von Unendlich her kommend in
  Richtung $-p$, bis sie in einem Punkt $M$ ber\"uhrt. Dort hat $M$
  dann die Normale $p$. \par Formal setzt man dies wie folgt um: Sei
  $p\in\S^n$ fest. Betrachte die stetige Funktion $\Phi$ mit \[M\ni
  x\mapsto\langle x,p\rangle\in\R.\] Dann existiert $x_0\in M$, so
  dass $\Phi$ in $x_0$ maximal ist. Aufgrund der Maximalit\"at folgt
  $\langle x,p\rangle\le\langle x_0,p\rangle$ bzw.{} $\langle
  x-x_0,p\rangle\le0$ f\"ur alle $x\in M$.
  \par Sei $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M$ eine $C^1$-Kurve
  mit $\gamma(0)=x_0$. Aufgrund der Maximalit\"at von $\Phi$ in $x_0$
  gilt $\Phi(\gamma(t))\le\Phi(x_0)$ f\"ur alle
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$ mit Gleichheit f\"ur $t=0$. Es
  folgt \[0=\left.\frac d{dt}\Phi(\gamma(t))\right|_{t=0}
  =\langle\dot\gamma(0),p\rangle.\] Somit steht jeder Tangentialvektor
  an $M$ in $x_0$ senkrecht auf $p$. Also gilt $\nu(x_0)=\pm p$. F\"ur
  jedes $\lambda>0$ gilt \[\langle x_0+\lambda p,p\rangle >\langle
  x_0,p\rangle.\] Somit liegt keiner der Punkte $x_0+\lambda p$,
  $\lambda>0$, auf $M$ und daher weist $p$ in Richtung der
  unbeschr\"ankten Komponente von $\R^{n+1}\setminus M$. Daher folgt
  $\nu(x_0)=+p$. Da $p\in\S^n$ beliebig war, ist $\nu$ surjektiv.
\end{proof}

Die n\"achste Folgerung gilt auch ohne die strikte
Konvexit\"atsannahme, falls die Mannigfaltigkeit topologisch eine
Sph\"are ist. Dies folgt aus dem Satz von Gau\ss{}-Bonnet.
\begin{corollary}
  \label{int K cor}
  Sei $M^n\subset\R^{n+1}$ eine zusammenh\"angende strikt konvexe
  geschlossene $n$-dimensionale $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Dann
  gilt \[\int\limits_MK =|\S^n| =(n+1)\omega_{n+1}.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren den Beweis dieses Satzes unter der zus\"atzlichen
  Annahme, dass $M$ der Rand einer konvexen Menge
  $K\subset\R^{n+1}$ ist. Diese Annahme ist nicht n\"otig, wir
  werden dies jedoch erst in Abschnitt \ref{globale konv sec} zeigen.
  \par 
  Nach Lemma \ref{nu surj lem} ist $\nu\colon M\to\S^n$ surjektiv. Die
  lokale Injektivit\"at der Normalen $\nu$ folgt mit Hilfe der
  Normalform f\"ur Hyperfl\"achen aus der strikten Konvexit\"at. Da
  $M$ der Rand einer konvexen Menge $K$ ist, liefert eine
  einfache geometrische \"Uberlegung die Injektivit\"at von $\nu\colon
  M\to\S^n$. Lokal in Graphendarstellung ist $Du$ ein
  Diffeomorphismus. (In einem noch genauer zu definierenden Sinne ist
  damit sogar $\nu\colon M\to\S^n$ ein Diffeomorphismus.) Wir bemerken
  zun\"achst, dass sich Lemma \ref{int K lem} auch auf messbare
  Teilmengen von $\Omega$ bzw.{} $M$, da sind es genau die Bilder
  messbarer Teilmengen von $\Omega$, anwenden l\"a\ss{}t. (Alternativ
  kann man $M$ bis auf eine $n$-dimensionale Nullmenge, die noch
  formal zu definieren w\"aren, zerlegen und sich \"uberlegen, dass
  diese Nullmengen auf beiden Seiten der behaupteten Gleichheit keinen
  Beitrag liefern.) Zu jedem Punkt $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U$
  mit $p\in U$, so dass Lemma \ref{int K lem} auf $M\cap U$ anwendbar
  ist. Aufgrund der Kompaktheit von $M$ \"uberdecken endlich viele
  davon bereits $M$: \[M=\bigcup\limits_{i=1}^NU_i.\] Wir setzen nun
  $M_i:= U_i\setminus \bigcup\limits_{j=1}^{i-1}U_j$, $1\le i\le N$,
  und erhalten eine endliche disjunkte \"Uberdeckung von $M$ durch
  messbare Mengen, $M=\bigcup\limits_{i=1}^NM_i$. Wenden wir nun Lemma
  \ref{int K lem} auf jede dieser Mengen an, so erhalten wir
  \[\int\limits_MK\,d\mu =\sum\limits_{i=1}^N\int\limits_{M_i}K\,d\mu
  =\sum\limits_{i=1}^N|\nu(M_i)|
  =\left|\nu\left(\bigcup\limits_{i=1}^N M_i\right)\right| =|\nu(M)|
  =|\S^n|,\] da die Mengen $M_i$ paarweise disjunkt sind und $\nu$ ein
  Diffeomorphismus ist. \par Die zweite Gleichheit in der Behauptung
  ist aus Analysis II bekannt.
\end{proof}

H\"aufig ist die genaue Schranke beim n\"achsten Resultat gar nicht
wichtig. 
\begin{corollary}
  Sei $u\in C^2(\R^n)$ strikt konvex und $M:=\graph u$. Dann
  gilt \[\int\limits_M K\,d\mu \le\frac12|\S^n|.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $\R^n$ eine konvexe Menge ist, ist $\nu\colon\R^n\to\S^n$ ein
  Diffeomorphismus auf eine Teilmenge der offenen unteren
  Hemisph\"are. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  \label{ganz graph keine pos Schranke HK kor}
  Sei $u\colon\R^n\to\R$ eine $C^2$-Funktion. Dann gibt es keine
  positive untere Schranke $\epsilon>0$ f\"ur die Hauptkr\"ummungen
  von $M=\graph u$, \dh es gibt kein $\epsilon>0$ mit
  $\lambda_i((x,u(x)))\ge\epsilon>0$ f\"ur alle $x\in\R^n$ und alle
  $1\le i\le n$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Angenommen, es g\"abe doch solch eine Funktion $u$.  $u$ oder $-u$
  (bei Wahl der oberen Normalen) ist eine strikt konvexe Funktion. Sei
  ohne Einschr\"ankung $u$ strikt konvex. Dann gilt
  $K[u]\ge\epsilon^n>0$. Es folgt
  \[\frac12|\mathbb S^n|\ge \int\limits_MK\,d\mu\ge \int\limits_{\R^n}
  \epsilon^n\,dx.\] Widerspruch.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $u\in C^2(\R^n)$ strikt konvex. Dann ist $K\in L^1(\R^n)$ oder
  $K\in L^1(\graph u)$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus dem Beweis von Korollar \ref{ganz graph keine
    pos Schranke HK kor}.
\end{proof}

\Section{Mittlerer Kr\"ummungsfluss}
Man kann den mittleren Kr\"ummungsfluss f\"ur Mannigfaltigkeiten
unterschiedlicher Kodimension in anderen Mannigfaltigkeiten
untersuchen, wir beschr\"anken uns hier jedoch auf den Fall von
Hyperfl\"achen im Euklidischen.

Statt vom mittleren Kr\"ummungsfluss sollte man - in unserem Fall -
genauer vom Fluss von Hyperfl\"achen entlang ihrer mittleren
Kr\"ummung reden. 

\Subsection{Die Flussgleichung}
\"Ublicherweise betrachtet man beim mittleren Kr\"ummungsfluss
Abbildungen $X\colon M\times[0,T)\to\R^{n+1}$, wobei $M$ eine
abstrakte Mannigfaltigkeit ist. Da wir solche aber noch nicht kennen,
umgehen wir dieses Problem mit Hilfe einer lokalen Definition.

Wir setzen hier den Startzeitpunkt stets auf $t=0$. Die Definitionen
und Resultat lassen sich aber direkt auf andere Startzeitpunkte
\"ubertragen. 

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $T>0$. Dann erf\"ullt die
  Abbildung $X\colon\Omega\times[0,T)\to\R^{n+1}$ den mittleren
  Kr\"ummungsfluss (lokal), falls $X(\cdot,t)$ f\"ur alle $t\in[0,T)$
  eine immersierte $C^2$-Hyperfl\"ache ist, $X$ nach $t$
  differenzierbar ist und f\"ur alle $(x,t)\in\Omega\times[0,T)$ die
  Gleichung \[\dot X=-H\nu\] erf\"ullt ist.
\end{definition}

Sp\"ater ersetzt man in der folgenden Definition die
Untermannigfaltigkeit durch eine abstrakte Mannigfaltigkeit. In beiden
F\"allen benutzt man eine Karte, um mit $X\circ(\phi^{-1}\times\id)$
eine auf $\R^n\times[0,\infty)$ definierte Abbildung zu erhalten. 
\begin{definition}
  Sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit. Sei $T>0$. Dann erf\"ullt
  $X\colon M\times[0,T)\to\R^{n+1}$ den mittleren Kr\"ummungsfluss,
  falls es f\"ur jeden Punkt $p\in M$ eine Karte $(U,\phi)$ mit $p\in
  U$ gibt, so dass $X\circ(\phi^{-1}\times\id)\colon
  \phi(U)\times[0,T)\to\R^{n+1}$ den mittleren Kr\"ummungsfluss lokal
  erf\"ullt. \par Wir sagen auch, dass dann die Familie
  $(M_t)_{t\in[0,T)}$ mit $M_t=X(M,t)$ den mittleren Kr\"ummungsfluss
  erf\"ullt. 
\end{definition}

Die Definition des mittleren Kr\"ummungsflusses ist im folgenden Sinne
von der Wahl der Karte unabh\"angig. 
\begin{lemma}
  Sei $X\circ(\phi^{-1}\times\id)$ eine lokale L\"osung des mittleren
  Kr\"ummungsflusses. Sei $(V,\psi)$ eine weitere Karte.  Seien
  $(U,\phi)$ und $(V,\psi)$ $C^2$-vertr\"aglich, \dh sei
  $\phi\circ\psi^{-1}\colon\psi(U\cap V)\to\phi(U\cap V)$ ein
  $C^2$-Diffeomorphismus.  Dann erf\"ullt
  $X\circ(\psi^{-1}\times\id)\colon\psi(V\cap
  U)\times[0,T)\to\R^{n+1}$ ebenfalls lokal den mittleren
  Kr\"ummungsfluss.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{beispiel}[Sph\"aren]
  Sei $M=\S^n\subset\R^{n+1}$. Sei $R>0$. Dann ist $X\colon
  M\times\left[0,\frac{R^2}{2n}\right)\to\R^{n+1}$ mit
  $X(p,t):=p\cdot\sqrt{R^2-2nt}$ eine L\"osung des mittleren
  Kr\"ummungsflusses. \par
  Auf diese L\"osung kommt man, indem man den Ansatz $X(p,t):=p\cdot
  f(t)$ macht. Hieraus erh\"alt man $\lambda_i(t)=\frac1{f(t)}$,
  $H=\frac n{f(t)}$, $\dot X=p\dot f(t)$ und $\nu(p,t)=p$. Also
  sollte \[p\dot f(t)=\dot X\overset!=-H\nu=-\frac n{f(t)}p\]
  gelten. Dies ist f\"ur $\dot f(t)=-\frac n{f(t)}$ der Fall und die
  L\"osung dieser gew\"ohnlichen Differentialgleichung mit Anfangswert
  $f(0)=R$ ist durch $f(t)=\sqrt{R^2-2nt}$ gegeben.\par 
  Wir lassen es als \"Ubung, die Definition des mittleren
  Kr\"ummungsflusses auch formal zu \"uberpr\"ufen. 
\end{beispiel}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Minimalfl\"achen sind station\"are (= zeitunabh\"angige)
    L\"osungen des mittleren Kr\"ummungsflusses. Zylinder der Form
    $\S^k\times\R^{n-k}$ schrumpfen \"ahnlich wie Sph\"aren. Sie
    konvergieren in endlicher Zeit gegen
    $\{0_{\R^{k+1}}\}\times\R^{n-k}$. Die grim reaper L\"osung ist als
    Graph von $u(x,t)=-\log\cos x+t$, $(x,t)\in
    \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) \times\R$, gegeben.  Weitere
    explizite Beispiele sind die Haarnadel- oder B\"uroklammerl\"osung
    (haar pin, paper clip). Details: \"Ubung.
  \item F\"ur weitere L\"osungen muss man - soweit ich wei\ss{} -
    zumindest eine gew\"ohnliche Differentialgleichung l\"osen (siehe
    beispielsweise meine Vorlesung \"uber Gew\"ohnliche
    Differentialgleichungen mit geometrischen Anwendungen). Sind die
    L\"osungen nicht symmetrisch, muss man eine quasilineare partielle
    Differentialgleichung l\"osen (siehe beispielsweise meine
    Vorlesung \"uber den Graphischen mittleren K\"ummungsfluss).
  \item Beim mittleren Kr\"ummungsfluss untersucht man h\"aufig die
    Existenz von L\"osungen und ihr Verhalten. Klassische Resultate
    von etwa 1985-1995 sind: Konvexe Hyperfl\"achen konvergieren gegen
    runde Punkte, \dh gegen einen Punkt und nach geeignetem
    Reskalieren gegen eine runde Sph\"are (G. Huisken,
    \cite{HuiskenRoundSphere}). Eingebettete $\S^1$-en bleiben
    eingebettet, werden in endlicher Zeit konvex und konvergieren dann
    auch gegen einen runden Punkt (M. Gage, R. Hamilton; M. Grayson
    \cite{GageHamilton,GraysonRoundPoints}).  Graphische
    Hyperfl\"achen existieren f\"ur alle Zeit und konvergieren gegen
    homothetisch expandierende L\"osungen, wenn sie anfangs
    asymptotisch zu einem Kegel sind (K. Ecker, G. Huisken,
    \cite{EckerHuiskenInvent}).
  \item Ein gro\ss{}es Ziel ist es, mit Hilfe des mittleren
    Kr\"ummungsflusses alle (kompakten) Hyperfl\"achen in geeigneter
    Weise zu klassifizieren. Der mittlere Kr\"ummungsfluss wird auch
    hier in der Arbeitsgruppe untersucht. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\Subsection{Mittlerer Kr\"ummungsfluss als geometrische
  Evolutionsgleichung}
\rule{0mm}{1mm}\\
Der mittlere Kr\"ummungsfluss ist eine geometrische
Evolutionsgleichung, \dh das Bild $M_t:=X(\Omega,t)$ h\"angt nicht von
der konkreten Parametrisierung ab und ist unter Euklidischen
Bewegungen des umgebenden Raumes invariant. Da es h\"aufig nur auf das
Bild $M_t$ ankommt, kann man auch L\"osungen von $\langle\dt
X,\nu\rangle=-H$ untersuchen. Diese sind nicht eindeutig bestimmt, da
man sie mit Hilfe von Diffeomorphismen wie im folgenden Theorem
angegeben ab\"andern kann. 
\begin{theorem}\label{mcf geom evolgl thm}
  Sei $X\colon \Omega\times[0,T)\to\R^{n+1}$ eine L\"osung des
  mittleren Kr\"ummungsflusses $\dt X=-H\nu$ oder eine L\"osung, deren
  Normalengeschwindigkeit gerade die mittlere Kr\"um\-mung ist:
  $\left\langle\dt X,\nu\right\rangle =-H$. Sei $R\in O(n+1)$ eine
  orthogonale Abbildung und $\psi\colon\hat\Omega\times[0,T)\to\Omega$
  glatt, so dass $\psi(\cdot,t)\colon\hat\Omega\to\Omega$ f\"ur alle
  $t\in[0,T)$ ein Diffeomorphismus ist. Dann ist die
  Normalengeschwindigkeit von $\hat X(x,t):=RX(\psi(x,t),t)$, in
  Koordinaten $\hat X^\alpha(x,t) =R^\alpha_\beta
  X^\beta(\psi(x,t),t)$, gerade die mittlere
  Kr\"ummung: \[\left\langle\dt\hat X,\hat\nu\right\rangle =-\hat H.\]
  Weiterhin gilt $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$.
\end{theorem}
Den Diffeomorphismus $\psi$ kann man verwenden, um die Hyperfl\"achen
anders zu parametrisieren. Daher kann man nicht mehr erwarten, dass
die Tangentialgeschwindigkeit verschwindet, wenn wir $\psi$
verwenden. Die Bilder von $X$ und $X\circ\psi$ stimmen aber
\"uberein. Daher passiert in beiden F\"allen geometrisch das
Gleiche.\par Da s\"amtliche Rechnungen im Beweis lokal sind, gilt dies
auch, wenn die Mengen $\Omega$ und $\hat\Omega$ von der Zeit
abh\"angen. 
\begin{proof}[Beweis]
  Gr\"o\ss{}en zu $\hat X$ bezeichnen wir mit $\hat\nu$, $\hat H$,
  $\hat g_{ij}$, \ldots. \par Es gilt
  \begin{align*}
    \dt\hat X^\alpha =&\,R^\alpha_\beta \fracp{}t X^\beta
    +R^\alpha_\beta
    X^\beta_k\dot\psi^k,\umbruch\\
    \hat X_i^\alpha =&\,R^\alpha_\beta X^\beta_k\psi^k_i,\umbruch\\
    \hat X_{,ij}^\alpha =&\,R^\alpha_\beta X^\beta_k\psi^k_{ij}
    +R^\alpha_\beta X^\beta_{,kl}\psi^k_i\psi^l_j.
  \end{align*}
  W\"ahlen wir $\hat\nu^\alpha =R^\alpha_\beta\nu^\beta$, also
  $\hat\nu =R\nu$, so ist dies eine Normale an die Fl\"ache $\hat X$,
  da $\langle R\nu,R\nu\rangle =\langle\nu,\nu\rangle =1$ und
  $\left\langle R\nu,\left(R^\alpha_\beta
      X^\beta_k\psi^k_i\right)_\alpha \right\rangle =\langle \nu,
  X_k\rangle\psi^k_i=0$ f\"ur alle $1\le i\le n$ gelten. 
  Wir erhalten
  \begin{align*}
    \left\langle\dt\hat X,\hat\nu\right\rangle =&\,\fracp{}tX^\alpha
    R_\alpha^\beta \delta_{\beta\gamma}R^\gamma_\delta\nu^\delta
    +\dot\psi^i X^\alpha_iR_\alpha^\beta
    \delta_{\beta\gamma}R^\gamma_\delta
    \nu^\delta\umbruch\\
    =&\, -H\nu^\alpha\delta_{\alpha\delta}\nu^\delta
    +\dot\psi^iX^\alpha_i\delta_{\alpha\delta}\nu^\delta\umbruch\\
    =&\,-H+0. 
  \end{align*}
  $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$ haben wir bereits in Theorem \ref{trafo
    2ff thm} gesehen. Um beide Teile des Beweises beieinander zu
  haben, wiederholen wir dies hier nochmals. Es gilt
  \begin{align*}
    \hat g_{ij}=&\,\hat X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\hat X^\beta_j
    =\psi_i^kX^\gamma_kR^\alpha_\gamma \delta_{\alpha\beta}
    R^\beta_\delta X^\delta_l\psi^l_j =\psi^k_iX^\gamma_k
    \delta_{\gamma\delta} X^\delta_l\psi^l_j
    =\psi^k_ig_{kl}\psi^l_j,\\
    \hat h_{ij}=&\,-\left\langle\hat X_{,ij},\hat \nu\right\rangle
    =-\psi^k_{ij}X^\beta_kR^\alpha_\beta \delta_{\alpha\gamma}
    R^\gamma_\delta\nu^\delta -\psi^k_i\psi^l_j
    X^\beta_{,kl}R^\alpha_\beta \delta_{\alpha\gamma}
    R^\gamma_\delta\nu^\delta\umbruch\\
    =&\,-\psi^k_{ij}X^\beta_k\delta_{\beta\delta}\nu^\delta
    +\psi^k_i\left(-X^\beta_{,kl}\delta_{\beta\delta}
      \nu^\delta\right) \psi^l_j =0+\psi^k_ih_{kl}\psi^l_j.
  \end{align*}
  $\psi$ ist ein Diffeomorphismus. Also ist
  $\left(\psi^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ eine invertierbare Matrix
  und die Eigenwerte von $h_{ij}$ bez\"uglich $g_{ij}$ und von $\hat
  h_{ij}$ bez\"uglich $\hat g_{ij}$ stimmen \"uberein: Sei n\"amlich
  $\xi$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, \dh gelte \[\lambda
  g_{ij}\xi^j =h_{ij}\xi^j\] und $\xi\neq0$. Dann folgt f\"ur
  $\hat\xi^i:=\Psi^i_k\xi^k$ mit $\Psi(\cdot,t):=(\psi(\cdot,t))^{-1}$
  \[\lambda\hat g_{kl}\hat\xi^l =\lambda\psi^i_kg_{ij}
  \psi^j_l\Psi^l_m\xi^m =\lambda\psi^i_k g_{ij}\xi^m
  =\psi^i_kh_{ij}\xi^j =\psi^i_kh_{ij}\psi^j_l\Psi^l_m\xi^m =\hat
  h_{kl}\hat\xi^l.\] Andersherum argumentiert man analog. Somit folgt
  $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$ und damit die Behauptung.
\end{proof}

\begin{exercise}
  Finde L\"osungen von $\left\langle\dt X,\nu\right\rangle =-H$ und
  $\dt X=-H\nu$ f\"ur den Fall, dass $M_0$ ein Zylinder ist, dass also
  $M_0=\left(R\cdot\S^k\right)\times\R^{n-k}$ f\"ur ein $R>0$ gilt und
  \"uberpr\"ufe die Definition des mittleren Kr\"ummungsflusses
  explizit. 
\end{exercise}

\Subsection{Graphische Kr\"ummungsfl\"usse}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Resultate dieses Abschnittes gelten mit Modifikationen bei
    den Definitionsmengen auch f\"ur Graphen, die nicht \"uber ganz
    $\R^n$ definiert sind.
  \item Sei in diesem Abschnitt $F$ eine beliebige
    Normalengeschwindigkeit, also \zB $F=H$, $F=K$ oder $F=|A|^2$. Es
    sind aber auch Funktionen m\"oglich, die beispielsweise
    zus\"atzlich von $X(x,t)$ oder $\nu$ abh\"angen.
  \item Naiv k\"onnte man denken, dass wir durch Betrachten der
    $(n+1)$-sten Komponente von $\dt X=-F\nu$ die Evolutionsgleichung
    $\dot u=\frac F{\sqrt{1+|Du|^2}}$ erhielten. Dabei haben wir
    jedoch nicht ber\"ucksichtigt, dass sich dabei auch der Punkt $x$
    zeitlich \"andern kann. Vergleiche dies auch mit einer Ebene, die
    sich mit konstanter Normalengeschwindigkeit bewegt.
  \item Bei der Umkehrung kann man nicht erwarten, die
    Evolutionsgleichung $\dt X=-F\nu$ zu erhalten, da Diffeomorphismen
    wie in Theorem \ref{mcf geom evolgl thm} den Tangentialanteil von
    $\dt X$ \"andern k\"onnen.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $(M_t)_{0\le t<T}$ eine L\"osung von $\dt X=-F\nu$. Sei
  $u\colon\R^n\times[0,T)\to\R$ eine Funktion mit \[M_t=\graph
  u(\cdot,t)\] f\"ur alle $t\in[0,T)$. Dann erf\"ullt $u$ die
  partielle Differentialgleichung \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F,\]
  im Falle von $F=H$ also \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2} \cdot
  \divergenz\left(\dfrac{\nabla u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right),\] in
  $\R^n\times[0,T)$.\par Umgekehrt sei $u$ eine L\"osung von $\dot
  u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F$. Dann gilt $\left\langle\dt
    H,\nu\right\rangle =-F$ f\"ur $X(x,t)=(x,u(x,t))^T$, jedoch im
  allgemeinen nicht $\dt H=-F\nu$.
\end{lemma}
Im Falle $F=H,K$ oder $|A|^2$ handelt es sich um eine (echte)
partielle Differentialgleichung, beispielsweise f\"ur $F\equiv1$
entartet diese jedoch zu einer gew\"ohnlichen Differentialgleichung.
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X$ auf $\R^n\times[0,T)$ definiert. Wir bezeichnen die
  Koordinaten in $\R^n$ mit $\xi$. Wir bezeichnen weiterhin die
  orthogonale Projektion von $X(\xi,t)$ auf die Hyperebene
  $\R^n\equiv\R^n\times\{0\}$ mit $x(\xi,t)$. Dann
  gilt \[X(\xi,t)=(x(\xi,t),u(x(\xi,t),t))^T.\] Aus der
  Evolutionsgleichung folgt \[\dt X= \left(\dot x,u_i\dot x^i+\dot
    u\right)^T =-F\nu
  =F\frac{(-u^1,\ldots,-u^n,1)^T}{\sqrt{1+|Du|^2}}.\] Dabei benutzen
  wir $\dot u=\fracp ut$ und $u_i=\fracp u{x^i}$. Durch
  Komponentenvergleich erhalten wir
  \begin{align*}        
    {\dot x}^i =&\,\frac{-Fu^i}{\sqrt{1+|Du|^2}},\umbruch\\
    \dot u=&\,\frac F{\sqrt{1+|Du|^2}} -u_i\dot x^i =\frac
    F{\sqrt{1+|Du|^2}} +\frac{F|Du|^2}{\sqrt{1+|Du|^2}}
    =\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F.
  \end{align*}     
  Bis hier gelten die Rechnungen auch f\"ur andere
  Normalengeschwindigkeiten als $H$. Die Formel f\"ur $H$ im
  graphischen Fall haben wir bereits oben in Beispiel \ref{graph kr
    bsp} hergeleitet. Somit folgt die Behauptung.\par
  Zur Umkehrung der Aussage: Definiere $X(x,t)=(x,u(x,t))^T$ f\"ur eine
  Funktion $u$ mit $\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F$. Dann gilt
  \begin{align*}
    \dt X=&\,\left(0,\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F\right)^T,\umbruch\\
    \nu=&\,\frac{(\nabla u,-1)^T}{\sqrt{1+|Du|^2}},\umbruch\\
    \left\langle\dt X,\nu\right\rangle =&\,-F.
  \end{align*}
  Ist $Du\neq0$, so kann $\dt X=-F\nu$ nicht gelten. 
\end{proof}

Eine bessere Umkehrung erhalten wir, indem wir noch gew\"ohnliche
Differentialgleichungen l\"osen. 
\begin{lemma}
  Sei $u\colon\R^n\times[0,T)\to\R$ eine glatte L\"osung von $\dot
  u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F$. Seien $Du$ und $F$ gleichm\"a\ss{}ig
  beschr\"ankt. Dann gibt es eine Familie $(\psi_t)_{t\in[0,T)}$ von
  Diffeomorphismen $\psi_t=\psi(\cdot,t)$ mit
  $\psi\colon\R^n\times[0,T)\to\R^n$ und $\psi_0=\id$, so dass
  $X(x,t):=(\psi(x,t),u(\psi(x,t),t))^T$ die Evolutionsgleichung $\dt
  X=-F\nu$ l\"ost. Ist $u$ glatt, so auch $\psi$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Da die beiden \"au\ss{}eren Terme gleich sind, sollte 
  \[\dt X=\left(\dot\psi,\dot u+u_i\dot\psi^i\right)\overset!=
  -F\dfrac{(\nabla u(\psi(x,t),t),-1)^T}
  {\sqrt{1+|Du(\psi(x,t),t)|^2}}=-F\nu\] gelten.  Nach
  Beschr\"anktheits- und Regularit\"atsannahme besitzt das
  Anfangswertproblem des Systems gew\"ohnlicher
  Differentialgleichungen
  \[
  \begin{cases}
    \dot\psi^i(x,t)=-\dfrac{Fu^i}{\sqrt{1+|Du(\psi(x,t),t)|^2}},\\
    \psi(\cdot,0)=\id
  \end{cases}
  \]
  eine glatte lokal gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankte L\"osung
  $\psi\colon\R^n\times[0,T)\to\R^n$. Nach Konstruktion gilt die
  erw\"unschte Gleichheit in den ersten Komponenten und aus 
  \[\dot u+u_i\dot\psi^i =\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F
  -\frac{F|Du|^2}{\sqrt{1+|Du|^2}} =\frac F{\sqrt{1+|Du|^2}}\] 
  folgt auch die Gleichheit in der letzten Komponente.\par Aus
  Analysis III ist bekannt, dass alle Abbildungen $\psi_t$ glatt und
  Diffeomorphismen sind. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Je nach Funktion $F$ ben\"otigt man weniger Regularit\"at. So
  gen\"ugt bei Fl\"ussen wie dem mittleren Kr\"ummungsfluss oder dem
  Gau\ss{}kr\"ummungsfluss $u\in C^{3,1;1,1}\supset C^{4;2}$ und
  gleichm\"a\ss{}ige Schranken in dieser Norm. Die
  Differenzierbarkeit von $\psi$ folgt dann aus dem Satz \"uber die
  differenzierbare Abh\"angigkeit von L\"osungen bei gew\"ohnlichen
  Differentialgleichungen auf $\psi$ und den Parameter $x$
  angewandt. Insbesondere ist es daf\"ur n\"otig, dass die Ableitung
  der rechten Seite nach Differentiation nach $\psi$ noch
  Lipschitzstetig in $x$ ist. 
\end{remark}

\"Uber den graphischen mittleren Kr\"ummungsfluss ist sp\"ater eine
eigene Vorlesung geplant.

\Subsection{Der mittlere Kr\"ummungsfluss als negativer
  Gradientenfluss}
Wir leiten zun\"achst eine Eigenschaft des Gradientenflusses her, die
wir auch beim mittleren Kr\"ummungsfluss zeigen werden. 
\begin{remark}
  Sei $f\colon\R^n\to\R$ eine $C^1$-Funktion. Sei $I$ ein offenes
  Intervall.  Dann l\"ost eine $C^1$-Funktion $x\colon I\to\R^n$ den
  negativen Gradientenfluss zur Funktion $f$ bez\"uglich der
  Euklidischen Metrik des $\R^n$, falls \[\dot x(t)=-\nabla f(x(t))\]
  f\"ur alle $t\in I$ gilt. \par Sei $t_0\in I$ und sei $y(t)\colon
  I\to\R^n$ eine weitere $C^1$-Funktion mit $y(t_0)=x(t_0)$ und $|\dot
  y(t_0)|\le|\dot x(t_0)| =|\nabla f(x(t_0))|$.  Dann gilt $\dt
  f(x(t))\le \dt f(y(t))$ an der Stelle $t=t_0$, \dh der negative
  Gradientenfluss ist infinitesimal die schnellste M\"oglichkeit bei
  gegebener Geschwindigkeit $f$ zu verkleinern. (Global braucht dies
  nicht richtig zu sein.)
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt 
  \begin{align*}
    \left.\dt (f(x(t)) -f(y(t)))\right|_{t=t_0}
    =&\,Df(x(t_0))\langle\dot x(t_0)\rangle
    -Df(y(t_0))\langle\dot y(t_0)\rangle\umbruch\\
    =&\,\langle\nabla f(x(t_0)), \dot x(t_0)\rangle -\langle\nabla
    f(x(t_0)),\dot y(t_0)\rangle\umbruch\\
    \le&\,-|\nabla f(x(t_0))|^2+|\nabla f(x(t_0))|\cdot|\dot
    y(t_0)| \le0.
  \end{align*}
  Wir bemerken, dass Gleichheit genau f\"ur $\dot x(t_0)=\dot y(t_0)$
  gilt. 
\end{proof}

Nimmt man als Norm die $L^2$-Norm der Normalengeschwindigkeit, so
erhalten wir ein entsprechendes Resultat f\"ur den mittleren
Kr\"ummungsfluss. Wir arbeiten mit Funktionen, die sich nur auf
kompakten Teilmengen unterscheiden, damit wir bei partieller
Integration keine Randterme bekommen. Ein entsprechendes Resultat gilt
aber auch f\"ur kompakte L\"osungen des mittleren Kr\"ummungsflusses. 
\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.  Sei
  $u\colon\Omega\times[0,T)\to\R$ eine glatte graphische L\"osung des
  mittleren Kr\"ummungsflusses, es gelte also \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}
  \cdot\divergenz\left(\dfrac{\nabla
      u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)\quad\text{in }\Omega\times[0,T).\]
  Sei $w\colon\Omega\times[0,T)\to\R$ ebenfalls glatt mit
  $w(\cdot,t_0)=u(\cdot,t_0)$ f\"ur ein $t_0>0$ und gelte
  $u(x,t)=w(x,t)$ f\"ur alle $t$ und alle $x\in\Omega\setminus K$
  f\"ur eine kompakte Teilmenge $K\Subset\Omega$. Sei $F$ so
  gew\"ahlt, dass $\dot w=\sqrt{1+|Dw|^2}\cdot F$ gilt. Nehme
  schlie\ss{}lich an, dass die $L^2$-Norm der Normalengeschwindigkeit
  $F$ bez\"uglich des Oberfl\"achenma\ss{}es die $L^2$-Norm von $H$
  zur Zeit $t=t_0$ in $K$ nicht \"ubersteigt, dass also zur Zeit
  $t=t_0$ \[\int\limits_K F^2\,d\mu_w \le\int\limits_K H^2\,d\mu_u\]
  gilt, wobei $d\mu_u\equiv\sqrt{1+|Du|^2}\,dx$ ist und $d\mu_w$
  entsprechend definiert ist, so dass insbesondere
  $d\mu_u=d\mu_w\equiv d\mu$ zur Zeit $t=t_0$ gilt.  Dann
  folgt \[\left.\dt\int\limits_K \sqrt{1+|Du|^2}\,dx\right|_{t=t_0}
  \le \left.\dt\int\limits_K \sqrt{1+|Dw|^2}\,dx\right|_{t=t_0}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  In der nachfolgenden Rechnung werten wir stets an der Stelle $t=t_0$
  aus. Wir erhalten mit partieller Integration und H\"olderscher
  Ungleichung
  \begin{align*}
    \dt\int\limits_K\sqrt{1+|Dw|^2} =&\,\int\limits_K \dfrac{\langle
      Dw,D\dot w\rangle}{\sqrt{1+|Dw|^2}} =-\int\limits_K\dot
    w\cdot\divergenz\left(\dfrac{\nabla
        w}{\sqrt{1+|Dw|^2}}\right)\umbruch\\
    =&\,-\int\limits_K F\cdot
    H\underbrace{\sqrt{1+|Dw|^2}\,dx}_{=d\mu}\umbruch\\
    \ge&\,-\left(\int\limits_K F^2\,d\mu\right)^{1/2}
    \cdot\left(\int\limits_K H^2\,d\mu\right)^{1/2}\umbruch\\
    \ge&\,-\int\limits_K H^2\,d\mu =\dt\int\limits_K\sqrt{1+|Du|^2},
  \end{align*}
  wobei wir f\"ur den letzten Schritt die ersten Schritte f\"ur $w$ im
  Falle $F=H$ wiederholen.
\end{proof}

\Subsection{Einige Evolutionsgleichungen}

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$
  eine L\"osung der Evolutionsgleichung $\dot X=-F\nu$. Dann gilt
  f\"ur die Metrik \[\dt g_{ij}=-2Fh_{ij}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir differenzieren $g_{ij}=\langle X_i,X_j\rangle$ und erhalten
  \begin{align*}
    \dt g_{ij}=&\,\left\langle\dt X_i,X_j\right\rangle +\left\langle
      X_i,\dt X_j\right\rangle\umbruch\\
    =&\,\left\langle(-F\nu)_i,X_j\right\rangle +\left\langle
      X_i,(-F\nu)_j\right\rangle\umbruch\\ 
    =&\,-\left\langle F_i\nu+F\nu_i,X_j\right\rangle -\left\langle
      X_i,F_j\nu+F\nu_j\right\rangle\umbruch\\
    =&\,-\left\langle Fh_i^kX_k,X_j\right\rangle -\left\langle
      X_i,Fh_j^kX_k\right\rangle\umbruch\\ 
    =&\,-Fh_i^kg_{kj}-Fg_{ik}h_j^k\umbruch\\
    =&\,-2Fh_{ij}. \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$
  eine L\"osung der Evolutionsgleichung $\dot X=-F\nu$. Dann gilt
  f\"ur das Volumenelement $d\mu\equiv\sqrt{\det g_{ij}}\,dx$ \[\dt
  d\mu=-FH\,d\mu.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir benutzen die Evolutionsgleichung f\"ur die Metrik und die
  Differentiationsregel f\"ur die Determinante und erhalten
  \begin{align*}
    \dt d\mu=&\,\dt\sqrt{\det g_{ij}}\,dx\umbruch\\
    =&\,\frac1{2\sqrt{\det g_{ij}}}\det g_{ij} g^{kl}\dt
    g_{kl}\,dx\umbruch\\ 
    =&\,-F\sqrt{\det g_{ij}} g^{kl}h_{kl}\,dx\umbruch\\ 
    =&\,-FH\,d\mu. \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Ohne einen formalen Beweis geben wir das Resultat an, wie sich das
eingeschlossene Volumen unter einer Flussgleichung \"andert. F\"ur
eine formale Herleitung w\"are zun\"achst das eingeschlossenen Volumen
zu definieren, dann l\"asst sich die eingeschlossene Menge
beispielsweise wie folgt beschreiben: Sei $\Omega_0$ die
eingeschlossene Menge zum Zeitpunkt $t=0$. Sei $\psi(\cdot,t)$ eine
Familie von Diffeomorphismen auf ihr Bild in $\R^{n+1}$, so dass
$\dot\psi(x,t)$ f\"ur s\"amtliche Randpunkte gerade mit $-F\nu$
\"ubereinstimmt. Nun kann man die Volumen\"anderung von
$\psi(\Omega,t)$ bestimmen. Details: \"Ubung. 
\begin{remark}
  Sei $M_t$ eine Familie geschlossener zusammenh\"angender
  Hyperfl\"achen, die die Evolutionsgleichung $\dot X=-H\nu$
  erf\"ullt. Sei $\Omega_t$ die beschr\"ankte Komponente von
  $\R^{n+1}\setminus M_t$. Dann gilt \[\dt|\Omega_t| =\int\limits_M
  -F\,d\mu.\]
\end{remark}
\begin{proof}[Heuristik zur Formel]
  Infinitesimal wird ein kleines Fl\"achenst\"uck $A$ mit
  Geschwindigkeit $F$ nach innen verschoben. Dabei f\"allt in
  Physikernotation ein Zylinder mit Volumen $|A|\cdot F\cdot\Delta t$
  weg. Auf"|integriert \"uber $M$ erhalten wir genau die behautete
  Formel.
\end{proof}

\Subsection{Die isoperimetrische Ungleichung}

Es gilt die folgende allgemeine Form der isoperimetrischen
Ungleichung. Sie besagt, dass eine gewisse Oberfl\"ache
$|\partial\Omega|$ n\"otig ist, um ein gegebenes Volumen $|\Omega|$
einzuschlie\ss{}en.
\begin{theorem}[Isoperimetrische Ungleichung]
  Sei $\Omega\subset\R^n$. Dann gilt
  \[n\omega_n^{1/n}|\Omega|^{\frac{n-1}n}\le|\partial\Omega|.\]
\end{theorem}
Dabei steht $|\Omega|$ f\"ur das Lebesguesche \"au\ss{}ere Ma\ss{} von
$\Omega$ und $|\partial\Omega|$ f\"ur das $(n-1)$-dimensionale
Hausdorffma\ss{} von $\partial\Omega$. 

Wir untersuchen die isoperimetrische Ungleichung nur im folgenden
glatten Fall. Mit $\omega_3=\frac{4\pi}3$ ergibt sich
\begin{theorem}
  Sei $(M_t)_{0\le t<T}$ mit $M_t\subset\R^3$ eine glatte Familie von
  glatten geschlossenen strikt konvexen Fl\"achen, die sich unter dem
  mittleren Kr\"ummungsfluss $\dot X=-H\nu$ bewegen. Sei
  $\Omega_t\subset\R^3$ offen und beschr\"ankt mit
  $\partial\Omega_t=M_t$ f\"ur alle $t\in[0,T)$. Gelte
  $|\Omega_t|\to0$ f\"ur $t\nearrow T$. Dann gilt \[3\sqrt{4\pi}\cdot
  |\Omega_t| \le |M_t|^{3/2}\] f\"ur alle $0\le t<T$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Im eigentlichen Beweis ben\"otigen wir zwei Ungleichungen. Die
  H\"oldersche Ungleichung liefert \[\int\limits_{M_t}H\,d\mu
  \le\left(\,\,\,\int\limits_{M_t}1\,d\mu\right)^{1/2}\cdot
  \left(\,\,\,\int\limits_{M_t} H^2\,d\mu\right)^{1/2}.\] Weiterhin
  gilt f\"ur jede strikt konvexe zusammenh\"angende Fl\"ache nach
  Korollar \ref{int K cor} \[\int\limits_{M_t}H^2\,d\mu
  =\int\limits_{M_t}(\lambda_1-\lambda_2)^2\,d\mu +\int\limits_{M_t}
  4K\,d\mu \ge4\int\limits_{M_t}K\,d\mu =4\cdot\left|\partial
    B_1^3\right| =4\cdot 3\omega_3 =4\cdot 4\pi.\] (Ist $M_t$ nicht
  strikt konvex, so gilt ebenfalls die Absch\"atzung $\int H^2\ge
  16\pi$.  Dies zeigt man, indem man \"uber eine messbare Teilmenge
  $N$ von $M_t$ integriert, so dass $\nu\colon N\to\S^2$ bijektiv ist
  und $K|_N\ge0$ gilt. Details: \"Ubung.)  Wir
  definieren \[\Phi(t):=\frac1{3\sqrt{4\pi}} |M_t|^{3/2} -|\Omega_t|
  \equiv \frac1{3\sqrt{4\pi}}\left(\,\,\,\int\limits_{M_t}1\,
    d\mu\right)^{3/2}-|\Omega_t|.\] Es gilt
  \[\dt\Phi(t)=\frac1{2\sqrt{4\pi}}\left(\,\,\,\int\limits_{M_1}1\,
    d\mu\right)^{1/2} \int\limits_{M_t}-H^2\,d\mu
  -\int\limits_{M_t}-H\,d\mu.\] Ist $\int H\le0$, so erhalten wir
  $\dt\Phi(t)\le0$. Sonst ist $\int H>0$ und wir erhalten aufgrund der
  vorbereiteten Ungleichungen mit Hilfe von $\int H^2=\sqrt{\int
    H^2}\cdot\sqrt{\int H^2}$ 
  \[\dt\Phi(t)\le-\left(\,\,\,\int\limits_{M_t}H\, d\mu\right)\cdot
  \underbrace{\frac1{4\sqrt\pi}\cdot\left(\,\,\,\int\limits_{M_t}H^2\,
      d\mu\right)^{1/2}}_{\ge1} +\int\limits_{M_t}H\,d\mu\le0.\] Wegen
  $|\Omega_t|\to0$ f\"ur $t\nearrow T$ gilt $\lim\limits_{t\nearrow
    T}\Phi(t)\ge0$. Aus $\dt\Phi(t)\le0$ folgt $\Phi(t)\ge\Phi(s)$
  f\"ur alle $t\le s$. Wir lassen nun $s\nearrow T$ und erhalten
  $\Phi(t)\ge0$ f\"ur alle $t\in[0,T)$. Dies ist \"aquivalent zur
  behaupteten isoperimetrischen Ungleichung. 
\end{proof}

\Subsection{Translatierende und homothetische L\"osungen}
Im Kapitel \"uber Minimalfl\"achen haben wir bereits gesehen, dass
Minimalfl\"achen kritische Punkte des Oberfl\"achenfunktionals
sind. Solche Zusammenh\"ange gibt es auch f\"ur translatierende
L\"osungen oder homothetische L\"osungen. 

In diesem Kapitel wollen wir annehmen, dass alle auftretenden
Hyperfl\"achen glatt sind und die Integrale jeweils endlich
ausfallen. 

Wir zeigen zun\"achst nochmals eine Richtung des Resultats f\"ur
Minimalfl\"achen mit unseren jetzigen Methoden. Die andere Richtung
folgt so nicht direkt, da wir hier nur normale Ver\"anderungen
betrachten. 
\begin{theorem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache $M$, die ein
  kritischer Punkt des Funktionals $\int\limits_M1\,d\mu$ ist. Dann
  ist $X$ eine Minimalfl\"ache, \dh es gilt $H=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $F\colon\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\to\R$ eine glatte
  Funktion, deren stetige Fortsetzung auf
  $\Omega\times[-\epsilon,\epsilon]$ einen kompakten Tr\"ager in
  $\Omega\times[-\epsilon,\epsilon]$ habe und sei
  $Y\colon\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\to\R^{n+1}$ mit
  $Y(\cdot,t)=X$ und $\dot Y=-F\nu$. Diese gew\"ohnliche
  Differentialgleichung kann man lokal l\"osen und $Y$ ist in beiden
  Variablen glatt. Da die Eigenschaft, Immersion zu sein, unter
  kleinen glatten St\"orungen erhalten bleibt, ist $Y$ eine glatte
  Familie von glatten Immersionen, falls wir nur annehmen, dass
  $\epsilon>0$ klein genug ist. \par Sei $M_t=Y(\Omega,t)$. Dann gilt
  \[\dt\int\limits_{M_t}1\,d\mu =\int\limits_{M_t}-FH\,d\mu.\] Da $X$
  ein kritischer Punkt ist, verschwinden diese Ausdr\"ucke. F\"ur
  beliebige Funktionen $F$ ist dies nur im Falle $H=0$ m\"oglich. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{translat fkt thm}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache $M$, die ein
  kritischer Punkt des Funktionals \[\int\limits_Me^{\lambda\langle
    X,\eta\rangle}\,d\mu\] mit $\eta\in\S^n$ und $\lambda\in\R$
  ist. Dann ist $X$ eine unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss mit
  Geschwindigkeit $\lambda$ in Richtung $\eta$ translatierende
  L\"osung (zu einer festen Zeit betrachtet).
\end{theorem}
\begin{remark}
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wenn wir $X$ als translatierende L\"osung zu einer festen Zeit
    bezeichnen bedeutet dies folgendes: Zun\"achst machen wir aus $X$
    eine translatierende L\"osung, betrachten also
    $X+t\lambda\eta$. Dann betrachten wir die mittlere Kr\"ummung
    davon. Sie stimmt mit der von $X$ \"uberein. Nun sollte die
    Evolution unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss und die Translation
    \"ubereinstimmen, also $\dt(X+t\lambda\eta)=-H\nu$ gelten. Dies
    ist i.\,a.{} wegen tangentialer Diffeomorphismen nicht
    m\"oglich. Daher spricht man auch dann von einer translatierenden
    L\"osung, wenn nur die Normalenkomponenten \"ubereinstimmen. Wir
    fordern also $\langle\lambda\eta,\nu\rangle
    =\left\langle\dt(X+t\lambda\eta),\nu\right\rangle
    =-H\langle\nu,\nu\rangle =-H$.
  \item Wir haben hier gerade implizit eine Richtung als einen Vektor
    der L\"ange eins definiert.
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{translat fkt thm}]
  Wir gehen wie bei Minimalfl\"achen vor und erhalten
  \[\dt\int\limits_{M_t}e^{\lambda\langle Y,\eta\rangle}\,d\mu
  =\int\limits_{M_t}e^{\lambda\langle Y,\eta\rangle}
  \left(\lambda\langle-F\nu,\eta\rangle-HF\right)\,d\mu.\]
  Somit muss $0=\lambda\langle\nu,\eta\rangle+H$ gelten. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache $M$, die ein
  kritischer Punkt des
  Funktionals \[\int\limits_Me^{\lambda\frac{|X|^2}2}\,d\mu\] mit
  $\lambda\in\R$ ist. Dann ist $M$ f\"ur $\lambda<0$ eine unter dem
  mittleren Kr\"ummungsfluss homothetisch schrumpfende und f\"ur
  $\lambda>0$ eine homothetisch expandierende L\"osung (zu einer
  festen Zeit).
\end{theorem}
\"Ublicherweise beschr\"ankt man sich auf die F\"alle $\lambda=\mp1$. 
\begin{proof}[Beweis]
  Gehe analog zu den \"Uberlegungen zu Theorem \ref{translat fkt thm}
  vor. Details: \"Ubung.
\end{proof}

\Subsection{Niveaufl\"achenfluss}\rule{1mm}{0mm}\\
Es gibt zwei verschiedene Varianten, den mittleren Kr\"ummungsfluss
mit Hilfe von Niveaufl\"achen darzustellen. Wir beschreiben in beiden
F\"allen nur den regul\"aren Fall. Beide Resultate gelten auch f\"ur
Teilmengen des $\R^{n+1}$. Die Resultate gelten ebenso f\"ur andere
Normalengeschwindigkeiten $F$, erfordern dann jedoch die genaue Angabe
der Normalen, da in diesem Fall m\"oglicherweise $-F\nu$, anders als
$-H\nu$, nicht mehr unter $\nu\mapsto-\nu$ invariant ist.

Die erste Niveaufl\"achenvariante ist die folgende: 
\begin{lemma}
  \label{niveau lem eins}
  Sei $w\colon\R^{n+1}\times[0,T)\to\R$ eine Funktion mit $\nabla
  w\neq0$. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt \[\dot w=\left(\delta^{\alpha\beta}-\frac{w^\alpha
        w^\beta}{|Dw|^2}\right) w_{\alpha\beta}.\]
  \item Die Niveaufl\"achen $M_t:=\{x\in\R^{n+1}\colon w(x,t)=h\}$
    erf\"ullen den mittleren Kr\"ummungsfluss bis auf tangentiale
    Diffeomorphismen, also $\left\langle\dot X,\nu\right\rangle=-H$,
    f\"ur beliebige Niveaus $h\in\R$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Hinweis: Ist $w$ eine Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren
    Kr\"ummungsflusses, \dh $w$ erf\"ullt die Differentialgleichung
    aus Lemma \ref{niveau lem eins}, und ist $X$ eine klassische
    L\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses, so rechnet man nach,
    dass $\dt u(X(p,t),t)=0$ f\"ur beliebige $p$ gilt. Benutze dazu
    $\nu^\alpha=-\frac{w^\alpha}{|Dw|}$ sowie
    $H=\divergenz(\nu)=-\sum\limits_{\alpha=1}^{n+1}
    \fracp{}{x^\alpha}\left(\frac{w^\alpha}{|Dw|}\right)$.
  \item $w$ l\"ost hier f\"ur alle Niveaufl\"achen gleichzeitig den
    mittleren Kr\"ummungsfluss. 
  \item Sei $w(x,t):=t+\frac1{2n}|x|^2$. Dann ist $w$ eine
    Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses, denn es
    gilt:
    \begin{align*}
      \dot w=&\,1,\umbruch\\
      w_\alpha=&\,\frac1n x_\alpha,\umbruch\\
      w_{\alpha\beta}=&\,\frac1n\delta_{\alpha\beta},\umbruch\\
      \left(\delta^{\alpha\beta}-\frac{w^\alpha
          w^\beta}{|Dw|^2}\right) w_{\alpha\beta} =&\,
      \left(\delta^{\alpha\beta}-\frac{x^\alpha x^\beta}{|x|^2}\right)
      \frac1n\delta_{\alpha\beta} =\frac1n((n+1)-1)=1.
    \end{align*}
    Die zugeh\"origen Hyperfl\"achen $M_t$ sind schrumpfende
    Sph\"aren. 
  \item Sei $w$ eine Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren
    Kr\"ummungsflusses und $f\colon\R\to\R$ eine beliebige
    $C^2$-Funktion. Dann ist $v:=f\circ w$ in der Menge $Dv\neq0$ eine
    Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses. Details:
    \"Ubung.
  \item Die Niveaufl\"achengleichung f\"ur den mittleren
    Kr\"ummungsfluss ist degeneriert parabolisch, ein Eigenwert
    verschwindet.
  \item Viskosit\"atsl\"osungen erlauben es, Niveaufl\"achenl\"osungen
    auch unabh\"angig von $Dw\neq0$ zu definieren und zu
    untersuchen. Alternativ betrachtet man elliptische
    Regularisierungen der rechten Seite. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Wir kommen nun zur zweiten Variante, den mittleren Kr\"ummungsfluss
mit Hilfe von Niveaufl\"achen darzustellen. Sie funktioniert nur im
Falle $H>0$ und arbeitet daf\"ur mit zeitunabh\"angigen Funktionen. 
\begin{lemma}
  \label{niveau lem zwei}
  Sei $u\colon\R^{n+1}\to\R$ eine Funktion mit $Du\neq0$. Dann sind
  die folgenden Aussagen \"aquivalent: 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt \[\divergenz\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)
    =-\frac1{|\nabla u|}.\]
  \item Die Niveaufl\"achen $M_t:=\{x\in\R^{n+1}\colon u(x)=t\}$
    erf\"ullen den mittleren Kr\"ummungsfluss bis auf tangentiale
    Diffeomorphismen. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir k\"onnen die Differentialgleichung wegen
    $\divergenz\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right) =\frac{\Delta
      u}{|\nabla u|} -\frac{D^2u\langle\nabla u,\nabla
      u\rangle}{|\nabla u|^3}$ auch als \[\Delta u
    -\frac{D^2u\langle\nabla u,\nabla u\rangle}{|\nabla u|^2}=-1\]
    schreiben.
  \item Hinweis: Ist $u$ eine Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren
    Kr\"ummungsflusses, \dh $u$ erf\"ullt die Differentialgleichung
    aus Lemma \ref{niveau lem zwei}, und ist $X$ eine klassische
    L\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses, so rechnet man nach,
    dass $\dt u(X(p,t))=1$ f\"ur beliebige $p$ gilt. 
  \item $u(x):=-\frac1{2n}|x|^2$ ist eine Niveaufl\"achenl\"osung des
    mittleren Kr\"ummungsflusses, denn es gilt:
    \begin{align*}
      u_\alpha=&\,-\frac1nx_\alpha,\umbruch\\
      \divergenz\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)
      =&\,\divergenz\left(-\frac x{|x|}\right) =-\frac{(n+1)-1}{|x|}
      =-\frac n{|x|} =-\frac1{|\nabla u|}.
    \end{align*}
    Diese L\"osung beschreibt Sph\"aren, die f\"ur $t\nearrow0$ zu
    einem Punkt konvergieren. 
  \item Die Differentialgleichung hier ist degeneriert elliptisch und
    wird ebenenfalls mit Hilfe von Viskosit\"atsl\"osungen oder
    elliptischer Regularisierung untersucht.
  \item \"Ubung: Welche Evolutionsgleichung geh\"ort zur
    Differentialgleichung \[\divergenz\left(\frac{\nabla u}{|\nabla
        u|}\right) =|\nabla u|?\] Bestimme eine
    (rotationssymmetrische) L\"osung dieser Differentialgleichung.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Beide Versionen von Niveaufl\"achenl\"osungen (``level-set
  solutions'') sind f\"ur die Untersuchung von L\"osungen wichtig, die
  Singularit\"aten entwickeln. Beispiel: Eine
  ``neck-pinch''-Singularit\"at.
\end{remark}

\Section{Gew\"ohnliche Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten}
Wir wiederholen zun\"achst ein Resultat aus Analysis III. 
\begin{theorem}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine geschlossene
  $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei
  $V\colon\R^{n+1}\times[0,T]\to\R^{n+1}$ ein $C^k$-Vektorfeld,
  $k\ge1$, das in $M$ tangential zu $M$ ist, \dh f\"ur $x\in M$ gilt
  $V(x,t)\in T_xM$. Sei $x_0\in M$. Dann besitzt das
  Anfangswertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \dot\alpha(t)=V(\alpha(t),t),&t\in[0,T],\\
    \alpha(0)=x_0&
  \end{cases}
  \]
  eine $C^{k+1}$-L\"osung $\alpha\colon[0,T]\to M$. $\alpha$ ist die
  einzige $C^1([0,T],\R^{n+1})$-L\"osung dieses Anfangswertproblems.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $d$ (lokal) die signierte Distanzfunktion zu $M$. Da $M$ von der
  Klasse $C^2$ ist, ist (in einer Tubenumgebung $U$ von $M$) $d\in
  C^2$ nach Lemma \ref{tubenumg d lem}.  Wir setzen $\nu:=\frac{\nabla
    d}{|\nabla d|}$. Es gilt $\nu\in C^1$.  Wir definieren in
  $U\times[0,T]$ das $C^1$-Vektorfeld \[\tilde V:=V-\langle
  V,\nu\rangle\nu.\] Nach dem Satz von Picard-Lindel\"of besitzt das
  Anfangswertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \dot{\alpha}(t)=\tilde V(\alpha(t),t),&t\in[0,T],\\
    \alpha(0)=x_0
  \end{cases}
  \]
  eine $C^2$-L\"osung $\alpha\colon[0,\epsilon)\to\R^{n+1}$ f\"ur ein
  $\epsilon>0$. \par
  Wir m\"ochten nun zeigen, dass die L\"osung auf $M$ bleibt. Es folgt
  f\"ur $\alpha(t)\in U$
  \[\dt d(\alpha(t))
  =\left\langle\nabla d(\alpha(t)), \dot{\alpha}(t)\right\rangle
  =\left\langle\nabla d(\alpha(t)),\tilde V(\alpha(t),t)\right\rangle
  =0.\] Also gilt $d(\alpha(t))=0$, solange $\alpha(t)\in U$
  gilt. Damit ist $\alpha(t)\in M$ f\"ur $\alpha(t)\in
  U$. Insbesondere folgt hieraus, dass die Menge aller
  $t\in[0,\epsilon)$, f\"ur die $\alpha(t)\in M$ gilt, (relativ) offen
  ist. Aufgrund der Abgeschlossenheit von $M$ ist sie aber auch
  relativ abgeschlossen. Schlie\ss{}lich ist $\alpha(0)=x_0\in M$. Da
  $[0,\epsilon)$ zusammenh\"angend ist, gilt somit $\alpha(t)\in M$
  f\"ur alle $t\in[0,\epsilon)$. \par
  Da $V$ beschr\"ankt ist, l\"asst sich $\alpha$ mit Hilfe der
  \"aquivalenten Integralformulierung auf $[0,\epsilon]$ und wie oben
  mit Startzeit $t=\epsilon$ statt $t=0$ \"uber $t=\epsilon$ hinaus
  fortsetzen. Durch Betrachten des maximalen Existanzintervalles sehen
  wir, dass $\alpha$ auf ganz $[0,T]$ existiert und $\alpha(t)\in M$
  f\"ur alle $t\in[0,T]$ erf\"ullt. \par
  Auf $M\times[0,T]$ gilt $\tilde V=V$. Somit l\"ost
  $\alpha(t)$ auch das Anfangswertproblem 
  \[
  \begin{cases}
    \dot\alpha(t)=V(\alpha(t),t),&t\in[0,T],\\
    \alpha(0)=x_0.
  \end{cases}
  \]
  Wegen $V\in C^1$ ist $\alpha$ die einzige $C^1$-L\"osung dieses
  Anfangswertproblems. Die Regularit\"at von $\alpha$ folgt aus der
  von $V$. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die obige \"Uberlegung l\"asst sich auch auf h\"ohere
    Kodimensionen \"ubertragen, wenn man eine vektorwertige Funktion
    $\Phi$ betrachtet.
  \item Alternativ kann man $M$ mit Hilfe eines Diffeomorphismusses
    geradebiegen. 
  \item Ist $V$ nur auf $M$ definiert, so kann man zun\"achst $V$ in
    eine Umgebung fortsetzen. Da die L\"osung auf $M$ bleibt, ist sie
    unabh\"angig von der Wahl der Fortsetzung. 
  \item Ist $V$ auf $M\times\R$ definiert, so \"uberlegt man sich
    leicht, dass auch $\alpha$ auf ganz $\R$ existiert.
  \item Verallgemeinere das Resultat auf nichtkompakte
    Untermannigfaltigkeiten $M$, so dass $M\cap \ol{B}_R$ f\"ur jedes
    $R>1$ kompakt ist.
  \item Formuliere und beweise ein Resultat \"uber den maximalen Fluss
    \"ahnlich wie im Euklidischen.
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

Die folgenden \"Uberlegungen entsprechen dem, was wir schon im Kapitel
\ref{niveau unter kap} f\"ur die Ableitung gemacht haben.
\begin{definition}
  Sei $M^m\subset\R^{n+m}$ eine $C^k$-Untermannigfaltigkeit und $f\colon
  M\to\R^k$ eine Funktion. Dann hei\ss{}t $f$ von der Klasse $C^k$,
  falls es eine $C^k$-Fortsetzung $\tilde f\colon\R^{n+m}\to\R^k$
  gibt. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $M^m\subset\R^{n+m}$ eine $C^k$-Untermannigfaltigkeit mit
  $k\ge2$ und $f\colon M\to\R^k$ eine Funktion.  Sei
  $U\subset\R^{n+m}$ offen.  Sei $\phi\colon M\cap U\to\R^m$ eine
  $C^k$-Karte von $M$. Dann gilt $f\in C^k$ genau dann, wenn
  $f\circ\phi^{-1}\in C^k$ ist. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $M^m\subset\R^{n+m}$ eine $C^1$-Untermannigfaltigkeit und
  $f\colon M\to\R$ eine Funktion. Dann definieren wir den Gradienten
  von $f$ in $x$, $\nabla^Mf(x)$, als orthogonale Projektion von
  $\nabla_{\R^{n+1}}f(x)$ auf $T_xM\subset\R^{n+m}$ f\"ur eine
  beliebige $C^1$-Fortsetzung $\tilde f$ von $f$.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\nabla^M f$ ist wohldefiniert, \dh insbesondere von der Wahl
    der Fortsetzung von $f$ unabh\"angig. 
  \item Sei $N_1,\ldots,N_n$ eine Orthonormalasis von $(T_xM)^\perp$,
    so ist
    \[\nabla^M f(x)=\nabla\tilde f(x)-\sum\limits_{i=1}^n
    \left\langle \nabla\tilde f(x),N_i\right\rangle N_i.\]
    Insbesondere gilt also in Kodimension eins
    \[\nabla^M f(x)=\nabla\tilde f(x)-\left\langle \nabla\tilde
      f(x),\nu(x)\right\rangle\nu(x).\]
  \item Ist $\{T_i\}_{1\le i\le n}$ eine Basis von $T_xM$, so
    gilt \[\nabla^Mf(x) =\sum\limits_{i=1}^n
    \left\langle\nabla^Mf,T_i\right\rangle T_i.\] 
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $M^n\subset\R^{n+m}$ eine $C^1$-Untermannigfaltigkeit und
  $f\colon M\to\R$ von der Klasse $C^1$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $x_0\in M$ kritischer Punkt von $f$, falls
    $\nabla^M f(x_0)=0$ gilt.
  \item Ein kritischer Punkt $x_0\in M$ hei\ss{}t isoliert, falls es
    ein $\epsilon>0$ gibt, so dass kein $x\in B_\epsilon(x_0)\cap M$
    ein kritischer Punkt ist.
  \item \stern Ist jeder kritische Punkt isoliert, so sagen wir, dass
    $f$ nur isolierte kritische Punkte besitzt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Das folgende Lemma beschreibt eine Situationen, in der kritische
Punkte isoliert sind.
\begin{lemma}
  \label{str konv isol krit pkt lem}
  Sei $M^n\subset\R^{n+1}$ eine lokal strikt konvexe
  $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei $f:\R^{n+1}\rightarrow \R$ durch
  $f(x)=x^{n+1}$ gegeben. Dann besitzt $f$ auf $M$ nur isolierte
  kritische Punkte.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in M$ ein kritischer Punkt von $f$ auf $M$. Dann gilt
  \begin{align*}
    0=&\,\nabla^Mf(x_0) =\nabla f(x_0)-\langle\nabla f(x_0),
    \nu(x_0)\rangle \nu (x_0)\umbruch\\ 
    =&\,e_{n+1}- \langle e_{n+1},\nu(x_{0})\rangle \nu(x_{0}).
  \end{align*} 
  Also ist
  \begin{align*}
    1=&\,|e_{n+1}|=|\langle e_{n+1},\nu(x_0)\rangle \nu(x_0)|
    =|\langle e_{n+1}, \nu(x_0)\rangle|
  \end{align*}
  und somit gilt $\nu(x_{0})=\pm e_{n+1}.$ Wir nehmen ohne
  Einschr\"ankung $x_0=0$ und $\nu(x_0)=-e_{n+1}$ an. Dann
  gilt in einer Umgebung $U$ des Ursprungs $M=\graph u$ f\"ur eine
  Funktion $u:\R^n\rightarrow\R$ mit $Du(0)=0$ und $D^2u(0)\succ
  0$. Es folgt $Du(x)\neq0$ f\"ur $x\in U$ mit $x\neq0$. F\"ur solche
  Punkte $x$ gilt daher $\nu(x)\neq\pm \, e_{n+1}$. Aufgrund der
  obigen \"Uberlegungen ist $x$ also kein kritischer Punkt von
  $f$. Also ist $x_0$ ein isolierter kritischer Punkt von $f$ auf
  $M$.
\end{proof}

Das folgende Resultat gilt nat\"urlich in analoger Weise f\"ur
$t\to-\infty$. Wir folgen \cite{ThorpeElDG}. 
\begin{theorem}
  \label{neg grad fluss konv thm}
  Sei $M^m\subset\R^{n+m}$ eine geschlossene
  $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei $f\colon M\to\R$ von der Klasse
  $C^{1,1}$ und $f$ besitze nur isolierten kritische Punkte. Sei
  $\alpha\equiv\alpha_x\colon\R\to M$ eine L\"osung von
  $\dot\alpha(t)=-\nabla^M f(\alpha(t))$ f\"ur alle $t\in\R$ mit
  $\alpha_x(0)=x\in M$.\par Dann gelten die folgenden Aussagen:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es existiert $x_0\in M$ mit $x_0=\lim\limits_{t\to\infty}
    \alpha(t)$. 
  \item Es gilt $\nabla^M f(x_0)=0$. 
  \item $t\mapsto f(\alpha(t))$ ist monoton fallend. 
  \item Ist $x_0$ ein striktes lokales Minimum von $f|_M$, so
    ist \[\left\{x\in M\colon \lim\limits_{t\to\infty}
      \alpha_x(t)=x_0\right\}\] relativ offen in $M$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}
  \item Aufgrund der Kompaktheit von $M$ existiert die L\"osung
    $\alpha$ f\"ur alle $t\in\R$ mit $\alpha(t)\in M$ f\"ur alle
    $t\in\R$. Nochmals aufgrund der Kompaktheit gibt es ein $x_0\in M$
    und eine Folge $(t_k)_{k\in\N}\subset\R$ mit $t_k\to\infty$ f\"ur
    $k\to\infty$ und $\lim\limits_{k\to\infty} \alpha(t_k)=x_0$.
  \item  Wir behaupten, dass $\nabla^Mf(x_0)=0$ gilt:  Da
    $\dot\alpha(t)\in T_{\alpha(t)}M$ gilt, folgt
    \begin{align*}
      f(\alpha(t))-f(\alpha(0)) =&\,\int\limits_0^t\dt
      f(\alpha(t))\,dt\umbruch\\ =&\,\int\limits_0^t\langle\nabla
      f(\alpha(t)),\dot\alpha(t)\rangle\,dt\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^t\left\langle\nabla^Mf(\alpha(t)),
        -\nabla^Mf(\alpha(t))\right\rangle\,dt\umbruch\\
      =&\,-\int\limits_0^t\left|\nabla^Mf(\alpha(t))\right|^2\,dt.
    \end{align*}
    Da $M$ kompakt ist, ist $f$ beschr\"ankt. W\"are
    $\nabla^Mf(x_0)\neq0$, so g\"abe es eine Umgebung $U$ von $x_0$
    (in $M$) mit $\left|\nabla^Mf(x_0)\right|\ge\epsilon>0$. Sei
    $\delta>0$ mit $B_{2\delta}(x_0)\cap M\subset U$. Da $\ol U$ (und
    sogar $M$) kompakt ist, gilt $\left|\nabla^Mf(x)\right|\le M$
    f\"ur alle $x\in\ol U$. F\"ur gro\ss{}e $k\in\N$ gilt
    $\alpha(t_k)\in B_\delta(x_0)$. Wegen $|\dot\alpha(t)|\le M$ f\"ur
    $\alpha(t)\in\ol U$ folgt \[|\alpha(t)-\alpha(t_k)|\le
    M\cdot|t-t_k|\] f\"ur $\alpha([t_k,t])\subset\ol U$. Die Inklusion
    gilt zun\"achst f\"ur $t\approx t_k$ aus Stetigkeitsgr\"unden,
    dann aber aufgrund der obigen Absch\"atzung auch mindestens bis
    $|t-t_k|=\frac\delta M$. Nach \"Ubergang zu einer Teilfolge
    d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung $t_{k+1}>t_k+2\frac\delta M$,
    $\alpha(t_k)\in B_\delta(x_0)$ f\"ur alle $k\in\N$ und
    $t_0\ge\frac\delta M$ annehmen. Damit sind die Intervalle
    $\left(t_k-\frac\delta M, t_k+\frac\delta M\right)\subset\R_+$
    disjunkt und wir erhalten
    \begin{align*}
      -\infty<&\,f(\alpha(t_k))-f(\alpha(0))\umbruch\\
      =&\,-\int\limits_0^{t_k} \left|\nabla^Mf(\alpha(t))\right|^2\,dt
      \umbruch\\ \le&\,-\sum\limits_{k\in\N}\,\,\,
      \int\limits_{t_k-\frac\delta M}^{t_k+\frac\delta M}
      \left|\nabla^Mf(\alpha(t))\right|^2\,dt\umbruch\\
      \le&\,-\sum\limits_{k\in\N} 2\frac\delta M\epsilon^2 =-\infty. 
    \end{align*}
    Widerspruch. Somit gilt $\nabla^Mf(x_0)=0$.
  \item Es gilt $\lim\limits_{t\to\infty} \alpha(t)=x_0$: Falls nicht,
    so existiert, da eine Teilfolge trotzdem gegen $x_0$ konvergiert,
    f\"ur jedes hinreichend kleine $\epsilon>0$ eine Folge
    $t_k\to\infty$ mit \[|\alpha(t_{2k})-x_0|<\frac\epsilon2\quad
    \text{und}\quad|\alpha(t_{2k+1})-x_0|>\epsilon.\] Nach dem
    Zwischenwertsatz gibt es somit eine neue Folge
    $(\tau_k)_{k\in\N}\subset\R$ mit $t_{2k}<\tau_k<t_{2k+1}$ und
    $|\alpha(t_k)-x_0|=\epsilon$. Da $\partial B_\epsilon(x_0)\cap M$
    kompakt ist, konvergiert eine Teilfolge davon; ohne
    Einschr\"ankung gelte also $\alpha(\tau_k)\to
    x_\epsilon\in\partial B_\epsilon(x_0)$ f\"ur $k\to\infty$. Wie
    oben erhalten wir $\nabla^Mf(x_\epsilon)=0$. \par
    Wiederholen wir nun dieses Argument, so erhalten wir eine Folge
    $\epsilon_k\searrow0$ und Punkte $x_{\epsilon_k}\in\partial
    B_{\epsilon_k}(x_0)$ mit $\nabla^Mf(x_{\epsilon_k})=0$. Somit ist
    $x_0$ kein isolierter kritischer Punkt. Widerspruch.
  \item Da $x_0$ ein striktes lokales Minimum ist, gibt es
    $\epsilon>0$, so dass $f$ in $B_{2\epsilon}(x_0)\cap M$ nur den
    kritischen Punkt $x_0$ besitzt und $f(x)>f(x_0)$ f\"ur alle $x\in
    B_{2\epsilon}(x_0)\cap M$ gilt. Durch Verkleinern von $\epsilon>0$
    k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $\partial
    B_\epsilon(x_0)\cap M\neq\emptyset$ gilt. Wir
    setzen \[h:=\inf\limits_{x\in\partial B_\epsilon(x_0)\cap M}
    f(x).\] Das Infimum wird aufgrund der Kompaktheit angenommen und
    es gilt $h>f(x_0)$. Wir definieren weiter \[M^h:=\left\{x\in M\cap
      B_\epsilon(x_0)\colon f(x)<h\right\}.\] Sei $x_1\in M^h$
    beliebig. Betrachte das Anfangswertproblem
    \[
    \begin{cases}
      \dot\alpha(t)=-\nabla^Mf(\alpha(t)),&t\ge0,\\
      \alpha(0)=x_1. 
    \end{cases}
    \]
    Da $\alpha$ einen negativen Gradientenfluss erf\"ullt, gilt
    $f(\alpha(t))<h$ f\"ur alle $t\ge0$. Wir behaupten, dass
    $\alpha(t)\in M^h$ f\"ur alle $t\ge0$ gilt. Sonst g\"abe es ein
    minimales $t_0>0$ mit $\alpha(t_0)\in\partial B_\epsilon(x_0)\cap
    M$, da $\alpha$ wegen $f(\alpha(t))<h$ nie den Teil des Randes mit
    $f=h$ erreichen kann. Nach Definition von $h$ w\"are dann
    $f(\alpha(t_0))\ge h$. Widerspruch. \par Aufgrund der obigen
    Beweisteile existiert
    $\lim\limits_{t\to\infty}\alpha(t)=:x_\infty$. Da $\alpha$ in
    $M^h$ bleibt und $x_\infty$ ein kritischer Punkt von $f|_M$ ist,
    folgt $\alpha(t)\to x_0$ f\"ur $t\to\infty$. Die Menge $M^h$ ist
    also eine offene Umgebung von $x_0$ und alle L\"osungen von
    $\dot\alpha(t) =-\nabla^Mf(\alpha(t))$, die $\alpha(t_0)\in M^h$
    f\"ur ein $t_0\in\R$ erf\"ullen, konvergieren f\"ur $t\to\infty$
    gegen $x_0$. \par Sei $y\in M$ ein weiterer Punkt mit
    $\lim\limits_{t\to\infty}\alpha_y(t)=x_0$, wobei wir mit
    $\alpha_y$ eine L\"osung mit $\alpha(0)=\alpha_y(0)=y$ bezeichnet
    haben. Dann gibt es ein $T\ge0$ mit $\alpha_y(T)\in M^h$. Da
    L\"osungen stetig vom Anfangswert abh\"angen und $M^h$ (relativ)
    offen ist, gibt es ein $\delta>0$, so dass f\"ur alle $z\in
    B_\delta(y)$ auch $\alpha_z(T)\in M^h$ gilt. Daraus folgt
    $\lim\limits_{t\to\infty} \alpha_z(t)=x_0$. Wir erhalten die
    behauptete Offenheit. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\Section{Globale Konvexit\"at}
\label{globale konv sec}
Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen, dass lokal strikt konvexe
$C^2$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten auch global konvex
sind. Beachte, dass solch ein Resultat f\"ur immersierte
Mannigfaltigkeiten schon im Fall $n=1$ i.\,a.{} falsch ist.

Zur Erinnerung: 
\begin{definition}
  \stern
  Sei $K\subset\R^{n+1}$ eine Menge. Dann hei\ss{}t $K$ (global)
  konvex, falls es f\"ur jeden Punkt $x_0\in\partial K$ eine affin
  lineare Funktion $f$ mit $f(x_0)=0$ und
  $K\subset\{x\in\R^{n+1}\colon f(x)\le0\}$ gibt. 
\end{definition}

Wir folgen nochmals \cite{ThorpeElDG}. 
\begin{theorem}
  Sei $M^n\subset\R^{n+1}$ eine zusammenh\"angende lokal strikt
  konvexe $C^2$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit. Dann ist $M^n$
  (global) konvex.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis im Fall $n\ge2$]
  Sei $M$ nicht global konvex. Dann gibt es einen Punkt $x_0\in M$, so
  dass f\"ur jede affin lineare Funktion $f\colon\R^{n+1}\to\R$ mit
  $f(x_0)=0$ auch ein Punkt $x\in M$ mit $f(x)<0$ existiert (wir
  wenden die Definition auf $-f$ an). W\"ahle nun eine affin lineare
  Funktion $f$ mit $f(x_0)=0$ und $\{y\in\R^{n+1}\colon
  f(y)=0\}=T_{x_0}M$, so dass $f$ in $x_0$ ein lokales Minumum besitzt
  (benutze dazu die lokale Normalform). Ohne Einschr\"ankung d\"urfen
  wir nach einer Rotation annehmen, dass $f(y)=y^{n+1}$ gilt. Nach
  Annahme gibt es $x\in M$ mit $f(x)<0$. Da $M$ kompakt ist, besitzt
  $f|_M$ ein Minimum in einem Punkt $x_1$ mit
  $f(x_1)<f(x)<f(x_0)=0$. Seien $x_1,\ldots,x_N$ alle lokalen Minima
  von $f$. Dann gilt $N\ge2$. Nach Lemma \ref{str konv isol krit pkt
    lem} sind alle diese kritischen Punkte isolierte kritische Punkte
  von $f$.  Daher sind es auch nur endlich viele. Seien $U_i$ die nach
  Theorem \ref{neg grad fluss konv thm} in $M$ relativ offenen Mengen,
  die aus den Punkten $x\in M$ bestehen, so dass die L\"osungen
  \[
  \begin{cases}
    \dot\alpha(t)=-\nabla^Mf(\alpha(t)),&t\ge0,\\
    \alpha(0)=x&
  \end{cases}
  \]
  f\"ur $t\to\infty$ gegen $x_i$ konvergieren.  Sei $Z$ die nach Lemma
  \ref{str konv isol krit pkt lem} endliche Menge der lokalen Maxima
  von $f|_M$. Da L\"osungen $\alpha$ genau dann gegen einen Punkt in
  $Z$ konvergieren, wenn sie in $Z$ starten, gilt 
  \[M=Z\cup\bigcup\limits_{i=1}^N U_i\] und alle diese $N+1$ Mengen
  sind paarweise disjunkt. Wegen $n\ge2$ ist $M\setminus Z$
  zusammenh\"angend, sogar wegzusammenh\"angend (betrachte eine lokale
  Graphendarstellung um die isolierten Punkte in $Z$). Somit haben wir
  $M\setminus Z$ mit $\bigcup\limits_{i=1}^N U_i$ als disjunkte
  Vereinigung von offenen nichtleeren Mengen dargestellt. (Die Mengen
  $U_i$ sind sogar wegzusammenh\"angend.) Wegen $N\ge2$ erhalten wir
  einen Widerspruch dazu, dass $M\setminus Z$ zusammenh\"angend ist.
\end{proof}

\Section{Geod\"atische}
\Subsection{Geod\"atische auf Untermannigfaltigkeiten} 

\begin{definition} 
  Sei $M\subset \R^{n+1}$ eine $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei
  $\alpha: (a,b)\rightarrow \R^{n+1}$ eine $C^2$-Kurve mit
  $\alpha(t)\in M$ f\"ur alle $t\in (a,b)$. Dann hei\ss{}t $\alpha$
  Geod\"atische, falls
  \[\ddot{\alpha}(t)\in \left(T_{\alpha(t)}M\right)^\perp\]
  f\"ur alle $t\in(a,b)$ gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item In der Definition haben wir die Dimension von $M$ nicht
    vorgegeben. Auch $M=\R^{n+1}$ ist m\"oglich. Wir schreiben auch
    $\alpha:(a,b) \rightarrow M$. Manchmal betrachten wir auch
    Geod\"atische auf halb offenen oder abgeschlossenen Intervallen.
  \item Physikalische Interpretation: Beschreibt $\alpha(t)$ die Lage
    eines Massenpunktes auf $M$ zur Zeit $t$, so ist
    $m\ddot{\alpha}=F$ die auf den Massenpunkt wirkende Kraft. Die
    Bedingung $\ddot{\alpha}(t)\in\left(T_{\alpha(t)}M\right)^\perp$
    besagt also, dass keine tangentialen Kr\"afte auf den Massenpunkt
    wirken. In normaler Richtung wirken die Zwangskr\"afte, die den
    Massenpunkt auf $M$ halten. \par
    Im Falle $M=\R^{n+1}$ lautet die Bewegungsgleichung
    $\ddot{\alpha}=0$ und beschreibt die Bewegung eines Massenpunktes,
    auf den keine Kr\"afte wirken.
  \item Geometrische Folgerung: Definiere $\alpha(t):=x_0+t(x_1-x_0)$
    f\"ur $x_0\neq x_1\in \R^{n+1}$ und $t\in[0,1]$. Dann ist $\alpha$
    eine Geod\"atische mit L\"ange $L(\alpha)=|x_1-x_0|$. Sei
    $y:[0,1]\rightarrow\R^{n+1}$ eine weitere $C^1$-Kurve mit
    $y(0)=x_0$ und $y(1)=x_1$. Dann gilt aufgrund der
    Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und des Hauptsatzes der
    Differential- und Integralrechnung
    \begin{align*}
      L(y)=&\,\int\limits_0^1|\dot{y}(t)|\,dt\geq \int\limits_0^1
      \frac{\langle\dot{y}(t),x_1-x_0\rangle}{|x_1-x_0|} dt\umbruch\\  
      =&\,\frac{\langle y(1),x_1-x_0\rangle-\langle
        y(0),x_1-x_0\rangle}{|x_1-x_0|}\umbruch\\ 
      =&\,\frac{|x_1-x_0|^2}{|x_1-x_0|}=|x_1-x_0|=L(\alpha).
    \end{align*}
    Somit ist $y$ die K\"urzeste $C^1$-Kurve, die $x_0$ und $x_1$
    verbindet. Wir werden sp\"ater sehen, dass Geod\"atische,
    eingeschr\"ankt auf kleine Intervalle, ebenfalls die L\"ange
    zwischen ihren Endpunkten minimieren. Wir sagen daher, dass
    Geod\"atische lokal K\"urzeste sind.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proposition} 
  Eine Geod\"atische ist proportional zur Bogenl\"ange parametrisiert. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $\frac{d}{dt} |\dot{\alpha}(t)|^2 = 2\langle\dot{\alpha}(t),
  \ddot{\alpha}(t)\rangle=0.$
\end{proof}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $u,v\in \R^{n+1}$ und $\alpha(t)=u+vt\in M$ f\"ur alle
    $t\in (a,b).$ Dann ist $\alpha$ ein Geradensegment und eine
    Geod\"atische.
  \item Seien $u,v\in \R^{n+1}$ orthonormale Vektoren. Dann ist der
    Gro\ss{}kreis $\alpha:(a,b)\rightarrow \S^n$ mit $\alpha(t)=\cos t
    \cdot u+\sin t \cdot v$ eine Geod\"atische. 
  \item Sei $M=\S^1\times\R\subset\R^3$ ein Zylinder. Dann ist f\"ur
    beliebiges $h\in\R$ die Spiralkurve $ \alpha:\R\rightarrow M$,
    $t\rightarrow (\cos t, \sin t, ht)$ eine Geod\"atische, da
    \[\ddot{\alpha}(t)=\left (-\cos t,-\sin t,
      0\right)\in\left(T_{\alpha(t)}M\right)^\perp\] gilt. Wickeln wir
    den Zylinder auf die Ebene $\R^2$ ab, so wird aus der Spiralkurve
    $\alpha$ eine Gerade, also ebenfalls eine Geod\"atische. Es gilt
    allgemein, dass Isometrien $\Phi \colon M\rightarrow \tilde{M}$
    Geod\"atische auf Geod\"atische abbilden. Dabei ist es irrelevant,
    wie $M$ im Raum liegt. Wir sagen daher, dass die Eigenschaft,
    Geod\"atische zu sein, nur von der inneren Geometrie von $M$, also
    der Metrik, abh\"angt. Solche Dinge werden wir auch f\"ur abstrakte
    Mannigfaltigkeiten untersuchen. Weitere Beispiele, die nur von der
    inneren Geometrie abh\"angen, sind die L\"ange einer Kurve oder
    der Abstand zwischen zwei Punkten.
  \item Auf dem Ellipsoid
    \[M=\left\{(x,y,z)\in\R^3 \colon
      \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}\] ist
    jede proportional zur Bogenl\"ange parametrisierte Kurve, die in
    einer der Koordinatenebenen $\{x=0\}$, $\{y=0\}$ oder
    $\{z=0\}$ verl\"auft, eine Geod\"atische. \par
    Sei $E$ eine der Koordinatenebenen. Aus Symmetriegr\"unden gilt
    $\nu(\alpha(t))\in E$ f\"ur alle $t$. Die Vektoren
    $\dot{\alpha}(t)$ und $\nu(\alpha(t))$ bilden somit eine
    Orthonormalbasis von $E$. Aus $\alpha(t)\in E$ f\"ur alle $t$
    folgt auch $\ddot\alpha(t)\in E$. Schlie\ss{}lich gilt
    $\langle\ddot{\alpha}(t),
    \dot{\alpha}(t)\rangle=\frac{d}{dt}|\dot{\alpha}(t)|^2=0$. Daher
    ist $\ddot{\alpha}(t)$ proportional zu $\nu(x(t))$.
  \item Bestimme auf dem durch die Gleichung
    \[\beta(x^2+y^2)=z^2\]
    im $\R^3$ definierten Kegel Geod\"atische, die keine
    Geradenst\"ucke sind. Benutze dabei eine lokale Isometrie zu
    $\R^2$ f\"ur eine Vermutung \"uber das Aussehen dieser
    Geod\"atischen. (Details: \"Ubung.)
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{theorem}
  Sei $M\subset \R^{n+1}$ eine Untermannigfaltigkeit. Seien $p\in M$
  und $V\in T_pM$. Dann gibt es genau eine maximale Geod\"atische
  $\alpha$ mit $\alpha(0)=p$ und $\dot{\alpha}(0)=V$.
\end{theorem}
Ohne explizite Regularit\"atsangabe gehen wir stets davon aus, dass
alle Daten regul\"ar sind.
\begin{proof}[Beweis]
  Wir leiten zun\"achst eine gew\"ohnliche Differentialgleichung f\"ur
  $\alpha$ her. Ist $\alpha$ eine Geod\"atische auf einer
  Hyperfl\"ache, so gilt
  \[\ddot{\alpha}(t)=\left\langle\ddot{\alpha}(t),\nu(\alpha(t))
  \right\rangle\nu(\alpha(t)).\] Aus $\langle\dot{\alpha}(t),
  \nu(\alpha(t))\rangle=0$ erhalten wir
  \begin{align*}
    0=&\,\frac{d}{dt}\langle\dot{\alpha}(t),
    \nu(\alpha(t))\rangle\umbruch\\ 
    =&\,\langle\ddot{\alpha}(t),
    \nu(\alpha(t))\rangle+\left\langle\dot{\alpha}(t), \frac{d}{dt}
      \nu(\alpha(t))\right\rangle\umbruch\\ 
    =&\,\langle\ddot{\alpha}(t),
    \nu(\alpha(t))\rangle+\langle\dot{\alpha}(t),
    D\nu(\alpha(t))\langle\dot{\alpha}(t)\rangle\rangle.
  \end{align*}
  Oben eingesetzt erhalten wir also
  \begin{equation}
    \label{geod ode eq}
    \ddot{\alpha}(t)=-\langle\dot{\alpha}(t), D\nu
    (\alpha(t))\langle\dot{\alpha}(t)\rangle\rangle\cdot\nu\left
      ((\alpha(t)\right). 
  \end{equation}
  Sei nun (lokal) $M=f^{-1}(\{0\})$ eine
  Niveaufl\"achendarstellung. Wir setzen $\nu$ verm\"oge
  $\nu=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ in eine Umgebung von $M$
  fort. Nach dem Satz von Picard-Lindel\"of besitzt die obige
  Differentialgleichung f\"ur $\alpha$ eine eindeutig bestimmte
  maximale L\"osung $\alpha$ f\"ur die Anfangswerte $\alpha(0)=p$ und
  $\dot{\alpha}(0)=V$. Daher folgt die Behauptung, falls $\alpha(t)\in
  M$ f\"ur alle $t$ gilt.\par Es gilt
  \begin{align*}
    \frac{d}{dt} f(\alpha(t))=&\,\langle\nabla f(\alpha(t)),
    \dot{\alpha}(t)\rangle\umbruch\\ 
    =&\,\langle f(\alpha(t)), \nu (\alpha(t)\rangle \cdot \langle
    \nu(\alpha(t)), \dot{\alpha}(t)\rangle\umbruch\\ 
    =&\,|\nabla f(\alpha(t))| \cdot \langle \nu(\alpha(t)),
    \dot{\alpha}(t)\rangle.
  \end{align*}
  Wir definieren $g(t):=\langle\nu(\alpha(t)),
  \dot{\alpha}(t)\rangle$ und erhalten
  \[\dot{g}(t)=\langle  D\nu(\alpha(t))\langle\dot{\alpha}(t)
  \rangle\rangle +\langle \nu(\alpha(t)), \ddot{\alpha}(t)\rangle =0\]
  aufgrund der Differentialgleichung f\"ur $\alpha$. Somit folgt
  $g(t)=g(0)=0$ f\"ur alle $t$ und daraus $\frac{d}{dt}f(\alpha(t))=0$
  sowie $f(\alpha(t))=f(\alpha(0))=0$. Daher gilt $\alpha(t)\in M$
  f\"ur alle~$t$.
\end{proof}

\begin{beispiele} 
  In den folgenden Beispielen verzichten wir auf die Angabe der
  Parametrisierungen und geben \"ahnlich wie bei Hyperfl\"achen nur
  das Bild an.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Auf $\S^n$ sind alle Geod\"atischen Teile von Gro\ss{}kreisen,
    da f\"ur beliebige $p\in\S^n, V \in T_p\S^n$ ein Gro\ss{}kreis,
    also ein Geod\"atische, mit diesen Anfangsdaten existiert.
  \item Mit einer analogen Begr\"undung erhalten wir, dass auf dem
    Zylinder $\S^1\times\R$ s\"amtliche Geod\"atischen durch
    Spiralkurven, durch zu Kreisen $\S^1\times\{x\}$ oder durch zu
    Geraden $\{p\}\times\R$ degenerierten Spiralkurven gegeben sind.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition} 
  Eine Untermannigfaltigkeit hei\ss{}t geod\"atisch vollst\"andig,
  wenn jede maximale Geod\"atische auf ganz $\R$ definiert ist.
\end{definition}

\begin{beispiele}  
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\S^n$, $\S^{n-1}\times \R$, und $\R^{n+1}$ sind geod\"atisch
    vollst\"andig. Wir kennen alle Geod\"atischen und wissen, dass sie
    auf ganz $\R$ definiert sind.
  \item $\S^n\backslash \{p\}$ f\"ur ein beliebiges $p\in \S^n$ ist
    nicht geod\"atisch vollst\"andig, da jede maximale Geod\"atische
    durch $-p$ ein Gro\ss{}kreis ist, der auch durch $p$ l\"auft.
  \item $\R^{n+1} \backslash\{0\}$ ist nicht geod\"atisch
    vollst\"andig.
  \item $B_1(0)$ ist nicht geod\"atisch vollst\"andig.
  \item $\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2=z^2, z\neq0\}$ ist nicht
    geod\"atisch vollst\"andig, da $\alpha(t)=(t,0,t)$, $t>0$, eine
    maximale Geod\"atische ist.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{theorem}
  Sei $M\subset \R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale
  Untermannigfaltigkeit. Sei $M$ als metrischer Raum mit der von der
  euklidischen Metrik induzierten Metrik vollst\"andig. Dann ist $M$
  geod\"atisch vollst\"andig.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha\colon I\rightarrow M$ eine maximale Geod\"atische. Wir
  d\"urfen nach Umparametrisierung verm\"oge $\alpha(\lambda t),
  \lambda>0$, ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $\alpha$ nach der
  Bogenl\"ange parametrisiert ist: $|\dot{\alpha}(t)|\equiv 1$.\par
  Angenommen es gilt $\sup I=\colon T<\infty$.\par
  Aus $|\dot{\alpha}(t)|=1$ folgt
  \[|\alpha(t)-\alpha(s)| \leq \int\limits^t_s
  |\dot{\alpha}(\tau)|\,d\tau=|t-s|.\] Daher existiert
  \[p\colon =\lim\limits_{t \nearrow T} \alpha(t) \in \R^{n+1}\] Da
  $M$ als metrischer Raum vollst\"andig ist, folgt auch $p\in M$. Mit
  der Differentialgleichung \eqref{geod ode eq} und
  $|\dot{\alpha}(t)|=1$ erhalten wir f\"ur gro\ss{}e $s<t<T$
  \begin{align*}
    |\dot{\alpha}(t)-\dot{\alpha}(s)|
    =&\,\left|\int\limits_s^t\ddot\alpha(\tau)\,d\tau\right|
    \leq \int\limits^t_s|\ddot{\alpha}(\tau)|\,d\tau 
    =\int\limits^t_s|\langle\dot{\alpha}(\tau),
    D\nu(\alpha(\tau))\langle\dot{\alpha}(\tau)
    \rangle\rangle|\,d\tau\umbruch\\
    \leq &\, \int^t_s |D\nu (\alpha(\tau))d\tau
    \leq  \sup\limits_{{B_\epsilon}(p)\cap M} |D\nu| \cdot |t-s|,
  \end{align*}
  falls $\alpha(\tau)\in B_\epsilon (p)$ f\"ur alle $\tau>s$ gilt.
  Wir nehmen nun an, dass $\epsilon>0$ so klein gew\"ahlt ist, dass
  $\sup\limits_{{B_\epsilon}(p)\cap M} |D\nu| < \infty$ gilt. Wir
  erhalten daraus, dass auch
  \[V:= \lim\limits_{t\nearrow T} \dot{\alpha} (t) \in \R^{n+1}\]
  existiert. Im Grenz\"ubergang \"uberlebt auch die
  Orthogonalit\"atsbedingung
  \[\langle V, \nu(p)\rangle=\lim\limits_{t\nearrow
    T}\langle\dot{\alpha}(t), \nu(\alpha(t))\rangle=0\] Somit gilt
  $V\in T_pM$.\par
  Sei $\beta\colon [0,\delta)\rightarrow M$ eine L\"osung der
  Differentialgleichung \eqref{geod ode eq} mit Anfangswerten
  $\beta(0)=p$ und $\dot{\beta}(0)=V$. Die Differentialgleichung
  \eqref{geod ode eq} ist wegen
  \[\dot{\alpha}(t)-\dot{\alpha}(s)
  =\int\limits^t_s\ddot{\alpha}(\tau)\,d\tau\]  
  \"aquivalent zur Integralgleichung
  \[\dot{\alpha}(t)-\dot{\alpha}(s)
  =-\int\limits^t_s\langle\dot{\alpha}(\tau), 
  D\nu(\alpha(\tau))\langle\dot{\alpha}(\tau)\rangle\rangle\cdot
  \nu(\alpha(\tau))\,d\tau.\] Zun\"achst ist
  \[\gamma(t):=
  \begin{cases}
    \alpha(t), &t<T,\\
    \beta(t-T), &T\leq t<T+\delta
  \end{cases}\] eine $C^1$-Kurve auf $M$. Damit l\"osen nicht nur
  $\alpha$ und $\beta$, sondern auch $\gamma$ die Integralgleichung,
  insbesondere nahe $t=T$. Daher ist auch $\gamma\in C^2$ und $\gamma$
  l\"ost \eqref{geod ode eq}. Daher war $T<\infty$ nicht
  maximal. Widerspruch. Somit ist $M$ geod\"atisch vollst\"andig.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $M\in \R^{n+1}$ eine geschlossene $n$-dimensionale
  Untermannigfaltigkeit. Dann ist $M$ geod\"atisch vollst\"andig.
\end{corollary}

\Subsection{Kovariante Ableitung, Parallelverschiebung}
Wir nehmen wieder an, dass alle betrachteten Objekte glatt sind. 

\begin{definition}
  Sei $M$ eine regul\"are Hyperfl\"ache. Sei $\alpha:I\rightarrow M$
  eine Kurve.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $X:I\rightarrow\R^{n+1}$ ein (tangentiales)
    Vektorfeld l\"angs $\alpha$, falls
    \[X(t)\in T_{\alpha(t)}M\] f\"ur alle $t\in I$ gilt.
  \item Die kovariante Ableitung von $X$ l\"angs $\alpha$ ist das
    (tangentiale) Vektorfeld
    \[\frac{D}{dt}X(t)=\frac{dX}{dt}(t)-\left
      \langle\nu(\alpha(t)),\frac{dX}{dt}(t)\right
    \rangle\nu(\alpha(t)),\] also die Projektion von $\dot{X}$ auf
    $T_{\alpha(t)}M$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
  $\alpha$ ist genau dann eine Geod\"atische, wenn $\frac{D}{dt}
  \dot{\alpha}(t)=0$ gilt.
\end{beispiel}

\begin{lemma}
  F\"ur die kovariante Ableitung von (tangentialen) Vektorfeldern
  $X,Y$ und f\"ur eine Funktion $f\colon I\rightarrow \R$ gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\frac{D}{dt}(X+Y)=\frac{D}{dt}X+\frac{D}{dt}Y,$
  \item $\frac{D}{dt}(fX)=\frac{d}{dt}fX+f\frac{D}{dt}X,$
  \item $\frac{D}{dt}(X,Y) =\left\langle\frac{D}{dt}X,Y\right\rangle
    +\left\langle X,\frac{D}{dt}Y\right\rangle.$
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze die entsprechenden Eigenschaften der Ableitung aus der
  Analysis-Vorlesung und die Definition der kovarianten
  Ableitung. Beispielsweise gilt:
  \[\frac{d}{dt}\langle X, Y\rangle=\left\langle\dot X,Y\right\rangle
  +\left\langle X,\dot Y\right\rangle =
  \left\langle\frac{D}{dt}X,Y\right\rangle+\left\langle
    X,\frac{D}{dt}Y\right\rangle,\] da $X(t),Y(t)\in T_{\alpha(t)}M$
  gilt. Dies liefert (iii).
\end{proof}

\begin{definition}
  Ein Vektorfeld $X$ l\"angs $\alpha$ hei\ss{}t parallel l\"angs
  $\alpha$, falls $\frac{D}{dt}X=0$ gilt.
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $\alpha$ eine Geod\"atische. Dann ist $\dot{\alpha}$ l\"angs
  $\alpha$ parallel.
\end{beispiel}

\begin{proposition}
  Sei $\alpha:I\rightarrow M$ eine Kurve und seien $X,Y$ l\"angs
  $\alpha$ parallele Vektorfelder. Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X+Y$ und $aX$, $a\in \R$, sind ebenfalls l\"angs $\alpha$
    parallele Vektorfelder.
  \item Insbesonder bilden die l\"angs $\alpha$ parallelen
    Vektorfelder also einen Vektorraum.
  \item $|X(t)|$ ist konstant.
  \item\label{parallel eig iv} $\langle X(t),Y(t)\rangle$ ist
    konstant. Insbesondere ist also auch der Winkel $\gamma(t)$
    zwischen zwei nichtverschwindenden Vektorfeldern mit $\cos
    \gamma(t)=\frac{\langle X(t), Y(t)\rangle}{|X(t)|\cdot |Y(t)|}$
    konstant.
  \end{enumerate} 
\end{proposition}

\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Klar.
  \item Klar.
  \item Dies folgt aus \eqref{parallel eig iv}.
  \item Es gilt $\frac{d}{dt}\langle
    X(t),Y(t)\rangle=\left\langle\frac{D}{dt}X(t),
      Y(t)\right\rangle+\left\langle
      X(t),\frac{D}{dt}Y(t)\right\rangle=0$.\qedhere
  \end{enumerate} 
\end{proof}
 
\begin{theorem}
  Sei $M$ eine Hyperfl\"ache und $\alpha:I\rightarrow M$ eine
  Kurve. Sei $0\in I$ und $\alpha(0)=p$. Sei $X_0\in T_pM$. Dann gibt
  es genau ein l\"angs $\alpha$ paralleles Vektorfeld $X$ mit
  $X(0)=X_0$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition der kovarianten Ableitung und mit $\langle
  X(t),\nu(\alpha(t))\rangle=0$ erhalten wir
  \begin{align*}
    \dot{X}(t)=&\,\frac{D}{dt}X(t)+\langle\dot{X}(t),
    \nu(\alpha(t))\rangle\nu(\alpha(t))\umbruch\\
    =&\,\frac{D}{dt}X(t)+\frac{d}{dt}\langle
    X(t),\nu(\alpha(t))\rangle\nu(\alpha(t))-\left\langle
      X(t),\frac{d}{dt}\nu(\alpha(t))
    \right\rangle\nu(\alpha(t))\umbruch\\  
    =&\,\frac{D}{dt}X(t)-\left\langle
      X(t),\frac{d}{dt}\nu(\alpha(t))\right\rangle\nu(\alpha(t)).
  \end{align*}
  Daher muss jedes l\"angs $\alpha$ parallele Vektorfeld $X$ die
  gew\"ohnliche Differentialgleichung
  \[\dot{X}(t)=-\left\langle
    X(t),\frac{d}{dt}\nu(\alpha(t))\right\rangle\nu(\alpha(t))\]
  erf\"ullen. Dies ist eine lineare gew\"ohnliche
  Differentialgleichung. Daher gibt es eine globale L\"osung $X(t)\in
  C^\infty\left(I,\R^{n+1}\right)$. Aus dieser Differentialgleichung
  folgt auch, dass $Y(t)$ tangential bleibt, da
  \[\frac{d}{dt}\langle
  X(t),\nu(\alpha(t))\rangle=\langle\dot{X}(t),\nu(\alpha(t))\rangle
  +\left\langle X(t),\frac{d}{dt}\nu(\alpha(t))\right\rangle=0\]
  gilt.
\end{proof}
 
\begin{corollary}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache und $\alpha:I\rightarrow
  M$ eine Kurve. Dann bilden die l\"angs $\alpha$ parallelen
  Vektorfelder $X$ einen n-dimensionalen Vektorraum.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir haben bereits gesehen, dass die parallelen Vektorfelder l\"angs
  $\alpha$ einen Vektorraum bilden. Sei $t_0\in I$. Dann ist $X$
  eindeutig durch $X(t_0)$ bestimmt. Somit ist der Vektorraum
  n-dimensional.
\end{proof}
 
\begin{beispiel}
  Sei $\alpha:\R\rightarrow\S^2$ der \"Aquator auf der Sph\"are mit
  $\alpha(t)=\cos t\cdot e_1+\sin t\cdot e_2$, wobei $e_1,e_2,e_3$
  die Standardbasis des $\R^3$ bezeichnet.\par
  Dann gilt
  \[T_{\alpha(t)}\S^2=\langle \dot{\alpha}(t),e_3\rangle.\] Jedes
  l\"angs $\alpha$ parallele Vektorfeld $X$ hat die Form
  \[X(t)=c_1\cdot\dot\alpha(t)+c_2\cdot e_3\] mit $c_1,c_2\in \R.$
\end{beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $\dot \alpha(t)\perp e_3 \perp \alpha(t)\perp\dot\alpha(t)$
  ist klar, dass $\dot \alpha(t)$ und $e_3$ den Tangentialraum
  $T_{\alpha(t)}\S^2$ aufspannen. $\dot \alpha$ ist parallel, da
  $\alpha$ eine Geod\"atische ist. Da $e_3 \in T_{\alpha(t)} \S^2$
  ist, konstante L\"ange hat und stets senkrecht auf $\dot \alpha(t)$
  steht, ist $e_3$ ein paralleles Vektorfeld l\"angs $\alpha$. Da die
  parallelen Vektorfelder l\"angs $\alpha$ einen 2-dimensionalen
  Vektorraum bilden, hat $X$ die angegebene Form.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\alpha$ eine Kurve in einer Hyperfl\"ache
  $M\subset\R^{n+1}$. Seien $p=\alpha(0)$ und $q=\alpha(1)$. Sei
  $X_0\in T_pM$ und $X$ das parallele Vektorfeld l\"angs $\alpha$ mit
  $X(0)=X_0$. Dann definieren wir die Parallelverschiebung
  \[P_\alpha\colon T_pM\rightarrow T_qM\] durch \[X_0\rightarrow
  X(1).\]
\end{definition}

\begin{theorem}
  Die Parallelverschiebung ist ein isometrischer Vektorraumisomorphismus.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da parallele Vektorfelder l\"angs $\alpha$ einen Vektorraum bilden,
  folgt die Linearit\"at. Aus $|X(0)|=|X(1)|$ erhalten wir, dass $
  P_\alpha$ die Norm erh\"alt und insbesondere injektiv ist. Wegen
  $\dim T_pM= \dim T_qM<\infty$ ist $P_\alpha$ damit auch
  surjektiv. Somit ist $P_\alpha$ ein Vektorraumisomorphismus.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Parallelverschiebung entlang eines st\"uckweise glatten
    Weges $\alpha_k+\ldots +\alpha_1$ definieren wir durch
    $P_{\alpha_{k}} \circ\ldots \circ P_{\alpha_{1}}.$
  \item Die Parallelverschiebung $P_\alpha$ h\"angt nicht nur von
    $\alpha (0)$ und $\alpha(1)$, sondern auch vom Weg dazwischen ab,
    selbst bei Geod\"atischen. 
    (Details: \"Ubung.)
  \end{enumerate}
\end{bemerkung}

\iffalse
\fbox{Luecke}

\Subsection{Umbilische Hyperfl\"achen}
\begin{theorem}[Codazzigleichungen, Codazzi-Mainardi Gleichungen]
  Quelle: \cite{Spivak4}\label{Codazzi thm}\rule{0mm}{1mm}\\ F\"ur
  eine glatt immersierte Hyperfl\"ache $M$ gilt $$\left\langle\ol
    R(\ol X,\ol Y)\ol
    Z,\nu\right\rangle=-\nabla_XA(Y,Z)+\nabla_YA(X,Z),$$ wobei
  $X,Y,Z\in TM$.  Wir erhalten in Koordinaten $$h_{ij;k}=h_{ik;j}+\ol
  R_{\alpha\beta\gamma\delta}\nu^\alpha
  X^\beta_iX^\gamma_jX^\delta_k.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da es sich um eine Tensorgleichung handelt, gen\"ugt es, sie f\"ur
  Vektorfelder mit paarweise verschwindender Lieklammer (z.\,B.{}
  Koordinatenvektorfelder) nachzurechnen. Es gilt
  \begin{align*}
    \nabla_X\nabla_YZ=&\,\nabla_X\left(\ol\nabla_{\ol Y}\ol
      Z-\left\langle\ol\nabla_{\ol Y}\ol
        Z,\nu\right\rangle\nu\right)\umbruch\\ 
    =&\,\nabla_X\ol\nabla_{\ol Y}\ol Z+\nabla_X(A(Y,Z)\nu)
    \quad\text{Gau\ss{}sche Formel}\umbruch\\
    =&\,\ol\nabla_{\ol X}\ol\nabla_{\ol Y}\ol Z
    -\left\langle\ol\nabla_{\ol X}(\ol\nabla_{\ol Y}\ol
      Z),\nu\right\rangle\nu +\nabla
    X(A(Y,Z)\nu)\umbruch\\
    =&\,\ol\nabla_{\ol X}\ol\nabla_{\ol Z}\ol Z
    +A(X,\nabla_YZ)\nu +\nabla_X(A(Y,Z)\nu),\\
    \intertext{da die zweite Fundamentalform auf normalen Anteilen
      verschwindet} =&\,\ol\nabla_{\ol X}\ol\nabla_{\ol Y}\ol
    Z+A(X,\nabla_YZ)\nu +\nabla_XA(Y,Z)\nu +A(\nabla_XY,Z)\nu\\
    &\,+A(Y,\nabla_XZ)\nu +A(Y,Z)\nabla_X\nu.
  \end{align*}
  Nach Definition ist die linke Seite ein Tangentialvektor. Daher
  liefert Multiplikation mit $\nu$
$$0=\left\langle\ol\nabla_{\ol X}\ol\nabla_{\ol Y}\ol Z,\nu\right\rangle
+A(X,\nabla_YZ) +\nabla_XA(Y,Z) +A(\nabla_XY,Z) +A(Y,\nabla_XZ).$$ Wir
haben angenommen, dass die auftretenden Lieklammern verschwinden.
Somit gilt
\begin{align*}
  \left\langle\ol R(\ol X,\ol Y)\ol Z,\nu\right\rangle=&\,\left\langle\ol\nabla_{\ol
    X}\ol\nabla_{\ol Y}\ol Z-\ol\nabla_{\ol Y}\ol\nabla_{\ol X}\ol
  Z,\nu\right\rangle\umbruch\\
  =&\,-\ul{A(X,\nabla_YZ)}-\nabla_XA(Y,Z) -A(\nabla_XY,Z)
  -\ul{A(Y,\nabla_XZ)}\\ 
  &\,+\ul{A(Y,\nabla_XZ)} +\nabla_YA(X,Z) +A(\nabla_ZX,Z)
  +\ul{A(X,\nabla_YZ)}\umbruch\\ =&\,-\nabla_XA(Y,Z)+\nabla_YA(X,Z)
  +A(Z,\nabla_YX-\nabla_XY)\umbruch\\
  =&\,-\nabla_XA(Y,Z)+\nabla_YA(X,Z).
\end{align*}
Somit folgt in Koordinaten
\begin{align*}
  \ol R_{\alpha\beta\gamma\delta}
  X^\alpha_iX^\beta_iX^\gamma_k\nu^\delta=&\,\left\langle\ol
  R\left(\ol{\fracp{}{x^j}},\ol{\fracp{}{x^i}}\right)\ol{\fracp{}{x^k}},
  \nu\right\rangle\umbruch\\ 
  =&\,-\nabla_jA\left(\fracp{}{x^i},\fracp{}{x^k}\right)
  +\nabla_iA\left(\fracp{}{x^j},\fracp{}{x^k}\right)\umbruch\\
  =&\,-h_{ik;j}+h_{jk;i}.
\end{align*}
Austauschen von $i$ und $j$ liefert
\begin{align*}
  h_{ij;k}=&\,h_{ji;k}=h_{ik;j}+\ol R_{\alpha\beta\gamma\delta}
  X^\alpha_kX^\beta_jX^\gamma_i\nu^\delta\umbruch\\ =&\,h_{ik;j}+\ol
  R_{\alpha\beta\gamma\delta}
  X^\alpha_i\nu^\beta X^\gamma_kX^\delta_j\umbruch\\ =&\,h_{ik;j}+\ol
  R_{\alpha\beta\gamma\delta}\nu^\alpha X^\beta_iX^\gamma_jX^\delta_k 
\end{align*}
aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Riemannschen Kr\"ummungstensors.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Die kovariante Ableitung der zweiten Fundamentalform einer in den
  $\R^{m+1}$ isometrisch immersierten Hyperfl\"ache ist ein total
  symmetrischer kovarianter $3$-Tensor:
$$h_{ij;k}=h_{ik;j}=h_{jk;i}=h_{ji;k}=h_{ki;j}=h_{kj;i}.$$
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  In $\R^{m+1}$ gilt $\ol R_{\cdot\cdot\cdot\cdot}=0$. $h_{ij}$ ist
  symmetrisch. Benutze nun Theorem \ref{Codazzi thm}.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $M$ eine immersierte Hyperfl\"ache.  Ein Punkt $p\in M$
  hei\ss{}t Nabelpunkt (englisch: umbilischer Punkt), falls dort alle
  Hauptkr\"ummungen \"ubereinstimmen
  \[A(\cdot,\cdot)=\lambda\left\langle\cdot,\cdot\right\rangle.\]
  Eine Hyperfl\"ache hei\ss{}t (total) umbilisch, falls sie in jedem
  Punkt umbilisch ist, d.\,h.{}, falls es eine Funktion
  $\lambda=\lambda(p)$ gibt, so dass
  \[A(\cdot,\cdot)=\lambda\left\langle\cdot,\cdot\right\rangle\] gilt. 
\end{definition}

\begin{theorem}[Carath\'eodory-Vermutung]
  Jede kompakte konvexe Fl\"ache in $\R^3$ besitzt mindestens zwei
  umbilische Punkte. 
\end{theorem}
Es ist leicht zu sehen, dass es mindestens einen Nabelpunkt geben
mu\ss{}. Inzwischen gibt es eine Beweis der Carath\'eodory-Vermutung,
siehe \cite{CaratheodoryConjecture}.

Sind alle Punkte Nabelpunkte, so k\"onnen wir die Fl\"ache
beschreiben. (Wir folgen \cite{BoediSkript}.)
\begin{theorem}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine zusammenh\"angende total umbilische
  Hyperfl\"ache und $n\ge2$. Dann ist $M$ Teil einer Hyperebene
  oder einer $n$-dimensionalen Sph\"are.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Gelte $$h_{ij}=\lambda(x)g_{ij}.$$ Wir zeigen zun\"achst, dass
  $\lambda$ lokal konstant ist. Es gilt nach Codazzi
  \begin{align*}
    H_{;k}=&\,g^{ij}h_{ij;k}=g^{ij}h_{ik;j}
    =g^{ij}(\lambda(x)g_{ik})_{;j}\umbruch\\
    =&\,g^{ij}\lambda_{;j}g_{ik}=\lambda_{;j}\delta^j_k=\lambda_{;k}.
  \end{align*}
  Andererseits gilt $$H_{;k}=\left(g^{ij}h_{ij}\right)_{;k}
  =\left(g^{ij}\lambda(x)g_{ij}\right)_{;k} =n\lambda_{;k}.$$ Somit
  ist $\lambda$ konstant. Sei zun\"achst $\lambda\neq0$. Definiere
  $$a:=X-\tfrac1\lambda\nu.$$ Differenzieren liefert, da $\lambda$
  konstant ist
  \begin{align*}
    a^\alpha_{;k}=&\,X^\alpha_{;k} -\tfrac1\lambda\nu^\alpha_{;k}
    =X^\alpha_{;k}-\tfrac1\lambda h^l_kX^\alpha_{;l}\umbruch\\
    =&\,X^\alpha_{;k}-\tfrac1\lambda h_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l}
    =X^\alpha_{;k}-\tfrac1\lambda\lambda
    g_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l}\umbruch\\
    =&\,X^\alpha_{;k}-\delta^l_kX^\alpha_{;l}
    =X^\alpha_{;k}-X^\alpha_{;k}=0.
  \end{align*}
  Somit gilt $X=\frac1\lambda\nu+P$ f\"ur ein $P\in\R^{n+1}$. Daher
  ist $X$ stets in einer Sph\"are vom Radius $\frac1\lambda$ um $P$
  enthalten und die Behauptung folgt. \par Sei nun $\lambda=0$. Es
  gilt $$\nu^\alpha_{;k} =h^l_kX^\alpha_{;l}
  =h_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l} =\lambda g_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l}=0.$$
  Somit ist der Normalenvektor entlang der Hyperfl\"ache konstant.
  Daher liegt $M$ in einer Hyperebene.
\end{proof}

\Section{Der abstrakte Tangentialraum}

\Section{Weiter m\"ogliche Themen}
Irgendwas mit dem Riemannschen Kr\"ummungstensor, Theorema egregium
\fi

\renewcommand{\refname}{Literatur}
\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain}
\bibliography{/Users/admin/uni/math/bib/biblio}


\end{document}
