% 
% Differentialgeometrie I+II
% Oliver Schn\"urer
% FU Berlin, Winter 2008/2009, kleiner Teil
% Uni Konstanz, Sommer 2010, Winter 2013/14, Winter 2017/18,
% Sommer 2021
%
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Differentialgeometrie I+II}

%    Information for first author
\author[Differentialgeometrie]{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Fachbereich Mathematik und Statistik,
  Universit\"at Konstanz, 78457 Konstanz, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{Vielen Dank an Hakar Raji und Florian Schilbert f\"ur
  Korrekturen und an Elisabeth Greiler f\"ur das Tippen einiger
  Abschnitte.}

%    General info
\subjclass[2000]{53-01}
% 53-xx Differential geometry
% 53-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) 
% 53C22 Geodesics [See also 58E10]

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

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%\setlength{\parskip}{0.5em}

\begin{abstract}
  Skript zu einer Vorlesung Differentialgeometrie I an der
  Universit\"at Konstanz.
  % , entstanden aus dem fr\"uheren Manuskript zur Elementaren
  % Differentialgeometrie:  Wintersemester 2017/18.
  % alt/dg1.tex.15 ist die alte Version, bevor ich mehr in Richtung
  % Differentialgeometrie von Untermannigfaltigkeiten umgestellt
  % habe. 
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

%\mainmatter
%\addtocounter{section}{-1}

% % Spezielle Kopfzeilen 
% \long\def\Section#1{\section{#1} \def\abschnitt{#1}}
% \long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
% \markboth{\scriptsize{\textsc{\thesection.{} 
% \MakeUppercase{\abschnitt}}}}%
% {\scriptsize{\textsc{\thesection.{} 
% \MakeUppercase{\abschnitt}}}}{}
% %{\scriptsize{\textsc{\thesubsection.{} \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}

\noindent In der Differentialgeometrie geht es um Mannigfaltigkeiten
und deren Kr\"um\-mung.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Wir orientieren uns an \cite{KuwertElDG,StruweDG1}, benutzen aber auch
\cite{TomiDG1}.

\section{Isometrien des $\R^n$}
\datum{Mo 12.04.2021}
\subsection{Klassifikation der Isometrien des $\R^n$}

\begin{definition}
  Eine Abbildung $f\colon(X_1,d_1)\to(X_2,d_2)$ zwischen zwei
  metrischen R\"aumen $(X_i,d_i)$ hei\ss{}t Isometrie, falls
  \[d_2(f(x),f(y))=d_1(x,y)\] f\"ur alle $x,y\in X_1$ gilt und $f$
  surjektiv ist. 
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann bildet die Menge der
  Isometrien $f\colon(X,d)\to(X,d)$ bez\"uglich der Komposition von
  Abbildungen eine Gruppe. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Isometrien sind injektiv, also auch bijektiv und daher invertierbar
  mit bijektiver Inversen. Seien $f,g$ Isometrien. Dann folgt aus
  $d(f(x),f(y))=d(x,y)$ auch $d(x,y)=d(f^{-1}(x),f^{-1}(y))$. Daher
  ist $f^{-1}$ ebenfalls eine Isometrie. Es gilt \[d(f\circ
  g(x),f\circ g(y)) =d(g(x),g(y)) =d(x,y),\] jeweils f\"ur alle
  $x,y\in X$. Die Bijektivit\"at von $f$ und $g$ \"ubertr\"agt sich
  auf die Komposition $f\circ g$. Die Identit\"at $x\mapsto x$ ist das
  neutrale Element.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Die Isometrien $f\colon\R^n\to\R^n$ des $\R^n$ mit euklidischer
  Metrik sind genau die Abbildungen der Form \[f(x)=Ax+b\] mit $A\in
  O(n)$ und $b\in\R^n$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \Rueckrichtung Gelte $f(x)=Ax+b$. Dann rechnet man direkt nach, dass
  es sich um eine Isometrie handelt.\par
  \Hinrichtung Sei $f$ eine beliebige Isometrie. Durch Addition
  eines konstanten Vektors in $\R^n$ d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $f(0)=0$ gilt. Wir erhalten \[|f(x)| =d(f(x),0)
  =d(f(x),f(0)) =d(x,0) =|x|\] f\"ur alle $x\in\R^n$. Da $f$ eine
  Isometrie ist, gilt $|f(x)-f(y)|=|x-y|$. Aufgrund der
  Polarisationsformel (oder durch direktes Ausmultiplizieren der
  quadrierten Normen) erhalten wir
  \begin{align*}
    2\langle f(x),f(y)\rangle =&\,|f(x)|^2+|f(y)|^2-|f(x)-f(y)|^2\\
    =&\,|x|^2+|y|^2-|x-y|^2 =2\langle x,y\rangle.
  \end{align*}
  Somit erh\"alt $f$ auch das Skalarprodukt. Sei $(e_i)_{1\le i\le n}$
  die Standardbasis des $\R^n$. Wir erhalten $\langle
  f(e_i),f(e_j)\rangle =\langle e_i,e_j\rangle =\delta_{ij}$. Dies
  besagt, dass auch $(f(e_i))_{1\le i\le n}$ eine \ONB ist. Daher gilt
  f\"ur $x\in\R^n$ \[f(x)=\sum\limits_{i=1}^n\langle
  f(x),f(e_i)\rangle f(e_i) =\sum\limits_{i=1}^n\langle x,e_i\rangle
  f(e_i) =\sum\limits_{i=1}^nx^if(e_i).\] Somit ist $f$ eine lineare
  Abbildung. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass eine lineare
  Abbildung, die eine \ONB auf eine andere \ONB abbildet, durch eine
  orthogonale Matrix dargestellt wird. (Die Surjektivit\"at von $f$
  haben wir hier nicht benutzt.)
\end{proof}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Die Isometrien $f(x)=Sx+b$, $S\in O(n)$, $b\in\R^n$,
    $x\in\R^n$ hei\ss{}en (Euklidische) oder starre Bewegungen.
  \item Die Isometrie $f(x)=Sx+b$ hei\ss{}t orientierungserhaltend
    oder eigentliche Bewegung, falls $\det S=1$ f\"ur die orthogonale
    Matrix $S$ gilt und sonst orientierungsumkehrend.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
  Seien $x,y\in\R^n\setminus\{0\}$. Dann hei\ss{}t 
  \[\sphericalangle(x,y)=\arccos\frac{\langle
    x,y\rangle}{|x|\cdot|y|}\in [0,\pi]\]
  der Winkel zwischen $x$ und $y$. 
\end{definition}

\section{Hyperfl\"achen}

\subsection{Definitionen}

Hyperfl\"achen lassen sich auf verschiedene Arten beschreiben. Wir
geben einige solche Definitionen und beschreiben, wie diese Konzepte
zusammenh\"angen. H\"aufig werden wir uns dabei auf Hyperfl\"achen
beschr\"anken.
% Wenn wir aber beispielsweise immersierte L\"osungen des
% mittleren Kr\"ummungsflusses definieren wollen, ben\"otigen wir jedoch
% Untermannigfaltigkeiten beliebiger Kodimension. Alternativ k\"onnte
% man dazu abstrakte Mannigfaltigkeiten benutzen. Diese werden wir
% jedoch erst in der Differentialgeometrie II Vorlesung betrachten.

\begin{definition}[Untermannigfaltigkeit]
  Seien $n,k\in\N$ und $r\in\N\setminus\{0\}$. 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Eine Teilmenge $M\subset\R^{n+k}$ hei\ss{}t
    $C^r$-\emph{Untermannigfaltigkeit}, falls es f\"ur jedes $x\in M$
    eine Umgebung $U\subset\R^{n+k}$ von $x$ und einen
    $C^r$-Dif\-feo\-mor\-phis\-mus
    $\phi\colon U\to\phi(U)\subset\R^{n+k}$ mit
    \[\phi(M\cap U) =\phi(U)\cap \left(\R^n\times\{0\}\right)
      \subset\R^n\times\R^k\] 
    gibt. Das Paar $(U,\phi)$ hei\ss{}t \emph{Karte}, $U$ hei\ss{}t
    \emph{Kartenumgebung}, $\phi$ hei\ss{}t \emph{Kartenabbildung}.
  \item Eine Teilmenge $M\in\R^{n+k}$ hei\ss{}t
    $C^0$-Untermannigfaltigkeit, falls dieselbe Bedingung f\"ur einen
    Hom\"oomorphismus $\phi$ erf\"ullt ist.
  \item Die Untermannigfaltigkeit $M$ hat die Dimension $n$ und die
    Kodimension $k$. Daher schreiben wir auch $M^n$, um die Dimension
    von $M$ zu betonen.
  \item Eine Untermannigfaltigkeit $M$ hei\ss{}t \emph{geschlossen},
    falls $M$ kompakt ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item In den nachfolgenden Definitionen von Niveaufl\"ache, Graph,
    Immersion und Einbettung, hei\ss{}t $n$ die Dimension und $k$ die
    Kodimension des entsprechenden Objektes.
  \item \emph{Hyperfl\"achen} haben die Dimension $n$ und die
    Kodimension $1$; \emph{Kurven} haben die Dimension $1$ und
    \emph{Fl\"achen} haben die Dimension $2$.
  \item Sonst definiert man geschlossene Untermannigfaltigkeiten als
    kompakte Untermannigfaltigkeiten ohne Rand. Hier haben wir jedoch
    eine Definition gew\"ahlt, die R\"ander von vornherein
    ausschlie\ss{}t.
  \item Abstrakte Mannigfaltigkeiten werden wir nicht mehr in dieser
    Vorlesung behandeln.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Niveaufl\"ache]
  Seien $n,k\in\N$ und sei $r\in\N\setminus\{0\}$.  Sei
  $U\subset\R^{n+k}$ offen. Sei $f\in C^r\left(U,\R^k\right)$. Dann
  hei\ss{}t $f^{-1}(\{0\})$ eine \emph{(regul\"are)}
  (Null-)\emph{Ni\-veau\-fl\"a\-che} der Klasse $C^r$ der Funktion
  $f$, falls $\rank Df(x)=k$ f\"ur alle $x\in f^{-1}(\{0\})$ gilt.
\end{definition}

\begin{definition}[Graph]
  Seien $n,k,r\in\N$. Sei $\Omega\subset\R^n$ eine offene Menge und
  sei $u\in C^r\left(\Omega,\R^k\right)$. Dann hei\ss{}t
  \[\graph u =\left\{\begin{pmatrix} x\\ u(x) \end{pmatrix}\colon
      x\in\Omega\right\}\subset\R^n\times\R^k\]  
  ein \emph{Graph} der Klasse $C^r$.
\end{definition}

\begin{definition}[Immersion, Einbettung]
  Seien $n,k\in\N$ und sei $r\in\N\setminus\{0\}$. Sei weiterhin
  $\Omega\subset\R^n$ offen.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Eine Abbildung $X\in C^r\left(\Omega,\R^{n+k}\right)$
    hei\ss{}t \emph{Immersion}, falls $DX(x)\colon\R^n\to\R^{n+k}$
    f\"ur alle $x\in\Omega$ injektiv ist.
  \item Eine Abbildung $X\in C^r\left(\Omega,\R^{n+k}\right)$
    hei\ss{}t \emph{Einbettung}, falls $X$ eine Immersion und die
    Abbildung
    \[\Omega\ni x\mapsto X(x)\in X(\Omega)\]
    ein Hom\"oomorphismus ist, wobei wir $X(\Omega)\subset\R^m$ mit
    der Unterraumtopologie betrachten.
  \item Sei $M^n\subset\R^{n+k}$ eine Untermannigfaltigkeit und sei
    $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$ eine Einbettung mit $\im X\subset
    M^n$. Sei $p\in\im X$. Dann hei\ss{}t $X$ \emph{lokale
      Parametrisierung} von $M^n$ um den Punkt $p$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Die Bedingung, dass $DX(x)$ injektiv ist, ist \"aquivalent zur
  Bedingung, dass $\rank DX(x)=n$ gilt.
\end{remark}

Der Fall einer Kodimension ($k=1$) ist besonders wichtig. 
\begin{definition}[Hyperfl\"ache]
  Sei $n\in\N$ und sei $r\in\N\setminus\{0\}$. Sei $\Omega\subset\R^n$
  eine offene Menge.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Eine Immersion $X\in C^r\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ hei\ss{}t
    (parametrisierte, immersierte oder regul\"are) \emph{Hyperfl\"ache}.
  \item Eine immersierte Hyperfl\"ache $X$, die gleichzeitig eine
    Einbettung ist, hei\ss{}t
    \emph{eingebettete Hyperfl\"ache}.
  \item Wir sprechen auch beim Bild $X(\Omega)$ von einer immersierten
    oder eingebetteten Hyperfl\"ache.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{examples}
  In den nachfolgenden Beispielen \"uberlassen wir es dem Leser, die
  in den entsprechenden Definitionen geforderten Eigenschaften
  nachzurechnen. 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item \textbf{Sph\"are als Graph:} Die untere Hemisph\"are vom Radius
    $R>0$ mit Mittelpunkt im Ursprung ist der Graph der Funktion
    \[\R^n\supset B_R(0)\ni x\mapsto u(x) =-\sqrt{R^2-|x|^2}\in\R.\]
  \item \textbf{Sph\"are als Untermannigfaltigkeit:} Die Sph\"are
    $\partial B_1(0) \equiv \S^n\subset\R^{n+1}$ ist eine 
    $C^\infty$-Untermannigfaltigkeit von $\R^{n+1}$: Sei
    $x_0\in\S^n$. Dann gilt
    \[|x_0|^2 \equiv\sum\limits_{i=1}^{n+1} \left(x_0^i\right)^2 =1,\] 
    wobei wir $x_0=\left(x_0^1,x_0^2,\ldots,x_0^{n+1}\right)$
    schreiben, d.\,h.{} $\left(x_0^i\right)_{1\le i\le n+1}$ sind die
    Koordinaten von $x_0\in\R^{n+1}$ bez\"uglich der Standardbasis
    $e_1,\ldots,e_{n+1}$ des $\R^{n+1}$. Somit gibt es $i_0$,
    $1\le i_0\le n+1$, mit $x_0^i\neq0$. Wir nehmen nun ohne
    Einschr\"ankung $x_0^i>0$ an. Definiere
    \[U:=\left\{x\in\R^{n+1}\colon x^{i_0}>0 \text{ und }
        \sum\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{i=1}{i\neq i_0}}^{n+1}
        \left(x^i\right)^2<1\right\}.\] und die Diffeomorphismen
    $\phi\colon U\to\phi(U)\subset\R^{n+1}$ durch
    \[\phi(x) :=\begin{pmatrix} x^1\\ \vdots\\ x^{i_0-1}\\ 
        x^{i_0+1}\\\vdots\\ x^{n+1}\\ x^{i_0}
        -\sqrt{1-\sum\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{i=1}{i\neq
              i_0}}^{n+1} \left(x^i\right)^2}\end{pmatrix}.\]
\datum{Mo 19.04.2021}    
  \item \textbf{Sph\"are als Niveaufl\"ache:} Definiere
    \begin{align*}
      f\colon\R^{n+1}\to&\,\R,\\
      x\mapsto&\,|x|^2-1. 
    \end{align*}
    \"Uberpf\"ufe, dass man mit $f$ zeigen kann, dass
    $\S^n\subset\R^{n+1}$ eine regul\"are Niveaufl\"ache ist. Zeige
    weiterhin, dass wir dazu auch 
    \begin{align*}
      g\colon\R^{n+1}\setminus\{0\}\to&\,\R,\\
      x\mapsto&\,|x|-1
    \end{align*}
    h\"atten benutzen k\"onnen.
  \item \textbf{Sph\"are als Einbettung:} Wir stellen die Sph\"are $\partial
    B_1(0)\setminus\{(0,\ldots,0,-1)\}$,
    d.\,h.{} die Sph\"are ohne S\"udpol $-e_{n+1}$ als Einbettung
    dar. Dazu definieren wir
    \begin{align*}
      X\colon\R^n\to&\,\R^{n+1},\\
      x\mapsto&\,\begin{pmatrix} \dfrac{2x}{1+|x|^2}\\
        \dfrac{1-|x|^2}{1+|x|^2}\rule{0mm}{4.5ex}\end{pmatrix}. 
    \end{align*}
    Diese Abbildung ist eine Variante der Umkehrabbildung der
    stereographischen Projektion. \par Um zu zeigen, dass $X$ eine
    Immersion ist, differenzieren wir
    \begin{align*}
      \fracp X{x^i}(x) =&\,\frac 1{1+|x|^2}
      \begin{pmatrix}
        2e_i\\
        -2x_i
      \end{pmatrix}
      -\frac 1{\left(1+|x|^2\right)^2}
      \begin{pmatrix}
        4xx_i\\ \left(1-|x|^2\right)2x_i
      \end{pmatrix}\umbruch\\
      =&\,
         \begin{pmatrix}
           \dfrac{2e_i}{1+|x|^2}
           -\dfrac{4xx_i}{\left(1+|x|^2\right)^2}\\
           \dfrac{-4x_i}{\left(1+|x|^2\right)^2}\rule{0mm}{4.5ex}
         \end{pmatrix}
    \end{align*}
    Es ist nicht sofort klar, dass $DX(x)$ f\"ur alle $x\in\R^n$ den
    Rang $n$ hat. F\"ur den Beweis empfehlen wir einen der folgenden
    Ans\"atze. Sp\"ater werden wir sehen, dass diese Ans\"atze die
    Metrik und die Normale benutzen.
    \begin{itemize}
    \item Wir definieren $g_{ij}(x):=(DX)^T(x)DX(x)$, $1\le i,j\le n$, und
      erhalten
      \begin{align*}
        g_{ij}(x) =&\,\left\langle \fracp{X}{x^i}(x),
                     \fracp{X}{x^j}(x)\right\rangle\umbruch\\ 
        =&\,\frac{4\delta_{ij}}{\left(1+|x|^2\right)^2}
           -\frac{16x_ix_j}{\left(1+|x|^2\right)^3}
           +\frac{16|x|^2x_ix_j}{\left(1+|x|^2\right)^4}
           +\frac{16x_ix_j}{\left(1+|x|^2\right)^4}\umbruch\\
        =&\,\frac{4\delta_{ij}}{\left(1+|x|^2\right)^2}. 
      \end{align*}
      Nun sehen wir, dass die Matrix $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ den
      Rang $n$ hat. Somit hat auch $DX(x)$ den Rang $n$. 
    \item Wir definieren $Q\equiv Q(x):=1+|x|^2$ und
      $M\equiv M(x):=1-|x|^2$ und betrachten dann die Matrix
      \begin{align*}
        &\,\begin{pmatrix}
          \fracp{X}{x^1}(x) & \cdots &\fracp{X}{x^n}(x) &
          \frac{X(x)}{Q} 
        \end{pmatrix}\umbruch\\
        =&\,
           \frac1{Q^2}
           \begin{pmatrix}
             2Q-4x_1x_1 & -4x_1x_2 & \cdots &
             -4x_1x_n & 2x_1\\
             -4x_2x_1 & 2Q-4x_2x_2 & \cdots &
             -4x_2x_n & 2x_2\\
             \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
             -4x_nx_1 & -4x_nx_2 & \cdots &
             2Q-4x_nx_n & 2x_n\\
             -2x_1Q-2x_1M & -2x_2Q-2x_2M & \cdots & -2x_nQ-2x_nM & M
           \end{pmatrix}. 
      \end{align*}
      Nun wenden wir Zeilen- und Spaltenoperationen an, die nichts
      daran \"andern, ob die Matrix singul\"ar oder regul\"ar ist: Wir
      addieren das $2x_1$-fache der letzten Spalte zur ersten Spalte,
      das $2x_2$-fache der letzten Spalte zu zweiten Spalte, \ldots{}
      und das $2x_n$-fache der letzten Spalte zur $n$-ten Spalte,
      lassen die unwichtigen Faktoren $Q$ und $2$ weg und erhalten
      \[
        \begin{pmatrix}
          1 & 0 & \ldots & 0 & 2x_1\\
          0 & 1 & \ldots & 0 & 2x_2\\
          \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
          0 & 0 & \cdots & 1 & 2x_n\\
          -x_1 & -x_2 & \cdots & -x_n & M
        \end{pmatrix}.
      \]
      Schlie\ss{}lich addieren wir das $x_1$-fache der ersten Zeile
      und das $x_2$-fache der zweiten Zeile \ldots{} und das
      $x_n$-fache der $n$-ten Zeile zur letzten Zeile und erhalten
      eine obere Dreiecksmatrix, deren Diagonaleintr\"age $1$ und
      $M+\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 =1$ sind. Dies ist eine regul\"are
      Matrix. Daher schlie\ss{}en wir wiederum, dass
      \[\begin{pmatrix}\fracp{X}{x^1}(x) & \cdots & 
          \fracp{X}{x^n}(x)\end{pmatrix}\]
      den Rang $n$ hat. 
    \end{itemize}
  % Herauskommentiert, da dies im Kapitel Beziehungen nochmals
  % vorkommt. 
  % \item \textbf{Graphen und Einbettungen:} Sei $\Omega\subset\R^n$
  %   offen und sei $u\colon\Omega\to\R^k$ eine gegebene  $C^r$-Funktion
  %   mit 
  %   $r\ge1$. Dann k\"onnen wir $\graph u$ als  $X(\Omega)$ mit
  %   $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$, $X(x):=\begin{pmatrix} x\\
  %     u(x) \end{pmatrix}$ darstellen.  
  \item \textbf{Zylinder als Niveaufl\"ache:} Seien $r,s\in\N$ mit 
    $r,s\ge1$. Dann ist die (Null-)Niveaufl\"ache von 
    \begin{align*}
      f\colon\R^r\times\R^s\to&\,\R,\\
      (x,y)\mapsto&\,|x|^2-1
    \end{align*}
    ein Zylinder.
  \item \emph{Helix:} Betrachte $u\colon\R\to\R^2$ mit $u(t)=
    \begin{pmatrix}
      \sin t\\ \cos t
    \end{pmatrix}$. Dann ist $\graph u$ eine Helix.
  \item \emph{Eine Spirale:} Die Kurve
    $\R\ni t\mapsto\left(1+e^t\right)\begin{pmatrix} \cos t\\\sin
      t\end{pmatrix}\in\R^2$ ist eine Einbettung.
  \item \emph{Keine Einbettung:} Die Kurve
    $\gamma\colon(-\infty,2\pi)\to\R^2$ mit \[\gamma(t)=
      \begin{cases}
        (1,t)^T&t<0,\\
        (\cos t,\sin t)^T&t\ge0
      \end{cases}
    \] ist eine injektive Immersion, jedoch keine Einbettung.
  \item \emph{Rotationsfl\"achen:} Sei
    $\alpha\colon(a,b)\to\left\{x\in\R^3\colon x^2=0\text{ und
      }x^1>0\right\}$ eine regul\"are Kurve ($=$ eindimensionale
    Immersion) in der \glqq rechten\grqq{} Halbebene der
    $x^1-x^3$-Ebene. Schreibe \[\alpha(t)=\begin{pmatrix} r(t)\\ 0\\
        h(t)\end{pmatrix}.\] Durch Rotation um die $x^3$-Achse
    erhalten wir eine immersierte
    Hyperfl\"ache \[X\colon(a,b)\times\R\to\R^3\] mit
    \[X(t,\phi)=
      \begin{pmatrix}
        \cos\phi & -\sin\phi & 0\\
        \sin\phi & \cos\phi & 0\\
        0 & 0 & 1
      \end{pmatrix}
      \begin{pmatrix}
        r(t)\\ 0\\ h(t)
      \end{pmatrix}
      =
      \begin{pmatrix}
        r(t)\cos\phi\\
        r(t)\sin\phi\\
        h(t)
      \end{pmatrix}.
    \]
  \end{enumerate}
\end{examples}

\subsection{Beziehungen}
\label{beziehungen sec}
Lokal betrachtet sind Untermannigfaltigkeiten, Niveaufl\"achen, Graphen,
Immersionen und Einbettungen sehr \"ahnlich. 
\[\xymatrix{\fbox{\text{immersiert}}\ar[rr]^-{\text{\ref{mf aeq
          6}}}_-{\text{loc}}&& 
    \fbox{\text{Graph}}
    \ar@/_{2ex}/[rr]_-{\text{\ref{mf aeq 2}}} 
    \ar[d]^-{\text{\ref{mf aeq 1}}}
    \ar[dll]_-{\text{\ref{mf aeq 3}}}&&
    \fbox{\text{Niveaufl\"ache}}
    \ar@/_{2ex}/[ll]_-{\text{\ref{mf aeq 7}}}^-{\text{loc}}\\
    \fbox{\text{eingebettet}}
    \ar[u]^-{\text{\ref{mf aeq 5}}}&&
    \fbox{\text{Untermannigfaltigkeit}}
    \ar[ll]_-{\text{\ref{mf aeq 4}}}^-{\text{loc}}&&}
\]
\begin{proposition}
  \neueZeile\label{mf aeq prop}
  \begin{enumerate}[label=(\Alph*)]
  \item\label{mf aeq 1} Ein Graph ist auch eine Untermannigfaltigkeit.
  \item\label{mf aeq 2} Ein Graph der Klasse $C^r$, $r\ge1$, ist eine
    regul\"are Niveaufl\"ache.
  \item\label{mf aeq 3} Ein Graph der Klasse $C^r$, $r\ge1$, ist das
    Bild einer Einbettung.
  \item\label{mf aeq 4} Sei $M^n\subset\R^{n+k}$ eine
    $C^r$-Untermannigfaltigkeit, $r\ge1$. Dann gibt es zu jedem
    $x\in M$, eine Umgebung $U\subset\R^{n+k}$ von $x$, eine offene
    Menge $\Omega\subset\R^n$ und eine Einbettung
    $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$ mit $X(\Omega)=M\cap U$. Somit
    gibt es eine lokale Parametrisierung von $M$ um $x$.
  \item\label{mf aeq 5} Eine Einbettung ist eine Immersion.
  \item\label{mf aeq 6} Sei $\Omega\subset\R^n$ eine offene Menge und
    sei $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$ eine $C^r$-Immersion, $r\ge1$, und
    sei $x_0\in\Omega$. Dann gibt es eine offene Umgebung
    $\Omega_0\subset\Omega$ von $x_0$, eine offene Menge
    $U\subset\R^n$, eine Funktion $u\in C^r\left(U,\R^k\right)$ und
    eine orthogonale Transformation $R\in O(n+k)$ mit
    $R(X(\Omega_0)) =\graph u$.
  \item\label{mf aeq 7} Sei $U\subset\R^{n+k}$ offen,
    $f\in C^r\left(U,\R^k\right)$, $r\ge1$, und sei $f^{-1}(\{0\})$
    eine regul\"are Niveaufl\"ache der Dimension $n$. Dann gibt es zu
    jedem Punkt $x_0\in f^{-1}(\{0\})$ eine Umgebung $U_0\subset U$
    von $x_0$, eine offene Menge $\Omega\subset\R^n$, eine Funktion
    $u\in C^r\left(\Omega,\R^k\right)$ und eine orthogonale
    Transformation $R\in O(n+k)$ mit
    $R\left(f^{-1}(\{0\})\cap U_0\right) =\graph u$.
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\datum{Mo 26.04.2021}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\Alph*)]
  \item Seien $n,k,r\in\N$, sei $\Omega\subset\R^n$ eine offene Menge,
    sei $u\in\C^r\left(\Omega,\R^k\right)$ und sei
    \[M=\graph u =\left\{\begin{pmatrix} x\\ u(x)\end{pmatrix}\colon
        x\in\Omega\right\}\subset\R^n\times\R^k.\] Dann w\"ahlen wir
    zu jedem $x\in M$ die offene Umgebung $\Omega\times\R^k$ und den
    Diffeomorphismus oder Hom\"oomorphismus
    \begin{align*}
      \phi\colon \Omega\times\R^k\to
      &\, \Omega\times\R^k,\\
      \begin{pmatrix}
        x\\ y 
      \end{pmatrix}
      \mapsto
      &\,
        \begin{pmatrix}
          x \\ y-u(x)                  
        \end{pmatrix}. 
    \end{align*}
    Man sieht nun leicht, dass $(x,y)\in M$ \"aquivalent zu
    $\phi(x,y)\in\Omega\times\{0\}$ ist. 
  \item Sei $M=\graph u$ wie oben. Dann erf\"ullt die Funktion
    \begin{align*}
      f\colon \Omega\times\R^k\to&\,\R^k,\\
      \begin{pmatrix}
        x\\ y
      \end{pmatrix}
      \mapsto&\,y-u(x)
    \end{align*}
    $f^{-1}(\{0\})=M$. Die Ableitung bez\"uglich des zweiten
    Argumentes ist durch $D_yf(x,y)=\eins$ f\"ur alle
    $(x,y)\in\Omega\times\R^k$ gegeben. Somit sehen wir, dass $\rank
    Df(x,y)\ge k$ gilt. Andererseits ist klar, dass $\rank Df\le k$
    gilt, da $f$ eine Abbildung mit Bild in $\R^k$ ist. 
  \item Sei wiederum $M=\graph u$. Dann ist die Funktion 
    \begin{align*}
      X\colon\Omega\to&\,\R^n\times\R^k,\\
      x\mapsto&\,\begin{pmatrix} x\\ u(x) \end{pmatrix}
    \end{align*}
    eine Einbettung mit $X(\Omega)=M$. 
  \item Sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit und sei
    $\phi\colon U\to\phi(U)\subset\R^{n+k}$ ein Diffeomorphismus wie
    in der Definition einer Untermannigfaltigkeit. Setze
    $\Omega:=\{x\in\R^n\colon (x,0)\in\phi(U)\}$. Dann ist die
    Abbildung
    \begin{align*}
      X\colon\Omega\to&\,\R^{n+k},\\
      x\mapsto&\,\phi^{-1}(x,0)                       
    \end{align*}
    eine Einbettung mit $X(\Omega) =M\cap U$.  
  \item Dies ist nach Definition klar. 
  \item Da $X$ eine Immersion ist, ist $\im DX(x_0)$ ein
    $n$-dimensionaler Unterraum von $\R^n\times\R^k$. Somit gibt es
    eine orthogonale Transformation $R\in O(n+k)$ mit
    \[R\left(DX(x_0)\left\langle\R^n\right\rangle\right) =D(R\circ
      X)(x_0)\left\langle\R^n\right\rangle =\R^n\times\{0\}
      \subset\R^n\times\R^k,\] wobei wir spitze Klammern verwenden, um
    die Linearit\"at in diesem Argument anzudeuten. Seien
    $\pi_1\colon\R^n\times\R^k\to\R^n$, $(x,y)\mapsto x$, und
    $\pi_2\colon\R^n\times\R^k\to\R^k$, $(x,y)\mapsto y$, die
    Projektionen auf die erste bzw.{} zweite Komponente. Dann ist
    $\Phi:=\pi_1\circ R\circ X\colon \Omega\to\R^n$ eine
    $C^r$-Funktion, $r\ge1$, deren Differential
    $D\Phi(x_0)\colon\R^n\to\R^n$ ein linearer Isomorphismus
    ist. Somit folgt aus dem Satz von der inversen Funktion, dass es
    eine offene Umgebung $\Omega_0\subset\Omega$ von $x_0$ derart
    gibt, dass $\Phi|_{\Omega_0}\colon\Omega_0\to\Phi(\Omega_0)$ ein
    Diffeomorphismus ist. Definiere die offene Menge
    $U:=\Phi(\Omega_0)\subset\R^n$ und
    \[u:=\pi_2\circ R\circ X\circ(\Phi|_{\Omega_0})^{-1}\colon
      U\to\R^k.\] Wir m\"ussen also noch $R(X(\Omega_0)) =\graph u$
    zeigen. Betrachte einen beliebigen Punkt $x\in\Omega_0$. Nun folgt
    direkt aus den Definitionen von $\Phi$ und $u$, dass
    $R(X(x))=(\Phi(x),u(\Phi(x)))$ gilt. Da die Abbildung
    $\Phi|_{\Omega_0}\colon\Omega_0\to\Phi(\Omega_0)$ ein
    Diffeomorphismus ist, liefert dies den Beweis, dass eine Immersion
    -- bis auf eine orthogonale Transformation -- lokal graphisch ist.
  \item Der Kern von $Df(x_0)$ ist eine $n$-dimensionaler Unterraum
    von 
    $\R^{n+k}$. Somit gibt es eine orthogonale Transformation
    $T\in O(n+k)$ mit
    \[\ker((Df)(x_0)\circ T) =\ker D(f\circ T)\left(T^{-1}(x_0)\right)
      =\R^n\times\{0\}\subset\R^n\times\R^k.\] Sei $R=T^{-1}$ und
    $(y_1,z_1) =R(x_0) \in\R^n\times\R^k$. Dann ist die Ableitung
    bez\"uglich das Argumentes aus $\R^k$, $D_2(f\circ T)(y_1,z_1)$,
    invertierbar und aus dem Satz von der impliziten
    Funktion folgt, dass es eine offene Umgebung
    $\Omega_y\times\Omega_z\subset\R^n\times\R^k$ von  $(y_1,z_1)$ und eine
    $C^r$-Funktion
    $u\colon\Omega_y\to\Omega_z\subset\R^k$ mit $u(y_1)=z_1$ und
    \[\left((f\circ T)^{-1}(\{0\})\right)\cap(\Omega_y\times\Omega_z)
      =\graph u \equiv\{(y,u(y))\colon y\in\Omega_y\}\]
    gilt. Insbesondere erhalten wir $(f\circ T)(y,u(y))=0$ f\"ur alle
    $y\in\Omega_y$.  Diese Gleichheit ben\"otigen wir zwar f\"ur den
    Beweis nicht, wir werden sie aber in Bemerkung \ref{mf aeq prop
      rem} benutzen. Wir definieren
    $U_0:=T(\Omega_y\times\Omega_z)$ und erhalten
    \begin{align*}
      \graph u =&\,\left((f\circ T)^{-1}(\{0\})\right)
                  \cap(\Omega_y\times\Omega_z)\umbruch\\
      =&\,T^{-1}\circ f^{-1}(\{0\}) \cap
         RT(\Omega_y\times\Omega_z)\umbruch\\
      =&\,R\left(f^{-1}(\{0\}) \cap U_0\right)
    \end{align*}
    wie oben behauptet. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{mf aeq prop rem}
  Die Behauptungen aus Proposition \ref{mf aeq prop} k\"onnen wir noch
  versch\"arfen. 
  \begin{itemize}
  \item[\ref{mf aeq 6}] Es gilt $Du(\Phi(x_0))=0$. 
  \item[\ref{mf aeq 7}] In $y_1$ verschwindet die Ableitung von $u$.
  \item Nehmen wir zus\"atzlich $k=1$ an, d.\,h.{} dass die
    Kodimension eins ist. Dann k\"onnen wir durch eine zus\"atzliche
    orthogonale Transformation in der Definitionsmenge von $u$ in
    \ref{mf aeq 6} und \ref{mf aeq 7} erreichen, dass die Hessische
    $D^2u$ in dem $x_0$ entsprechenden Punkt diagonal ist.
  \item Ebensolche Beziehungen zwischen Graphen, Niveaufl\"achen, 
    Untermannigfaltigkeiten, Einbettungen und Immersionen gibt es,
    wenn die betrachteten Objekte zus\"atzlich von der Zeit
    abh\"angen. 
  \end{itemize}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item[\ref{mf aeq 6}] Differenzieren wir die Definition von $u$, so
    erhalten wir
    \begin{align*}
      Du(\Phi(x_0))\langle y\rangle     
      =&\,\pi_2\circ R\circ DX
         \left((\Phi|_{\Omega_0})^{-1}(\Phi(x_0))\right)    
         \left\langle D(\Phi|_{\Omega_0})^{-1}(\Phi(x_0))\langle      
         y\rangle \right\rangle\umbruch\\         
      =&\,\pi_2\circ R\circ DX(x_0)\left\langle   
         D(\Phi|_{\Omega_0})^{-1}(\Phi(x_0))\langle         
         y\rangle\right\rangle
    \end{align*}    
    f\"ur $y\in\R^n$. Wir haben $R$ so gew\"ahlt, dass $Du$
    verschwindet.
  \item[\ref{mf aeq 7}] F\"ur alle $y\in\Omega_y$ gilt $(f\circ
    T)(y,u(y))=0$. Dies differenzieren wir und erhalten
    \begin{align*}
      0 =&\,D(f\circ T)(y_1,u(y_1))\langle z,Du(y_1)\langle
           z\rangle\rangle\umbruch\\
      =&\,D_1(f\circ T)(y_1,u(y_1))\langle z\rangle +D_2(f\circ
         T)(y_1,u(y_1)) \langle Du(y_1)\langle z\rangle\rangle
    \end{align*}
    f\"ur alle $z\in\R^n$. Wir haben $T$ so gew\"ahlt, dass
    $D_1(f\circ T)$ im Punkt $(y_1,u(y_1)) =(y_1,z_1)$ verschwindet
    und $D_2(f\circ T)$ invertierbar ist. Somit erhalten wir
    $Du(y_1)=0$.
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $u\colon\Omega\to\R$
    eine $C^2$-Funktion. Sei $y_0\in\Omega$. Wir m\"ochten eine
    Rotation $R\in O(n)$ finden, so dass
    $D^2(u\circ R)\left(R^{-1}(y_0)\right)$ diagonal ist. Die
    Bilinearform $D^2u(y_0)=(u_{ij}(y_0))_{1\le i,j\le n}$ ist
    symmetrisch. Somit gibt es
    $R =\left(R^i_j\right)_{1\le i,j\le n}\in O(n)$, so dass
    $\left(u_{ij}(y_0)R^i_kR^j_l \right)_{1\le k,l\le n}$ diagonal
    ist, wobei wir die Einsteinsche Summenkonvention benutzt haben.
    Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir
    \begin{align*}
      (u\circ R)_k(y) =&\,u_i(R(y))R^i_k\umbruch
      \intertext{und} 
      (u\circ R)_{kl}(y) =&\,u_{ij}(R(y)) R^i_k R^j_l. 
    \end{align*}
    Dies liefert unsere Behauptung.
  \item Diesen Beweis \"uberlassen wir dem Leser.\qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

\subsection{Tangentialraum}
\datum{Mo 03.05.2021}
Unsere unterschiedlichen Herangehensweisen bei der Beschreibung von
Untermannigfaltigkeiten im Euklidischen erfordern verschiedene
Definitionen f\"ur Tangentialvektoren.
\begin{definition}[Tangentialvektor]
  \label{tang vektor def}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Sei $M^n\subset\R^{n+k}$ eine $C^r$-Untermannigfaltigkeit und
    sei $(U,\phi)$ eine zugeh\"orige Karte. Dann hei\ss{}t ein Vektor
    $T\in\R^{n+k}$ ein \emph{Tangentialvektor} oder tangential an $M$
    im Punkt $x_0\in M\cap U$, falls
    $D\phi(x_0)\langle T\rangle\in\R^n\times\{0\}$ gilt. Wir
    schreiben $T\in T_{x_0}M$ und nennen $T_{x_0}M$ den
    \emph{Tangentialraum} in $x_0$ an $M$.
  \item Eine Funktion $T\colon M^n\to\R^{n+k}$ mit $T(x)\in T_xM$
    f\"ur alle $x\in M$ hei\ss{}t ein \emph{tangentiales Vektorfeld}.
  \item Sei $M:=f^{-1}(\{0\})\subset U\subset \R^{n+k}$ eine
    $n$-dimensionale Niveaufl\"ache. Dann hei\ss{}t $T\in\R^{n+k}$ im
    Punkt $x_0\in M$ tangential zu $M$, falls
    $Df(x_0)\langle T\rangle=0$ gilt. Die Menge aller
    Tangentialvektoren in $x_0\in M$ hei\ss{}t Tangentialraum. Eine
    Abbildung $T\colon M\to\R^{n+k}$ hei\ss{}t tangentiales Vektorfeld
    an $M$, falls $T(x)$ in jedem Punkt $x\in M$ tangential zu $M$
    ist.
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei
    $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$ eine Immersion. Dann hei\ss{}t
    $T\in\R^{n+k}$ tangential zu $X$ im Punkt $z_0\in\Omega$, falls
    $T\in\im DX(z_0)$ gilt. Die Menge aller Tangentialvektoren im
    Punkt $z_0\in\Omega$ hei\ss{}t Tangentialraum. Eine Abbildung
    $T\colon\Omega\to\R^{n+k}$ hei\ss{}t tangentiales Vektorfeld an
    $X$, falls $T(z)$ in jedem Punkt $z\in\Omega$ tangential zu $X$
    ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Der Tangentialraum ist in allen diesen Definitionen stets ein
    Unterraum.
  \item In der Definition eines Tangentialvektors f\"ur eine
    Untermannigfaltigkeit ist die Bedingung
    $D\phi(x_0)\langle T\rangle\in \R^n\times\{0\}$ \"aquivalent zu
    $0=\pi_2\circ D\phi(x_0)\langle T\rangle$, wobei
    $\pi_2\colon\R^{n+k}\to\R^k$ die Projektion auf die zweite
    Komponente ist.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  \label{tang raum gleich rem}
  Angenommen, $\phi$, $f$ und $X$ beschreiben lokal dieselbe
  Untermannigfaltigkeit, Niveaufl\"ache oder Hyperfl\"ache in dem
  Sinn, dass $x_0\in\im X$, $f(x_0)=0$ und $\pi_2\circ\phi(x_0)=0$
  f\"ur $x_0\in U$ f\"ur eine offene Menge $U\subset\R^{n+k}$
  \"aquivalent sind. Wir m\"ochten nun unsere verschiedenen
  Definitionen eines Tangentialvektors vergleichen.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item \textbf{Niveaufl\"ache und Immersion:} Es folgt
    $f\circ X(x)=0$ f\"ur alle $x\in\Omega$ und somit
    $\im DX(x)\subset\ker Df|_{X(x)}$. Da
    $\dim\im DX (x) =n =\dim\ker Df|_{X(x)}$ gilt, stimmen unsere
    Definitionen eines Tangentialvektors \"uberein.
  \item \textbf{Untermannigfaltigkeit und Immersion:} Wir
    differenzieren $\pi_2\circ\phi\circ X=0$ und erhalten
    \[\pi_2\circ D\phi(X(x))\langle
      DX(x)\langle\cdot\rangle\rangle=0.\] Hieraus schlie\ss{}en wir,
    dass $\im DX(x)\subset \ker\pi_2\circ D\phi(X(x))$ gilt. Wiederum
    sind beide Mengen $n$-dimensionale Unterr\"aume. Somit stimmen sie
    \"uberein.
  \item Wir m\"ochten aber darauf hinweisen, dass tangentiale
    Vektorfelder f\"ur Untermannigfaltigkeiten und Niveaufl\"achen auf
    $M\subset\R^{n+k}$, jedoch f\"ur Immersionen auf
    $\Omega\subset\R^n$ definiert sind.
  \item Die Vektoren $\fracp X{x^i}(x_0)$ bilden eine Basis von
    $T_{x_0}M$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{Differenzierbarkeit und Tangentialraum (abstrakter)}
\label{diffbarkeit tang sec}
In diesem Kapitel behandeln wir zwei Konzepte f\"ur
Untermannigfaltigkeiten, die wir sp\"ater ganz analog f\"ur abstrakte
Mannigfaltigkeiten verwenden werden. 

Da Untermannigfaltigkeiten nicht linear zu sein brauchen, ist es nicht
klar, wie man Funktionen zwischen Mannigfaltigkeiten differenzieren
kann. 
\begin{definition}[Differenzierbare Funktionen]
  \label{diff fct def}
  Seien $M^m\subset\R^{m+k}$ und $N^n\subset\R^{n+l}$ zwei
  $C^r$-Untermannigfaltigkeiten mit $n,m,k,l\in\N$ und
  $r\in\N\setminus\{0\}$. 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Vorbereitung: Seien $\pi^{m+k}_{m}\colon\R^{m+k}\to\R^m$ und
    $\pi^{n+l}_n\colon\R^{n+l}\to\R^n$ die Projektionen auf die
    jeweils ersten $m$ bzw.{} $n$ Komponenten. F\"ur Karten $(U,\phi)$
    und $(V,\psi)$ von $M$ bzw. $N$ wollen wir in dieser Definition
    Abbildungen
    $\Phi\colon M\cap U\to\pi^{m+k}_m(\phi(M\cap U))\subset\R^m$ und
    $\Psi\colon N\cap V\to\pi^{n+l}_n(\psi(N\cap V))\subset\R^n$
    benutzen, die durch
    \[\Phi(x):=\pi^{m+k}_m\circ\phi(x) \quad\text{und}\quad
      \Psi(y):=\pi^{n+l}_n\circ\psi(y)\] f\"ur $x\in M\cap U$ und
    $y\in N\cap V$ definiert sind. Es gelten also
    $\phi(x)=(\Phi(x),0)$ und $\psi(y)=(\Psi(y),0)$ f\"ur alle
    $x\in M\cap U$ und alle $y\in N\cap V$.
  \item Eine Funktion $f\colon M\to N$ hei\ss{}t von der Klasse $C^r$,
    falls es f\"ur jedes $x\in M$ eine Karte $(U,\phi)$ von $M$ mit
    $x\in U$ und eine Karte $(V,\psi)$ von $N$ mit
    $f(U\cap M)\subset V$ gibt, so dass f\"ur die zugeh\"origen oben
    definierten Abbildungen $\Phi$ und $\Psi$ die Verkettung
    \[\Psi\circ f\circ\Phi^{-1}\colon
      \Phi(U\cap M)\to\R^n\] von der Klasse $C^r$ ist. In dieser
    Situation, schreiben wir $f\in C^r(M,N)$ oder $f\in C^r$.
  \item Eine Abbildung $f\colon M\to N$ hei\ss{}t
    \emph{Diffeomorphismus}, falls $f$ von der Klasse $C^1$ ist und
    eine Inverse von der Klasse $C^1$ besitzt.
  \item Eine Abbildung $f\colon M\to N$ hei\ss{}t ein
    $C^r$-Diffeomorphism, falls $f$ von der Klasse $C^r$ ist und $f$
    ein Diffeomorphismus ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Im Falle, dass $M\subset\R^m$ offen ist und $N=\R^n$ gilt,
    k\"onnen wir die Inklusionsabbildungen $\phi\colon M\to\R^m$ und
    $\psi=\id\colon\R^n\to\R^n$ verwenden und erhalten wieder die
    klassische Definition von Differenzierbarkeit.
  \item \label{fCr implies fC0 rem} Jede Funktion $f\in C^r(M,N)$ mit
    $r\ge1$ ist als Funktion zwischen den topologischen R\"aumen $M$
    und $N$ mit der induzierten Topologie stetig: Die Funktionen
    $\phi$ und $\psi^{-1}$ sind differenzierbar. Hieraus folgt, dass
    die zugeh\"origen Funktionen $\Phi$ und $\Psi^{-1}$ stetig
    sind. Somit ist auch
    \[f=\Psi^{-1}\circ\Psi\circ f\circ\Phi^{-1}\circ\Phi\] stetig.
  \item Unsere Definition \ref{diff fct def} h\"atten wir auch
    im Falle $r=0$ verwenden k\"onnen. Diese Definition ist jedoch
    \"aquivalent zur Stetigkeit von $f$ zwischen $M$ und $N$ als
    topologischen R\"aumen. Dies folgt wie in \ref{fCr implies
      fC0 rem}.
  \item Da $f$ stetig ist, gibt es solche Karten: Sei $x\in M$. Dann
    fixieren wir eine Karte $(V,\psi)$ f\"ur $N$ mit $f(x)\in V$. Da
    $V$ offen ist, finden wir $\epsilon>0$ mit
    $B_\epsilon(f(x))\subset V$. Nun betrachten wir eine Karte
    $(U,\phi)$ f\"ur $M$ mit $x\in U$. Da $f$ stetig ist, gibt es ein
    $\delta>0$ mit $B_\delta(x)\subset U$ und
    \[f(B_\delta(x)\cap M)\subset B_\epsilon(f(x))\subset V.\] Somit sind
    $(B_\delta(x),\phi|_{B_\delta(x)})$ und $(V,\psi)$ Karten mit der
    Eigenschaft, dass $f(B_\delta(x)\cap M)\subset V$, wie in 
    Definition \ref{diff fct def} gefordert, gilt.
  \item Seien $(U,\phi)$, $\big(\tilde U,\tilde\phi\big)$, $(V,\psi)$
    und $\big(\tilde V,\tilde\psi\big)$ Karten von $M$, $M$, $N$ und
    $N$, mit $f(U)\subset V$ und $f\big(\tilde U\big)\subset\tilde
    V$. Dann folgt
    \[\tilde\psi\circ f\circ\tilde\phi^{-1}(y)
      =\big(\tilde\psi\circ\psi^{-1}\big)\circ \big(\psi\circ
      f\circ\phi^{-1}\big)\circ
      \big(\phi\circ\tilde\phi^{-1}\big)(y)\] f\"ur alle
    $y\in\tilde\phi\big(U\cap \tilde U\big)$. Als Kompositionen von
    Diffeomorphismen sind 
    \begin{align*}
      \phi\circ\tilde\phi^{-1}\colon \tilde\phi \big(U\cap \tilde
      U\big)&\to\phi\big(U\cap \tilde U\big)\umbruch\\
      \intertext{und}
      \tilde\psi\circ\psi^{-1}\colon\psi\big(V\cap\tilde V\big)&\to
      \tilde\psi\big(V\cap\tilde V\big),
    \end{align*}
    wiederum Diffeomorphismen. Ebenso als Einschr\"ankungen auch
    \begin{align*}
      \Phi\circ\tilde\Phi^{-1}
      &\colon \tilde\Phi\left(\tilde U\cap
        U\right) \to \Phi\left(\tilde U\cap U\right)
        \intertext{und}
        \Psi\circ\tilde\Psi^{-1}
      &\colon \tilde\Psi\left(\tilde V\cap
        V\right) \to \Psi\left(\tilde V\cap V\right).
    \end{align*}
    Somit h\"angt die Definition der Differenzierbarkeit nicht von der
    speziellen Kartenwahl ab.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Die folgende Definition liefert f\"ur immersierte Fl\"achen $X$ wieder
$\im DX$ (kleine \"Ubung oder Folgerung aus der Bemerkung weiter unten). 
\begin{definition}[Tangentialraum]
  \label{tang raum zwei def}
  Sei $M\subset\R^{n+k}$ eine $n$-dimensionale
  $C^1$-Un"-ter"-man"-nig"-fal"-tig"-keit des $\R^{n+k}$. Dann
  hei\ss{}t $T\in\R^{n+k}$ Tangentialvektor in $p\in M$, falls es ein
  $\epsilon>0$ und eine $C^1$-Kurve
  $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M$ mit $\gamma(0)=x_0$ und
  $\gamma'(0)=T$ gibt. Die Menge aller Tangentialvektoren in $p$
  bezeichnen wir mit $T_pM$. Man schreibt auch $(p,T)$ f\"ur den
  Tangentialvektor.
\end{definition}

\begin{remark}
  Definition \ref{tang raum zwei def} liefert dasselbe Ergebnis wie
  Definition \ref{tang vektor def}.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Sei zun\"achst $T$ ein Tangentialvektor in $x_0\in M$
    gem\"a\ss{} Definition \ref{tang raum zwei def}. Dann gibt es ein
    $\epsilon>0$ und eine $C^1$-Kurve
    $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M\subset\R^{n+k}$ mit
    $\gamma(0)=x_0$ und $\gamma'(0)=V$. Sei $(U,\phi)$ eine Karte mit
    $x_0\in U$. Falls n\"otig verkleinern wir $\epsilon>0$ so, dass
    $\im\gamma\subset U$ gilt. Wegen $\gamma(t)\in M$ f\"ur alle
    $t\in(-\epsilon,\epsilon)$ erhalten
    wir \[\phi(\gamma(t))\in\R^n\times\{0\}\] f\"ur
    $t\in(-\epsilon,\epsilon)$ und somit nach Kettenregel
    \[D\phi(\gamma(0))\langle\gamma'(0)\rangle \in\R^n\times\{0\}\]
    wie behauptet.
  \item Ist umgekehrt $T\in T_{x_0}M$ ein Tangentialvektor wie in
    Definition \ref{tang vektor def}. Dann gilt in der dortigen
    Notation $D\phi(x_0)\langle T\rangle \in\R^n\times\{0\}$. Wir
    definieren nun die Kurve
    $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to\R^{n+k}$ durch
    \[\gamma(t):= \phi^{-1}(\phi(x_0)+t\cdot D\phi(x_0)\langle
      T\rangle),\] wobei wir $\epsilon>0$ klein genug w\"ahlen, so
    dass $\phi(x_0)+t\cdot D\phi(x_0\langle T\rangle\in \phi(U)$ f\"ur
    alle $t\in(-\epsilon,\epsilon)$ gilt. Dann ist $\gamma$
    wohldefiniert. Wegen
    $\phi(x_0),D\phi(x_0)\langle T\rangle \in\R^n\times\{0\}$ ist
    $\phi(x_0)+t\cdot D\phi(x_0)\langle
    T\rangle\in\phi(U)\cap(\R^n\times\{0\}) =\phi(U\cap M)$. Somit
    gilt $\gamma(t)\in M$ f\"ur alle $t\in(-\epsilon,\epsilon)$. Es
    ist klar, dass $\gamma(0)=x_0$ gilt. Schlie\ss{}lich ist
    \begin{align*}
      \gamma'(0)
      &=\left.\dt\gamma(t)\right|_{t=0}\umbruch\\
      &=D\phi^{-1}(\phi(x_0))\langle D\phi(x_0)\langle
        T\rangle\rangle\umbruch\\ 
      &=D\left(\phi^{-1}\circ\phi\right)(x_0)\langle T\rangle\umbruch\\
      &=D(\id|_U)(x_0)\langle T\rangle\umbruch\\
      &=T.
    \end{align*}
    Daher gibt es eine Kurve $\gamma$ mit Bild in $M$, die belegt,
    dass $T$ ein Tangentialvektor in $x_0$ an $M$ ist.  \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

% Es ergibt sich zwar bereits aus Bemerkung \ref{tang raum gleich
% rem}, dass die neue Definition auch zur Definition des
% Tangentialraumes f\"ur Niveauhyperfl\"achen passt, aufgrund der
% Sch\"onheit des Argumentes f\"uhren wir eine Richtung davon hier
% jedoch trotzdem noch aus.
% \begin{lemma}
%   \label{grad f senk tang vec lem}
%   Sei $U\subset\R^{n+1}$ offen und sei $M=f^{-1}(\{0\})\cap U$ eine
%   $C^1$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit. Sei $x_0\in M$. Dann
%   gilt \[\langle\nabla f(x_0),V\rangle=0\] f\"ur alle $V\in T_{x_0}M$,
%   d.\,h.{} bis auf die Wahl des Vorzeichens ist $\frac{\nabla
%     f}{|\nabla f|}$ die Normale an $M$ in $x_0$, wie wir sie im
%   n\"achsten Kapitel definieren werden.
% \end{lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
%   Sei $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M\subset\R^{n+1}$ eine
%   Kurve mit $\gamma(0)=x_0$ und $\gamma'(0)=V$. Es gilt
%   $f(\gamma(t))=0$ f\"ur alle $t\in(-\epsilon,\epsilon)$. Nach
%   Kettenregel folgt $\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle=0$,
%   ebenfalls f\"ur alle $t$. F\"ur $t=0$ erhalten wir die Behauptung. 
% \end{proof}

\section{Geometrie und K\"ummung von Hyperfl\"achen}
\datum{Mo 10.05.2021}
\subsection{Normale und Metrik}

\begin{definition}[Normale]
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte Hyperfl\"ache. Eine
  (Einheits-)\emph{Normale} an $X$ ist eine stetige Abbildung
  $\nu\colon\Omega\to\R^{n+1}$ mit 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $|\nu(x)|=1$  und
  \item $\left\langle\nu(x),\fracp{X}{x^i}(x)\right\rangle=0$ 
  \end{enumerate}
  f\"ur alle $x\in\Omega$ und alle $1\le i\le n$.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Ist $\nu$ eine Normale an $X$, so ist auch $-\nu$ eine Normale
    an $X$. Ist $\Omega$ zusammenh\"angend, so ist $\nu$ eindeutig
    bestimmt, wenn wir $\nu(x_0)$ f\"ur ein $x_0\in\Omega$ vorgeben.
  \item Wegen $|\nu(x)|=1$ f\"ur alle $x\in\Omega$, schreiben wir auch
    $\nu\colon\Omega\to\S^n$. 
  \item Die Normale des Graphen einer Funktion $u\colon\Omega\to\R$,
    wobei $\Omega\subset\R$ eine offene Teilmenge ist, ist als Normale
    der Immersion
    $X(x)=\left(\begin{smallmatrix} x\\
        u(x) \end{smallmatrix}\right)$ definiert. Wir vereinbaren hier
    die Konvention, dass wir stets die nach unten weisende Normale
    verwenden, d.\,h.{} die Normale $\nu$ mit
    $\langle\nu(x),e_{n+1}\rangle<0$ f\"ur alle $x\in\Omega$.
  \item F\"ur eine Niveauhyperfl\"ache oder Untermannigfaltigkeit $M$
    der Kodimension eins ist eine Normale eine stetige Funktion
    $\nu\colon M\to\R^{n+1}$, so dass, wenn $M$ lokal gleich
    $X(\Omega)$ f\"ur eine Immersion $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ ist,
    $x\mapsto\nu(X(x))$ eine Normale f\"ur diese Immersion ist. \par
    F\"ur eine Niveaufl\"ache existiert stets eine Normale, siehe
    Bemerkung \ref{graph normal rem}. Ein M\"obiusband ist ein
    Beispiel f\"ur eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension eins,
    die keine Normale besitzt.
  \item Eine glatte geschlossene zusammenh\"angende
    Untermannigfaltigkeit $M\subset \R^{n+1}$ besitzt eine Normale
    \cite{SamelsonOrientability} und $\R^{n+1}\setminus M$ besteht aus
    genau zwei Zusammenhangskomponenten
    \cite{LimaJordanBrouwerSmooth}. Genau eine dieser
    Zusammenhangskomponenten ist unbeschr\"ankt. In dieser Situation
    werden wir der Konvention folgen, dass wir stets die nach
    au\ss{}en weisende Normale verwenden, d.\,h.{} die Normale, so
    dass f\"ur ein hinreichend kleines $\epsilon>0$,
    $X(x)+\epsilon\nu(x)$ f\"ur alle $x\in M$ zur unbeschr\"ankten
    Komponente von $\R^{n+1}\setminus M$ geh\"ort.
  \item Lokal um einen Punkt $x_0\in\Omega$ existiert stets eine
    stetige Normale. Dazu benutze man
    Gram-Schmidt-Orthonormalisierung. F\"ur eine Immersion erh\"alt
    man auch stets eine globale Normale indem man $\nu$ so w\"ahlt,
    dass
    \[\det\left(\fracp X{x^1}(x),\ldots,\fracp X{x^n}(x),
        \nu(x)\right)>0\] f\"ur alle $x\in\Omega$ gilt.
  \item Der Vektor $\nu(x)$ hei\ss{}t (Einheits-)Normale an $X$ im
    Punkt $x$. Wir werden auch sagen, dass $\nu(x)$ eine
    (Einheits-)Normale an $X$ im Punkt $X(x)$ ist.
  \item Ein Vektor  $T\in\R^{n+1}$ ist genau dann an 
    $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ in $x_0\in\Omega$ tangential, wenn 
    $\langle T,\nu(x_0)\rangle=0$ gilt. Den Beweis lassen wir als
    \"Ubung. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  \label{graph normal rem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Sei $u\colon\Omega\to\R$ von der Klasse $C^1$. Dann ist die
    nach unten weisende Normale von $\graph u$ durch
    \[\nu(x) =\frac1{\sqrt{1+|\nabla u(x)|^2}}
      \begin{pmatrix}
        \nabla u(x)\\ -1
      \end{pmatrix}
    \]
    gegeben. 
  \item Sei $f^{-1}(\{0\})$ eine $n$-dimensionale Niveaufl\"ache in
    $\R^{n+1}$. Dann ist
    \[\nu(x) =\pm\frac{\nabla f(x)}{|\nabla f(x)|}\] eine Normale an
    $f^{-1}(\{0\})$.
  \item Sei $f^{-1}(\{0\})$ eine $n$-dimensionale Niveaufl\"ache in
    $\R^{n+1}$. Dann gilt f\"ur jede Kurve
    $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to
    f^{-1}(\{0\})$ \[\langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle=0\]
    f\"ur alle $t\in(-\epsilon,\epsilon)$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item F\"ur $X(x)=\begin{pmatrix} x\\ u(x)\end{pmatrix}$ gilt
    \[\fracp X{x^i} =
      \begin{pmatrix}
        e_i\\ \fracp u{x^i}
      \end{pmatrix},\] 
    wobei $e_1,\ldots,e_n$ die Standardbasis des $\R^n$ ist. Den
    Beweis \"uberlassen wir dem Leser.
  \item Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine lokale Parametrisierung
    von $f^{-1}(\{0\})$. Dann gilt $f(X(x))=0$ f\"ur alle
    $x\in\Omega$. Mit der Kettenregel erhalten wir daraus
    \[0 =Df(X(x))\left\langle \fracp X{x^i}(x)\right\rangle
      =\left\langle \nabla f(X(x)),\fracp X{x^i}(x)\right\rangle.\]
    Klar ist, dass $\nu$ die L\"ange $1$ hat.
  \item \"Ubung.  \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Bei einer Immersion ist jedem Punkt ein Skalarprodukt
zugeordnet. Historisch bedingt wird das Metrik genannt. 
\begin{definition}[Metrik]
  \label{metric def}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ eine offene Menge.  Sei
  $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$ eine Immersion. Dann ist die
  \emph{(induzierte) Metrik} von $X$ eine stetige Abbildung
  $g\colon\Omega\to\R^{n\times n}$ mit Komponenten
  $g=(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$, die durch
  \[g_{ij}(x)
    =\left\langle\fracp{X}{x^i}(x),\fracp{X}{x^j}(x)\right\rangle\]
  definiert ist. 
\end{definition}

\begin{lemma}
  Die Metrik einer immersierten Hyperfl\"ache
  $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$ ist
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item symmetrisch, d.\,h.{} es gilt \[g_{ij}(x)=g_{ji}(x)\] f\"ur
    alle $1\le i,j\le n$ und alle $x\in\Omega$, und
  \item positiv definit, d.\,h.{} es gilt 
    \[\sum\limits_{i,j=1}^n g_{ij}(x)\xi^i\xi^j>0\] f\"ur alle
    $\xi\in\R^n$ mit $\xi\neq0$ und alle $x\in\Omega$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Die Symmetrie folgt direkt aus der Symmetrie des
    Skalarproduktes auf $\R^{n+k}$.
  \item Sei $\xi\in\R^n$ mit $\xi\neq0$ und $x\in\Omega$. Nach
    Definition von $g$ erhalten wir
    \[\sum\limits_{i,j=1}^n g_{ij}(x)\xi^i\xi^j
      =\left\langle\sum\limits_{i=1}^n \fracp X{x^i}(x)\xi^i,
        \sum\limits_{j=1}^n \fracp X{x^j}(x)\xi^j\right\rangle.\] Da $X$
    eine Immersion ist, hat $DX(x)$ Rang $n$ und wir erhalten 
    \[\sum\limits_{i=1}^n\fracp X{x^i}(x)\xi^i\neq0.\] Da das
    Skalarprodukt auf $\R^{n+k}$ positiv definit ist, erhalten wir
    unsere Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Da $g_{ij}$ positiv definit ist, k\"onnen wir eine Inverse
definieren. 
\begin{definition}
  Sei $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ eine nicht-degenerierte
  Bilinearform. Dann hei\ss{}t die Bilinearform $(g^{ij})_{1\le i,j\le
    n}$ Inverse von $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$, falls
  \[\sum\limits_{j=1}^n g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k\]
  f\"ur all $1\le i,k\le n$ gilt.
\end{definition}

\begin{notation}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Wir benutzen Indices f\"ur partielle Ableitungen, also
    beispielsweise
    \[u_i\equiv\fracp{u}{x^i}\quad\text{und}\quad
      X_i=\fracp{X}{x^i}.\]
  \item Kleine lateinische Indices laufen von $1$ bis $n$ und beziehen
    sich auf Gr\"o\ss{}en auf der $n$-dimensionalen Hyperfl\"ache.
  \item Kleine griechische Indices laufen von $1$ bis $n+1$ und
    beziehen sich auf Gr\"o\ss{}en im umgebenden Euklidischen Raum.
  \item Wir benutzen die Einsteinsche Summenkonvention. Dies bedeutet,
    dass wir in einem Term, in dem ein Buchstabe einmal als oberer und
    einmal als unterer Index ohne explizites Summenzeichen auftaucht,
    im Falle von lateinischen Indices von $1$ bis $n$ und im Falle
    griechischer Indices von $1$ bis $n+1$ summieren.
  \item Wir benutzen Koordinaten $x=(x^i)_{1\le i\le n}$
    und $y=(y^\alpha)_{1\le\alpha\le n+1}$ mit oberen Indices f\"ur
    Teilmengen von $\R^n$ beziehungsweise $\R^{n+1}$, so wie wir dies
    weiter oben bereits gemacht haben. 
  \end{enumerate}
\end{notation}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Das Skalarprodukt auf $\R^{n+1}$ nennen wir auch Euklidische
    Metrik und bezeichnen es mit
    \[(\delta_{\alpha\beta})_{1\le\alpha,\beta\le n+1}.\] F\"ur seine
    Inverse schreiben wir
    $(\delta^{\alpha\beta})_{1\le\alpha,\beta\le n+1}$.\par Auf $\R^n$
    bezeichnen wir diese Skalarprodukt mit
    $(\delta_{ij})_{1\le i,j\le n}$ und seine Inverse mit
    $\left(\delta^{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$.
  \item \stern Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen. Ist
    $\psi\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Immersion, so erhalten wir
    analog zur Definition \ref{metric def} eine Metrik
    $\bar g=(\bar g_{\alpha\beta})_{1\le \alpha\beta\le n+1}$, die
    durch 
    \[\bar g_{\alpha\beta}(x) =\langle
      \psi_\alpha(x),\psi_\beta(x)\rangle\] gegeben ist. Sie hei\ss{}t
    Euklidische Metric in der $\psi$-Parametrisierung oder in den zu
    $\psi$ assoziierten Koordinaten.  Hier werden wir jedoch in dieser
    Situation nur starre Bewegungen $\psi$, also
    Hintereinanderausf\"uhrungen von orthogonalen Abbildungen und
    Translationen, benutzen.  Daher erhalten wir stets
    $\bar g_{\alpha\beta} =\delta_{\alpha\beta}$.
  \item Sei $u\colon\Omega\to\R$ eine Funktion. Dann setzen wir
    $u^i:=\delta^{ij}u_j$. Wir erhalten $Du=(u_i)_{1\le i\le n}$ und
    $\nabla u=\left(u^i\right)_{1\le i\le n}$. Den Gradienten $\nabla u$
    werden wir als Spalte notieren, 
    \[
      \nabla u=
      \begin{pmatrix}
        u^1\\ u^2\\ \ldots \\ u^n
      \end{pmatrix},
    \]
    w\"ahrend die Ableitung $Du$ einer Zeile entspricht:
    \[Du=
      \begin{pmatrix}
        u_1 & u_2 & \ldots & u_n
      \end{pmatrix}.
    \]
    Gr\"o\ss{}en mit oberen Indices hei\ss{}en kontravariant,
    w\"ahrend Gr\"o\ss{}en mit unteren Indices kovariant
    hei\ss{}en. Die Metrik ist zweifach kovariant. Daher sagen wir
    auch, dass die Metrik ein $(0,2)$-Tensor ist.
  \item Aus der Linearen Algebra wissen wir, dass die Linksinverse
    einer regul\"aren quadratischen Matrix mit ihrer Rechtsinversen
    \"ubereinstimmt. Daraus
    folgt \[\sum\limits_{j=1}^n g^{ij}g_{jk} =\delta^i_k.\]
  \item In der Literatur werden kovariante Ableitungen mit $X_{;ij}$
    oder, falls klar ist, dass es sich um eine kovariante Ableitung
    handelt, mit $X_{ij}$ bezeichnet. Dann benutzt man $X_{,ij}$ statt
    $X_{ij}$ um zu betonen, dass es sich um eine partielle Ableitung
    handelt.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{example}
  Unter Benutzung der Einsteinschen Summenkonvention wird die
  Definition der induzierten Metrik zu 
  \[g_{ij} =\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^{n+1} X_i^\alpha
    \delta_{\alpha\beta} X_j^\beta =X^\alpha_i \delta_{\alpha\beta}
    X^\beta_j.\]
\end{example}

\datum{Mo 17.05.2021}
Wir werden sehen, dass wir mit Hilfe der Metrik die L\"ange einer
Kurve auf einer Immersion messen k\"onnen. Erinnerung:
\begin{definition}[L\"ange]
  Sei $I=[a,b]$ ein Interval und sei $\alpha\colon I\to\R^{n+k}$ eine
  st\"uckweise $C^1$-Kurve. Dann ist die \emph{L\"ange} von $\alpha$,
  $L(\alpha)$, durch \[L(\alpha):=\int\limits_a^b |\alpha'(t)|\,dt\]
  definiert, wobei das Integral als Summe von Integralen \"uber die
  Intervalle der Partition von $I$, so dass $\alpha$ dort
  differenzierbar ist, definiert ist.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $I=[a,b]$ ein Interval, sei $\Omega\subset\R^n$ eine offene
  Menge, sei 
  $\gamma\colon I\to\Omega$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve und sei 
  $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$ eine Immersion. 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Dann gilt 
    \begin{equation}
      \label{L X alpha eq}
      L(X\circ\gamma) =\int\limits_a^b \sqrt{g_{ij}(\gamma(t))
        \left(\gamma^i\right)'(t) \left(\gamma^j\right)'(t)}\,dt.
    \end{equation}
  \item Die Metrik ist die eindeutig bestimmte symmetrische stetige
    Abbildung \[g\colon\Omega\to\R^{n\times n},\] so dass \eqref{L X
      alpha eq} f\"ur jede Kurve $\gamma$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Eine direkte Rechnung liefert
    \begin{align*}
      |(X\circ\gamma)'|^2(t)
      =&\, \left|X_i(\gamma(t))
         \left(\gamma^i\right)'(t)\right|^2\umbruch\\
      =&\,\left(\gamma^i\right)'(t)X_i^\alpha(\gamma(t))
         \delta_{\alpha\beta}  
         X^\beta_j(\gamma(t)) \left(\gamma^j\right)'(t)\umbruch\\
      =&\,\left(\gamma^i\right)'(t) g_{ij}(\gamma(t))
         \left(\gamma^j\right)'(t). 
    \end{align*}
    Hieraus folgt \eqref{L X alpha eq}. 
  \item Benutzen wir kurze Kurven $\gamma$ und die Stetigkeit der
    Metrik $g_{ij}$, so erhalten wir f\"ur jede symmetrische stetige
    Abbildung $\tilde g\colon\Omega\to\R^{n\times n}$, die \eqref{L X
      alpha eq} erf\"ullt, wenn wir $g_{ij}$ durch $\tilde g_{ij}$
    ersetzen, dass die Werte der entsprechenden Quadratwurzeln
    \"ubereinstimmen. Eine symmetrische Bilinearform \"uber $\R$ ist
    jedoch eindeutig durch die assoziierte quadratische Form
    bestimmt. Hieraus folgt die behauptete Eindeutigkeit. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Zweite Fundamentalform}
Mit der zweiten Fundamentalform messen wir, wie
ge\-kr\"ummt eine Hyperfl\"ache ist. \par Bei einer immersierten
Hyperfl\"ache $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ nehmen wir nachfolgend stets
stillschweigend an, dass $\Omega\subset\R^n$ offen ist und $X\in
C^1\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ gilt. 

\begin{definition}[Zweite Fundamentalform]
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte $C^2$-Hyperfl\"ache
  mit Normale $\nu$. Dann ist die \emph{zweite Fundamentalform}
  $A\colon\Omega\to\R^{n\times n}$ mit $A=(h_{ij})_{1\le i,j\le n}$
  durch
  \[h_{ij}(x) =-\left\langle X_{ij}(x),\nu(x)\right\rangle\]
  definiert.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Die zweite Fundamentalform mit $A$ und ihre Komponenten mit
    $h_{ij}$ zu bezeichnen, ist eine historisch gewachsene Konvention. 
  \item Die zweite Fundamentalform ist symmetrisch: \[h_{ij}=h_{ji}.\]
  \item Sp\"ater werden wir die Indices der zweiten Fundamentalform
    mit Hilfe der Metrik heben und senken. Dann gelten beispielsweise
    \[h^j_i=h_{ik}g^{kj} \quad\text{und}\quad h_{ij}=h^k_ig_{kj},\]
    wobei wir bei $h^i_j$ aufgrund der Symmetrieeigenschaften nicht
    auf die Reihenfolge achten m\"ussen. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Hauptkr\"ummungen]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Eine reelle Zahl $\lambda\in\R$ ist ein Eigenwert der
    symmetrischen Bilinearform \[(h_{ij})_{1\le i,j\le n}\]
    bez\"uglich einer anderen symmetrischen Bilinearform
    $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$, falls es einen Eigenvektor
    $\xi=\left(\xi^i\right)_{1\le i\le n}\in\R^n$ mit $\xi\neq0$ gibt,
    so dass
    \[h_{ij}\xi^j =\lambda\cdot g_{ij}\xi^j\] f\"ur alle $1\le i\le n$
    gilt.
  \item Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte
    $C^2$-Hyperfl\"ache mit Metrik $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ und
    zweiter Fundamentalform $(h_{ij})_{1\le i,j\le n}$ zu einer fest
    gew\"ahlten Normalen $\nu\colon\Omega\to\R^{n+1}$.  Dann sind die
    \emph{Hauptkr\"ummungen} $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ die
    Eigenwerte von $(h_{ij})_{i,j}$ bez\"uglich $(g_{ij})_{i,j}$,
    wobei wir die Eigenwerte entsprechend ihrer Vielfachheit
    gegebenenfalls mehrfach auf"|f\"uhren.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \stern
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Sobald wir zuk\"unftig von den Hauptkr\"ummungen einer
    Immersion sprechen werden, so wollen wir stillschweigend annehmen,
    dass wir eine feste Normale gew\"ahlt haben und damit das
    Vorzeichen der zweiten Fundamentalform festgelegt ist.
  \item Die Hauptkr\"ummungen in einem festen Punkt h\"angen nur vom
    Verhalten der Hyperfl\"ache in einer kleinen Umgebung dieses
    Punktes ab. Daher k\"onnen und werden wir die Hauptkr\"ummungen
    von Hyperfl\"achen wie in Proposition \ref{mf aeq prop} mit Hilfe
    lokaler Parametrisierungen berechnen.
  \item Die Hauptkr\"ummungen sind nur bis auf Permutationen eindeutig
    bestimmt, da sie als Eigenwerte definiert sind.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Das folgende Lemma beschreibt, was wir meinen, wenn wir sagen, dass
die Hauptkr\"ummungen geometrisch sind. 
\begin{lemma}
  \label{princ curv geom lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte $C^2$-Hyperfl\"ache
  mit Metrik $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ und zweiter Fundamentalform
  $(h_{ij})_{1\le i,j\le n}$ bez\"uglich der Normalen $\nu$. Sei
  $\hat\Omega\subset\R^n$ offen und sei
  $\psi=\left(\psi^k\right)_{1\le k\le n}\colon\hat\Omega\to\Omega$
  ein Diffeomorphismus. Sei
  $R =\left(R^\alpha_\beta\right)_{1\le \alpha,\beta\le n+1}\in
  O(n+1)$ eine orthogonale Matrix und sei $a\in\R^{n+1}$. Define
  $\hat X\colon\hat\Omega\to\R^{n+1}$ durch
  \[\hat X(x) =RX(\psi(x))+a.\]
  Dann stimmen die Hauptkr\"ummungen von $\hat X$ bez\"uglich der
  Normalen $\hat\nu =R\nu\circ\psi$ in $x\in\hat\Omega$ und $X$ in
  $\psi(x)$ und ihre Vielfachheiten \"uberein.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Eine direkte Rechnung ergibt
  \begin{align*}
    \hat X^\alpha_i(x)
    =&\,R^\alpha_\beta
       X^\beta_k(\psi(x))\psi^k_i(x),\umbruch\\
    \hat X^\alpha_{ij}(x)
    =&\,R^\alpha_\beta X^\beta_{kl}(\psi(x)) \psi^k_i(x)\psi^l_j(x)
       +R^\alpha_\beta X^\beta_k(\psi(x)) \psi^k_{ij}(x).
  \end{align*}
  Da $R$ orthogonal ist, folgt
  $R^\alpha_\beta\delta_{\alpha\gamma} R^\gamma_\epsilon
  =\delta_{\beta\epsilon}$. Somit erhalten wir, dass
  $\hat\nu =R\nu\circ\psi$ eine Normale an $\hat X$ ist; es gelten
  n\"amlich
  \begin{align*}
    \left\langle R\nu(\psi(x)),\hat X_i(x)\right\rangle
    =&\,\nu^\alpha(\psi(x)) R_\alpha^\beta\delta_{\beta\gamma}
       R^\gamma_\zeta X^\zeta_k(\psi(x)) \psi^k_i(x)\umbruch\\
    =&\,\nu^\alpha(\psi(x)) \delta_{\alpha\zeta} 
       X^\zeta_k(\psi(qx)) \psi^k_i(x)\umbruch\\
    =&\,\langle\nu,X_k\rangle(\psi(x)) \psi^k_i(x) =0\umbruch
       \intertext{und}
       \langle R\nu,R\nu\rangle =&\,\langle\nu,\nu\rangle =1. 
  \end{align*}
  F\"ur die Metrik $(\hat g_{ij})_{i,j}$ und die zweite
  Fundamentalform $\left(\hat h_{ij}\right)_{i,j}$ von $\hat X$
  erhalten wir
  \begin{align*}
    \hat g_{ij}(x)
    =&\,\left\langle\hat X_i(x),\hat X_j(x)\right\rangle\umbruch\\
    =&\,\psi^k_i(x) X^\alpha_k(\psi(x)) R^\beta_\alpha
       \delta_{\beta\gamma} R^\gamma_\epsilon X^\epsilon_l(\psi(x))
       \psi^l_j(x)\umbruch\\
    =&\,\psi^k_i(x) X^\alpha_k(\psi(x))\delta_{\alpha\epsilon}
       X^\epsilon_l(\psi(x)) \psi^l_j(x)\umbruch\\
    =&\,\psi^k_i(x) g_{kl}(\psi(x))
       \psi^l_j(x)
       \intertext{und}
       \hat h_{ij}(x)
       =&\,-\left\langle\hat X_{ij}(x), \hat\nu(x)
          \right\rangle\umbruch\\
    =&\,-\nu^\alpha(\psi(x)) R^\beta_\alpha \delta_{\beta\gamma}
       R^\gamma_\epsilon X^\epsilon_{kl}(\psi(x)) \psi^k_i(x)
       \psi^l_j(x)\\
     &\,-\nu^\alpha(\psi(x)) R^\beta_\alpha
       \delta_{\beta\gamma} R^\gamma_\epsilon X^\epsilon_k(\psi(x))
       \psi^k_{ij}(x)\umbruch\\
    =&\,-\nu^\alpha(\psi(x)) \delta_{\alpha\epsilon}
       X^\epsilon_{kl}(\psi(x)) 
       \psi^k_i(x) \psi^l_j(x)
       -\nu^\alpha(\psi(x)) \delta_{\alpha\epsilon}
       X^\epsilon_k(\psi(x)) \psi^k_{ij}(x)\umbruch\\
    =&\,-\left\langle \nu,X_{kl}\right\rangle(\psi(x))
       \psi^k_i(x)\psi^l_j(x) -\langle\nu, X_k\rangle(\psi(x))
       \psi^k_{ij}(x)\umbruch\\
    =&\,h_{kl}(\psi(x)) \psi^k_i(x)\psi^l_j(x) +0.
  \end{align*}
  Da $\psi$ ein Diffeomorphism ist, ist
  $\left(\psi^k_i(x)\right)_{1\le i,k\le n}$ f\"ur beliebige
  $x\in\hat\Omega$ invertierbar und unsere Behauptung folgt aus dem
  nachfolgenden Lemma \ref{inv eig equal lem}.
\end{proof}

Um sp\"ater direkt darauf verweisen zu k\"onnen, notieren wir ein
Resultat aus dem Beweis von Lemma \ref{princ curv geom lem} nochmals
separat.
\begin{lemma}
  \label{g h trafo lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte $C^2$-Hyperfl\"ache
  $C^2$ mit Metrik $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ und zweiter
  Fundamentalform $(h_{ij})_{1\le i,j\le n}$ bez\"uglich der Normalen
  $\nu$. Sei $\hat\Omega\subset\R^n$ offen, sei
  $\psi\colon\hat\Omega\to\Omega$ ein Diffeomorphismus, $R\in O(n+1)$
  und sei $a\in\R^{n+1}$. Definiere $\hat X:=\hat\Omega\to\R^{n+1}$
  durch $\hat X(x):=R\circ X\circ\psi(x)+a$. Dann erf\"ullen die
  Metrik $\left(\hat g_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$ und die zweite
  Fundamentalform $\left(\hat h_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$ von
  $\hat X$
  \begin{align*}
    \hat g_{ij}(x)
    =&\,\psi^k_i(x) g_{kl}(\psi(x)) \psi^l_j(x)\umbruch
       \intertext{und}
       \hat h_{ij}(x)
       =&\,\psi^k_i(x) h_{kl}(\psi(x)) \psi^l_j(x)
  \end{align*}
  f\"ur beliebige $x\in\hat\Omega$ und $1\le i,j\le n$. 
\end{lemma}

\datum{Di 25.05.2021}
\begin{lemma}
  \label{inv eig equal lem}
  Seien $(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ und $(b_{ij})_{1\le i,j\le n}$
  symmetrische Bilinearformen. Sei
  $\left(d^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ invertierbar. Dann stimmen die
  Eigenwerte von $(a_{ij})_{i,j}$ bez\"uglich $(b_{ij})_{i,j}$ und
  diejenigen von
  \[\left(\tilde a_{kl}\right)_{1\le k,l\le n}\equiv
  \left(d_k^ia_{ij}d^j_l\right)_{1\le k,l\le n}\] bez\"uglich
  $\left(\tilde b_{kl}\right)_{1\le k,l\le n} \equiv
  \left(d_k^ib_{ij}d^j_l\right)_{1\le k,l\le n}$ und ihre
  Vielfachheiten \"uberein.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Sei $\left(D^i_j\right)_{1\le i,j\le n}\in\R^{n\times n}$ die
    Inverse von $\left(d^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$. Somit gelten
    $d^i_kD^k_j =\delta^i_j$ und $d_i^kD^j_k =\delta_i^j$ f\"ur alle
    $1\le i,j\le n$.  Sei $\lambda\in\R$ ein Eigenwert von
    $(a_{ij})_{i,j}$ bez\"uglich $(b_{ij})_{i,j}$ und
    $\xi\in\R^n\setminus\{0\}$ ein zugeh\"origer
    Eigenvektor \[a_{ij}\xi^j =\lambda b_{ij}\xi^j.\] Wir erhalten
    \[d_k^ia_{ij} d^j_l D^l_r\xi^r =\lambda d_k^i b_{ij} d^j_l
      D^l_r\xi^r.\] Somit ist
    $\left(D^l_r\xi^r\right)_l\in\R^n\setminus\{0\}$ ein Eigenvektor
    von $\left(\tilde a_{kl}\right)_{k,l}$ bez\"uglich
    $\left(\tilde b_{kl}\right)_{k,l}$.
  \item Gilt umgekehrt
    \[\tilde a_{kl}\zeta^l=\lambda\tilde b_{kl}\zeta^l,\] so
    multiplizieren wir das mit $D^k_r$ und benutzen die Definitionen
    von $\tilde a_{ij}$ und $\tilde b_{ij}$ und
    $D^k_rd_k^i=\delta_r^i$ um hieraus f\"ur $\xi^j=d^j_l\zeta^l$ auf
    \[a_{rj}\xi^j =D^k_rd^i_ka_{ij}d^j_l\zeta ^l =D^k_r\tilde
      a_{kl}\zeta^l =\lambda D^k_r\tilde b_{kl}\zeta^l =\lambda D^k_r
      d^i_kb_{ij}d^j_l\zeta^l =\lambda b_{rj}\xi^j\] zu schlie\ss{}en.
    Hieraus folgt die Behauptung.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{n princ curv ex lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Dann gibt es, mit Vielfachheiten gez\"ahlt, in
  jedem Punkt genau $n$ Hauptkr\"ummungen. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Metrik $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ ist positiv definit und
  symmetrisch. Somit gibt es eine invertierbare Matrix
  $\left(d^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ mit
  $d^i_k g_{ij}d^j_l=\delta_{kl}$ f\"ur alle $1\le k,l\le
  n$. Gem\"a\ss{} Lemma \ref{inv eig equal lem} gen\"ugt es zu zeigen,
  dass $\left(d^i_kh_{ij}d^j_l\right)_{k,l}$ bez\"uglich
  $(\delta_{kl})_{k,l}$ genau $n$ Eigenwerte besitzt. Wenn wir die
  definierende Gleichung mit $\delta^{rk}$ multiplizieren, so sehen
  wir, dass sie zu
  \[\delta^{rk}d^i_kh_{ij}d^j_l\xi^l
    =\lambda\delta^{rk}\delta_{kl}\xi^l =\lambda\xi^r\] \"aquivalent
  ist. Nun ist aber
  $\left(\delta^{rk}d^i_kh_{ij}d^j_l\right)_{1\le r,l\le n}$ eine 
  symmetrische Matrix. Daher folgt unsere Behauptung nun aus dem
  Resultat aus der Linearen Algebra, dass sich solche Matrizen
  verm\"oge orthogonaler Matrizen diagonalisieren lassen. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{ev orth lem}
  Eigenvektoren von $(h_{ij})_{i,j}$ bez\"uglich $(g_{ij})_{i,j}$ zu
  verschiedenen Eigenwerten sind paarweise bez\"uglich des
  Skalarproduktes $(g_{ij})_{i,j}$ orthogonal zueinander.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Angenommen, $\lambda,\mu\in\R$ sind verschieden und es gilt
  \[h_{ij}\xi^j=\lambda g_{ij}\xi^j\quad\text{und}\quad
    h_{ij}\zeta^j=\mu g_{ij}\zeta^j.\] Aufgrund der Symmetrie der 
  Metrik und der zweiten Fundamentalform, erhalten wir daraus
  \[\mu\xi^i g_{ij}\zeta^j =\xi^i h_{ij}\zeta^j =\lambda\xi^i
    g_{ij}\zeta^j.\] Dies liefert die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Orthogonalit\"at bez\"uglich $(g_{ij})_{i,j}$ h\"angt wie folgt mit
  Orthogonalit\"at bez\"uglich der Euklidischen Metrik zusammen:
  Aufgrund der Definition der induzierten Metrik sind die Vektoren
  $\xi,\zeta\in\R^n$ genau dann bez\"uglich $(g_{ij})_{i,j}$
  orthogonal zueinander, wenn $DX\langle\xi\rangle$ und
  $DX\langle\zeta\rangle\in\R^{n+1}$ bez\"uglich der
  Euklidischen Metrik orthogonal zueinander sind.
\end{remark}

Wie in der Linearen Algebra folgt hieraus
\begin{corollary}
  \label{ev orth cor}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $C^2$-Hyperfl\"ache und sei
  $x_0\in\Omega$. Dann gibt es genau $n$ bez\"uglich $(g_{ij})_{i,j}$
  paarweise orthogonale Eigenvektoren von $(h_{ij})_{i,j}$ bez\"uglich
  $(g_{ij})_{i,j}$.
\end{corollary}

Wenn wir die Eigenvektoren normalisieren und linear auf die
Standardbasis abbilden, so erhalten wir 
\begin{lemma}
  \label{norm coord lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $C^2$-Hyperfl\"ache. Sei
  $x_0\in\Omega$. Dann gibt es $R\in GL(n)$, so dass im Punkt
  $R^{-1}(x_0)$ die Metrik $(g_{ij})_{i,j}$ von $X\circ R$ zu
  $g_{ij}=\delta_{ij}$ wird und die zweite Fundamentalform diagonal
  ist.
\end{lemma}
Alternativ zeigt man dies mit einem min-max-Ansatz. Siehe dazu Kapitel
\ref{min max sec} sowie das Kapitel \"uber Extremaleigenschaften der
Eigenwerte aus \cite{OSLA2} bzw.{} Kapitel \ref{extremal ew sec}.

\begin{lemma}
  \label{geom graph lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $u\in C^2(\Omega)$. Dann sind
  die Komponenten der Metrik und der zweiten Fundamentalform der
  Immersion $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ mit
  $X(x)=\begin{pmatrix} x\\ u(x)\end{pmatrix}$ durch
  \begin{align*}
    g_{ij}(x)=&\,\delta_{ij}+u_i(x)u_j(x),\umbruch\\
    g^{ij}(x)=&\,\delta^{ij}-\dfrac{u^i(x)u^j(x)}{1+|\nabla
                u(x)|^2}\umbruch 
                \intertext{und}
                h_{ij}(x)=&\,\dfrac{u_{ij}(x)}{\sqrt{1+|\nabla
                            u(x)|^2}}  
  \end{align*}
  gegeben. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Im Beweis lassen wir der \"Ubersichtlichkeit halber das Argument $x$
  weg. \par 
  Unter Benutzung der nach unten weisenden Normalen aus Bemerkung
  \ref{graph normal rem} liefert eine direkte Rechnung
  \begin{align*}
    X_i
    &=\begin{pmatrix}
      e_i\\ u_i
    \end{pmatrix},\umbruch\\
    X_{ij} &=
                \begin{pmatrix}
                  0\\ u_{ij}
                \end{pmatrix},\\
    g_{ij} &=\langle X_i,X_j\rangle =\delta_{ij}+u_iu_j\umbruch
             \intertext{und}
             h_{ij} &=-\langle X_{ij},\nu\rangle\umbruch\\  
    &=-\dfrac1{\sqrt{1+|\nabla u|^2}} \left\langle
      \begin{pmatrix}
        0\\ u_{ij}
      \end{pmatrix},
    \begin{pmatrix}
      \nabla u\\ -1
    \end{pmatrix}
    \right\rangle\umbruch\\
    &=\dfrac{u_{ij}}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}.
  \end{align*}
  Eine weitere direkte Rechnung ergibt
  \begin{align*}
    g_{ij}g^{jk}
    &=(\delta_{ij}+u_iu_j)\left(\delta^{jk}-\dfrac{u^ju^k}{1+|\nabla
       u|^2}\right)\umbruch\\
    &=\delta^k_i +u_iu^k -\dfrac{u_iu^k}{1+|\nabla u|^2}
       -\dfrac{u_iu^k|\nabla u|^2}{1+|\nabla u|^2} =\delta^k_i
  \end{align*}
  wie behauptet.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sei $I\subset\R$ ein offenes Interval mit $0\in I$ und sei
  $u\in C^2(I)$. Ein Ellipsoid k\"onnen wir in der Form 
    \[\left\{x\in\R^2\colon
        \langle x-x_0,A(x-x_0)\rangle=1\right\}\] darstellen, wobei
    $A$ eine symmetrische positiv definite Matrix ist. Dies erfordert
    f\"unf reelle Parameter. Daher k\"onnen wir nicht erwarten, dass
    es ein \textit{eindeutig} bestimmtes Ellipsoid gibt, so dass eine
    das Ellipsoid lokal als Graphen darstellende Funktion $v$ die
    Bedingungen $u(0)=v(0)$, $Du(0)=Dv(0)$ und $D^2u(0)=D^2v(0)$
    erf\"ullt. \par Genauso k\"onnen wir nicht erwarten, dass sich
    eine $C^2$-Hyperfl\"ache mit nichtnegativen Hauptkr\"ummungen
    lokal optimal durch ein eindeutig bestimmtes Ellipsoid
    approximieren l\"asst. \par Benutzen wir jedoch Kreise f\"ur die
    Approximation, so h\"angen deren Radien und die Hauptkr\"ummungen
    zusammen. Nach Korollar \ref{ev orth cor} finden wir paarweise
    orthogonale Eigenvektoren $\xi_1,\ldots,\xi_n\in\R^n$ mit
    $\xi_i=\left(\xi_i^k\right)_{1\le k\le n}$ der zweiten
    Fundamentalform $(h_{ij})_{i,j}$ bez\"uglich der induzierten
    Metrik $(g_{ij})_{i,j}$, die zu den Eigenwerten
    $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ geh\"oren, wobei
    $\lambda_i =\frac{h_{kl}\xi_i^k\xi_i^l} {g_{kl}\xi_i^k\xi_i^l}$
    gilt. Im nachfolgenden Lemma \ref{appr circ lem}, werden wir
    sehen, dass das Bild von $X$ in den durch $\nu$ und
    $DX\langle\xi_i\rangle$, $i=1,\ldots,n$, aufgespannten
    $2$-dimensionalen Ebenen lokal optimal durch Kreise vom Radius
    $\frac1{\lambda_i}$ oder, im Falle $\lambda_i=0$, durch Geraden
    approximiert wird.
\end{remark}

\begin{lemma}
  \label{appr circ lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Sei $\lambda$ eine Hauptkr\"ummung im Punkt
  $x_0\in\Omega$ und sei $\xi$ ein Eigenvektor der zweiten
  Fundamentalform bez\"uglich der Metrik zum Eigenwert $\lambda$. Dann
  wird das Bild von $X$ in der durch $\nu(x_0)$ und
  $DX(x_0)\langle\xi\rangle$ aufgespannten Ebene lokal um $X(x_0)$
  optimal durch einen Kreis vom Radius $\frac1{|\lambda|}$ in dem
  Sinne approximiert, dass in einer lokalen graphischen Darstellung
  diejenigen Funktionen, die das Bild von $X$ und den Kreis
  darstellen, im betrachteten Punkt bis zur zweiten Ableitung
  \"ubereinstimmen. Je nach Vorzeichen von $\lambda$ liegt der
  Mittelpunkt des Kreises in Richtung $-\nu$ oder $+\nu$.  Im Falle
  $\lambda=0$ gilt diese Aussage f\"ur eine Geraden statt f\"ur einen
  Kreis.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Gem\"a\ss{} Lemma \ref{princ curv geom lem} k\"onnen wir auf die
  Immersion $X$ eine Bewegung anwenden und daher ohne Einschr\"ankung
  $X(x_0)=0$, $\nu(x_0)=-e_{n+1}$ und auch
  $DX(x_0)\langle\xi\rangle=e_1$ annehmen.  Dann gibt es gem\"a\ss{}
  Proposition \ref{mf aeq prop} eine Umgebung $U\subset\R^n$ des
  Ursprungs, so dass sich $X$ is lokal um $X(x_0)$ herum als Graph
  eine $C^2$-Funktion $u\colon U\to\R$ mit $u(0)=0$, $Du(0)=0$ und
  diagonaler Hessischer darstellen l\"a\ss{}t. Nach Lemma \ref{geom
    graph lem} erhalten wir weiterhin $g_{ij}(0)=\delta_{ij}$ und
  $u_{11}(0)=\lambda$. Dann ist $x^1\mapsto u(x^1,0,\ldots,0)$ die
  Funktion, deren Graph lokal mit dem Bild von $X$ in der von
  $\nu(x_0)$ und $DX(x_0)\langle\xi\rangle$ aufgespannten Ebene
  \"ubereinstimmt.  Im Falle $\lambda=0$ ist die Behauptung klar. Wir
  nehmen nun an, dass $\lambda>0$ gilt und \"uberlassen den analogen
  Fall $\lambda<0$ dem Leser als \"Ubung. \par
  Wir definieren $r:=\frac1\lambda$ und $\mathcal C\colon(-r,r)\to\R$
  durch $\mathcal C(x):=r-\sqrt{r^2-|x|^2}$. Dann ist
  $\graph\mathcal C$ ein Halbkreis vom Radius $r$ und es gelten
  $\mathcal C(0)=0$, $\mathcal C_x(x)=\frac{x}{\sqrt{r^2-|x|^2}}$,
  $\mathcal C_x(0)=0$ und
  \[\mathcal C_{xx}(0) =\frac1{\sqrt{r^2}} =\frac1r
    =\lambda=u_{11}(0)\] wie behauptet.
\end{proof}

\subsection{Kr\"ummungsfunktionen}
\datum{Mo 07.06.2021}
Symmetrische Funktionen der Hauptkr\"ummungen sind wohldefiniert. Sie
hei\ss{}en \emph{Kr\"ummungsfunktionen}. Wir definieren
\begin{definition}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Dann definieren wir die \emph{mittlere
    Kr\"ummung} $H\colon\Omega\to\R$
  durch \[H(x):=\lambda_1(x)+\ldots+\lambda_n(x)\] und die
  \emph{Gau\ss{}kr\"ummung} $K\colon\Omega\to\R$
  durch \[K(x):=\lambda_1(x)\cdot\ldots\cdot\lambda_n(x).\]
  Die (quadrierte) Norm der zweiten Fundamentalform definieren wir
  durch \[|A|^2:=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i^2.\]
  Schlie\ss{}lich definieren wir die elementarsymmetrischen Funktionen
  der Hauptkr\"ummung f\"ur $1\le k\le n$ durch 
  \[S_k((\lambda_i)_{1\le i\le n})=\sum\limits_{1\le i_1<\ldots<i_k\le
      n} \lambda_{i_1}\cdot\ldots\cdot\lambda_{i_n}.\]
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Es gelten $H=S_1$ und $K=S_n$. 
  \item W\"ahlt man $-\nu$ statt $\nu$ als Normale, so \"andert sich
    das Vorzeichen von $h_{ij}$ und $H$, das von $|A|^2$, $S_2$,
    $S_4$, \ldots bleibt unver\"andert.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  \label{mean gauss 2ff lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Dann gelten f\"ur die mittlere Kr\"ummung $H$
  und die Gau\ss{}kr\"ummung $K$
  \[H=g^{ij}h_{ij} \quad\text{und}\quad
    K=\frac{\det((h_{ij})_{i,j})}{\det((g_{ij})_{i,j})}
    \equiv\frac{\det h_{ij}}{\det g_{ij}}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir $0\in\Omega$ annehmen und
    die Behauptung nur im Punkt $x=0$ beweisen.
  \item Sei $R\in GL(n)$. Dann definieren wir $\hat X:= X\circ R$ und
    bezeichnen die Metrik, die zweite Fundamentalform, die
    Hauptkr\"ummungen, die mittlere Kr\"ummung und die
    Gau\ss{}kr\"ummung von $\hat X$ mit
    $\left(\hat g_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$,
    $\left(\hat h_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$,
    $\left(\hat\lambda_i\right)_{1\le i\le n}$, $\hat H$ bzw.{}
    $\hat K$.
  \item Nach Lemma \ref{norm coord lem} gibt es $R\in GL(n)$, so dass
    $\hat g_{ij}(0)=\delta_{ij}$ gilt und
    $\left(\hat h_{ij}(0)\right)_{1\le i,j\le n}$ diagonal ist.
  \item Daher erhalten wir im Ursprung
    \[\hat g^{ij}\hat h_{ij} =\hat\lambda_1+\ldots+\hat\lambda_n =\hat 
      H \quad\text{und}\quad \frac{\det\hat h_{ij}}{\det\hat g_{ij}}
      =\hat\lambda_1\cdot\ldots\cdot\hat\lambda_n =\hat K.\]
  \item In Lemma \ref{princ curv geom lem} haben wir bereits gezeigt,
    dass die Hauptkr\"ummungen von $\hat X$ und $X$ im Ursprung
    \"ubereinstimmen. Daher erhalten wir 
    \[\hat H(0) =H(0) \quad \text{und} \quad \hat K(0) =K(0).\] 
  \item Weiterhin gelten nach Lemma \ref{g h trafo lem}
    \[\hat g_{ij}(x) =R^k_ig_{kl}(Rx)R^l_j\quad\text{und}\quad
      \hat h_{ij}(x) =R^k_ih_{kl}(Rx) R^l_j.\] Nun ist es eine \"Ubung
    in Linearer Algebra, zu zeigen, dass
    \[\hat g^{ij}\hat h_{ij} =g^{ij}h_{ij} \quad\text{und}\quad
      \frac{\det\hat h_{ij}}{\det\hat g_{ij}} =\frac{\det h_{ij}}
      {\det g_{ij}}\] gelten.
  \item Somit erhalten wir aus den vorherigen Resultaten im Ursprung
    \begin{align*}
      H=&\,\hat H
      =\hat g^{ij}\hat h_{ij}
      =g^{ij} h_{ij}\umbruch
         \intertext{und, ganz analog dazu,}
          K=&\,\hat K
      =\frac{\det\hat h_{ij}}{\det\hat g_{ij}}
      =\frac{\det h_{ij}}{\det g_{ij}}. 
    \end{align*}
    Dies zeigt die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Es gilt \[|A|^2= h_{ij}g^{jk}h_{kl}g^{li}\] und die weiteren
  elementarsymmetrischen Funktionen lassen sich als Summen von
  Unterdeterminanten darstellen.  
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{H K well def lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Sei $\hat\Omega\subset\R^n$ offen und sei
  $\psi\colon\hat\Omega\to\Omega$ ein Diffeomorphismus. Sei
  $R\in O(n+1)$ eine orthogonale Matrix und sei
  $a\in\R^{n+1}$. Definiere $\hat X\colon\hat\Omega\to\R^{n+1}$
  durch \[\hat X(x) =RX(\psi(x))+a.\] Dann erhalten wir f\"ur die
  mittlere Kr\"ummung und f\"ur die Gau\ss{}kr\"ummung $H$, $\hat H$,
  $K$ und $\hat K$ von $X$ beziehungsweise $\hat X$
  \[H\circ\psi=\hat H\quad\text{und}\quad K\circ\psi=\hat K.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus Lemma \ref{princ curv geom lem} oder,
  alternativ, aus Lemma \ref{g h trafo lem} in Kombination mit Lemma
  \ref{mean gauss 2ff lem}.
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{mean gauss lem}
  Sei $u\colon\Omega\to\R$ von der Klasse $C^2$ und sei
  $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ mit \[X(x)=\begin{pmatrix} x\\
      u(x)\end{pmatrix}\] die zugeh\"orige Immersion. Dann gelten
  f\"ur die mittlere Kr\"ummung und f\"ur die Gau\ss{}kr\"ummung von
  $X$
  \begin{align*}
    H=&\,\divergenz\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla
        u|^2}}\right)\umbruch \intertext{und}
        K=&\,\frac{\det(u_{ij})}{\left(1+|\nabla
            u|^2\right)^{\frac{n+2}{2}}}. 
  \end{align*}
  Weiterhin gilt \[\det(g_{ij}) =1+|\nabla u|^2.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Unter Verwendung von Lemma \ref{geom graph lem} und Lemma \ref{mean
    gauss 2ff lem} erhalten wir
  \begin{align*}
    H=&\,g^{ij}h_{ij}\umbruch\\
    =&\,\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|\nabla u|^2}\right)
       \frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}\umbruch\\
    =&\,\frac{\Delta u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}
       -\frac{u_{ij}u^iu^j}{\left(1+|\nabla u|^2\right)^{3/2}}\umbruch\\
    =&\,\divergenz\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla
       u|^2}}\right)\umbruch \intertext{und}
       K=&\,\frac{\det(h_{ij})}{\det(g_{ij})}\umbruch\\
    =&\,\frac{\det(u_{ij})}{\left(1+|\nabla u|^2\right)^{n/2}} \cdot
       \frac1{1+|\nabla u|^2}. 
  \end{align*}
  Dabei haben wir bereits unsere letzte Behauptung verwendet. Sie
  folgt aus der Beobachtung, dass $g_{ij}\xi^j=1\cdot\delta_{ij}\xi^j$
  f\"ur alle Vektoren $\xi$ orthogonal zu $\nabla u$, d.\,h.{}
  Vektoren $\xi$ mit $u_i\xi^i=0$, gilt und dass weiterhin
  \[g_{ij}u^j =\delta_{ij}u^j+u_iu_ju^j =\left(1+|\nabla
      u|^2\right)\delta_{ij}u^j\] gilt.
\end{proof}

\begin{lemma}[Skalierungsverhalten]
  \label{scaling geom qu lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte $C^1$- oder
  $C^2$-Hyperfl\"ache, je nachdem, wie dies f\"ur die entsprechenden
  Gr\"o\ss{}en n\"otig ist. Sei $\mu>0$. Definiere
  $\hat X:=\mu\cdot X$. Dann skalieren die geometrischen Gr\"o\ss{}en
  $\nu$, $g_{ij}$, $g^{ij}$, $h_{ij}$, $\lambda_i$, $H$ und $K$ von
  $X$ und $\hat\nu$, $\hat g_{ij}$, $\hat g^{ij}$, $\hat h_{ij}$,
  $\hat \lambda_i$, $\hat H$ und $\hat K$ von $\hat X$ wie folgt:
  \begin{align*}
    \hat\nu(x)=&\,\nu(x),\umbruch\\
    \hat g_{ij}(x)=&\,\mu^2\cdot g_{ij}(x),\umbruch\\
    \hat g^{ij}(x)=&\,\frac1{\mu^2}g^{ij}(x),\umbruch\\
    \hat h_{ij}(x)=&\,\mu\cdot h_{ij}(x),\umbruch\\
    \hat\lambda_i(x)=&\,\frac1\mu\lambda_i(x),\umbruch\\
    \hat H(x)=&\,\frac1\mu H(x)\umbruch \intertext{und}
                \hat K(x)=&\,\frac1{\mu^n} K(x),
  \end{align*}
  wobei wir die Hauptkr\"ummungen nach ihrer Gr\"o\ss{}e ordnen. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Aus $\hat X_i=\mu X_i$ schlie\ss{}en wir, dass $\hat\nu$ und
    $\hat g_{ij}$ sich wie behauptet verhalten. Das
    Skalierungsverhalten der Inversen der Metrik folgt aus dem der
    Metrik. Analog folgt aus $\hat X_{ij}=\mu X_{ij}$ das
    Skalierungsverhalten der zweiten Fundamentalform.
  \item F\"ur das Skalierungsverhalten der Hauptkr\"ummungen benutzen
    wir die definierende Gleichung
    $h_{ij}(x)\xi^j=\lambda(x) g_{ij}(x)\xi^j$ f\"ur ein
    $\xi\in\R^n\setminus\{0\}$ und erhalten
    \[\hat h_{ij}\xi^j =\mu\cdot h_{ij}(x)\xi^j =\mu\cdot\lambda(x)\cdot
      g_{ij}(x)\xi^j =\frac{\lambda(x)}{\mu}\hat g_{ij}(x)\xi^j.\]
    Daraus folgt das Skalierungsverhalten der Hauptkr\"ummungen. 
  \item Schlie\ss{}lich folgt das Skalierungsverhalten der mittleren
    Kr\"ummung und der Gau\ss{}kr\"ummung aus dem der zweiten
    Fundamentalform und der Inversen der Metrik oder, alternativ, aus
    dem der Hauptkr\"ummungen. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Als Vorbereitung f\"ur sp\"ater zeigen wir
\begin{lemma}
  \label{diff r lem}
  Die Ableitungen der Abbildung
  \begin{align*}
    r\colon\R^n\setminus\{0\}&\to\R,\\ x&\mapsto|x|
  \end{align*}
  sind wie folgt: 
  \[r_i(x)=\frac{x_i}{|x|},\quad
    r_{ij}(x)=\frac1{|x|}\left(\delta_{ij}
      -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right).\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Differenziere
  \[r(x) =|x| =\left(x^k\delta_{kl}x^l\right)^{1/2}.\qedhere\]
\end{proof}

\datum{Mo 14.06.2021}
\begin{examples}
  \label{princ curv exas}
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item \emph{Ebene:}\label{pc plane exas} Sei
    $X\colon\R^n\to\R^{n+1}$ mit $x\mapsto Ax$, wobei
    $A\in\R^{(n+1)\times n}$ eine Matrix mit $\rank A=n$ ist, eine
    Einbettung einer Hyperebene. Dann gilt $X_{ij}\equiv0$. Daher
    erhalten wir $h_{ij}=0$, $\lambda_i=0$ f\"ur alle $1\le i,j\le n$,
    $H=0$ und $K=0$.
  \item \emph{Sph\"aren:}\label{pc sphere exas} Sei $R>0$ und sei
    $u\colon B_R(0)\to\R$ mit $u(x)=-\sqrt{R^2-|x|^2}$. Dann ist 
    $\graph u$ die untere Hemissph\"are mit Radius $R$ um den
    Ursprung. Mit direkter Rechnung erhalten wir
    \begin{align*}
      u_i(x)=&\,\frac{-x_i}{u(x)},\umbruch\\
      u_{ij}(x)=&\,\frac{-\delta_{ij}}{u(x)}
                  -\frac{x_ix_j}{u^3(x)},\umbruch\\ 
      g_{ij}(x)=&\,\delta_{ij}+\frac{x_ix_j}{u^2(x)}
                  =|u(x)|u_{ij}(x),\umbruch\\
      h_{ij}(x)=&\,\frac{u_{ij}(x)}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}
                  =\frac{u_{ij}(x)}{\sqrt{1+\frac{|x|^2}{u^2}}}
                  =\frac{u_{ij}(x)}{\frac1{|u(x)|}
                  \sqrt{R^2}}\umbruch\\ 
                  =&\,\frac{|u(x)|u_{ij}(x)}R =\frac1R g_{ij}(x)
    \end{align*}
    und schlie\ss{}en, dass die Sph\"are vom Radius $R$ die
    Hauptkr\"ummungen $\lambda_i=\frac1R$, $1\le i\le n$, besitzt. Es
    folgen $H=\frac nR$ und $K=\frac1{R^n}$. \par Alternativ w\"are es
    hier m\"oglich gewesen, die Rechnungen f\"ur $R=1$ durchzuf\"uhren
    und dann das Skalierungsverhalten, siehe Lemma \ref{scaling geom
      qu lem}, zu verwenden.
  \item \emph{Zylinder:}\label{pc cylinder exas} Sei $B_1^k(0)$ die
    $k$-dimensionale offene Kugel in $\R^k$, $1\le k<n$, und sei
    $u\colon B^k_1(0)\times \R^{n-k}\to\R$ mit 
    $u(x,y)=-\sqrt{1-|x|^2}$. Dann beschreibt $\graph u$ den unteren
    Teil eines Zylinders. Wir benutzen nun die Indices $x^i$ und $y^j$
    um die zugeh\"origen partiellen Ableitungen zu bezeichnen und erhalten
    \begin{align*}
      u_{x^i}(x,y)=&\,\frac{-x_i}{u(x,y)},\umbruch\\
      u_{y^i}(x,y)=&\,0,\umbruch\\
      u_{x^ix^j}(x,y)=&\,-\frac{\delta_{ij}}{u(x)}
                        -\frac{x_ix_j}{u^3(x)},\umbruch\\
      g_{ij}(x,y)=&\,
                    \begin{pmatrix}
                      \left(\delta_{ij}
                        +\frac{x_ix_j}{u^2(x,y)}\right)_{1\le i,j\le
                        k} & (0)\\
                      (0) & \left(\delta_{kl}\right)_{1\le k,l\le n-k} 
                    \end{pmatrix},\umbruch\\
      h_{ij}(x,y)=&\, \frac1{|u(x,y)|\sqrt{1+\frac{|x|^2}{u^2(x,y)}}}
                    \begin{pmatrix}
                      \left(\delta_{ij}+\frac{x_ix_j}
                        {u^2(x,y)}\right)_{1\le
                        i,j\le k} & (0)\\
                      (0) & (0)
                    \end{pmatrix}\umbruch\\
      =&\,\begin{pmatrix}
        \left(\delta_{ij}+\frac{x_ix_j}
          {u^2(x,y)}\right)_{1\le
          i,j\le k} & (0)\\
        (0) & (0)
      \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Wir erhalten $\lambda_i=1$, $1\le i\le k$, und $\lambda_j=0$,
    $k+1\le j\le n$, als Hauptkr\"ummungen.\par Skalieren wir nun
    diesen Zylinder mit einem Faktor $R>0$, betrachten also einen
    Zylinder mit Radius $R$, so erhalten wir gem\"a\ss{} Lemma
    \ref{scaling geom qu lem} die Hauptkr\"ummungen $\frac 1R$ mit
    Vielfachheit $k$ und $0$ mit Vielfachheit $n-k$. Daraus folgen
    $H=\frac kR$ und $K=0$.
  \item \emph{Kegel:}\label{pc cone exas} Wir betrachten
    rotationssymmetrische Kegel, die als $\graph u$ f\"ur eine Funktion
    $u\colon\R^n\setminus\{0\}\to\R$ mit $u(x)=a|x|$ und $a\in\R$
    beschrieben werden. Wir erhalten daf\"ur
    \begin{align*}
      u_i(x)=&\,a\frac{x_i}{|x|},\umbruch\\
      u_{ij}(x)=&\,a\frac1{|x|} \left(\delta_{ij}
                  -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right),\umbruch\\
      g_{ij}(x)=&\,\delta_{ij}+a^2\frac{x_ix_j}{|x|^2},\umbruch\\
      h_{ij}(x)=&\,\frac a{|x|\sqrt{1+a^2}} \left(\delta_{ij}
                  -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)\umbruch\\ 
    \end{align*}
    und sehen, dass die Hauptkr\"ummungen durch $\lambda_1=0$, zur
    radialen Richtung parallel zu $x$, und
    $\lambda_2=\ldots=\lambda_n =\frac a{|x|\sqrt{1+a^2}}$, zu
    Richtungen orthogonal zu $x$, gegeben sind. Insbesondere sehen
    wir, dass die Hauptkr\"ummungen eines Kegels umgekehrt
    proportional zur Distanz zum Ursprung sind.
  \item \emph{Rotationssymmetrische Graphen:} Sei
    \[X(x)=\begin{pmatrix} x\\
        u(x) \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} x\\
        \phi(|x|) \end{pmatrix},\] $x\in\Omega$,
    $\Omega=\{x\in\R^n\colon \rho<|x|<R\}$, $0\le \rho<R\le\infty$,
    mit $\phi\in C^2$. Setze $r:=|x|$. Es gilt f\"ur $r>0$
    \begin{align*}
      u_i(x)=&\,\phi'(r)\frac{x_i}{|x|},\\
      u_{ij}(x)=&\,\phi'(r)\frac1{|x|}\left(\delta_{ij}
                  -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)
                  +\phi''(r)\frac{x_i}{|x|}\frac{x_j}{|x|},\\
      |\nabla u|^2=&\,(\phi'(r))^2,\\
      g_{ij}=&\,\delta_{ij}+u_iu_j =\delta_{ij}
               +(\phi'(r))^2 \frac{x_i}{|x|} \frac{x_j}{|x|},\\
      h_{ij}=&\,\frac1{\sqrt{1+(\phi'(r))^2}}
               \left(\frac{\phi'(r)}{|x|} 
               \left(\delta_{ij}-\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)
               +\phi''(r)\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right).
    \end{align*}
    Eine gemeinsame Basis aus Eigenvektoren von $g_{ij}$ und $h_{ij}$
    bez\"uglich $\delta_{ij}$ ist au\ss{}erhalb des Ursprungs durch
    $\frac{x}{|x|}$ oder $x$ und eine Basis von $\skl{x}^\perp$
    gegeben. F\"ur die Eigenwerte bez\"uglich der Euklidischen Metrik
    gilt
    \[\begin{array}{|c||c|c|}
        \hline
        \raisebox{-1.5ex}{\rule{0em}{4.5ex}}
        &x&{\skl{x}}^\perp\\\hline\hline
        \raisebox{-1.5ex}{\rule{0em}{4ex}}g_{ij}
        &1+(\phi'(r))^2&1\\\hline
        \raisebox{-3.5ex}{\rule{0em}{7.5ex}}h_{ij}
        &\dfrac{\phi''(r)}{\sqrt{1+(\phi'(r))^2}}
          &\dfrac{\phi'(r)}r\dfrac1{\sqrt{1+(\phi'(r))^2}}\\\hline
      \end{array}\]
    Als Hauptkr\"ummungen erhalten wir somit einmal \[\frac{\phi''(r)}
      {\left(1+(\phi'(r))^2\right)^{3/2}}\] und $(n-1)$-mal den Wert
    \[\frac{\phi'(r)}{r\sqrt{1+(\phi'(r))^2}}.\] 
  \end{enumerate}
\end{examples}

Wir beenden den Abschnitt mit einer Definition, die die
Hauptkr\"ummungen benutzt. 
\begin{definition}[Konvexit\"at]
  Eine Hyperfl\"ache hei\ss{}t (lokal) konvex, falls
  $h_{ij}\succcurlyeq0$ gilt und strikt (lokal) konvex, falls
  $h_{ij}\succ0$ gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Lokale Konvexit\"at bzw.{} strikte lokale Konvexit\"at sind
    \"aquivalent zu $\lambda_i\ge0$ bzw.{} $\lambda_i>0$ f\"ur alle
    $1\le i\le n$.
  \item Die Kurve $X\colon\R\to\R^2$ mit $x\mapsto(x,x^4)$ ist lokal
    konvex, aber nicht strikt lokal konvex, da die Kr\"ummung im
    Ursprung verschwindet. \par Dies scheint nicht zur Tatsache zu
    passen, dass die Menge $K:=\{(x,y)\subset\R^2\colon y\ge x^4\}$ in
    dem Sinne strikt konvex ist, dass f\"ur alle $p,q\in K$ und alle
    $\lambda\in(0,1)$ der Punkt $\lambda p+(1-\lambda)q$ im Inneren
    von $K$ liegt, die obige Definition ist jedoch in der
    Differentialgeometrie geeigneter.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{Min-Max Charakterisierung der Hauptkr\"ummungen}
\label{min max sec}

Grundlagen aus der Linearen Algebra zu diesem Kapitel finden sich in
Kapitel \ref{extremal ew sec}. 

\begin{lemma}[Min-Max Charakterisierung der Hauptkr\"ummungen]
  Sei $X$ eine $n$-dimensionale $C^2$-Hyperfl\"ache mit Metrik
  $g=(g_{ij})$ und zweiter Fundamentalform $A=(h_{ij})$. Dann gilt
  f\"ur die angeordneten Hauptkr\"ummungen $\lambda_i$ mit
  $\lambda_1\le\ldots\le\lambda_n$
  \[\lambda_i=\min\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{V\subset\R^n}{\dim
      V=i}} \max\limits_{0\neq\xi\in V}\frac{h_{ij}\xi^i\xi^j}
  {g_{ij}\xi^i\xi^j} \equiv \min\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
    {V\subset\R^n}{\dim V=i}} \max\limits_{0\neq\xi\in V}
  \frac{A(\xi,\xi)}{g(\xi,\xi)}.\] Insbesondere folgt
  $\lambda_1=\min\limits_{0\neq\xi\in\R^n}
  \frac{h_{ij}\xi^i\xi^j}{g_{ij}\xi^i\xi^j}$ und
  $\lambda_n=\max\limits_{0\neq\xi\in\R^n}
  \frac{h_{ij}\xi^i\xi^j}{g_{ij}\xi^i\xi^j}$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale
  $C^2$-Hyperfl\"ache mit nach ihrer Gr\"o\ss{}e sortierten
  Hauptkr\"ummungen $\lambda_1(x)\le\ldots\le\lambda_n(x)$ in
  $x\in\Omega$. Dann ist $\Omega\ni x\mapsto\lambda_i(x)$ f\"ur jedes
  $1\le i\le n$ stetig.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\subsection{Die Weingartenabbildung}
Das folgende Lemma ist eigentlich ein Resultat der Linearen Algebra.
\begin{lemma}
  Sei $g(\cdot,\cdot)$ ein Skalarprodukt und $B(\cdot,\cdot)$ mit
  Matrixdarstellung $(b_{ij})$ eine Bilinearform auf $\R^n$. Dann gibt
  es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $S\colon\R^n\to\R^n$
  mit \[B(v,w)=g(v,Sw)\quad\text{f\"ur alle }v,w\in\R^n.\] Ist $B$
  symmetrisch, so ist $S$ bez\"uglich $g(\cdot,\cdot)$
  selbstadjungiert, \dh es gilt \[g(Sv,w)=g(v,Sw)\quad\text{f\"ur alle
  } v,w\in\R^n.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\left(g^{ij}\right)$ die inverse Matrix zu $(g_{ij})$, \dh
  gelte $g^{ij}g_{jk} =\delta^i_k$ f\"ur alle $1\le i,k\le n$. Wir
  definieren $S=\left(S^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ durch
  $S^j_l:=g^{jk}b_{kl}$ f\"ur $j,l=1,\ldots,n$. \par Wir rechnen die
  behauptete Gleichheit f\"ur Elemente der Standardbasis nach. Es gilt
  $Se_l=S^j_le_j$ und daher folgt
  \[g(e_i,Se_l) = g_{ij}S^j_l =g_{ij}g^{jk}b_{kl} =\delta_i^kb_{kl}
    =b_{il}.\] Die Eindeutigkeit von $S$ ist einfach einzusehen. Ist
  $B$ symmetrisch, so folgt
  \[ g(Sv,w) =g(w,Sv) =B(w,v) =B(v,w) =g(v,Sw).\] Somit ist $S$
  selbstadjungiert.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine Hyperfl\"ache mit
  Normale $\nu$ l\"angs $X$. Sei $g=(g_{ij})$ die Metrik und sei
  $A=(h_{ij})$ die zweite Fundamentalform von $X$. Dann hei\ss{}t die
  eindeutig bestimmte Abbildung $S(x)\colon \R^n\to\R^n$ mit
  \[A(x)\skl{v,w} =g(x)\skl{v,Sw}\quad\text{f\"ur alle }v,w\in\R^n\]
  Weingartenabbildung von $X$. Bez\"uglich der Standardbasis hat sie
  die Matrixdarstellung
  \[S(x)e_k =S^i_k(x)e_i\quad\text{mit}\quad S^i_k(x) =
    g^{ij}(x)h_{jk}(x).\] Die Weingartenabbildung $S(x)$ ist f\"ur
  alle $x\in\Omega$ bez\"uglich $g(x)$ selbstadjungiert.
\end{definition}

\begin{remark}
  Im Allgemeinen ist $\{e_1,\ldots,e_n\}$ keine Orthogonalbasis
  bez\"uglich der Metrik $g(x)$ und die Matrix von $S$ bez\"uglich der
  Standardbasis ist nicht symmetrisch.
\end{remark}

\datum{Mo 21.06.2021}
\begin{remark}[Heben und Senken von Indices]
  F\"ur die Weingartenabbildung $S$ ist die Matrixschreibweise
  $S=\left(h^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ mit $h^i_j=g^{ik} h_{kj}$
  \"ublich. Man sagt, ein Index sei mit Hilfe der Metrik
  gehoben. Umgekehrt gilt
  $h_{ij} =h^k_ig_{kj} =h_{li}g^{lk}g_{kj} =h_{li}\delta^l_j =h_{ij}$,
  wobei die Reihenfolge der Indices bei $h_{ij}$, $g_{ij}$ und
  $g^{ij}$ keine Rolle spielt, da diese symmetrisch sind. Auch bei
  anderen Gr\"o\ss{}en (genauer: Tensoren) kann man Indices mit Hilfe
  der Metrik und ihrer Inversen heben und senken.  \par
  Beispiele f\"ur das Heben und Senken von Indices mit dem sp\"ater
  noch zu definierenden Riemannschen Kr\"ummungstensor $R_{ijkl}$
  sind
  \[R_{ijkl}g^{km} =R_{ij}{}^m{}_l\quad \text{oder} \quad
    R_{ij}{}^m{}_lg_{mk} =R_{ijkl}.\]\par
  Das Senken von Indices ist aus der linearen Algebra bekannt;
  vergleiche dazu auch Anhang \ref{la kov app}. F\"ur einen
  Endomorphismus $A$ und eine Bilinearform $B$ definiert
  $B(\cdot,A\cdot)$ eine Bilinearform. Wir bezeichnen auch die
  zugeh\"origen Matrizen mit denselben Buchstaben:
  $A=(a^i_j)_{1\le i,j\le n}$ und $B=(b_{ij})_{1\le i,j\le
    n}$. Beachte dabei zun\"achst, dass die Indices beim
  Endomorphismus oben und unten stehen, da er aus einem Vektor
  $x=(x^j)_{1\le j\le n}$ (mit oben stehendem Index $j$) wieder einen
  Vektor $a^i_jx^j$ (mit oben stehendem Index $i$) macht. Bei der
  Bilinearform stehen die Indices dagegen unten, da sie aus einem
  Vektor eine Form $b_{ij}x^j$ macht. Dabei ist eine Form ein Element
  aus dem Dualraum, also ein Objekt mit unten stehendem Index, das,
  auf einen weiteren Vektor angewandt, eine Zahl, d.\,h.{} eine
  K\"orperelement, liefert.  In Koordinaten wird aus $B(\cdot,A\cdot)$
  also $b_{ij}a^j_k$ bzw.{} aus $B(y,Ax)$ der Ausdruck
  $y^ib_{ij}a^j_kx^k$. (Beachte, dass bei $g_{ij}$ und $g^{ij}$ keine
  Mehrdeutigkeiten auftreten. $g^i_j =\delta^i_j$ ist un\"ublich.)
\end{remark}

\begin{theorem}[Weingartengleichung]
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ regul\"ar mit zweiter
  Fundamentalform $A=(h_{ij})$ und Weingartenabbildung
  $S=\left(h^i_j\right)$ bez\"uglich der Normalen $\nu$. Dann gilt
  \[D\nu =dX\cdot S \quad\text{und}\quad A(v,w) =\skl{D\nu\skl
    v,dX\skl w}\] bzw.{} in Koordinaten 
  \[\nu_i\equiv\fracp\nu{x^i} =h^k_iX_k \quad\text{oder}\quad
  \nu_i^\alpha =h^k_iX^\alpha_k\quad\text{und}\quad h_{ij}
  =\skl{\nu_i,X_j} =\nu_i^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j.\]
\end{theorem}
\stern Zur Wiederholung nochmals zur Einsteinschen Summenkonvention:
Dabei haben wir die Komponenten der Vektoren $\nu$ und $X$, beide im
$\R^{n+1}$, mit griechischen Indices und die Euklidische Metrik des
$\R^{n+1}$ mit $\delta_{\alpha\beta}$ bezeichnet. Die Einsteinsche
Summenkonvention erfordert hier also eine Summation \"uber mehrfache
griechische Indices von $1$ bis $n+1$, w\"ahrend mehrfache lateinische
Indices von $1$ bis $n$ summiert werden. Es ist \"ublich, lateinische
Indices f\"ur Gr\"o\ss{}en im Definitionsgebiet und griechische
Indices f\"ur Gr\"o\ss{}en im Zielraum zu verwenden. Ausgeschrieben
mit Summenzeichen bedeutet also die letzte Gleichheit
\[h_{ij} =\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^{n+1} \nu_i^\alpha
  \delta_{\alpha\beta} X^\beta_j.\] In dieser Notation wird
$g=(DX)^TDX$ zu \[g_{ij}=X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j\] und
aus $0=\skl{dX\skl V,\nu}$ f\"ur alle $V\in\R^n$ wird
\[0=\nu^\alpha \delta_{\alpha\beta} X^\beta_iV^i.\] Diese Formel gilt
auch ohne $V^i$. Die Definition der zweiten Fundamentalform wird
zu \[h_{ij}:=-X^\alpha_{,ij} \delta_{\alpha\beta} \nu^\beta\] und die
Transformationsformel f\"ur die Metrik zu $\hat X=X\circ\phi$ wird
zu \[\hat g_{ij}=g_{kl}\phi^k_i\phi^l_j.\] \par
Beide Schreibweisen haben Vorteile; so erleichtern weniger Indices die
\"Ubersicht, wird es jedoch komplizierter, gibt es in Indexnotation
weniger m\"ogliche Missverst\"andnisse und die Indexnotation ist bei
Rechnungen meist einfacher zu handhaben. Es ist ratsam, beide
Notationen zu beherrschen.
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $\skl{\nu,\nu}=1$ folgt $0=\fracp{}{x^i}\skl{\nu,\nu}
  =2\langle\nu,\nu_i\rangle$. Es gilt
  \begin{align*}
    \skl{\nu_j,X_k} =&\,\fracp{}{x^j}\underbrace{\skl{\nu,X_k}}_{=0}
    -\skl{\nu,X_{,jk}} =h_{jk} =A(e_j,e_k)\\
    =&\,g(Se_j,e_k) =\skl{dX\cdot Se_j,dX e_k}.
  \end{align*}
  Aus der ersten Gleichung folgt $\skl{D\nu\skl v,\nu}=0$, aus der
  zweiten $\skl{D\nu\skl v,dX\skl w} =\skl{dX\cdot S\skl v,dX\skl w}$
  f\"ur alle $v,w\in\R^n$. Die erste Behauptung folgt, da die erste
  dieser beiden Gleichungen gerade das Skalarprodukt der behaupteten
  Gleichheit mit $\nu$ und die zweite das Skalarprodukt mit $dX\skl w$
  liefert, die Gleichung also beim Test mit einer Basis stimmt. \par
  Zur zweiten Behauptung: Es gilt aufgrund der ersten
  Behauptung \[A(v,w) =g(Sv,w) =\skl{dX\cdot S v,dX\skl w}
  =\skl{D\nu\skl v,dX\skl w}.\] Daraus liest man auch direkt die
  Formeln in Koordinaten ab.\par Wir leiten sie noch einmal
  unabh\"angig davon in Koordinatenschreibweise her: Es gilt
  $1=\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta$. Differenzieren nach
  $x^i$ liefert $0=2\nu^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta$. Jeder
  Vektor in $\R^{n+1}$ l\"asst sich in der Form $a^kX_k+b\nu$
  darstellen. Also gibt es Funktionen $a^k_i$ und $b_i$ mit
  $\nu_i=a^k_iX_k +b_i\nu$. Wir setzen dies in die obige Gleichung ein
  und erhalten $0=\nu^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta
  =a^k_iX_k^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta
  +b_i\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta =0+b_i$.  Also gilt
  $\nu_i=a^k_iX_k$. Wir differenzieren $0=\nu^\alpha
  \delta_{\alpha\beta} X^\alpha_j$, $j=1,\ldots,n$, setzen die
  Gleichung f\"ur $\nu_i$ ein und
  erhalten \[0=\nu_i^\alpha\delta_{\alpha\beta} X^\beta_j
  +\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta} X^\beta_{,ji} =a^k_iX_k^\alpha
  \delta_{\alpha\beta} X^\beta_j -h_{ij} =a^k_i g_{kj} -h_{ij}.\] Wir
  multiplizieren dies mit $g^{jl}$ und erhalten $a^l_i
  =a^k_i\delta_k^l =a^k_ig_{kj}g^{jl} =h_{ij}g^{jl} =h_i^l$. Somit
  gilt $\nu_i=h_i^lX_l$ oder $\nu^\alpha_i=h_i^lX^\alpha_l$.\par
  Weiterhin gilt \[\nu^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j
  =h^k_iX^\alpha_k\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j =h_{il}g^{lk}g_{kj}
  =h_{il}\delta^l_j =h_{ij}.\qedhere\]
\end{proof}

\subsection{Charakterisierung von Ebenen und Sph\"aren}
\begin{theorem}
  \label{A null ebene thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ zusammenh\"angend. Sei $X\in
  C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ regul\"ar mit Normale $\nu$ und
  zweiter Fundamentalform $A$. Dann sind die folgenden Aussagen
  \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item\label{ebene thm i} $X(\Omega)$ liegt in einer Hyperebene,
  \item\label{ebene thm ii} $A\equiv0$ und
  \item\label{ebene thm iii} $\nu$ ist konstant.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt
  \begin{itemize}
  \item \glqq\ref{ebene thm i}$\Longrightarrow$\ref{ebene thm
      ii}\grqq: Liegt $X(\Omega)$ in einer affinen Hyperebene $p+E$,
    so bilden die Vektoren $X_1,\ldots,X_n$ in jedem Punkt
    $x\in\Omega$ eine Basis von $E$ und $\nu$ ist ein Normalenvektor
    von $E$. Da auch $X_{,ij}$ in $E$ liegt, folgt
    $h_{ij}=-\skl{X_{,ij},\nu}=0$.
  \item \glqq\ref{ebene thm ii}$\Longrightarrow$\ref{ebene thm
      iii}\grqq: Aus $A=(h_{ij})\equiv0$ folgt
    $S=\left(h^i_j\right)=0$. Somit ist $D\nu =DX\cdot S=0$ aufgrund
    der Weingartengleichung. Da $\Omega$ zusammenh\"angend ist, ist
    $\nu$ konstant.
  \item \glqq\ref{ebene thm iii}$\Longrightarrow$\ref{ebene thm
      i}\grqq: Ist $\nu$ konstant, so folgt
    $D\skl{X,\nu} =\skl{DX,\nu} +\skl{X,D\nu} =0$. Somit ist
    $\skl{X,\nu}$ konstant. Da $\nu$ konstant ist, besagt dies, dass
    $X(x)$ in einer Hyperebene liegt.\qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{hij R gij thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und zusammenh\"angend. Sei $X\in
  C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ regul\"ar und $R>0$. Dann sind die
  folgenden beiden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item\label{sph thm i} $X(\Omega)$ liegt in einer Sph\"are vom Radius
    $R$ und
  \item\label{sph thm ii} $A=\pm\frac1R g$ bzw.{} $S=\pm\frac1R\eins$
    oder, in Koordinaten, $h_{ij}=\pm\frac1R g_{ij}$ bzw.{} $h^i_j
    =\pm\frac1R\delta^i_j$.
  \end{enumerate}
  Weiterhin ist die Existenz eines $p\in\R^{n+1}$, so dass in jedem
  Punkt $x\in\Omega$ der Vektor $X(x)-p$ ein Vielfaches von $\nu(x)$
  ist, \"aquivalent zur Tatsache, dass $X(\Omega)$ in einer Sph\"are
  von nicht spezifiziertem Radius um $p$ liegt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt
  \begin{itemize}
  \item \glqq\ref{sph thm i}$\Longrightarrow$\ref{sph thm ii}\grqq:
    Sei $m\in\R^{n+1}$ beliebig. Definiere
    $f(x):=\frac12|X(x)-m|^2$. Dann gilt
    \[f_i =\skl{X-m,X_i}\quad\text{und}\quad f_{,ij}=\skl{X-m,X_{,ij}}
      +g_{ij}.\] Sei nun $m$ der Mittelpunkt der Sph\"are und
    $X(\Omega)$ in der Sph\"are enthalten. Dann ist $f$ konstant. Wir
    schlie\ss{}en also, dass $X-m\perp\im dX$ gilt. Somit ist $X-m$
    ein Vielfaches von $\nu$. (Dies zeigt die Richtung
    \glqq$\Longleftarrow$\grqq{} f\"ur die letzte Behauptung.) Da die
    Sph\"are den Radius $R$ hat, gilt $|X-m|=R$ und wegen $|\nu|=1$
    folgt $X-m=\pm R\nu$. Somit erhalten wir
    \[0=f_{,ij} =\skl{\pm R\nu,X_{,ij}} +g_{ij} =\mp Rh_{ij}
      +g_{ij}.\]
  \item \glqq\ref{sph thm ii}$\Longrightarrow$\ref{sph thm i}\grqq:
    Wir nehmen an, dass $h^i_j=\mp\frac1R\delta^k_j$ gilt. Nun Setzen
    wir $\rho:=X\pm R\nu$. Dann folgt nach Voraussetzung mit Hilfe der
    Weingartengleichung
    \[\rho_j=X_j\pm R\nu_j =X_j\pm R h_j^kX_k =X_j\pm
      R\left(\mp\frac1R\delta^k_j\right)X_k =0.\] Also ist
    $\rho\in\R^{n+1}$ konstant und aus $X=\rho\mp R\nu$ folgt, dass
    $\im X$ in einer Sph\"are vom Radius $R$ um $\rho$ enthalten
    ist. 
  \item \Rueckrichtung Siehe oben.
  \item \Hinrichtung Gelte $X(x)-p=r(x)\nu(x)$. Sei ohne
    Einschr\"ankung $p=0$, gelte also $X(x)=r(x)\nu(x)$ f\"ur alle
    $x\in\Omega$. Setze $f:=|X-r_0\nu|^2$ f\"ur $r_0:=r(q)$ f\"ur ein
    festes $q\in\Omega$. Dann gilt $f(q)=0$ und es gilt \"uberall
    \[f_i =2\langle X_i-r_0\nu_i,X-r_0\nu\rangle
      =2\skl{X_i-r_0h_i^kX_k, (r(x)-r_0)\nu} =0.\] Somit ist $f$
    konstant und es gilt $f(q)=0$. Daraus erhalten wir $f\equiv 0$ und
    damit die Behauptung. \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

Theorem \ref{hij R gij thm} gilt auch, wenn wir $R$ dort nicht global
als konstant voraussetzen. Dies behandeln wir im Rest dieses
Abschnittes. 
\begin{definition}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte Hyperfl\"ache.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Ein Punkt $x\in\Omega$ bzw.{} $X(x)$ hei\ss{}t Nabelpunkt oder
    umbilischer Punkt, falls dort alle Hauptkr\"ummungen
    \"ubereinstimmen, also
    \[A(\cdot,\cdot)=\lambda g(\cdot,\cdot) \quad\text{oder}\quad
      h_{ij} =\lambda g_{ij} \quad \forall\,1\le i,j\le n\] f\"ur ein
    festes $\lambda\in\R$ gilt.
  \item Eine Hyperfl\"ache hei\ss{}t (total) umbilisch, falls sie in
    jedem Punkt umbilisch ist, d.\,h.{}, falls es eine Funktion
    $\lambda\colon\Omega\to\R$ gibt, so dass
    \[A(\cdot,\cdot)=\lambda g(\cdot,\cdot) \quad\text{oder}\quad
      h_{ij}=\lambda g_{ij}\quad\forall\,1\le i,j\le n\] gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\datum{Mo 28.06.2021}
Der Beweis des folgenden Theorems wird recht kurz, wenn wir sogenannte
kovariante Ableitungen benutzen. Diese werden wir sp\"ater
behandeln. Wir geben diesen kurzen Beweis an, aber auch eine etwas
technischere Variante, die zu unseren aktuellen Vorkenntnissen passt.
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und zusammenh\"angend.  Sei
  $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine total umbilische $C^3$-Hyperfl\"ache
  und sei $n\ge2$. Dann ist das Bild von $X$ in einer Hyperebene oder
  in einer $n$-dimensionalen Sph\"are enthalten.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir folgen \cite{BoediSkript}.
  Gelte \[h_{ij}(x)=\lambda(x)g_{ij}(x)\] f\"ur $x\in\Omega$.
  Wir unterdr\"ucken ab jetzt das Argument $x$ und
  zeigen zun\"achst, dass $\lambda$ lokal konstant ist. Es gilt nach
  Codazzi
  \begin{align*}
    H_{;k}=&\,g^{ij}h_{ij;k}=g^{ij}h_{ik;j}
    =g^{ij}(\lambda g_{ik})_{;j}\umbruch\\
    =&\,g^{ij}\lambda_{;j}g_{ik}=\lambda_{;j}\delta^j_k=\lambda_{;k}.
  \end{align*}
  Andererseits gilt $$H_{;k}=\left(g^{ij}h_{ij}\right)_{;k}
  =\left(g^{ij}\lambda g_{ij}\right)_{;k} =n\lambda_{;k}.$$ Somit
  ist $\lambda$ konstant und das Resultat folgt aus Theorem \ref{hij R
    gij thm} im Falle $\lambda\neq0$ und f\"ur $\lambda=0$ aus Theorem
  \ref{A null ebene thm}.
  % Sei zun\"achst $\lambda\neq0$. Definiere
  % $$a:=X-\tfrac1\lambda\nu.$$ Differenzieren liefert, da $\lambda$
  % konstant ist
  % \begin{align*}
  %   a^\alpha_{;k}=&\,X^\alpha_{;k} -\tfrac1\lambda\nu^\alpha_{;k}
  %   =X^\alpha_{;k}-\tfrac1\lambda h^l_kX^\alpha_{;l}\umbruch\\
  %   =&\,X^\alpha_{;k}-\tfrac1\lambda h_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l}
  %   =X^\alpha_{;k}-\tfrac1\lambda\lambda
  %   g_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l}\umbruch\\
  %   =&\,X^\alpha_{;k}-\delta^l_kX^\alpha_{;l}
  %   =X^\alpha_{;k}-X^\alpha_{;k}=0.
  % \end{align*}
  % Somit gilt $X=\frac1\lambda\nu+P$ f\"ur ein $P\in\R^{n+1}$. Daher
  % ist $X$ stets in einer Sph\"are vom Radius $\frac1\lambda$ um $P$
  % enthalten und die Behauptung folgt. \par Sei nun $\lambda=0$. Es
  % gilt $$\nu^\alpha_{;k} =h^l_kX^\alpha_{;l}
  % =h_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l} =\lambda g_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l}=0.$$
  % Somit ist der Normalenvektor entlang der Hyperfl\"ache konstant.
  % Daher liegt $M$ in einer Hyperebene.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis ohne kovariante Ableitungen]
  Wie oben folgt $H_k=n\lambda_k$. Hier k\"onnen wir einfach
  \glqq$;k$\grqq{} durch die entsprechenden partiellen Ableitungen
  ersetzen. \par F\"ur die andere Variante, $H_k$ zu
  berechnen, halten wir zun\"achst fest, dass nach Voraussetzung aus
  $h_{ij}=\lambda g_{ij}$ f\"ur die Weingartenabbildung
  $h^j_i=\lambda\delta^j_i$ folgt. Weiterhin k\"onnen wir $\langle
  X_{ij},X_k\rangle$ allein durch Ableitungen der Metrik
  ausdr\"ucken. Es gelten
  \begin{align*}
    g_{ik,j}&=\langle X_{ij},X_k\rangle +\langle
              X_i,X_{kj}\rangle,\umbruch\\ 
    g_{jk,i}&=\langle X_{ji},X_k\rangle +\langle
              X_j,X_{ki}\rangle,\umbruch\\ 
    -g_{ij,k}&=-\langle X_{ik},X_j\rangle -\langle
              X_i,X_{jk}\rangle\umbruch
              \intertext{und somit folgt durch Addition}
               2\langle X_{ij},X_k\rangle
            &=g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k}. 
  \end{align*}
  Damit berechnen wir nun $H_k$. Es gilt
  \begin{align*}
    H_k&=\left(g^{ij}h_{ij}\right)_k\umbruch\\
       &=g^{ij}{}_{,k}h_{ij}+g^{ij}h_{ij,k}\umbruch\\
       &=-g^{ia}g^{bj}g_{ab,k}h_{ij} +g^{ij}h_{ij,k} -g^{ij}h_{ik,j}
         +g^{ij}h_{ik,j}\umbruch\\
       &=-\lambda g^{ia}g^{bj}g_{ab,k}g_{ij}
         -g^{ij}\langle X_{ij},\nu\rangle_k
         +g^{ij}\langle X_{ik},\nu\rangle_j
         +g^{ij}(\lambda g_{ik})_j\umbruch\\
       &=-\lambda \delta^a_j g^{bj}g_{ab,k}\\
       &\equad-g^{ij}\langle X_{ijk},\nu\rangle
         -g^{ij}\langle X_{ij},\nu_k\rangle
         +g^{ij}\langle X_{ikj},\nu\rangle
         +g^{ij}\langle X_{ik},\nu_j\rangle\\
       &\equad+\lambda g^{ij}g_{ik,j}
         +g^{ij}g_{ik}\lambda_j\umbruch\\
       &=-\lambda g^{ab}g_{ab,k} -g^{ij}\langle X_{ij},h_k^lX_l\rangle
         +g^{ij}\langle X_{ik},h^l_jX_l\rangle +\lambda g^{ij}g_{ik,j}
         +\delta^j_k\lambda_j\umbruch\\
       &=-\lambda g^{ab}g_{ab,k} -\lambda g^{ij}\langle
         X_{ij},\delta^l_kX_l\rangle +\lambda g^{ij}\langle
         X_{ik},\delta^l_jX_l\rangle +\lambda g^{ij}g_{ik,j}
         +\lambda_k\umbruch\\
       &=-\lambda g^{ab}g_{ab,k} -\lambda g^{ij}\langle
         X_{ij},X_k\rangle +\lambda g^{ij}\langle X_{ik},X_j\rangle
         +\lambda g^{ij}g_{ik,j} +\lambda_k\umbruch\\ 
       &=-\lambda g^{ab}g_{ab,k} +\lambda g^{ij}g_{ik,j} +\lambda_k\\
       &\equad-\frac12\lambda g^{ij}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})
         +\frac12\lambda g^{ij}(g_{ij,k}+g_{kj,i}-g_{ik,j})\umbruch\\
       &=\lambda_k. 
  \end{align*}
  Somit haben wir auch hier $n\lambda_k =H_k=\lambda_k$ gezeigt. Daher
  ist $\lambda$ auch hier konstant und die Behauptung folgt wieder aus
  Theorem \ref{hij R gij thm} im Falle $\lambda\neq0$ und f\"ur
  $\lambda=0$ aus Theorem \ref{A null ebene thm}.
\end{proof}

\section{Minimalfl\"achen}

\subsection{Der Fl\"acheninhalt und Vorbereitungen}

\begin{remark}
  Um den Fl\"acheninhalt zu definieren, leiten wir zun\"achst einen
  Ausdruck f\"ur den Fl\"acheninhalt von Parallelogrammen her.  Seien
  $u,v\in\R^3\setminus\{0\}$ beliebig. Dann hat das von ihnen
  aufgespannte Parallelogramm den Fl\"acheninhalt
  \begin{align*}
    \mathcal A=&\,|u|\cdot\underbrace{\left|v-\left\langle v,\frac
          u{|u|}\right\rangle\frac
        u{|u|}\right|}_{=\text{H\"ohe}}\umbruch\\
    =&\,\sqrt{\left\langle v|u|-\langle v,u\rangle \frac1{|u|}
        u,v|u|-\langle v,u\rangle \frac1{|u|}
        u\right\rangle}\umbruch\\
    =&\,\sqrt{|v|^2|u|^2-2\langle u,v\rangle^2+\langle
      u,v\rangle^2}\umbruch\\
    =&\,\sqrt{|v|^2|u|^2-\langle u,v\rangle^2}.
  \end{align*}
  Damit das Fl\"achenelement nach Integration f\"ur affin lineare
  Funktionen auf rechteckigen Gebieten den f\"ur Parallelogramme
  bekannten Wert ergibt, setzen wir f\"ur $X\in
  C^1\left(\Omega,\R^3\right)$
  \begin{align*}
    d\mathcal A\equiv d\mathcal A_g:=&\,\mathcal A(X_1,X_2)\,dx^1dx^2
    =\sqrt{|X_1|^2|X_2|^2-\langle X_1,X_2\rangle^2}\,dx\\
    =&\,\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}\,dx =\sqrt{\det(g_{ij}(x))}\,dx.
  \end{align*}
  \stern Man kann zeigen, dass der verm\"oge
  $\int\limits_\Omega\,d\mathcal A$ definierte Fl\"acheninhalt f\"ur
  injektive Immersionen $X\colon\Omega\to\R^3$ mit dem
  zweidimensionalen Hausdorffma\ss{} $\mathcal H^2(\im X)$
  \"ubereinstimmt. Entsprechendes gilt in $n$ Dimensionen.
\end{remark}

\begin{definition}\label{def fl}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Immersion. Dann definieren wir
  den Fl\"acheninhalt von $X$ als
  \[\mathcal A(X):=\int\limits_\Omega\sqrt{\det(g_{ij})}=:\mathcal
  A_g(\Omega).\]  
  F\"ur eine messbare Teilmenge $E\subset\Omega$ definieren
  wir \[\mathcal A(E):=\int\limits_E\sqrt{\det(g_{ij})}.\]
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $X$ mit $X(x)=(x,u(x))$, $x\in\Omega$, ein Graph. Dann gilt
  $\det(g_{ij}) =\det(\delta_{ij}+u_iu_j) =1+|Du|^2$. Somit erhalten
  wir \[\mathcal A(X) =\int\limits_\Omega \sqrt{1+|Du|^2}.\]
\end{beispiel}

\begin{definition}[Integration auf Hyperfl\"achen]
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $C^1$-Hy\-per\-fl\"a\-che und
  $f\colon\Omega\to\R$. Dann definieren wir
  \[\int\limits_\Omega f\,d\mathcal A_g:=\int\limits_\Omega
  f(x)\sqrt{\det(g_{ij})}\,dx,\] falls das rechte Integral als
  Riemann- oder Lebesgueintegral existiert. \[d\mathcal A_g =\sqrt{
    \det(g_{ij})}\,dx\equiv d\mu\] hei\ss{}t das induzierte
  Fl\"achenelement.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Die Integration auf Hyperfl\"achen ist unabh\"angig von der
  Parametrisierung. Insbesondere ist damit der Fl\"acheninhalt einer
  Hyperfl\"ache unabh\"angig von der Parametrisierung definiert. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\hat X=X\circ\phi$ f\"ur einen $C^1$-Diffeomorphismus
  $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$. Dann folgt aus dem
  Transformationssatz f\"ur Integrale mit $x=\phi(y)$ und
  $f\colon\Omega\to\R$ sowie
  \begin{align*}  
    \hat g_{ij}(y)
    =&\,g_{kl}\circ\phi(y) \phi^k_i(y)\phi^l_j(y),\\
    \intertext{dass} &\,\int\limits_{\hat\Omega}
    f\circ\phi(y)\,dA_{\hat g}(y)\\ =&\,\int\limits_{\hat\Omega}
    f\circ\phi(y)
    \sqrt{\det\left(\hat g_{ij}\right)(y)}\,dy\\
    =&\,\int\limits_\Omega
    f(x)\sqrt{\det\left((g_{kl})(x)\phi^k_i(\phi^{-1}(x))\phi^l_j
        (\phi^{-1}(x))\right)}\cdot \frac1{|\det
      d\phi(\phi^{-1}(x))|}\,dx\\
    =&\,\int\limits_\Omega f(x)\sqrt{\det(g_{ij})(x)}\,dx
    =\int\limits_\Omega f\,d\mathcal A_g.
  \end{align*}
  Indem wir die konstante Funktion mit dem Wert $1$ integrieren, sehen
  wir, dass der Fl\"acheninhalt ebenfalls unabh\"angig von der
  Parametrisierung ist. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $C^2$-Hyperfl\"ache. Wir
  definieren den mittleren Kr\"ummungsvektor $\vec H$ durch $\vec
  H:=-H\nu$. \par Wir bemerken, dass $\vec H$ unabh\"angig von der
  Wahl der Normalen $\nu$ definiert ist, da sich bei der Wahl von
  $-\nu$ statt $\nu$ auch das Vorzeichen von $h_{ij}$ \"andert. Bei
  einer Sph\"are zeigt er nach innen.
\end{definition}

Wir wiederholen ein Lemma aus der linearen Algebra, beweisen es hier
aber nur im zweidimensionalen Fall, den wir sehr explizit und daher
einfach behandeln k\"onnen. Im Anhang zu meinem Skript \"uber voll
nichtlineare partielle Differentialgleichungen befindet sich ein
Beweis in beliebigen Dimensionen.
\begin{lemma}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Es gilt
    \[\frac\partial{\partial a_{ij}}\det(a_{kl})
      =\det(a_{kl})a^{ji},\] falls $(a_{ij})$ invertierbar ist und
    $\left(a^{ij}\right)$ die Inverse ist, \dh wenn
    $a^{ij}a_{jk}=\delta^i_k$ gilt.
  \item Sei $\left(a_{ij}(t)\right)$ differenzierbar von $t$
    abh\"angig mit inverser Matrix $\left(a^{ij}(t)\right)$. Dann gilt
    \[\dt a^{ij}=-a^{ik}a^{lj}\dt a_{kl}.\]
  \end{enumerate}
\end{lemma}
Die Determinante ist ein Polynom in ihren Eintr\"agen und daher auch
im Falle nicht invertierbarer Matrizen differenzierbar.
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Wir zeigen die erste Behauptung nur f\"ur
    $(2\times2)$-Matrizen. Es gilt \[
    \begin{pmatrix}
      a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}
    \end{pmatrix}^{-1}
    =\frac1{\det(a_{ij})}
    \begin{pmatrix}
      a_{22}&-a_{12}\\ -a_{21}&a_{11}
    \end{pmatrix}.\] 
    Somit ist \[\det(a_{ij})\cdot
    \begin{pmatrix}
      a^{11}&a^{21}\\ a^{12}&a^{22}
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      a_{22}&-a_{21}\\ -a_{12}&a_{11}
    \end{pmatrix}.\]
    Differenziert man $\det(a_{ij})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$, so
    erh\"alt man gerade die behaupteten Eintr\"age. 
  \item Die Inverse l\"asst sich bis auf die Determinante als Faktor
    als Polynom in den Eintr\"agen der Matrix darstellen. Daraus folgt
    die Differenzierbarkeit der Inversen und es bleibt, die behauptete
    Formel nachzuweisen.  Gelte allgemein $AB=BA=\eins$. Dann erh\"alt
    man durch Differenzieren $\dot AB+A\dot B=0$, also
    $A\dot B=-\dot AB$ oder $\dot B=-B\dot AB$. Wegen $B=A^{-1}$ folgt
    die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Erste Variation des Fl\"acheninhaltes}
\datum{Mo 05.07.2021}
\begin{theorem}[Erste Variation des Fl\"acheninhaltes]\neueZeilealt
  \label{erste variation flaeche thm}
  Sei $X\colon\Omega\times(-\epsilon_0,\epsilon_0)\to\R^{n+1}$ von der
  Klasse $C^2$.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Sei $X(\cdot,0)\colon\Omega\to\R^{n+1}$ regul\"ar,
  \item $\mathcal A(X(\cdot,0))<\infty$ und
  \item gebe es eine kompakte Menge $K\subset\Omega$, so dass $X(x,t)$
    f\"ur $x\in\Omega\setminus K$ von $t$ unabh\"angig ist.
  \end{enumerate}
  Dann gibt es ein $\epsilon>0$, so dass
  $X(\cdot,t)\colon\Omega\to\R^{n+1}$ f\"ur alle
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$ regul\"ar ist. Mit $\Phi:=\fracp Xt$
  erhalten wir \[\dt\mathcal A(X(\cdot,t)) =-\int\limits_\Omega
  \left\langle\vec H,\Phi\right\rangle\,d\mathcal A_g\] f\"ur
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$.
\end{theorem}
$\Phi$ oder $X$ hei\ss{}t Variation von $X(\cdot,0)$.
\begin{proof}[Beweis]
  Da f\"ur $t=0$ \[\inf\limits_{x\in K}\inf\limits_{v\in\S^n}
  |dX(x,t)\skl v|>0\] ist, gilt dies aus Stetigkeitsgr\"unden auch
  noch f\"ur kleine $\epsilon>0$ und $t\in(-\epsilon,\epsilon)$
  (Details: \"Ubung).
  \par Nun gilt
  \begin{align*}
    \dt\mathcal A(X(\cdot,t))
    =&\,\int\limits_\Omega\dt\sqrt{\det(g_{ij})}\,dx
    =\int\limits_\Omega\frac12\frac1{\sqrt{\det(g_{ij})}}\det(g_{ij})
    g^{ij}\dot g_{ij}\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega\frac12 g^{ij}\cdot2 \left\langle\dot
      X_{,i},X_j\right\rangle \sqrt{\det(g_{ij})}\,dx
    =\int\limits_\Omega g^{ij}\left\langle\dot
      X_{,i},X_j\right\rangle\,dA_g.
  \end{align*}
  Schreibe nun $\dot X(x,t)=\phi(x,t)\nu(x,t)+\psi^k(x,t)X_k(x,t)$
  f\"ur $C^1$-Funktionen $\phi$ und $\psi^k$ mit r\"aumlich kompaktem
  Tr\"ager in $\Omega$. Wir erhalten
  \begin{align*}
    \dot X_{,i} =&\,\phi_i\nu +\phi h_i^kX_k +\psi^k_iX_k
    +\psi^kX_{,ki}\umbruch\\
    \intertext{und hieraus mit partieller Integration} \dt \mathcal
    A(X(\cdot,t)) =&\,\int\limits_\Omega g^{ij}\left\langle \phi
      h^k_iX_k+\psi^k_iX_k +\psi^kX_{,ki},X_j\right\rangle
    d\mathcal A_g\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega g^{ij}\phi h^k_ig_{kj}
    +g^{ij}\psi^k_ig_{kj} +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,d\mathcal
    A_g
    \umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega\phi H +\psi^i_i
    +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,d\mathcal A_g\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega -\left\langle\Phi,\vec H\right\rangle
    +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,d\mathcal A_g +\int\limits_\Omega
    \left(\fracp{}{x^i}\psi^i\right) \sqrt{\det(g_{kl})}\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega -\left\langle\Phi,\vec H\right\rangle
    +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,d\mathcal A_g\\
    &\qquad-\int\limits_\Omega
    \psi^i\frac{\det(g_{kl})}{2\sqrt{\det(g_{kl})}} \cdot g^{kl}\cdot
    2\left\langle
      X_{,ki},X_l\right\rangle\,dx\umbruch\\
    =&\,-\int\limits_\Omega \left\langle\Phi,\vec H\right\rangle\,
    d\mathcal A_g
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $Y\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache. Sei $X$ eine
  Variation von $Y$, \dh wie in Theorem \ref{erste variation flaeche
    thm} mit $X(\cdot,0)=Y$. Dann sind die Aussagen
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $H(X(\cdot,0))=0$ und
  \item $\left.\dt\mathcal A(X(\cdot,t))\right|_{t=0}=0$ f\"ur alle
    solchen Variationen $X$
  \end{enumerate}
  \"aquivalent. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Klar nach Theorem \ref{erste variation flaeche
    thm}.\par
  \Rueckrichtung Nehme an, das $H\not\equiv0$ gilt. W\"ahle l\"angs
  $X(\cdot,0)$ ein $C^2$-Vektorfeld $V\colon\Omega\to\R^{n+1}$ mit
  kompaktem Tr\"ager und $\left\langle\vec H,V\right\rangle\ge0$, aber
  so, dass nicht \"uberall Gleichheit gilt. Setze
  $X(x,t):=Y(x)+tV$. Dann ist die erste Variation $\left.\dt \mathcal
    A(X(\cdot,t))\right|_{t=0}$ negativ. Widerspruch.
\end{proof}

Wir wollen $X_{,ij}$ als Linearkombination des Normalenvektors $\nu$
und der Tangentialvektoren $X_i$ darstellen. Es gilt das folgende
\begin{lemma}\label{Gauss fml lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine $C^2$-Hyperfl\"ache. Dann
  ist \[X_{,ij} =\Gamma^k_{ij}X_k -h_{ij}\nu\] mit
  $\Gamma^k_{ij}=\frac12 g^{kl}(g_{il,j} +g_{jl,i} -g_{ij,l})$. Setzt
  man \[X_{;ij}:=X_{,ij} -\Gamma^k_{ij}X_k,\] so gilt die Gau\ss{}sche
  Formel \[X_{;ij} =-h_{ij}\nu.\]
\end{lemma}
Die Gr\"o\ss{}e $X_{;ij}$ wird uns noch als zweite kovariante
Ableitung begegnen. Die Ausdr\"ucke $\Gamma^k_{ij}$ nennt man 
Christoffelsymbole.
\begin{proof}[Beweis]
  Die Gau\ss{}sche Formel folgt aus der ersten Behauptung direkt nach
  Definition. \par Es ist klar, dass sich $X_{,ij}$ als eine solche
  Linearkombination darstellen l\"asst. Der Faktor vor $\nu$ stimmt
  aufgrund unserer Definition $h_{ij}:=-\skl{X_{,ij},\nu}$. Sei also
  $X_l$ ein beliebiger Tangentialvektor. Wir m\"ussen daher noch
  nachweisen, dass das Skalarprodukt der Gleichung mit $X_l$ auf
  beiden Seiten denselben Wert ergibt. Es gilt nach Definition von
  $\Gamma^k_{ij}$ 
  \begin{align*}
    0\overset!=&\,2\skl{X_{,ij},X_l}
    -2\Gamma^k_{ij}\skl{X_k,X_l}\umbruch\\ 
    =&\,2\skl{X_{,ij},X_l} -2\tfrac12 g^{kr}(g_{ir,j} +g_{jr,i}
    -g_{ij,r}) g_{kl}\umbruch\\
    =&\,2\skl{X_{,ij},X_l} -(g_{il,j} +g_{jl,i}
    -g_{ij,l})\umbruch\\
    =&\,2\skl{X_{,ij},X_l} -\skl{X_{,ij},X_l} -\skl{X_i,X_{,lj}}
    -\skl{X_{,ji},X_l} -\skl{X_j,X_{,li}}\\ &\qquad+\skl{X_{,il},X_j}
    +\skl{X_i,X_{,jl}}\umbruch\\
    =&\,0,
  \end{align*}
  da partielle Ableitungen symmetrisch sind. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Wir nennen eine Hyperfl\"ache mit $H=0$ oder, \"aquivalent dazu, $\vec
  H=0$, eine Minimalfl\"ache.
\end{definition}

\begin{remark}
  Aufgrund der Normalform f\"ur Hyperfl\"achen gibt es f\"ur jeden
  Punkt auf einer Minimalfl\"ache ein $\kappa$, so dass sich die
  Minimalfl\"ache \"uber ihrer Tangentialebene nach geeigneter Drehung
  lokal als $\graph u$ mit \[u(x,y)=\frac12\kappa x^2 -\frac12\kappa
  y^2 +o\left(|(x,y)|^2\right)\] darstellen l\"asst. Somit ist jeder
  Punkt einer Minimalfl\"ache ein Sattelpunkt.
\end{remark}

\begin{remark}
  Die Bezeichnung Minimalfl\"ache ist leicht irref\"uhrend, weil wir
  gesehen haben, dass die erste Variation des Fl\"acheninhalts einer
  Minimalfl\"ache verschwindet. Dies besagt nat\"urlich nicht, dass
  eine Minimalfl\"ache ein (lokales) Minimum des Fl\"acheninhalts ist.
\end{remark}

Wir k\"onnen die Minimalfl\"achengleichung $H=0$ oder $\vec H=0$ mit
Hilfe des folgenden Operators kurz darstellen.
\begin{definition}[Laplace-Beltrami Operator]
  Sei $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ eine Metrik auf einer offenen Menge
  $\Omega\subset\R^n$ mit inverser Metrik
  $\left(g^{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$. (In einer solchen Situation,
  in der wir gar nicht mehr auf die Immersion eingehen, von der die
  Metrik herkommt, werden wir sp\"ater auch von einer Riemannschen
  Metrik sprechen.)  Dann definieren wir den Laplace-Beltrami Operator
  $\Delta_g\colon C^2(\Omega)\to C^0(\Omega)$ durch
  \[\Delta_gu:=\frac1{\sqrt{\det(g_{kl})}}\cdot
    \fracp{}{x^i}\left(\sqrt{\det(g_{kl})} g^{ij}\fracp{}{x^j}
      u\right).\]
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine Hyperfl\"ache mit
  Metrik $g$ und Normalenvektor $\nu$. Dann gilt \[\Delta_g X=\vec
  H=g^{ij}X_{;ij},\] wobei wir $\Delta_gX$ komponentenweise
  berechnen. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir berechnen mit Lemma \ref{Gauss fml lem}
  \begin{align*}
    \Delta_gX=&\,\frac1\sqrtdetg\fracp{}{x^i} \left(\sqrtdetg\cdot
      g^{ij}\fracp{}{x^j} X\right)\umbruch\\
    =&\,\frac1\sqrtdetg\frac12\frac{\detg}{\sqrtdetg}2g^{kl}
    \skl{X_{,ki},X_l} g^{ij}X_j\\
    &\quad-g^{ik}g^{lj}(\skl{X_{,ki},X_l} +\skl{X_k,X_{,li}})X_j
    +g^{ij}X_{,ij}\umbruch\\
    =&\,\underline{g^{kl}\skl{X_{,ki},X_l}g^{ij}X_j}
    -g^{ik}g^{lj}\skl{X_{,ki},X_l}X_j
    -\underline{g^{ik}g^{lj}\skl{X_k,X_{,li}}X_j}\\
    &\quad+g^{ij}\left(-h_{ij}\nu+\Gamma^k_{ij} X_k\right)\umbruch\\
    =&\,-H\nu -g^{ik}g^{lj}\skl{X_{,ki},X_l}X_j +\tfrac12
    g^{ij}g^{kl}(g_{il,j} +g_{jl,i} -g_{ij,l})X_k\umbruch\\
    =&\,\vec H -g^{ik}g^{lj}\skl{X_{,ki},X_l}X_j\\
    &\quad+\tfrac12g^{ij}g^{kl}\left(\skl{X_{,ij},X_l}
      +\underline{\skl{X_i,X_{,lj}}}
      +\skl{X_{,ji},X_l} +\underline{\skl{X_j,X_{,li}}}\right.\\
    &\qquad\qquad\qquad\left.-\underline{\skl{X_{,il},X_j}}
      -\underline{\skl{X_i,X_{,jl}}}\right)X_k\umbruch\\
    =&\,\vec H =-H\nu =-g^{ij}h_{ij}\nu =g^{ij}X_{;ij}.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\subsection{Beispiele}

\begin{beispiele}[Helikoid, Katenoid und Scherkfl\"ache]
  Das Helikoid, parametrisiert durch \[\R^2\ni(r,\phi)\mapsto
  (r\cos\phi,r\sin\phi,\phi)^T,\] das Katenoid, parametrisiert
  durch \[\R^2\ni(r,\phi)\mapsto (\cosh r\cdot\cos\phi, \cosh
  r\cdot\sin\phi, r)^T\] und die Scherkfl\"ache, als Graph
  von \[(0,\pi)^2\ni(x,y)\mapsto\log\sin x-\log\sin y\] dargestellt,
  sind Minimalfl\"achen.
\end{beispiele}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir werden mit unterschiedlichen Methoden nachrechnen, dass die
  angebebenen Fl\"achen Minimalfl\"achen sind.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item \textbf{Helikoid:} Wir erhalten
    \begin{align*}
      X_r=&\,(\cos\phi,\sin\phi,0)^T,\umbruch\\
      X_{,rr}=&\,0,\umbruch\\
      X_\phi=&\,(-r\sin\phi,r\cos\phi,1)^T,\umbruch\\
      X_{,\phi\phi}=&\,(-r\cos\phi,-r\sin\phi,0)^T,\umbruch\\
      g_{rr}=&\,1,\umbruch\\
      g_{r\phi}=&\,0,\umbruch\\
      g_{\phi\phi}=&\,1+r^2,\umbruch\\
      \det g_{ij}=&\,1+r^2,\umbruch\\
      \vec H=&\,\Delta_g X\umbruch\\
      =&\,\frac1{\sqrt{1+r^2}}\fracp{}{x^i}\left(\sqrt{1+r^2}
        g^{ij}\fracp{}{x^j}X\right)\umbruch\\
      =&\,\frac1{\sqrt{1+r^2}} \fracp{}r\left(\sqrt{1+r^2}\cdot 1\cdot
        X_r\right) +\frac1{\sqrt{1+r^2}}\fracp{}\phi
      \left(\frac{\sqrt{1+r^2}}{1+r^2} X_\phi\right)\umbruch\\
      =&\,\frac1{\sqrt{1+r^2}}\frac r{\sqrt{1+r^2}}
      \begin{pmatrix}\cos\phi\\ \sin\phi\\ 0\end{pmatrix} +\frac1{1+r^2}
      X_{,\phi\phi}\\
      =&\,\frac r{1+r^2}
      \begin{pmatrix}
        \cos\phi\\\sin\phi\\0
      \end{pmatrix}
      +\frac1{1+r^2}
      \begin{pmatrix}
        -r\cos\phi\\-r\sin\phi\\0
      \end{pmatrix}=0
    \end{align*}
    Somit ist das Helikoid eine Minimalfl\"ache.
\datum{Mo 12.07.2021}    
  \item \textbf{Katenoid:} Wir erinnern zun\"achst an
    \begin{align*}
      \cosh x=&\,\frac12(e^x+e^{-x}),\umbruch\\
      \sinh x=&\,\frac12(e^x-e^{-x}) =\frac{d}{dx}\cosh x
      =\frac{d^2}{dx^2}\sinh x
      \intertext{und} 
      1+\sinh^2x=&\,1+\frac14\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right) =\cosh^2x. 
    \end{align*}
    Nun gilt
    \begin{align*}
      X=&\,(\cosh r\cdot\cos\phi,\cosh r\cdot\sin\phi,r)^T,\umbruch\\
      X_r=&\,(\sinh r\cos\phi,\sinh r\sin\phi,1)^T,\umbruch\\
      X_{,rr}=&\,(\cosh r\cos\phi,\cosh r\sin\phi,0)^T,\umbruch\\
      X_\phi=&\,(-\cosh r\sin\phi,\cosh r\cos\phi,0)^T,\umbruch\\
      X_{,\phi\phi}=&\,(-\cosh r\cos\phi,-\cosh
      r\sin\phi,0)^T,\umbruch\\ 
      X_{,r\phi}=&\,(-\sinh r\sin\phi,\sinh r\cos\phi,0)^T,\umbruch\\
      g=&\,
      \begin{pmatrix}
        g_{rr}&g_{r\phi}\\
        g_{r\phi}&g_{\phi\phi}
      \end{pmatrix}
      =
      \begin{pmatrix}
        1+\sinh^2r&0\\
        0&\cosh^2r
      \end{pmatrix}
      =
      \cosh^2r
      \begin{pmatrix}
        1&0\\
        0&1
      \end{pmatrix},\umbruch\\
      \nu=&\,
      \frac1{\text{Normierung}}
      \begin{pmatrix}
        \sinh r\cos\phi\\
        \sinh r\sin\phi\\
        1
      \end{pmatrix}
      \times
      \begin{pmatrix}
        -\cosh r\sin\phi\\
        \cosh r\cos\phi\\
        0
      \end{pmatrix}
      \umbruch\\
      =&\,
      \frac1{\text{Normierung}}
      \begin{pmatrix}
        -\cosh r\cos\phi\\
        -\cosh r\sin\phi\\
        \sinh r\cosh r
      \end{pmatrix}
      =
      \frac1{\cosh r}
      \begin{pmatrix}
        -\cos\phi\\
        -\sin\phi\\
        \sinh r
      \end{pmatrix},\umbruch\\
      A=&\,
      \begin{pmatrix}
        h_{rr}&h_{r\phi}\\
        h_{r\phi}&h_{\phi\phi}
      \end{pmatrix}
      =
      \begin{pmatrix}
        1&0\\
        0&-1
      \end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Somit gilt $H=0$ und das Katenoid ist eine Minimalfl\"ache. \par
    Da die Metrik ein Vielfaches der Euklidischen Metrik auf $\R^2$
    ist, sagt man, dass das Katenoid konform parametrisiert sei. 
  \item \textbf{Scherkfl\"ache:} Es gilt
    \begin{align*}
      u=&\,\log\sin x-\log\sin y,\umbruch\\
      u_x=&\,\frac{\cos x}{\sin x},\umbruch\\
      u_y=&\,-\frac{\cos y}{\sin y},\umbruch\\
      u_{xx}=&\,\frac{-\sin x\sin x-\cos x\cos x}{\sin^2x}
      =-\frac1{\sin^2x},\umbruch\\
      u_{xy}=&\,0,\umbruch\\
      u_{yy}=&\,\frac1{\sin^2y},\umbruch\\
      \Delta u-\frac{u_{ij}u^iu^j}{1+|\nabla u|^2} =&\,
      u_{xx}+u_{yy}-\frac{u_{xx}u_x^2+u_{yy}u_y^2
        +2u_{xy}u_xu_y}{1+u_x^2+u_y^2}\umbruch\\
      =&\,\frac{u_{xx}\left(1+u_y^2\right)
        +u_{yy}\left(1+u_x^2\right)}{1+u_x^2+u_y^2},\umbruch\\
      u_{xx}\left(1+u_y^2\right)
      =&\,-\frac1{\sin^2x}\left(1+\frac{\cos^2y}{\sin^2y}\right) 
      =-\frac1{\sin^2x\sin^2y}. 
    \end{align*}
    Aufgrund der Symmetrie erhalten wir
    $\Delta u-\frac{u_{ij}u^iu^j}{1+|\nabla u|^2}=0$ und somit
    $H=0$. Somit ist auch die Scherkfl\"ache eine
    Minimalfl\"ache. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Minimalfl\"achen geh\"oren zu den differentialgeometrischen
    Themen, die schon seit sehr langer Zeit untersucht
    werden. Leonhard Euler beschreibt 1744 als erste Minimalfl\"ache
    nach der Ebene das Katenoid, Jean Baptiste
    Meusnier 1776 das Helikoid und Heinrich Scherk beschreibt 1834 die
    nach ihm benannte Fl\"ache. 
  \item Mit Hilfe von Funktionentheorie kann man Minimalfl\"achen
    darstellen: Weierstra\ss{}darstellung. 
  \item Helikoid und Katenoid lassen sich ineinander deformieren: Ein
    Filmchen dazu gibt es auf Wikipedia \cite{wiki}. 
  \item Stellt man Kopien der Scherkfl\"ache auf die schwarzen Felder
    eines unendlichen Schachbrettes, so erh\"alt man eine Fl\"ache,
    die sich periodisch wiederholt und nirgends aufh\"ort. Solche
    Hyperfl\"achen werden wir sp\"ater als vollst\"andig bezeichnen.
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt mit glattem
    Rand. Sei $\phi\colon\R^n\to\R$ glatt. Suchen wir nun eine
    Hyperfl\"ache, die \"uber $\Omega$ als $\graph u$ gegeben ist, die
    Minimalfl\"ache ist und \"uber $\partial\Omega$ mit $\graph\phi$
    \"ubereinstimmt, so m\"ussen wir dazu die folgende partielle
    Differentialgleichung mit Randwerten l\"osen: 
    \[
    \begin{cases}
      \divergenz\left(\dfrac{\nabla
          u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)=0&\text{in }\Omega,\\
        u=\phi&\text{auf }\partial\Omega.
    \end{cases}
    \]
    Dies ist f\"ur beliebige glatte Funktionen $\phi$ m\"oglich, falls
    $\partial\Omega$ \"uberall nichtnegative mittlere Kr\"ummung hat,
    jedoch komplizierter. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\section{Kurzeinf\"uhrung Mittlerer Kr\"ummungsfluss}
Wir beschr\"anken uns hier auf den Fall von Hyperfl\"achen im
Euklidischen.

Statt vom mittleren Kr\"ummungsfluss sollte man - in unserem Fall -
genauer vom Fluss von Hyperfl\"achen entlang ihrer mittleren
Kr\"ummung reden. 

\subsection{Die Flussgleichung}
Wir setzen hier den Startzeitpunkt stets auf $t=0$. Die Definitionen
und Resultat lassen sich aber direkt auf andere Startzeitpunkte
\"ubertragen. 

\begin{definition}[Lokale Definition]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $T>0$. Dann erf\"ullt die
  Abbildung $X\colon\Omega\times[0,T)\to\R^{n+1}$ den mittleren
  Kr\"ummungsfluss (lokal), falls $X(\cdot,t)$ f\"ur alle $t\in[0,T)$
  eine immersierte $C^2$-Hyperfl\"ache ist, $X$ nach $t$
  differenzierbar ist und f\"ur alle $(x,t)\in\Omega\times[0,T)$ die
  Gleichung \[\dot X=-H\nu\] erf\"ullt ist.
\end{definition}

Sp\"ater ersetzt man in der folgenden Definition die
Untermannigfaltigkeit durch eine abstrakte Mannigfaltigkeit. 
\begin{definition}[Globale Definition]
  Sei $M^n\subset\R^{n+k}$ eine
  $C^2$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit. Sei $T>0$.  Dann erf\"ullt
  $X\colon M\times[0,T)\to\R^{n+1}$ den mittleren Kr\"ummungsfluss,
  falls es f\"ur jeden Punkt $p\in M$ eine lokale Parametrisierung
  $\Phi\colon\Omega\to\R^{n+k}$ von $M$ um $p$ gibt, so dass die Abbildung
  \begin{align*}
    X_\Phi := X\circ (\Phi\times\id)\colon
    \Omega\times[0,T)&\to\R^{n+1},\umbruch\\ 
    (x,t)&\mapsto X(\Phi(x),t)
  \end{align*}
  den mittleren Kr\"ummungsfluss lokal erf\"ullt.
  Wir sagen auch, dass dann die Familie $(M_t)_{t\in[0,T)}$ mit
  $M_t=X(M,t)$ den mittleren Kr\"ummungsfluss erf\"ullt.
\end{definition}

\begin{beispiel}[Sph\"aren]
  Sei $M=\S^n\subset\R^{n+1}$. Sei $R>0$. Dann ist $X\colon
  M\times\left[0,\frac{R^2}{2n}\right)\to\R^{n+1}$ mit
  $X(p,t):=p\cdot\sqrt{R^2-2nt}$ eine L\"osung des mittleren
  Kr\"ummungsflusses. \par
  Auf diese L\"osung kommt man, indem man den Ansatz $X(p,t):=p\cdot
  f(t)$ macht. Hieraus erh\"alt man $\lambda_i(t)=\frac1{f(t)}$,
  $H=\frac n{f(t)}$, $\dot X=p\dot f(t)$ und $\nu(p,t)=p$. Also
  sollte \[p\dot f(t)=\dot X\overset!=-H\nu=-\frac n{f(t)}p\]
  gelten. Dies ist f\"ur $\dot f(t)=-\frac n{f(t)}$ der Fall und die
  L\"osung dieser gew\"ohnlichen Differentialgleichung mit Anfangswert
  $f(0)=R$ ist durch $f(t)=\sqrt{R^2-2nt}$ gegeben.\par 
  Wir lassen es als \"Ubung, die Definition des mittleren
  Kr\"ummungsflusses auch formal zu \"uberpr\"ufen. 
\end{beispiel}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Minimalfl\"achen sind station\"are (= zeitunabh\"angige)
    L\"osungen des mittleren Kr\"ummungsflusses. Zylinder der Form
    $\S^k\times\R^{n-k}$ schrumpfen \"ahnlich wie Sph\"aren. Sie
    konvergieren in endlicher Zeit gegen
    $\{0_{\R^{k+1}}\}\times\R^{n-k}$. Die grim reaper L\"osung ist als
    Graph von $u(x,t)=-\log\cos x+t$, $(x,t)\in
    \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) \times\R$, gegeben.  Weitere
    explizite Beispiele sind die Haarnadel- oder B\"uroklammerl\"osung
    (haar pin, paper clip). Details: \"Ubung.
  \item F\"ur weitere L\"osungen muss man - soweit ich wei\ss{} -
    zumindest eine gew\"ohnliche Differentialgleichung l\"osen (siehe
    beispielsweise meine Vorlesung \"uber Gew\"ohnliche
    Differentialgleichungen mit geometrischen Anwendungen). Sind die
    L\"osungen nicht symmetrisch, muss man eine quasilineare partielle
    Differentialgleichung l\"osen (siehe beispielsweise meine
    Vorlesung \"uber den Graphischen mittleren K\"ummungsfluss).
  \item Beim mittleren Kr\"ummungsfluss untersucht man h\"aufig die
    Existenz von L\"osungen und ihr Verhalten. Klassische Resultate
    von etwa 1985-1995 sind: Konvexe Hyperfl\"achen konvergieren gegen
    runde Punkte, \dh gegen einen Punkt und nach geeignetem
    Reskalieren gegen eine runde Sph\"are (G. Huisken,
    \cite{HuiskenRoundSphere}). Eingebettete $\S^1$-en bleiben
    eingebettet, werden in endlicher Zeit konvex und konvergieren dann
    auch gegen einen runden Punkt (M. Gage, R. Hamilton; M. Grayson
    \cite{GageHamilton,GraysonRoundPoints}).  Graphische
    Hyperfl\"achen \"uber $\R^n$ existieren f\"ur alle Zeit und
    konvergieren nach Reskalieren gegen homothetisch expandierende
    L\"osungen, wenn sie anfangs asymptotisch zu einem Kegel sind
    (K. Ecker, G. Huisken, \cite{EckerHuiskenInvent}).
  \item Ein gro\ss{}es Ziel ist es, mit Hilfe des mittleren
    Kr\"ummungsflusses alle (kompakten) Hyperfl\"achen in geeigneter
    Weise zu klassifizieren. Der mittlere Kr\"ummungsfluss wird auch
    hier in der Arbeitsgruppe untersucht. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{Mittlerer Kr\"ummungsfluss als geometrische
  Evolutionsgleichung}
\rule{0mm}{1mm}\\
Der mittlere Kr\"ummungsfluss ist eine geometrische
Evolutionsgleichung, \dh das Bild $M_t:=X(M,t)$ h\"angt nicht von
der konkreten Parametrisierung ab und ist unter Euklidischen
Bewegungen des umgebenden Raumes invariant. Da es h\"aufig nur auf das
Bild $M_t$ ankommt, kann man auch L\"osungen von $\langle\dt
X,\nu\rangle=-H$ untersuchen. Diese sind nicht eindeutig bestimmt, da
man sie mit Hilfe von Diffeomorphismen wie im folgenden Theorem
angegeben ab\"andern kann. 
\begin{theorem}\label{mcf geom evolgl kurz thm}
  Sei $X\colon \Omega\times[0,T)\to\R^{n+1}$ eine lokale L\"osung des
  mittleren Kr\"ummungsflusses $\dt X=-H\nu$ oder eine L\"osung, deren
  Normalengeschwindigkeit gerade die mittlere Kr\"um\-mung ist:
  $\left\langle\dt X,\nu\right\rangle =-H$. Sei $R\in O(n+1)$ eine
  orthogonale Abbildung und $\psi\colon\hat\Omega\times[0,T)\to\Omega$
  glatt, so dass $\psi(\cdot,t)\colon\hat\Omega\to\Omega$ f\"ur alle
  $t\in[0,T)$ ein Diffeomorphismus ist. Dann ist die
  Normalengeschwindigkeit von $\hat X(x,t):=RX(\psi(x,t),t)$, in
  Koordinaten
  $\hat X^\alpha(x,t) =R^\alpha_\beta X^\beta(\psi(x,t),t)$, gerade
  die mittlere Kr\"ummung:
  \[\left\langle\dt\hat X,\hat\nu\right\rangle =-\hat H.\] Weiterhin
  gilt $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$.
\end{theorem}
Den Diffeomorphismus $\psi$ kann man verwenden, um die Hyperfl\"achen
anders zu parametrisieren. Man kann zeigen, dass dies gerade einer
anderen Wahl einer Parametrisierung in der globalen Definition
entspricht. Daher kann man nicht mehr erwarten, dass die
Tangentialgeschwindigkeit verschwindet, wenn wir $\psi$ verwenden. Die
Bilder von $X$ und $X\circ\psi$ stimmen aber \"uberein. Daher passiert
in beiden F\"allen geometrisch das Gleiche.\par Da s\"amtliche
Rechnungen im Beweis lokal sind, gilt dies auch, wenn die Mengen
$\Omega$ und $\hat\Omega$ von der Zeit abh\"angen.
\datum{Mo 19.07.2021}
\begin{proof}[Beweis]
  Gr\"o\ss{}en zu $\hat X$ bezeichnen wir mit $\hat\nu$, $\hat H$,
  $\hat g_{ij}$, \ldots. \par Es gilt
  \begin{align*}
    \dt\hat X^\alpha =&\,R^\alpha_\beta \fracp{}t X^\beta
    +R^\alpha_\beta
    X^\beta_k\dot\psi^k,\umbruch\\
    \hat X_i^\alpha =&\,R^\alpha_\beta X^\beta_k\psi^k_i,\umbruch\\
    \hat X_{,ij}^\alpha =&\,R^\alpha_\beta X^\beta_k\psi^k_{ij}
    +R^\alpha_\beta X^\beta_{,kl}\psi^k_i\psi^l_j.
  \end{align*}
  W\"ahlen wir $\hat\nu^\alpha =R^\alpha_\beta\nu^\beta$, also
  $\hat\nu =R\nu$, so ist dies eine Normale an die Fl\"ache $\hat X$,
  da $\langle R\nu,R\nu\rangle =\langle\nu,\nu\rangle =1$ und
  $\left\langle R\nu,\left(R^\alpha_\beta
      X^\beta_k\psi^k_i\right)_\alpha \right\rangle =\langle \nu,
  X_k\rangle\psi^k_i=0$ f\"ur alle $1\le i\le n$ gelten. 
  Wir erhalten
  \begin{align*}
    \left\langle\dt\hat X,\hat\nu\right\rangle =&\,\fracp{}tX^\alpha
    R_\alpha^\beta \delta_{\beta\gamma}R^\gamma_\delta\nu^\delta
    +\dot\psi^i X^\alpha_iR_\alpha^\beta
    \delta_{\beta\gamma}R^\gamma_\delta
    \nu^\delta\umbruch\\
    =&\, -H\nu^\alpha\delta_{\alpha\delta}\nu^\delta
    +\dot\psi^iX^\alpha_i\delta_{\alpha\delta}\nu^\delta\umbruch\\
    =&\,-H+0. 
  \end{align*}
  $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$ haben wir bereits in Lemma \ref{H K
    well def lem} gesehen. Um beide Teile des Beweises beieinander zu
  haben, wiederholen wir dies hier nochmals. Es gilt
  \begin{align*}
    \hat g_{ij}=&\,\hat X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\hat X^\beta_j
    =\psi_i^kX^\gamma_kR^\alpha_\gamma \delta_{\alpha\beta}
    R^\beta_\delta X^\delta_l\psi^l_j =\psi^k_iX^\gamma_k
    \delta_{\gamma\delta} X^\delta_l\psi^l_j
    =\psi^k_ig_{kl}\psi^l_j,\\
    \hat h_{ij}=&\,-\left\langle\hat X_{,ij},\hat \nu\right\rangle
    =-\psi^k_{ij}X^\beta_kR^\alpha_\beta \delta_{\alpha\gamma}
    R^\gamma_\delta\nu^\delta -\psi^k_i\psi^l_j
    X^\beta_{,kl}R^\alpha_\beta \delta_{\alpha\gamma}
    R^\gamma_\delta\nu^\delta\umbruch\\
    =&\,-\psi^k_{ij}X^\beta_k\delta_{\beta\delta}\nu^\delta
    +\psi^k_i\left(-X^\beta_{,kl}\delta_{\beta\delta}
      \nu^\delta\right) \psi^l_j =0+\psi^k_ih_{kl}\psi^l_j.
  \end{align*}
  $\psi$ ist ein Diffeomorphismus. Also ist
  $\left(\psi^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ eine invertierbare Matrix
  und die Eigenwerte von $h_{ij}$ bez\"uglich $g_{ij}$ und von $\hat
  h_{ij}$ bez\"uglich $\hat g_{ij}$ stimmen \"uberein: Sei n\"amlich
  $\xi$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, \dh gelte \[\lambda
  g_{ij}\xi^j =h_{ij}\xi^j\] und $\xi\neq0$. Dann folgt f\"ur
  $\hat\xi^i:=\Psi^i_k\xi^k$ mit $\Psi(\cdot,t):=(\psi(\cdot,t))^{-1}$
  \[\lambda\hat g_{kl}\hat\xi^l =\lambda\psi^i_kg_{ij}
  \psi^j_l\Psi^l_m\xi^m =\lambda\psi^i_k g_{ij}\xi^m
  =\psi^i_kh_{ij}\xi^j =\psi^i_kh_{ij}\psi^j_l\Psi^l_m\xi^m =\hat
  h_{kl}\hat\xi^l.\] Andersherum argumentiert man analog. Somit folgt
  $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$ und damit die Behauptung.
\end{proof}

\begin{exercise}
  Finde L\"osungen von $\left\langle\dt X,\nu\right\rangle =-H$ und
  $\dt X=-H\nu$ f\"ur den Fall, dass $M_0$ ein Zylinder ist, dass also
  $M_0=\left(R\cdot\S^k\right)\times\R^{n-k}$ f\"ur ein $R>0$ gilt und
  \"uberpr\"ufe die Definition des mittleren Kr\"ummungsflusses
  explizit. 
\end{exercise}

\subsection{Graphische Kr\"ummungsfl\"usse}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Die Resultate dieses Abschnittes gelten mit Modifikationen bei
    den Definitionsmengen auch f\"ur Graphen, die nicht \"uber ganz
    $\R^n$ definiert sind.
  \item Sei in diesem Abschnitt $F$ eine beliebige
    Normalengeschwindigkeit, also \zB $F=H$, $F=K$ oder $F=|A|^2$. Es
    sind aber auch Funktionen m\"oglich, die beispielsweise
    zus\"atzlich von $X(x,t)$ oder $\nu$ abh\"angen.
  \item Naiv k\"onnte man denken, dass wir durch Betrachten der
    $(n+1)$-sten Komponente von $\dt X=-F\nu$ die Evolutionsgleichung
    $\dot u=\frac F{\sqrt{1+|Du|^2}}$ erhielten. Dabei haben wir
    jedoch nicht ber\"ucksichtigt, dass sich dabei auch der Punkt $x$
    zeitlich \"andern kann. Vergleiche dies auch mit einer Ebene, die
    sich mit konstanter Normalengeschwindigkeit bewegt.
  \item Bei der Umkehrung kann man nicht erwarten, die
    Evolutionsgleichung \[\dt X=-F\nu\] zu erhalten, da Diffeomorphismen
    wie in Theorem \ref{mcf geom evolgl thm} den Tangentialanteil von
    $\dt X$ \"andern k\"onnen.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $(M_t)_{0\le t<T}$ eine L\"osung von $\dt X=-F\nu$. Sei
  $u\colon\R^n\times[0,T)\to\R$ eine glatte oder $C^{2;1}$-Funktion
  mit \[M_t=\graph u(\cdot,t)\] f\"ur alle $t\in[0,T)$. Dann erf\"ullt
  $u$ die Gleichung
  \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F,\] im Falle von $F=H$ also
  \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2} \cdot \divergenz\left(\dfrac{\nabla
        u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right),\] in $\R^n\times[0,T)$.\par
  Umgekehrt sei $u$ eine L\"osung von $\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot
  F$. Dann gilt $\left\langle\dt X,\nu\right\rangle =-F$ f\"ur
  $X(x,t)=(x,u(x,t))^T$, jedoch im allgemeinen nicht $\dt H=-F\nu$.
\end{lemma}
Im Falle $F=H,K$ oder $|A|^2$ handelt es sich um eine
partielle Differentialgleichung. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X$ auf $\R^n\times[0,T)$ definiert. Wir bezeichnen die
  Koordinaten in $\R^n$ mit $\xi$. Wir bezeichnen weiterhin die
  orthogonale Projektion von $X(\xi,t)$ auf die Hyperebene
  $\R^n\equiv\R^n\times\{0\}$ mit $x(\xi,t)$. Dann
  gilt \[X(\xi,t)=(x(\xi,t),u(x(\xi,t),t))^T.\] Aus der
  Evolutionsgleichung folgt \[\dt X= \left(\dot x,u_i\dot x^i+\dot
    u\right)^T =-F\nu
  =F\frac{(-u^1,\ldots,-u^n,1)^T}{\sqrt{1+|Du|^2}}.\] Dabei benutzen
  wir $\dot u=\fracp ut$ und $u_i=\fracp u{x^i}$. Durch
  Komponentenvergleich erhalten wir
  \begin{align*}        
    {\dot x}^i =&\,\frac{-Fu^i}{\sqrt{1+|Du|^2}},\umbruch\\
    \dot u=&\,\frac F{\sqrt{1+|Du|^2}} -u_i\dot x^i =\frac
    F{\sqrt{1+|Du|^2}} +\frac{F|Du|^2}{\sqrt{1+|Du|^2}}
    =\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F.
  \end{align*}     
  Bis hier gelten die Rechnungen auch f\"ur andere
  Normalengeschwindigkeiten als $H$. Die Formel f\"ur $H$ im
  graphischen Fall haben wir bereits oben in Lemma \ref{mean gauss
    lem} hergeleitet. Somit folgt die Behauptung.\par
  Zur Umkehrung der Aussage: Definiere $X(x,t)=(x,u(x,t))^T$ f\"ur
  eine Funktion $u$ mit $\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F$. Dann gilt
  \begin{align*}
    \dt X=&\,\left(0,\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F\right)^T,\umbruch\\
    \nu=&\,\frac{(\nabla u,-1)^T}{\sqrt{1+|Du|^2}},\umbruch\\
    \left\langle\dt X,\nu\right\rangle =&\,-F.
  \end{align*}
  Ist $Du\neq0$, so kann $\dt X=-F\nu$ nicht gelten. 
\end{proof}
Eine bessere Umkehrung betrachten wir sp\"ater. 

\section{Kurven im $\R^n$}
\subsection{Kurven, Bogenl\"ange und Umparametrisierung}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Sei $I\subset\R$ ein Intervall. Eine Abbildung $\alpha\in
    C^k\left(I,\R^n\right)$,
    $k\in\N\cup\{\infty\}\equiv\{0,1,2,\ldots\} \cup\{\infty\}$,
    hei\ss{}t parametrisierte Kurve der Klasse $C^k$ im $\R^n$.
  \item Eine $C^1$-Kurve $\alpha$ hei\ss{}t regul\"ar, falls
    $\alpha'(t)\neq0$ f\"ur alle $t\in I$ gilt.
  \item Eine $C^k$-Kurve $\alpha\colon[a,b]\to\R^n$ hei\ss{}t
    $C^k$-geschlossen, falls \[\alpha^{(l)}(a)=\alpha^{(l)}(b)\] f\"ur
    alle $0\le l\le k$ gilt. 
  \item Eine Kurve $\alpha$ hei\ss{}t st\"uckweise von der Klasse
    $C^k$, $k\in\N\cup\{\infty\}$, falls es ein $N\in\N$ und
    $a_i\in\R$, $0\le i\le N$, mit $I=[a_0,a_N]$, $a_i\le a_{i+1}$
    f\"ur alle $0\le i<N$ und $\alpha|_{[a_i,a_{i+1}]}\in C^k$ f\"ur
    alle $0\le i\le N-1$ gibt.
  \item Ist $\alpha\colon[0,2\pi]\to\R^n$ eine $C^k$-geschlossene
    Kurve, so stellen wir die Kurve auch als Abbildung 
    \begin{align*}
      \tilde\alpha\colon\S^1\to&\,\R^n,\\
      e^{i\phi}\mapsto&\,\alpha(\phi)
    \end{align*}
    mit $\phi\in[0,2\pi]$ dar.
  \item Ist $\alpha\colon I\to\R^n$ eine regul\"are $C^1$-Kurve, so
    hei\ss{}t \[T(t):=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}\] (normierter)
    Tangentialvektor in $t\in I$ an die Kurve $\alpha$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Bogenl\"ange]
  Sei $\alpha\colon [a,b]\to\R^n$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve. Dann
  ist \[L(\alpha):=\int\limits_a^b|\alpha'(t)|\,dt\] die
  Bogenl\"ange der Kurve $\alpha$, wobei die Integration jeweils
  einzeln \"uber Intervalle, auf denen $\alpha$ von der Klasse $C^1$
  ist, ausgef\"uhrt wird. 
\end{definition}

\begin{definition}
  Seien $\alpha_i\colon I_i\to\R^n$, $i=1,2$, parametrisierte
  $C^1$-Kurven. Dann hei\ss{}t $\alpha_2$ Umparametrisierung von
  $\alpha_1$, falls es eine Bijektion $\phi\in C^1(I_2,I_1)$ mit
  $\phi'(t)\neq0$ f\"ur alle $t\in I_2$ (also einen Diffeomorphismus)
  gibt, so dass \[\alpha_2=\alpha_1\circ\phi\] gilt. \par $\phi$
  hei\ss{}t Parametertransformation. Sie hei\ss{}t richtungstreu,
  falls $\phi'>0$ gilt und richtungsumkehrend, wenn $\phi'<0$
  gilt.\par Zur Umparametrisierung von Kurven der Klasse $C^k$
  verwenden wir Parametertransformationen der Klasse $C^k$.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Auf der Menge aller parametrisierten Kurven in $\R^n$ ist $\sim$ mit
  $\alpha\sim\beta$, falls $\beta$ eine Umparametrisierung von
  $\alpha$ ist, eine \"Aquivalenzrelation. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Beachte dazu insbesondere, dass die Inverse einer
  Parametertranformation wieder eine Parametertransformation ist und
  dass die Verkn\"upfung von zwei Parametertransformationen (bei
  geeigneten Definitionsbereichen) ebenfalls eine
  Parametertransformation ist. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha_2$ eine Umparametrisierung von $\alpha_1$,
  $\alpha_2=\alpha_1\circ\phi$. 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Dann gilt $L(\alpha_1)=L(\alpha_2)$.
  \item Der normierte Tangentialvektor $\frac{\alpha_i'}{|\alpha_i'|}$
    ist bei einer orientierungserhaltenden Parametertransformation
    invariant, \dh es gilt \[\frac{\alpha_2'}{|\alpha_2'|}
    =\frac{\alpha_1'}{|\alpha_1'|}\circ\phi.\] 
  \item Ist $\alpha_1$ regul\"ar, so auch $\alpha_2$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Sei $\alpha_i$ auf $I_i=[a_i,b_i]$ definiert. Dann erhalten wir
  mit Hilfe der Transformationsformel f\"ur Integrale \[L(\alpha_2)
  =\int\limits_{a_2}^{b_2}|\alpha'_2(t)|\,dt
  =\int\limits_{a_2}^{b_2}|\alpha'_1(\phi(t))|\cdot|\phi'(t)|\,dt
  =\int\limits_{a_1}^{b_1}|\alpha'_1(\tau)|\,d\tau =L(\alpha_1).\] Ist
  $\phi'<0$, so wird der Faktor $\frac{|\phi'|}{\phi'}=-1$ aufgrund
  der Integraltransformation durch Vertauschen der Integrationsgrenzen
  wieder kompensiert. 
\item Es gilt \[\frac{\alpha'_2(t)}{|\alpha'_2(t)|}
  =\frac{\dt\alpha_1(\phi(t))}{\left|\dt\alpha_1(\phi(t))\right|}
  =\frac{\alpha'_1(\phi(t))}{|\alpha'_1(\phi(t))}\cdot
  \frac{\phi'(t)}{|\phi'(t)|}.\] 
\item Dies folgt ebenfalls aus der Kettenregel
  $\alpha'_2(t)=\alpha'_1(\phi(t))\cdot\phi'(t)$. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
  Eine $C^1$-Kurve $\alpha\colon I\to\R^n$ hei\ss{}t nach der
  Bogenl\"ange parametrisiert, falls $|\alpha'(t)|=1$ f\"ur alle $t\in
  I$ gilt. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Ist $\alpha\colon[a,b]\to\R^n$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert,
  so folgt $L(\alpha)=b-a$. 
\end{remark}

\begin{theorem}\label{bogenl param thm}
  Sei $\alpha\colon I\to\R^n$ eine regul\"are $C^k$-Kurve,
  $k\ge1$. Dann gibt es eine (orientierungserhaltende)
  Parametertransformation $\phi\in C^k(J,I)$, so dass
  $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere die Bogenl\"angenfunktion $\sigma\colon I\to\R$ f\"ur ein
  $t_0\in I$ durch \[\sigma(t) :=\int\limits_{t_0}^t
  |\alpha'(\tau)|\,d\tau\] und setze $J:=\sigma(I)$. Wegen $\sigma'(t)
  =|\alpha'(t)|>0$ ist $\sigma\in C^k(I,J)$ invertierbar. Setze
  $\phi(s):=\sigma^{-1}(s)$. Wir erhalten aus
  $\phi(\sigma(\tau))=\tau$ zun\"achst
  $\phi'(\sigma(\tau))\sigma'(\tau)=1$ und
  $\phi'(s)=\frac1{\sigma'(\phi(s))}$. Somit gilt \[\left|\frac
    d{ds}\alpha(\phi(s))\right|
  =|\alpha'(\phi(s))|\cdot\frac1{\sigma'(\phi(s))}=1\] und wir
  erhalten die Behauptung. \par Es ist \"ublich, $s$ als Parameter
  f\"ur eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte Kurve zu verwenden.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sind $\alpha_i$, $i=1,2$, beide nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  und gelte $\alpha_2(t)=\alpha_1(\phi(t))$, dann
  folgt \[1=|\alpha'_2(t)| =|\alpha'_1(\phi(t))|\cdot|\phi'(t)|
  =|\phi'(t)|\] und daher ist $\phi(t)=t_0\pm t$. Die Parametrisierung
  nach der Bogenl\"ange ist also bis auf eine Isometrie von $\R$
  eindeutig bestimmt.
\end{remark}

\subsection{Die isoperimetrische Ungleichung}

% \begin{remark}
%   Bei explizit angegebenen Vektoren im $\R^{n+1}$ werden wir
%   h\"aufiger in der Notation etwas nachl\"assig sein und bei
%   $\alpha(t)=(x(t),y(t))$, $\nu=\frac{(-\nabla u,1)}{\sqrt{1+|Du|^2}}$
%   oder $X(x)=(x,u(x))$ die Transposition der Vektoren weglassen.
% \end{remark}

\begin{theorem}[Isoperimetrische Ungleichung]\label{isop ungl}
  Sei $G\subset\R^2$ beschr\"ankt und sei $\partial G$ das Bild einer
  nach der Bogenl\"ange parametrisierten st\"uckweisen $C^1$-Kurve
  $\alpha:[0,L]\to\R^2$ mit $\alpha(0)=\alpha(L)$, so dass
  $\alpha|_{[0,L)}$ injektiv ist. Sei $\mathcal A:=|G|$ der
  Fl\"acheninhalt von $G$ und $L$ die (Bogen-)L\"ange von
  $\alpha$. Dann gilt \[\mathcal A\le\frac1{4\pi} L^2\] und Gleichheit
  tritt genau dann ein, wenn $G$ ein Ball ist.
\end{theorem}

\begin{lemma}
  \label{flaechen fml lem}
  Sei $G\subset\R^2$ beschr\"ankt und sei $\partial G$ das Bild einer
  st\"uckweisen $C^1$-Kurve $\alpha:[0,a]\to\R^2$. Sei
  $\alpha|_{[0,a)}$ injektiv und gelte $\alpha(0)=\alpha(a)$. Sei
    $\alpha(t)=(x(t),y(t))^T$. Dann gilt
    $|G|=\int\limits_0^ax(t)y'(t)\,dt$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $G$. Nehme an, dass $G$ links
  der Kurve liegt und dass diese nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  ist. Dann sind $T=\alpha'=(x',y')^T$ und $\nu=(y',-x')^T$. Nach dem
  Divergenzsatz gilt \[2|G|=\int\limits_G2
  =\int\limits_G\divergenz(x,y)^T =\int\limits_{\partial
    G}\left\langle\nu,(x,y)^T\right\rangle =\int\limits_0^a
  (xy'-yx')(s)\,ds.\] Da $\alpha$ eine geschlossene Kurve ist, sehen
  wir mit partieller Integration, dass beide Summanden denselben
  Beitrag liefern. Aufgrund der Integraltranformationsformel gilt die
  Behauptung auch, wenn $\alpha$ nicht nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert ist.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von \ref{isop ungl}]
  Sei wiederum $\alpha(t)=(x(t),y(t))^T$. Nach Translation gelte ohne
  Einschr\"ankung $\im x =[-r,r]$ f\"ur ein $r>0$. Gelte weiterhin
  ohne Einschr\"ankung $x(0)=r$ und $x(t_0)=-r$ f\"ur ein
  $t_0\in(0,L)$ . Definiere
  \[\ol y(t):=
    \begin{cases}
      -\sqrt{r^2-x^2(t)}, & t\le t_0,\\
      +\sqrt{r^2-x^2(t)}, & t\ge t_0. 
    \end{cases}
  \]
  Dann ist $\beta:t\mapsto(x(t),\ol y(t))^T$ eine nicht
  notwendigerweise injektive Parametrisierung des Kreises $\partial
  B_r(0)$. Au\ss{}erdem braucht $\ol y$ bei $\ol y=0$ nicht mehr
  st\"uckweise von der Klasse $C^1$ zu sein; es braucht keine
  Partition von $[0,L]$ in endlich viele Intervalle zu geben, auf
  denen $\beta$ jeweils von der Klasse $C^1$ ist. Fehlende
  Injektivit\"at und Regularit\"at sind jedoch beides technische
  Probleme, die wir in der folgenden Bemerkung \ref{beta eps bem}
  behandeln werden. Treten diese technischen Probleme nicht auf, so
  gilt 
  % Sei $x(t)$ ohne Einschr\"ankung in $t=0$ minimal und in $t=t_0$
  % maximal. Sei $(x(t),\bar y(t))$ eine nicht notwendigerweise
  % injektive Parametrisierung eines Kreises vom Radius $r$, ohne
  % Einschr\"ankung $\partial B_r(0)$, der nach orthogonaler Projektion
  % auf die $x$-Achse dasselbe Bild wie die Kurve $\alpha$ hat.  Es
  % gilt 
  \begin{align}
    \mathcal A+\pi r^2=&\,\int\limits_0^L xy'-\bar yx'\,dt
    =\int\limits_0^L \left\langle
    \begin{pmatrix} x\\ \bar y\end{pmatrix},
    \begin{pmatrix} y'\\ -x'\end{pmatrix}\right\rangle\,dt \nonumber\\ 
  \le&\,\int\limits_0^L \underbrace{\sqrt{x^2+\bar y^2}}_{=r,\text{ da
    }(x,\bar y)\in\partial B_r(0)}\cdot\quad
  \underbrace{\sqrt{x'^2+y'^2}}_{=|\alpha'|=1}\,dt = Lr. \label{fl
    absch}
  \end{align}
  Somit ist 
  \begin{equation}\label{ab ungl}
    2\sqrt{\mathcal A}\cdot\sqrt{\pi r^2}\le\mathcal A+\pi r^2 \le Lr
  \end{equation}
  und die isoperimetrische Ungleichung folgt.\par Gilt \"uberall
  Gleichheit, so folgt aus der ersten Ungleichung in \eqref{ab ungl}
  $\mathcal A=\pi r^2$. Der Radius $r$ h\"angt damit insbesondere nicht
  von der Richtung ab, in die wir die Kurve projizieren. Aus \eqref{fl
    absch} folgt $(xy'-\bar yx')^2=(x^2+\bar y^2)(x'^2+y'^2)$, also
  auch (direktes Ausmultiplizieren oder: drehe einen Vektor um
  $90^\circ$ und benutze die Orthogonalit\"at) $(xx'+\bar
  yy')^2=0$. Aus dieser Gleichung folgen die ersten beiden
  Gleichheitszeichen in
  \[\frac x{y'} =-\frac{\bar y}{x'} =\pm\frac{\sqrt{x^2+\bar
        y^2}}{\sqrt{x'^2+y'^2}} =\pm r.\] (Falls $y'=0$ ist, folgt
  $x=0$ und die n\"achste Gleichung gilt trotzdem.)  Also gilt
  $x=\pm ry'$. Da $r$ unabh\"angig von Drehungen des
  Koordinatensystems ist, folgt ebenso $y=\pm rx'$. Also ist
  $x^2+y^2=r^2(x'^2+y'^2)=r^2$. Die Kurve $\alpha$ durchl\"auft also
  einen Kreis.
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{beta eps bem}
  \stern Man \"uberlege sich als \"Ubung, dass die Zusatzterme, die
  wir einf\"uhren, wenn wir $\beta$ regul\"ar und injektiv machen,
  f\"ur $\epsilon\downarrow0$ verschwinden. \par
  \textbf{Zur Regularit\"at:} Sei $\epsilon>0$. Wir arbeiten mit einem
  vergr\"o\ss{}erten Kreis mit Radius $r+\epsilon$ und definieren
  $\tilde\beta\colon[-1,L+2]\to\R^2$ und verm\"oge
  $\tilde\beta(t)=\left(\tilde x(t),\tilde{\ol y}(t)\right)$ auch
  $\tilde x$ und $\tilde{\ol y}$. Auf den Intervallen $[-1,0]$,
  $[t_0,t_0+1]$ und $[L+1,L+2]$ machen wir Hilfskonstruktionen, die im
  Grenzwert $\epsilon\downarrow0$ keinen Einfluss auf die Rechnungen
  haben. Auf $[0,t_0]$ und $[t_0+1,L+1]$ arbeiten wir mit dem Radius
  $r+\epsilon$ statt $r$, um die Regularit\"at zu sichern. \par Da
  diese Definitionen etwas technischer sind, beschreiben wir unsere
  Konstruktion zun\"achst in Worten:
  \begin{itemize}
  \item Statt mit $\partial B_r(0)$ arbeiten wir mit $\partial
    B_{r+\epsilon}(0)$. 
  \item Auf $[-1,0]$ verbindet $\tilde\beta$ die Punkte
    $(r+\epsilon,0)$ und
    $\left(r,-\sqrt{(r+\epsilon)^2-r^2}\right)
    =\left(r,-\sqrt{2\epsilon r+\epsilon^2}\right)$ auf
    $\partial B_{r+\epsilon}(0)$. Dazu normieren wir die
    Konvexkombination auf Abstand $r+\epsilon$ zum Ursprung.
  \item Auf $[0,t_0]$ nutzen wir, bis auf $\epsilon$, die bisherige
    Konstruktion und gelangen auf dem unteren Halbkreis nach
    $\left(-r,-\sqrt{2\epsilon r+\epsilon^2}\right)$. 
  \item Auf $[t_0,t_0+1]$ gelangen wir auf
    $\partial B_{r+\epsilon}(0)$ analog zu oben vom Punkt
    $\left(-r,-\sqrt{2\epsilon r+\epsilon^2}\right)$ nach
    $\left(-r,+\sqrt{2\epsilon r+\epsilon^2}\right)$.
  \item Auf $[t_0+1,L+1]$ folgen wir analog zu oben wieder der
    bisherigen Konstruktion von $[t_0,L]$ mit einem zus\"atzlichen
    $\epsilon$. 
  \item Auf $[L+1,L+2]$ verbinden wir analog zum Vorgehen auf dem
    Intervall $[-1,0]$ den Punkt
    $\left(r,+\sqrt{2\epsilon r+\epsilon^2}\right)$ mit
    $(r+\epsilon,0)$.
  \end{itemize}
  In Formeln definieren wir
  \[\tilde\beta(t):=
    \begin{cases}
      (r+\epsilon)\frac{-t(r+\epsilon,0)
        +(1+t)\left(r,-\sqrt{2\epsilon
            r+\epsilon^2}\right)}{\left\Vert -t(r+\epsilon,0)
          +(1+t)\left(r,-\sqrt{2\epsilon r+\epsilon^2}\right)
        \right\Vert},
      & -1\le t\le 0,\\
      \left(x(t),-\sqrt{(r+\epsilon)^2-x^2(t)}\right),
      & 0\le t\le t_0,\\
      (r+\epsilon)\frac{(1+t_0-t)\left(-r,-\sqrt{2\epsilon
            r+\epsilon^2}\right) +(t-t_0)\left(-r,+\sqrt{2\epsilon
            r+\epsilon^2}\right)}{\left\Vert
          (1+t_0-t)\left(-r,-\sqrt{2\epsilon r+\epsilon^2}\right)
          +(t-t_0)\left(-r,+\sqrt{2\epsilon r+\epsilon^2}\right)
        \right\Vert},
      & t_0\le t\le t_0+1,\\
      \left(x(t-1),+\sqrt{(r+\epsilon)^2-x^2(t-1)}\right),
      & t_0+1\le t\le L+1,\\
      (r+\epsilon) \frac{(2+L-t)\left(r,\sqrt{2\epsilon
            r+\epsilon^2}\right) +(t-L-1)(0,0)}{\left\Vert
          (2+L-t)\left(r,\sqrt{2\epsilon r+\epsilon^2}\right)
          +(t-L-1)(0,0) \right\Vert}, & L+1\le t\le L+2.
    \end{cases}
  \]
  Da wir f\"ur festes $\epsilon>0$ nur gleichm\"a\ss{}ig nach unten
  durch eine positive Konstante beschr\"ankte Werte in die Wurzeln
  einsetzen, ist die Regularit\"at klar. \par
  \textbf{Zur Injektivit\"at:} Sei wiederum $\epsilon>0$. Unabh\"angig
  von der obigen Konstruktion zur Regularit\"at nennen wir unsere
  Startkurve wieder $\beta$. Wir nehmen an, dass $\beta(t)\in\partial
  B_r(0)\cap \{x^2\le0\}$ f\"ur $t\in[0,t_0]$ und $\beta(t)\in\partial
  B_r(0)\cap \{x^2\ge0\}$ f\"ur $t\in[t_0,L]$ gelten. Injektivit\"at
  erzeugen wir nun, indem wir die Kurve leicht nach au\ss{}en
  deformieren. Dazu definieren wir
  \[\tilde\beta(t):=
    \begin{cases}
      \left(1+\epsilon\frac t{t_0}\right)\beta(t),
      & 0\le t\le t_0,\\
      \left(1+\epsilon\left(1-\frac{t-t_0}{L-t_0}
        \right)\right)\beta(t), 
      & t_0\le t\le L. 
    \end{cases}
  \]
  Die Injektivit\"at ist nun leicht einzusehen.\par
  \textbf{Zur Gleichheit:} Differenzierbarkeit und Injektivit\"at
  braucht man nur f\"ur Lemma \ref{flaechen fml lem}. Im Beweis haben
  wir die Variante mit $\ol yx'$ verwendet. Hierf\"ur reicht ein
  stetiges $\ol y$. Durch Approximation $\epsilon\downarrow0$ in der
  Fl\"achenformel erhalten wir diese mit $\ol y$. Die Diskussion der
  Gleichheit gilt also unver\"andert. 
\end{remark}

\section{Kr\"ummung von Kurven}
Sei $I\subset\R$ stets ein Intervall.

\subsection{Definition der Kr\"ummung von Kurven in der Ebene}

\begin{remark}
  Wir setzen
  \[J:=
    \begin{pmatrix}
      0&-1\\
      1&0
    \end{pmatrix}
    \in\R^{2\times 2}.\] Es gilt $J^2=-\eins$ und
  $\langle Jv,w\rangle=\det(v,w)$ f\"ur alle $v,w\in\R^2$.\par
  Identifizieren wir einen Vektor $z=
  \begin{pmatrix}
    a\\ b
  \end{pmatrix}$ mit $z:=a+ib\subset\C$, so ist bez\"uglich dieser
  Identifizierung $Jz=iz$.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Einfaches direktes Nachrechnen. 
\end{proof}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Sei $\alpha\in C^k\left(I,\R^2\right)$, $k\ge1$, regul\"ar.
    Definiere den Tangentialvektor von $\alpha$ durch
    $\tau(t):=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}$ und die
    (Einheits-)Normale $\nu$ an $\alpha$ durch 
    $\nu(t):=J\tau(t)$. 
  \item Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
    parametrisiert und damit automatisch regul\"ar. Dann definieren
    wir die (orientierte) Kr\"ummung $\kappa\colon I\to\R$ von
    $\alpha$ durch \[\kappa(s):=\langle\alpha''(s),\nu(s)\rangle.\]
  \item Ist $\alpha$ nicht nach der Bogenl\"ange parametrisiert, so
    definieren wir die Kr\"ummung von $\alpha$ durch
    \[\kappa_\alpha :=\kappa_{\alpha\circ\phi}\circ\phi^{-1},\] wobei
    $\phi$ eine orientierungserhaltende $C^2$-Parametertransformation
    ist, so dass $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange
    parametrisiert ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Es gilt $\nu\in C^{k-1}\left(I,\R^2\right)$.
  \item Der Vektor $\nu$ senkrecht auf $\tau$:
    $\langle\tau(t),\nu(t)\rangle=0.$
  \item Die Vektoren $\tau(t),\nu(t)$ bilden ein positiv orientiertes
    (normiertes) $2$-Bein l\"angs $\alpha$, \dh es gelten
    $|\tau(t)|=1$, $|\nu(t)|=1$ und
    $\det(\tau(t),\nu(t))=1$. Weiterhin ist $\tau(t)$ ein positives
    Vielfaches von $\alpha'(t)$.  Diese Eigenschaften definieren
    $\tau(t),\nu(t)$ bereits eindeutig.
  \item Den Beweis, dass die Kr\"ummung einer nicht nach der
    Bogenl\"ange parametrisierten Kurve wohldefiniert ist, lassen wir
    als \"Ubungsaufgabe.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha\colon I\to\R^2$ eine regul\"are $C^2$-Kurve. Dann
  gilt \[\kappa(t)=\frac{\det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{|\alpha'(t)|^3}.\]
  Ist $\alpha$ ein Graph, also von der Form $\alpha(x)=\begin{pmatrix}
    x\\ u(x) \end{pmatrix}$ mit
  $u\in C^2(I,\R)$, so gilt \[\kappa(x)=\frac{u''(x)}
  {\left(1+(u'(x))^2\right)^{3/2}}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert und gelte
  $\phi'>0$.  Wir leiten zun\"achst Formeln f\"ur die Ableitungen von
  $\phi$ her:
  \begin{align*}
    1=&\,|(\alpha\circ\phi)'(s)| =|\alpha'|_{\phi(s)}|\cdot\phi'(s),\\
    \phi'(s)=&\,\frac1{|\alpha'(\phi(s))|},\\
    \phi''(s)=&\,-\frac1{|\alpha'(\phi(s))|^2}\cdot
    \frac12\cdot\frac1{|\alpha'(\phi(s))|}\cdot
    2\cdot\langle\alpha'(\phi(s)),
    \alpha''(\phi(s))\cdot\phi'(s)\rangle\umbruch\\
    =&\,-\frac1{|\alpha'(\phi(s))|^4}
    \langle\alpha'(\phi(s)), \alpha''(\phi(s))\rangle,\\
    \kappa_\alpha(t)=&\,\langle(\alpha'(\phi(s))\cdot\phi'(s))',
    J\alpha'(\phi(s))\cdot\phi'(s)\rangle|_{s=\phi^{-1}(t)}\\
    =&\,\langle\alpha''(\phi(s))\cdot(\phi'(s))^2
    +\alpha'(\phi(s))\cdot\phi''(s),
    J\alpha'(\phi(s))\cdot\phi'(s)\rangle|_{s=\phi^{-1}(t)}\\
    =&\,\left\langle\alpha''(t)\cdot\left(\phi'\left(\phi^{-1}(t)
        \right)\right)^2 -\frac{\langle \tau_\alpha(t),
        \alpha''(t)\rangle \tau_\alpha(t)}{|\alpha'(t)|^2},
      J\alpha'(t)\cdot\phi'\left(\phi^{-1}(t)\right)
    \right\rangle\\
    =&\,\frac1{|\alpha'(t)|^2}
    \langle\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),\tau_\alpha(t)\rangle
    \tau_\alpha(t),J\tau_\alpha(t)\rangle\\
    =&\,\frac{\det(\tau_\alpha(t),\alpha''(t))}{|\alpha'(t)|^2}
    =\frac{\det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{|\alpha'(t)|^3}.
  \end{align*}
  Im graphischen Fall erhalten wir aus $\alpha(x)=\begin{pmatrix} x\\
    u(x) \end{pmatrix}$ f\"ur die Ableitungen
  $\alpha'(x)=\begin{pmatrix} 1\\ u'(x) \end{pmatrix}$ und
  $\alpha''(x)=\begin{pmatrix} 0\\ u''(x) \end{pmatrix}$. Mit
  $|\alpha'(x)|=\sqrt{1+(u'(x))^2}$ folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Sei $s_0\in\overset\circ I=\interior I$. Definiere
  die beiden Halbebenen
  \begin{align*}
    E^+ =&\,\left\{x\in\R^2\colon\langle
      x-\alpha(s_0),\nu(s_0)\rangle>0\right\} \intertext{und} E^-
    =&\,\left\{x\in\R^2\colon\langle
      x-\alpha(s_0),\nu(s_0)\rangle<0\right\}.
  \end{align*}
  Setze $h(s):=\langle\alpha(s)-\alpha(s_0),\nu(s_0)\rangle$. Dann
  sind $h(s)>0$ und $\alpha(s)\in E^+$ sowie $h(s)<0$ und
  $\alpha(s)\in E^-$ jeweils \"aquivalent. Es gilt $h(s_0)=0$,
  $h'(s_0)=\langle\alpha'(s_0),\nu(s_0)\rangle =0$ und
  $h''(s_0)=\langle\alpha''(s_0),\nu(s_0)\rangle =\kappa(s_0)$. Nach
  Taylor erhalten wir $h(s)=\frac12\kappa(s_0)(s-s_0)^2
  +o(|s-s_0|^2)$. Somit erhalten wir im Falle $\kappa(s_0)>0$, dass
  $\alpha(s)\in E^+$ f\"ur $s\neq s_0$ nahe bei $s_0$ gilt
  (Linkskurve). Eine entsprechende Aussage gilt f\"ur $\kappa(s_0)<0$
  und $\alpha(s)\in E^-$. 
\end{remark}

\begin{lemma}\label{rot kr lem}
  Sei $F(x)=Sx+a$ mit $S\in O(2)$ und $a\in\R^2$ eine starre
  Bewegung. Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Setze $\tilde\alpha:=F\circ\alpha$. Dann
  gelten \[\tilde \tau=S\tau,\quad \tilde\nu=\det S\cdot S\nu,\quad
  \text{und}\quad \tilde\kappa=\det S\cdot\kappa.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $|\tilde\alpha'|=|S\alpha'|=|\alpha'|=1$ ist $\tilde\alpha$
  ebenfalls nach der Bogenl\"ange parametrisiert. Es gilt $\tilde
  \tau=\frac{S\alpha'}{|\tilde\alpha'|} =S\alpha' =S\tau$. Weiterhin
  gilt $\langle\tilde\alpha',S\nu\rangle =\langle S\alpha',S\nu\rangle
  =\langle\alpha',\nu\rangle =0$, $|S\nu|=|\nu|=1$ sowie
  $\det(\tilde\alpha',S\nu) =\det(S\alpha',S\nu) =\det
  S\cdot\det(\alpha',\nu) =\det S$. Somit ist $\tilde\nu=\det S\cdot
  S\nu$ die gesuchte Normale l\"angs $F\circ\alpha$. Schlie\ss{}lich
  gilt \[\tilde\kappa =\langle\tilde\alpha'',\tilde\nu\rangle =\det
  S\cdot\langle S\alpha'',S\nu\rangle =\det S\cdot\kappa.\qedhere\]
\end{proof}

Das nachfolgende Lemma erkl\"art die geometrische Bedeutung der
Kr\"ummung einer Kurve.
\begin{lemma}[Schmiegekreis]
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ regul\"ar, ohne
  Einschr\"ankung nach Lemma \ref{rot kr lem} und Umparametrisierung
  (Satz \"uber implizite Funktionen) lokal sogar von der Form
  $\alpha(x)=\begin{pmatrix} x\\ u(x) \end{pmatrix}$.  Sei
  $x_0\in\interior I$.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Ist $\kappa(x_0)=0$, so ist $\alpha$ bis zu zweiter Ordnung
    asymptotisch zu der Geraden
    $\beta(x)= \begin{pmatrix} x\\ u(x_0)+(x-x_0)\cdot
      u'(x_0)) \end{pmatrix}$, \dh es gilt
    $|\alpha(x)-\beta(x)|=o(|x-x_0|^2)$ oder
    $|u(x)-(u(x_0)+(x-x_0)\cdot u'(x_0))|=o(|x-x_0|^2)$.
  \item Ist $\kappa(x_0)\neq0$, so ist $\alpha$ bis zu zweiter Ordnung
    asymptotisch zu einem Kreis $\beta$ mit Mittelpunkt
    $\begin{pmatrix} x_0,u(x_0)\end{pmatrix}
    +\frac1{\kappa(x_0)}\frac{1} {\sqrt{1+|u'|^2}} \begin{pmatrix}
      -u'\\ 1\end{pmatrix}(x_0)$ und Radius $\frac1{|\kappa(x_0)|}$,
    \dh es gelten in Graphendarstellung
    \begin{align*}
      \beta(x)=&\, \begin{pmatrix} x\\ h(x) \end{pmatrix}
      \intertext{mit} h(x)=&\,-\sign(\kappa(x_0)) 
      \sqrt{\frac1{\kappa(x_0)^2}
        -\left|x-x_0+\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
            \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\right|^2}\\ 
      &\,\qquad+u(x_0) +\frac1{\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}
      \intertext{und} &\,|\alpha(x)-\beta(x)|=o(|x-x_0|^2)
      \intertext{oder} &\,|u(x)-h(x)|=o(|x-x_0|^2).
    \end{align*}
  \end{enumerate}
  Sind $\alpha\circ\phi$ und $\beta\circ\psi$ nach
  orientierungserhaltenden Parametertransformationen $\phi$ bzw.{}
  $\psi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert und ist
  $\phi(s_0)=x_0=\psi(s_0)$, so gilt ebenfalls
  $|\alpha\circ\phi(s)-\beta\circ\psi(s)|=o(|s-s_0|^2)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Folgt direkt nach Taylor.
  \item Es gilt mit $\kappa(x)
    =\frac{u''(x)}{\left(1+(u'(x))^2\right)^{3/2}}$
    \begin{align*}
      h(x_0)=&\,\underbrace{-\frac{\sign\kappa(x_0)}{|\kappa(x_0)|}}
      _{=\frac{-1}{\kappa(x_0)}}
      \sqrt{1-\frac{(u'(x_0))^2}{1+(u'(x_0))^2}} +u(x_0)
      +\frac1{\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\umbruch\\
      =&\,u(x_0),\umbruch\\
      h'(x)=&\,-\frac12\sign(\kappa(x_0))\frac{-2}{\sqrt{\ldots}}
      \left(x-x_0+\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
          \sqrt{1+(u'(x_0))}}\right),\umbruch\\
      h'(x_0)=&\,\frac{\sign(\kappa(x_0))}{\sqrt{\ldots}}
      \cdot\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
        \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\umbruch\\ 
      =&\,\underbrace{|\kappa(x_0)|\cdot\sign(\kappa(x_0))}
      _{=\kappa(x_0)} \cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2} \cdot\frac{u'(x_0)}
      {\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\umbruch\\
      =&\,u'(x_0),\umbruch\\
      h''(x_0)=&\,\frac{\sign(\kappa(x_0))}{(\sqrt{\ldots})^3}
      \cdot\left(\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
          \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\right)^2
      +\frac{\sign(\kappa(x_0))}{\sqrt{\ldots}}\umbruch\\
      =&\,\sign(\kappa(x_0))\cdot|\kappa(x_0)|^3\cdot
      \left(1+(u'(x_0))^2\right)^{3/2}\cdot
      \left(\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
          \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\right)^2\\
      &\,\qquad+\sign(\kappa(x_0))\cdot|\kappa(x_0)|
      \cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}\umbruch\\  
      =&\,\kappa(x_0)\cdot\left(1+(u'(x_0))^2\right)^{3/2} =u''(x_0). 
    \end{align*}
    Die Behauptung folgt nun ebenfalls nach Taylor. 
  \end{enumerate}
  Wir halten fest, dass $\alpha(x_0)=\beta(x_0)$,
  $\alpha'(x_0)=\beta'(x_0)$ und $\alpha''(x_0)=\beta''(x_0)$
  gelten. \par 
  Es gilt $1=|(\alpha\circ\phi)'(s)| =|\alpha'(\phi(s))|\cdot\phi'(s)
  =|\beta'(\psi(s))|\cdot\psi'(s)$ und daher insbesondere
  $\phi'(s_0)=\psi'(s_0)$. Nochmaliges Differenzieren
  liefert \[0=\frac{\langle\alpha'(\phi(s)),\alpha''(\phi(s))\rangle}
  {|\alpha'(\phi(s))|}(\phi'(s))^2 +|\alpha'(\phi(s))|\cdot\phi''(s).\]
  Da aber $\alpha(x_0)=\beta(x_0)$, $\alpha'(x_0)=\beta'(x_0)\neq0$
  und $\alpha''(x_0)=\beta''(x_0)$ gelten, folgt auch
  $\phi''(s_0)=\psi''(s_0)$. Somit folgt auch die letzte Behauptung
  mit Taylor.
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Dann gelten f\"ur $\tau=\alpha'$ und $\nu=J\tau$ die
  Gleichungen
  \begin{align*}
    \tau'=&\,\kappa\nu,\\
    \nu'=&\,-\kappa\tau
    \intertext{oder}
    \frac d{ds}
    \begin{pmatrix}
      \tau\\ \nu
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \begin{pmatrix}
      0&\kappa\\
      -\kappa&0
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      \tau\\ \nu
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $\langle\tau(s),\tau(s)\rangle=1$ folgt durch Differenzieren
  $0=2\langle\tau(s),\tau'(s)\rangle$. Damit und nach Definition der
  Kr\"ummung ($\kappa(s)=\langle\alpha''(s),\nu\rangle$) sowie
  $\tau(s)=\alpha'(s)$ folgt die erste Gleichheit. Differenzieren von
  $0=\langle\tau,\nu\rangle$ liefert $\kappa=\langle\tau',\nu\rangle
  =-\langle\tau,\nu'\rangle$. Aus $|\nu|=1$ folgt wie oben, dass
  $\langle\nu',\nu\rangle=0$ gilt. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\subsection{Kr\"ummung von Raumkurven}

Wir erinnern daran, dass in $\R^2$ f\"ur eine nach der Bogenl\"ange
parametrisierte Kurve $\alpha$ stets $|\alpha''|=|\tau'|=|\kappa|$
gilt. Dies motiviert 
\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^n\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Dann definieren wir die Kr\"ummung
  $\kappa(s)\in[0,\infty)$ von $\alpha$ im
  Punkt $s$ durch \[\kappa(s):=|\alpha''(s)|.\] 
\end{definition}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Die Kurve $\alpha(s)=r\left(\cos\frac sr,\sin\frac sr\right)$,
    $r>0$, ist ein nach der Bogenl\"ange parametrisierter Kreis. Es
    gilt \[\kappa(s)=\frac1r\] f\"ur alle $s$.
  \item Eine Gerade $\alpha(s)=x_0+s\cdot e$ mit $x_0\in\R^n$ und
    $e\in\S^{n-1}$ hat \"uberall die Kr\"ummung Null.
  \item Seien $r,a\in\R$ und $L>0$ noch zu w\"ahlen. Dann ist die
    Schraubenlinie \[\alpha(t)=\left(r\cos\frac tL,r\sin\frac
      tL,a\frac tL\right)\] wegen $|\alpha'(t)| =\sqrt{r^2+a^2}\frac
    1L$ genau f\"ur $L=\sqrt{r^2+a^2}$ nach der Bogenl\"ange
    parametrisiert. Somit ist \[\kappa(t)=\frac r{r^2+a^2}\]
        f\"ur alle $t$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^1\left(I,\R^n\right)$ regul\"ar. Eine Familie
  $(v_i)_{1\le i\le n}$ von Funktionen $v_i\in C^0\left(I,\R^n\right)$
  hei\ss{}t ein l\"angs $\alpha$ begleitendes $n$-Bein,
  falls \[v_1(t)=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|} \quad\text{und} \quad
  \langle v_i(t),v_j(t)\rangle=\delta_{ij}\] f\"ur alle $1\le i,j\le
  n$ und alle $t\in I$ gelten.
\end{definition}

Man vergleiche das folgende Resultat mit dem Satz der Linearen
Algebra, dass jede differenzierbare Familie $A(t)$ orthogonaler
Matrizen mit $A(0)=\eins$ eine schiefsymmetrische Ableitung $\dot
A(0)$ besitzt.
\begin{lemma}\label{ons abl schief lem}
  Seien $v_i\in C^1\left(I,\R^n\right)$, $1\le i\le n$, und $t_0\in I$
  beliebig.  Dann sind die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item\label{schief sym i} $\langle
      v_i(t),v_j(t)\rangle=\delta_{ij}$ f\"ur alle $t\in I$ und
    alle $1\le i,j\le n$.
  \item\label{schief sym ii} Es gibt eine $t$-abh\"angige Matrix
    $A=(a_{ij})\in C^0\left(I,\R^{n\times n}\right)$ mit $A=-A^T$,
    also $a_{ij}(t)=-a_{ji}(t)$ f\"ur alle $1\le i,j\le n$, und es
    gilt \[v_i'=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}v_j \quad\text{f\"ur}\quad
    1\le i\le n\quad\text{und}\quad\langle
    v_i(t_0),v_j(t_0)\rangle=\delta_{ij}.\]
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \glqq\ref{schief sym i}\impliziert\ref{schief sym
    ii}\grqq: Da die Vektoren $v_i$ eine \ONB bilden, l\"asst sich
  jeder Vektor (und damit insbesondere auch $v_i'$)
  hiermit darstellen. Es gilt $v_i'=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}v_j$ mit
  $a_{ij}=\langle v_i',v_j\rangle$. Wir erhalten
  \[a_{ji} =\langle v_j',v_i\rangle =\underbrace{\langle
    v_j,v_i\rangle'}_{=0} -\langle v_j,v_i'\rangle =-a_{ij}.\]
  \glqq\ref{schief sym ii}\impliziert\ref{schief sym i}\grqq:
  Definiere $g_{ij}:=\langle v_i,v_j\rangle$. Dann gelten
  $g_{ij}(t_0)=\delta_{ij}$ und 
  \begin{align*}
    g_{ij}' =&\,\langle v_i',v_j\rangle +\langle v_i,v_j'\rangle
    =\left\langle \sum\limits_{k=1}^na_{ik}v_k,v_j\right\rangle
    +\left\langle v_i,\sum\limits_{k=1}^n a_{jk}v_k\right\rangle\\
    =&\,\sum\limits_{k=1}^na_{ik}g_{kj} +\sum\limits_{k=1}^n
    a_{jk}g_{ik}.
  \end{align*}
  Damit l\"osen die Funktionen $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ ein lineares
  System von $n^2$ gew\"ohnlichen Differentialgleichungen. Da
  $a_{ij}$ schiefsymmetrisch ist, l\"ost $\delta_{ij}$ dieses System
  ebenfalls, \[\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\delta_{kj}
  +\sum\limits_{k=1}^n a_{jk}\delta_{ik} =a_{ij} +a_{ji} =0
  =\delta_{ij}'.\] Der Eindeutigkeitssatz f\"ur gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen liefert nun $g_{ij}(t)=\delta_{ij}$. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ eine nach der Bogenl\"ange
  parametrisierte Kurve mit $\kappa(s)\neq0$ f\"ur alle $s\in
  I$. Dann hei\ss{}t $\alpha$ Frenetkurve. $T,N,B$ mit
  $T,N,B\colon I\to\S^2\subset\R^3$ hei\ss{}t Frenet-Dreibein zu
  $\alpha$ und ist durch
  \begin{align*}
    T:=&\,\alpha'\quad\text{(Tangentenvektor)},\\
    N:=&\,\frac{\alpha''}{|\alpha''|}\quad\text{(Hauptnormalenvektor)}
    \intertext{und}
    B:=&\,T\times N\equiv
    \begin{pmatrix}
      T^1\\ T^2\\ T^3
    \end{pmatrix}
    \times
    \begin{pmatrix}
      N^1\\ N^2\\ N^3
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      T^2N^3-T^2N^1\\ T^3N^1-T^1N^3\\ T^1N^2-T^2N^1
    \end{pmatrix}
    \quad\text{(Binormalenvektor)}
  \end{align*}
  definiert. Dabei hei\ss{}t \glqq$\times$\grqq$\colon
  \R^3\times\R^3\to\R^3$ mit der angegebenen Definition
  Kreuzprodukt. Wir definieren die Torsion von $\alpha$, $\tau\colon
  I\to\R$, durch \[\tau(s):=\langle N'(s),B(s)\rangle.\]
\end{definition}

\begin{lemma}[Frenetgleichungen]
  Sei $\alpha\in C^3\left(I,\R^3\right)$ eine (nach der Bogenl\"ange
  parametrisierte) Frenetkurve mit Frenet-Dreibein $T,N,B$. Dann gilt
  \begin{align*}
    T'=&\,\kappa N,\\
    N'=&\,-\kappa T +\tau B,\\
    B'=&\,-\tau N
    \intertext{oder}
    \begin{pmatrix}
      T'\\ N'\\ B'
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \begin{pmatrix}
      0&\kappa&0\\
      -\kappa&0&\tau\\
      0&-\tau&0
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      T\\ N\\ B
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Lemma \ref{ons abl schief lem} wissen wir, dass die Matrix
  schiefsymmetrisch sein muss. Nun gilt $T=\alpha'$ und $T'=\alpha''
  =\kappa N$ nach Definition von $\kappa$ und $N$. Weiterhin nach
  Definition gilt $\tau=\langle N',B\rangle$. Somit ist die Matrix
  eindeutig bestimmt. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Ist $\kappa\equiv0$, so ist $\alpha(I)$ Teilmenge einer Geraden.
  \item Ist $\alpha\in C^3$ und eine Frenetkurve mit $\tau\equiv0$, so
    liegt $\alpha(I)$ in einer Ebene.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Aus $\kappa\equiv0$ erhalten wir
    $\alpha''\equiv0$. Integrieren liefert $\alpha(s)=p+sv$ f\"ur
    $p,v\in\R^3$.
  \item Nach Annahme und den Frenetgleichungen erhalten wir
    $B'\equiv0$. Also gilt $B(s)\equiv b$ f\"ur ein
    $b\in\S^2\subset\R^3$. Mit $\alpha'=T\perp B$ erhalten wir
    $\langle\alpha(s),b\rangle' =\langle\alpha'(s),b\rangle
    \equiv0$. Somit ist $\langle\alpha(s),b\rangle$ konstant und wir
    schlie\ss{}en $\alpha(I)\subset\{x\in\R^3\colon \langle
    x,b\rangle=a\}$ f\"ur ein $a\in\R$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
  Seien $k\in C^1(I)$ mit $k>0$ und $\omega\in C^0(I)$ gegeben. Dann
  gibt es eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte Kurve $\alpha\in
  C^3\left(I,\R^3\right)$ mit Kr\"ummung $\kappa=k$ und Torsion
  $\tau=\omega$. Bis auf eine orientierungserhaltende Euklidische
  Bewegung ist $\alpha$ eindeutig bestimmt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $T,N,B$ eine $C^1$-L\"osung des Differentialgleichungssystems
  \[
    \begin{pmatrix}
      T'\\ N'\\ B'
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
      0&k&0\\
      -k&0&\omega\\
      0&-\omega&0
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      T\\N\\B
    \end{pmatrix}
  \] mit gegebenen Anfangswerten $T(s_0)=e_1$, $N(s_0)=e_2$ und
  $B(s_0)=e_3$. Diese existiert nach Picard-Lindel\"of, da $T,N,B$
  auch global beschr\"ankt bleibt.  Nach Lemma \ref{ons abl schief
    lem} bilden diese Vektoren f\"ur jedes $s$ eine
  Orthonormalbasis. Setze
  $\alpha(s):=\int\limits_{s_0}^s T(\sigma)\,d\sigma$. Dann ist
  $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$, da $T\in C^1$ ist und ist nach
  der Bogenl\"ange parametrisiert. Wir erhalten $\alpha'=T$ und
  $\alpha''=T'=kN$. Damit folgt $k=\kappa$ und $N$ ist die
  Hauptnormale an $\alpha$. Wegen $k,N\in C^1$ erhalten wir
  $\alpha\in C^3$. Es gilt $\det(T,N,B)=1$. Zun\"achst ist dies f\"ur
  $s=s_0$ klar und folgt dann allgemein aufgrund der Stetigkeit und
  dass die drei Vektoren stets eine \ONB bilden. Somit ist $B$ der
  Binormalenvektor an die Kurve $\alpha$. Wegen
  $\tau=\langle N',B\rangle =\omega$ ist die Torsion wie
  angegeben. \par Zur Eindeutigkeit: Nach einer Euklidischen Bewegung
  d\"urfen wir annehmen, siehe auch Lemma \ref{Frenet eukl bew lem},
  dass eine beliebige L\"osung $\beta$ mit $\tilde T$, $\tilde N$ und
  $\tilde B$ in $s_0$
  \[T=\tilde T,\quad N=\tilde N,\quad\text{und}\quad B=\tilde B\]
  erf\"ullt. Aufgrund der Eindeutigkeit von L\"osungen gew\"ohnlicher
  Differentialgleichungen gilt dann \"uberall
  $(T,N,B)=\left(\tilde T,\tilde N,\tilde B\right)$. Nach Integration
  sehen wir, dass $\beta(s)-\alpha(s) =\beta(s_0)-\alpha(s_0)$
  konstant ist. Somit stimmen $\alpha$ und $\beta$ bis auf eine
  Euklidische Bewegung \"uberein.
\end{proof}

\begin{definition}\label{kappa t def}
  \stern Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ regul\"ar. Sei
  $\tilde\alpha:=\alpha\circ\phi\colon J\to\R^3$ eine richtungstreue
  Umparametrisierung nach der Bogenl\"ange. Definiere
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)] 
  \item die Kr\"ummung $\kappa(t):=\tilde\kappa(\phi^{-1}(t))$ von
    $\alpha$. 
  \item das Frenetdreibein bestehend aus
    $T(t):=\tilde T(\phi^{-1}(t))$, $N(t):=\tilde N(\phi^{-1}(t))$ und
    $B(t):=\tilde B(\phi^{-1}(t))$ f\"ur $\kappa\neq0$.
  \item die Torsion $\tau(t):=\tilde\tau\circ\phi^{-1}(t)$ f\"ur
    $\alpha\in C^3$ und $\kappa\neq0$. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  \stern $T$, $N$, $B$, $\kappa$ und $\tau$ sind wohldefiniert und es
  gilt f\"ur beliebige richtungstreue (\glqq$+$\grqq) oder
  richtungsumkehrende (\glqq$-$\grqq) Umparametrisierungen
  $\beta=\alpha\circ\phi$ von $\alpha$
  \begin{align*}
    T_\beta=&\,\pm T_\alpha\circ\phi,\quad
    N_\beta=N_\alpha\circ\phi,\quad B_\beta=\pm B_\alpha\circ\phi,\\
    \kappa_\beta=&\,\kappa_\alpha\circ\phi\quad\text{und} \quad
    \tau_\beta=\tau_\alpha\circ\phi.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Jede regul\"are $C^1$-Kurve l\"asst sich nach Theorem \ref{bogenl
    param thm} nach der Bogenl\"ange parametrisieren. Daher k\"onnen
  wir die Definition \ref{kappa t def} verwenden. \par Seien nun
  $\phi_i\colon J_i\to I$ zwei orientierungserhaltende
  Parametertransformationen, so dass $\alpha_i :=\alpha\circ\phi_i$
  jeweils nach der Bogenl\"ange parametrisiert sind. Dann sind
  $\phi_1^{-1}\circ\phi_2$ und $\phi_2^{-1}\circ\phi_1$ jeweils von
  der Form $s\mapsto s+s_0$, bei nicht orientierungserhaltenden
  Transformationen auch von der Form $s\mapsto\pm s+s_0$. Die
  Gr\"o\ss{}en aus Definition \ref{kappa t def} sind wohldefiniert, es
  gilt n\"amlich
  \begin{align*}
    T(t)\overset{\text{def.}}=&\,(\alpha\circ
    \phi_1)'|_{\phi_1^{-1}(t)}\\
    =&\,(\alpha\circ\phi_2\circ\phi_2^{-1}\circ
    \phi_1)'|_{\phi_1^{-1}(t)}\\
    =&\,(\alpha\circ\phi_2)'|_{\phi_2^{-1}\circ\phi_1
      \circ\phi_1^{-1}(t)}\cdot\underbrace{\left(\phi_2^{-1}\circ
        \phi_1\right)'}_{=\pm1}|_{\phi_1^{-1}(t)}\quad
    \text{(Produktregel)}\\ 
    =&\,\pm(\alpha\circ\phi_2)'|_{\phi_2^{-1}(t)}
  \end{align*}
  und analoge Rechnungen funktionieren auch f\"ur die anderen
  Gr\"o\ss{}en. \par
  Sei nun $\beta=\alpha\circ\phi$ beliebig. Mit zwei
  orientierungserhaltenden Transformationen $\phi_\alpha$ und
  $\phi_\beta$ k\"onnen wir annehmen, dass $\beta\circ\phi_\beta$ und
  $\alpha\circ\phi_\alpha$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  sind. \"Ahnlich wie bei der obigen Rechnung erhalten wir
  \begin{align*}
    T_\beta(t)=&\,(\beta\circ\phi_\beta)'|_{\phi_\beta^{-1}(t)}\\
    =&\,\left(\alpha\circ\phi_\alpha\circ\phi_\alpha^{-1}\circ\phi
      \circ\phi_\beta\right)'|_{\phi_\beta^{-1}(t)}\\
    =&\,(\alpha\circ\phi_\alpha)|_{\phi_\alpha^{-1}\circ\phi
      \circ\phi_\beta\circ\phi_\beta^{-1}(t)}
    \cdot\underbrace{\left(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi\circ
        \phi_\beta\right)'}_{=\pm1}|_{\phi_\beta^{-1}(t)}\\
    =&\,\pm T_\alpha|_{\phi(t)},
  \end{align*}
  da $\beta\circ\phi_\beta$ und $\alpha\circ\phi_\alpha$ nach der
  Bogenl\"ange parametrisiert sind. Wegen $\beta\circ\phi_\beta
  =(\alpha\circ\phi_\alpha)\circ(\phi_\alpha^{-1}
  \circ\phi\circ\phi_\beta)$ ist der Term in der letzten Klammer
  wieder von der Form $s\mapsto\pm s+s_0$. \par
  Argumentation f\"ur die anderen Gr\"o\ss{}en: \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \stern Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ eine regul\"are
  Kurve. Dann gelten f\"ur Kr\"ummung, Frenet-Dreibein (im Falle
  $\kappa\neq0$) und Torsion (im Falle $\kappa\neq0$ und
  $\alpha\in C^3$)
  \begin{align*}
    \kappa =&\,\frac{|\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle
      T|}{|\alpha'|^2} =\frac{\sqrt{|\alpha''|^2-\langle\alpha'',
        T\rangle^2}}{|\alpha'|^2},\\
    T=&\,\frac{\alpha'}{|\alpha'|},\quad
    N=\frac{\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle
      T}{|\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle T|},\quad
    B=\frac{\alpha'\times\alpha''}
    {|\alpha'||\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle T|} \intertext{und}
    \tau=&\,\frac{\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')}
    {|\alpha'|^2\cdot|\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle T|^2}
    =\frac{\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')}{|\alpha'\times\alpha''|^2}.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\phi$ eine richtungserhaltende Parametertransformation, so dass
  $\tilde\alpha:=\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  ist. Dann folgt
  \begin{align*}
    1=&\,\left(\phi\circ\phi^{-1}(t)\right)'
    =\phi'|_{\phi^{-1}(t)}\cdot
    \left(\phi^{-1}\right)'(t),\\
    \phi'(s)=&\,\frac1{(\phi^{-1})'(\phi(s))},\\
    1=&\,|\tilde\alpha'(s)|=|(\alpha\circ\phi)'(s)|
    =|\alpha'(\phi(s))|\cdot\phi'(s),\\
    |\alpha'(t)|=&\,\left(\phi^{-1}\right)'(t).
  \end{align*}
  Damit erhalten wir \[\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}
  =\frac{\left(\tilde\alpha\circ\phi^{-1}\right)'(t)}
  {\left(\phi^{-1}\right)'(t)} =\tilde\alpha'\left(\phi^{-1}(t)\right)
  =T(t).\] Analog erhalten wir
  \begin{align*}
    \tilde T'\left(\phi^{-1}(t)\right) =&\,\frac{\left(\tilde
      T\circ\phi^{-1}\right)'(t)}{\left(\phi^{-1}\right)'(t)}
    =\frac1{|\alpha'(t)|}\left(\frac
      d{dt}\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}\right)\umbruch\\
    =&\,\frac{\alpha''(t)}{|\alpha'(t)|^2}
    -\frac12\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}
    \left(|\alpha'(t)|^2\right)^{-3/2}\cdot
    2\cdot\langle\alpha'(t),\alpha''(t)\rangle\umbruch\\
    =&\,\frac{\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
      T(t)}{|\alpha'(t)|^2}. 
  \end{align*}
  Die Frenetgleichungen liefern, dass
  \begin{align*}
    \tilde T'\left(\phi^{-1}(t)\right)
    =&\,\tilde\kappa\left(\phi^{-1}(t)\right)\cdot \tilde
    N\left(\phi^{-1}(t)\right) =\kappa(t)N(t) \intertext{gilt und
      somit erhalten wir aus der L\"ange des Vektors} \kappa(t)
    =&\,\frac{|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
      T(t)|}{|\alpha'(t)|^2}
    =\frac{\sqrt{|\alpha''(t)|^2-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle^2}}
    {|\alpha'(t)|^2} \intertext{und} N(t)
    =&\,\frac{\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle T(t)}
    {|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle T(t)|}.
  \end{align*}
  Wegen $0=\alpha'(t)\times\alpha'(t)$ erhalten wir direkt aus der
  Definition des Binormalenvektors
  \[B(t)=\frac{\alpha'(t)\times\alpha''(t)}
  {|\alpha'(t)|\cdot|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
    T(t)|}.\]
  Nach Definition der Torsion erhalten wir
  \[\tau(t) =\left\langle\tilde N'(\phi^{-1}(t)),\tilde
    B(\phi^{-1}(t))\right\rangle =\left\langle\frac{\left(\tilde
        N\circ\phi^{-1}\right)(t)}{(\phi^{-1})'(t)}, \tilde
    T\left(\phi^{-1}(t)\right) \times\tilde
    N\left(\phi^{-1}(t)\right)\right\rangle.\] Aus $T(t)=\tilde
  T\left(\phi^{-1}(t)\right)$ folgt mit der Kettenregel und den
  Frenetformeln\[T'(t)=\tilde T'\left(\phi^{-1}(t)\right)
  \cdot\left(\phi^{-1}\right)'(t) =\tilde
  T'\left(\phi^{-1}(t)\right)\cdot|\alpha'(t)|
  =|\alpha'(t)|\kappa(t)N(t).\] Damit erhalten wir
  \begin{align*}
    \tau(t) =&\,\frac1{|\alpha'(t)|}\left\langle \frac
      d{dt}\frac{\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
        T(t)}{|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
        T(t)|},T(t)\times N(t)\right\rangle\\
    =&\,\frac{\langle\alpha'''(t),T(t)\times
      N(t)\rangle}{|\alpha'(t)|\cdot|\alpha''(t)
      -\langle\alpha''(t),T(t)\rangle T(t)|}\\
    =&\,\frac{\langle\alpha''',\alpha'\times\alpha''\rangle}
    {|\alpha'(t)|^2\cdot |\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
      T(t)|^2}. 
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt nun direkt aus $\langle a\times b,c\rangle
  =\det(a,b,c)$ f\"ur $a,b,c\in\R^3$ und \[|a\times b|^2 =|a|^2\cdot
  \left|b-\left\langle b,\tfrac{a}{|a|}\right\rangle\tfrac
    a{|a|}\right|^2,\] ebenfalls f\"ur alle $a,b\in\R^3$ (\"Ubung).
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{Frenet eukl bew lem}
  \stern Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ regul\"ar und
  $F(x):=Sx+a$ eine Euklidische Bewegung mit $S\in O(3)$ und
  $a\in\R^3$. Dann ist $\tilde\alpha:=F\circ\alpha$ ebenfalls
  regul\"ar und es gilt
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $\tilde\kappa=\kappa$,
  \item $\tilde T=ST$, $\tilde N=SN$, $\tilde B=\det S\cdot SB$, 
  \item $\tilde\tau=\det S\cdot\tau$,
  \end{enumerate}
  wobei $\alpha$ f\"ur Aussagen \"uber $N$ und $\tau$ sogar eine
  $C^3$-Frenetkurve sei.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt, das Lemma f\"ur nach der Bogenl\"ange parametrisierte
  Kurven zu zeigen. Sei also $\alpha$ ohne Einschr\"ankung nach der
  Bogenl\"ange parametrisiert. Es gilt
  \[(F\circ\alpha)'=S\alpha',\quad\text{und}\quad
  (F\circ\alpha)''=S\alpha''.\] Mit $S\in O(3)$ und
  $\kappa=|\alpha''|$ erhalten wir $\tilde\kappa =\kappa$ und $\tilde
  T=ST$. Somit ist $\tilde\alpha$ eine Frenetkurve, wenn $\alpha$ eine
  solche ist. Wir erhalten $\tilde N=SN$. Somit gilt $\tilde B=\pm SB$
  und wegen $\det(T,N,B)=1\overset!=\det\left(\tilde T,\tilde N,\tilde
    B\right)$ erhalten wir aus mit dem
  Determinantenmultiplikationssatz $\tilde B=\det S\cdot
  SB$. Schlie\ss{}lich folgt nach Definition $\tilde\tau
  =\left\langle\tilde N',\tilde B\right\rangle =\det S\langle
  SN',SB\rangle =\det S\cdot\tau$. 
\end{proof}

\begin{beispiel}[Lokale Graphendarstellung einer Kurve]
  \stern Sei $\beta\in C^3\left(I,\R^3\right)$ eine Frenetkurve, ohne
  Einschr\"ankung $0\in I$. Nach einer orientierungserhaltenden
  Isometrie des $\R^3$ d\"urfen wir $T(0)=e_1$, $N(0)=e_2$ und
  $B(0)=e_3$ sowie $\beta(0)=0$ annehmen.\par Nach dem Satz \"uber
  implizite Funktionen gibt es ein $\delta>0$ und eine Funktion
  $u\colon(-\delta,\delta)\to\R^2$ mit $u(0)=0$, so dass
  $\alpha\colon x\mapsto \begin{pmatrix} x\\ u(x) \end{pmatrix}$ eine
  Umparametrisierung von $\beta$ ist (Details: \"Ubung). Es gilt
  \[\alpha'(x)= \begin{pmatrix} 1\\ u'(x) \end{pmatrix}, \quad
    \alpha''(x)= \begin{pmatrix} 0\\ u''(x) \end{pmatrix},\quad
    \alpha'''(x)= \begin{pmatrix} 0\\ u'''(x) \end{pmatrix}.\] Aus
  $T(x)=\frac{1}{\sqrt{1+|u'(x)|^2}} \begin{pmatrix} 1\\
    u'(x) \end{pmatrix}$ erhalten wir
  $u'(0)=0$. F\"ur die Kr\"ummung erhalten
  wir
  \[\kappa(x)=\frac{\sqrt{|u''|^2-\frac{\langle
          u',u''\rangle^2}{1+|u'|^2}}}{1+|u'|^2}
    =\frac{\sqrt{\left(1+|u'|^2\right)|u''|^2-\langle
        u',u''\rangle^2}}{\left(1+|u'|^2\right)^{3/2}}.\] Im Punkt
  $x=0$ erhalten wir $\kappa(0)=|u''(0)|$ und
  \[e_2=N(0)=\frac{\alpha''(0)}{|\alpha''(0)|}
    =\frac{1}{\kappa(0)} \begin{pmatrix} 0\\ u''(0) \end{pmatrix}.\]
  Wir differenzieren die Formel f\"ur $\kappa(x)$ und erhalten
  \[\kappa'(0)=\frac{\langle u''(0),u'''(0)\rangle_{\R^2}}{\kappa(0)} 
    =\left\langle \begin{pmatrix} 0\\ u'''(0)\end{pmatrix},
      e_2\right\rangle_{\R^3}.\] Als Torsion erhalten wir
  \[\tau(0)=\frac{\det\left(e_1,\kappa(0)e_2,
        \begin{pmatrix} 0\\ u'''(0)\end{pmatrix}\right)}{\kappa(0)^2}
    =\frac{\left\langle u'''(0),\begin{pmatrix} 0\\
          1 \end{pmatrix}\right\rangle}{\kappa(0)} =\frac{\left\langle
        \begin{pmatrix} 0\\
          u'''(0)\end{pmatrix},e_3\right\rangle}{\kappa(0)}.\] Sei nun 
  $\alpha\in C^3$ eine Frenetkurve. Aus der Taylordarstellung erhalten
  wir durch Koeffizientenvergleich
  \[\alpha(x)=\begin{pmatrix} x\\ u(x) \end{pmatrix} =xe_1
    +\frac12x^2\kappa(0)e_2 
    +\frac16x^3\left(\kappa'(0)e_2 +\tau(0)\kappa(0)e_3\right)
    +o\left(|x|^3\right).\]
\end{beispiel}

\subsection{L\"angenvergleich und der Satz von Fenchel}

Die folgenden beiden Theoreme sind f\"ur den Beweis der Fenchelschen
Ungleichung n\"otig. 

\begin{definition}
  Ein Gro\ss{}kreis ist der Schnitt einer Ebene durch den Ursprung mit
  $\S^2\subset\R^3$. Beachte: Durch zwei verschiedene nicht antipodale
  Punkte auf $\S^2$ gibt es genau einen Gro\ss{}kreis.
\end{definition}

\begin{theorem}\label{kuerzeste sphaere thm}
  Sei $\gamma\colon[a,b]\to\S^2\subset\R^3$ st\"uckweise von der
  Klasse $C^1$. Dann gilt
  \[L(\gamma)\ge\sphericalangle(\gamma(a),\gamma(b)).\] Bei Gleichheit
  durchl\"auft $\gamma$ einen Gro\ss{}kreisbogen von $\gamma(a)$ nach
  $\gamma(b)$ ohne Richtungsumkehr.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  In Polarkoordinaten erhalten wir die Sph\"are $\S^2$ als
  \[\left\{
    \begin{pmatrix}
      \sin\theta\cdot\cos\phi\\
      \sin\theta\cdot\sin\phi\\
      \cos\theta
    \end{pmatrix}
    \equiv X(\theta,\phi) \colon \theta\in [0,\pi],
    \phi\in\R\right\}.\] Da
$(r,\theta,\phi)\mapsto r\cdot X(\theta,\phi)$ f\"ur $r>0$,
$0<\theta<\pi$ und $\phi\in\R$ ein lokaler Diffeomorphismus ist, gibt
es zu jeder $C^1$-Kurve $\alpha\colon I\to \S^2\subset\R^3$ eine
$C^1$-Kurve $w:I\to(0,\pi)\times\R$ mit $X\circ w=\alpha$, falls
$(0,0,\pm1)\not\in\im\alpha$ ist: Beachte dazu dass $r$, der Abstand
zum Ursprung, nicht auftaucht, da dieser stets konstant gleich eins
ist. Aufgrund des Satzes \"uber implizite Funktionen existiert solch
eine Abbildung $w$ zun\"achst nur lokal. Da aber $w$ bis auf Addition
von Vielfachen von $2\pi$ in der zweiten Komponente wohldefiniert ist,
k\"onnen wir dies korrigieren und erhalten die gesuchte
Funktion. Schreibe $w(x)\equiv(\theta(x),\phi(x))$. \par
Sei ohne Einschr\"ankung $\gamma(a)=(0,0,-1)$, der S\"udpol. Gelte
$\gamma(b)=X(\theta_b,\phi_b)$ und sei dabei ohne Einschr\"ankung
$\theta_b<\pi$. Sei $\epsilon>0$ mit $3\epsilon<\pi-\theta_b$. Da
$\gamma$ jede horizontale Ebene zwischen $\{x^3=-1\}$ und
$\{x^3=\gamma^3(b)\}$ schneidet, und deren Schnitte mit $\S^2$ zu
konstantem $\theta$ in der Parametrisierung geh\"oren, existieren
\begin{align*}
  a_\epsilon:=
  &\,\sup\{t\in[a,b]\colon \theta(t)\ge\pi-\epsilon\}
    \intertext{sowie} 
    b_\epsilon:=
  &\,\inf\{t\in[a_\epsilon,b]\colon
    \theta(t)\le\theta_b+\epsilon\}. 
\end{align*}
Beachte die Monotonie von $\epsilon\mapsto a_\epsilon, b_\epsilon$.
Anschaulich ist dann
$\gamma_\epsilon :=\gamma|_{[a_\epsilon,b_\epsilon]}$ eine
st\"uckweise $C^1$-Kurve, die eine Ebene etwas oberhalb von
$\gamma(a)$ mit einer Ebene etwas unterhalb von $\gamma(b)$
verbindet. Da $(0,0,\pm1)\not\in\im\gamma_\epsilon$ gilt, gibt es
st\"uckweise $C^1$-Funktionen
$\theta_\epsilon\colon[a_\epsilon,b_\epsilon]\to
[\theta_b+\epsilon,\pi-\epsilon]$ und
$\phi_\epsilon \colon[a_\epsilon,b_\epsilon]\to\R$ mit
$\gamma_\epsilon(t)=X(\theta_\epsilon(t),\phi_\epsilon(t))$ f\"ur alle
$t\in[a_\epsilon,b_\epsilon]$. $\epsilon>0$ ist n\"otig, weil die
Parametrisierung auf der $x^3$-Achse kein Diffeomorphismus ist und
somit die Regularit\"at von $\theta_\epsilon$ und $\phi_\epsilon$
nicht klar w\"are. Setze
  \begin{align*}
    \beta_\epsilon\colon[a_\epsilon,b_\epsilon]\to&\,\S^2,\\
    \beta_\epsilon(t):=&\,X(\theta_\epsilon(t),0).
  \end{align*}
  Dann gilt
  \begin{align*}
    L(\gamma_\epsilon) =&\,\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon}
    \left|\dt X(\theta_\epsilon(t), \phi_\epsilon(t))\right|\,dt
    =\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon}\left|\fracp X\theta\frac
      {d\theta_\epsilon(t)}{dt}+\fracp
      X\phi\frac{d\phi_\epsilon(t)}{dt}\right|\,dt\\
    \ge&\,\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon}\left|\fracp
      X\theta\frac{d\theta_\epsilon(t)}{dt}\right|\,dt
    =\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon} \left|\dt
      X(\theta_\epsilon(t),0)\right|\,dt =L(\beta_\epsilon),
    \intertext{da} \fracp X\theta=&\,
      \begin{pmatrix}
        \cos\theta\cdot\cos\phi\\
        \cos\theta\cdot\sin\phi\\
        -\sin\theta
      \end{pmatrix}
      \perp
      \begin{pmatrix}
        -\sin\theta\cdot\sin\phi\\
        \sin\theta\cdot\cos\phi\\
        0
      \end{pmatrix}
      =\fracp X\phi
  \end{align*}
  f\"ur alle $(\theta,\phi)\in(0,\pi)\times\R$ gilt. Wir haben also
  zwei Kurven, $\gamma_\epsilon$ und $\beta_\epsilon$, die beide die
  Kreise $\im X(\pi-\epsilon,\cdot)$ und $\im
  X(\theta_b+\epsilon,\cdot)$ miteinander verbinden. Die obige
  Absch\"atzung liefert, dass $L(\gamma_\epsilon)\ge
  L(\beta_\epsilon)$ mit Gleichheit genau dann, wenn $\gamma_\epsilon$
  bereits auf einem Gro\ss{}kreis durch den S\"udpol $(0,0,-1)$
  verl\"auft. \par
  Sei $[a,b]\ni t\mapsto\theta(t)\in[0,\pi]$ monoton, ohne
  Einschr\"ankung wachsend. Dann gilt \[L(X\circ\theta)
  =\int_a^b\left|\fracp X\theta \frac{d\theta}{dt}\right|\,dt
  =\int_a^b\frac{d\theta}{dt}\,dt =\theta(b)-\theta(a).\] Andererseits
  ist f\"ur beliebiges $\phi_0\in\R$
  \begin{align*}
    \sphericalangle(X(\theta(b),\phi_0),X(\theta(a),\phi_0))
    =&\,\arccos\langle X(\theta(b),\phi_0),X(\theta(a),\phi_0)\rangle\\
    =&\,\arccos(\sin\theta(a)\cdot\sin\theta(b)
    +\cos\theta(a)\cdot\cos\theta(b))\\
    =&\,\arccos(\cos(\theta(b)-\theta(a)))\\
    =&\,|\theta(b)-\theta(a)|=\theta(b)-\theta(a).
  \end{align*}
  Auf $\beta_\epsilon$ angewandt erhalten wir \[L(\gamma_\epsilon)\ge
  L(\beta_\epsilon) \ge(\pi-\epsilon)-(\theta_b+\epsilon)
  =\sphericalangle(\beta_\epsilon(a_\epsilon),
  \beta_\epsilon(b_\epsilon))\] mit Gleichheit genau dann, wenn
  $\gamma_\epsilon$ mit monotonem $\theta_\epsilon$ auf einem
  Gro\ss{}kreis durch den S\"udpol verl\"auft. Mit $\epsilon\searrow0$
  folgt die Behauptung. Beachte dabei, dass Gleichheit nur f\"ur
  $a_\epsilon\to a$ und $b_\epsilon\to b$ f\"ur $\epsilon\searrow0$
  gelten kann oder falls $\gamma$ auf $[a,a+\zeta]$ oder $[b-\zeta,b]$
  f\"ur ein $\zeta>0$ konstant ist. 
\end{proof}

\begin{lemma}\label{kurve in hemisph lem}
  Sei $\gamma\colon [a,b]\to\S^2\subset\R^3$ eine geschlossene
  st\"uckweise $C^1$-Kurve mit $L(\gamma)\le 2\pi$. Dann liegt
  $\gamma$ komplett in einer Halbsp\"are, \dh in einer Menge der Form
  $\{x\in\S^2\colon \langle x,e\rangle\ge0\}$ f\"ur ein
  $e\in\S^2$. Ist $L(\gamma)<2\pi$, so gibt es ein $e\in\S^2$ mit
  $\langle\gamma(t),e\rangle>0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$, $\gamma$ liegt
  also sogar im Inneren der Halbsph\"are. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  W\"ahle $\tau\in[a,b]$ mit
  $L(\gamma|_{[a,\tau]}) =L(\gamma|_{[\tau,b]}) =L(\gamma)/2$. Setze
  $p:=\gamma(a)$ und $q:=\gamma(\tau)$. Ist
  $\sphericalangle(p,q)=\pi$, so gilt $L(\gamma)\ge2\pi$, also nach
  Voraussetzung $L(\gamma)=2\pi$. Nach Theorem \ref{kuerzeste sphaere
    thm} liegen daher die Bilder von $\gamma|_{[a,\tau]}$ und
  $\gamma|_{[\tau,b]}$ auf Gro\ss{}kreisen. Als $e$ kann man eine der
  Normalen w\"ahlen, die zu den Ebenen geh\"oren, auf denen die
  Gro\ss{}kreise liegen. \par Sei daher ab jetzt
  $\sphericalangle(p,q)<\pi$. Sei ohne Einschr\"ankung $p\neq q$. Sei
  $e$ der Mittelpunkt des k\"urzeren Gro\ss{}kreisbogens von $p$ nach
  $q$, $e=\frac{p+q}{|p+q|}$. Nach einer Drehung d\"urfen wir ohne
  Einschr\"ankung annehmen, dass $e=e_3$ gilt. Dann ist
  $p=\left(p^1,p^2,p^3\right)$ mit $p^3>0$ und
  $q=\left(q^1,q^2,q^3\right) =\left(-p^1,-p^2,p^3\right)$. \par Nun
  gilt entweder $\langle\gamma(t),e_3\rangle>0$ f\"ur alle
  $t\in[a,\tau]$ oder es gibt ein $t_0\in(a,\tau)$ mit
  $\langle\gamma(t_0),e_3\rangle =0$. Im zweiten Fall definieren wir
  $S\colon\R^3\to\R^3$ durch $S(x^1,x^2,x^3):=(x^1,x^2,-x^3)$
  und \[\tilde\gamma(t):=
    \begin{cases}
      \gamma(t)&\text{f\"ur }t\in[a,t_0],\\
      S\gamma(t)&\text{f\"ur }t\in[t_0,\tau].
    \end{cases}
  \] Dann ist $\tilde\gamma$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve mit
  $\tilde\gamma(a)=p$ und $\tilde\gamma(\tau)=S(q)=-p$. Nach Theorem
  \ref{kuerzeste sphaere thm} erhalten wir
  \[L(\gamma) =2L(\gamma|_{[a,\tau]}) =2L(\tilde\gamma) \ge2\pi.\] Wir
  erhalten $L(\gamma)=2\pi$ sowie $L(\tilde\gamma)=\pi$ und nochmals
  nach Theorem \ref{kuerzeste sphaere thm} durchl\"auft $\tilde\gamma$
  einen halben Gro\ss{}kreis von $p$ nach $S(q)=-p$. Also ist
  $\langle\tilde\gamma(t),e_3\rangle\ge0$ f\"ur $t\in[a,t_0]$ und
  $\langle\tilde\gamma(t),e_3\rangle\le0$ f\"ur $t\in[t_0,\tau]$. Also
  gilt $\langle\gamma(t),e_3\rangle\ge0$ f\"ur alle
  $t\in[a,\tau]$. Eine analoge Aussage erhalten wir f\"ur
  $t\in[\tau,b]$. Insgesamt folgt also
  $\langle\gamma(t),e_3\rangle\ge0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$. Falls
  nicht $\langle\gamma(t),e_3\rangle>0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$ gilt,
  so folgt aus den obigen \"Uberlegungen, dass Gleichheit maximal in
  zwei Punkten gilt und dass in diesem Fall $\im\gamma$ in der N\"ahe
  dieser Punkte aus jeweils zwei B\"ogen auf m\"oglicherweise
  unterschiedlichen Gro\ss{}kreisen besteht. Sind diese beiden Punkte
  antipodal, so k\"onnen wir nach Umparametrisierung (\"uber $[a,b]$
  hinaus) wie im Fall $\sphericalangle(p,q)=\pi$ argumentieren. Sonst
  ersetzen wir $e$ durch einen geeigneten Vektor in der N\"ahe.
\end{proof}

\begin{theorem}[Fenchel]
  Sei $\alpha\colon[0,L]\to\R^3$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  und $C^2$-geschlossen. Dann gilt
  \[\int\limits_0^L\kappa(s)\,ds\ge2\pi\] mit Gleichheit genau dann
  wenn $\alpha$ eine ebene einfach geschlossene Kurve ist, die ein
  konvexes Gebiet berandet. (Die Aussage, dass $\alpha$ ein konvexes
  Gebiet berandet, werden wir hier nicht beweisen.)\par Der
  Integralausdruck hei\ss{}t Totalkr\"ummung der Kurve $\alpha$.
\end{theorem}
Eine Kurve hei\ss{}t einfach geschlossen, wenn $\alpha$ geschlossen
ist und $\alpha|_{[0,L)}$ eine injektive Abbildung ist. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha\colon[0,L]\to\R^3$ eine $C^2$-geschlossene Kurve mit
  $|\alpha'|\equiv1$. Dann ist
  \begin{align*}
    \gamma\colon[0,L]\to&\,\S^2\subset\R^3,\\
    s\mapsto&\,\alpha'(s)
  \end{align*}
  eine $C^1$-geschlossene Kurve. Sei $e\in\S^2$. Es gilt
  \[\int\limits_0^L\langle\gamma(s),e\rangle\,ds =\int\limits_0^L
  \frac d{ds}\langle\alpha(s),e\rangle\, ds =\langle\alpha(L),e\rangle
  -\langle\alpha(0),e\rangle =0.\] Somit gibt es keinen Vektor
  $e\in\S^2$ mit $\langle\gamma(s),e\rangle>0$ f\"ur alle
  $s\in[0,L]$. Nach Lemma \ref{kurve in hemisph lem} gilt daher
  $L(\gamma)\ge2\pi$. Wir erhalten also f\"ur die Kr\"ummung $\kappa$
  der Kurve $\alpha$ \[\int\limits_0^L\kappa(s)\,ds
  =\int\limits_0^L|\alpha''(s)|\,ds =\int\limits_0^L|\gamma'(s)|\,ds
  =L(\gamma) \ge2\pi.\] Dies zeigt die Behauptung. \par Lediglich die
  Aussagen f\"ur den Fall, dass die Totalkr\"ummung gleich $2\pi$ ist,
  sind noch zu zeigen. Nach Lemma \ref{kurve in hemisph lem} gibt es
  dann ein $e\in\S^2$ mit $\langle\gamma(s),e\rangle\ge0$ f\"ur alle
  $s\in[0,L]$. Aus $\int\limits_0^L\langle\gamma(s),e\rangle\,ds=0$
  folgt daher $\langle\gamma(s),e\rangle\equiv0$ f\"ur alle
  $s\in[0,L]$. Also ist $\frac d{ds}\langle\alpha(s),e\rangle
  =\langle\gamma(s),e\rangle =0$ und $\im\alpha$ liegt in einer Ebene
  $\{x\colon\langle x,e\rangle=c\}$ f\"ur ein $c\in\R$. \par Wir
  zeigen nun noch, dass $\alpha|_{[0,L)}$ injektiv ist. Falls nicht,
  so gibt es ohne Einschr\"ankung ein $\tau\in(0,L)$ mit
  $\alpha(0)=\alpha(\tau)$. Wir behaupten, dass
  $L(\gamma|_{[0,\tau]})>\pi$ gilt. W\"are dem nicht so, so k\"onnten
  wir ein $\sigma\in(0,\tau)$ mit
  $L(\gamma|_{[0,\sigma]})=L(\gamma|_{[\sigma,\tau]})\le\pi/2$
  w\"ahlen. Wir setzen $e:=\gamma(\sigma)$ und erhalten nach Theorem
  \ref{kuerzeste sphaere thm} $\langle\gamma(s),e\rangle\ge0$ f\"ur
  alle $s\in[0,\tau]$. Andererseits ist \[\int\limits_0^\tau
  \langle\gamma(s), e\rangle\,ds
  =\langle\alpha(\tau),e\rangle-\langle\alpha(0),e\rangle =0.\] Somit
  ist $\langle\gamma(s),e\rangle\equiv0$. Dies liefert f\"ur
  $s=\sigma$ einen Widerspruch. Wir schlie\ss{}en, dass \[L(\gamma)
  =L(\gamma|_{[0,\tau]}) +L(\gamma|_{[\tau,L]})>\pi+\pi=2\pi\]
  ist. Dies widerspricht der Annahme $L(\gamma)=2\pi$. Daher ist
  $\alpha|_{[0,L)}$ wie behauptet injektiv. 
\end{proof}

Der Satz von Fenchel besagt, dass eine $C^2$-geschlossene Kurve
mindestens die Totalkr\"ummung $2\pi$ besitzt.  In
\cite{MilnorTotalCurvatureKnots} verallgemeinert J. Milnor diesen Satz
und zeigt, dass eine $C^2$-geschlossene nach der Bogenl\"ange
parametrisierte Kurve $\alpha\colon[a,b]\to\R^3$ mit
$\int\limits_a^b\kappa(s)\,ds\le4\pi$ \glqq unverknotet\grqq{} ist.

% Weitere interessante Themen:
% Liftung, Umlaufzahl (Kuwert, Tomi)
% Satz von Hopf, Jordanscher Kurvensatz f\"ur C^1

\section{Die Distanzfunktion}
\subsection{Tubenumgebungen}

H\"aufig ist es n\"utzlich, eine Menge als Niveaufl\"ache einer
speziellen Funktion darzustellen, der signierten
Distanzfunktion. Beispielsweise impliziert nichtnegative mittlere
Kr\"ummung bei geeigneter Vorzeichenwahl $-\Delta d\ge0$. Dies kann
man beispielsweise bei der Konstruktion von Barrieren nutzen. 

\begin{remark}[Generalvoraussetzung]
  \label{rand glatt vor}
  In diesem Kapitel wollen wir stets annehmen, dass
  $\Omega\subset\R^n$ nichtleer, offen, beschr\"ankt und
  $\partial\Omega$ von der Klasse $C^k$ mit $k\ge2$ ist. \par
  Definiere die (signierte) Distanzfunktion $d\colon\R^n\to\R$
  durch \[d(y):=\dist(y,\R^n\setminus\Omega) -\dist(y,\Omega),\] so
  dass $d$ in $\Omega$ positiv ist. In $\Omega$ gilt dann
  $d(y)=\dist(y,\partial\Omega)$ sowie \"uberall
  $|d(y)|=\dist(y,\partial\Omega)$. \par
  Sei $\epsilon>0$. Definiere eine $\epsilon$-Umgebung des Randes
  durch
  \[(\partial\Omega)_\epsilon:=\{y\in\R^n\colon |d(y)|<\epsilon\}.\]
\end{remark}

\begin{lemma}
  \label{tubenumg d lem}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}. Dann gibt es $\epsilon>0$, so
  dass $d$ in $(\partial\Omega)_\epsilon$ von der Klasse $C^k$
  ist. \par Solch eine Umgebung $(\partial\Omega)_\epsilon$ hei\ss{}t
  Tubenumgebung von $\partial\Omega$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\partial\Omega$. Dann d\"urfen wir nach einer Rotation
  und Verschiebung des Koordinatensystems ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $x_0=0$ gilt und dass es $\omega\colon\R^{n-1}\to\R$
  in $C^k$ mit $D\omega(0)=0$ und \[\Omega\cap B_r(0)
  =\left\{\left(\hat x,x^n\right)\colon x^n>\omega\left(\hat
      x\right)\right\}\cap B_r(0)\] f\"ur ein $r>0$ gibt. Sei
  $\rho>0$, so dass f\"ur alle $\hat x\in B^{n-1}_\rho(0)$ auch
  $\left(\hat x,\omega\left(\hat x\right)\right)\in B_r(0)$ gilt.
  Dann ist die \"au\ss{}ere Normale an $\Omega$ f\"ur $\hat x\in
  B_\rho(0)$ durch \[\nu(\hat x,\omega(\hat x))=\frac{(D\omega(\hat
    x),-1)}{\sqrt{1+|D\omega(\hat x)|^2}}\] gegeben. Setze $\nu$ durch
  $\nu\left(\hat x,x^n\right):=\nu(\hat x,\omega(\hat x))$ nach $\R^n$
  fort.\par Definiere die Abbildung
  \begin{align*}
    \Phi\colon&\,\R^{n-1}\times\R\to\R^n \intertext{durch}
    \Phi(\hat x,t)=&\,(\hat x,\omega(\hat x)) -t\nu(\hat x,\omega(\hat
    x)), 
  \end{align*}
  wobei wir die Formel f\"ur $\nu$ auch f\"ur $x\not\in B_\rho(0)$
  verwenden.  Nat\"urlich interessieren wir uns nur dort f\"ur die
  Abbildung $\Phi$, wo $\graph\omega$ mit $\partial\Omega$
  \"ubereinstimmt.  Wir k\"onnen diese Abbildung auch auf ganz
  $\partial\Omega\times\R$ durch $\Psi(x,t):=x-t\nu(x)$
  definieren. Wir haben sie oben lediglich mit Hilfe von $\omega$
  lokal in einer Karte dargestellt. \par Wir behaupten, dass $\Phi$
  nahe $(0,0)$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. Es gilt n\"amlich
  \begin{align*}
    \fracp{}{x^i}\Phi(\hat x,t) =&\,(e_i,\omega_i) -t\nu_i
    -t\nu_n\omega_i,\umbruch\\
    \left.\fracp{}{x^i}\Phi(\hat x,t)\right|_{(\hat x,t)=0}
    =&\,(e_i,0),\umbruch\\
    \left.\fracp{}t\Phi(\hat x,t)\right|_{(\hat x,t)=0}
    =&\,-\nu(0,0)=e_n, \intertext{also} D\Phi(0) =&\,
    \begin{pmatrix}
      \eins& 0\\ 
      0& 1
    \end{pmatrix}. 
  \end{align*}
  Somit ist $\Phi$ und daher auch $\Psi$ nach dem Satz von der
  inversen Funktion ein lokaler Diffeomorphismus, vergleiche dazu
  Kapitel \ref{diffbarkeit tang sec}. Da $\partial\Omega$ kompakt ist,
  gibt es endlich viele Punkte mit Umgebungen, ohne Einschr\"ankung in
  Produktform, in denen $\Psi$ (bzw.{} $\Phi$) ein Diffeomorphismus
  ist, deren Projektionen auf die nicht-$t$-Komponenten bereits
  $\partial\Omega$ \"uberdecken. Somit ist $\Psi$ auf
  $\partial\Omega\times(-\delta,\delta)$ f\"ur ein $\delta>0$ ein
  lokaler Diffeomorphismus. Wir behaupten, dass (ggf.{} nach
  Verkleinerung von $\delta>0$) $\Psi$ sogar ein Diffeomorphismus auf
  sein Bild ist. W\"are dem nicht so, so w\"are die Injektivit\"at
  verletzt, es g\"abe also zu jedem $k\in\N$ auch
  $(x_k,t_k)\neq(y_k,\tau_k)\in\partial\Omega
  \times\left(-\frac1k,\frac1k\right)$ mit
  $\Psi(x_k,t_k)=\Psi(y_k,\tau_k)$. Nach \"Ubergang zu einer nicht
  umbenannten Teilfolge d\"urfen wir $x_k\to x\in\partial\Omega$
  annehmen. Wegen $|x_k-\Psi(x_k,t_k)|<\frac1k$ und
  $|y_k-\Psi(y_k,\tau_k)|<\frac1k$ folgt auch $y_k\to x$. Dies
  widerspricht aber der Tatsache, dass $\Psi$ (bzw.{} $\Phi$) in einer
  geeigneten Umgebung von $(x,0)$ f\"ur einen beliebigen Punkte
  $x\in\partial\Omega$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. Nehme also ab
  jetzt an, dass
  $\Psi\colon\partial\Omega\times (-\epsilon,\epsilon) \to\R^n$ ein
  Diffeomorphismus auf sein Bild ist. \par
  Nachfolgend wollen wir $x\in\partial\Omega$ und $y\in\R^n$ nutzen.
  Wir behaupten, dass f\"ur $t\in(-\epsilon,\epsilon)$
  \begin{equation}
    \label{exp abb d rel}
    \{y\in\R^n\colon d(y)=t\}
    =\Psi(\partial\Omega,t)
  \end{equation} gilt. F\"ur $t=0$ ist dies
  offensichtlich. Sei also $y\in\Psi(\partial\Omega,t)$ f\"ur ein $t$
  mit $0<|t|<\epsilon$. Da $|\nu|=1$ ist, folgt $|d(y)|\le |t|$. W\"are
  $|d(y)|<|t|$, so g\"abe es aufgrund der Kompaktheit ein
  $x\in\partial\Omega$ mit $|x-y|=|d(y)|<|t|$. Wir behaupten, dass
  $\frac{x-y}{|x-y|}=\pm\nu(x)$ gilt. Sei
  $\alpha\colon(-\delta,\delta)\to\partial\Omega$ eine $C^1$-Kurve mit
  $\alpha(0)=x$. Dann ist $|y-\alpha(\tau)|^2$ nach Definition von
  $d$, $x$ und $\alpha$ f\"ur $\tau=0$ minimal. Es gilt
  also \[0=2\langle y-\alpha(0),-\alpha'(0)\rangle =-2\langle
    y-x,\alpha'(0)\rangle.\] Da 
  also $y-x$ zu einem beliebigen Tangentialvektor $\alpha'$ in $x$
  senkrecht steht, folgt die Behauptung. Somit ist aber f\"ur ein
  geeignetes
  Vorzeichen \[\Psi(x,\pm|x-y|)=y \in\Psi(\partial\Omega,t).\] Dies
  ist jedoch nicht m\"oglich, da $|x-y|<|t|$ gilt und da $\Psi$ auf
  $\partial\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)$ ein Diffeomorphismus
  ist. Somit folgt \glqq$\supset$\grqq{} in \eqref{exp abb d
    rel}.\par Die umgekehrte Inklusion funktioniert analog. F\"ur
  $y\in\R^n$ mit $|d(y)|<\epsilon$ und $d(y)\ne0$ finden 
  wir wie oben einen n\"achsten Punkt $x\in\partial\Omega$ mit
  Normalenvektor $\pm\frac{x-y}{|x-y|}$. Dann gilt $\Psi(x,d(y))=y$,
  da das Vorzeichen vor $t$ in der Definition von $\Psi$ geeignet
  gew\"ahlt ist bzw.{} da nach Definition der \"au\ss{}eren Normalen
  $x+t\nu(x)\not\in\Omega$ f\"ur $x\in\partial\Omega$ und kleine $t>0$
  gilt. Es folgt \eqref{exp abb d rel}. \par 
  Damit ist $d(y)=\pi_n\Psi^{-1}(y)$, wobei $\pi_n$ die Projektion auf
  die $n$-te bzw.{} $t$-Komponente bezeichnet.\par Ist
  $\partial\Omega\in C^k$, so ist $\nu\in C^{k-1}$, $\Psi\in C^{k-1}$
  und daher auch $d\in C^{k-1}$. \par 
  Da $d$ bis auf das Vorzeichen die Abstandsfunktion zu einer Menge
  ist, folgt $|\nabla d|\le 1$.  Sei $x\in\partial\Omega$ und
  $\nu=\nu(x)$.  Nun gilt 
  $d(x-t\nu) =\pi_n\Psi^{-1}(x-t\nu) =\pi_n(x,t)=t$. Da also bereits
  $\dt d(x-t\nu)=1=\langle\nabla d(x-t\nu),-\nu\rangle$ gilt, 
  verschwindet die zu $\nu$ orthogonale Komponente von $\nabla d$ und
  es gilt $\nabla d(x-t\nu)=-\nu(x)$. Wegen $\nu\in C^{k-1}$ folgt also
  auch $d\in C^k$ und es gilt $\nabla d(y)
  =-\nu\left(\pi_1\left(\Psi^{-1}(y)\right)\right)$, wobei
  $\pi_1\colon\partial\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\to\partial\Omega$
  die Projektion auf die erste Komponente ist.  
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{tuben bew bem}
  Im Beweis des Lemmas haben wir noch folgendes gezeigt:
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $\Psi\colon\partial\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\to\R^n$
    mit $(x,t)\mapsto x-t\nu(x)$ ist ein $C^{k-1}$ Diffeomorphismus auf
    sein Bild, falls $\epsilon>0$ klein genug ist.
  \item In $(\partial\Omega)_\epsilon$ gilt $|\nabla d|=1$. 
  \item $\nabla d(\Psi(x,t))=-\nu(x)$, $x\in\partial\Omega$. 
  \item Zu $y\in(\partial\Omega)_\epsilon$ gibt es stets einen
    eindeutig bestimmten Punkt $x=\pi(y)\in\partial\Omega$, der
    $|\pi(y)-y|$ minimiert. Es gilt also $d(y)=|\pi(y)-y|$ f\"ur
    $y\in\Omega\cap(\partial\Omega)_\epsilon$.
  \item Daraus folgt auch $\ol{B_{d(y)}(y)}\cap\partial\Omega
    =\{\pi(y)\}$ f\"ur $y\in\Omega\cap(\partial\Omega)_\epsilon$.    
  \item Es gilt $\pi(\Psi(x,t))=x$ f\"ur $x\in\partial\Omega$ und
    $|t|<\epsilon$. 
  \item Es gilt $d(\Psi(x,t))=t$ f\"ur
    $x\in\partial\Omega\subset\R^n$ und $|t|<\epsilon$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Um die zweiten Ableitungen der Distanzfunktion mit der Geometrie des
Randes in Verbindung zu bringen, ben\"otigen wir ein paar
Vorbereitungen.
\begin{lemma}
  \label{gleicher tang grad lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ von der Klasse $C^1$. Seien
  $f,g\colon\R^n\to\R$ zwei $C^1$-Funktionen mit $f=g$ auf
  $\partial\Omega$. Sei $x_0\in\partial\Omega$ und
  $\xi\in T_{x_0}\partial\Omega$, \dh sei $\xi$ im Punkte $x_0$ ein
  Tangentialvektor an $\partial\Omega$. Dann gilt
  \[\langle \nabla(f-g)(x_0),\xi\rangle\equiv
    D(f-g)(x_0)\langle\xi\rangle=0.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach einer Rotation und Translation des Koordinatensystems d\"urfen
  wir annehmen, dass $x_0=0$ gilt und dass lokal in der N\"ahe des
  Ursprungs \[\Omega=\{(\hat x,x^n)\colon x^n>\omega(\hat x)\}\] f\"ur
  eine $C^1$-Funktion $\omega\colon\R^n\to\R$ mit $\omega(0)=0$ und
  $D\omega(0)=0$ gilt. Weiterhin d\"urfen wir annehmen, dass $\xi=e_1$
  gilt. Gelte zus\"atzlich ohne Einschr\"ankung $g\equiv0$, denn sonst
  k\"onnen wir das Lemma f\"ur $f-g$ und $0$ statt $f$ und $g$
  zeigen.\par
  Definiere $\alpha\colon(-\epsilon,\epsilon)\to\R^n$ durch
  $\alpha(t)=(te_1,\omega(te_1))$. Dann ist $\alpha'(0)=e_1=\xi$ und
  es gilt $f\circ\alpha\equiv0$, falls $\epsilon>0$ so klein ist, dass
  $\alpha$ in einer Umgebung des Ursprungs bleibt, in der
  $\partial\Omega$ als $\graph\omega$ dargestellt ist. Nach
  Kettenregel erhalten wir daraus
  \[Df(\alpha(t)) \langle\alpha'(t)\rangle=0\] f\"ur alle
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$. F\"ur $t=0$ erhalten wir die Behauptung.
\end{proof}

\subsection{Hauptkr\"ummungen und die Distanzfunktion}
Wir erinnern an die Definition der Hauptkr\"ummungen in einer
speziellen Situation. 
\begin{remark}
  \stern
  \label{rem hauptkr}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ von der Klasse $C^2$.  Sei
  $0\in\partial\Omega$ und gelte in der N\"ahe des
  Ursprungs \[\Omega=\{(\hat x,x^n)\colon x^n>\omega(\hat x)\}\] f\"ur
  eine $C^2$-Funktion $\omega$ mit $D\omega(0)=0$. Dann stimmen die
  $n-1$ Hauptkr\"ummungen $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}$ von
  $\partial\Omega$ in $0$ mit den Eigenwerten von $D^2\omega(0)$
  \"uberein. Ist die obige geometrische Situation nicht gegeben, so
  stellt man sie zun\"achst durch eine Rotation und eine Translation
  her. 
\end{remark}

Aus dem folgenden Lemma ergibt sich nochmals, dass die
Hauptkr\"ummungen des Randes nicht von der n\"otigen Translation und
Rotation abh\"angen, da die Eigenwerte von $D^2d$ unter diesen
Operationen invariant sind.
\begin{lemma}
  \label{d hauptkr lem}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}.  Sei $d\colon\R^n\to\R$ die
  signierte Distanzfunktion zu $\partial\Omega$. Dann sind die
  Eigenwerte von $-D^2d$ in einem Randpunkt durch die
  Hauptkr\"ummungen von $\partial\Omega$ und $0$ gegeben.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $|Dd|\le 1$. Im Beweis von Lemma \ref{tubenumg d lem} haben
  wir bereits gesehen, dass in $(\partial\Omega)_\epsilon$ sogar
  $|Dd|=1$ gilt.  Wir differenzieren das Quadrat dieser Gleichung und
  erhalten
  $0=D^2d\langle Dd,\cdot\rangle\equiv \sum\limits_{j=1}^n
  d_{ij}d_j$. Damit ist der Normalenvektor $\nu=-\nabla d$ ein
  Eigenvektor von $D^2d$ zum Eigenwert $0$. \par
  F\"ur den Vergleich der Eigenwerte mit den anderen Hauptkr\"ummungen
  w\"ahlen wir ein Koordinatensystem wie in Bemerkung \ref{rem
    hauptkr}. Zus\"atzlich d\"urfen wir nach einer weiteren Rotation
  annehmen, dass $D^2\omega(0)$ diagonal ist. (Eigentlich ben\"otigen
  wir dies erst im nachfolgenden Lemma \ref{D2d lem}.) Um die zweiten
  Ableitungen von $d$ zu bestimmen, benutzen wir, dass $\nabla d=-\nu$
  auf $\partial\Omega$ gilt. Es ist
  $-\nu=\frac{(-D\omega,1)^T} {\sqrt{1+|D\omega|^2}}$ auf
  $\partial\Omega$. Wenden wir Lemma \ref{gleicher tang grad lem}
  komponentenweise an, so sehen wir, dass
  $D^2d\langle\xi,\cdot\rangle =-D\tilde\nu\langle\xi\rangle$ f\"ur
  beliebige Tangentialvektoren $\xi\in T_0\partial\Omega$ gilt, wobei
  wir f\"ur $\tilde\nu$ eine beliebige $C^1$-Fortsetzung von $\nu$
  w\"ahlen d\"urfen. Setze
  \[-\tilde\nu(\hat x,x^n):=\frac{(-D\omega(\hat x),1)^T}
    {\sqrt{1+|D\omega|^2(\hat x)}}.\] Wir erhalten
  \[D(-\tilde\nu)(0) =
  \begin{pmatrix}
    (-\omega_{ij})(0)&(0)\\
    (0)&0
  \end{pmatrix}.
  \]
  Die Behauptung folgt. \par Wir bemerken, dass sich die
  $0$-Eintr\"age von $D(-\tilde\nu)$ bei einer anderen
  Fortsetzung von $\nu$ \"andern k\"onnen. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{D2d lem}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}.  Sei
  $0\in\partial\Omega$.  Sei $D^2d(0)$ in einem Koordinatensystem wie
  im Beweis von Lemma \ref{d hauptkr lem} diagonal,
  \[-D^2d(0)=\diag\{\lambda_1(0),\ldots, \lambda_{n-1}(0),0\}.\] Sei
  $(\partial\Omega)_\epsilon$ eine Tubenumgebung des Randes. Dann gilt
  f\"ur $t\in(-\epsilon,\epsilon)$
  \[D^2d(te_n)
    =\diag\left\{\frac{-\lambda_1(0)}{1-t\lambda_1(0)},\ldots,
      \frac{-\lambda_{n-1}(0)}{1-t\lambda_{n-1}(0)},0\right\}.\]
  Allgemein gilt somit f\"ur $y\in(\partial\Omega)_\epsilon$, dass
  $D^2d(y)$ die
  Eigenwerte
  \[\frac{-\lambda_1(\pi(y))}{1-d(y)\lambda_1(\pi(y))},\ldots,
    \frac{-\lambda_{n-1}(\pi(y))}{1-d(y)\lambda_{n-1}(\pi(y))},0\]
  besitzt, wobei $\pi(y)$ die Projektion auf den n\"achsten Punkt in
  $\partial\Omega$ ist und $\lambda_i(\pi(y))$, $1\le i\le n-1$, die
  Hauptkr\"ummungen von $\partial\Omega$ in $\pi(y)$ sind.
\end{lemma}
Das folgende Argument haben wir von G. Bellettini gelernt. 
\begin{proof}[Beweis]
  Aus dem Beweis von Lemma \ref{tubenumg d lem}, siehe Bemerkung
  \ref{tuben bew bem}, folgt, dass $\pi$ in
  $(\partial\Omega)_\epsilon$ wohldefiniert ist. \par Sei zun\"achst
  $k\ge3$.  Aus $|\nabla d|^2=1$ erhalten wir
  \[0=\sum\limits_{l=1}^n d_{il}d_l\quad\text{und}\quad
  0=\sum\limits_{l=1}^n d_{ilj}d_l+\sum\limits_{l=1}^nd_{il}d_{lj}.\]
  Setze $D(t):=\left(d_{ij}(x-t\nu(x))\right)_{1\le i,j\le n}$ f\"ur
  $x\in\partial\Omega$. Dann folgt
  \begin{align*}
    \dot D(t) =&\,\left(\sum\limits_{l=1}^n -\underbrace{d_{ijl}(x-
        t\nu(x))}_{=d_{ilj}(x-t\nu(x))}
      \underbrace{\nu^l(x)}_{\genfrac
        {}{}{0pt}{}{=-d_l(x)} {=-d_l(x-t\nu(x))}}\right)_{i,j}\umbruch\\
    =&\,-\left(\sum\limits_{l=1}^n
      d_{il}d_{lj}(x-t\nu(x))\right)_{i,j} =-D^2(t).
  \end{align*}
  Die gew\"ohnliche Differentialgleichung $\dot f(t)=-f^2(t)$ mit
  $f(0)=a$ wird durch $f(t)=\frac a{1+ta}$ gel\"ost. Somit erf\"ullen
  die Eintr\"age der Diagonalmatrix die Differentialgleichung mit dem
  gew\"unschten Anfangswert f\"ur $t=0$. Aufgrund des
  Eindeutigkeitssatzes f\"ur L\"osungen gew\"ohnlicher
  Differentialgleichungen mit Lipschitz stetiger rechter Seite folgt
  die erste Behauptung f\"ur $k\ge3$. \par Durch Approximation
  erh\"alt man die Behauptung auch f\"ur $k\ge2$. Einige Details dazu
  sind nachfolgend aufgef\"uhrt. \par
  Da die Eigenwerte von $D^2d$ sich unter einer Rotation oder
  Translation des Koordinatensystems nicht \"andern, folgt die
  allgemeine Behauptung aus der Behauptung im diagonalen
  Fall. Beachte, dass $d(x-t\nu(x))=t$ gilt. Setze $y=x-t\nu(x)$ und
  spezialisiere auf den Fall $x=0$.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Mit den obigen Bezeichnungen
  gilt \[\epsilon<\min\frac1{|\lambda_i|}.\]
\end{corollary}

Das folgende Lemma zeigt, dass die Menge, in der eine approximierende
Funktion $\Psi_\epsilon$ von $\Psi$ ein Diffeomorphismus ist, sich im
Grenzwert nicht verkleinert. 
\begin{lemma} 
  \stern Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $\phi\colon\Omega\to\R^n$
  ein Diffeomorphismus auf $\im\phi$. Sei $K\Subset\Omega$. Dann gibt
  es ein $\epsilon>0$, so dass jede $C^1$-Abbildung
  $\psi\colon\Omega\to\R^n$ mit $\Vert \phi-\psi
  \Vert_{C^1(\Omega)}<\epsilon$ einen Diffeomorphismus $\psi\colon
  K\to\psi(K)$ liefert.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $K$ ohne Einschr\"ankung kompakt. F\"ur $\epsilon>0$ klein genug
  folgt $\det d\psi\neq0$ in $K$. Somit ist $\psi$ ein lokaler
  Diffeomorphismus. Wir m\"ussen also noch nachweisen, dass $\psi$
  auch injektiv ist. Aufgrund der Kompaktheit von $K$ gibt es ein
  $\delta>0$ (Le\-bes\-gue\-zahl), so dass f\"ur jedes $x\in K$ die
  Abbildung $\psi|_{B_\delta(x)}$ ein Diffeomorphismus auf ihr Bild
  ist. Seien also $x_0\ne y_0\in K$ mit $\psi(x_0)=\psi(x_0)$. Dann
  gilt $|x_0-y_0|\ge\delta$. Die Menge \[(\phi\times\phi)\{(x,y)\in
  K\times K\colon |x-y|\ge\delta\}\] ist als stetiges Bild einer
  kompakten Menge selbst wieder kompakt. Dabei haben wir
  $(\phi\times\phi)(x,y) =(\phi(x),\phi(y))$ verwendet. Da $\phi$
  injektiv ist, hat diese Menge einen positiven Abstand $\zeta>0$ zur
  Diagonalen $\{(x,x)\colon x\in\R^n\}$. Somit folgt
  $|\phi(x_0)-\phi(y_0)|\ge\zeta>0$. Wir erhalten
  \begin{align*}
    0=&\,|\psi(x_0)-\psi(y_0)|\umbruch\\
    =&\,|(\psi(x_0)-\phi(x_0)) +(\phi(x_0)-\phi(y_0))
    +(\phi(y_0)-\psi(y_0))|\umbruch\\  
    \ge&\,|\phi(x_0)-\phi(y_0)| -|\psi(x_0)-\phi(x_0)|
    -|\phi(y_0)-\psi(y_0)|\umbruch\\
    \ge&\,\zeta-2\epsilon. 
  \end{align*}
  Ist $\epsilon>0$ klein genug gew\"ahlt, so erhalten wir einen
  Widerspruch. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \stern Approximieren wir den Rand in $C^2$, so erhalten wir f\"ur
  die zugeh\"origen Diffeomorphismen $\Psi_\epsilon\to\Psi$ in
  $C^1$. Sei $x$ aus $\partial\Omega$ beliebig und $y=x-t\nu(x)$ f\"ur
  ein kleines $t$. Dann ist $x=\pi_1\Psi^{-1}(y)$ und wir
  erhalten \[\nabla d(y)=\nabla d(x-t\nu(x)) =\nu(x)
  =\nu\left(\pi_1\Psi^{-1}(y)\right).\] Die Rechnung
  \begin{align*}
    &\,|\phi_\epsilon\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi(x)|\umbruch\\
    \le&\,|\phi_\epsilon\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi_\epsilon(x)|
    +|\phi\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi(x)|\umbruch\\
    \le&\,\Vert\phi_\epsilon-\phi\Vert_{C^0}
    +|\phi\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi(x)|
  \end{align*}
  zeigt, dass $\phi_\epsilon\to\phi$ und $\psi_\epsilon\to\psi$ in
  $C^0$ auch $\phi_\epsilon\circ\psi_\epsilon\to\phi\circ\psi$
  impliziert. Auf Kompakta ist das Stetigkeitsmodul von $\phi$ (die
  Wahl von $\delta$ in Abh\"angigkeit von $\epsilon$ in der \"ublichen
  Stetigkeitsdefinition) gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. Daher
  konvergiert der zweite Term auch lokal gleichm\"a\ss{}ig in $x$
  gegen Null. Analog zeigt man, dass auch $C^1$-Konvergenz unter
  Verkettungen erhalten ist, wobei man noch die Stetigkeit der
  Multiplikation ben\"otigt. \par
  Wegen $\Psi_\epsilon\to\Psi$ in $C^1$ folgt
  $\pi_2\circ\Psi^{-1}_\epsilon =d_\epsilon\to d$ in $C^1$. Wir gehen
  nun analog zum Beweis von Lemma \ref{tubenumg d lem}
  vor. Aus \[\nabla d_\epsilon
  =\nu_\epsilon\circ\pi_1\circ\Psi^{-1}_\epsilon
  \to\nu\circ\pi_1\circ\Psi^{-1} =\nabla d\quad\text{in }C^1\]
  erhalten wir lokal auch $d_\epsilon\to d$ in $C^2$.
\end{remark}

\begin{corollary}
  \label{H Delta d cor}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}. Dann gilt f\"ur $y$ in einer
  Tubenumgebung $(\partial\Omega)_\epsilon\cap\Omega$
  \[-\Delta d(y)\ge H(\pi(y)),\] wobei
  $\pi\colon(\partial\Omega)_\epsilon\to\partial\Omega$ die Projektion
  auf den n\"achsten Randpunkt ist.\par
  In $(\partial\Omega)_\epsilon\cap\complement\Omega$ gilt die
  umgekehrte Ungleichung.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Aussage gilt f\"ur $y\in\partial\Omega$ mit Gleichheit und folgt
  allgemein aus
  \[\frac d{dt}\left(\frac{\lambda_i(\pi(y))}
      {1-t\lambda_i(\pi(y))}\right) =\left(\frac{\lambda_i(\pi(y))}
      {1-t\lambda_i(\pi(y))}\right)^2\ge0,\] da wir stets $t\ge0$
  betrachten. F\"ur $t\le0$ erhalten wir die umgekehrte Ungleichung. 
\end{proof}

\section{Die Gau\ss{}kr\"ummung integrieren}
Im n\"achsten Abschnitt werden wir mit Hilfe des mittleren
Kr\"ummungsflusses die isoperimetrische Ungleichung f\"ur konvexe
Hyperfl\"achen im $\R^3$ beweisen. Dabei ben\"otigen wir eine untere
Absch\"atzung an $\int\limits_MK$. Diese behandeln wir nun. 

\subsection{Lokale Rechnung}
\begin{lemma}
  \label{int K lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei
  $u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$ lokal strikt konvex im Sinne von
  $D^2u\succ 0$ und $x\mapsto Du(x)$ ein Diffeomorphismus auf
  $Du(\Omega)$. Sei $M=\graph u\subset\R^{n+1}$. Dann
  gilt \[\int\limits_M K\,d\mu =|\nu(M)|,\] wobei $K$ die
  Gau\ss{}kr\"ummung von $M$ bezeichnet.
\end{lemma}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Die Abbildung $x\mapsto Du(x)$ ist f\"ur lokal strikt konvexe
    Funktionen $u$ lokal stets ein Diffeomorphismus (Details:
    \"Ubung). Global ist dies f\"ur konvexe Mengen $\Omega$ ebenfalls
    richtig, so dass diese Voraussetzung in Anwendungen h\"aufig
    automatisch erf\"ullt ist.
  \item Lemma \ref{int K lem} \"ubertr\"agt sich auch direkt auf den
    konvexen Fall. Betrachte dazu $u+\epsilon|x|^2$ und betrachte
    $\epsilon\downarrow0$. Integrieren wir nur \"uber $B_r(0)$, so
    folgt Konvergenz f\"ur $\epsilon\downarrow0$. Lasse dann
    $r\to\infty$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{int K lem}]
  Wir stellen die beiden Seiten der behaupteten Gleichheit zun\"achst
  in geeigneter Form dar: Es gilt f\"ur die linke
  Seite \[\int\limits_MK\,d\mu =\int\limits_\Omega\fracd{\det
    D^2u}{\left(1+|\nabla u|^2\right)^{\frac{n+2}2}}
  \cdot\left(1+|\nabla u|^2\right)^{1/2}\,dx.\] Die Abbildung $\R^n\ni
  y\mapsto\frac y{\sqrt{1+|y|^2}}\in B_1\subset\R^n$ ist ein
  Diffeomorphismus (kleine \"Ubung). Somit ist auch \[\Omega\ni
  x\mapsto\frac{\nabla u(x)}{\sqrt{1+|\nabla u(x)|^2}}\in B_1\] ein
  Diffeomorphismus auf das Bild. Gleichzeitig stimmen $\frac{\nabla
    u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}$ und die ersten $n$ Komponenten von $\nu$
  \"uberein. Sind die ersten $n$ Komponenten von $\nu$ gleich $z\in
  B_1\subset\R^n$, so erhalten wir \[\nu
  =\left(z,-\sqrt{1-|z|^2}\right)^T \equiv (z,-f(z))^T.\] Mit $f$
  stellen wir dabei die untere Hemisph\"are graphisch dar. Somit
  erhalten wir f\"ur den Ausdruck auf der rechten Seite der
  behaupteten Gleichheit
  \begin{align*}
    |\nu(M)|=
    &\,\int\limits_{\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}(\Omega)}
      \sqrt{1+|\nabla f|^2}\,dz
      =\int\limits_{\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}(\Omega)}
      \frac1{\sqrt{1-|z|^2}}\,dz,\umbruch \intertext{da}
      f(z)=
    &\,\sqrt{1-|z|^2},\umbruch\\
    f_i=
    &\,\frac{-z_i}{\sqrt{1-|z|^2}}\umbruch \intertext{und}
      1+|\nabla f|^2=
    &\, 1+\frac{|z|^2}{1-|z|^2} =\frac1{1-|z|^2}.
  \end{align*}
  Wir m\"ochten nun die Transformationsformel f\"ur Integrale
  benutzen. Definiere dazu
  \[\phi(x) =\frac{\nabla u(x)}{\sqrt{1+|\nabla u(x)|^2}} \equiv z.\]
  Es folgt
  \begin{align*}
    \phi^i_j\equiv
    &\,\fracp{\phi^i}{x^j} =\fracp{}{x^j}
      \frac{u^i}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}
      =\frac{u^i_j}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}
      -\frac{u^iu_{jk}u^k}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}^3}\umbruch\\
    =&\,\frac1{\sqrt{1+|\nabla u|^2}^3}\cdot
       u_{jk}\left(\delta^{ki}\left(1+|\nabla u|^2\right)
       -u^iu^k\right),\umbruch\\
    \det D\phi =
    &\,\left(1+|\nabla u|^2\right)^{-\frac{3n}2} \cdot\det D^2u
      \cdot\det\left(\delta^{ki}\left(1+|\nabla u|^2\right)
      -u^iu^k\right)\umbruch\\
    =&\,\left(1+|\nabla u|^2\right)^{-\frac{3n}2}\cdot\det
       D^2u\cdot\left(1+|\nabla u|^2\right)^{n-1}\umbruch\\
    =&\,\left(1+|\nabla u|^2\right)^{-\frac{n+2}2}\cdot\det D^2u
       =K>0,\umbruch\\
    \frac1{\sqrt{1-|\phi(x)|^2}}
    =&\,\frac1{\sqrt{1-\frac{|\nabla u|^2}{1+|\nabla u|^2}}}
       =\sqrt{1+|\nabla u|^2}.
  \end{align*}
  Mit $z=\phi(x)$ und $\frac{dz}{dx}=\phi'$ erhalten wir nach
  Integraltransformationsformel
  \[\int\limits_\Omega \det D\phi\cdot h(\phi(x))\,dx
    =\int\limits_{\phi(\Omega)} h(z)\,dz.\] Wenden wir dies auf
  $h(z) =\frac1{\sqrt{1-|z|^2}}$ an, so erhalten
  wir
  \[\int\limits_\Omega K\cdot\sqrt{1+|\nabla u|^2}\,dx
    =\int\limits_{\phi(\Omega)} \frac1{\sqrt{1-|z|^2}}\,dz\] wie
  behauptet.
\end{proof}

H\"aufig ist die genaue Schranke beim n\"achsten Resultat gar nicht
wichtig. 
\begin{corollary}
  Sei $u\in C^2(\R^n)$ lokal strikt konvex und $M:=\graph u$. Dann
  gilt \[\int\limits_M K\,d\mu \le\frac12|\S^n|.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $\R^n$ eine konvexe Menge ist, ist $\nu\colon\R^n\to\S^n$ ein
  Diffeomorphismus auf eine Teilmenge der offenen unteren
  Hemisph\"are. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  \label{ganz graph keine pos Schranke HK kor}
  Sei $u\colon\R^n\to\R$ eine $C^2$-Funktion. Dann gibt es keine
  positive untere Schranke $\epsilon>0$ f\"ur die Hauptkr\"ummungen
  von $M=\graph u$, \dh es gibt kein $\epsilon>0$ mit
  $\lambda_i((x,u(x)))\ge\epsilon>0$ f\"ur alle $x\in\R^n$ und alle
  $1\le i\le n$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Angenommen, es g\"abe doch solch eine Funktion $u$.  $u$ oder $-u$
  (bei Wahl der oberen Normalen) ist eine strikt konvexe Funktion. Sei
  ohne Einschr\"ankung $u$ strikt konvex. Dann gilt
  $K[u]\ge\epsilon^n>0$. Es folgt
  \[\frac12|\mathbb S^n|\ge \int\limits_MK\,d\mu\ge \int\limits_{\R^n}
  \epsilon^n\,dx.\] Widerspruch.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $u\in C^2(\R^n)$ lokal strikt konvex. Dann ist $K\in L^1(\R^n)$
  oder $K\in L^1(\graph u)$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus dem Beweis von Korollar \ref{ganz graph keine
    pos Schranke HK kor}.
\end{proof}

\subsection{Globale Situation}
F\"ur das n\"achste Korollar ben\"otigen wir noch die Surjektivit\"at
von $\nu$ bei geschlossenen $C^1$-Untermannigfaltigkeiten. 
\begin{lemma}
  \label{nu surj lem}
  Sei $\emptyset\neq M^n\subset\R^{n+1}$ eine geschlossene
  $C^1$-Untermannigfaltigkeit. Dann ist \[\nu\colon M^n\to\S^n\]
  surjektiv.
\end{lemma}
F\"ur eine kompakte immersierte $C^1$-Hyperfl\"ache gilt dieses
Resultat im Allgemeinen nicht mehr. Die Figur \glqq$\infty$\grqq{} ist
ein Gegenbeispiel daf\"ur.
\begin{proof}[Beweis]
  Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $M$
  zusammenh\"angend ist. Sonst betrachten wir eine
  Zusammenhangskomponente von $M$. Es ist bekannt, dass
  $\R^{n+1}\setminus M$ aus genau zwei Zusammenhangskomponenten
  besteht. Ist $M$ hom\"oomorph zur Sph\"are, so benutzt man daf\"ur
  den Abbildungsgrad, siehe z.\,B.{} \cite{OSDiffTopo}, sonst
  Differentialtopologie
  \cite{SamelsonOrientability,LimaJordanBrouwerSmooth}.  Da $M$
  beschr\"ankt ist, ist genau eine dieser beiden
  Zusammenhangskomponenten von $\R^{n+1}\setminus M$
  unbeschr\"ankt. Seien $Z_1$ und $Z_2$ diese beiden
  Zusammenhangskomponenten, $Z_2$ sei unbeschr\"ankt. Dann gilt auch
  $\partial Z_1=\partial Z_2=M$. \par (Ein Blick auf die geh\"ornte
  Sph\"are von W. Alexander, die hom\"oomorph zu $\S^2$ ist, mag
  verdeutlichen, dass solch ein Resultat nichttrivial ist. Im
  Komplement dieser Sph\"are gibt es nicht kontrahierbare
  $\S^1$-en.) \par Wir m\"ochten nun eine Normale ausw\"ahlen, die
  \"uberall in einem noch zu definierenden Sinne in die
  unbeschr\"ankte Komponente weist: H\"atte $Z_1$ einen $C^2$-Rand,
  k\"onnten wir den negativen Gradienten der signierten
  Distanzfunktion w\"ahlen. Nun w\"ahlen wir in jedem Punkt $x\in M$
  die Normale $\nu(x)$, die $x+t\nu(x)\in Z_2$ f\"ur kleine $t>0$
  erf\"ullt. An einer lokalen Graphendarstellung \"uber einem
  zusammenh\"angenden Gebiet sieht man, dass die zusammenh\"angenden
  Mengen ober- und unterhalb des Graphen jeweils Teilmengen von $Z_1$
  oder $Z_2$ sein m\"ussen. Weiterhin liegt $Z_1$ oberhalb von $M$ und
  $Z_2$ unterhalb von $M$ oder umgekehrt, da sonst nicht $\partial
  Z_1=\partial Z_2=M$ gelten kann. Somit sieht man, dass das
  Vorzeichen der Normalen wohldefiniert (es gibt also immer eine
  solche Vorzeichenwahl) und die Normale stetig ist.\par
  Anschaulich gesprochen fixiert man nun ein $p\in\S^n$ und verschiebt
  eine Hyperebene mit Normale $p$ von Unendlich her kommend in
  Richtung $-p$, bis sie in einem Punkt $M$ ber\"uhrt. Dort hat $M$
  dann die Normale $p$. \par Formal setzt man dies wie folgt um: Sei
  $p\in\S^n$ fest. Betrachte die stetige Funktion $\Phi$ mit \[M\ni
  x\mapsto\langle x,p\rangle\in\R.\] Dann existiert $x_0\in M$, so
  dass $\Phi$ in $x_0$ maximal ist. Aufgrund der Maximalit\"at folgt
  $\langle x,p\rangle\le\langle x_0,p\rangle$ bzw.{} $\langle
  x-x_0,p\rangle\le0$ f\"ur alle $x\in M$.
  \par Sei $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M$ eine $C^1$-Kurve
  mit $\gamma(0)=x_0$. Aufgrund der Maximalit\"at von $\Phi$ in $x_0$
  gilt $\Phi(\gamma(t))\le\Phi(x_0)$ f\"ur alle
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$ mit Gleichheit f\"ur $t=0$. Es
  folgt \[0=\left.\frac d{dt}\Phi(\gamma(t))\right|_{t=0}
  =\langle\dot\gamma(0),p\rangle.\] Somit steht jeder Tangentialvektor
  an $M$ in $x_0$ senkrecht auf $p$. Also gilt $\nu(x_0)=\pm p$. F\"ur
  jedes $\lambda>0$ gilt \[\langle x_0+\lambda p,p\rangle >\langle
  x_0,p\rangle.\] Somit liegt keiner der Punkte $x_0+\lambda p$,
  $\lambda>0$, auf $M$ und daher weist $p$ in Richtung der
  unbeschr\"ankten Komponente von $\R^{n+1}\setminus M$. Daher folgt
  $\nu(x_0)=+p$. Da $p\in\S^n$ beliebig war, ist $\nu$ surjektiv.
\end{proof}

Die n\"achste Folgerung gilt auch ohne die strikte
Konvexit\"atsannahme, falls die Mannigfaltigkeit topologisch eine
Sph\"are ist. Dies folgt aus dem Satz von Gau\ss{}-Bonnet.
\begin{corollary}
  \label{int K cor}
  Sei $M^n\subset\R^{n+1}$ eine zusammenh\"angende lokal strikt
  konvexe geschlossene $n$-dimensionale
  $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Dann gilt
  \[\int\limits_MK =|\S^n| =(n+1)\omega_{n+1}.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren den Beweis dieses Satzes unter der zus\"atzlichen
  Annahme, dass $M$ der Rand einer konvexen Menge
  $C\subset\R^{n+1}$ ist. Diese Annahme ist nicht n\"otig, wir
  werden dies jedoch erst in Abschnitt \ref{globale konv sec} zeigen.
  \par 
  Nach Lemma \ref{nu surj lem} ist $\nu\colon M\to\S^n$ surjektiv. Die
  lokale Injektivit\"at der Normalen $\nu$ folgt mit Hilfe der
  Normalform f\"ur Hyperfl\"achen aus der strikten Konvexit\"at. Da
  $M$ der Rand einer konvexen Menge $C$ ist, liefert eine einfache
  geometrische \"Uberlegung die Injektivit\"at von
  $\nu\colon M\to\S^n$. (Betrachte dabei die Tangentialebenen in zwei
  Punkten mit gleicher Normalen.) Lokal in Graphendarstellung ist $Du$
  ein Diffeomorphismus. Sogar $\nu\colon M\to\S^n$ ist ein
  Diffeomorphismus. Wir bemerken zun\"achst, dass sich Lemma \ref{int
    K lem} auch auf messbare Teilmengen von $\Omega$ bzw.{} $M$, da
  sind es genau die Bilder messbarer Teilmengen von $\Omega$, anwenden
  l\"a\ss{}t. (Alternativ kann man $M$ bis auf eine $n$-dimensionale
  Nullmenge, die noch formal zu definieren w\"aren, zerlegen und sich
  \"uberlegen, dass diese Nullmengen auf beiden Seiten der behaupteten
  Gleichheit keinen Beitrag liefern.) Zu jedem Punkt $p\in M$ gibt es
  eine offene Umgebung $U\subset M$ mit $p\in U$, so dass Lemma
  \ref{int K lem} auf $M\cap U$ anwendbar ist. Aufgrund der
  Kompaktheit von $M$ \"uberdecken endlich viele davon bereits
  $M$: \[M=\bigcup\limits_{i=1}^NU_i.\] Wir setzen nun
  $M_i:= U_i\setminus \bigcup\limits_{j=1}^{i-1}U_j$, $1\le i\le N$,
  und erhalten eine endliche disjunkte \"Uberdeckung von $M$ durch
  messbare Mengen in dem Sinne, dass Lemma \ref{int K lem} anwendbar
  ist, $M=\bigcup\limits_{i=1}^NM_i$. Wenden wir nun Lemma \ref{int K
    lem} auf jede dieser Mengen an, so erhalten wir
  \[\int\limits_MK\,d\mu =\sum\limits_{i=1}^N\int\limits_{M_i}K\,d\mu
  =\sum\limits_{i=1}^N|\nu(M_i)|
  =\left|\nu\left(\bigcup\limits_{i=1}^N M_i\right)\right| =|\nu(M)|
  =|\S^n|,\] da die Mengen $M_i$ paarweise disjunkt sind und $\nu$
  injektiv ist. \par Die zweite Gleichheit in der Behauptung ist aus
  Analysis II bekannt.
\end{proof}

\section{Mittlerer Kr\"ummungsfluss}

Man kann den mittleren Kr\"ummungsfluss f\"ur Mannigfaltigkeiten
unterschiedlicher Kodimension in anderen Mannigfaltigkeiten
untersuchen, wir beschr\"anken uns hier jedoch auf den Fall von
Hyperfl\"achen im Euklidischen.

Statt vom mittleren Kr\"ummungsfluss sollte man - in unserem Fall -
genauer vom Fluss von Hyperfl\"achen entlang ihrer mittleren
Kr\"ummung reden. 

\subsection{Die Flussgleichung}
\"Ublicherweise betrachtet man beim mittleren Kr\"ummungsfluss
Abbildungen $X\colon M\times[0,T)\to\R^{n+1}$, wobei $M$ eine
abstrakte Mannigfaltigkeit ist. Da wir solche aber noch nicht kennen,
umgehen wir dieses Problem mit Hilfe einer lokalen Definition.

Wir setzen hier den Startzeitpunkt stets auf $t=0$. Die Definitionen
und Resultat lassen sich aber direkt auf andere Startzeitpunkte
\"ubertragen. 

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $T>0$. Dann erf\"ullt die
  Abbildung $X\colon\Omega\times[0,T)\to\R^{n+1}$ den mittleren
  Kr\"ummungsfluss (lokal), falls $X(\cdot,t)$ f\"ur alle $t\in[0,T)$
  eine immersierte $C^2$-Hyperfl\"ache ist, $X$ nach $t$
  differenzierbar ist und f\"ur alle $(x,t)\in\Omega\times[0,T)$ die
  Gleichung \[\dot X=-H\nu\] erf\"ullt ist.
\end{definition}

Sp\"ater ersetzt man in der folgenden Definition die
Untermannigfaltigkeit durch eine abstrakte Mannigfaltigkeit. In beiden
F\"allen benutzt man eine Karte, um mit
$X\circ\left(\left(\phi^{-1}
    \circ\iota\right)\times\id\right)$
eine auf $\R^n\times[0,\infty)$ definierte Abbildung zu erhalten. 
\begin{definition}
  Sei $M^n\subset\R^{n+k}$ eine $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei
  $T>0$. Dann erf\"ullt $X\colon M\times[0,T)\to\R^{n+1}$ den
  mittleren Kr\"ummungsfluss, falls es f\"ur jeden Punkt $p\in M$ eine
  Karte $(U,\phi)$ mit $p\in U$ gibt, so dass
  \begin{align*}
    X\circ\left(\left(\phi^{-1}\circ\iota\right) \times\id\right)\colon
    \pi_1(\phi(U\cap M))\times[0,T) &\to\R^{n+1},\\
    (x,t)&\mapsto X(\phi^{-1}(x,0),t)
  \end{align*}
  den mittleren Kr\"ummungsfluss lokal erf\"ullt, wobei
  $\pi_1\colon\R^{n+k} \equiv\R^n\times\R^k\to\R^n$ die Projektion
  $(x,y)\mapsto x$ und
  $\iota\colon\R^n\to\R^n\times\R^k\equiv \R^{n+k}$ die Inklusion
  $x\mapsto (x,0)$ ist. \par
  Wir sagen auch, dass dann die Familie $(M_t)_{t\in[0,T)}$ mit
  $M_t=X(M,t)$ den mittleren Kr\"ummungsfluss erf\"ullt.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item In der Praxis l\"asst man $\pi_1$ und $\iota$ auch weg und
    schreibt $X\circ\left(\phi^{-1}\times\id\right)$ oder sogar
    $X\circ\phi^{-1}$.
  \item Mit $\phi(U\cap M) =\phi(U)\cap \left(\R^n\times\{0\}\right)$
    h\"atten wir den Definitionsbereich auch anders darstellen
    k\"onnen.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Die Definition des mittleren Kr\"ummungsflusses ist im folgenden Sinne
von der Wahl der Karte unabh\"angig.
\begin{lemma}
  Seien $(U,\phi)$ und $(V,\psi)$ zwei Karten einer
  $C^2$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$.  Seien $(U,\phi)$ und
  $(V,\psi)$ $C^2$-vertr\"aglich, \dh sei
  $\phi\circ\psi^{-1}\colon\psi(U\cap V)\to\phi(U\cap V)$ ein
  $C^2$-Diffeomorphismus. Sei
  $X\circ\left(\left(\phi^{-1}\circ\iota\right)\times\id\right)$ eine
  lokale L\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses.  Dann erf\"ullt
  $X\circ\left(\left(\psi^{-1}\circ\iota\right)
    \times\id\right)\colon\pi_1(\psi(V\cap U\cap
  M))\times[0,T)\to\R^{n+1}$ ebenfalls lokal den mittleren
  Kr\"ummungsfluss.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. Von der Rechnung her entspricht dies fast Theorem \ref{mcf
    geom evolgl thm}.
\end{proof}

\begin{beispiel}[Sph\"aren]
  Sei $M=\S^n\subset\R^{n+1}$. Sei $R>0$. Dann ist $X\colon
  M\times\left[0,\frac{R^2}{2n}\right)\to\R^{n+1}$ mit
  $X(p,t):=p\cdot\sqrt{R^2-2nt}$ eine L\"osung des mittleren
  Kr\"ummungsflusses. \par
  Auf diese L\"osung kommt man, indem man den Ansatz $X(p,t):=p\cdot
  f(t)$ macht. Hieraus erh\"alt man $\lambda_i(t)=\frac1{f(t)}$,
  $H=\frac n{f(t)}$, $\dot X=p\dot f(t)$ und $\nu(p,t)=p$. Also
  sollte \[p\dot f(t)=\dot X\overset!=-H\nu=-\frac n{f(t)}p\]
  gelten. Dies ist f\"ur $\dot f(t)=-\frac n{f(t)}$ der Fall und die
  L\"osung dieser gew\"ohnlichen Differentialgleichung mit Anfangswert
  $f(0)=R$ ist durch $f(t)=\sqrt{R^2-2nt}$ gegeben.\par 
  Wir lassen es als \"Ubung, die Definition des mittleren
  Kr\"ummungsflusses auch formal zu \"uberpr\"ufen. 
\end{beispiel}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Minimalfl\"achen sind station\"are (= zeitunabh\"angige)
    L\"osungen des mittleren Kr\"ummungsflusses. Zylinder der Form
    $\S^k\times\R^{n-k}$ schrumpfen \"ahnlich wie Sph\"aren. Sie
    konvergieren in endlicher Zeit gegen
    $\{0_{\R^{k+1}}\}\times\R^{n-k}$. Die grim reaper L\"osung ist als
    Graph von $u(x,t)=-\log\cos x+t$, $(x,t)\in
    \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) \times\R$, gegeben.  Weitere
    explizite Beispiele sind die Haarnadel- oder B\"uroklammerl\"osung
    (haar pin, paper clip). Details: \"Ubung.
  \item F\"ur weitere L\"osungen muss man - soweit ich wei\ss{} -
    zumindest eine gew\"ohnliche Differentialgleichung l\"osen (siehe
    beispielsweise meine Vorlesung \"uber Gew\"ohnliche
    Differentialgleichungen mit geometrischen Anwendungen). Sind die
    L\"osungen nicht symmetrisch, muss man eine quasilineare partielle
    Differentialgleichung l\"osen (siehe beispielsweise meine
    Vorlesung \"uber den Graphischen mittleren K\"ummungsfluss).
  \item Beim mittleren Kr\"ummungsfluss untersucht man h\"aufig die
    Existenz von L\"osungen und ihr Verhalten. Klassische Resultate
    von etwa 1985-1995 sind: Konvexe Hyperfl\"achen konvergieren gegen
    runde Punkte, \dh gegen einen Punkt und nach geeignetem
    Reskalieren gegen eine runde Sph\"are (G. Huisken,
    \cite{HuiskenRoundSphere}). Eingebettete $\S^1$-en bleiben
    eingebettet, werden in endlicher Zeit konvex und konvergieren dann
    auch gegen einen runden Punkt (M. Gage, R. Hamilton; M. Grayson
    \cite{GageHamilton,GraysonRoundPoints}).  Graphische
    Hyperfl\"achen existieren f\"ur alle Zeit und konvergieren gegen
    homothetisch expandierende L\"osungen, wenn sie anfangs
    asymptotisch zu einem Kegel sind (K. Ecker, G. Huisken,
    \cite{EckerHuiskenInvent}).
  \item Ein gro\ss{}es Ziel ist es, mit Hilfe des mittleren
    Kr\"ummungsflusses alle (kompakten) Hyperfl\"achen in geeigneter
    Weise zu klassifizieren. Der mittlere Kr\"ummungsfluss wird auch
    hier in der Arbeitsgruppe untersucht. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{Mittlerer Kr\"ummungsfluss als geometrische
  Evolutionsgleichung \stern}
\rule{0mm}{1mm}\\
Der mittlere Kr\"ummungsfluss ist eine geometrische
Evolutionsgleichung, \dh das Bild $M_t:=X(M,t)$ h\"angt nicht von
der konkreten Parametrisierung ab und ist unter Euklidischen
Bewegungen des umgebenden Raumes invariant. Da es h\"aufig nur auf das
Bild $M_t$ ankommt, kann man auch L\"osungen von $\langle\dt
X,\nu\rangle=-H$ untersuchen. Diese sind nicht eindeutig bestimmt, da
man sie mit Hilfe von Diffeomorphismen wie im folgenden Theorem
angegeben ab\"andern kann. 
\begin{theorem}\label{mcf geom evolgl thm}
  Sei $X\colon \Omega\times[0,T)\to\R^{n+1}$ eine lokale L\"osung des
  mittleren Kr\"ummungsflusses $\dt X=-H\nu$ oder eine L\"osung, deren
  Normalengeschwindigkeit gerade die mittlere Kr\"um\-mung ist:
  $\left\langle\dt X,\nu\right\rangle =-H$. Sei $R\in O(n+1)$ eine
  orthogonale Abbildung und $\psi\colon\hat\Omega\times[0,T)\to\Omega$
  glatt, so dass $\psi(\cdot,t)\colon\hat\Omega\to\Omega$ f\"ur alle
  $t\in[0,T)$ ein Diffeomorphismus ist. Dann ist die
  Normalengeschwindigkeit von $\hat X(x,t):=RX(\psi(x,t),t)$, in
  Koordinaten
  $\hat X^\alpha(x,t) =R^\alpha_\beta X^\beta(\psi(x,t),t)$, gerade
  die mittlere Kr\"ummung:
  \[\left\langle\dt\hat X,\hat\nu\right\rangle =-\hat H.\] Weiterhin
  gilt $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$.
\end{theorem}
Den Diffeomorphismus $\psi$ kann man verwenden, um die Hyperfl\"achen
anders zu parametrisieren. Dies entspricht gerade der Wahl einer
anderen Karte in der globalen Definition. Daher kann man nicht mehr
erwarten, dass die Tangentialgeschwindigkeit verschwindet, wenn wir
$\psi$ verwenden. Die Bilder von $X$ und $X\circ\psi$ stimmen aber
\"uberein. Daher passiert in beiden F\"allen geometrisch das
Gleiche.\par Da s\"amtliche Rechnungen im Beweis lokal sind, gilt dies
auch, wenn die Mengen $\Omega$ und $\hat\Omega$ von der Zeit
abh\"angen.
\begin{proof}[Beweis]
  Gr\"o\ss{}en zu $\hat X$ bezeichnen wir mit $\hat\nu$, $\hat H$,
  $\hat g_{ij}$, \ldots. \par Es gilt
  \begin{align*}
    \dt\hat X^\alpha =&\,R^\alpha_\beta \fracp{}t X^\beta
    +R^\alpha_\beta
    X^\beta_k\dot\psi^k,\umbruch\\
    \hat X_i^\alpha =&\,R^\alpha_\beta X^\beta_k\psi^k_i,\umbruch\\
    \hat X_{,ij}^\alpha =&\,R^\alpha_\beta X^\beta_k\psi^k_{ij}
    +R^\alpha_\beta X^\beta_{,kl}\psi^k_i\psi^l_j.
  \end{align*}
  W\"ahlen wir $\hat\nu^\alpha =R^\alpha_\beta\nu^\beta$, also
  $\hat\nu =R\nu$, so ist dies eine Normale an die Fl\"ache $\hat X$,
  da $\langle R\nu,R\nu\rangle =\langle\nu,\nu\rangle =1$ und
  $\left\langle R\nu,\left(R^\alpha_\beta
      X^\beta_k\psi^k_i\right)_\alpha \right\rangle =\langle \nu,
  X_k\rangle\psi^k_i=0$ f\"ur alle $1\le i\le n$ gelten. 
  Wir erhalten
  \begin{align*}
    \left\langle\dt\hat X,\hat\nu\right\rangle =&\,\fracp{}tX^\alpha
    R_\alpha^\beta \delta_{\beta\gamma}R^\gamma_\delta\nu^\delta
    +\dot\psi^i X^\alpha_iR_\alpha^\beta
    \delta_{\beta\gamma}R^\gamma_\delta
    \nu^\delta\umbruch\\
    =&\, -H\nu^\alpha\delta_{\alpha\delta}\nu^\delta
    +\dot\psi^iX^\alpha_i\delta_{\alpha\delta}\nu^\delta\umbruch\\
    =&\,-H+0. 
  \end{align*}
  $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$ haben wir bereits in Lemma \ref{H K
    well def lem} gesehen. Um beide Teile des Beweises beieinander zu
  haben, wiederholen wir dies hier nochmals. Es gilt
  \begin{align*}
    \hat g_{ij}=&\,\hat X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\hat X^\beta_j
    =\psi_i^kX^\gamma_kR^\alpha_\gamma \delta_{\alpha\beta}
    R^\beta_\delta X^\delta_l\psi^l_j =\psi^k_iX^\gamma_k
    \delta_{\gamma\delta} X^\delta_l\psi^l_j
    =\psi^k_ig_{kl}\psi^l_j,\\
    \hat h_{ij}=&\,-\left\langle\hat X_{,ij},\hat \nu\right\rangle
    =-\psi^k_{ij}X^\beta_kR^\alpha_\beta \delta_{\alpha\gamma}
    R^\gamma_\delta\nu^\delta -\psi^k_i\psi^l_j
    X^\beta_{,kl}R^\alpha_\beta \delta_{\alpha\gamma}
    R^\gamma_\delta\nu^\delta\umbruch\\
    =&\,-\psi^k_{ij}X^\beta_k\delta_{\beta\delta}\nu^\delta
    +\psi^k_i\left(-X^\beta_{,kl}\delta_{\beta\delta}
      \nu^\delta\right) \psi^l_j =0+\psi^k_ih_{kl}\psi^l_j.
  \end{align*}
  $\psi$ ist ein Diffeomorphismus. Also ist
  $\left(\psi^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ eine invertierbare Matrix
  und die Eigenwerte von $h_{ij}$ bez\"uglich $g_{ij}$ und von $\hat
  h_{ij}$ bez\"uglich $\hat g_{ij}$ stimmen \"uberein: Sei n\"amlich
  $\xi$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, \dh gelte \[\lambda
  g_{ij}\xi^j =h_{ij}\xi^j\] und $\xi\neq0$. Dann folgt f\"ur
  $\hat\xi^i:=\Psi^i_k\xi^k$ mit $\Psi(\cdot,t):=(\psi(\cdot,t))^{-1}$
  \[\lambda\hat g_{kl}\hat\xi^l =\lambda\psi^i_kg_{ij}
  \psi^j_l\Psi^l_m\xi^m =\lambda\psi^i_k g_{ij}\xi^m
  =\psi^i_kh_{ij}\xi^j =\psi^i_kh_{ij}\psi^j_l\Psi^l_m\xi^m =\hat
  h_{kl}\hat\xi^l.\] Andersherum argumentiert man analog. Somit folgt
  $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$ und damit die Behauptung.
\end{proof}

\begin{exercise}
  Finde L\"osungen von $\left\langle\dt X,\nu\right\rangle =-H$ und
  $\dt X=-H\nu$ f\"ur den Fall, dass $M_0$ ein Zylinder ist, dass also
  $M_0=\left(R\cdot\S^k\right)\times\R^{n-k}$ f\"ur ein $R>0$ gilt und
  \"uberpr\"ufe die Definition des mittleren Kr\"ummungsflusses
  explizit. 
\end{exercise}

\subsection{Graphische Kr\"ummungsfl\"usse}

\begin{remark}
  \stern
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Die Resultate dieses Abschnittes gelten mit Modifikationen bei
    den Definitionsmengen auch f\"ur Graphen, die nicht \"uber ganz
    $\R^n$ definiert sind.
  \item Sei in diesem Abschnitt $F$ eine beliebige
    Normalengeschwindigkeit, also \zB $F=H$, $F=K$ oder $F=|A|^2$. Es
    sind aber auch Funktionen m\"oglich, die beispielsweise
    zus\"atzlich von $X(x,t)$ oder $\nu$ abh\"angen.
  \item Naiv k\"onnte man denken, dass wir durch Betrachten der
    $(n+1)$-sten Komponente von $\dt X=-F\nu$ die Evolutionsgleichung
    $\dot u=\frac F{\sqrt{1+|Du|^2}}$ erhielten. Dabei haben wir
    jedoch nicht ber\"ucksichtigt, dass sich dabei auch der Punkt $x$
    zeitlich \"andern kann. Vergleiche dies auch mit einer Ebene, die
    sich mit konstanter Normalengeschwindigkeit bewegt.
  \item Bei der Umkehrung kann man nicht erwarten, die
    Evolutionsgleichung \[\dt X=-F\nu\] zu erhalten, da Diffeomorphismen
    wie in Theorem \ref{mcf geom evolgl thm} den Tangentialanteil von
    $\dt X$ \"andern k\"onnen.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  \stern Sei $(M_t)_{0\le t<T}$ eine L\"osung von $\dt X=-F\nu$. Sei
  $u\colon\R^n\times[0,T)\to\R$ eine glatte oder $C^{2;1}$-Funktion
  mit \[M_t=\graph u(\cdot,t)\] f\"ur alle $t\in[0,T)$. Dann erf\"ullt
  $u$ die Gleichung
  \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F,\] im Falle von $F=H$ also
  \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2} \cdot \divergenz\left(\dfrac{\nabla
        u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right),\] in $\R^n\times[0,T)$.\par
  Umgekehrt sei $u$ eine L\"osung von $\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot
  F$. Dann gilt $\left\langle\dt H,\nu\right\rangle =-F$ f\"ur
  $X(x,t)=(x,u(x,t))^T$, jedoch im allgemeinen nicht $\dt H=-F\nu$.
\end{lemma}
Im Falle $F=H,K$ oder $|A|^2$ handelt es sich um eine
partielle Differentialgleichung. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X$ auf $\R^n\times[0,T)$ definiert. Wir bezeichnen die
  Koordinaten in $\R^n$ mit $\xi$. Wir bezeichnen weiterhin die
  orthogonale Projektion von $X(\xi,t)$ auf die Hyperebene
  $\R^n\equiv\R^n\times\{0\}$ mit $x(\xi,t)$. Dann
  gilt \[X(\xi,t)=(x(\xi,t),u(x(\xi,t),t))^T.\] Aus der
  Evolutionsgleichung folgt \[\dt X= \left(\dot x,u_i\dot x^i+\dot
    u\right)^T =-F\nu
  =F\frac{(-u^1,\ldots,-u^n,1)^T}{\sqrt{1+|Du|^2}}.\] Dabei benutzen
  wir $\dot u=\fracp ut$ und $u_i=\fracp u{x^i}$. Durch
  Komponentenvergleich erhalten wir
  \begin{align*}        
    {\dot x}^i =&\,\frac{-Fu^i}{\sqrt{1+|Du|^2}},\umbruch\\
    \dot u=&\,\frac F{\sqrt{1+|Du|^2}} -u_i\dot x^i =\frac
    F{\sqrt{1+|Du|^2}} +\frac{F|Du|^2}{\sqrt{1+|Du|^2}}
    =\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F.
  \end{align*}     
  Bis hier gelten die Rechnungen auch f\"ur andere
  Normalengeschwindigkeiten als $H$. Die Formel f\"ur $H$ im
  graphischen Fall haben wir bereits oben in Lemma \ref{mean gauss
    lem} hergeleitet. Somit folgt die Behauptung.\par
  Zur Umkehrung der Aussage: Definiere $X(x,t)=(x,u(x,t))^T$ f\"ur
  eine Funktion $u$ mit $\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F$. Dann gilt
  \begin{align*}
    \dt X=&\,\left(0,\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F\right)^T,\umbruch\\
    \nu=&\,\frac{(\nabla u,-1)^T}{\sqrt{1+|Du|^2}},\umbruch\\
    \left\langle\dt X,\nu\right\rangle =&\,-F.
  \end{align*}
  Ist $Du\neq0$, so kann $\dt X=-F\nu$ nicht gelten. 
\end{proof}

Eine bessere Umkehrung erhalten wir, indem wir noch gew\"ohnliche
Differentialgleichungen l\"osen. 
\begin{lemma}
  Sei $u\colon\R^n\times[0,T)\to\R$ eine glatte L\"osung von
  $\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F$. Seien $Du$ und $F$
  gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. Dann gibt es eine glatte Familie
  $(\psi_t)_{t\in[0,T)}$ von Diffeomorphismen $\psi_t=\psi(\cdot,t)$
  mit $\psi\colon\R^n\times[0,T)\to\R^n$ und $\psi_0=\id$, so dass
  $X(x,t):=(\psi(x,t),u(\psi(x,t),t))^T$ die Evolutionsgleichung
  $\dt X=-F\nu$ l\"ost. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition ist auch $F$ glatt.  Da die beiden \"au\ss{}eren
  Terme gleich sind, sollte
  \[\dt X=\left(\dot\psi,\dot u+u_i\dot\psi^i\right)\overset!=
  -F\dfrac{(\nabla u(\psi(x,t),t),-1)^T}
  {\sqrt{1+|Du(\psi(x,t),t)|^2}}=-F\nu\] gelten.  Nach
  Beschr\"anktheits- und Regularit\"atsannahme besitzt das
  Anfangswertproblem des Systems gew\"ohnlicher
  Differentialgleichungen
  \[
  \begin{cases}
    \dot\psi^i(x,t)=-\dfrac{Fu^i(\psi(x,t),t)}
    {\sqrt{1+|Du(\psi(x,t),t)|^2}},\\
    \psi(\cdot,0)=\id
  \end{cases}
  \]
  eine eindeutig bestimmte glatte lokal gleichm\"a\ss{}ig
  beschr\"ankte L\"osung $\psi\colon\R^n\times[0,T)\to\R^n$. Nach
  Konstruktion gilt die erw\"unschte Gleichheit in den ersten
  Komponenten und aus
  \[\dot u+u_i\dot\psi^i =\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F
  -\frac{F|Du|^2}{\sqrt{1+|Du|^2}} =\frac F{\sqrt{1+|Du|^2}}\] 
  folgt auch die Gleichheit in der letzten Komponente.\par Aus
  Analysis III ist bekannt, dass alle Abbildungen $\psi_t$ glatt und
  Diffeomorphismen sind. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Je nach Funktion $F$ ben\"otigt man weniger Regularit\"at. So
  gen\"ugt bei Fl\"ussen wie dem mittleren Kr\"ummungsfluss oder dem
  Gau\ss{}kr\"ummungsfluss $u\in C^{3,1;1,1}\supset C^{4;2}$ und
  gleichm\"a\ss{}ige Schranken in dieser Norm. Die
  Differenzierbarkeit von $\psi$ folgt dann aus dem Satz \"uber die
  differenzierbare Abh\"angigkeit von L\"osungen bei gew\"ohnlichen
  Differentialgleichungen auf $\psi$ und den Parameter $x$
  angewandt. Insbesondere ist es daf\"ur n\"otig, dass die Ableitung
  der rechten Seite nach Differentiation nach $\psi$ noch
  Lipschitzstetig in $x$ ist. 
\end{remark}

\"Uber den graphischen mittleren Kr\"ummungsfluss ist sp\"ater eine
eigene Vorlesung geplant.

\subsection{Der mittlere Kr\"ummungsfluss als negativer
  Gradientenfluss}
Wir leiten zun\"achst eine Eigenschaft des Gradientenflusses her, die
wir auch beim mittleren Kr\"ummungsfluss zeigen werden. 
\begin{remark}
  Sei $f\colon\R^n\to\R$ eine $C^1$-Funktion. Sei $I$ ein offenes
  Intervall.  Dann l\"ost eine $C^1$-Funktion $x\colon I\to\R^n$ den
  negativen Gradientenfluss zur Funktion $f$ bez\"uglich der
  Euklidischen Metrik des $\R^n$, falls \[\dot x(t)=-\nabla f(x(t))\]
  f\"ur alle $t\in I$ gilt. \par Sei $t_0\in I$ und sei $y\colon
  I\to\R^n$ eine weitere $C^1$-Funktion mit $y(t_0)=x(t_0)$ und $|\dot
  y(t_0)|\le|\dot x(t_0)| =|\nabla f(x(t_0))|$.  Dann gilt $\dt
  f(x(t))\le \dt f(y(t))$ an der Stelle $t=t_0$, \dh der negative
  Gradientenfluss ist infinitesimal die schnellste M\"oglichkeit bei
  gegebener Geschwindigkeit $f$ zu verkleinern. (Global braucht dies
  nicht richtig zu sein.)
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt 
  \begin{align*}
    \left.\dt (f(x(t)) -f(y(t)))\right|_{t=t_0}
    =&\,Df(x(t_0))\langle\dot x(t_0)\rangle
    -Df(y(t_0))\langle\dot y(t_0)\rangle\umbruch\\
    =&\,\langle\nabla f(x(t_0)), \dot x(t_0)\rangle -\langle\nabla
    f(x(t_0)),\dot y(t_0)\rangle\umbruch\\
    \le&\,-|\nabla f(x(t_0))|^2+|\nabla f(x(t_0))|\cdot|\dot
    y(t_0)| \le0.
  \end{align*}
  Wir bemerken, dass Gleichheit genau f\"ur $\dot x(t_0)=\dot y(t_0)$
  gilt. 
\end{proof}

Nimmt man als Norm die $L^2$-Norm der Normalengeschwindigkeit, so
erhalten wir ein entsprechendes Resultat f\"ur den mittleren
Kr\"ummungsfluss. Wir arbeiten mit Funktionen, die sich nur auf
kompakten Teilmengen unterscheiden, damit wir bei partieller
Integration keine Randterme bekommen. Ein entsprechendes Resultat gilt
aber auch f\"ur kompakte L\"osungen des mittleren Kr\"ummungsflusses. 
\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.  Sei
  $u\colon\Omega\times[0,T)\to\R$ eine glatte graphische L\"osung des
  mittleren Kr\"ummungsflusses, es gelte also \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}
  \cdot\divergenz\left(\dfrac{\nabla
      u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)\quad\text{in }\Omega\times[0,T).\]
  Sei $w\colon\Omega\times[0,T)\to\R$ ebenfalls glatt mit
  $w(\cdot,t_0)=u(\cdot,t_0)$ f\"ur ein $t_0>0$ und gelte
  $u(x,t)=w(x,t)$ f\"ur alle $t$ und alle $x\in\Omega\setminus K$
  f\"ur eine kompakte Teilmenge $K\Subset\Omega$. Sei $F$ so
  gew\"ahlt, dass $\dot w=\sqrt{1+|Dw|^2}\cdot F$ gilt. Nehme
  schlie\ss{}lich an, dass die $L^2$-Norm der Normalengeschwindigkeit
  $F$ bez\"uglich des Oberfl\"achenma\ss{}es die $L^2$-Norm von $H$
  zur Zeit $t=t_0$ in $K$ nicht \"ubersteigt, dass also zur Zeit
  $t=t_0$ \[\int\limits_K F^2\,d\mu_w \le\int\limits_K H^2\,d\mu_u\]
  gilt, wobei $d\mu_u\equiv\sqrt{1+|Du|^2}\,dx$ ist und $d\mu_w$
  entsprechend definiert ist, so dass insbesondere
  $d\mu_u=d\mu_w\equiv d\mu$ zur Zeit $t=t_0$ gilt.  Dann
  folgt \[\left.\dt\int\limits_K \sqrt{1+|Du|^2}\,dx\right|_{t=t_0}
  \le \left.\dt\int\limits_K \sqrt{1+|Dw|^2}\,dx\right|_{t=t_0}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  In der nachfolgenden Rechnung werten wir stets an der Stelle $t=t_0$
  aus. Wir erhalten mit partieller Integration und H\"olderscher
  Ungleichung
  \begin{align*}
    \dt\int\limits_K\sqrt{1+|Dw|^2} =&\,\int\limits_K \dfrac{\langle
      Dw,D\dot w\rangle}{\sqrt{1+|Dw|^2}} =-\int\limits_K\dot
    w\cdot\divergenz\left(\dfrac{\nabla
        w}{\sqrt{1+|Dw|^2}}\right)\umbruch\\
    =&\,-\int\limits_K F\cdot
    H\underbrace{\sqrt{1+|Dw|^2}\,dx}_{=d\mu}\umbruch\\
    \ge&\,-\left(\int\limits_K F^2\,d\mu\right)^{1/2}
    \cdot\left(\int\limits_K H^2\,d\mu\right)^{1/2}\umbruch\\
    \ge&\,-\int\limits_K H^2\,d\mu =\dt\int\limits_K\sqrt{1+|Du|^2},
  \end{align*}
  wobei wir f\"ur den letzten Schritt die ersten Schritte f\"ur $w$ im
  Falle $F=H$ wiederholen. \par Beachte, dass wir die Absch\"atzung an
  einer Stelle machen, an der mit $F\cdot H$ das Produkt zweier
  Normalengeschwindigkeiten steht. 
\end{proof}

\subsection{Einige Evolutionsgleichungen}

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei
  $X\colon\Omega\times[0,T)\to\R^{n+1}$ f\"ur ein $T>0$ eine L\"osung
  der Evolutionsgleichung $\dot X=-F\nu$. Dann gilt f\"ur die
  Metrik \[\dt g_{ij}=-2Fh_{ij}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir differenzieren $g_{ij}=\langle X_i,X_j\rangle$ und erhalten
  \begin{align*}
    \dt g_{ij}=&\,\left\langle\dt X_i,X_j\right\rangle +\left\langle
      X_i,\dt X_j\right\rangle\umbruch\\
    =&\,\left\langle(-F\nu)_i,X_j\right\rangle +\left\langle
      X_i,(-F\nu)_j\right\rangle\umbruch\\ 
    =&\,-\left\langle F_i\nu+F\nu_i,X_j\right\rangle -\left\langle
      X_i,F_j\nu+F\nu_j\right\rangle\umbruch\\
    =&\,-\left\langle Fh_i^kX_k,X_j\right\rangle -\left\langle
      X_i,Fh_j^kX_k\right\rangle\umbruch\\ 
    =&\,-Fh_i^kg_{kj}-Fg_{ik}h_j^k\umbruch\\
    =&\,-2Fh_{ij}. \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$
  eine L\"osung der Evolutionsgleichung $\dot X=-F\nu$. Dann gilt
  f\"ur das Volumenelement $d\mu\equiv\sqrt{\det g_{ij}}\,dx$ \[\dt
  d\mu=-FH\,d\mu.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir benutzen die Evolutionsgleichung f\"ur die Metrik und die
  Differentiationsregel f\"ur die Determinante und erhalten
  \begin{align*}
    \dt d\mu=&\,\dt\sqrt{\det g_{ij}}\,dx\umbruch\\
    =&\,\frac1{2\sqrt{\det g_{ij}}}\det g_{ij} g^{kl}\dt
    g_{kl}\,dx\umbruch\\ 
    =&\,-F\sqrt{\det g_{ij}} g^{kl}h_{kl}\,dx\umbruch\\ 
    =&\,-FH\,d\mu. \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Ohne einen formalen Beweis geben wir das Resultat an, wie sich das
eingeschlossene Volumen unter einer Flussgleichung \"andert. F\"ur
eine formale Herleitung w\"are zun\"achst das eingeschlossenen Volumen
zu definieren, dann l\"asst sich die eingeschlossene Menge
beispielsweise wie folgt beschreiben: Sei $\Omega_0$ die
eingeschlossene Menge zum Zeitpunkt $t=0$. Sei $\psi(\cdot,t)$ eine
Familie von Diffeomorphismen auf ihr Bild in $\R^{n+1}$, so dass
$\dot\psi(x,t)$ f\"ur s\"amtliche Randpunkte gerade mit $-F\nu$
\"ubereinstimmt. Nun kann man die Volumen\"anderung von
$\psi(\Omega,t)$ bestimmen. Details: \"Ubung. 
\begin{remark}
  Sei $M_t$ eine Familie geschlossener zusammenh\"angender
  Hyperfl\"achen, die die Evolutionsgleichung $\dot X=-F\nu$
  erf\"ullt. Sei $\Omega_t$ die beschr\"ankte Zusammenhangskomponente
  von $\R^{n+1}\setminus M_t$. Dann gilt
  \[\dt|\Omega_t| =\int\limits_M -F\,d\mu.\]
\end{remark}
\begin{proof}[Heuristik zur Formel]
  Infinitesimal wird ein kleines Fl\"achenst\"uck $A$ mit
  Geschwindigkeit $F$ nach innen verschoben. Dabei f\"allt in
  Physikernotation ein Zylinder mit Volumen $|A|\cdot F\cdot\Delta t$
  weg. Auf"|integriert \"uber $M$ erhalten wir genau die behautete
  Formel.
\end{proof}

\subsection{Die isoperimetrische Ungleichung}

Es gilt die folgende allgemeine Form der isoperimetrischen
Ungleichung. Sie besagt, dass eine gewisse Oberfl\"ache
$|\partial\Omega|$ n\"otig ist, um ein gegebenes Volumen $|\Omega|$
einzuschlie\ss{}en.
\begin{theorem}[Isoperimetrische Ungleichung]
  Sei $\Omega\subset\R^n$. Dann gilt
  \[n\omega_n^{1/n}|\Omega|^{\frac{n-1}n}\le|\partial\Omega|.\]
\end{theorem}
Dabei steht $|\Omega|$ f\"ur das Lebesguesche \"au\ss{}ere Ma\ss{} von
$\Omega$ und $|\partial\Omega|$ f\"ur das $(n-1)$-dimensionale
Hausdorffma\ss{} von $\partial\Omega$. 

% F\"ur den mittleren Kr\"ummungsfluss haben wir bisher nur eine lokale
% Definition gegeben, die es eigentlich nicht erlaubt, zu sagen, wann
% z.\,B.{} deformierte Sph\"aren den mittleren Kr\"ummungsfluss
% erf\"ullen. Grob gesagt muss unsere Definition auf einer Familie von
% Gebieten erf\"ullt sein, die dann zusammen beispielsweise die Sph\"are
% \"uberdecken. Die Rechnungen sind jeweils lokal und wenn wir die
% Definitionsbereiche so einschr\"anken, dass wir jeden Punkt bei der
% Integration nur einmal ber\"ucksichtigen, kann man damit den folgenden
% Beweis rechtfertigen. \par
Wir untersuchen die isoperimetrische Ungleichung nur im folgenden
glatten Fall. Mit $\omega_3=\frac{4\pi}3$ ergibt sich
\begin{theorem}
  Sei $(M_t)_{0\le t<T}$ mit $M_t\subset\R^3$ eine glatte Familie von
  glatten geschlossenen strikt konvexen Fl\"achen, die sich unter dem
  mittleren Kr\"ummungsfluss $\dot X=-H\nu$ bewegen. Sei
  $\Omega_t\subset\R^3$ offen und beschr\"ankt mit
  $\partial\Omega_t=M_t$ f\"ur alle $t\in[0,T)$. Gelte
  $|\Omega_t|\to0$ f\"ur $t\nearrow T$. Dann gilt \[3\sqrt{4\pi}\cdot
  |\Omega_t| \le |M_t|^{3/2}\] f\"ur alle $0\le t<T$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Im eigentlichen Beweis ben\"otigen wir zwei Ungleichungen. Die
  H\"oldersche Ungleichung liefert \[\int\limits_{M_t}H\,d\mu
  \le\left(\,\,\,\int\limits_{M_t}1\,d\mu\right)^{1/2}\cdot
  \left(\,\,\,\int\limits_{M_t} H^2\,d\mu\right)^{1/2}.\] Weiterhin
  gilt f\"ur jede strikt konvexe zusammenh\"angende Fl\"ache nach
  Korollar \ref{int K cor} \[\int\limits_{M_t}H^2\,d\mu
  =\int\limits_{M_t}(\lambda_1-\lambda_2)^2\,d\mu +\int\limits_{M_t}
  4K\,d\mu \ge4\int\limits_{M_t}K\,d\mu =4\cdot\left|\partial
    B_1^3\right| =4\cdot 3\omega_3 =4\cdot 4\pi.\] (Ist $M_t$ nicht
  strikt konvex, so gilt ebenfalls die Absch\"atzung $\int H^2\ge
  16\pi$.  Dies zeigt man, indem man \"uber eine messbare Teilmenge
  $N$ von $M_t$ integriert, so dass $\nu\colon N\to\S^2$ bijektiv ist
  und $K|_N\ge0$ gilt. Details: \"Ubung.)  Wir
  definieren \[\Phi(t):=\frac1{3\sqrt{4\pi}} |M_t|^{3/2} -|\Omega_t|
  \equiv \frac1{3\sqrt{4\pi}}\left(\,\,\,\int\limits_{M_t}1\,
    d\mu\right)^{3/2}-|\Omega_t|.\] Es gilt
  \[\dt\Phi(t)=\frac1{2\sqrt{4\pi}}\left(\,\,\,\int\limits_{M_1}1\,
      d\mu\right)^{1/2} \int\limits_{M_t}-H^2\,d\mu
    -\int\limits_{M_t}-H\,d\mu.\] Ist $\int H\le0$, eine Situation,
  die aufgrund der Konvexit\"at hier nicht auftreten kann, so
  erhalten wir $\dt\Phi(t)\le0$. Sonst ist $\int H>0$ und wir erhalten
  aufgrund der vorbereiteten Ungleichungen mit Hilfe von
  $\int H^2=\sqrt{\int H^2}\cdot\sqrt{\int H^2}$
  \[\dt\Phi(t)\le-\left(\,\,\,\int\limits_{M_t}H\, d\mu\right)\cdot
  \underbrace{\frac1{4\sqrt\pi}\cdot\left(\,\,\,\int\limits_{M_t}H^2\,
      d\mu\right)^{1/2}}_{\ge1} +\int\limits_{M_t}H\,d\mu\le0.\] Wegen
  $|\Omega_t|\to0$ f\"ur $t\nearrow T$ gilt $\lim\limits_{t\nearrow
    T}\Phi(t)\ge0$. Aus $\dt\Phi(t)\le0$ folgt $\Phi(t)\ge\Phi(s)$
  f\"ur alle $t\le s$. Wir lassen nun $s\nearrow T$ und erhalten
  $\Phi(t)\ge0$ f\"ur alle $t\in[0,T)$. Dies ist \"aquivalent zur
  behaupteten isoperimetrischen Ungleichung. 
\end{proof}

\subsection{Translatierende und homothetische L\"osungen}
Im Kapitel \"uber Minimalfl\"achen haben wir bereits gesehen, dass
Minimalfl\"achen kritische Punkte des Oberfl\"achenfunktionals
sind. Solche Zusammenh\"ange gibt es auch f\"ur translatierende
L\"osungen oder homothetische L\"osungen. 

In diesem Kapitel wollen wir annehmen, dass alle auftretenden
Hyperfl\"achen glatt sind und die Integrale jeweils endlich
ausfallen. 

Wir zeigen zun\"achst nochmals eine Richtung des Resultats f\"ur
Minimalfl\"achen mit unseren jetzigen Methoden. Die andere Richtung
folgt so nicht direkt, da wir hier nur normale Ver\"anderungen
betrachten. 
\begin{theorem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache $M$, die ein
  kritischer Punkt des Funktionals $\int\limits_M1\,d\mu$ ist. Dann
  ist $X$ eine Minimalfl\"ache, \dh es gilt $H=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $F\colon\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\to\R$ eine glatte
  Funktion, deren stetige Fortsetzung auf
  $\Omega\times[-\epsilon,\epsilon]$ einen kompakten Tr\"ager in
  $\Omega\times[-\epsilon,\epsilon]$ habe und sei
  $Y\colon\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\to\R^{n+1}$ mit
  $Y(\cdot,0)=X$ und $\dot Y=-F\nu_X$. \par (Achtung: Dies ist keine
  Evolutionsgleichung der Form $\dot Y=-F\nu_Y$, da wir die Normale
  fixiert haben. Bei nicht fixierter Normale h\"atten wir eine
  partielle Differentialgleichung. Zum Zeitpunkt $t=0$ stimmen die
  Normalen jedoch \"uberein und wir k\"onnen die Evolutionsgleichung
  von $d\mu$ verwenden bzw.{} nochmals direkt analog zu oben
  herleiten.) \par
  Diese gew\"ohnliche Differentialgleichung kann man lokal l\"osen und
  $Y$ ist in beiden Variablen glatt. Da die Eigenschaft, Immersion zu
  sein, unter kleinen glatten St\"orungen erhalten bleibt, ist $Y$
  eine glatte Familie von glatten Immersionen, falls wir nur annehmen,
  dass $\epsilon>0$ klein genug ist. \par Sei $M_t=Y(\Omega,t)$. Dann
  gilt zum Zeitpunkt $t=0$
  \[\dt\int\limits_{M_t}1\,d\mu =\int\limits_{M_t}-FH\,d\mu.\] Da $X$
  ein kritischer Punkt ist, verschwinden diese Ausdr\"ucke. F\"ur
  beliebige Funktionen $F$ ist dies nur im Falle $H=0$ m\"oglich. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{translat fkt thm}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache $M$, die ein
  kritischer Punkt des Funktionals \[\int\limits_Me^{\lambda\langle
    X,\eta\rangle}\,d\mu\] mit $\eta\in\S^n$ und $\lambda\in\R$
  ist. Dann ist $X$ eine unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss mit
  Geschwindigkeit $\lambda$ in Richtung $\eta$ translatierende
  L\"osung (zu einer festen Zeit betrachtet).
\end{theorem}
\begin{remark}
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Wenn wir $X$ als translatierende L\"osung zu einer festen Zeit
    bezeichnen bedeutet dies folgendes: Zun\"achst machen wir aus $X$
    eine translatierende L\"osung, betrachten also
    $X+t\lambda\eta$. Dann betrachten wir die mittlere Kr\"ummung
    davon. Sie stimmt mit der von $X$ \"uberein. Nun sollte die
    Evolution unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss und die Translation
    \"ubereinstimmen, also $\dt(X+t\lambda\eta)=-H\nu$ gelten. Dies
    ist i.\,a.{} wegen tangentialer Diffeomorphismen nicht
    m\"oglich. Daher spricht man auch dann von einer translatierenden
    L\"osung, wenn nur die Normalenkomponenten \"ubereinstimmen. Wir
    fordern also $\langle\lambda\eta,\nu\rangle
    =\left\langle\dt(X+t\lambda\eta),\nu\right\rangle
    =-H\langle\nu,\nu\rangle =-H$.
  \item Wir haben hier gerade implizit eine Richtung als einen Vektor
    der L\"ange eins definiert.
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{translat fkt thm}]
  Wir gehen wie bei Minimalfl\"achen vor und erhalten zur Zeit $t=0$
  \[\dt\int\limits_{M_t}e^{\lambda\langle Y,\eta\rangle}\,d\mu
  =\int\limits_{M_t}e^{\lambda\langle Y,\eta\rangle}
  \left(\lambda\langle-F\nu,\eta\rangle-HF\right)\,d\mu.\]
  Somit muss $0=\lambda\langle\nu,\eta\rangle+H$ gelten. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache $M$, die ein
  kritischer Punkt des
  Funktionals \[\int\limits_Me^{\lambda\frac{|X|^2}2}\,d\mu\] mit
  $\lambda\in\R$ ist. Dann ist $M$ f\"ur $\lambda<0$ eine unter dem
  mittleren Kr\"ummungsfluss homothetisch schrumpfende und f\"ur
  $\lambda>0$ eine homothetisch expandierende L\"osung (zu einer
  festen Zeit).
\end{theorem}
\"Ublicherweise beschr\"ankt man sich auf die F\"alle $\lambda=\mp1$. 
\begin{proof}[Beweis]
  Gehe analog zu den \"Uberlegungen zu Theorem \ref{translat fkt thm}
  vor. Details: \"Ubung.
\end{proof}

In der Vorlesung \glqq Gew\"ohnliche Differentialgleichungen mit
geometrischen Anwendungen\grqq{} werden wir beispielsweise
translatierende L\"osungen unter Symmetrieannahmen untersuchen und
deren Existenz zeigen.

\subsection{Niveaufl\"achenfluss}\rule{1mm}{0mm}\\
Es gibt zwei verschiedene Varianten, den mittleren Kr\"ummungsfluss
mit Hilfe von Niveaufl\"achen darzustellen. Wir beschreiben in beiden
F\"allen nur den regul\"aren Fall. Beide Resultate gelten auch f\"ur
Teilmengen des $\R^{n+1}$. Die Resultate gelten ebenso f\"ur andere
Normalengeschwindigkeiten $F$, erfordern dann jedoch die genaue Angabe
der Normalen, da in diesem Fall m\"oglicherweise $-F\nu$, anders als
$-H\nu$, nicht mehr unter $\nu\mapsto-\nu$ invariant ist.

Die erste Niveaufl\"achenvariante ist die folgende: 
\begin{lemma}
  \label{niveau lem eins}
  Sei $w\colon\R^{n+1}\times[0,T)\to\R$ eine Funktion mit $\nabla
  w\neq0$. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Es gilt \[\dot w=\left(\delta^{\alpha\beta}-\frac{w^\alpha
        w^\beta}{|Dw|^2}\right) w_{\alpha\beta}.\]
  \item Die Niveaufl\"achen $M_t:=\{x\in\R^{n+1}\colon w(x,t)=h\}$
    erf\"ullen den mittleren Kr\"ummungsfluss bis auf tangentiale
    Diffeomorphismen, also $\left\langle\dot X,\nu\right\rangle=-H$,
    f\"ur beliebige Niveaus $h\in\R$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Hinweis: Ist $w$ eine Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren
    Kr\"ummungsflusses, \dh $w$ erf\"ullt die Differentialgleichung
    aus Lemma \ref{niveau lem eins}, und ist $X$ eine klassische
    L\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses mit $w(X(p,0),0)=c$, so
    rechnet man nach, dass $\dt w(X(p,t),t)=0$ f\"ur beliebige $p$
    gilt. Benutze dazu $\nu^\alpha=-\frac{w^\alpha}{|Dw|}$ sowie
    $H=\divergenz(\nu)=-\sum\limits_{\alpha=1}^{n+1}
    \fracp{}{x^\alpha}\left(\frac{w^\alpha}{|Dw|}\right)$.
  \item $w$ l\"ost hier f\"ur alle Niveaufl\"achen gleichzeitig den
    mittleren Kr\"ummungsfluss. 
  \item Sei $w(x,t):=t+\frac1{2n}|x|^2$. Dann ist $w$ eine
    Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses, denn es
    gilt:
    \begin{align*}
      \dot w=&\,1,\umbruch\\
      w_\alpha=&\,\frac1n x_\alpha,\umbruch\\
      w_{\alpha\beta}=&\,\frac1n\delta_{\alpha\beta},\umbruch\\
      \left(\delta^{\alpha\beta}-\frac{w^\alpha
          w^\beta}{|Dw|^2}\right) w_{\alpha\beta} =&\,
      \left(\delta^{\alpha\beta}-\frac{x^\alpha x^\beta}{|x|^2}\right)
      \frac1n\delta_{\alpha\beta} =\frac1n((n+1)-1)=1.
    \end{align*}
    Die zugeh\"origen Hyperfl\"achen $M_t$ sind schrumpfende
    Sph\"aren. 
  \item Sei $w$ eine Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren
    Kr\"ummungsflusses und sei $f\colon\R\to\R$ eine beliebige
    $C^2$-Funktion. Dann ist $v:=f\circ w$ in der Menge $Dv\neq0$ eine
    Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses. Details:
    \"Ubung.
  \item Die Niveaufl\"achengleichung f\"ur den mittleren
    Kr\"ummungsfluss ist degeneriert parabolisch, ein Eigenwert
    verschwindet.
  \item Viskosit\"atsl\"osungen erlauben es, Niveaufl\"achenl\"osungen
    auch unabh\"angig von $Dw\neq0$ zu definieren und zu
    untersuchen. Alternativ betrachtet man elliptische
    Regularisierungen der rechten Seite. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Wir kommen nun zur zweiten Variante, den mittleren Kr\"ummungsfluss
mit Hilfe von Niveaufl\"achen darzustellen. Sie funktioniert nur im
Falle $H>0$ und arbeitet daf\"ur mit zeitunabh\"angigen Funktionen. 
\begin{lemma}
  \label{niveau lem zwei}
  Sei $u\colon\R^{n+1}\to\R$ eine Funktion mit $Du\neq0$. Dann sind
  die folgenden Aussagen \"aquivalent: 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Es gilt \[\divergenz\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)
    =-\frac1{|\nabla u|}.\]
  \item Die Niveaufl\"achen $M_t:=\{x\in\R^{n+1}\colon u(x)=t\}$
    erf\"ullen den mittleren Kr\"ummungsfluss bis auf tangentiale
    Diffeomorphismen. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Wir k\"onnen die Differentialgleichung wegen
    $\divergenz\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right) =\frac{\Delta
      u}{|\nabla u|} -\frac{D^2u\langle\nabla u,\nabla
      u\rangle}{|\nabla u|^3}$ auch als \[\Delta u
    -\frac{D^2u\langle\nabla u,\nabla u\rangle}{|\nabla u|^2}=-1\]
    schreiben.
  \item Hinweis: Ist $u$ eine Niveaufl\"achenl\"osung des mittleren
    Kr\"ummungsflusses, \dh $u$ erf\"ullt die Differentialgleichung
    aus Lemma \ref{niveau lem zwei}, und ist $X$ eine klassische
    L\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses mit $u(X(p,0))=c$, so
    rechnet man nach, dass $\dt u(X(p,t))=1$ f\"ur beliebige $p$ gilt.
  \item $u(x):=-\frac1{2n}|x|^2$ ist eine Niveaufl\"achenl\"osung des
    mittleren Kr\"ummungsflusses, denn es gilt:
    \begin{align*}
      u_\alpha=&\,-\frac1nx_\alpha,\umbruch\\
      \divergenz\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)
      =&\,\divergenz\left(-\frac x{|x|}\right) =-\frac{(n+1)-1}{|x|}
      =-\frac n{|x|} =-\frac1{|\nabla u|}.
    \end{align*}
    Diese L\"osung beschreibt Sph\"aren, die f\"ur $t\nearrow0$ zu
    einem Punkt konvergieren. 
  \item Die Differentialgleichung hier ist degeneriert elliptisch und
    wird ebenenfalls mit Hilfe von Viskosit\"atsl\"osungen oder
    elliptischer Regularisierung untersucht.
  \item \"Ubung: Welche Evolutionsgleichung geh\"ort zur
    Differentialgleichung \[\divergenz\left(\frac{\nabla u}{|\nabla
        u|}\right) =|\nabla u|?\] Bestimme eine
    (rotationssymmetrische) L\"osung dieser Differentialgleichung.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Beide Versionen von Niveaufl\"achenl\"osungen (``level-set
  solutions'') sind f\"ur die Untersuchung von L\"osungen wichtig, die
  Singularit\"aten entwickeln. Beispiel: Eine
  ``neck-pinch''-Singularit\"at.
\end{remark}

Mit Hilfe der Niveaufl\"achenformulierung k\"onnen wir eine nicht so
triviale L\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses erstaunlicherweise
in geschlossener Form hinschreiben.
\begin{beispiel}[Haarnadell\"osung]
  Sei $v\neq0$. Betrachte die Menge
  \[M_t:=\left\{(x,y)\in\R^2:e^{v^2t}\cosh(vy)=\cos(vx)\right\}.\]
  Dann ist $M_t$ eine L\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses. Die
  Kurven 
  $M_t$ sehen f\"ur $t\ll-1$ wie lange Haarnadeln oder B\"uroklammern
  und f\"ur $t\uparrow0$ wie kleine runde Kreise aus.\par
  Man kann die L\"osung lokal auch verm\"oge 
  \[y_{\pm} := \frac1v \log\left(\cos(vx)
      \pm\sqrt{\cos^2(vx)-e^{2v^2t}} \right)-vt.\]
  als Graph darstellen und beim Nachrechnen, dass es sich um eine
  L\"osung handelt $t_x=u_x=-\frac{\sin(vx)}{v\cos(vx)}$ und
  $u_y=-\frac{\sinh(vy)}{v\cosh(vy)}$ als Zwischenergebnisse
  begegnen. 
\end{beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\section{Gew\"ohnliche Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten}
\subsection{Fl\"usse in Tangentialrichtung}
Wir wiederholen zun\"achst ein Resultat aus Analysis III. 
\begin{theorem}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine geschlossene
  $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei
  $V\colon\R^{n+1}\times[0,T]\to\R^{n+1}$ ein $C^k$-Vektorfeld,
  $k\ge1$, das in $M$ tangential zu $M$ ist, \dh f\"ur
  $(x,t)\in M\times[0,T]$ gilt $V(x,t)\in T_xM$. Sei $x_0\in M$. Dann
  besitzt das Anfangswertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \dot\alpha(t)=V(\alpha(t),t),&t\in[0,T],\\
    \alpha(0)=x_0&
  \end{cases}
  \]
  eine $C^{k+1}$-L\"osung $\alpha\colon[0,T]\to M$. $\alpha$ ist die
  einzige $C^1([0,T],\R^{n+1})$-L\"osung dieses Anfangswertproblems.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $d$ (lokal) die signierte Distanzfunktion zu $M$. Da $M$ von der
  Klasse $C^2$ ist, ist (in einer Tubenumgebung $U$ von $M$) $d\in
  C^2$ nach Lemma \ref{tubenumg d lem}.  Wir setzen $\nu:=\frac{\nabla
    d}{|\nabla d|}$. Es gilt $\nu\in C^1$.  Wir definieren in
  $U\times[0,T]$ das $C^1$-Vektorfeld \[\tilde V:=V-\langle
  V,\nu\rangle\nu.\] Nach dem Satz von Picard-Lindel\"of besitzt das
  Anfangswertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \dot{\alpha}(t)=\tilde V(\alpha(t),t),&t\in[0,T],\\
    \alpha(0)=x_0
  \end{cases}
  \]
  eine $C^2$-L\"osung $\alpha\colon[0,\epsilon)\to\R^{n+1}$ f\"ur ein
  $\epsilon>0$. \par
  Wir m\"ochten nun zeigen, dass die L\"osung auf $M$ bleibt. Es folgt
  f\"ur $\alpha(t)\in U$
  \[\dt d(\alpha(t))
  =\left\langle\nabla d(\alpha(t)), \dot{\alpha}(t)\right\rangle
  =\left\langle\nabla d(\alpha(t)),\tilde V(\alpha(t),t)\right\rangle
  =0.\] Also gilt $d(\alpha(t))=0$, solange $\alpha(t)\in U$
  gilt. Damit ist $\alpha(t)\in M$ f\"ur $\alpha(t)\in
  U$. Insbesondere folgt hieraus, dass die Menge aller
  $t\in[0,\epsilon)$, f\"ur die $\alpha(t)\in M$ gilt, (relativ) offen
  ist. Aufgrund der Abgeschlossenheit von $M$ ist sie aber auch
  relativ abgeschlossen. Schlie\ss{}lich ist $\alpha(0)=x_0\in M$. Da
  $[0,\epsilon)$ zusammenh\"angend ist, gilt somit $\alpha(t)\in M$
  f\"ur alle $t\in[0,\epsilon)$. \par
  Da $V$ beschr\"ankt ist, l\"asst sich $\alpha$ mit Hilfe der
  \"aquivalenten Integralformulierung auf $[0,\epsilon]$ und wie oben
  mit Startzeit $t=\epsilon$ statt $t=0$ \"uber $t=\epsilon$ hinaus
  fortsetzen. Durch Betrachten des maximalen Existanzintervalles sehen
  wir, dass $\alpha$ auf ganz $[0,T]$ existiert und $\alpha(t)\in M$
  f\"ur alle $t\in[0,T]$ erf\"ullt. \par
  Auf $M\times[0,T]$ gilt $\tilde V=V$. Somit l\"ost
  $\alpha(t)$ auch das Anfangswertproblem 
  \[
  \begin{cases}
    \dot\alpha(t)=V(\alpha(t),t),&t\in[0,T],\\
    \alpha(0)=x_0.
  \end{cases}
  \]
  Wegen $V\in C^1$ ist $\alpha$ die einzige $C^1$-L\"osung dieses
  Anfangswertproblems. Die Regularit\"at von $\alpha$ folgt aus der
  von $V$. 
\end{proof}

\begin{remark}\stern
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Die obige \"Uberlegung l\"asst sich auch auf h\"ohere
    Kodimensionen \"ubertragen, wenn man eine vektorwertige Funktion
    $\Phi$ betrachtet.
  \item Alternativ kann man $M$ mit Hilfe eines Diffeomorphismusses
    geradebiegen. 
  \item Ist $V$ nur auf $M$ definiert, so kann man zun\"achst $V$ in
    eine Umgebung fortsetzen. Da die L\"osung auf $M$ bleibt, ist sie
    unabh\"angig von der Wahl der Fortsetzung. 
  \item Ist $V$ auf $M\times\R$ definiert, so \"uberlegt man sich
    leicht, dass auch $\alpha$ auf ganz $\R$ existiert.
  \item Verallgemeinere das Resultat auf nichtkompakte
    Untermannigfaltigkeiten $M$, so dass $M\cap \ol{B}_R$ f\"ur jedes
    $R>1$ kompakt ist.
  \item Formuliere und beweise ein Resultat \"uber den maximalen Fluss
    \"ahnlich wie im Euklidischen.
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

\subsection{Tangentialgradient}
Die folgenden \"Uberlegungen sind eine extrinsischere Variante und
Verallgemeinerung von dem, was wir schon im Kapitel \ref{diffbarkeit
  tang sec} f\"ur Differenzierbarkeit gemacht haben.
\begin{definition}
  Sei $M^m\subset\R^{n+m}$ eine $C^k$-Untermannigfaltigkeit und $f\colon
  M\to\R^l$ eine Funktion. Dann hei\ss{}t $f$ von der Klasse $C^k$,
  falls es eine $C^k$-Fortsetzung $\tilde f\colon\R^{n+m}\to\R^l$
  gibt. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $M^m\subset\R^{n+m}$ eine $C^k$-Untermannigfaltigkeit mit
  $k\ge2$ und $f\colon M\to\R^l$ eine Funktion.  Sei
  $U\subset\R^{n+m}$ offen.  Sei $\phi\colon M\cap U\to\R^m$ eine
  $C^k$-Karte von $M$. Dann gilt $f\in C^k$ genau dann, wenn
  $f\circ\phi^{-1}\in C^k$ ist. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. Hinweis: Nutze Tubenumgebungen und eine Zerlegung der Eins.   
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $M^m\subset\R^{n+m}$ eine $C^1$-Untermannigfaltigkeit und
  $f\colon M\to\R$ eine Funktion. Dann definieren wir den
  \emph{Gradienten} oder \emph{Tangentialgradienten} von $f$ in $x$,
  $\nabla^Mf(x)$, als orthogonale Projektion von
  $\nabla_{\R^{m+n}}\tilde f(x)$ auf $T_xM\subset\R^{n+m}$ f\"ur eine
  beliebige $C^1$-Fortsetzung $\tilde f$ von $f$.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $\nabla^M f$ ist wohldefiniert, \dh insbesondere von der Wahl
    der Fortsetzung von $f$ unabh\"angig. 
  \item Sei $N_1,\ldots,N_n$ eine Orthonormalasis von $(T_xM)^\perp$,
    so ist
    \[\nabla^M f(x)=\nabla\tilde f(x)-\sum\limits_{i=1}^n
    \left\langle \nabla\tilde f(x),N_i\right\rangle N_i.\]
    Insbesondere gilt also in Kodimension eins
    \[\nabla^M f(x)=\nabla\tilde f(x)-\left\langle \nabla\tilde
        f(x),\nu(x)\right\rangle\nu(x).\]
  \item Ist $\{T_i\}_{1\le i\le n}$ eine Orthonormalbasis von $T_xM$,
    so gilt
    \[\nabla^Mf(x) =\sum\limits_{i=1}^n
      \left\langle\nabla\tilde f,T_i\right\rangle T_i.\]
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $M^m\subset\R^{n+m}$ eine $C^1$-Untermannigfaltigkeit und
  $f\colon M\to\R$ von der Klasse $C^1$. 
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Dann hei\ss{}t $x_0\in M$ kritischer Punkt von $f$, falls
    $\nabla^M f(x_0)=0$ gilt.
  \item Ein kritischer Punkt $x_0\in M$ hei\ss{}t isoliert, falls es
    ein $\epsilon>0$ gibt, so dass kein
    $x\in (B_\epsilon(x_0)\setminus\{x_0\})\cap M$ ein kritischer
    Punkt ist.
  \item \stern Ist jeder kritische Punkt isoliert, so sagen wir, dass
    $f$ nur isolierte kritische Punkte besitzt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Das folgende Lemma beschreibt eine Situationen, in der kritische
Punkte isoliert sind.
\begin{lemma}
  \label{str konv isol krit pkt lem}
  Sei $M^n\subset\R^{n+1}$ eine lokal strikt konvexe
  $C^2$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit. Sei
  $f:\R^{n+1}\rightarrow \R$ durch $f(x)=x^{n+1}$ gegeben. Dann
  besitzt $f$ auf $M$ nur isolierte kritische Punkte.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in M$ ein kritischer Punkt von $f$ auf $M$. Dann gilt
  \begin{align*}
    0=&\,\nabla^Mf(x_0) =\nabla f(x_0)-\langle\nabla f(x_0),
    \nu(x_0)\rangle \nu (x_0)\umbruch\\ 
    =&\,e_{n+1}- \langle e_{n+1},\nu(x_{0})\rangle \nu(x_{0}).
  \end{align*} 
  Also ist
  \begin{align*}
    1=&\,|e_{n+1}|=|\langle e_{n+1},\nu(x_0)\rangle \nu(x_0)|
    =|\langle e_{n+1}, \nu(x_0)\rangle|
  \end{align*}
  und somit gilt $\nu(x_{0})=\pm e_{n+1}.$ Wir nehmen ohne
  Einschr\"ankung $x_0=0$ und $\nu(x_0)=-e_{n+1}$ an. Dann
  gilt in einer Umgebung $U$ des Ursprungs $M=\graph u$ f\"ur eine
  Funktion $u:\R^n\rightarrow\R$ mit $Du(0)=0$ und $D^2u(0)\succ
  0$. Es folgt $Du(x)\neq0$ f\"ur $x\in U$ mit $x\neq0$. F\"ur solche
  Punkte $x$ gilt daher $\nu(x)\neq\pm \, e_{n+1}$. Aufgrund der
  obigen \"Uberlegungen ist $x$ also kein kritischer Punkt von
  $f$. Also ist $x_0$ ein isolierter kritischer Punkt von $f$ auf
  $M$.
\end{proof}

\subsection{Gradientenfl\"usse auf Mannigfaltigkeiten}

Das folgende Resultat gilt nat\"urlich in analoger Weise f\"ur
$t\to-\infty$. Wir folgen \cite{ThorpeElDG}. 
\begin{theorem}
  \label{neg grad fluss konv thm}
  Sei $M^m\subset\R^{n+m}$ eine geschlossene
  $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei $f\colon M\to\R$ von der Klasse
  $C^{1,1}$ und $f$ besitze nur isolierten kritische Punkte. Sei
  $\alpha\equiv\alpha_x\colon\R\to M$ eine L\"osung von
  $\dot\alpha(t)=-\nabla^M f(\alpha(t))$ f\"ur alle $t\in\R$ mit
  $\alpha_x(0)=x\in M$.\par Dann gelten die folgenden Aussagen:
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Es existiert $x_0\in M$ mit $x_0=\lim\limits_{t\to\infty}
    \alpha(t)$. 
  \item Es gilt $\nabla^M f(x_0)=0$. 
  \item $t\mapsto f(\alpha(t))$ ist monoton fallend. 
  \item Ist $x_0$ ein striktes lokales Minimum von $f|_M$, so
    ist \[\left\{x\in M\colon \lim\limits_{t\to\infty}
      \alpha_x(t)=x_0\right\}\] relativ offen in $M$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Aufgrund der Kompaktheit von $M$ existiert die L\"osung
    $\alpha$ f\"ur alle $t\in\R$ mit $\alpha(t)\in M$ f\"ur alle
    $t\in\R$. Nochmals aufgrund der Kompaktheit gibt es ein $x_0\in M$
    und eine Folge $(t_k)_{k\in\N}\subset\R$ mit $t_k\to\infty$ f\"ur
    $k\to\infty$ und $\lim\limits_{k\to\infty} \alpha(t_k)=x_0$.
  \item\label{f mon grad fluss absch} Wir behaupten, dass
    $\nabla^Mf(x_0)=0$ gilt: Zun\"achst leiten wir eine Monotonie
    her. Da $\dot\alpha(t)\in T_{\alpha(t)}M$ gilt, folgt
    \begin{align*}
      f(\alpha(t))-f(\alpha(0)) =&\,\int\limits_0^t\dt
      f(\alpha(t))\,dt\umbruch\\ =&\,\int\limits_0^t\langle\nabla
      f(\alpha(t)),\dot\alpha(t)\rangle\,dt\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^t\left\langle\nabla^Mf(\alpha(t)),
        -\nabla^Mf(\alpha(t))\right\rangle\,dt\umbruch\\
      =&\,-\int\limits_0^t\left|\nabla^Mf(\alpha(t))\right|^2\,dt.
    \end{align*}
  \item Da $M$ kompakt ist, ist $f|_M$ beschr\"ankt. W\"are
    $\nabla^Mf(x_0)\neq0$, so g\"abe es eine Umgebung $U$ von $x_0$
    (in $M$) mit $\left|\nabla^Mf(x)\right|\ge\epsilon>0$ f\"ur alle
    $x\in U$. Sei $\delta>0$ mit $B_{2\delta}(x_0)\cap M\subset U$. Da
    $\ol U$ (und sogar $M$) kompakt ist, gibt es $L>0$, so dass
    $\left|\nabla^Mf(x)\right|\le L$ f\"ur alle $x\in\ol U$
    gilt. F\"ur gro\ss{}e $k\in\N$ gilt
    $\alpha(t_k)\in B_\delta(x_0)$. Wegen $|\dot\alpha(t)|\le L$ f\"ur
    $\alpha(t)\in\ol U$ folgt
    \[|\alpha(t)-\alpha(t_k)|\le L\cdot|t-t_k|\] f\"ur
    $\alpha([t_k,t])\subset\ol U$. Die Inklusion gilt zun\"achst f\"ur
    $t\approx t_k$ aus Stetigkeitsgr\"unden, dann aber aufgrund der
    obigen Absch\"atzung auch f\"ur alle $t$ mit
    $|t-t_k|\le\frac\delta L$. Nach \"Ubergang zu einer Teilfolge
    d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung $t_{k+1}>t_k+2\frac\delta L$,
    $\alpha(t_k)\in B_\delta(x_0)$ f\"ur alle $k\in\N$ und
    $t_0\ge\frac\delta L$ annehmen. Damit sind die Intervalle
    $\left(t_k-\frac\delta L, t_k+\frac\delta L\right)\subset\R_+$
    disjunkt. Weiterhin haben wir in \eqref{f mon grad fluss absch}
    gesehen, dass $f$ monoton fallend ist. Au\ss{}erdem ist $f$
    beschr\"ankt. Der Grenzwert f\"ur $t\to\infty$ existiert also und
    wir erhalten
    \begin{align*}
      -c<&\,\lim\limits_{k\to\infty}
                f(\alpha(t_k))-f(\alpha(0))\umbruch\\
      =&\,-\lim\limits_{k\to\infty} \int\limits_0^{t_k}
         \left|\nabla^Mf(\alpha(t))\right|^2\,dt 
         \umbruch\\
      \le&\,-\sum\limits_{k\in\N}\,\,\, 
           \int\limits_{t_k-\frac\delta L}^{t_k+\frac\delta L}
           \left|\nabla^Mf(\alpha(t))\right|^2\,dt\umbruch\\
      \le&\,-\sum\limits_{k\in\N} 2\frac\delta L\epsilon^2 =-\infty. 
    \end{align*}
    Widerspruch. Somit gilt $\nabla^Mf(x_0)=0$.
  \item Es gilt $\lim\limits_{t\to\infty} \alpha(t)=x_0$: Falls nicht,
    so existiert, da eine Teilfolge trotzdem gegen $x_0$ konvergiert,
    f\"ur jedes hinreichend kleine $\epsilon>0$ eine Folge
    $t_k\to\infty$ mit
    \[|\alpha(t_{2k})-x_0|<\frac\epsilon2\quad
      \text{und}\quad|\alpha(t_{2k+1})-x_0|>\epsilon.\] Nach dem
    Zwischenwertsatz gibt es somit eine neue Folge
    $(\tau_k)_{k\in\N}\subset\R$ mit $t_{2k}<\tau_k<t_{2k+1}$ und
    $|\alpha(\tau_k)-x_0|=\epsilon$. Da
    $\partial B_\epsilon(x_0)\cap M$ kompakt ist, konvergiert eine
    Teilfolge von $\alpha(\tau_k)$; ohne Einschr\"ankung gelte also
    $\alpha(\tau_k)\to x_\epsilon\in\partial B_\epsilon(x_0)$ f\"ur
    $k\to\infty$. Wie oben erhalten wir
    $\nabla^Mf(x_\epsilon)=0$. \par
    Wiederholen wir nun dieses Argument, so erhalten wir eine Folge
    $\epsilon_k\searrow0$ und Punkte
    $x_{\epsilon_k}\in\partial B_{\epsilon_k}(x_0)$ mit
    $\nabla^Mf(x_{\epsilon_k})=0$. Somit ist $x_0$ kein isolierter
    kritischer Punkt. Widerspruch.
  \item Nimmt $f$ in $x_0$ ein striktes lokales Minimum an, so gibt es
    $\epsilon>0$, so dass $f$ in $B_{2\epsilon}(x_0)\cap M$ nur den
    kritischen Punkt $x_0$ besitzt und $f(x)>f(x_0)$ f\"ur alle
    $x\in \left(B_{2\epsilon}(x_0)\cap M\right)\setminus\{x_0\}$
    gilt. Durch Verkleinern von $\epsilon>0$ k\"onnen wir ohne
    Einschr\"ankung annehmen, dass
    $\partial B_\epsilon(x_0)\cap M\neq\emptyset$ gilt. Wir setzen
    \[h:=\inf\limits_{x\in\partial B_\epsilon(x_0)\cap M} f(x).\] Das
    Infimum wird aufgrund der Kompaktheit angenommen und es gilt
    $h>f(x_0)$. Wir definieren weiter
    \[M^h:=\left\{x\in M\cap B_\epsilon(x_0)\colon f(x)<h\right\}.\]
    Sei $x_1\in M^h$ beliebig. Betrachte das Anfangswertproblem
    \[
    \begin{cases}
      \dot\alpha(t)=-\nabla^Mf(\alpha(t)),&t\ge0,\\
      \alpha(0)=x_1. 
    \end{cases}
    \]
    Da $\alpha$ einen negativen Gradientenfluss erf\"ullt, gilt
    $f(\alpha(t))<h$ f\"ur alle $t\ge0$. Wir behaupten, dass
    $\alpha(t)\in M^h$ f\"ur alle $t\ge0$ gilt. Sonst g\"abe es ein
    minimales $t_0>0$ mit
    $\alpha(t_0)\in\partial B_\epsilon(x_0)\cap M$, da $\alpha$ wegen
    $f(\alpha(t))<h$ nie den Teil des Randes mit $f=h$ erreichen
    kann. Nach Definition von $h$ w\"are dann $f(\alpha(t_0))\ge
    h$. Widerspruch. \par Aufgrund der obigen Beweisteile existiert
    $\lim\limits_{t\to\infty}\alpha(t)=:x_\infty$. Da $\alpha$ in
    $M^h$ bleibt und $x_\infty$ ein kritischer Punkt von $f|_M$ ist,
    folgt $\alpha(t)\to x_0$ f\"ur $t\to\infty$. Die Menge $M^h$ ist
    also eine offene Umgebung von $x_0$ und alle L\"osungen von
    $\dot\alpha(t) =-\nabla^Mf(\alpha(t))$, die $\alpha(t_0)\in M^h$
    f\"ur ein $t_0\in\R$ erf\"ullen, konvergieren f\"ur $t\to\infty$
    gegen $x_0$.
  \item Sei $y\in M$ ein weiterer Punkt mit
    $\lim\limits_{t\to\infty}\alpha_y(t)=x_0$, wobei wir mit
    $\alpha_y$ eine L\"osung von
    $\dot\alpha_y(t)=-\nabla^Mf(\alpha_y(t))$ mit
    $\alpha_y(0)=y$ bezeichnet haben. Dann gibt es ein
    $T\ge0$ mit $\alpha_y(T)\in M^h$. Da L\"osungen stetig vom
    Anfangswert abh\"angen und $M^h$ (relativ) offen ist, gibt es ein
    $\delta>0$, so dass f\"ur alle $z\in B_\delta(y)$ auch
    $\alpha_z(T)\in M^h$ gilt. Daraus folgt
    $\lim\limits_{t\to\infty} \alpha_z(t)=x_0$. Wir erhalten die
    behauptete Offenheit. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Globale Konvexit\"at}
\label{globale konv sec}
Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen, dass lokal strikt konvexe
$C^2$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten auch global konvex
sind. Beachte, dass solch ein Resultat f\"ur immersierte
Mannigfaltigkeiten schon im Fall $n=1$ i.\,a.{} falsch ist.

Zur Erinnerung: 
\begin{definition}
  \stern
  Sei $K\subset\R^{n+1}$ eine Menge. Dann hei\ss{}t $K$ (global)
  konvex, falls es f\"ur jeden Punkt $x_0\in\partial K$ eine affin
  lineare Funktion $f\not\equiv0$ mit $f(x_0)=0$ und
  $K\subset\{x\in\R^{n+1}\colon f(x)\ge0\}$ gibt. 
\end{definition}

Wir folgen nochmals \cite{ThorpeElDG}. 
\begin{theorem}
  Sei $M^n\subset\R^{n+1}$ eine geschlossene zusammenh\"angende lokal
  strikt konvexe $C^2$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit. Dann ist
  $M^n$ (global) konvex.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis im Fall $n\ge2$]
  Sei $M$ nicht global konvex. Dann gibt es einen Punkt $x_1\in M$, so
  dass f\"ur jede affin lineare Funktion
  $0\not\equiv f\colon\R^{n+1}\to\R$ mit $f(x_1)=0$ auch ein Punkt
  $x\in M$ mit $f(x)<0$ existiert. W\"ahle nun eine affin lineare
  Funktion $f$ mit $f(x_1)=0$ und
  $\{y\in\R^{n+1}\colon f(y)=0\}=T_{x_1}M$, so dass $f|_M$ in $x_1$
  ein lokales Minumum besitzt (benutze dazu die lokale
  Normalform). Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir nach Rotation,
  Translation und Skalierung annehmen, dass $f(y)=y^{n+1}$ gilt. Nach
  Annahme gibt es $x\in M$ mit $f(x)<0$. Da $M$ kompakt ist, besitzt
  $f|_M$ ein Minimum in einem Punkt $x_2$ mit
  $f(x_2)\le f(x)<f(x_1)=0$. Sei $Z:=\{x_1,\ldots,x_N\}$ die Menge
  aller lokalen Minima von $f|_M$, bestehend aus $N$ paarweise
  verschiedenen Punkten. Dann gilt $N\ge2$. Nach Lemma \ref{str konv
    isol krit pkt lem} sind alle diese kritischen Punkte isolierte
  kritische Punkte von $f$.  Daher sind es auch nur endlich
  viele. Seien $U_i$ die nach Theorem \ref{neg grad fluss konv thm} in
  $M$ relativ offenen Mengen, die aus den Punkten $x\in M$ bestehen,
  so dass die L\"osungen
  \[
  \begin{cases}
    \dot\alpha(t)=-\nabla^Mf(\alpha(t)),&t\ge0,\\
    \alpha(0)=x&
  \end{cases}
  \]
  f\"ur $t\to\infty$ gegen $x_i$ konvergieren.  Sei $Z$ die nach Lemma
  \ref{str konv isol krit pkt lem} endliche Menge der lokalen Maxima
  von $f|_M$. Da L\"osungen $\alpha$ genau dann gegen einen Punkt in
  $Z$ konvergieren, wenn sie in $Z$ starten, gilt 
  \[M=Z\cup\bigcup\limits_{i=1}^N U_i\] und alle diese $N+1$ Mengen
  sind paarweise disjunkt. Wegen $n\ge2$ ist $M\setminus Z$
  zusammenh\"angend, sogar wegzusammenh\"angend (betrachte eine lokale
  Graphendarstellung um die isolierten Punkte in $Z$). Somit haben wir
  $M\setminus Z$ mit $\bigcup\limits_{i=1}^N U_i$ als disjunkte
  Vereinigung von offenen nichtleeren Mengen dargestellt. (Die Mengen
  $U_i$ sind sogar wegzusammenh\"angend.) Wegen $N\ge2$ erhalten wir
  einen Widerspruch dazu, dass $M\setminus Z$ zusammenh\"angend ist.
\end{proof}

\section{Geod\"atische}

\subsection{Geod\"atische auf Untermannigfaltigkeiten} 

\begin{definition} 
  Sei $M\subset \R^{n+1}$ eine $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei
  $\alpha: (a,b)\rightarrow \R^{n+1}$ eine $C^2$-Kurve mit
  $\alpha(t)\in M$ f\"ur alle $t\in (a,b)$. Dann hei\ss{}t $\alpha$
  Geod\"atische, falls
  \[\ddot{\alpha}(t)\in \left(T_{\alpha(t)}M\right)^\perp\]
  f\"ur alle $t\in(a,b)$ gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item In der Definition haben wir die Dimension von $M$ nicht
    vorgegeben. Auch $M=\R^{n+1}$ ist m\"oglich. Wir schreiben auch
    $\alpha:(a,b) \rightarrow M$. Manchmal betrachten wir auch
    Geod\"atische auf halb offenen oder abgeschlossenen Intervallen.
  \item Physikalische Interpretation: Beschreibt $\alpha(t)$ die Lage
    eines Massenpunktes auf $M$ zur Zeit $t$, so ist
    $m\ddot{\alpha}=F$ die auf den Massenpunkt wirkende Kraft. Die
    Bedingung $\ddot{\alpha}(t)\in\left(T_{\alpha(t)}M\right)^\perp$
    besagt also, dass keine tangentialen Kr\"afte auf den Massenpunkt
    wirken. In normaler Richtung wirken die Zwangskr\"afte, die den
    Massenpunkt auf $M$ halten. \par
    Im Falle $M=\R^{n+1}$ lautet die Bewegungsgleichung
    $\ddot{\alpha}=0$ und beschreibt die Bewegung eines Massenpunktes,
    auf den keine Kr\"afte wirken.
  \item Geometrische Folgerung: Definiere $\alpha(t):=x_0+t(x_1-x_0)$
    f\"ur $x_0\neq x_1\in \R^{n+1}$ und $t\in[0,1]$. Dann ist $\alpha$
    eine Geod\"atische mit L\"ange $L(\alpha)=|x_1-x_0|$. Sei
    $y:[0,1]\rightarrow\R^{n+1}$ eine weitere $C^1$-Kurve mit
    $y(0)=x_0$ und $y(1)=x_1$. Dann gilt aufgrund der
    Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und des Hauptsatzes der
    Differential- und Integralrechnung
    \begin{align*}
      L(y)=&\,\int\limits_0^1|\dot{y}(t)|\,dt\geq \int\limits_0^1
      \frac{\langle\dot{y}(t),x_1-x_0\rangle}{|x_1-x_0|} dt\umbruch\\  
      =&\,\frac{\langle y(1),x_1-x_0\rangle-\langle
        y(0),x_1-x_0\rangle}{|x_1-x_0|}\umbruch\\ 
      =&\,\frac{|x_1-x_0|^2}{|x_1-x_0|}=|x_1-x_0|=L(\alpha).
    \end{align*}
    Somit ist $\alpha$ die K\"urzeste $C^1$-Kurve, die $x_0$ und $x_1$
    verbindet. Wir werden sp\"ater sehen, dass Geod\"atische,
    eingeschr\"ankt auf kleine Intervalle, ebenfalls die L\"ange
    zwischen ihren Endpunkten minimieren. Wir sagen daher, dass
    Geod\"atische lokal K\"urzeste sind.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proposition} 
  Eine Geod\"atische ist proportional zur Bogenl\"ange parametrisiert. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $\frac{d}{dt} |\dot{\alpha}(t)|^2 = 2\langle\dot{\alpha}(t),
  \ddot{\alpha}(t)\rangle=0.$
\end{proof}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Seien $u,v\in \R^{n+1}$ und $\alpha(t)=u+vt\in M$ f\"ur alle
    $t\in (a,b).$ Dann ist $\alpha$ ein Geradensegment und eine
    Geod\"atische.
  \item Seien $u,v\in \R^{n+1}$ orthonormale Vektoren. Dann ist der
    Gro\ss{}kreis $\alpha:(a,b)\rightarrow \S^n$ mit $\alpha(t)=\cos t
    \cdot u+\sin t \cdot v$ eine Geod\"atische. 
  \item Sei $M=\S^1\times\R\subset\R^3$ ein Zylinder. Dann ist f\"ur
    beliebiges $h\in\R$ die Spiralkurve $ \alpha:\R\rightarrow M$,
    $t\rightarrow (\cos t, \sin t, ht)$ eine Geod\"atische, da
    \[\ddot{\alpha}(t)=\left (-\cos t,-\sin t,
      0\right)\in\left(T_{\alpha(t)}M\right)^\perp\] gilt. Wickeln wir
    den Zylinder auf die Ebene $\R^2$ ab, so wird aus der Spiralkurve
    $\alpha$ eine Gerade, also ebenfalls eine Geod\"atische. Es gilt
    allgemein, dass Isometrien $\Phi \colon M\rightarrow \tilde{M}$
    Geod\"atische auf Geod\"atische abbilden. Dabei ist es irrelevant,
    wie $M$ im Raum liegt. Wir sagen daher, dass die Eigenschaft,
    Geod\"atische zu sein, nur von der inneren Geometrie von $M$, also
    der Metrik, abh\"angt. Solche Dinge werden wir auch f\"ur abstrakte
    Mannigfaltigkeiten untersuchen. Weitere Beispiele, die nur von der
    inneren Geometrie abh\"angen, sind die L\"ange einer Kurve oder
    der Abstand zwischen zwei Punkten.
  \item Auf dem Ellipsoid
    \[M=\left\{(x,y,z)\in\R^3 \colon
      \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}\] ist
    jede proportional zur Bogenl\"ange parametrisierte Kurve, die in
    einer der Koordinatenebenen $\{x=0\}$, $\{y=0\}$ oder
    $\{z=0\}$ verl\"auft, eine Geod\"atische. \par
    Sei $E$ eine der Koordinatenebenen. Aus Symmetriegr\"unden gilt
    $\nu(\alpha(t))\in E$ f\"ur alle $t$. Die Vektoren
    $\dot{\alpha}(t)$ und $\nu(\alpha(t))$ bilden somit eine
    Orthonormalbasis von $E$. Aus $\alpha(t)\in E$ f\"ur alle $t$
    folgt auch $\ddot\alpha(t)\in E$. Schlie\ss{}lich gilt
    $\langle\ddot{\alpha}(t),
    \dot{\alpha}(t)\rangle=\frac{d}{dt}|\dot{\alpha}(t)|^2=0$. Daher
    ist $\ddot{\alpha}(t)$ proportional zu $\nu(x(t))$.
  \item Bestimme auf dem durch die Gleichung
    \[\beta(x^2+y^2)=z^2\]
    im $\R^3$ definierten Kegel Geod\"atische, die keine
    Geradenst\"ucke sind. Benutze dabei eine lokale Isometrie zu
    $\R^2$ f\"ur eine Vermutung \"uber das Aussehen dieser
    Geod\"atischen. (Details: \"Ubung.)
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{theorem}
  Sei $M\subset \R^{n+1}$ eine Untermannigfaltigkeit. Seien $p\in M$
  und $V\in T_pM$. Dann gibt es genau eine maximale Geod\"atische
  $\alpha$ mit $\alpha(0)=p$ und $\dot{\alpha}(0)=V$.
\end{theorem}
Ohne explizite Regularit\"atsangabe gehen wir stets davon aus, dass
alle Daten glatt sind.
\begin{proof}[Beweis]
  Wir leiten zun\"achst eine gew\"ohnliche Differentialgleichung f\"ur
  $\alpha$ her. Ist $\alpha$ eine Geod\"atische auf einer
  Hyperfl\"ache, so gilt
  \[\ddot{\alpha}(t)=\left\langle\ddot{\alpha}(t),\nu(\alpha(t))
  \right\rangle\nu(\alpha(t)).\] Aus $\langle\dot{\alpha}(t),
  \nu(\alpha(t))\rangle=0$ erhalten wir
  \begin{align*}
    0=&\,\frac{d}{dt}\langle\dot{\alpha}(t),
    \nu(\alpha(t))\rangle\umbruch\\ 
    =&\,\langle\ddot{\alpha}(t),
    \nu(\alpha(t))\rangle+\left\langle\dot{\alpha}(t), \frac{d}{dt}
      \nu(\alpha(t))\right\rangle\umbruch\\ 
    =&\,\langle\ddot{\alpha}(t),
    \nu(\alpha(t))\rangle+\langle\dot{\alpha}(t),
    D\nu(\alpha(t))\langle\dot{\alpha}(t)\rangle\rangle.
  \end{align*}
  Oben eingesetzt erhalten wir also
  \begin{equation}
    \label{geod ode eq}
    \ddot{\alpha}(t)=-\langle\dot{\alpha}(t), D\nu
    (\alpha(t))\langle\dot{\alpha}(t)\rangle\rangle\cdot\nu\left
      ((\alpha(t)\right). 
  \end{equation}
  Sei nun (lokal) $M=f^{-1}(\{0\})$ eine
  Niveaufl\"achendarstellung. Wir setzen $\nu$ verm\"oge
  $\nu=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ in eine Umgebung von $M$
  fort. Nach dem Satz von Picard-Lindel\"of besitzt die obige
  Differentialgleichung f\"ur $\alpha$ eine eindeutig bestimmte
  maximale L\"osung $\alpha$ f\"ur die Anfangswerte $\alpha(0)=p$ und
  $\dot{\alpha}(0)=V$. Daher folgt die Behauptung, falls $\alpha(t)\in
  M$ f\"ur alle $t$ gilt.\par Es gilt
  \begin{align*}
    \frac{d}{dt} f(\alpha(t))
    =&\,\langle\nabla f(\alpha(t)),
                                \dot{\alpha}(t)\rangle\umbruch\\ 
    =&\,\langle \nabla f(\alpha(t)), \nu (\alpha(t)\rangle \cdot \langle
       \nu(\alpha(t)), \dot{\alpha}(t)\rangle\umbruch\\ 
    =&\,|\nabla f(\alpha(t))| \cdot \langle \nu(\alpha(t)),
       \dot{\alpha}(t)\rangle.
  \end{align*}
  Wir definieren $g(t):=\langle\nu(\alpha(t)),
  \dot{\alpha}(t)\rangle$ und erhalten
  \[\dot{g}(t)=\langle  D\nu(\alpha(t))\langle\dot{\alpha}(t)
  \rangle\rangle +\langle \nu(\alpha(t)), \ddot{\alpha}(t)\rangle =0\]
  aufgrund der Differentialgleichung f\"ur $\alpha$. Somit folgt
  $g(t)=g(0)=0$ f\"ur alle $t$ und daraus $\frac{d}{dt}f(\alpha(t))=0$
  sowie $f(\alpha(t))=f(\alpha(0))=0$. Daher gilt $\alpha(t)\in M$
  f\"ur alle~$t$.
\end{proof}

\begin{beispiele} 
  In den folgenden Beispielen verzichten wir auf die Angabe der
  Parametrisierungen und geben \"ahnlich wie bei Hyperfl\"achen nur
  das Bild an.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Auf $\S^n$ sind alle Geod\"atischen Teile von Gro\ss{}kreisen,
    da f\"ur beliebige $p\in\S^n, V \in T_p\S^n$ ein Gro\ss{}kreis,
    also ein Geod\"atische, mit diesen Anfangsdaten existiert.
  \item Mit einer analogen Begr\"undung erhalten wir, dass auf dem
    Zylinder $\S^1\times\R$ s\"amtliche Geod\"atischen durch
    Spiralkurven, durch zu Kreisen $\S^1\times\{x\}$ oder durch zu
    Geraden $\{p\}\times\R$ degenerierten Spiralkurven gegeben sind.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition} 
  Eine Untermannigfaltigkeit hei\ss{}t geod\"atisch vollst\"andig,
  wenn jede maximale Geod\"atische auf ganz $\R$ definiert ist.
\end{definition}

\begin{beispiele}  
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $\S^n$, $\S^{n-1}\times \R$, und $\R^{n+1}$ sind geod\"atisch
    vollst\"andig. Wir kennen alle Geod\"atischen und wissen, dass sie
    auf ganz $\R$ definiert sind.
  \item $\S^n\backslash \{p\}$ f\"ur ein beliebiges $p\in \S^n$ ist
    nicht geod\"atisch vollst\"andig, da jede maximale Geod\"atische
    durch $-p$ ein Gro\ss{}kreis ist, der auch durch $p$ l\"auft.
  \item $\R^{n+1} \backslash\{0\}$ ist nicht geod\"atisch
    vollst\"andig.
  \item $B_1(0)$ ist nicht geod\"atisch vollst\"andig.
  \item $\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2=z^2, z\neq0\}$ ist nicht
    geod\"atisch vollst\"andig, da $\alpha(t)=(t,0,t)$, $t>0$, eine
    maximale Geod\"atische ist.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{theorem}
  Sei $M\subset \R^{n+1}$ eine $n$-dimensionale
  Untermannigfaltigkeit. Sei $M$ als metrischer Raum mit der von der
  euklidischen Metrik induzierten Metrik vollst\"andig. Dann ist $M$
  geod\"atisch vollst\"andig.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha\colon I\rightarrow M$ eine maximale Geod\"atische. Wir
  d\"urfen nach Umparametrisierung verm\"oge $\alpha(\lambda t),
  \lambda>0$, ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $\alpha$ nach der
  Bogenl\"ange parametrisiert ist: $|\dot{\alpha}(t)|\equiv 1$.\par
  Angenommen es gilt $\sup I=\colon T<\infty$.\par
  Aus $|\dot{\alpha}(t)|=1$ folgt
  \[|\alpha(t)-\alpha(s)| \leq \int\limits^t_s
  |\dot{\alpha}(\tau)|\,d\tau=|t-s|.\] Daher existiert
  \[p: =\lim\limits_{t \nearrow T} \alpha(t) \in \R^{n+1}\] Da
  $M$ als metrischer Raum vollst\"andig ist, folgt auch $p\in M$. Mit
  der Differentialgleichung \eqref{geod ode eq} und
  $|\dot{\alpha}(t)|=1$ erhalten wir f\"ur gro\ss{}e $s<t<T$
  \begin{align*}
    |\dot{\alpha}(t)-\dot{\alpha}(s)|
    =&\,\left|\int\limits_s^t\ddot\alpha(\tau)\,d\tau\right|
    \leq \int\limits^t_s|\ddot{\alpha}(\tau)|\,d\tau 
    =\int\limits^t_s|\langle\dot{\alpha}(\tau),
    D\nu(\alpha(\tau))\langle\dot{\alpha}(\tau)
    \rangle\rangle|\,d\tau\umbruch\\
    \leq &\, \int^t_s |D\nu (\alpha(\tau))|\,d\tau
    \leq  \sup\limits_{{B_\epsilon}(p)\cap M} |D\nu| \cdot |t-s|,
  \end{align*}
  falls $\alpha(\tau)\in B_\epsilon (p)$ f\"ur alle $\tau>s$ gilt.
  Wir nehmen nun an, dass $\epsilon>0$ so klein gew\"ahlt ist, dass
  $\sup\limits_{{B_\epsilon}(p)\cap M} |D\nu| < \infty$ gilt. Wir
  erhalten daraus, dass auch
  \[V:= \lim\limits_{t\nearrow T} \dot{\alpha} (t) \in \R^{n+1}\]
  existiert. Im Grenz\"ubergang \"uberlebt auch die
  Orthogonalit\"atsbedingung
  \[\langle V, \nu(p)\rangle=\lim\limits_{t\nearrow
    T}\langle\dot{\alpha}(t), \nu(\alpha(t))\rangle=0\] Somit gilt
  $V\in T_pM$.\par
  Sei $\beta\colon [0,\delta)\rightarrow M$ eine L\"osung der
  Differentialgleichung \eqref{geod ode eq} mit Anfangswerten
  $\beta(0)=p$ und $\dot{\beta}(0)=V$. Die Differentialgleichung
  \eqref{geod ode eq} ist wegen
  \[\dot{\alpha}(t)-\dot{\alpha}(s)
  =\int\limits^t_s\ddot{\alpha}(\tau)\,d\tau\]  
  \"aquivalent zur Integralgleichung
  \[\dot{\alpha}(t)-\dot{\alpha}(s)
  =-\int\limits^t_s\langle\dot{\alpha}(\tau), 
  D\nu(\alpha(\tau))\langle\dot{\alpha}(\tau)\rangle\rangle\cdot
  \nu(\alpha(\tau))\,d\tau.\] Zun\"achst ist
  \[\gamma(t):=
  \begin{cases}
    \alpha(t), &t<T,\\
    \beta(t-T), &T\leq t<T+\delta
  \end{cases}\] eine $C^1$-Kurve auf $M$. Damit l\"osen nicht nur
  $\alpha$ und $\beta$, sondern auch $\gamma$ die Integralgleichung,
  insbesondere nahe $t=T$. Daher ist auch $\gamma\in C^2$ und $\gamma$
  l\"ost \eqref{geod ode eq}. Daher war $T<\infty$ nicht
  maximal. Widerspruch. Somit ist $M$ geod\"atisch vollst\"andig.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $M\in \R^{n+1}$ eine geschlossene $n$-dimensionale
  Untermannigfaltigkeit. Dann ist $M$ geod\"atisch vollst\"andig.
\end{corollary}

\subsection{Kovariante Ableitung, Parallelverschiebung}
Wir nehmen wieder an, dass alle betrachteten Objekte glatt sind. 

\begin{definition}
  Sei $M$ eine regul\"are Hyperfl\"ache. Sei $\alpha:I\rightarrow M$
  eine Kurve.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Dann hei\ss{}t $X:I\rightarrow\R^{n+1}$ ein (tangentiales)
    Vektorfeld l\"angs $\alpha$, falls
    \[X(t)\in T_{\alpha(t)}M\] f\"ur alle $t\in I$ gilt.
  \item Die kovariante Ableitung von $X$ l\"angs $\alpha$ ist das
    (tangentiale) Vektorfeld
    \[\frac{D}{dt}X(t)=\frac{dX}{dt}(t)-\left
      \langle\nu(\alpha(t)),\frac{dX}{dt}(t)\right
    \rangle\nu(\alpha(t)),\] also die Projektion von $\dot{X}$ auf
    $T_{\alpha(t)}M$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
  $\alpha$ ist genau dann eine Geod\"atische, wenn $\frac{D}{dt}
  \dot{\alpha}(t)=0$ gilt.
\end{beispiel}

\begin{lemma}
  F\"ur die kovariante Ableitung von (tangentialen) Vektorfeldern
  $X,Y$ und f\"ur eine Funktion $f\colon I\rightarrow \R$ gelten
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $\frac{D}{dt}(X+Y)=\frac{D}{dt}X+\frac{D}{dt}Y,$
  \item $\frac{D}{dt}(fX)=\frac{d}{dt}fX+f\frac{D}{dt}X,$
  \item $\frac{D}{dt}(X,Y) =\left\langle\frac{D}{dt}X,Y\right\rangle
    +\left\langle X,\frac{D}{dt}Y\right\rangle.$
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze die entsprechenden Eigenschaften der Ableitung aus der
  Analysis-Vorlesung und die Definition der kovarianten
  Ableitung. Beispielsweise gilt:
  \[\frac{d}{dt}\langle X, Y\rangle=\left\langle\dot X,Y\right\rangle
  +\left\langle X,\dot Y\right\rangle =
  \left\langle\frac{D}{dt}X,Y\right\rangle+\left\langle
    X,\frac{D}{dt}Y\right\rangle,\] da $X(t),Y(t)\in T_{\alpha(t)}M$
  gilt. Dies liefert (iii).
\end{proof}

\begin{definition}
  Ein Vektorfeld $X$ l\"angs $\alpha$ hei\ss{}t parallel l\"angs
  $\alpha$, falls $\frac{D}{dt}X=0$ gilt.
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $\alpha$ eine Geod\"atische. Dann ist $\dot{\alpha}$ l\"angs
  $\alpha$ parallel.
\end{beispiel}

\begin{proposition}
  Sei $\alpha:I\rightarrow M$ eine Kurve und seien $X,Y$ l\"angs
  $\alpha$ parallele Vektorfelder. Dann gelten
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $X+Y$ und $aX$, $a\in \R$, sind ebenfalls l\"angs $\alpha$
    parallele Vektorfelder.
  \item Insbesonder bilden die l\"angs $\alpha$ parallelen
    Vektorfelder also einen Vektorraum.
  \item $|X(t)|$ ist konstant.
  \item\label{parallel eig iv} $\langle X(t),Y(t)\rangle$ ist
    konstant. Insbesondere ist also auch der Winkel $\gamma(t)$
    zwischen zwei nichtverschwindenden Vektorfeldern mit $\cos
    \gamma(t)=\frac{\langle X(t), Y(t)\rangle}{|X(t)|\cdot |Y(t)|}$
    konstant.
  \end{enumerate} 
\end{proposition}

\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Klar.
  \item Klar.
  \item Dies folgt aus \eqref{parallel eig iv}.
  \item Es gilt $\frac{d}{dt}\langle
    X(t),Y(t)\rangle=\left\langle\frac{D}{dt}X(t),
      Y(t)\right\rangle+\left\langle
      X(t),\frac{D}{dt}Y(t)\right\rangle=0$.\qedhere
  \end{enumerate} 
\end{proof}
 
\begin{theorem}
  Sei $M$ eine Hyperfl\"ache und $\alpha:I\rightarrow M$ eine
  Kurve. Sei $0\in I$ und $\alpha(0)=p$. Sei $X_0\in T_pM$. Dann gibt
  es genau ein l\"angs $\alpha$ paralleles Vektorfeld $X$ mit
  $X(0)=X_0$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition der kovarianten Ableitung und mit $\langle
  X(t),\nu(\alpha(t))\rangle=0$ erhalten wir
  \begin{align*}
    \dot{X}(t)=&\,\frac{D}{dt}X(t)+\langle\dot{X}(t),
    \nu(\alpha(t))\rangle\nu(\alpha(t))\umbruch\\
    =&\,\frac{D}{dt}X(t)+\frac{d}{dt}\langle
    X(t),\nu(\alpha(t))\rangle\nu(\alpha(t))-\left\langle
      X(t),\frac{d}{dt}\nu(\alpha(t))
    \right\rangle\nu(\alpha(t))\umbruch\\  
    =&\,\frac{D}{dt}X(t)-\left\langle
      X(t),\frac{d}{dt}\nu(\alpha(t))\right\rangle\nu(\alpha(t)).
  \end{align*}
  Daher muss jedes l\"angs $\alpha$ parallele Vektorfeld $X$ die
  gew\"ohnliche Differentialgleichung
  \[\dot{X}(t)=-\left\langle
    X(t),\frac{d}{dt}\nu(\alpha(t))\right\rangle\nu(\alpha(t))\]
  erf\"ullen. Dies ist eine lineare gew\"ohnliche
  Differentialgleichung. Daher gibt es eine globale L\"osung $X(t)\in
  C^\infty\left(I,\R^{n+1}\right)$. Aus dieser Differentialgleichung
  folgt auch, dass $Y(t)$ tangential bleibt, da
  \[\frac{d}{dt}\langle
  X(t),\nu(\alpha(t))\rangle=\langle\dot{X}(t),\nu(\alpha(t))\rangle
  +\left\langle X(t),\frac{d}{dt}\nu(\alpha(t))\right\rangle=0\]
  gilt.
\end{proof}
 
\begin{corollary}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine Hyperfl\"ache und $\alpha:I\rightarrow
  M$ eine Kurve. Dann bilden die l\"angs $\alpha$ parallelen
  Vektorfelder $X$ einen n-dimensionalen Vektorraum.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir haben bereits gesehen, dass die parallelen Vektorfelder l\"angs
  $\alpha$ einen Vektorraum bilden. Sei $t_0\in I$. Dann ist $X$
  eindeutig durch $X(t_0)$ bestimmt. Somit ist der Vektorraum
  n-dimensional.
\end{proof}
 
\begin{beispiel}
  Sei $\alpha:\R\rightarrow\S^2$ der \"Aquator auf der Sph\"are mit
  $\alpha(t)=\cos t\cdot e_1+\sin t\cdot e_2$, wobei $e_1,e_2,e_3$
  die Standardbasis des $\R^3$ bezeichnet.\par
  Dann gilt
  \[T_{\alpha(t)}\S^2=\langle \dot{\alpha}(t),e_3\rangle.\] Jedes
  l\"angs $\alpha$ parallele Vektorfeld $X$ hat die Form
  \[X(t)=c_1\cdot\dot\alpha(t)+c_2\cdot e_3\] mit $c_1,c_2\in \R.$
\end{beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $\dot \alpha(t)\perp e_3 \perp \alpha(t)\perp\dot\alpha(t)$
  ist klar, dass $\dot \alpha(t)$ und $e_3$ den Tangentialraum
  $T_{\alpha(t)}\S^2$ aufspannen. $\dot \alpha$ ist parallel, da
  $\alpha$ eine Geod\"atische ist. Da $e_3 \in T_{\alpha(t)} \S^2$
  ist, konstante L\"ange hat und stets senkrecht auf $\dot \alpha(t)$
  steht, ist $e_3$ ein paralleles Vektorfeld l\"angs $\alpha$. Da die
  parallelen Vektorfelder l\"angs $\alpha$ einen 2-dimensionalen
  Vektorraum bilden, hat $X$ die angegebene Form.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\alpha$ eine Kurve in einer Hyperfl\"ache
  $M\subset\R^{n+1}$. Seien $p=\alpha(0)$ und $q=\alpha(1)$. Sei
  $X_0\in T_pM$ und $X$ das parallele Vektorfeld l\"angs $\alpha$ mit
  $X(0)=X_0$. Dann definieren wir die Parallelverschiebung
  \[P_\alpha\colon T_pM\rightarrow T_qM\] durch \[X_0\rightarrow
  X(1).\]
\end{definition}

\begin{theorem}
  Die Parallelverschiebung ist ein isometrischer Vektorraumisomorphismus.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da parallele Vektorfelder l\"angs $\alpha$ einen Vektorraum bilden,
  folgt die Linearit\"at. Aus $|X(0)|=|X(1)|$ erhalten wir, dass $
  P_\alpha$ die Norm erh\"alt und insbesondere injektiv ist. Wegen
  $\dim T_pM= \dim T_qM<\infty$ ist $P_\alpha$ damit auch
  surjektiv. Somit ist $P_\alpha$ ein Vektorraumisomorphismus.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Die Parallelverschiebung entlang eines st\"uckweise glatten
    Weges $\alpha_k+\ldots +\alpha_1$ definieren wir durch
    $P_{\alpha_{k}} \circ\ldots \circ P_{\alpha_{1}}.$
  \item Die Parallelverschiebung $P_\alpha$ h\"angt nicht nur von
    $\alpha (0)$ und $\alpha(1)$, sondern auch vom Weg dazwischen ab,
    selbst bei Geod\"atischen. 
    (Details: \"Ubung.)
  \end{enumerate}
\end{bemerkung}

\subsection{Geod\"atische als Objekte der inneren Geometrie von
  Hyperfl\"achen} 

\begin{lemma}
  \label{geod gl Chr lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Sei $\alpha\colon I\to\Omega$ eine $C^2$-Kurve,
  so dass $\beta:=X\circ\alpha$ eine Geod\"atische in $X(\Omega)$
  ist. Dann
  gilt \[\ddot\alpha^i+\dot\alpha^k\dot\alpha^l\Gamma^i_{kl}
  \circ\alpha=0.\]   
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $\ddot\beta(t)\in(T_{\beta(t)}X(\Omega))^\perp$ erhalten wir
  $\left\langle\ddot\beta(t),X_j(\alpha(t))\right\rangle =0$ f\"ur
  alle $t\in I$ und alle $1\le j\le n$. Es folgt
  \begin{align*}
    0=&\,\left\langle\ddot\beta(t),X_j(\alpha(t))\right\rangle
    g^{ji}(\alpha(t))\umbruch\\
    =&\,\left\langle\frac{d^2}{dt^2}(X(\alpha(t)),
      X_j(\sigma(t))\right\rangle g^{ji}(\alpha(t))\umbruch\\
    =&\,\left\langle\frac{d}{dt}\left(X_k(\alpha(t))\dot\alpha^k(t)\right),
      X_j(\alpha(t))\right\rangle g^{ji}(\alpha(t))\umbruch\\
    =&\,\left\langle X_k(\alpha(t))\ddot\alpha^k(t)
      +X_{,kl}(\alpha(t))\dot\alpha^k(t)\dot\alpha^l(t),
      X_j(\alpha(t))\right\rangle g^{ji}(\alpha(t))\umbruch\\
    =&\,\ddot\alpha^k(t)g_{kj}(\alpha(t))g^{ji}(\alpha(t))\\
    &\,+\left\langle\left(X_{;kl}(\alpha(t))
        +\Gamma^r_{kl}(\alpha(t))X_r(\alpha(t))\right)
      \dot\alpha^k(t)\dot\alpha^l(t),X_j(\alpha(t))\right\rangle
    g^{ji}(\alpha(t))\umbruch\\
    =&\,\ddot\alpha^i(t)\\
    &\,+\left\langle\left(-h_{ij}(\alpha(t))\nu(\alpha(t))
        +\Gamma^r_{kl}(\alpha(t))X_r(\alpha(t))\right)
      \dot\alpha^k(t)\dot\alpha^l(t),X_j(\alpha(t))\right\rangle
    g^{ji}(\alpha(t))\umbruch\\ 
    =&\,\ddot\alpha^i(t)+0+\Gamma^r_{kl}(\alpha(t))
    \dot\alpha^k(t)\dot\alpha^l(t)
    g_{rj}(\alpha(t))g^{ji}(\alpha(t))\umbruch\\
    =&\,\ddot\alpha^i(t) +\Gamma^i_{kl}(\alpha(t)) \dot\alpha^k(t)
    \dot\alpha^l(t) 
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Seien $X,\tilde X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"achen, so dass f\"ur die induzierten Metriken $g$ und
  $\tilde g$ \[g_{ij}(x)=\tilde g_{ij}(x)\] f\"ur alle $x\in\Omega$
  und alle $1\le i,j\le n$ gilt. Sei $\alpha\colon I\to\Omega$ eine
  $C^2$-Kurve. Dann ist $X\circ\alpha$ genau dann eine Geod\"atische
  in $X(\Omega)$, wenn $\tilde X\circ\alpha$ eine Geod\"atische in
  $\tilde X(\Omega)$ ist. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $g=\tilde g$ folgt auch, dass die zugeh\"origen
  Christoffelsymbole \"ubereinstimmen. Somit erhalten wir die
  Behauptung aus Lemma \ref{geod gl Chr lem}. 
\end{proof}

Da die Eigenschaft, Geod\"atische zu sein, somit nicht von der
Einbettung und nur von der Metrik abh\"angt, sagen wir, dass
Geod\"atische ein Objekt der inneren Geometrie sind und geben daher
die folgende Erweiterung unserer bisherigen Definition einer
Geod\"atischen. Wir lassen den Nachweis als \"Ubung, dass dies auch in
h\"oherer Kodimension richtig ist. Bisher haben wir $X\circ\alpha$ als
Geod\"atische bezeichnet, nun bezeichnen wir auch $\alpha$ als
Geod\"atische.
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen mit einer Metrik $(g_{ij})$ und
  Christoffelsymbolen $(\Gamma^i_{kl})$. Sei $\alpha\colon I\to\Omega$
  eine $C^2$-Kurve. Dann hei\ss{}t $\alpha$ eine Geod\"atische,
  falls \[\ddot\alpha^i(t) +\Gamma^i_{kl}(\alpha(t))
  \dot\alpha^k(t)\dot\alpha^l(t)=0\] f\"ur alle $1\le i\le n$ und alle
  $t\in I$ gilt. 
\end{definition}

\subsection{Kovariante Ableitung und Parallelverschiebung}

\begin{lemma}
  \label{kov abl laengs koord lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Sei $\alpha\colon I\to\Omega$ eine $C^1$-Kurve
  und sei $\gamma:=X\circ\alpha$. Sei $Y\in C^1(I,\R^{n+1})$ ein
  Vektorfeld l\"angs $\gamma$, gelte also $Y(t)\in
  T_{\gamma(t)}X(\Omega)$ f\"ur alle $t\in I$. Gelte
  $Y(t)=v^i(t)X_i(\alpha(t))$. Dann ist $v^i(t)=\langle
  Y(t),X_j(\alpha(t))\rangle g^{ji}(\alpha(t))$ und f\"ur die
  kovariante Ableitung von $Y$ l\"angs $\gamma$ gilt \[\frac{DY}{dt}
  =\left(\dot v^k+\Gamma^k_{ij}v^i\dot\alpha^j\right)X_k.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Vektoren $X_i(\alpha(t))$ bilden eine Basis von
  $T_{\gamma(t)}X(\Omega)$. Somit l\"asst sich jedes Vektorfeld
  l\"angs $\gamma$ in der Form $Y(t)=v^i(t)X_i(\alpha(t))$ mit
  geeigneten Funktionen $v^i$ darstellen. Bilden wir das Skalarprodukt
  mit $X_k$, so erhalten wir $\langle Y,X_k\rangle=v^ig_{ij}$. Somit
  gilt $v^i=\langle Y,X_k\rangle g^{ki}$. Es gilt daher $v^i\in
  C^1(I)$ f\"ur alle $1\le i\le n$. \par Nach Definition der
  kovarianten Ableitung ist $\frac D{dt}Y$ der tangentiale Anteil von
  $\frac d{dt}Y$. Wir schreiben $\dot Y\equiv\frac d{dt}Y$, $\dot
  v^i=\frac d{dt}v^i$, \ldots{} und erhalten aus
  $Y(t)=v^i(t)X_i(\alpha(t))$
  \begin{align*}
    \dot Y=&\,\dot v^iX_i +v^iX_{,ij}\dot\alpha^j\umbruch\\
    =&\,\dot v^iX_i +v^i\left(X_{;ij}
      +\Gamma^k_{ij}X_k\right)\dot\alpha^j\umbruch\\   
    =&\,\dot v^kX_k+v^i\dot\alpha^j\left(-h_{ij}\nu
      +\Gamma^k_{ij}X_k\right).  
  \end{align*}
  Somit gilt \[\frac D{dt}Y =\left(\dot
    v^k+v^i\dot\alpha^j\Gamma^k_{ij}\right)X_k.\qedhere\] 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Sei $\alpha\colon I\to\Omega$ eine $C^1$-Kurve
  und sei $\gamma:=X\circ\alpha$. Sei $Y\in C^1(I,\R^{n+1})$ ein
  Vektorfeld l\"angs $\gamma$ mit $Y(t)=v^i(t)X_i(\alpha(t))$.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Dann ist $Y$ genau dann l\"angs $\gamma$ parallel, wenn \[\dot
    v^k+v^i\dot\alpha^j\Gamma^k_{ij}\circ\alpha=0\] f\"ur $1\le k\le
    n$ auf ganz $I$ gilt.
  \item Ist $\gamma\in C^2$ (oder $\alpha\in C^2$), dann ist $\gamma$
    ganau dann eine Geod\"atische, wenn \[\ddot\alpha^k
    +\dot\alpha^i\dot\alpha^j \Gamma^k_{ij}\circ\alpha=0\] f\"ur $1\le
    k\le n$ auf ganz $I$ gilt. 
  \end{enumerate}
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Klar.
  \item Es gilt $\dot\gamma=X_i\dot\alpha^k$ und $\gamma$ ist genau
    dann eine Geod\"atische, wenn $\dot\gamma$ l\"angs $\gamma$
    parallel ist. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Dies zeigt, dass die Eigenschaft eines Vektorfeldes, l\"angs einer
  Kurve parallel zu sein, oder die Eigenschaft einer Kurve, eine
  Geod\"atische zu sein, nur von der inneren Geometrie abh\"angt. 
\end{remark}

Daher definieren wir (wobei die Definition einer Geod\"atischen
nat\"urlich nur eine Wiederholung ist)
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $(g_{ij})$ eine Metrik auf
  $\Omega$. Seien $\left(\Gamma^k_{ij}\right)$ die Christoffelsymbole
  zur Metrik $(g_{ij})$. Sei $\alpha\colon I\to\Omega$ eine
  $C^1$-Kurve und sei $Y(t)=Y^i(t)\fracp{}{x^i}$ ein Vektorfeld
  l\"angs $\alpha$, \dh wir betrachten $Y(t)$ als Element von
  $T_{\alpha(t)}\Omega\cong\R^n$. Dabei ist $\fracp{}{x^i}$ eine
  alternative Notation f\"ur das Standardbasiselement $e_i$.
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Dann hei\ss{}t $Y$ l\"angs $\alpha$ parallel, falls \[\dot Y^k
    +Y^i\dot\alpha^j\Gamma^k_{ij}\circ\alpha=0\] f\"ur alle $1\le k\le
    n$ auf ganz $I$ gilt.
  \item Ist $\alpha\in C^2$, so hei\ss{}t $\alpha$ Geod\"atische,
    falls \[\ddot\alpha^k+\dot\alpha^i\dot\alpha^j
    \Gamma^k_{ij}\circ\alpha=0\] f\"ur alle $1\le k\le n$ auf ganz $I$
    gilt. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

Diese Definition k\"onnen wir auf den Fall anwenden, dass wir von
einer Immersion $X\colon\Omega\to\R^k$ eine Metrik und
Christoffelsymbole auf $\Omega$ bekommen. Auch anwendbar ist sie auf
den Fall, dass wir eine Metrik ohne eine Immersion haben. Dies ist wie
folgt definiert:
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Dann hei\ss{}t $g\colon\Omega\to
  L_2(\R^n;\R)$, wobei $L_2(\R^n;\R)$ der Raum der bilinearen
  Abbildungen von $\R^n$ (was wir mit $T_x\Omega$ identifizieren) nach
  $\R$ ist, eine (Riemannsche) Metrik auf $\Omega$, falls $g$ stetig
  ist und f\"ur alle $x\in\Omega$ und alle $v,w\in\R^n$
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $g(x)\langle v,v\rangle>0$ f\"ur $v\neq0$ und 
  \item $g(x)\langle v,w\rangle =g(x)\langle w,v\rangle$ 
  \end{enumerate}
  gelten. 
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Dies besagt, dass wir jedem $x\in\Omega$ in stetiger Weise ein
    Skalarprodukt zuordnen.
  \item Jede durch eine Immersion $X\colon\Omega\to\R^k$ induzierte
    Metrik auf $\Omega$ ist auch eine Metrik im obigen Sinne.
  \item Umgekehrt ist auch jede Metrik im obigen Sinne durch eine
    Immersion \[X\colon\Omega\to\R^k,\] $k$ gen\"ugend gro\ss{},
    induziert. Eine Verallgemeinerung davon hat John Nash (A beautiful
    mind) mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen gezeigt. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine eingebettete
  $C^2$-Hyperfl\"ache. Sei $p_0\in X(\Omega)$ und sei $Y\in
  T_{p_0}X(\Omega)$. Sei $Z$ ein Vektorfeld auf $X(\Omega)$, \dh eine
  Abbildung $Z\colon X(\Omega)\to\R^{n+1}$ mit $Z(p)\in T_pX(\Omega)$
  f\"ur alle $p\in X(\Omega)$. Dann definieren wir die kovariante
  Ableitung von $Z$ in Richtung $Y$ an der Stelle $p_0\in X(\Omega)$
  durch \[\nabla_YZ(p_0):=\frac{D}{dt}(Z\circ\gamma)(0),\] wobei
  $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to X(\Omega)$ eine $C^1$-Kurve mit
  $\gamma(0)=p_0$ und $\dot\gamma(0)=Y$ ist. 
\end{definition}

\begin{lemma}
  Die kovariante Ableitung $\nabla_YZ$ h\"angt nicht von der
  speziellen Wahl von $\gamma$ ab. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $Z\circ X=v^iX_i$ mit $v\colon\Omega\to\R^n$. Sei
  $\alpha:=X^{-1}\circ\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to\Omega$, so
  dass $\gamma=X\circ\alpha$ gilt. Sei $x_0\in\Omega$ mit
  $X(x_0)=p_0$. Dann gelten $\alpha(0)=x_0$ und $\dot\alpha(0)=w$,
  wobei $w\in\R^n$ so gew\"ahlt ist, dass $Y=w^iX_i(x_0)$
  gilt. Beachte, dass $w$ von der speziellen Wahl von $\gamma$
  unabh\"angig ist. Es gilt \[(Z\circ\gamma)(t) =(Z\circ
  X\circ\alpha)(t) =v^i(\alpha(t))X_i(\alpha(t)).\] Nach Lemma
  \ref{kov abl laengs koord lem} erhalten wir mit $v^i\circ\alpha$
  statt $v^i$ dort
  \begin{align}
    \label{kov abl laengs fml}
    \nabla_YZ(p_0) =&\,\frac D{dt}(Z\circ\gamma)(0)\umbruch\\
    =&\,\left(\dt(v\circ\alpha)^k(0)+v^i(x_0)
      \dot\alpha^j(0)\Gamma^k_{ij}(x_0)\right)X_k(x_0)
    \nonumber\umbruch\\  
    =&\,\left(\fracp{v^k}{x^j}(x_0)\dot\alpha^j(0)
      +v^i(x_0)\dot\alpha^j(0) \Gamma^k_{ij}(x_0)\right)
    X_k(x_0)\nonumber\umbruch\\ 
    =&\,\left(\fracp{v^k}{x^j}(x_0)w^j
      +v^i(x_0)w^j\Gamma^k_{ij}(x_0)\right) X_k(x_0).\nonumber
  \end{align}
  Dies h\"angt nicht von der speziellen Wahl von $\gamma$ ab. 
\end{proof}

Hieraus folgt direkt
\begin{theorem}
  Seien $Y,Z,Z_1,Z_2$ glatte Vektorfelder auf $X(\Omega)$ und sei
  $f\in C^\infty(X(\Omega))$. Dann gelten
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $\nabla_Y(Z_1+Z_2) =\nabla_YZ_1+\nabla_YZ_2$,
  \item $\nabla_Y(fZ) =\left\langle\nabla^Mf,Y\right\rangle Z
    +f\nabla_YZ$ und
  \item $\nabla_{fY}Z=f\nabla_YZ$. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach \eqref{kov abl laengs fml} sind die Behauptungen f\"ur
  $\nabla_Y(Z_1+Z_2)$ und $\nabla_{fY}Z$ klar. Gleichung \eqref{kov
    abl laengs fml} wollen wir auch f\"ur $\nabla_Y(fZ)$ benutzen. In
  der dortigen Notation m\"ussen wir $v^i$ durch $\tilde fv^i$ mit
  $f\circ X=\tilde f$ ersetzen und erhalten
  \begin{align*}
    \nabla_Y(fZ)(p_0) =&\,\left(\fracp{\left(\tilde
          fv^k\right)}{x^j}(x_0)w^j +\tilde
      fv^i(x_0)w^j\Gamma^k_{ij}(x_0)\right)X_k(x_0)\umbruch\\
    =&\,(f\cdot\nabla_YZ)(p_0) +\fracp{\tilde f}{x^j}(x_0) v^k(x_0)w^j
    X_k(x_0)\umbruch\\
    =&\,(f\cdot\nabla_YZ)(p_0) +\fracp{\tilde f}{x^j}(x_0)w^jZ(p_0). 
  \end{align*}
  Weiterhin gilt f\"ur eine Fortsetzung $\hat f$ von $f$
  \begin{align*}
    \fracp{\tilde f}{x^j}(x_0)w^j =&\,\fracp{(f\circ X)}{x^j}(x_0)w^j
    =\fracp{\left(\hat f\circ X\right)}{x^j}(x_0)w^j\umbruch\\
    =&\,\fracp{\hat f}{p^\beta}(X(x_0))X^\beta_jw^j\umbruch\\
    =&\,\left\langle\nabla^{\R^{n+1}}\hat f(p_0),Y\right\rangle
    =\left\langle\nabla^Mf(p_0),Y\right\rangle.
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{appendix}
  \section{Lineare Algebra in kovarianter Notation}
  \label{la kov app}
  Ein Hinweis vorweg: Dieser Abschnitt ist als eher umgangssprachlich
  und erkl\"arend als als streng formal mathematisch aufgebauter Text
  geschreiben und auch entsprechen zu lesen. Dementsprechend nutze ich
  auch gelegentlich eine eher umgangssprachlichere Wortwahl. \par
  Wir betrachten nur den Modellfall $V=\R^n$ mit Dualraum
  $V^*$. Lineare Algebra dieser Art macht man nun in jedem
  Punkt. Statt Vektoren in $V$ betrachtet man dann Vektoren im
  Tangentialraum. Im Euklidischen k\"onnte man auch das
  Kroneckerdeltas $\delta_{ij}$ statt $g_{ij}$ betrachten. \par Um
  Dinge der linearen Algebra kovariant zu notieren, muss man sich nur
  merken, dass man Vektoren in $V$ mit oberen Indices bezeichnet und
  dass man bei der Einsteinschen Summenkonvention \"uber doppelt
  auftretende Indices summiert, wenn sie einmal oben und einmal unten
  stehen.\par
  \subsection{Vektoren und Endomorphismen} Sei $x\in V$ ein
  (Spalten-)Vektor: \[x=
    \begin{pmatrix}
      x^1\\ \vdots\\ x^n
    \end{pmatrix}
    =\left(x^i\right)_{1\le i\le n}\] in verschiedenen Schreibweisen. 
  Sei $A\colon V\to V$ eine lineare Abbildung. Dann erh\"alt $A$ einen
  Vektor, also ein Objekt mit einem oben stehenden Index, und liefert
  wieder einen Vektor, nat\"urlich wieder mit einem oben stehenden
  Index. Setze $y:=Ax\in V$. Dann gilt
  \[
    \begin{pmatrix}
      y^1\\ \vdots\\ y^n
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      a^1_1& \hdots & a^1_n\\
      \vdots & \ddots & \vdots\\
      a^n_1& \hdots & a^n_n
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      x^1\\ \vdots\\ x^n
    \end{pmatrix}. 
  \]
  Dabei sind die Eintr\"age der Matrix, anders als in vielen Linearen
  Algebravorlesungen -- in meinen Skripten benutze ich auch die
  kovariante Notation -- mit einem oberen und einem unteren Index
  versehen. Mit Summenkonvention schreiben wir n\"amlich f\"ur die
  Zeilen in der obigen Matrixgleichung \[y^i=a^i_jx^j.\] Der Index $j$
  steht hier unten, damit die Summenkonvention greift; der Index $i$
  steht oben, denn es soll ja wieder ein Vektor herauskommen. Dies
  entspricht dann einem $(k,l)$-Tensor mit $k=l=1$, also einem Objekt
  mit $k=1$ oberen und $l=1$ unteren Indices.\par
  \subsection{Basen und der Dualraum} Nutzen wir \[e_i=
    \begin{pmatrix}
      0\\ \vdots\\0\\ 1\\ 0\\\vdots\\ 0
    \end{pmatrix}\] mit der Eins in der $i$-ten Zeile, so bilden die
  Vektoren $e_i$, $1\le i\le n$ eine Basis von $V$. F\"ur einen Vektor
  $x\in V$ erhalten wir passend zur Einsteinschen Summenkonvention,
  daher mit unteren Indices bei den $e_i$'s, \[x=e_ix^i.\] \par
  Elemente des Dualraumes $V^*$ bezeichnet man auch als Kovektoren,
  $(0,1)$-Ten\-so\-ren oder Formen.  F\"ur den Dualraum k\"onnen wir
  eine Basis aus Vektoren $e^i_*$, $1\le i\le n$, w\"ahlen, die duale
  Basis, so dass \[e^i_*(e_j)=\delta^i_j\] f\"ur alle $1\le i,j\le n$
  gilt. Die Position des Indexes $i$ ist hier zun\"achst einmal
  beliebig. Wichtig ist nur, dass jeder der beiden Indices auf beiden
  Seiten der Gleichung jeweils oben oder unten steht. Diese
  Basisvektoren sind als Zeilen durch \[e^i_*=
    \begin{pmatrix}
      0& \ldots& 0& 1& 0& \ldots& 0
    \end{pmatrix}
  \] mit $1$ an der $i$-ten Stelle gegeben. Dann ergibt sich die
  Beziehung $e^i_*(e_j)=\delta^i_j$ aus der Multiplikation des
  Zeilenvektors mit dem Spaltenvektor, wobei in der Vektornotation die
  Reihenfolge relevant ist. Analog zu $V$ stellen wir einen Vektor
  \[\xi=
    \begin{pmatrix}
      \xi_1&\ldots&\xi_n
    \end{pmatrix}
  \]
  im Dualraum als \[\xi=e^i_*\xi_i\] dar. \par Nun wenden wir in der
  obigen Notation $\xi\in V^*$ auf $x\in V$ an und erhalten ein
  Ergebnis in $\R$. Wir betrachten also die Abbildung
  $V^*\times V\to\R$ mit $(\xi,x)\mapsto\xi(x)$. Es gilt
  \[\xi(x) =e^i_*\xi_i(e_jx^j) =\xi_ix^je^i_*(e_j) =\xi_ix^j\delta^i_j
    =\xi_ix^i,\] wobei wir die Linearit\"at benutzt haben. Da rechts
  nur noch ein oberer und ein unterer Indes stehen, \"uber die wir
  summieren, ergibt sich hier eine reelle Zahl. Es bleiben also keine
  freien Indices stehen, \"uber die nicht summiert w\"urde. Dies
  zeigt, dass wir die Indexstellung im Dualraum so gew\"ahlt haben,
  dass sie zum Bisherigen passt. \par
  \subsection{Bilinearformen} Sei $g\colon V\times V\to\R$ eine
  Bilinearform und $G\colon V^*\times V^*\to\R$ eine weitere
  Bilinearform. In der linearen Algebra werden Bilinearformen
  ebenfalls durch Matrizen dargestellt. Dies sollte man aus
  Kovarianzgr\"unden aber besser nicht kommentarlos machen, da wir
  Matrizen ja bereits f\"ur Endomorphismen benutzt haben. Es wird die
  Transposition ben\"otigt: Aus $g(x,y)$ wird in Matrixschreibweise
  \[
    \begin{pmatrix}
      x^1\\ \vdots\\ x^n
    \end{pmatrix}^T
    \begin{pmatrix}
      g_{11}& \ldots & g_{1n}\\
      \vdots & \ddots & \vdots\\
      g_{n1}& \ldots & g_{nn}
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      y^1\\ \vdots\\ y^n
    \end{pmatrix}.\] An der n\"otigen Transposition sieht man, dass
  diese Matrixdarstellung aus Kovarianzgr\"unden nicht so sch\"on ist.
  Transponieren entspricht dem \"Ubergang von einem Zeilen- zu einem
  Spaltenvektor oder umgekehrt. Da wir Zeilenvektoren f\"ur Elemente
  aus $V$ und Spaltenvektoren f\"ur Elemente aus $V^*$ nutzen,
  entspricht Transponieren dem \"Ubergang von $V$ zum Dualraum $V^*$
  oder umgekehrt. Weiterhin entspricht dies dem Heben oder Senken
  eines Indexes mit Hilfe des Kroneckerdeltas $(\delta_{ij})_{i,j}$
  oder $\left(\delta^{ij}\right)_{ij}$: $x_i=\delta_{ij}x^j$. Dabei
  bezeichnen wir allgemeiner den \"Ubergang von $\xi_i$ zu
  $\xi_i G^{ij}$ als das Heben eines Indexes mit Hilfe von $G^{ij}$
  und den \"Ubergang von $x^i$ zu $x^ig_{ij}$ als das Senken eines
  Indexes mit Hilfe von $g_{ij}$.\par
  Dabei ergeben sich die Matrixeintr\"age aus \[g_{ij}=g(e_i,e_j).\]
  Wir schreiben daher \[g_{ij}x^iy^j.\] Dies ergibt sich aus
  \[g(x,y) =g\left(x^ie_i,y^je_j\right) =g(e_i,e_j)x^iy^j
    =g_{ij}x^iy^j.\] \par 
  Betrachten wir nun die Abbildung $y\mapsto g(\cdot,y)$. Sie bildet
  $y\in V$ auf ein Objekt ab, das, auf einen Vektor aus $V$ angewandt,
  eine Zahl liefert. Somit handelt es sich um eine Abbildung
  \[V\ni y\mapsto g(\cdot,y)\in V^*.\] Bei der
  Schreibweise \[g_{ij}y^j\] sehen wir direkt, dass das Ergebnis ein
  Objekt mit einem freien unteren Index ist. So etwas haben wir f\"ur
  die Komponenten eines Objektes im Dualraum $V^*$ verwendet. Die
  Bilinearform $g$ ist ein $(0,2)$-Tensor, da sie zwei untere Indices
  hat. Gem\"a\ss{} den obigen Ausf\"uhrungen k\"onnen wir sie sowohl
  als Abbildung \[V\times V\to\R\] als auch als Abbildung \[V\to V^*\]
  auf{}fassen. Dies nutzt man, wenn man mit einer Bilinearform einen
  Index senkt.
  \par Aus der Linearen Algebra kennt man die folgenden (teils
  nur im Endlichdimensionalen g\"ultigen)
  Isomorphismen: \[L(V,L(V,\R))\cong L\left(V,V^*\right) \cong
    L^2(V,V;\R) \cong L(V\otimes V, \R) \cong (V\otimes V)^* \cong
    V^*\otimes V^*.\]
  % https://planetmath.org/TensorProductAndDualSpaces
  Den zweiten Isomorphismus haben wir oben bereits diskutiert, den
  Zusammenhang mit Tensoren verfolgen wir hier nicht weiter; er
  erkl\"art jedoch, dass die hier betrachteten Tensoren dasselbe wie
  die in der Linearen Algebra betrachteten Objekte sind.\par
  Zun\"achst ist die Bilinearform $G$ eine Abbildung
  $G\colon V^*\times V^*\to\R$. Seien $\xi,\zeta\in V^*$ mit
  $\xi=(\xi_i)_{1\le i\le n}$ und
  $\zeta=(\zeta_i)_{1\le i\le n}$, so ergibt sich analog zu oben 
  \[G(\xi,\zeta) =G\left(e^i_*\xi_i, e^j_*\zeta_j\right)
    =G\left(e^i_*, e^j_*\right)\xi_i\zeta_j =G^{ij}\xi_i\zeta_j\]
  mit \[G^{ij}=G\left(e^i_*,e^j_*\right).\] Die Bilinearform $G$
  k\"onnen wir aber auch analog zu oben als Abbildung
  \[V^*\mapsto V^{**}\cong V\] auf{}fassen. F\"ur
  $\xi=(\xi_i)_{1\le i\le n}$ ist $G(\cdot,\xi)\in V^{**}\cong V$
  bzw. \[G^{ij}\xi_j\] sind die Komponenten eines Vektors in $V$, da
  der eine freie Index ein oberer ist.

\section{Extremaleigenschaften der Eigenwerte}
\label{extremal ew sec}
\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Verm\"oge
    \[\phi(x,x)=\langle x,f(x)\rangle =\langle x,Ax\rangle\]
    \"ubertragen sich die folgenden Ergebnisse auch auf symmetrische
    Bilinearformen oder symmetrische Matrizen.
  \item Wenn nicht anders vermerkt sind alle Skalarprodukte in diesem
    Abschnitt Standardskalarprodukte auf $\R^n$, alle Normen die davon
    induzierten Normen mit $\Vert x\Vert^2:=\langle x,x\rangle$ und
    alle selbstadjungierten Endomorphismen seien bez\"uglich des
    Standardskalarproduktes selbstadjungiert.  Wir setzen
    $\S^{n-1}:=\{x\in\R^n\colon \Vert x\Vert=1\}$.
  \item Sei $U$ ein Unterraum von $\R^n$. Sei $f$ ein symmetrischer
    Endomorphismus von $\R^n$ mit Standardskalarprodukt. Dann gilt aus
    Homogenit\"atsgr\"unden
    \[\sup\limits_{x\in\S^{n-1}\cap U} \langle x,f(x)\rangle
      =\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\in U}{x\neq0}} \frac{\langle
        x,f(x)\rangle}{\Vert x\Vert^2}.\] Dieser letzte Quotient
    hei\ss{}t Rayleigh-Quotient. Die Resultate dieses Kapitels
    k\"onnen wir mit beiden Varianten formulieren.
  \item Sucht man Eigenwerte einer Bilinearform $\phi$ bez\"uglich
    einer positiv definiten Bilinearform $\psi$, so betrachtet man
    nachfolgend Quotienten der Form $\frac{\phi(x,x)}{\psi(x,x)}$
    beziehungsweise $\phi(x,x)$ auf der Menge
    $\{x\in\R^n\colon\psi(x,x)=1\}$. Details dazu lassen wir als
    \"Ubung.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{Analysisnaher Diagonalisierbarkeitsbeweis}
Zun\"achst geben wir in den folgenden drei Theoremen einen neuen
analysisnahen Beweis f\"ur die orthogonale Diagonalisierbarkeit
symmetrischer Matrizen. In den folgenden Beweisen h\"atte man auch die
Lagrangesche Multiplikatorregel verwenden k\"onnen. 
\begin{theorem}
  \label{sup ev thm}
  Sei $f\colon\R^n\to\R^n$ selbstadjungiert.  Dann gilt f\"ur den
  gr\"o\ss{}ten Eigenwert $\lambda_n$ von $f$
  \[\lambda_n=\sup\limits_{x\in\S^{n-1}}\langle x,f(x)\rangle
    =\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\in\R^n}{x\neq0}}\frac{\langle
      x,f(x)\rangle}{\Vert x\Vert^2}.\] Das Supremum wird in einem
  Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_n$ angenommen.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der Kompaktheit von $\S^{n-1}$ wird das Supremum in einem
  Punkt $x_0\in\S^{n-1}$ angenommen. Sei $\epsilon>0$ und
  $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to\S^{n-1}$ eine $C^1$-Kurve mit
  $\gamma(0)=x_0$. Dann nimmt die Funktion
  $t\mapsto\langle\gamma(t),f(\gamma(t))\rangle$ in $t=0$ ein Maximum
  an. Somit gilt $0=\langle\gamma'(0),f(x_0)\rangle +\langle
  x_0,f(\gamma'(0))\rangle$. Sei $x_1\in\S^{n-1}$ mit $\langle
  x_0,x_1\rangle=0$. Dann ist $\gamma(t):=\cos t\cdot x_0+\sin t\cdot
  x_1$ eine Kurve in $\S^{n-1}$ wie oben betrachtet mit
  $\gamma'(0)=x_1$.  Da $f$ selbstadjungiert ist erhalten wir
  \[0=\langle x_1,f(x_0)\rangle +\langle x_0,f(x_1)\rangle =2\langle
    x_1,f(x_0)\rangle.\] Somit ist $f(x_0)$ ein Vielfaches von $x_0$
  und daher ist $x_0$ ein Eigenvektor. Da f\"ur jeden Eigenvektor
  $y\in\S^{n-1}$ von $f$ zum Eigenwert $\lambda$
  \[\lambda=\langle y,f(y)\rangle\] gilt, liefert die obige Formel
  auch den gr\"o\ss{}ten Eigenwert und das Maximum wird am Eigenvektor
  $x_0$ angenommen.
\end{proof}

\"Ahnlich wie in Theorem \ref{sup ev thm} finden wir nun auch die
anderen Eigenwerte.
\begin{theorem}
  \label{lambda k sup char thm}
  Sei $f\colon\R^n\to\R^n$ selbstadjungiert. Sei $1\le k\le
  n-1$ und seien $a_{k+1},\ldots,a_n$ paarweise orthogonale Eigenvektoren
  von $f$ zu den Eigenwerten $\lambda_{k+1}, \ldots, \lambda_n$. Setze
  $U:=\langle a_{k+1},\ldots,a_n\rangle$. Dann wird das Supremum in
  \[\lambda_k:=\sup\limits_{x\in\S^{n-1}\cap U^\perp}\langle
    x,f(x)\rangle =\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\in
        U^\perp}{x\neq0}}\frac{\langle x,f(x)\rangle} {\Vert
      x\Vert^2}\] in einem zu $U$ orthogonalen Eigenvektor $a_k$ von
  $f$ zum Eigenwert $\lambda_k$ angenommen und $\lambda_k$ ist der
  gr\"o\ss{}te Eigenwert von $f$, der in der obigen Liste noch nicht
  mit seiner vollen geometrischen Vielfachheit auftaucht. Insbesondere
  gibt es also einen weiteren Eigenvektoren $a_k$ und
  $a_k,a_{k+1},\ldots,a_n$ sind paarweise orthogonal zueinander und
  somit linear unabh\"angig.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Werde das Supremum in $a_k\in \S^{n-1}\cap U^\perp$ angenommen. Sei
  $b\in U^\perp$ mit $\langle b,a_k\rangle=0$ und $\Vert b\Vert=1$
  beliebig. Betrachte eine Kurve wie oben, hier
  $\R\ni t\mapsto \cos t\cdot a_k+\sin t\cdot b$. Wiederum folgt
  $0=\langle b,f(a_k)\rangle$ f\"ur alle Vektoren
  $b\in U^\perp\cap \langle a_k\rangle^\perp$; die Normierung
  ben\"otigen wir hier nicht. Sei $v\in U$ ein beliebiger Eigenvektor
  zum Eigenwert $\lambda$. Dann gilt
  $\langle v,f(a_k)\rangle =\langle f(v),a_k\rangle =\lambda\langle
  v,a_k\rangle =0$. Sei $w\in\S^{n-1} \cap\langle a_k\rangle^\perp$
  beliebig. Dann k\"onnen wir $w=v+b$ mit $v\in U$ und
  $b\in U^\perp\cap\langle a_k\rangle^\perp$ schreiben.  Somit folgt
  $\langle w,f(a_k)\rangle =\langle v,f(a_k)\rangle +\langle
  b,f(a_k)\rangle=0$ f\"ur alle
  $w\in\S^{n-1} \cap\langle a_k\rangle^\perp$.  Daher ist
  $a_k\in U^\perp$ ein Eigenvektor von $f$; der zugeh\"orige Eigenwert
  ist wie bei jedem normierten Eigenvektor durch
  $\langle a_k,f(a_k)\rangle=\lambda_k$ gegeben.\par Aufgrund der
  Orthogonalit\"at ist $a_k$ kein Eigenvektor zu einem Eigenwert, der
  bereits entsprechend seiner geometrischen Vielfachheit in
  $\lambda_{k+1},\ldots,\lambda_n$ auftaucht. Zu allen Eigenwerten,
  die noch nicht entsprechend ihrer geometrischen Vielfachheit in
  $\lambda_{k+1},\ldots,\lambda_n$ auftauchen, gibt es jeweils einen
  (normierten) Eigenvektor in $U^\perp$. Da in $a_k$ das Supremum
  angenommen wird, folgt also, dass $\lambda_k$ der gr\"o\ss{}te
  solche Eigenwert ist.
\end{proof}

Somit erhalten wir
\begin{theorem}
  Sei $f\colon\R^n\to\R^n$ selbstadjungiert. Dann besitzt $f$ eine
  Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
\end{theorem}
\begin{proof}
  Wir zeigen per Induktion nach $k\in\{1,\ldots,n\}$, dass die
  gr\"o\ss{}ten $k$ Eigenwerte von $f$, entsprechend ihrer
  geometrischen Vielfachheit gegebenenfalls mehrfach aufgef\"uhrt, mit
  zugeh\"origen paarweise orthonormalen Eigenvektoren
  existieren. Dabei ist Theorem \ref{sup ev thm} der Induktionsanfang
  und Theorem \ref{lambda k sup char thm} der Induktionsschritt.
\end{proof}

\subsection{Min-Max-Charakterisierung der Eigenwerte}
\begin{remark}
  In diesem Kapitel verstehen wir unter den angeordneten Eigenwerten
  $\lambda_1\le\ldots\le\lambda_n$ die nach Gr\"o\ss{}e aufsteigend
  geordneten reellen Eigenwerte eines selbstadjungierten
  Endomorphismusses bzw.{} einer symmetrischen reellen Matrix, wobei
  wir einen Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit $k$ genau $k$-mal
  auf"|f\"uhren.
\end{remark}

F\"ur das folgende Theorem ben\"otigen wir einen kleinen Hilfssatz:
\begin{lemma}\label{quadr sum hilfs lem}
  Sei $f\colon\R^n\to\R^n$ selbstadjungiert mit angeordneten
  Eigenwerten $\lambda_1\le\ldots\le\lambda_n$. Sei $U$ ein
  $k$-dimensionaler Unterraum von $\R^n$. Dann gibt es ein
  $x\in U\cap \S^{n-1}$ mit $\langle x,f(x)\rangle\ge\lambda_k$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  W\"ahle eine Orthonormalbasis $\{a_i\}_{1\le i\le n}$ aus
  Eigenvektoren von $f$ mit $f(a_i)=\lambda_ia_i$. Setze
  $W:=\langle a_k,\ldots,a_n\rangle$. Aus Dimensionsgr\"unden ist
  $U\cap W\neq\{0\}$. Sei $x\in U\cap W$ mit $\Vert x\Vert=1$. Aus
  $x\in W$ mit $x=\sum\limits_{i=k}^nx^ia_i$ folgt
  \[\langle x,f(x)\rangle=\Bigg\langle
    \sum\limits_{i=k}^nx^ia_i,\sum\limits_{j=k}^nx^j
    \underbrace{f(a_j)}_{=\lambda_ja_j}\Bigg\rangle
    =\sum\limits_{i=k}^n\left(x^i\right)^2
    \underbrace{\lambda_i}_{\ge\lambda_k}\ge \lambda_k\cdot
    \sum\limits_{i=k}^n\left(x^i\right)^2= \lambda_k.\] Somit ergibt
  sich die Behauptung.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{lambda k extr thm}
  Sei $f\colon\R^n\to\R^n$ selbstadjungiert. Sei $\mathcal U_k$ die
  Menge aller $k$-di\-men\-sio\-na\-len Unterr\"aume von $\R^n$. Dann
  gilt f\"ur die angeordneten Eigenwerte
  $\lambda_1\le\ldots\le\lambda_n$
  \[\lambda_k=\inf\limits_{U\in\mathcal U_k} \sup\limits_{x\in\S^{n-1}\cap
    U} \langle x,f(x)\rangle.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Das Supremum wird stets angenommen, da $\S^{n-1}\cap U$ kompakt ($=$
  beschr\"ankt und abgeschlossen) ist und da $x\mapsto\langle
  x,f(x)\rangle$ stetig ist. \par Sei $\{a_i\}_{1\le i\le n}$ eine
  Orthogonalbasis von $\R^n$ mit $f(a_i)=\lambda_ia_i$. Setze
  $W:=\langle a_1,\ldots,a_k\rangle$. Dann gilt f\"ur
  $x=\sum\limits_{i=1}^k x^ia_i\in W$ mit $\Vert x\Vert=1$, also
  $x\in\S^{n-1}$
  \begin{align*}
    \langle x,f(x)\rangle =&\,\sum\limits_{i,j=1}^k x^ix^j \langle
    a_i,f(a_j)\rangle =\sum\limits_{i,j=1}^k x^ix^j
    \lambda_j\underbrace{\langle a_i,a_j\rangle}_{=\delta_{ij}}
    =\sum\limits_{i=1}^k \left(x^i\right)^2 \lambda_i\\
    \le&\,\lambda_k\sum\limits_{i=1}^k\left(x^i\right)^2
    =\lambda_k\Vert x\Vert^2=\lambda_k.
  \end{align*}
  Insbesondere folgt also 
  \[\langle a_k,f(a_k)\rangle =\lambda_k =\sup\limits_{x\in\S^{n-1}\cap
    W} \langle x,f(x)\rangle.\] Lemma \ref{quadr sum hilfs lem}
  zeigt, dass \[\inf\limits_{U\in\mathcal U_k}
  \sup\limits_{x\in\S^{n-1}\cap U} \langle x,f(x)\rangle \ge
  \lambda_k=\sup\limits_{x\in\S^{n-1}\cap W}\langle x,f(x)\rangle\]
  gilt. Somit folgt Gleichheit in der obigen Ungleichung und damit die
  Behauptung.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $a>0$.  Sei $(-a,a)\ni t\mapsto A(t)\in \R^{n\times n}$ stetig
  und sei $A(t)$ f\"ur alle $t\in(-a,a)$ symmetrisch. Seien
  $\lambda_1(t)\le\lambda_2(t) \le\ldots\le\lambda_n(t)$,
  $t\in(-a,a)$, die angeordneten Eigenwerte von $A(t)$. Sei
  $i\in\{1,\ldots,n\}$ fixiert. Dann ist $t\mapsto\lambda_i(t)$
  stetig.
\end{theorem}
Ist $\Omega$ ein topologischer Raum und $\Omega\ni t\mapsto A(t)\in
\R^{n\times n}$ stetig, so folgt die stetige Abh\"angigkeit der
Eigenvektoren quasi mit demselben Beweis. 
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wollen Theorem \ref{lambda k extr thm} benutzen. Seien
  $t_0\in(-a,a)$ und $\epsilon>0$ beliebig. Gelte $A(t)
  =\left(a^i_j(t)\right)_{1\le i,j\le n}$. Dann gibt es $\delta>0$, so
  dass $(t_0-\delta,t_0+\delta)\subset (-a,a)$ und $\left|a^i_j(t)
    -a^i_j(t_0)\right| \le\frac\epsilon{n^2}$ f\"ur alle $1\le i,j\le
  n$ und $t\in(t_0-\delta,t_0+\delta)$ (da $t\mapsto A(t)$ stetig ist)
  gelten. Sei $x\in\S^{n-1}$ beliebig. Wegen $1=\langle x,x\rangle
  =\sum\limits_{i=1}^n \left(x^i\right)^2$ gilt $\left|x^i\right|\le
  1$ f\"ur alle $i\in\{1,\ldots,n\}$. Wir erhalten also
  \begin{align*}
    |\langle x,A(t)x\rangle -\langle x,A(t_0)x\rangle| =&\,|\langle
    x,(A(t)-A(t_0))x\rangle|\umbruch\\
    =&\,\left|\sum\limits_{i,j,k=1}^n
      x^i\delta_{ij}\left(a^j_k(t)-a^j_k(t_0)\right) x^k
    \right|\umbruch\\ \le &\, n^2\underbrace{\left(\sup\limits_{1\le
          i\le n}\left|x^i\right|\right)^2}_{\le 1}\frac\epsilon{n^2}
    \le\epsilon.
  \end{align*}
  Es folgt nach Theorem \ref{lambda k extr
    thm} (wobei $\mathcal U_k$ wieder die Menge aller
  $k$-dimensionalen Unterr\"aume von $\R^n$ bezeichnet) 
  \begin{align*}
    \lambda_k(t)=&\,\inf\limits_{U\in\mathcal U_k} \sup\limits_{x\in
      \S^{n-1}\cap U} \langle x,A(t)x\rangle\umbruch\\
    \le&\,\inf\limits_{U\in\mathcal U_k} \sup\limits_{x\in
      \S^{n-1}\cap U} \langle x,A(t_0)x\rangle+\epsilon\umbruch\\
    =&\,\lambda_k(t_0)+\epsilon.
  \end{align*}
  Hierf\"ur schreibe man die obige Absch\"atzung zuerst als
  Ungleichung ohne Betr\"age um und gehe dann zun\"achst auf einer
  Seite zum Supremum bzw.{} Infimum \"uber.  Analog folgt die
  umgekehrte Ungleichung und daher die Stetigkeit.
\end{proof}

\subsection{Charakterisierung positiver Definitheit}

Als Anwendung erhalten wir eine Charakterisierung positiver
Definitheit.

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item Das folgende Theorem gilt auch f\"ur symmetrische und
    hermitesche Matrizen, siehe \cite[Theorem
    7.2.5]{HornJohnsonMatrixAnalysis}. Wir lassen es als \"Ubung, die
    Min-Max-Charakterisierung der Eigenwerte auf hermitesche Matrizen
    zu \"ubertragen.
  \item F\"ur positiv semidefinite
    Matrizen gilt es nicht mit \glqq$\,\ge0\,$\grqq.
  \item Wir schreiben
    $\mathbb K$ statt $\R$ oder $\C$.
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}
  Sei $A=\left(a^i_j\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathbb K^{n\times n}$
  hermitesch. Dann sind die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)] 
  \item\label{pos def i} $A$ ist positiv definit,
  \item\label{pos def ii} alle Unterdeterminanten
    $\det\left(a^i_j\right)_{1\le i,j\le k}\equiv\det A_k$,
    $k=1,\ldots,n$, erf\"ullen $\det A_k>0$ (und sind im hermiteschen
    Fall reell).
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item \glqq\ref{pos def i} \impliziert \ref{pos def ii}\grqq: Sei
    $A$ positiv definit. Betrachte
    $A_k=\left(a^i_k\right)_{1\le i,j\le k}$ f\"ur ein $k$ mit
    $1\le k\le n$. Dann ist auch $A_k$ positiv definit. $A_k$ ist
    diagonalisierbar und hat positive Eigenwerte. Somit ist auch das
    Produkt dieser Eigenwerte, $\det A_k$, positiv.    
  \item  \glqq\ref{pos def ii} \impliziert \ref{pos def i}\grqq: Per
    Induktion. Sei die Aussage bereits f\"ur
    $(n-1)\times(n-1)$-Matrizen gezeigt, $A_{n-1}$ also positiv
    definit. Nach Theorem \ref{lambda k extr thm}, mit Infimum und
    Supremum vertauscht um die gr\"o\ss{}eren Eigenwerte zuerst zu
    bekommen, besitzt $A$ mindestens $(n-1)$ positive Eigenwerte, da
    wir schon f\"ur die spezielle Wahl
    $U=\langle e_1,\ldots, e_{k}\rangle$ mit $1\le k\le n-1$ auch $k$
    positive Werte erhalten die dann untere Schranken f\"ur die
    Eigenwerte von $A$ sind.  Das Produkt der Eigenwerte ist aber
    ebenfalls positiv. Somit sind alle Eigenwerte positiv. \qedhere 
  \end{itemize}
\end{proof}
\end{appendix}


\iffalse
\subsection{Umbilische Hyperfl\"achen}
\begin{theorem}[Codazzigleichungen, Codazzi-Mainardi Gleichungen]
  Quelle: \cite{Spivak4}\label{Codazzi thm}\rule{0mm}{1mm}\\ F\"ur
  eine glatt immersierte Hyperfl\"ache $M$ gilt $$\left\langle\ol
    R(\ol X,\ol Y)\ol
    Z,\nu\right\rangle=-\nabla_XA(Y,Z)+\nabla_YA(X,Z),$$ wobei
  $X,Y,Z\in TM$.  Wir erhalten in Koordinaten $$h_{ij;k}=h_{ik;j}+\ol
  R_{\alpha\beta\gamma\delta}\nu^\alpha
  X^\beta_iX^\gamma_jX^\delta_k.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da es sich um eine Tensorgleichung handelt, gen\"ugt es, sie f\"ur
  Vektorfelder mit paarweise verschwindender Lieklammer (z.\,B.{}
  Koordinatenvektorfelder) nachzurechnen. Es gilt
  \begin{align*}
    \nabla_X\nabla_YZ=&\,\nabla_X\left(\ol\nabla_{\ol Y}\ol
      Z-\left\langle\ol\nabla_{\ol Y}\ol
        Z,\nu\right\rangle\nu\right)\umbruch\\ 
    =&\,\nabla_X\ol\nabla_{\ol Y}\ol Z+\nabla_X(A(Y,Z)\nu)
    \quad\text{Gau\ss{}sche Formel}\umbruch\\
    =&\,\ol\nabla_{\ol X}\ol\nabla_{\ol Y}\ol Z
    -\left\langle\ol\nabla_{\ol X}(\ol\nabla_{\ol Y}\ol
      Z),\nu\right\rangle\nu +\nabla
    X(A(Y,Z)\nu)\umbruch\\
    =&\,\ol\nabla_{\ol X}\ol\nabla_{\ol Z}\ol Z
    +A(X,\nabla_YZ)\nu +\nabla_X(A(Y,Z)\nu),\\
    \intertext{da die zweite Fundamentalform auf normalen Anteilen
      verschwindet} =&\,\ol\nabla_{\ol X}\ol\nabla_{\ol Y}\ol
    Z+A(X,\nabla_YZ)\nu +\nabla_XA(Y,Z)\nu +A(\nabla_XY,Z)\nu\\
    &\,+A(Y,\nabla_XZ)\nu +A(Y,Z)\nabla_X\nu.
  \end{align*}
  Nach Definition ist die linke Seite ein Tangentialvektor. Daher
  liefert Multiplikation mit $\nu$
$$0=\left\langle\ol\nabla_{\ol X}\ol\nabla_{\ol Y}\ol Z,\nu\right\rangle
+A(X,\nabla_YZ) +\nabla_XA(Y,Z) +A(\nabla_XY,Z) +A(Y,\nabla_XZ).$$ Wir
haben angenommen, dass die auftretenden Lieklammern verschwinden.
Somit gilt
\begin{align*}
  \left\langle\ol R(\ol X,\ol Y)\ol Z,\nu\right\rangle=&\,\left\langle\ol\nabla_{\ol
    X}\ol\nabla_{\ol Y}\ol Z-\ol\nabla_{\ol Y}\ol\nabla_{\ol X}\ol
  Z,\nu\right\rangle\umbruch\\
  =&\,-\ul{A(X,\nabla_YZ)}-\nabla_XA(Y,Z) -A(\nabla_XY,Z)
  -\ul{A(Y,\nabla_XZ)}\\ 
  &\,+\ul{A(Y,\nabla_XZ)} +\nabla_YA(X,Z) +A(\nabla_ZX,Z)
  +\ul{A(X,\nabla_YZ)}\umbruch\\ =&\,-\nabla_XA(Y,Z)+\nabla_YA(X,Z)
  +A(Z,\nabla_YX-\nabla_XY)\umbruch\\
  =&\,-\nabla_XA(Y,Z)+\nabla_YA(X,Z).
\end{align*}
Somit folgt in Koordinaten
\begin{align*}
  \ol R_{\alpha\beta\gamma\delta}
  X^\alpha_iX^\beta_iX^\gamma_k\nu^\delta=&\,\left\langle\ol
  R\left(\ol{\fracp{}{x^j}},\ol{\fracp{}{x^i}}\right)\ol{\fracp{}{x^k}},
  \nu\right\rangle\umbruch\\ 
  =&\,-\nabla_jA\left(\fracp{}{x^i},\fracp{}{x^k}\right)
  +\nabla_iA\left(\fracp{}{x^j},\fracp{}{x^k}\right)\umbruch\\
  =&\,-h_{ik;j}+h_{jk;i}.
\end{align*}
Austauschen von $i$ und $j$ liefert
\begin{align*}
  h_{ij;k}=&\,h_{ji;k}=h_{ik;j}+\ol R_{\alpha\beta\gamma\delta}
  X^\alpha_kX^\beta_jX^\gamma_i\nu^\delta\umbruch\\ =&\,h_{ik;j}+\ol
  R_{\alpha\beta\gamma\delta}
  X^\alpha_i\nu^\beta X^\gamma_kX^\delta_j\umbruch\\ =&\,h_{ik;j}+\ol
  R_{\alpha\beta\gamma\delta}\nu^\alpha X^\beta_iX^\gamma_jX^\delta_k 
\end{align*}
aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Riemannschen Kr\"ummungstensors.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Die kovariante Ableitung der zweiten Fundamentalform einer in den
  $\R^{m+1}$ isometrisch immersierten Hyperfl\"ache ist ein total
  symmetrischer kovarianter $3$-Tensor:
$$h_{ij;k}=h_{ik;j}=h_{jk;i}=h_{ji;k}=h_{ki;j}=h_{kj;i}.$$
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  In $\R^{m+1}$ gilt $\ol R_{\cdot\cdot\cdot\cdot}=0$. $h_{ij}$ ist
  symmetrisch. Benutze nun Theorem \ref{Codazzi thm}.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $M$ eine immersierte Hyperfl\"ache.  Ein Punkt $p\in M$
  hei\ss{}t Nabelpunkt (englisch: umbilischer Punkt), falls dort alle
  Hauptkr\"ummungen \"ubereinstimmen
  \[A(\cdot,\cdot)=\lambda\left\langle\cdot,\cdot\right\rangle.\]
  Eine Hyperfl\"ache hei\ss{}t (total) umbilisch, falls sie in jedem
  Punkt umbilisch ist, d.\,h.{}, falls es eine Funktion
  $\lambda=\lambda(p)$ gibt, so dass
  \[A(\cdot,\cdot)=\lambda\left\langle\cdot,\cdot\right\rangle\] gilt. 
\end{definition}

\begin{theorem}[Carath\'eodory-Vermutung]
  Jede kompakte konvexe Fl\"ache in $\R^3$ besitzt mindestens zwei
  umbilische Punkte. 
\end{theorem}
Es ist leicht zu sehen, dass es mindestens einen Nabelpunkt geben
mu\ss{}. Es gibt umstrittene Behauptungen, die die Vermutung beweisen
sollen. 

Sind alle Punkte Nabelpunkte, so k\"onnen wir die Fl\"ache
beschreiben. (Wir folgen \cite{BoediSkript}.)
\begin{theorem}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine zusammenh\"angende total umbilische
  Hyperfl\"ache und $n\ge2$. Dann ist $M$ Teil einer Hyperebene
  oder einer $n$-dimensionalen Sph\"are.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Gelte $$h_{ij}=\lambda(x)g_{ij}.$$ Wir zeigen zun\"achst, dass
  $\lambda$ lokal konstant ist. Es gilt nach Codazzi
  \begin{align*}
    H_{;k}=&\,g^{ij}h_{ij;k}=g^{ij}h_{ik;j}
    =g^{ij}(\lambda(x)g_{ik})_{;j}\umbruch\\
    =&\,g^{ij}\lambda_{;j}g_{ik}=\lambda_{;j}\delta^j_k=\lambda_{;k}.
  \end{align*}
  Andererseits gilt $$H_{;k}=\left(g^{ij}h_{ij}\right)_{;k}
  =\left(g^{ij}\lambda(x)g_{ij}\right)_{;k} =n\lambda_{;k}.$$ Somit
  ist $\lambda$ konstant. Sei zun\"achst $\lambda\neq0$. Definiere
  $$a:=X-\tfrac1\lambda\nu.$$ Differenzieren liefert, da $\lambda$
  konstant ist
  \begin{align*}
    a^\alpha_{;k}=&\,X^\alpha_{;k} -\tfrac1\lambda\nu^\alpha_{;k}
    =X^\alpha_{;k}-\tfrac1\lambda h^l_kX^\alpha_{;l}\umbruch\\
    =&\,X^\alpha_{;k}-\tfrac1\lambda h_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l}
    =X^\alpha_{;k}-\tfrac1\lambda\lambda
    g_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l}\umbruch\\
    =&\,X^\alpha_{;k}-\delta^l_kX^\alpha_{;l}
    =X^\alpha_{;k}-X^\alpha_{;k}=0.
  \end{align*}
  Somit gilt $X=\frac1\lambda\nu+P$ f\"ur ein $P\in\R^{n+1}$. Daher
  ist $X$ stets in einer Sph\"are vom Radius $\frac1\lambda$ um $P$
  enthalten und die Behauptung folgt. \par Sei nun $\lambda=0$. Es
  gilt $$\nu^\alpha_{;k} =h^l_kX^\alpha_{;l}
  =h_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l} =\lambda g_{kr}g^{rl}X^\alpha_{;l}=0.$$
  Somit ist der Normalenvektor entlang der Hyperfl\"ache konstant.
  Daher liegt $M$ in einer Hyperebene.
\end{proof}

\section{Der abstrakte Tangentialraum}

\section{Weiter m\"ogliche Themen}
Irgendwas mit dem Riemannschen Kr\"ummungstensor, Theorema egregium
\fi

\iffalse
\begin{appendix}
  \section{Auxiliary results}
  \subsection{Interpolation inequality}

  \begin{theorem}
    \label{interpolation thm}
    Sei $C_0,C_2,R>0$ und $u\colon(-R,R)\to\R$ a $C^2$-Funktion such
    that
    \[R\ge\frac{\sqrt{C_0}}{\sqrt{C_2}},\quad \Vert u\Vert_{C^0}\le
      C_0 \quad\text{und}\quad \left\Vert u''\right\Vert_{C^0}\le
      C_2.\] Then
    \[|u'(0)|\le \frac52 \sqrt{C_0}\sqrt{C_2}.\]
  \end{theorem}
  \begin{proof}[Beweis]
    By considering $x\mapsto u(-x)$ instead of $x\mapsto u(x)$, wir may
    assume without loss of generality that $u'(0)>0$. Wir apply
    the fundamental theorem of calculus twice und obtain f\"ur any
    $x\in(0,R)$
    \begin{align*}
      2C_0\ge&\,u(x)-u(0)\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^x u'(\tau)\,d\tau\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^x \left\{u'(0) +\int\limits_0^\tau
         u''(\sigma)\,d\sigma\right\}\,d\tau\umbruch\\
      \ge&\,x\cdot u'(0) -\int\limits_0^x \int\limits_0^\tau
           C_2\,d\sigma\,d\tau\umbruch\\
      =&\,x\cdot u'(0) -\int\limits_0^x \tau\cdot C_2\,d\tau\umbruch\\
      =&\,x\cdot u'(0) -\frac12 C_2\cdot x^2. 
    \end{align*}
    Wir deduce that \[u'(0)\le 2\frac{C_0}x +\frac12 C_2\cdot x.\]
    Setting $x\uparrow \frac{\sqrt{C_0}}{\sqrt{C_2}}$ yields the claimed
    result. 
  \end{proof}
\end{appendix}
\fi

\renewcommand{\refname}{Literatur}
\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}
\def\weg#1{} \def\unterstrich{\underline{\rule{1ex}{0ex}}} \def\cprime{$'$}
  \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
% \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR.
\providecommand{\MRhref}[2]{%
  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
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