% 
% Differentialgeometrie II, Teil 2
% Oliver Schn\"urer
% FU Berlin, Winter 2007/2008
%
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Differentialgeometrie II}

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Freie Universit\"at Berlin,
   Arnimallee 6, 14195 Berlin, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\fuaddress{@math.fu-berlin.de}
\email{Oliver.Schnuerer\fuaddress}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

%    General info
\subjclass[2000]{53-01, 53C22, 58E10}
% 53-xx Differential geometry
% 53-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) 
% 53C22 Geodesics [See also 58E10]
% 58Exx Variational problems in infinite-dimensional spaces
% 58E05 Abstract critical point theory (Morse theory,
%       Ljusternik-Schnirelman (Lyusternik-Shnirelman) theory, etc.) 
% 58E10 Applications to the theory of geodesics (problems in one
%       independent variable) 

%\date{November 2007-\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zum zweiten Teil
  einer Vorlesung Differentialgeometrie II an der Freien Universit\"at
  Berlin im Wintersemester 2007/8. Vielen Dank an Juliette Hell f\"ur
  Korrekturen.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

%\mainmatter
%\addtocounter{section}{-1}
\section{Energie- und Volumenfunktional}
Wir verwenden in den folgenden Kapiteln \cite{TomiDG2}, siehe auch
\cite{GroKliMey}. 
\begin{definition}\label{energie vol def}
  Sei $f:M\to\left(\tilde M,\tilde g\right)$ eine Immersion einer
  $m$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ in eine Riemannsche
  Mannigfaltigkeit $(\tilde M,\tilde g)$. Mit der zur\"uckgezogenen
  Metrik $g:=f^*\tilde g$ wird $f:(M,g)\to(\tilde M,\tilde g)$ zu
  einer isometrischen Immersion. Das Volumen $V$ von $f(M)$ ist durch
  $V(f(M))=\int\limits_M\,d\mu_g$ gegeben. In einer lokalen Karte
  $(U,\phi)$ von $M$ mit Standardbasis $\fracp{}{x^1}, \ldots,
  \fracp{}{x^m}$ ist \[V(f(U)) =\int\limits_U\,d\mu_g
  =\int\limits_{\phi(U)} \sqrt{\det(g_{ij})\circ\phi^{-1}}\,dx^1\ldots 
  dx^m,\] wobei
  \[g_{ij}=g\left(\tfracp{}{x^i}, \tfracp{}{x^j}\right) =\tilde
  g\left( f_*\left\langle\tfracp{}{x^i}\right\rangle,
    f_*\left\langle\tfracp{}{x^j}\right\rangle \right).\]
  
  Das Energiefunktional $E$ einer Abbildung $f:(M,g)\to\left(\tilde
    M,\tilde g\right)$, die nicht notwendigerweise eine isometrische
  Immersion ist, ist durch
  \[E(f):=\frac12\int\limits_M\sum\limits_{i,j}g^{ij} \left\langle
    f_*\tfracp{}{x^i}, f_*\tfracp{}{x^j} \right\rangle_{\tilde
    g}\,d\mu_g\] definiert, wobei $\left(g^{ij}\right)$ die Inverse
  zu $(g_{ij})$ ist.\par
  Sei $f\in C^k$. Eine $C^k$-Variation $F$ von $f$ ist eine Abbildung
  $F:M\times(-\epsilon,\epsilon)\to\tilde M$, $\epsilon>0$, mit
  $F(x,0)=f(x)$ f\"ur $x\in M$. Dann hei\ss{}t 
  \[\left.\tfracp{}tF(\cdot,t)\right|_{t=0}
  =\left.F_*\left\langle\tfracp{}t\right\rangle\right|_{t=0}=:X\]
  Variationsvektorfeld von $F$ und ist ein Vektorfeld l\"angs $f$,
  also ein Schnitt in $f^*T\tilde M$. Eine Variation $F$ hat kompakten
  Tr\"ager in einer Menge $U$, falls
  \[\overline{\bigcup\limits_{t\in(-\epsilon,\epsilon)}
    \supp(F(\cdot,t)-f)}\Subset U\] gilt.
\end{definition}

\begin{lemma}[1. Variation des Volumens]
  Seien $M^m$, $\tilde M$ kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten und
  $f:(M,g)\to\left(\tilde M,\tilde g\right)$ eine isometrische
  Immersion der Klasse $C^2$. Sei $F$ eine $C^2$-Variation von $f$ mit
  Variationsvektorfeld $X$ und kompakten Tr\"ager im Definitionsgebiet
  $U$ einer Karte $(U,\phi)$. Dann erf\"ullt die erste Variation des
  Volumens mit Bezeichnungen wie in Definition \ref{energie vol def}
  \begin{align*}
    \left.\dt V(F(\cdot,t))\right|_{t=0}=&\,-\int\limits_U
    \left\langle\frac1{\sqrt{\det(g_{kl})}} \sum\limits_{i,j=1}^m
      \tilde\nabla_{\fracp{}{x^i}}\left(\sqrt{\det(g_{kl})}\,
        g^{ij}f_*\tfracp{}{x^j}\right), X\right\rangle_{\tilde
      g}\,d\mu_g\\ 
    \equiv&\,-\int\limits_U\langle\Delta f,X\rangle\,d\mu_g.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt, \"uber $U$ zu integrieren. Die Kompaktheit der
  Mannigfaltigkeiten sichert die Differenzierbarkeit und dass die
  Integrale endlich sind. Wir definieren $G:=\det g_{ij}$ und erhalten
  \begin{align*}
    \dt V(F(\cdot,t))=&\, \dt\int\limits_{\phi(U)}
    \sqrt{G\circ\phi^{-1}}\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{\phi(U)}\left(\frac1{2\sqrt
        G}\sum\limits_{i,j=1}^m Gg^{ij} \fracp{}t g_{ij}
    \right)\circ\phi^{-1}\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{\phi(U)}\left(\frac1{2\sqrt
        G}\sum\limits_{i,j=1}^m Gg^{ij} \fracp{}t \left\langle
        F_*\fracp{}{x^i},F_*\fracp{}{x^j}\right\rangle_{\tilde g}
    \right)\circ\phi^{-1}\,dx\umbruch\\
    =&\,\frac12\int\limits_U\sum\limits_{i,j=1}^m g^{ij}\fracp{}t
    \left\langle F_*\fracp{}{x^i},
      F_*\fracp{}{x^j}\right\rangle_{\tilde g}\,d\mu_g\umbruch\\
    =&\,\int\limits_U\sum\limits_{i,j=1}^m g^{ij} \left\langle
      \tilde\nabla_{\fracp{}t}\left(F_*\fracp{}{x^i}\right),
      F_*\fracp{}{x^j}\right\rangle_{\tilde g}\,d\mu_g,\umbruch
    \intertext{da $\tilde\nabla$ der Levi-Civita Zusammenhang auf
      $\left(\tilde M,\tilde g\right)$ bzw.\ $\tilde
      M\times(-\epsilon,\epsilon)$ ist,}\umbruch =&\,\int\limits_U
    \sum\limits_{i,j=1}^m g^{ij}\left\langle
      \tilde\nabla_{\fracp{}{x^i}}F_*\fracp{}t, F_*\fracp{}{x^j}
    \right\rangle\,d\mu_g,\umbruch \intertext{da nach der 1.
      Cartan-Formel f\"ur einen Levi-Civita Zusammenhang
      $0=\tilde\nabla_X F_*Y-\tilde\nabla_Y F_*X-F_*[X,Y]$
      gilt,}\umbruch =&\,\int\limits_U \sum\limits_{i,j=1}^m
    g^{ij}\left\langle \tilde\nabla_{\fracp{}{x^i}}X, F_*\fracp{}{x^j}
    \right\rangle\,d\mu_g\umbruch\\
    =&\,-\int\limits_U \sum\limits_{i,j=1}^m \left\langle X,\frac
      1{\sqrt G}\tilde\nabla_{\fracp{}{x^i}} \left(\sqrt G\, g^{ij}
        F_*\fracp{}{x^j}\right) \right\rangle\,d\mu_g,\umbruch
    \intertext{nach Divergenzsatz.}
  \end{align*}
Es gilt n\"amlich f\"ur Vektorfelder $X$, $Y$, von denen eines einen
kompakten Tr\"ager in $U$ hat, aufgrund der partiellen
Integrationsformel im $\R^m$ 
\begin{align*}
  \int\limits_U \left\langle \tilde\nabla_{\fracp{}{x^i}}X,Y
  \right\rangle \, d\mu_g =&\,\int\limits_{\phi(U)} \left\langle
    \left(\tilde\nabla_{\fracp{}{x^i}}X\right)\circ\phi^{-1},
    Y\circ\phi^{-1} \right\rangle \sqrt{G\circ\phi^{-1}}\,dx\umbruch\\
  =&\,\int\limits_{\phi(U)} \fracp{}{x^i}\left\langle X\circ\phi^{-1},
    \left(\sqrt G\,Y\right)\circ\phi^{-1} \right\rangle \,dx\umbruch\\
  &\,-\int\limits_{\phi(U)} \left\langle X\circ\phi^{-1},
    \tilde\nabla_{\fracp{}{x^i}}\left(\sqrt G\,Y\right)\circ\phi^{-1}
  \right\rangle\,dx\umbruch\\
  =&\,-\int\limits_U \left\langle X,\frac1{\sqrt G}
    \tilde\nabla_{\fracp{}{x^i}}\left(\sqrt G\,Y\right) \right\rangle\,
  d\mu_g.
\end{align*}
Beachte f\"ur die zweite Gleichheit, dass
$\fracp{}{x^i}f=\fracp{(f\circ\phi^{-1})}{x^i}\circ\phi$ f\"ur
$f:M\to\R$ gilt.
\end{proof}

\begin{remark}
  F\"ur beliebiges Vektorfeld $X$ mit kompaktem Tr\"ager gibt es eine
  Variation $F$ von $f$ mit kompaktem Tr\"ager, deren
  Variationsvektorfeld durch $X$ gegeben ist, n\"amlich
  $F(x,t):=\exp_{f(x)}(t\cdot X(x))$.\par
  Somit ist genau dann $\Delta f=0$, wenn $f$ ein kritischer Punkt des
  Volumenfunktionals ist.\par
  Sei $I\subset\R$ ein Intervall, $f:I\to\left(\tilde M,\tilde
    g\right)$ eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte Kurve. Dann
  ist $\det g=1$ und wir erhalten $\Delta f=\tilde\nabla_{\frac d{dx}}
  f_*\frac d{dx} =\tilde\nabla_{\frac d{dx}}f'=0$, $f$ ist also eine
  Geod\"atische. Gleichzeitig ist $f$ harmonisch. Daher ist es
  naheliegend, die erste Variation der Energie f\"ur Geod\"atische zu
  untersuchen.\par
  Sei $I=[a,b]\subset\R$ ein Intervall, $f:I\to\left(\tilde M,\tilde
    g\right)$ von der Klasse $C^1$. Wir schreiben $L$ f\"ur das
  Volumenfunktional $V$. $L$ hei\ss{}t L\"angenfunktional. Es gilt
  nach H\"older
  \[L(f)=\int\limits_a^b||f'(t)||\,dt
  \le(b-a)^{1/2}\cdot\left(\int||f'||^2\,dt\right)^{1/2}
  =\sqrt{b-a}\sqrt{2E(f)}\] mit Gleichheit, falls $||f'||$ und $1$
  linear abh\"angig sind, wenn also $||f'||$ konstant ist. Jede
  regul\"are Kurve l\"asst sich so parametrisieren, dass $||f'||$
  konstant ist. Wir sehen also, dass wir Minima f\"ur $L$ finden
  k\"onnen, indem wir $E$ minimieren. Minima sind dann automatisch
  proportional zur Bogenl\"ange parametrisiert. Beim
  L\"angenfunktional kann man Minima, anders als bei der Energie, noch
  umparametrisieren und bekommt Konvergenzprobleme bei Minimalfolgen.
\end{remark}

\section{1. und 2. Variation der Energie, Jacobifelder}

\begin{lemma}[1. Variation der Energie]\label{1 var e}
  Sei $\alpha:[a,b]\to (M,g)$ eine $C^2$-Kurve, $\alpha(t)$. Sei
  $V=V(t,\tau)$ eine $C^2$-Variation von $\alpha$ mit festen Endpunkten,
  also $V\in C^2([a,b]\times(-\epsilon,\epsilon),M)$, $\epsilon>0$,
  mit $V(t,0)=\alpha(t)$, $V(a,\tau)=\alpha(a)$ und
  $V(b,\tau)=\alpha(b)$ f\"ur alle $\tau\in(-\epsilon,\epsilon)$.
  Dann ist
  \[\left.\fracp{}\tau E(V(\cdot,\tau))\right|_{\tau=0}
  =-\int\limits_a^b \langle\nabla_{\frac
    d{dt}}\alpha',X\rangle\,dt=:E_{*,\alpha}(X).\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt
  \begin{align*}
    \fracp{}{\tau}E(V(\cdot,\tau))=&\,\fracp{}{\tau}\frac12
    \int\limits_a^b \left\langle V_*\tfracp{}t,V_*\tfracp{}t
    \right\rangle\,dt&&\umbruch\\
    =&\,\int\limits_a^b\left\langle V_*\tfracp{}t,
      \nabla_{\fracp{}\tau} V_*\tfracp{}t \right\rangle\,dt
    &&\text{(Ricci)}\umbruch\\ 
    =&\,\int\limits_a^b\left\langle V_*\tfracp{}t, \nabla_{\fracp{}t}
      V_*\tfracp{}\tau \right\rangle\,dt
    &&\text{(Cartan)}\umbruch\\
    =&\,\int\limits_a^b\fracp{}t \left\langle
      V_*\tfracp{}t,V_*\tfracp{}\tau \right\rangle\,dt
    -\int\limits_a^b \left\langle \nabla_{\fracp{}t}V_*\tfracp{}t,
      V_*\tfracp{}\tau \right\rangle\,dt &&\text{(Ricci).}\umbruch\\
  \end{align*}
  $V_*\fracp{}\tau$ verschwindet f\"ur $t=a$, $b$. Wir definieren
  $X:=\left.V_*\fracp{}\tau\right|_{\tau=0}$ und erhalten
  \[\left.\fracp{}\tau E(V(\cdot,\tau))\right|_{\tau=0}=
  -\int\limits_a^b \left\langle \nabla_{\frac
      d{dt}}\alpha',X\right\rangle\,dt.\]
\end{proof}

\begin{remark}
  Die folgenden vier Aussagen sind \"aquivalent
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $E_{*,\alpha}(X)=0$ f\"ur alle $X$ mit $X(a)=X(b)=0$,
  \item $\nabla_{\frac d{dt}}\alpha'=0$,
  \item $\alpha^k{}''+ \sum\limits_{i,j}\Gamma^k_{ij}\circ\alpha\cdot
    \alpha^i{}'\alpha^j{}'=0$,
  \item $\alpha=$ konstant oder $\alpha$ ist Geod\"atische. 
  \end{enumerate}
  Daher k\"onnen wir auch Extreme des Energiefunktionals suchen, wenn
  wir Geod\"atische finden wollen. 
\end{remark}

\begin{remark}
  Im Fall geschlossener Kurven $\alpha\in C^2([a,b],M)$ mit
  $\alpha(a)=\alpha(b)$ betrachten wir periodische Variationen, also
  $V\in C^2([a,b]\times(-\epsilon,\epsilon),M)$, $\epsilon>0$, mit
  $V(a,\tau)=V(b,\tau)$ f\"ur alle $\tau\in(-\epsilon,\epsilon)$. Dann
  ist insbesondere $X(a)=X(b)$. Mit Hilfe der Rechnung aus Lemma
  \ref{1 var e} folgt
  \[E_{*,\alpha}(X)=\langle \alpha'(b)-\alpha'(a),X(a)\rangle
  -\int\limits_a^b \left\langle\nabla_{\frac d{dt}}\alpha',
    X\right\rangle\,dt.\] Somit ist $\alpha$ genau dann unter allen
  periodischen Variationen station\"ar, wenn $\alpha$ eine
  Geod\"atische ist (folgt aus Variationen mit festen Endpunkten) und
  $\alpha'(a)=\alpha'(b)$ gilt. In diesem Falle sagen wir auch, dass
  $\alpha$ periodische L\"osung der geod\"atischen
  Differentialgleichung oder geschlossene Geod\"atische ist. Beachte,
  dass aufgrund der Differentialgleichung auch die h\"oheren
  Ableitungen von $\alpha$ \"ubereinstimmen.
\end{remark}

\begin{remark}[2. Variation von $E$]\neueZeilealt
  Sei $\alpha:[a,b]\to M$ eine Geod\"atische. Betrachte 2
  Parameter-Variationen $V=V(t,\tau_1,\tau_2)$ von $\alpha$. Sei $V\in
  C^3\left([a,b]\times(-\epsilon,\epsilon)^2,M\right)$, $\epsilon>0$,
  $V(t,0,0)=\alpha(t)$. Definiere $\left.\fracp
    V{\tau_1}\right|_{(\tau_1,\tau_2)=0}=:X_1$ und $\left.\fracp
    V{\tau_2}\right|_{(\tau_1,\tau_2)=0}=:X_2(t)$. F\"ur gegebene
  Vektorfelder $X_1(t)$ und $X_2(t)$ ist
  $V(t,\tau_1,\tau_2):=\exp_{\alpha(t)} (\tau_1X_1(t)+\tau_2X_2(t))$
  eine Variation, die gerade diese Vektorfelder liefert. \par
  Wir wissen aus den Rechnungen zu Lemma \ref{1 var e}, dass
  \[\fracp{}{\tau_2}E(V(\cdot,\tau_1,\tau_2))=\int\limits_a^b
  \left\langle V_*\tfracp{}t,\nabla_{\fracp{}t}V_*\tfracp{}{\tau_2}
  \right\rangle \,dt\]
  gilt. Somit erhalten wir mit Ricci und $R(X,Y)Z=\nabla_X \nabla_Y Z
  -\nabla_Y\nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]}Z$
  \begin{align*}
    \fracp{}{\tau_1}\fracp{}{\tau_2}E(V(\cdot,\tau_1,\tau_2))
    =&\,\int\limits_a^b
    \left\langle\nabla_{\fracp{}{\tau_1}}V_*\tfracp{}{t},
      \nabla_{\fracp{}t}
      V_*\tfracp{}{\tau_2}\right\rangle\,dt\umbruch\\
    &\,+\int\limits_a^b \left\langle V_*\tfracp{}{t},
      \nabla_{\fracp{}{\tau_1}} \nabla_{\fracp{}t}
      V_*\tfracp{}{\tau_2}\right\rangle\,dt\umbruch\\
    =&\,\int\limits_a^b
    \left\langle\nabla_{\fracp{}{\tau_1}}V_*\tfracp{}{t},
      \nabla_{\fracp{}t}
      V_*\tfracp{}{\tau_2}\right\rangle\,dt\umbruch\\
    &\,+\int\limits_a^b \left\langle V_*\tfracp{}{t},
      R\left(V_*\tfracp{}{\tau_1}, V_*\tfracp{}t\right)
      V_*\tfracp{}{\tau_2}\right\rangle\,dt\umbruch\\
    &\,+\int\limits_a^b \left\langle V_*\tfracp{}{t},
      \nabla_{\fracp{}t} \nabla_{\fracp{}{\tau_1}}
      V_*\tfracp{}{\tau_2}\right\rangle\,dt.\\
  \end{align*}
  F\"ur $\tau=(\tau_1,\tau_2)=0$ vereinfacht sich dies zu
  \begin{align*}
    \left.\fracp{}{\tau_1}\fracp{}{\tau_2}
      E(V(\cdot,\tau_1,\tau_2))\right|_{(\tau_1,\tau_2)=0} =&\,
    \int\limits_a^b \langle\nabla X_1,\nabla X_2\rangle
    +\langle\alpha',R(X_1,\alpha')X_2\rangle\,dt\umbruch\\
    &\,+\int\limits_a^b \left.\left\langle
        \alpha',\nabla_{\fracp{}t}\nabla_{\fracp{}{\tau_1}}
        V_*\tfracp{}{\tau_2} \right\rangle\right|_{\tau=0}\,dt\umbruch\\
    =&\, \int\limits_a^b \langle\nabla X_1,\nabla X_2\rangle
    -\langle R(X_1,\alpha')\alpha',X_2\rangle\,dt\umbruch\\
    &\,+\int\limits_a^b \left.\left\langle
        \alpha',\nabla_{\fracp{}t}\nabla_{\fracp{}{\tau_1}}
        V_*\tfracp{}{\tau_2} \right\rangle\right|_{\tau=0}\,dt \equiv
    I_1 +I_2.
  \end{align*}
  Wir erhalten f\"ur $\tau=0$, da $\alpha$ eine Geod\"atische ist,
  also $\nabla\alpha'=0$ erf\"ullt,
  \begin{align*}
    I_2=&\,\int\limits_a^b\left.\dt\left\langle\alpha',
        \nabla_{\fracp{}{\tau_1}}
        V_*\left(\tfracp{}{\tau_2}\right)\right\rangle\right.\,dt
    -\int\limits_a^b \left\langle\nabla\alpha',
      \nabla_{\fracp{}{\tau_1}}
      V_*\left(\tfracp{}{\tau_2}\right)\right\rangle \,dt\umbruch\\
    =&\, \left\langle \alpha'(b),\nabla_{\fracp{}{\tau_1}}
      V_{*,(b,0)}\tfracp{}{\tau_2} \right\rangle -\left\langle
      \alpha'(a),\nabla_{\fracp{}{\tau_1}} V_{*,(a,0)}\tfracp{}{\tau_2}
    \right\rangle.
  \end{align*}
  Bei Variationen mit festen Endpunkten gilt $I_2=0$, denn dann ist
  $V(a,\tau_1,\tau_2)=\alpha(a)$ und $V(b,\tau_1,\tau_2)=\alpha(b)$.
  Wir erhalten also f\"ur $t=a$, $b$, dass
  $V_{*,(t,\tau)}\fracp{}{\tau_2}=0$ und
  $\nabla_{\fracp{}{\tau_1}}V_{*,(t,\tau)}\fracp{}{\tau_2}=0$
  gelten.\par
  Ist $\alpha$ eine geschlossene station\"are Geod\"atische und $V$
  eine periodische Variation, so gilt ebenfalls $I_2=0$, denn dann ist
  $\alpha'(a)=\alpha'(b)$ und $V(a,\tau_1,\tau_2)=V(b,\tau_1,\tau_2)$
  und es folgt $\nabla_{\fracp{}{\tau_1}}V_{*,(a,0)}\fracp{}{\tau_2}=
  \nabla_{\fracp{}{\tau_1}}V_{*,(b,0)}\fracp{}{\tau_2}$. \par
  Somit gilt f\"ur Geod\"atische und Variationen $V$ mit festen
  Endpunkten oder f\"ur station\"are (bzgl.\ des Energiefunktionals)
  periodische Geod\"atische und periodische Variationen
  \[\left.\fracp{^2}{\tau_1\partial\tau_2}
    E(V(\cdot,\tau_1,\tau_2))\right|_{\tau=0} =\int\limits_a^b
  \langle\nabla X_1,\nabla X_2\rangle-\langle R(X_1,\alpha')\alpha',
  X_2\rangle\, dt.\]
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $\alpha$ eine Geod\"atische. F\"ur Vektorfelder $X_1$, $X_2$
  l\"angs $\alpha$ nennen wir die symmetrische Bilinearform
\[\int\limits_a^b
\langle\nabla X_1,\nabla X_2\rangle-\langle R(X_1,\alpha')\alpha',
X_2\rangle =: E_{**,\alpha}(X_1,X_2)\] die 2. Variation der Energie
l\"angs $\alpha$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $V(t,\tau)$ eine einparametrige Variation l\"angs
  $\alpha$. Definiere $\tilde
  V(t,\tau_1,\tau_2):=V(t,\tau_1+\tau_2)$. Dann ist 
\[\left.\fracp{^2}{\tau_1\partial\tau_2}E(\tilde
  V(\cdot,\tau_1,\tau_2))\right|_{\tau_1=\tau_2=0}=
\left.\fracp{^2}{\tau^2}E(V(\cdot,\tau))\right|_{\tau=0}.\]
Weiterhin gilt
\[X_1\equiv\left.\fracp{\tilde V}{\tau_1}\right|_{\tau=0}=
\left.\fracp{\tilde V}{\tau_2}\right|_{\tau=0}\equiv X_2.\]
Mit $X:=\left.\fracp V\tau\right|_{\tau=0}$ folgt daher
\[\left.\fracp{^2}{\tau^2} E(V(\cdot,\tau))\right|_{\tau=0}
=\int\limits_a^b||\nabla X||^2-\langle R(X,\alpha')\alpha',X\rangle\,
dt,\] falls (wie oben) $V$ die Endpunkte fest l\"asst oder eine
periodische Variation ist.\par
Erinnerung: F\"ur Vektoren $X\neq 0\neq Y$ in $T_pM$ ist die
Schnittkr\"ummung von $M$ durch
\[K(X,Y)=\frac{\langle R(X,Y)Y,X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle
  Y,Y\rangle-\langle X,Y\rangle^2}\] definiert.
\end{remark}

\begin{remark}
  Liefert die Geod\"atische $\alpha$ ein Minimum der Energie bei allen
  Variationen mit festen Endpunkten oder bei allen periodischen
  Variationen, falls $\alpha$ periodisch ist, so gilt
  \[E_{**,\alpha}(X,X)\ge0\] f\"ur alle $X$ mit $X(a)=X(b)=0$ bzw.\
  $X(a)=X(b)$.
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $B$ eine symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum
  $V$. Dann ist der Nullraum $N(B)$ von $B$ durch 
  \[N(B)=\{X\in V\,:\, B(X,Y)=0\quad\forall\, Y\in V\}\] definiert.
\end{definition}

\begin{remark}
  Seien $X_1$, $X_2$ Vektorfelder l\"angs einer Geod\"atischen
  $\alpha$ mit $X_1\in C^2$ und $X_2\in C^1$. Dann gilt
  \begin{align*}
    E_{**,\alpha}(X_1,X_2)=&\, \int\limits_a^b\langle\nabla X_1,\nabla
    X_2\rangle -\langle R(X_1,\alpha')\alpha',X_2\rangle\,dt\umbruch\\
    =&\, \int\limits_a^b\dt\langle\nabla X_1,X_2\rangle\, dt
    -\int\limits_a^b\left\langle\nabla^2
    X_1+R(X_1,\alpha')\alpha',X_2\right\rangle\,dt.
  \end{align*}
  Im Falle fester Endpunkte ($X(a)=X(b)=0$) sind also
  die beiden Bedingungen
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X\in N(E_{**,\alpha})\cap C^2([a,b])$,
  \item $\nabla^2 X+R(X,\alpha')\alpha'=0$
  \end{enumerate}
  \"aquivalent. \par
  Im periodischen Fall ($X(a)=X(b)$) sind die beiden Bedingungen
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X\in N(E_{**,\alpha})\cap C^2([a,b])$,
  \item $\nabla^2 X+R(X,\alpha')\alpha'=0$ und $\nabla X(a)=\nabla
    X(b)$
  \end{enumerate}
  \"aquivalent, da aus $\langle\nabla X(a)-\nabla X(b), Y(a)\rangle=0$
  f\"ur alle $Y$ auch die Gleichheit der Gradienten folgt.
\end{remark}

\begin{definition}
  Ein $C^2$-Vektorfeld $J$ l\"angs einer Geod\"atischen
  $\alpha:[a,b]\to M$ hei\ss{}t Jacobifeld, falls 
  \begin{equation}
    \label{jacobi}
    \nabla^2J+R(J,\alpha')\alpha'=0    
  \end{equation}
gilt.\par
Ein Punkt $c\in [a,b]$ hei\ss{}t zu $a$ konjugiert, falls es ein
nicht\/triviales Jacobifeld $J$ l\"angs $\alpha$ gibt, so dass
$J(a)=J(c)=0$ ist. 
\end{definition}

\begin{remark}\label{jacobi affine lin}
  Auf einer $m$-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit ist die
  Jacobische Differentialgleichung \eqref{jacobi} ein
  $m$-di\-men\-siona\-les System gew\"ohnlicher
  Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Ist $\alpha$ gegeben, so
  ist die Menge der L\"osungen ein $2m$-dimensionaler Vektorraum. Ein
  Jacobifeld $J$ ist durch die Anfangswerte $J(a)$ und $\nabla J(a)$
  eindeutig festgelegt.\par
  Ist $\alpha:[a,b]\to M$ eine Geod\"atische und $\lambda(t)=ct+d$,
  $c$, $d\in\R$, so ist $\lambda\alpha'$ ein Jacobifeld l\"angs
  $\alpha$, denn es gilt $\lambda R(\alpha',\alpha')\alpha'=0$ und
  \[\nabla^2(\lambda\alpha')
  =((\lambda'\alpha')+\lambda\nabla\alpha')'
  =\lambda''\alpha'+\lambda'\nabla\alpha',\]
  da $\lambda''=0$ und $\nabla\alpha'=0$ gelten. \par
  Ist $J$ ein beliebiges Jacobifeld l\"angs $\alpha$, so ist $\langle
  J,\alpha'\rangle$ affin linear, es gilt n\"amlich
\[\langle J,\alpha'\rangle''=(\langle\nabla J,\alpha'\rangle+\langle
J,\nabla\alpha')' =\langle\nabla J,\alpha'\rangle' =\langle\nabla^2
J,\alpha'\rangle =-\langle R(J,\alpha')\alpha',\alpha'\rangle=0.\]
Somit ist $\langle J,\alpha'\rangle\alpha'$ ebenfalls ein Jacobifeld
l\"angs $\alpha$.\par
Ein Jacobifeld hei\ss{}t normal, falls $\langle J,\alpha'\rangle=0$,
und tangential, falls $J=\lambda\alpha'$ gilt. \par
Jedes Jacobifeld $J$ l\"angs $\alpha$ l\"asst sich als Summe eines
tangentialen und eines normalen Jacobifeldes schreiben, n\"amlich als
\[J=\left\langle J,\frac{\alpha'}{||\alpha'||}\right\rangle
\frac{\alpha'}{||\alpha'||}
+\left(J-\left\langle J,\frac{\alpha'}{||\alpha'||}
  \right\rangle\frac{\alpha'}{||\alpha'||}\right).\] Da $\langle
J,\alpha'\rangle$ affin linear ist, ist ein Jacobifeld $J$ mit
mindestens $2$ Nullstellen normal.
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha$ eine Geod\"atische in $M$. Ist die Schnittkr\"ummung
  $K=K(\cdot,\cdot)$ l\"angs $\alpha$ nicht positiv, so ist die 2.
  Variation der Energie von $\alpha$ auf dem Raum der stetigen
  Vektorfelder $X$, die l\"angs $\alpha$ st\"uckweise $C^1$ sind und
  $X(a)=X(b)=0$ erf\"ullen, positiv definit.\par
  Insbesondere gibt es auf $\alpha$ keine zueinander konjugierten
  Punkte.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei die Schnittkr\"ummung f\"ur alle $X$, $Y$ nicht positiv,
  $K(X,Y)\le0$. Somit gilt $\langle R(X,Y)Y,X\rangle\le0$ f\"ur alle
  $X$, $Y$. Es folgt
  \[E_{**,\alpha}(X,X)= \int\limits_a^b||\nabla X||^2 -\langle
  R(X,\alpha')\alpha',X\rangle\,dt \ge\int\limits_a^b ||\nabla
  X||^2\,dt\ge0.\] Gilt $E_{**,\alpha}(X,X)=0$, so ist $||X||=
  \text{ konstant }=||X(a)||=0$.\par
  Sind $a'$, $b'$ konjugierte Punkte mit $a\le a'<b'\le b$ und $J$ das
  zugeh\"orige Jacobifeld. Dann gilt
  \[ E_{**,\alpha|_{[a',b']}}(J,J) =-\int\limits_a^b
  \left\langle \nabla^2J+R(J,\alpha')\alpha',J\right\rangle\,dt=0.\]
  Aufgrund der obigen \"Uberlegung folgt dann $J\equiv0$. 
\end{proof}

% Bis hier stammen die \"Uberlegungen aus Paragraph 1 des DG 2
% Skriptes. 

\section{Konjugierte Punkte und Minimaleigenschaften von
  Geod\"atischen} 
\begin{lemma}\label{var geod jac lem}
  Sei $V:[a,b]\times(-\epsilon,\epsilon)\to M$ eine $C^3$-Schar von
  Geod\"atischen, \dh $V(\cdot,\tau)$ ist f\"ur jedes
  $\tau\in(-\epsilon,\epsilon)$ eine Geod\"atische. Dann ist $\fracp
  V\tau(\cdot,\tau)=V_*\left\langle\fracp{}\tau\right\rangle$ ein
  Jacobifeld l\"angs $V(\cdot,\tau)$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir vertauschen Ableitungen und erhalten nach Definition des
  Riemannschen Kr\"ummungstensors
\[\nabla_{\fracp{}\tau}\nabla_{\fracp{}t} 
V_*\left\langle\tfracp{}t\right\rangle
-\nabla_{\fracp{}t}\nabla_{\fracp{}\tau}
V_*\left\langle\tfracp{}t\right\rangle
=R\left(V_*\left\langle\tfracp{}\tau\right\rangle,
  V_*\left\langle\tfracp{}t\right\rangle\right)
V_*\left\langle\tfracp{}t\right\rangle.\] Da $V(\cdot,\tau)$ f\"ur
alle $\tau$ eine Geod\"atische ist, verschwindet der erste Term, es
ist also $\nabla_{\fracp{}t}V_*\left\langle\fracp{}t\right\rangle=0$.
Im zweiten Term vertauschen wir die Ableitungen und erhalten f\"ur
$J=J(t):=V_*\left\langle\fracp{}\tau\right\rangle$ und
$\alpha(t):=V(t,\tau)$ (bei fixiertem $\tau$)
\[0=\nabla_{\fracp{}t}\nabla_{\fracp{}t}
V_*\left\langle\tfracp{}\tau\right\rangle
+R\left(V_*\left\langle\tfracp{}\tau\right\rangle,
  V_*\left\langle\tfracp{}t\right\rangle\right)
V_*\left\langle\tfracp{}t\right\rangle=\nabla^2J+R(J,\alpha')\alpha'.\]
Somit ist $J$ wie behauptet ein Jacobifeld.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{jacobi fml cor}
  Es sei $\alpha:[0,c]\to M$ eine Geod\"atische, $\alpha(0)=x$,
  $\alpha'(0)=v$. Dann ist das Jacobifeld $J$ l\"angs $\alpha$ mit
  $J(0)=0$, $\nabla J(0)=w\in T_xM$ durch 
  \[J(t)=\exp_{x*,tv}\langle tw\rangle\] gegeben.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  $V(t,\tau):=\exp_x(t(v+\tau w))$ definiert eine Familie von
  Geod\"atischen $V(\cdot,\tau)$. Somit ist $\fracp V\tau$ nach Lemma
  \ref{var geod jac lem} ein Jacobifeld. Ableiten liefert 
  \[\left.V_*\left\langle\tfracp{}\tau\right\rangle\right|_{\tau=0}
  =\exp_{x*,tv}\langle tw\rangle.\] Der Ausdruck f\"ur das Jacobifeld
  ist also wie angegeben, wenn die Anfangswerte stimmen. \par
  Es gilt $\left.V_*\left\langle\fracp{}\tau
    \right\rangle\right|_{(0,0)}=0$.  Weiterhin gilt
  \[\left.\nabla_{\fracp{}t}V_*\left\langle \tfracp{}\tau \right\rangle
  \right|_{(0,0)} =\left. \nabla_{\fracp{}\tau} V_* \left\langle
      \tfracp{}t\right\rangle \right|_{(0,0)} =\left.
    \nabla_{\fracp{}\tau} (v+\tau w)\right|_{\tau=0} =\left.
    {\fracp{}\tau} (v+\tau w)\right|_{\tau=0} =w. \] Hierbei haben wir
  benutzt, dass die Ableitung der Exponentialabbildung im Ursprung
  $0\in T_xM$ die Identit\"at ist.  Nach dem zweiten
  Gleichheitszeichen ist $\nabla_{\fracp{}\tau}$ die kovariante
  Ableitung l\"angs der konstanten Abbildung $\tau\mapsto x$, da
  $V(0,\tau)\equiv x$ ist. Somit stimmen auch die Anfangswerte und die
  Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\alpha:[0,c]\to M$ eine Geod\"atische. F\"ur $0<s\le c$
  definieren wir die Vielfachheit von $s$ als die Dimension des Raumes
  der Jacobifelder $J$ l\"angs $\alpha$ mit $J(0)=0$ und $J(s)=0$. 
\end{definition}

\begin{theorem}\label{vielf ker thm}
  Sei $\alpha:[0,c]\to M$ eine Geod\"atische mit $\alpha(0)=x$ und
  $\alpha'(0)=v$. Die Vielfachheit von $s\in(0,c]$ ist gleich
  $\dim(\ker \exp_{x*,sv})$.  
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $W(s)$ der Raum der Jacobifelder l\"angs $\alpha$ mit
  $J(0)=J(s)=0$. Nach Korollar \ref{jacobi fml cor} ist $J\in W(s)$
  \aequivalent $\nabla J(0)\in\ker\exp_{x*,sv}$, denn f\"ur solche
  Werte $\nabla J(0)$ gilt $J(s)=\exp_{x*,sv}\langle\nabla
  J(0)\rangle=0$. Beachte, dass die Abbildung $W(s)\ni J\mapsto\nabla
  J(0)$ nach dem Eindeutigkeitssatz f\"ur gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen eineindeutig ist. 
\end{proof}

Hat $\exp_x$ vollen Rang, so schlie\ss{}en wir:
\begin{corollary}
  Besitzt die Geod\"atische $\alpha(t):=\exp_x(tv)$ f\"ur $0\le t\le
  c$ keine konjugierten Punkte, so ist $\exp_x$ l\"angs des Segmentes
  $\{tv\,:\,0\le t\le c\}$ ein lokaler Diffeomorphismus.\par
  Dies ist bei nichtpositiver Schnittkr\"ummung stets erf\"ullt.
\end{corollary}

\begin{lemma}[Gau\ss{}]\label{Gauss lemma}\neueZeilealt
  F\"ur $(x,v)$ im Definitionsbereich von $\exp$ und alle $w\in
  T_vT_xM\cong T_xM$ gilt
  \[\langle\exp_{x*,v}\langle v\rangle, \exp_{x*,v}\langle
  w\rangle\rangle_{\exp_x(v)} =\langle v,w\rangle_x.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte die Geod\"atische $\alpha(t)=\exp_x(tv)$, $0\le t\le 1$.
  Sei $J$ das Jacobifeld l\"angs $\alpha$ mit $J(0)=0$ und $\nabla
  J(0)=w$. Dann ist $\alpha'(t)=\exp_{x*,tv}\langle v\rangle$ und nach
  Korollar \ref{jacobi fml cor} gilt $J(t)=\exp_{x*,tv}\langle tw
  \rangle$. Betrachte $f(t):=\langle \alpha'(t),J(t)\rangle$. Wir
  haben die beiden Randwerte $f(0)=0$, da $J(0)=0$ ist, und
  $f(1)=\langle \exp_{x*,v}\langle v\rangle, \exp_{x*,v}\langle w
  \rangle \rangle$. Da $\alpha$ eine Geod\"atische ist, folgt
  \[f'(t)=\langle\nabla\alpha'(t),J(t)\rangle +\langle
  \alpha'(t),\nabla J(t)\rangle =\langle \alpha'(t),\nabla J(t)\rangle
  .\] Nach Bemerkung \ref{jacobi affine lin} wissen wir aber, dass
  $f(t)$ affin linear sein muss. Also ist $f'(t)$ konstant und es gilt
  in unserem Falle $f(t)=tf'(0)$, da $f(0)=0$ ist. Wir erhalten
  insbesondere $f(1)=f'(0)=\langle v,w\rangle_x$ und die Behauptung
  folgt.
\end{proof}

Das folgende Theorem besagt, dass Geod\"atische mit Startpunkt $x$
global K\"urzeste sind, wenn Anfangs- und Endpunkt unter der \glqq
Liftung\grqq{} zu $\exp_x$ \"ubereinstimmen.
\begin{theorem}\label{laengen absch thm}
  Es sei $\tilde M_x$ der Definitionsbereich von $\exp_x$, $V\in\tilde
  M_x$ und $\phi(t)=tV$ f\"ur $t\in[0,1]$. Dann gilt f\"ur jede
  stetige, st\"uckweise stetig differenzierbare Kurve
  $\psi:[0,1]\to\tilde M_x$ mit $\psi(0)=0$ und $\psi(1)=V$ die
  Absch\"atzung
  \[||V||=L(\exp_x\circ\,\phi)\le L(\exp_x\circ\,\psi).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir d\"urfen $V\neq0$ annehmen. Sei $t_0:=\sup\,\{t:\psi(t)=0\}$.
  Dann gilt $\psi(t_0)=0$ und $\psi(t)\neq0$ f\"ur $t>t_0$. Definiere
  $v(t):=\frac{\psi(t)}{||\psi(t)||}$ f\"ur $t_0<t\le 1$. Wir
  schreiben $\psi'(t)=\langle\psi'(t),v(t)\rangle v(t)+w(t)$ mit
  $\langle v(t),w(t)\rangle=0$. Es gilt
  \[L(\exp_x\circ\,\psi)=\int\limits_0^1
  ||\exp_{x*,\psi(t)}\langle\psi'(t)\rangle||\,dt
  \ge\int\limits_{t_0}^1
  ||\exp_{x*,\psi(t)}\langle\psi'(t)\rangle||\,dt.\] F\"ur $t>t_0$
  erhalten wir f\"ur den quadrierten Integranden
  \begin{align*}
    ||\exp_{x*,\psi(t)}\langle\psi'(t)\rangle||^2 =&\,
    \langle\psi'(t),v(t)\rangle^2\cdot||\exp_{x*,\psi(t)}\langle
    v(t)\rangle||^2\\
    &\, +2\langle\psi'(t),v(t)\rangle\cdot
    \langle\exp_{x*,\psi(t)}\langle
    v(t)\rangle,\exp_{x*,\psi(t)}\langle w(t)\rangle\rangle\umbruch\\
    &\,+||\exp_{x*,\psi(t)}\langle w(t)\rangle||^2.
  \end{align*}
  Nach dem Lemma von Gau\ss{}, Lemma \ref{Gauss lemma}, gilt
  \[||\exp_{x*,\psi(t)}\langle v(t)\rangle||^2=||v(t)||^2=1.\]
  Ebenfalls nach dem Lemma von Gau\ss{} gilt 
  \[\langle\exp_{x*,\psi(t)}\langle v(t)\rangle,
  \exp_{x*,\psi(t)}\langle w(t)\rangle\rangle =\langle
  v(t),w(t)\rangle =0.\]
  Der dritte Term ist zumindest nichtnegativ. Somit folgt
  \begin{align*}
    L(\exp_x\circ\,\psi)\ge&\,\int\limits_{t_0}^1
    |\langle\psi'(t),v(t)\rangle|\, dt
    =\int\limits_{t_0}^1\frac{|\langle\psi(t),\psi'(t)\rangle|}
    {||\psi(t)||}\,dt \umbruch\\
    =&\,\int\limits_{t_0}^1||\psi(t)||'\,dt
    =||\psi(1)||-||\psi(t_0)||=||\psi(1)||=||V||\umbruch\\
    =&\,\int\limits_0^1||V||\,dt =
    \int\limits_0^1||\exp_{x*,tV}\langle V\rangle||\,dt
    =L(\exp_x\circ\,\phi).
  \end{align*}
  Hier haben wir nochmals das Lemma von Gau\ss{} verwendet.\par
  Wir bemerken, dass Gleichheit nur gilt, falls f\"ur alle $t$
  \[\exp_{x*,\psi(t)}\langle w(t)\rangle=0\]
  gilt.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{gleiche Umgeb Kor}
  Sei $V_{x,\epsilon}:=\{v\in T_xM\,:\,||v||<\epsilon\}$ und
  $U_{x,\epsilon}:=\exp_x(V_{x,\epsilon})$. Falls $\epsilon>0$ so klein
  ist, dass $\exp_x$ auf $V_{x,\epsilon}$ definiert und ein
  Diffeomorphismus ist, so ist $U_{x,\epsilon}$ die
  $\epsilon$-Umgebung von $x$ bez\"uglich der Metrik
  \[d(x,y)=\inf\,\{L(\gamma)\,:\,\gamma\text{ verbindet } x \text{ mit
  } y\}.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei zun\"achst $v\in V_{x,\epsilon}$ und $y=\exp_x(v)\in
  U_{x,\epsilon}$. Dann ist $\gamma(t)=tv$, $0\le t\le 1$, eine Kurve
  von $x$ nach $y$ der L\"ange $||v||<\epsilon$. Nach Theorem
  \ref{laengen absch thm} ist also $d(x,y)<\epsilon$. \par
  Sei nun $y\not\in U_{x,\epsilon}$ und $\gamma:[0,1]\to M$ eine
  st\"uckweise $C^1$-Kurve von $x$ nach $y$. Definiere
  $t_\epsilon:=\sup\,\{t\,:\,\gamma([0,t])\subset U_{x,\epsilon}\}$.
  Somit ist $\gamma(t_\epsilon)\in\partial U_{x,\epsilon}$. Auf
  $[0,t_\epsilon)$ gilt $\gamma(t)=\exp_x\circ\,\psi(t)$ mit
  $\psi(t)\to\partial V_{x,\epsilon}$ f\"ur $t\to t_\epsilon$. Nach
  Theorem \ref{laengen absch thm} gilt f\"ur $0<t<t_\epsilon$ die
  Absch\"atzung $L(\gamma([0,t]))\ge||\psi(t)||$. Daher folgt
  $L(\gamma)\ge\epsilon$, also $d(y,x)\ge\epsilon$.
\end{proof}

\begin{remark}
  Die folgenden beiden Tatsachen sind inkompatibel:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\exp_x$ ist eine \"Uberlagerung.
  \item Es gibt ein $p$ und zwei verschiedene, bei festen Endpunkten,
    homotope Geo\-d\"a\-ti\-sche von $x$ nach $p$.
  \end{enumerate}
  Andernfalls k\"onnte man die Homotopie liften und erhielte einen
  Widerspruch. 
\end{remark}

\begin{definition}
  Seien $\alpha$, $\beta\in C^0([0,1],M)$. Definiere
  \[d(\alpha,\beta):=\sup\,\{d(\alpha(t),\beta(t))\,:\,0\le t\le 1\}.\]
\end{definition}

\begin{theorem}\label{geod ohne konj pkt thm}
  Ist $\gamma:[0,1]\to M$ eine Geod\"atische ohne konjugiert Punkte,
  so existiert ein $\epsilon>0$ mit $L(\alpha)\ge L(\gamma)$ f\"ur
  alle stetigen st\"uckweise $C^1$-Kurven $\alpha$ mit
  $d(\alpha,\gamma)<\epsilon$, $\alpha(0)=\gamma(0)$ und
  $\alpha(1)=\gamma(1)$.\par Gleichheit kann (f\"ur hinreichend
  kleines $\epsilon>0$) nur eintreten, falls $\alpha$ eine
  Umparametrisierung von $\gamma$ ist.\par $\gamma$ ist auch f\"ur die
  Energie lokal minimierend, falls $\gamma$ proportional zur
  Bogenl\"ange parametrisiert ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x:=\gamma(0)$, $v:=\gamma'(0)$. Dann ist
  $\gamma(t)=\exp_x(tv)$.\par
  Wir behaupten, dass es ein $\epsilon>0$, gibt, so dass alle Kurven
  $\alpha$ wie oben beschrieben sich als $\alpha=\exp_x\circ\,\psi$
  mit $\psi(0)=0$ und $\psi(1)=v$ darstellen lassen.\par
  Nach Theorem \ref{vielf ker thm} ist $\exp_x$ in einer Umgebung des
  Segmentes $\{tv\,:\,0\le t\le1\}$ ein lokaler
  Diffeomorphismus. Definiere $\sigma:=\{(t,tv)\,:\,0\le t\le1\}$. Sei
  $\tilde M_x$ der Definitionsbereich von $\exp_x$. Definiere
\begin{align*}
  F:\R\times\tilde M_x\to&\,\R\times M,\\
  F(t,w)=&\,(t,\exp_x(w)). 
\end{align*} $F$ ist in einer Umgebung von $\sigma$ ein lokaler
Diffeomorphismus. $F|_\sigma$ ist eineindeutig, \dh $F:\sigma\to
F(\sigma)$ ist ein Hom\"oomorphismus. Somit gibt es eine offene
Umgebung $U$ von $\sigma$, so dass $F:U\to F(U)$ ein Hom\"oomorphismus
ist. (Die Eineindeutigkeit von $F|_U$ mit $U=U_\delta(\sigma)$ folgt
so: G\"abe es kein $\delta>0$, so dass $F_{U_\delta(\sigma)}$
eineindeutig w\"are, so f\"anden wir $x_x$, $y_n$ mit $x_n\neq y_x$,
$F(x_n)=F(y_n)$, $x_n\to x$, $y_n\to y$ f\"ur $n\to\infty$ mit $x$,
$y\in\sigma$. Dann folgt aus $F(x)=F(y)$ aber $x=y$ und wir erhalten
f\"ur gro\ss{}e $n$ einen Widerspruch zur lokalen Eineindeutigkeit von
$F$.) Da $F(\sigma)$ kompakt ist, enth\"alt $F(U)$ eine
$\epsilon$-Umgebung von $F(\sigma)$ bez\"uglich (z.\,B.) der Metrik
$\rho((s,p),(t,q))=|s-t|+d(p,q)$ auf $\R\times M$. Ist daher
$\alpha:[0,1]\to M$ eine Kurve mit $d(\alpha,\gamma)<\epsilon$ und
$\tilde\alpha:=(t,\alpha(t))$, so ist $\tilde\alpha([0,1])\subset
F(U)$ und daher ist $\tilde\psi:=(F|_U)^{-1}\circ\tilde\alpha$
wohldefiniert. $\tilde\psi$ hat die Form $\tilde\psi(t)=(t,\psi(t))$.
Es folgt $\exp_x\circ\,\psi(t)=\alpha(t)$. Definiere
$\tilde\gamma(t):=(t,\gamma(t))$. Es gilt
$\tilde\alpha(0)=\tilde\gamma(0)$, $\tilde\alpha(1)=\tilde\gamma(1)$
und $F|_U$ ist eineindeutig. Also folgt $\tilde\psi(0)=(0,0)$,
$\tilde\psi(1)=(1,v)$ und daher $\psi(0)=0$ sowie $\psi(1)=v$.  Damit
ist Theorem \ref{laengen absch thm} anwendbar und wir erhalten
$L(\alpha)\ge L(\gamma)$. \par
Die Eigenschaft, auch f\"ur $E$ minimierend zu sein folgt f\"ur
$\beta:[0,1]\to M$ aus $L(\beta)\le\sqrt{2E(\beta)}$ mit Gleichheit,
wenn $\beta$ proportional zur Bogenl\"ange parametrisiert ist
\[\sqrt{2E(\alpha)}\ge L(\alpha)\ge L(\gamma)=\sqrt{2E(\gamma)}.\]
Zur Diskussion der Gleichheit der L\"angen verwenden wir den Beweis
von Theorem \ref{laengen absch thm} und nehmen ohne Einschr\"ankung
an, dass f\"ur $t>0$ stets $\psi(t)\neq0$ gilt. Wir hatten im Beweis
$v(t)=\frac{\psi(t)}{||\psi(t)||}$ und $w(t)=\psi'(t)
-\langle\psi'(t),v(t)\rangle v(t)$ definiert. Wie wir dort
festgestellt hatten, gilt Gleichheit in der L\"angenabsch\"atzung nur,
wenn $\exp_{x*,\psi(t)}\langle w(t)\rangle=0$ f\"ur alle $t$ gilt. Da
$\exp_x$ auf einer Umgebung des Segmentes $\{tv:0\le t\le1\}$ ein
lokaler Diffeomorphismus ist, folgt $\psi'(t)=\lambda(t)\psi(t)$ f\"ur
$t>0$ und eine Funktion $\lambda(t)$. Die eindeutig bestimmte L\"osung
dieser Differentialgleichung ist durch
\[\psi(t)=e^{-\int\limits_t^1\lambda(s)\,ds}\psi(1)
=e^{-\int\limits_t^1\lambda(s)\,ds}v\] gegeben. Damit ist $\psi$ eine
Umparametrisierung von $[0,1]\ni t\mapsto tv$ und somit ist auch
$\alpha$ eine Umparametrisierung von $\gamma$. 
\end{proof}

\section{Der Morsesche Indexsatz}
\begin{definition}
  Sei $I\subset\R$ ein Intervall, 
  \[AC(I):=\left\{f:I\to\R\,\left|\,f(t)=\int\limits_{t_0}^t
      f'(t)\,dt+f(t_0) \text{ mit }f'\in L^1_{\text{loc}}(I) \text{
        und } t_0\in I \right.\right\}.\] $AC$ steht f\"ur
  ``absolutely continuous''. Wir definieren die eindimensionalen
  So\-bo\-lev\-r\"au\-me durch
  \[H^{1,p}(I)=\{f\in AC(I)\,:\, f'\in L^p(I) \text{ und } f\in
  L^p(I)\}.\] $H^{1,2}(I)$ ist ein Hilbertraum mit 
  \[\langle f,g\rangle=\int\limits_I(fg+f'g')\,dt.\]
\end{definition}

\begin{remark}\label{AC rem}
  Die Definition von $H^{1,2}$ mit $AC$ hat den Vorteil, dass wir
  stets stetige Repr\"asentanten betrachten. \par
  F\"ur $f$, $g\in AC(I)$ gilt $fg\in AC(I)$ mit $(fg)'=f'g+fg'$, denn
  f\"ur eine \"aquidistante aufsteigende Unterteilung des Intervalls
  $I$ mit Hilfe von Punkten $(a_k)$, die auch noch von der Anzahl $n$
  der Punkte abh\"angt, erhalten wir
  \begin{align*}
    \int\limits_a^b(f'g+fg')\,dt=&\, \lim\limits_{n\to\infty}
    \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_{a_{k-1}}^{a_k}
    (f'(t)g(a_k)+f(a_{k-1})g'(t))\,dt \umbruch\\
    =&\, \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n
    [(f(a_k)-f(a_{k-1}))g(a_k)+f(a_{k-1})(g(a_k)-g(a_{k-1}))]
    \umbruch\\  
    =&\,f(b)g(b)-f(a)g(a).
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{reg lem}
  Ist $f\in L^1([a,b])$ und $g\in C^0([a,b])$ bzw.\ $g\in L^1([a,b])$
  und gilt 
  \begin{equation}
    \label{eq:schw abl}
    \int\limits_a^b(f(t)\phi'(t)+g(t)\phi(t))\,dt=0 \text{ f\"ur alle
    } \phi\in C^1([a,b]) \text{ mit } \phi(a)=\phi(b)=0,
  \end{equation}
  dann ist $f\in C^1([a,b])$ bzw.\ $f\in AC([a,b])$ und $f'=g$ f\"ur
  einen geeigneten Repr\"asentanten von $f$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $\tilde f(t):=\int\limits_a^t g(s)\,ds$. Dann gilt (in
  beiden F\"allen) nach Bemerkung \ref{AC rem} die Gleichheit
  \eqref{eq:schw abl} f\"ur $\tilde f$ statt $f$. Wir betrachten die
  Differenz der beiden Gleichungen und erhalten $\int\limits_a^b
  \left(f(t)-\tilde f(t)\right) \phi'(t)\,dt=0$ f\"ur alle $\phi$ wie
  oben. Wir d\"urfen also $g=0$ annehmen. Wir schreiben nun wieder $f$
  statt $f-\tilde f$.\par
  Sei $\psi\in C^0([a,b])$ mit $\int\limits_a^b\psi(t)\,dt=0$. Dann
  erf\"ullt $\phi(t):=\int\limits_a^t\psi(s)\,ds$ die Randbedingungen
  $\phi(a)=\phi(b)=0$. F\"ur alle solchen Funktionen $\psi$ gilt also
  $\int\limits_a^bf(t)\psi(t)\,dt=0$. Definiere
  $c:=\frac1{b-a}\int\limits_a^bf(t)\,dt$. F\"ur alle $\psi$ mit
  $\int\limits_a^b\psi=0$ folgt also
  $\int\limits_a^b(f(t)-c)\psi(t)\,dt=0-c\cdot 0=0$. Sei nun
  $\tilde\psi\in C^0([a,b])$ beliebig und $\tilde
  c:=\frac1{b-a}\int\limits_a^b\tilde\psi(s)\,ds$. Dann gilt
  $\int\limits_a^b(\tilde\psi-\tilde c)\,dt=0$.  Wir d\"urfen also
  $\psi:=\tilde\psi-\tilde c$ als Testfunktion benutzen und erhalten
  \[0=\int\limits_a^b(f(t)-c)(\tilde\psi(t)-\tilde c)\,dt
  =\int\limits_a^b(f(t)-c)\tilde\psi(t)\,dt -\tilde
  c\int\limits_a^b(f(t)-c)\,dt.\] Der zweite Term verschwindet nach
  Definition von $c$. Somit verschwindet auch der erste Term. Er
  verschwindet f\"ur alle $\tilde\psi\in C^0([a,b])$ und somit nach Du
  Bois-Reymond $f(t)-c=0$ f\"ur fast alle $t$. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{definition}[$H^{1,2}$ l\"angs Kurven]\label{H12 laenge Kurven}
  Sei $\alpha:[a,b]\to M^m$ eine $C^2$-Kurve. Sei $C^1_\alpha$ der
  Raum aller $C^1$-Vektorfelder l\"angs $\alpha$. Definiere
  \[C^1_{\alpha,0}:=\left\{X\in C^1_\alpha\,:\, X(a)=X(b)=0\right\}.\]
  Zur entsprechenden Definition von $H^{1,2}_\alpha$ bzw.\ von
  $H^{1,2}_{\alpha,0}$ sei $X_1,\ldots,X_m$ eine
  $C^2$-Orthonormalbasis von l\"angs $\alpha$ parallelen
  Vektorfeldern. Sei $X=\sum\limits_{k=1}^m\lambda_kX_k$. Dann ist per
  definitionem genau dann $X\in H^{1,2}_\alpha$, wenn $\lambda_k\in
  H^{1,2}([a,b])$ ist. Weiterhin setzen wir
  \[H^{1,2}_{\alpha,0}:=\left\{ X\in
    H^{1,2}_\alpha\,:\,X(a)=X(b)=0\right\}.\]
  Wir machen $H^{1,2}_\alpha$ mit
  \[\langle X,Y\rangle:=\int\limits_a^b (\langle
  X(t),Y(t)\rangle_{\alpha(t)} +\langle\nabla X(t),\nabla
  Y(t)\rangle_{\alpha(t)})\,dt\] zu einem Hilbertraum.  Seien
  $X=\sum\lambda_kX_k$ und $Y=\sum\mu_kX_k$. Dann ist $\nabla
  X=\sum\lambda'_kX_k$ und wir erhalten $\langle
  X(t),Y(t)\rangle=\sum\lambda_k\mu_k$ sowie $\langle \nabla
  X(t),\nabla Y(t)\rangle=\sum\lambda_k'\mu_k'$.\par
  Sei nun $\alpha$ eine Geod\"atische. Beachte, dass
  \[E_{**,\alpha}(X,Y)=\int\limits_a^b(\langle\nabla X,\nabla Y\rangle
  -\langle R(X,\alpha')\alpha',Y\rangle)\,dt\] f\"ur $X$, $Y\in
  H^{1,2}_\alpha$ auf glatten Mannigfaltigkeiten wohldefiniert ist.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{H12 jac char lem}
  Sei $\alpha$ eine Geod\"atische in $M^m$. Dann ist $X\in
  H^{1,2}_\alpha$ genau dann ein Jacobifeld, wenn f\"ur alle $Y\in
  H^{1,2}_{\alpha,0}$ die Gleichheit $E_{**,\alpha}(X,Y)=0$ gilt.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir werden sehen, dass es gen\"ugt, die obige Gleichheit f\"ur $Y\in
  C^1_{\alpha,0}$ zu fordern. \par
  Ist $X\in C^2$, so ist die Behauptung klar, da dann
  \[\langle\nabla X,\nabla Y\rangle=\dt\langle\nabla
  X,Y\rangle-\left\langle\nabla^2X,Y\right\rangle.\] Sei also $X\in
  H^{1,2}_\alpha$. Es gen\"ugt der Nachweis, dass aus
  $E_{**,\alpha}(X,Y)=0$ f\"ur alle $Y\in C^1_{\alpha,0}$ folgt, dass
  $X\in C^2$ gilt. Mit den Bezeichnungen aus Definition \ref{H12
    laenge Kurven} erhalten wir f\"ur $\mu_l\in C^1_0$, dass
  \[E_{**,\alpha}(X,Y)=\int\limits_a^b \left(\sum\limits_k
    \lambda'_k\mu'_k -\sum\limits_{k,l}\langle
    R(X_k,\alpha')\alpha',X_l\rangle \lambda_k\mu_l\right)\,dt=0.\]
  W\"ahle zun\"achst $\mu_2=\ldots=\mu_m=0$. Dann folgt
  \[0=\int\limits_a^b \left(\lambda_1'\mu_1'-\left[\sum\limits_k
      \langle R(X_k,\alpha')\alpha', X_1\rangle \lambda_k\right]
    \mu_1\right)\,dt.\] Der Term in der eckigen Klammer ist nach
  Voraussetzung und Sobolevschem Einbettungssatz in $C^0([a,b])$. Nach
  Lemma \ref{reg lem} ist daher $\lambda_1'\in C^1$, $\lambda_1\in
  C^2$.  Analog folgt $\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in C^2$ und daher
  auch $X\in C^2$.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{geod aequiv thm}
  Sei $\alpha$ eine Geod\"atische. Dann sind die folgenden beiden
  Aussagen \"aquivalent
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{geod aequiv i} $\alpha$ besitzt keine konjugierten Punkte.
  \item\label{geod aequiv ii} $E_{**,\alpha}$ ist auf
    $H^{1,2}_{\alpha,0}$ positiv definit.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \glqq\eqref{geod aequiv i}\impliziert\eqref{geod aequiv ii}\grqq:
  Sei zun\"achst $\alpha$ frei von konjugierten Punkten.  Nach Theorem
  \ref{geod ohne konj pkt thm} ist $\alpha$ ein \glqq lokales\grqq{}
  Minimum der Energie. Insbesondere gilt f\"ur alle $C^3$-Variationen
  $V=V(t,\tau)$ von $\alpha$ mit festen Endpunkten
  \[\left.\fracp{^2}{\tau^2}E(V(\cdot,\tau))\right|_{\tau=0}\ge0.\]
  Wir setzen $X:=\left.\fracp V\tau\right|_{\tau=0}$.  Damit ist f\"ur
  alle $X\in C^2_{\alpha,0}$ auch $E_{**,\alpha}(X,X)\ge0$. In der
  schwachen Formulierung folgt nun durch Approximation aufgrund der
  Stetigkeit von $X\mapsto E_{**,\alpha}(X,X)$ bez\"uglich der
  $H^{1,2}$-Norm, dass $E_{**,\alpha}(X,X)\ge0$ f\"ur alle $X\in
  H^{1,2}_{\alpha,0}$.\par
  Nehme nun an, es gibt ein $X_0\in H^{1,2}_{\alpha,0}$ mit
  $E_{**,\alpha}(X_0,X_0)=0$ und $X_0\neq0$ in $H^{1,2}_{\alpha,0}$.
  Sei $Y\in H^{1,2}_{\alpha,0}$ und $\tau\in\R$. Da die zweite
  Variation der Energie positiv semi-definit ist, erhalten wir
  \begin{align*}
    E_{**,\alpha}(X_0,X_0)=&\,0\le E_{**,\alpha}(X_0+\tau Y,X_0+\tau
    Y) \umbruch\\
    =&\,E_{**,\alpha}(X_0,X_0) +2\tau E_{**,\alpha}(X_0,Y)
    +\tau^2E_{**,\alpha}(Y,Y). 
  \end{align*}
  Dies ist nur m\"oglich, wenn f\"ur alle $Y\in H^{1,2}_{\alpha,0}$
  auch $E_{**,\alpha}(X_0,Y)=0$ gilt. Somit ist nach Lemma \ref{H12
    jac char lem} das Vektorfeld $X_0$ ein Jacobifeld. Widerspruch.
  \par
  \glqq\eqref{geod aequiv ii}\impliziert\eqref{geod aequiv i}\grqq:
  Sei andererseits $J\not\equiv0$ ein Jacobifeld mit $J(a')=J(b')=0$
  und $a\le a'<b'\le b$. Definiere
  \[X_0(t):=
  \begin{cases}
    0&\text{f\"ur }a\le t\le a',\\
    J(t)&\text{f\"ur }a'\le t\le b',\\
    0&\text{f\"ur }b'\le t\le b.
  \end{cases}\] Es gilt $X_0\in H^{1,2}_{\alpha,0}$. Au\ss{}erdem ist
  \[E_{**,\alpha}(X_0,X_0) =E_{**,\alpha|_{[a',b']}}(J,J)=0.\] Damit
  ist $E_{**,\alpha}$ nicht positiv definit und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $K\subset M$ kompakt. Dann gibt es eine Umgebung $U$ von $K$ und
  $\delta>0$, so dass $(p,\exp)|_{\{(x,v)\in TM\,:\,x\in
    U,\,||v||_x<\delta\}}\equiv(p,\exp)|_{U(\delta)}$ ein
  Diffeomorphismus ist und es gilt
  \[(p,\exp)(U(\delta))\supset\{(x,y)\,:\,x\in K,\,d(y,x)<\delta\}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Abbildung $(p,\exp):TM\to M\times M$ ist ein lokaler
  Diffeomorphismus in einer Umgebung des Nullschnittes. Mit Hilfe
  eines \"Uberdeckungsargumentes finden wir aufgrund der Kompaktheit
  von $K$ ein $\delta>0$ und eine Umgebung $U$, so dass
  $(p,\exp)|_{U(\delta)}$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. Noch
  nachzuweisen ist also, dass $U(\delta)$ so gew\"ahlt werden kann,
  dass $(p,\exp)|_{U(\delta)}$ eineindeutig ist.\par
  W\"are dies nicht der Fall, so g\"abe es $(x_j,v_j)\neq(y_j,w_j)\in
  TM$, $x_j\to x\in K$, $y_j\to y\in K$, $||v_j||\to0$, $||w_j||\to0$,
  so dass $(p,\exp)(x_j,v_j)=(p,\exp)(y_j,w_j)$ gilt. Es folgt
  $x_j=y_j$ und damit auch $x=y$. Dies ist ein Widerspruch zur lokalen
  Eineindeutigkeit von $(p,\exp)$ in einer Umgebung von $(x,0)$.\par
  Die behauptete Inklusion folgt aus Korollar \ref{gleiche Umgeb Kor}.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{kl pos E** cor}
  Seien $N$ ein topologischer Raum, $f$, $g:N\to K\subset M$ stetige
  Abbildungen in eine kompakte Teilmenge $K$ einer Riemannschen
  Mannigfaltigkeit. Dann existiert $\delta>0$, so dass aus
  $d(f(x),g(x))<\delta$ f\"ur alle $x\in N$ folgt, dass $f$ und $g$
  homotop sind.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(x,y)\mapsto(x,V(y,x))\in T_xM$, $||V(y,x)||<\delta$ die
  Umkehrabbildung von $(p,\exp)|_{U(\delta)}$. Dann ist 
  \[\exp_{f(x)}(tV(f(x),g(x))),\quad 0\le t\le1,\]
  eine Homotopie zwischen $f$ und $g$. 
\end{proof}

\begin{corollary}\label{kurz keine konj pkt cor}
  Sei $K\subset M$ eine kompakte Teilmenge einer Riemannschen
  Mannigfaltigkeit. Sei $\delta>0$, so dass $\exp_x|_{U_\delta(0)}$
  f\"ur alle $x\in K$ ein Diffeomorphismus ist. Dann ist jede
  Geod\"atische mit Anfangspunkt in $K$ und L\"ange kleiner als
  $\delta$ frei von konjugierten Punkten.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze Theorem \ref{vielf ker thm}.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $V$ ein $\R$-Vektorraum und $B$ eine symmetrische Bilinearform
  auf $V$. Wir definieren (bzw.\ erinnern daran)
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item die Nullit\"at null\,$(B):=\dim N(B)$, wobei
    $N(B):=\{x\in V\,:\,B(x,y)=0\,\forall\,y\in V\}$.
  \item den Index \[\ind(B):=\sup\,\{\dim L\,:\,L\subset V,\text{ so
      dass } B|_L\text{ negativ definit ist}.\}\]
    \item den erweiterten Index:
    \[\ind_0(B):=\sup\,\{\dim L\,:\,L\subset V,\text{ so dass }
    B|_L\text{ negativ semidefinit ist}.\}\]
  \end{enumerate}
  Hier ist $L\subset V$ stets ein endlichdimensionaler Teilraum. Hier
  und auch im Folgenden wollen wir $B|_L$ statt $B|_{L\times L}$ f\"ur
  die entsprechende Einschr\"ankung schreiben.
\end{definition}

\begin{remark}\label{halbstet endl dim rem}
  Ist $\dim V<+\infty$, so gilt verm\"oge einer
  Hauptachsentransformation $V=V^+\oplus N(B)\oplus V^-$, wobei
  $B|_{V^+}$ positiv definit und $B|_{V^-}$ negativ definit sind. Es
  gilt $B(v^+,v^-)=0$ f\"ur alle $v^+\in V^+$ und alle $v^-\in
  V^-$.\par
  Es gilt $\ind B=\dim V^-$ und $\ind_0 B=\dim
  V^-+\text{null}\,(B)$.\par
  $\ind B$ ist eine unterhalbstetige und $\ind_0B$ eine
  oberhalbstetige Funktion von $B$. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $V=V^+\oplus N(B)\oplus V^-$ zu $B$ gew\"ahlt. Dann ist
  $C|_{V^-}$ negativ f\"ur alle symmetrischen Bilinearformen $C$ in
  einer Umgebung von $B$; ebenso ist $C|_{V^+}$ in einer Umgebung von
  $B$ positiv. Somit ist $\ind C\ge\dim V^-=\ind B$. Au\ss{}erdem gilt
  $\dim V-\ind_0C=\ind(-C)\ge\dim V^+=\ind(-B)=\dim V-\dim N(B)-\dim
  V^- =\dim V-\ind_0B$. Somit ist $\ind_0C\le\ind_0B$ und die
  Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{remark}\label{diskret approx rem}
  Sei $\alpha:[a,b]\to M$ eine Geod\"atische. W\"ahle eine so feine
  Unterteilung $a=a_0<a_1<\ldots<a_n=b$, dass
  $E_{**,\alpha|_{[a_{k-1},a_k]}}$ auf
  $H^{1,2}_{\alpha,0}([a_{k-1},a_k])$ positiv definit ist; benutze
  Korollar \ref{kurz keine konj pkt cor} und Theorem \ref{geod aequiv
    thm}. Definiere die R\"aume
  \begin{align*}
    V_\alpha:=&\,\left\{X\in H^{1,2}_\alpha\,:\,X|_{[a_{k-1},a_k]}
      \text{ ist Jacobifeld f\"ur }k=1,\ldots,n\right\}\umbruch
    \intertext{und} V_{\alpha,0}:=&\,\{X\in
    V_\alpha\,:\,X(a)=X(b)=0\}.
  \end{align*}
  Wir wollen eine Projektion $P:H^{1,2}_\alpha\to V_\alpha$
  definieren.\par
  Sei dazu $J_\alpha$ der $2m$-dimensionale Raum der Jacobifelder
  l\"angs $\alpha$.  Die Abbildung $J_\alpha\ni
  J\mapsto(J(a_{k-1}),J(a_k))\in T_{\alpha(a_{k-1})}M \times
  T_{\alpha(a_k)}M$ ist nach Wahl der Unterteilung injektiv. Da die
  Dimensionen \"ubereinstimmen ist die Abbildung auch bijektiv. Zu
  $X\in H^{1,2}_\alpha$ gibt es also genau ein $\tilde X\in V_\alpha$
  mit $\tilde X(a_k)=X(a_k)$ f\"ur alle $k=0,\ldots,n$. Wir setzen
  $PX:=\tilde X$. Analog bekommen wir $P:H^{1,2}_{\alpha,0}\to
  V_{\alpha,0}$.\par
  Wir behaupten, dass $P$ bez\"uglich $E_{**,\alpha}$ orthogonal ist:
  Sei dazu $\tilde X\in V_\alpha$ und $X\in H^{1,2}_\alpha$.  Die
  Orthogonalit\"at bez\"uglich $E_{**,\alpha}$ besagt, dass
  $E_{**,\alpha}(\tilde X,X-PX)=0$ f\"ur beliebige derartige
  Vektorfelder $\tilde X$ und $X$ gilt. Es gilt $X-PX=0$ in allen
  Punkten $a_k$. Also folgt $E_{**,\alpha|_{[a_{k-1},a_k]}}(\tilde
  X,X-PX)=0$, da $\tilde X$ auf dem betrachteten Intervall ein
  Jacobifeld ist und aufgrund der Randwerte von $X-PX$. Aufsummieren
  liefert $E_{**,\alpha}(\tilde X,X-PX)=0$.\par
  Wenden wir dies auf $\tilde X=PX$ an, so k\"onnen wir die
  Orthogonalit\"at auch durch eine Pythagorasformel ausdr\"ucken:
  \begin{align*}
    E_{**,\alpha}(X,X)=&\,E_{**,\alpha}(PX+(X-PX),PX+(X-PX))\umbruch\\
    =&\,E_{**,\alpha}(PX,PX)+E_{**,\alpha}(X-PX,X-PX).
  \end{align*}
  Nach Korollar \ref{kurz keine konj pkt cor} und Theorem \ref{geod
    aequiv thm} ist $E_{**,\alpha}$ auf den Intervallen
  $[a_k,a_{k+1}]$ positiv definit. Somit folgt im Falle $X\not\equiv
  PX$, dass $E_{**,\alpha}(X-PX,X-PX)>0$ ist und daher gilt
  \begin{equation}
    \label{eq:proj str inequ}
    E_{**,\alpha}(X,X)>E_{**,\alpha}(PX,PX).
  \end{equation}
  Allgemein gilt also, auch wenn m\"oglicherweise $X=PX$ ist,
  \begin{equation}\label{eq:proj inequ}
    E_{**,\alpha}(X,X)\ge E_{**,\alpha}(PX,PX).
  \end{equation}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{endl dim ind lem}
  Betrachte $E_{**,\alpha}$ als Bilinearform auf $H^{1,2}_{\alpha,0}$.
  Es gilt $N(E_{**,\alpha})=N(E_{**,\alpha}|_{V_{\alpha,0}})$ und
  \[\ind_{(0)}E_{**,\alpha}=\ind_{(0)}E_{**,\alpha}|_{V_{\alpha,0}}.\]
  Insbesondere sind daher alle diese Indices endlich. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $H^{1,2}_{\alpha,0}\cap J_\alpha\subset V_{\alpha,0}$ ist, folgt
  trivialerweise $N(E_{**,\alpha})\subset
  N(E_{**,\alpha}|_{V_{\alpha,0}})$. \par
  Sei umgekehrt $X_0\in N(E_{**,\alpha}|_{V_{\alpha,0}})$ und $X\in
  H^{1,2}_{\alpha,0}$ beliebig. Wir wollen zeigen, dass
  $E_{**,\alpha}(X_0,X)=0$ gilt, dass also $X_0\in N(E_{**,\alpha})$
  ist. Es gilt
  \[E_{**,\alpha}(X_0,X)=E_{**,\alpha}(X_0,X-PX)
  +E_{**,\alpha}(X_0,PX).\] Der erste Term verschwindet, da $X-PX$
  orthogonal zu $V_\alpha$ ist und der zweite Term verschwindet, da
  $X_0\in N(E_{**,\alpha}|_{V_{\alpha,0}})$ ist und auch $PX\in
  V_{\alpha,0}$ gilt. Daher ist $X_0\in N(E_{**,\alpha})$ wie
  behauptet. \par
  Trivial ist, dass $\ind_{(0)}E_{**,\alpha}|_{V_{\alpha,0}}\le
  \ind_{(0)}E_{**,\alpha}$ gilt. Sei $L\subset H^{1,2}_{\alpha,0}$ ein
  Unterraum, so dass $E_{**,\alpha}|_L$ negativ semi-definit ist.\par
  Wir behaupten, dass $P|_L$ injektiv ist. Ist dies nicht der Fall, so
  existiert $X_0\in L$ mit $X_0\not\equiv0$ und $P(X_0)=0$. Wir
  erhalten also nach \eqref{eq:proj str inequ}
  \[0\ge E_{**,\alpha}(X_0,X_0)>E_{**,\alpha}(PX_0,PX_0)=0.\]
  Widerspruch. Daher ist $P|_L$ injektiv.\par
  Aus \eqref{eq:proj inequ} folgern wir, dass $E_{**,\alpha}|_{P(L)}$,
  $P(L)\subset V_{\alpha,0}$, ebenfalls negativ semidefinit ist. Damit
  erhalten wir $\ind_0 E_{**,\alpha}|_{V_{\alpha,0}}
  \ge\ind_0E_{**,\alpha}$.\par
  F\"ur den nicht erweiterten Index, $\ind$, argumentieren wir analog
  zu den obigen Betrachtungen f\"ur den erweiterten Index $\ind_0$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Morsescher Indexsatz]\label{morse thm}
  Sei $\alpha:[a,b]\to M$ eine Geod\"atische. Betrachte
  $E_{**,\alpha}$ als Bilinearform auf $H^{1,2}_{\alpha,0}$. Bezeichne
  $n(t)$ f\"ur $t\in(a,b]$ die Vielfachheit von $t$ als konjugiertem
  Punkt von $a$, \dh
  $n(t)=\text{null}\,\left(E_{**,\alpha|_{[a,t]}}\right)\equiv\dim
  N\left(E_{**,\alpha|_{[0,t]}}\right)$. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{morse i} $\ind_0 E_{**,\alpha}=\sum\limits_{a<t\le
      b}n(t)$,
  \item\label{morse ii} $\ind E_{**,\alpha}=\sum\limits_{a<t<b}n(t)$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \eqref{morse ii} folgt direkt aus \eqref{morse i}, da
  \[\ind_0E_{**,\alpha}=\ind E_{**,\alpha}+\dim N(E_{**,\alpha}) =\ind
  E_{**,\alpha}+n(b).\] Wir setzen $\phi_{(0)}(t)
  :=\ind_{(0)}E_{**,\alpha|_{[a,t]}}$. Die Funktionen $\phi$ und
  $\phi_0$ sind monoton nicht fallend, da die Einbettung
  $H^{1,2}_{\alpha|_{[a,s]},0}\hookrightarrow
  H^{1,2}_{\alpha|_{[a,t]},0}$ f\"ur $s<t$ besteht verm\"oge
  $H^{1,2}_{\alpha|_{[a,s]},0}\ni X\mapsto\tilde X$ mit
  \[\tilde X(\sigma)=
  \begin{cases}
    X(\sigma)&\text{f\"ur }\sigma\le s,\\
    0&\text{f\"ur }\sigma\ge s.
  \end{cases}\] Wir behaupten zun\"achst, dass es auf dem Intervall
  $(a,b]$ nur endlich viele zu $a$ konjugierte Punkte gibt. Seien
  $\tau_1<\ldots<\tau_k$ solche konjugierten Punkte. Sei $J^i$ jeweils
  ein nichttriviales Jacobifeld, das dies bezeugt. Definiere $\tilde
  J^i$ wie oben als triviale Fortsetzung von $J^i$ auf $[a,b]$. Dann
  ist $E_{**,\alpha}\left(\tilde J^i,\tilde J^i\right)=0$ und
  $E_{**,\alpha}\left(\tilde J^i,\tilde J^j\right)=0$ f\"ur alle $1\le
  i,\,j\le k$. Die Vektorfelder $\tilde J^i$ sind offenbar linear
  unabh\"angig. Somit ist $E_{**,\alpha}$ auf dem von den Vektoren
  $\tilde J^i$ erzeugten Vektorraum negativ semidefinit. Also folgt
  $\ind_0(E_{**,\alpha})\ge k$. Nach Lemma \ref{endl dim ind lem} ist
  jedoch $\ind_0 E_{**,\alpha}$ f\"ur eine fixierte Kurve $\alpha$
  gleichm\"a\ss{}ig nach oben beschr\"ankt. Daher kann $k$ nicht
  beliebig gro\ss{} gew\"ahlt werden, es gibt also nur endlich viele
  solche konjugierte Punkte. \par
  Sind $\tau_1,\ldots,\tau_k\in(a,b]$ die zu $a$ konjugierten Punkte
  von $\alpha$, so gilt $\phi(t)=\phi_0(t)$ f\"ur $t\neq\tau_j$,
  $j=1,\ldots,k$. \par
  Angenommen, wir w\"ussten schon, dass $\phi$ unterhalb- und $\phi_0$
  oberhalbstetig ist. Dann ist $\phi=\phi_0$ konstant auf
  $(\tau_{j-1},\tau_j)$. Monotonie und Halbstetigkeit implizieren
  \begin{align*}
    \lim\limits_{s\uparrow t}\phi(s)\le\phi(t)\le
    &\,\liminf\limits_{s\to t}\phi(s)\umbruch \intertext{und} \umbruch
    \lim\limits_{s\downarrow t}\phi_0(s)\ge\phi_0(t)\ge
    &\,\limsup\limits_{s\to t}\phi_0(s).
  \end{align*}
  Somit ist $\phi$ linksseitig und $\phi_0$ rechtsseitig stetig. Es
  gilt daher
  \begin{align*}
    \phi_0(\tau_{j+1})=&\,\phi(\tau_{j+1})+n(\tau_{j+1})
    =\lim\limits_{s\uparrow \tau_{j+1}}\phi(s)+n(\tau_{j+1})\umbruch\\
    =&\,\lim\limits_{s\downarrow\tau_j}\phi_0(s)+n(\tau_{j+1})
    =\phi_0(\tau_j)+n(\tau_{j+1}). 
  \end{align*}
  Dabei ist der rechtsseitige Limes an der Stelle $b$ mit Hilfe von
  Fortsetzungen definiert. Es folgt
  \[\phi_0(b)-\phi_0(a)
  =\sum\limits_{j=0}^{k-1}(\phi_0(\tau_{j+1})-\phi_0(\tau_j))
  =\sum\limits_{j=1}^kn(\tau_j).\]\par
  Wir weisen nun noch nach, dass $\phi$ unterhalb- und $\phi_0$
  oberhalbstetig ist: Sei ohne Einschr\"ankung $t_0\in(a,b)$; f\"ur
  $t_0=b$ setzen wir wieder $\alpha$ \"uber $b$ hinaus fort.  Wie in
  Bemerkung \ref{diskret approx rem} w\"ahlen wir eine feine
  Unterteilung $a=a_0<a_1<\ldots<a_n=b$. Wir d\"urfen ohne
  Einschr\"ankung $t_0\neq a_j$ f\"ur alle $j$ annehmen. Gelte
  $a_{j_0}<t_0<a_{j_0+1}$. Wir setzen $V_t:=V_{\alpha|_{[a,t]}}$
  relativ zu der Zerlegung $a=a_0<a_1<\ldots<a_{j_0}<t$. Nach Lemma
  \ref{endl dim ind lem} gilt $\phi_{(0)}(t)=\ind_{(0)}
  (E_{**,\alpha}|_{V_t})$ f\"ur $t\in(a_{j_0},a_{j_0+1})$. Unter
  Auslassung des ersten und des letzten Teilpunktes definieren wir
  \[V:=T_{\alpha(a_1)}M\times\ldots\times T_{\alpha(a_{j_0})}M.\] Wir
  erhalten eine Schar $(A_t)_t$ von Automorphismen $A_t:V\to V_t$
  f\"ur $t\in(a_{j_0},a_{j_0+1})$ wie folgt: F\"ur $v=(v_1, \ldots,
  v_{j_0})\in V$ sei $A_t(v)$ das eindeutig bestimmte st\"uckweise
  Jacobifeld $X$ mit $X(a)=0$, $X(a_j)=v_j$ f\"ur $j=1,\ldots,j_0$ und
  $X(t)=0$. Wir definieren f\"ur $t\in(a_{j_0},a_{j_0+1})$ die
  symmetrische Bilinearform $B_t:V\times V\to\R$ durch 
  \[B_t(v,w):=E_{**,\alpha}(A_t(v),A_t(w))\quad\text{f\"ur }v,\,w\in
  V.\] Somit gilt $\phi_{(0)}(t)=\ind_{(0)}B_t$.\par
  Die Zuordnung $J_\alpha\in J\mapsto(J(a_{j_0}),J(t))\in
  T_{\alpha(a_{j_0})}M \times T_{\alpha(t)}M$ ist linear, stetig und
  eineindeutig, da $a_{j_0}$ und $t$ nicht zueinander konjugierte
  Punkte sind. Daher ist auch die Umkehrabbildung stetig. Somit ist
  die Abbildung $t\mapsto A_t$ stetig. Somit folgt die Halbstetigkeit
  von $\phi_{(0)}$ aus der Halbstetigkeit im Endlichdimensionalen, die
  wir in Bemerkung \ref{halbstet endl dim rem} nachgewiesen haben.
\end{proof}

% Ausgelassen: Tomi DG II, K\"urzeste im Gro\ss{}en

\section{Banach-Mannigfaltigkeiten}
Wir verwenden \cite{TomiNLFA,TomiDG2}. 
\begin{definition}\label{def mf}
  Eine B-Mannigfaltigkeit (= Banach-Mannigfaltigkeit) der Klasse
  $C^k$, $k=1,2,\ldots,\infty$, ist ein topologischer Hausdorffraum
  $\M$ zusammen mit einem Atlas von $C^k$-vertr\"aglichen Karten
  $\mathcal A=\{(U,\phi,X)\}$, d.\,h.
\begin{enumerate}[(i)]
\item $U\subset \M$ ist offen, $X$ ist eine B-Raum (=Banachraum) und
  $\phi:U\to\phi(U)\subset X$ ist ein Hom\"oomorphismus.
\item $\M=\bigcup\limits_{(U,\phi,X)\in\mathcal A}U$.
\item\label{mf bed iii} Sind $(U,\phi,X)$, $(V,\psi,Y)\in\mathcal A$
  Karten mit $U\cap V\neq\emptyset$, so ist
  $$\psi\circ\phi^{-1}:\underbrace{\phi(U\cap V)}_{\subset X}\to
  \underbrace{\psi(U\cap V)}_{\subset Y}$$
  ein $C^k$-Diffeomorphismus. 
\end{enumerate}
Zwei Mannigfaltigkeiten hei\ss{}en gleich, wenn die zugeh\"origen
maximalen Atlanten \"ubereinstimmen. 
\end{definition}

Die folgende Bemerkung erkl\"art, warum wir
Banachraummannigfaltigkeiten der Klasse $C^k$ mit $k\ge1$ betrachten
wollen. 
\begin{bemerkung}
  In Definition \ref{def mf} \eqref{mf bed iii} ist
  $d(\psi\circ\phi^{-1})(x):X\to Y$ ein topologischer Isomorphismus,
  d.\,h.\ $X$ und $Y$ sind topologisch isomorph (aber die Abbildung
  ist nicht eine Banachraumisometrie). Daher kann man f\"ur jede
  Zusammenhangskomponente von $\M$ einen festen B-Raum $X$ annehmen. 
  \par
  Wir haben nicht vorausgesetzt, dass $\M$ eine abz\"ahlbare
  topologische Basis besitzt. Dies ist aber auch bei vielen
  Banachr\"aumen nicht der Fall. 
\end{bemerkung}

\begin{definition}
  Sind $\M$, $\mathcal N$ B-Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^k$, so
  hei\ss{}t die Abbildung $f:\M\to \mathcal N$ von der Klasse $C^k$
  (kurz: $f\in C^k(\M,\mathcal N)$), wenn f\"ur alle Karten
  $(U,\phi,X)$ von $\M$ und $(V,\psi,Y)$ von $\mathcal N$ gilt:
\[\psi\circ f\circ\phi^{-1}:\phi(U)\to\psi(V)\]
ist von der Klasse $C^k$.
\end{definition}

\begin{definition}[Splitten]
  Sei $X$ ein B-Raum. Eine lineare Teilmenge $Y\subset X$ splittet
  (oder spaltet) $X$, wenn $Y$ abgeschlossen ist und ein
  abgeschlossener linearer Teilraum $Z\subset X$ (Komplement\"arraum)
  existiert, so dass $X=Y\oplus Z$.
\end{definition}

\begin{definition}\label{def umf}
  Sei $\M$ eine B-Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$. Eine Teilmenge
  $\mathcal N\subset\M$ hei\ss{}t $C^k$-Untermannigfaltigkeit von
  $\M$, wenn es zu jedem $x\in\mathcal N$ eine Karte $(U,\phi,X)$, die
  mit dem Atlas von $\M$ vertr\"aglich ist, gibt, so dass $x\in U$ und
  $\phi(U\cap \mathcal N)=\phi(U)\cap X_0$, wobei $X_0$ ein linearer
  Teilraum von $X$ ist, welcher $X$ splittet.
\end{definition}

\begin{remark}
  Jeder endlich dimensionale Teilraum $X_0$ splittet, ebenso jeder
  abgeschlossene Teilraum endlicher Kodimension. (Beweis der ersten
  Behauptung f\"ur eindimensionale R\"aume $X_0$: Zu $0\neq x\in X_0$
  existiert nach dem Satz von Hahn-Banach ein stetiges lineares
  Funktional $\phi$ mit $\phi(x)\neq0$.  Definiere
  $X_0^c:=\{y:\phi(y)=0\}$. Dies ist ein abgeschlossener Teilraum und
  es gilt $X=X_0\oplus X_0^c$. F\"ur endlich dimensionale R\"aume
  funktioniert der Beweis analog zum eindimensionalen Fall.)  In einem
  Hilbertraum splittet jeder abgeschlossene Teilraum. Ist $(U,\phi,X)$
  wie in Definition \ref{def umf}, so wird $\mathcal N$ mit den Karten
  $(U\cap\mathcal N,\phi|_{U\cap\mathcal N}, X_0)$ selbst zu einer
  $C^k$-Mannigfaltigkeit.
\end{remark}

\begin{definition}[Immersion, Submersion]
  Seien $X$, $Y$ B-R\"aume, $U\subset X$ offen, $f\in C^k(U,Y)$,
  $k\ge1$. Dann hei\ss{}t $f$ Immersion, wenn $df(x)$ injektiv ist und
  $df(x)(X)$ den Raum $Y$ f\"ur alle $x\in X$ splittet.\par
  $f$ hei\ss{}t Submersion, wenn $df(x)$ surjektiv ist und
  $df(x)^{-1}(0)$ f\"ur alle $x\in X$ den Raum $X$ splittet.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  Die S\"atze von der inversen Abbildung und der impliziten Funktion
  gelten in der $C^k$-Version, $k\ge1$, mit $d(f^{-1})=(df\circ
  f^{-1})^{-1}$ (Kettenregel). 
\end{bemerkung}

\begin{lemma}[Lokale Normalformen f\"ur \glqq doppelt splittende\grqq\
  Abbildungen]\label{doppelt split lem}
  Seien $X$, $Y$ B-R\"aume, $U\subset X$ offen, $f\in C^k(U,Y)$,
  $x_0\in U$, $df(x_0):X\to Y$ splittet doppelt, \dh $X=N\oplus
  N^\perp$, $Y=R\oplus R^\perp$ mit abgeschlossenen Teilr\"aumen $N$,
  $N^\perp$, $R$, $R^\perp$, wobei $N=df(x_0)^{-1}(0)$,
  $R=df(x_0)(X)$. \par
  Dann gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item\label{doppelt split i} Es gibt eine Umgebung $V$ von $0\in
  N\times R\cong N\times N^\perp\cong X$ und einen
  $C^k$-Diffeomorphismus $\phi:V\to\phi(V)\subset X$ und $g\in
  C^k(V,R^\perp)$, so dass $\phi(0)=x_0$ und
  $$f\circ\phi(n,r)=f(x_0)+r+g(n,r),$$ wobei $dg(0,0)=0$.
\item Es gibt eine Umgebung $W$ von $x_0$, einen
  $C^k$-Diffeomorphismus $\psi:W\to\psi(W)\subset X$ mit
  $\psi(x_0)=x_0$ und $h\in C^k(W,R^\perp)$ mit $dh(x_0)=0$, so dass
  $$f\circ\psi(x)=f(x_0)+df(x_0)\langle x-x_0\rangle+h(x).$$  
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir bemerken zun\"achst, dass der oben verwandte (topologische)
  Isomorphismus $N^\perp\cong R$ von $df(x_0)$ induziert ist. Die
  Abbildung ist bijektiv, stetig und, nach dem Satz vom
  abgeschlossenen Graphen (Ein abgeschlossener (= der Graph ist
  abgeschlossen) linearer Operator zwischen Banachr\"aumen ist
  stetig.), ist ihre Inverse ebenfalls stetig.\par
  Seien $P:X\to N$ und $Q:Y\to R$ die zu den obigen Zerlegungen
  geh\"origen kanonischen stetigen Projektionen. \par
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gelte ohne Einschr\"ankung $x_0=f(x_0)=0$. Betrachte die
    Abbildung $F:U\to N\times R$ mit $F=(P,Q\circ f)$. Es gilt
    $dF(0)=(P,Q\circ df(0))=(P,df(0))$. Ist $dF(0)\langle h\rangle=0$,
    so folgt einerseits $Ph=0$ und andererseits $df(0)\langle
    h\rangle=0$. Daher ist $h\in N^\perp$ und $h\in N$, also $h=0$.
    Somit ist $F$ injektiv. Sei $(n,r)\in N\times R$. Dann gibt es
    $n^\perp\in N^\perp$ mit $df(0)\langle n^\perp\rangle=r$. Somit
    ist $dF(0)\langle(n+n^\perp)\rangle=(n,r)$ und $F$ ist surjektiv.
    Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen besitzt die Abbildung
    $dF(0)$ eine stetige Inverse.\par
    Nach dem Satz von der inversen Abbildung existiert daher eine
    Umgebung $V$ und eine Funktion $\phi:=F^{-1}:V\to\phi(V)$, so dass
    $F(\phi(n,r))=(n,r)$. Da $F(\phi(n,r))=(P\circ\phi(n,r),Q\circ
    f\circ \phi(n,r))$ ist, folgt $Q\circ f\circ\phi(n,r)=r$. Wir
    definieren nun $g(n,r)$ durch $f\circ\phi(n,r)=Q\circ
    f\circ\phi(n,r)+(I-Q)\circ f\circ\phi(n,r)\equiv r+g(n,r)$, also
    $g(n,r):=(I-Q)\circ f\circ\phi(n,r)$. Es gilt $dg(0)=0$, da $\im
    df(0)\in R$, also $(I-Q)df(0)=0$.
  \item Definiere $\psi:=\phi\circ dF(0)=F^{-1}\circ
    dF(0)=\phi(P,df(0))$. Dann folgt mit Hilfe von \eqref{doppelt
      split i}
    \begin{align*}
      f\circ\psi(x)=&\,f\circ\phi(\underbrace{Px}_{n},
      \underbrace{df(0)\langle x\rangle}_{r})\\
      =&\,df(0)\langle x\rangle +\underbrace{g(Px,df(0)\langle
        x\rangle)}_{=:h(x)}.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bemerkung}\label{subm bem}
  Ist insbesondere $f$ eine Submersion in $x_0$, so folgen $R^\perp=0$
  und $g=h=0$. Wir definieren $T:=(df(x_0)|_{N^\perp})^{-1}$ und
  wenden Lemma \ref{doppelt split lem} \eqref{doppelt split i} auf
  $T\circ f:U\to N^\perp$ an. Dann folgt $T\circ
  f\circ\phi=Tf(x_0)+P^\perp$, wobei $P^\perp:X\to N^\perp$ die
  kanonische Projektion ist. 
\end{bemerkung}

\begin{satz}
  Seien $X$, $Y$ B-R\"aume, $U\subset X$ offen, $f\in C^k(U,Y)$. Sei
  $f$ f\"ur alle $x\in f^{-1}(0)$ eine Submersion. Dann ist
  $f^{-1}(0)$ eine $C^k$-Untermannigfaltigkeit von $U\subset X$. 
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in f^{-1}(0)$. Sei $X=N+N^\perp$ mit $N=df(x_0)^{-1}(0)$
  und seien $N$, $N^\perp$ abgeschlossen. Nach Bemerkung \ref{subm
    bem} gibt es einen lokalen Diffeomorphismus $\phi\in C^k$,
  $\phi:V\to\phi(V)$ f\"ur eine Umgebung $V$ von $0$ mit
  $\phi(0)=x_0$, so dass $T\circ f\circ\phi=P^\perp$ oder
  $f\circ\phi=T^{-1}\circ P^\perp$. Es folgt $\phi^{-1}(\phi(V)\cap
  f^{-1}(\{0\}))=V\cap(f\circ\phi)^{-1}(\{0\}) =V\cap(T^{-1}\circ
  P^\perp)^{-1}(\{0\}) =V\cap (P^\perp)^{-1}\circ T(\{0\})=V\cap
  (P^\perp)^{-1}(\{0\}) =V\cap N$. Somit ist $f^{-1}(0)$ eine
  $C^k$-Untermannigfaltigkeit von $U$.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $T:X\to Y$ ein stetiger linearer Operator. Dann hei\ss{}t $T$
  Fredholm, wenn $\im T$ abgeschlossen ist und $\ker T$ sowie der
  Komplement\"arraum zu $\im T$ endlich dimensional sind. \par
  Bemerkung: Die Abgeschlossenheit von $\im T$ braucht man nicht
  explixit zu fordern.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Seien $X$, $Y$ B-R\"aume und $T\in L(X,Y)$ surjektiv. Dann sind die
  folgenden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{sur i} $T^{-1}(\{0\})$ splittet $X$.
  \item\label{sur ii} Es existiert ein abgeschlossener Unterraum
    $X_1\subset X$, so dass $T:X_1\to Y$ ein Isomorphismus ist.
  \item\label{sur iii} Es existiert ein abgeschlossener Unterraum
    $X_1\subset X$, so dass $T:X_1\to Y$ Fredholm ist. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \eqref{sur i}\impliziert\eqref{sur ii}\impliziert\eqref{sur iii} ist
  trivial.\par
  \eqref{sur ii}\impliziert\eqref{sur i}: Definiere
  $X_0:=T^{-1}(\{0\})$.  $X_0$ ist abgeschlossen, da $T$ stetig ist.
  Es ist zu zeigen, dass $X=X_0\oplus X_1$ gilt. Sei $x\in X$. Dann
  existiert $x_1\in X_1$ mit $Tx_1=Tx$.  Hieraus folgen nacheinander
  $T(x-x_1)=0$, $x_0:=x-x_1\in X_0$ und $x=x_0+x_1$.\par
  \eqref{sur iii}\impliziert\eqref{sur ii}: Definiere
  $X_0:=N(T|_{X_1})$. Es ist $\dim X_0<\infty$. Somit gibt es einen
  abgeschlossenen Unterraum $X^\perp$, so dass $X_1=X_0\oplus
  X^\perp$. Da $T$ Fredholm ist, gibt es einen endlichdimensionalen
  Unterraum $Y^\perp\subset Y$, so dass $Y=T(X_1)\oplus Y^\perp$.\par
  Sei $y_1,\ldots, y_n$ eine Basis von $Y^\perp$ und seien
  $x_1,\ldots,x_n\in X$, so dass $T(x_i)=y_i$. Die Vektoren
  $x_1,\ldots,x_n$ sind in $X$ linear unabh\"angig modulo $X_1$, \dh
  nur die triviale Linearkombination ergibt einen Vektor in $X_1$.
  Dies folgt, da sonst auch die Bilder nicht linear unabh\"angig sein
  k\"onnten. Definiere $Z:=X^\perp\oplus\langle
  x_1,\ldots,x_n\rangle$, wobei wir mit $\langle\ldots\rangle$ die
  lineare H\"ulle bezeichnet haben. Da $X^\perp$ ein abgeschlossener
  Unterraum von $X$ ist, gilt dies auch f\"ur $Z$. $T$ ist surjektiv,
  denn es gilt $T(Z)=T(X^\perp)+Y^\perp=T(X_1)+Y^\perp=Y$. Zeige
  schlie\ss{}lich noch, dass $T$ auch injektiv ist: Sei $x^\perp\in
  X^\perp$ und gelte $0=T(x^\perp+\sum_i\lambda_ix_i)$. Dann folgt
  $\sum_i\lambda_iy_i=-T(x^\perp)\in T(X_1)$ und somit $\lambda_i=0$.
  Also ist auch $T(x^\perp)=0$ und daher $x^\perp\in X_0$, also
  erhalten wir wegen $x^\perp\in X^\perp$ nun $x^\perp=0$. Somit ist
  $T:Z\to Y$ ein Isomorphismus.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
  Wir definieren den Tangentialraum $T\M$ einer
  B-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $\M$ wie im Endlichdimensionalen als
  \"Aquivalenzklassen von Kurven durch einen festen Punkt.  Zu
  $(U,\phi,X)$ bekommen wir dann eine assoziierte B\"undelkarte
  $(TU,\tilde\phi,\phi(U)\times X)$ mit $\tilde\phi([\alpha])
  :=(\alpha(0), \left.(\phi\circ\alpha)'\right|_{t=0})
  =(\alpha(0),\phi_*([\alpha]))$ bzw.\
  $\tilde\phi([\alpha])=[\phi\circ\alpha]$, wenn man $\phi(U)\times X$
  und $T\phi(U)$ identifiziert, und $\phi(U)\subset X$. F\"ur $p\in U$
  erhalten alle Tangentialr\"aume $T_p\M$ eine B-Struktur durch $\Vert
  v\Vert_\phi:=\Vert\phi_{*,p}(v)\Vert_X$ f\"ur $v\in T_p\M$.  Je zwei
  Normen $\Vert\cdot\Vert_{\phi}$ und $\Vert\cdot\Vert_{\psi}$ sind
  \"aquivalent. \par
  Sei $f:\M\to\mathcal N$ in $C^1$. Wie \"ublich definieren wir
  $f_{*,x}:T_x\M\to T_{f(x)}\mathcal N$ durch
  $f_{*,x}([\alpha]):=[f\circ\alpha]$.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Seien $\M$, $\mathcal N$ B-Mannigfaltigkeiten, $f:\M\to\mathcal N$ eine
  $C^1$-Abbildung. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f$ hei\ss{}t Immersion in $p\in \M$, wenn $f_{*,p}$ injektiv und
    $f_{*,p}(T_p\M)$ abgeschlossen ist und $f_{*,p}(T_p\M)$ den Raum
    $T_{f(p)}\M$ spaltet. 
  \item $f$ hei\ss{}t Submersion in $p\in \M$, wenn $f_{*,p}$ surjektiv
    ist und $\ker f_{*,p}$ den Raum $T_p\M$ spaltet. 
  \end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Es gelten die \"ublichen S\"atze \"uber Immersionen und
  Submersionen, z.\,B.\ ist $f^{-1}(q)$ eine Untermannigfaltigkeit,
  falls $f^{-1}(q)\neq\emptyset$ und $f$ eine Submersion ist. Lokal
  ist das Bild einer Immersion ebenfalls eine Untermannigfaltigkeit.   
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Ableitungen in Banachr\"aumen]
  Seien $X$, $Y$ Banachr\"aume und $f:X\to Y$ eine Abbildung. Dann ist
  $f\in C^1(X,Y)$ genau dann, wenn $df(x):X\to Y$ f\"ur alle $x\in X$
  stetig ist (\aequivalent $df(x)\in L(X,Y)\,\forall\, x\in X$) und
  $df:X\to L(X,Y)$ stetig ist. \par
  F\"ur $T\in L(X,Y)$ definieren wir $\Vert T\Vert:=\sup\limits_{\Vert
    x\Vert\le1}\Vert T(x)\Vert$. \par
  Es ist $d^2f(x)\in L(X,L(X,Y))\cong L_2(X,Y)$, definiert als die
  Menge der bilinearen stetigen Abbildungen $X\times X\to Y$. Analog
  ist $d^kf(x)\in L_k(X,Y)$. 
\end{bemerkung}

\begin{definition}
  $\M$ ist eine Riemannsche H-Mannigfaltigkeit (=
  Hilbertraummannigfaltigkeit) der Klasse $C^k$, $k\ge1$, falls $\M$
  eine $C^k$ B-Mannigfaltigkeit, modelliert \"uber Hilbertr\"aumen,
  ist und falls $T\M$ mit einer Familie $\langle\cdot,\cdot\rangle_p$,
  $p\in \M$, vollst\"andiger (= induzierte Topologie ist \"aquivalent
  zur vorhandenen Topologie), stetiger Skalarprodukte versehen ist und
  so dass $\langle\cdot,\cdot\rangle_p$ in folgendem Sinne
  differenzierbar von $p$ abh\"angt: F\"ur jede Karte $(U,\phi,X)$ ist
  \begin{equation}\label{metr diffbar}
    \left(\phi^{-1}\right)^*\langle\cdot,\cdot\rangle_p\in
    C^{k-1}(\phi(U),L_2(X,\R)). 
  \end{equation}
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $\M$ eine $C^k$-Untermannigfaltigkeit eines H-Raumes
  $(X,\langle\cdot,\cdot\rangle)$. Dann ist $\M$ mit dem
  eingeschr\"ankten Skalarprodukt von $X$ eine Riemannsche
  H-Mannigfaltigkeit. 
\end{beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
  Eine Karte von $\M$ ist von der Form $(U\cap \M,\phi|_{\M}, V)$, wobei
  $U\subset X$ offen und $\phi:U\to\phi(U)$ ein Diffeomorphismus der
  Klasse $C^k$ ist. Es ist $X=V\oplus W$ mit abschlossenen
  Teilr\"aumen $V$, $W$ und $\phi(U\cap \M)=\phi(U)\cap V$. Somit ist
  $(\phi|_{\M})^{-1} =\phi^{-1}|_V$ und $(\phi^{-1})_*\in
  C^{k-1}(\phi(U),L(X))$. Es gilt also 
  \[\left(\left(\phi^{-1}\right)^*\langle\cdot, 
    \cdot\rangle_X\right)\langle v,w\rangle
  =\left\langle\left(\phi^{-1}\right)_{*,\cdot}v,
    \left(\phi^{-1}\right)_{*,\cdot}w\right\rangle_X.\] Dies h\"angt
  $(k-1)$-mal stetig differenzierbar vom Fu\ss{}punkt ab.
\end{proof}

\section{Die Wegemannigfaltigkeit $H^{1,2}(\S^1,M)$}
\begin{lemma}\label{aequiv top lem}
  Sei $\M$ eine zusammenh\"angende Riemannsche H-Mannigfaltigkeit, so
  wird durch
  \[d(p,q):=\inf\left\{\left.\int\limits_0^1\Vert\alpha'(t)\Vert
      \,dt\;\right|\,\begin{minipage}{5.6cm}$\alpha:[0,1]\to \M$
      st\"uckweise $C^1$-Kurve\\mit
      $\alpha(0)=p$,\,$\alpha(1)=q$\end{minipage}\right\}\] eine
  Metrik auf $\M$ definiert, welche die Topologie von $\M$ erzeugt.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item In geeigneten lokalen Koordinaten ist $d$ sogar
    Lipschitz stetig, \[d(p,q)\le C\Vert\phi(p)-\phi(q)\Vert_X:\] Sei
    n\"amlich $(U,\phi,X)$ eine Karte von $\M$, ohne Einschr\"ankung so
    klein, dass (aufgrund von \eqref{metr diffbar})
\[\left\Vert\left(\phi^{-1}\right)_X^*\langle\cdot,
  \cdot\rangle_\M\right\Vert_{L_2(X,\R)} \le C\quad\text{f\"ur alle
}x\in\phi(U).\]
Sei weiterhin $\phi(U)$ ohne Einschr\"ankung konvex. Seien $p$, $q\in
U$. Definiere $\alpha(t):=\phi^{-1}((1-t)\phi(p)+t\phi(q))$ f\"ur
$0\le t\le 1$. Dann ist 
\begin{align*}
  d(p,q)\le&\,\int\limits_0^1\Vert\alpha'(t)\Vert_{\alpha(t)}\,dt
  =\int\limits_0^1 \left\Vert\left(\phi^{-1}\right)_{*,
      (1-t)\phi(p)+t\phi(q)}\langle\phi(q)-\phi(p)\rangle
  \right\Vert_{\alpha(t)}\,dt\\
  \le&\,\sqrt C\int\limits_0^1\Vert\phi(p)-\phi(q)\Vert_X\,dt
  =\sqrt C\Vert\phi(p)-\phi(q)\Vert_X.
\end{align*}
Wir haben damit gezeigt, dass die von $d$ induzierte Topologie auf $\M$
gr\"ober ist als die Topologie, die $\M$ als Mannigfaltigkeit besitzt.
\item Sei andererseits auf $X$ f\"ur $x\in\phi(U)$ die folgende
  Familie von Normen
\[|v|_x:=\Vert(\phi^{-1})_{*,x}\langle v\rangle\Vert_{\phi^{-1}(x)}.\] 
Da $(\phi^{-1})_{*,x}$ ein topologischer Isomorphismus ist, sind alle
diese Normen \"aquivalent zu $\Vert\cdot\Vert_X$. Nehme an, dass
$0\in\phi(U)$ gilt. Dann existiert $c>0$, so dass $|v|_0\ge c\Vert
v\Vert_X$ f\"ur alle $v\in X$ gilt. Nach \eqref{metr diffbar} finden
wir $\rho>0$, so dass
\[|\langle v,v\rangle_x-\langle v,v\rangle_0| \le\frac{c^2}2
\quad\text{f\"ur }\Vert v\Vert_X=1\text{ und }\Vert x\Vert_X<\rho.\]
Es folgt insbesondere 
\[\langle v,v\rangle_x\ge \langle
v,v\rangle_0-\frac{c^2}2\ge\frac{c^2}2 \quad\text{ f\"ur }\Vert
v\Vert_X=1 \text{ und }\Vert x\Vert_X<\rho\]
und
\[|v|_x\ge\frac c{\sqrt2}\Vert v\Vert_X\quad\text{ f\"ur }\Vert
x\Vert_X<\rho \text{ und } v\in X.\] Wir wollen nun zeigen, dass die
von $d$ induzierte Topologie feiner ist als die urspr\"ungliche
Topologie auf $\M$. Dazu weisen wir nach, dass jede Umgebung $V$ von
$p_0\in U$ eine $\epsilon$-Umgebung (bzgl.\ der von $d$ induzierten
Topologie) enth\"alt: Sei ohne Einschr\"ankung $\phi(p_0)=0$ und
weiterhin $V\supset\phi^{-1}(\{\Vert v\Vert_X<\rho\})$ mit $\rho>0$
wie oben. Sei $p\not\in V$ und $\alpha:[0,1]\to \M$ eine st\"uckweise
$C^1$-Kurve mit $\alpha(0)=p_0$ und $\alpha(1)=p$. Definiere
\[t_0:=\sup\{t\,:\,\Vert\phi(\alpha(s))\Vert\le\rho\text{ f\"ur }0\le
s\le t\}.\]
Wir erhalten die folgende Absch\"atzung
\begin{align*}
  \rho=&\,\Vert\phi(\alpha(t_0))\Vert_X
  =\Vert\phi(\alpha(t_0))-\phi(\alpha(0))\Vert_X\\
  \le&\,\int\limits_0^{t_0}\Vert\phi_{*,\alpha(t)}\langle\alpha'(t)\rangle
  \Vert_X\,dt
  \le\frac{\sqrt2}c\int\limits_0^{t_0}|\phi_{*,\alpha(t)}
  \langle\alpha'(t)\rangle|_{\phi(\alpha(t))}\,dt\\
  =&\,\frac{\sqrt2}c\int\limits_0^{t_0}\Vert\alpha'(t)\Vert_{\alpha(t)}\,dt
  \quad\text{nach Definition von $|\cdot|_x$}.
\end{align*}
Es folgt $\rho\le\frac{\sqrt2}cd(p_0,p)$ und somit $V\supset
U^d_\epsilon(p_0)$ f\"ur $\epsilon=\frac c{\sqrt2}\rho$.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[Die Wegemannigfaltigkeit $H^{1,2}(\S^1,M)$] 
  Sei $M\subset\R^n$ eine eigentlich eingebettete (keine
  Einschr\"ankung) differenzierbare Untermannigfaltigkeit. Also ist
  $M\cap C$ f\"ur alle kompakten Mengen $C\subset\R^n$ kompakt. \par
  Wir definieren $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$ als den Hilbertraum aller
  $2\pi$-periodischen, ab\-so\-lut\-ste\-ti\-gen Abbildungen
  $\alpha:\R\to\R^n$ mit lokal quadratintegrierbaren Ableitungen,
  versehen mit dem Skalarprodukt
\[\langle\alpha,\beta\rangle_{H^{1,2}}:=\int\limits_{-\pi}^\pi\left(
  \langle\alpha(t),\beta(t)\rangle_{\R^n}+
  \langle\alpha'(t),\beta'(t)\rangle_{\R^n}\right)\,dt.\] Definiere
\[H^{1,2}(\S^1,M)=\left\{\alpha\in H^{1,2}(\S^1,\R^n)\,:\,\alpha(t)\in M
\text{ f\"ur alle } t\right\}.\]
(Da eine solche Abbildung $\alpha$ nach Sobolev automatisch stetig
ist, verlangen wir $\alpha(t)\in M$ nicht nur f\"ur fast alle $t$.)
\end{definition}

Sei $M\subset\R^n$ eine eigentlich eingebettete Untermannigfaltigkeit.
Wir wollen zeigen, dass dann $H^{1,2}(\S^1,M)$ eine differenzierbare
Untermannigfaltigkeit der H-Mannigfaltigkeit $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$ ist.

\begin{remark}
  Da $M\subset\R^n$ eigentlich eingebettet ist, ist $M$ insbesondere
  eine vollst\"andige Riemannsche Mannigfaltigkeit.
  $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$ ist ein Hilbertraum.\par
  Seien $TM$ und $NM$ das Tangential- bzw.\ Normalb\"undel von $M$. 
  Definiere f\"ur $\rho>0$ und $\epsilon>0$ die Mengen
\begin{align*}
  M_\rho:=&\,\{x\in M\,:\,|x|<\rho\},\\
  \intertext{und} V_{\rho,\epsilon}:=&\,\{(x,\xi)\in NM\,:\,x\in
  M_\rho,\, |\xi|<\epsilon\}.
\end{align*}
Die Exponentialabbildung $E:NM\to\R^n$ ist durch $E(x,\xi):=x+\xi$
definiert.\par
Da $M$ eigentlich eingebettet ist, gibt es f\"ur alle $\rho>0$ ein
$\epsilon>0$, so dass 
\[E|_{V_{\rho,\epsilon}}:V_{\rho,\epsilon}\to
U_{\rho,\epsilon}:=E(V_{\rho,\epsilon})\] 
ein Diffeomorphismus ist.
\end{remark}

\begin{lemma}\label{Retr lem}
  Ist $p:NM\to M$ die kanonische Projektion, sind $\rho>0$ beliebig
  und $\epsilon>0$ hinreichend klein, so ist
\[R:=p\circ(E|_{V_{\rho,\epsilon}})^{-1}: U_{\rho,\epsilon}\to
M_\rho\] 
eine Retraktion und f\"ur $x\in M_\rho$ ist 
\[dR(x)=P(x):\R^n\to T_xM\subset\R^n\]
die orthogonale Projektion. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Klar ist, dass $R$ eine Retraktion ist.\par
  Es gilt $T_{(x,0)}NM\cong T_xM\oplus N_xM$, denn f\"ur eine Kurve
  $(x(t),\xi(t))_{|t|<\epsilon}$ in $NM\subset\bigcup\limits_{p\in
    M}\{p\}\times N_pM\subset\R^n\times\R^n$ mit $\xi(0)=0$ folgt aus
  $\langle x'(t),\xi(t)\rangle=0$ insbesondere, dass
  \[\langle x''(0),\underbrace{\xi(0)}_{=0}\rangle +\langle
  \underbrace{x'(0)}_{\in T_xM},\xi'(0)\rangle=0.\] Also ist
  $\xi'(0)\in N_xM$ und die Behauptung folgt.\par
  Damit gilt f\"ur das Differential der Exponentialabbildung
\[dE_{(x,0)}\langle y,\eta\rangle=y+\eta\]
f\"ur $y\in T_xM$ und $\eta\in N_xM$. Also folgt 
\[(dE|_{(x,0)})^{-1}=(P(x),(I-P)(x))\] und somit gilt auch
$dR(x)=P(x)$.
\end{proof}

Wir wollen beliebige Vektorfelder tangential machen. Dazu benutzen wir
\begin{definition}
  Sei $\alpha\in H^{1,2}(\S^1,M)$. Definiere 
  \begin{align*}
    \Pi_\alpha:H^{1,2}(\S^1,\R^n)\to&\,H^{1,2}(\S^1,\R^n)\\
    \intertext{durch}
    \Pi_\alpha(\beta)(t):=&\,P(\alpha(t))\langle\beta(t)\rangle.
  \end{align*}
\end{definition}

\begin{lemma}\label{Proj stet lem}
  Sei $\alpha\in H^{1,2}(\S^1,M)$. Dann ist $\Pi_\alpha$ eine
  \emph{stetige} Projektion auf den Unterraum der
  $H^{1,2}$-Vektorfelder l\"angs $\alpha$, die tangential zu $M$
  sind. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nachzuweisen ist nur die Stetigkeit. Die Absch\"atzung f\"ur die
  $L^2$-Norm ist klar, denn aus $|\Pi_\alpha(\beta)(t)|\le|\beta(t)|$
  folgt, dass auch $\Vert\Pi_\alpha(\beta)\Vert_{L^2}\le
  \Vert\beta\Vert_{L^2}$ gilt. \par
  Aus Produkt- und Kettenregel folgt
  \begin{align*}
    (\Pi_\alpha(\beta))'(t)=&\, dP_{\alpha(t)} \langle\alpha'\rangle
    \langle\beta(t)\rangle +P(\alpha(t))\langle\beta'(t)\rangle\\
    \intertext{und daher erhalten wir} |(\Pi_\alpha(\beta))'(t)|\le&\,
    |dP_{\alpha(t)} \langle\alpha'\rangle
    \langle\beta(t)\rangle| +|P(\alpha(t))\langle\beta'(t)\rangle|\\
    \le&\,c(\alpha)\cdot|\alpha'(t)|\cdot|\beta(t)| +|\beta'(t)|.
  \end{align*}
  Die $\sup$-Norm von $\beta$ ist durch die $H^{1,2}$-Norm
  kontrolliert, denn aus
  $\beta(t)-\beta(s)=\int\limits_s^t\beta'(\sigma)\,d\sigma$ folgt
  $|\beta(t)|\le|\beta(s)|
  +\int\limits_{-\pi}^\pi|\beta'(\sigma)|\,d\sigma$. Wir integrieren nun
  bez\"uglich $s$, wenden H\"older an und schlie\ss{}en, dass
  \begin{align*}
    |\beta(t)|\le&\, \frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|\beta(s)|\,ds
    +\int\limits_{-\pi}^\pi|\beta'(\sigma)|\,d\sigma\\
    \le&\, \frac1{2\pi}
    \left(\int\limits_{-\pi}^\pi|\beta|^2\right)^{1/2} \cdot
    \left(\int\limits_{-\pi}^\pi1\right)^{1/2}
    +\left(\int\limits_{-\pi}^\pi|\beta'|^2\right)^{1/2} \cdot
    \left(\int\limits_{-\pi}^\pi1\right)^{1/2}
    \le c\cdot\Vert\beta\Vert_{H^{1,2}}.
  \end{align*}
  Wir erhalten also
  \begin{align*}
    \Vert(\Pi_\alpha(\beta))'\Vert_{L^2}\le&\,
    c(\alpha)\cdot\Vert\alpha'\Vert_{L^2} \cdot
    c\cdot\Vert\beta\Vert_{H^{1,2}} +\Vert\beta'\Vert_{L^2}\\
    \le&\,\tilde c(\alpha)\cdot\Vert\beta\Vert_{H^{1,2}}.
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{proposition}
  Die Wegemannigfaltigkeit $H^{1,2}(\S^1,M)$ ist eine vollst\"andige
  Untermannigfaltigkeit von $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur den Beweis wollen wir annehmen, dass $M\subset\R^n$ glatt ist.
  Die n\"otige Regularit\"at f\"ur $M$ werden wir in Bemerkung
  \ref{CkH12Umf rem} diskutieren. \par
  Wir zeigen zun\"achst, dass es sich um eine Untermannigfaltigkeit
  handelt: Sei $\alpha\in H^{1,2}(\S^1,M)$. W\"ahle $\rho>0$ so
  gro\ss{}, dass $\alpha(t)\in M_{\rho/2}$ f\"ur alle $t$. (Der
  Parameter $\rho$ erlaubt es uns, auch nichtkompakte
  Mannigfaltigkeiten $M\subset\R^n$ zu betrachten.) W\"ahle dann
  $\epsilon>0$ so klein, dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{H12Umfi} $E:V_{2\rho,\epsilon}\to U_{2\rho,\epsilon}$ ein
    Diffeomorphismus ist,
  \item\label{H12Umfii} $U_{\rho,\epsilon}\cap(M\setminus
    M_{2\rho})=\emptyset$ gilt.
  \end{enumerate}
  Die Bedingung \eqref{H12Umfii} ist erf\"ullbar, da $\ol M_\rho$
  kompakt und $M\setminus M_{2\rho}$ abgeschlossen ist. Nach
  \eqref{H12Umfi} und \eqref{H12Umfii} folgt, dass
  \begin{equation}
    \label{eq:H12niM}
    E(x,\xi)\not\in M\quad\text{f\"ur }x\in M_\rho\text{ und
    }0<|\xi|<\epsilon. 
  \end{equation}
  Nach Lemma \ref{Proj stet lem} sind
  \begin{align*}
    V_\alpha:=&\,\Pi_\alpha(H^{1,2}(\S^1,\R^n))\\
    \intertext{und}
    W_\alpha:=&\,(I-\Pi_\alpha)(H^{1,2}(\S^1,\R^n))
  \end{align*}
  komplement\"are abgeschlossene Teilr\"aume von $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$.
  ($V_\alpha$ ist Urbild von $\{0\}$ unter $x\mapsto x-\Pi_\alpha(x)$.)
  Wir definieren darin Umgebungen 
  \begin{align*}
    V_\alpha^\delta:=&\,\{v\in V_\alpha\,:\,\Vert
    v\Vert_{H^{1,2}}<\delta\}\\
    \intertext{und}
    W_\alpha^\delta:=&\,\{w\in W_\alpha\,:\,\Vert
    w\Vert_{H^{1,2}}<\delta\}. 
  \end{align*}
  Sei $R:U_{\rho,\epsilon}\to M_\rho$ die Retraktion aus Lemma
  \ref{Retr lem}.  Wir w\"ahlen $\delta>0$ so klein, dass
  $\alpha(t)+v(t)\in U_{\rho,\epsilon}$ f\"ur alle $t$ und alle $v\in
  V^\delta_\alpha$ und $\Vert w\Vert_{C^0}<\epsilon$ f\"ur $w\in
  W^\delta_\alpha$ gilt.\par
  Betrachte die Abbildung
  \begin{align*}
    \Phi:V^\delta_\alpha\times W^\delta_\alpha\to&\,
    H^{1,2}(\S^1,\R^n),\\
    \intertext{definiert durch}
    \Phi(v,w):=&\, R\circ(\alpha+v)+w.
  \end{align*}
  (Ist $R$ von der Klasse $C^2$, so ist $\Phi$ in der $H^{1,2}$-Norm
  differenzierbar.) Es gilt $\Phi(0,0)=\alpha$. F\"ur alle $v\in
  V^\delta_\alpha$ gilt $\Phi(v,0)\in H^{1,2}(\S^1,M)$. Nach
\eqref{eq:H12niM} ist somit $\Phi(v,w)\not\in H^{1,2}(\S^1,M)$ f\"ur
$v\in V^\delta_\alpha$ und $w\in W^\delta_\alpha\setminus\{0\}$. Mit
Hilfe von Lemma \ref{Retr lem} folgt daher
\[d\Phi(0,0)\langle v,w\rangle=dR_\alpha\langle
v\rangle+w=\Pi_\alpha\langle v\rangle+w =v+w.\]
Somit ist $d\Phi(0,0)$ ein topologischer Isomorphismus. F\"ur ein
hinreichend kleines $\delta>0$ ist damit $\Phi|_{V^\delta_\alpha\times
  W^\delta_\alpha}$ ein Diffeomorphismus (auf das Bild). Es gilt
\[\Phi(V^\delta_\alpha\times\{0\}) =H^{1,2}(\S^1,M)\cap
\Phi(V^\delta_\alpha\times W^\delta_\alpha).\] Damit ist
$H^{1,2}(\S^1,M)$ eine Untermannigfaltigkeit von $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$.
\par
Zum Nachweis der Vollst\"andigkeit: Seien $\alpha$, $\beta\in
H^{1,2}(\S^1,M)$. Mit der Definition aus Lemma \ref{aequiv top lem}
gilt \[\Vert\alpha-\beta\Vert_{H^{1,2}}\le d(\alpha,\beta),\] da sich
die linke Seite auch mit Hilfe einer verbindenden Kurve darstellen
l\"asst, diese aber nicht in $M$ liegen muss. Sei nun $(\alpha_n)$
eine Cauchyfolge bez\"uglich $d$. Dann gibt es $\alpha\in
H^{1,2}(\S^1,\R^n)$ mit $\Vert\alpha-\alpha_n\Vert_{H^{1,2}}\to0$
f\"ur $n\to\infty$. Aufgrund der Einbettungss\"atze folgt aber
insbesondere auch $\Vert\alpha-\alpha_n\Vert_{C^0}\to0$ f\"ur
$n\to\infty$. F\"ur alle $t$ gilt $\alpha_n(t)\in M$ und daher auch
$\alpha(t)\in M$. Somit ist $\alpha\in H^{1,2}(\S^1,M)$. Nach Lemma
\ref{aequiv top lem} ist $d$ aber stetig bzgl.{} $H^{1,2}$-Konvergenz
und somit folgt $d(\alpha_n,\alpha)\to0$ f\"ur $n\to\infty$.
\end{proof}

\begin{remark}\label{CkH12Umf rem}
  Genauer gilt: Ist $R\in C^k$, so ist $\Phi\in C^{k-1}$ und daher ist
  $H^{1,2}(\S^1,M)$ eine $C^{k-1}$-Untermannigfaltigkeit. Eine
  Differenzierbarkeitsstufe geht dabei verloren, da $H^{1,2}$ bereits
  eine Ableitung enth\"alt. 
\end{remark}

\begin{remark}
  Ist $N$ eine kompakte $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit,
  $M\subset\R^p$ eigentlich eingebettet und $X$ ein B-Raum von
  Abbildungen $u:N\to\R^p$, wie z.\,B.\ $C^k(N,\R^p)$ oder
  $H^{k,p}(N,\R^p)$, welcher stetig in $C^0(N,\R^p)$ eingebettet ist,
  so funktioniert die obige Konstruktion analog. \par
  Ist $X$ nicht stetig in $C^0(N,\R^p)$ eingebettet, so betrachtet man
  stattdessen $H^{k,p}\cap C^0$ und addiert die $C^0$-Norm. 
\end{remark}

\section{Palais-Smale Folgen, Deformationslemma und Minimax Prinzip} 

\subsection{Palais-Smale Folgen}
\begin{definition}[Palais-Smale]
  Betrachte eine H-Mannigfaltigkeit $\M$ mit einer Riemannschen
  Struktur der Klasse $C^k$, $k\ge2$, und $E\in C^k(\M,\R)$. \par
  Eine Folge $(x_n)$ in $\M$ hei\ss{}t Palais-Smale Folge (PS-Folge),
  wenn $E(x_n)$ beschr\"ankt ist und $\Vert dE(x_n)\Vert\to0$ f\"ur
  $n\to\infty$. \par
  $E$ erf\"ullt die PS-Bedingung, wenn jede PS-Folge eine konvergente
  Teilfolge besitzt.
\end{definition}

\begin{remark}
  H\"aufig gen\"ugt es auch, wie in \cite{BCN1980} eine
  $(PS)_c$-Bedingung zu fordern. Dabei setzt man zus\"atzlich voraus,
  dass $E(x_n)\to c$ f\"ur $n\to\infty$ gilt.\par
  Die Idee des Minimax-Prinzips ist nun eine Familie $\mathcal F$ von
  Teilmengen von $\M$ zu betrachten und
\[\inf\limits_{F\in\mathcal F}\sup\limits_{x\in F}E(x)=:c.\]
Die Hoffnung ist nun, dass dieser Wert $c$ endlich ist und von einem
kritischen Punkt $x\in \M$ herkommt, es also ein $x\in \M$ gibt mit
$E(x)=c$ und $dE(x)=0$. \par
Dies braucht jedoch nicht richtig zu sein, wie das folgende
Gegenbeispiel zeigt \cite{StruweVM}: Sei $E\in C^1(\R^2)$ definiert
durch $E(x,y)=\exp(-y)-x^2$. Definiere
$E_0:=\{(x,y)\in\R^2\,:\,E(x,y)<0\}$. Bestehe nun $\mathcal F$ aus den
Mengen $[-1,1]\times\{y\}$ f\"ur $y\in\R$. Dann ist in der obigen
Definition $c=0$, es gibt aber keinen kritischen Punkt $x$ von $E$ mit
$E(x)=0$. $x_n=(0,n)$ ist eine Palais-Smale Folge, aber die
PS-Bedingung ist nicht erf\"ullt, $E$ besitzt \"uberhaupt keinen
kritischen Punkt.
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $M\subset\R^n$ eine glatte eigentlich eingebettete
  Mannigfaltigkeit. Definiere das Energiefunktional
  $E:H^{1,2}(\S^1,M)\to\R$ durch
  \[E(\alpha)=\frac12\int\limits_{-\pi}^\pi|\alpha'(t)|^2\,dt.\]
\end{definition}

\begin{lemma}\label{E PS bed lem}
  Sei $M\subset\R^n$ eine glatte eigentlich eingebettete
  Mannigfaltigkeit. Dann ist das Energiefunktional $E$ von der Klasse
  $C^\infty(H^{1,2}(\S^1,M))$. Ist $M$ zus\"atzlich kompakt, so
  erf\"ullt $E$ die PS-Bedingung.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst ist $E(\alpha)=\frac12\int\limits_{-\pi}^\pi
  |\alpha'(t)|^2\,dt$ auch auf $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$ definiert und dort
  von der Klasse $C^\infty$. Damit ist auch $E\in
  C^\infty(H^{1,2}(\S^1,M))$. \par
  Die Ableitung von $E$ ist gegeben durch
  \[dE(\alpha)\langle\beta\rangle =\int\limits_{-\pi}^\pi
  \langle\alpha'(t), \beta'(t)\rangle\,dt.\] Sei nun $(\alpha_n)$ eine
  PS-Folge in $H^{1,2}(\S^1,M)$ f\"ur $E$, \dh es gilt $E(\alpha_n)\le
  c$ und $\Vert dE(\alpha_n)\Vert_{L(T_{\alpha_n}
    H^{1,2}(\S^1,M),\R)}\to 0$ f\"ur $n\to\infty$. \par
  Da $M$ kompakt ist, gilt f\"ur ein $R>0$ die Absch\"atzung
  $|\alpha_n(t)|\le R$ f\"ur alle $t$ und $n$. Nach H\"older folgt
  f\"ur $t_2>t_1$
  \[|\alpha_n(t_1)-\alpha_n(t_2)|
  \le\int\limits_{t_1}^{t_2}|\alpha_n'(t)|\,dt
  \le\sqrt{\int1}\sqrt{\int|\alpha_n'|^2}
  \le\sqrt{|t_2-t_1|}\sqrt{2E(\alpha_n)}.\] Daher ist die Folge
  $(\alpha_n)$ gleichgradig stetig, n\"amlich H\"olderstetig mit
  Exponent $1/2$ und gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankter H\"oldernorm.
  Somit gibt es eine Teilfolge (die wir weiterhin mit $\alpha_n$
  bezeichnen wollen), so dass $\alpha_n\to\alpha$ gleichm\"a\ss{}ig,
  \dh in $C^0$, konvergiert. Da $\alpha_n$ in $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$
  gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt ist, gibt es eine in
  $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$ schwach konvergente Teilfolge. Wir d\"urfen
  also zus\"atzlich annehmen, dass $\alpha_n\rightharpoondown\alpha$
  in $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$ gilt. Da aber $M$ abgeschlossen ist, gilt
  auch $\alpha\in H^{1,2}(\S^1,M)$. \par
  Es bleibt also noch zu zeigen, dass $\alpha_n\to\alpha$ stark in
  $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$ konvergiert. Wir m\"ussen dazu nachweisen, das
  $\alpha_n'\to\alpha'$ in $L^2$ konvergiert. Es gen\"ugt nat\"urlich
  zu zeigen, dass $(\alpha_n')$ in $L^2$ eine Cauchyfolge ist: Es gilt
\begin{align*}
  \Vert\alpha_n'-\alpha_m'\Vert_{L^2}=&\,
  \int\limits_{-\pi}^\pi|\alpha_n'(t)-\alpha_m'(t)|^2\,dt\umbruch\\
  =&\, \int\limits_{-\pi}^\pi\langle\alpha_n'(t)-\alpha_m'(t),
  \alpha_n'(t)-\alpha_m'(t)\rangle\,dt\umbruch\\
  =&\,\int\limits_{-\pi}^\pi\langle\alpha_n',\alpha_n'-\alpha_m'\rangle
  -\langle\alpha_m',\alpha_n'-\alpha_m'\rangle\,dt\umbruch\\
  =&\,\int\limits_{-\pi}^\pi \langle
  P(\alpha_n)\alpha_n',\alpha_n'-\alpha_m'\rangle -\langle
  P(\alpha_m)\alpha_m',\alpha_n'-\alpha_m'\rangle\,dt,\umbruch
  \intertext{wobei $P(x):\R^n\to T_xM$ die orthogonale Projektion
    ist,}\umbruch =&\,\int\limits_{-\pi}^\pi
  \langle\alpha_n',P(\alpha_n)(\alpha_n'-\alpha_m')\rangle
  -\langle\alpha_m',P(\alpha_m)(\alpha_n'-\alpha_m')\rangle\,dt
  \umbruch\\
  =&\,\int\limits_{-\pi}^\pi
  \langle\alpha_n',(P(\alpha_n)(\alpha_n-\alpha_m))'\rangle
  -\langle\alpha_m',(P(\alpha_m)(\alpha_n-\alpha_m))'\rangle\,dt
  \umbruch\\
  &\,-\underbrace{\int\limits_{-\pi}^\pi
    \langle\alpha_n',(P(\alpha_n))'(\alpha_n-\alpha_m)\rangle
    -\langle\alpha_m',(P(\alpha_m))'(\alpha_n-\alpha_m)\rangle\,dt}_{=:R}
\end{align*}
Wir wollen zun\"achst $|R|$ absch\"atzen: Es gilt
\begin{equation}\label{Pan Ungl}
  |P(\alpha_n)'|\equiv |(P(\alpha_n))'|
  =|dP(\alpha_n)\langle\alpha_n'\rangle| \le c(M)\cdot|\alpha_n'|.
\end{equation}
Damit erhalten wir die Absch\"atzung
\begin{align*}
  |R|\le&\,\Vert\alpha_n'\Vert_{L^2}\cdot \Vert
  (P(\alpha_n))'\Vert_{L^2}\cdot \Vert\alpha_n-\alpha_m\Vert_{C^0}
  +\ldots\umbruch\\
  \le&\,c(M)\cdot\Vert\alpha_n'\Vert_{L^2}^2\cdot
  \Vert\alpha_n-\alpha_m\Vert_{C^0}
  +\ldots\umbruch\\
  =&\,c(M)\cdot2E(\alpha_n)\cdot\Vert\alpha_n-\alpha_m\Vert_{C^0}
  +\ldots\to0\quad\text{f\"ur }n,\,m\to\infty,
\end{align*}
wobei wir jeweils $\ldots$ f\"ur Terme geschrieben haben, die man
durch Vertauschen von $m$ und $n$ erh\"alt. Von den verbliebenen
Termen betrachten wir ohne Einschr\"ankung nur den ersten. Es gilt, da
$\alpha_n$ eine PS-Folge ist, 
\begin{align*}
  \int\limits_{-\pi}^\pi \langle\alpha_n',
  (P(\alpha_n)(\alpha_n-\alpha_m))'\rangle&\,dt
  =\,dE(\alpha_n)\langle P(\alpha_n)(\alpha_n-\alpha_m)\rangle\\
  \le&\,\underbrace{\Vert
    dE(\alpha_n)\Vert_{L(T_{\alpha_n}H^{1,2}(\S^1,M),\R)}}_{\to0
    \quad\text{f\"ur }n\to\infty} \cdot\Vert
  P(\alpha_n)(\alpha_n-\alpha_m)\Vert_{H^{1,2}}.
\end{align*}
Wegen $|P(\alpha_n)(\alpha_n-\alpha_m)|\le|\alpha_n-\alpha_m|$ folgt
f\"ur $n$, $m\to\infty$ auch $\Vert
P(\alpha_n)(\alpha_n-\alpha_m)\Vert_{L^2}\to0$. Weiterhin gilt nach
\eqref{Pan Ungl}
\begin{align*}
  |(P(\alpha_n)(\alpha_n-\alpha_m))'|=&\,
  |(P(\alpha))'(\alpha_n-\alpha_m)
  +P(\alpha_n)(\alpha_n'-\alpha_m')|\\
  \le&\, c(M)\cdot |\alpha_n'|\cdot|\alpha_n-\alpha_m|
  +|\alpha_n'-\alpha_m'|.
\end{align*}
Daraus folgt
\begin{align*}
  \Vert(P(\alpha_n)(\alpha_n-\alpha_m))'\Vert_{L^2}\le&\,
  c(M)\cdot\Vert\alpha_n'\Vert_{L^2}\cdot
  \underbrace{\Vert\alpha_n-\alpha_m\Vert_{C^0}}_{\to0}
  +\Vert\alpha_n'\Vert_{L^2} +\Vert\alpha_m'\Vert_{L^2} \le c.
\end{align*}
Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\subsection{Deformationslemma}
Das folgende Deformationslemma von M. Willem \cite[Chapter
2]{WillemMinimax} brauchen wir nur in Hilbertr\"aumen, in denen ein
Gradient existiert. Wir beweisen es aber in Banachr\"aumen, denn der
Beweis ist in beiden F\"allen \"ahnlich. 

Ein Gradient existiert in einem allgemeinen Banachraum nicht, denn
daf\"ur be\-n\"o\-tigt man ein inneres Produkt. Stattdessen definieren
wir
\begin{definition}\label{def pseudo grad}
  Sei $M$ ein metrischer Raum, $X$ ein normierter Raum und $h:M\to
  X'\setminus\{0\}$ stetig. Ein Pseudogradientenfeld zu $h$ auf $M$
  ist ein lokal Lipschitz stetiges Vektorfeld $g:M\to X$ so dass f\"ur
  alle $u\in M$ 
  \begin{align*}
    ||g(u)||_X\le&\,2\,||h(u)||_{X'} \intertext{und} \langle
    h(u),g(u)\rangle\ge&\,||h(u)||_{X'}^2
  \end{align*}
  gelten. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $X$ ein Hilbertraum. F\"ur $f:\Omega\to R$, $f\in C^1$,
  $\Omega\subset X$ offen, ist $g=\nabla f:\Omega\to X$ das
  (Pseudo)-Gradientenfeld zu $h=df:\Omega\to X'$ und es gilt
  insbesondere $\langle h(x_0),x-x_0\rangle =df(x_0)\langle
  x-x_0\rangle =\langle\nabla f(x_0),x-x_0\rangle =\langle
  g(x_0),x-x_0\rangle$.
\end{beispiel}

\begin{lemma}\label{pseudo grad exist}
  Unter den Voraussetzungen von Definition \ref{def pseudo grad}
  existiert ein Pseudogradientenfeld zu $h$ auf $M$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $v\in M$. Dann gibt es $x\in X$ mit $||x||=1$, so dass 
  \[\langle h(v),x\rangle >\frac23||h(v)||.\]
  Definiere $y:=\frac32||h(v)||x$. Dann gelten
  \[||y||<2||h(v)||\quad\text{und}\quad\langle
  h(v),y\rangle>||h(v)||^2.\] Da $h$ stetig ist, gibt es eine offene
  Umgebung $N_v$ von $v$ in $M$, so dass
  \begin{equation}\label{pseudo grad bed}
    ||y||<2||h(u)||\quad\text{und}\quad\langle
    h(u),y\rangle>||h(u)||^2
  \end{equation}
  auch f\"ur alle $u\in N_v$ gelten. Die Familie $\mathcal
  N:=\{N_v\,:\,v\in M\}$ ist eine offene \"Uberdeckung von $M$. $M$
  ist ein metrischer Raum und damit insbesondere parakompakt, \dh es
  existiert eine lokal endliche offene \"Uberdeckung $\mathcal
  M:=\{M_i\,:\,i\in I\}$ von $M$, die feiner als $\mathcal N$ ist. Zu
  jedem $i\in I$ existiert also ein $v\in M$, so dass $M_i\subset N_v$
  ist. Somit finden wir $y=:y_i$, so dass die Bedingung \eqref{pseudo
    grad bed} f\"ur alle $u\in M_i$ erf\"ullt ist. Besteht die
  \"Uberdeckung $\mathcal M$ lediglich aus einer Menge, so sind wir
  fertig. Sonst definieren wir auf $M$ die Funktionen
  \begin{align*}
    \rho_i(u):=&\,\dist(u,X\setminus M_i) \intertext{und}
    g(u):=&\,\sum\limits_{i\in I}\frac{\rho_i(u)}{\sum\limits_{j\in
        I}\rho_j(u)}y_i.
  \end{align*}
  Aufgrund von \eqref{pseudo grad bed} ist klar, dass $g$ das gesuchte
  Pseudogradientenfeld zu $h$ auf $M$ ist. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein metrischer Raum, $S\subset X$, $\phi:X\to\R$,
  $\epsilon>0$ und $c\in\R$. Definiere
  \begin{align*}
    S_\epsilon:=&\,\bigcup\limits_{x\in S}B_\epsilon(x)
    \intertext{und} \phi^c:=&\,\{x\in X:\phi(x)\le
    c\}\equiv\phi^{-1}((-\infty,c]).
  \end{align*}
\end{definition}

\begin{lemma}[Deformationslemma]\label{def lem}
  Seien $X$ ein Banachraum, $\phi\in C^1(X,\R)$, $S\subset X$,
  $c\in\R$ und $\epsilon$, $\delta>0$, so dass
\begin{equation}\label{grad nicht null}
||\phi'(u)||\ge\frac{8\epsilon}\delta\quad\text{f\"ur alle }
u\in\phi^{-1}([c-2\epsilon,c+2\epsilon])\cap S_{2\delta}.
\end{equation}
Dann gibt es $\eta\in C^0([0,1]\times X,X)$, so dass
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\eta(t,u)=u$, falls $t=0$ oder
  $u\not\in\phi^{-1}([c-2\epsilon,c+2\epsilon])\cap S_{2\delta}$,
\item\label{def lem ii} $\eta(1,\phi^{c+\epsilon}\cap S)\subset
  \phi^{c-\epsilon}$.
\item F\"ur alle $t\in[0,1]$ ist $\eta(t,\cdot):X\to X$ ein
  Hom\"oomorphismus. 
\item F\"ur $u\in X$ und $t\in[0,1]$ gilt $||\eta(t,u)-u||\le\delta$.
\item F\"ur festes $u\in X$ ist $[0,1]\ni t\mapsto\phi(\eta(t,u))$
  nicht wachsend.
\item F\"ur $u\in\phi^c\cap S_\delta$ und $0<t\le1$ gilt
  $\phi(\eta(t,u))<c$. 
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Lemma \ref{pseudo grad exist} existiert ein
  Pseudogradientenfeld $g$ f\"ur $\phi'$ auf $M:=\{u\in
  X\,:\,\phi'(u)\neq0\}$. Wir definieren
  \begin{align*}
    A:=&\,\phi^{-1}([c-2\epsilon,c+2\epsilon])\cap S_{2\delta},\\
    B:=&\,\phi^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])\cap S_\delta
    \intertext{und} \psi(u):=&\,\frac{\dist(u,X\setminus
      A)}{\dist(u,X\setminus A)+\dist(u,B)}.
  \end{align*}
  Die Funktion $\psi:X\to\R$ ist lokal Lipschitz stetig und erf\"ullt
  $\psi=1$ auf $B$ und $\psi=0$ auf $X\setminus A$. Wir definieren das
  Lipschitz stetige Vektorfeld $f:X\to X$ durch
  \[f(u):=
  \begin{cases}
    -\psi(u)\frac{g(u)}{||g(u)||^2}&\text{f\"ur }u\in A,\\
    0&\text{f\"ur }u\in X\setminus A.
  \end{cases}\] (F\"ur $u\in X\setminus A$ k\"onnte $g(u)=0$ gelten.)
  Nach Definition \ref{def pseudo grad} folgt insbesondere (mit
  $h=\phi'$) $||h(u)||^2\le\langle
  h(u),g(u)\rangle\le||h(u)||\cdot||g(u)||$. Also ist (auf Mengen mit
  $h(u)\neq0$) auch $||h(u)||\le||g(u)||$. In $A$ ist $h\neq0$ und wir
  erhalten dort mit Hilfe von \eqref{grad nicht null} 
  \begin{equation}\label{f norm bound}
    ||f(u)|| \le||g(u)||^{-1} \le||h(u)||^{-1}
    =||\phi'(u)||^{-1}\le\frac\delta{8\epsilon}.
  \end{equation}
  Die Absch\"atzung $||f(u)||\le\frac\delta{8\epsilon}$ gilt in ganz
  $X$.\par
  Betrachte f\"ur festes $u\in X$ die gew\"ohnliche
  Differentialgleichung
  \[\begin{cases}
    \dt\sigma(t,u)=f(\sigma(t,u)),\\
    \sigma(0,u)=u.
  \end{cases}\] Sie besitzt eine L\"osung $\sigma(\cdot,u)$, die auf
  ganz $\R$ definiert ist. $\sigma$ ist auf $\R\times X$ stetig.
  Definiere $\eta:[0,1]\times X\to X$ durch
  $\eta(t,u):=\sigma(8\epsilon t,u)$. Mit Hilfe von \eqref{f norm
    bound} erhalten wir
  \begin{equation}\label{sigma u close}
    ||\sigma(t,u)-u||=\left\Vert\int\limits_0^t
      f(\sigma(\tau,u))\,dt\right\Vert\le
    \int\limits_0^t||f(\sigma(\tau,u))||\,d\tau\le\frac{\delta
      t}{8\epsilon}.
  \end{equation}
  Weiterhin gilt (Ab der zweiten Zeile nehmen wir an, dass $g\neq0$.
  Die Behauptung insgesamt gilt auch f\"ur $g=0$, da dort $\psi=0$
  ist.)  nach Definition \ref{def pseudo grad}
  \begin{align}\label{grad fluss drueckt}
    \begin{split}
      \dt\phi(\sigma(t,u))=&\, \left\langle\phi'(\sigma(t,u)),
        \dt\sigma(t,u)\right\rangle= \langle\phi'(\sigma(t,u)),
      f(\sigma(t,u))\rangle\\
      =&\,-\psi(\sigma(t,u))\left\langle\phi'(\sigma(t,u)),
        \frac{g(\sigma(t,u))}{||g(\sigma(t,u))||^2}\right\rangle\\
      \le&\, -\psi(\sigma(t,u)) \frac{||\phi'(\sigma(t,u))||^2}
      {||g(\sigma(t,u))||^2} \le-\frac14\psi(\sigma(t,u)).
    \end{split}
  \end{align}
  Bis auf Behauptung \eqref{def lem ii} sind damit alle Behauptungen
  leicht einzusehen. Sei also $u\in\phi^{c+\epsilon}\cap S$. Falls es
  ein $t\in[0,8\epsilon]$ gibt, so dass $\phi(\sigma(t,u))<c-\epsilon$
  gilt, so folgt auch $\phi(\sigma(8\epsilon,u))<c-\epsilon$ und
  \eqref{def lem ii} folgt. Falls aber f\"ur alle $t\in[0,8\epsilon]$
  \[c-\epsilon\le\phi(\sigma(t,u))\le c+\epsilon\] gilt, so folgt aus
  \eqref{sigma u close} $||\sigma(t,u)-u||\le\delta$ f\"ur alle
  $t\in[0,8\epsilon]$, also insbesondere $\sigma(t,u)\in S_\delta$
  f\"ur $0\le t<8\epsilon$. Weiterhin gilt nach \eqref{grad fluss
    drueckt}
  \begin{align*}
    \phi(\sigma(8\epsilon,u))=&\,\phi(u)+\int\limits_0^{8\epsilon}
    \dt\phi(\sigma(t,u))\,dt\\
    \le&\,\phi(u)-\frac14\int\limits_0^{8\epsilon}\psi(\sigma(t,u))\,dt\\
    \le&\,c+\epsilon-\frac{8\epsilon}{4}=c-\epsilon.
  \end{align*}
  Dies zeigt \eqref{def lem ii} und das Lemma folgt. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Ist $\M$ eine H-Untermannigfaltigkeit in einem Hilbertraum $X$, so
  gilt ebenfalls ein Deformationslemma. Benutze dazu den Gradienten
  der Funktion $\phi$. Da dieser tangential zu $\M$ ist, verl\"a\ss{}t
  der Fluss nach Hahn-Banach die Untermannigfaltigkeit $\M$ nie. 
  \par Die Aussage gilt ebenso in Banachraumuntermannigfaltigkeiten;
  wir werden sie jedoch nur f\"ur Hilbertraumuntermannigfaltigkeiten
  benutzen.
\end{remark}

\subsection{Minimax Prinzip}
\begin{theorem}[Minimax Prinzip]\label{minimax thm}
  Sei $X$ ein Banachraum. Sei $M_0$ eine Teilmenge eines metrischen
  Raumes $M$ und $\Gamma_0\subset C^0(M_0,X)$. Definiere
  \[\Gamma:=\{\gamma\in C^0(M,X)\,:\,\gamma|_{M_0}\in\Gamma_0\}.\]
  Nimm an, dass $\phi\in C^1(X,\R)$ die Bedingung
  \begin{equation}
    \label{eq:minmax str ungl}
    a:=\sup\limits_{\gamma_0\in\Gamma_0}\sup\limits_{u\in
      M_0}\phi(\gamma_0(u))
    <c:=\inf\limits_{\gamma\in\Gamma}\sup\limits_{u\in M}
    \phi(\gamma(u)) <\infty    
  \end{equation}
erf\"ullt. Seien $\epsilon\in
\left(0,\frac{c-a}2\right)$, $\delta>0$, und $\gamma\in \Gamma$ mit
$\sup\limits_M\phi\circ\gamma\le c+\epsilon$. Dann gibt es ein $u\in
X$ mit
\begin{enumerate}[(i)]
\item $c-2\epsilon\le\phi(u)\le c+2\epsilon$,
\item $\dist(u,\gamma(M))\le2\delta$,
\item\label{minimax iii} $||\phi'(u)||\le\frac{8\epsilon}\delta$. 
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nimm an, dass die Behauptung falsch w\"are. Genauer nehmen wir an,
  dass \eqref{minimax iii} verletzt ist, wenn die anderen beiden
  (offensichtlicherweise ohne \eqref{minimax iii} erf\"ullbaren)
  Bedingungen erf\"ullt sind.  Definiere
  $\gamma_0:=\gamma|_{M_0}\in\Gamma_0$.  Wir wenden Lemma \ref{def
    lem} mit $S:=\gamma(M)$ an und definieren
  $\beta(u):=\eta(1,\gamma(u))$. Da nach Annahme stets $c-2\epsilon>a$
  gilt und $\eta(t,\cdot)=\id$ auf $\phi^{c-2\epsilon}$ ist, erhalten
  wir f\"ur $u\in M_0$, dass $\beta(u)=\eta(1,\gamma_0(u))
  =\gamma_0(u)$ gilt. Somit ist $\beta\in\Gamma$. Wir benutzen die
  Voraussetzung $\sup\limits_M\phi\circ\gamma\le c+\epsilon$ und Lemma
  \ref{def lem} \eqref{def lem ii}. Damit erhalten wir
\[\sup\limits_{u\in M}\phi(\beta(u)) =\sup\limits_{u\in
  M}\phi(\eta(1,\gamma(u))) \le c-\epsilon\] im Widerspruch zur
Definition von $c$. Das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{remark}
  Da der Beweis des Minimax-Theorems \ref{minimax thm} nur das
  Deformationslemma \ref{def lem} benutzt, gilt es auch auf
  H- oder B-Mannigfaltigkeiten. 
\end{remark}

\section{Existenz einer geschlossenen Geod\"atischen}
Kritische Punkte des Energiefunktionals sind geschlossene
Geod\"atische oder konstante Kurven. Das Problem ist, dass konstante
Kurven stets absolute Minima des Energiefunktionals sind.\par
Ist $\pi_1(M)\neq0$, so k\"onnen wir das Energiefunktional in einer
nicht\/trivialen Homotopieklasse minimieren und erhalten eine
geschlossene (nicht\/triviale) Geod\"atische. \"Ubungsaufgabe. \par
Wollen wir geschlossene Geod\"atische auf beliebigen kompakten glatten
Mannigfaltigkeiten finden, so ben\"otigen wir das folgende Resultat
aus der algebraischen Topologie:
\begin{proposition}\label{ex nichttriv homot}
  Sei $M$ eine geschlossene differenzierbare Mannigfaltigkeit der
  Dimension $n\ge1$. Dann gibt es $1\le k\le n$, so dass
  f\"ur die $k$-te Homotopiegruppe $\pi_k(M)\neq0$ gilt. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Ist $M$ nicht orientierbar, so ist $\pi_1(M)\neq0$:
  Widerspruchsbeweis: Nehme an, dass $\pi_1(M)=0$. Sei $x_0\in M$ und
  $(e_i)_{1\le i\le n}$ eine Basis von $T_{x_0}M$, die wir positiv
  orientiert nennen. Sei $x\in M$. Sei $\gamma$ eine differenzierbare
  Kurve von $x_0$ nach $x$. Definiere eine Orientierung in $x$ durch
  die Festlegung, dass die entlang $\gamma$ parallel transportierte
  Basis positiv orientiert sei. Dies ist wohldefiniert, denn zwei
  Kurven $\gamma_1$ und $\gamma_2$ lassen sich ineinander
  homotopieren, da nach Annahme $\pi_1(M)=0$ gilt, und Positivit\"at
  verh\"alt sich stetig unter Deformationen des Verbindungsweges. Dies
  definiert (auf der Zusammenhangskomponente von $x_0$) eine
  Orientierung. Widerspruch.\par
  Ist $M$ orientierbar, so ist \cite[S. 236]{Hatcher} $H_n(M)\cong\Z$.
  Insbesondere ist also $H_k(M)$ nicht f\"ur alle $k\ge1$ trivial. Sei
  nun $\pi_1(M)= \pi_2(M)= \ldots= \pi_{k-1}(M) =0$ f\"ur $k\ge 2$, so
  ist nach Hurewicz \cite[S. 366]{Hatcher} $\pi_k(M)\cong H_k(M)$.
  Gilt $\pi_k(M)=0$ f\"ur alle $1\le k<n$, so ist also $\pi_n(M)\cong
  H_n(M)\cong\Z\not=0$.
\end{proof}

Das folgende Theorem findet sich f\"ur Riemannsche Mannigfaltigkeiten,
die topologische Sph\"aren sind, in \cite[Theorem 4.4]{StruweVM}.
Es geht auf L. Lyusternik (oder Ljusternik, \ldots) und A. Fet 
zur\"uck \cite{LyusternikFet}.
\begin{theorem}
  Sei $M\subset\R^n$ eine geschlossene glatte Mannigfaltigkeit. Dann
  gibt es eine geschlossene Geod\"atische auf $M$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Proposition \ref{ex nichttriv homot} gibt es eine stetige
  homotop nicht\/triviale stetige Abbildung $f_0:\S^k\to M$ f\"ur ein
  geeignetes $k\ge1$. Wir d\"urfen annehmen, dass $f_0$ glatt ist.
  Definiere $B^{k-1}:=\left\{x\in\R^{k-1}\,:\,|x|\le 1\right\}$.
  Eine stetige Abbildung $f:\S^k\to M$ induziert eine Abbildung 
  \begin{align*}
    \Phi(f):\left(B^{k-1},\partial B^{k-1}\right)\to&\,
    \left(C^0(\S^1,M),M\right) 
    \intertext{verm\"oge} \Phi(f)(x_1,\ldots,x_{k-1})(t):=&\,
    f\left(x_1,\ldots,x_{k-1}, \cos t\sqrt{1-\sum\limits_{i=1}^{k-1}x_i^2},
    \sin t\sqrt{1-\sum\limits_{i=1}^{k-1}x_i^2}\right).
  \end{align*}
  Beachte, dass $\Phi$ injektiv ist.  Die hier verwendete Notation
  soll dabei andeuten, das $\Phi(f)$ eine Abbildung von $B^{k-1}$ nach
  $C^0(\S^1,M)$ ist, unter der Punkte aus $\partial B^{k-1}$ auf
  konstante Wege, die wir mit $M$ identifizieren, abgebildet werden.
  Ist $f\in C^1$, so hat $\Phi(f)$ Werte in den geschlossenen
  $C^1$-Kurven in $M$, also ist insbesondere $\Phi(f)(B^{k-1})\subset
  H^{1,2}(\S^1,M)$. \par
  F\"ur das Minimax-Verfahren betrachten wir die Familie $\mathcal
  F\subset H^{1,2}(\S^1,M)$ definiert durch
  \[\mathcal F:=\left\{F\left(B^{k-1}\right)\,\left|\,
      \begin{minipage}{7.75cm}$F:\left(B^{k-1},\partial B^{k-1}\right)
        \to\left(H^{1,2}(\S^1,M),M\right)\quad\text{stetig},\\
        \Phi^{-1}(F)\quad\text{frei homotop zu }f_0$
      \end{minipage}\right.\right\}.\]
  Beachte f\"ur die Wohldefiniertheit insbesondere, dass
  $\Phi(f):(B^{k-1},\partial B^{k-1})\to(H^{1,2}(\S^1,M),M)$ und $F$
  in denselben R\"aumen definiert sind.\par
  Wir wollen das Minimax-Theorem \ref{minimax thm} anwenden. Dazu
  definieren wir $\Gamma_0:=C^0(\partial
  B^{k-1},H_{\text{konst.}}^{1,2}(\S^1,M))$, wobei
  $H^{1,2}_{\text{konst.}}(\S^1,M)\subset H^{1,2}(\S^1,M)$ den
  Unterraum der konstanten Kurven bezeichnet, und
  \[\Gamma:=\{\gamma\in
  C^0(B^{k-1},H^{1,2}(\S^1,M))\,:\,\gamma|_{\partial
    B^{k-1}}\in\Gamma_0\}.\] Die Bedingung in der Definition von
  $\mathcal F$, dass $\Phi^{-1}(F)$ frei homotop zu $f_0$ sein soll,
  st\"ort nicht bei der Anwendung des Minimax-Prinzips, da sie unter
  den Fl\"ussen aus dem Deformationslemma nicht zerst\"ort wird. Auch
  die Bedingung, dass $F$ den Rand $\partial B^{k-1}$ auf konstante
  Wege abbildet, ist unter den Fl\"ussen im Deformationslemma
  erhalten, da konstante Wege die minimale Energie $0$ haben und somit
  konstant bleiben.\par
  Da wir $f_0\in C^1(\S^k,M)$ annehmen durften, ist
  $\Phi(f_0)(B^{k-1})\in\mathcal F$. Es folgt $\mathcal
  F\neq\emptyset$ und
  $\sup\limits_{\alpha\in\Phi(f_0)(B^{k-1})}E(\alpha)<+\infty$. Somit
  ist \[c:=\inf\limits_{F(B^{k-1})\in\mathcal F}
  \sup\limits_{\alpha\in F(B^{k-1})}E(\alpha)<+\infty.\] Weiterhin ist
  f\"ur beliebige $\gamma_0\in\Gamma_0$ und $x\in\partial B^{k-1}$ der
  Ausdruck $\gamma_0(x)$ ein konstanter Weg in $M$. Somit ist
  \[\sup\limits_{\gamma_0\in\Gamma_0}\sup\limits_{x\in\partial
    B^{k-1}}E(\gamma_0(x))=0.\] Schlie\ss{}lich ist $c>0$: Sonst
  f\"anden wir zu jedem $\epsilon>0$ ein $F:(B^{k-1},\partial
  B^{k-1})\to(H^{1,2}(\S^1,M),M)$ mit $F(B^{k-1})\in\mathcal F$ und
  $\sup\limits_{\alpha\in F(B^{k-1})}L(\alpha)<\epsilon$, da sich die
  L\"ange durch die Energie kontrollieren l\"asst. Damit w\"are
  insbesondere $d(\alpha(t),\alpha(0))<\epsilon$ f\"ur alle $t$ und
  alle $\alpha\in F(B^{k-1})$. Ist $\epsilon>0$ hinreichend klein, so
  ist die $\epsilon$-Umgebung $U_\epsilon(\Delta)$ der Diagonalen
  $\Delta\subset M\times M$ auf $\Delta\cong M$ retrahierbar. Damit
  w\"are $F$ homotop zu einer Abbildung $\tilde F:B^{k-1}\to
  H^{1,2}_{\text{konst.}}(\S^1,M)$ und daher homotop trivial. Dies
  liefert einen Widerspruch, da damit auch $\Phi^{-1}(F)$ homotop
  trivial w\"are. Also gilt $c>0$. \par
  Wir k\"onnen also das Minimax-Theorem \ref{minimax thm} anwenden und
  erhalten, indem wir dort $\epsilon=\frac1n$ w\"ahlen eine Folge
  geschlossener Kurven $\alpha_n\in H^{1,2}(\S^1,M)$ mit $c-\frac2n\le
  E(\alpha_n)\le c+\frac2n$ und $||dE(\alpha_n)||_{T_\alpha
    H^{1,2}(\S^1,M)} \le\frac1n$. Nach Lemma \ref{E PS bed lem}
  besitzen die Kurven $\alpha_n$ eine in $H^{1,2}(\S^1,M)$ konvergente
  Teilfolge. Gelte also $\alpha_n\to\alpha$. Es folgt $E(\alpha)=c$
  und $dE(\alpha)=0$.  $\alpha$ ist also ein kritischer Punkt f\"ur
  das L\"angenfunktional und daher eine (geschlossene) Geod\"atische.
  Diese ist auch nicht\/trivial, da $c>0$ ist.
\end{proof}

Wir wollen nun noch die Zahl $k$ zur nicht\/trivialen Homotopiegruppe
$\pi_k(M)$ in Beziehung zum Index der gefundenen geschlossenen
Geod\"atischen setzen.

\section{Index von Geod\"atischen}
\begin{lemma}\label{umgehe Ursprung lem}
  Sei $\M$ eine B-Mannigfaltigkeit, $X$ ein Banachraum,
  $B^m=\{x\in\R^m\,:\,|x|\le1\}$ und $B^\infty=\{x\in
  X\,:\,||x||\le1\}$. Sei $U\subset \M$ offen und $\ol U$ hom\"oomorph
  zu $B^m\times B^\infty$. Seien $P:\ol U\to B^m$ und $Q:\ol U\to
  B^\infty$ die (mit dem Hom\"oomorphismus verketteten) nat\"urlichen
  Projektionen. Ist dann $f:(B^l,\partial B^l)\to (\M,\M\setminus U)$
  stetig, $l<m$, und $V\subset \M$ offen mit $\ol V\subset U$, so
  l\"asst sich $f$ beliebig gut durch stetige Abbildungen
  \[f_0:(B^l,\partial B^l)\to\left(\M\setminus\left(V\cap
      P^{-1}(0)\right), \M\setminus U\right)\] mit $f|_{\partial
    B^l}=f_0|_{\partial B^l}$ approximieren. Insbesondere ist $f$
  homotop zu solchen $f_0$ bei festen Randwerten.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $W\subset \M$ offen mit $\ol V\subset W\subset\ol W\subset U$. Da
  $(P,Q)$ lokale Koordinaten sind, k\"onnen wir annehmen, dass
  $U=B^m\times B^\infty$ gilt. Durch Approximation k\"onnen wir
  weiterhin annehmen, dass $P\circ f\in
  C^1\left(f^{-1}(W),\R^m\right)$ ist. Da $f(B^l)$ kompakt ist, ist
  \[\delta:=\dist\left(\ol V\cap\im f,U\setminus W \right)>0.\] Wegen
  $l<m$ ist $P(\im f\cap W)=P\circ f\left(f^{-1}(W)\right)$ eine
  $m$-dimensionale Lebesgue Nullmenge.  Daher gibt es zu jedem
  $\epsilon>0$ ein $v\in\R^m$ mit $|v|<\min\{\epsilon,\delta\}$, so
  dass $v\not\in P(\im f\cap W)$.  W\"ahle nun eine Abschneidefunktion
  $\phi\in C^0(\M,\R)$ mit $0\le\phi\le1$, $\phi=1$ auf $W$, $\phi=0$
  auf $\M\setminus U$ und definiere
  \[f_0:=
  \begin{cases}
    f&\text{auf }f^{-1}(\M\setminus U),\\
    (Pf-\phi(f)v,Qf)&\text{auf }f^{-1}(U).
  \end{cases}\] $f_0$ ist stetig. Nach Wahl von $\delta$ gilt f\"ur
  $x\in B^l$, so dass $f_0(x)\in V$ ist, zun\"achst $f(x)\in W$. Es
  folgt weiterhin $\phi(f(x))=1$. Somit ist $Pf_0(x)=Pf(x)-v\neq0$ und
  die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{remark}
  Die Wegemannigfaltigkeit $H^{1,2}(\S^1,M)$ ist eine
  Untermannigfaltigkeit von $H^{1,2}(\S^1,\R^n)$ und daher ist
  $TH^{1,2}(\S^1,M)$ mit dem \"ublichen $H^{1,2}$-Skalarprodukt
  versehen. Darin tr\"agt der Tangentialvektor $\alpha'$ einer
  Geod\"atischen i.\,a.\ zum Skalarprodukt bei, obwohl er intrinsisch
  parallel ist; vergleiche auch den flach eingebetteten und den
  zylinderf\"ormig eingebetteten $\R^p$. Wir f\"uhren daher ein
  \"aquivalentes, der Geometrie von $(M,g)$ angepasstes Skalarprodukt
  ein: Sei $\alpha\in H^{1,2}(\S^1,M)$ und seien $v,\,w\in T_\alpha
  H^{1,2}(\S^1,M)$. Setze dann
  \begin{align*}
    \langle v,w\rangle_0:=&\,\int\limits_{-\pi}^\pi\langle
    v(t),w(t)\rangle_g\,dt \intertext{und} \langle
    v,w\rangle_1:=&\,\langle
    v,w\rangle_0+\left\langle\nabla^\alpha_{\dt}v,
      \nabla^\alpha_{\dt}w\right\rangle_0.
  \end{align*}
  Hierbei ist
  \[\nabla^\alpha_{\dt}v=\nabla v=v'+\Gamma(\alpha)(v,\alpha').\]
  Auf jeder kompakten Teilmenge $K$ gilt (mit $c=1$ f\"ur isometrisch
  eingebettete Mannigfaltigkeiten $M\subset\R^n$)
  \[c\langle v,v\rangle_g\le\langle v,v\rangle_{\R^n}\le c^{-1}\langle
  v,v\rangle_g\] f\"ur ein $c=c(K)$ und alle $p\in K$ und $v\in T_pM$.
  Damit ist das intrinsische $L^2$-Skalarprodukt \"aquivalent zum
  extrinsischen.\par
  Wir wollen nun zeigen, dass auch $\langle\cdot,\cdot\rangle_1$ auf
  einer kompakten Menge $K\subset\R^n$ durch die quadrierte
  $H^{1,2}$-Norm abgesch\"atzt ist: \glqq$\langle\cdot,\cdot\rangle_1$
  ist $H^{1,2}$-stetig\grqq{}. Es gilt $|\Gamma(\alpha)(v,\alpha')|\le
  \gamma\cdot|v|\cdot|\alpha'|$ f\"ur alle $\alpha:I\to K$ und eine
  Konstante $\gamma>0$. Wir erhalten (der erste Faktor $2$ kommt vom
  Ausmultiplizieren und der Cauchyschen Ungleichung)
  \begin{align*}
    \langle\nabla v,\nabla
    v\rangle_0=&\,\int\limits_{-\pi}^\pi\langle\nabla v,\nabla
    v\rangle_g\,dt\\
    \le&\,\frac2c\int\left(|v'|^2
      +|\Gamma(\alpha)(v,\alpha')|^2\right)\,dt\\
    \le&\,\frac2c\int\left(|v'|^2+\gamma^2|\alpha'|^2|v|^2\right)\,dt\\
    \le&\,c(K,||\alpha'||^2_{H^{1,2}})\cdot||v||^2_{H^{1,2}},
  \end{align*}
  wobei wir im letzten Schritt benutzt haben, das $|\alpha'|^2\in L^1$
  ist und dass wir $\sup\limits_t|v(t)|\le c_0\cdot||v||_{H^{1,2}}$
  absch\"atzen k\"onnen. \par
  F\"ur die umgekehrte Absch\"atzung integrieren wir die Ungleichung
  \begin{align*}
    \langle v(t),v(t)\rangle_g-\langle v(s),v(s)\rangle_g
    =&\,\int\limits_s^t\frac d{d\sigma} \langle
    v(\sigma),v(\sigma)\rangle_g\,d\sigma\umbruch\\
    =&\,2\int\limits_s^t\langle v(\sigma),\nabla
    v(\sigma)\rangle_g\,d\sigma \le\langle v,v\rangle_1
  \end{align*}
  bez\"uglich $s$ und erhalten
  \[2\pi\langle v(t),v(t)\rangle_g\le \langle v,v\rangle_0+2\pi\langle
  v,v\rangle_1.\] Wie oben erhalten wir, falls $\im\alpha\subset K$
  ist,
  \[||v||_{H^{1,2}}\le c(K,||\alpha||_{H^{1,2}})\cdot ||v||_1.\] Da
  $||\cdot||_1$ und $||\cdot||_{H^{1,2}(\S^1,\R^n)}$ auf $T_\alpha
  H^{1,2}(\S^1,M)$ somit vergleichbar sind, \"ubertr\"agt sich die
  Sobolevungleichung auch auf $||\cdot||_1$. Insbesondere ist die
  kanonische Einbettung
  $\iota:(H^{1,2},\langle\cdot,\cdot\rangle_1)\to
  (L^2,\langle\cdot,\cdot\rangle_0)$ also kompakt.
\end{remark}

\begin{remark}
  Sei $\alpha$ eine geschlossene Geod\"atische. Dann ist die zweite
  Variation von $\alpha$ durch
  \begin{align*}
    E_{**,\alpha}(v,w)=&\,\int\left(\langle\nabla v,\nabla v\rangle_g
      -\langle R(v,\alpha')\alpha',w\rangle_g\right)\,dt\\
    =&\,\langle v,w\rangle_1-\langle v+R(v,\alpha')\alpha',w\rangle_0
  \end{align*}
  gegeben. Auf $T_\alpha H^{1,2}(\S^1,M)$ definieren wir den
  Endomorphismus $\rho_\alpha$ durch
  $\rho_\alpha(v):=v+R(v,\alpha')\alpha'$. Da $\langle
  R(v,\alpha')\alpha',w\rangle_g=\langle
  R(w,\alpha')\alpha',v\rangle_g$ aufgrund der Symmetrien des
  Riemannschen Kr\"ummungstensors ist, ist $\rho_\alpha$ symmetrisch.
  Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gibt es einen Endomorphismus
  $k_\alpha$ von $T_\alpha H^{1,2}(\S^1,M)$, so dass $\langle
  k_\alpha(v),w\rangle_1=\langle\rho_\alpha(v),w\rangle_0$ gilt. Der
  Operator $k_\alpha$ ist kompakt, denn es gilt (mit der kompakten
  Einbettung $\iota:H^{1,2}\to L^2$ wie oben)
  $k_\alpha=\iota^*\rho_\alpha\iota$ und $\rho_\alpha:L^2\to L^2$ ist
  stetig. Da $\rho_\alpha$ bez\"uglich $L^2$ symmetrisch ist, ist auch
  $k_\alpha$ in $T_\alpha H^{1,2}(\S^1,M)$ symmetrisch.\par
  Nach dem Spektralsatz f\"ur kompakte symmetrische Operatoren auf
  Hilbertr\"aumen gibt es eine Folge $(\lambda_i)_{i\in\N}$ von
  Eigenwerten mit $\lambda_i\to 0$ f\"ur $i\to\infty$. Weiterhin gibt
  es normierte Eigenvektoren $u_i$ f\"ur $k_\alpha$, die eine
  Hilbertraumbasis von $T_\alpha H^{1,2}(\S^1,M)$ bilden, und wir
  erhalten daher die folgende Darstellung
  \[E_{**,\alpha}(v,w)=\sum\limits_{i=1}^\infty(1-\lambda_i)\langle
  u_i,v\rangle_1\langle u_i,w\rangle_1.\] Wir d\"urfen zus\"atzlich
  annehmen, dass $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ alle Eigenwerte $>1$
  (mit Vielfachheit gez\"ahlt) sind, sowie dass
  $\lambda_{k+1}=\ldots=\lambda_{k+n}=1$ und $\lambda_i<1$ f\"ur
  $i>k+n$ gelten. Dann folgt $k=\ind E_{**,\alpha}$ und $n=\Null
  E_{**,\alpha}$. Wir erhalten die Aufspaltung
  \[T_\alpha:=T_\alpha H^{1,2}(\S^1,M)=T^-_\alpha\oplus
  T^0_\alpha\oplus T^+_\alpha\]
  in orthogonale Teilr\"aume, wobei $T^-_\alpha$ die lineare H\"ulle
  von $u_1,\ldots,u_k$ ist und $T^0_\alpha$ sowie $T^+_\alpha$
  entsprechend definiert sind. Hieraus lesen wir ab, dass
  \[E_{**,\alpha}(v,v)=E_{**,\alpha}(v^-,v^-)+
  E_{**,\alpha}(v^+,v^+)\] gilt. Hierf\"ur haben wir $v$ mit
  Komponenten als $(v^-,v^0,v^+)$ geschrieben. Folglich gibt es ein
  $\delta>0$, so dass
  \begin{align*}
    E_{**,\alpha}(v^-,v^-)\le&\, -\delta||v^-||_1^2 \intertext{und}
    E_{**,\alpha}(v^+,v^+)\le&\, \delta^{-1}||v^+||_1^2.
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{spez karte lem}
  Sei $\alpha\in H^{1,2}(\S^1,M)$ ein kritischer Punkt des
  Energiefunktionals $E$. Mit den obigen Bezeichnungen existiert dann
  eine offene Umgebung $U(\alpha)$ mit $\alpha\in U(\alpha)$ und eine
  lokale Karte \[\phi:U(\alpha)\to T_\alpha=T_\alpha^-\oplus
  T^0_\alpha\oplus T^+_\alpha\]
mit $\phi(\alpha)=0$. Wir setzen $\tilde E=E\circ\phi^{-1}$ und
erhalten in den $\phi$-Koordinaten
\begin{enumerate}[(i)]
\item\label{spez karte lem i} $\tilde E(u)=E(\alpha)
  +E_{**,\alpha}(u^-,u^-) +E_{**,\alpha}(u^+,u^+) +o(||u||_1^2)$,
\item\label{spez karte lem ii} $\fracp{\tilde E}{u^-}(0,u^0,u^+)=0$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir w\"ahlen eine Karte $\phi:U\to T_\alpha$ mit $\phi(\alpha)=0$
  und $\phi_{*,\alpha}=\Id$ (keine Stauchung). Dann folgt bereits
  \eqref{spez karte lem i}.\par
  F\"ur \eqref{spez karte lem ii} f\"uhren wir neue Koordinaten
  $v=v(u)$ verm\"oge $v^+=u^+$, $v^0=u^0$ und $v^-=u^--h(u^0,u^+)$
  ein, wobei $h$ eine L\"osung der impliziten Gleichung
  \begin{equation}
    \label{eq:spez karte impl gl}
    \fracp{\tilde E}{u^-}(h(u^0,u^+),u^0,u^+)=0
  \end{equation}
  ist. \eqref{eq:spez karte impl gl} ist lokal eindeutig l\"osbar,
  denn $\fracp{^2\tilde E}{{u^-}^2}$ ist nach Definition
  nichtsingul\"ar. Es gilt $h(0,0)=0$. Aus $u^-=v^-+h(v^0,v^+)$
  folgern wir, dass
  \[\left.\fracp{\tilde E}{v^-}\right|_{(0,v^0,v^+)}
  =\left.\fracp{\tilde E}{u^-}\right|_{(h(v^0,v^+),v^0,v^+)}=0.\] Wir
  wollen nun \"uberpr\"ufen, dass die Bedingung \eqref{spez karte lem
    i} auch noch in den $v$-Koordinaten gilt: Wir differenzieren
  \eqref{eq:spez karte impl gl} nach $u^0$ und erhalten
\[\fracp{^2\tilde E}{{u^-}^2}\fracp h{u^0}
+\underbrace{\fracp{^2\tilde E}{u^0u^-}}_{=0\quad\text{f\"ur }v=0}=0.\]
Hieraus folgt $\fracp h{u^0}(0,0)=0$ und ebenso erhalten wir $\fracp
h{u^+}(0,0)=0$. Die Ableitungen von $\tilde E$ nach $u$ und $v$
h\"angen nach Ketten- und Produktregel wie folgt zusammen
\begin{align*}
  d_v(\tilde E(v))=&\,d_u(\tilde E(u(v)))\langle d_v u\rangle,\\
  d^2_v(\tilde E(v))=&\,d^2_u(\tilde E(u(v)))\langle d_vu,d_vu\rangle
  +\underbrace{d_u(\tilde E(u(v)))}_{=0\quad\text{f\"ur }v=0}\langle
  d^2_vu\rangle.
\end{align*}
Wegen $dh(0)=0$ ist $d_vu(0)=\Id$. Somit folgt $d^2_v\tilde
E(v)|_{v=0}=d^2_u\tilde E(u)|_{u=0}$ und \eqref{spez karte lem i} bleibt
auch in den $v$-Koordinaten richtig. 
\end{proof}

\begin{proposition}\label{ind prop def}
  Sei $\M$ eine H-Mannigfaltigkeit der Klasse $C^2$ und das Funktional
  $E\in C^2(\M,\R)$ erf\"ulle die PS-Bedingung. Wir definieren
\begin{align*}
  \M^c:=&\,\{x\in \M\,:\,E(x)\le c\} \intertext{und}
  \M^{c^-}:=&\,\{x\in \M\,:\,E(x)<c\}.
\end{align*}
Es seien $c_0\le c_1$ und in jedem kritischen Punkt $x$ von $E$ mit
$c_0\le E(x)\le c_1$ existiere eine Darstellung von $E_{**,x}$ wie in
Lemma \ref{spez karte lem} beschrieben. Gelte stets $\ind E_{**,x}\ge
l>0$ f\"ur alle solchen $x$. Ist dann $k<l$ und $f_0:(B^k,\partial
B^k)\to (\M^{c_1},\M^{c_0^-})$ stetig, so ist $f_0$ homotop (als
Abbildung von Paaren) zu einer Abbildung $f_1:B^k\to\M^{c_0^-}$
innerhalb von $\M^{c_1}$.
\end{proposition}

\begin{corollary}
  Das kritische Niveau, welches im Satz von Ljusternik-Fet zu einem
  Element von $\pi_{k+1}(M)\setminus\{0\}$ konstruiert wurde,
  enth\"alt wenigstens eine Geod\"atische vom Index $\le k$. 
\end{corollary}

\begin{remark}
  Wir wollen das Deformationslemma in der folgenden Form benutzen, die
  direkt aus dem obigen Deformationslemma folgt: Sei $\M$ eine
  Banachraummannigfaltigkeit und $E\in C^1(\M,\R)$ erf\"ulle die
  PS-Bedingung. Definiere $K^c:=\{x\in\M\,:\,E(x)=c,\,dE(x)=0\}$. Sei
  $U$ eine Umgebung von $K^c$. Dann existiert $\epsilon>0$ und
  $\Phi\in C^0(\R\times\M,\M)$ mit
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Phi(t,x)=0$ f\"ur $t=0$ oder $dE(x)=0$.
  \item $t\mapsto E(\Phi(t,x))$ ist fallend.
  \item $\Phi(1,E^{c+\epsilon}\setminus U)\subset E^{c-\epsilon}$.
  \item $\Phi(1,E^{c+\epsilon})\subset E^{c-\epsilon}\cup U$.
  \end{enumerate}
  Durch Verkleinern von $\epsilon>0$ k\"onnen wir aufgrund der
  PS-Bedingung erreichen, dass $||dE||$ in $\complement U\cap
  E^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])$ nach unten durch eine positive
  Konstante beschr\"ankt ist.
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{ind prop def}]
  Betrachte
\[\F:=\left\{f(B^k)\,\left|\,\begin{minipage}{4.6cm} 
      $f:(B^k,\partial B^k)\to(\M^{c_1},\M^{c_0^-})$\\
      stetig und homotop zu $f_0$
    \end{minipage}\right.\right\}.\]
Die Menge $\F$ ist invariant unter den Halbfl\"ussen $(t\ge0)$ des
Deformationslemmas. Somit liefert das Minimax-Verfahren, dass
\[c:=\inf\limits_{f(B^k)\in\F}\sup\limits_{f(B^k)}E\]
ein kritischer Wert von $E$ ist. Es gilt $c\le c_1$. Falls $c<c_0$, so
ist nichts mehr zu zeigen. Sei also $c_0\le c\le c_1$. Wir
konstruieren eine offene Umgebung $U$ von $K^c:=\{x\,:\,
E(x)=c,\,dE(x)=0\}$ mit folgender Eigenschaft:
\begin{equation}\tag{$\star$}\label{kreuz eig}
\begin{split}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
  Ist $f:(B^k,\partial B^k)\to(\M^{c^-}\cup U,\M^{c_0^-})$ stetig, so
  ist $f$ homotop zu einer Abbildung $\tilde f:(B^k,\partial
  B^k)\to(\M^{c^-},\M^{c_0^-})$.
\end{minipage}
\end{split}
\end{equation}
Angenommen, wir h\"atten \eqref{kreuz eig} schon gezeigt, so bek\"amen
wir daraus wie folgt einen Widerspruch: Zu $U$ gibt es nach dem
Deformationslemma ein $\epsilon>0$ und eine Deformation
$\Phi_t\equiv\Phi(t,\cdot):\M\to\M$ mit $0\le t\le 1$, $\Phi_0=\Id$,
$\Phi_1(\M^{c+\epsilon})\subset\M^{c-\epsilon}\cup U$ und
$\Phi_t(\M^s)\subset\M^s$ f\"ur alle $s\in\R$ und alle $t\ge0$.
W\"ahle $\epsilon>0$ so klein, dass in
$E^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])\setminus U$ die Norm $||dE||$
gleichm\"a\ss{}ig nach unten abgesch\"atzt ist. Dies ist m\"oglich, da
$E$ die PS-Bedingung erf\"ullt. W\"ahle dann $f(B^k)\in\F$ mit
$\sup\limits_{f(B^k)}E<c+\epsilon$. Definiere 
\[f_t:=\Phi_t\circ f:(B^k,\partial B^k)\to(\M^{c_1},\M^{c^-_0}).\]
Aufgrund des Deformationslemmas kann man $f_1$ auch als Abbildung 
\[f_1:(B^k,\partial B^k)\to(\M^{c-\epsilon}\cup U,\M^{c^-_0})\]
auf\/fassen. Dann erhalten wir mit Hilfe von \eqref{kreuz eig} einen
Widerspruch zur Definition von $c$.\par
Zum Beweis von \eqref{kreuz eig}: 
Nach Lemma \ref{spez karte lem} d\"urfen wir annehmen, dass
\begin{align*}
  \tilde E(u)=&\,c+E_{**,\alpha}(u^-,u^-) +E_{**,\alpha}(u^+,u^+)
  +o(||u||^2) \intertext{und} \fracp{\tilde
    E}{u^-}(0,u^0,u^+)\equiv&\,0
\end{align*}
gelten. Weiterhin existiert aufgrund der PS-Bedingung ein $\delta>0$,
so dass
\begin{align*}
  E_{**,\alpha}(u^-,u^-)\le&\,-\delta||u^-||^2 \intertext{und}
  E_{**,\alpha}(u^+,u^+)\le&\,\delta^{-1}||u^+||^2
\end{align*}
f\"ur alle $\alpha\in K^c$ gelten. Im Falle
$||(0,u^0,u^+)||\le\epsilon||u^-||\le\epsilon\sigma$ folgt f\"ur
hinreichend kleine $\epsilon>0$ und $\sigma>0$ 
\begin{equation}\label{E tilde neg}
\tilde E(u)-c\le-\delta||u^-||^2 +\delta^{-1}\epsilon^2||u^-||^2
+o\left(2(1+\epsilon^2)||u^-||^2\right) <-\frac\delta2||u^-||^2.
\end{equation}
Wir schreiben nun $x\equiv\alpha$. Definiere die Umgebung
$V_\sigma(x)$ durch $||u^-||\le\sigma$ und
$||(u^0,u^+)||\le\frac12\epsilon\sigma$. Nehme weiterhin an, dass
$\sigma>0$ so klein gew\"ahlt ist, dass $\fracp{^2\tilde
  E}{{u^-}^2}<0$ auf $V_\sigma(x)$ gilt. \par
In lokalen Koordinaten definieren wir das Vektorfeld $X$ auf
$V_\sigma(x)$ durch $X(u):=\phi(u)\cdot(u^-,0,0)$, wobei $\phi\in
C^2(V_\sigma(x))$, $\phi(u)=1$ f\"ur $u\in V_{\sigma/2}$, analog zu
$V_\sigma$ definiert, und $\phi(u)=0$ f\"ur $u\in\partial
V_\sigma(x)$. Nehme an, dass $0\le\phi\le 1$ gilt. Wir setzen $X$ auf
$\M\setminus V_\sigma(x)$ durch $X\equiv0$ fort. Betrachte das
Anfangswertproblem
\[\begin{cases}
\dot u(t)=X(u(t))\\
u(0)=u.
\end{cases}\]
Die Integralkurven sind durch $u(t)=(\lambda(t)u^-(0),u^0(0),u^+(0))$
mit $\lambda(0)=1$ und $\lambda'\ge0$ gegeben. 
F\"ur $u=u(0)\in V_{\sigma/2}$ und solange
$||e^tu^-(0)||\le\frac\sigma2$ gilt, ist $\lambda(t)=e^t$. Die
Bedingung $||e^tu^-(0)||\le\frac\sigma2$ ist \"aquivalent zu
$t\le\log\frac{\sigma}{2||u^-(0)||}$, falls $||u^-(0)||\neq0$
ist. \par
\emph{Behauptung:} $\tilde E$ ist entlang der Integralkurven
abnehmend. Falls $u(0)\in V_{\sigma/2}(x)$ ist mit $u^-(0)\neq0$, so
ist $\tilde E$ strikt abnehmend bis unterhalb des Wertes
$c-\frac{\delta\sigma^2}8$. \par
Nach Wahl des Koordinatensystems mit $\fracp{\tilde
  E}{u^-}(0,u^0,u^+)\equiv0$ und da $\fracp{^2\tilde E}{{u^-}^2}<0$ in
$V_\sigma(x)$ erhalten wir 
\begin{align*}
  \frac d{ds}\tilde E(su^-,u^0,u^+)=&\,0\quad\text{f\"ur }s=0
  \intertext{und f\"ur $u^-\neq0$} \frac{d^2}{ds^2}\tilde
  E(su^-,u^0,u^+)<&\,0.
\end{align*}
Somit ist $\frac d{ds}\tilde E(su^-,u^0,u^+)<0$ f\"ur $u\in V_\sigma$,
$u^-\neq0$ und $0\le\sigma\le1$ erf\"ullt. Zum Zeitpunkt
$t=\log\frac{\sigma}{2||u^-(0)||}$ erhalten wir f\"ur $u(0)\in
V_{\sigma/2}(x)$ und $u^-(0)\neq0$, dass
$u(t)=\left(\frac\sigma{2||u^-(0)||} u^-(0), u^0(0),u^+(0)\right)$
ist. Wir erhalten also zu diesem Zeitpunkt aus \eqref{E tilde neg}
\[\tilde E(u(t))\le c-\frac\delta2\left(\frac\sigma2\right)^2
=c-\frac{\delta\sigma^2}8,\] was die Behauptung zeigt.\par
Au\ss{}erdem l\"asst dieser Fluss das Komplement von $V_{\sigma/2}(x)$
invariant.\par
Die Menge $K^c$ ist kompakt. Somit gibt es $x_1,\ldots,x_N\in K^c$ und
$\sigma_j>0$ sowie $\epsilon_j>0$ mit
\[K^c\subset\bigcup\limits_{j=1}^N
\text{int}\,(V_{\sigma_j/2}(x_j))=:V,\] wobei $V_\cdot$ wie oben von
$\sigma_j$ und $\epsilon_j$ abh\"angt.  Die Proposition folgt nun aus
den obigen Teilschritten wie folgt: Gem\"a\ss{} dem Deformationslemma
w\"ahlen wir $\epsilon>0$, so dass $\M^{c+\epsilon}\setminus V$ in die
Menge $\M^{c-\epsilon}$ deformierbar ist. Setze
$U:=V\cap\M^{(c+\epsilon)^-}\supset K^c$. Sei $f:(B^k,\partial
B^k)\to(\M^{c^-}\cup U,\M^{c_0^-})$ stetig. Nach Lemma \ref{umgehe
  Ursprung lem} k\"onnen wir $f(B^k)\cap\{x\in
V_{\sigma_1/2}(x_1)\,:\,u^-=0\}=\emptyset$ annehmen. Die Kompaktheit
von $B^k$ sichert, dass dieser Abstand positiv ist. Sei dann
$\Phi^1_t$ der Fluss von $X_1$. Aufgrund der obigen \"Uberlegungen
gibt es $t_1>0$ und $\eta>0$, so dass
\[\Phi^1_{t_1}\left(f(B^k)\cap V_{\sigma_1/2}(x_1)\right)
\subset\M^{c-\eta}\] gilt. Da $\complement V_{\sigma_1/2}(x_1)$ unter
dem Fluss zu $X_1$ invariant ist, gilt
\begin{align*}
  \Phi^1_{t_1}\left(f(B^k)\cap\complement V_{\sigma_1/2}(x_1)\right)
  \subset\complement V_{\sigma_1/2}(x_1)\subset\complement\ol V\cup
  \bigcup\limits_{j=2}^NV_{\sigma_j/2}(x_j) \intertext{und daher
    insgesamt} \Phi^1_{t_1}(f(B^k))\subset\M^{c^-} \cup\complement\ol
  V \cup \bigcup\limits_{j=2}^NV_{\sigma_j/2}(x_j).
\end{align*}
Beachte, dass $\Phi^1_{t_1}(f(\partial B^k))\subset\M^{c_0^-}$ gilt,
da $\Phi^1$ energievermindernd ist. Ersetze nun $f$ durch
$\Phi^1_{t_1}\circ f$ und wiederhole das Argument. Nach $N$ Schritten
erh\"alt man eine Deformation $\hat f$ von $f$ mit $\hat
f:(B^k,\partial B^k)\to(\M^{c^-}\cup\complement\ol V, \M^{c_0^-})$. Da
anf\"anglich $f(B^k)\subset\M^{c^-}\cup U\subset\M^{c+\epsilon}$ galt
und alle Deformationen energievermindernd waren, folgt $\hat
f(B^k)\subset\M^{c^-}\cup(\M^{c+\epsilon}\setminus\ol V)$. Nach dem
Deformationslemma ist $\hat f$ nun in eine Abbildung $\tilde
f:(B^k,\partial B^k)\to(\M^{c^-},\M^{c_0^-})$ deformierbar.  Die
Behauptung folgt.
\end{proof}

In geraden Dimensionen erh\"alt man das folgende Theorem, das wir hier
nicht beweisen wollen. Beachte dazu insbesondere auch, dass $M$ nach
dem Satz von Synge aufgrund der Orientierbarkeit einfach
zusammenh\"angend ist.
% S. 216, Tomi, DG
\begin{theorem}[Klingenberg]
Es sei $M$ kompakt, orientierbar, von gerader Dimension und positiver
Schnittkr\"ummung $K$. Dann gilt f\"ur den Injektivit\"atsradius
\[\rho(x)\ge\frac\pi{\sqrt\kappa}\quad\text{mit }\kappa=\sup K.\]  
\end{theorem}
% siehe Tomi-Skript S. 217

\begin{proposition}[Homotopie-Lemma von Klingenberg]\label{homotopie lem}
  Es sei $M$ vollst\"andig und $\kappa>0$, so dass die
  Schnittkr\"ummung $K\le\kappa$ erf\"ullt. Ferner seien $\alpha$,
  $\beta:[0,\pi]\to M$ zwei verschiedene Geod\"atische mit
  $\alpha(0)=\beta(0)$, $\alpha(\pi)=\beta(\pi)$ und
  $L(\alpha)=L(\beta)$. Definiere die Hintereinanderausf\"uhrung
  $\gamma:=\beta^{-1}\alpha:[-\pi,\pi]\to M$. Sei $h:[0,1]\to
  H^{1,2}(\S^1,M)$ ein stetiger Weg mit $h(0)=$ konstant und
  $h(1)=\gamma$. Dann gibt es $t\in[0,1]$ mit
  $L(h(t))\ge\frac{2\pi}{\sqrt\kappa}$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $\rho:=\frac\pi{\sqrt\kappa}$, $U_\rho TM:=\{(x,v)\in
  TM\,:\,||v||<\rho\}$ und $U_\rho(\Delta):=\{(x,y)\in M\times M\,:\,
  d(x,y)<\rho\}$.  Die Abbildung $(p,\exp):U_\rho TM\to
  U_\rho(\Delta)$ ist ein lokaler Diffeomorphismus, da Geod\"atische
  der L\"ange $<\rho$ keine konjugierten Punkte besitzen, was wir noch
  zeigen werden. Wir bezeichnen die Null in $T_xM$ mit $0_x$ und die
  Einschr\"ankung $\exp_x:U_\rho(0_x)\to U_\rho(x)$ wie angegeben.
  \par
  Zur Behauptung, dass alle Geod\"atischen der L\"ange
  $<\frac\pi{\sqrt\kappa}$ frei von konjugierten Punkten sind: Sei
  $\alpha:[0,l]\to M$ eine Geod\"atische mit $||\alpha'||=1$, $X$ ein
  Normalenfeld l\"angs $\alpha$ mit $X(0)=X(l)=0$. F\"ur die zweite
  Variation der Energie erhalten wir die folgende Absch\"atzung
  \[E_{**,\alpha}(X,X)=\int\limits_0^l(\langle\nabla X,\nabla X\rangle
  -\langle R(X,\alpha')\alpha',X\rangle)\,ds
  \ge\int\limits_0^l\left(||\nabla X||^2-\kappa||X||^2\right)\,ds\]
  Mit $X=\sum\limits_{i=2}^m\lambda_iX_i$, wobei $X_2,\ldots,X_m$
  l\"angs $\alpha$ parallele normale orthonormierte Vektorfelder sind,
  folgt
  \[E_{**,\alpha}(X,X)\ge\int\limits_0^l\sum\limits_{i=2}^m
  \left(\lambda_i'^2-\kappa\lambda_i^2\right)\,ds
  =\int\limits_0^l\sum\limits_{i=2}^m(-\lambda_i''-\kappa\lambda_i)
  \lambda_i\,ds.\] Konjugierte Punkte des Systems
  $\lambda_i''=-\kappa\lambda_i$ sind $\frac{k\pi}{\sqrt{\kappa}}$ mit
  $k\in\Z$, die Jacobifelder in einer Mannigfaltigkeit mit konstanter
  Schnittkr\"ummung $\kappa$ erf\"ullen
  $\lambda_i(s)=c_i\sin(\sqrt\kappa s)$. Daher ist
  \[E_{**,\alpha}(X,X)>0,\quad\text{falls }l<\frac\pi{\sqrt\kappa}\]
  und die Behauptung \"uber konjugierte Punkte folgt.\par
  Angenommen, es g\"abe ein $\epsilon>0$, so dass
  $L(h(t))<\frac{2\pi}{\sqrt{\kappa}}-2\epsilon=2\rho-2\epsilon$ f\"ur
  alle $t\in[0,1]$ w\"are.\par
  Wir behaupten, dass es eine stetige Funktion $\sigma=\sigma(t)$ mit
  $\sigma(0)=0$ und $\sigma(1)=0$ gibt, so dass
  \[L(h(t)|_{[-\pi,\sigma(t)]})<\rho\quad\text{und}\quad
  L(h(t)|_{[\sigma(t),\pi]})<\rho.\]
  Da $h:[0,1]\to H^{1,2}(\S^1,M)$ stetig ist, gibt es ein $\delta>0$,
  so dass
  \begin{equation}
    \label{eq:l diff kl}
    |L(h(t_1)|_{[s_1,s_2]})-L(h(t_2)|_{[s_1,s_2]})|<\tfrac\epsilon2
    \quad\text{f\"ur }|t_1-t_2|<\delta\text{ und f\"ur alle }s_1<s_2.
  \end{equation}
  W\"ahle $N\in\N$ mit $N>\frac1\delta$ und f\"ur $i=0,\ldots,N$
  w\"ahle $\sigma_i$ mit $L(h(i/N)|_{[-\pi,\sigma_i]})
  =\frac12L(h(i/N))$ sowie $\sigma_0=0$ und $\sigma_N=0$. Definiere
  $\sigma$ durch affin lineare Interpolation auf $\left[\frac
    iN,\frac{i+1}N\right]$ mit $\sigma(i/N)=\sigma_i$. \par
  Sei nun $i$ fest und ohne Einschr\"ankung $\sigma_i\le\sigma_{i+1}$.
  Sei $\frac iN\le t\le\frac{i+1}N$. Unter doppelter Benutzung von
  \eqref{eq:l diff kl} und da
  $[-\pi,\sigma(t)]\subset[-\pi,\sigma_{i+1}]$ ist, erhalten wir die
  Absch\"atzung
  \begin{align*}
    L(h(t)|_{[-\pi,\sigma(t)]}) \le&\,L(h(t)|_{[-\pi,\sigma_{i+1}]}) <
    L\left(\left.h\left(\tfrac{i+1}N\right)
      \right|_{[-\pi,\sigma_{i+1}]}\right)+\tfrac\epsilon2\\
    =&\, \tfrac12L\left(h\left(\tfrac{i+1}N\right)\right)
    +\tfrac\epsilon2 < \tfrac12L(h(t))+\epsilon.
  \end{align*}
  Analog dazu erhalten wir auch
  \[L(h(t)|_{[\sigma(t),\pi]})<\tfrac12L(h(t))+\epsilon.\] Somit
  existiert eine stetige Funktion $\sigma$ wie oben behauptet.\par
  Durch Umparametrisieren der Kurven $h(t)$ kann man ohne
  Einschr\"ankung $\sigma(t)\equiv0$ annehmen.\par
  Angenommen, eine Kurve $c:[0,a]\to U_\rho(x)$ mit $c(0)=x$ und
  $L(c)<\rho$ besitzt eine Liftung $\tilde c:[0,a]\to U_\rho(0_x)$
  unter $\exp_x$ mit $\tilde c(0)=0_x$. Nach dem Gau\ss{}-Lemma
  \ref{Gauss lemma} gilt $||\tilde c(t)||\le L(c)<\rho$ f\"ur alle
  $t\in[0,a]$. Daher besitzt jede Kurve $c:[0,a]\to U_\rho(x)$ mit
  $L(c)<\rho$ eine eindeutige Liftung $\tilde c:[0,a]\to U_\rho(0_x)$.
  Insbesondere besitzt jede der Kurven $h(t)$ eine Liftung $\tilde
  h(t):[-\pi,+\pi]\to T_{h(t)(0)}M\cap U_\rho(0_{h(t)(0)})$ mit
  $\tilde h(t)(0)=0_{h(t)(0)}$. Diese Liftungen h\"angen stetig von
  $t$ ab, da $(p,\exp)|_{U_\rho TM}$ ein lokaler Hom\"oomorphismus
  (sogar ein lokaler Diffeomorphismus) ist. Damit ist $\tilde h$ eine
  Homotopie. Alle Liftungen $\tilde h(t)$ sind geschlossene Kurven, da
  $\tilde h(t)$ eine konstante Kurve und $(p,\exp)$ lokal eineindeutig
  ist. Somit ist auch $\tilde h(1)$ eine geschlossene Kurve. Dies ist
  aber ein Widerspruch, da $\tilde h(1)$ nach Konstruktion aus der
  Liftung von zwei verschiedenen Geod\"atischen, also aus zwei
  Geradensegmenten, besteht.
\end{proof}

\begin{theorem}[Klingenberg]\label{Klingenberg thm}\neueZeilealt
  Es sei $M$ eine kompakte, einfach zusammenh\"angende Riemannsche
  Mannigfaltigkeit, deren Schnittkr\"ummung $K$ der Bedingung
  $\kappa/4<K\le\kappa$ mit $\kappa>0$ gen\"ugt. Dann gilt f\"ur den
  Injektivit\"atsradius $\rho$ die Ungleichung
  $\rho\ge\frac\pi{\sqrt\kappa}$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur gerade Raumdimensionen folgt die Behauptung aus einfacheren
  \"Uberlegungen zu Minimaleigenschaften von Geod\"atischen. 
  % Tomi-Skript S. 217.
  Sei also $\dim M$ ungerade und $\alpha:[0,l]\to M$ eine
  Geod\"atische mit $||\alpha'||=1$. Sei $X_1,\ldots,X_m$ ein
  paralleles Orthonormalsystem l\"angs $\alpha$ mit
  $X_1=\alpha'$. Betrachte ein normales Vektorfeld $X$ mit
  $X(0)=X(l)=0$ und definiere Funktionen $(\lambda_i)_i$ durch
  $X=\sum\limits_{i=2}^m\lambda_iX_i$.  Aufgrund der Voraussetzungen
  an die Schnittkr\"ummung gelten die Absch\"atzungen
  \begin{align*}
    E_{**,\alpha}(X,X)\ge&\, \int\limits_0^l \sum\limits_{i=2}^m
    \left((\lambda_i')^2-\kappa\lambda_i^2\right)\,ds \intertext{und}
    E_{**,\alpha}(X,X)<&\, \int\limits_0^l \sum\limits_{i=2}^m
    \left((\lambda_i')^2-\frac\kappa4\lambda_i^2\right)\,ds,\quad
    \text{falls }X\not\equiv0.
  \end{align*}
  Durch Vergleich mit L\"osungen von gew\"ohnlichen
  Differentialgleichungen bzw.{} aus dem Morseschen Indexsatz erhalten
  wir, dass 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\ind E_{**,\alpha}=0$ f\"ur $l\le\frac\pi{\sqrt\kappa}$.
  \item $E_{**,\alpha}$ f\"ur $l<\frac\pi{\sqrt\kappa}$ positiv ist.
  \item f\"ur $l\ge\frac{2\pi}{\sqrt\kappa}$ die Ungleichung $\ind
    E_{**,\alpha}\ge m-1\ge 2$ gilt, da es keine eindimensionalen
    kompakten einfach zusammenh\"angenden Mannigfaltigkeiten gibt.
  \end{enumerate}
  Angenommen, es w\"are $\rho<\frac\pi{\sqrt\kappa}$. Dann g\"abe es
  % Vergleiche Tomi-Skript S. 208-210
  ein nicht\/triviales geod\"atisches Zweieck $\alpha$, $\beta$ mit
  $L(\alpha) =L(\beta) <\frac\pi{\sqrt\kappa}$. Es sei
  $\gamma:[-\pi,\pi]\to M$ die geschlossene Kurve $\beta^{-1}\alpha$
  und $h:[0,1]\to H^{1,2}(\S^1,M)$ ein stetiger Weg mit $h(0)=$
  konstant und $h(1)=\gamma$. Solch einen Weg gibt es, da die
  Mannigfaltigkeit nach Voraussetzung einfach zusammenh\"angend ist.
  Auf $[-\pi,+\pi]$ gilt $L^2\le 4\pi E$ aufgrund der H\"olderschen
  Ungleichung mit Gleichheit falls $|\gamma'|=1$ fast \"uberall.
  $\gamma$ ist s\"uckweise Geod\"atische. Daher gilt
  $\frac{(2\pi)^2}\kappa>L^2(\gamma)=4\pi E$ und somit
  $\frac\pi\kappa>E$. Nach dem Homotopie-Lemma \ref{homotopie lem}
  folgt
\[\sup\limits_{t\in[0,1]}E(h(t))
\ge\frac1{4\pi}\sup\limits_{t\in[0,1]}L^2(h(t)) \ge\frac\pi\kappa.\]
Setze $c_0:=\frac\pi\kappa$ und
$c_1:=\sup\limits_{t\in[0,1]}E(h(t))\ge c_0$. Jeder kritische Punkt
$\alpha$ von $E$ mit $E(\alpha)\ge c_0$ erf\"ullt nach H\"older
$\frac\pi\kappa\le E=\frac1{4\pi}L^2$, also
$L\ge\frac{2\pi}{\sqrt\kappa}$ und daher ist der Index des kritischen
Punktes aufgrund der obigen \"Uberlegungen $\ge m-1\ge2$.  Dies
widerspricht Proposition \ref{ind prop def}, da sich die Homotopie $h$
in $\{E<c_0\}$ \glqq dr\"ucken\grqq{} l\"asst.
\end{proof}

Eine Verallgemeinerung des folgenden Theorems wurde von S. Brendle und
R. Schoen gezeigt
\cite{SimonBrendle14Pinching,BrendleSchoen14Pinched}. Sie zeigen
insbesondere, dass die Mannigfaltigkeiten im Falle $\pi_1(M)=0$ nicht
nur hom\"oomorph sondern sogar diffeomorph zur Sph\"are sind.
\begin{theorem}[$1/4$-Pinching]\label{14 pinching thm}
  Sei $M$ kompakt und erf\"ulle die Schnittkr\"ummung $K$ die
  Bedingung $\frac\kappa4<K\le\kappa$ f\"ur ein $\kappa>0$. Dann gilt
  f\"ur $j=2,\ldots,m-1$ f\"ur die Homotopiegruppen $\pi_j(M)=0$.
\end{theorem}
\begin{remark}
  Ist zus\"atzlich $\pi_1(M)=0$, so ist $M^m$ eine
  Homotopiesph\"are. Eine Homotopiesph\"are ist nach Hurewicz eine
  Mannigfaltigkeit, bei der die Homotopiegruppen mit denen der
  Sph\"are \"ubereinstimmen. \par
  Benutzt man die Poincar\'e-Vermutung, die nach Smale ($m\ge 5$),
  Freedman ($m=4$) und Perelman ($m=3$) gilt, dann ist $M$
  hom\"oomorph zu $\S^m$. Man kann diese Folgerung auch ohne die
  (kompliziert zu beweisende) Poincar\'e-Vermutung zeigen. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{14 pinching thm}] Sei zun\"achst
  $\pi_1(M)=0$. Aus Theorem \ref{Klingenberg thm} (das als
  Voraussetzung $\pi_1(M)=0$ ben\"otigt) folgt aufgrund des Morseschen
  Indexsatzes, Theorem \ref{morse thm}, dass jede geschlossene
  Geod\"atische einen Index $\ge m-1$ hat. Sei nun $f\in C^0(\S^j,M)$.
  Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $f$ (beliebig oft)
  differenzierbar ist. Wie beim Beweis des Satzes von Ljusternik-Fet
  induziert $f$ eine stetige Abbildung
  \[F:=\Phi(f):\left( B^{j-1},\partial B^{j-1}\right) \to\left
    (H^{1,2}\left(\S^1,M\right),M\right).\] W\"ahle $\epsilon>0$ so,
  dass alle Kurven der Energie $\le\epsilon$, die also in
  $H^{1,2}(\S^1,M)^\epsilon$ liegen, (in einer geeigneten
  Kartenumgebung) auf die konstanten Kurven homotopierbar sind. Nach
  Proposition \ref{ind prop def} ist $F$ f\"ur $2\le j\le m-1$ zu
  einer Abbildung $\tilde F:\left(B^{j-1},\partial B^{j-1}\right)\to
  H^{1,2}(\S^1,M)^\epsilon$ und damit sogar (ohne Einschr\"ankung;
  $\epsilon>0$ klein genug) zu einer konstanten Abbildung
  $F_1:\left(B^{j-1},\partial B^{j-1}\right)\to M$ deformierbar. Also
  ist $f$ in $M$ wie behauptet nullhomotop.\par
  Im allgemeinen Fall sei $p:\left(\tilde M,\tilde g\right)\to (M,g)$
  die Riemannsche universelle \"Uberlagerung. Auch $\left(\tilde
    M,\tilde g\right)$ er\"ullt $\frac\kappa4<\tilde K\le\kappa$ und
  ist insbesondere einfach zusammenh\"angend und vollst\"andig. Nach
  dem Satz von Myers \cite[Theorem 2.6.3]{Klingenberg} (Eine positive
  untere Schranke an die Schnittkr\"ummung impliziert, dass eine
  Geod\"atische ab einer gewissen L\"ange der Kurve nicht mehr
  minimierend ist, was eine obere Schranke an den Durchmesser
  liefert.)
  % Vergleiche auch Tomi DG II, S. 204
  ist $\tilde M$
  daher kompakt.  Nach den obigen \"Uberlegungen ist also
  $\pi_j\left(\tilde M\right)=0$ f\"ur alle $j=1,\ldots,m-1$. Da $S^j$
  f\"ur $j\ge2$ einfach zusammenh\"angend ist, l\"asst sich die
  Abbildung $f:\S^j\to M$ zu einer Abbildung $\tilde f:\S^j\to\tilde
  M$ liften, die $f$ \"uberlagert ist, also $f=p\circ\tilde f$
  erf\"ullt. Da $\pi_j\left(\tilde M\right)=0$ ist, ist $\tilde f$
  nullhomotop. Verketten wir die Homotopie, die zeigt, dass $\tilde f$
  nullhomotop ist, mit $p$, so erhalten wir ein Homotopie, die zeigt,
  dass $f$ ebenfalls nullhomotop ist, die Behauptung folgt also.
\end{proof}

\bibliographystyle{amsplain}
\def\emph#1{\textit{#1}}
%\bibliography{biblio}
%\end{document}

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}
\providecommand{\href}[2]{#2}
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\end{document}
