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% Differentialtopologie
% Oliver Schn\"urer
% Uni Konstanz, Winter 2010/11
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Differentialtopologie}

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Fachbereich Mathematik und Statistik,
  Universit\"at Konstanz, 78457 Konstanz, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

%    General info
%\subjclass[2000]{53-01}

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

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\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Differentialtopologie an der Universit\"at Konstanz im
  Wintersemester 2010/11.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

% Spezielle Kopfzeilen 
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\long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
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      \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}

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\Section{Mannigfaltigkeiten}

\Subsection{Untermannigfaltigkeiten}

\begin{definition}[Untermannigfaltigkeiten des $\R^{m+n}$]
  Eine Teilmenge $M\subset\R^{m+n}$ hei\ss{}t $m$-dimensionale
  \emph{$C^k$-Untermannigfaltigkeit} von $\R^{m+n}$, wenn es zu jedem $x\in
  M$ eine offene Umgebung $U\subset\R^{m+n}$ von $x$ und einen
  $C^k$-Diffeomorphismus $\phi:U\to\phi(U)\subset\R^{m+n}$
  mit \[\phi(U\cap M)=\phi(U)\cap\left(\R^m\times\{0\}\right)\] gibt.
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $f\colon\R^m\to\R^n$ oder zwischen offenen Teilmengen davon von
  der Klasse $C^1$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $x\in\R^m$ hei\ss{}t \emph{regul\"ar}, falls $df(x)$ surjektiv
    ist.
  \item $y\in\R^n$ hei\ss{}t \emph{regul\"arer Wert}, falls
    $f^{-1}(\{y\})$ nur aus regul\"aren Punkten besteht.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Das folgende Theorem gilt mit demselben Beweis auch f\"ur Abbildungen
zwischen offenen Teilmengen. 
\begin{theorem}
  Sei $f\colon\R^m\to\R^n$ von der Klasse $C^1$. Sei $y\in\R^n$ ein
  regul\"arer Wert. Dann ist $f^{-1}(\{y\})$ eine $(m-n)$-dimensionale
  Untermannigfaltigkeit des $\R^m$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus dem Satz \"uber implizite Funktionen: Sei dazu
  $x\in f^{-1}(\{y\})\equiv f^{-1}(y)$. Nach Umbenennen der
  Koordinaten k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
  $D_1f\left(x^1,x^2\right)|_x$,
  $\left(x^1,x^2\right)\in\R^n\times\R^{m-n}$, ein Isomorphismus
  ist. Somit gibt es lokal um $x$ eine $C^1$-Funktion
  $g\colon\R^{m-n}\to\R^n$, so dass
  $f\left(g\left(x^2\right),x^2\right)=f(x)=y$ f\"ur alle $x^2=x^2(x)$
  gilt. Lokal sind dies die einzigen Punkte, die auf $f(x)=y$
  abgebildet werden. Somit ist $f^{-1}(y)$ lokal um $x$ als
  $C^1$-Graph darstellbar. Dies impliziert, dass $f^{-1}(y)$ eine
  Untermannigfaltigkeit ist (\"Ubung).
\end{proof}

\Subsection{Abstrakte Mannigfaltigkeiten}

\begin{definition}[Mannigfaltigkeit]\label{mf def}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein topologischer Raum $M$ hei\ss{}t \emph{lokal euklidisch}
    von der Dimension $m$, falls $M$ mit offenen Mengen \"uberdeckt
    werden kann, von denen jede zu einer offenen Teilmenge von $\R^m$
    hom\"oomorph ist.
  \item Ein Paar $(U,\phi)$, wobei $U\subset M$ offen ist und
    $\phi:U\to\phi(U)\subset\R^m$ ein Hom\"oomorphismus (wie oben)
    ist, hei\ss{}t \emph{Karte} von $M$. Eine Kollektion $\mathcal A$
    von Karten hei\ss{}t \emph{Atlas} von $M$, falls
    $M\subset\bigcup\limits_{(U,\phi)\in\mathcal A}U$ gilt.
  \item Zwei Karten $(U,\phi)$ und $(V,\psi)$ hei\ss{}en
    \emph{$C^k$-vertr\"aglich}, $k\ge1$, wenn
    $\psi\circ\phi^{-1}:\phi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)$ ein
    $C^k$-Diffeomorphismus ist. Ein Atlas hei\ss{}t von der Klasse
    $C^k$, falls je zwei seiner Karten $C^k$-vertr\"aglich sind.
  \item Ist $\mathcal A$ ein $C^k$-Atlas, so gibt es genau einen
    \emph{maximalen $C^k$-Atlas} $\mathcal A_0$ mit
    $\mathcal A\subset\mathcal A_0$; er besteht aus allen Karten,
    welche mit den Karten von $\mathcal A$ in $C^k$ vertr\"aglich
    sind.
  \item Eine \emph{differenzierbare ($C^k$-)Struktur} auf $M$ ist ein
    maximaler $C^k$-Atlas auf $M$.
  \item Ein lokal euklidischer Hausdorff-Raum mit einer
    differenzierbaren Struktur hei\ss{}t \emph{differenzierbare
      Mannigfaltigkeit}.
 \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Beispiele sind $\R^n$, $\S^n$.
  \item Offene Teilmengen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten sind
    differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
  \item Teilweise fordert man zus\"atzlich, dass die Topologie von $M$
    eine abz\"ahlbare Basis besitzt.
  \item In der algebraischen Topologie oder sp\"ater in dieser
    Vorlesung lernt man, dass offene nicht leere Teilmengen von $\R^m$
    und $\R^n$ nur dann hom\"oomorph zueinander sein k\"onnen, wenn
    $m=n$ gilt. Somit ist die Dimension eines lokal euklidischen
    Raumes wohldefiniert.
  \item H\"aufig fordert man daher, dass Mannigfaltigkeiten und
    Untermannigfaltigkeiten nicht leer sind, da man ihnen sonst keine
    eindeutige Dimension zuordnen kann.
  \item Wir schreiben h\"aufig $M^m$ f\"ur eine $m$-dimensionale
    Mannigfaltigkeit $M$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Eine Untermannigfaltigkeit $M\subset\R^{m+n}$ besitzt einen
  $C^k$-Atlas, n\"amlich \[\mathcal A:=\{(U\cap M,\phi|_{U\cap
    M})\colon (U,\phi)\text{ wie oben}\}.\]\par $M$ ist
  lokal euklidisch von der Dimension $m$. Es gilt \[(\psi|_{V\cap
    M})\circ(\phi|_{U\cap M})^{-1}
  =\psi\circ\phi^{-1}|_{(\R^m\times\{0\})\cap\phi(U\cap V)}\in C^k.\]
\end{remark}

\begin{definition}[Differenzierbare Abbildungen]\neueZeilealt
  Seien $M,\,N$ zwei $C^k$-Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung
  $f:M\to N$ hei\ss{}t von der Klasse $C^k$, falls es zu jedem
  $x\in M$ Karten $(U,\phi)$ von $M$ und $(V,\psi)$ von $N$ mit
  $x\in U$, $f(U)\subset V$ gibt und
  $\psi\circ f\circ\phi^{-1}\in C^k$ ist. \par Ist $f$ bijektiv und
  $f^{-1}$ ebenfalls von der Klasse $C^k$, $k\ge1$, so hei\ss{}t $f$
  Diffeomorphismus der Klasse $C^k$. \par Gibt es f\"ur jedes $x\in M$
  eine Umgebung $U$, so dass $f(U)$ offen und $f|_U:U\to f(U)$ ein
  Diffeomorphismus ist, so hei\ss{}t $f$ ein lokaler Diffeomorphismus.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $f$ von der Klasse $C^k$, so ist $f$ stetig: $\psi\circ
    f\circ\phi^{-1}$ ist stetig, also auch $f=\psi^{-1}\circ(\psi\circ
    f\circ \phi^{-1})\circ\phi$.
  \item Ist $f$ von der Klasse $C^k$, so ist $\psi\circ f\circ
    \phi^{-1}\in C^k$ f\"ur alle Karten $(U,\phi)$, $(V,\psi)$ der
    betreffenden differenzierbaren Strukturen. (Falls $U$ klein genug
    ist, so dass die Komposition wohldefiniert ist.)
    \begin{proof}[Beweis]
      Sei $x\in U$, $f(x)\in V$ und $z:=\phi(x)$. Nach Definition
      existieren Karten $(U_0,\phi_0)$ und $(V_0,\psi_0)$ mit $x\in
      U_0$, $f(U_0)\subset V_0$, so dass $\psi_0\circ f\circ
      \phi_0^{-1}\in C^k$ ist. Wir w\"ahlen eine offene Umgebung $W$
      von $z$ mit $\phi^{-1}(W)\subset U_0\cap U$ und
      $f(\phi^{-1}(W))\subset V_0\cap V$. In $W$ gilt dann \[\psi\circ
      f\circ\phi^{-1} =\underbrace{\left(\psi\circ\psi_0^{-1}
        \right)}_{\in C^k} \circ \underbrace{\left(\psi_0\circ
          f\circ\phi_0^{-1}\right)}_{\in C^k} \circ
      \underbrace{\left(\phi_0\circ\phi^{-1}\right)}_{\in C^k}\in
      C^k.\qedhere\]
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{beispiel}[Kartesisches Produkt]
  Seien $(M,\mathcal A)$, $(N,\mathcal B)$ zwei
  $C^k$-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten. Dann ist ein $C^k$-Atlas auf
  $M\times N$ durch \[\{(U\times V,\phi\times\psi)\colon
  (U,\phi)\in\mathcal A, (V,\psi)\in\mathcal B\}\] mit
  $(\phi\times\psi)((x,y))=(\phi(x),\psi(y))\in\R^m\times\R^n$
  gegeben.
\end{beispiel}

\begin{definition}[Untermannigfaltigkeit]
  Sei $N$ eine $n$-dimensionale differenzierbare
  $C^k$-Mannigfaltigkeit. Eine Teilmenge $M\subset N$ hei\ss{}t
  \emph{$C^k$-Untermannigfaltigkeit} von $N$, wenn es zu jedem
  $x\in M$ eine Karte $(U,\phi)$ von $N$ mit $x\in U$ und
  \[\phi(U\cap M)=\phi(U)\cap\left(\R^m\times\{0\}\right),\] $m\le n$,
  gibt. Die Kollektion aller $(U\cap M,\phi|_{U\cap M})$ ist dann ein
  $C^k$-Atlas von $M$.
\end{definition}

\begin{definition}[Immersion, Submersion]
  Seien $M,\,N$ Mannigfaltigkeiten. Eine $C^1$-Abbildung $f\colon M\to
  N$ hei\ss{}t 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \emph{immersiv} in $x$, falls $f$ in Karten ein injektives
    Differential hat, $\psi\circ f\circ\phi^{-1}$ im Punkt $\phi(x)$
    also ein injektives Differential hat.
  \item \emph{submersiv} in $x$, falls $f$ in Karten ein surjektives
    Differential hat.
  \item \emph{Immersion}, falls $f$ \"uberall immersiv ist.
  \item \emph{Submersion}, falls $f$ \"uberall submersiv ist.
  \item $f$ hat konstanten Rang, wenn $f$ in Karten ein Differential
    von konstantem Rang besitzt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Erinnerung: Das Rangtheorem \cite[Theorem 10.3.1]{Dieudonne} aus der
Analysis liefert
\begin{theorem}\label{rang thm}
  Sei $f:M^m\to N^n$ eine Abbildung die in jedem Punkt den Rang $l$
  hat. Dann gibt es f\"ur jeden Punkt $p\in M$ Karten $(U,\phi)$ und
  $(V,\psi)$ von $M$ bzw.{} $N$ mit $p\in U$, $f(p)\in V$ und
  $f(U)\subset V$, so dass \[\psi\circ
  f\circ\phi^{-1}\left(x^1,\ldots,x^m\right)
  =\left(x^1,\ldots,x^l,0,\ldots,0\right)\] gilt.
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Sei $f\colon M^m\to N^n$ von der Klasse $C^k$, $k\ge1$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{i umf thm} Habe $f$ konstanten Rang $l$. Sei $y\in
    N$. Dann ist $f^{-1}(\{y\})$ eine Untermannigfaltigkeit von $M$
    der Dimension $m-l$.
  \item\label{ii umf thm} Sei $y\in N$. Sei $f$ f\"ur alle $x\in
    f^{-1}(\{y\})$ submersiv, so ist $f^{-1}(y)$ eine
    Untermannigfaltigkeit der Dimension $m-n$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Einf\"uhrung von Karten folgt \eqref{ii umf thm} aus dem Satz
  \"uber implizite Funktionen und \eqref{i umf thm} aus dem
  Rangtheorem. Beachte: \eqref{ii umf thm} ist ein Spezialfall von
  \eqref{i umf thm}. 
\end{proof}

\Subsection{Tangentialr\"aume}
\begin{definition}[Tangentialraum]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $M\subset\R^n$ eine $C^1$-Untermannigfaltigkeit. Sei
    $x\in M$. Wir definieren den (eingebetteten) \emph{Tangentialraum}
    von $M$ im Punkte $x$ als
    \[T_xM:=\{\alpha'(0)\colon \alpha\in C^1,\,
      \alpha\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M,\,\alpha(0)=x\}\] und den
    (angeklebten) Tangentialraum als $x+T_xM\subset\R^n$.
  \item Sei $M$ eine abstrakte $C^1$-Mannigfaltigkeit und sei $x\in
    M$. Dann definieren wir $T_xM$ als Menge aller $C^1$-Kurven
    $\alpha\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M$ mit $\alpha(0)=x$ mit der
    \"Aquivalenzrelation $\alpha\sim\beta$, falls es eine Karte
    $(U,\phi)$ mit $x\in U$ und \[(\phi\circ\alpha)'(0)
    =(\phi\circ\beta)'(0)\] gibt. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $M^m$ eine abstrakte Mannigfaltigkeit. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die \"Aquivalenzrelation in der Definition von $T_xM$ h\"angt
    nicht von der Karte $(U,\phi)$ ab.
  \item $T_xM$ ist ein Vektorraum und $TM:=\bigcup\limits_{x\in
      M}T_xM$ ist eine $2m$-dimensionale Mannigfaltigkeit. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(V,\psi)$ eine weitere Karte um $x$ und gelte
    $\alpha\sim\beta\in T_xM$ bez\"uglich $(U,\phi)$. Dann gilt nahe
    $x$
    \begin{align*}
      (\psi\circ\alpha)'(0)
      =&\,\left(\psi\circ\phi^{-1}\circ\phi\circ\alpha\right)'(0)
      =d\left(\psi\circ\phi^{-1}\right)(\phi\circ\alpha)(0)\left\langle
        (\phi\circ\alpha)'(0)\right\rangle\\
      =&\,d\left(\psi\circ\phi^{-1}\right)(\phi\circ\beta)(0)\left\langle
        (\phi\circ\beta)'(0)\right\rangle =(\psi\circ\beta)'(0).
    \end{align*}
    $\alpha\sim\beta$ gilt also auch bez\"uglich der Karte
    $(V,\psi)$. 
  \item Sei $(U,\phi)$ eine Karte von $M$. Dann sind die Karten von
    $TM$ auf $TU:=\bigcup\limits_{x\in U}T_xM$ definiert und haben die
    Form
    \[(x,\alpha)\mapsto (\phi(x),(\phi\circ\alpha)'(0)).\] Mit Hilfe
    der obigen Rechnungen sieht man, dass in den
    Kartenwechselabbildungen in der zweiten Komponente
    $d(\psi\circ\phi^{-1})$ auftritt. Daher ist $TM$ eine
    $C^{k-1}$-Mannigfaltigkeit, falls $M$ eine $C^k$-Mannigfaltigkeit
    ist.\par
    Wir definieren die Vektorraumstruktur auf $TM$ vertreterweise
    durch
    \[[\lambda\alpha+\beta] :=\left[ \left(t\mapsto
        \phi^{-1}\left(\phi(\alpha(0))
          +t\left\{\lambda(\phi\circ\alpha)'(0)
            +(\phi\circ\beta)'(0)\right\}\right)\right)\right]\] f\"ur
    $\alpha,\beta\in T_xM$ und $\lambda\in\R$. Hier ist noch einiges
    zu \"uberpr\"ufen, \zB $1\cdot\alpha=\alpha$ und die
    Wohldefiniertheit. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\Subsection{Tubenumgebungen}

Sei $M^m\subset\R^n$ eine Untermannigfaltigkeit. Definiere das
Normalenb\"undel von $M$ durch
\[NM:=\{V=(x,v)\in M\times\R^n\colon \langle v,\alpha'(0)\rangle=0\,\,
\forall\alpha:(-\epsilon,\epsilon)\to M\text{ mit }\alpha(0)=x\}.\]
Dabei ist $\epsilon>0$ beliebig.  Das Normalenb\"undel enth\"alt alle
Vektoren, die senkrecht auf $M$ stehen. Man kann sich \"uberlegen,
dass das Normalenb\"undel eine Untermannigfaltigkeit von
$\R^n\times\R^n$ ist. (\"Ubung.)

\begin{theorem}[Existenz einer Tubenumgebung]\label{tub umg thm}
  Sei $M^m\subset\R^n$ eine geschlossene (= kompakt, kein Rand)
  Untermannigfaltigkeit. Definiere die Abbildung $E$ durch
  \begin{align*}
    E\colon NM\to&\,\R^n,\\
    (x,v)\mapsto&\,x+v.    
  \end{align*}
  Dann gibt es $\epsilon>0$, so dass $E|_{\{(x,v)\in NM\colon
    |v|<\epsilon\}}\to E(\{(x,v)\in NM\colon
  |v|<\epsilon\})\subset\R^n$ ein Diffeomorphismus ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $M$ eine Untermannigfaltigkeit ist, gilt lokal
  \[\phi(U\cap M)=\phi(U)\cap\left(\R^m\times\{0\}\right).\] 
  Gelte ohne Einschr\"ankung nach einer Rotation und Translation des
  Koordinatensystems im umgebenden Raum $\R^n$ \[\im
  d(\phi^{-1}|_{\R^m\times\{0\}})(0)=\R^m\times\{0\}\] sowie
  $\phi^{-1}(0)=0$. Lokal ist $NM$ diffeomorph zu
  $\R^m\times\R^{n-m}$. Daher k\"onnen wir mit Hilfe von $\phi$ die
  Abbildung $E$ in Karten durch eine Abbildung $\tilde
  E\colon\R^m\times\R^{n-m}\to\R^n$ darstellen, wobei
  \[\tilde E(x,0)=\phi^{-1}(x,0)\quad\text{und}\quad
  \tilde E(0,v)=(0,v)\] ist. Das Differential im Ursprung ist
  $\left(\begin{smallmatrix}
      d\left(\phi^{-1}|_{\R^m\times\{0\}}\right)(0) &0\\
      0&\eins \end{smallmatrix}\right)$.  Daher ist $\tilde E$ bzw.{}
  $E$ lokal ein Diffeomorphismus. \par
  Mit endlich vielen solchen Umgebungen l\"asst sich $M$ aufgrund
  der Kompaktheit \"uberdecken. Somit ist $E$ in einer Menge der Form
  $\{(x,v)\in NM\colon|v|<\epsilon\}$ zumindest ein lokaler
  Diffeomorphismus.  Nehme nun an, dass es kein solches $\epsilon$
  gibt, so dass $E$ in $\{(x,v)\in NM\colon|v|<\epsilon\}$ ein
  Diffeomorphismus ist. Dann finden wir Punkte $(x_k,v_k)\in NM$ und
  $(y_k,w_k)\in NM$ mit $E(x_k,v_k)=E(y_k,w_k)$,
  $(x_k,v_k)\neq(y_k,w_k)$ und $|v_k|\to0$ und $|w_k|\to0$. Aufgrund
  der Kompaktheit von $M$ d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung $x_k\to x$
  und $y_k\to y$ annehmen. Den Fall $x=y$ k\"onnen wir
  ausschlie\ss{}en, da $E$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. Aber auch
  $x\neq y$ ist ausgeschlossen, da aufgrund der Dreiecksungleichung
  $E(x_k,v_k)\to x$ und $E(y_k,w_k)\to y$ gilt:
  \[|x-E(x_k,v_k)|\le|x-x_k|+|x_k-E(x_k,v_k)|=|x-x_k|+|v_k|.\]
  Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $U=E(\{(x,v)\in NM\colon |v|<\epsilon\})$ eine Tubenumgebung einer
  Untermannigfaltigkeit $M\subset\R^n$ zu $\epsilon$ wie in Theorem
  \ref{tub umg thm}.  Sei $p\in U$ und $p=E(x,v)$ mit
  $|v|<\epsilon$. Dann ist
  \[d(p,M)=|v|.\] 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $|x-p|=|v|$ ist $d(p,M)\le|v|$. Aufgrund der Kompaktheit von
  $M$ und der Stetigkeit von $d$ gibt es $y\in M$ mit
  $d(p,M)=d(p,y)\equiv|p-y|$. Wir behaupten, dass die Verbindung von
  $p$ zu $y$ die Mannigfaltigkeit $M$ in $y$ senkrecht trifft, \dh
  $(y,p-y)\in NM$ oder $\langle p-y,\alpha'(0)\rangle=0$ f\"ur alle
  Kurven $\alpha\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M$ mit $\alpha(0)=y$
  erf\"ullt. W\"are dies nicht der Fall, so d\"urfen wir ohne
  Einschr\"ankung (betrachte sonst $\alpha(-t)$) annehmen, dass
  $\langle p-y,\alpha'(0)\rangle>0$ gilt. Es ist \[\left.\dt\langle
    p-\alpha(t),p-\alpha(t)\rangle\right|_{t=0} =\left.2\langle
    p-\alpha(t),-\alpha'(t)\rangle\right|_{t=0} =2\langle
  p-y,-\alpha'(0)\rangle <0.\] Dies liefert $|p-\alpha(t)|<|p-y|$
  f\"ur $0<t\ll1$. Widerspruch.\par
  G\"abe es $(y,w)\in NM$ mit $|w|<|v|$ und $E(y,w)=p$, so
  widerspr\"ache dies der Aussage, dass $E|_{\{(x,v)\in
    NM\colon|v|<\epsilon\}}\to E(\{(x,v)\in NM\colon |v|<\epsilon\})$
  ein Diffeomorphismus ist.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $U$ eine Tubenumgebung einer Untermannigfaltigkeit
  $M\subset\R^n$ zu $\epsilon$ wie in Theorem \ref{tub umg thm}. 
  Dann ist $d(\cdot,M)\colon U\setminus M\to\R$ glatt.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $E$ ein Diffeomorphismus ist, h\"angt $v$ mit $E(x,v)=p$ in
  glatter Weise von $p$ ab. Da $d(p,M)=|v|$ ist, ist $d(\cdot,M)$
  f\"ur $v\neq0$, also $p\not\in M$ glatt. 
\end{proof}

\Section{Homotopien}
Seien $X,Y$ topologische R\"aume.  Setze $I:=[0,1]$.
\begin{definition}[Homotopie]
  Seien $X,Y$ topologische R\"aume. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine \emph{Homotopie} ist eine Familie $(\phi_t)_{t\in I}$ von
    Abbildungen $\phi_t:X\to Y$, so dass die Abbildung $\Phi:X\times
    I\to Y$, definiert durch $\Phi(x,t):=\phi_t(x)$, stetig ist.
  \item Zwei Abbildungen $f_0$, $f_1:X\to Y$ zwischen topologischen
    R\"aumen hei\ss{}en \emph{homotop}, wenn es eine Homotopie
    $(g_t)_{t\in I}$ mit $g_t:X\to Y$, $g_0=f_0$ und $g_1=f_1$
    gibt. Wir schreiben $f_0\simeq f_1$. 
  \item Eine stetige Abbildung $f:X\to Y$ zwischen topologischen
    R\"aumen hei\ss{}t \emph{Homotopie\"aquivalenz}, wenn es eine
    stetige Abbildung $g:Y\to X$ gibt, so dass $f\circ g\simeq\eins_Y$
    und $g\circ f\simeq\eins_X$ gelten.
  \item Zwei topologische R\"aume $X$ und $Y$ haben den gleichen
    \emph{Homotopietyp} oder sind bis auf Homotopie \"aquivalent oder
    sind \emph{homotopie\"aquivalent}, wenn es eine
    Homotopie\"aquivalenz zwischen ihnen gibt. Wir schreiben $X\simeq
    Y$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Retrakte]\label{retrakt def}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $A$ ein \emph{Retrakt} von $X$, wenn es eine stetige
    Abbildung $r:X\to A$ (\emph{Retraktion}) gibt, so dass
    $r|_A=\eins_A$ ist.
  \item Dann ist $A$ ein \emph{Deformationsretrakt} von $X$, wenn es
    eine Familie $(f_t)_{t\in I}$ von Abbildungen $f_t:X\to X$ gibt,
    so dass $f_0=\eins_X$, $f_1(X)=A$ und $f_t|_A=\eins_A$ f\"ur alle
    $t\in I$ gelten und dass weiterhin $X\times I\ni(x,t)\mapsto
    f_t(x)$ stetig ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\partial B_1((-1,0))\cup\partial B_1((1,0))$ ist ein Retrakt
    und ein Deformationsretrakt von $\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\}$.
  \item Die Menge $\partial B_1((1,0))$ ist ein Retrakt, aber kein
    Deformationsretrakt von $\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\}$.\par
    Die Tatsache, dass es sich nicht um einen Deformationsretrakt
    handelt ist zwar anschaulich klar, ein Beweis ben\"otigt aber
    Betrachtungen \"uber Fundamentalgruppen.
  \item Sei $M\subset\R^n$ eine Untermannigfaltigkeit mit
    Tubenumgebung $U$. Dann ist $M$ ein Deformationsretrakt von $U$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{lemma}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $A\subset X$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $A$ ein Deformationsretrakt von $X$, so ist $A$ ein
    Retrakt von $X$. 
  \item Ist $A$ ein Deformationsretrakt von $X$, so sind $A$ und $X$
    homotopie\"aquivalent. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item W\"ahle $r=f_1$. 
  \item Benutze die Abbildung $f_1\colon X\to A$ und die Inklusion
    $i\colon A\to X$. Es gilt $f_1\circ i =\id_A$. Die Homotopie $f_t$
    zeigt, dass $i\circ f_1\simeq\id_X$ gilt. 
    \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Ein wichtiges Beispiel f\"ur homotope Abbildungen sind 
  homotope Wege. Ein Weg ist eine stetige Abbildung von $[0,1]$ in
  einen topologischen Raum. Ein geschlossener Weg ist eine stetige
  Abbildung $f$ von $[0,1]$ in einen topologischen Raum mit
  $f(0)=f(1)$ oder, \"aquivalent dazu, eine Abbildung von $\S^1$ in
  einen topologischen Raum. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Frei homotope geschlossene Wege: Sei $X$ ein topologischer
    Raum und seien $\alpha,\beta\colon\S^1\to X$ geschlossene
    Wege. Dann ist $\alpha$ (frei) homotop zu $\beta$, falls die
    Abbildungen $\alpha$ und $\beta$ homotop zueinander sind. 
  \item Wege mit festen Endpunkten: Sei $X$ ein topologischer Raum,
    $x_0,x_1\in X$. Seien $\alpha,\beta\colon [0,1]\to X$ stetige
    Abbildungen mit $\alpha(0) =\beta(0) =x_0$ und $\alpha(1)
    =\beta(1) =x_1$. Dann hei\ss{}t $\alpha$ homotop zu $\beta$, wenn
    es eine stetige Abbildung $\Phi\colon [0,1]\times[0,1]\to X$ mit
    $\Phi(\cdot,0)=\alpha$, $\Phi(\cdot,1)=\beta$, $\Phi(0,t)=x_0$ und
    $\Phi(1,t)=x_1$ f\"ur alle $t\in I$ gibt.
  \item Geschlossene Wege mit festen Endpunkten: Wie bei festen
    Endpunkten, falls $x_0=x_1$ ist. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Homotope Wege mit festen Endpunkten sind Beispiel f\"ur relative
Homotopien: 
\begin{definition}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Homotopie $\phi_t:X\to Y$ hei\ss{}t \emph{relativ} zu
    einer Menge $A\subset X$, wenn $\phi_t(a)$ f\"ur beliebiges aber
    festes $a\in A$ unabh\"angig von $t\in I$ ist.  (Einen Spezialfall
    davon haben wir bereits beim Deformationsretrakt kennen gelernt.
    Dort hatten wir gefordert, dass $f_t|_A=\eins_A$ f\"ur alle
    $t\in I$ gilt.)
  \item Sei $\phi_t:X\to Y$ eine Homotopie und seien $A\subset X$ und
    $B\subset Y$. Falls $\phi_t(A)\subset B$ f\"ur alle $t\in I$ gilt,
    so sprechen wir von einer \emph{Homotopie von Paaren}
    $\phi_t:(X,A)\to(Y,B)$. Im Spezialfall, dass $A=\{x_0\}$ und
    $B=\{y_0\}$ gelten, sprechen wir von einer \emph{Homotopie von
      punktierten R\"aumen} und schreiben $\phi_t:(X,x_0)\to(Y,y_0)$.
  \item Entsprechend hei\ss{}en punktierte R\"aume $(X,x_0)$ und
    $(Y,y_0)$ \emph{homotopie\"aquivalent}, wenn es stetige
    Abbildungen $\phi:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ und $\psi:(Y,y_0)\to (X,x_0)$
    gibt, so dass $\phi\circ\psi\simeq\eins_Y$ und
    $\psi\circ\phi\simeq\eins_X$ gelten, wobei \glqq$\simeq$\grqq{}
    sich auf Homotopien punktierter R\"aume bezieht. Die Abbildungen
    $\phi$ und $\psi$ hei\ss{}en dann \emph{Homotopieinverse}
    voneinander. Wir schreiben $(X,x_0)\simeq(Y,y_0)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\Section{Sardscher Satz}
Quelle: \cite{BroeckerJaenich}, siehe auch
\cite{SardsTheorem,QuinnSardFredholm}.

\begin{definition}
  Sei $f:M\to N$ differenzierbar. $p\in M$ hei\ss{}t \emph{regul\"ar},
  falls das Differential von $f$ in $p$ surjektiv ist. Ein Punkt
  $q\in N$ hei\ss{}t \emph{regul\"arer Wert}, falls $f^{-1}(\{q\})$ aus
  regul\"aren Punkten besteht. Nicht regul\"are Punkte/Werte nennt man
  \emph{singul\"ar} oder \emph{kritisch}.
\end{definition}

Ziel dieses Kapitels ist der Beweis von
\begin{theorem}[Sardscher Satz]\label{Sard thm}
  Die Menge der kritischen Werte einer differenzierbaren
  $C^\infty$-Abbildung von Mannigfaltigkeiten (mit einer abz\"ahlbaren
  Basis der Topologie) hat Lebesgue-Ma\ss{} Null.
\end{theorem}

\begin{corollary}
  Ist $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $f:M\to\R^n$ eine
  differenzierbare Abbildung, so ist $f^{-1}(x)\subset M$ f\"ur fast
  alle $x\in\R^n$ eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit der
  Kodimension $n$.
\end{corollary}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f^{-1}(x)$ kann die leere Menge sein.
  \item Die Dimensionsaussage erh\"alt man durch Z\"ahlen der
    Gleichungen.
  \item Beim Satz von Sard gen\"ugt es f\"ur eine Abbildung
    $f:\R^n\to\R^p$, dass $f\in C^k$ mit $k>\max\{n-p,0\}$ ist. Die
    entsprechende Aussage gilt f\"ur Mannigfaltigkeiten der
    entsprechenden Dimensionen.
  \item Ist die Zielmannigfaltigkeit $0$-dimensional und besteht aus
    h\"ochstens abz\"ahlbar vielen Punkten, so ist sie eine Nullmenge
    und der Sardsche Satz in diesem Fall trivial. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Erinnerung]
  Eine Teilmenge $C\subset\R^n$ hat das \emph{Ma\ss{} Null} (ist
  \emph{d\"unn}, fast jeder Punkt ist nicht in $C$), wenn es zu jedem
  $\epsilon>0$ eine Folge von W\"urfeln $W_i\subset\R^n$ mit
  $$C\subset\bigcup\limits_{i=1}^\infty W_i\quad\text{und}\quad
  \sum\limits_{i=1}^\infty|W_i|<\epsilon.$$
  gibt.  
\end{definition}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die abz\"ahlbare Vereinigung d\"unner Mengen ist wieder d\"unn
    ($2^{-i}\epsilon$-Argument).
  \item Eine \"aquivalente Definition erh\"alt man f\"ur offene oder
    abgeschlossene W\"urfel, Quader oder Kugeln.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $U\subset\R^m$ offen, $C\subset U$ habe Ma\ss{} Null. Sei
  $f:U\to\R^m$ Lipschitz, dann hat auch $f(C)$ das Ma\ss{} Null.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Grundvorlesung Analysis. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Eine Teilmenge $C$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit hat das
  \emph{Ma\ss{} Null}, falls f\"ur jede Karte $h:U\to U'\subset\R^m$
  die Menge $h(C\cap U)\subset\R^m$ das Ma\ss{} Null hat.
\end{definition}

\begin{remark}
  Die Voraussetzung der Differenzierbarkeit ist hier wichtig, da
  Nullmengen unter Hom\"oomorphismen nicht erhalten zu bleiben
  brauchen. Ein Gegenbeispiel erh\"alt man mit Hilfe der Cantor
  Funktion, siehe ``Absolute continuity'' in \cite{wiki} (\"Ubung).
  \par Da eine Mannigfaltigkeit eine abz\"ahlbare Basis der
  Topologie besitzt, gibt es einen Atlas mit abz\"ahlbar vielen
  Karten. Es gen\"ugt, die Definition f\"ur solche Karten
  anzuwenden. Wohldefiniertheit folgt, da Nullmengen unter
  differenzierbaren Kartenwechseln und abz\"ahlberen Vereinigungen
  erhalten bleiben. 
\end{remark}

\begin{lemma}
  Eine offene \"Uberdeckung des Intervalles $[0,1]$ durch relativ
  offene Teilintervalle enth\"alt eine endliche \"Uberdeckung
  $[0,1]=\bigcup\limits_{j=1}^kI_j$ mit
  $\sum\limits_{j=1}^k|I_j|\le2$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der Kompaktheit gibt es eine endliche
  Teil\"uberdeckung. W\"ahle eine solche, bei der man kein Intervall
  mehr weglassen kann (ohne die \"Uberdeckungseigenschaft zu
  verlieren). Seien die Intervalle $I_j$, $j=1,\ldots,k$ so
  nummeriert, dass mit $I_j=(a_j,b_j)$ stets $a_j<a_{j+1}$,
  $j=1,\ldots, k-1$ gilt. Minimalit\"at und \"Uberdeckungseigenschaft
  implizieren $a_i<a_{i+1}<b_i\le a_{i+2}.$ Somit gilt 
  \begin{align*}
    \sum\limits_i(b_i-a_i)=&\,\sum\limits_i(a_{i+1}-a_i)
    +\sum\limits_i(b_i-a_{i+1})\umbruch\\
    \le&\,\sum\limits_i(a_{i+1}-a_i)
    +\sum\limits_i(a_{i+2}-a_{i+1})\umbruch\\
    \le&\,2,
  \end{align*}
  wobei wir zum Schluss verwendet haben, dass es sich um
  Teleskopsummen handelt. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Fubini]
  Sei $\R^{n-1}_t:=\{x\in\R^n:x^n=t\}\subset\R^n$. Sei $C\subset\R^n$
  kompakt und $C_t:=C\cap\R^{n-1}_t$ d\"unn in
  $\R^{n-1}_t\cong\R^{n-1}$ f\"ur alle $t\in\R$, dann ist $C$ in
  $\R^n$ d\"unn.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da die Eigenschaft, d\"unn zu sein, unter abz\"ahlbaren
  Vereinigungen erhalten bleibt, d\"urfen wir annehmen, dass
  $C\subset\R^{n-1}\times[0,1]$ gilt. \par F\"ur $t\in[0,1]$ ist $C_t$
  in $\R^{n-1}\times\{t\}$ d\"unn. Sei $\epsilon>0$ und $W^i_t$ eine
  \"Uberdeckung von $C_t$ durch offene W\"urfel mit
  $\sum\limits_i|W^i_t|<\epsilon$. Definiere
  $W_t:=\bigcup\limits_iW^i_t$ und fasse dies (nach Identifikation)
  als Teilmenge des $\R^{n-1}$ auf. \par
  Die Funktion $|x^n-t|$ ist f\"ur festes $t\in[0,1]$ auf $C$ stetig,
  verschwindet genau auf $C_t$ und nimmt in der kompakten Menge
  $C\setminus(W_t\times[0,1])$ ein positives Minimum an, das wir mit
  $\alpha$ bezeichnen. Es folgt $$\{x\in C:|x^n-t|<\alpha\}\subset
  W_t\times I^\alpha_t,$$ wobei
  $I^\alpha_t=(t-\alpha,t+\alpha)\subset[0,1]$ ist.  Es gilt
  $\bigcup\limits_tI^\alpha_t=[0,1]$. W\"ahle nun eine
  Teil\"uberdeckung von $[0,1]$ aus den Intervallen $I^\alpha_t$ mit
  $\sum\limits_{t_j}|I^\alpha_{t_j}|\le2$ aus. Beachte, dass
  $\alpha=\alpha(t_i)$ gilt. Es folgt
  \[C\subset\bigcup\limits_{t_j,i}W^i_{t_j}\times I^\alpha_{t_j},\]
  wobei $i$ der W\"urfelindex ist und die Vereinigung \"uber Quader
  gebildet wird. Weiterhin gilt
  \[\sum\limits_{t_j,i}|W^i_{t_j}\times I^\alpha_{t_j}|\le2\epsilon.
  \qedhere\]
\end{proof}

\begin{remark}\label{sard rem}
  Die Bedingung, dass $C$ kompakt ist, l\"asst sich wie folgt
  ab\-schw\"a\-chen: $C$ ist abz\"ahlbare Vereinigung kompakter
  Mengen, die jeweils die Voraussetzungen des Theorems
  erf\"ullen. \par
  Als abz\"ahlbare Vereinigung kompakter Mengen lassen sich
  abgeschlossene Mengen und offene Mengen (die aber keine Nullmengen
  sein k\"onnen) darstellen, Bilder dieser Mengen unter stetigen
  Abbildungen, abz\"ahlbare Vereinigungen und endliche Durchschnitte
  davon.
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{Sard thm}]
  Nach Einf\"uhrung von Karten gen\"ugt es, folgendes zu zeigen:\par
  Sei $U\subset\R^n$ offen, $f:U\to\R^p$ unendlich oft differenzierbar
  und sei $D\subset U$ die Menge der kritischen Punkte von $f$, so hat
  $f(D)\subset\R^p$ das Ma\ss{} Null. \par Wir f\"uhren einen
  Induktionsbeweis nach der Dimension $n$.\par Im Fall $n=0$ ist
  $\R^n$ ein Punkt. Also ist $f(U)$ h\"ochstens ein Punkt und hat
  damit das Ma\ss{} Null. (Dies gilt ebenso f\"ur $n<p$.) \par Sei die
  Behauptung also schon im Falle \glqq n-1\grqq{} gezeigt. Wir wollen
  sie hierauf aufbauend im Falle \glqq n\grqq{} nachweisen. \par Sei
  $D_i\subset U$ die Menge aller Punkte, in denen alle partiellen
  Ableitungen der Ordnung $\le i$ verschwinden. Wir erhalten eine
  absteigende Folge relativ abgeschlossener Mengen
  $$D\supset D_1\supset D_2\supset\ldots.$$
  Wir behaupten, dass folgendes gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{sard i} $f(D\setminus D_1)$ ist d\"unn,
  \item\label{sard ii} $f(D_k\setminus D_{k+1})$ ist d\"unn f\"ur alle
    $k\ge1$,
  \item\label{sard iii} f\"ur ein gen\"ugend gro\ss{}es $k$ ist
    $f(D_k)$ d\"unn.
  \end{enumerate}
  Wir bemerken, dass auch \eqref{sard iii} n\"otig ist, damit auch die
  Punkte, in denen alle Ableitungen verschwinden, erfasst werden. \par
  Alle in \eqref{sard i}-\eqref{sard iii} auftretenden Mengen d\"urfen
  nach Bemerkung \ref{sard rem} im Satz von Fubini verwendet
  werden.\par Weiterhin gen\"ugt es nachzuweisen, dass jeder Punkt in
  $D\setminus D_1$, $D_i\setminus D_{i+1}$ bzw.{} $D_k$ eine
  Umgebung $V$ besitzt, so dass $f(V\cap(D\setminus D_1))$,
  $f(V\cap(D_i\setminus D_{i+1}))$ bzw.{} $f(V\cap D_k)$ d\"unn
  sind. Das Resultat folgt dann, weil die abz\"ahlbare Vereinigung
  d\"unner Mengen wieder d\"unn ist. (Man kommt mit abz\"ahlbar vielen
  offenen Mengen $V$ aus, da jede solche Menge entweder bereits bis
  auf eine Nullmenge in der Vereinigung der anderen solchen Mengen
  enthalten ist oder einen Ball von positivem Volumen neu
  hinzuf\"ugt.) \par
  \textbf{Beweis von \eqref{sard i}:} Nehme an, dass $p\ge2$ ist, da
  f\"ur $p=1$ n\"amlich $D=D_1$ gilt. Sei $x_0\in D\setminus D_1$. Da
  $x_0\not\in D_1$ ist, gibt es eine in $x_0$ nicht verschwindende
  partielle Ableitung, ohne Einschr\"ankung
  $\fracp{f^1}{x^1}(x_0)\neq0$. Definiere
  \begin{align*}
    h:U\to&\,\R^n,\\
    x\equiv\left(x^1,\ldots,x^n\right)\mapsto&\,
    \left(f^1(x),x^2,\ldots,x^n\right).
  \end{align*}
  In $x_0$ ist $h$ daher nicht singul\"ar. Somit gibt es eine Umgebung
  $V$ von $x_0$, so dass $h:V\to h(V)\equiv V'$ ein Diffeomorphismus
  ist. Definiere $g:=f\circ h^{-1}$. In einer Umgebung von $h(x)$ hat
  $g$ damit die Gestalt $$g:\left(z^1,\ldots,z^n\right)\mapsto
  \left(z^1,g^2(z),\ldots,g^p(z)\right).$$ Die Hyperebene
  $\left\{z:z^1=t\right\}$ wird dabei (lokal) in die Hyperebene
  $\left\{y:y^1=t\right\}$ abgebildet. Definiere $$g_t:\left(\{t\}
    \times\R^{n-1}\right)\cap V'\to\{t\}\times\R^{p-1}$$ als
  Einschr\"ankung von $g$. Es gilt
  $$Dg=\begin{pmatrix}1&0\\\text{?}&Dg_t\end{pmatrix}.$$
  Somit ist ein Punkt in $\left(\{t\}\times\R^{n-1}\right)\cap V'$
  genau dann f\"ur $g$ kritisch, wenn er f\"ur $g_t$ kritisch
  ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt die Menge der kritischen
  Werte von $g_t$ das Ma\ss{} Null in $\{t\}\times\R^{p-1}$. Da $g$
  entsprechende Hyperebenen auf sich abbildet (die erste Komponente
  bleibt unter $g$ konstant), hat auch die Menge der kritischen Werte
  von $g$ d\"unnen Durchschnitt mit der Hyperebene $\{y:y^1=t\}$. Nach
  Fubini haben also die kritischen Werte von $g$ das Ma\ss{} Null. Da
  sich $f$ und $g$ nur durch einen Diffeomorphismus unterscheiden,
  haben auch die kritischen Werte von $f$ das Ma\ss{} Null. Dies gilt
  lokal, solange $\fracp{f^1}{x^1}\neq0$ ist. Es folgt \eqref{sard
    i}. \par
  \textbf{Beweis von \eqref{sard ii}:} Wir argumentieren \"ahnlich wie
  beim Beweis von \eqref{sard i}. Sei $x_0\in D_k\setminus
  D_{k+1}$. Dann gibt es dort eine nicht verschwindende $(k+1)$-ste
  Ableitung, ohne Einschr\"ankung
  $$\fracp{^{k+1}f^1}{x^1\partial x^{\nu_1}\cdots\partial
    x^{\nu_k}} (x_0)\neq0.$$ Nehme an, dass dies in einer ganzen
  Umgebung $V$ von $x_0$ gilt. Definiere
  \begin{align*}
    w:&\,V\to\R,\\
    w:=&\,\fracp{^kf^1}{x^{\nu_1}\cdots\partial x^{\nu_k}}.
  \end{align*}
  Es gilt $w(x_0)=0$, $\fracp w{x^1}(x_0)\neq0$. Die
  Abbildung
  $$h:x\mapsto\left(w(x),x^2,\ldots,x^n\right)$$
  definiert damit einen Diffeomorphismus $h:V\to V'\equiv h(V)$.  Nach
  Definition von $D_k$ und $w$ erf\"ullt jeder Punkt in $D_k$ auch
  $w=0$.  Wegen $D_k\subset\{w=0\}$ gilt
  $$h(D_k\cap V)\subset\{0\}\times\R^{n-1}\subset\R^n.$$
  Definiere $$g:=f\circ h^{-1}:V'\to\R^p$$ und die Einschr\"ankung
  $$g_0:\left(\{0\}\times\R^{n-1}\right)\cap V'\to\R^p.$$ Nach
  Induktionsvoraussetzung hat die Menge der kritischen Werte von $g_0$
  das Ma\ss{} Null. Sei $x\in h(D_k\cap V)$. Dann verschwinden dort
  alle Ableitungen von $g$ bis zur Ordnung $k$. Da $h(D_k\cap
  V)\subset \{0\}\times\R^{n-1}$ gilt, ist dort auch $g_0$ definiert
  und es verschwinden auch f\"ur $g_0$ dort alle Ableitungen bis zur
  Ordnung $k$. Insbesondere verschwinden dort also auch alle ersten
  Ableitungen und es handelt sich damit um kritische Punkte von
  $g_0$. Also ist $g_0\circ h(D_k\cap V)= g\circ h(D_k\cap V)
  =f(D_k\cap V)$ d\"unn. \par
  \textbf{Beweis von \eqref{sard iii}:}
  Die Menge $U$ ist abz\"ahlbare Vereinigung von W\"urfeln. Sei
  $W\Subset U$ ein W\"urfel der Kantenl\"ange $a$ und sei $k>\frac
  np-1$. Es gen\"ugt zu zeigen, dass $f(W\cap D_k)$ d\"unn ist.\par
  Nach Taylor gilt
  \begin{align*}
    f(x+h)=&\,f(x)+R(x,h)\\
    \intertext{mit}
    |R(x,h)|\le&\,c\cdot|h|^{k+1}
  \end{align*}
  f\"ur $x\in D_k\cap W$ und $x+h\in W$, wobei die Konstante $c$ nur
  von $f$ und $W$ abh\"angt.\par Zerlege nun $W$ in $l^n$ W\"urfel der
  Kantenl\"ange $\frac al$, $l\in\N$. Ist $W_1$ ein W\"urfel der
  Zerlegung, der einen Punkt $x\in D_k$ enth\"alt, so l\"asst sich
  jeder andere Punkt in $W_1$ als $x+h$ mit $|h|\le\frac{\sqrt na}l$
  darstellen. Somit folgt nach Taylor 
  $$|f(x+h)-f(x)|\le c\cdot\left(\frac{\sqrt na}l\right)^{k+1}.$$
  Somit liegt $f(W_1)$ in einem W\"urfel der Kantenl\"ange
  $$c_1(n)\cdot c\cdot\left(\frac{\sqrt na}l\right)^{k+1}.$$
  Es gibt h\"ochstens $l^n$ solche W\"urfel mit Punkten in $D_k$. Die
  aufsummierten Volumina der Bilder dieser W\"urfel in $\R^p$ sind
  somit h\"ochstens
  $$c_1(n)^p\cdot c^p\cdot\left(\frac{\sqrt na}l\right)^{p(k+1)}\cdot
  l^n =c(\ldots)\cdot l^{n-p(k+1)}.$$
  Da $n-p(k+1)<0$ gilt, wird dies f\"ur $l\to\infty$ beliebig klein
  und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{corollary}[Brown]\label{brown sard cor}
  Seien $M$ und $N$ (endlichdimensionale) Mannigfaltigkeiten. Sei
  $f:M\to N$ eine differenzierbare ($C^\infty$-)Abbildung. Dann liegen
  die regul\"aren Werte von $f$ dicht in $N$. 
\end{corollary}

Aus dem Sardschen Satz wollen wir nun noch den Brouwerschen
Fixpunktsatz herleiten:
\begin{definition}
  Sei $A\subset B$. Eine \emph{Retraktion} ist eine stetige Abbildung
  $f:B\to A$, so dass $f|_A=\id$, also $f(x)=x$ f\"ur alle $x\in A$,
  gilt.
\end{definition}

\begin{theorem}
  Es gibt keine Retraktion von $\ol{B_1(0)}\subset\R^n$ auf
  $\S^{n-1}$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren einen Widerspruchsbeweis. Sei
  $f:\ol{B_1(0)}\to\S^{n-1}$ eine Retraktion. Zeige zun\"achst, dass
  es dann auch eine $C^\infty$-Retraktion (hier: eine
  $C^\infty$-Umgebung, die sich noch glatt auf eine Umgebung des
  Randes fortsetzen l\"asst) von $\ol{B_1(0)}$ auf $\S^{n-1}$ gibt:
  Wir finden eine Retraktion $g$, die in der N\"ahe von $\partial
  B_1(0)$ von der Klasse $C^\infty$ ist, z.\,B.
  \begin{align*}
    g(x)=
    \begin{cases}
      f\big(\tfrac x{|x|}\big) =\tfrac x{|x|} &\text{f\"ur
      }\tfrac12\le|x|\le1,\\ 
      f(2x)&\text{f\"ur }0\le|x|\le\tfrac12.
    \end{cases}
  \end{align*}
  Approximation (Mollifizierung) im Inneren und Projektion auf
  $\S^{n-1}$ liefert eine $C^\infty$-Retraktion. Nehme daher $f\in
  C^\infty\big(\ol{B_1(0)},\S^{n-1}\big)$ an. Dann gibt es nach
  Korollar \ref{brown sard cor} einen regul\"aren Wert $y\in\S^{n-1}$
  von $f$. Also ist die kompakte Menge $f^{-1}(y)$ eine
  eindimensionale Untermannigfaltigkeit (Zun\"achst in $B_1(0)$, dann
  aber, wenn wir $f$ wie angegeben gl\"atten, auch bis zum Rand, da
  $f$ nach Konstruktion auf radialen Geradenst\"ucken in der N\"ahe
  von $\S^{n-1}$ konstant ist.). $f^{-1}(y)$ ist also eine
  eindimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand in $\ol{B_1(0)}$. Deren
  Rand ist eine Teilmenge von $\S^{n-1}=\partial B_1$. Es gilt $y\in
  f^{-1}(y)$, da $f$ eine Retraktion ist. Sei $V$ die Komponente von
  $f^{-1}(y)$, die $y$ enth\"alt. $V$ ist eine eindimensionale
  kompakte zusammenh\"angende Mannigfaltigkeit mit Rand, also
  diffeomorph zu einem abgeschlossenen Intervall. $y$ ist der eine
  Randpunkt von $V$.  Sei $z\neq y$ der andere, der ebenfalls auf
  $\partial B_1$ liegen muss.  Es folgt $z=f(z)$ im Widerspruch zu
  $y,z\in f^{-1}(y)$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Brouwerscher Fixpunktsatz]
  Sei $f:\ol{B_1(0)}\to \ol{B_1(0)}$ stetig. Dann besitzt $f$ einen
  Fixpunkt, d.\,h.{} es gibt ein $x\in\ol{B_1(0)}$ mit $f(x)=x$.   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls $f(x)\neq x$ f\"ur alle $x\in\ol{B_1(0)}$ gilt, definieren wir
  $g(x)$ als den Schnittpunkt einer in $f(x)$ beginnenden Halbgeraden
  durch $x$ mit $\S^{n-1}$. Nach Konstruktion ist $g$ eine Retraktion
  von $\ol{B_1(0)}$ auf $\S^{n-1}$. 
\end{proof}

\Section{Abbildungsgrad}
In diesem Kapitel wollen wir den Brouwergrad untersuchen. Man
untersucht ihn f\"ur Abbildungen zwischen geschlossenen
Mannigfaltigkeiten oder zwischen Teilmengen des $\R^n$. Da der Rand
des Definitionsgebietes Zusatz\"uberlegungen erfordert, wollen wir uns
zun\"achst auf den $\R^n$-Fall konzentrieren; der Fall von
Mannigfaltigkeiten ist dann einfacher. \par Wir w\"ahlen einen
analytischeren Zugang, wie man ihn beispielsweise auch in der
nichtlinearen Funktionalanalysis untersucht und folgen
\cite{TomiNLFA}. Einen alternativen Zugang bietet die algebraische
Topologie. Unterschiedliche Verallgemeinerungen des Abbildungsgrades
finden sich in der Funktionalanalysis oder Topologie. 

\begin{definition}[Brouwergrad]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
  $f\in C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)\cap
  C^1\left(\Omega,\R^n\right)$. Sei
  $y\in\R^n\setminus f(\partial\Omega)$ ein regul\"arer Wert von
  $f|_\Omega$. Dann definieren wir den \emph{Brouwergrad} durch
  \[d(f,\Omega,y):=\sum\limits_{x\in f^{-1}(y)} \sgn\det df(x).\] 
  Manchmal schreibt man auch $\deg(f,\Omega,y)$ statt
  $d(f,\Omega,y)$. 
\end{definition}

Mit Hilfe einer Reihe von Lemmata wollen wir diese Definition auch auf
$C^0$-Funktionen und nicht regul\"are Punkte \"ubertragen.

\begin{remark}
  \label{urbild endl rem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Zun\"achst einmal ist der Abbildungsgrad definiert, denn die
    Summe ist endlich: Sei $y$ regul\"ar und sei $(x_n)_{n\in\N}$ eine
    Folge aus paarweise verschiedenen Punkten in $f^{-1}(y)$. Da
    $\ol\Omega$ kompakt ist, k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung
    annehmen, dass $x_n\to x\in\ol\Omega$ konvergiert. Falls
    $x\in\Omega$ ist, ist $x$ wegen $f(x)=y$ ein regul\"arer Punkt von
    $f$ und somit ist $f$ in einer kleinen Umgebung von $x$
    injektiv. Widerspruch zu $x_n\to x$ und $f(x_n)=f(x)=y$. Ist
    $x\in\partial\Omega$, so liefert die Stetigkeit von $f$, dass auch
    $f(x)=y$ gilt, wir hatten aber $y\not\in f(\partial\Omega)$
    angenommen. Somit ist $f^{-1}(y)$ endlich.
  \item In $\R^n\setminus f(\partial\Omega)$ ist die Menge der
    regul\"aren Werte relativ offen und die Menge der singul\"aren
    Werte relativ abgeschlossen. Nach dem Sardschen Satz ist die Menge
    der regul\"aren Werte auch dicht in $\R^n\setminus
    f(\partial\Omega)$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{abl gr kl raum lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, sei $F\in C^1\left(\Omega\times(a,b),
    \R^n\right)$ und sei $z$ eine nach der Bogenl\"ange
  parametrisierte Kurve (\dh $|z'|=1$) mit $F(z(s))=0$ f\"ur alle
  $s\in(s_0,s_1)$. Schreibe
  $z(s)=(x(s),t(s))\in\Omega\times(a,b)$. Dann gilt \[t'(s)\det
  \begin{pmatrix}
    F_z(z(s))\\ z'(s)
  \end{pmatrix}
  =\det F_x(z(s)).\] 
  Hat $F_z$ den Rang $n$, so ist $\det\begin{pmatrix} F_z\\
    z' \end{pmatrix}\neq 0$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $F(z(s))=0$ folgt $dF(z(s))\langle z'(s)\rangle=0$ und in
  Komponenten 
  \begin{equation}
    \label{F null diff eq}
    \sum\limits_{l=1}^{n+1} \fracp{F^k}{z^l}\left(z^l\right)'
    \equiv\sum\limits_{l=1}^n\fracp{F^k}{x^l}\left(x^l\right)'
    +\fracp{F^k}tt'=0
  \end{equation}
  f\"ur alle $k=1,\ldots,n$. \par W\"are $\det
  \begin{pmatrix} F_z\\z' \end{pmatrix}=0$ und $\rang F_z=n$, so
  g\"abe es $\lambda_k\in\R$ mit
  $\left(z^l\right)'=\sum\limits_{k=1}^n
  \lambda_k\fracp{F^k}{z^l}$. Somit
  folgte \[1=\sum\limits_{l=1}^{n+1}{\left(z^l\right)'}^2
  =\sum\limits_{k=1}^n\lambda_k \underbrace{ \sum\limits_{l=1}^{n+1}
    \fracp{F^k}{z^l}{\left(z^l\right)}'}_{=0\text{ \eqref{F null diff
        eq}}} =0.\] Widerspruch. \par Auch f\"ur die andere Behauptung
  verwenden wir am Ende \eqref{F null diff eq}.
  \begin{align*}
    t'\cdot\det
    \begin{pmatrix}
      \left(\fracp{F^k}{x^l}\right) &\left(\fracp{F^k}t\right)\\
      \left(\left(x^l\right)'\right) &t'
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \det
    \begin{pmatrix}
      \left(\fracp{F^k}{x^l}\right) &\left(\fracp{F^k}tt'\right)\\
      \left(\left(x^l\right)'\right) &(t')^2
    \end{pmatrix}\umbruch\\
    =&\,
    \det
    \begin{pmatrix}
      \left(\fracp{F^k}{x^l}\right)
      &\left(\fracp{F^k}tt'+\sum\limits_{l=1}^n
        \fracp{F^k}{x^l}\left(x^l\right)'\right)\\
      \left(\left(x^l\right)'\right) &(t')^2
      +\sum\limits_{l=1}^n{\left(x^l\right)'}^2
    \end{pmatrix}\umbruch\\
    =&\,
    \det
    \begin{pmatrix}
      \left(\fracp{F^k}{x^l}\right)&0\\
      \left(\left(x^l\right)'\right) &1
    \end{pmatrix}
    =
    \det\left(\fracp{F^k}{x^l}\right). \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Unter kleinen St\"orungen der Funktion \"andert sich der
Abbildungsgrad nicht. 
\begin{lemma}\label{f stoer abb konst lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. 
  Seien $f_0,f_1\in C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right) \cap
  C^2\left(\Omega,\R^n\right)$. Sei $y\in\R^n\setminus
  f_0(\partial\Omega)$, $\sigma:=\sup\limits_{x\in\ol\Omega}
  |f_0(x)-f_1(x)| <\rho:=\inf\limits_{x\in\partial\Omega}
  |f_0(x)-y|$. Sei $y$ ein regul\"arer Wert von $f_0$ und $f_1$. Dann
  ist \[d(f_0,\Omega,y)=d(f_1,\Omega,y).\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \textbf{Vorbemerkung:} Sei $y$ ein regul\"arer Wert von $f$, $f$
  erf\"ulle die Voraussetzungen an $f_i$.  Gelte ohne
  Ein\-schr\"an\-kung $y=0$.  Dann tritt f\"ur ein hinreichend kleines
  $\epsilon>0$ einer der folgenden F\"alle ein:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f^{-1}(B_\epsilon(y))=\emptyset$
  \item Wir definieren $x_j$ durch $f^{-1}(y)=\{x_1,\ldots,x_m\}$ und
    w\"ahlen Umgebungen $U_j(x_j)$ von $x_j$, so dass
    $f|_{U_j(x_j)}\colon U_j(x_j)\to B_\epsilon(y)$ f\"ur $1\le j\le
    m$ ein Diffeomorphismus ist und $f^{-1}(B_\epsilon(y))
    =U_1(x_1)\dot\cup \ldots \dot\cup U_m(x_m)$ gilt: Nach Bemerkung
    \ref{urbild endl rem} ist das Urbild endlich. Dann gibt es zu
    jedem Punkt $x_j$ eine Umgebung $V_j$, so dass $f|_{V_j}$ ein
    Diffeomorphismus auf das Bild ist. Durch Verkleinern der
    Umgebungen $V_j$ k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
    diese Mengen paarweise disjunkt sind. Die Mengen $f(V_j)$ sind
    jeweils offene Umgebungen von $y$. Somit ist auch ihr Schnitt eine
    Umgebung von $y$.  W\"ahle nun $\epsilon>0$ so klein, dass
    $B_\epsilon(y)\subset\bigcap\limits_{j=1}^m V_j$ gilt. Wenn wir
    nun $U_j(x_j):=(f|_{V_j})^{-1}(B_\epsilon(y))$ w\"ahlen, folgt die
    Behauptung.
  \end{enumerate}
  In beiden F\"allen ist \[d(f,\Omega,y)=d(f,\Omega,z)\quad
  \text{f\"ur alle }z\in B_\epsilon(y).\] Nun zum eigentlichen Beweis:
  Gelte ohne Einschr\"ankung $y=0$. Definiere \[F(x,t):=(1-t)f_0(x)
  +tf_1(x)\] f\"ur $0\le t\le1$ und w\"ahle $\epsilon>0$ so, dass die
  Vorbemerkung f\"ur $f_0$ und f\"ur $f_1$ gilt. W\"ahle einen
  regul\"aren Wert $z$ von $F$ mit
  $|z|<\min\{\epsilon,\rho-\sigma\}$. Wegen $|z|<\epsilon$ ist $z$ ein
  regul\"arer Wert f\"ur $f_0$ und $f_1$. Aufgrund der Vorbemerkung
  erhalten wir $d(f_j,\Omega,0)=d(f_j,\Omega,z)$ f\"ur $j=0,1$. \par
  Die Menge $F^{-1}(z)\cap(\Omega\times[0,1])$ ist kompakt, da f\"ur
  $(x,t)\in\partial\Omega\times[0,1]$ \[|F(x,t)-z|
  =|f_0(x)+t(f_1(x)-f_0(x))-z| \ge\rho-\sigma-|z|>0\] gilt.  Schreibe
  $f^{-1}_j(z)=\{x_j^1,\ldots,x_j^{m_j}\}$ f\"ur $j=0,1$. Nach
  Voraussetzung ist $z$ ein regul\"arer Wert von $f_0=F(\cdot,0)$ und
  $f_1=F(\cdot,1)$. Nach dem Satz \"uber implizite Funktionen gibt es
  daher ein $\delta>0$, so dass die Mengen
  $F^{-1}(z)\cap(\Omega\times[0,\delta])$ und
  $F^{-1}(z)\cap(\Omega\times[1-\delta,1])$ entweder leer sind oder
  aus $m_0$ bzw.{} $m_1$ disjunkten $C^1$-Kurven bestehen. Diese
  beschreiben wir als Graphen der Funktionen $\alpha^i_j(t)$, $j=0,1$,
  $i=1,\ldots,m_j$, $0\le t\le\delta$ bzw.{} $1-\delta\le t\le1$. Es
  gilt $\alpha^i_j(j)=x^i_j$. \par
  Nach Voraussetzung ist $z$ auch ein regul\"arer Wert von $F$. Daher
  ist $F^{-1}(z)$ eine kompakte eindimensionale differenzierbare
  Mannigfaltigkeit mit Rand (Benutze, dass $F$ f\"ur ein kleines
  $\zeta>0$ auch f\"ur $t\in(-\zeta,1+\zeta)$ in $z$ regul\"ar
  ist. Das Urbild von $z$ unter der Fortsetzung ist dann eine
  eindimensionale Mannigfaltigkeit. Da $z$ f\"ur $f_0=F(\cdot,0)$ und
  $f_1=F(\cdot,1)$ regul\"ar ist, k\"onnen wir nahe $t=0$ und $t=1$
  jede Zusammenhangskomponente als Graph \"uber der $t$-Achse
  schreiben. Der Rand ist $F^{-1}(z)\cap(\Omega\times\{0,1\})$. Aus
  diesen \"Uberlegungen geht hervor, dass das Urbild genau eine
  Mannigfaltigkeit im sp\"ater noch zu definierenden Sinn ist, dass es
  also lokal diffeomorph zu $[0,1)$ oder $(0,1)$ ist.). Die endlich
  vielen Zusammenhangskomponenten sind also diffeomorph zu $\S^1$ oder
  $[0,1]$. Sei $W$ eine Zusammenhangskomponente von $F^{-1}(z)$, die
  zu $[0,1]$ diffeomorph ist. Wir parametrisieren $W$ nach der
  Bogenl\"ange und erhalten $W=\{w(s)=(x(s),t(s))\colon s_0\le s\le
  s_1\}$. Es gilt $t(s_0),t(s_1)\in\{0,1\}$. Weiterhin ist
  $t'(s_j)\neq0$: Sei n\"amlich $t\in [0,\delta]$ oder $t\in
  [1-\delta,1]$, so ist wegen $x(s)=\alpha^i_j(t(s))$
  \[1=|w'(s)|
  =\left|\left(\left(\alpha^i_j\right)'t'(s),t'(s)\right)\right|
  =|t'(x)|\cdot\left|\left(\left(\alpha^i_j\right)',1\right)\right|.\]
  Es treten drei F\"alle auf:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $W$ hat beide Randpunkte in $\Omega\times\{0\}$: Dann gelten
    $t'(s_0)>0$ und $t'(s_1)<0$.
  \item $W$ hat beide Randpunkte in $\Omega\times\{1\}$: Dann gelten
    $t'(s_0)<0$ und $t'(s_1)>0$.
  \item $W$ hat einen Randpunkt in $\Omega\times\{0\}$, ohne
    Einschr\"ankung $w(t(s_0))$, und einen Randpunkt in
    $\Omega\times\{1\}$: Dann gelten $t'(s_0)>0$
    und $t'(s_1)>0$. 
  \end{enumerate}
  Auf der Menge $F^{-1}(z)$ hat $dF$ den Rang $n$. Somit kann sich
  nach Lemma \ref{abl gr kl raum lem} das Vorzeichen von
  $\det\begin{pmatrix}F_z\\ z'\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}dF\\
    z'\end{pmatrix}$ auf einer Zusammenhangskomponente $W$ nicht
  \"andern. Mit Lemma \ref{abl gr kl raum lem} folgt daher aufgrund
  des ggf.{} auftretenden Vorzeichenwechsels zwischen $t'(s_0)$ und
  $t'(s_1)$ in den jeweiligen F\"allen
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\sgn\det F_x(x(s_0),0)=-\sgn\det F_x(x(s_1),0)$,
  \item $\sgn\det F_x(x(s_0),1)=-\sgn\det F_x(x(s_1),1)$,
  \item $\sgn\det F_x(x(s_0),0)=\sgn\det F_x(x(s_1),1)$.
  \end{enumerate}
  Nun ist $F_x(x,j)=df_j(x)$ f\"ur $j=0,1$. Aufsummieren in der
  Definition des Abbildungsgrades liefert daher
  \[d(f_0,\Omega,z)=d(f_1,\Omega,z).\] Da diese Abbildungsgrade nach
  \"Uberlegungen von oben mit denen im Ursprung \"ubereinstimmen,
  folgt die Behauptung. 
\end{proof}

Mit Hilfe dieses Lemmas k\"onnen wir den Abbildungsgrad f\"ur
beliebige, \dh nicht notwendigerweise regul\"are, Werte definieren.
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.  Sei $f\in
  C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)\cap C^2\left(\Omega,\R^n\right)$ und
  sei $y\in\R^n\setminus f(\partial\Omega)$. Dann definieren
  wir \[d(f,\Omega,y):=d(f,\Omega,z),\] wobei $z$ ein regul\"arer Wert
  von $f$ mit
  $|z-y|<\frac13\dist(y,f(\partial\Omega))\equiv\frac13\rho$ ist.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{y nicht reg lem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $d(f,\Omega,z)$ ist unabh\"angig von der speziellen Wahl von
    $z$.
  \item Lemma \ref{f stoer abb konst lem} gilt ohne die Voraussetzung,
    dass $y$ regul\"ar ist. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $z_0,z_1$ regul\"are Werte von $f$ und gelte
    $|z_j-y|<\frac13\rho$. Setze $f_j:=f-z_j$. Dann folgt
    $d(f,\Omega,z_j)=d(f_j,\Omega,0)$ f\"ur $j=0,1$. Es gilt
    \begin{align*}
      \sigma:=&\,\sup\limits_{x\in\ol\Omega}|f_0(x)-f_1(x)| =|z_0-z_1|
      \le|z_0-y|+|y-z_1| <\tfrac23\rho
      \intertext{und f\"ur $x\in\partial\Omega$ ist}
      |f_0(x)|=&\,|f(x)-z_0| \ge|f(x)-y|-|y-z_0| \ge\rho-\tfrac13\rho
      =\tfrac23\rho.  
    \end{align*}
    Nach Lemma \ref{f stoer abb konst lem} folgt daher
    $d(f_0,\Omega,0)=d(f_1,\Omega,0)$. Zusammengenommen folgt die
    Behauptung.
  \item Sei $y\not\in f_0(\partial\Omega)$. Damit gilt aufgrund der
    Voraussetzungen von Lemma \ref{f stoer abb konst lem} auch
    $y\not\in f_1(\partial\Omega)$. W\"ahle einen regul\"aren Wert
    $\tilde y$ f\"ur $f_0$ und $f_1$ mit $|\tilde
    y-y|<\frac13\dist(y,f_j(\partial\Omega))$, $j=0,1$ und (die
    folgende Ungleichung gilt nach Voraussetzung von Lemma \ref{f
      stoer abb konst lem} bereits f\"ur $y$ statt $\tilde
    y$) \[\sup\limits_\Omega|f_0-f_1|=:\sigma<\dist(\tilde
    y,f_0(\partial\Omega)).\] Nach Lemma \ref{f stoer abb konst lem}
    und nach der Definition des Abbildungsgrades f\"ur nicht
    regul\"are Werte
    folgt \[d(f_0,\Omega,y)\overset{\text{Def.}}{=\!=\!=}
    d(f_0,\Omega,\tilde y) \overset{\text{Lem.}}{=\!=\!=}
    d(f_1,\Omega,\tilde y) \overset{\text{Def.}}{=\!=\!=}
    d(f_1,\Omega,y).\qedhere\]
  \end{enumerate}
\end{proof}

Wir erweitern die Definition auch auf stetige Abbildungen.
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $f\in
  C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ und sei $y\in\R^n\setminus
  f(\partial\Omega)$, so definieren
  wir \[d(f,\Omega,y):=d(f_0,\Omega,y),\] wobei $f_0\in
  C^\infty\left(\R^n,\R^n\right)$ mit $\sup\limits_{x\in\Omega}
  |f(x)-f_0(x)|<\frac13\dist(y,f(\partial\Omega))$ ist.  
\end{definition}

\begin{lemma}\label{stet fkt abb gr lem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Der Abbildungsgrad f\"ur stetige Funktionen ist wohldefiniert,
    h\"angt also nicht von der speziellen Wahl der glatten Funktion
    ab. 
  \item Lemma \ref{f stoer abb konst lem} gilt auch f\"ur $f_0,f_1\in
    C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ und nicht notwendigerweise
    regul\"are Werte. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $f_0,f_1\in C^\infty\left(\R^n,\R^n\right)$ mit
    $\sup\limits_{x\in\Omega} |f(x)-f_i(x)|
    <\frac13\dist(y,f(\partial\Omega)) =:\frac13\rho$, $i=0,1$. Es
    folgt $\sup\limits_\Omega |f_0(x)-f_1(x)|<\frac23\rho$.  Weiterhin
    gilt
    \[\dist(y,f_i(\partial\Omega)) \ge\dist(y,f(\partial\Omega))
    -\sup\limits_\Omega|f-f_i| >\rho-\tfrac13\rho =\tfrac23\rho\]
    f\"ur $i=0,1$.  Nach Lemma \ref{y nicht reg lem} folgt
    $d(f_0,\Omega,y)=d(f_1,\Omega,y)$. Wir erhalten die
    Wohldefiniertheit.
  \item Seien $f_0,f_1\in C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ und sei
    $y\in\R^n\setminus f_0(\partial\Omega)$
    mit \[\sigma:=\sup\limits_\Omega|f_0-f_1|
    <\dist(y,f_0(\partial\Omega))=:\rho.\] Somit ist
    $\dist(y,f_1(\partial\Omega))\ge\rho-\sigma>0$.\par
    W\"ahle nun $\tilde f_0,\tilde f_1\in
    C^\infty\left(\R^n,\R^n\right)$ mit $\sup\limits_\Omega
    \big|f_j-\tilde f_j\big| <\frac13(\rho-\sigma)$,
    also \[\sup\limits_\Omega \big|f_j-\tilde f_j\big|
    <\tfrac13\dist(y,f_j(\partial\Omega))\quad\text{f\"ur }j=0,1.\]
    Wir erhalten
    \begin{align*}
      \sup\limits_\Omega\big|\tilde f_0-\tilde f_1\big|
      \le&\,\sup\limits_\Omega\big|\tilde f_0-f_0\big|
      +\sup\limits_\Omega|f_0-f_1| +\sup\limits_\Omega\big|f_1-\tilde
        f_1\big|\\
      <&\,\tfrac13(\rho-\sigma)+\sigma+\tfrac13(\rho-\sigma)
      =\tfrac23\rho+\tfrac13\sigma
      \intertext{und}
      \dist\big(y,\tilde f_0(\partial\Omega)\big)
      \ge&\,\dist(y,f_0(\partial\Omega))
      -\sup\limits_\Omega\big|f_0-\tilde f_0\big|\\
      >&\,\rho-\tfrac13(\rho-\sigma) =\tfrac23\rho+\tfrac13\sigma. 
    \end{align*}
    Wir erhalten insgesamt mit Lemma \ref{y nicht reg lem}
    \[d(f_0,\Omega,y) \overset{\text{Def.}}{=\!=\!=} d\left(\tilde
      f_0,\Omega,y\right) \overset{\text{Lem.}}{=\!=\!=}  d\left(\tilde
      f_1,\Omega,y\right) \overset{\text{Def.}}{=\!=\!=} d(f_1,\Omega,y).
    \qedhere\]
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Eigenschaften des Brouwer-Grades]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $F\in C^0\left(\ol\Omega\times[0,1],\R^n\right)$ eine
    Homotopie und $y\not\in F(\partial\Omega\times[0,1])$, so ist
    $d(F(\cdot,t),\Omega,y)$ von $t$ unabh\"angig. \hfill
    (Homotopieinvarianz) 
  \item Ist $f\in C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ und
    $y\in\R^n\setminus f(\partial\Omega)$, so ist
    $d(f,\Omega,y)=d(f-y,\Omega,0)$ und $d(f,\Omega,\cdot)$ ist auf
    jeder Zusammenhangskomponente von $\R^n\setminus
    f(\partial\Omega)$ konstant. 
  \item\label{brouwer eig iii} Ist $y\in\R^n\setminus
    f(\partial\Omega)$ und $d(f,\Omega,y)\neq0$, so existiert
    $x\in\Omega$ mit $f(x)=y$.
  \item Sei $\Omega=\Omega_1\dot\cup\Omega_2$ mit disjunkten offenen
    Mengen $\Omega_i$ und ist $y\in\R^n\setminus
    f(\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2)$, so ist \[d(f,\Omega,y)
    =d(f,\Omega_1,y) +d(f,\Omega_2,y).\] 
  \item Sei $A\subset\ol\Omega$ abgeschlossen und $y\in\R^n\setminus
    f(\partial\Omega\cup A)$. Dann
    ist \[d(f,\Omega,y)=d(f,\Omega\setminus A,y).\]
    (Ausschneidungseigenschaft)
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da $\partial\Omega\times[0,1]$ kompakt ist und $F$ stetig ist,
    ist $\rho:=\dist(y,F(\partial\Omega\times[0,1]))>0$. Da $F$ auf
    $\ol\Omega\times[0,1]$ gleichm\"a\ss{}ig stetig ist, gibt es ein
    $\delta>0$, so dass f\"ur alle $t,t_0\in[0,1]$ mit
    $|t-t_0|<\delta$ \[\sup\limits_\Omega|F(x,t)-F(x,t_0)|<\rho\]
    gilt. Nach Lemma \ref{stet fkt abb gr lem}
    ist \[d(F(\cdot,t),\Omega,y)=d(F(\cdot,t_0),\Omega,y)\] f\"ur
    solche $t_0,t$. Die Behauptung folgt. 
  \item Die Behauptung $d(f,\Omega,y)=d(f-y,\Omega,0)$ ist f\"ur $f\in
    C^2$ und regul\"are Werte $y$ von $f$ trivial. Der allgemeine Fall
    folgt daher mit Lemma \ref{y nicht reg lem} und Lemma \ref{stet
      fkt abb gr lem}. \par Zur Konstanz auf Zusammenhangskomponenten:
    Seien $y_0,y_1\in\R^n\setminus f(\partial\Omega)$ Punkte in
    derselben Zusammenhangskomponente von $\R^n\setminus
    f(\partial\Omega)$ . Sei nun $\gamma\colon[0,1]\to\R^n\setminus
    f(\partial\Omega)$ ein stetiger Weg mit $\gamma(0)=y_0$ und
    $\gamma(1)=y_1$. Setze $F(x,t):=f(x)-\gamma(t)$. Dann ist
    $0\not\in F(\partial\Omega\times[0,1])$, also folgt aufgrund der
    Homotopieinvarianz des Abbildungsgrades 
    \begin{align*} 
      d(f,\Omega,y_0) =&\,d(f-y_0,\Omega,0) =d(f-\gamma(0),\Omega,0)
      =d(F(\cdot,0),\Omega,0)\\ =&\,d(F(\cdot,1),\Omega,0)
      =d(f-y_1,\Omega,0) =d(f,\Omega,y_1).
    \end{align*}
  \item Sei $y\not\in f\left(\ol\Omega\right)$. Setze
    $\rho:=\dist\left(y,f\left(\ol\Omega\right)\right)>0$. W\"ahle
    $f_0\in C^\infty\left(\R^n,\R^n\right)$ mit
    $\sup\limits_\Omega|f_0-f|<\frac13\rho$. Dann ist $d(f,\Omega,y)
    =d(f_0,\Omega,y)$ nach Lemma \ref{stet fkt abb gr lem} und es gilt
    $\dist\left(y, f_0\left(\ol\Omega\right)\right)
    >\frac23\rho$. W\"ahle einen regul\"aren Wert $y_0$ von $f_0$ mit
    $|y-y_0|<\frac29\rho$. Nach Lemma \ref{y nicht reg lem} ist
    $d(f_0,\Omega,y) =d(f_0,\Omega,y_0)$ und
    $\dist\left(y_0,f_0\left(\ol\Omega\right)\right)
    >\frac23\rho-\frac29\rho>0$. Daher ist $d(f_0,\Omega,y_0)=0$, denn
    $y_0$ besitzt in der allerersten Definition des Abbildungsgrades
    keine Urbilder in $\ol\Omega$. Somit ist auch
    $d(f,\Omega,y)=0$. 
  \item Dies ist f\"ur $f\in C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)\cap
    C^1\left(\Omega,\R^n\right)$ und einen regul\"aren Wert $y$
    trivial und folgt sonst mit Hilfe von Lemma \ref{y nicht reg lem}
    und Lemma \ref{stet fkt abb gr lem}.
  \item Es ist $\partial(\Omega\setminus A)\subset\partial\Omega\cup
    A$. Da $y\not\in f(\partial(\Omega\setminus A))$ ist, ist
    $d(f,\Omega\setminus A,y)$ wohldefiniert. Da weiterhin
    $\partial\Omega\cup A$ kompakt ist, ist $\rho :=\dist(y,
    f(\partial\Omega\cup A))>0$. W\"ahle nun $f_0\in
    C^\infty\left(\R^n,\R^n\right)$ mit $\sup\limits_\Omega
    |f-f_0|<\frac13\rho$ und einen regul\"aren Wert $y_0$ von $f_0$
    mit $|y-y_0|<\frac29\rho$. Wie im Beweis von Teil \eqref{brouwer
      eig iii} folgt $d(f,\Omega\setminus A,y)=d(f_0,\Omega\setminus
    A,y_0)$. Aus $y_0\not\in f_0(\partial\Omega\cup A)$ folgt die
    erste Gleichheit in \[d(f_0,\Omega,y_0) =d(f_0,\Omega\setminus
    A,y_0) =d(f,\Omega\setminus A,y).\qedhere\]
  \end{enumerate}
\end{proof}

Die Homotopieinvarianz impliziert, dass $d(f,\Omega,y)$ nicht von $f$
insgesamt sondern nur von $f|_{\partial\Omega}$ abh\"angt.
\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Seien $f_0,f_1\in
  C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ mit
  $f_0|_{\partial\Omega}=f_1|_{\partial\Omega}$. Dann
  gilt \[d(f_0,\Omega,y) =d(f_1,\Omega,y)\] f\"ur $y\not\in
  f_0(\partial\Omega)=f_1(\partial\Omega)$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende die Homotopieinvarianz auf die Homotopie
  $F(x,t)=(1-t)f_0(x)+tf_1(x)$ an und ber\"ucksichtige, dass
  $F(x,t)=f_0(x)=f_1(x)$ f\"ur alle $(x,t)\in \partial\Omega
  \times[0,1]$ gilt. 
\end{proof}

\Subsection{Anwendungen des Abbildungsgrades}
\begin{theorem}[Brouwerscher Fixpunktsatz]
  Sei $f\colon\ol{B_1(0)}\to\ol{B_1(0)}$ stetig. Dann besitzt $f$
  einen Fixpunkt, \dh es gibt ein $x\in B_1(0)$ mit $f(x)=x$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $F(x,t):=x-tf(x)$ f\"ur
  $(x,t)\in\ol{B_1(0)}\times[0,1]$. F\"ur $|x|=1$ und $0\le t<1$ ist
  $|F(x,t)|\ge1-t>0$. Nehme an, dass $f$ keinen Fixpunkt auf $\partial
  B_1(0)$ besitzt. Dann gilt $F(x,t)\neq0$ f\"ur $(x,t)\in\partial
  B_1(0)\times[0,1]$. Somit ist aufgrund der Homotopieinvarianz des
  Abbildungsgrades \[d(\id-f,B_1(0),0) =d(\id,B_1(0),0) =1\neq0\] und
  somit existiert ein $x\in B_1(0)$ mit $(\id-f)(x)=0$. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $X$ hom\"oomorph zu $\ol{B_1(0)}$. Dann besitzt jede stetige
  Abbildung $f\colon X\to X$ eine Fixpunkt. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Perron-Frobenius]
  Sei $A=\left(a^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ mit $a^i_j\ge0$ f\"ur
  alle $1\le i,j\le n$. Dann gibt es $\lambda\ge0$ und $x\neq0$ mit
  $x^i\ge0$ f\"ur alle $1\le i\le n$, so dass $Ax=\lambda x$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $D:=\S^{n-1}\cap\{x\in\R^n\colon x^i\ge0\text{ f\"ur alle
  }1\le i\le n\}$. $D$ ist hom\"oomorph zu $\ol{B^{n-1}(0)}$. Sei ohne
  Einschr\"ankung $Ax\neq0$ f\"ur alle $x\in D$, denn sonst folgt die
  Behauptung direkt f\"ur ein $x_0\in D$ mit $Ax_0=0$ und $\lambda=0$.
  Definiere $f\colon D\to D$ durch $f(x):=\frac{Ax}{|Ax|}$. Dann
  besitzt $f$ einen Fixpunkt $x_0$ und die Behauptung folgt aus
  $\lambda x_0 \equiv|Ax_0|x_0=Ax_0$.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $n$ ungerade. Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
  $0\in\Omega$. Sei $f\colon\partial\Omega\to\R^n\setminus\{0\}$
  stetig. Dann gibt es $x\in\partial\Omega$ und $\lambda\neq0$, so
  dass $f(x)=\lambda x$ gilt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei ohne Einschr\"ankung $f$ zu $f\in
  C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ fortgesetzt. Da $n$ ungerade ist,
  gilt $d(-\id,\Omega,0)=-1$. Ist $d(f,\Omega,0)\neq-1$, so besitzt
  die Homotopie $H(x,t):=(1-t)f(x)+t(-x)$ eine Nullstelle
  $(x_0,t_0)\in\partial\Omega\times(0,1)$. Es folgt
  $f(x_0)=\frac{t_0}{1-t_0}x_0$. Ist $d(f,\Omega,0)=-1$, so wenden wir
  dasselbe Argument mit der Identit\"at und $H(x,t):=(1-t)f(x)+tx$ an.
\end{proof}

\begin{corollary}[Satz vom Igel]
  Sei $n$ ungerade. Sei $V\colon\partial B_1(0)\to\R^n$ ein stetiges
  tangentiales Vektorfeld an die Sph\"are, \dh gelte $\langle
  V(x),x\rangle=0$ f\"ur alle $x\in\partial B_1(0)$. Dann besitzt $V$
  eine Nullstelle.
\end{corollary}

\begin{remark}
  Ist $n$ gerade, so gibt es ein nicht verschwindendes tangentiales
  Vektorfeld auf $\S^{n-1}$,
  n\"amlich \[V\left(x^1,\ldots,x^{2m}\right)
  =\left(-x^2,x^1,-x^4,x^3,\ldots,-x^{2m},x^{2m-1}\right).\]
\end{remark}

\begin{definition}[Abbildungsgrad f\"ur Sph\"aren]
  Sei $f\colon\S^{n-1}\to\S^{n-1}$ stetig und $\tilde f\colon
  \ol{B^n_1(0)}\to\ol{B^n_1(0)}$ sei eine stetige Fortsetzung von $f$,
  \zB
  \[
    \tilde f(x):=
    \begin{cases}
      |x|f\big(\frac x{|x|}\big),&x\neq0,\\
      0,&x=0. 
    \end{cases}
  \]
  Definiere den \emph{Grad} von $f$, $\deg(f)$,
  durch \[\deg(f):=d\big(\tilde f,B_1(0),0\big).\]
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile  
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $\tilde f_0$ und $\tilde f_1$ zwei verschiedene
    Fortsetzungen von $f$. Dann ist $H(x,t):=(1-t)\tilde f_0(x)
    +t\tilde f_1(x)$ eine Homotopie zwischen diesen beiden
    Fortsetzungen mit festen Randwerten. Somit ist $d\big(\tilde
      f_0,B_1(0),0\big) =d\big(\tilde f_1,B_1(0),0\big)$ und
    $\deg f$ ist wohldefiniert.
  \item Seien $f_0,f_1\colon\S^{n-1}\to\S^{n-1}$ zwei homotope
    Abbildungen. Setzen wir eine Homotopie $F(x,t)$,
    $(x,t)\in\S^{n-1}\times[0,1]$ mit $F(\cdot,0)=f_0$ und
    $F(\cdot,1)=f_1$ zu einer Homotopie $\tilde F(x,t)$, $(x,t)\in
    \ol{B_1(0)}\times[0,1]$, fort, so folgt \[\deg f_0 =d\big(\tilde
    F(\cdot,0),B_1(0),0\big) =d\big(\tilde F(\cdot,1),B_1(0),0\big)
    =\deg f_1.\] Somit h\"angt $\deg f$ nur von der Homotopieklasse
    von $f$ ab.
  \item F\"ur $f\colon\S^{n-1}\to\S^{n-1}$ besteht $\R^n\setminus
    f\left(\S^{n-1}\right)\supset\R^n\setminus\S^{n-1}$ wegen
    $f\left(\S^{n-1}\right)\subset\S^{n-1}$ aus maximal zwei
    Zusammenhangskomponenten. Handelt es sich um nur eine
    Zusammenhangskomponente, so ist $f$ nicht surjektiv und es gilt
    $\deg f=0$. Die Umkehrung ist i.\,a.{} falsch (warum?). 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Der Abbildungsgrad charakterisiert eine Abbildung $f\colon\S^{n-1}
\to\S^{n-1}$ sogar bis auf Homotopie.
\begin{theorem}[Satz von Hopf]\label{satz von hopf}
  Seien $f,g\colon\S^n\to\S^n$ stetig. Dann sind $f$ und $g$ genau
  dann homotop, wenn $\deg f=\deg g$ gilt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Siehe \cite[Kor. 4.25]{Hatcher}. (Dort wird unter Verwendung von
  Homotopietheorie gezeigt, dass $\pi_n\left(\S^n\right)\cong\Z$
  gilt.)
\end{proof}

Der im Satz von Hopf verwendete Abbildungsgrad ist als die Zahl
definiert, die man erh\"alt, wenn man $f_*\colon
\pi_n\left(\S^n\right)\to\pi_n\left(\S^n\right)$ verm\"oge
$\pi_n\left(\S^n\right)\cong\Z$ als Multiplikation mit einer ganzen
Zahl auf\/fasst. Weil beide Abbildungsgrade jedoch \"ubereinstimmen,
haben wir keine neue Bezeichnung eingef\"uhrt.
\begin{lemma}
  Der mit Hilfe von Homotopiegruppen und im Satz von Hopf verwendete
  Abbildungsgrad $\deg_H$ stimmt mit dem bisher definierten
  Abbildungsgrad \"uberein. 
\end{lemma}
Wahrscheinlich gibt es auch einen deutlich einfacheren Beweis, der
ohne den Satz von Hopf auskommt. 
\begin{proof}[Beweisskizze]
  F\"ur \"Aquivalenzklassen von homotopen Abbildungen
  $f,g\colon\S^n\to\S^n$, also f\"ur $[f],[g]\in
  \pi_n\left(\S^n\right)$, erkl\"art man wie folgt eine
  Gruppenstruktur: Zun\"achst einmal kann man jede Abbildung
  $\S^n\to\S^n$ so stetig deformieren, dass ein fester Referenzpunkt
  $N$ im Definitionsbereich auf einen (m\"oglicherweise anderen)
  festen Referenzpunkt, hier aber wieder $N$, abgebildet
  wird. Weiterhin k\"onnen wir die Gebiete um $N$, die auf $N$
  abgebildet werden, so vergr\"o\ss{}ern, dass sich der Teil, der
  nicht auf $N$ abgebildet wird, in einer kleinen Kreisscheibe
  befindet. Wir wollen dies f\"ur $f$ und $g$ annehmen.\par Fixiere
  nun zwei disjunkte Kreisscheiben auf $\S^n$. Definiere nun
  $[f+g]\in\pi_n \left(\S^n\right)$, als die \"Aquivalenzklasse der
  Abbildung, die au\ss{}erhalb dieser beiden Kreisscheiben alles auf
  $N$ abbildet und die die Punkte in der ersten Kreisscheibe genauso
  wie die Punkte in der ausgezeichneten Kreisscheibe der Abbildung $f$
  abbildet und analog f\"ur die zweite Kreisscheibe und $g$. (\"Ubung:
  Rechne nach, dass dies wohldefiniert ist und mit dem neutralen
  Element $[f]\in\pi_1\left(\S^n\right)$, $f(x)=N$ f\"ur alle
  $x\in\S^n$, eine Gruppe bildet. F\"ur $n\ge2$ ist diese Gruppe
  abelsch.)\par (Es gilt auch allgemein, dass die Homotopieklassen von
  Abbildungen $\S^n\to A$, $A$ ein einfach zusammenh\"angender
  topologischer Raum (oder wir betrachten punktierte R\"aume), mit
  dieser Verkn\"upfung eine Gruppe bilden, $\pi_n(A)$. Auch sie ist
  f\"ur $n\ge2$ abelsch.)\par (Identifizieren wir an zwei Sph\"aren
  einen Punkt, so bezeichnen wir den so entstandenen topologischen
  Raum als Einpunktvereinigung $\S^n\vee\S^n$. Dies ist der Raum, den
  man erh\"alt, wenn man auf $\S^n$ alles au\ss{}er zwei disjunkten
  Kreisscheiben identifiziert. Dies zeigt anschaulich, warum es sich
  um eine Addition von Abbildungen handelt.)\par
  Da beide Abbildungsgrade nur von der Homotopieklasse von $f$
  abh\"angen, k\"onnen wir besonders einfache Vertreter w\"ahlen. Der
  Satz von Hopf liefert, dass in der
  Liste \[\ldots,-\id-\id,-\id,0,\id,\id+\id,\ldots\] f\"ur alle
  Homotopieklassen ein Vertreter steht. Da beide Abbildungsgrade
  Gruppenhomomorphismen sind, also $\deg(f+g)=\deg f+\deg h$ bzw.{}
  $\deg_H(f+g)=\deg_H f+\deg_H h$ erf\"ullen, gen\"ugt der Nachweis
  von $\deg\id=\deg_H\id$. $\deg\id=1$ ist bekannt. Der Satz von Hopf,
  Theorem \ref{satz von hopf} mit Kommentar, liefert $\deg_H\id=1$.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Seien $f,g\colon\S^n\to\S^n$ stetig. Dann gilt \[\deg(f\circ g)
  =\deg f\cdot\deg g.\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Mit algebraischer Topologie: Eine weitere \"aquivalente Definition
  des Abbildungsgrades benutzt Homologiegruppen. Wie bei
  Homotopiegruppen ist \[f_*\colon H_n\left(\S^n\right)\to
  H_n\left(\S^n\right)\] verm\"oge $H_n\left(\S^n\right)\cong\Z$
  Multiplikation mit einem $a\in\Z$. Setze $\deg f:=a$. Dann folgt die
  Behauptung aus der Funktorialit\"at: $(f\circ g)_*=f_*\circ
  g_*$. \par Mit unseren Mitteln kann man auf einer orientierbaren
  Mannigfaltigkeit wie $\S^n$ Karten fixieren und den Abbildungsgrad
  dann wie in der allerersten Definition einf\"uhren. Da der
  Abbildungsgrad lokal (und damit auf $\S^n$ global) konstant ist,
  folgt die Behauptung dann aus dem noch zu zeigenden Lerayschen
  Produktsatz \ref{leray prod thm}. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Ist $f\in O(n)$, so ist $\deg f=\sgn\det f$, insbesondere gilt
  $\deg(\id)=1$ und $\deg(-\id)=(-1)^n$. (Die Sph\"are ist
  $\S^{n-1}\subset\R^n$.)
\end{remark}

Mit Hilfe des topologischen Indexes erhalten wir eine Summenformel,
die der urspr\"unglichen Definition des Abbildungsgrades \"ahnelt. 
\begin{definition}
  Sei $f\in C^0\left(\Omega,\R^n\right)$ und sei $x_0\in\Omega$ ein
  isolierter Punkt von $f^{-1}(f(x_0))$, so definieren wir den
  \emph{Index} von $f$ im Punkt $x_0$
  als \[\ind(f,x_0):=d(f,U,f(x_0)),\] wobei $U\Subset\Omega$ eine
  offene Umgebung von $x_0$ mit $\bar U\cap f^{-1}(f(x_0))=\{x_0\}$
  ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\ind(f,x_0)$ h\"angt nicht von der Auswahl von $U$ ab.
  \item Sei $\Omega$ offen und beschr\"ankt. Sei $f\in
    C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ und sei $y\in\R^n\setminus
    f(\partial\Omega)$. Gelte $f^{-1}(y)
    =\{x_1,\ldots,x_N\}\subset\Omega$ f\"ur paarweise verschiedene
    Punkte $x_i$, so gilt \[d(f,\Omega,y) =\sum\limits_{i=1}^N
    \ind(f,x_i).\]
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Folgt aus der Ausschneidungseigenschaft (\"Ubung). 
  \item W\"ahle paarweise disjunkte Umgebungen $U_j$ von $x_j$,
    $U_j\subset\Omega$ und setze $U:=\bigcup\limits_jU_j$. Dann ist
    $A:=\ol\Omega\setminus U$ abgeschlossen und es gilt $f(x)\neq y$
    f\"ur alle $x\in A$. Dann gilt
    \begin{align*}
      d(f,\Omega,y)=&\,d(f,\underbrace{\Omega\setminus
        A}_{=\overset\cdot{\bigcup\limits_j}U_j},y)&&
      \text{(Ausschneidung)}\\ 
      =&\,\sum\limits_jd(f,U_j,y)&&\text{(disjunkte Mengen)}\\
      \overset{\text{Def.}}{=\!=}&\,\sum\limits_j\ind(f,x_j).&&\qedhere
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Produktsatz von Leray]\label{leray prod thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $f\in
  C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ und seien $Z_0,Z_1,\ldots$ die
  Zusammenhangskomponenten von $\R^n\setminus f(\partial\Omega)$. Sei
  $Z_0$ die unbeschr\"ankte Komponente. Sei $g\in
  C^0\left(\R^n,\R^n\right)$ eigentlich (\dh Urbilder kompakter Mengen
  sind kompakte $\Longleftrightarrow$ $|g(x)|\to\infty$ f\"ur
  $|x|\to\infty$). Sei $y\in\R^n\setminus(g\circ
  f(\partial\Omega))$. Dann ist $y\not\in g(\partial Z_i)$ und es
  gilt \[d(g\circ f,\Omega,y) =\sum\limits_{i\ge1} d(g,Z_i,y)\cdot
  d(f,\Omega,Z_i),\] wobei $d(f,\Omega,Z_i)$ den konstanten Wert von
  $d(f,\Omega,\cdot)$ auf $Z_i$ bezeichnet.
\end{theorem}
Die wesentliche Beweisidee ist, geeignet zu approximieren und 
Kettenregel und Determinantenmultiplikationssatz zu verwenden. 
\begin{proof}[Beweis]
  Beachte zun\"achst, dass $d(f,\Omega,Z_0)=0$ ist, da $Z_0$
  unbeschr\"ankt und $f(\Omega)$ beschr\"ankt ist, siehe Eigenschaft
  \eqref{brouwer eig iii} des Brouwer-Grades. \par Wegen $\partial
  Z_i\subset f(\partial\Omega)$ folgt $y\not\in g(\partial Z_i)$ f\"ur
  alle $i$. Setze $\rho:=\dist(y,g\circ f(\partial\Omega))>0$. Dann
  ist $\dist(y,g(\partial Z_i))\ge\rho$ f\"ur alle $i$. Es ist
  $g^{-1}(\{y\})\equiv g^{-1}(y)\subset\bigcup\limits_{i\ge1}Z_i$. Da
  $g^{-1}(y)$ kompakt ist, existiert $m$, so dass
  $g^{-1}(y)\subset\bigcup\limits_{i=1}^m Z_i$ gilt. Somit ist
  $d(g,Z_i,y)=0$ f\"ur $i>m$ und die obige Summe ist
  endlich. (Beachte, dass die Anzahl der Zusammenhangskomponenten
  selbst f\"ur $f\in C^\infty$ nicht endlich zu sein braucht.)
  W\"ahle $R>0$, so dass $f\left(\ol\Omega\right)\subset B_R(0)$ gilt.
  W\"ahle $g\in C^\infty\left(\R^n,\R^n\right)$ eigentlich mit
  $\sup\limits_{|x|\le R}|g(x)-g_0(x)|<\rho$. Es folgt
  $\sup\limits_{x\in\Omega} |g\circ f(x)-g_0\circ
  f(x)|<\rho$. Weiterhin folgt $y\not\in
  g_0(f(\partial\Omega))$. Aufgrund der Homotopieinvarianz erhalten
  wir $d(g\circ f,\Omega,y) =d(g_0\circ f,\Omega,y)$ und
  $d(g,Z_i,y)=d(g_0,Z_i,y)$ f\"ur alle $i\ge1$. Daher wollen wir ohne
  Einschr\"ankung $g\in C^\infty \left(\R^n, \R^n\right)$
  annehmen. \par Es ist $g^{-1}(y)\cap f(\partial\Omega)=\emptyset$
  und $g^{-1}(y)$ ist kompakt. Daher ist
  \[\delta:=\dist\left(g^{-1}(y),f(\partial\Omega)\right)>0.\] Wegen
  $\partial Z_i\subset f(\partial\Omega)$ folgt insbesondere auch
  $\dist\left(g^{-1}(y),\partial Z_i\right)\ge\delta$. Definiere
  $V_i:= B_{\delta/2}\left(Z_i\cap g^{-1}(y)\right)\subset Z_i$. Dann
  gelten $V_i=\emptyset$ f\"ur $i>m$ und $V_i\cap V_j=\emptyset$ f\"ur
  $i\neq j$. Aufgrund der Ausschneidungseigenschaft erhalten wir
  \begin{align}
    \label{prod satz eins}
    d(g,Z_i,y) =&\,d(g,V_i,y).  \intertext{und}
    \dist(V_i,f(\partial\Omega))\ge&\,\tfrac\delta2.
    \label{prod satz stern}
  \end{align}
  W\"ahle jetzt $f_0\in C^\infty\left(\R^n,\R^n\right)$ mit
  \begin{align*}
    \sup\limits_\Omega|f(x)-f_0(x)|<&\,\frac\delta2
    \intertext{und}
    \sup\limits_\Omega|g\circ f(x)-g\circ f_0(x)|<&\,
    \rho=\dist(y,g\circ f(\partial\Omega)). 
  \end{align*}
  Aufgrund der Homotopieinvarianz und \eqref{prod satz stern} erhalten
  wir
  \begin{align}
    \label{prod satz zwei}
    d(g\circ f,\Omega,y)=&\,d(g\circ f_0,\Omega,y)
    \intertext{und}
    d(f,\Omega,Z_i)=&\,d(f,\Omega,v)=d(f_0,\Omega,v) \quad \text{f\"ur
      alle }v\in V_i.
    \label{prod satz drei}
  \end{align}
  W\"ahle einen regul\"aren Wert $y_0$ von $g\circ f_0$ so nahe bei
  $y$, so dass $g^{-1}(y_0)\subset\bigcup\limits_{i=1}^mV_i$,
  \begin{align}
    \label{prod satz vier}
    d(g,V_i,y)=&\,d(g,V_i,y_0)\\
    \intertext{und}
    \label{prod satz fuenf}
    d(g\circ f_0,\Omega,y)=&\,d(g\circ f_0,\Omega,y_0)
  \end{align}
  gelten. Nach Kettenregel gilt $d(g\circ f_0)(x) =dg(f_0(x))\cdot
  df_0(x)$. Da $y_0$ ein regul\"arer Wert von $g\circ f_0$ ist, ist
  $y_0$ auch ein regul\"arer Wert von $g$ (Kettenregel). Setze
  $g^{-1}(y_0)=:\{z_1,\ldots,z_N\}$. Weiterhin sind die Punkte $z_i$
  f\"ur $f$ regul\"ar (wieder Kettenregel). Wir setzen $f^{-1}_0(z_j)
  \cap\Omega =\{x_{jk}\colon k=1,\ldots,M_j\}$. Somit erhalten wir
  \begin{align*}
    d(g\circ f,\Omega,y)\overset{\eqref{prod satz zwei},\eqref{prod
        satz fuenf}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}&\,d(g\circ f_0,\Omega,y_0)\\
    =&\,\sum\limits_{j=1}^N\sum\limits_{k=1}^{M_j}
    \sgn\det d(g\circ f_0)(x_{jk})\\
    =&\,\sum\limits_i\sum\limits_{z_j\in V_i} \sum\limits_{x\in
      f^{-1}(z_j)} \sgn\det dg(z_j)\cdot \sgn\det df_0(x)\\
    =&\,\sum\limits_i\sum\limits_{z_j\in V_i} \sgn\det dg(z_j)\cdot
    \left(\sum\limits_{x\in f^{-1}(z_j)} \sgn\det df_0(x)\right)\\
    =&\,\sum\limits_i\sum\limits_{z_j\in V_i} \sgn\det dg(z_j)\cdot
    d(f_0,\Omega,z_j). 
  \end{align*}
  Nun ist $z_j\in V_i$ und nach \eqref{prod satz drei} folgt daher
  $d(f_0,\Omega,z_j) =d(f,\Omega,Z_i)$. Wegen $d(f,\Omega,Z_0)=0$ kann
  die Summation bei $i=1$ starten. Es folgt weiter
  \begin{align*}
    d(g\circ f,\Omega,y)=&\,\sum\limits_{i\ge1} d(f,\Omega,Z_i)\cdot
    \sum\limits_{z_j\in V_i}\sgn\det dg(z_j)\\
    =&\,\sum\limits_{i\ge 1} d(f,\Omega,Z_i)\cdot d(g,V_i,y_0)\\
    \overset{\eqref{prod satz vier},\eqref{prod satz
        eins}}{=\!=\!=\!=\!=\!=}&\,\sum\limits_{i\ge1}
    d(f,\Omega,Z_i)\cdot d(g,Z_i,y)
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

Als Korollar erhalten wir eine $n$-dimensionale Verallgemeinerung des
Jordanschen Kurvensatzes. 
\begin{theorem}[Satz von Jordan-Brouwer]\label{jordan brouwer thm}
  Sei $f\colon\S^{n-1}\to\R^n$ stetig und eineindeutig (=
  injektiv). Dann besitzt $\R^n\setminus f\left(\S^{n-1}\right)$ genau
  zwei Zusammenhangskomponenten.
\end{theorem}
Als Vorbereitung/Wiederholung halten wir folgendes fest
\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $A\subset\R^n$ abgeschlossen und sei $f\colon A\to[a,b]$
    stetig. Dann existiert eine stetige Fortsetzung $\tilde
    f\colon\R^n\to[a,b]$. 
  \item Sei $A\subset\R^n$ kompakt und sei $f\colon A\to\R^n$ stetig,
    so existiert eine eigentliche stetige Fortsetzung nach $\R^n$.
  \item Sei $f\colon A\to B$ eine stetige bijektive Abbildung zwischen
    kompakten (= \"uberdeckungskompakt und $T_2$) Mengen $A$ und
    $B$. Dann ist $f^{-1}$ stetig.
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dies ist der Fortsetzungssatz von Tietze.
  \item Benutze den Fortsetzungssatz; \"Ubung.
  \item Topologievorlesung oder \"Ubung. 
    \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis des Satzes von Jordan-Brouwer, Theorem
  \ref{jordan brouwer thm}]\neueZeilealt
  Seien $Z_0,Z_1,\ldots$ die (Zu"-sam"-menhangs-)komponenten von
  $\R^n\setminus f\left(\S^{n-1}\right)$. Sei $Z_0$ die
  unbeschr\"ankte Komponente. Betrachte $\S^{n-1}\subset\R^n$. Ohne
  Einschr\"ankung nehmen wir an, dass die Abbildungen
  $f\colon\S^{n-1}\to\R^n$ und $g:=f^{-1}\colon
  f\left(\S^{n-1}\right)\to\R^n$ stetig und eigentlich auf ganz $\R^n$
  fortgesetzt sind. W\"ahle $z_j\in Z_j$. Es gilt $g\circ f=\id$ auf
  $\S^{n-1}=\partial B_1(0)$ und $f\circ g=\id$ auf $\partial
  Z_i\subset f\left(\S^{n-1}\right)$. Somit folgt nach
  Homotopieinvarianz
  \begin{align}
    \nonumber
    d(g\circ f,B_1(0),0) =&\,d(\id,B_1(0),0)=1
    \intertext{und}
    \label{jordan brouwer zwei}
    d(f\circ g,Z_i,z_j) =&\,d(\id,Z_i,z_j)=\delta_{ij}. 
  \end{align}
  Fixiere $i\ge0$.  Es ist $g(\partial Z_i)\subset\S^{n-1}$. Somit
  besitzt $\R^n\setminus g(\partial Z_i)$ maximal zwei
  Komponenten. \par
  Wir wollen zun\"achst ausschlie\ss{}en, das $\R^n\setminus
  g(\partial Z_i)$ aus nur einer Komponente besteht. Nehme dies
  an. Eine einzelne Komponente ist unbeschr\"ankt. Somit liefert der
  Produktsatz von Leray, Theorem \ref{leray prod thm},
  \[d(f\circ g,Z_i,z_i) =\sum\limits_\emptyset=0.\] Dies widerspricht
  \eqref{jordan brouwer zwei}. \par Also besteht $\R^n\setminus
  g(\partial Z_i)$ aus genau zwei Komponenten. Dies ist nur m\"oglich,
  wenn $g(\partial Z_i)=\S^{n-1}$ gilt. Wir erhalten $\R^n\setminus
  g(\partial Z_i) =B_1(0)\dot\cup\big(\R^n
  \setminus\ol{B_1(0)}\big)$. Nun liefert der Leraysche Produktsatz
  \begin{align*}
    1=&\,d(g\circ f,B_1(0),0)
    =\sum\limits_{i\ge1}\underbrace{d(g,Z_i,0)}_{=:a_i}\cdot
    d(f,B_1(0),Z_i) \intertext{und} \delta_{ij}=&\,d(f\circ g,Z_i,z_j)
    =\underbrace{d(f,B_1(0),z_j)}_{=:b_j}\cdot
    \underbrace{d(g,Z_i,B_1(0))}_{=a_i}
  \end{align*}
  Wir erhalten also $a_ib_j=\delta_{ij}$ und
  $\sum\limits_{i\ge1}a_ib_i=1$. Dies ist nur m\"oglich, wenn die
  Summe nur den Term f\"ur $i=1$ enth\"alt. $\R^n\setminus
  f\left(\S^{n-1}\right)$ besteht also aus genau zwei
  Zusammenhangskomponenten: $Z_0$ und $Z_1$.
\end{proof}

\Subsection{Satz von Borsuk}
\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$. Dann hei\ss{}t $\Omega$
    \emph{symmetrisch}, falls $\Omega=-\Omega$ gilt.
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ symmetrisch. Sei $f\colon\Omega\to V$
    f\"ur einen Vektorraum $V$. Dann hei\ss{}t $f$ \emph{ungerade},
    falls $f(-x)=-f(x)$ f\"ur alle $x\in\Omega$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Als Vorbereitung zeigen wir zwei technische Lemmata:
Ist die Dimension des Zielraumes gro\ss{} genug, so kann man stetige
Abbildungen so fortsetzen, dass auch die Fortsetzung einen Punkt
vermeidet. 
\begin{lemma}\label{borsuk lem eins}
  Sei $K\subset\R^m$ kompakt, $f\in C^0\left(K,
    \R^n\setminus\{0\}\right)$ mit $n>m$. Dann existiert eine
  Fortsetzung $F\in C^0\left(\R^m,\R^n\setminus\{0\}\right)$ von $f$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $\delta:=\inf\limits_K|f|>0$. W\"ahle $g_0\in
  C^1\left(\R^m,\R^n\right)$ mit
  $\sup\limits_K|f-g_0|<\frac\delta4$. Wegen $g_0\in C^1$ und $m<n$
  ist $g_0\left(\R^m\right)$ eine Lebesgue-Nullmenge in $\R^n$. Somit
  gibt es $y_0\in B_{\delta/4}(0)\setminus
  g_0\left(\R^m\right)$. Setze $g:=g_0-y_0$. Dann ist $g(x)\neq0$
  f\"ur alle $x\in\R^m$. Nach Dreiecksungleichung gilt
  $\rho:=\sup\limits_K |f-g|<\frac\delta2$. Somit ist
  $\inf\limits_K|g| >\frac\delta2$. Definiere nun 
  \[G(x):=
  \begin{cases}
    g(x), &\text{falls }|g(x)|\ge\frac\delta2,\\
    \frac\delta2\cdot\frac{g(x)}{|g(x)|} &\text{sonst.}
  \end{cases}
  \]
  Es ist $G\in C^0\left(\R^m,\R^n\right)$. In ganz $\R^m$ gilt
  $|G(x)|\ge\frac\delta2$. In $K$ ist $|g|\ge\frac\delta2$ und somit
  gilt dort $G=g$. Nach dem Fortsetzungssatz von Tietze gibt es ein
  $H\in C^0\left(\R^m,\R^n\right)$ mit $H|_K=f-g$ und $|H(x)|\le\rho$
  f\"ur alle $x\in\R^m$. Definiere $F:=G+H$. Dann ist $F|_K=g+(f-g)=f$
  und es gilt $|F(x)|\ge|G(x)|-|H(x)|\ge\frac\delta2-\rho>0$ nach
  Definition von $\rho$. 
\end{proof}

Au\ss{}erhalb des Ursprunges existiert auch eine ungerade Fortsetzung.
\begin{lemma}\label{borsuk lem zwei}
  Sei $\Omega\subset\R^m$ offen, beschr\"ankt und symmetrisch. Sei
  $0\not\in\ol\Omega$. Sei $f\in
  C^0\left(\partial\Omega,\R^n\setminus\{0\}\right)$ ungerade mit
  $n>m$. Dann existiert eine ungerade Fortsetzung $F\in
  C^0\left(\ol\Omega,\R^n\setminus\{0\}\right)$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren einen Induktionsbeweis nach $m$. \par
  Sei $m=1$. Setze $\Omega^+:=\{x\in\Omega\colon x>0\}$ und
  $\Omega^-:=-\Omega^+$. $\Omega^+$ besteht aus h\"ochstens
  abz\"ahlbar vielen offenen Intervallen $I_k=(a_k,b_k)$. Setze
  $\rho:=\inf\limits_{\partial\Omega}|f|>0$ ($\partial\Omega$ ist
  kompakt). Nochmals aufgrund der Kompaktheit gibt es $\delta>0$, so
  dass $|f(x)-f(y)|<\frac\rho2$ f\"ur $|x-y|\le\delta$. Auf allen
  Intervallen $I_k$ der L\"ange $\le\delta$ w\"ahlen wir $F$ als affin
  lineare Fortsetzung von $F|_{\partial I_k}$. Dann ist $F$ auf
  $\bigcup\limits_{|I_k|\le\delta} I_k$ stetig (\"Ubung).  Wegen
  $|F(x)-F(a_k)|=|F(x)-f(a_k)|\le\frac\rho2$ f\"ur $x\in I_k$ folgt
  $|F(x)|\ge|f(a_k)|-\frac\rho2\ge\frac\rho2$. Somit ist $F$ dort auch
  nullstellenfrei. \par Auf den verbleibenden endlich vielen
  Intervallen $I_k$ w\"ahlen wir $F$ als eine beliebige stetige Kurve
  in $\R^n\setminus\{0\}$ mit Endpunkten $f(a_k)$ und $f(b_k)$. Wegen
  $n\ge2$ geht dies. Auf $\Omega^-$ definieren wir
  $F(x):=-F(-x)$. Wegen $0\not\in\ol\Omega$ ist $F$ stetig.\par
  \textbf{Induktionsschritt:} Setze $\Omega_0:=\{x\in\Omega\colon
  x^m=0\}\subset\R^{m-1}$. Es ist $\partial\Omega_0 \subset
  \partial\Omega$. $f|_{\partial\Omega_0}\in
  C^0\left(\partial\Omega_0, \R^n\setminus\{0\}\right)$ ist
  ungerade. Somit existiert nach Induktionsannahme eine ungerade
  Fortsetzung $F_0\in C^0\left(\ol{\Omega_0},
    \R^n\setminus\{0\}\right)$ mit $F_0|_{\partial\Omega_0}
  =f|_{\partial\Omega_0}$. Setze $\Omega^+:=\{x\in\Omega \colon
  x^m\ge0\}$. Dann ist $\partial\Omega^+=\partial^+\Omega
  \cup\ol{\Omega_0}$ mit $\partial^+\Omega:=\{x\in\partial\Omega\colon
  x^m>0\}$. Definiere $f^+\colon\partial\Omega^+\to\R^n\setminus\{0\}$
  durch \[f^+(x):=
  \begin{cases}
    f(x)&\text{f\"ur }x\in\partial^+\Omega,\\
    F_0(x)&\text{f\"ur }x\in\ol{\Omega_0}. 
  \end{cases}
  \]
  Es gilt $f^+\in C^0\left(\partial\Omega^+,
    \R^n\setminus\{0\}\right)$.  Nach Lemma \ref{borsuk lem eins}
  existiert eine Funktion $F^+\in
  C^0\big(\ol\Omega^+,\R^n\setminus\{0\}\big)$ mit
  $F^+|_{\partial\Omega^+} =f^+$. Setze nun
  \[F(x):=
  \begin{cases}
    F^+(x),&x\in\ol{\Omega^+},\\
    -F^+(-x),&x\in\ol{\Omega^-}\equiv\{x\in\Omega\colon x^m<0\}.
  \end{cases}
  \qedhere\]
\end{proof}

Ist $m=n$, so gibt es eine ungerade Fortsetzung, die auf einer
Hyperebene keine Nullstellen hat. 
\begin{corollary}\label{borsuk lem cor}
  Ist $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und symmetrisch mit
  $0\not\in\ol\Omega$ und $f\in C^0\left(\partial\Omega,
    \R^n\setminus\{0\}\right)$ ungerade, so existiert eine ungerade
  Fortsetzung $F\in C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ von $f$ mit
  $F(x)\neq0$ f\"ur $x^n=0$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $\Omega_0:=\Omega\cap\{x^n=0\}$,
  $\Omega^+:=\Omega\cap\{x^n>0\}$ und $\Omega^-:=-\Omega^+$.  Nach
  Lemma \ref{borsuk lem zwei} gibt es eine ungerade Abbildung $F_0\in
  C^0\left(\ol{\Omega_0},\R^n\setminus\{0\}\right)$ mit
  $F_0|_{\partial\Omega_0}=f|_{\partial\Omega_0}$. Setze \[f^+(x):=
  \begin{cases}
    f(x),&x\in\partial\Omega\cap\ol{\Omega^+},\\
    F_0(x),&x\in\ol{\Omega_0}.
  \end{cases}
  \]
  Nach dem Tietzeschen Fortsetzungssatz gibt es $F^+\in
  C^0\big(\ol{\Omega^+},\R^n\big)$ mit $F^+|_{\partial\Omega^+} =f^+
  =f^+|_{\partial\Omega^+}$. Die gesuchte Fortsetzung ist
  dann \[F(x):=
  \begin{cases}
    F^+(x),&x\in\ol{\Omega^+},\\
    -F^+(-x),&x\in\ol{\Omega^-}. 
  \end{cases}
  \qedhere
  \]
\end{proof}

Nun k\"onnen wir den Abbildungsgrad f\"ur ungerade Abbildungen
berechnen. 
\begin{lemma}\label{borsuk lem drei}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und symmetrisch mit
  $0\not\in\ol\Omega$. Sei $f\in C^0\left(\partial\Omega,
    \R^n\setminus\{0\}\right)$ ungerade. Dann ist
  $d(f,\Omega,0)\equiv0$ (mod $2$). 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $\Omega^\pm:=\Omega\cap\{\pm x^n>0\}$.  Sei $F\in
  C^0\left(\ol\Omega,\R^n\setminus\{0\}\right)$ eine ungerade
  Fortsetzung von $f$ mit $F(x)\neq0$ f\"ur $x\in\partial\Omega^+
  \cup\partial\Omega^-$. Sei $F_k\in C^\infty\left(\R^n,\R^n\right)$
  eine Folge mit $\sup\limits_\Omega |F_k-F|\to0$ f\"ur
  $k\to\infty$. Nach Ersetzen von $F_k$ durch
  $\frac12(F_k(x)-F_k(-x))$ d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $F_k$ ungerade ist. F\"ur $k\ge k_0$ ist dann
  $F_k(x)\neq0$ f\"ur $x\in\partial\Omega^+
  \cup\partial\Omega^-$. Somit gilt $d\left(F,\Omega^\pm,0\right)
  =d\left(F_k,\Omega^\pm,0\right)$. Mit Hilfe der
  Ausschneidungseigenschaft und der Additivit\"at des Abbildungsgrades
  erhalten wir
  \begin{equation}
    \label{grad auf sum borsuk lem eq}
    d(F_k,\Omega,0) =d\left(F_k,\Omega^+,0\right)
    +d\left(F_k,\Omega^-,0\right). 
  \end{equation}
  Sei $Z^\pm$ die Zusammenhangskomponente von $0$ in $\R^n\setminus
  F_k\left(\partial\Omega^\pm\right)$. W\"ahle $\epsilon>0$ mit
  $B_\epsilon(0)\subset Z^+\cap Z^-$ und einen regul\"aren Wert $z\in
  B_\epsilon(0)$ von $F_k$. Ein $x\in\Omega^+$ erf\"ullt $F_k(x)=z$
  genau dann, wenn $-x\in\Omega^-$ die Gleichung $F_k(-x)=-z$
  erf\"ullt. Dies bedeutet, dass $\Omega^+\cap F_k^{-1}(z)
  =-\left(\Omega^-\cap F^{-1}_k(-z)\right)$ ist. Die Funktion $F_k$
  ist ungerade, also ist $\fracp{F_k}{x^j}$ gerade und somit folgt
  $\det dF_k(x) =\det dF_k(-x)$. Insbesondere ist $-z$ ein regul\"arer
  Wert von $F_k$. Es gilt
  \begin{align*}
    d\left(F,\Omega^+,0\right) =&\,d\left(F_k,\Omega^+,0\right)
    =d\left(F_k,\Omega^+,z\right)\\ =&\,\sum\limits_{x\in
      F^{-1}_k(z)\cap\Omega^+} \det dF_k(x) =\sum\limits_{x\in
      F^{-1}_k(-z)\cap\Omega^-} \det dF_k(x)\\
    =&\,d\left(F_k,\Omega^-,-z\right) =d\left(F_k,\Omega^-,0\right)
    =d\left(F,\Omega^-,0\right).
  \end{align*}
  Benutzen wir nun \eqref{grad auf sum borsuk lem eq}, so folgt, dass
  $d(F_k,\Omega,0)=d(F,\Omega,0)$ gerade ist. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Satz von Borsuk]\label{borsuk thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und symmetrisch mit
  $0\in\Omega$. Sei $f\in C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ ungerade und
  $0\not\in f(\partial\Omega)$. Dann ist $d(f,\Omega,0)$ ungerade. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wollen ohne Einschr\"ankung annehmen d\"urfen, dass $f$ glatt
  ist und $df(0)\neq0$ gilt. Dazu approximieren wir $f$ und addieren
  $\delta\cdot\id$ f\"ur ein kleines $\delta>0$. Somit gilt
  \[d(f,\Omega,0) =d(f,\Omega\setminus B_\epsilon(0),0)
  +d(f,B_\epsilon(0),0)\] 
  f\"ur ein kleines $\epsilon>0$ mit $0\not\in f(\partial
  B_\epsilon(0))$. Nach Lemma \ref{borsuk lem drei} ist der erste Term
  auf der rechten Seite gerade. Der zweite Term ist ungerade, da f\"ur
  kleines $\epsilon>0$ genau ein Urbild existiert und $0$ ein
  regul\"arer Wert ist. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und symmetrisch mit
  $0\in\Omega$. Sei $f\in C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ und gelte
  $f(x)\neq0$ f\"ur $x\in\partial\Omega$. Ist \[\frac{f(x)}{|f(x)|}
  \neq\frac{f(-x)}{|f(-x)|}\] f\"ur alle $x\in\partial\Omega$, so ist
  $d(f,\Omega,0)$ ungerade.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte die Homotopie
  \begin{align*}
    h(x,t)=&\,(1-t)f(x) +\tfrac t2(f(x)-f(-x))\\
    =&\,\left(1-\tfrac t2\right)f(x) -\tfrac t2f(-x)
  \end{align*}
  zwischen $f$ und seinem ungeraden Anteil. Dann folgt die Aussage aus
  dem Satz von Borsuk, Theorem \ref{borsuk thm}, wenn wir nachweisen
  k\"onnen, dass $h\neq0$ auf $\partial\Omega\times[0,1]$ gilt.
  Falls dies doch der Fall ist, so erhalten wir f\"ur ein solches
  $(x,t)\in\partial\Omega\times[0,1]$ mit $h(x,t)=0$ auch $\frac
  t2f(-x)=\left(1-\frac t2\right)f(x)$. Aus $f(x)\neq0$ f\"ur
  $x\in\partial\Omega$ folgt $0<t$. Damit sind $f(x)$ und $f(-x)$
  aber positive Vielfache voneinander. Widerspruch. 
\end{proof}

Wir erhalten weitere wichtige Korollare. Vergleiche auch
\cite{DeimlingNLFA}. H\"aufig wird der Satz von Borsuk-Ulam auch nur
f\"ur $\Omega=B_1(0)$ formuliert.
\begin{theorem}[Satz von Borsuk-Ulam]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und symmetrisch mit
  $0\in\Omega$. Sei $f\colon\partial\Omega\to\R^m$ stetig und sei
  $m<n$. Dann gibt es ein $x\in\partial\Omega$ mit $f(x)=f(-x)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f$ ohne Einschr\"ankung nach $\ol\Omega$ fortgesetzt.
  Verm\"oge $\R^m\subset\R^n$ k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $f\colon\ol\Omega\to\R^m\times\{0\}\subset\R^n$
  ist.
  \par Definiere $g(x):=f(x)-f(-x)$. Dann ist
  $g$ ungerade. Wir d\"urfen annehmen, dass $g(x)\neq0$ auf dem Rand
  gilt, denn sonst sind wir fertig. Nach dem Satz von Borsuk ist dann
  aber $0\neq d(g,\Omega,0)=d(g,\Omega,y)$ f\"ur alle $y\in
  B_\epsilon(0)$ f\"ur $\epsilon>0$ klein genug. Somit ist
  $B^n_\epsilon(0)\subset g\left(\ol\Omega\right)
  \subset\R^m\times\{0\}\subset\R^n$. Dies ist aus Dimensionsgr\"unden
  unm\"oglich.
\end{proof}

Wir k\"onnen die Gebietsinvarianz f\"ur stetige Funktionen folgern.
\begin{theorem}[Satz von der Gebietsinvarianz]
  \label{geb inv thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $f\colon\Omega\to\R^n$ stetig und
  lokal injektiv (\dh f\"ur jeden Punkt $x\in\Omega$ gibt es ein
  $\epsilon>0$, so dass $f|_{B_\epsilon(x)}$ injektiv ist). Dann ist
  $f$ eine offene Abbildung. Insbesondere ist $f(\Omega)\subset\R^n$
  offen.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei ohne Einschr\"ankung $0\in\Omega$ und $f(0)=0$. Wir wollen
  zeigen, dass f\"ur jedes $r>0$ eine Kugel um $0=f(0)$ existiert, die
  in $f(B_r(0))$ enthalten ist. Sei $r>0$, so dass $f|_{\ol{B_r(0)}}$
  injektiv ist. Betrachte \[h(x,t):=f\left(\tfrac 1{1+t}x\right)
  -f\left(-\tfrac t{1+t}x\right)\quad\text{f\"ur
  }(x,t)\in\ol{B_r(0)}\times[0,1].\] $h$ ist stetig und es gilt
  $h(\cdot,0)=f$ sowie $h(x,1)=f\left(\frac x2\right) -f\left(-\frac
    x2\right)$. Somit ist $h(\cdot,1)$ ungerade. Es gilt $h(x,t)\neq0$
  f\"ur $(x,t)\in \partial B_r(0)\times[0,1]$, da dies aufgrund der
  Injektivit\"at von $f$ nur f\"ur $(x,t)$ mit $\frac
  x{1+t}=-\frac{xt}{1+t}$, also f\"ur $0=x\not\in \partial B_r(0)$
  m\"oglich ist. Aufgrund der Homotopieinvarianz erhalten wir daher
  aus dem Satz von Borsuk
  \[0\neq d(h(\cdot,1),B_r(0),0) =d(f,B_r(0),y)\] f\"ur alle $y\in
  B_\delta(0)$ f\"ur ein geeignetes $\delta>0$. Also ist
  $B_\delta(0)\subset f(B_r(0))$. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

Unter Hom\"oomorphismen ist die Dimension invariant. (Somit ist auch
die Dimension einer $C^0$-Mannigfaltigkeit wohldefiniert.)
\begin{corollary}
  Seien $U\subset\R^n$ und $V\subset\R^m$ nichtleere offene
  Mengen. Sei $f\colon U\to V$ ein (lokaler) Hom\"oomorphismus. Dann
  gilt $m=n$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Im Falle $m<n$ wenden wir Theorem \ref{geb inv thm}, den Satz von
  der Gebietsinvarianz, auf $f\colon U\to\R^m\subset\R^n$ an. 
\end{proof}

Als letztes Korollar erhalten wir einen Satz, dessen Autoren in
unterschiedlichen Schreibweisen auftreten. 
\begin{theorem}[Satz von Ljusternik-Schnirelman]
  Sei $\S^{n-1}=\bigcup\limits_{j=1}^mA_j$, $m\le n$, wobei $A_j$
  abgeschlossene Mengen sind. Dann enth\"alt wenigstens eine der
  Mengen $A_j$ ein Antipodenpaar. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  $\{x,-x\}\in A_j$ ist \"aquivalent zu $x\in A_j\cap(-A_j)$. Nehme
  also an, dass $A_j\cap(-A_j)=\emptyset$ f\"ur $j=1,\ldots,m-1$
  ist. Dann existieren stetige Abbildungen $f_j\colon\S^{n-1}\to[0,1]$
  mit $f_j|_{A_j}=0$ und $f_j|_{-A_j}=1$ f\"ur $j=1,\ldots,m-1$. Setze
  $f:=(f_1,\ldots,f_{m-1})$. Nach dem Satz von Borsuk-Ulam existiert
  daher ein $\bar x\in\S^{n-1}$ mit $f_j(\bar x)=f_j(-\bar x)$ f\"ur
  $j=1,\ldots,m-1$. Also ist $\bar x\not\in A_j\cup(-A_j)$. Aufgrund
  der \"Uberdeckungseigenschaft und durch Betrachtung von $-\bar x$
  erhalten wir $\bar x\in A_m\cap(-A_m)$ oder, \"aquivalent dazu,
  $\{\bar x,-\bar x\}\subset A_m$. 
\end{proof}

\Section{Deformationslemma}
Vergleiche \cite[Lemma 1.14]{WillemMinimax}. Wir werden
$\phi^{-1}([a,b])=\{x:a\le\phi(x)\le b\}$ benutzen. Definiere die
Subniveaumenge $\phi^d:=\phi^{-1}((-\infty,d])$. Sei weiterhin $S$
eine Teilmenge eines metrischen Raumes. Dann werden
wir \[S_{\delta}:=\{x\colon d(x,S)<\delta\}\] f\"ur eine
$\delta$-Umgebung um die Menge $S$ benutzen.
\begin{lemma}[Deformationslemma]\label{def lem}
  Sei $\phi\in C^2\left(\R^n\right)$. Sei $S\subset\R^n$.  Seien
  $c\in\R$, $\epsilon,\delta>0$ und
  $\zeta\ge\frac\epsilon\delta$. Nehme an, dass
  \[\Vert \phi'(x)\Vert\ge2\delta\] f\"ur alle
  $x\in\phi^{-1}([c-2\epsilon,c+2\epsilon])\cap S_{2\zeta}$ gilt. Dann
  gibt es eine stetige Abbildung $\sigma\colon\R^n\times[0,1]\to\R^n$,
  so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{i def lem} $\sigma(x,t)=x$ f\"ur $t=0$ oder falls
    $x\not\in\phi^{-1}([c-2\epsilon,c+2\epsilon])\cap S_{2\zeta}$ und
    $t\in[0,1]$,
  \item\label{ii def lem}
    $\sigma(\phi^{c+\epsilon}\cap S,1)\subset\phi^{c-\epsilon}$,
  \item\label{iii def lem}
    $\Vert\sigma(x,t)-x\Vert\le\frac\epsilon\delta$ f\"ur alle
    $(x,t)\in\R^n\times[0,1]$,
  \item\label{iv def lem}
    $t\mapsto\phi(\sigma(x,t))$ f\"ur alle $x\in\R^n$ nicht wachsend
    ist,
  \item\label{v def lem} $\phi(\sigma(x,t))<c$ f\"ur alle
    $x\in\phi^c\cap S_\zeta$ und $t\in(0,1]$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere 
  \begin{align*}
    A:=&\,\phi^{-1}([c-2\epsilon,c+2\epsilon])\cap S_{2\zeta},\\
    B:=&\,\phi^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])\cap S_\zeta,\\
    \psi(x):=&\,\frac{\dist(x,\R^n\setminus A)}{\dist(x,\R^n\setminus
      A) +\dist(x,B)}. 
  \end{align*}
  (Setze $\psi\equiv 1$, falls $A=\R^n$ ist und nehme ohne
  Einschr\"ankung $B\neq\emptyset$ an, da dann $\sigma(\cdot,t)=\id$
  f\"ur alle $t\in[0,1]$ die Behauptung liefert.)  Dann ist $\psi$
  lokal Lipschitz, erf\"ullt $1\ge\psi\ge0$ und es gilt $\psi=1$ auf
  $B$ und $\psi=0$ auf $\R^n\setminus A$. Definiere das Vektorfeld
  \[
  V(x):=
  \begin{cases}
    -\psi(x)\frac{\nabla\phi(x)}{\Vert\nabla\phi(x)\Vert^2}
    &\text{f\"ur }x\in A,\\
    0 &\text{sonst.}
  \end{cases}
  \]
  $V$ ist lokal Lipschitz und es gilt $\Vert
  V(x)\Vert\le\frac1{2\delta}$.\par Betrachte f\"ur $x\in\R^n$ die
  Anfangswertprobleme
  \[
  \begin{cases}
    \tfracp{}t\tilde\sigma(x,t)=V(\tilde\sigma(x,t)),\\
    \tilde\sigma(x,0)=x.
  \end{cases}
  \]
  Diese Cauchyprobleme besitzen f\"ur festes $x\in\R^n$ eine f\"ur
  $t\in\R$ definierte L\"osung $\tilde\sigma(x,\cdot)$. Aufgrund der
  stetigen Abh\"angigkeit von L\"osungen von gew\"ohnlichen
  Differentialgleichungen vom Anfangswert ist
  $\tilde\sigma\colon\R^n\times\R\to\R^n$ stetig. \par Definiere
  $\sigma\colon\R^n\times[0,1]\to\R^n$ durch $\sigma(x,t)
  :=\tilde\sigma\left(x,2\epsilon t\right)$. Nach Definition folgt
  dann \eqref{i def lem}. Wir erhalten $\fracp{}t\sigma(x,t)=2\epsilon
  V(\sigma(x,t))$. Da $\Vert V(x)\Vert\le\frac1{2\delta}$ gilt, folgt
  hieraus \eqref{iii def lem}. Es gilt
  \begin{equation}\label{phi def lem mon}
    \begin{split}
      \tfracp{}t\phi(\sigma(x,t))
      =&\,\left\langle\nabla\phi(\tilde\sigma(x,2\epsilon t)),
        \tfracp{}t\tilde\sigma(x,2\epsilon t)\right\rangle\\
      =&\,\langle\nabla\phi(\sigma(x,t)),2\epsilon
      V(\sigma(x,t))\rangle\\
      =&\,-2\epsilon\psi(\sigma(x,t)).
    \end{split}
  \end{equation}
  Daher ist $t\mapsto\phi(\sigma(x,t))$ nicht wachsend und \eqref{iv
    def lem} und \eqref{v def lem} folgen. Sei nun
  $x\in\phi^{c+\epsilon}\cap S$. Falls es ein $t\in[0,1]$ gibt, so
  dass $\phi(\sigma(x,t))\le c-\epsilon$ gilt, dann ist nach
  \eqref{phi def lem mon} auch $\phi(\sigma(x,1))\le c-\epsilon$ und
  \eqref{ii def lem} folgt. Ansonsten gilt wegen \eqref{iii def
    lem} \[\sigma(x,t)\in\phi^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])\cap
  S_\zeta\] f\"ur alle $t\in[0,1]$. Nach \eqref{phi def lem mon}
  erhalten wir
  \begin{align*}
    \phi(\sigma(x,1)) =&\,\phi(x)+\int\limits_0^1 \frac
    d{dt}\phi(\sigma(x,t))\,dt
    =\phi(x)-2\epsilon\int\limits_0^1\psi(\sigma(x,t))\,dt\\
    \le&\,c+\epsilon-2\epsilon=c-\epsilon.
  \end{align*}
  Somit folgt \eqref{ii def lem}. 
\end{proof}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\phi$ im Deformationslemma, Lemma \ref{def lem}, glatt
    und w\"ahlen wir im Beweis $\psi$ als glatte Funktion mit $\psi=1$
    auf $B$, $\psi=0$ auf $\R^n\setminus A$ sowie $0\le\psi\le 1$, so
    ist $\sigma$ glatt. Aufgrund des lokalen Eindeutigkeitssatzes und
    der R\"uckw\"artsl\"osbarkeit f\"ur gew\"ohnliche
    Differentialgleichungen ist $\sigma(\cdot,t)$ f\"ur alle
    $t\in[0,1]$ sogar ein Diffeomorphismus.
  \item Ebenso folgt unter den Voraussetzungen von Lemma \ref{def
      lem}, dass $\sigma(\cdot,t)$ f\"ur alle $t\in[0,1]$ ein
    Hom\"oomorphismus ist. 
  \item Das Deformationslemma gilt auch in Hilbertr\"aumen und wird im
    Zusammenhang mit Minimax-Theoremen benutzt um partielle
    Differentialgleichungen zu l\"osen. In Banachr\"aumen muss man
    einen geeigneten Ersatz f\"ur $\nabla\phi$ verwenden, sogenannte
    Pseudogradientenvektorfelder.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}[Deformationslemma auf Mannigfaltigkeiten]
  \label{def lem mf}
  Sei $M\subset\R^n$ eine glatte abgeschlossene
  Untermannigfaltigkeit. Sei $S\subset M$. Sei $\phi\colon M\to\R$
  glatt (und ohne Einschr\"ankung glatt in den $\R^n$
  fortgesetzt). Seien $c\in\R$, $\epsilon,\delta>0$ und
  $\zeta\ge\frac\epsilon\delta$. Nehme an, dass \[\Vert
  P\phi'(x)\Vert\ge2\delta\] f\"ur alle
  $x\in\phi^{-1}([c-2\epsilon,c+2\epsilon])\cap M\cap S_{2\zeta}$
  gilt, wobei $P$ die orthogonale Projektion auf den Tangentialraum
  von $M$ bezeichne.  Dann gibt es eine stetige Abbildung
  $\sigma\colon M\times[0,1]\to M$, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{i def lem mf} $\sigma(x,t)=x$ f\"ur $t=0$ oder falls
    $x\not\in\phi^{-1}([c-2\epsilon,c+2\epsilon])\cap M\cap
    S_{2\zeta}$ und $t\in[0,1]$,
  \item\label{ii def lem mf} $\sigma(\phi^{c+\epsilon}\cap M\cap S,1)
    \subset\phi^{c-\epsilon}\cap M$,
  \item\label{iii def lem mf}
    $\Vert\sigma(x,t)-x\Vert\le\frac\epsilon\delta$ f\"ur alle
    $(x,t)\in M\times[0,1]$,
  \item\label{iv def lem mf}
    $t\mapsto\phi(\sigma(x,t))$ f\"ur alle $x\in M$ nicht wachsend
    ist,
  \item\label{v def lem mf}
    $\phi(\sigma(x,t))<c$ f\"ur alle $x\in\phi^c\cap M\cap S_\zeta$
    und $t\in(0,1]$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Ersetze im Beweis des urspr\"unglichen Deformationslemmas
  $\nabla\phi(x)$ durch die orthogonale Projektion $P\nabla\phi(x)$
  auf $T_xM$ und setze dies glatt in den $\R^n$ fort. Die L\"osungen
  der gew\"ohnlichen Differentialgleichungen
  $\fracp{}t\tilde\sigma(x,t) =V(\tilde\sigma(x,t))$, die in $M$
  starten, bleiben aufgrund der Eindeutigkeit von L\"osungen
  gew\"ohnlicher Differentialgleichungen und da $M$ eine
  abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $\R^n$ ist, in $M$, siehe
  auch Bemerkung \ref{ode in mf rem}. Der Rest des Beweises
  funktioniert wie beim Beweis von Lemma \ref{def lem}.
\end{proof}

\begin{remark}\label{ode in mf rem}
  Erf\"ulle $\phi(x,t)$ die Differentialgleichung
  \[\dt\phi(x,t)=V(\phi(x,t)).\] Nach Anwendung eines
  Diffeomorphismusses $\Phi$ des umgebenden Raumes, der die
  Mannigfaltigkeit lokal in einen linearen Unterraum abbildet, folgt
  \begin{align*}
    \dt\Phi(\phi(x,t)) =&\, d\Phi|_{\phi(x,t)}\left\langle
      \dt\phi(x,t)\right\rangle\umbruch\\
    =&\,d\Phi|_{\phi(x,t)}\langle V(\phi(x,t))\rangle\umbruch\\
    =&\,d\Phi|_{\Phi^{-1}(\Phi(\phi(x,t)))}\left\langle
      V\left(\Phi^{-1}(\Phi(\phi(x,t)))\right)\right\rangle.
  \end{align*}
  Daher definieren wir 
  \[\tilde V(y):=d\Phi|_{\Phi^{-1}(y)}\left\langle
    V\left(\Phi^{-1}(y)\right)\right\rangle\] und sehen, dass
  $\alpha(x,t):=\Phi(\phi(x,t))$ die
  Differentialgleichung \[\dt\alpha(x,t)=\tilde V(\alpha(x,t))\]
  erf\"ullt. Umgekehrt gilt f\"ur eine solche L\"osung $\alpha(x,t)$,
  dass $\Phi^{-1}(\alpha(x,t))$ die urspr\"ungliche
  Differentialgleichung erf\"ullt: Aus $a=\Phi^{-1}\circ\Phi(a)$ folgt
  $\id=d\Phi^{-1}|_{\Phi(a)}\circ d\Phi|_a$ und somit erhalten wir
  \begin{align*}
    \dt\Phi^{-1}(\alpha(x,t))
    =&\,\left.d\left(\Phi^{-1}\right)\right|_{\alpha(x,t)}
    \left\langle\dt\alpha(x,t)\right\rangle\\
    =&\,\left.d\left(\Phi^{-1}\right)\right|_{\alpha(x,t)}
    \left\langle\tilde V(\alpha(x,t))\right\rangle\\
    =&\,\left.d\left(\Phi^{-1}\right)\right|_{\alpha(x,t)}
    d\Phi|_{\Phi^{-1}(\alpha(x,t))} \left\langle
      V\left(\Phi^{-1}(\alpha(x,t)) \right)\right\rangle\\
    =&\,V\left(\Phi^{-1}(\alpha(x,t))\right).
  \end{align*}
  \par
  Wir behaupten nun, dass $\tilde V$ lokal tangential an $\Phi(M)$
  ist, da $V$ tangential an $M$ ist:\par
  Wir zeigen, dass f\"ur beliebige $y\in\Phi(M)$ eine Kurve $\gamma$
  in $\Phi(M)$ mit $\gamma(0)=y$ und $\gamma'(0)=\tilde V(y)$
  existiert. Setze $z:=\Phi^{-1}(y)$. $V(z)$ ist tangential an
  $M$. Somit gibt es eine Kurve $\beta$ in $M$ mit $\beta(0)=z$ und
  $\beta'(0)=V(z)$. Setze $\gamma(t):=\Phi(\beta(t))$. Es folgen
  $\gamma(0)=\Phi(\beta(0)) =\Phi(z) =y$ und
  \[\gamma'(0) =d\Phi|_z\langle\beta'(0)\rangle =d\Phi|_z\langle
  V(z)\rangle =d\Phi|_{\Phi^{-1}(y)}\left\langle
    V\left(\Phi^{-1}(y)\right)\right\rangle =\tilde V(y).\]
  \par
  Es folgt, dass die L\"osungen von gew\"ohnlichen
  Differentialgleichungen in $M$ bleiben, da $\alpha$ eine
  gew\"ohnliche Differentialgleichung in einem Unterraum l\"ost, der
  $\Phi(M)$ enth\"alt und L\"osungen gew\"ohnlicher
  Differentialgleichungen (f\"ur lipschitzstetige Daten) eindeutig
  sind. Also ist $\Phi^{-1}(\alpha(x,t))$ gerade die L\"osung, die in
  $M$ bleibt.
\end{remark}

\begin{remark}
  Der Einbettungssatz f\"ur Riemannsche Mannigfaltigkeiten von J. Nash
  \cite{NashImbedding,NashC1} besagt, dass sich eine Riemannsche
  Metrik isometrisch in den $\R^n$ einbetten l\"asst. Damit
  \"ubertr\"agt sich Lemma \ref{def lem mf} direkt auf vollst\"andige
  Riemannsche Mannigfaltigkeiten. 
\end{remark}

In den folgenden beiden Korollaren w\"ahlen wir $S=\R^n$, deformieren
also \"uberall. 

\begin{corollary}
  Unter den Voraussetzungen von Lemma \ref{def lem} oder Lemma
  \ref{def lem mf} gilt: 
  \begin{itemize}
  \item $\phi^{c+\epsilon}$ und $\phi^{c-\epsilon}$ sind hom\"oomorph
    bzw.{} diffeomorph. Der Hom\"oomorphismus bzw.{} Diffeomorphismus
    ist durch $x\mapsto\sigma(x,1)$ gegeben.
  \item $\phi^{-1}(\{a\})$ und $\phi^{-1}(\{b\})$ sind f\"ur alle
    $a,b\in[c-\epsilon,c+\epsilon]$ hom\"oomorph bzw.{} diffeomorph.
    Der Hom\"oomorphismus von $\phi^{-1}(\{a\})$ nach
    $\phi^{-1}(\{b\})$ ist f\"ur $a>b$ durch $x\mapsto\sigma
    \left(x,\frac{a-b}{2\epsilon}\right)$ gegeben.
  \item Seien $a,b\in[c-\epsilon,c+\epsilon]$ mit $a>b$ gegeben. Dann
    ist $\phi^{-1}([b,a])$ hom\"oomorph bzw.{} diffeomorph zu
    $\phi^{-1}(\{a\})\times[b,a]$. Die Inverse des
    Hom\"oomorphismusses ist durch $(x,t)\mapsto
    \sigma\left(x,\frac{a-t}{2\epsilon}\right)$
    gegeben. Entsprechendes gilt f\"ur halboffene oder offene
    Intervalle.
  \end{itemize}
\end{corollary}

\begin{corollary}
  Unter den Voraussetzungen von Lemma \ref{def lem} oder Lemma
  \ref{def lem mf} gilt f\"ur den Hausdorffabstand
  \[d_{\mathcal
    H}(\phi^{c+\epsilon},\phi^{c-\epsilon})\le\frac\epsilon\delta.\]
  Insbesondere konvergiert $\phi^{a_i}\to\phi^a$ im Hausdorffabstand
  f\"ur alle $a_i,a\in[c-\epsilon,c+\epsilon]$ mit $a_i\to a$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze im $\R^n$ Gleichung \eqref{phi def lem mon} aus Lemma
  \ref{def lem}.
\end{proof}

Wie man am Beispiel des Torusses $M$ und der H\"ohenfunktion $\phi$
sieht, brauchen zwei Mengen $\phi^{c+\epsilon}$ und
$\phi^{c-\epsilon}$ nicht diffeomorph zu sein, wenn $\phi$ in
$\phi^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])$ kritische Punkte hat. Mit Hilfe
der Morsetheorie kann man aber trotzdem beschreiben, wie sich
$\phi^{c-\epsilon}$ und $\phi^{c+\epsilon}$ unterscheiden. 

\Section{Morsetheorie}
Vergleiche \cite{MilnorMorse}. Auch hier kann man dieselben Resultate
wieder f\"ur abstrakte Mannigfaltigkeiten mit Hilfe eines
Einbettungssatzes bekommen. Wir untersuchen aber weiterhin
Untermannigfaltigkeiten.

\begin{definition}[Morsefunktion]
  Sei $M^m$ eine glatte Mannigfaltigkeit, \zB eine glatte
  Untermannigfaltigkeit des $\R^n$. Sei $f\colon M\to\R$ glatt.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $x\in M$ hei\ss{}t \emph{kritischer Punkt} von $f$, wenn in
    einer Karte $(U,\phi)$ der Punkt $\phi(x)$ ein kritischer Punkt
    ist, wenn also die Ableitung von $f\circ\phi^{-1}$ in $\phi(x)$
    verschwindet.
  \item $x\in M$ hei\ss{}t \emph{nicht degenerierter kritischer Punkt}
    von $f$, wenn $x$ ein kritischer Punkt von $f$ ist und die
    Hessesche von $f\circ\phi^{-1}$ in $\phi(x)$ eine
    $m\times m$-Matrix vom Rang $m$ ist.
  \item $f\colon M\to\R$ hei\ss{}t \emph{Morsefunktion}, falls $f$ in
    allen kritischen Punkten nicht degeneriert ist.
  \item Der Index der Hessischen einer Morsefunktion in Koordinaten in
    einem kritischen Punkt $x$ hei\ss{}t \emph{Index} von $f$ in $x$.
  \end{enumerate}
  (Man rechnet direkt nach, dass die Definition nicht von der Wahl
  einer Karte abh\"angt, da eine Kartenwechselabbildung
  $\psi\circ\phi^{-1}$ ein Diffeomorphismus ist.)
\end{definition}

Wir wollen zun\"achst zeigen, dass jede glatte Untermannigfaltigkeit
$M\subset\R^n$ eine Morsefunktion besitzt. Dazu werden wir zun\"achst
einen Zusammenhang mit fokalen Punkten herstellen.

\begin{definition}
  Sei $M\subset\R^n$ eine glatte Untermannigfaltigkeit. Definiere das
  \emph{Normalenb\"undel} $NM\subset\R^n\times\R^n$
  durch
  \[NM:=\{(q,v)\colon q\in M,\, v\text{ ist in }q\text{ senkrecht zu
    }M\}.\] Dann ist $NM$ eine Untermannigfaltigkeit von
  $\R^n\times\R^n$. Definiere $E\colon NM\to\R^n$
  durch \[E(q,v):=q+v.\] Wir nennen $x\in\R^n$ einen fokalen Punkt von
  $(M,q)$, falls $x=q+v$ f\"ur ein $(q,v)\in NM$ gilt und falls das
  Differential von $E$ in $(q,v)$ nicht surjektiv ist. $x\in \R^n$
  hei\ss{}t fokaler Punkt von $M$, falls es ein $q\in M$ gibt, so dass
  $x$ ein fokaler Punkt von $(M,q)$ ist.
\end{definition}

Aus dem Sardschen Satz erhalten wir somit
\begin{corollary}\label{fokal null cor}
  Sei $M$ eine glatte Untermannigfaltigkeit von $\R^n$. Dann ist die
  Menge der fokalen Funkte von $M$ eine Nullmenge in $\R^n$. 
\end{corollary}

Wir wollen nun die fokalen Punkte geometrisch charakterisieren.  Sei
$M^m\subset\R^n$ eine glatte Mannigfaltigkeit und sei $q\in M$. Sei
$l$ eine Gerade, die $M$ in $q$ senkrecht schneidet. Durch Drehen und
Verschieben d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $M$ lokal
als \[\{(x,f(x))\equiv X(x)\colon x\in\R^m\}\] mit $q=0$, $f(0)=0$,
$df(0)=0$ gegeben ist und dass $l=\{t(0,\ldots,0,1)\colon t\in\R\}$
gilt. Schreibe $f=(f^{m+1},\ldots,f^n)$. Nehme weiterhin an, dass
$\fracp{^2f^n}{x^ix^j}(0)$ diagonal ist und dass die Eigenwerte
$(\kappa_i)_{1\le i\le m}$ sind. ($\kappa_i$ sind dann geometrisch die
Hauptkr\"ummungen von $M$ in $q$ in Richtung von $e_n$.) Wir erhalten:
\begin{lemma}\label{fok pkt lem}
  Die fokalen Punkte von $(M,0)$ entlang der Geraden $l$ sind gerade
  die Punkte $\frac1{\kappa_i}e_n$ f\"ur alle $i$ mit
  $\kappa_i\neq0$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\nu_{m+1},\ldots,\nu_n$ eine lokale differenzierbare
  Orthonormalbasis des Raumes senkrecht zu $M$ mit
  $\nu_n(0)=e_n$. Dann k\"onnen wir $NM$ lokal
  durch \[\R^m\times\R^{n-m}\ni(x,t)\mapsto
  \left(x,f(x),\sum\limits_{i=m+1}^n t^i\nu_i\right)\]
  parametrisieren, \dh das Bild dieser Abbildung ist lokal gerade
  $MN$. In diesen Koordinaten hat $E$ die
  Form \[(x,t)\mapsto(x,f(x))+\sum\limits_{i=m+1}^n t^i\nu_i =X(x)
  +\sum\limits_{i=m+1}^n t^i\nu_i.\] Die partiellen Ableitungen nach
  $x^i$ sind $\fracp X{x^i}+\sum\limits_{j=m+1}^n
  t^j\fracp{\nu_j}{x^i}$, die nach $t^i$ sind $\nu_i$. Nun ist $\fracp
  X{x^1},\ldots,\fracp X{x^m},\nu_{m+1},\ldots,\nu_n$ eine Basis und
  in $x=0$ eine Orthonormalbasis des $\R^n$.  Betrachte nun die
  partiellen Ableitungen als Zeilen einer Matrix und die
  Orthonormalbasis als Spalten einer Matrix. Das Resultat nach
  Matrixmultiplikation enth\"alt die entsprechenden
  Skalarprodukte. Das Differential von $E$ ist genau dann nicht
  surjektiv, wenn diese Matrix nicht den Rang $n$ hat. Wir erhalten
  \[
  \begin{pmatrix}
    \left(\left\langle\fracp X{x^i},\fracp X{x^j}\right\rangle
      +\sum\limits_{k=m+1}^n t^k\left\langle\fracp{\nu_k}{x^i}, \fracp
        X{x^j}\right\rangle \right)_{1\le i,j\le m} &
    \left(\sum\limits_{k=m+1}^n
      t^k\left\langle\fracp{\nu_k}{x^i},\nu_l\right\rangle
    \right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le m}{m+1\le l\le n}}\\ 0 &
    \id
  \end{pmatrix} 
  \]
  Aus $\left\langle\nu_k,\fracp X{x^j}\right\rangle=0$ erhalten
  wir \[0=\fracp{}{x^i}\left\langle\nu_k,\fracp X{x^j}\right\rangle
  =\left\langle\fracp{\nu_k}{x^i},\fracp X{x^j}\right\rangle
  +\left\langle\nu_k,\fracp{^2X}{x^i\partial x^j}\right\rangle.\] Im
  Punkt $(x,t)=(0,(0,\ldots,0,\tau))$, $\tau\in\R$, hat die
  untersuchte Matrix also genau dann nicht den (vollen) Rang $n$,
  falls \[\left(\delta_{ij}-\tau\fracp{^2f^n}{x^ix^j}\right)_{1\le i,j\le
    n}\] nicht den vollen Rang hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn
  $\tau=\kappa^{-1}$ f\"ur ein $i$ gilt.
\end{proof}
Dieser Beweis ergibt auch, dass die Vielfachheit des Eigenwertes
$\kappa_i$ mit dem Nulleigenraum der oben betrachteten Matrix im
jeweiligen Fokalpunkt \"ubereinstimmt.

\begin{lemma}
  Sei $M\subset\R^n$ eine glatte Untermannigfaltigkeit. Dann
  ist \[d:M\ni x\mapsto\Vert x-p\Vert^2\] f\"ur fast alle Punkte
  $p\in\R^n$ eine Morsefunktion f\"ur $M$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir zeigen, dass $d$ eine Morsefunktion ist, falls $p$ kein fokaler
  Punkt von $M$ ist. Die Behauptung folgt dann aus Korollar \ref{fokal
    null cor}.\par In Koordinaten wie oben gilt \[\fracp d{x^i}
  =2\left\langle \fracp X{x^i},X-p\right\rangle.\] Somit besitzt $d$
  einen kritischen Punkt in $X=q$ genau dann, wenn $q-p$ in $q$ normal
  an $M$ ist. Die zweiten Ableitungen sind \[\fracp{^2d}{x^ix^j}
  =2\left(\left\langle\fracp X{x^i},\fracp X{x^j}\right\rangle
    +\left\langle\fracp{^2X}{x^ix^j},X-p\right\rangle\right).\] Nach
  Drehung und Verschiebung wie oben, so dass $0$ und $X-p$ auf der
  Geraden $l$ liegen folgt in $X=q$ in Koordinaten wie in Lemma
  \ref{fok pkt lem} \[\fracp{^2d}{x^i\partial x^j}
  =2\delta_{ij} -2\Vert X-p\Vert\fracp{^2f^n}{x^i\partial x^j}.\] Dies
  ist nicht ausgeartet, da $p$ kein fokaler Punkt von $M$ ist. 
\end{proof}

Das folgende Lemma ist auf kritische Punkte einer Morsefunktion
anwendbar. In geeigneten Karten besitzt diese also immer eine Gestalt
wie angegeben. 
\begin{lemma}[Morselemma]\label{morse lem}
  Sei $f\colon\R^m\to\R$ glatt. Sei $0$ ein nicht degenerierter
  kritischer Punkt von $f$. Dann gibt es einen lokalen
  Diffeomorphismus $\phi$ einer Umgebung von $0$ mit $\phi(0)=0$ und
  $0\le\lambda\le m$, so
  dass \[f\circ\phi(x)=f(0)-\sum\limits_{i=1}^\lambda
  \left(x^i\right)^2 +\sum\limits_{i=\lambda+1}^m\left(x^i\right)^2.\]
  $\lambda$ ist der Index von $f$ im Ursprung.
\end{lemma}
F\"ur den Beweis des Morselemmas ben\"otigen wir noch
\begin{lemma}\label{vor morse lem}
  Sei $f\colon B_r(0)\to\R$, $B_r(0)\subset\R^m$, glatt. Dann gibt es
  glatte Funktionen $g_i$ in $B_r(0)$ mit $g_i(0)=\fracp f{x^i}(0)$
  und \[f(x)=f(0)+\sum\limits_{i=1}^mx^ig_i(x).\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt \[f(x)-f(0)=\int\limits_0^1\frac{d}{dt}(f(tx))\,dt
  =\int\limits_0^1 \sum\limits_{i=1}^m\fracp f{x^i}(tx)x^i\,dt.\]
  Setze daher \[g_i(x):=\int\limits_0^1\fracp f{x^i}(tx)\,dt.\] Die
  Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{morse lem}]
  Die Aussage \"uber den Index ist offensichtlich.\par
  Gelte ohne Einschr\"ankung $f(0)=0$. Nach Lemma \ref{vor morse lem}
  gilt \[f(x)=\sum\limits_{i=1}^m x^ig_i(x).\] Wegen $g_i(0)=\fracp
  f{x^i}(0)=0$ k\"onnen wir dieses Lemma nochmals anwenden und
  erhalten \[f(x)=\sum\limits_{i,j=1}^m x^ix^jh_{ij}(0)\] f\"ur eine
  ohne Einschr\"ankungen symmetrische Matrix $(h_{ij})$. Wegen
  $h_{ij}=\frac12\fracp{^2f}{x^ix^j}$ (leite dazu die obige Gleichung
  zweimal ab) ist $h_{ij}$ nicht singul\"ar.
  \par Wir gehen nun per Induktion vor. Gelte
  schon \[f(x)=\sum\limits_{i=1}^{r-1}\pm\left(x^i\right)^2
  +\sum\limits_{i,j=r}^mx^ix^jh_{ij}(x).\] Setze $y^k=x^k$ f\"ur
  $k\neq r$ und \[y^r(x)=\sqrt{|h_{rr}(x)|} \left(x^r
    +\sum\limits_{i=r+1}^m x^i\frac{h_{ir}(x)}{h_{rr}(x)}\right).\]
  Aufgrund des Satzes \"uber implizite Funktionen und
  $\fracp{y^r}{x^r}(0)\neq0$ liefert dies tat\-s\"ach\-lich neue
  Koordinaten in einer Umgebung des Ursprungs.  In diesen Koordinaten
  erhalten wir durch direktes Einsetzen aus
  \begin{align*}
    x^r=&\,\frac{y^r}{\sqrt{|h_{rr}(x)|}}
      -\sum\limits_{i=r+1}^m x^i\frac{h_{ir}(x)}{h_{rr}(x)}
    \umbruch \intertext{die Identit\"at} &\,\sum\limits_{i,j=r}^m
    x^ix^jh_{ij}(x)\umbruch\\
    =&\,x^rx^rh_{rr}(x) +2\sum\limits_{i=r+1}^mx^ix^rh_{ir}(x)
    +\sum\limits_{i,j=r+1}^mx^ix^jh_{ij}(x)\umbruch\\
    =&\,\left(\frac{y^r}{\sqrt{|h_{rr}(x)|}}
      -\sum\limits_{i=r+1}^mx^i\frac{h_{ir}(x)}{h_{rr}(x)}\right)
    \left(\frac{y^r}{\sqrt{|h_{rr}(x)|}}
      -\sum\limits_{j=r+1}^mx^j\frac{h_{jr}(x)}{h_{rr}(x)}\right)
    h_{rr}(x)\\
    &\,+2\sum\limits_{i=r+1}^mx^i\left(\frac{y^r}{\sqrt{|h_{rr}(x)|}}
      -\sum\limits_{j=r+1}^mx^j
      \frac{h_{jr}(x)}{h_{rr}(x)}\right)h_{ir}(x)
    +\sum\limits_{i,j=r+1}^mx^ix^jh_{ij}(x)\umbruch\\
    =&\,\frac{h_{rr}(x)}{|h_{rr}(x)|}\left(y^r\right)^2
    -2\sum\limits_{i=r+1}^m\frac{x^iy^r}{\sqrt{|h_{rr}(x)|}} h_{ir}(x)
    +\sum\limits_{i,j=r+1}^m x^ix^j
    \frac{h_{ir}(x)h_{jr}(x)}{h_{rr}(x)}\\
    &\,+2\sum\limits_{i=r+1}^m\frac{x^iy^r}{\sqrt{|h_{rr}(x)|}}
    h_{ir}(x) -2\sum\limits_{i,j=r+1}^mx^ix^j
    \frac{h_{ir}(x)h_{jr}(x)}{h_{rr}(x)}\\
    &\,+\sum\limits_{i,j=r+1}^mx^ix^jh_{ij}(x)\umbruch\\
    =&\,\frac{h_{rr}(x)}{|h_{rr}(x)|}\left(y^r\right)^2
    -\sum\limits_{i,j=r+1}^mx^ix^j
    \frac{h_{ir}(x)h_{jr}(x)}{h_{rr}(x)}
    +\sum\limits_{i,j=r+1}^mx^ix^jh_{ij}(x)\umbruch\\ 
    \equiv&\,\frac{h_{rr}(x)}{|h_{rr}(x)|}\left(y^r\right)^2
    +\sum\limits_{i,j=r+1}^my^iy^j\tilde h_{ij}(x).
  \end{align*}
  Da der \"Ubergang zu den Variablen $y$ eine Variablentransformation
  mittels eines Diffeomorphismusses ist, ist auch $\tilde h_{ij}(x)$
  in einer Umgebung des Ursprungs nicht ausgeartet. Per Induktion
  erhalten wir Koordinaten wie behauptet.
\end{proof}

Vergleichen wir $f^{c-\epsilon}$ und $f^{c+\epsilon}\equiv
M^{c+\epsilon}$ und ist $c$ ein kritischer Wert von $f$, so sind diese
beiden Mengen i.\,a.{} nicht diffeomorph. Im Modellfall einer Funktion
wie im Morselemma mit einem kritischen Punkt erhalten wir $f^\epsilon$
aus $f^{-\epsilon}$ durch \glqq Einkleben\grqq{} einer (aufgedickten)
Zelle $D^\lambda$, wobei $\lambda$ der Index des kritischen Punktes
ist.

Genauer gilt: 
\begin{theorem}\label{def retr zell thm}
  Sei $M^n\subset\R^k$ eine glatte Mannigfaltigkeit und sei $f\colon
  M\to\R$ glatt. Sei $p$ ein nicht degenerierter kritischer Punkt mit
  Index $\lambda$ und $f(p)=c$. Nehme an, dass
  $f^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])$ f\"ur ein $\epsilon>0$ kompakt ist
  und dass $p$ der einzige kritische Punkt von $f$ in dieser Menge
  ist. Dann ist der Homotopietyp von $M^{c+\epsilon}$ der von
  $M^{c-\epsilon}$ mit einer geeignet angeklebten
  $\lambda$-Zelle. $M^{c-\epsilon}$ mit einer geeignet angeklebten
  $\lambda$-Zelle ist sogar Deformationsretrakt von $M^{c+\epsilon}$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen des des Morselemmas d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $\epsilon>0$ so klein ist, dass $f$ in Koordinaten um
  $p$ durch \[f(x)=c -\sum\limits_{i=1}^\lambda\left(x^i\right)^2
  +\sum\limits_{i=\lambda+1}^n\left(x^i\right)^2\equiv c-|y|^2+|z|^2\]
  gegeben ist. Im Fall $\lambda=0$ oder $\lambda=n$ ist die Behauptung
  lokal klar und folgt global mit Hilfe des
  Deformationslemmas. Weiterhin nehmen wir ohne Einschr\"ankung an,
  dass $\epsilon>0$ so klein ist, dass $\ol{B_{\sqrt{2\epsilon}}(0)}$
  im Bild $U$ dieser Karte enthalten ist. F\"ur das urspr\"ungliche
  $\epsilon>0$ erhalten wir die Behauptung dann mit Hilfe des
  Deformationslemmas, da $p$ bzw.{} der Ursprung der einzige kritische
  Punkt im betrachteten Bereich ist.\par Definiere die abgeschlossene
  $\lambda$-Zelle $D^\lambda$ durch \[D^\lambda=\{(y,z)\colon
  |y|^2\le\epsilon\text{ und }z=0\}.\] In einem zweidimensionalen Bild
  sind $f^{-1}(\{c+\epsilon\})$ und $f^{-1}(\{c-\epsilon\})$ durch je
  zwei Hyperbeln gegeben, von denen die zu $c-\epsilon$ durch
  $e^\lambda$ (die offene $\lambda$-Zelle) verbunden werden.  Genauer
  ist $D^\lambda$ an (den Rand von) $M^{c-\epsilon}$ angeheftet. Die
  Gebiete mit $f<0$ und $f>0$ werden durch die Winkelhalbierenden
  voneinander getrennt. \par
  Wir modifizieren nun $f$ in einer Umgebung des Ursprungs und
  erhalten eine weitere glatte Funktion $F\colon M\to\R$: Sei
  $\mu\colon\R\to\R$ glatt und erf\"ulle
  \[
  \begin{cases}
    \mu(0)>\epsilon,&\\
    \mu(t)=0 &\text{f\"ur }t\ge2\epsilon,\\
    -1<\mu'(t)\le0&\text{f\"ur alle }t.
  \end{cases}
  \]
  Definiere $F$ durch 
  \[F=f-\mu\left(|y|^2+2|z|^2\right)\] innerhalb der betrachteten
  Koordinatenumgebung. Setzen wir $F$ au\ss{}erhalb durch $f$ fort, so
  ist $F$ glatt.  Wir setzen $\xi:=|y|^2=\sum\limits_{i=1}^\lambda
  \left(x^i\right)^2$ und $\eta:=|z|^2=\sum\limits_{i=\lambda+1}^n
  \left(x^i\right)^2$.  Lokal gilt damit
  \[F(y,z)=c-\xi+\eta-\mu(\xi+2\eta).\]
  \begin{behauptung}\label{beh F f c eps gleich}
    Es gilt $F^{-1}((-\infty,c+\epsilon])
    =f^{-1}((-\infty,c+\epsilon])$. 
  \end{behauptung}
  \begin{proof}[Beweis]
    Au\ss{}erhalb von $\xi+2\eta\le2\epsilon$ stimmen die Funktionen
    $F$ und $f$ \"uberein. Innerhalb des Ellipsoids gilt \[F\le
    f=c-\xi+\eta \le c+\tfrac12\xi+\eta \le c+\epsilon.\] Somit
    geh\"ort das Ellipsoid zu beiden Mengen und die Behauptung folgt. 
  \end{proof}
  \begin{behauptung}
    Die kritischen Punkte von $F$ und $f$ stimmen \"uberein. 
  \end{behauptung}
  \begin{proof}[Beweis]
    Es gilt
    \begin{align*}
      \fracp F\xi=&\,-1-\mu'(\xi+2\eta)<0,\\
      \fracp F\eta=&\,1-2\mu'(\xi+2\eta)\ge1
      \intertext{und nach Kettenregel folgt}
      \fracp F{x^i}=&\,\fracp F\xi\fracp\xi{x^i} +\fracp
      F\eta\fracp\eta{x^i}. 
    \end{align*}
    Nur im Ursprung gilt $\fracp\xi{x^i}=0$ und $\fracp\eta{x^i}=0$
    f\"ur alle $i$. Somit hat $F$ in $U$ den Ursprung als einzigen
    kritischen Punkt. Die Behauptung folgt.
  \end{proof}
  \begin{behauptung}\label{beh iii}
    Die Menge $F^{-1}((-\infty,c-\epsilon])$ ist hom\"oomorph bzw.{}
    diffeomorph zu $M^{c+\epsilon} =f^{-1}((-\infty,c+\epsilon])$.
  \end{behauptung}
  \begin{proof}[Beweis]
    Nach Behauptung \ref{beh F f c eps gleich} gilt
    $F^{-1}((-\infty,c+\epsilon])
    =f^{-1}((-\infty,c+\epsilon])$. Wegen $F\le f$ folgt
    somit \[F^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon]) \subset
    f^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon]).\] Damit ist diese Menge nach
    Voraussetzung kompakt und enth\"alt au\ss{}er $p$ keine weiteren
    kritischen Punkte von $F$. Wegen $F(p)=c-\mu(0)<c-\epsilon$
    enth\"alt $F^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])$ somit keine kritischen
    Punkte von $F$. Aufgrund des Deformationslemmas f\"ur $F$ folgt
    damit die Behauptung.
  \end{proof}
  \begin{figure}
    \centering 
    \includegraphics[height=5cm]{milnor.png}
    \caption{Illustration aus \cite{MilnorMorse}.}
  \end{figure}
  Wir wollen $F^{-1}((-\infty,c-\epsilon])$ als $M^{c-\epsilon}\cup H$
  beschreiben und setzen daher $H:=F^{-1}((-\infty,c-\epsilon])
  \setminus M^{c-\epsilon}$. Nach Definition von $F$ und $\mu$ ist $H$
  damit in der Menge enthalten, in der $f$ und $F$ nicht
  \"ubereinstimmen, also insbesondere in
  $B_{\sqrt{2\epsilon}}(0)$.\par
  Nach Behauptung \ref{beh iii} ist $M^{c-\epsilon}\cup H$
  hom\"oomorph (bzw.{} im glatten Fall diffeomorph) zu
  $M^{c+\epsilon}$. \par
  Wir hatten die $\lambda$-dimensionale Zelle als $D^\lambda
  :=\{q\colon\xi(q)\le\epsilon,\, \eta(q)=0\}$ definiert. Bis auf den
  Rand $\{q\colon\xi(q)=\epsilon,\, \eta(q)=0\}$ ist $D^\lambda$ in
  $H$ enthalten. Es gilt n\"amlich $\fracp F\xi<0$ und daher folgt
  $F(q)\le F(p)<c-\epsilon$ f\"ur $q\in D^\lambda$. Weiterhin gilt
  f\"ur $q\in D^\lambda$ mit $\xi(q)<\epsilon$ die Ungleichung
  $f(q)> c-\epsilon$.
  \begin{behauptung}\label{beh iv}
    $M^{c-\epsilon}\cup D^\lambda$ ist Deformationsretrakt von
    $M^{c-\epsilon}\cup H=F^{c-\epsilon}\cup M^{c-\epsilon}
    =F^{c-\epsilon}$.
  \end{behauptung}
  \begin{proof}[Beweis]
    Die gesuchte Deformationsretraktion $r_t\colon M^{c-\epsilon}\cup
    H\to M^{c-\epsilon}\cup H\supset M^{c-\epsilon}\cup D^\lambda$ ist
    wie folgt definiert. Au\ss{}erhalb der Koordinatenumgebung $U$ ist
    $r_t$ f\"ur alle $t\in[0,1]$ die Identit\"at. Sonst unterscheiden
    wir verschiedene F\"alle.
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item\label{rt def i} In $H\cap\{\xi\le\epsilon\}$ setzen wir 
      \[r_t\left(x^1,\ldots,x^n\right) =r_t(y,z)
      =\left(x^1,\ldots,x^\lambda,
        (1-t)x^{\lambda+1},\ldots,(1-t)x^n\right) =(y,(1-t)z).\] Dann
      ist $r_0$ dort die Identit\"at und $r_1$ bildet alle Punkte nach
      $D^\lambda$ ab. Punkte, die bereits in $D^\lambda$ sind, bleiben
      fest.
    \item\label{rt def ii} In $H\cap\{\epsilon\le\xi\}
      =H\cap\{\epsilon\le\xi\le\eta+\epsilon\}$ definieren
      wir \[r_t\left(x^1,\ldots,x^n\right) =r_t(y,z)
      :=\left(x^1,\ldots,x^\lambda,
        s_tx^{\lambda+1},\ldots,s_tx^n\right)\equiv(y,s_tz),\]
      wobei \[s_t:=(1-t)+t\sqrt{\tfrac{\xi-\epsilon}\eta}\in[0,1]\]
      ist. Wiederum gilt $r_0=\id$ und $r_1$ bildet direkt nach
      Definition nach $f^{-1}(\{c-\epsilon\})$ ab, denn es
      gilt \[f(r_1(y,z)) =f\left(y,\sqrt{\tfrac{\xi-\epsilon}
          \eta}z\right) =c-|y|^2+\tfrac{\xi-\epsilon}\eta|z|^2
      =c-\xi+\xi-\epsilon.\] Zur Stetigkeit von $r_t$: Geht
      $\eta=|z|^2\to0$, so folgt auch $\xi\to\epsilon$. In diesem
      Bereich ist $r_t$ stetig, denn es gilt
      $t\sqrt{\frac{\xi-\epsilon}\eta}z =t\sqrt{\xi-\epsilon}
      \cdot\frac z{|z|}$. F\"ur $\xi=\epsilon$ stimmt diese Definition
      mit der aus \eqref{rt def i} \"uberein.\par
      Wegen $\fracp F\eta>0$ und $\dot s_t\le0$ (direkte Rechnung und
      Definition des Definitionsgebietes) bleiben in beiden F\"allen
      Punkte, die bereits in $F^{c-\epsilon}$ sind, auch dort.
    \item F\"ur $\eta+\epsilon\le\xi$ setze $r_t=\id$. Diese Punkte
      sind ohnehin bereits in $M^{c-\epsilon}$ enthalten und die neue
      Definition stimmt f\"ur $\xi=\eta+\epsilon$ mit der aus
      \eqref{rt def ii} \"uberein.\qedhere
    \end{enumerate}
  \end{proof}
  Wir haben also folgende Deformationsretraktionen gefunden:\par
  In Behauptung \ref{beh iii} von $M^{c+\epsilon}$ auf
  $F^{-1}((-\infty,c-\epsilon]) =M^{c-\epsilon}\cup H$ (Definition von
  $H$). In Behauptung \ref{beh iv} weiter nach $M^{c-\epsilon}\cup
  D^\lambda$.\par
  Dies beweist, dass $M^{c-\epsilon}\cup D^\lambda$ wie behauptet ein
  Deformationsretrakt von $M^{c+\epsilon}$ ist.
\end{proof}

\begin{remark}
  Das Argument aus dem Beweis von Theorem \ref{def retr zell thm}
  funktioniert auch, wenn es in der Menge $f^{-1}(\{c\})$ statt einem
  $k$ nicht degenerierte kritische Punkte $p_1,\ldots,p_k$ mit Indices
  $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ gibt. Dann hat $M^{c+\epsilon}$ den
  Homotopietyp von $M^{c-\epsilon}\cup D^{\lambda_1}\cup\ldots \cup
  D^{\lambda_n}$.
\end{remark}

\Subsection{Darstellung als CW-Komplex}
% Der Anfang hier bis zu CW-Komplexen stammt aus meinen
% Differentialgeometrie- und Topologieskripten.
\begin{definition}[Finale Topologie, Quotiententopologie]
  Sei $Y$ eine Menge und seien $(X_i,\mathcal O_i)$, $i\in I$,
  topologische R\"aume. Seien $f_i:X_i\to Y$ Abbildungen. Dann
  existiert eine feinste Topologie auf $Y$, die \emph{finale}
  Topologie, so dass alle $f_i$ stetig werden, n\"amlich
  $\mathcal O:=\{A\subset Y:f_i^{-1}(A)\in\mathcal O_i \text{ f\"ur
    alle }i\in I\}$. \par
  \textbf{Spezialfall Quotientenraum:} Sei $(X,\mathcal O)$ ein
  topologischer Raum und $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf $X$. Sei
  $\bar x$ die \"Aquivalenzklasse von $x$ und
  $\bar X:=\{\bar x:x\in X\}$. Definiere die Projektion $p:X\to\bar X$
  durch $x\mapsto\bar x$. Die zugeh\"orige finale Topologie hei\ss{}t
  \emph{Quotiententopologie}. $U\subset\bar X$ ist genau dann offen,
  wenn $p^{-1}(U)\subset X$ offen ist.
\end{definition}

\begin{definition}[Zusammenkleben von R\"aumen]
  Seien $X$ und $Y$ disjunkte topologische R\"aume, $A\subset X$ eine
  abgeschlossene Teilmenge und $f:A\to Y$ eine stetige Abbildung.  Wir
  definieren auf $X\cup Y$ eine \"Aquivalenzrelation $\sim$ durch
  $$z_1\sim z_2:\aequivalent
  \begin{cases}
    (z_1,\,z_2\in A&\text{und}\quad f(z_1)=f(z_2))\quad\text{oder}\\
    (z_1\in A,\,z_2\in f(A)&\text{und}\quad f(z_1)=z_2)\quad\text{oder}\\
    (z_2\in A,\,z_1\in f(A)&\text{und}\quad f(z_2)=z_1)\quad\text{oder}\\
    &\phantom{\text{und}}\quad(z_1=z_2).
  \end{cases}$$ Den Faktorraum $(X\cup Y)/\!\!\sim$ bezeichnen wir mit
  $Y\cup_f X$.  $Y\cup_f X$ hei\ss{}t der durch \emph{Zusammenkleben}
  von $X$ mit $Y$ mittels $f$ entstandene Raum.
\end{definition}

\begin{remark}
  Insbesondere werden beim Zusammenkleben von $X\cup Y$ zu $Y\cup_f X$
  die Punkte aus $f(A)$ mit allen ihren Urbildern identifiziert.
\end{remark}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X=[0,1]$, $A=\{0\}\cup\{1\}$, $Y=[2,3]$ und $f(0)=2$,
    $f(1)=3$. Dann ist $X\cup_f Y$ hom\"oomorph zu $\S^1$.
  \item Sei $X=\ol{B_1(0)}\subset\R^n$, $A=\partial B_1(0)$,
    $Y=\{p\}$ eine einpunktige Menge und sei $f(x)=p$ f\"ur alle
    $x\in A$. Dann ist $Y\cup_f X$ hom\"oomorph zu $\S^n$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}[Ankleben von Zellen]
  Definiere $D^n:=\ol{B_1(0)}\subset\R^n$ als die abgeschlossene
  $n$-dimensionale Einheitskugel, $e^n:=B_1(0)\subset\R^n$ als die
  offene $n$-dimensionale Einheitskugel und
  $\S^{n-1}:=\partial B_1(0)\equiv D^n\setminus\dot D^n$ als die
  $(n-1)$-dimensionale Sph\"are.  Wir nennen auch $D^n$ eine
  $n$-dimensionale Kugel, $e^n$ eine $n$-dimensionale Zelle und $\S^n$
  eine $n$-dimensionale Sph\"are.\par
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $f:\S^{n-1}\to X$ eine stetige
  Abbildung. Wir sagen, dass $X\cup_f D^n$ (oder ein dazu
  hom\"oomorpher Raum) durch \emph{Ankleben} (oder \emph{Anheften})
  einer $n$-Zelle mittels $f$ entstanden sei.  Man schreibt auch
  laxerweise $X\cup_f e^n$ statt $X\cup_f D^n$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $p:X\cup D^n\to X\cup_f D^n$ die kanonische Projektion.  Dann
  ist $p|_{e^n}:e^n\to p(e^n)$ ein Hom\"oomorphismus.  Dies erkl\"art,
  warum man vom Anheften/Ankleben einer $n$-Zelle spricht.
\end{remark}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X=D^n$ und $f:\S^{n-1}\to D^n$ die kanonische
    Inklusionsabbildung (in einen zweiten $n$-Ball).  Dann ist
    $X\cup_f D^n$ hom\"oomorph zu einer $n$-dimensionalen Sph\"are.
  \item Sei $X:=\{(x,y)\in\R^2:0\le x\le1,\,0\le y\le1\}$,
    $A:=\{(x,y)\in X:x=0\vee x=1\}$, $Y:=[0,1]$. Sei $f:A\to Y$ durch
    $f(0,y):=y$ und $f(1,y):=1-y$ definiert. Dann ist $M:=Y\cup_f X$
    hom\"oomorph zu dem (abgeschlossenen) M\"obiusband.\par
    Der Rand $\partial M=M\setminus\dot M$ des M\"obiusbandes ist
    hom\"oomorph zu $\S^1$. Somit l\"asst sich an $M$ eine $2$-Zelle
    mittels einer Abbildung $g:\S^1\to\partial M$ injektiv
    ankleben. Wir k\"onnen f\"ur $g$ einen Hom\"oomorphismus
    w\"ahlen. Wir erhalten einen neuen Raum. (Dieser ist hom\"oomorph
    zu $\R P^2$.)
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

Wir k\"onnen auch mehrere Zellen gleichzeitig ankleben.
\begin{definition}
  Seien $D^n\times\{i\}$, $i\in I$, $n$-B\"alle und
  $f_i:\S^{n-1}\times\{i\}\to X$ stetige Abbildungen der
  dazugeh\"origen $(n-1)$-Sph\"aren in einen topologischen Raum
  $X$.
  $\S^{n-1}_I =\bigcup\limits_{i\in
    I}\left(\S^{n-1}\times\{i\}\right)$ ist ein Unterraum von
  $D^n_I:=\bigcup\limits_{i\in I} (D^n\times\{i\})$. Wir erhalten eine
  stetige Abbildung $f:\S^{n-1}_I\to X$ durch die Definition
  $f(x,i):=f_i(x)$.  Man sagt, dass $X':=X\cup_f D^n_I$ durch
  \emph{Ankleben} der $n$-Zellen $e^n\times\{i\}$, $i\in I$, an $X$
  entstanden sei.
\end{definition}

CW-Komplexe wurden von J. H. C. Whitehead eingef\"uhrt.  Sie werden
induktiv definiert. (CW steht f\"ur ``closure-finite weak
topology''.)
\begin{definition}[endliche CW-Komplexe]
  Ein nulldimensionaler \emph{CW-Komplex} ist eine endliche Menge von
  Punkten, die mit der diskreten Topologie versehen ist.\par
  Ein $n$-dimensionaler \emph{CW-Komplex} ist ein Raum der Form
  $X\cup_f e^n_I$, wobei $f$ stetig, $X$ ein $k$-dimensionaler
  CW-Komplex mit $k<n$ und
  $e^n_I=\bigcup\limits_{i\in I}(e^n\times\{i\})$, $|I|<\infty$, die
  topologische Summe von $n$-Zellen mit $n\ge1$ ist.\par Die Menge
  aller Punkte in einem CW-Komplex, die bereits in einem
  $k$-di\-men\-sio\-na\-len CW-Komplex enthalten sind hei\ss{}t
  \emph{$k$-Skelett} oder \emph{$k$-Ger\"ust}.
\end{definition}

F\"ur unendliche CW-Komplexe verwendet man die folgende Definition.
\begin{definition}[CW-Komplex]
  Ein \emph{CW-Komplex} ist ein Hausdorffraum $X$ mit einer
  (disjunkten) Zerlegung $\mathcal E$ in Zellen, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item es zu jeder $n$-Zelle $e$ eine stetige Abbildung
    $\Phi_e\colon\bar e\to X$ gibt, die $e$ hom\"oomorph auf $e$ und
    $\partial e$ in die Vereinigung der maximal $(n-1)$-dimensionalen
    Zellen abbildet. Die Abbildungen $\Phi_e$ bezeichnet man auch als
    charakteristische Abbildungen. 
  \item $\bar e$ (oder genauer $\Phi_e(\bar e)$) f\"ur jedes
    $e\in\mathcal E$ nur endlich viele andere Zellen in $\mathcal E$
    trifft (H\"ullenendlichkeit).
  \item $A\subset X$ genau dann abgeschlossen ist, wenn $A\cap\bar e$
    (genauer $A\cap\Phi_e(\bar e)$) f\"ur jede Zelle $e\in\mathcal E$
    abgeschlossen ist (schwache Topologie).
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\S^2$ ist hom\"oomorph zu einem zweidimensionalen
    CW-Komplex. Man klebt zun\"achst eine $1$-Zelle $e^1$ an einen
    Punkt und erh\"alt einen zu $\S^1$ hom\"oomorphen Raum. Durch
    Ankleben von zwei $2$-Zellen $e^2_1$ und $e^2_2$ an den
    entstandenen Raum erh\"alt man einen zu $\S^2$ hom\"oomorphen
    Raum.
  \item Man erh\"alt auch einen zu einer $\S^2$ hom\"oomorphen
    CW-Komplex, indem man eine $2$-Zelle an einen Punkt klebt.
  \item Klebt man eine $n$-Zelle an einen Punkt, so erh\"alt man einen
    $n$-dimensionalen CW-Komplex hom\"oomorph zu $\S^n$.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{lemma}[Zellul\"are Approximation]\label{zell approx lem}
  Sei $X$ ein endlich dimensionaler CW-Komplex. Sei $e^n$ mit Hilfe
  einer Abbildung $f$ an $X$ angeheftet. Dann ist $f$ zu einer
  Abbildung ins $(n-1)$-Skelett von $X$ homotop.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $D^m$ eine $m$-Zelle in $X$. Bezeichne ohne Einschr\"ankung
  $f|_V$ mit $V:={f^{-1}(B_1^m(0))}$ wieder mit $f$. K\"onnen wir
  zeigen, dass $f$ zu einer Abbildung mit $0\not\in\im f$ homotop ist,
  so k\"onnen wir $f$ mit einer Homotopie von $D^m\setminus\{0\}$ auf
  $\partial D^m$ verkn\"upfen und die Behauptung folgt. (Der Rest des
  Beweises ist etwas technisch.) \par Da die Menge
  $f^{-1}\big(\ol{B_{1/2}(0)}\big)$ kompakt ist, gibt es eine glatte
  Abschneidefunktion $\psi\colon D^{m-1}\to[0,1]$ mit
  $\supp\psi\Subset V$ und ein $\delta>0$ so dass $\psi=1$ oder
  $|f|\ge\frac12$ in $B_\delta(x)$ f\"ur alle $x\in V$
  gilt. Definiere \[f_\epsilon(x):=\psi\cdot f*\eta_\epsilon(x)
  +(1-\psi(x))\cdot f(x),\] wobei $\eta_\epsilon$ einen
  Gl\"attungskern bezeichnet. Ist $\epsilon>0$ klein genug, so ist
  $f_\epsilon$ nach Definition in einer Umgebung von
  $f_\epsilon^{-1}(B_{1/4}(0))$ glatt, da $f_\epsilon\to f$ lokal
  gleichm\"a\ss{}ig f\"ur $\epsilon\to0$ konvergiert. (Genauer: Aus
  $|f_\epsilon(x)|\le\frac14$ folgt $|f(x)|\le\frac38$ f\"ur
  $\epsilon>0$ klein genug. Daher ist $\psi=1$ in $B_\delta(x)$ und
  somit gilt dort $f_\epsilon(x)=f*\eta_\epsilon(x)$.) \par
  Da $f$ eine $(n-1)$-dimensionale Mannigfaltigkeit in eine
  $m$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit $m\ge n$ abbildet und somit
  nirgends regul\"ar ist, gibt es nach dem Sardschen Satz (auf
  $f_\epsilon|_{f^{-1}_\epsilon(B_{1/4}(0))}\to D^m$ angewandt, so
  dass $f_\epsilon$ dort glatt ist) einen Punkt $p$ nahe $0$ mit
  $p\not\in\im f$. Sei $\phi\colon D^m\to D^m$ ein aus dem Fluss eines
  Vektorfeldes mit kompaktem Tr\"ager gewonnener Diffeomorphismus mit
  $\phi(p)=0$. Dann ist $\phi\circ f_\epsilon$ die gesuchte zu $f$
  homotope Abbildung mit $0\not\in\im(\phi\circ f_\epsilon)$. Die
  Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{CW morse thm}
  Sei $M\subset\R^k$ eine glatte Untermannigfaltigkeit. Sei $f\colon
  M\to\R$ differenzierbar und ohne degenerierte kritische Punkte. Sei
  $M^a$ f\"ur alle $a\in\R$ kompakt. Dann ist der Homotopietyp von $M$
  der eines CW-Komplexes, in dem f\"ur jeden kritischen Punkt vom
  Index $\lambda$ eine Zelle der Dimension $\lambda$ auftritt. 
\end{theorem}
Wir werden diesen Satz nur f\"ur kompakte Mannigfaltigkeiten $M$
beweisen. Im Allgemeinen Fall ben\"otigt der Beweis zus\"atzliche
topologische Hilfsmittel, siehe \cite[I \textsection 3]{MilnorMorse}. 

Beim Beweis von Theorem \ref{CW morse thm} werden wir die folgenden
beiden Lemmata benutzen.
\begin{lemma}[Whitehead]\label{Whitehead lem}
  Seien $\phi_0,\,\phi_1\colon\partial D^\lambda\to X$ homotope
  Abbildungen in einen topologischen Raum $X$ und sei
  $D^\lambda=\{x\in\R^\lambda\colon|x|\le1\}$ die abgeschlossene
  $\lambda$-Zelle. Dann gibt es eine Fortsetzung von $\id\colon X\to
  X$, \[k\colon X\cup_{\phi_0}D^\lambda\to X\cup_{\phi_1}D^\lambda,\]
  die eine Homotopie\"aquivalenz ist. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $k$ durch
  \[
  k(x)=
  \begin{cases}
    x&\,\text{f\"ur }x\in X,\\
    2x&\,\text{f\"ur }x\in B_{1/2}(0),\\
    \phi_{2-2|x|}\big(\frac x{|x|}\big)&\, \text{f\"ur }x\in
    B_1(0)\setminus B_{1/2}(0),
  \end{cases}
  \]
  wobei $\phi_t$ eine Homotopie zwischen $\phi_0$ und $\phi_1$ ist.
  Nahe $x\in\partial B_{1/2}(0)$ und $x\in\partial B_1(0)$ ist $k$
  stetig. Damit ist $k$ \"uberall stetig. \par Definiere
  analog \[l\colon X\cup_{\phi_1}D^\lambda\to
  X\cup_{\phi_0}D^\lambda\] durch
  \[
  l(x)=
  \begin{cases}
    x&\,\text{f\"ur }x\in X,\\
    2x&\,\text{f\"ur }x\in B_{1/2}(0),\\
    \phi_{2|x|-1}\big(\frac x{|x|}\big)&\, \text{f\"ur }x\in
    B_1(0)\setminus B_{1/2}(0).
  \end{cases}
  \]
  Wir behaupten, dass $l\circ k\colon X\cup_{\phi_0}D^\lambda\to
  X\cup_{\phi_0}D^\lambda$ und $k\circ l\colon X\cup_{\phi_1}D^\lambda
  \to X\cup_{\phi_1}D^\lambda$ jeweils homotop zur Identit\"at
  sind. Es gilt
  \[
  l\circ k(x) =
  \begin{cases}
    x&\text{f\"ur }x\in X,\\
    4x&\text{f\"ur } x\in B_{1/4}(0),\\
    \phi_{4|x|-1}\big(\tfrac x{|x|}\big)&\text{f\"ur }x\in B_{1/2}(0)
    \setminus B_{1/4}(0),\\
    \phi_{2-2|x|}\big(\tfrac x{|x|}\big)&\text{f\"ur }x\in
    B_1(0)\setminus B_{1/2}(0).
  \end{cases}
  \]
  Die gesuchte Homotopie erh\"alt man, indem man zun\"achst in die
  Abbildungen $\phi_\cdot$ einen Faktor $t$ einf\"uhrt, etwa
  $\phi_{t(4|x|-1)}\big(\frac x{|x|}\big)$. Da $\phi_0$ im
  zusammengeklebten Raum die Identit\"at ist, gen\"ugt es nun, eine
  weitere Homotopie zu betrachten, die in $D^\lambda$ alles um den
  Faktor $4$ bis zum Rand verschiebt. Durch geeignete
  Hintereinanderausf\"uhrung dieser beiden Homotopien sieht man, dass
  $l\circ k$ homotop zur Identit\"at ist. \par Eine analoge
  Argumentation funktioniert f\"ur $k\circ l$. Daher ist $k$ eine
  Homotopie\"aquivalenz.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{homot equiv anheft lem}
  Sei $\phi\colon\partial D^\lambda\to X$ eine anheftende
  Abbildung. Dann liefert jede Homotopie\"aquivalenz $f\colon X\to Y$
  eine Homotopie\"aquivalenz
  \[F\colon X\cup_{\phi}D^\lambda\to Y\cup_{f\circ\phi}D^\lambda.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $F$ durch
  \[
  \begin{cases}
    F|_X=f,\\
    F|_{e^\lambda}=\id.
  \end{cases}
  \]
  Nach Definition ist $F$ stetig. Sei $g\colon Y\to X$ eine
  Homotopieinverse von $f$. Definiere 
  \begin{align*}
    G\colon &\,Y\cup_{f\circ\phi}D^\lambda\to X\cup_{g\circ
      f\circ\phi}D^\lambda,\\
    \intertext{durch }
    &
    \begin{cases}
      G|_Y=g,\\
      G|_{e^\lambda}=\id.
    \end{cases}
  \end{align*}
  Die Abbildung $g\circ f\circ\phi$ ist homotop zu $\phi$.  Sei $h_t$
  eine Homotopie zwischen $h_0=g\circ f$ und $h_1=\id$. Dann ist
  $h_t\circ\phi$ eine Homotopie zwischen $g\circ f\circ\phi$ und
  $\phi$. Nach Lemma \ref{Whitehead lem} gibt es daher eine
  Homotopie\"aquivalenz
  \[k\colon X\cup_{g\circ f\circ\phi}D^\lambda\to
  X\cup_{\phi}D^\lambda.\] Wir zeigen zun\"achst, dass \[k\circ G\circ
  F\colon X\cup_\phi D^\lambda\to X\cup_\phi D^\lambda\] homotop zur
  Identit\"at ist: Nach Definition von $k$ (Lemma \ref{Whitehead lem}
  mit $h_t\circ\phi$ statt $\phi_t$ angewandt), $G$ und $F$ erhalten
  wir
  \[k\circ G\circ F(x)=
  \begin{cases}
    g\circ f(x)&\text{f\"ur }x\in X,\\
    2x&\text{f\"ur }x\in B_{1/2}(0),\\
    h_{2-2|x|}\circ\phi\big(\tfrac x{|x|}\big)&\text{f\"ur }x\in
    B_1(0)\setminus B_{1/2}(0). 
  \end{cases}
  \]
  Die gesuchte Homotopie \[q_\tau\colon X\cup_\phi D^\lambda\to
  X\cup_\phi D^\lambda,\] $0\le\tau\le1$, ist dann durch
  \[
  q_\tau(x)=
  \begin{cases}
    h_\tau(x)&\text{f\"ur }x\in X,\\
    \tfrac2{1+\tau}x&\text{f\"ur }x\in B_1(0)\text{ mit
    }0\le|x|\le\frac{1+\tau}2,\\
    h_{2-2|x|+\tau}\circ\phi\big(\tfrac x{|x|}\big) &\text{f\"ur }x\in
    B_1(0)\text{ mit }\tfrac{1+\tau}2\le|x|\le1
  \end{cases}
  \]
  gegeben, denn $q_0=k\circ G\circ F$, $q_1=\id$ und $q_\tau$ ist
  stetig. Somit ist $k\circ G\circ F$ homotop zur Identit\"at und $F$
  besitzt eine linke Homotopieinverse: $k\circ G$.\par
  Der Rest des Beweises besteht aus mehreren kleinen recht formalen
  Schritten:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{homot anheft i} Wie im obigen Beweis folgt auch, dass
    $G$ eine linke Homotopieinverse besitzt.
  \item $k$ ist eine Homotopie\"aquivalenz, besitzt also insbesondere
    eine linke Homotopieinverse. Daher folgt aus $k\circ(G\circ
    F)\simeq\id$ ($\simeq$ bedeutet hier homotop), dass auch $(G\circ
    F)\circ k\simeq\id$ gilt.
  \item Aus \eqref{homot anheft i} und $G\circ(F\circ k)\simeq\id$
    folgt $(F\circ k)\circ G\simeq\id$. 
  \item Es folgt $F\circ(k\circ G)\simeq\id$. Da $k\circ G$ auch
    eine linke Homotopieinverse zu $F$ ist, ist $F$ wie behauptet eine
    Homotopie\"aquivalenz.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{CW morse thm}; kompakter Fall]
  Seien $c_1<c_2<c_3<\ldots$ die kritischen Werte von $f\colon
  M\to\R$. Da $f$ eine Morsefunktion ist und $M^a$ kompakt ist, hat
  die Menge $\{c_i\}_i$ keine H\"aufungspunkte. F\"ur $a<c_1$ gilt
  $M^a=\emptyset$, ist also homotopie\"aquivalent zu einem CW-Komplex.
  Nehme nun an, dass $a\not\in\{c_i\}_i$ ist und (per Induktion), dass
  $M^a$ homotopie\"aquivalent zu einem CW-Komplex $K$ verm\"oge einer
  Abbildung $h'\colon M^a\to K$ ist. W\"ahle nun $i$, so dass $c_i>a$
  minimal ist und nehme an, dass
  $[c_i-\epsilon,c_i+\epsilon]\cap\{c_j\}_j$ nur den Punkt $c_i$
  enth\"alt. Nach Theorem \ref{def retr zell thm} (in der Form f\"ur
  mehrere kritische Punkte auf dem Level $c_i$) sind
  $M^{c_i+\epsilon}$ und $M^{c_i-\epsilon}\cup_{\phi_1} D^{\lambda_1}
  \cup\ldots \cup_{\phi_{j(c_i)}}D^{\lambda_{j(c_i)}}$ f\"ur geeignete
  Abbildungen $\phi_i$ homotopie\"aquivalent. Nach Deformationslemma
  gibt es eine Homotopie\"aquivalenz $h\colon M^{c_i-\epsilon}\to
  M^a$. Nach Lemma \ref{homot equiv anheft lem} ist $M^{c_i+\epsilon}$
  zum CW-Komplex $K$ mit verm\"oge $h'\circ h\circ\phi_j$ angehefteten
  Zellen homotopie\"aquivalent. Die anheftenden Abbildungen $h'\circ
  h\circ\phi_j$ sind zu anheftenden Abbildungen \[\psi_j\colon\partial
  D^{\lambda_j}\to (\lambda_j-1)-\text{Skelett von K}\]
  homotop. Folglich hat der CW-Komplex \[K\cup_{\psi_1}D^{\lambda_1}
  \cup\ldots\cup_{\psi_{j(c)}}D^{\lambda_{j(c)}}\] denselben
  Homotopietyp wie $M^{c_i+\epsilon}$. \par
  Nach endlich vielen Schritten erhalten wir das Theorem f\"ur
  kompakte Mannigfaltigkeiten $M$.
\end{proof}

\Subsection{Anwendungen}

Auch das folgende Theorem gilt nicht nur f\"ur
Untermannigfaltigkeiten. 
\begin{theorem}[Reeb]
  Sei $M^m\subset\R^n$ eine kompakte Untermannigfaltigkeit. Habe
  $f\colon M\to\R$ nur zwei nicht degenerierte kritische Punkte. Dann
  ist $M$ hom\"oomorph zur Sph\"are $\S^m$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die beiden kritischen Punkte sind Minimum und Maximum von $f$. Nehme
  ohne Einschr\"ankung an, dass $f(M)=[0,1]$ gilt. Nach Theorem
  \ref{def retr zell thm} (oder aufgrund des Morselemmas) sind
  $M^\epsilon=f^{-1}([0,\epsilon])$ und $f^{-1}([1-\epsilon,1])$
  abgeschlossene $m$-Zellen, falls $\epsilon>0$ klein genug
  ist. Aufgrund des Deformationslemmas ist $M^\epsilon$ hom\"oomorph
  (und im glatten Fall sogar diffeomorph) zu $M^{1-\epsilon}$. Also
  ist $M$ hom\"oomorph zur Vereinigung von zwei $m$-Zellen,
  $M^{1-\epsilon}$ und $f^{-1}([1-\epsilon,1])$, die entlang ihres
  gemeinsamen Randes zusammengeklebt sind. Sei $h\colon
  M^{1-\epsilon}\to\S^m\setminus B_\delta(N)$ ein Hom\"oomorphismus,
  (oder Diffeomorphismus) der eine kleine Polkappe $B_\delta(N)$ um
  den Nordpol $N$ ausl\"asst. Ohne Einschr\"ankung sei die Polkappe
  flachgedr\"uckt und reskaliert, also $B_1(0)\subset\R^m$. Sei
  $g\colon f^{-1}([1-\epsilon,1])\to\ol{B_1(0)}$ ein
  Hom\"oomorphismus. Setze nun $h$ nach $f^{-1}([1-\epsilon,1])$ durch
  \[h(g^{-1}(y)):=
  \begin{cases}
    |y|\cdot h\circ g^{-1}\big(\frac y{|y|}\big)&\text{f\"ur
    }y\neq0,\\ 
    N&y=0
  \end{cases}
  \]
  f\"ur $y\in\ol{B_1(0)}$ fort. Wir erhalten einen Hom\"oomorphismus
  $h\colon M\to\S^m$.   
\end{proof}

\begin{remark}
  Im allgemeinen ist $h$ kein Diffeomorphismus. Gegenbeispiele sind
  die von J. Milnor gefundenen exotischen Sph\"aren. Im obigen Beweis
  ist nicht klar, ob die beiden zu $m$-Zellen diffeomorphen Teile
  auch so zusammengeklebt sind, dass wir \"uber die Klebestelle hinweg
  einen Diffeomorphismus haben. 
\end{remark}

\begin{lemma}
  $\C P^n$ hat denselben Homotopietyp wie ein CW-Komplex, der durch
  geeignetes Verkleben aus geraddimensionalen Zellen aufgebaut ist
  \[D^0\cup D^2\cup D^4\cup\ldots\cup D^{2n}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir benutzen das folgende Modell: $\C P^n$ besteht aus
  \"Aquivalenzklassen von $(n+1)$-Tupeln komplexer Zahlen
  $(z^0,\ldots,z^n)$ mit $\sum\limits_{j=0}^n|z^j|^2=1$. Aus einem
  Vertreter erhalten wir die gesamte \"Aquivalenzklasse durch
  Multiplikation aller Komponenten mit einer komplexen Zahl vom Betrag
  $1$. Wir bezeichnen die \"Aquivalenzklassen von
  $(z^0,z^1,\ldots,z^n)$ mit $(z^0:z^1:\ldots:z^n)$. \par Seien
  $c_0,c_1,\ldots,c_n$ verschiedene reelle Zahlen. Definiere
  $f\colon\C P^n\to\R$ durch
  \[f(z^0:z^1:\ldots:z^n):=\sum\limits_{j=0}^nc_j|z^j|^2.\] 
  Beachte, dass $f$ auf jeder \"Aquivalenzklasse konstant ist. \par
  Wir wollen nun die kritischen Punkte von $f$ bestimmen. Betrachte
  dazu das folgende Koordinatensystem. Sei $U_0$ die Menge aller
  Punkte $(z^0:z^1:\ldots:z^n)$ mit $z^0\neq0$. Definiere $x^j,y^j$
  durch \[\frac{|z^0|}{z^0}z^j=x^j+iy^j.\] Dann ist die
  Kartenabbildung $\phi_0$ durch 
  \begin{align*}
    \phi_0\colon U_0\to&\,\R^{2n},\\
    (z^0:z^1:\ldots:z^n)\mapsto&\,(x^1,y^1,x^2,y^2,\ldots,x^n,y^n)
  \end{align*}
  gegeben. $\phi_0$ bildet $U_0$ nach $B_1(0)\subset\R^{2n}$ ab. Es
  gelten $|z^j|^2=(x^j)^2+(y^j)^2$ und $|z^0|^2=1-\sum\limits_{j=1}^n
  \left((x^j)^2+(y^j)^2\right)$. Somit erhalten wir in ganz $U_0$ 
  \[f=c_0+\sum\limits_{j=0}^n(c_j-c_0)\left((x^j)^2+(y^j)^2\right).\]
  Somit hat $f|_{U_0}$ als einzigen kritischen Punkt
  $p_0=(1:0:\ldots:0)$. Dieser Punkt ist nicht degeneriert und sein
  Index ist \[2\cdot|\{j\colon c_j<c_0\}|.\] Analog erhalten wir in
  einem Koordinatensystem $U_j$ f\"ur Punkte mit $z_j\neq0$, dass
  $p_j=(0:\ldots:0:1:0:\ldots:0)$ der einzige kritische Punkt mit
  einem entsprechenden Index ist. Da die Mengen $U_j$ die
  Mannigfaltigkeit $\C P^n$ \"uberdecken, sind dies die einzigen
  kritischen Punkte von $f$. Jeder gerade Index zwischen $0$ und $2n$
  kommt also genau einmal vor. Theorem \ref{homot equiv anheft lem}
  liefert daher, dass der Homotopietyp von $\C P^n$ der eines
  CW-Komplexes der Form \[D^0\cup D^2\cup D^4\cup\ldots\cup D^{2n}\]
  mit geeigneten anheftenden Abbildungen ist.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Die Homologiegruppen von $\C P^n$ sind 
  \[
  H_i(\C P^n;\Z)\cong
  \begin{cases}
    \Z &\,\text{f\"ur }i=0,2,4,\ldots,2n,\\
    0 &\,sonst. 
  \end{cases}
  \]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Homologiegruppen jedes Komplexes
  \[\ldots\to0\to0\to\Z\to0\to\Z\to0\to\Z\to\ldots\to0\to\Z
  \to0\to0\to\ldots\] sind wie angegeben, da die Randabbildungen bei
  diesem Komplex bereits festgelegt sind. Benutze nun zellul\"are
  Homologie.
\end{proof}

\Subsection{Bemerkungen zur Triangulierbarkeit differenzierbarer
  Mannigfaltigkeiten} 
\def\unterabschnitt{Triangulierbarkeit differenzierbarer
  Mannigfaltigkeiten} 
\begin{definition}[Triangulierbarkeit]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $v_0,\,\ldots,\,v_n$ Punkte in $\R^m$, die nicht in
    einer affinen Ebene mit Dimension $<n$ liegen, d.\,h.{} die
    Vektoren $v_1-v_0,\,\ldots,\,v_n-v_0$ sollen linear unabh\"angig
    sein. Dann ist die konvexe H\"ulle dieser Punkte,
    $[v_0,\,\ldots,\,v_n]$, ein $n$-Simplex und $v_i$ sind die
    Ecken des Simplexes.
    \par $[v_0,\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots,v_n]$ hei\ss{}t Seite
    eines Simplexes. 
  \item Ein $n$-dimensionaler \emph{Polyeder} ist die Vereinigung
    endlich vieler $n$-Simplices, so dass der Schnitt zweier
    beliebiger verschiedener $n$-Simplices entweder leer oder eine
    gemeinsame Seite beider Simplices ist oder durch Auslassen von
    mehr als einem Punkt entsteht (Seite einer Seite, \ldots). (Die
    Endlichkeitsforderung kann auch entfallen.)
  \item Ein topologischer Raum (eine Mannigfaltigkeit) hei\ss{}t
    \emph{triangulierbar}, falls er (sie) hom\"oomorph zu einem
    Polyeder ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Alternativ aber \"aquivalent kann man Triangulierbarkeit wie folgt
  definieren:\par
  Eine Mannigfaltigkeit hei\ss{}t st\"uckweise linear, wenn das Bild
  jeder Karte ein Polytop (unterschiedliche Definitionen, hier: = eine
  beschr\"ankte offene Menge mit st\"uckweise affin linearem Rand aus
  Polytopen einer Dimension niedriger; $0$-Polytop = endliche
  Punktmenge) ist und wenn Kartenwechsel st\"uckweise affin-linear
  sind.
\end{remark}

\begin{remark}
  \"Ahnlich wie beim Beweis von Theorem \ref{def retr zell thm}
  k\"onnen wir mit Hilfe einer Morsefunktion zeigen, dass sich jede
  Mannigfaltigkeit triangulieren l\"asst. Die hier verwendeten
  Methoden funktionieren f\"ur kompakte Untermannigfaltigkeiten des
  $\R^n$. Die Ideen daf\"ur sind:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $M^a$ bereits trianguliert. 
  \item Hat $f$ keine kritischen Werte im Intervall $[a,b]$, so ist
    $f^{-1}([a,b])$ diffeomorph zu $f^{-1}(\{b\})\times[0,1]$ und
    daher triangulierbar, denn $f^{-1}(\{b\})$ ist triangulierbar und
    eine triangulierbare Menge $\times[0,1]$ ist wieder
    triangulierbar. 
  \item Da wir das Verhalten von $f$ in der N\"ahe eines isolierten
    kritischen Punktes genau kennen, k\"onnen wir die Triangulierung
    \"uber diesen Punkt hinaus fortsetzen.
  \item Per Induktion erhalten wir eine Triangulierung der gesamten
    Mannigfaltigkeit. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Im Zusammenhang mit Triangulierungen treten zwei \"uberraschende
  Ph\"anomene auf:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension $n\le3$ lassen
    sich triangulieren, f\"ur $n=4$ funktioniert das im allgemeinen
    nicht und f\"ur $n\ge5$ ist unbekannt, ob eine topologische
    Mannigfaltigkeit triangulierbar ist.
  \item Zu zwei Triangulierungen gibt es im allgemeinen keine
    gemeinsame Verfeinerung, also eine Triangulierung, so dass man
    jede der urspr\"unglichen Triangulierungen durch Vereinigungen von
    Simplices der Verfeinerung erh\"alt (Hauptvermutung, Milnor). 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\Subsection{Morseungleichungen}
Wir werden hier ein wenig algebraische Topologie benutzen. In allen
hier auftretenden Paaren von R\"aumen $(X,A)$ mit $A\subset X$ ist $A$
Deformationsretrakt einer Umgebung von $A$ und daher ist $(X,A)$ ein
gutes Paar. Nach \cite[Prop. A.5]{Hatcher} bilden CW-Komplexe und
Unter-CW-Komplexe stets gute Paare. Daher wollen wir dies in diesem
Kapitel nicht weiter erw\"ahnen.

\begin{definition}
  Sei $S$ eine $\Z$-wertige Funktion auf Paaren von R\"aumen. Seien
  $X\supset Y\supset Z$ topologische R\"aume. Dann hei\ss{}t $S$
  \emph{subadditiv}, falls \[S(X,Z)\le S(X,Y)+S(Y,Z)\] gilt und
  additiv, falls stets Gleichheit gilt.
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $H_\lambda(X,Y)$ die singul\"are Homologiegruppe. Dann ist die
  $\lambda$-te Bettizahl $R_\lambda(X,Y)$ die Anzahl der Summanden in
  $H_\lambda(X,Y)$, die isomorph zu $\Z$ sind,
  $R_\lambda(X,Y)\equiv\rang H_\lambda(X,Y)$. F\"ur endliche
  CW-Komplexe sind alle Bettizahlen endlich. Wir behaupten, dass
  $R_\lambda(X,Y)$ subadditiv ist: Die lange exakte Homologiesequenz
  f\"ur Tripel liefert die folgende lange exakte Sequenz
  \[\ldots\to H_{\lambda+1}(X,Y)\to H_\lambda(Y,Z)\to H_\lambda(X,Z) \to
  H_\lambda(X,Y)\to H_{\lambda-1}(Y,Z)\to\ldots.\] Aus der Exaktheit
  bei den mittleren drei Gruppen folgt die Subadditivit\"at
  \[R_\lambda(X,Z)\le R_\lambda(Y,Z) +R_\lambda(X,Y).\]
  Die relative Eulercharakteristik \[\chi(X,Y) =\sum\limits_\lambda
  (-1)^\lambda R_\lambda(X,Y)\] ist additiv: Dies \"uberlegt man sich
  direkt an der langen exakten Homologiesequenz f\"ur Tripel. 
\end{beispiel}

\begin{lemma}
  Sei $S$ subadditiv und gelte $X_0\subset\ldots\subset X_n$. Dann
  folgt \[S(X_n,X_0)\le\sum\limits_{i=1}^n S(X_i,X_{i-1}).\] Ist $S$
  additiv, so gilt Gleichheit.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies ist f\"ur $n=0$ trivial, f\"ur $n=1$ die Definition der
  Subadditivit\"at und der Induktionsschritt \[S(X_n,X_0)\le
  S(X_{n-1},X_0) +S(X_n,X_{n-1}) \le\sum\limits_{i=1}^n
  S(X_i,X_{i-1})\] liefert die Behauptung. 
\end{proof}

Wir setzen $X_0=\emptyset$ und setzen $S(X,\emptyset)=S(X)$. Dann
folgt 
\begin{equation}\label{SXn eqn}
  S(X_n)\le\sum\limits_{i=1}^n S(X_i,X_{i-1})
\end{equation}
mit Gleichheit im additiven Fall.

\begin{remark}
  In der N\"ahe eines kritischen Punktes k\"onnen wir eine
  Morsefunktion aufgrund des Morselemmas, Lemma \ref{morse lem},
  genau. Durch Addition von einer Funktion $f_{\delta,\zeta}$ f\"ur
  kleines $\zeta>0$ und sehr kleines $\delta>0$, die lokal in einer
  Karte durch
  \[
  f_{\delta,\zeta}(x)=
  \begin{cases}
    \delta&\,\text{f\"ur }|x|\le\zeta,\\
    \in[0,\delta], |\nabla f_{\delta,\zeta}|\le\frac{2\delta}\zeta
    &\,\text{f\"ur }\zeta\le|x|\le2\zeta,\\
    0&\text{sonst}
  \end{cases}
  \]
  gegeben ist, k\"onnen wir eine Morsefunktion auf einer kompakten
  Mannigfaltigkeit so abh\"andern, dass die kritischen Werte ohne
  Einschr\"ankung alle nur einmal in einem kritischen Punkt angenommen
  werden.
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $M$ eine kompakte Mannigfaltigkeit, $f\colon M\to\R$ eine
  Morsefunktion. Seien $a<b$ keine kritischen Werte von $f$ und
  enthalte $f^{-1}([a,b])$ genau einen kritischen Punkt $p$. Dann ist
  $H_k(M^b,M^a)=\Z$ (genauer: $H_k(M^b,M^a)\cong\Z$), falls $k$ der
  Index von $p$ ist. Sonst gilt $H_k(M^b,M^a)=0$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\lambda$ der Index von $p$. Dann gilt, da es sich um ein gutes
  Paar handelt,
  \begin{align*}
    H_k\left(M^b,M^a\right) =&\,H_k\left(M^a\cup D^\lambda,M^a\right)
    =\tilde H_k\left(\left(M^a\cup D^\lambda\right)/M^a\right)
    \umbruch\\
    =&\,H_k\left(D^\lambda,\partial D^\lambda\right) =\tilde
    H_k\left(\S^\lambda\right) =
    \begin{cases}
      \Z &\text{f\"ur }k=\lambda,\\
      0 &\text{sonst.}
    \end{cases}\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{theorem}[Schwache Morseungleichungen]\label{schw morseungl thm}
  Sei $M\subset\R^n$ eine kompakte Untermannigfaltigkeit. Sei $f\colon
  M\to\R$ eine Morsefunktion. Sei $C_\lambda$ die Anzahl der
  kritischen Punkte von $f$ vom Index $\lambda$ und $R_\lambda(M)$ die
  $\lambda$-te Bettizahl von $M$. Dann gelten
  \begin{equation}
    \label{morse ungl i}
    R_\lambda(M)\le C_\lambda
  \end{equation}
  und
  \begin{equation}
    \sum\limits_\lambda(-1)^\lambda R_\lambda(M)
    =\sum\limits_\lambda (-1)^\lambda C_\lambda.
    \label{morse ungl ii}
  \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $a_1<\ldots<a_k$ ohne Einschr\"ankung so gew\"ahlt, dass
  $M^{a_i}$ genau $i$ kritische Punkte enth\"alt. 
  Nach \eqref{SXn eqn} mit $\emptyset =M^{a_0}\subset \ldots\subset
  M^{a_k}=M$ und f\"ur die Bettizahlen $S=R_\lambda$ folgt
  \[R_\lambda(M)\le\sum\limits_{i=1}^k
  R_\lambda\left(M^{a_i},M^{a_{i-1}}\right) =C_\lambda.\]
  Dies ist \eqref{morse ungl i}.\par
  Im Falle der relativen Eulercharakteristik folgt
  \[\chi(M) =\sum\limits_{i=1}^k \chi\left(M^{a_i},M^{a_{i-1}}\right)
  =C_0-C_1+C_2\mp\ldots\pm C_n.\] Dies ist gerade \eqref{morse ungl
    ii}. 
\end{proof}

Diese Ungleichungen kann man mit Hilfe einer neuen subadditiven
Funktion $S_\lambda$
versch\"arfen. Definiere 
\begin{align*} S_\lambda(X,Y):=&\,\sum\limits_{i=0}^\lambda
  (-1)^{\lambda-i} R_i(X,Y)\\ \equiv&\, R_\lambda(X,Y)
  -R_{\lambda-1}(X,Y) +R_{\lambda-2}(X,Y) \mp\ldots\pm R_0(X,Y).
\end{align*}
Die Subadditivit\"at werden wir in Lemma \ref{S lambda subadd lem}
beweisen.  

\begin{lemma}\label{dim fml ex vr}
  Sei \[\xymatrix{A\ar[r]^-i&B\ar[r]^-j&C}\] eine exakte Sequenz von
  Vektorr\"aumen. Dann gilt \[\rang i+\rang j=\dim B.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $\im i=\ker j$ folgt
  \[\rang i=\dim\im i=\dim\ker j.\]
  Mit $\rang j=\dim B-\dim\ker j$ folgt die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Um dies auf abelsche Gruppen anwenden zu k\"onnen, wollen wir
  Lokalisierungen verwenden, siehe \cite[Kap.{}
  3]{AtiyahMacdonald}. Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $M$ ein
  $R$-Modul und $S\subset R$ eine multiplikativ abgeschlossene
  Teilmenge, die die Eins enth\"alt. Dann ist $S^{-1}M$ als $R$-Modul
  der \"Aquivalenzklassen aller \glqq Br\"uche\grqq{}
  $(a,s)\equiv\frac as$ mit $(a,s)\in M\times S$, \"ublicher
  Bruchrechnung und der \"Aquivalenzrelation $(a,s)\sim(b,t)$, falls
  es ein $r\in S$ mit $r(ta-sb)=0$ gibt, definiert.\par Wir
  ben\"otigen hier insbesondere den Fall, wenn $R=\Z$ und
  $S=\Z\setminus\{0\}$ sind und $M$ eine abelsche Gruppe ist. Dann ist
  $S^{-1}R=\Q$. \par
  Sei $\phi\colon M\to N$ ein Modulhomomorphismus. Definieren wir den
  Funktor $S^{-1}$ von der Kategorie der $R$-Moduln in die Kategorie
  der $S^{-1}R$-Moduln durch \[S^{-1}\phi\colon S^{-1}M\to S^{-1}N
  \quad\text{mit}\quad \frac ms\mapsto\frac{\phi(m)}{s},\] so ist
  $S^{-1}$ exakt. Im Fall $R=\Z$ und $S=\Z\setminus\{0\}$ ist der
  Funktor $S^{-1}$ bis auf eine nat\"urliche \"Aquivalenz
  (= nat\"urliche Transformation mit Inverse) $\Theta$ gleich
  $\otimes_\Z\Q$, dem Tensorieren mit $\Q$. Die nat\"urliche
  Transformation ist durch $S^{-1}A\ni\frac as\mapsto
  a\otimes\frac1s\in A\otimes_\Z\Q$ mit der Inverse $a\otimes\frac
  pq\mapsto\frac{pa}q$ auf Objekten gegeben. In unserem Spezialfall
  erhalten wir also aus der exakten Sequenz \[\xymatrix{A\ar[r]^-i
    &B\ar[r]^j&C}\] abelscher Gruppen das kommutative Diagramm
  \[\xymatrix@=2ex{S^{-1}A\ar[rr]^-{S^{-1}i}\ar[dd]^-{\Theta_A}&&
    S^{-1}B\ar[rr]^-{S^{-1}j}\ar[dd]^-{\Theta_B}
    &&S^{-1}C\ar[dd]^-{\Theta_C}\\
    &/\!/\!/&&/\!/\!/&\\
    A\otimes_\Z\Q\ar[rr]^-{i\otimes_\Z\Q}
    &&B\otimes_\Z\Q\ar[rr]^-{j\otimes_\Z\Q} &&C\otimes_\Z\Q}\]
  und links darin
  \[\xymatrix{\frac as\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d]
    &\frac{i(a)}s\ar@{|->}[d]\\ 
    a\otimes\frac1s\ar@{|->}[r] &i(a)\otimes\frac1s.}\]
  So erhalten wir aus einer exakten Sequenz abelscher Gruppen eine
  exakte Sequenz von Vektorr\"aumen. 
\end{remark}

Wir beweisen nur ein Teilresultat:
\begin{proposition}
  Der Funktor $S^{-1}$ ist exakt, \dh ist $\xymatrix{A\ar[r]^-i
    &B\ar[r]^j &C}$ in $B$ exakt, so ist auch $\xymatrix{S^{-1}A
    \ar[r]^-{S^{-1}i} &S^{-1}B \ar[r]^{S^{-1}j} &S^{-1}C}$ in
  $S^{-1}B$ exakt.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $j\circ i=0$ folgt $S^{-1}j\circ S^{-1}i =S^{-1}(0)=0$. Somit
  ist $\im\left(S^{-1}i\right) \subset\ker\left(S^{-1}j\right)$. Sei
  nun $\frac bs\in\ker\left(S^{-1}j\right)$, also $\frac{j(b)}s=0$ in
  $S^{-1}C$. Daher gibt es ein $t\in S$ mit $tj(b)=0$ in $C$. $j$ ist
  ein $R$-Modulhomomorphismus. Also ist $tj(b)=j(tb)$. Es folgt
  $tb\in\ker j=\im i$. Somit gibt es ein $a\in A$ mit $i(a)=tb$. Wir
  erhalten $\frac bs=\frac{i(a)}{st} =\left(S^{-1}i\right)\left(\frac
    a{st}\right) \in\im\left(S^{-1}i\right)$. Also gilt auch
  $\ker\left(S^{-1}j\right) \subset\im\left(S^{-1}i\right)$.
\end{proof}

Also folgt
\begin{corollary}\label{dim fml ex gr cor}
  Sei \[\xymatrix{A\ar[r]^-i&B\ar[r]^-j&C}\] eine exakte Sequenz von
  abelschen Gruppen. Dann gilt \[\rang i+\rang j=\rang B.\] 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Tensoriere mit $\Q$, \glqq$\otimes_\Z\Q$\grqq, und benutze
  Lemma \ref{dim fml ex vr}.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{S lambda subadd lem}
  $S_\lambda$ ist subadditiv. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei \[\xymatrix{\ldots\ar[r]^-h &A\ar[r]^-i &B\ar[r]^-j &C\ar[r]^-k
    &\ldots\ar[r] &Z\ar[r]&0}\] eine lange exakte Sequenz von
  Vektorr\"aumen. Induktiv erhalten wir mit Lemma \ref{dim fml ex vr}
  \begin{align*}
    \rang h =&\,\dim A -\rang i\umbruch\\
    =&\,\dim A -\dim B +\rang j\umbruch\\
    =&\,\dim A -\dim B +\dim C -\rang k\umbruch\\
    =&\,\dots\umbruch\\
    =&\,\dim A -\dim B +\dim C \mp\ldots\pm \dim Z.
  \end{align*}
  Da der Rang einer Abbildung nichtnegativ ist, gilt dies auch f\"ur
  die rechte Seite. \par
  Betrachte nun die lange exakte Homologiesequenz f\"ur das Tripel
  $X\supset Y\supset Z$ 
  \[\xymatrix@=2ex{\ldots\ar[r] &H_{\lambda+1}(X,Y)\ar[r]^-\partial
    &H_\lambda(Y,Z)\ar[r] &H_\lambda(X,Z)\ar[r] &H_\lambda(X,Y)\ar[r]
    &H_{\lambda-1}(Y,Z)\ar[r] &\ldots.}\] Aus $\rang\partial\ge0$
  folgt daher mit den obigen \"Uberlegungen, analog zu Korollar
  \ref{dim fml ex gr cor} auf abelsche Gruppen ausgedehnt,
  \[\rang\partial =R_\lambda(Y,Z) -R_\lambda(X,Z) +R_\lambda(X,Y)
  -R_{\lambda-1}(Y,Z) \pm\ldots\ge0.\]
  Umsortieren der Terme liefert nun 
  \[S_\lambda(Y,Z) -S_\lambda(X,Z) +S_\lambda(X,Y)\ge0,\]
  also die Subadditivit\"at von $S_\lambda$. 
\end{proof}

Unter denselben Voraussetzungen wie f\"ur die schwachen
Morsungleichungen bekommt man nun die folgende Versch\"arfung
\begin{theorem}[Morseungleichung]\label{morseungl thm}
  Sei $M$ eine kompakte Untermannigfaltigkeit des $\R^n$. Sei $f\colon
  M\to\R$ eine Morsefunktion. Sei $C_\lambda$ die Anzahl der
  kritischen Punkte von $f$ vom Index $\lambda$ und $R_\lambda(M)$ die
  $\lambda$-te Bettizahl von $M$. Dann gilt
  \begin{equation}\label{morse ungl}
    R_\lambda(M) -R_{\lambda-1}(M) \pm\ldots\pm R_0(M) \equiv
    S_\lambda(M)\le C_\lambda-C_{\lambda-1} \pm\ldots\pm C_0.
  \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $a_0<a_1<\ldots<a_k$ ohne Einschr\"ankung so gew\"ahlt, dass
  $M^{a_i}$ genau $i$ kritische Punkte enth\"alt.  Nach \eqref{SXn
    eqn} mit $\emptyset =M^{a_0}\subset \ldots\subset M^{a_k}=M$ und
  $S=S_\lambda$ folgt
  \[ S_\lambda(M) \le\sum\limits_{i=1}^k
  S_\lambda\left(M^{a_i},M^{a_{i-1}}\right)
  =C_\lambda-C_{\lambda-1}\pm\ldots\pm C_0.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{remark}
  Theorem \ref{morseungl thm} impliziert Theorem \ref{schw morseungl
    thm}: \eqref{morse ungl}${}_\lambda+$\eqref{morse
    ungl}${}_{\lambda-1}$ liefert \eqref{morse ungl i}. Betrachtet man
  \eqref{morse ungl} f\"ur $\lambda>\dim M$, so erh\"alt man
  \eqref{morse ungl ii} und zwar die eine Richtung f\"ur gerade
  $\lambda$ und die andere f\"ur ungerade $\lambda$. 
\end{remark}

Das folgende Korollar kann man auch wieder auf $\C P^n$ anwenden. 
\begin{corollary}
  Sei $C_{\lambda+1}=C_{\lambda-1}=0$. Dann gelten 
  $R_{\lambda+1}=R_{\lambda-1}=0$ und $R_\lambda=C_\lambda$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $C_{\lambda+1}=0$ und $C_{\lambda-1}=0$ folgen jeweils
  $R_{\lambda+1}=0$ und $R_{\lambda-1}=0$. Aus \eqref{morse
    ungl}${}_\lambda$ und \eqref{morse ungl}${}_{\lambda+1}$ folgt
  wegen $R_{\lambda+1}=C_{\lambda+1}=0$ 
  \[R_\lambda -R_{\lambda-1} \pm\ldots\pm R_0 =C_\lambda
  -C_{\lambda-1} \pm\ldots\pm C_0.\] Analog erhalten wir aus
  $R_{\lambda-1}=C_{\lambda-1}=0$
  \[R_{\lambda-2} -R_{\lambda-3} \pm\ldots\pm R_0 =C_{\lambda-2}
  -C_{\lambda-3} \pm\ldots\pm C_0.\] Die Differenz liefert
  \[R_\lambda =R_\lambda-R_{\lambda-1} =C_\lambda-C_{\lambda-1}
  =C_\lambda.\qedhere\] 
\end{proof}

\Section{Kr\"agen und Chirurgie}

Wir benutzen \cite{Kreck,wiki}. 
\begin{definition}[Mannigfaltigkeiten mit Rand]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine $m$-dimensionale topologische \emph{Mannigfaltigkeit mit
      Rand} (oder eine berandete Mannigfaltigkeit) ist ein
    Hausdorffraum $M$ (mit abz\"ahlbarer Basis der Topologie), so dass
    $M$ lokal ho\-m\"oo\-morph zu
    \[R^m_+ :=\{(x^1,\ldots,x^m) \colon x^m\ge0\}\] ist.
  \item Sei $U\subset M$ offen und $\phi\colon U\to\phi(U)$ mit
    $\phi(U)\subset\R^m_+$ offen ein Hom\"oomorphismus. Dann hei\ss{}t
    $\phi$ Karte. Eine Familie von Karten $\phi_i\colon
    U_i\to\phi_i(U_i)$ hei\ss{}t Atlas, wenn $\bigcup\limits_iU_i=M$
    gilt. Ein maximaler Atlas ist ein Atlas, der alle zu den gegebenen
    Karten kompatiblen Karten bereits enth\"alt. 
  \item Zur Definition einer glatten Strukur auf $M$ benutzen wir
    folgende Konvention: Sei $f$ auf einer offenen Teilmenge $U$ von
    $\R^m_+$ definiert. Dann nennen wir $f$ glatt (von der Klasse
    $C^k$), wenn es f\"ur jeden Punkt $x\in U$ eine Umgebung in $\R^m$
    gibt, so dass eine geeignete Fortsetzung $\tilde f$ von $f$ dort
    glatt (von der Klasse $C^k$) ist. Die Ableitungen von $f$ auf
    $\partial\R^m_+$ definieren wir als Ableitungen der Fortsetzung
    $\tilde f$; diese h\"angen nicht von der Wahl der Fortsetzung ab. 
  \item Sei $M$ eine $m$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit
    mit Rand. Eine glatte ($C^k$-) Struktur auf $M$ ist ein maximaler
    Atlas mit glatten ($C^k$-) Kartenwechselabbildungen zwischen
    Karten $\phi\colon U\to\phi(U)$ und $\psi\colon
    V\to\psi(V)$: \[\psi\circ\phi^{-1}\colon \phi(U\cap
    V)\to\psi(U\cap V).\]
\item Eine glatte ($C^k$-) $m$-dimensionale \emph{Mannigfaltigkeit mit
    Rand} ist eine $m$-di\-men\-sio\-na\-le topologische
  Mannigfaltigkeit mit Rand mit einer glatten ($C^k$-) Struktur.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Seien $V,V'\subset\R^m_+$ offen. Setze $\partial
  V:=V\cap\left(\R^{m-1}\times\{0\}\right)$ und definiere $\partial
  V'$ entsprechend. Sei $f\colon V\to V'$ ein Diffeomorphismus, so
  werden aufgrund des inversen Funktionensatzes Punkte aus
  $V\setminus\partial V$ auf Punkte in $V'\setminus\partial V'$
  abgebildet. Unter Diffeomorphismen bleiben also der Rand und das
  Innere invariant.\par
  Dies ist auch f\"ur Hom\"oomorphismen richtig, aber etwas
  komplizierter zu beweisen.\par
  Dies erlaubt es, den Rand einer Mannigfaltigkeit in einer Karte zu
  definieren und dabei eine kartenunabh\"angige Definition zu
  erhalten. 
\end{remark}

\begin{definition}[Rand einer Mannigfaltigkeit]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand mit Karten
    $\phi_i\colon U_i\to\phi_i(U_i)$. Dann definieren wir den
    \emph{Rand} $\partial M$ als die Vereinigung der Mengen
    $\phi_i^{-1} \left(\R^{m-1}\times\{0\}\right)$.
  \item Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Dann setzen wir $\partial
    M:=\emptyset$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nach obiger Definition ist $x\in U_i$ genau dann ein
    Randpunkt, wenn $\phi_i(x)\in\R^{n-1}\times\{0\}=:\partial\R^m_+$
    gilt.
  \item Ist $\partial M$ nichtleer, so ist $\partial M$ eine
    $(m-1)$-dimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Sei $\phi\colon
    U\to\phi(U)$ eine Karte von $W$. Dann sind Karten von $\partial W$
    durch \[\phi|_{\partial W}\colon U\cap\partial W\to
    \phi(U\cap\partial W)\subset\partial\R^m_+\equiv\R^{m-1}\]
    gegeben. Mit diesen Karten wird $\partial M$ zu einer glatten
    ($C^k$-) Mannigfaltigkeit. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Sei $f\colon M\to\R$
  glatt. Sei $a$ ein regul\"arer Wert von $f$. Dann ist
  $f^{-1}((-\infty,a])$ eine berandete Mannigfaltigkeit mit Rand
  $f^{-1}(\{a\})$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Zu jedem $x\in f^{-1}(\{a\})$ und jeder Karte $\phi\colon U\to\R^m$
  mit $x\in U$ gibt es nahe $\phi(x)$ aufgrund des Satzes \"uber
  implizite Funktionen einen lokalen Diffeomorphismus 
  $\psi\colon\R^m\to\R^m$, so dass lokal $f\circ(\psi\circ\phi)^{-1}$
  genau in $\R^{m-1}\times\{0\}$ verschwindet, f\"ur $x^m>0$ negativ
  und f\"ur $x^m<0$ positiv ist. Verwende nun Karten der Form
  $\psi\circ\phi$ f\"ur $x\in\phi^{-1}(\{a\})$.  
\end{proof}

\begin{remark}
  Glatte Abbildungen, regul\"are Werte und Diffeomorphismen definieren
  wir f\"ur Mannigfaltigkeiten mit Rand genauso wie f\"ur
  Mannigfaltigkeiten ohne Rand. 
\end{remark}

\begin{definition}[Kragen]
  Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit mit Rand. Ein \emph{Kragen} von
  $M$ ist eine Einbettung (\dh eine Immersion, die ein
  Hom\"oomorphismus bez\"uglich der Unterraumtopologie ist)
  $\Phi\colon\partial M\times[0,1)\to M$ mit $\Phi(x,0)=x$ f\"ur alle
  $x\in\partial M$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Zu einer Mannigfaltigkeit mit Rand gibt es stets einen Kragen: Man
  folge lokal dem Fluss eines Vektorfeldes, das entlang $\partial M$
  transversal zu $\partial M$ und \glqq nach innen\grqq{} gerichtet
  ist. Ohne Zusatzaufwand k\"onnen wir dies aktuell nur f\"ur
  eingebettete Mannigfaltigkeiten ausf\"uhren. \par Umgekehrt
  definiert jeder Kragen ein solches Vektorfeld nahe $\partial
  M$. \par Indem wir zwei solche Vektorfelder in der N\"ahe von
  $\partial M$ durch Konvexkombination ineinander \"uberf\"uhren,
  k\"onnen wir folgendes zeigen:\par
  Sei $M$ eine berandete Mannigfaltigkeit mit kompaktem Rand $\partial
  M$. Seien $\Phi_1$ und $\Phi_2$ zwei Kr\"agen von $M$. Sei $K$ eine
  kompakte Umgebung von $\partial M$, so gibt es $\epsilon>0$ und eine
  Diffeotopie (= eine differenzierbare Homotopie $H\colon
  M\times[0,1]\to M$ mit $H(x,0)=x$ f\"ur $x\in M$, so dass alle
  $H(\cdot,t)\colon M\to M$ Diffeomorphismen sind) von $M$, die auf
  $\partial M\cup\complement K$ jeden Punkt fest l\"asst und die in
  $\partial M\times [0,\epsilon)$ den Kragen $\Phi_1$ in $\Phi_2$
  \"uberf\"uhrt, \dh es gilt $H(\Phi_1(x,\tau),1)=\Phi_2(x,\tau)$
  f\"ur alle $x\in\partial M$, $0\le\tau<\epsilon$. (Siehe auch
  \cite[Satz 13.7]{BroeckerJaenich})\par Damit ist die Verklebung von
  Mannigfaltigkeiten mit Hilfe eines Kragens bis auf solche
  Diffeotopien eindeutig definiert. 
\end{remark}

\begin{remark}
  Seien $M\times N$ berandete Mannigfaltigkeiten. Dann ist $M\times N$
  auch eine Mannigfaltigkeit mit Rand. \par Au\ss{}erhalb von
  $\partial M\times\partial N$ kann man wie bei Mannigfaltigkeiten
  ohne Rand vorgehen. In einer \glqq Ecke\grqq{} erh\"alt man so ohne
  Einschr\"ankung eine Abbildung auf $\{x\in\R^m\colon
  x^m\ge0,\,x^{m-1}\ge0\}$. Durch Aufbiegen des $90^\circ$-Winkels
  erh\"alt man wieder den Modellraum $\R^m_+$. Dieses Aufbiegen ist
  jedoch kein Diffeomorphismus, da die Umkehrabbildung gewisse Geraden
  \glqq abknickt\grqq. 
\end{remark}

Mit Hilfe von Kr\"agen k\"onnen wir Mannigfaltigkeiten verkleben.
\begin{lemma}
  Seien $M_1,M_2$ zwei glatte Mannigfaltigkeiten mit Kr\"agen
  $\Phi_i\colon\partial M_i\times[0,1)\to M_i$, $i=1,2$. Sei
  $f\colon\partial M_1\to\partial M_2$ ein Diffeomorphismus. Dann gibt
  es eine glatte Struktur auf $M_1\cup_f M_2:=(M_1\dot\cup
  M_2)/\!\sim$, wobei wir $x\in\partial M_1$ mit $f(x)\in\partial M_2$
  identifizieren.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Details sind eine \"Ubung.\par Sei $Z$ eine topologische
  Mannigfaltigkeit mit Rand. Seien $\phi_i\colon U_i\to V_i$
  Ho\-m\"oo\-mor\-phis\-men, wobei $V_i$ eine Mannigfaltigkeit mit
  Rand ist, so dass die Mengen $U_i$ die Mannigfaltigkeit $Z$
  \"uberdecken. Ist $\phi_i\circ\phi_j^{-1}\colon\phi_j(U_i\cap
  U_j)\to \phi_i(U_i\cap U_j)$ f\"ur alle $i,j$ ein Diffeomorphismus,
  dann gibt es eine eindeutig bestimmte Struktur auf $Z$, die alle
  Karten $\phi_i$ zu Diffeomorphismen macht. \par
  $M_1\cup_fM_2$ ist eine topologische Mannigfaltigkeit mit den unten
  verwendeten Karten. Setze $M:=\partial M_1=\partial M_2\subset
  M_1\cup_fM_2$. Die differenzierbare Struktur erhalten wir nun mit
  Hilfe der folgenden Hom\"oomorphismen:
  \begin{align*}
    U_1:=&\,M_1\setminus M,\quad\phi_1=\id\colon U_1\to U_1,\\
    U_2:=&\,M_2\setminus M,\quad\phi_2=\id\colon U_2\to U_2,\\
    U_3:=&\,\im\Phi_1\cap_f\im\Phi_2,\quad\phi_3\colon U_3\to
    M\times(-1,1),\\ 
    \phi_3(\Phi_1(x,t)):=&\,(x,t),\quad
    \phi_3(\Phi_2(x,t)):=(f(x),-t). 
  \end{align*}
  Da die Verkettungen der Hom\"oomorphismen $\phi_i$ nach Konstruktion
  Diffeomorphismen sind, ist $M_1\cup_fM_2\equiv M_1\cup_MM_2$ eine
  glatte Mannigfaltigkeit ohne Rand. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Mit dieser Methode kann man auch zwei Mannigfaltigkeiten
  zusammenkleben, deren R\"ander diffeomorphe Zusammenhangskomponenten
  haben: \par
  Gilt $\partial M_i=R_i\cup N_i$ und ist $N_i$ eine
  Zusammenhangskomponente von $\partial M_i$, $i=1,2$, und ist
  $f\colon N_1\to N_2$ ein Diffeomorphismus, so k\"onnen wir mit
  derselben Methode wie oben $M_1\cup_fM_2$ zu einer glatten
  Mannigfaltigkeit mit Rand machen, indem wir $M_1$ und $M_2$
  verm\"oge $f$ entlang $N_1$ bzw.{} $N_2$ zusammenkleben.
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist die
  \emph{Verdopplung} von $M$, $(M\times\{1\})\cup_f(M\times\{2\})$ mit
  $f\colon\partial M\times\{1\} \to\partial M\times\{2\}$,
  $f(x,1)=(x,2)$, eine Mannigfaltigkeit ohne Rand.
\end{definition}

\Subsection{Chirurgie}
Chirurgie (engl.{} surgery) wurde u.\,a.{} beim Beweis der
Poincar\'e-Vermutung benutzt. Mit Hilfe des Ricciflusses deformiert
man dabei eine Mannigfaltigkeit und f\"uhrt an geeigneten Stellen
Chirurgie durch um Singularit\"aten zu vermeiden und um die
Mannigfaltigkeit nach einer Folge chirurgischer Eingriffe in eine
kanonische Form zu bringen.

\begin{remark}
  Grundlage f\"ur Chirurgie ist die folgende Beobachtung: Die
  Mannigfaltigkeit $\S^p\times\S^{q-1}$ ist der Rand der
  Mannigfaltigkeiten $D^{p+1}\times\S^{q-1}$ oder $\S^p\times D^q$.  
\end{remark}

\begin{definition}[Chirurgie]
  Sei $M$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $n=p+q$. Sei
  $\phi\colon\S^p\times D^q\to M$ eine Einbettung. Hieraus erhalten
  wir durch ($p$-)\emph{Chirurgie} eine Mannigfaltigkeit, indem wir
  das innere des Bildes von $\phi$ aus $M$ entfernen und an die so
  entstandene Mannigfaltigkeit mit Rand eine Mannigfaltigkeit mit
  demselben Rand mit Hilfe von Kr\"agen
  ankleben
  \[M':=(M\setminus\interior\im\phi)\cup_{\phi|_{\S^p\times
        \S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times\S^{q-1}\right).\]
\end{definition}

\begin{remark}
  Ein chirurgischer Eingriff l\"asst sich auch wieder r\"uckg\"angig
  machen: F\"uhrt man nach einer $p$-Chirurgie eine $(q-1)$-Chirurgie
  aus, schneidet also $\S^{q-1}\times D^{p+1}$ heraus und klebt
  daf\"ur $D^q\times\S^p$ entlang einer von $\phi$ induzierten
  Einbettung von $\S^{q-1}\times\S^p$ ein, so erh\"alt man wieder die
  urspr\"ungliche Mannigfaltigkeit bis auf einen
  Diffeomorphismus. Dieser kommt daher, dass wir f\"ur das Verkleben
  Kr\"agen ben\"otigen. 
\end{remark}

\begin{definition}[Zusammenh\"angende Summe]
  Seien $M,N$ zwei $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten. Dann
  definieren wir die \emph{zusammenh\"angende Summe} wie folgt: Wir
  betrachten die disjunkte Vereinigung von $M$ und $N$ und eine
  Einbettung $\phi\colon\S^0\times D^n$, $\S^0\equiv\{-1,1\}$, mit
  $\phi\left(\{-1\}\times D^n\right)\subset M$ und
  $\phi\left(\{+1\}\times D^n\right)\subset N$. Die $0$-Chirurgie
  liefert dann die zusammenh\"angende Summe von $M$ und $N$, $M\#N$.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $p$ ein beliebiger Punkt in einer $n$-dimensionalen
    Mannigfaltigkeit. Dann gibt es eine Einbettung von $D^n$ in diese
    Mannigfaltigkeit, deren Bild beliebig nahe an $p$ ist. Somit
    lassen sich zwei Mannigfaltigkeiten in der N\"ahe jedes beliebigen
    Punktes zusammenkleben.)
  \item Seien $M$ und $N$ zusammenh\"angende Mannigfaltigkeiten. Dann
    ist $M\#N$ bis auf Diffeomorphismen eindeutig
    definiert. (\"Ubung.)
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Die wichtige Chirurgie bei der L\"osung der Poincar\'e-Vermutung
  durch G. Perelman mit Hilfe des Ricciflusses ist folgende: Schneide
  aus einem \glqq neck\grqq{} der Form $\S^2\times\R$ ein St\"uck
  $\S^2\times[0,1]$ heraus und setze Kappen auf die Enden: Ersetze
  $\S^2\times D^1$ durch $D^3\times\S^0$. \par So sieht auch die
  Chirurgie in einer Arbeit von G. Huisken und C. Sinestrari \"uber
  den mittleren Kr\"ummungsfluss aus, hier tritt aber allgemeiner
  $\S^n\times\R$ statt $\S^2\times\R$ auf. \par Die Schwierigkeit bei
  chirurgischen Operationen bei geometrischen Flussgleichungen liegt
  darin, die sich bewegende Mannigfaltigkeit vor dem Eingriff so genau
  zu kennen, dass sich kompliziertere geometrische Gr\"o\ss{}en durch
  den Eingriff nicht verschlechtern.
\end{remark}

\renewcommand{\refname}{Literatur}
\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{10}

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\end{document}