% 
% Elementare Differentialgeometrie
% Oliver Schn\"urer
% Uni Konstanz, Winter 2011/12
%
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Elementare Differentialgeometrie}

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Fachbereich Mathematik und Statistik,
  Universit\"at Konstanz, 78457 Konstanz, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

%    General info
\subjclass[2000]{53-01}
% Differential Geometry. Instructional exposition

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

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\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Elementare Differentialgeometrie an der Universit\"at Konstanz im
  Wintersemester 2011/12.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

% Spezielle Kopfzeilen 
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Wir benutzen \cite{KuwertElDG,wiki}.

\Section{Isometrien des $\R^n$}

\begin{definition}
  Eine Abbildung $f\colon(X_1,d_1)\to(X_2,d_2)$ zwischen zwei
  metrischen R\"aumen $(X_i,d_i)$ hei\ss{}t Isometrie, falls
  \[d_2(f(x),f(y))=d_1(x,y)\] f\"ur alle $x,y\in X_1$ gilt und $f$
  surjektiv ist. 
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann bildet die Menge der
  Isometrien $f\colon(X,d)\to(X,d)$ bez\"uglich der Komposition von
  Abbildungen eine Gruppe. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Isometrien sind injektiv, also auch bijektiv und daher invertierbar
  mit bijektiver Inversen. Seien $f,g$ Isometrien. Dann folgt aus
  $d(f(x),f(y))=d(x,y)$ auch $d(x,y)=d(f^{-1}(x),f^{-1}(y))$. Daher
  ist $f^{-1}$ ebenfalls eine Isometrie. Es gilt \[d(f\circ
  g(x),f\circ g(y)) =d(g(x),g(y)) =d(x,y),\] jeweils f\"ur alle
  $x,y\in X$. Die Bijektivit\"at von $f$ und $g$ \"ubertr\"agt sich
  auf die Komposition $f\circ g$. Die Identit\"at $x\mapsto x$ ist das
  neutrale Element.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Die Isometrien $f\colon\R^n\to\R^n$ des $\R^n$ sind genau die
  Abbildungen der Form \[f(x)=Ax+b\] mit $A\in O(n)$ und $b\in\R^n$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Gelte $f(x)=Ax+b$. Dann rechnet man direkt nach, dass
  es sich um eine Isometrie handelt.\par
  \Rueckrichtung Sei $f$ eine beliebige Isometrie. Durch Addition
  eines konstanten Vektors in $\R^n$ d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $f(0)=0$ gilt. Wir erhalten \[|f(x)| =d(f(x),0)
  =d(f(x),f(0)) =d(x,0) =|x|\] f\"ur alle $x\in\R^n$. Da $f$ eine
  Isometrie ist, gilt $|f(x)-f(y)|=|x-y|$. Aufgrund der
  Polarisationsformel (oder durch direktes Ausmultiplizieren der
  quadrierten Normen) erhalten wir
  \begin{align*}
    2\langle f(x),f(y)\rangle =&\,|f(x)|^2+|f(y)|^2-|f(x)-f(y)|^2\\
    =&\,|x|^2+|y|^2-|x-y|^2 =2\langle x,y\rangle.
  \end{align*}
  Somit erh\"alt $f$ auch das Skalarprodukt. Sei $(e_i)_{1\le i\le n}$
  die Standardbasis des $\R^n$. Wir erhalten $\langle
  f(e_i),f(e_j)\rangle =\langle e_i,e_j\rangle =\delta_{ij}$. Dies
  besagt, dass auch $(f(e_i))_{1\le i\le n}$ eine \ONB ist. Daher gilt
  f\"ur $x\in\R^n$ \[f(x)=\sum\limits_{i=1}^n\langle
  f(x),f(e_i)\rangle f(e_i) =\sum\limits_{i=1}^n\langle x,e_i\rangle
  f(e_i) =\sum\limits_{i=1}^nx^if(e_i).\] Somit ist $f$ eine lineare
  Abbildung. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass eine lineare
  Abbildung, die eine \ONB auf eine andere \ONB abbildet, durch eine
  orthogonale Matrix dargestellt wird. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Die Isometrien $f(x)=Sx+b$, $S\in O(n)$, $b\in\R^n$, $x\in\R^n$
  hei\ss{}en (Euklidische) Bewegungen. \par
  Die Isometrie $f(x)=Sx+b$ hei\ss{}t orientierungserhaltend oder
  eigentliche Bewegung, falls $\det S=1$ f\"ur die orthogonale Matrix
  $S$ gilt.
\end{definition}

\begin{definition}
  Seien $x,y\in\R^n\setminus\{0\}$. Dann hei\ss{}t 
  \[\sphericalangle(x,y)=\arccos\frac{\langle
    x,y\rangle}{|x|\cdot|y|}\in [0,\pi]\]
  der Winkel zwischen $x$ und $y$. 
\end{definition}

\Section{Kurven im $\R^n$}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $I\subset\R$ ein Intervall. Eine Abbildung $\alpha\in
    C^k\left(I,\R^n\right)$,
    $k\in\N\cup\{\infty\}\equiv\{0,1,2,\ldots\} \cup\{\infty\}$,
    hei\ss{}t parametrisierte Kurve der Klasse $C^k$ im $\R^n$.
  \item Eine $C^1$-Kurve $\alpha$ hei\ss{}t regul\"ar, falls
    $\alpha'(t)\neq0$ f\"ur alle $t\in I$ gilt.
  \item Eine $C^k$-Kurve $\alpha\colon[a,b]\to\R^n$ hei\ss{}t
    $C^k$-geschlossen, falls \[\alpha^{(l)}(a)=\alpha^{(l)}(b)\] f\"ur
    alle $0\le l\le k$ gilt. 
  \item Eine Kurve $\alpha$ hei\ss{}t st\"uckweise von der Klasse
    $C^k$, $k\in\N\cup\{\infty\}$, falls es ein $N\in\N$ und
    $a_i\in\R$, $0\le i\le N$, mit $I=[a_0,a_N]$ und
    $\alpha|_{[a_i,a_{i+1}]}\in C^k$ f\"ur alle $0\le i\le N-1$ gibt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Bogenl\"ange]
  Sei $\alpha\colon [a,b]\to\R^n$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve. Dann
  ist \[L(\alpha):=\int\limits_a^b|\alpha'(t)|\,dt\] die
  Bogenl\"ange der Kurve $\alpha$, wobei die Integration jeweils
  einzeln \"uber Intervalle, auf denen $\alpha$ von der Klasse $C^1$
  ist, ausgef\"uhrt wird. 
\end{definition}

\begin{definition}
  Seien $\alpha_i\colon I_i\to\R^n$, $i=1,2$, parametrisierte
  Kurven. Dann hei\ss{}t $\alpha_2$ Umparametrisierung von $\alpha_1$,
  falls es eine Bijektion $\phi\in C^1(I_2,I_1)$ mit $\phi'(t)\neq0$
  f\"ur alle $t\in I_2$ (also einen Diffeomorphismus) gibt, so
  dass \[\alpha_2=\alpha_1\circ\phi\] gilt. \par $\phi$ hei\ss{}t
  Parametertransformation. Sie hei\ss{}t richtungstreu, falls
  $\phi'>0$ gilt und richtungsumkehrend, wenn $\phi'<0$ gilt.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Auf der Menge aller parametrisierten Kurven in $\R^n$ ist $\sim$ mit
  $\alpha\sim\beta$, falls $\beta$ eine Umparametrisierung von
  $\alpha$ ist, eine \"Aquivalenzrelation. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Beachte dazu insbesondere, dass die Inverse einer
  Parametertranformation wieder eine Parametertransformation ist und
  dass die Verkn\"upfung von zwei Parametertransformationen (bei
  geeigneten Definitionsbereichen) ebenfalls eine
  Parametertransformation ist. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha_2$ eine Umparametrisierung von $\alpha_1$,
  $\alpha_2=\alpha_1\circ\phi$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann gilt $L(\alpha_1)=L(\alpha_2)$.
  \item Der normierte Tangentialvektor $\frac{\alpha_i'}{|\alpha_i'|}$
    ist bei einer orientierungserhaltenden Parametertransformation
    invariant, \dh es gilt \[\frac{\alpha_2'}{|\alpha_2'|}
    =\frac{\alpha_1'}{|\alpha_1'|}\circ\phi.\] 
  \item Ist $\alpha_1$ regul\"ar, so auch $\alpha_2$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}[(i)]
\item Sei $\alpha_i$ auf $I_i=[a_i,b_i]$ definiert. Dann erhalten wir
  mit Hilfe der Transformationsformel f\"ur Integrale \[L(\alpha_2)
  =\int\limits_{a_2}^{b_2}|\alpha'_2(t)|\,dt
  =\int\limits_{a_2}^{b_2}|\alpha'_1(\phi(t))|\cdot|\phi'(t)|\,dt
  =\int\limits_{a_1}^{b_1}|\alpha'_1(\tau)|\,d\tau =L(\alpha_1).\] Ist
  $\phi'<0$, so wird der Faktor $\frac{|\phi'|}{\phi'}=-1$ aufgrund
  der Integraltransformation durch Vertauschen der Integrationsgrenzen
  wieder kompensiert. 
\item Es gilt \[\frac{\alpha'_2(t)}{|\alpha'_2(t)|}
  =\frac{\dt\alpha_1(\phi(t))}{\left|\dt\alpha_1(\phi(t))\right|}
  =\frac{\alpha'_1(\phi(t))}{|\alpha'_1(\phi(t))}\cdot
  \frac{\phi'(t)}{|\phi'(t)|}.\] 
\item Dies folgt ebenfalls aus der Kettenregel
  $\alpha'_2(\phi(t))=\alpha'_1(\phi(t))\cdot\phi'(t)$. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
  Eine $C^1$-Kurve $\alpha\colon I\to\R^n$ hei\ss{}t nach der
  Bogenl\"ange parametrisiert, falls $|\alpha'(t)|=1$ f\"ur alle $t\in
  I$ gilt. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Ist $\alpha\colon[a,b]\to\R^n$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert,
  so folgt $L(\alpha)=b-a$. 
\end{remark}

\begin{theorem}\label{bogenl param thm}
  Sei $\alpha\colon I\to\R^n$ eine regul\"are $C^k$-Kurve,
  $k\ge1$. Dann gibt es eine (orientierungserhaltende)
  Parametertransformation $\phi\in C^k(J,I)$, so dass
  $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere die Bogenl\"angenfunktion $\sigma\colon I\to\R$ f\"ur ein
  $t_0\in\R$ durch \[\sigma(t) :=\int\limits_{t_0}^t
  |\alpha'(\tau)|\,d\tau\] und setze $J:=\sigma(I)$. Wegen $\sigma'(t)
  =|\alpha'(t)|>0$ ist $\sigma\in C^k(I,J)$ invertierbar. Setze
  $\phi(s):=\sigma^{-1}(s)$. Wir erhalten aus
  $\phi(\sigma(\tau))=\tau$ zun\"achst
  $\phi'(\sigma(\tau))\sigma'(\tau)=1$ und
  $\phi'(s)=\frac1{\sigma'(\phi(s))}$. Somit gilt \[\left|\frac
    d{ds}\alpha(\phi(s))\right|
  =|\alpha'(\phi(s))|\cdot\frac1{\sigma'(\phi(s))}=1\] und wir
  erhalten die Behauptung. \par Es ist \"ublich, $s$ als Parameter
  f\"ur eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte Kurve zu verwenden.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sind $\alpha_i$, $i=1,2$, beide nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  und gelte $\alpha_2(t)=\alpha_1(\phi(t))$, dann
  folgt \[1=|\alpha'_2(t)| =|\alpha'_1(\phi(t))|\cdot|\phi'(t)|
  =|\phi'(t)|\] und daher ist $\phi(t)=t_0\pm t$. Die Parametrisierung
  nach der Bogenl\"ange ist also bis auf eine Isometrie von $\R$
  eindeutig bestimmt.
\end{remark}

\Section{Kr\"ummung von Kurven}
\Subsection{Definition der Kr\"ummung von Kurven in der Ebene}

\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^k\left(I,\R^2\right)$, $k\ge1$, regul\"ar. Wir
  setzen $J:=
  \begin{pmatrix}
    0&-1\\
    1&0
  \end{pmatrix}
  $. Es gilt $J^2=-\eins$ und $\langle Jv,w\rangle=\det(v,w)$ f\"ur
  alle $v,w\in\R^2$. Identifizieren wir einen Vektor $z=
  \begin{pmatrix}
    a\\ b
  \end{pmatrix}$ mit $z:=a+ib\subset\C$, so ist bez\"uglich dieser
  Identifizierung $Jz=iz$. \par
  Definiere den Tangentialvektor von $\alpha$ durch
  $\tau(t):=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}$.  Dann ist $\nu$ mit
  $\nu(t):=J\tau(t)$ in $C^{k-1}\left(I,\R^2\right)$ und
  $\tau(t),\nu(t)$ ist ein positiv orientiertes (normiertes) $2$-Bein
  l\"angs $\alpha$, \dh $\tau(t)$ ist ein positives Vielfaches von
  $\alpha'(t)$, $|\tau(t)|=1$, $|\nu(t)|=1$ und
  $\det(\tau(t),\nu(t))=1$. $\nu$ hei\ss{}t Normale (Einheitsnormale)
  an $\alpha$. (Sie ist eindeutig bestimmt.) \par
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Dann definieren wir die (orientierte) Kr\"ummung
  $\kappa\colon I\to\R$ von $\alpha$
  durch \[\kappa(s):=\langle\alpha''(s),\nu(s)\rangle.\] Ist $\alpha$
  nicht nach der Bogenl\"ange parametrisiert, so definieren wir die
  Kr\"ummung von $\alpha$ durch \[\kappa_\alpha
  :=\kappa_{\alpha\circ\phi}\circ\phi^{-1},\] wobei $\phi$ eine
  orientierungserhaltende $C^2$-Parametertransformation ist, so dass
  $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert ist.
\end{definition}
Den Beweis, dass die Kr\"ummung einer nicht nach der Bogenl\"ange
parametrisierten Kurve wohldefiniert ist, lassen wir als
\"Ubungsaufgabe.

\begin{lemma}
  Sei $\alpha\colon I\to\R^2$ eine regul\"are $C^2$-Kurve. Dann
  gilt \[\kappa(t)=\frac{\det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{|\alpha'(t)|^3}.\]
  Ist $\alpha$ ein Graph, also von der Form $\alpha(x)=(x,u(x))$ mit
  $u\in C^2(I,\R)$, so gilt \[\kappa(x)=\frac{u''(x)}
  {\left(1+(u'(x))^2\right)^{3/2}}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert und gelte
  $\phi'>0$.  Wir leiten zun\"achst Formeln f\"ur die Ableitungen von
  $\phi$ her:
  \begin{align*}
    1=&\,|(\alpha\circ\phi)'(s)| =|\alpha'|_{\phi(s)}|\cdot\phi'(s),\\
    \phi'(s)=&\,\frac1{|\alpha'(\phi(s))|},\\
    \phi''(s)=&\,-\frac1{|\alpha'(\phi(s))|^2}\cdot
    \frac12\cdot\frac1{|\alpha'(\phi(s))|}\cdot
    2\cdot\langle\alpha'(\phi(s)),
    \alpha''(\phi(s))\cdot\phi'(s)\rangle\umbruch\\
    =&\,-\frac1{|\alpha'(\phi(s))|^4}
    \langle\alpha'(\phi(s)), \alpha''(\phi(s))\rangle,\\
    \kappa_\alpha(t)=&\,\langle(\alpha'(\phi(s))\cdot\phi'(s))',
    J\alpha'(\phi(s))\cdot\phi'(s)\rangle|_{s=\phi^{-1}(t)}\\
    =&\,\langle\alpha''(\phi(s))\cdot(\phi'(s))^2
    +\alpha'(\phi(s))\cdot\phi''(s),
    J\alpha'(\phi(s))\cdot\phi'(s)\rangle|_{s=\phi^{-1}(t)}\\
    =&\,\left\langle\alpha''(t)\cdot\left(\phi'\left(\phi^{-1}(t)
        \right)\right)^2 -\frac{\langle \tau_\alpha(t),
        \alpha''(t)\rangle \tau_\alpha(t)}{|\alpha'(t)|^2},
      J\alpha'(t)\cdot\phi'\left(\phi^{-1}(t)\right)
    \right\rangle\\
    =&\,\frac1{|\alpha'(t)|^2}
    \langle\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),\tau_\alpha(t)\rangle
    \tau_\alpha(t),J\tau_\alpha(t)\rangle\\
    =&\,\frac{\det(\tau_\alpha(t),\alpha''(t))}{|\alpha'(t)|^2}
    =\frac{\det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{|\alpha'(t)|^3}.
  \end{align*}
  Im graphischen Fall erhalten wir aus $\alpha(x)=(x,u(x))$ f\"ur die
  Ableitungen $\alpha'(x)=(1,u'(x))$ und $\alpha''(x)=(0,u''(x))$. Mit
  $|\alpha'(x)|=\sqrt{1+(u'(x))^2}$ folgt die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Sei $s_0\in\overset\circ I=\interior I$. Definiere
  die beiden Halbebenen
  \begin{align*}
    E^+ =&\,\left\{x\in\R^2\colon\langle
      x-\alpha(s_0),\nu(s_0)\rangle>0\right\} \intertext{und} E^-
    =&\,\left\{x\in\R^2\colon\langle
      x-\alpha(s_0),\nu(s_0)\rangle<0\right\}.
  \end{align*}
  Setze $h(s):=\langle\alpha(s)-\alpha(s_0),\nu(s_0)\rangle$. Dann
  sind $h(s)>0$ und $\alpha(s)\in E^+$ sowie $h(s)<0$ und
  $\alpha(s)\in E^-$ jeweils \"aquivalent. Es gilt $h(s_0)=0$,
  $h'(s_0)=\langle\alpha'(s_0),\nu(s_0)\rangle =0$ und
  $h''(s_0)=\langle\alpha''(s_0),\nu(s_0)\rangle =\kappa(s_0)$. Nach
  Taylor erhalten wir $h(s)=\frac12\kappa(s_0)(s-s_0)^2
  +o(|s-s_0|^2)$. Somit erhalten wir im Falle $\kappa(s_0)>0$, dass
  $\alpha(s)\in E^+$ f\"ur $s\neq s_0$ nahe bei $s_0$ gilt
  (Linkskurve). Eine entsprechende Aussage gilt f\"ur $\kappa(s_0)<0$
  und $\alpha(s)\in E^-$. 
\end{remark}

\begin{lemma}\label{rot kr lem}
  Sei $F(x)=Sx+a$ mit $S\in O(2)$ und $a\in\R^2$ eine starre
  Bewegung. Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Setze $\tilde\alpha:=F\circ\alpha$. Dann
  gelten \[\tilde \tau=S\tau,\quad \tilde\nu=\det S\cdot S\nu,\quad
  \text{und}\quad \tilde\kappa=\det S\cdot\kappa.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $|\tilde\alpha'|=|S\alpha'|=|\alpha'|=1$ ist $\tilde\alpha$
  ebenfalls nach der Bogenl\"ange parametrisiert. Es gilt $\tilde
  \tau=\frac{S\alpha'}{|\tilde\alpha'|} =S\alpha' =S\tau$. Weiterhin
  gilt $\langle\tilde\alpha',S\nu\rangle =\langle S\alpha',S\nu\rangle
  =\langle\alpha',\nu\rangle =0$, $|S\nu|=|\nu|=1$ sowie
  $\det(\tilde\alpha',S\nu) =\det(S\alpha',S\nu) =\det
  S\cdot\det(\alpha',\nu) =\det S$. Somit ist $\tilde\nu=\det S\cdot
  S\nu$ die gesuchte Normale l\"angs $F\circ\alpha$. Schlie\ss{}lich
  gilt \[\tilde\kappa =\langle\tilde\alpha'',\tilde\nu\rangle =\det
  S\cdot\langle S\alpha'',S\nu\rangle =\det S\cdot\kappa.\qedhere\]
\end{proof}

Das nachfolgende Lemma erkl\"art die geometrische Bedeutung der
Kr\"ummung einer Kurve.
\begin{lemma}[Schmiegekreis]
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ regul\"ar, ohne
  Einschr\"ankung nach Lemma \ref{rot kr lem} und Umparametrisierung
  (Satz \"uber implizite Funktionen) lokal sogar von der Form
  $\alpha(x)=(x,u(x))$.  Sei $x_0\in I$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\kappa(x_0)=0$, so ist $\alpha$ bis zu zweiter Ordnung
    asymptotisch zu der Geraden $\beta(x)=(x,u(x_0)+(x-x_0)\cdot
    u'(x_0))$, \dh es gilt $|\alpha(x)-\beta(x)|=o(|x-x_0|^2)$ oder
    $|u(x)-u(x_0)+(x-x_0)\cdot u'(x_0)|=o(|x-x_0|^2)$. 
  \item Ist $\kappa(x_0)\neq0$, so ist $\alpha$ bis zu zweiter Ordnung
    asymptotisch zu einem Kreis $\beta$ mit Mittelpunkt
    $(x_0,u(x_0))+\frac1{\kappa(x_0)}\frac{(-u',1)}{\sqrt{1+|u'|^2}}(x_0)$
    und Radius $\frac1{\kappa(x_0)}$, \dh es gelten in
    Graphendarstellung
    \begin{align*}
      \beta(x)=&\,(x,h(x)) \intertext{mit} h(x)=&\,-\sign(\kappa(x_0))
      \sqrt{\frac1{\kappa(x_0)^2}
        -\left|x-x_0+\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
            \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\right|^2}\\ 
      &\,\qquad+u(x_0) +\frac1{\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}
      \intertext{und} &\,|\alpha(x)-\beta(x)|=o(|x-x_0|^2)
      \intertext{oder} &\,|u(x)-h(x)|=o(|x-x_0|^2).
    \end{align*}
  \end{enumerate}
  Sind $\alpha\circ\phi$ und $\beta\circ\psi$ nach
  orientierungserhaltenden Parametertransformationen $\phi$ bzw.{}
  $\psi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert und ist
  $\phi(s_0)=x_0=\psi(s_0)$, so gilt ebenfalls
  $|\alpha\circ\phi(s)-\beta\circ\psi(s)|=o(|s-s_0|^2)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Folgt direkt nach Taylor.
  \item Es gilt mit $\kappa(x)
    =\frac{u''(x)}{\left(1+(u'(x))^2\right)^{3/2}}$
    \begin{align*}
      h(x_0)=&\,\underbrace{-\frac{\sign\kappa(x_0)}{|\kappa(x_0)|}}
      _{=\frac{-1}{\kappa(x_0)}}
      \sqrt{1-\frac{(u'(x_0))^2}{1+(u'(x_0))^2}} +u(x_0)
      +\frac1{\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\\
      =&\,u(x_0),\\
      h'(x)=&\,-\frac12\sign(\kappa(x_0))\frac{-2}{\sqrt{\ldots}}
      \left(x-x_0+\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
          \sqrt{1+(u'(x_0))}}\right),\\
      h'(x_0)=&\,\frac{\sign(\kappa(x_0))}{\sqrt{\ldots}}
      \cdot\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\\
      =&\,\underbrace{|\kappa(x_0)|\cdot\sign(\kappa(x_0))}
      _{=\kappa(x_0)} \cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2} \cdot\frac{u'(x_0)}
      {\kappa(x_0)\cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\\
      =&\,u'(x_0),\\
      h''(x_0)=&\,\frac{\sign(\kappa(x_0))}{(\sqrt{\ldots})^3}
      \cdot\left(\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
          \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\right)^2
      +\frac{\sign(\kappa(x_0))}{\sqrt{\ldots}}\umbruch\\
      =&\,\sign(\kappa(x_0))\cdot|\kappa(x_0)|^3\cdot
      \left(1+(u'(x_0))^2\right)^{3/2}\cdot
      \left(\frac{u'(x_0)}{\kappa(x_0)\cdot
          \sqrt{1+(u'(x_0))^2}}\right)^2\\
      &\,\qquad+\sign(\kappa(x_0))\cdot|\kappa(x_0)|
      \cdot\sqrt{1+(u'(x_0))^2}\\  
      =&\,\kappa(x_0)\cdot\left(1+(u'(x_0))^2\right)^{3/2} =u''(x_0). 
    \end{align*}
    Die Behauptung folgt nun ebenfalls nach Taylor. 
  \end{enumerate}
  Wir halten fest, dass $\alpha(x_0)=\beta(x_0)$,
  $\alpha'(x_0)=\beta'(x_0)$ und $\alpha''(x_0)=\beta''(x_0)$
  gelten. \par 
  Es gilt $1=|(\alpha\circ\phi)'(s)| =|\alpha'(\phi(s))|\cdot\phi'(s)
  =|\beta'(\psi(s))|\cdot\psi'(s)$ und daher insbesondere
  $\phi'(s_0)=\psi'(s_0)$. Nochmaliges Differenzieren
  liefert \[0=\frac{\langle\alpha'(\phi(s)),\alpha''(\phi(s))\rangle}
  {|\alpha'(\phi(s))|}(\phi'(s))^2 +|\alpha'(\phi(s))|\cdot\phi''(s).\]
  Da aber $\alpha(x_0)=\beta(x_0)$, $\alpha'(x_0)=\beta'(x_0)\neq0$
  und $\alpha''(x_0)=\beta''(x_0)$ gelten, folgt auch
  $\phi''(s_0)=\psi''(s_0)$. Somit folgt auch die letzte Behauptung
  mit Taylor.
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^2\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Dann gelten f\"ur $\tau=\alpha'$ und $\nu=J\tau$ die
  Gleichungen
  \begin{align*}
    \tau'=&\,\kappa\nu,\\
    \nu'=&\,-\kappa\tau
    \intertext{oder}
    \frac d{ds}
    \begin{pmatrix}
      \tau\\ \nu
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \begin{pmatrix}
      0&\kappa\\
      -\kappa&0
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      \tau\\ \nu
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $\langle\tau(s),\tau(s)\rangle=1$ folgt durch Differenzieren
  $0=2\langle\tau(s),\tau'(s)\rangle$. Damit und nach Definition der
  Kr\"ummung ($\kappa(s)=\langle\alpha''(s),\nu\rangle$) sowie
  $\tau(s)=\alpha'(s)$ folgt die erste Gleichheit. Differenzieren von
  $0=\langle\tau,\nu\rangle$ liefert $\kappa=\langle\tau',\nu\rangle
  =-\langle\tau,\nu'\rangle$. Aus $|\nu|=1$ folgt wie oben, dass
  $\langle\nu',\nu\rangle=0$ gilt. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\Subsection{Kr\"ummung von Raumkurven}
\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^n\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Dann definieren wir die Kr\"ummung
  $\kappa(s)\in[0,\infty)$ von $\alpha$ im
  Punkt $s$ durch \[\kappa(s):=|\alpha''(s)|.\] 
\end{definition}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Kurve $\alpha(s)=r\left(\cos\frac sr,\sin\frac sr\right)$,
    $r>0$, ist ein nach der Bogenl\"ange parametrisierter Kreis. Es
    gilt \[\kappa(s)=\frac1r\] f\"ur alle $s$.
  \item Eine Gerade $\alpha(s)=x_0+s\cdot e$ mit $x_0\in\R^n$ und
    $e\in\S^{n-1}$ hat \"uberall die Kr\"ummung Null.
  \item Seien $r,a\in\R$ und $L>0$ noch zu w\"ahlen. Dann ist die
    Schraubenlinie \[\alpha(t)=\left(r\cos\frac tL,r\sin\frac
      tL,a\frac tL\right)\] wegen $|\alpha'(t)| =\sqrt{r^2+a^2}\frac
    1L$ genau f\"ur $L=\sqrt{r^2+a^2}$ nach der Bogenl\"ange
    parametrisiert. Somit ist \[\kappa(t)=\frac r{r^2+a^2}\]
        f\"ur alle $t$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^1\left(I,\R^n\right)$ regul\"ar. Eine Familie
  $(v_i)_{1\le i\le n}$ von Funktionen $v_i\in C^0\left(I,\R^n\right)$
  hei\ss{}t ein l\"angs $\alpha$ begleitendes $n$-Bein,
  falls \[v_1(t)=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|} \quad\text{und} \quad
  \langle v_i(t),v_j(t)\rangle=\delta_{ij}\] f\"ur alle $1\le i,j\le
  n$ und alle $t\in I$ gelten.
\end{definition}

Man vergleiche das folgende Resultat mit dem Satz der Linearen
Algebra, dass jede differenzierbare Familie $A(t)$ orthogonaler
Matrizen mit $A(0)=\eins$ eine schiefsymmetrische Ableitung $\dot
A(0)$ besitzt.
\begin{lemma}\label{ons abl schief lem}
  Seien $v_i\in C^1\left(I,\R^n\right)$, $1\le i\le n$, und $t_0\in I$
  beliebig.  Dann sind die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{schief sym i} $\langle
      v_i(t),v_j(t)\rangle=\delta_{ij}$ f\"ur alle $t\in I$ und
    alle $1\le i,j\le n$.
  \item\label{schief sym ii} Es gibt eine $t$-abh\"angige Matrix
    $A=(a_{ij})\in C^0\left(I,\R^{n\times n}\right)$ mit
    $A=-A^T$, also $a_{ij}(t)=-a_{ji}(t)$ f\"ur alle $1\le i,j\le
    n$, \[v_i'=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}v_j
    \quad\text{f\"ur}\quad 1\le i\le n\quad\text{und}\quad\langle
      v_i(t_0),v_j(t_0)\rangle=\delta_{ij}.\]
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \glqq\eqref{schief sym i}\impliziert\eqref{schief sym
    ii}\grqq: Da die Vektoren $v_i$ eine \ONB bilden, l\"asst sich
  jeder Vektor (und damit insbesondere auch $v_i'$)
  hiermit darstellen. Es gilt $v_i'=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}v_j$ mit
  $a_{ij}=\langle v_i',v_j\rangle$. Wir erhalten
  \[a_{ji} =\langle v_j',v_i\rangle =\underbrace{\langle
    v_j,v_i\rangle'}_{=0} -\langle v_j,v_i'\rangle =-a_{ij}.\]
  \glqq\eqref{schief sym ii}\impliziert\eqref{schief sym i}\grqq:
  Definiere $g_{ij}:=\langle v_i,v_j\rangle$. Dann gelten
  $g_{ij}(t_0)=\delta_{ij}$ und 
  \begin{align*}
    g_{ij}' =&\,\langle v_i',v_j\rangle +\langle v_i,v_j'\rangle
    =\left\langle \sum\limits_{k=1}^na_{ik}v_k,v_j\right\rangle
    +\left\langle v_i,\sum\limits_{k=1}^n a_{jk}v_k\right\rangle\\
    =&\,\sum\limits_{k=1}^na_{ik}g_{kj} +\sum\limits_{k=1}^n
    a_{jk}g_{ik}.
  \end{align*}
  Damit l\"osen die Funktionen $(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ ein lineares
  System von $n^2$ gew\"ohnlichen Differentialgleichungen. Da
  $a_{ij}$ schiefsymmetrisch ist, l\"ost $\delta_{ij}$ dieses System
  ebenfalls, \[\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\delta_{kj}
  +\sum\limits_{k=1}^n a_{jk}\delta_{ik} =a_{ij} +a_{ji} =0
  =\delta_{ij}'.\] Der Eindeutigkeitssatz f\"ur gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen liefert nun $g_{ij}(t)=\delta_{ij}$. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ eine nach der Bogenl\"ange
  parametrisierte Kurve mit $\kappa(s)\neq0$ f\"ur alle $s\in
  I$. Dann hei\ss{}t $\alpha$ Frenetkurve. $T,N,B$ mit
  $T,N,B\colon I\to\S^2\subset\R^3$ hei\ss{}t Frenet-Dreibein zu
  $\alpha$ und ist durch
  \begin{align*}
    T:=&\,\alpha'\quad\text{(Tangentenvektor)},\\
    N:=&\,\frac{\alpha''}{|\alpha''|}\quad\text{(Hauptnormalenvektor)}
    \intertext{und}
    B:=&\,T\times N\equiv
    \begin{pmatrix}
      T^1\\ T^2\\ T^3
    \end{pmatrix}
    \times
    \begin{pmatrix}
      N^1\\ N^2\\ N^3
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      T^2N^3-T^2N^1\\ T^3N^1-T^1N^3\\ T^1N^2-T^2N^1
    \end{pmatrix}
    \quad\text{(Binormalenvektor)}
  \end{align*}
  definiert. Dabei hei\ss{}t \glqq$\times$\grqq$\colon
  \R^3\times\R^3\to\R^3$ mit der angegebenen Definition
  Kreuzprodukt. Wir definieren die Torsion von $\alpha$, $\tau\colon
  I\to\R$, durch \[\tau(s):=\langle N'(s),B(s)\rangle.\]
\end{definition}

\begin{lemma}[Frenetgleichungen]
  Sei $\alpha\in C^3\left(I,\R^3\right)$ eine nach der Bogenl\"ange
  parametrisierte Frenetkurve mit Frenet-Dreibein $T,N,B$. Dann gilt
  \begin{align*}
    T'=&\,\kappa N,\\
    N'=&\,-\kappa T +\tau B,\\
    B'=&\,-\tau N
    \intertext{oder}
    \begin{pmatrix}
      T'\\ N'\\ B'
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \begin{pmatrix}
      0&\kappa&0\\
      -\kappa&0&\tau\\
      0&-\tau&0
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      T\\ N\\ B
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Lemma \ref{ons abl schief lem} wissen wir, dass die Matrix
  schiefsymmetrisch sein muss. Nun gilt $T=\alpha'$ und $T''=\alpha''
  =\kappa N$ nach Definition von $\kappa$ und $N$. Weiterhin nach
  Definition gilt $\tau=\langle N',B\rangle$. Somit ist die Matrix
  eindeutig bestimmt. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\kappa\equiv0$, so ist $\alpha(I)$ Teilmenge einer Geraden.
  \item Ist $\alpha\in C^3$ und eine Frenetkurve mit $\tau\equiv0$, so
    liegt $\alpha(I)$ in einer Ebene.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Aus $\kappa\equiv0$ erhalten wir
    $\alpha''\equiv0$. Integrieren liefert $\alpha(s)=p+sv$ f\"ur
    $p,v\in\R^3$.
  \item Nach Annahme und den Frenetgleichungen erhalten wir
    $B'\equiv0$. Also gilt $B(s)\equiv b$ f\"ur ein
    $b\in\S^2\subset\R^3$. Mit $\alpha'=T\perp B$ erhalten wir
    $\langle\alpha(s),b\rangle' =\langle\alpha'(s),b\rangle
    \equiv0$. Somit ist $\langle\alpha(s),b\rangle$ konstant und wir
    schlie\ss{}en $\alpha(I)\subset\{x\in\R^3\colon \langle
    x,b\rangle=a\}$ f\"ur ein $a\in\R$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
  Seien $k\in C^1(I)$ mit $k>0$ und $\omega\in C^0(I)$ gegeben. Dann
  gibt es eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte Kurve $\alpha\in
  C^3\left(I,\R^3\right)$ mit Kr\"ummung $\kappa=k$ und Torsion
  $\tau=\omega$. Bis auf eine orientierungserhaltende Euklidische
  Bewegung ist $\alpha$ eindeutig bestimmt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $T,N,B$ eine $C^1$-L\"osung des Differentialgleichungssystems
  \[
  \begin{pmatrix}
  T'\\ N'\\ B'
  \end{pmatrix}=
  \begin{pmatrix}
  0&k&0\\
  -k&0&\omega\\
  0&-\omega&0
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
  T\\N\\B
  \end{pmatrix}
  \] mit gegebenen
  Anfangswerten $T(s_0)=e_1$, $N(s_0)=e_2$ und $B(s_0)=e_3$. Diese
  existiert nach Picard-Lindel\"of.  Nach Lemma \ref{ons abl schief
    lem} bilden diese Vektoren f\"ur jedes $s$ eine
  Orthonormalbasis. Setze $\alpha(s):=\int\limits_{s_0}^s
  T(\sigma)\,d\sigma$. Dann ist $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$, da
  $T\in C^1$ ist und ist nach der Bogenl\"ange parametrisiert. Wir
  erhalten $\alpha'=T$ und $\alpha''=T'=kN$. Damit folgt $k=\kappa$
  und $N$ ist die Hauptnormale an $\alpha$. Wegen $k,N\in C^1$
  erhalten wir $\alpha\in C^3$. Es gilt $\det(T,N,B)=1$. Zun\"achst
  ist dies f\"ur $s=s_0$ klar und folgt dann allgemein aufgrund der
  Stetigkeit und dass die drei Vektoren stets eine \ONB bilden. Somit
  ist $B$ der Binormalenvektor an die Kurve $\alpha$. Wegen
  $\tau=\langle N',B\rangle =\omega$ ist die Torsion wie
  angegeben. \par Zur Eindeutigkeit: Nach einer Euklidischen Bewegung
  d\"urfen wir annehmen, dass eine beliebige L\"osung $\beta$ mit
  $\tilde T$, $\tilde N$ und $\tilde B$ in $s_0$ \[T=\tilde T,\quad
  N=\tilde N,\quad\text{und}\quad B=\tilde B\] erf\"ullt. Aufgrund der
  Eindeutigkeit von L\"osungen gew\"ohnlicher Differentialgleichungen
  gilt dann \"uberall $(T,N,B)=\left(\tilde T,\tilde N,\tilde
    B\right)$. Nach Integration sehen wir, dass $\beta(s)-\alpha(s)
  =\beta(s_0)-\alpha(s_0)$ konstant ist. Somit stimmen $\alpha$ und
  $\beta$ bis auf eine Euklidische Bewegung \"uberein.
\end{proof}

\begin{definition}\label{kappa t def}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ regul\"ar. Sei
  $\tilde\alpha:=\alpha\circ\phi\colon J\to\R^3$ eine richtungstreue
  Umparametrisierung nach der Bogenl\"ange. Definiere
  \begin{enumerate}[(i)] 
  \item die Kr\"ummung $\kappa(t):=\tilde\kappa(\phi^{-1}(t))$ von
    $\alpha$. 
  \item das Frenetdreibein $T(t):=\tilde T(\phi^{-1}(t))$,
    $N(t):=\tilde N(\phi^{-1}(t))$, $B(t):=\tilde B(\phi^{-1}(t))$
    f\"ur $\kappa\neq0$. 
  \item die Torsion $\tau(t):=\tilde\tau\circ\phi^{-1}(t)$ f\"ur
    $\alpha\in C^3$ und $\kappa\neq0$. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  $T$, $N$, $B$, $\kappa$ und $\tau$ sind wohldefiniert und es gilt
  f\"ur beliebige richtungstreue (\glqq$+$\grqq) oder
  richtungsumkehrende (\glqq$-$\grqq) Umparametrisierungen
  $\beta=\alpha\circ\phi$ von $\alpha$
  \begin{align*}
    T_\beta=&\,\pm T_\alpha\circ\phi,\quad
    N_\beta=N_\alpha\circ\phi,\quad B_\beta=\pm B_\alpha\circ\phi,\\
    \kappa_\beta=&\,\kappa_\alpha\circ\phi\quad\text{und} \quad
    \tau_\beta=\tau_\alpha\circ\phi.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Jede regul\"are $C^1$-Kurve l\"asst sich nach Theorem \ref{bogenl
    param thm} nach der Bogenl\"ange parametrisieren. Daher k\"onnen
  wir die Definition \ref{kappa t def} verwenden. \par Seien nun
  $\phi_i\colon J_i\to I$ zwei orientierungserhaltende
  Parametertransformationen, so dass $\alpha_i :=\alpha\circ\phi_i$
  jeweils nach der Bogenl\"ange parametrisiert sind. Dann sind
  $\phi_1^{-1}\circ\phi_2$ und $\phi_2^{-1}\circ\phi_1$ jeweils von
  der Form $s\mapsto s+s_0$, bei nicht orientierungserhaltenden
  Transformationen auch von der Form $s\mapsto\pm s+s_0$. Die
  Gr\"o\ss{}en aus Definition \ref{kappa t def} sind wohldefiniert, es
  gilt n\"amlich
  \begin{align*}
    T(t)\overset{\text{def.}}=&\,(\alpha\circ
    \phi_1)'|_{\phi_1^{-1}(t)}\\
    =&\,(\alpha\circ\phi_2\circ\phi_2^{-1}\circ
    \phi_1)'|_{\phi_1^{-1}(t)}\\
    =&\,(\alpha\circ\phi_2)'|_{\phi_2^{-1}\circ\phi_1
      \circ\phi_1^{-1}(t)}\cdot\underbrace{\left(\phi_2^{-1}\circ
        \phi_1\right)'}_{=\pm1}|_{\phi_1^{-1}(t)}\quad
    \text{(Produktregel)}\\ 
    =&\,\pm(\alpha\circ\phi_2)'|_{\phi_2^{-1}(t)}
  \end{align*}
  und analoge Rechnungen funktionieren auch f\"ur die anderen
  Gr\"o\ss{}en. \par
  Sei nun $\beta=\alpha\circ\phi$ beliebig. Mit zwei
  orientierungserhaltenden Transformationen $\phi_\alpha$ und
  $\phi_\beta$ k\"onnen wir annehmen, dass $\beta\circ\phi_\beta$ und
  $\alpha\circ\phi_\alpha$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  sind. \"Ahnlich wie bei der obigen Rechnung erhalten wir
  \begin{align*}
    T_\beta(t)=&\,(\beta\circ\phi_\beta)'|_{\phi_\beta^{-1}(t)}\\
    =&\,\left(\alpha\circ\phi_\alpha\circ\phi_\alpha^{-1}\circ\phi
      \circ\phi_\beta\right)'|_{\phi_\beta^{-1}(t)}\\
    =&\,(\alpha\circ\phi_\alpha)|_{\phi_\alpha^{-1}\circ\phi
      \circ\phi_\beta\circ\phi_\beta^{-1}(t)}
    \cdot\underbrace{\left(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi\circ
        \phi_\beta\right)'}_{=\pm1}|_{\phi_\beta^{-1}(t)}\\
    =&\,\pm T_\alpha|_{\phi(t)},
  \end{align*}
  da $\beta\circ\phi_\beta$ und $\alpha\circ\phi_\alpha$ nach der
  Bogenl\"ange parametrisiert sind. Wegen $\beta\circ\phi_\beta
  =(\alpha\circ\phi_\alpha)\circ(\phi_\alpha^{-1}
  \circ\phi\circ\phi_\beta)$ ist der Term in der letzten Klammer
  wieder von der Form $s\mapsto\pm s+s_0$. \par
  Argumentation f\"ur die anderen Gr\"o\ss{}en: \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ eine regul\"are Kurve. Dann
  gelten f\"ur Kr\"ummung, Frenet-Dreibein (im Falle $\kappa\neq0$)
  und Torsion (im Falle $\kappa\neq0$ und $\alpha\in C^3$)
  \begin{align*}
    \kappa =&\,\frac{|\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle
      T|}{|\alpha'|^2} =\frac{\sqrt{|\alpha''|^2-\langle\alpha'',
        T\rangle^2}}{|\alpha'|^2},\\
    T=&\,\frac{\alpha'}{|\alpha'|},\quad
    N=\frac{\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle
      T}{|\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle T|},\quad
    B=\frac{\alpha'\times\alpha''}
    {|\alpha'||\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle T|} \intertext{und}
    \tau=&\,\frac{\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')}
    {|\alpha'|^2\cdot|\alpha''-\langle\alpha'',T\rangle T|^2}
    =\frac{\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')}{|\alpha'\times\alpha''|^2}.
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\phi$ eine richtungserhaltende Parametertransformation, so dass
  $\tilde\alpha:=\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  ist. Dann folgt
  \begin{align*}
    1=&\,\left(\phi\circ\phi^{-1}(t)\right)'
    =\phi'|_{\phi^{-1}(t)}\cdot
    \left(\phi^{-1}\right)'(t),\\
    \phi'(s)=&\,\frac1{(\phi^{-1})'(\phi(s))},\\
    1=&\,|\tilde\alpha'(s)|=|(\alpha\circ\phi)'(s)|
    =|\alpha'(\phi(s))|\cdot\phi'(s),\\
    |\alpha'(t)|=&\,\left(\phi^{-1}\right)'(t).
  \end{align*}
  Damit erhalten wir \[\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}
  =\frac{\left(\tilde\alpha\circ\phi^{-1}\right)'(t)}
  {\left(\phi^{-1}\right)'(t)} =\tilde\alpha'\left(\phi^{-1}(t)\right)
  =T(t).\] Analog erhalten wir
  \begin{align*}
    \tilde T'\left(\phi^{-1}(t)\right) =&\,\frac{\left(\tilde
      T\circ\phi^{-1}\right)'(t)}{\left(\phi^{-1}\right)'(t)}
    =\frac1{|\alpha'(t)|}\left(\frac
      d{dt}\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}\right)\umbruch\\
    =&\,\frac{\alpha''(t)}{|\alpha'(t)|^2}
    -\frac12\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}
    \left(|\alpha'(t)|^2\right)^{-3/2}\cdot
    2\cdot\langle\alpha'(t),\alpha''(t)\rangle\umbruch\\
    =&\,\frac{\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
      T(t)}{|\alpha'(t)|^2}. 
  \end{align*}
  Die Frenetgleichungen liefern, dass
  \begin{align*}
    \tilde T'\left(\phi^{-1}(t)\right)
    =&\,\tilde\kappa\left(\phi^{-1}(t)\right)\cdot \tilde
    N\left(\phi^{-1}(t)\right) =\kappa(t)N(t) \intertext{gilt und
      somit erhalten wir aus der L\"ange des Vektors} \kappa(t)
    =&\,\frac{|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
      T(t)|}{|\alpha'(t)|^2}
    =\frac{\sqrt{|\alpha''(t)|^2-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle^2}}
    {|\alpha'(t)|^2} \intertext{und} N(t)
    =&\,\frac{\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle T(t)}
    {|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle T(t)|}.
  \end{align*}
  Wegen $0=\alpha'(t)\times\alpha'(t)$ erhalten wir direkt aus der
  Definition des Binormalenvektors
  \[B(t)=\frac{\alpha'(t)\times\alpha''(t)}
  {|\alpha'(t)|\cdot|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
    T(t)|}.\]
  Nach Definition der Torsion erhalten wir
  \[\tau(t) =\left\langle\tilde N'(\phi^{-1}(t)),\tilde
    B(\phi^{-1}(t))\right\rangle =\left\langle\frac{\left(\tilde
        N\circ\phi^{-1}\right)(t)}{(\phi^{-1})'(t)}, \tilde
    T\left(\phi^{-1}(t)\right) \times\tilde
    N\left(\phi^{-1}(t)\right)\right\rangle.\] Aus $T(t)=\tilde
  T\left(\phi^{-1}(t)\right)$ folgt mit der Kettenregel und den
  Frenetformeln\[T'(t)=\tilde T'\left(\phi^{-1}(t)\right)
  \cdot\left(\phi^{-1}\right)'(t) =\tilde
  T'\left(\phi^{-1}(t)\right)\cdot|\alpha'(t)|
  =|\alpha'(t)|\kappa(t)N(t).\] Damit erhalten wir
  \begin{align*}
    \tau(t) =&\,\frac1{|\alpha'(t)|}\left\langle \frac
      d{dt}\frac{\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
        T(t)}{|\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
        T(t)|},T(t)\times N(t)\right\rangle\\
    =&\,\frac{\langle\alpha'''(t),T(t)\times
      N(t)\rangle}{|\alpha'(t)|\cdot|\alpha''(t)
      -\langle\alpha''(t),T(t)\rangle T(t)|}\\
    =&\,\frac{\langle\alpha''',\alpha'\times\alpha''\rangle}
    {|\alpha'(t)|^2\cdot |\alpha''(t)-\langle\alpha''(t),T(t)\rangle
      T(t)|^2}. 
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt nun direkt aus $\langle a\times b,c\rangle
  =\det(a,b,c)$ f\"ur $a,b,c\in\R^3$ und \[|a\times b|^2 =|a|^2\cdot
  \left|b-\left\langle b,\tfrac{a}{|a|}\right\rangle\tfrac
    a{|a|}\right|^2,\] ebenfalls f\"ur alle $a,b\in\R^3$ (\"Ubung).
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha\in C^2\left(I,\R^3\right)$ regul\"ar und $F(x):=Sx+a$
  eine Euklidische Bewegung mit $S\in O(3)$ und $a\in\R^3$. Dann ist
  $\tilde\alpha:=F\circ\alpha$ ebenfalls regul\"ar und es gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\tilde\kappa=\kappa$,
  \item $\tilde T=ST$, $\tilde N=SN$, $\tilde B=\det S\cdot SB$, 
  \item $\tilde\tau=\det S\cdot\tau$,
  \end{enumerate}
  wobei $\alpha$ f\"ur Aussagen \"uber $N$ und $\tau$ sogar eine
  $C^3$-Frenetkurve sei.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt, das Lemma f\"ur nach der Bogenl\"ange parametrisierte
  Kurven zu zeigen. Sei also $\alpha$ ohne Einschr\"ankung nach der
  Bogenl\"ange parametrisiert. Es gilt
  \[(F\circ\alpha)'=S\alpha',\quad\text{und}\quad
  (F\circ\alpha)''=S\alpha''.\] Mit $S\in O(3)$ und
  $\kappa=|\alpha''|$ erhalten wir $\tilde\kappa =\kappa$ und $\tilde
  T=ST$. Somit ist $\tilde\alpha$ eine Frenetkurve, wenn $\alpha$ eine
  solche ist. Wir erhalten $\tilde N=SN$. Somit gilt $\tilde B=\pm SB$
  und wegen $\det(T,N,B)=1\overset!=\det\left(\tilde T,\tilde N,\tilde
    B\right)$ erhalten wir aus mit dem
  Determinantenmultiplikationssatz $\tilde B=\det S\cdot
  SB$. Schlie\ss{}lich folgt nach Definition $\tilde\tau
  =\left\langle\tilde N',\tilde B\right\rangle =\det S\langle
  SN',SB\rangle =\det S\cdot\tau$. 
\end{proof}

\begin{beispiel}[Lokale Graphendarstellung einer Kurve]
  Sei $\beta\in C^3\left(I,\R^3\right)$ eine Frenetkurve, ohne
  Einschr\"ankung $0\in I$. Nach einer orientierungserhaltenden
  Isometrie des $\R^3$ d\"urfen wir $T(0)=e_1$, $N(0)=e_2$ und
  $B(0)=e_3$ sowie $\beta(0)=0$ annehmen.\par Nach dem Satz \"uber
  implizite Funktionen gibt es ein $\delta>0$ und eine Funktion
  $u\colon(-\delta,\delta)\to\R^2$ mit $u(0)=0$, so dass $\alpha\colon
  x\mapsto (x,u(x))$ eine Umparametrisierung von $\beta$ ist (Details:
  \"Ubung). Es gilt \[\alpha'(x)=(1,u'(x)),\quad
  \alpha''(x)=(0,u''(x)),\quad \alpha'''(x)=(0,u'''(x)).\] Aus
  $T(x)=\frac{(1,u'(x))} {\sqrt{1+|u'(x)|^2}}$ erhalten wir
  $u'(0)=0$. F\"ur die Kr\"ummung erhalten
  wir \[\kappa(x)=\frac{\sqrt{|u''|^2-\frac{\langle
        u',u''\rangle^2}{1+|u'|^2}}}{1+|u'|^2}
  =\frac{\sqrt{\left(1+|u'|^2\right)|u''|^2-\langle
      u',u''\rangle^2}}{\left(1+|u'|^2\right)^{3/2}}.\] Im Punkt $x=0$
  erhalten wir $\kappa(0)=|u''(0)|$ und
  $e_2=N(0)=\frac{\alpha''(0)}{|\alpha''(0)|}
  =\frac{(0,u''(0))}{\kappa(0)}$. Wir differenzieren die Formel f\"ur
  $\kappa(x)$ und erhalten \[\kappa'(0)=\frac{\langle
    u''(0),u'''(0)\rangle}{\kappa(0)} =\left\langle
    (0,u'''(0))^T,e_2\right\rangle =\left\langle
    u'''(0),(1,0)^T\right\rangle.\] Als Torsion erhalten
  wir \[\tau(0)=\frac{\det\left(e_1,\kappa(0)e_2,(0,u'''(0))^T\right)}{\kappa(0)^2}
  =\frac{\langle u'''(0),(0,1)\rangle}{\kappa(0)} =\frac{\left\langle
      (0,u'''(0))^T,e_3\right\rangle}{\kappa(0)}.\] Sei nun $\alpha\in
  C^3$ eine Frenetkurve. Aus der Taylordarstellung erhalten wir durch
  Koeffizientenvergleich \[\alpha(x)=(x,u(x)) =xe_1
  +\frac12x^2\kappa(0)e_2 +\frac16x^3\left(\kappa'(0)e_2
    +\tau(0)\kappa(0)e_3\right) +o\left(|x|^3\right).\]
\end{beispiel}

\Subsection{L\"angenvergleich und der Satz von Fenchel}

Die folgenden beiden Theoreme sind f\"ur den Beweis der Fenchelschen
Ungleichung n\"otig. 

\begin{definition}
  Ein Gro\ss{}kreis ist der Schnitt einer Ebene durch den Ursprung mit
  $\S^2\subset\R^3$. Beachte: Durch zwei verschiedene Punkte auf
  $\S^2$ gibt es genau einen Gro\ss{}kreis.
\end{definition}

\begin{theorem}\label{kuerzeste sphaere thm}
  Sei $\gamma\colon[a,b]\to\S^2\subset\R^3$ st\"uckweise von der
  Klasse $C^1$. Dann gilt
  \[L(\gamma)\ge\sphericalangle(\gamma(a),\gamma(b)).\] Bei Gleichheit
  durchl\"auft $\gamma$ einen Gro\ss{}kreisbogen von $\gamma(a)$ nach
  $\gamma(b)$ ohne Richtungsumkehr.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  In Polarkoordinaten erhalten wir die Sph\"are $\S^2$ als \[\left\{
    \begin{pmatrix}
      \sin\theta\cdot\cos\phi\\
      \sin\theta\cdot\sin\phi\\
      \cos\theta
    \end{pmatrix}\equiv X(\theta,\phi)
    \colon \theta\in [0,\pi], \phi\in\R\right\}.\] Da
  $(r,\theta,\phi)\mapsto r\cdot X(\theta,\phi)$ f\"ur $r>0$,
  $0<\theta<\pi$ und $\phi\in\R$ ein lokaler Diffeomorphismus ist,
  gibt es zu jeder $C^1$-Kurve $\alpha\colon I\to \S^2\subset\R^3$
  eine $C^1$-Kurve $w:I\to(0,\pi)\times\R$ mit $X\circ w=\alpha$,
  falls $(0,0,\pm1)\not\in\im\alpha$ ist: Beachte dazu dass $r$, der
  Abstand zum Ursprung, nicht auftaucht, da dieser stets konstant
  gleich eins ist. Aufgrund des Satzes \"uber implizite Funktionen
  existiert solch eine Abbildung $w$ zun\"achst nur lokal. Da aber $w$
  bis auf Addition von Vielfachen von $2\pi$ in der zweiten Komponente
  wohldefiniert ist, k\"onnen wir dies korrigieren und erhalten die
  gesuchte Funktion. Schreibe $w(x)\equiv(\theta(x),\phi(x))$. \par
  Sei ohne Einschr\"ankung $\gamma(a)=(0,0,-1)$, der S\"udpol. Gelte
  $\gamma(b)=X(\theta_b,\phi_b)$ mit $\theta_b<\pi$. Sei $\epsilon>0$
  mit $3\epsilon<\pi-\theta_b$. Da $\gamma$ jede horizontale Ebene
  zwischen $\{x^3=-1\}$ und $\{x^3=\gamma^3(b)\}$ schneidet, und deren
  Schnitte mit $\S^2$ zu konstantem $\theta$ in der Parametrisierung
  geh\"oren, existieren
  \begin{align*}
    a_\epsilon:=&\,\sup\{t\in[a,b]\colon \theta(t)\ge\pi-\epsilon\}
    \intertext{sowie} 
    b_\epsilon:=&\,\inf\{t\in[a,b]\colon
    \theta(t)\le\theta_b+\epsilon\}. 
  \end{align*}
  Anschaulich ist dann $\gamma_\epsilon
  :=\gamma|_{[a_\epsilon,b_\epsilon]}$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve,
  die eine Ebene etwas oberhalb von $\gamma(a)$ mit einer Ebene etwas
  unterhalb von $\gamma(b)$ verbindet. Da
  $(0,0,\pm1)\not\in\im\gamma_\epsilon$ gilt, gibt es st\"uckweise
  $C^1$-Funktionen $\theta_\epsilon\colon[a_\epsilon,b_\epsilon]\to
  [\theta_b+\epsilon,\pi-\epsilon]$ und $\phi_\epsilon
  \colon[a_\epsilon,b_\epsilon]\to\R$ mit
  $\gamma_\epsilon(t)=X(\theta_\epsilon(t),\phi_\epsilon(t))$ f\"ur
  alle $t\in[a_\epsilon,b_\epsilon]$. $\epsilon>0$ ist n\"otig, weil
  die Parametrisierung auf der $x^3$-Achse kein Diffeomorphismus ist
  und somit die Regularit\"at von $\theta_\epsilon$ und
  $\phi_\epsilon$ nicht klar w\"are. Setze
  \begin{align*}
    \beta_\epsilon\colon[a_\epsilon,b_\epsilon]\to&\,\S^2,\\
    \beta_\epsilon:=&\,X(\theta_\epsilon(t),0).
  \end{align*}
  Dann gilt
  \begin{align*}
    L(\gamma_\epsilon) =&\,\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon}
    \left|\dt X(\theta_\epsilon(t), \phi_\epsilon(t))\right|\,dt
    =\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon}\left|\fracp X\theta\frac
      {d\theta_\epsilon(t)}{dt}+\fracp
      X\phi\frac{d\phi_\epsilon(t)}{dt}\right|\,dt\\
    \ge&\,\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon}\left|\fracp
      X\theta\frac{d\theta_\epsilon(t)}{dt}\right|\,dt
    =\int\limits_{a_\epsilon}^{b_\epsilon} \left|\dt
      X(\theta_\epsilon(t),0)\right|\,dt =L(\beta_\epsilon),
    \intertext{da} \fracp X\theta=&\,
      \begin{pmatrix}
        \cos\theta\cdot\cos\phi\\
        \cos\theta\cdot\sin\phi\\
        -\sin\theta
      \end{pmatrix}
      \perp
      \begin{pmatrix}
        -\sin\theta\cdot\sin\phi\\
        \sin\theta\cdot\cos\phi\\
        0
      \end{pmatrix}
      =\fracp X\phi
  \end{align*}
  f\"ur alle $(\theta,\phi)\in(0,\pi)\times\R$ gilt. Wir haben also
  zwei Kurven, $\gamma_\epsilon$ und $\beta_\epsilon$, die beide die
  Kreise $\im X(\pi-\epsilon,\cdot)$ und $\im
  X(\theta_\beta+\epsilon,\cdot)$ miteinander verbinden. Die obige
  Absch\"atzung liefert, dass $L(\gamma_\epsilon)\ge
  L(\beta_\epsilon)$ mit Gleichheit genau dann, wenn $\gamma_\epsilon$
  bereits auf einem Gro\ss{}kreis durch den S\"udpol $(0,0,-1)$
  verl\"auft. \par
  Sei $[a,b]\ni t\mapsto\theta(t)\in[0,\pi]$ monoton, ohne
  Einschr\"ankung wachsend. Dann gilt \[L(X\circ\theta)
  =\int_a^b\left|\fracp X\theta \frac{d\theta}{dt}\right|\,dt
  =\int_a^b\frac{d\theta}{dt}\,dt =\theta(b)-\theta(a).\] Andererseits
  ist f\"ur beliebiges $\phi_0\in\R$
  \begin{align*}
    \sphericalangle(X(\theta(b),\phi_0),X(\theta(a),\phi_0))
    =&\,\arccos\langle X(\theta(b),\phi_0),X(\theta(a),\phi_0)\rangle\\
    =&\,\arccos(\sin\theta(a)\cdot\sin\theta(b)
    +\cos\theta(a)\cdot\cos\theta(b))\\
    =&\,\arccos(\cos(\theta(b)-\theta(a)))\\
    =&\,|\theta(b)-\theta(a)|=\theta(b)-\theta(a).
  \end{align*}
  Auf $\beta_\epsilon$ angewandt erhalten wir \[L(\gamma_\epsilon)\ge
  L(\beta_\epsilon) \ge(\pi-\epsilon)-(\theta_b+\epsilon)
  =\sphericalangle(\gamma_\epsilon(a_\epsilon),
  \gamma_\epsilon(b_\epsilon))\] mit Gleichheit genau dann, wenn
  $\gamma_\epsilon$ mit monotonem $\theta_\epsilon$ auf einem
  Gro\ss{}kreis durch den S\"udpol verl\"auft. Mit $\epsilon\searrow0$
  folgt die Behauptung. Beachte dabei, dass Gleichheit nur f\"ur
  $a_\epsilon\to a$ und $b_\epsilon\to b$ f\"ur $\epsilon\searrow0$
  gelten kann oder falls $\gamma$ auf $[a,a+\zeta]$ oder $[b-\zeta,b]$
  f\"ur ein $\zeta>0$ konstant ist. 
\end{proof}

\begin{lemma}\label{kurve in hemisph lem}
  Sei $\gamma\colon [a,b]\to\S^2\subset\R^3$ eine geschlossene
  st\"uckweise $C^1$-Kurve mit $L(\gamma)\le 2\pi$. Dann liegt
  $\gamma$ komplett in einer Halbsp\"are, \dh in einer Menge der Form
  $\{x\in\S^2\colon \langle x,e\rangle\ge0\}$ f\"ur ein
  $e\in\S^2$. Ist $L(\gamma)<2\pi$, so gibt es ein $e\in\S^2$ mit
  $\langle\gamma(t),e\rangle>0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$, $\gamma$ liegt
  also sogar im Inneren der Halbsph\"are. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  W\"ahle $\tau\in[a,b]$ mit $L(\gamma|_{[a,\tau]})
  =L(\gamma|_{[\tau,b]}) =L(\gamma)/2$. Setze $p:=\gamma(a)$ und
  $q:=\gamma(\tau)$. Ist $\sphericalangle(p,q)=\pi$, so gilt
  $L(\gamma)\ge2\pi$, also nach Voraussetzung $L(\gamma)=2\pi$. Nach
  Theorem \ref{kuerzeste sphaere thm} liegen daher
  $\gamma|_{[a,\tau]}$ und $\gamma|_{[\tau,b]}$ auf
  Gro\ss{}kreisen. Als $e$ kann man eine der Normalen w\"ahlen, die zu
  den Ebenen geh\"oren, auf denen die Gro\ss{}kreise liegen. \par Sei
  daher ab jetzt $\sphericalangle(p,q)<\pi$. Sei ohne Einschr\"ankung
  $p\neq q$. Sei $e$ der Mittelpunkt des k\"urzeren
  Gro\ss{}kreisbogens von $p$ nach $q$, $e=\frac{p+q}{|p+q|}$. Nach
  einer Drehung d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
  $e=e_3$ gilt. Dann ist $p=\left(p^1,p^2,p^3\right)$ mit $p^3>0$ und
  $q=\left(q^1,q^2,q^3\right) =\left(-p^1,-p^2,p^3\right)$. \par Nun
  gilt entweder $\langle\gamma(t),e_3\rangle>0$ f\"ur alle
  $t\in[a,\tau]$ oder es gibt ein $t_0\in(a,\tau)$ mit
  $\langle\gamma(t_0),e_3\rangle =0$. Im zweiten Fall definieren wir
  $S\colon\R^3\to\R^3$ durch $S(x^1,x^2,x^3):=(x^1,x^2,-x^3)$
  und \[\tilde\gamma(t):=
  \begin{cases}
    \gamma(t)&\text{f\"ur }t\in[a,t_0],\\
    S\gamma(t)&\text{f\"ur }t\in[t_0,\tau].
  \end{cases}
  \] Dann ist $\tilde\gamma$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve mit
  $\tilde\gamma(a)=p$ und $\tilde\gamma(\tau)=S(q)=-p$. Nach Theorem
  \ref{kuerzeste sphaere thm} erhalten wir \[L(\gamma)
  =2L(\gamma|_{[a,\tau]}) =2L(\tilde\gamma) \ge2\pi.\] Wir erhalten
  $L(\gamma)=2\pi$ und nochmals nach Theorem \ref{kuerzeste sphaere
    thm} durchl\"auft $\tilde\gamma$ einen halben Gro\ss{}kreis von
  $p$ nach $S(q)=-p$. Also ist $\langle\tilde\gamma(t),e_3\rangle\ge0$
  f\"ur $t\in[a,t_0]$ und $\langle\tilde\gamma(t),e_3\rangle\le0$
  f\"ur $t\in[t_0,b]$. Also gilt $\langle\gamma(t),e_3\rangle\ge0$
  f\"ur alle $t\in[a,\tau]$. Eine analoge Aussage erhalten wir f\"ur
  $t\in[\tau,b]$. Insgesamt folgt also
  $\langle\gamma(t),e_3\rangle\ge0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$. Falls
  nicht $\langle\gamma(t),e_3\rangle>0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$ gilt,
  so folgt aus den obigen \"Uberlegungen, dass Gleichheit maximal in
  zwei Punkten gilt und dass in diesem Fall $\im\gamma$ in der N\"ahe
  dieser Punkte aus jeweils zwei B\"ogen auf unterschiedlichen
  Gro\ss{}kreisen besteht. Sind diese beiden Punkte antipodal, so
  k\"onnen wir nach Umparametrisierung (\"uber $[a,b]$ hinaus) wie im
  Fall $\sphericalangle(p,q)=\pi$ argumentieren. Sonst ersetzen wir
  $e$ durch einen geeigneten Vektor in der N\"ahe.
\end{proof}

\begin{theorem}[Fenchel]
  Sei $\alpha\colon[0,L]\to\R^3$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  und $C^2$-geschlossen. Dann gilt
  \[\int\limits_0^L\kappa(s)\,ds\ge2\pi\] mit Gleichheit genau dann
  wenn $\alpha$ eine ebene einfach geschlossene Kurve ist, die ein
  konvexes Gebiet berandet. (Die Aussage, dass $\alpha$ ein konvexes
  Gebiet berandet, werden wir hier nicht beweisen.)\par Der
  Integralausdruck hei\ss{}t Totalkr\"ummung der Kurve $\alpha$.
\end{theorem}
Eine Kurve hei\ss{}t einfach geschlossen, wenn $\alpha$ geschlossen
ist und $\alpha|_{[0,L)}$ eine injektive Abbildung ist. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha\colon[0,L]\to\R^3$ eine $C^2$-geschlossene Kurve mit
  $|\alpha'|\equiv1$. Dann ist
  \begin{align*}
    \gamma\colon[0,L]\to&\,\S^2\subset\R^3,\\
    s\mapsto&\,\alpha'(s)
  \end{align*}
  eine $C^1$-geschlossene Kurve. Sei $e\in\S^2$. Es gilt
  \[\int\limits_0^L\langle\gamma(s),e\rangle\,ds =\int\limits_0^L
  \frac d{ds}\langle\alpha(s),e\rangle\, ds =\langle\alpha(L),e\rangle
  -\langle\alpha(0),e\rangle =0.\] Somit gibt es keinen Vektor
  $e\in\S^2$ mit $\langle\gamma(s),e\rangle>0$ f\"ur alle
  $s\in[0,L]$. Nach Lemma \ref{kurve in hemisph lem} gilt daher
  $L(\gamma)\ge2\pi$. Wir erhalten also f\"ur die Kr\"ummung $\kappa$
  der Kurve $\alpha$ \[\int\limits_0^L\kappa(s)\,ds
  =\int\limits_0^L|\alpha''(s)|\,ds =\int\limits_0^L|\gamma'(s)|\,ds
  =L(\gamma) \ge2\pi.\] Dies zeigt die Behauptung. \par Lediglich die
  Aussagen f\"ur den Fall, dass die Totalkr\"ummung gleich $2\pi$ ist,
  sind noch zu zeigen. Nach Lemma \ref{kurve in hemisph lem} gibt es
  dann ein $e\in\S^2$ mit $\langle\gamma(s),e\rangle\ge0$ f\"ur alle
  $s\in[0,L]$. Aus $\int\limits_0^L\langle\gamma(s),e\rangle\,ds=0$
  folgt daher $\langle\gamma(s),e\rangle\equiv0$ f\"ur alle
  $s\in[0,L]$. Also ist $\frac d{ds}\langle\alpha(s),e\rangle
  =\langle\gamma(s),e\rangle =0$ und $\im\alpha$ liegt in einer Ebene
  $\{x\colon\langle x,e\rangle=c\}$ f\"ur ein $c\in\R$. \par Wir
  zeigen nun noch, dass $\alpha|_{[0,L)}$ injektiv ist. Falls nicht,
  so gibt es ohne Einschr\"ankung ein $\tau\in(0,L)$ mit
  $\alpha(0)=\alpha(\tau)$. Wir behaupten, dass
  $L(\gamma|_{[0,\tau]})>\pi$ gilt. W\"are dem nicht so, so k\"onnten
  wir ein $\sigma\in(0,\tau)$ mit
  $L(\gamma|_{[0,\sigma]})=L(\gamma|_{[\sigma,\tau]})\le\pi/2$
  w\"ahlen. Wir setzen $e:=\gamma(\sigma)$ und erhalten nach Theorem
  \ref{kuerzeste sphaere thm} $\langle\gamma(s),e\rangle\ge0$ f\"ur
  alle $s\in[0,\tau]$. Andererseits ist \[\int\limits_0^\tau
  \langle\gamma(s), e\rangle\,ds
  =\langle\alpha(\tau),e\rangle-\langle\alpha(0),e\rangle =0.\] Somit
  ist $\langle\gamma(s),e\rangle\equiv0$. Dies liefert f\"ur
  $s=\sigma$ einen Widerspruch. Wir schlie\ss{}en, dass \[L(\gamma)
  =L(\gamma|_{[0,\tau]}) +L(\gamma|_{[\tau,L]})>\pi+\pi=2\pi\]
  ist. Dies widerspricht der Annahme $L(\gamma)=2\pi$. Daher ist
  $\alpha|_{[0,L)}$ wie behauptet injektiv. 
\end{proof}

In \cite{MilnorTotalCurvatureKnots} verallgemeinert J. Milnor diesen
Satz und zeigt, dass eine $C^2$-geschlossene nach der Bogenl\"ange
parametrisierte Kurve $\alpha\colon[a,b]\to\R^3$ mit
$\int\limits_a^b\kappa(s)\,ds\le4\pi$ \glqq unverknotet\grqq{} ist.

\Section{Fl\"achen}
\Subsection{Induzierte Metriken}
Wir betrachten Fl\"achen zun\"achst als Abbildungen. Alternativ kann
man Fl\"achen auch als Teilmengen betrachten.
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Eine Abbildung $X\in
  C^k\left(\Omega,\R^l\right)$, $k\in\N\setminus\{0\}\cup\{\infty\}$,
  hei\ss{}t eine (regul\"ar parametrisierte) $n$-dimensionale Fl\"ache
  oder $n$-dimensionale Immersion der Klasse $C^k$, falls $\rang
  DX(x)=n$ f\"ur alle $x\in\Omega$ gilt. Wir schreiben auch $dX$ f\"ur
  $DX$. Die Bedingung an den Rang hei\ss{}t, dass die
  Vektoren \[\fracp X{x^1}(x),\ldots,\fracp X{x^n}(x)\] f\"ur alle
  $x\in\Omega$ linear unabh\"angig sind.\par Ist $l=n+1$, so hei\ss{}t
  $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ Hyperfl\"ache. \par Ist $n=2$, so
  hei\ss{}t $X\colon\Omega\to\R^l$ Fl\"ache. \par
  Der Unterraum \[\im DX(x)=\left\langle \fracp X{x^1}(x),\ldots,
    \fracp X{x^n}(x)\right\rangle\] hei\ss{}t Tangentialraum von $X$
  im Punkt $x$. $X(x)+\im DX(x)$ hei\ss{}t affiner Tangentialraum.\par
  Betrachte ab jetzt nur noch Hyperfl\"achen, also Abbildungen
  $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ mit $\Omega\subset\R^n$. Eine stetige
  Funktion $\nu\colon\Omega\to\R^n$ hei\ss{}t Einheitsnormale an die
  Hyperfl\"ache l\"angs $X$, falls $|\nu(x)|=1$ und $\nu(x)\perp\im
  DX(x)$ f\"ur alle $x\in\Omega$ gelten. \par Betrachte ab jetzt f\"ur
  den Rest des Kapitels lediglich Fl\"achen in $\R^3$. Ist $\Omega$
  zusammenh\"angend, so gibt es genau zwei Einheitsnormalen l\"angs
  $X$, n\"amlich \[\nu^{\pm}\colon\Omega\to\S^2\subset\R^3
  \quad\text{mit}\quad \nu^{\pm}(x):=\pm\frac{X_1(x)\times
    X_2(x)}{|X_1(x)\times X_2(x)|},\] wobei wir die Abk\"urzungen
  $X_i(x):=\fracp X{x^i}(x)$ verwendet haben.
\end{definition}
Die Formel f\"ur die Normale gilt speziell f\"ur Fl\"achen im $\R^3$,
da wir das Kreuzprodukt \glqq$\times$\grqq{} benutzt haben. Alle
weiteren Resultate dieses Kapitels lassen sich leicht auf
$n$-dimensionale Hyperfl\"achen im $\R^{n+1}$ \"ubertragen. Eine
\"Ubertragung auf $l>n+1$ ist komplizierter; z.\,B.{} ist dann eine
Einheitsnormale nicht mehr bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt.  

\begin{beispiel}[Graphen]
  Sei $\Omega\subset\R^2$ offen. Sei $u\in C^k$. Dann ist der Graph
  von $u$, $\graph u$, das Bild der parametrisierten Fl\"ache
  \begin{align*}
    X\colon\Omega\to&\,\R^3,\\
    X(x)=&\,(x,u(x))^T\in\R^2\times\R.
  \end{align*}
  Es gilt $DX(x)=(X_1,X_2)=
  \begin{pmatrix}
    1&0\\
    0&1\\
    u_1&u_2
  \end{pmatrix}$. Die Bedingung $\rang DX(x)=2$ ist
  offensichtlicherweise f\"ur jede $C^1$-Funktion $u$ erf\"ullt. Eine
  Normale ist durch $\nu(x)=\frac{(Du,-1)}{\sqrt{1+|Du|^2}}$
  gegeben. Bei Graphen wollen wir stets die \glqq untere\grqq{}
  Normale, \dh die Normale mit $\langle\nu,e_3\rangle<0$,
  verwenden. Beachte: Dies ist genau die umgekehrte Wahl des
  Vorzeichens verglichen mit ebenen graphischen Kurven. Die
  Unterschiede sind historisch bedingt. 
\end{beispiel}

\begin{beispiel}[Rotationsfl\"achen]
  Sei $\alpha\colon(a,b)\to\left\{x\in\R^3\colon x^2=0\text{ und
    }x^1>0\right\}$ eine Kurve in der \glqq rechten\grqq{} Halbebene
  der $x^1-x^3$-Ebene. Schreibe \[\alpha(t)=(r(t),0,h(t)).\] Durch
  Rotation um die $x^3$-Achse erhalten wir eine Fl\"ache
  $X\colon(a,b)\times\R\to\R^3$ mit
  \[X(t,\phi)=
  \begin{pmatrix}
    \cos\phi & -\sin\phi & 0\\
    \sin\phi & \cos\phi & 0\\
    0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    r(t)\\ 0\\ h(t)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    r(t)\cos\phi\\
    r(t)\sin\phi\\
    h(t)
  \end{pmatrix}.
  \]
  \"Ubung: \"Uberpr\"ufe, dass dies eine Fl\"ache ist und bestimme
  eine Normale. 
\end{beispiel}

\begin{definition}[Erste Fundamentalform]
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^3\right)$ eine regul\"are Fl\"ache
  ($\Omega\subset\R^2$ sei offen). Dann hei\ss{}t die
  Bilinearform \[g(x)\langle u,v\rangle:=\langle DX(x)\langle
  v\rangle, DX(x)\langle u\rangle\rangle\] f\"ur $x\in\Omega$ und
  $u,v\in\R^2$ die erste Fundamentalform von $X$. Die Schreibweise
  $u\mapsto DX(x)\langle u\rangle$ soll auf die Linearit\"at der
  Abbildung hinweisen. \[g\in C^0\left(\Omega,L^2
    \left(\R^2,\R^2;\R\right)\right)\] ist eine stetige Abbildung von
  $\Omega$ in den Raum der bilinearen Abbildungen
  $\R^2\times\R^2\to\R$. Bez\"uglich der Standardbasis ist $g$ durch
  die Koeffizienten(funktionen)
  \begin{align*}
    g_{ij}\colon\Omega\to&\,\R,\\
    g_{ij}(x):=&\,\langle X_i(x),X_j(x)\rangle \equiv\langle
    dX(x)\langle e_i\rangle, dX(x)\langle e_j\rangle\rangle 
  \end{align*}
  f\"ur $1\le i,j\le 2$ gegeben. Die zugeh\"orige Matrix
  $G=(g_{ij})_{1\le i,j\le 2}$ bez\"uglich der Standardbasis des
  $\R^2$ sei $G\colon\Omega\to\R^{2\times 2}$ und ist durch
  $G(x):=dX(x)^TdX(X)$ gegeben.
\end{definition}

\begin{remark}\label{metrik bem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur jedes $x\in\Omega$ ist $g(x)$ ein Skalarprodukt auf
    $\R^2$.
    \begin{enumerate}[a)]
    \item $g(x)$ ist symmetrisch: 
      \[g(x)\langle u,v\rangle =\langle dX(x)\skl u, dX(x)\skl
      v\rangle =\skl{dX(x)\skl v,dX(x)\skl u} =g(x)\skl{v,u}.\] Daher
      ist auch die Matrix $G=(g_{ij})$ symmetrisch: $g_{ij}=g_{ji}$
      f\"ur alle $1\le i,j\le2$. 
    \item $g(x)$ ist bilinear: Seien $\lambda,\mu\in\R$ und
      $v_1,v_2,u\in\R^2$. Dann gilt 
      \begin{align*}
        g(x)\skl{\lambda v_1+\mu v_2,u} =&\,\skl{dX(x)\skl{\lambda
            v_1+\mu v_2},dX(x)\skl u}\\
        =&\,\skl{\lambda dX(x)\skl{v_1} +\mu dX(x)\skl{v_2}, dX(x)\skl 
          u}\\
        =&\,\lambda\skl{dX(x)\skl{v_1},dX(x)\skl u}
        +\mu\skl{dX(x)\skl{v_2},dX(x)\skl u}\\
        =&\,\lambda g(x)\skl{v_1,u} +\mu g(x)\skl{v_2,u}.
      \end{align*}
      Da $g(x)$ symmetrisch ist, ist es auch in der zweiten Komponente
      linear. 
    \item $g(x)$ ist positiv definit: Sei $v\in\R^2$. Dann
      gilt \[g(x)\skl{v,v} =\langle dX(x)\skl v,dX(x)\skl v\rangle
      =|dX(x)\skl v|^2\ge0.\] Im Falle von Gleichheit folgt aus der
      Dimensionsformel $\dim\ker dX(x) =\dim\R^2-\dim\im dX(x)
      =0$. Also ist $dX(x)$ injektiv und es folgt $v=0$. 
    \end{enumerate}
  \item Die Abbildung $dX(x)\colon\left(\R^2,g(x)\right)\to\left(\im
      dX(x),\skl{\cdot,\cdot}_{\R^3}\right)$ ist eine Isometrie
    zwischen Euklidischen Vektorr\"aumen. Es gilt
    n\"amlich \[|dX(x)\skl v|^2_{\R^3} =g(x)\skl{v,v} =\Vert
    v\Vert^2_{g(x)}.\]
  \item\label{winkel fml} Seien $u,v\in\R^2\setminus\{0\}$. Dann
    erf\"ullt der Winkel zwischen $dX(x)\skl u$ und $dX(x)\skl v$
    aufgrund der Isometrieeigenschaft
    \begin{align*}
      \sphericalangle(dX(x)\skl u,dX(x)\skl v)
      =&\,\arccos\frac{\skl{dX(x)\skl u,dX(x)\skl v}}{|dX(x)\skl
        u|\cdot |dX(x)\skl v|}\\
      =&\,\arccos\frac{g(x)\skl{u,v}}{\Vert u\Vert_{g(x)}\cdot \Vert
        v\Vert_{g(x)}} =:\sphericalangle_{g(x)}(u,v). 
    \end{align*}
  \item Ein Skalarprodukt, das von $x\in\Omega$ abh\"angt, hei\ss{}t
    Riemannsche Metrik auf $\Omega$. Ist klar, an welchem $x\in\Omega$
    das Skalarprodukt $g(x)\skl{\cdot,\cdot}$ ausgewertet wird,
    schreibt man h\"aufig $g(u,v)$ statt $g(x)\skl{u,v}$.
  \item Statt von der ersten Fundamentalform sprechen wir auch von der
    (induzierten) Metrik, die aber etwas anderes als die Metrik
    $d(\cdot,\cdot)$ eines metrischen Raumes ist.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{bogenl auf fl lem}
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^3\right)$ eine (regul\"are) Fl\"ache
  und $\gamma\in C^1(I,\Omega)$ eine Kurve. Dann
  gilt \[L(X\circ\gamma) =\int\limits_I
  \sqrt{g(\gamma(t))\skl{\gamma'(t),\gamma'(t)}}\,dt =\int\limits_I
  \Vert\gamma'(t)\Vert_{g(\gamma(t))}\,dt.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $dX$ eine Isometrie ist, folgt \[L(X\circ\gamma)
  =\int\limits_I|(X\circ\gamma)'(t)|\,dt
  =\int\limits_I|dX(\gamma(t))\skl{\gamma'(t)}|\,dt
  =\int\limits_I\sqrt{g(\gamma(t))\skl{\gamma'(t),\gamma'(t)}}\,dt.
  \qedhere\]
\end{proof}

\begin{beispiel}[Erste Fundamentalform von Graphen]
  Sei $X$ mit $X(x)=(x,u(x))$, $x\in\Omega\subset\R^2$, ein
  Graph. Dann erhalten wir $X_i(x)=(e_i,u_i(x))$ und $g_{ij}(x)
  =\delta_{ij}+u_i(x)u_j(x)$, also \[(g_{ij})_{1\le i,j\le 2} =
  \begin{pmatrix}
    1+u_1^2& u_1u_2\\
    u_1u_2&1+u_2^2
  \end{pmatrix}.\]
  Ist $\gamma\colon I\to\Omega$ eine $C^1$-Kurve mit
  $\gamma(t)=(\xi(t),\eta(t))$, so folgt \[L(X\circ\gamma)
  =\int\limits_I \sqrt{(1+u_1^2)(\xi')^2 +2u_1u_2\xi'\eta'
    +(1+u_2^2)(\eta')^2}\,dt.\] 
\end{beispiel}

\begin{remark}
  Seien $u,v\in\R^3\setminus\{0\}$ beliebig. Dann hat das von ihnen
  aufgespannte Parallelogramm den Fl\"acheninhalt
  \begin{align*}
    A=&\,|u|\cdot\underbrace{\left|v-\left\langle v,\frac
          u{|u|}\right\rangle\frac
        u{|u|}\right|}_{=\text{H\"ohe}}\umbruch\\ 
    =&\,\sqrt{\left\langle v|u|-\langle v,u\rangle \frac1{|u|}
        u,v|u|-\langle v,u\rangle \frac1{|u|}
        u\right\rangle}\umbruch\\  
    =&\,\sqrt{|v|^2|u|^2-2\langle u,v\rangle^2+\langle
      u,v\rangle^2}\umbruch\\  
    =&\,\sqrt{|v|^2|u|^2-\langle u,v\rangle^2}. 
  \end{align*}
  Damit das Fl\"achenelement nach Integration f\"ur affin lineare
  Funktionen auf rechteckigen Gebieten den f\"ur Parallelogramme
  bekannten Wert ergibt, setzen wir f\"ur $X\in
  C^1\left(\Omega,\R^3\right)$
  \begin{align*}
    dA:=&\,A(X_1,X_2)\,dx^1dx^2
    =\sqrt{|X_1|^2|X_2|^2-\langle X_1,X_2\rangle^2}\,dx\\
    =&\,\sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}\,dx =\sqrt{\det(g_{ij}(x))}\,dx. 
  \end{align*}
  Man kann zeigen, dass der damit definierte Fl\"acheninhalt f\"ur
  injektive Immersionen $X\colon\Omega\to\R^3$ mit dem
  zweidimensionalen Hausdorffma\ss{} $\mathcal H^2(\im X)$
  \"ubereinstimmt. 
\end{remark}

\begin{definition}\label{def fl}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^3$ eine Immersion. Dann definieren wir den
  Fl\"acheninhalt von $X$ als
  \[A(X):=\int\limits_\Omega\sqrt{\det(g_{ij})}=:A_g(\Omega).\] 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $X$ mit $X(x)=(x,u(x))$, $x\in\Omega$, ein Graph. Dann gilt
  $\det(g_{ij}) =\det(\delta_{ij}+u_iu_j) =1+|Du|^2
  =1+u_1^2+u_2^2$. Somit erhalten wir \[A(X) =\int\limits_\Omega
  \sqrt{1+u_1^2+u_2^2} =\int\limits_\Omega \sqrt{1+|Du|^2}.\] 
\end{beispiel}

\begin{definition}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^3$ eine $C^1$-Fl\"ache. Dann hei\ss{}t
  $\hat X\colon\hat\Omega\to\R^3$ Umparametrisierung von $X$,
  falls es einen Diffeomorphismus $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$
  mit \[\hat X=X\circ\phi\] gibt. \par Der Diffeomorphismus $\phi$
  ist i.\,a.{} nicht eindeutig bestimmt, wenn $X$ nicht bereits
  injektiv ist. Z.\,B.\ stimmen $X(t,\theta)
  =(\cos\theta,\sin\theta,t)$, $(t,\theta)\in\R^2$, und $X\circ\phi_k$
  mit $\phi_k(t,\theta):=(t,\theta+2\pi k)$ f\"ur alle $k\in\Z$
  \"uberein. \par
  Auf der Menge der parametrisierten $C^1$-Fl\"achen ist die
  Relation \[X\sim\hat X\quad :\Longleftrightarrow \hat X\text{
    ist eine Umparametrisierung von }X\] eine
  \"Aquivalenzrelation.\par F\"ur $C^k$-Fl\"achen und
  $C^k$-Diffeomorphismen verwenden wir analoge Definitionen. 
\end{definition}

\begin{theorem}[Transformationsverhalten der Metrik]
  \label{trafo metrik thm}
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^3\right)$ eine regul\"are Fl\"ache.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$ ein Diffeomorphismus,
    also $\hat X:=X\circ\phi$ eine Umparametrisierung von $X$. Dann
    gilt f\"ur die zugeh\"origen Metriken \[\hat g(x)\skl{v,w}
    =g(\phi(x))\skl{d\phi\skl v,d\phi\skl w}\] oder, jeweils
    \"aquivalent dazu, mit $G=(g_{ij})$ und
    $\phi^k_i=\fracp{\phi^k}{x^i}$ \[\hat
    G=(d\phi)^T(G\circ\phi)(d\phi)\quad\text{oder}\quad \hat
    g_{ij}(x) =\sum\limits_{k,l=1}^2
    g_{kl}\circ\phi(x)\phi^k_i(x)\phi^l_j(x).\]
  \item Ist $B\colon\R^3\to\R^3$ eine Euklidische Bewegung und $\hat
    X=B\circ X$, so gilt $\hat g=g$. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt
    \begin{align*}
      \hat g(v,w) =&\,\skl{d(X\circ\phi)\skl v,d(X\circ\phi)\skl
        w}
      =\skl{(dX)|_\phi d\phi\skl v,(dX)|_\phi d\phi\skl w}\\
      =&\,g|_\phi\skl{(d\phi)\skl v,(d\phi)\skl w}. 
      \intertext{Somit erhalten wir}
      \hat g_{ij} =&\,\hat g(e_i,e_j) =g|_\phi\skl{(d\phi)\skl
        {e_i},(d\phi)\skl {e_j}} =g|_\phi\skl{\phi_i,\phi_j}
      =\sum\limits_{k,l=1}^2 g_{kl}|_\phi\phi^k_i\phi^k_j.
    \end{align*}
    Direkt k\"onnen wir die Formel f\"ur die Metrik $\hat G$ auch
    wie folgt herleiten:
    \begin{align*}
      \hat G=&\,(d(X\circ\phi))^Td(X\circ\phi) =(dX|_\phi
      d\phi)^TdX|_\phi d\phi\\
      =&\,d\phi^T\left((dX|_\phi)^T(dX|_\phi)\right)d\phi
      =d\phi^T((dX)^T(dX))|_\phi d\phi =d\phi^T G|_\phi d\phi.
    \end{align*}
  \item Wir stellen $B$ in der Form $Bx=Sx+a$ mit $S\in O(3)$ und
    $a\in\R^3$ dar. Dann gilt $dB(x)\skl y=Sy$. Also folgt 
    \begin{align*}
      \hat g(x)\skl{v,w} =&\,\skl{d(B\circ X)(x)\skl v,d(B\circ
        X)(x)\skl w}\\ =&\,\skl{SdX(x)\skl v,SdX(X)\skl w}
      =\skl{dX(x)\skl v,dX(x)\skl w}\\ =&\,g(x)\skl{v,w}.\qedhere
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

Nun wollen wir herleiten, dass Bogenl\"ange, Winkel und
Fl\"acheninhalt von der Wahl der speziellen Parametrisierung
unabh\"angig sind. Beachte, dass wir dazu lediglich das
Transformationsverhalten der Metrik und nicht die Abbildung $X$
benutzen werden.

\begin{corollary}\label{L winkl fl trafo cor}
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^3\right)$ eine regul\"are Fl\"ache. Sei
  $\phi\in C^1\left(\hat\Omega,\Omega\right)$ ein Diffeomorphismus und
  $\hat X=X\circ\phi$ eine Umparametrisierung von $X$. Wir bezeichnen
  die induzierten Metriken von $X$ und $\hat X$ mit $g$ bzw.{} $\hat
  g$. Dann gelten die folgenden Beziehungen f\"ur L\"ange, Winkel und
  Fl\"acheninhalt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $L_g(\phi\circ\gamma)=L_{\hat g}(\gamma)$ f\"ur alle
    $C^1$-Kurven $\gamma\colon I\to\hat\Omega$.
  \item $\sphericalangle_{g(\phi(x))}(d\phi(x)\skl v,d\phi(x)\skl w)
    =\sphericalangle_{\hat g(x)}(v,w)$ f\"ur alle $x\in\hat\Omega$
    und alle $v,w\in\R^2\setminus\{0\}$. 
  \item $A_g(\phi(E)) =A_{\hat g}(E)$ f\"ur alle messbaren
    Teilmengen $E\subset\hat\Omega$. 
  \end{enumerate}
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{trafo metrik thm} gilt $g(\phi(x))
  \skl{d\phi(x)\skl v,d\phi(x)\skl w} =\hat g\skl{v,w}$. Somit
  ist \[\Vert d\phi(x)\skl v\Vert_{g(\phi(x))} =\Vert v\Vert_{\hat
    g(x)} \quad\text{und}\quad
  \sphericalangle_{g(\phi(x))}(d\phi(x)\skl v,d\phi(x)\skl w)
  =\sphericalangle_{\hat g(x)}(v,w).\] Nach Kettenregel gilt
  $(\phi\circ\gamma)'(t) =d\phi|_{\gamma(t)}\gamma'(t)$. Somit
  erhalten wir \[L_g(\phi\circ\gamma) =\int\limits_I\Vert
  d\phi|_{\gamma(t)}\gamma'(t)\Vert_{g(\phi(\gamma(t)))}\,dt
  =\int\limits_I \Vert\gamma'(t)\Vert_{\hat g(\gamma(t))}\,dt
  =L_{\hat g}(\gamma).\] Schlie\ss{}lich erhalten wir aus dem
  Transformationsverhalten der Metrik, der Transformationsformel
  f\"ur Integrale und der Determinantenmultiplikationsformel
  \begin{align*}
    A_g(\phi(E)) =&\,\int\limits_{\phi(E)}\sqrt{\det G} =\int\limits_E
    \sqrt{\det G\circ\phi}\cdot|\det d\phi|\\
    =&\,\int\limits_E \sqrt{\det((d\phi)^T(G\circ\phi)d\phi)}
    =A_{\hat g}(E).\qedhere    
  \end{align*}
\end{proof}

Es gibt folgende spezielle Umparametrisierungen:
\begin{definition}
  Eine Fl\"ache $X\in C^1\left(\Omega,\R^3\right)$ hei\ss{}t
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item l\"angentreu parametrisiert,
    falls \[L(X\circ\gamma)=L_{\R^2}(\gamma)\] f\"ur alle Kurven
    $\gamma\colon I\to\Omega$ gilt. 
  \item fl\"achentreu parametrisiert, falls \[A(X|_V) =A_{\R^2}(V)
    =|V|\] f\"ur alle messbaren Mengen $V\subset\Omega$ gilt. 
  \item winkeltreu oder konform parametrisiert,
    falls \[\sphericalangle(dX(x)\skl v,dX(x)\skl w)
    =\sphericalangle_{\R^2}(v,w)\] f\"ur alle $x\in\Omega$ und alle
    $v,w\in\R^2\setminus\{0\}$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Im allgemeinen gibt es zu einer Abbildung
    $X\colon\Omega\to\R^3$ keine l\"angentreue Umparametrisierung. Ein
    Gegenbeispiel ist jede Parametrisierung einer offenen Teilmenge
    von $\S^2$. Dies ben\"otigt jedoch etwas Theorie (Theorema
    egregium).
  \item Konforme Parametrisierungen gibt es f\"ur Fl\"achen $X\colon
    \Omega\to\R^3$ mit $\Omega\subset\R^2$, im allgemeinen aber nicht
    f\"ur h\"oherdimensionale Hyperfl\"achen. Die Existenz einer
    solchen Parametrisierung erfordert jedoch Kenntnisse \"uber
    partielle Differentialgleichungen.
  \item Fl\"achentreue Parametrisierungen kann man durch das L\"osen
    von gew\"ohnlichen Differentialgleichungen finden. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^3\right)$ eine F\"ache mit Metrik
  $G=(g_{ij})_{1\le i,j\le 2}$. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X$ ist genau dann l\"angentreu, wenn $G=(\delta_{ij})$ gilt. 
  \item $X$ ist genau dann fl\"achentreu, wenn $\det G=1$ gilt. 
  \item $X$ ist genau dann winkeltreu oder konform parametrisiert,
    wenn es eine Funktion $\lambda\colon\Omega\to\R_+$ mit
    $G=\lambda^2(\delta_{ij})$ gibt.
  \item Insbesondere ist also $X$ genau dann l\"angentreu, wenn $X$
    fl\"achentreu und winkeltreu ist. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \Rueckrichtung Gilt $g_{ij}=\delta_{ij}$, so so erhalten wir
    aus Lemma \ref{bogenl auf fl lem} $L(X\circ\gamma)
    =L_g(\gamma)=L_{\R^2}(\gamma)$. \par
    \Hinrichtung Sei $X$ l\"angentreu. Seien $x_0\in\Omega$ und
    $v\in\R^2$ beliebig. Betrachte die Kurve $\gamma(t)=x_0+tv$. Da
    $X$ l\"angentreu ist, erhalten wir
    \begin{align*}
      \sqrt{g(x_0)\skl{v,v}} =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
      \frac1\epsilon\int\limits_0^\epsilon
      \sqrt{g(x_0+tv)\skl{v,v}}\,dt =\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
      \frac1\epsilon L_g\left(\gamma|_{[0,\epsilon]}\right)\\
      =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0} \frac1\epsilon
      L_{\R^2}\left(\gamma|_{[0,\epsilon]}\right) =|v|.
    \end{align*}
    Mit Hilfe der Polarisationsformel erhalten wir
    $g_{ij}=\delta_{ij}$. 
  \item \Rueckrichtung Dies folgt direkt aus Definition \ref{def fl},
    da $\det(g_{ij})=1$ gilt. \par
    \Hinrichtung Sei wiederum $x_0\in\Omega$ beliebig und
    $B_\epsilon(x_0) =\left\{x\in\R^2\colon|x-x_0|<\epsilon\right\}$
    der \"ubliche Euklidische Ball. Dann gilt
    \begin{align*}
      \sqrt{\det G(x_0)} =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
      \frac1{\pi\epsilon^2} \int\limits_{B_\epsilon(x_0)} \sqrt{\det
        G} =\lim\limits_{\epsilon\searrow0} \frac1{\pi\epsilon^2}
      A\left(X|_{B_\epsilon(x_0)}\right)\\
      =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0} \frac1{\pi\epsilon^2}
      A_{\R^2}(B_\epsilon(x_0)) =1.
    \end{align*}
  \item \Rueckrichtung Dies folgt nach Bemerkung \ref{metrik bem}
    \eqref{winkel fml}, da sich die zus\"atzlichen Faktoren $\lambda$
    gerade k\"urzen. \par
    \Hinrichtung Wir benutzen nochmals Bemerkung \ref{metrik bem}
    \eqref{winkel fml} und erhalten
    \begin{align*}
      g_{12} =&\,g(e_1,e_2) =\Vert e_1\Vert_g\cdot\Vert e_2\Vert_g
      \cdot \cos\sphericalangle(dX\skl{e_1}, dX\skl{e_2})\\ =&\,\Vert
      e_1\Vert_g\cdot\Vert e_2\Vert_g \cdot
      \cos\sphericalangle_{\R^2}(e_1,e_2) =0
      \intertext{sowie}
      g_{11}-g_{22} =&\,g(e_1+e_2,e_1-e_2) =\Vert e_1+e_2\Vert_g \cdot
      \Vert e_1-e_2\Vert_g \cdot
      \cos\sphericalangle_g(e_1+e_2,e_1-e_2)\\
      =&\,\Vert e_1+e_2\Vert_g\cdot \Vert e_1-e_2\Vert_t
      \cdot\cos\sphericalangle_{\R^2}(e_1+e_2,e_1-e_2)=0.
    \end{align*}
    Mit $\lambda=\sqrt{g_{11}} =\sqrt{g_{22}}
    =\sqrt{\frac{g_{11}+g_{22}}2}$ erhalten wir also die gew\"unschte
    Darstellung. 
  \item Ist klar.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}\label{spez param char cor}
  Sei $X\in C^1\left(\Omega,\R^3\right)$. Wir wollen angeben, welche
  Gleichung ein Diffeomorphismus $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$
  erf\"ullen muss, damit wir eine spezielle Parametrisierung f\"ur
  $\hat X$ erhalten:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\hat G=(d\phi)^T(G\circ\phi)d\phi=1$ f\"ur eine l\"angentreue
    Parametrisierung,
  \item $\det\hat G =(\det G)\circ\phi\cdot(\det d\phi)^2=1$ f\"ur
    eine fl\"achentreue Parametrisierung und 
  \item $\hat G=(d\phi)^T(G\circ\phi)d\phi\in\R_+\cdot\eins$ f\"ur eine
    winkeltreue Parametrisierung. 
  \end{enumerate}
\end{corollary}

\begin{theorem}[Existenz fl\"achentreuer Parameter]
  Sei $X\in C^\infty\left(\Omega,\R^3\right)$ eine regul\"are Fl\"ache
  und $x_0\in\Omega$. Dann gibt es eine Umgebung $U$ von $x_0$ und
  einen Diffeomorphismus $\phi\colon U\to\phi(U)\subset\Omega$ mit
  $\phi(x_0)=x_0$, so dass $X\circ\phi\colon U\to\R^3$ fl\"achentreu
  parametrisiert ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nehme ohne Einschr\"ankung $x_0=0$ an. Wir machen f\"ur $\phi$ den
  Ansatz \[\phi\left(x^1,x^2\right)=\left(x^1,\psi\left(x^1,x^2\right)\right)
  \quad\text{mit }\psi(0,0)=0.\] Es folgt $d\phi=
  \begin{pmatrix}
    1&0\\\psi_1&\psi_2
  \end{pmatrix}$. Wir haben in Korollar \ref{spez param char cor}
  gesehen, dass $X\circ\phi$ genau dann fl\"achentreu ist, wenn
  $\det(G\circ\phi)\cdot(\det d\phi)^2=1$ gilt. Es gen\"ugt also, eine
  glatte L\"osung $\psi$ des Anfangswertproblems \[\fracp\psi{x^2}(x)
  =\frac1{\sqrt{\det G(x^1,\psi(x^1,x^2))}}\quad\text{mit}
  \quad\psi(x^1,0)=0\] zu finden. Eine solche L\"osung existiert nach
  Picard-Lindel\"of f\"ur ein $\epsilon>0$ in $B_\epsilon(0)$ und
  h\"angt glatt von $x\in B_\epsilon(0)$ ab. (Dieses Argument
  funktioniert auch f\"ur $X\in C^2$.)
\end{proof}

\Section{Zweite Fundamentalform}
\Subsection{Zweite Fundamentalform und Weingartenabbildung}

Wir weisen auch in diesem Kapitel darauf hin, wenn sich Aussagen nicht
direkt auf Hyperfl\"achen im $\R^{n+1}$ \"ubertragen lassen. 

\begin{definition}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^3\right)$ regul\"ar mit einer
  Einheitsnormalen $\nu\colon\Omega\to\S^2$ l\"angs $X$. Dann
  hei\ss{}t $A$ mit \[A(x)\skl{v,w} :=-\left\langle d^2X(x)\skl{v,w},
    \nu\right\rangle\] f\"ur $x\in\Omega$ und $v,w\in\R^2$ zweite
  Fundamentalform von $X$ bez\"uglich $\nu$. Wie die Metrik ist auch
  die zweite Fundamentalform $A\in C^0\left(\Omega,L^2
    \left(\R^2,\R^2;\R\right)\right)$ eine stetige Abbildung von
  $\Omega$ in den Raum der bilinearen Abbildungen
  $\R^2\times\R^2\to\R$.\par
  Bez\"uglich der Standardbasis des $\R^2$ hat $A=(h_{ij})_{1\le
    i,j\le 2}$ die Koeffizienten \[h_{ij}(x)
  =-\skl{X_{,ij}(x),\nu(x)}\] f\"ur $1\le i,j\le 2$, wobei $X_{,ij}:=
  \fracp{X}{x^ix^j}$ mit dem Komma darauf hinweist, dass es sich um
  partielle Ableitungen handelt. (Solange noch keine
  Verwechslungsgefahr mit kovarianten Ableitungen besteht, k\"onnten
  wir auch $X_{ij}$ schreiben.)
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $X(x)=(x,u(x))$, $x\in\Omega$ ein Graph. Dann gilt \[\nu
  =\frac{(Du,-1)}{\sqrt{1+|Du|^2}}\quad\text{und}\quad g_{ij}
  =\delta_{ij}+u_iu_j.\] Die zweite Fundamentalform ist wegen
  $X_{,ij}=(0,u_{,ij})$ durch $A=(h_{ij})$ mit \[h_{ij}
  =-\skl{X_{,ij},\nu} =\frac{u_{,ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}\] gegeben.
\end{beispiel}

Das folgende Lemma ist eigentlich ein Resultat der Linearen Algebra.
\begin{lemma}
  Sei $g(\cdot,\cdot)$ ein Skalarprodukt und $B(\cdot,\cdot)$ mit
  Matrixdarstellung $(b_{ij})$ eine Bilinearform auf $\R^n$. Dann gibt
  es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $S\colon\R^n\to\R^n$
  mit \[B(v,w)=g(v,Sw)\quad\text{f\"ur alle }v,w\in\R^n.\] Ist $B$
  symmetrisch, so ist $S$ bez\"uglich $g(\cdot,\cdot)$
  selbstadjungiert, \dh es gilt \[g(Sv,w)=g(v,Sw)\quad\text{f\"ur alle
  } v,w\in\R^n.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\left(g^{ij}\right)$ die inverse Matrix zu $(g_{ij})$, \dh
  gelte $\sum\limits_{j=1}^ng^{ij}g_{jk} =\delta^i_k$ f\"ur alle $1\le
  i,k\le n$. Wir definieren $S=\left(S^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$
  durch $S^j_l:=\sum\limits_{k=1}^n g^{jk}b_{kl}$ f\"ur
  $j,l=1,\ldots,n$. \par Wir rechnen die behauptete Gleichheit f\"ur
  Elemente der Standardbasis nach. Es gilt $Se_l=\sum\limits_{j=1}^n
  S^j_le_j$ und daher folgt \[g(e_i,Se_l) =\sum\limits_{j=1}^n
  g_{ij}S^j_l =\sum\limits_{j,k=1}^n g_{ij}g^{jk}b_{kl}
  =\sum\limits_{k=1}^n \delta_i^kb_{kl} =b_{il}.\] Die Eindeutigkeit
  von $S$ ist einfach einzusehen. Ist $A$ symmetrisch, so folgt
  direkt, dass $S$ selbstadjungiert ist.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^3\right)$ eine Fl\"ache mit Normale
  $\nu$ l\"angs $X$. Sei $A=(h_{ij})$ die zweite Fundamentalform von
  $X$. Dann hei\ss{}t die eindeutig bestimmte Abbildung $S(x)\colon
  \R^2\to\R^2$ mit \[A(x)\skl{v,w} =g(x)\skl{v,Sw}\quad\text{f\"ur
    alle }v,w\in\R^2\] Weingartenabbildung von $X$. Bez\"uglich der
  Standardbasis hat sie die Matrixdarstellung \[S(x)e_k
  =\sum\limits_{i=1}^2 S^i_k(x)e_i\quad\text{mit}\quad S^i_k(x)
  =\sum\limits_{j=1}^2 g^{ij}(x)h_{jk}(x).\] Die Weingartenabbildung
  $S(x)$ ist f\"ur alle $x\in\Omega$ bez\"uglich $g(x)$
  selbstadjungiert.
\end{definition}

\begin{remark}
  Im Allgemeinen ist $\{e_1,e_2\}$ keine Orthogonalbasis bez\"uglich
  der Metrik $g(x)$ und die Matrix von $S$ bez\"uglich der
  Standardbasis ist nicht symmetrisch. \par
  F\"ur die Weingartenabbildung $S$ ist die Matrixschreibweise
  $S=\left(h^i_j\right)_{1\le i,j\le2}$ mit $h^i_j=\sum\limits_{k=1}^2
  g^{ik} h_{kj}$ \"ublich. Man sagt, ein Index sei mit Hilfe der
  Metrik gehoben. Auch bei anderen Gr\"o\ss{}en (genauer: Tensoren)
  kann man Indices heben und senken. Beispiele hierf\"ur
  sind \[\sum\limits_{k=1}^2 R_{ijkl}g^{km} =R_{ij}{}^m{}_l\quad
  \text{oder} \quad \sum\limits_{m=1}^2 R_{ij}{}^m{}_lg_{mk}
  =R_{ijkl}.\] \par Weiterhin ist es in der Differentialgeometrie (wie
  auch in der allgemeinen Relativit\"atstheorie) \"ublich, die
  Einsteinsche Summenkonvention zu verwenden. Dabei wird \"uber
  doppelt auftretende Indices \"uber alle m\"oglichen Werte
  summiert. Weiterhin muss ein Index \glqq oben\grqq{} und ein Index
  \glqq unten\grqq{} stehen. Die Formel $h^i_j=g^{ik}h_{kj}$ bedeutet
  also in der bisherigen Summenschreibweise $h^i_j
  =\sum\limits_{k=1}^2 g^{ik} h_{kj}$.
\end{remark}

\begin{theorem}[Weingartengleichung]
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^3\right)$ regul\"ar mit zweiter
  Fundamentalform $A=(h_{ij})$ und Weingartenabbildung
  $S=\left(h^i_j\right)$ bez\"uglich der Normalen $\nu$. Dann gilt
  \[D\nu =dX\cdot S \quad\text{und}\quad A(v,w) =\skl{D\nu\skl
    v,dX\skl w}\] bzw.{} in Koordinaten 
  \[\nu_i\equiv\fracp\nu{x^i} =h^k_iX_k \quad\text{und}\quad h_{ij}
  =\skl{\nu_i,X_j} =\nu_i^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j.\]
\end{theorem}
Dabei haben wir die Komponenten der Vektoren $\nu$ und $X$, beide im
$\R^3$, mit griechischen Indices bezeichnet und die Euklidische Metrik
des $\R^3$ mit $\delta_{\alpha\beta}$. Die Einsteinsche
Summenkonvention erfordert hier also eine Summation \"uber mehrfache
griechische Indices von $1$ bis $3$, w\"ahrend mehrfache lateinische
Indices von $1$ bis $2$ summiert werden. Es ist \"ublich,
lateinische Indices f\"ur Gr\"o\ss{}en im Definitionsgebiet und
griechische Indices f\"ur Gr\"o\ss{}en im Zielraum zu
verwenden. Ausgeschrieben mit Summenzeichen bedeutet also die letzte
Gleichheit \[h_{ij} =\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^3 \nu_i^\alpha
\delta_{\alpha\beta} X^\beta_j.\] In dieser Notation wird $G=(DX)^TDX$
zu \[g_{ij}=X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j\] und aus
$0=\skl{dX\skl V,\nu}$ f\"ur alle $V\in\R^2$ wird \[0=\nu^\alpha
\delta_{\alpha\beta} X^\beta_iV^i.\] Diese Formel gilt auch ohne
$V^i$. Die Definition der zweiten Fundamentalform wird
zu \[h_{ij}:=-X^\alpha_{,ij} \delta_{\alpha\beta} \nu^\beta\] und die
Transformationsformel f\"ur die Metrik zu $\hat X=X\circ\phi$ wird
zu \[\hat g_{ij}=g_{kl}\phi^k_i\phi^l_j.\] \par
Beide Schreibweisen haben Vorteile; so erleichtern weniger Indices die
\"Ubersicht, wird es jedoch komplizierter, gibt es in Indexnotation
weniger m\"ogliche Missverst\"andnisse und die Indexnotation ist bei
Rechnungen meist einfacher zu handhaben. Es ist ratsam, beide
Notationen zu beherrschen.
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $\skl{\nu,\nu}=1$ folgt $0=\fracp{}{x^i}\skl{\nu,\nu}
  =2\langle\nu,\nu_i\rangle$. Es gilt
  \begin{align*}
    \skl{\nu_j,X_k} =&\,\fracp{}{x^j}\underbrace{\skl{\nu,X_k}}_{=0}
    -\skl{\nu,X_{,jk}} =h_{jk} =A(e_j,e_k)\\
    =&\,g(Se_j,e_k) =\skl{dX\cdot Se_j,dX e_k}.
  \end{align*}
  Aus der ersten Gleichung folgt $\skl{D\nu\skl v,\nu}=0$, aus der
  zweiten $\skl{D\nu\skl v,dX\skl w} =\skl{dX\cdot S\skl v,dX\skl w}$
  f\"ur alle $v,w\in\R^2$. Die erste Behauptung folgt, da die erste
  dieser beiden Gleichungen gerade das Skalarprodukt der behaupteten
  Gleichheit mit $\nu$ und die zweite das Skalarprodukt mit $dX\skl w$
  liefert, die Gleichung also beim Test mit einer \ONB stimmt. \par
  Zur zweiten Behauptung: Es gilt aufgrund der ersten
  Behauptung \[A(v,w) =g(Sv,w) =\skl{dX\cdot S v,dX\skl w}
  =\skl{D\nu\skl v,dX\skl w}.\] Daraus liest man auch direkt die
  Formeln in Koordinaten ab.\par Wir leiten sie noch einmal
  unabh\"angig davon in Koordinatenschreibweise her: Es gilt
  $1=\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta$. Differenzieren nach
  $x^i$ liefert $0=2\nu^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta$. Jeder
  Vektor in $\R^3$ l\"asst sich in der Form $a^kX_k+b\nu$
  darstellen. Also gibt es Funktionen $a^k_i$ und $b_i$ mit
  $\nu_i=a^k_iX_k +b_i\nu$. Wir setzen dies in die obige Gleichung ein
  und erhalten $0=\nu^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta
  =a^k_iX_k^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta
  +b_i\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta =0+b_i$.  Also gilt
  $\nu_i=a^k_iX_k$. Wir differenzieren $0=\nu^\alpha
  \delta_{\alpha\beta} X^\alpha_j$, $j=1,2$, setzen die Gleichung
  f\"ur $\nu_i$ ein und erhalten \[0=\nu_i^\alpha\delta_{\alpha\beta}
  X^\beta_j +\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta} X^\beta_{,ji}
  =a^k_iX_k^\alpha \delta_{\alpha\beta} X^\beta_j -h_{ij} =a^k_i
  g_{kj} -h_{ij}.\] Wir multiplizieren dies mit $g^{jl}$ und erhalten
  $a^l_i =a^k_i\delta_k^l =a^k_ig_{kj}g^{jl} =h_{ij}g^{jl}
  =h_i^l$. Somit gilt $\nu_i=h_i^lX_l$ oder
  $\nu^\alpha_i=h_i^lX^\alpha_l$.\par Weiterhin
  gilt \[\nu^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j
  =h^k_iX^\alpha_k\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j =h_{il}g^{lk}g_{kj}
  =h_{il}\delta^l_j =h_{ij}.\] 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^2$ zusammenh\"angend. Sei $X\in
  C^2\left(\Omega,\R^3\right)$ mit Normale $\nu$ und zweiter
  Fundamentalform $A$. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{ebene thm i} $X(\Omega)$ liegt in einer Ebene,
  \item\label{ebene thm ii} $A\equiv0$ und
  \item\label{ebene thm iii} $\nu$ ist konstant.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt 
  \glqq\eqref{ebene thm i}$\Longrightarrow$\eqref{ebene thm ii}\grqq:
  Liegt $X(\Omega)$ in einer affinen Ebene $p+E$, so bilden $X_1,X_2$
  eine Basis von $E$ und $\nu$ ist ein Normalenvektor von $E$. Da auch
  $X_{,ij}$ in $E$ liegt, folgt $h_{ij}=-\skl{X_{,ij},\nu}=0$. \par
  \glqq\eqref{ebene thm ii}$\Longrightarrow$\eqref{ebene thm iii}\grqq:
  Aus $A=(h_{ij})\equiv0$ folgt $S=\left(h^i_j\right)=0$. Somit ist
  $D\nu =DX\cdot S=0$ aufgrund der Weingartengleichung. Da $\Omega$
  zusammenh\"angend ist, ist $\nu$ konstant. \par
  \glqq\eqref{ebene thm iii}$\Longrightarrow$\eqref{ebene thm i}\grqq:
  Ist $\nu$ konstant, so folgt $D\skl{X,\nu} =\skl{DX,\nu}
  +\skl{X,D\nu} =0$. Somit ist $\skl{X,\nu}$ konstant. Da $\nu$
  konstant ist, besagt dies, dass $X(x)$ in einer Ebene liegt.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^2$ offen und zusammenh\"angend. Sei $X\in
  C^2\left(\Omega,\R^3\right)$ und $R>0$. Dann sind die folgenden
  beiden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{sph thm i} $X(\Omega)$ liegt in einer Sp\"are vom Radius
    $R$ und
  \item\label{sph thm ii} $A=\pm\frac1RG$ bzw.{} $S=\pm\frac1R\eins$
    oder, in Koordinaten, $h_{ij}=\pm\frac1R g_{ij}$ bzw.{} $h^i_j
    =\pm\frac1R\delta^i_j$.
  \end{enumerate}
  Weiterhin ist die Existenz eines $p\in\R^3$, so dass in jedem Punkt
  $X-p$ ein Vielfaches von $\nu$ ist, \"aquivalent zur Tatsache, dass
  $X(\Omega)$ in einer Sp\"are von nicht spezifiziertem Radius um $p$
  liegt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \glqq\eqref{sph thm i}$\Longrightarrow$\eqref{sph thm
    ii}\grqq: Sei $m\in\R^3$ beliebig. Definiere
  $f(x):=\frac12|X(x)-m|^2$. Dann gilt \[f_i
  =\skl{X-m,X_i}\quad\text{und}\quad f_{,ij}=\skl{X-m,X_{,ij}}
  +g_{ij}.\] Sei nun $m$ der Mittelpunkt der Sph\"are und $X(\Omega)$
  in der Sph\"are enthalten. Dann ist $f$ konstant. Wir schlie\ss{}en
  also, dass $X-m\perp\im dX$ gilt. Somit ist $X-m$ ein Vielfaches von
  $\nu$. (Dies zeigt die Richtung \glqq$\Longleftarrow$\grqq{} f\"ur
  die letzte Behauptung.) Da die Sph\"are den Radius $R$ hat, gilt
  $|X-m|=R$ und wegen $|\nu|=1$ folgt $X-m=\pm R\nu$. Somit erhalten
  wir \[0=f_{,ij} =\skl{\pm R\nu,X_{,ij}} +g_{ij} =\mp Rh_{ij}
  +g_{ij}.\] \par
  \glqq\eqref{sph thm ii}$\Longrightarrow$\eqref{sph thm i}\grqq:
  Setze $\rho:=X\pm R\nu$. Dann folgt nach Voraussetzung mit Hilfe der
  Weingartengleichung \[\rho_j=X_j\pm R\nu_j =X_j\pm R h_j^kX_k
  =X_j\pm R\left(\pm\frac1R\delta^k_j\right)X_k =0.\] Also ist
  $\rho\in\R^3$ konstant und aus $X=\rho\mp R\nu$ folgt, dass $\im X$
  in einer Sph\"are vom Radius $R$ um $\rho$ enthalten ist. \par
  \Rueckrichtung Siehe oben.\par
  \Hinrichtung Gelte $X-p=r(x)\nu$. Sei ohne Einschr\"ankung
  $p=0$. Setze $f:=|X-r_0\nu|^2$ f\"ur $r_0:=r(q)$ f\"ur ein festes
  $q\in\Omega$. Es gilt \[f_i =2\langle X_i-r_0\nu_i,X-r_0\nu\rangle
  =2\skl{X_i-r_0h_i^kX_k, (r(x)-r_0)\nu} =0\] f\"ur
  $x\in\Omega$. Somit ist $f\equiv 0$ und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{theorem}[Transformationsverhalten der zweiten Fundamentalform] 
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^3\right)$ eine F\"ache mit zweiter
  Fundamentalform $A$ (bez\"uglich der Normalen $\nu$).
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$ ein
    $C^2$-Diffeomorphismus und $\hat X:=X\circ\phi$, so gilt f\"ur
    die zweite Fundamentalform $\hat A=\left(\hat h_{ij}\right)$ von
    $\hat X$ bez\"uglich $\hat\nu=\nu\circ\phi$
    \[\hat A(v,w) =A|_\phi(d\phi\skl v,d\phi\skl w)
    \quad\text{bzw.}\quad \hat h_{ij}=h_{kl}\phi^k_i\phi^l_j\] und
    f\"ur die Weingartenabbildung \[\hat S=(d\phi)^{-1}S|_\phi
    d\phi\quad\text{bzw.}\quad \hat h^i_j
    =(\phi^{-1})^i_kh^k_l\phi^l_j.\] 
  \item Sei $\hat X=QX+a$ mit $Q\in O(3)$ und $a\in\R^3$ die Fl\"ache
    verkn\"upft mit einer Euklidischen Bewegung. Dann gilt $\hat A=A$
    und $\hat S=S$ bez\"uglich der Normalen $\hat\nu=Q\nu$. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren den Beweis in Koordinaten.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nach Ketten- und Produktregel erhalten wir $\hat
    X_i=X_k\phi^k_i$ und \[\hat X_{,ij}=X_{,kl}\phi^k_i\phi^l_j
    +X_k\phi^k_{,ij}.\] Die Definition der zweiten Fundamentalform
    liefert \[\hat h_{ij} =-\left\langle\hat X_{,ij}, \hat\nu
    \right\rangle =-\phi^k_i\phi^l_j \skl{X_{,kl},\nu}
    =h_{kl}\phi^k_i\phi^l_j.\] Aus $\hat g_{ij} =g_{kl}
    \phi^k_i\phi^l_j$ erhalten wir $\hat g^{ij} =g^{kl}
    (\phi^{-1})^i_k (\phi^{-1})^j_l$. Somit folgt \[\hat h^i_j =\hat
    g^{ik} \hat h_{kj} =(\phi^{-1})^i_r g^{rs}(\phi^{-1})^k_s\cdot
    \phi^a_k h_{ab}\phi^b_j =(\phi^{-1})^i_r g^{rs} h_{sb}\phi^b_j
    =(\phi^{-1})^i_r h^r_b\phi^b_j.\]
  \item Es gilt $\hat X_{,ij}=QX_{,ij}$. Wir erhalten \[\hat h_{ij}
    =-\left\langle\hat X_{,ij},\hat\nu\right\rangle
    =-\skl{QX_{,ij},Q\nu} =-\skl{X_{,ij},\nu} =h_{ij}.\] Da wir
    in Theorem \ref{trafo metrik thm} bereits gesehen haben, dass
    $\hat g_{ij}=g_{ij}$ gilt, erhalten wir $\hat h^i_j=\hat
    g^{ik}\hat h_{kj} =g^{ik}h_{kj} =h^i_j$.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\Subsection{Hauptkr\"ummungen und Kr\"ummungsfunktionen}

\begin{definition}
  Seien $g$, $B$ symmetrische Bilinearformen auf $\R^n$. Dann
  hei\ss{}t $v\in\R^n\setminus\{0\}$ Eigenvektor von $B$ bez\"uglich
  $g$ zum Eigenwert $\lambda\in\R$, falls \[\lambda g(\cdot,v)=B(\cdot,
  v)\] oder, \"aquivalent dazu, $\lambda g(w,v)=B(w,v)$ f\"ur alle
  $w\in\R^n$ gilt.  
\end{definition}

\begin{definition}[Hauptkr\"ummungen]
  Sei $X$ eine $C^2$-Fl\"ache mit Metrik $g$ und zweiter
  Fundamentalform. Dann hei\ss{}en die Eigenwerte der zweiten
  Fundamentalform $A(x)$ bez\"uglich $g(x)$ Hauptkr\"ummungen von $X$
  in $x$. \par In Koordinaten ist $\lambda$ eine Hauptkr\"ummung, wenn
  es ein $\xi\neq0$ mit \[\lambda g_{ij}\xi^j=h_{ij}\xi^j\] gibt.
\end{definition}

\begin{remark}
  Die Hauptkr\"ummungen sind auf den \"Aquivalenzklassen von
  $C^2$-Fl\"achen mit $C^2$-Umparametrisierungen wohldefiniert: Sei
  $\hat X=X\circ\phi$. Aus $\lambda g_{ij}\xi^j =h_{ij}\xi^j$ folgt
  mit $\hat\xi^k:=(\phi^{-1})^k_i\xi^i$ n\"amlich \[\lambda\hat
  g_{ij}\hat\xi^j =\lambda\phi^a_i g_{ab}\phi^b_j(\phi^{-1})^j_k\xi^k
  =\lambda \phi^a_ig_{ab}\xi^b =\phi^a_ih_{ab}\xi^b
  =\phi^a_ih_{ab}\phi^b_j(\phi^{-1})^j_k\xi^k =\hat h_{ij}\hat\xi^j,\]
  da die Metrik und die zweite Fundamentalform dasselbe
  Transformationsverhalten haben. 
\end{remark}

\begin{lemma}\label{hauptkr exist lem}
  Sei $X$ eine $C^2$-Fl\"ache mit Metrik $g$ und zweiter
  Fundamentalform $A$. Dann besitzt $A$ bez\"uglich $g$ zwei
  bez\"uglich $g$ orthogonale Eigenvektoren und zwei zugeh\"orige
  (nicht notwendigerweise verschiedene) Hauptkr\"ummungen.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wollen mit $A$ und $g$ auch die bez\"uglich der Standardbasis
  zugeh\"origen Matrizen bezeichnen. Da $g$ und $g^{-1}$ symmetrisch
  und positiv definit sind, gibt es Quadratwurzeln $\sqrt g$ und
  $\sqrt{g^{-1}}$. (Versuchen Sie nicht, das in konsistenter Weise mit
  oberen und unteren Indices aufzuschreiben.) Da $\sqrt{g^{-1}} A
  \sqrt{g^{-1}}$ symmetrisch ist, gibt es zwei bez\"uglich des
  Standardskalarproduktes orthogonale
  Eigenvektoren. Sei \[\sqrt{g^{-1}}A\sqrt{g^{-1}} \hat\xi
  =\lambda\hat\xi.\] Setze $\xi:=\sqrt{g^{-1}}\hat\xi$. Dann gilt
  $\hat\xi=\sqrt g\xi$. Es folgt \[A\xi =\lambda\sqrt g\sqrt g\xi
  =\lambda g\xi.\] Mit $\hat\zeta=\sqrt g\zeta$ erhalten
  wir \[\left\langle\hat\xi,\hat\zeta\right\rangle_{\R^2}
  =\skl{\xi,\zeta}_g.\] Somit folgt die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Elementarsymmetrische Funktionen der Hauptkr\"ummungen $(\lambda_i)$
  sind wohldefiniert. Wir setzen
  \begin{align*}
    H:=&\,S_1((\lambda_i)_{1\le i\le 2}) =\lambda_1+\lambda_2
    =\tr\left(\sqrt{g^{-1}}A\sqrt{g^{-1}}\right)
    =\tr\left(g^{-1}A\right) =h^i_i \intertext{und}
    K:=&\,S_2((\lambda_i)) =\lambda_1\cdot\lambda_2
    =\det\left(\sqrt{g^{-1}}A\sqrt{g^{-1}}\right)\\
    =&\,\det A\cdot\left(\det\sqrt{g^{-1}}\right)^2 =\det
    A\cdot\det\left(g^{-1}\right) =\frac{\det h_{ij}}{\det g_{ij}}.
  \end{align*}
  $H$ hei\ss{}t mittlere Kr\"ummung, $K$ Gau\ss{}kr\"ummung. \par
\end{definition}

\begin{remark}
  W\"ahlt man $-\nu$ statt $\nu$ als Normale, so \"andert sich
  das Vorzeichen von $h_{ij}$ und $H$, das von $K$ bleibt
  unver\"andert. 
\end{remark}

\begin{beispiel}[Hauptkr\"ummungen von Graphen]
  F\"ur Graphen gelten $h_{ij}=\frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}$ und
  $g_{ij}=\delta_{ij}+u_iu_j$. Wir erhalten 
  \begin{align*}
    g^{ij}=&\,\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2},\\
    H=&\,h^i_i =g^{ij}h_{ij}
    =\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}}\left(\delta^{ij}u_{ij}
      -\frac{u_{ij}u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)\\
    =&\,\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}} \left(\Delta
      u-\frac{D^2u\skl{Du,Du}}{1+|Du|^2}\right) \intertext{und nach
      etwa zwei Zwischenschritten} =&\,\divergenz\left(\frac{\nabla
        u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}\right) \intertext{mit}
    \divergenz(\xi)\equiv&\,\divergenz\left(\left(\xi^i\right)\right)
    :=\sum\limits_{i=1}^2 \fracp{\xi^i}{x^i} \quad\text{und}\quad
    \nabla u =\left(u^i\right)_{1\le i\le 2}
    =\left(\delta^{ij}u_j\right)_{1\le i\le 2}.
  \end{align*}
  F\"ur die Gau\ss{}kr\"ummung gilt
  \begin{align*}
    K=&\,\frac{\det h_{ij}}{\det g_{ij}} =\frac{\det u_{ij}}{1+|Du|^2}
    \frac1{1+|Du|^2} =\frac{\det u_{ij}}{\left(1+|Du|^2\right)^2}. 
  \end{align*}
  Wir betrachten nun speziell rotationssymmetrische Graphen. Sei
  \[X(x)=(x,u(x))\equiv (x,\phi(|x|)),\] $x\in\Omega$,
  $\Omega=B_R(0)\setminus B_\rho(0)$, $0\le \rho<R\le\infty$, mit
  $\phi\in C^2$ und $\phi'(0)=0$ falls $\rho=0$. Ohne die letzte
  Bedingung w\"are $u(x)=\phi(|x|)$ im Urspung weder in $C^1$ noch in
  $C^2$. Setze $r:=|x|$. Es gilt
  \begin{align*}
    u_i(x)=&\,\phi'(r)\frac{x_i}{|x|},\\
    u_{ij}(x)=&\,\phi'(r)\frac1{|x|}\left(\delta_{ij}
      -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)
    +\phi''(r)\frac{x_i}{|x|}\frac{x_j}{|x|},\\
    |Du|^2=&\,(\phi')^2,\\
    g_{ij}=&\,\delta_{ij}+u_iu_j =\delta_{ij}
    +(\phi')^2 \frac{x_i}{|x|} \frac{x_j}{|x|},\\
    h_{ij}=&\,\frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}} \left(\frac{\phi'}{|x|}
      \left(\delta_{ij}-\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)
      +\phi''\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right).
  \end{align*}
  Eine gemeinsame Basis aus Eigenvektoren von $g_{ij}$ und $h_{ij}$
  bez\"uglich $\delta_{ij}$ ist au\ss{}erhalb des Ursprungs durch
  $\frac{x}{|x|}$ oder $x$ und eine Basis von $\skl{x}^\perp$
  gegeben. F\"ur die Eigenwerte gilt
  \[\begin{array}{|c||c|c|}
    \hline
    &x&{\skl{x}}^\perp\\\hline\hline
    g_{ij}&1+(\phi')^2&1\\\hline
    h_{ij}&\frac{\phi''}{\sqrt{1+(\phi')^2}}
    &\frac{\phi'}r\frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}}\\\hline
  \end{array}\]
  Als Hauptkr\"ummungen erhalten wir somit einmal $\frac{\phi''}
  {\left(1+(\phi')^2\right)^{3/2}}$ und sonst (hier auch einmal)
  $\frac{\phi'}{r\sqrt{1+(\phi')^2}}$. 
\end{beispiel}

\begin{theorem}[Lokale Normalform von Fl\"achen] 
  Sei $\hat X\colon\hat\Omega\to\R^3$ eine regul\"are $C^k$-Fl\"ache
  mit $k\ge1$ und Normale $\hat\nu$. Dann gibt es zu
  $x_0\in\hat\Omega$ eine Euklidische Bewegung $B:x\mapsto Qx+a$ mit
  $Q\in O(3)$ und $a\in\R^3$ sowie eine offene Menge
  $\Omega\subset\R^2$ und einen Diffeomorphismus $\phi\colon\Omega
  \to\phi(\Omega)\subset\hat\Omega$ mit $\phi(0)=x_0$ und ein $f\in
  C^k(\Omega,\R)$ mit $f(0)=0$ und $Df(0)=0$, so dass $X:=B\circ\hat
  X\circ\phi$ folgendes erf\"ullt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X(x)=(x,f(x))$ f\"ur alle $x\in\Omega$,
  \item\label{fl norm form thm ii}
    $f(x)=\frac12\hat\kappa_1(x_0)\cdot\left(x^1\right)^2
    +\frac12\hat\kappa_2(x_0)\cdot\left(x^2\right)^2+o\left(\left(x^1\right)^2
      +\left(x^2\right)^2\right)$, falls $k\ge2$ ist,
  \end{enumerate}
  wobei $\hat\kappa_i$ die Hauptkr\"ummungen von $\hat X$ in
  $x_0\in\hat\Omega$ sind. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien f\"ur $i=1,2$ die Vektoren $\hat\xi_i$ Eigenvektoren von $\hat
  h_{ij}$ bez\"uglich $\hat g_{ij}$ zu den Eigenwerten $\hat\kappa_i$
  im Punkt $x_0$. (Im Falle $\hat\kappa_1(x_0) =\hat\kappa_2(x_0)$
  seien $\hat\xi_1$ und $\hat\xi_2$ bez\"uglich $\hat g_{ij}$
  orthogonal zueinander gew\"ahlt.) Dann bilden $\hat\nu(x_0)$,
  $d\hat X(x_0)\left\langle\hat\xi_1\right\rangle$ und $d\hat
  X(x_0)\left\langle\hat\xi_2\right\rangle$ nach Lemma \ref{hauptkr
    exist lem} eine \ONB des $\R^3$. Somit gibt es eine Euklidische
  Bewegung $B$, die $\hat X(x_0)$ auf $0$, $\hat\nu(x_0)$ auf $-e_3$
  und $d\hat X(x_0)\left\langle\hat\xi_i\right\rangle$ auf $\pm e_i$
  (Vorzeichen beliebig), $i=1,2$, abbildet (eine Abbildung auf
  beliebige orthogonale Vektoren in dieser Ebene w\"urde ebenfalls
  ausreichen). Sei $\pi_{23}\colon\R^3\to\R^2$ die orthogonale
  Projektion von $\R^3$ auf $\skl{e_3}^\perp$, wobei wir diesen Raum
  mit $\R^2$ identifizieren. Da $\hat X$ regul\"ar ist, ist
  $\pi_{23}\circ B\circ\hat X\colon\hat\Omega\to\R^2$ ein lokaler
  Diffeomorphismus von einer Umgebung von $x_0$ auf eine Umgebung von
  $0$. Definiere nach Einschr\"ankung auf solche Umgebungen
  $\psi:=\left(\pi_{23}\circ B\circ \hat
    X|_{\ldots}\right)^{-1}$. Dann hat $Y:=B\circ\hat X\circ\psi$ die
  Form $Y(x)=(x,F(x))$. $F(0)=0$ gilt nach Konstruktion und wegen
  $B\hat\nu(x_0)=-e_3$ ist $DF(0)=0$. \par
  Einfacher als nachzurechnen, dass \eqref{fl norm form thm ii}
  erf\"ullt ist, ist nun folgendes Vorgehen: $F$ erf\"ullt $F(0)=0$,
  $DF(0)=0$ und $D^2F(0)$ ist eine Matrix mit Eigenwerten
  $\hat\kappa_1(x_0)$ und $\hat\kappa_2(x_0)$, da weder $\phi$ noch
  $B$ die Hauptkr\"ummungen ver\"andern und $g_{ij}(0)=\delta_{ij}$
  gilt. Durch eine Rotation $R$ in $\R^2$ k\"onnen wir $D^2(F\circ R)$
  auf die gew\"unschte Diagonalgestalt bringen. Also ist
  $X:=B\circ\hat X\circ\phi$ mit $\phi:=\psi\circ R$ wie gew\"unscht
  und $f:=F\circ R$ die in \eqref{fl norm form thm ii} gesuchte
  Funktion.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^3$ eine regul\"are Fl\"ache mit
  Gau\ss{}scher Kr\"ummung $K$ bez\"uglich einer Normalen $\nu$. Sei
  $x_0\in\Omega$. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $K(x_0)>0$, so gibt es eine Umgebung $U$ von $x_0$ mit
    $\skl{X(x)-X(x_0),\nu(x_0)}>0$ f\"ur alle $x\in U\setminus\{x_0\}$
    oder $\skl{X(x)-X(x_0),\nu(x_0)}<0$ f\"ur alle $x\in
    U\setminus\{x_0\}$, \dh $\im X$ liegt lokal auf einer Seite der
    affinen Tangentialebene in $x_0$. 
  \item Ist $K(x_0)<0$, so gibt es in jeder Umgebung $U$ von $x_0$
    Punkte $x_\pm\in U$ mit \[\skl{X(x_+)-X(x_0),\nu(x_0)}>0
    \quad\text{und}\quad \skl{X(x_-)-X(x_0),\nu(x_0)}<0,\] \dh $\im X$
    liegt selbst lokal auf beiden Seiten der affinen Tangentialebene
    in $x_0$.
  \end{enumerate}
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze die Normalform f\"ur Fl\"achen. 
\end{proof}

\begin{definition}[Integration auf Fl\"achen]
  Sei $X\colon U\to\R^3$ eine $C^1$-Fl\"ache und
  $f\colon\Omega\to\R$. Dann definieren wir 
  \[\int\limits_\Omega f\,dA_g:=\int\limits_\Omega
  f(x)\sqrt{\det(g_{ij})}\,dx,\] falls das rechte Integral als
  Riemann- oder Lebesgueintegral existiert. \[dA_g =\sqrt{
    \det(g_{ij})}\] hei\ss{}t das induzierte Fl\"achenelement.
\end{definition}

\Subsection{Minimalfl\"achen}

\begin{lemma}
  Die Integration auf Fl\"achen ist unabh\"angig von der
  Parametrisierung. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\hat X=X\circ\phi$ f\"ur einen $C^1$-Diffeomorphismus
  $\phi\colon\hat\Omega\to\Omega$. Dann folgt aus dem
  Transformationssatz f\"ur Integrale mit $x=\phi(y)$ und
  $f\colon\Omega\to\R$ sowie
  \begin{align*}  
    \hat g_{ij}(y)
    =&\,g_{kl}\circ\phi(y) \phi^k_i(y)\phi^l_j(y),\\
    \intertext{dass} &\,\int\limits_{\hat\Omega}
    f\circ\phi(y)\,dA_{\hat g}(y)\\ =&\,\int\limits_{\hat\Omega}
    f\circ\phi(y)
    \sqrt{\det\left(\hat g_{ij}\right)(y)}\,dy\\
    =&\,\int\limits_\Omega
    f(x)\sqrt{\det\left((g_{kl})(x)\phi^k_i(\phi^{-1}(x))\phi^l_j
        (\phi^{-1}(x))\right)}\cdot \frac1{|\det
      d\phi(\phi^{-1}(x))|}\,dx\\ 
    =&\,\int\limits_\Omega f(x)\sqrt{\det(g_{ij})(x)}\,dx
    =\int\limits_\Omega f\,dA_g.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^3$ eine $C^2$-Fl\"ache. Wir definieren den
  mittleren Kr\"ummungsvektor $\vec H$ durch $\vec H:=-H\nu$. \par Wir
  bemerken, dass $\vec H$ unabh\"angig von der Wahl der Normalen $\nu$
  definiert ist. Bei einer Sph\"are zeigt er nach innen. 
\end{definition}

Wir wiederholen ein Lemma aus der linearen Algebra, beweisen es hier
aber nur in dem f\"ur uns relevanten zweidimensionalen Fall, den wir
sehr explizit und daher einfach behandeln k\"onnen. Im Anhang zu
meinem Skript \"uber voll nichtlineare partielle
Differentialgleichungen befindet sich ein Beweis in beliebigen
Dimensionen.
\begin{lemma}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt \[\frac\partial{\partial a_{ij}}\det(a_{kl})
    =\det(a_{kl})a^{ji},\] falls $(a_{ij})$ invertierbar ist und
    $a^{ij}$ die Inverse ist, \dh wenn $a^{ij}a_{jk}=\delta^i_k$ gilt.
  \item Sei $\left(a_{ij}(t)\right)$ differenzierbar von $t$
    abh\"angig mit inverser Matrix $\left(a^{ij}(t)\right)$. Dann gilt
    \[\dt a^{ij}=-a^{ik}a^{lj}\dt a_{kl}.\]
  \end{enumerate}
\end{lemma}
Die Determinante ist ein Polynom in ihren Eintr\"agen und daher auch
im Falle nicht invertierbarer Matrizen differenzierbar.
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir zeigen die erste Behauptung nur f\"ur
    $(2\times2)$-Matrizen. Es gilt \[
    \begin{pmatrix}
      a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}
    \end{pmatrix}^{-1}
    =\frac1{\det(a_{ij})}
    \begin{pmatrix}
      a_{22}&-a_{12}\\ -a_{21}&a_{11}
    \end{pmatrix}.\] 
    Somit ist \[\det(a_{ij})\cdot
    \begin{pmatrix}
      a^{11}&a^{21}\\ a^{12}&a^{22}
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      a_{22}&-a_{21}\\ -a_{12}&a_{11}
    \end{pmatrix}.\]
    Differenziert man $\det(a_{ij})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$, so
    erh\"alt man gerade die behaupteten Eintr\"age. 
  \item Gelte allgemein $AB=BA=\eins$. Dann erh\"alt man durch
    Differenzieren $\dot AB+A\dot B=0$, also $A\dot B=-\dot AB$ oder
    $\dot B=-B\dot AB$. Wegen $B=A^{-1}$ folgt die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Erste Variation des Fl\"acheninhaltes]
  \label{erste variation flaeche thm}
  Sei $X\colon\Omega\times(-\epsilon_0,\epsilon_0)\to\R^3$ von der
  Klasse $C^2$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X(\cdot,0)\colon\Omega\to\R^3$ regul\"ar,
  \item $A(X(\cdot,0))<\infty$ und
  \item gebe es eine kompakte Menge $K\subset\Omega$, so dass $X(x,t)$
    f\"ur $x\in\Omega\setminus K$ von $t$ unabh\"angig ist.
  \end{enumerate}
  Dann gibt es ein $\epsilon>0$, so dass
  $X(\cdot,t)\colon\Omega\to\R^3$ f\"ur alle
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$ regul\"ar ist. Mit $\Phi:=\fracp Xt$
  erhalten wir \[\dt A(X(\cdot,t)) =-\int\limits_\Omega
  \left\langle\vec H,\Phi\right\rangle\,dA_g\] f\"ur
    $t\in(-\epsilon,\epsilon)$. 
\end{theorem}
$X$ hei\ss{}t Variation von $X(\cdot,0)$. 
\begin{proof}[Beweis]
  Da f\"ur $t=0$ \[\inf\limits_{x\in K}\inf\limits_{v\in\S^2}
  |dX(x,t)\skl v|>0\] ist, gilt dies aus Stetigkeitsgr\"unden auch
  noch f\"ur kleine $\epsilon>0$ und $t\in(-\epsilon,\epsilon)$.
  \par Nun gilt
  \begin{align*}
    \dt A(X(\cdot,t)) =&\,\int\limits_\Omega\dt\sqrt{\det(g_{ij})}\,dx
    =\int\limits_\Omega\frac12\frac1{\sqrt{\det(g_{ij})}}\det(g_{ij})
    g^{ij}\dot g_{ij}\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega\frac12 g^{ij}\cdot2 \left\langle\dot
      X_{,i},X_j\right\rangle \sqrt{\det(g_{ij})}\,dx =\int\limits_\Omega
    g^{ij}\left\langle\dot X_{,i},X_j\right\rangle\,dA_g.
  \end{align*}
  Schreibe nun $\dot X=\phi\nu+\psi^kX_k$ f\"ur $C^1_c$-Funktionen
  $\phi$ und $\psi^k$ mit kompaktem Tr\"ager in $\Omega$. Wir erhalten 
  \begin{align*}
    \dot X_{,i} =&\,\phi_i\nu +\phi h_i^kX_k +\psi^k_iX_k
    +\psi^kX_{,ki}\umbruch\\
    \intertext{und hieraus mit partieller Integration} \dt
    A(X(\cdot,t)) =&\,\int\limits_\Omega g^{ij}\left\langle \phi
      h^k_iX_k+\psi^k_iX_k +\psi^kX_{,ki},X_j\right\rangle
    dA_g\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega g^{ij}\phi h^k_ig_{kj}
    +g^{ij}\psi^k_ig_{kj} +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,dA_g
    \umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega\phi H +\psi^i_i
    +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,dA_g\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega -\left\langle\Phi,\vec H\right\rangle
    +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,dA_g +\int\limits_\Omega
    \left(\fracp{}{x^i}\psi^i\right) \sqrt{\det(g_{kl})}\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega -\left\langle\Phi,\vec H\right\rangle
    +\psi^kg^{ij}\skl{X_{,ki},X_j}\,dA_g\\ &\qquad-\int\limits_\Omega
    \psi^i\frac{\det(g_{kl})}{2\sqrt{\det(g_{kl})}}
    \cdot g^{kl}\cdot 2\left\langle
      X_{,ki},X_l\right\rangle\,dx\umbruch\\ 
    =&\,-\int\limits_\Omega \left\langle\Phi,\vec H\right\rangle\,
    dA_g
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $Y\colon\Omega\to\R^3$ eine Fl\"ache. Sei $X$ eine Variation von
  $Y$, \dh wie in Theorem \ref{erste variation flaeche
    thm} mit $X(\cdot,0)=Y$. Dann sind die Aussagen
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $H(X(\cdot,0))=0$ und
  \item $\left.\dt A(X(\cdot,t))\right|_{t=0}=0$ f\"ur alle solchen
    Variationen $X$
  \end{enumerate}
  \"aquivalent. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Klar nach Theorem \ref{erste variation flaeche
    thm}.\par
  \Rueckrichtung Nehme an, das $H\not\equiv0$ gilt. W\"ahle l\"angs
  $X(\cdot,0)$ ein $C^2$-Vektorfeld $V\colon\Omega\to\R^3$ mit
  kompaktem Tr\"ager und $\left\langle\vec H,V\right\rangle\ge0$, aber
  so, dass nicht \"uberall Gleichheit gilt. Setze
  $X(x,t):=Y(x)+tV$. Dann ist die erste Variation $\left.\dt
    A(X(\cdot,t))\right|_{t=0}$ negativ. Widerspruch.
\end{proof}

Wir wollen $X_{,ij}$ als Linearkombination des Normalenvektors $\nu$
und der Tangentialvektoren $X_i$ darstellen. Es gilt das folgende
\begin{lemma}\label{Gauss fml lem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^3$ eine $C^2$-Fl\"ache. Dann ist \[X_{,ij}
  =\Gamma^k_{ij}X_k -h_{ij}\nu\] mit $\Gamma^k_{ij}=\frac12
  g^{kl}(g_{il,j} +g_{jl,i} -g_{ij,l})$. Setzt man 
  \[X_{;ij}:=X_{,ij} -\Gamma^k_{ij}X_k,\] so gilt \[X_{;ij}
  =-h_{ij}\nu.\] 
\end{lemma}
Die Gr\"o\ss{}e $X_{;ij}$ wird uns noch als zweite kovariante
Ableitung begegnen. Die Ausdr\"ucke $\Gamma^i_{ij}$ nennt man 
Christoffelsymbole. Die letzte Gleichung hei\ss{}t Gau\ss{}sche
Formel.
\begin{proof}[Beweis]
  Die Gau\ss{}sche Formel folgt aus der ersten Behauptung direkt nach
  Definition. \par Es ist klar, dass sich $X_{,ij}$ als eine solche
  Linearkombination darstellen l\"asst. Der Faktor vor $\nu$ stimmt
  aufgrund unserer Definition $h_{ij}:=-\skl{X_{,ij},\nu}$. Sei also
  $X_l$ ein beliebiger Tangentialvektor. Wir m\"ussen daher noch
  nachweisen, dass das Skalarprodukt der Gleichung mit $X_l$ auf
  beiden Seiten denselben Wert ergibt. Es gilt nach Definition von
  $\Gamma^k_{ij}$ 
  \begin{align*}
    0\overset!=&\,2\skl{X_{,ij},X_l}
    -2\Gamma^k_{ij}\skl{X_k,X_l}\umbruch\\ 
    =&\,2\skl{X_{,ij},X_l} -2\tfrac12 g^{kr}(g_{ir,j} +g_{jr,i}
    -g_{ij,r}) g_{kl}\umbruch\\
    =&\,2\skl{X_{,ij},X_l} -(g_{il,j} +g_{jl,i}
    -g_{ij,l})\umbruch\\
    =&\,2\skl{X_{,ij},X_l} -\skl{X_{,ij},X_l} -\skl{X_i,X_{,lj}}
    -\skl{X_{,ji},X_l} -\skl{X_j,X_{,li}}\\ &\qquad+\skl{X_{,il},X_j}
    +\skl{X_i,X_{,jl}}\umbruch\\
    =&\,0,
  \end{align*}
  da partielle Ableitungen symmetrisch sind. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Wir nennen eine Fl\"ache mit $H=0$ oder, \"aquivalent dazu, $\vec
  H=0$, eine Minimalfl\"ache.\par Die Bezeichnung ist leicht
  irref\"uhrend, weil wir gesehen haben, dass die erste Variation des
  Fl\"acheninhalts einer Minimalfl\"ache verschwindet. Dies besagt
  nat\"urlich nicht, dass eine Minimalfl\"ache ein (lokales) Minimum
  des Fl\"acheninhalts ist. 
\end{remark}

Wir k\"onnen die Minimalfl\"achengleichung $H=0$ oder $\vec H=0$ mit
Hilfe des folgenden Operators kurz darstellen.
\begin{definition}[Laplace-Beltrami Operator]
  Sei $(g_{ij})_{1\le i,j\le 2}$ eine Riemannsche Metrik auf einer
  offenen Menge $\Omega\subset\R^2$ mit inverser Metrik
  $\left(g^{ij}\right)_{1\le i,j\le 2}$. Dann definieren wir den
  Laplace-Beltrami Operator $\Delta_g\colon C^2(\Omega)\to
  C^0(\Omega)$ durch \[\Delta_gu:=\frac1{\sqrt{\det(g_{kl})}}\cdot
  \fracp{}{x^i}\left(\sqrt{\det(g_{kl})} g^{ij}\fracp{}{x^j}
    u\right).\]
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^3\right)$ eine Fl\"ache mit Metrik $g$
  und Normalenvektor $\nu$. Dann gilt \[\Delta_g X=\vec H.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir berechnen mit Lemma \ref{Gauss fml lem}
  \begin{align*}
    \Delta_gX=&\,\frac1\sqrtdetg\fracp{}{x^i} \left(\sqrtdetg\cdot
      g^{ij}\fracp{}{x^j} X\right)\umbruch\\
    =&\,\frac1\sqrtdetg\frac12\frac{\detg}{\sqrtdetg}2g^{kl}
    \skl{X_{,ki},X_l} g^{ij}X_j\\
    &\quad-g^{ik}g^{lj}(\skl{X_{,ki},X_l} +\skl{X_k,X_{,li}})X_j
    +g^{ij}X_{,ij}\umbruch\\
    =&\,\underline{g^{kl}\skl{X_{,ki},X_l}g^{ij}X_j}
    -g^{ik}g^{lj}\skl{X_{,ki},X_l}X_j
    -\underline{g^{ik}g^{lj}\skl{X_k,X_{,li}}X_j}\\
    &\quad+g^{ij}\left(-h_{ij}\nu+\Gamma^k_{ij} X_k\right)\umbruch\\
    =&\,-H\nu -g^{ik}g^{lj}\skl{X_{,ki},X_l}X_j +\tfrac12
    g^{ij}g^{kl}(g_{il,j} +g_{jl,i} -g_{ij,l})X_k\umbruch\\
    =&\,\vec H -g^{ik}g^{lj}\skl{X_{,ki},X_l}X_j\\
    &\quad+\tfrac12g^{ij}g^{kl}\left(\skl{X_{,ij},X_l}
      +\underline{\skl{X_i,X_{,lj}}}
      +\skl{X_{,ji},X_l} +\underline{\skl{X_j,X_{,li}}}\right.\\
    &\qquad\qquad\qquad\left.-\underline{\skl{X_{,il},X_j}}
      -\underline{\skl{X_i,X_{,jl}}}\right)X_k\umbruch\\
    =&\,\vec H.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{beispiel}[Helikoid]
  Das Helikoid, parametrisiert durch \[\R^2\ni(r,\phi)\mapsto
  (r\cos\phi,r\sin\phi,\phi)^T,\] ist eine Minimalfl\"ache.
\end{beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir erhalten
  \begin{align*}
    X_r=&\,(\cos\phi,\sin\phi,0)^T,\umbruch\\
    X_{,rr}=&\,0,\umbruch\\
    X_\phi=&\,(-r\sin\phi,r\cos\phi,1)^T,\umbruch\\
    X_{,\phi\phi}=&\,(-r\cos\phi,-r\sin\phi,0)^T,\umbruch\\
    g_{rr}=&\,1,\umbruch\\
    g_{r\phi}=&\,0,\umbruch\\
    g_{\phi\phi}=&\,1+r^2,\umbruch\\
    \det g_{ij}=&\,1+r^2,\umbruch\\
    \vec H=&\,\Delta_g X\umbruch\\
    =&\,\frac1{\sqrt{1+r^2}}\fracp{}{x^i}\left(\sqrt{1+r^2}
      g^{ij}\fracp{}{x^i}X\right)\umbruch\\  
    =&\,\frac1{\sqrt{1+r^2}} \fracp{}r\left(\sqrt{1+r^2}\cdot 1\cdot
      X_r\right) +\frac1{\sqrt{1+r^2}}\fracp{}\phi
    \left(\frac{\sqrt{1+r^2}}{1+r^2} X_\phi\right)\umbruch\\
    =&\,\frac1{\sqrt{1+r^2}}\frac r{\sqrt{1+r^2}}
    \begin{pmatrix}\cos\phi\\ \sin\phi\\ 0\end{pmatrix} +\frac1{1+r^2}
    X_{,\phi\phi}\\
    =&\,\frac r{1+r^2}
    \begin{pmatrix}
      \cos\phi\\\sin\phi\\0
    \end{pmatrix}
    +\frac1{1+r^2}
    \begin{pmatrix}
      -r\cos\phi\\-r\sin\phi\\0
    \end{pmatrix}=0
  \end{align*}
  Somit ist das Helikoid eine Minimalfl\"ache. 
\end{proof}

\Subsection{Niveaufl\"achen}
Parametrisierte Fl\"achen sind im Allgemeinen nur immersiert und nicht
eingebettet. Daf\"ur muss man eine Parametrisierung
angeben. Untermannigfaltigkeiten, Niveaufl\"achen oder eingebettete
Fl\"achen d\"urfen sich hingegen nicht selbst durchdringen. Daf\"ur
reicht es, die Fl\"ache als Menge anzugeben. Eine Parametrisierung ist
nicht n\"otig.

\begin{definition}[Untermannigfaltigkeiten]
  Eine Teilmenge $M\subset\R^3$ hei\ss{}t zweidimensionale
  Untermannigfaltigkeit, Niveaufl\"ache oder eingebettete Fl\"ache der
  Klasse $C^k$ f\"ur ein $k\in\N\cup\{0\}$, falls es zu jedem $p\in M$
  eine offene Umgebung $U\subset\R^3$ und eine Funktion $f\in C^k(U)$
  mit
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $M\cap U=f^{-1}(\{0\})$ und
  \item $df(q)\neq0$ f\"ur alle $q\in U$
  \end{enumerate}
  gibt. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $\Omega\subset\R^2$ offen und $u\in C^k(\Omega)$. Dann
  ist \[\{(x,u(x))\colon x\in\Omega\}=\graph u\] eine zweidimensionale
  $C^k$-Untermannigfaltigkeit des $\R^3$.
\end{beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
  Zu $p=(x,u(x))\in M$ k\"onnen wir stets $U=\Omega\times\R$ und
  $f\colon U\to\R$ mit $f\left(x^1,x^2,x^3\right)
  :=x^3-u\left(x^1,x^2\right)$ w\"ahlen. 
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Die Sph\"are $\S^2:=\left\{x\in\R^3\colon|x|=1\right\}$ ist eine
  zweidimensionale $C^\infty$-Untermannigfaltigkeit des $\R^3$:
  W\"ahle $\Omega:=\R^3\setminus\{0\}$ und $f(x):=|x|^2-1$ oder
  $f(x):=|x|-1$. 
\end{beispiel}

Lokal sind parametrisierte Fl\"achen auch eingebettete
Fl\"achen. Global stimmt dies nicht, ein Gegenbeispiel w\"are die
\glqq$8$\grqq$\times\R$. 
\begin{theorem}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^3$ eine regul\"are Fl\"ache mit Normale
  $\nu$. Dann gibt es zu jedem Punkt $x_0\in\Omega$ eine Umgebung
  $\hat\Omega$ von $x_0$, so dass $\im X|_{\hat\Omega}$ eine
  eingebettete Fl\"ache ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $F\colon\Omega\times\R$ durch \[F(x,t):=X(x)+t\nu(x).\]
  Dann ist $dF(x_0)$ durch eine invertierbare $(3\times3)$-Matrix
  dargestellt. Somit gibt es nach dem Satz von der inversen Abbildung
  eine Umgebung der Form $\hat\Omega \times(-\epsilon,\epsilon)$ von
  $x_0\times\{0\}$, so dass $F|_{\hat\Omega \times
    (-\epsilon,\epsilon)}$ ein Diffeomorphismus auf das Bild
  $U:=F\left(\hat\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\right)$ ist.
  \par Wir behaupten nun, dass $\im X\left(\hat\Omega\right)$ eine
  eingebettete Fl\"ache ist. Es gilt $M:=X\left(
    \hat\Omega\right)=F\left(\hat\Omega\times\{0\}\right)\subset U$.
  Setze $f:=\pi_3\circ F^{-1}\colon U\to(-\epsilon,\epsilon)$, wobei
  $\pi_3\colon \hat\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)
  \to(-\epsilon,\epsilon)$ durch $\pi_3\left(x^1,x^2,x^3\right):=x^3$
  definiert ist. Dann gilt \[f^{-1}(\{0\}) =\left(\pi_3\circ
    F^{-1}\right)^{-1}(\{0\}) =F\circ \pi_3^{-1}(\{0\})
  =F\circ\left(\hat\Omega\times\{0\}\right) =M =M\cap U.\] Da $F$ ein
  Diffeomorphismus ist, verschwindet auch die Ableitung der dritten
  Komponente von $F^{-1}$, also $df$, nicht. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

Lokal sind eingebettete Fl\"achen auch parametrisierte Fl\"achen:
\begin{definition}
  Sei $M\subset\R^3$ eine zweidimensionale
  $C^k$-Untermannigfaltigkeit. Eine lokale Parametrisierung von $M$
  nahe $x_0\in M$ ist eine $C^k$-Abbildung $X\colon\Omega\to
  M\subset\R^3$ mit $x_0\in\im X$, wobei $\Omega\subset\R^2$ offen
  ist, $X$ injektiv ist und $\rang dX(x)=2$ f\"ur alle $x\in\Omega$
  gilt. $\Omega$ hei\ss{}t Parametergebiet und $V:=X(\Omega)\subset M$
  hei\ss{}t das Kartengebiet von $X$. Die Abbildung $X^{-1}\colon
  V\to\Omega$ hei\ss{}t Karte. 
\end{definition}

\begin{theorem}[Existenz und Eigenschaften von Karten]
  Sei $M\subset\R^3$ eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des
  $\R^3$ der Klasse $C^k$ mit $k\ge1$. Dann gelten folgenden Aussagen:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Zu jedem $p\in M$ gibt es eine Karte $\phi\colon V\to\Omega$
    mit $p\in V$. 
  \item Ist $X\colon\Omega\to X(\Omega)=:V$ eine lokale
    Parametrisierung, so ist $V$ relativ offen in $M$. Die Abbildung
    $X^{-1}\colon V\to\Omega$ ist stetig und somit ist
    $X\colon\Omega\to V$ ein Hom\"oomorphismus.
  \item Seien $\phi_i\colon V_i\to\Omega_i$, $i=1,2$, Karten von
    $M$. Dann ist \[\phi_2\circ\phi_1^{-1}\colon\phi_1(V_1\cap
    V_2)\to\phi_2^{-1}(V_1\cap V_2)\] ein $C^k$-Diffeomorphismus. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nach dem Satz \"uber implizite Funktionen ist $M$ lokal als
    Graph darstellbar: Zu $p\in M$ gibt es eine Euklidische Bewegung
    $B\colon\R^3\to\R^3$ mit $B(p)=0$, offene Mengen $0\in
    \Omega\subset\R^2$ und $0\in I\subset\R$ sowie $u\in
    C^k(\Omega,I)$ mit \[B(M)\cap(\Omega\times I) =\{(x,u(x))\colon
    x\in\Omega\}.\] Insbesondere folgt $u(0)=0$. Dann ist
    $X\colon\Omega\to\R^3$ mit $X(x):=B^{-1}(x,u(x))$ die gesuchte
    Parametrisierung und es gilt $X(0)=p\in X(\Omega)$.
  \item $V$ ist relativ offen, da $F(x,t):=X(x)+t\nu(x)$ ein lokaler
    Diffeomorphismus nahe $t=0$ ist. $F^{-1}$ ist ebenfalls ein lokaler
    Diffeomorphismus. Somit ist die Einschr\"ankung $X^{-1}$ stetig
    und die Behauptung folgt. 
  \item Betrachte die lokalen Parametrisierungen $X_1:=\phi_1^{-1}$
    und $X_2:=\phi_2^{-1}$. Deren Fortsetzungen $\hat
    X_i(x,t):=X_i(x)+t\nu(x)$ sind wiederum lokale
    Diffeomorphismen. Dies gilt auch f\"ur die Verkn\"upfung $\hat
    X_2^{-1}\circ\hat X_1$ und daher auch f\"ur die Einschr\"ankung
    auf $t=0$, also f\"ur $\phi_2\circ\phi_1^{-1}$. Da
    Parametrisierungen und damit auch Karten (globale)
    Hom\"oomorphismen sind, ist $\phi_2\circ\phi_1^{-1}\colon
    \phi_1(V_1\cap V_2)\to\phi_2^{-1}(V_1\cap V_2)$ auch ein
    (globaler) Diffeomorphismus.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[Tangentialebene]
  Sei $M\subset\R^3$ eine zweidimensionale
  $C^1$-Un"-ter"-man"-nig"-fal"-tig"-keit des $\R^3$. Dann hei\ss{}t
  $V\in\R^3$ Tangentialvektor in $p\in M$, falls es eine Kurve
  $\gamma\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M$ mit $\gamma(0)=p$ und
  $\gamma'(0)=V$ gibt. Die Menge aller Tangentialvektoren in $p$
  bezeichnen wir mit $T_pM$.
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei $M\subset\R^3$ eine zweidimensionale $C^1$-Untermannigfaltigkeit
  des $\R^3$. Dann ist $T_pM$ ein Unterraum von $\R^3$ und es gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $T_pM =\im dX(x)$ f\"ur eine lokale Parametrisierung
    $X\colon\Omega\to M$ mit $X(x)=p$. 
  \item $T_pM =\ker df(p)$, falls $M\cap U =f^{-1}(\{0\})$ f\"ur eine
    offene Menge $U$ mit $p\in U$ und f\"ur $f\in C^1(U)$ mit
    $df\neq0$ in $U$ gilt. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X(x)=p$. Die Inklusionen $\im dX(x) \subset T_pM \subset\ker
  df(p)$ folgen direkt nach Definition. Wegen $\dim\im dX(x)=2$ und
  $\dim\ker df(p)=2$ gilt jedoch \"uberall Gleichheit.
\end{proof}

\vspace*{0.5ex}
\fbox{Die folgende Bemerkung, Bemerkung \ref{1st order tab rem}, steht
  auf einer gesonderten Seite.}
\vspace*{1.5ex}

\begin{sidewaystable}
  \begin{remark}\label{1st order tab rem}
    Wir stellen nun in einer Tabelle im ersten Teil einige
    Gr\"o\ss{}en \glqq erster Ordnung\grqq{} f\"ur eingebettete
    Fl\"achen und dieselben Gr\"o\ss{}en f\"ur parametrisierte
    Fl\"achen einander gegen\"uber. \par Im zweiten Teil haben wir
    eine analoge Gegen\"uberstellung f\"ur Gr\"o\ss{}en \glqq zweiter
    Ordnung\grqq, die wir erst sp\"ater betrachten werden.\\[1ex]
    \rule{0mm}{1mm}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|l||l|l|l|}
        \hline
        & Parametrisierung & Niveaufl\"ache & Relation\\
        & $X\colon\Omega\to\R^3$ & $f^{-1}(\{0\})\subset\R^3$ &
        $X(x)=p$\\\hline\hline
        Tangentialraum & $\im dX(x)$ & $\ker df(p)$ & $T_pM$\\\hline
        Tangentialvektor & $dX\skl v$ & $V\in T_pM\subset\R^3$ &
        $dX(x)\skl v=V$\\\hline
        Normale & $\nu=\pm\frac{X_1\times X_2}{|X_1\times X_2|}$ &
        $\hat\nu =-\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ & $\nu=\pm\hat\nu\circ
        X$\\\hline 
        Metrik & $g(\cdot,\cdot)$ & $\skl{\cdot,\cdot}
        =\skl{\cdot,\cdot}_{\R^3}$ & $g(x)\skl{v,w}=\skl{dX(x)\skl
          v,dX(x)\skl w}$\\\hline 
        Bogenl\"ange & $L_g(\gamma)$ & $L(\alpha)=L_{\R^3}(\alpha)$ &
        $L_g(\gamma) =L_{\R^3}(X\circ\gamma)$\\\hline
        Winkel & $\sphericalangle_g$ &
        $\sphericalangle=\sphericalangle_{\R^3}$ &
        $\sphericalangle_g(v,w) =\sphericalangle(dX\skl v,dX\skl
        w)$\\\hline 
        Fl\"acheninhalt & $A_g(E)$ & $\mathcal H^2(E)$ & $A_g(E)
        =\mathcal H^2(X(E))$\\\hline\hline
        2. Fundamentalform & $h(x)\skl{\cdot,\cdot}
        =-\skl{D^2X(x)\skl{\cdot,\cdot},\nu}$ & $\hat
        h(p)\skl{\cdot,\cdot}=-\frac{D^2f(p)\skl{\cdot,\cdot}}{|Df(p)|}$
        & $h(x)\skl{v,w}=\hat h(p)\skl{dX\skl v,dX\skl w}$\\\hline
        Weingartenabbildung & $h(x)\skl{v,w} =g(v,Sw)$ & $\hat
        h(p)\skl{V,W} =\left\langle X,\hat SY\right\rangle$ & $\hat
        S\cdot dX =dX\cdot S$\\\hline
        Hauptkr\"ummungen & $Sv_i=\kappa_iv_i$ & $\hat
        SV_i=\kappa_iV_i$ & $V_i=dX\skl{v_i}$\\\hline
        Weingartengleichung & $D\nu=DX\cdot S$ & $D\hat\nu=\hat S$ &
        \\\hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    \rule{0mm}{3mm}\par
    Die Notation $\hat\cdot$ f\"ur Gr\"o\ss{}en im Zusammenhang mit
    Niveaufl\"achen ist eine ad hoc Notation. 
  \end{remark}
\end{sidewaystable}

Wir wollen nun die zweite Fundamentalform von Untermannigfaltigkeiten
ohne Zuhilfenahme einer Parametrisierung bestimmen. Die Wahl des
Vorzeichens von $\nu$ ist prinzipiell beliebig. Bei dieser Konvention
erhalten wir f\"ur die Niveaufl\"achendarstellung von schrumpfenden
Sph\"aren die \"au\ss{}ere Normale. 
\begin{lemma}\label{2ff niveau lem}
  Sei $X\in C^2\left(\Omega,\R^3\right)$ eine parametrisierte
  Fl\"ache, $U\subset\R^3$ eine Umgebung von $p=X(x)$ und $f\in
  C^2(U)$ mit $f\circ X\equiv0$ und $Df\neq0$ nahe $p$. Dann gilt
  \[h(x)\skl{v,w} =-\frac{D^2f(p)\skl{DX(x)\skl v,DX(x)\skl
      w}}{|Df(p)|} \quad\text{bez\"uglich}\quad \nu=-\frac{\nabla
    f}{|\nabla f|}\circ X.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir differenzieren $f\circ X\equiv 0$ und erhalten 
  \begin{align*}
    0=&\,f_l(X(x))X^l_i(x),\\
    0=&\,f_{,kl}(X(x))X^k_i(x)X^l_j(x) +f_l(X(x))X^l_{,ij}. 
  \end{align*}
  Wir benutzen $\nu(x)=-\frac{\nabla f(X(x))}{|\nabla f(X(x))|}$ und
  erhalten aus der Definition der zweiten Fundamentalform
  \[h_{ij}(x)|Df(X(x))| =-f_{,kl}f(X(x))X^k_i(x)X^l_j(x).\] Die
  Behauptung folgt. 
\end{proof}

Dies rechtfertigt die folgende Definition. 
\begin{definition}
  Sei $M\subset\R^3$ eine zweidimensionale
  $C^2$-Untermannigfaltigkeit. Sei $U\subset\R^3$ offen und $f\in
  C^2(U)$ mit $Df\neq0$ in $U$. Gelte $M\cap U=f^{-1}(\{0\})$. Dann
  definieren wir die zweite Fundamentalform $\hat h$, $M\cap\Omega\ni
  p\mapsto L^2(T_pM,T_pM;\R)$ und die Weingartenabbildung $\hat S$,
  $M\cap\Omega\ni p\mapsto\text{Hom}\,(T_pM,T_pM)$, durch
  \[\hat h(p)\skl{v,w} =\left\langle v,\hat S(p)w\right\rangle
  =-\frac{D^2f(p)\skl{v,w}}{|Df(p)|}\] f\"ur $v,w\in T_pM\subset\R^3$. 
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da wir $p$ auf ein Element in $L^2(T_pM,T_pM;\R)$ abbilden und
    somit der Zielraum von $p$ abh\"angig ist, erf\"ullt dies nicht
    die Definition einer Funktion. Dieses Problem l\"asst sich auf
    zwei Arten l\"osen: Man f\"uhrt Schnitte im Tangentialb\"undel ein
    (siehe nachfolgende Vorlesung) oder man betrachtet $\hat A$ als
    Funktion $M\cap\Omega\to L^2\left(\R^3,\R^3;\R\right)$ und
    definiert \[\hat A(p)\skl{v,w}:=-\frac{D^2f(p)\skl{\pi(x)\skl
        v,\pi(x)\skl w}}{|Df(p)|},\] wobei $\pi(x)\colon\R^3\to\R^3$
    die Projektion von $\R^3$ auf $T_{X(x)}M\subset\R^3$ ist, also
    $\pi(x)\skl v:=v -\skl{v,\nu(x)}\nu(x)$.
  \item Nach Lemma \ref{2ff niveau lem} ist $\hat
    h(p)\skl{\cdot,\cdot}$ unabh\"angig von der speziellen Wahl von
    $f$ definiert.
  \item Nach Lemma \ref{2ff niveau lem} folgt
    \begin{align*}
      \skl{dX\skl v,dX\skl{Sw}} =&\,g(v,Sw) =h(v,w) =\hat h\skl{dX\skl
        v,dX\skl w}\\ 
      =&\,\left\langle dX\skl v,\hat S\cdot dX\skl
        w\right\rangle.      
    \end{align*}
    Also folgt \[\hat S\cdot dX=dX\cdot S.\] 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Um die Weingartengleichung auch f\"ur Niveaufl\"achen formulieren zu
k\"onnen, m\"ussen wir zun\"achst definieren, wie man eine nur auf
einer Untermannigfaltigkeit definierte Funktion ableitet.
\begin{definition}
  Sei $M\subset\R^3$ eine zweidimensionale
  $C^1$-Untermannigfaltigkeit. Eine Funktion $f\colon M\to\R$
  hei\ss{}t von der Klasse $C^1$, falls $f\circ X\in C^1(\Omega)$
  f\"ur jede lokale $C^1$-Parametrisierung $X\colon\Omega\to W\subset
  M$ ist. Sei $p=X(x)$. Wir definieren die Ableitung von $f$ durch
  \begin{align*}
    Df(p)\colon T_pM\to&\,\R,\\
    Df(p)\skl{DX(x)\skl v}:=&\,D(f\circ X)(x)\skl v.
  \end{align*}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Definition von $Df$ benutzt $\im DX(x)=T_pM$, also, dass
    sich jeder Vektor in $T_pM$ als Bild unter $DX(x)$ schreiben
    l\"asst.
  \item Die Definition ist von der Parametrisierung unabh\"angig: Sei
    $\phi\in C^1\left(\hat\Omega,\Omega\right)$ ein Diffeomorphismus
    und $\hat X:=X\circ\phi$. Sei $x=\phi(y)$. Dann gilt nach
    Definition einerseits
    \begin{align*}
      Df(p)\skl{DX(x)\skl v} =&\,D(f\circ X)(x)\skl v \intertext{und
        andererseits} Df(p)\left\langle D\hat
        X\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w\right\rangle
      =&\,D\left(f\circ\hat X\right)\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w.
    \end{align*}
    Die Relation zwischen $v$ und $w$ ergibt sich aus 
    \begin{align*}
      DX(x)\skl
      v=&\,D\hat X\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w\\
      =&\,DX\left(\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\right)\cdot
      D\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w =DX(x)\cdot
      D\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w
    \end{align*}
    aufgrund der Injektivit\"at von $DX(\cdot)$ als
    $D\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w=v$. Also folgt die
    Wohldefiniertheit mit Hilfe der Kettenregel aus
    \begin{align*}
      D(f\circ X)(x)\skl v\overset!= &\,D\left(f\circ\hat X\right)
      \left(\phi^{-1}(x)\right) \skl w\\ =&\,D((f\circ
      X)\circ\phi)\left(\phi^{-1}(x)\right) \skl w\\
      =&\,D(f\circ X)\left(\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\right) \cdot
      D\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)\skl w\\ =&\,D(f\circ X)(x) \skl
      v.
    \end{align*}
    \item Ist $M=\R^k$, so stimmt diese Definition von Ableitung mit
      der \"ublichen Definition \"uberein. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Es gilt die Weingartengleichung f\"ur
  $C^2$-Untermannigfaltigkeiten \[D\hat\nu=\hat S.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition und mit $\hat S\cdot DX=DX\cdot S$ folgt
  \[D\hat\nu\cdot DX =D(\hat\nu\circ X) =D\nu =DX\cdot S =\hat S\cdot
  DX.\] Wir erhalten die Behauptung. 
\end{proof}

\vspace*{0.5ex} \fbox{Wir erhalten die restlichen Zeilen in der
  Tabelle in Bemerkung \ref{1st order tab rem}.}  \vspace*{1.5ex}

\begin{lemma}
  Sei $f\in C^2(U,\R)$ f\"ur eine offene Teilmenge $U\subset\R^3$. Sei
  $Df\neq0$ auf $f^{-1}(\{0\})$. Setze $M:=f^{-1}(\{0\})$. Sei $p\in
  M$. Dann ist die mittlere Kr\"ummung $\hat H$ von $M$ in $p$ durch
  \[\hat H(p) =-\divergenz\left(\frac{\nabla f}{|\nabla f|}\right)\]
  gegeben.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $\hat\nu =-\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$. Nun ist \[\hat
  H=\hat h^i_i =\tr_{T_pM}(D\hat\nu) =-\tr_{T_pM}\left(D\frac{\nabla
      f}{|\nabla f|}\right) =-\tr_{\R^3}\left(D\frac{\nabla f}{|\nabla
      f|}\right) =-\divergenz\left(\frac{\nabla f}{|\nabla f|}\right).\]
  Beachte dabei, dass sich sowohl Spur als auch Divergenz, sofern
  nicht anders angegeben, auf alle $3$ Richtungen und nicht nur auf
  $T_pM\subset\R^3$ beziehen. Da $\left|\frac{\nabla f}{|\nabla
      f|}\right|=1$ ist, verschwindet jedoch $\left\langle
    D\frac{\nabla f}{|\nabla f|},\frac{\nabla f}{|\nabla
      f|}\right\rangle$ und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\renewcommand{\refname}{Literatur}
\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}
\def\weg#1{} 

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{KuwertElDG}
Ernst Kuwert\weg{KuwertElDG}, \emph{{Elementare Differentialgeometrie}}, 2006,
  Skript zur Vorlesung.

\bibitem{MilnorTotalCurvatureKnots}
John~W. Milnor, \emph{On the total curvature of knots}, Ann. of Math. (2)
  \textbf{52} (1950), 248--257.

\bibitem{wiki}
Wikipedia, \emph{{\rm \texttt{http://www.wikipedia.org}}}.

\end{thebibliography}

\end{document}
