% 
% Funktionalanalysis
% Oliver Schn\"urer
% Uni Konstanz 
% Sommer 2012, Sommer 2016, Sommer 2021
%
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% Hilfe: xypic-xygraph-tutorial.pdf
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en Hil-bert-raum}

\begin{document}
\title{Funktionalanalysis}

%    Information for first author
\author[Funktionalanalysis]{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Mathematik, Universit\"at Konstanz}
%\address{Oliver C. Schn\"urer, Fachbereich Mathematik und Statistik,
%  Universit\"at Konstanz, 78457 Konstanz, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{Vielen Dank an Jonas Blessing, Olaf Schn\"urer und Andrey
  Zakharov f\"ur Korrekturen und Verbesserungsvorschl\"age.\\
  Eingesetzt in Konstanz: Sommer 2012, 2016 und 2021.}

%    General info
%\subjclass[2000]{53-01}

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

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\begin{abstract}
  Skript zur Vorlesung.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

Mit \optional markierte Abschnitte bezeichnen Zusatzmaterial. 

\textbf{Aufteilung:} Ohne Zusatzmaterial und den Stoff von
Funktionalanalysis II, also mit den Befehlen
\begin{verbatim}
  \long\def\weg#1{} \long\def\faii#1{}
\end{verbatim}
etwa in Zeile 30 der \texttt{tex}-Datei erh\"alt man 37 mathematische
Seiten Skript, was 2,75 Seite/Woche entspricht. Daran orientiert sich
die Aufteilung. 

% Spezielle Kopfzeilen
% \long\def\Section#1{\section{#1} \def\abschnitt{#1}}
% \long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
% \markboth{\scriptsize{\textsc{\thesection.{} \MakeUppercase{\abschnitt}}}}
% {\scriptsize{\textsc{\thesubsection.{} \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}

In dieser Vorlesung geht es haupts\"achlich um unendlich dimensionale
Vek\-tor\-r\"au\-me und lineare Abbildungen zwischen ihnen. Ein
weiteres gro\ss{}es Thema sind R\"aume von Funktionen, Sobolevr\"aume,
die eine schwache Ableitung besitzen.  Wir folgen
\cite{DenkFA,CGAnalysisII,AltFA} und benutzen weiterhin
\cite{OSTopo,CGFA,Dieudonne,Rudin,DenkHoffmannFA,wiki}.

\section{Topologische Grundlagen} 
\datum{Mo 12.04.2021} 

\subsection{Topologische R\"aume}
\weg{
\begin{definition} 
  \stern Sei $X$ eine Menge. Eine Teilmenge
  $\mathcal O\subset\mathcal PX$ hei\ss{}t \emph{Topologie} auf $X$,
  falls folgende Bedingungen erf\"ullt sind:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\emptyset\in\mathcal O$, $X\in\mathcal O$,
  \item $\mathcal O$ ist unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen,
    \dh aus $O_i\in\mathcal O$, $i\in I$, $I$ eine beliebige
    (Index-)Menge, folgt auch $\bigcup\limits_{i\in I}O_i\in\mathcal
    O$. 
  \item $\mathcal O$ ist unter endlichen Schnitten abgeschlossen, \dh
    aus $O_i\in\mathcal O$, $i=1,\ldots,n$, folgt auch
    $\bigcap\limits_{i=1}^n O_i\in\mathcal O$. \par (Es gen\"ugt hier
    f\"ur $O_1,O_2\in\O$ auch $O_1\cap O_2\in\O$ zu fordern.)
  \end{enumerate}
  $(X,\mathcal O)$ (oder auch $X$) hei\ss{}t topologischer
  Raum.\par
  Eine Menge $A\subset X$ hei\ss{}t offen, falls $A\in\mathcal O$
  gilt. $B\subset X$ hei\ss{}t abgeschlossen, falls $X\setminus
  B\in\O$ gilt. 
\end{definition}

\begin{definition} 
  \stern Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum, $A\subset X$ eine
  Teilmenge von $X$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $x\in X$. Dann hei\ss{}t $U\subset X$ \emph{Umgebung} von
    $x$, falls es ein $V\in\O$ mit $x\in V\subset U$ gibt.
  \item $x\in X$ hei\ss{}t \emph{Ber\"uhrpunkt} von $A$, wenn jede
    Umgebung von $x$ einen nichtleeren Durchschnitt mit $A$ hat.
  \item Die Menge der Ber\"uhrpunkte von $A$ hei\ss{}t
    \emph{Abschluss} (oder \emph{abgeschlossene H\"ulle}) von $A$ und
    wird mit $\ol A$ bezeichnet.
  \item Ein Punkt $x$ ist ein \emph{innerer Punkt} von $A$, falls $A$
    eine Umgebung von $x$ ist.
  \item Das \emph{Innere} von $A$ ist als die Menge der inneren Punkte
    definiert und wird mit $\interior A$ bezeichnet, der einfacheren
    Schreibweise wegen aber auch mit $\inneres(A)$.
  \item Ein Punkt $x$ hei\ss{}t \emph{Randpunkt}, $x\in\partial A$,
    wenn er Ber\"uhrpunkt von $A$ und von $X\setminus A$ ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}
} % weg

\begin{definition}
  Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum. 
  \begin{enumerate}[(i)]
    \weg{
  \item\stern Sei $A\subset X$. Dann ist $(A,\O_A)$
    mit \[\O_A:=\{O\cap A\colon O\in\mathcal O\}\] ein topologischer
    Raum. $\O_A$ hei\ss{}t \emph{induzierte Topologie} (oder
    \emph{Relativtopologie} oder \emph{Spurtopologie}). \par Beispiel:
    $(1/2,1]$ ist in $[0,1]$ offen.
  \item Sei $A\subset X$. Dann hei\ss{}t $A$ \emph{dicht} in $X$,
    falls $\ol A=X$ gilt. \par Sei $A\subset B\subset X$. Dann
    hei\ss{}t $A$ dicht in $B$, falls $A$ dicht in $(B,\O_B)$ ist.  
  \item $X$ hei\ss{}t \emph{separabel}, falls es eine h\"ochstens
    abz\"ahlbare Teilmenge $A\subset X$ mit $\ol A=X$ gibt. 
    } % weg 
  \item $B\subset\O$ hei\ss{}t \emph{Basis der Topologie $\O$}, falls sich
    jedes $O\in\O$ als Vereinigung von Elementen von $B$ schreiben
    l\"asst.
  \item Sei $S\subset\mathcal PX$. Dann hei\ss{}t die kleinste
    Topologie auf $X$, die $S$ enth\"alt, die von $S$ \emph{erzeugte
      Topologie}. $S$ hei\ss{}t \emph{Subbasis} dieser Topologie. \par
    Bemerkung: Die von $S$ erzeugte Topologie besteht genau aus Mengen
    der Form
    \[\bigcup\limits_{i\in I}\bigcap\limits_{j=1}^{n_i} U_{ij}\] mit
    $U_{ij}\in S$, $n_i\in\N$ und einer Indexmenge $I$. Denn diese
    Mengen geh\"oren zu jeder Topologie, die $S$ enth\"alt. Beliebige
    Vereinigungen solcher Mengen sind ebenfalls von dieser Form. Wegen
    $(\bigcup_iA_i)\cap(\bigcup_jB_j) =\bigcup_{i,j}A_i\cap B_j$ sind
    auch Schnitte von zwei Mengen dieser Form wieder von dieser Form.
    \weg{
  \item \stern Seien $\O_1,\O_2$ Topologien auf $X$. Dann hei\ss{}t
    $\O_1$ \emph{gr\"ober} als $\O_2$, falls $\O_1\subset\O_2$
    gilt. Gilt $\O_1\supset\O_2$, so hei\ss{}t $\O_1$ \emph{feiner}
    als $\O_2$.
    } % weg
  \end{enumerate}
\end{definition}

\weg{
\begin{remark}
  \stern Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Sei $x\in X$,
  $\epsilon>0$. Setze $B_\epsilon(x):=\{y\in X\colon
  d(y,x)<\epsilon\}$. Dann ist \[\mathcal O:=\{A\subset X\colon
  \forall\,x\in A\,\,\exists\,\epsilon>0:B_\epsilon(x)\subset A\}\]
  eine Topologie auf $X$. Auf metrischen R\"aumen werden wir stets
  diese von der Metrik induzierte Topologie verwenden. (Beweis:
  Analysis-Vorlesung.)\par
  Ein topologischer Raum $(X,\O)$ hei\ss{}t metrisierbar, wenn es eine
  Metrik $d$ auf $X$ gibt, die die vorgegebene Topologie
  induziert. \par
  Der Raum $(X,\{\emptyset,X\})$ ist nicht metrisierbar, falls $X$
  mehr als zwei Punkte enth\"alt, da es dann Mengen $B_\epsilon(x)\neq
  X$ gibt.
\end{remark}
} % weg 

\begin{definition}
  Zwei \emph{Metriken} hei\ss{}en \emph{\"aquivalent}, falls sie die
  gleiche Topologie induzieren.
\end{definition}

\weg{
\begin{definition}
  \stern Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Folge $(x_n)_{n\in\N}$ hei\ss{}t \emph{beschr\"ankt},
    falls es ein $x_0\in X$ und ein $r>0$ mit $x_n\in B_r(x_0)$ f\"ur
    alle $n\in\N$ gibt.
  \item Eine Menge $A\subset X$ hei\ss{}t \emph{beschr\"ankt}, falls
    es ein $x_0\in X$ und ein $r>0$ mit $A\subset B_r(x_0)$ gibt.
  \end{enumerate}
\end{definition}
} % weg

\begin{lemma}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann gibt es eine Metrik auf $X$,
  die zu $d$ \"aquivalent ist, so dass $X$ in dieser Metrik
  beschr\"ankt ist. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $\hat d(x,y):=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$. 
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Sei $X=C^0([0,1])$. Dann definieren $\Vert
  f\Vert_{L^1([0,1])}:=\int\limits_0^1|f(x)|\,dx$ und $\Vert
  f\Vert_{L^\infty([0,1])}:=\sup\limits_{x\in[0,1]} |f(x)|$ Normen auf
  $X$. Sie induzieren Metriken auf $X$ verm\"oge $d_1(f,g):=\Vert
  f-g\Vert_{L^1([0,1])}$ und $d_\infty(f,g):=\Vert
  f-g\Vert_{L^\infty([0,1])}$. Wir wollen zuk\"unftig stets annehmen,
  dass die Metrik auf einem normierten Raum die von der Norm
  induzierte Metrik ist. \par Dann ist $\id\colon (X,d_\infty)\to
  (X,d_1)$ stetig, denn es gilt \[\Vert f\Vert_{L^1([0,1])}
  =\int\limits_0^1|f(x)|\,dx \le\sup\limits_{x\in[0,1]}|f(x)| =\Vert
  f\Vert_{L^\infty([0,1])},\] also auch $d_1(f,g)\le d_\infty(f,g)$.
  Die Umkehrung $\id\colon(X,d_1)\to(X,d_\infty)$ ist jedoch nicht
  stetig, denn f\"ur $f_n(x):=x^n$ gilt \[\Vert f_n\Vert_{L^1([0,1])}
  =\int\limits_0^1x^n\,dx =\frac1{n+1}\quad\text{aber}\quad\Vert
  f_n\Vert_{L^\infty([0,1])}=1.\] Also erhalten wir $d_1(f_n,0)\to0$,
  aber $d_\infty(f_n,0)\not\to0$. 
\end{beispiel}

\begin{definition}
  Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum. 
  \begin{enumerate}[(i)]
    \weg{
  \item \stern Sei $A\subset X$. Dann hei\ss{}t $U$ \emph{Umgebung}
    von $A$, falls $U$ Umgebung f\"ur alle Punkte von $A$ ist.
    } % weg
  \item Eine Familie $\mathcal U$ hei\ss{}t \emph{Umgebungsbasis} von
    $x$, falls jedes $U\in\mathcal U$ eine Umgebung von $x$ ist und
    wenn f\"ur jede Umgebung $V$ von $x$ ein $U\in\mathcal U$ mit
    $U\subset V$ existiert.
    \weg{
  \item \stern $X$ hei\ss{}t \emph{Hausdorffraum}, falls je zwei
    (verschiedene) Punkte disjunkte Umgebungen besitzen. \hfill
    \mbox{(Trennungsaxiom $T_2$)}
    } % weg
  \item $X$ hei\ss{}t \emph{normal}, falls $X$ ein Hausdorffraum ist
    und Trennungsaxiom $T_4$ gilt, \dh disjunkte abgeschlossene Mengen
    disjunkte Umgebungen besitzen.
  \end{enumerate}
\end{definition}

% Urysohn, Trennungssatz
% Tietze, Erweiterungssatz

\begin{definition}
  Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum. Und $(x_n)_{n\in\N}$ eine Folge
  in $X$. Dann hei\ss{}t $x_0\in X$
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \emph{H\"aufungspunkt} der Folge, falls in jeder Umgebung von
    $x_0$ unendlich viele Folgeglieder enthalten sind.
  \item \emph{Grenzwert} der Folge, falls au\ss{}erhalb jeder Umgebung
    von $x_0$ nur endlich viele Folgeglieder liegen.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\subsection{Stetige Abbildungen} 

\weg{
\begin{definition}
  \stern Seien $(X_i,\O_i)$, $i=1,2$, topologische R\"aume. Sei
  $f\colon X_1\to X_2$ eine Abbildung.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $f$ \emph{stetig}, falls f\"ur alle offenen
    Mengen $U\subset X_2$ auch $f^{-1}(U)$ in $X_1$ offen ist.
  \item $f$ hei\ss{}t \emph{offen}, falls f\"ur alle offenen Mengen
    $U\subset X_1$ auch $f(U)$ in $X_2$ offen ist.
  \item $f$ hei\ss{}t \emph{Hom\"oomorphismus}, falls $f$ bijektiv ist
    und sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ stetig sind.
  \item $f$ hei\ss{}t in $x_0\in X_1$ \emph{stetig}, falls es zu jeder
    Umgebung $V$ von $f(x_0)$ eine Umgebung $U$ von $x_0$ mit
    $f(U)\subset V$ gibt.
  \end{enumerate}
\end{definition}
} % weg

\begin{definition}\label{schw topo def}
  Sei $F=\{f_i\colon X\to Y_i\colon i\in I\}$ eine Familie von
  Abbildungen von $X$ in topologische R\"aume $(Y_i,\O_i)$. Dann
  hei\ss{}t die gr\"obste Topologie auf $X$, so dass alle Abbildungen
  $f_i$, $i\in I$, stetig sind, die \emph{$F$-schwache Topologie} auf
  $X$.
\end{definition}

\begin{example}
  Die Produkttopologie auf dem kartesischen Produkt
  $X:=\prod_{i\in I}X_i$ von topologischen R\"aumen $(X_i,\O_i)$ ist
  die gr\"obste Topologie auf $X$, so dass alle Projektionen
  $\pi_i\colon X\to X_i$ stetig sind. Mengen der Form
  $\prod_{i\in I}A_i$ mit $A_i\in\mathcal O_i$ f\"ur alle $i\in I$ und
  $A_i=X_i$ f\"ur fast alle $i\in I$ bilden eine Basis der Topologie
  von $X$.
\end{example}

\begin{definition}
  Seien $(X_1,d_1)$ und $(X_2,d_2)$ metrische R\"aume. Dann hei\ss{}t
  die Abbildung $f\colon X_1\to X_2$ \emph{Isometrie},
  falls \[d_2(f(x),f(y)) =d_1(x,y)\] f\"ur alle $x,y\in X_1$
  gilt. Eine bijektive Isometrie hei\ss{}t \emph{isometrischer
    Isomorphismus}. (Achtung: Manchmal verlangt man bei Isometrien
  auch gleich die Bijektivit\"at.)
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei $\R^n$ der euklidische Raum, \dh der $\R^n$ mit der euklidischen
  Metrik oder Standardmetrik (wie immer, wenn wir die Metrik des
  $\R^n$ nicht explizit angeben). Sei $f\colon\R^n\to\R^n$ ein
  isometrischer Isomorphismus. Dann gilt $f(x)=Ax+b$ f\"ur eine
  orthogonale Matrix $A\in O(n)$ und ein $b\in\R^n$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Nachweis, dass Abbildungen dieser Form isometrische
  Isomorphismen sind, ist einfach. Der Beweis der umgekehrten
  Implikation findet sich in meinem Skript \"uber Elementare
  Differentialgeometrie \cite{OSElDG}.
\end{proof}

\weg{
\subsection{Kompaktheit \stern}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum. Dann hei\ss{}t $X$
    \emph{(\"uber\-de\-ckungs-)\-kom\-pakt} oder \emph{quasikompakt},
    falls jede \"Uberdeckung \[X=\bigcup\limits_{i\in I}A_i\] durch
    offene Mengen $A_i$, $i\in I$, \dh eine offene \"Uberdeckung, eine
    endliche Teil\"uberdeckung \[X=\bigcup\limits_{j=1}^N A_{i_j}\]
    besitzt.\par
    (In der Topologie hei\ss{}t ein \"uberdeckungskompakter $T_2$-Raum
    \emph{kompakt}.)
  \item Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum. Dann hei\ss{}t
    $A\subset X$ \emph{relativ kompakt}, wenn $\ol A\subset X$ kompakt
    ist.
  \item Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum. Dann hei\ss{}t $X$
    \emph{(folgen-)kompakt}, wenn jede Folge $(x_n)_{n\in\N}$ in $X$
    eine konvergente Teilfolge besitzt.
  \item Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann hei\ss{}t $X$
    \emph{pr\"akompakt} (oder \emph{totalbeschr\"ankt}), falls es zu
    jedem $\epsilon>0$ ein $N\in\N$ und Punkte $x_i\in X$,
    $1\le i\le N$, mit \[X=\bigcup\limits_{i=1}^NB_\epsilon(x_i)\]
    gibt.
  \end{enumerate}
  Eine Teilmenge $A\subset X$ hei\ss{}t kompakt, falls $A$ mit von $X$
  induzierter Metrik bzw.{} Topologie kompakt ist. \par Wir wollen ebenso
  einen Teilraum $A\subset X$ vollst\"andig, beschr\"ankt,
  pr\"akompakt, \ldots{} nennen, falls dies f\"ur $A$ mit der von $X$
  induzierten Topologie oder Metrik gilt.
\end{definition}

\begin{theorem}
  Seien $X,Y$ topologische R\"aume. Sei $X$ kompakt und $f\colon X\to
  Y$ stetig. Dann ist $f(X)$ (\"uberdeckungs-)kompakt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(U_i)_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung von $f(X)$. Da $f$
  stetig ist, ist auch $\left(f^{-1}(U_i)\right)_{i\in I}$ eine offene
  \"Uberdeckung von $X$. Da $X$ kompakt ist, gibt es eine endliche
  Teil\"uberdeckung. Sei ohne Einschr\"ankung
  $\left(f^{-1}(U_i)\right)_{1\le i\le N}$ eine endliche
  Teil\"uberdeckung. Dann ist $(U_i)_{1\le i\le N}$ eine endliche
  \"Uberdeckung von $f(X)$.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen
  \"aquivalent: 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{komp aequiv i} $X$ ist (\"uberdeckungs-)kompakt.
  \item\label{komp aequiv ii} $X$ ist folgenkompakt.
  \item\label{komp aequiv iii} $X$ ist pr\"akompakt und vollst\"andig. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \glqq\eqref{komp aequiv i}\impliziert\eqref{komp
    aequiv ii}\grqq: Sei $(x_n)_n$ eine Folge. Definiere \[F_n:=
  \ol{\{x_n,x_{n+1},x_{n+2},\ldots\}}.\] Die Mengen $F_n$ sind
  abgeschlossen, $U_n:= X\setminus F_n$ ist also offen. Wir behaupten,
  dass es ein $a\in\bigcap\limits_{n\in\N}F_n$ gibt. Dies ist dann der
  gesuchte H\"aufungspunkt der Folge. Falls es kein solches $a$ gibt,
  ist $\bigcap\limits_{n\in\N}F_n=\emptyset$, was \"aquivalent zu
  $\bigcup\limits_{n\in\N}U_n=X$ ist. Somit ist $(U_n)_n$ eine offene
  \"Uberdeckung von $X$ und endlich viele der Mengen $U_n$
  \"uberdecken bereits $X$, ohne Einschr\"ankung gelte
  $\bigcup\limits_{n=1}^N U_n =X$. Dies ist \"aquivalent zu
  $\bigcap\limits_{i=1}^N F_n=\emptyset$. Es gilt aber
  $\bigcap\limits_{i=1}^N F_n=F_N\neq\emptyset$. Widerspruch. \par
  \glqq\eqref{komp aequiv ii}\impliziert\eqref{komp aequiv iii}\grqq:
  Da $X$ folgenkompakt ist, ist $X$ auch vollst\"andig.\par Falls $X$
  nicht pr\"akompakt ist, gibt es ein $\epsilon>0$, so dass
  $\bigcup\limits_{i=1}^N B_{\epsilon}(x_i)\subsetneq X$ f\"ur alle
  $x_i\in X$ und alle $N$ gilt. Fixiere nun $x_0\in X$ beliebig und
  w\"ahle $x_{n+1}\in X\setminus\bigcup\limits_{i=0}^n
  B_\epsilon(x_i)\neq\emptyset$ beliebig. Es gilt stets
  $d(x_i,x_j)\ge\epsilon$ f\"ur $i\neq j$. Somit besitzt $(x_n)_n$
  keine konvergente Teilfolge. Widerspruch.\par
  \glqq\eqref{komp aequiv iii}\impliziert\eqref{komp aequiv i}\grqq:
  Nehme an, dass es eine \"Uberdeckung $\mathcal U$ ohne endliche
  offene Teil\"uberdeckung gibt. $n=0$: Da $X$ pr\"akompakt ist, gibt
  es endlich viele offene Kugeln vom Radius $1=2^{-0}$, die $X$
  \"uberdecken. Mindestens eine davon, $B_{2^{-0}}(x_0)$, wird nicht
  von endlich vielen Mengen aus $\mathcal U$ \"uberdeckt. \par
  Seien $x_0,x_1,\ldots,x_n$ bereits definiert. Dann wird $X$ von
  endlich vielen Kugeln vom Radius $2^{-(n+1)}$
  \"uberdeckt. Mindestens eine davon, $B_{2^{-(n+1)}}(x_{n+1})$, wird
  nicht von endlich vielen Mengen aus $\mathcal U$ \"uberdeckt. Wir
  k\"onnen dabei $B_{2^{-(n+1)}}(x_{n+1})\cap B_{2^{-n}}(x_n) \neq
  \emptyset$ annehmen. (Sonst w\"urden n\"amlich alle B\"alle vom
  Radius $2^{-(n+1)}$ mit nichtleerem Schnitt mit $B_{2^{-n}}(x_n)$
  endlich durch Mengen in $\mathcal U$ \"uberdeckt und das w\"urde
  somit auch f\"ur $B_{2^{-n}}(x_n)$ gelten. Widerspruch.) Also gilt
  $d(x_n,x_{n+1})<2^{-(n+1)}+2^{-n}<2^{-(n-1)}$ und somit f\"ur
  $p\in\N$ \[d(x_n,x_{n+p})<2^{-(n-1)}+2^{-n}
  +2^{-(n+1)}+\ldots+2^{-(n+p-2)} <2^{-(n-2)}.\] Daher ist $(x_n)_n$
  eine Cauchyfolge in $X$, konvergiert also gegen ein $x\in X$ und wir
  erhalten $d(x_n,x)\le 2^{-(n-2)}$ durch Grenz\"ubergang
  $p\to\infty$. $x$ liegt aber in einer offenen Menge aus $\mathcal
  U$. Dies gilt auch f\"ur $B_\epsilon(x)$. Nach Dreiecksungleichung
  gilt aber $B_{2^{-n}}(x_n) \subset B_{2^{-(n-2)} +2^{-n}}(x)\subset
  B_\epsilon(x)$ f\"ur gro\ss{}e Werte von $n$. Widerspruch zur Wahl
  von $x_n$.
\end{proof}

\begin{definition}
  Seien $(X_i,d_i)$, $i=1,2$, metrische R\"aume. Eine Abbildung
  $f\colon X_1\to X_2$ hei\ss{}t \emph{gleichm\"a\ss{}ig stetig},
  falls
  \[\forall\,\epsilon>0\,\exists\,\delta>0\,\forall\, x,y\in X_1:\,
    d_1(x,y)<\delta\,\Longrightarrow\,d_2(f(x),f(y))<\epsilon.\]
\end{definition}

\begin{theorem}
  Seien $X,Y$ metrische R\"aume. Sei $X$ kompakt und $f\colon X\to Y$
  stetig. Dann ist $f$ gleichm\"a\ss{}ig stetig.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls nicht, gibt es $\epsilon>0$ und Punkte $a_n,b_n\in X$ mit
  $d_X(a_n,b_n)<1/n$ aber $d_Y(f(a_n),f(b_n))\ge\epsilon$. Da $X$
  kompakt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge der $a_n$, ohne
  Einschr\"ankung gelte also $a_n\to a\in X$ f\"ur $n\to\infty$. Nach
  Dreiecksungleichung gilt $d_X(a,b_n)\le d_X(a,a_n) +d_X(a_n,b_n)$,
  also gilt auch $b_n\to a$ f\"ur $n\to\infty$. Da aber $f$ in $a$
  stetig ist, gibt es $\delta>0$, so dass $d_X(a,x)<\delta
  \Longrightarrow d_Y(f(a),f(x))<\epsilon/2$ gilt. Sei $n$ so
  gro\ss{}, dass $a_n,b_n\in B_\delta(a)$ gilt. Wir erhalten dann
  $d_Y(f(a_n),f(b_n)) \le d_Y(f(a_n),f(a))
  +d_Y(f(a),f(b_n))<\epsilon$. Widerspruch. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $Y$ ein metrischer Raum. Sei $X\subset Y$ kompakt. Dann ist $X$
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item beschr\"ankt, 
  \item abgeschlossen sowie
  \item separabel. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
Nur f\"ur die Abgeschlossenheit ist der umgebende Raum wichtig. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Folgt aus der Pr\"akompaktheit.
  \item Folgt aus der Folgenkompaktheit.
  \item Zu $n\in\N$ gibt es endlich viele Kugeln mit Radius $1/n$, die
    $X$ \"uberdecken. Sei $X_n$ die endliche Menge der zugeh\"origen
    Mittelpunkte. Dann ist $\bigcup\limits_{n\in\N}X_n$ die gesuchte
    h\"ochstens abz\"ahlbare dichte Teilmenge. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
  Seien $(X,d)$, $(Z,D)$, metrische R\"aume und sei $(f_i)_{i\in
    I}$ eine Familie von Funktionen $f_i\colon X\to Z$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $(f_i)_{i\in I}$ hei\ss{}t \emph{gleichgradig stetig},
    falls
    \[\forall x\in X\,\forall \epsilon>0\, \exists\,\delta>0\, \forall
      i\in I\, \forall y\in X\colon
      d(x,y)<\delta\,\Longrightarrow\,D(f_i(x),f_i(y))<\epsilon.\]
  \item $(f_i)_{i\in I}$ hei\ss{}t \emph{gleichm\"a\ss{}ig
      gleichgradig stetig}, falls
    \[\forall \epsilon>0\, \exists\,\delta>0\, \forall i\in I\,
      \forall x,y\in X\colon
      d(x,y)<\delta\,\Longrightarrow\,D(f_i(x),f_i(y))<\epsilon.\]
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}[Arzel\`a-Ascoli]
  Sei $X$ ein kompakter metrischer Raum und sei $(f_n)_{n\in\N}$ eine
  Folge gleichgradig stetiger Funktionen $f_n\colon X\to\R$, die
  gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt sind. Dann existiert eine Teilfolge,
  ohne Einschr\"ankung $(f_n)_n$, die gleich\-m\"a\-\ss{}ig gegen eine
  stetige Funktion $f\colon X\to\R$ konvergiert: $f_n\rightrightarrows
  f$ f\"ur $n\to\infty$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Analysisvorlesung. \par
  Beweisidee: Mit einem Diagonalfolgenargument erhalten wir eine
  Teilfolge, die auf einer dichten Teilmenge konvergiert. Aufgrund der
  gleichgradigen Stetigkeit konvergiert die Teilfolge \"uberall. \par
  Die gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz weist man nach, indem man die
  gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz in einer gen\"ugend gro\ss{}en
  endlichen Menge und erneut die gleichgradige Stetigkeit benutzt.
\end{proof}

% Tychonoff?? 

\begin{remark}
  Im $\R^n$ ist jede beschr\"ankte abgeschlossene Teilmenge
  kompakt. In metrischen R\"aumen gilt dies i.\,a.{} nicht mehr: In
  $l^2(\N)$ (siehe folgendes Kapitel) ist $\ol{B_1(0)}$ beschr\"ankt
  und abgeschlossen, aber nicht kompakt, da die Vektoren
  $e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots)$ f\"ur $i\neq j$ die Gleichheit
  $d(e_i,e_j) =\Vert e_i-e_j\Vert =\sqrt 2$ erf\"ullen.
\end{remark}
} % weg

\subsection{Vervollst\"andigung}

\weg{
\begin{definition}
  \stern Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Folge $(x_n)_{n\in\N}$ in $X$ hei\ss{}t
    \emph{Cauchyfolge}, falls
    \[\forall\,\epsilon>0\,\exists \,N\in\N\colon \forall\,n,m\ge
      N\colon d(x_n,x_m)<\epsilon.\]
  \item $X$ hei\ss{}t \emph{vollst\"andig}, wenn jede Cauchyfolge in
    $X$ konvergiert.
  \end{enumerate}
\end{definition}
} % weg

\weg{
\begin{lemma}\label{glm stet cauchy cauchy lem}
  Sei $f\colon (X_1,d_1)\to(X_2,d_2)$ gleichm\"a\ss{}ig stetig. Sei
  $(x_n)_{n\in\N}$ eine Cauchyfolge in $X_1$. Dann ist
  $(f(x_n))_{n\in\N}$ eine Cauchyfolge in $X_2$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\epsilon>0$. Dann gibt es $\delta>0$, so dass \[d_1(x,y)<\delta
  \Longrightarrow d_2(f(x),f(y))<\epsilon\] gilt. Da $(x_n)_n$ eine
  Cauchyfolge in $X_1$ ist, gibt es $N\in\N$, so dass
  $d_1(x_n,x_m)<\delta$ f\"ur alle $n,m\ge N$ gilt. Zusammengenommen
  folgt $d_2(f(x_n),f(x_m))<\epsilon$ f\"ur alle $n,m\ge N$.
\end{proof}
} % weg

\begin{lemma}\label{glm stet dichte tm lem}  
  Seien $(X_i,d_i)$, $i=1,2$, metrische R\"aume. Sei $X_2$
  vollst\"andig. Sei $X\subset X_1$ dicht. Sei $f\colon X\to X_2$
  gleichm\"a\ss{}ig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
  stetige Fortsetzung $g\colon X_1\to X_2$. $g$ ist gleichm\"a\ss{}ig
  stetig.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x\in X_1$, $x_n\to x$ eine Cauchyfolge mit $x_n\in
  X$. Setze \[g(x):=\lim_{n\to\infty}f(x_n).\] Nach Lemma \ref{glm
    stet cauchy cauchy lem} existiert der Grenzwert auf der rechten
  Seite f\"ur eine feste Cauchyfolge. $g$ ist wohldefiniert, denn
  f\"ur zwei Cauchyfolgen $x_n\to x$ und $y_n\to x$ ist auch \[z_n:=
  \begin{cases}
    x_{\frac n2}&\text{f\"ur gerades }n,\\
    y_{\frac{n+1}2}&\text{f\"ur ungerades }n
  \end{cases}\] eine Cauchyfolge. Da konstante Cauchyfolgen zugelassen
  sind, ist $g$ eine Fortsetzung von $f$.\par Zur gleichm\"a\ss{}igen
  Stetigkeit: Sei $\epsilon>0$. Dann gibt es $\delta>0$, so dass
  $d_1(a,b)<3\delta\Longrightarrow d_2(f(a),f(b))<\epsilon/3$ f\"ur
  alle $a,b\in X$ gilt. Seien $x,y\in X_1$. W\"ahle Cauchyfolgen
  $x_n\to x$ und $y_n\to y$ f\"ur $n\to\infty$ mit $x_n,y_n\in
  X$. Dann gilt f\"ur $d_1(x,y)<\delta$ \[d_2(g(x),g(y))\le
  \underbrace{d_2(g(x),f(x_n))}_{<\epsilon/3} +d_2(f(x_n),f(y_n))
  +\underbrace{d_2(f(y_n),g(y))}_{<\epsilon/3},\] falls $n$ gro\ss{}
  ist. Aus $d_1(x,y)<\delta$ folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung
  $d_1(x_n,y_n)<3\delta$ f\"ur $n\gg1$. Somit erhalten wir f\"ur den
  mittleren Term aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Stetigkeit von $f$
  die Absch\"atzung $d_2(f(x_n),f(y_n))<\epsilon/3$.\par
  Sei $h$ eine weitere stetige Fortsetzung und $x_n\to x$ mit $x_n\in
  X$. Dann gilt \[g(x)=\lim_{n\to\infty}g(x_n)
  =\lim_{n\to\infty}f(x_n) =\lim_{n\to\infty}h(x_n) =h(x).\] Somit ist
  die Fortsetzung von $f$ eindeutig bestimmt.
\end{proof}

\begin{definition}[Vervollst\"andigung]
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.  Eine \emph{Vervollst\"andigung}
  von $(X,d)$ ist ein Tripel $\big(\hat X,\hat d,\iota\big)$ mit den
  folgenden Eigenschaften:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\big(\hat X,\hat d\,\big)$ ist ein vollst\"andiger
    metrischer Raum.
  \item $\iota\colon X\to\hat X$ ist eine Isometrie mit dichtem Bild.  
  \item Sei $Y$ ein vollst\"andiger metrischer Raum. Dann gibt es zu
    jeder gleichm\"a\ss{}ig stetigen Abbildung $f\colon X\to Y$ eine
    gleichm\"a\ss{}ig stetige Fortsetzung $\hat f\colon\hat X\to Y$,
    so dass $\hat f\circ\iota =f$ gilt, \dh
    \[\xymatrix{X\ar[rr]^-\iota\ar[dr]_-f&&\hat X\ar[dl]^-{\hat f}\\
        &Y&}\] kommutiert.
  \end{enumerate}
  Sp\"ater nennt man auch laxerweise $\big(\hat X,\hat d\,\big)$ die
  Vervollst\"andigung von $(X,d)$ oder sagt, dass $\hat X$ die
  Vervollst\"andigung von $X$ sei.\par
  Wir nennen $\hat f$ eine Fortsetzung von $f$, da wir $X$ verm\"oge
  $\iota$ als Teilmenge von $\hat X$ auf{}fassen k\"onnen. Wir
  schreiben sp\"ater nach Identifizierung von $X$ und $\iota(X)$ auch
  $X\subset\hat X$. \par
  Zwei Vervollst\"andigungen $\big(\hat X,\hat d,\iota\big)$ und
  $\big(\tilde X,\tilde d,\jmath\big)$ hei\ss{}en isometrisch
  isomorph, falls es einen isometrischen Isomorphismus $f\colon \hat
  X\to\tilde X$ mit $\jmath=f\circ\iota$ gibt, \dh
  \[\xymatrix{X\ar[rr]^-\jmath\ar[dr]_-\iota&&\tilde X\\
  &\hat X\ar[ru]_-f&}\] kommutiert.
\end{definition}

\weg{
\begin{remark}\label{dicht eind vollst bem}\optional
  Die Forderung nach $\ol{\iota(X)}=\hat X$ kann man auch durch die
  Forderung nach einer eindeutigen Fortsetzung $\hat f\colon\hat X\to
  Y$ ersetzen und erh\"alt eine \"aquivalente Definition. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\ol{\iota(X)}=\hat X$, so ist $\hat f$ wegen $\hat
    f\circ\iota=f$ auf einer dichten Teilmenge eindeutig
    vorgegeben. Da $\hat f$ stetig ist, ist die Abbildung also
    eindeutig bestimmt.
  \item Ist $\ol{\iota(X)}\subsetneq\hat X$, so gibt es $x_0\in\hat X$
    und $\epsilon>0$ mit $B_\epsilon(x_0)\subset\hat
    X\setminus\ol{\iota(X)}$. Sei $Y=[0,1]$. Dann gibt es Lipschitz
    stetige und damit insbesondere gleichm\"a\ss{}ig stetige
    Funktionen $\hat f_i\colon\hat X\to Y$ mit $\hat
    f_i\left(\ol{\iota(X)}\right)=\{0\}$ und $\hat f_i(x_0)=i$,
    $i=0,\,1$, n\"amlich $\hat f_0\equiv0$ und $\hat f_1$ mit \[\hat
    f_1(x)=
    \begin{cases}
      1-\frac{d(x,x_0)}\epsilon&\text{f\"ur } x\in B_\epsilon(x_0),\\
      0&\text{sonst}.
    \end{cases}
    \] Somit ist die Fortsetzung der Nullabbildung $f\colon X\to Y$
    nicht eindeutig bestimmt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}
} % weg

\datum{Mo 19.04.2021}
\begin{theorem}[Vervollst\"andigung]
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann gibt es eine
  Vervollst\"andigung $\big(\hat X,\hat d,\iota\big)$.\par
  Die Vervollst\"andigung $\big(\hat X,\hat d,\iota\big)$ ist bis
  auf einen isometrischen Isomorphismus eindeutig bestimmt.\par Die
  doppelte Vervollst\"andigung $\left(\hat{\hat X},\hat{\hat
      d},\hat\iota\circ\iota\right)$ ist ebenfalls isometrisch
  isomorph zu $\big(\hat X,\hat d,\iota\big)$.
\end{theorem}
Wie im folgenden Beweis kann man aus $\Q$ auch $\R$ konstruieren.
\begin{proof}[Beweis] 
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Existenz: Auf dem Raum der Cauchyfolgen in $X$ definieren wir
    die \"Aquivalenzrelation $\sim$ durch \[(x_n)_n\sim(y_n)_n
    \quad:\Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=0.\]
    Es ist mit Hilfe der Dreiecksungleichung leicht zu sehen, dass
    dies eine \"Aquivalenzrelation ist.  Mit $[(x_n)_n]$ bezeichnen
    wir die \"Aquivalenzklasse der Cauchyfolge $(x_n)_n$. Sei \[\hat
    X:=\{[(x_n)_n]\colon (x_n)_n \text{ ist Cauchyfolge in X}\}.\] Auf
    $\hat X$ definieren wir eine Metrik $\hat d\colon \hat X\times
    \hat X\to \R_+\equiv\R_{\ge0}$ durch \[\hat d([(x_n)_n],[(y_n)_n])
    :=\lim_{n\to\infty} d(x_n,y_n).\] Man rechnet direkt nach, dass
    $\hat d$ wohldefiniert und eine Metrik ist. Die
    Dreiecksungleichung folgt dabei aus \[d(x_n,z_n)\le d(x_n,y_n)
    +d(y_n,z_n),\] indem man den
    Grenzwert $n\to\infty$ betrachtet. Die behaupteten Eigenschaften
    von $\big(\hat X,\hat d\,\big)$ werden wir noch nachweisen.
  \item Definiere $\iota\colon X\to\hat X$
    durch \[x\mapsto[(x)_{n\in\N}],\] wir bilden $x$ also auf die
    \"Aquivalenzklasse der konstanten Cauchyfolge ab. Dies ist eine
    Isometrie. 
  \item $\iota(X)$ liegt dicht in $\hat X$: Sei $[(x_n)_n]\in\hat
    X$. Sei $\epsilon>0$. W\"ahle $N\in\N$, so dass
    $d(x_n,x_m)<\epsilon/2$ f\"ur $n,m\ge N$ gilt. Es ist
    $[(x_N)_n]\in\iota(X)$ und es gilt \[\hat d([(x_N)_n],[(x_n)_n])
    =\lim_{n\to\infty}\underbrace{d(x_N,x_n)}_{<\epsilon/2}
    <\epsilon\] f\"ur $n\ge N$. 
  \item Vollst\"andigkeit: Sei $([x_k])_{k\in\N}$ eine Cauchyfolge in
    $\hat X$. Gelte $x_k=(x_{k,n})_{n\in\N}$. Dann gibt es zu jedem
    $k\in\N$ ein $N_k\in\N$ mit $d(x_{k,n},x_{k,m})<1/k$ f\"ur $n,m\ge
    N_k$. Wir definieren $(y_l)_{l\in\N}$ durch $y_l:=x_{l,N_l}$. Wir
    wollen nachweisen, dass $y:=(y_l)_l$ eine Cauchyfolge in $X$ ist
    und dass $[x_k]\to[y]$ in $\big(\hat X,\hat d\,\big)$ gilt. 
  \item $(y_l)_l$ ist eine Cauchyfolge in $X$: Zun\"achst ist \[\hat
    d(\iota(x_{i,N_i}),[x_i]) =\lim_{n\to\infty}
    \underbrace{d(x_{i,N_i},x_{i,n})}_{\le1/i\text{ f\"ur }n\ge N_i}
    \le\tfrac 1i.\] Nun gilt
    \begin{align*}
      d(y_k,y_l)\le&\,d(y_k,x_{k,m}) +d(x_{k,m},x_{l,m})
      +d(x_{l,m},y_l)\\
      \le&\,\tfrac1k+d(x_{k,m},x_{l,m})+\tfrac1l
      \quad\forall\,m\ge\max\{N_k,N_l\}\\
      \le&\,\tfrac1k+\hat d([x_k],[x_l]) +\left|\hat d([x_k],[x_l])
        -d(x_{k,m},x_{l,m})\right|+\tfrac1l\\&\,
      \quad\forall\,m\ge\max\{N_k,N_l\}.
    \end{align*}
    Sei $\epsilon>0$. $([x_k])_{k\in\N}$ ist nach Voraussetzung eine
    Cauchyfolge in $\hat X$. Daher k\"onnen wir $k,l\in\N$ mit
    $1/k+1/l\le\epsilon/3$ und $\hat d([x_k],[x_l])\le\epsilon/3$
    fixieren. Benutze die Definition von $\hat d$ und w\"ahle $m$ so
    gro\ss{}, dass \[\left|\hat
      d([x_k],[x_l])-d(x_{k,m},x_{l,m})\right| \le\epsilon/3\]
    gilt. Wir erhalten somit $d(y_k,y_l)\le\epsilon$. Daher ist
    $(y_l)_l$ eine Cauchyfolge.
  \item $[x_k]\to[y]$: Es gilt
    \begin{align*}
      d(x_{k,l},y_l)\le&\, d(x_{k,l},x_{k,N_k}) +d(x_{k,N_k},y_l)\\
      \le&\, \tfrac1k +d(y_k,y_l)\quad\text{f\"ur }l\ge N_k.
    \end{align*}
    Lasse nun $k,l\to\infty$ mit $l\ge N_k$. Somit folgt $\hat
    d([x_k],[y])\to0$ f\"ur $k\to\infty$. \par
    Ausf\"uhrlicher: Sei $\epsilon>0$. Sei $N\in\N$ mit
    $d(y_i,y_j)<\epsilon/2$ f\"ur $i,j\ge N$. W\"ahle $k\ge N$ so
    gro\ss{}, dass $1/k<\epsilon/2$ gilt. W\"ahle nun
    $l\ge\max\{N,N_k\}$. Dann folgt $d(x_{k,l},y_l)<\epsilon$. Mit
    $l\to\infty$ erhalten wir also $\hat d([x_k],[y])\le\epsilon$. 
  \item Fortsetzbarkeit: Sei $Y$ ein vollst\"andiger metrischer Raum
    und sei $f\colon X\to Y$ gleichm\"a\ss{}ig stetig. Definiere
    $\hat f\colon\hat X\to Y$ durch
    \[\hat f([(x_n)_n]):= \lim_{n\to\infty}f(x_n).\] Die
    Wohldefiniertheit, Eindeutigkeit und gleichm\"a\ss{}ige Stetigkeit
    von $\hat f$ folgen aus Lemma \ref{glm stet dichte tm lem}, da
    $\hat f$ die Fortsetzung der gleichm\"a\ss{}ig stetigen Abbildung
    \begin{align*}
      f\circ\iota^{-1}\colon\iota(X)\to&\, Y,\\
      [(x)_n]\mapsto&\,f(x)
    \end{align*}
    ist.
  \item Eindeutigkeit: Sei $\left(\tilde X,\jmath,\tilde d\right)$
    eine weitere Vervollst\"andigung von $(X,d)$. Sei $\hat\jmath$ die
    Fortsetzung von $\jmath$,
    also \[\xymatrix{X\ar[rr]^-\iota\ar[dr]_-\jmath&&\hat
      X\ar[dl]^-{\hat\jmath}\\ &\tilde X&}\] ein kommutatives
    Diagramm. Da $\jmath\circ\iota^{-1}\colon\iota(X)\to\tilde X$ eine
    Isometrie mit dichtem Bild in $\tilde X$ ist, ist $\hat\jmath$ ein
    isometrischer Isomorphismus.
  \item Doppelte Vervollst\"andigung: Betrachte das kommutative
    Diagramm \[\xymatrix{X\ar[rrrr]^-{\hat\iota\circ\iota}
      \ar[drr]^-\iota \ar[rrdd]_-f&&&&\hat{\hat
        X},\ar[lldd]^-{\hat{\hat
          f}}\\
      &&\hat X\ar[d]^-{\hat f}\ar[rru]^-{\hat\iota}&&\\
      &&Y&&}\] wobei $\hat\iota\colon\hat X\to\hat{\hat X}$ die
    Inklusionsabbildung ist.  Zun\"achst existiert $\hat f$ zu $f$, da
    $\hat X$ eine Vervollst\"andigung zu $X$ ist. Dann existiert
    $\hat{\hat f}$ zu $\hat f$, da $\hat{\hat X}$ eine
    Vervollst\"andigung zu $\hat X$ ist. An den \"au\ss{}eren Pfeilen
    des Diagramms lesen wir ab, dass $\hat{\hat X}$ auch eine
    Vervollst\"andigung von $X$ ist, falls
    $\hat\iota\circ\iota(X)\subset\hat{\hat X}$ dicht liegt. \par
    Sei also $\epsilon>0$. Da das Bild von $\hat\iota$ in $\hat{\hat
      X}$ dicht ist, gibt es zu $x_2\in\hat{\hat X}$ ein $x_1\in\hat
    X$ mit $\hat{\hat d}(\hat\iota(x_1),x_2) <\epsilon/2$. Ebenso gibt
    es ein $x_0\in X$ mit $\hat d(\iota(x_0),x_1)<\epsilon/2$. Da
    $\hat\iota$ eine Isometrie ist, folgt \[\hat{\hat
      d}(\hat\iota\circ\iota(x_0),x_2)\le \hat{\hat
      d}(\hat\iota\circ\iota(x_0),\hat\iota(x_1)) +\hat{\hat
      d}(\hat\iota(x_1),x_2) <\hat d(\iota(x_0),x_1)
    +\epsilon/2<\epsilon.\] Also sind $\left(\hat X,\hat
      d,\iota\right)$ und $\left(\hat{\hat X},\hat{\hat
        d},\hat\iota\circ\iota\right)$ Vervollst\"andigungen von
    $(X,d)$ und somit aufgrund der gerade gezeigten Eindeutigkeit
    isometrisch isomorph. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\section{Normierte R\"aume und Hilbertr\"aume}

\subsection{Normierte R\"aume}

\weg{
\begin{remark}
  \stern Wir sagen, dass $V$ ein $\K$-Vektorraum sei, wenn $V$ ein
  Vektorraum \"uber $\R$ oder \"uber $\C$ ist.
\end{remark}

\begin{definition}
  \stern Sei $V$ ein $\K$-Vektorraum. Dann hei\ss{}t
  $\Vert\cdot\Vert\colon V\to\R$ \emph{Norm}, wenn $\Vert\cdot\Vert$
  die folgenden Eigenschaften erf\"ullt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Vert v\Vert\ge0$ f\"ur alle $v\in V$.
  \item $\Vert v\Vert=0$ gilt genau dann, wenn $v=0$ ist.
  \item $\Vert\lambda v\Vert=|\lambda|\cdot\Vert v\Vert$ f\"ur alle
    $\lambda\in\K$ und alle $v\in V$. 
  \item $\Vert u+v\Vert\le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$ f\"ur alle
    $u,v\in V$. \hfill \mbox{(Dreiecksungleichung)}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  \stern Sei $V$ ein normierter Raum. Dann ist $V\ni x\mapsto\Vert
  x\Vert$ stetig.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus der umgekehrten Dreiecksungleichung \[|\Vert
  x_n\Vert-\Vert x\Vert|\le\Vert x_n-x\Vert:\] Gelte $x_n\to x$. Dann
  konvergiert die rechts Seite gegen Null, somit folgt auch $\Vert
  x_n\Vert\to\Vert x\Vert$. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \stern 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Jeder normierte Raum ist ein metrischer Raum verm\"oge
    $d(x,y):=\Vert x-y\Vert$. Wenn nicht anders angegeben, wollen wir
    auf normierten R\"aumen stets diese induzierte Metrik
    betrachten. \hfill \mbox{(Details: Analysisvorlesung.)}
  \item Einen vollst\"andigen normierten Raum nennen wir Banachraum.
  \item Seien $(V_1,\Vert\cdot\Vert_1)$ und $(V_2,\Vert\cdot \Vert_2)$
    normierte R\"aume. Dann wird auf \[V_1\oplus V_2
    :=\{(v_1,v_2)\colon v_1\in V_1,\,v_2\in V_2\}\] durch
    $\Vert(v_1,v_2)\Vert_{V_1\oplus V_2}:=\Vert v_1\Vert_{V_1}+\Vert
    v_2\Vert_{V_2}$ eine Norm definiert. Wie beim Nachweis, dass die
    \glqq Taxinorm\grqq{} eine Norm ist, rechnet man auch hier nach,
    dass man eine Norm erh\"alt.
  \item Seien $(V_i,\Vert\cdot\Vert_i)$, $i\in I$, normierte
    R\"aume. Dann ist \[\bigoplus\limits_{i\in I} V_i:=\{(v_i)_{i\in
      I}\colon v_i\in V_i,\,\Vert(v_i)_{i\in I}\Vert<\infty\}
    \quad\text{mit}\quad\Vert (v_i)_{i\in I}\Vert:=\sum\limits_{i\in
      I}\Vert v_i\Vert_{V_i}\] ein normierter Raum.
  \item Auf den direkten Summen gibt es auch weitere Normen, z.\,B.{}
    $l^p$-Normen, vergleiche den n\"achsten Abschnitt. 
  \item Sind die normierten R\"aume sogar Banachr\"aume, so sind die
    oben definierten direkten Summen ebenfalls Banachr\"aume.\par
    Benutzt man, dass die R\"aume $V_i$ Banachr\"aume sind, so kann
    man beim Beweis wie bei $l^1$ vorgehen.
  \item Ist $I$ unendlich, so gilt automatisch f\"ur h\"ochstens
    abz\"ahlbar viele $i\in I$ die Ungleichung $v_i\neq0$.
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

Bei Quotientenr\"aumen muss man sich im Gegensatz zur linearen Algebra
auf abgeschlossene Teilmengen beschr\"anken um wieder einen Banachraum
zu erhalten. Das folgende Theorem ist falsch, wenn wir aus den
stetigen Funktionen mit $C^0$-Norm auf $[0,1]$ den (nach
Stone-Weierstra\ss{} dichten) Unterraum der Polynome
herausdividieren, der Quotientenraum ist nicht einmal normiert, da die
positive Definitheit verloren geht. 
\begin{theorem}[Quotientenr\"aume von Banachr\"aumen]
  Sei $X$ ein Banachraum, $M\subset X$ ein abgeschlossener
  Unterraum. Dann ist der Quotientenraum $X/M$ mit \[\Vert[x]\Vert
  :=\dist(x,M) :=\inf_{y\in M}\Vert x-y\Vert\] ein Banachraum.
\end{theorem}
\datum{Mo 26.04.2021}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir beschr\"anken uns auf die nichttrivialen Nachweise. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Vert[x]\Vert$ ist unabh\"angig vom Vertreter aus $x+M$
    wohldefiniert. 
  \item Da $M$ abgeschlossen ist, ist $\Vert[x]\Vert\neq0$ f\"ur
    $[x]\neq M$. 
  \item Dreiecksungleichung: Sei $\epsilon>0$. Seien $x,y\in X$ und
    $a,b\in M$ mit $\Vert x-a\Vert\le\dist(x,M)+\epsilon$ sowie $\Vert
    y-b\Vert\le\dist(y,M)+\epsilon$. Dann folgt
    \[\inf_{z\in M}\Vert x+y-z\Vert\le \Vert x+y-a-b\Vert\le\Vert
    x-a\Vert +\Vert y-b\Vert\le \dist(x,M) +\dist(y,M) +2\epsilon.\]
    Die Dreiecksungleichung folgt. 
  \item $X/M$ ist vollst\"andig: Sei $([x_n])_{n\in\N}$ eine
    Cauchyfolge. Nach \"Ubergang zu einer Teilfolge d\"urfen wir ohne
    Einschr\"ankung annehmen, dass $\Vert[x_n]-[x_{n+1}]\Vert<2^{-n}$
    gilt. Wir wollen nun Vertreter w\"ahlen, die in $X$ eine
    Cauchyfolge bilden. W\"ahle $z_0\in[x_0]$ beliebig. Dann finden
    wir induktiv $z_{n+1}\in[x_{n+1}]$ mit \[\Vert z_{n+1}-z_n\Vert
    \le\Vert[x_{n+1}-x_n]\Vert +2^{-n} =\Vert[x_{n+1}]-[x_n]\Vert
    +2^{-n}.\] Die $z_n$ bilden eine Cauchyfolge in $X$, da
    \begin{align*}
      \Vert z_{n+m}-z_n\Vert\le&\,\sum\limits_{i=n}^{n+m-1}\Vert
      z_{i+1}-z_i\Vert
      \le\sum\limits_{i=n}^{n+m-1} \left(\Vert[x_{i+1}]-[x_i]\Vert
        +2^{-i}\right)\\ 
      \le&\,\sum\limits_{i=n}^{n+m-1}2\cdot2^{-i}
      \le 2^{-n+1}\left(1+\tfrac12 +\tfrac14 +\ldots\right)
      =2^{-n+2}. 
    \end{align*}
    Setze $z:=\lim\limits_{n\to\infty}z_n$. Wir
    erhalten \[\Vert[x_n]-[z]\Vert_{X/M} =\Vert[z_n]-[z]\Vert_{X/M}
    \le\Vert z_n-z\Vert\to 0\] f\"ur $n\to\infty$. Also gilt
    $[x_n]\to[z]$ in $X/M$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Lineare Abbildungen}

Ist $T$ eine lineare Abbildung so schreiben wir wie in der Linearen
Algebra auch $Tu$ statt $T(u)$. 

\weg{
\begin{definition}
  \stern Wir schreiben $R(T)=\im(T)$ f\"ur das \emph{Bild} von $T$ und
  $N(T)$ f\"ur den \emph{Kern} von $T$.
\end{definition}

\begin{definition}
  \stern Sei $T\colon V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen
  normierten $\K$-Vektorr\"aumen. Dann hei\ss{}t $T$
  \emph{beschr\"ankt}, falls es ein $c\ge0$ mit
  \[\Vert Tv\Vert_W\le c\cdot\Vert v\Vert_V\] f\"ur alle $v\in V$
  gibt. \par Wir definieren die \emph{Operatornorm} von $T$,
  $\Vert T\Vert$, durch
  \[\Vert T\Vert:=\sup\limits_{\Vert v\Vert\le 1}\Vert Tv\Vert.\]
\end{definition}

\begin{remark}
  \stern \"Aquivalent zur Beschr\"anktheit f\"ur lineare Abbildungen
  sind:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $T$ bildet beschr\"ankte Mengen in beschr\"ankte Mengen ab. 
  \item $\sup\limits_{v\neq0}\frac{\Vert Tv\Vert}{\Vert v\Vert}\le
    c$. 
  \end{enumerate}
  Es gilt \[\Vert T\Vert =\sup\limits_{v\neq0}\frac{\Vert
    Tv\Vert}{\Vert v\Vert} =\sup\limits_{\Vert v\Vert=1}\Vert
  Tv\Vert.\] 
\end{remark}

\begin{theorem}
  \stern Sei $T\colon V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen
  normierten $\K$-Vektorr\"aumen. Dann sind die folgenden Aussagen
  \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{stet beschr thm i} $T$ ist beschr\"ankt,
  \item\label{stet beschr thm ii} $T$ ist in allen Punkten stetig,
  \item\label{stet beschr thm iii} $T$ ist im Ursprung stetig. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \glqq\eqref{stet beschr thm
    i}\impliziert\eqref{stet beschr thm ii}\grqq: Gelte $u_n\to u$
  f\"ur $n\to\infty$. Dann folgt \[\Vert Tu-Tu_n\Vert =\Vert
  T(u-u_n)\Vert\le\Vert T\Vert\cdot\Vert u-u_n\Vert\to 0\] f\"ur
  $n\to\infty$. \par
  \glqq\eqref{stet beschr thm ii}\impliziert\eqref{stet beschr thm
    iii}\grqq: Klar.\par 
  \glqq\eqref{stet beschr thm iii}\impliziert\eqref{stet beschr thm
    i}\grqq: Falls $T$ unbeschr\"ankt ist, gibt es Vektoren $v_n\in
  V$, ohne Einschr\"ankung mit $\Vert v_n\Vert=1$, und $\Vert
  Tv_n\Vert=:r_n\to\infty$, ohne Einschr\"ankung $r_n\neq0$ f\"ur alle
  $n\in\N$. Definiere $u_n:=\frac{v_n}{r_n}$. Dann folgt $u_n\to0$ und
  es gilt \[\Vert Tu_n\Vert =\frac{\Vert Tv_n\Vert}{r_n}=1\] im
  Widerspruch zur Stetigkeit von $T$. 
\end{proof}
} % weg

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
    \weg{
  \item \stern Seien $V,W$ normierte $\K$-Vektorr\"aume. Definiere
    $L(V,W)$ als den Raum der \emph{stetigen linearen Abbildungen} $T$
    von $V$ nach $W$. $L(V,W)$ ist ein $\K$-Vektorraum und wird mit
    der Operatornorm $\Vert T\Vert$ zu einem normierten Raum (einfache
    Rechnung).
    } % weg
  \item Seien $V,W$ normierte R\"aume. Dann hei\ss{}en $V$ und $W$
    \emph{isomorph}, falls es eine stetige, bijektive lineare
    Abbildung $T\colon V\to W$ mit stetiger Inverser gibt. $T$
    hei\ss{}t dann Isomorphismus (zwischen normierten R\"aumen). Gilt
    zus\"atzlich noch $\Vert T(x)\Vert =\Vert x\Vert$ f\"ur alle
    $x\in V$, so hei\ss{}t $T$ \emph{normtreuer Isomorphismus}.
  \item Elemente aus $L(V,\K)$ hei\ss{}en \emph{Formen}.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  Ist $W$ ein Banachraum, so auch $L(V,W)$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(T_n)_n$ eine Cauchyfolge in $L(V,W)$ und $u\in V$. Wir
    definieren $T$ durch $Tu:=\lim\limits_{n\to\infty}T_nu$. Der
    Grenzwert existiert, da $(T_nu)_n$ eine Cauchyfolge ist; es gilt
    n\"amlich $\Vert T_nu-T_mu\Vert\le\Vert T_n-T_m\Vert\cdot\Vert
    u\Vert$. Da $W$ vollst\"andig ist, ist $T$ wohldefiniert. Die
    Linearit\"at von $T$ ist klar.
  \item $T$ ist stetig: Wir benutzen, dass aus $u_n\to u$ auch $\Vert
    u_n\Vert\to\Vert u\Vert$ folgt. Da $A\mapsto\Vert A\Vert$ aufgrund
    der umgekehrten Dreiecksungleichung Lipschitzstetig (mit
    Lipschitzkonstante eins) ist und $(T_n)_n$ eine Cauchyfolge ist,
    ist auch $\Vert T_n\Vert$ eine Cauchyfolge und konvergiert daher
    in $\R$.  Es gilt \[\Vert Tu\Vert
    =\left\Vert\lim\limits_{n\to\infty}T_nu\right\Vert
    =\lim\limits_{n\to\infty}\Vert T_nu\Vert
    \le\lim\limits_{n\to\infty}\Vert T_n\Vert\cdot\Vert u\Vert,\]
    wobei wir rechts den Limes superior nachtr\"aglich wieder als
    Limes schreiben d\"urfen. Es folgt $\Vert T\Vert\le
    \lim\limits_{n\to\infty}\Vert T_n\Vert$.
  \item $T_n\to T$: Sei $\epsilon>0$. Dann existiert $N\in\N$, so dass
    $\Vert T_n-T_m\Vert<\epsilon$ f\"ur alle $m,n\ge N$ gilt. Sei nun
    $u\in V$ beliebig. Es gilt \[\Vert Tu-T_nu\Vert
    =\lim\limits_{m\to\infty} \Vert T_mu-T_nu\Vert
    \le\limsup\limits_{m\to\infty} \Vert T_m-T_n\Vert\cdot\Vert u\Vert
    \le\epsilon\cdot\Vert u\Vert\] f\"ur alle $n\ge N$. Somit erhalten
    wir $\Vert T-T_n\Vert\le\epsilon$ f\"ur alle $n\ge N$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $V$ ein $\K$-Vektorraum. Wir setzen $V^*:=L(V,\K)$, den Raum der
  \emph{stetigen linearen Funktionale} auf $V$. ($V'=V^*$ ist eine
  weitere verbreitete Bezeichnung. In manchen Quellen unterscheiden
  sich diese R\"aume; einmal ist dann die Stetigkeit nicht gefordert.)
  Sei $\phi\in V^*$, $u\in V$. Statt $\phi(u)$ schreiben wir auch
  $\langle u,\phi\rangle$. Mit der Operatornorm oder dualen Norm auf
  $V^*$ gilt
  \[|\langle u,\phi\rangle|\le \Vert\phi\Vert_{V^*}\cdot\Vert
    u\Vert_V.\]
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei $V$ ein normierter Raum, $\hat V$ seine Vervollst\"andigung als
  metrischer Raum. Dann kann man $\hat V$ auf genau eine Art zu einem
  Banachraum machen, so dass die Einbettung $\iota\colon V\to\hat V$
  linear und normtreu ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir identifizieren $V$ mit $\iota(V)$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u+v$: Seien $u,v\in\hat V$. Gelte $V\ni u_n\to u\in\hat V$
    sowie $V\ni v_n\to v\in\hat V$. Dann ist $u_n+v_n$ eine
    Cauchyfolge in $V$. Wir definieren $v+u:=\lim\limits_{n\to\infty}
    (u_n+v_n)$. (Da in einem Banachraum f\"ur Cauchyfolgen $(u_n)_n$
    und $(v_n)_n$ stets $\lim\limits_{n\to\infty}(u_n+v_n)
    =\lim\limits_{n\to\infty} u_n +\lim\limits_{n\to\infty} v_n$ gilt,
    m\"ussen wir die Addition so definieren.)  Der Grenzwert ist
    unabh\"angig von der Auswahl der Cauchyfolgen.
  \item $\lambda u$: F\"ur $V\ni u_n\to u\in\hat V$ und $\lambda\in\K$
    ist $\lambda u_n$ eine Cauchyfolge in $V$. Wir definieren $\lambda
    u:=\lim\limits_{n\to\infty}\lambda u_n$. Auch diese Definition ist
    von der Wahl der Cauchyfolge unabh\"angig.
  \item $\Vert\cdot\Vert$: Sei $V\ni u_n\to u\in\hat V$. Dann ist auch
    $\Vert u_n\Vert_V$ aufgrund der umgekehrten Dreiecksungleichung
    eine Cauchyfolge. Wir definieren $\Vert u\Vert_{\hat
      V}:=\lim\limits_{n\to\infty}\Vert u_n\Vert_V$. Man rechnet
    leicht nach, dass dies eine Norm ist.
  \item Vollst\"andigkeit: $\Vert\cdot\Vert_{\hat V}$ induziert eine
    Metrik $\tilde d$ auf $\hat V$. Wir m\"ussen nachweisen, dass
    $\tilde d=\hat d$ gilt. Nach Definition ist mit Bezeichnungen wie
    oben 
    \[\tilde d(u,v) =\Vert u-v\Vert_{\hat V}
    =\lim\limits_{n\to\infty}\Vert u_n-v_n\Vert_V
    =\lim\limits_{n\to\infty} d(u_n,v_n) =\hat d(u,v).\] 
  \end{enumerate}
  Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Fortsetzungssatz]\label{fortsetzungssatz thm}
  Sei $V$ ein normierter Raum, $W$ ein Banachraum und $T\in
  L(V,W)$. Dann besitzt $T$ genau eine Fortsetzung $\hat T\in
  L\big(\hat V,W\big)$ und es gilt $\big\Vert\hat T\big\Vert
  =\Vert T\Vert$. 
\end{theorem}
Dies folgt auch direkt aus Lemma \ref{glm stet dichte tm lem} mit
\eqref{fortsetzungssatz ii} und \eqref{fortsetzungssatz iii} aus dem
folgenden Beweis.
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Existenz: Sei $V\ni u_n\to u\in\hat V$. Dann ist $Tu_n$ eine
    Cauchyfolge, da $\Vert Tu_n-Tu_m\Vert\le\Vert T\Vert\cdot \Vert
    u_n-u_m\Vert$ gilt. Wir setzen $\hat Tu:=\lim\limits_{n\to\infty}
    Tu_n$. Der Grenzwert ist unabh\"angig von der Wahl der
    Cauchyfolge. $\hat T$ ist linear und eine Fortsetzung von $T$.
  \item\label{fortsetzungssatz ii} Stetigkeit: Es gilt \[\big\Vert\hat
    Tu\big\Vert =\lim\limits_{n\to\infty}\Vert Tu_n\Vert \le\Vert
    T\Vert\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\Vert u_n\Vert =\Vert
    T\Vert\cdot\Vert u\Vert.\] Somit ist $\big\Vert\hat T\big\Vert\le
    \Vert T\Vert$.
  \item\label{fortsetzungssatz iii} Gleichheit der Normen: F\"ur $u\in
    V\subset\hat V$ gilt $\Vert Tu\Vert =\big\Vert\hat
    Tu\big\Vert\le\big\Vert\hat T\big\Vert\cdot\Vert u\Vert$. Wir
    bilden nun das Supremum \"uber alle $u$ mit $\Vert u\Vert=1$ und
    erhalten $\Vert T\Vert\le\big\Vert\hat T\big\Vert$. Zusammen mit
    der Stetigkeit folgt also $\Vert T\Vert =\big\Vert\hat
    T\big\Vert$.
    \item Eindeutigkeit: Seien $\hat T$ und $\tilde T$ zwei solche
      Fortsetzungen. Sei $u\in\hat V$ und sei $(u_n)_{n\in\N}$ eine
      Folge mit $u_n\in V$ und $u_n\to u$. Dann erhalten wir
      aufgrund der Stetigkeit
      \[\hat Tu =\lim\limits_{n\to\infty} \hat Tu_n
      =\lim\limits_{n\to\infty} Tu_n =\lim\limits_{n\to\infty} \tilde
      Tu_n =\tilde Tu.\qedhere\]
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
F\"ur multilineare Abbildungen gibt es eine \"ahnliche
Charakterisierung der Stetigkeit wie bei linearen Abbildungen. 
\begin{proposition}
  \stern Seien $E_i$, $1\le i\le n$, und $F$ normierte R\"aume. Setze
  $E:=\bigoplus\limits_{i=1}^n E_i$. Sei $A\colon E\to F$
  multilinear. Dann ist $A$ genau dann stetig, wenn es ein $c>0$ gibt,
  so dass \[\left\Vert A\left(x^1,\ldots,x^n\right)\right\Vert\le
  c\cdot\left\Vert x^1\right\Vert\cdot\ldots\cdot\left\Vert
    x^n\right\Vert\] f\"ur alle $\left(x^1,\ldots,x^n\right)\in E$
  gilt.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \Hinrichtung Widerspruchsbeweis. Nehme an, dass $A$
  stetig ist, die Absch\"atzung aber nicht gilt. Dann gibt es Folgen
  $(x_k)_{k\in\N}=\left(x^i_k\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le
      n}{k\in\N}}$ in $E$ mit \[\Vert A(x_k)\Vert> k\cdot\left\Vert
    x^1_k\right\Vert\cdot\ldots\cdot\left\Vert x^n_k\right\Vert.\]
  Setze $y^i_k:=\frac1{k^{1/n}}\frac{x^i_k}{\left\Vert
      x^i_k\right\Vert}$. Dann gilt $y_k\to0$ f\"ur $k\to\infty$ aber
  $\Vert A(y_k)\Vert>1$. Widerspruch zur Stetigkeit von $A$. \par
  \Rueckrichtung Nehme die Absch\"atzung an. Gelte $x_k\to y$. Dann
  gibt es ein $C>0$ so dass $\left\Vert x^i_k\right\Vert\le C$ f\"ur
  alle $1\le i\le n$ und alle $k\in\N$ gilt. Es gilt
  \begin{align*}
    &\,\left\Vert A\left(x^1_k,\ldots,x^n_k\right)
      -A\left(y^1,\ldots,y^n\right)\right\Vert\\
    \le&\,\left\Vert A\left(x^1_k,\ldots,x^n_k\right)
      -A\left(x^1_k,\ldots,x^{n-1}_k,y^n\right)\right\Vert\\
    &\,\qquad+\left\Vert
      A\left(x^1_k,\ldots,x^{n-2}_k,x^{n-1}_k,y^n\right)
      -A\left(x^1_k,\ldots,x^{n-2}_k,y^{n-1},y^n\right)\right\Vert
    +\ldots\\ &\,\qquad+\left\Vert A\left(x^1_k,y^2,\ldots,y^n\right)
      -A\left(y^1,y^2,\ldots,y^n\right)\right\Vert\umbruch\\
    \le&\,\left\Vert A\left(x^1_k,\ldots,
        x^{n-1}_k,x^n_k-y^n\right)\right\Vert +\left\Vert
      A\left(x^1_k,\ldots,x^{n-2}_k,
        x^{n-1}_k-y^{n-1},y^n\right)\right\Vert +\ldots\\
    &\qquad+\left\Vert
      A\left(x^1_k-y^1,y^2,\ldots,y^n\right)\right\Vert\umbruch\\
    \le&\,c\cdot C^{n-1}\sum\limits_{i=1}^n \left\Vert
      x^i_k-y^i\right\Vert \to0
  \end{align*}
  f\"ur $k\to\infty$. Somit ist $A$ stetig. 
\end{proof}

\begin{definition}\label{mulilin def norm}
  \stern Seien $E_i$, $1\le i\le n$, und $F$ normierte R\"aume. Setze
  $E:=\bigoplus\limits_{i=1}^nE_i$. Sei $A\colon E\to F$
  \emph{multilinear} und stetig. Dann hei\ss{}t
  \[\Vert A\Vert:=\sup\limits_{\left\Vert x^1\right\Vert, \ldots,
      \left\Vert x^n\right\Vert=1} \left\Vert
      A\left(x^1,\ldots,x^n\right)\right\Vert\] die Norm der
  multilinearen Abbildung.
\end{definition}

\begin{remark}
  \stern
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Menge aller stetigen multilinearen Abbildungen
    $E_1\times\ldots\times E_n\to F$ zwischen normierten R\"aumen, die
    wir mit $L(E_1,\ldots,E_n;F)$ bezeichnen, ist mit der in
    Definition \ref{mulilin def norm} eingef\"uhrten Norm ein
    normierter Raum.
  \item Ist $F$ zus\"atzlich vollst\"andig, so ist
    $L(E_1,\ldots,E_n;F)$ ein Banachraum.
  \item Seien $E,F,G$ normierte R\"aume. Dann ist die Abbildung
    \[A\in L(E,F;G)\to L(E,L(F,G))\ni\tilde A\]
    mit $A(x,y)=\big(\tilde A(x)\big)(y)$ eine normtreuer
    Isomorphismus.\par Analog erh\"alt man einen normtreuen
    Isomorphismus \[L(E_1,\ldots,E_n;F)\to
    L(E_1,L(E_2,\ldots,L(E_n,F)\ldots)).\] 
  \end{enumerate}
  Details: \"Ubung. 
\end{remark}
} % weg

\section{$L^p$-R\"aume}

\subsection{Dreiecksungleichung und Folgenr\"aume}

Der Beweis der H\"olderschen und der Minkowskischen Ungleichung ist
quasi derselbe wie in \cite{OSAnaI} f\"ur Folgenr\"aume.
\begin{theorem}[H\"oldersche Ungleichung, Minkowskische Ungleichung]
  Sei $1<p<\infty$. Dann hei\ss{}t $q$ mit $1<q<\infty$ und
  $\frac1p +\frac1q=1$ der zu $p$ konjugierte
  \mbox{(H\"older-)}Exponent. Sei $\mu$ ein Ma\ss{} und $\Omega$ eine
  $\mu$-messbare Menge. Seien $f,g\colon\Omega\to\R$ messbar. Dann
  gelten die H\"oldersche Ungleichung
  \begin{align*}
    \int\limits_\Omega |f\cdot g|\,d\mu
    \le&\,\left(\,\int\limits_\Omega|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}
    \cdot\left(\,\int\limits_\Omega|g|^q\,d\mu\right)^{1/q}
    \intertext{und die Minkowskische Ungleichung}
    \left(\,\int\limits_\Omega|f+g|^p\,d\mu\right)^{1/p} \le&\,
    \left(\,\int\limits_\Omega|f|^p\,d\mu\right)^{1/p} +
    \left(\,\int\limits_\Omega|g|^p\,d\mu\right)^{1/p}.
  \end{align*}
  Mit der Norm $\Vert
  f\Vert_{L^p(\Omega,\mu)}:=\left(\,\int\limits_\Omega
    |f|^p\,d\mu\right)^{1/p}$ (es ist noch nachzuweisen, dass es sich
  hierbei um eine Norm handelt) k\"onnen wir die Ungleichungen in der
  folgenden Form schreiben:
  \begin{align*}
    \Vert fg\Vert_{L^1}\le&\,\Vert f\Vert_{L^p}\cdot \Vert
    g\Vert_{L^q},\\ 
    \Vert f+g\Vert_{L^p}\le&\,\Vert f\Vert_{L^p}+ \Vert
    g\Vert_{L^p}. 
  \end{align*}
\end{theorem}
Dieselben Resultate gelten auch f\"ur $(p,q)=(1,\infty)$ oder
$(p,q)=(\infty,1)$, die Beweise sind anders, aber einfacher
(\"Ubung).
\datum{Mo 03.05.2021}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item H\"oldersche Ungleichung: Setze $A:=\Vert f\Vert_{L^p}$ und
    $B:=\Vert g\Vert_{L^q}$. Die F\"alle $A\in\{0,\infty\}$ oder
    $B\in\{0,\infty\}$ sind einfach (\"Ubung). Sei also
    $0<A,B<\infty$. Wir setzen $F:=|f|/A$ und $G:=|g|/B$. Dann gilt
    $\Vert F\Vert_{L^p} =\Vert G\Vert_{L^q} =1$. Betrachte
    $x\in\Omega$ mit $0<F(x),G(x)<\infty$. Dazu gibt es $s,t\in\R$ mit
    $F(x)=e^{s/p}$ und $G(x)=e^{t/q}$. Nun gilt
    $\frac1p+\frac1q=1$. Somit erhalten wir aus der Konvexit\"at der
    Exponentialfunktion \[F(x)G(x)=e^{s/p+t/q}\le \tfrac1pe^s
    +\tfrac1qe^t=\tfrac1pF(x)^p+\tfrac1qG(x)^q.\] Die Ungleichung
    zwischen der linken und der rechten Seite gilt f\"ur beliebige
    $x\in\Omega$. Wir integrieren die Ungleichung und
    erhalten \[\int\limits_\Omega FG\,d\mu\le\tfrac1p+\tfrac1q=1.\]
    Nach Umstellung erhalten wir daraus gerade die H\"oldersche
    Ungleichung.
  \item Minkowskische Ungleichung: Wir wollen wieder ohne
    Einschr\"ankung annehmen, dass die linke Seite der behaupteten
    Ungleichung strikt positiv und die Terme auf der rechten Seite der
    Ungleichung endlich sind. Aus der Konvexit\"at von $[0,\infty)\ni
    t\to t^p$ erhalten wir \[\left(\frac{|f+g|}2\right)^p
    \le\tfrac12\left(|f|^p+|g|^p\right).\] Somit gilt $\Vert
    f+g\Vert_{L^p}<\infty$.\par Mit der H\"olderschen Ungleichung und
    $p+q=pq$ erhalten wir
    \begin{align*}
      \Vert f+g\Vert_{L^p}^p =&\,\int|f+g|^p=\int |f||f+g|^{p-1}+\int
      |g||f+g|^{p-1}\\
      \le&\,\Vert f\Vert_{L^p}\cdot \left(\int|f+g|^{(p-1)q}
      \right)^{1/q} +\Vert g\Vert_{L^p}\cdot \left(\int|f+g|^{(p-1)q}
      \right)^{1/q}\\ =&\,\left(\Vert f\Vert_{L^p} +\Vert
        g\Vert_{L^p}\right) \cdot\left(\int|f+g|^p\right)^{1/q}\\
      =&\,\left(\Vert f\Vert_{L^p} +\Vert g\Vert_{L^p}\right)
      \cdot\Vert f+g\Vert_{L^p}^{p/q}.
    \end{align*}
    Umordnen liefert die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{corollary}
  \stern $\R^n$ mit der $p$-Norm $\Vert
  x\Vert_p:=\left(\,\sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$ ein
  Banachraum.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Dreiecksungleichung ist gerade die Minkowskische Ungleichung
  f\"ur Funktionen, die auf den Intervallen $[0,1)$, $[1,2)$, \ldots,
  $[n-1,n)$ konstant sind. Die \"ubrigen Eigenschaften einer Norm sind
  elementar. \par Sei $x_i=(x_{i,k})_{1\le k\le n}$ eine Cauchyfolge
  in $\R^n$. Wegen $|x_{i,k}-x_{j,k}|\le\Vert x_i-x_j\Vert_p$ f\"ur
  alle $1\le k\le n$ bilden auch die $k$-ten Komponenten eine
  Cauchyfolge. Setze $x:=(x_k)_{1\le k\le n}$ mit
  $x_k:=\lim\limits_{i\to\infty} x_{i,k}$. Dann folgt $\Vert
  x_i-x\Vert_p\to0$ f\"ur $p\to\infty$, da s\"amtliche Komponenten
  konvergieren. 
\end{proof}

\begin{definition}
  \stern Seien $\Vert\cdot\Vert_1$ und $\Vert\cdot\Vert_2$ zwei Normen
  auf einem $\K$-Vektorraum $X$. Dann hei\ss{}en $\Vert\cdot\Vert_1$
  und $\Vert\cdot\Vert_2$ \emph{\"aquivalent}, wenn es eine Konstante
  $c>0$ mit
  \[\tfrac1c\Vert u\Vert_1\le\Vert u\Vert_2\le c\cdot\Vert u\Vert_1\]
  f\"ur alle $u\in X$ gibt.
\end{definition}
} % weg

\begin{theorem}
  Auf $\R^n$ sind je zwei Normen \"aquivalent. 
\end{theorem}
Dieser Satz gilt auch f\"ur beliebige endlichdimensionale
$\K$-Vektorr\"aume. \par
Die nachfolgend definierten Normen $l^p(\N)$ sind f\"ur verschiedene
Werte von $p$ keine \"aquivalenten Normen auf $\R^\N$. \par Wir folgen
\cite{LubeNumerik}. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x=\sum\limits_{i=1}^nx^ie_i$ mit der Standardbasis $\{e_i\}_i$
  des $\R^n$. Bezeichne $\Vert\cdot\Vert_\infty$ die Supremumsnorm auf
  $\R^n$. Sei $\Vert\cdot\Vert$ eine fixierte andere Norm auf
  $\R^n$. Wir zeigen nur die \"Aquivalenz von $\Vert\cdot\Vert$ und
  $\Vert\cdot\Vert_\infty$. F\"ur beliebige Normen folgt die Aussage
  dann aufgrund der Transitivit\"at in der Definition der \"Aquivalenz
  von Normen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{aequiv normen Rn i} Es gilt \[\Vert
    x\Vert\le\sum\limits_{i=1}^n \left|x^i\right|\cdot \Vert e_i\Vert
    \le c\cdot\Vert x\Vert_\infty\quad \text{mit}\quad
    c:=\sum\limits_{i=1}^n\Vert e_i\Vert.\]
  \item Falls es kein $c>0$ mit $c\cdot\Vert x\Vert_\infty\le\Vert
    x\Vert$ f\"ur alle $x\in\R^n$ gibt, finden wir eine Folge
    $(x_k)_k$ in $\R^n$ mit $\Vert x_k\Vert=1$ und $\Vert
    x_k\Vert_\infty>k$. Definiere die Folge $(y_k)_k$ durch
    $y_k:=\frac{x_k}{\Vert x_k\Vert_\infty}$. Diese Folge ist
    bez\"uglich der Supremumsnorm beschr\"ankt. Somit sind die
    Komponenten $y^i_k$, $1\le i\le n$, $k\in\N$, gleichm\"a\ss{}ig
    beschr\"ankt. Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir also nach Auswahl
    einer Teilfolge annehmen, dass $y^i_k\to y^i$ f\"ur $k\to\infty$
    konvergiert. Wir erhalten $\Vert y_k-y\Vert_\infty\to0$ f\"ur
    $k\to\infty$. Somit gilt nach \eqref{aequiv normen Rn i} auch
    $\Vert y_k-y\Vert\to0$ f\"ur $k\to\infty$. Nun gilt $\Vert
    y_k\Vert =\frac{\Vert x_k\Vert}{\Vert x_k\Vert_\infty}
    =\frac1{\Vert x_k\Vert_\infty}\to0$ f\"ur $k\to\infty$. Wir
    erhalten $y=0$. Weiterhin folgt $1=\Vert y_k\Vert_\infty\to0$
    f\"ur $k\to\infty$. Widerspruch. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{theorem}
  \stern Sei $p\in[1,\infty)$. Dann ist der Raum \[l^p(\N)
  :=\left\{(x^n)_{n\in\N}\colon
    \left(\sum\limits_{n\in\N}|x^n|^p\right)^{1/p}<\infty\right\}\]
  mit der Norm \[\Vert x\Vert_{l^p(\N)}
  :=\left(\,\sum\limits_{n\in\N}|x^n|^p\right)^{1/p}\] ein Banachraum.
\end{theorem}
Allgemeiner definiert man R\"aume $l^p(A)$ f\"ur Funktionen $f\colon
A\to\R$ mit \[\Vert f\Vert_{l^p(A)}:=\left(\,\sum\limits_{x\in
    A}|f(x)|^p\right)^{1/p}.\] 
\begin{proof}[Beweis]
  Wir zeigen nur die Dreiecksungleichung und die Vollst\"andigkeit: 
  \par Dreiecksungleichung: Seien $x,y\in l^p(\N)$ Es gilt
  aufgrund der Dreiecksungleichung auf $\R^k$ mit der entsprechenden
  Norm $\left(\sum\limits_{n=1}^k
    |x^n|^p\right)^{1/p}$ 
  \begin{align*}
    \left(\sum\limits_{n=1}^N|x^n+y^n|^p\right)^{1/p} \le&\,
    \left(\sum\limits_{n=1}^N|x^n|^p\right)^{1/p} +
    \left(\sum\limits_{n=1}^N|y^n|^p\right)^{1/p}\\ \le&\,
    \left(\sum\limits_{n=1}^\infty|x^n|^p\right)^{1/p} +
    \left(\sum\limits_{n=1}^\infty|y^n|^p\right)^{1/p} =\Vert
    x\Vert_{l^p(\N)} +\Vert y\Vert_{l^p(\N)}.
  \end{align*}
  Somit ist $x+y$ mit komponentenweiser Addition wieder in $l^p(\N)$
  und mit $N\to\infty$ erhalten wir die Dreiecksungleichung. \par
  Vollst\"andigkeit: Sei $\left(x_i\right)_{i\in\N}$ eine Cauchyfolge
  in $l^p(\N)$. Dann folgt f\"ur $k\le N$
  aus \[\left|x_i^k-x_j^k\right|\le \left(\sum\limits_{l=1}^N
    \left|x_i^l-x_j^l\right|^p\right)^{1/p} \le\left\Vert
    x_i-x_j\right\Vert_{l^p(\N)},\] dass auch
  $\left(x_i^k\right)_{i\in\N}$ f\"ur festes $k\in\N$ eine Cauchyfolge
  ist. Definiere $x=(x^k)_{k\in\N}$ durch
  $x^k:=\lim\limits_{i\to\infty}x_i^k$. Wir lassen $j\to\infty$ und
  erhalten \[\left(\sum\limits_{k=1}^N
    \left|x_i^k-x^k\right|^p\right)^{1/p}\le f(i)\] mit $f(i)\to 0$
  f\"ur $i\to\infty$ f\"ur alle $N\in\N$. Sei nun
  $\epsilon>0$. W\"ahle $i\gg1$ mit $f(i)\le\epsilon$. Lasse nun
  $N\to\infty$ und erhalte $\left\Vert
    x_i-x\right\Vert_{l^p(\N)}\le\epsilon$. Es folgt $\Vert
  x\Vert_{l^p(\N)} \le\Vert x_i\Vert_{l^p(\N)} +\Vert
  x-x_i\Vert_{l^p(\N)}<\infty$. Somit ist $x\in l^p(\N)$ und $l^p(\N)$
  ist vollst\"andig.
\end{proof}
}

\weg{
\subsection{Vollst\"andigkeit \optional}

\begin{remark}
  Sei in diesem Kapitel stets $\mu$ ein Radonma\ss{} auf $\R^n$ und
  $\Omega$ eine $\mu$-messbare Menge. \par
  Um den Raum der messbaren Funktionen zu einem normierten Raum zu
  machen, betrachten wir \"Aquivalenzklassen von Funktionen und
  identifizieren Funktionen (ohne dies sp\"ater explizit
  hervorzuheben), die fast \"uberall \"ubereinstimmen. \par Sei
  $1\le p<\infty$. F\"ur alle messbaren Funktionen $f$ auf $\Omega$
  setzen wir
  \[\Vert f\Vert_{L^p(\Omega,\mu)} \equiv \Vert f\Vert_{L^p(\Omega)}
    :=\left(\,\int\limits_\Omega|f|^p \,d\mu\right)^{1/p}\] und
  definieren $L^p(\Omega,\mu)$ als den Raum aller messbaren Funktionen
  $f$ mit \[\Vert f\Vert_{L^p(\Omega,\mu)}<\infty.\] Im Fall
  $p=\infty$ verfahren wir genauso, benutzen aber
  $\Vert f\Vert_{L^\infty(\Omega,\mu)}:=\sup\limits_\Omega |f|$, das
  wesentliche Supremum von $f$, genauer:
  \[\Vert f\Vert_{L^\infty(\Omega,\mu)} \equiv \Vert
    f\Vert_{L^\infty(\Omega)} :=\inf\{\alpha\ge 0:|f|\le\alpha \text{
      fast \"uberall}\}.\]
\end{remark}

\begin{theorem}
  Seien $\mu$ (ein Radonma\ss{}) und $\Omega\subset\R^n$ gegeben.  Sei
  $1\le p\le\infty$. Dann ist $L^p(\Omega) \equiv L^p(\Omega,\mu)$ ein
  Banachraum.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei zun\"achst $1\le p<\infty$. Sei $f_n$ eine Cauchyfolge in
  $L^p(\Omega,\mu)$. Gelte (nach Auswahl einer Teilfolge ohne
  Einschr\"ankung) $\Vert f_{i+1}-f_i\Vert_{L^p}<2^{-i}$ f\"ur
  $i\in\N$. Wir definieren \[g_k:=\sum\limits_{i=0}^k|f_{i+1}-f_i|
  \quad \text{und}\quad g:=\sum\limits_{i=0}^\infty|f_{i+1}-f_i|.\]
  Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt $\Vert g_k\Vert_{L^p}<2$ f\"ur
  alle $k\in\N$. Nach Fatou ($\int\ul{\lim}f_n\le\ul{\lim}\int f_n$
  f\"ur $f_n\ge0$), angewandt auf $g_k^p$, folgt $\Vert
  g\Vert_{L^p}\le2$. Somit gilt fast \"uberall $g(x)<\infty$. Also
  konvergiert \[f_1(x)+\sum\limits_{i=1}^\infty(f_{i+1}(x)-f_i(x))\]
  f\"ur fast alle $x\in\Omega$. Wir definieren $f(x)$ als diesen
  Grenzwert f\"ur diese $x$ und sonst $f(x):=0$. Somit gilt fast
  \"uberall \[f(x)=\lim_{i\to\infty}f_i(x).\]
  % Nach \cite[Theorem 1.14]{Rudin} sind
  Das Supremum und der Limes superior messbarer Funktionen sind selbst
  wieder messbar. Somit ist auch $f$ messbar. Wir wollen nun zeigen,
  dass $f_i$ auch in $L^p$ gegen $f$ konvergiert: Sei
  $\epsilon>0$. Dann gibt es $N\in\N$ mit
  $\Vert f_n-f_m\Vert_{L^p}<\epsilon$ f\"ur $m,n\ge N$. Sei
  $m>N$. Dann folgt mit Fatou
  \[\int\limits_\Omega |f-f_m|^p\,d\mu\le \liminf_{i\to\infty}
    \int\limits_\Omega|f_i-f_m|^p \,d\mu\le\epsilon^p.\] Hieraus folgt
  $f-f_m\in L^p(\Omega,\mu)$, also auch $f\in
  L^p(\Omega,\mu)$. Weiterhin folgt hieraus
  $\Vert f-f_m\Vert_{L^p}\to0$ f\"ur $m\to\infty$. \par Sei nun
  $p=\infty$. Definiere
  \begin{align*}
    A_k:=&\,\{x\in\Omega\colon |f_k(x)|>\Vert f_k\Vert_{L^\infty}\}
    \intertext{und}
    B_{m,n}:=&\,\{x\in\Omega\colon |f_m(x)-f_n(x)|>\Vert
    f_n-f_m\Vert_{L^\infty}\}. 
  \end{align*}
  Setze $E:=\bigcup\limits_{k\in\N}A_k\cup
  \bigcup\limits_{m,n\in\N}B_{m,n}$. Dann ist $E$ als abz\"ahlbare
  Vereinigung von Nullmengen selbst wieder eine Nullmenge. In
  $\Omega\setminus E$ konvergiert $f_n$ gleichm\"a\ss{}ig gegen eine
  Funktion, die wir $f$ nennen, auf $E$ setzen wir $f(x):=0$. Es folgt
  $f\in L^\infty$ sowie $\Vert f_n-f\Vert_{L^\infty}\to0$ f\"ur
  $n\to\infty$. 
\end{proof}

Im Verlauf des Beweises haben wir auch das folgende Resultat
mitbewiesen:
\begin{theorem}\label{tf konv pktw fue thm}
  Seien $\mu$ (ein Radonma\ss{}) und $\Omega\subset\R^n$ gegeben.  Sei
  $1\le p\le\infty$. Sei $(f_n)_{n\in\N}$ eine Cauchyfolge in
  $L^p(\Omega,\mu)$ mit Grenzwert $f$. Dann besitzt $(f_n)_{n\in\N}$
  eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in\N}$, so dass $f_{n_k}(x)\to f(x)$
  f\"ur $k\to\infty$ f\"ur fast alle $x\in\Omega$ konvergiert.
\end{theorem}
} % weg

\weg{
\subsection{Approximierbarkeit \optional}

Wir wollen untersuchen, wie sich $L^p$-Funktionen approximieren
lassen. Auch hier sei $\mu$ wiederum stets ein Radonma\ss{} auf $\R^n$
und $\Omega$ eine $\mu$-messbare Menge.
\begin{theorem}\label{treppen approx Lp thm}
  Seien $\mu$ (ein Radonma\ss{}) und $\Omega\subset\R^n$ gegeben.  Sei $S$ die
  Menge aller endlichen messbaren Treppenfunktionen $s$ ($=$
  (endliche) Linearkombination von charakteristischen Funktionen
  messbarer Teilmengen) auf $\Omega$ mit
  $\mu(\{x\colon s(x)\neq0\})<\infty$. Ist $1\le p<\infty$, dann ist
  $S$ dicht in $L^p(\Omega,\mu)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f\in L^p$ und gelte ohne Einschr\"ankung $f\ge0$. Dann gibt es
  (z.\,B.{} punktweises Abrunden auf das n\"achste Vielfache von
  $2^{-n}$ und Betrachten von $\min(\cdot,n)$) Treppenfunktionen $s_n$
  mit
  \begin{itemize}
  \item $0\le s_1\le s_2\le\ldots\le f$,
  \item $s_n(x)\to f(x)$ f\"ur $n\to\infty$ in $\Omega$. 
  \end{itemize}
  Aus $0\le s_n\le f$ folgt $s_n\in L^p$ und daher gilt $s_n\in
  S$. Wegen $|f-s_n|^p\le f^p$ folgt nach dem Satz \"uber die
  dominierte Konvergenz $\Vert f-s_n\Vert_{L^p}\to0$ f\"ur
  $n\to\infty$. Somit ist $f\in\ol{S}^{L^p}$. 
\end{proof}

\begin{lemma}\label{Rn L infty approx}
  Seien $\mu$ (ein Radonma\ss{}) und $\Omega\subset\R^n$ mit $\mu(\Omega)<\infty$
  gegeben. Ist $f\in L^\infty(\Omega)$, so gibt es Treppenfunktionen
  $f_k$ mit $\Vert f-f_k\Vert_{L^\infty}\to 0$ f\"ur $k\to\infty$.
\end{lemma}
Der Beweis funktioniert analog auch f\"ur $\K^n$-wertige Funktionen
statt f\"ur reellwertige Funktionen. 
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $R:=\Vert f\Vert_{L^\infty}$. Zerlege $[-R,R]$ f\"ur $k\in\N$
  in endlich viele (ohne Einschr\"ankung nichtleere) Intervalle $A_i$,
  $1\le i\le n_k$, mit $\diam A_i\le\frac1k$. W\"ahle $a_i\in
  A_i$. Wir erhalten \[\left\Vert f-\sum\limits_{i=1}^{n_k}
    \chi_{f^{-1}(A_i)}a_i \right\Vert_{L^\infty}\le\frac1k.\] Die
  Behauptung folgt.
\end{proof}

Wir erinnern an das aus den \"Ubungen bekannte Lemma von Urysohn im
Spezialfall metrischer R\"aume:
\begin{theorem}[Lemma von Urysohn]
  Seien $A,B$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen eines metrischen
  Raumes $E$. Dann gibt es eine stetige Funktion
  $f\colon E\to[0,1]\subset\R$ mit $A=f^{-1}(\{0\})$ und
  $B=f^{-1}(\{1\})$.
\end{theorem}
\begin{proof}
  Die Funktion $f\colon E\to[0,1]$
  mit \[f(x)=\frac{\dist(x,A)}{\dist(x,A)+\dist(x,B)}\] leistet das
  Gew\"unschte.
\end{proof}

Um mit stetigen Funktionen approximieren zu k\"onnen, ben\"otigen wir
noch ein vorbereitendes Resultat.  Die folgenden Resultate gelten
nicht nur im $\R^k$, siehe \cite{Rudin}, wir beschr\"anken uns jedoch
auf diesen wichtigsten Fall:
\begin{theorem}[Lusin]
  Sei $\Omega\subset\R^N$ offen und $\mu$ das Lebesguema\ss{} auf
  $\R^N$. Sei $f\colon\Omega\to\R$ messbar. Sei $A\subset\Omega$ mit
  $\mu(A)<\infty$ und gelte $f=0$ au\ss{}erhalb von $A$. Sei
  $\epsilon>0$. Dann gibt es ein $g\in C^0_c(\Omega)$ (stetig mit
  kompaktem Tr\"ager) mit \[\mu(\{x\in\Omega\colon f(x)\neq g(x)\})
  <\epsilon\quad\text{und}\quad \sup_{x\in\Omega}|g(x)|
  \le\sup_{x\in\Omega}|f(x)|.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Supremumsschranke werden wir erst ganz am Schluss beweisen.\par
  Nehme zun\"achst an, dass $A$ kompakt ist und $0\le f\le 1$ gilt.
  Sei $s_n$ eine approximierende Folge wie im Beweis von Theorem
  \ref{treppen approx Lp thm}. Setze $t_0:=s_0$, $t_n:=s_n-s_{n-1}$
  f\"ur $n\in\N_{>0}$. Dann ist $2^nt_n$ die charakteristische
  Funktion einer messbaren Menge $T_n\subset A$ und es gilt
  $f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty t_n(x)$. Sei $\epsilon>0$. Fixiere
  eine offene Menge $V$ mit $A\subset V$, so dass $\ol V\subset\Omega$
  kompakt ist. Dann gibt es (z.\,B.{} \cite[Lebesguesches
  Ma\ss{}]{OSAnaIII}, \cite[Theorem 2.17]{Rudin}) kompakte Teilmengen
  $K_n$ und offene Teilmengen $V_n$ mit
  $K_n\subset T_n\subset V_n\subset V$ und
  $\mu(V_n\setminus K_n)<2^{-n}\epsilon$. Nach dem Lemma von Urysohn
  gibt es stetige Funktionen $h_n$ mit $h_n=1$ in $K_n$ und $h_n=0$
  au\ss{}erhalb von $V_n$. Definiere nun
  $g(x):=\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}h_n(x)$. Aufgrund der
  gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz der Reihe ist $g$ stetig. Weiterhin
  gilt $\supp g\subset\ol V$. Nun gilt $2^{-n}h_n(x)=t_n(x)$
  au\ss{}erhalb von $V_n\setminus K_n$. Also erhalten wir $f=g$
  au\ss{}erhalb von $\bigcup\limits_{n\in\N} (V_n\setminus
  K_n)$. Diese Ausnahmemenge hat jedoch h\"ochstens Ma\ss{}
  $2\epsilon$. Dies zeigt die Behauptung, falls $A$ kompakt ist und
  $0\le f\le 1$ gilt.\par
  Als n\"achstes gilt die Behauptung auch, wenn $A$ nicht kompakt ist,
  da es zu $A$ eine kompakte Menge $K$ mit
  $\mu(A\setminus K)<\epsilon$ gibt. \par
  Gelte nun auch nicht mehr notwendigerweise $0\le f\le1$. Definiere
  $B_n:=\{x\in\Omega\colon|f(x)|>n\}$. Es gilt
  $\bigcap\limits_{n\in\N} B_n=\emptyset$. Wir erhalten
  $\mu(B_n)\to0$, da die Funktionen
  $f_n=\chi_{\{x\in A\colon |f(x)|<n\}}$ monoton gegen die
  integrierbare Funktion $\chi_A$ konvergieren. Au\ss{}er auf $B_n$
  gilt $f=(1-\chi_{B_n})f$ und $(1-\chi_{B_n})f$ ist
  beschr\"ankt. Daher folgt auch der allgemeine Fall. \par
  Falls $g$ die Supremumsabsch\"atzung nicht erf\"ullt, ersetze $g$
  durch \[\hat g(x):=
  \begin{cases}
    g(x)&\text{f\"ur }|g(x)|\le\sup|f|,\\
    \frac{g(x)}{|g(x)|}\cdot\sup|f|&\text{sonst.}
  \end{cases}\]
  Offenbar ist $\hat g$ stetig. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{stet approx Lp thm}
  Sei $1\le p<\infty$. Sei $\Omega\subset\R^N$ offen und $\mu$ das
  Lebesguema\ss{}. Dann gilt \[\ol{C^0_c(\Omega)}^{L^p(\Omega,\mu)}
  =L^p(\Omega,\mu).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\epsilon>0$.  Sei $s$ wie in Theorem \ref{treppen approx Lp
    thm}. Da solche Treppenfunktionen dicht in $L^p(\Omega,\mu)$
  liegen, gen\"ugt es, $s$ bis auf $\epsilon>0$ in $L^p(\Omega,\mu)$
  zu approximieren. Nach Lusin gibt es eine Funktion $g\in
  C^0_c(\Omega)$ mit $g(x)=s(x)$ au\ss{}erhalb einer Menge vom Ma\ss{}
  kleiner als $\epsilon$ mit $\Vert g\Vert_{L^\infty}\le\Vert
  s\Vert_{L^\infty}$. Somit folgt \[\Vert g-s\Vert_{L^p} \le2
  \epsilon^{1/p} \Vert s\Vert_{L^\infty}.\] Somit folgt die
  Behauptung. 
\end{proof}
} % weg

\weg{
\subsection{Der Satz von Radon-Nikodym \stern}
% Bei gen\"ugend Zeit dieses Kapitel doch behandeln. 

Wir folgen \cite[Theorem 6.10]{Rudin}. Eine \"ahnliche Darstellung
findet sich in \cite[Satz 4.11]{AltFA}.

\begin{remark}
  Wir bezeichnen hier auch eine auf einer $\sigma$-Algebra definiertes
  Pr\"ama\ss{} $\mu\colon\mathcal A\to[0,\infty]$ als Ma\ss{}. Ein
  Ma\ss{} in unserem bisherigen Sinne erhalten wir dann, wenn wir die
  Carath\'eodory-Hahn-Erweiterung von $\mu$ betrachten, die wir hier
  auch wieder mit $\mu$ bezeichnen wollen.
\end{remark}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\mathcal A$ eine $\sigma$-Algebra.  Ein
    komplexes Ma\ss{} ist eine Funktion $\mu\colon\mathcal A\to\C$ mit
    $\mu(\emptyset)=0$
    und \[\mu(E)=\sum\limits_{i=0}^\infty\mu(E_i),\] wobei die Mengen
    $E_i\in\mathcal A$ paarweise disjunkt sind und
    $E=\bigcup\limits_{i\in\N}E_i$ gilt, die Mengen $\{E_i\}_{i\in\N}$
    bilden also eine Partition von $E\in\mathcal A$. (Die Summe muss
    absolut konvergieren, da wir auch umordnen k\"onnten.)
  \item Wir bezeichnen ein Ma\ss{} mit Werten in $[0,\infty]$ auch als
    positives Ma\ss{} um den Unterschied zu betonen. 
  \item Wir m\"ochten ein positives Ma\ss{} $\lambda$ mit
    $|\mu(E)|\le\lambda(E)$ f\"ur alle $E\in\mathcal A$ finden. Gibt
    es solch ein Ma\ss{} $\lambda$, so muss \[\lambda(E)
    =\sum\limits_{i=0}^\infty \lambda(E_i)\ge\sum\limits_{i=0}^\infty
    |\mu(E_i)|\] f\"ur alle Partitionen $\{E_i\}_i$ von $E$ mit
    $E_i,E\in\mathcal A$ gelten. Dies legt die folgende Definition
    nahe. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $\mu$ ein komplexes Ma\ss{} auf einer $\sigma$-Algebra
  $\mathcal A$. Dann definieren wir f\"ur $E\in\mathcal
  A$ \[|\mu|(E):=\sup\sum\limits_{i=0}^\infty |\mu(E_i)|,\] wobei wir
  das Supremum \"uber alle Partitionen $\{E_i\}_{i\in\N}$ von $E$ mit
  $E_i\in\mathcal A$ bilden. $|\mu|$ hei\ss{}t das \emph{totale
    Variationsma\ss{}} oder die \emph{totale Variation} von $\mu$.
\end{definition}

Obwohl wir $|\mu|$ bereits als Ma\ss{} bezeichnet haben, ist noch
zu zeigen, dass $|\mu|$ tats\"achlich ein Ma\ss{} ist. 
\begin{theorem}
  Sei $\mu$ ein komplexes Ma\ss{} auf $\mathcal A$. Dann ist das
  totale Variationsma\ss{} $|\mu|$ ein positives (Pr\"a-)ma\ss{} auf
  $\mathcal A$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile 
  \begin{itemize}
  \item Sei $\{E_i\}_i$ eine Partition von $E\in\mathcal A$,
    $E_i\in\mathcal A$. Seien $t_i\in\R$ mit $t_i<|\mu|(E_i)$. Nach
    Definition des totalen Variationsma\ss{}es gibt es daher f\"ur
    alle $i$ Partitionen $\{A_{ij}\}_j$ von $E_i$
    mit \[\sum\limits_{j=0}^\infty |\mu(A_{ij})|>t_i.\] Da
    $\{A_{ij}\}_{i,j}$ eine Partition von $E$ ist, erhalten
    wir \[\sum\limits_{i=0}^\infty t_i \le\sum\limits_{i,j=0}^\infty
    |\mu(A_{ij})| \le|\mu|(E).\] Wir k\"onnen nun auf der linken Seite
    zum Supremum \"uber alle m\"oglichen $t_i$'s \"ubergehen und
    erhalten \[\sum\limits_{i=0}^\infty |\mu|(E_i) \le|\mu|(E).\]
  \item Sei umgekehrt $\{A_j\}_j$ eine Partition von $E$,
    $A_j\in\mathcal A$. Dann ist $\{A_j\cap E_i\}_i$ eine Partition
    von $A_j$ und $\{A_j\cap E_i\}_j$ ist eine Partition von $E_i$. Es
    folgt
    \begin{align*}
      \sum\limits_{j=0}^\infty |\mu(A_j)| =&\,\sum\limits_{j=0}^\infty
      \left|\sum\limits_{i=0}^\infty \mu(A_j\cap E_i)\right|
      \le\sum\limits_{j=0}^\infty \sum\limits_{i=0}^\infty
      |\mu(A_j\cap E_i)|\umbruch\\
      =&\,\sum\limits_{i=0}^\infty \sum\limits_{j=0}^\infty
      |\mu(A_j\cap E_i)| \le\sum\limits_{i=0}^\infty |\mu|(E_i).
    \end{align*}
    Da dies f\"ur jede Partition $\{A_j\}_j$ von $E$ gilt, d\"urfen
    wir auf der linken Seite zum Supremum \"ubergehen und erhalten
    $|\mu|(E)\le \sum\limits_{i=0}^\infty|\mu|(E_i)$. 
  \end{itemize}
  Diese beiden Ungleichungen liefern die $\sigma$-Additivit\"at. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{kompl zahlen lem}
  Seien $z_1,\ldots,z_N\in\C$. Dann gibt es eine Teilmenge
  $S\subset\{1,\ldots,N\}$ mit \[\left|\sum\limits_{k\in S} z_k\right|
  \ge\frac1\pi \sum\limits_{k=1}^N|z_k|.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir schreiben $z_k=|z_k|e^{i\alpha_k}$, $\alpha_k\in\R$. F\"ur
  $\theta$ mit $-\pi\le\theta\le\pi$ definieren wir \[S(\theta)
  :=\{k\colon\cos(\alpha_k-\theta)\ge0\}.\] Es
  folgt \[\left|\sum\limits_{k\in S(\theta)} z_k\right|
  =\left|\sum\limits_{k\in S(\theta)} e^{-i\theta}z_k\right| \ge
  \Real\sum\limits_{k\in S(\theta)} e^{-i\theta}z_k
  =\sum\limits_{k=1}^N |z_k|\cos_+(\alpha_k-\theta).\] Sei $\theta_0$
  so gew\"ahlt, dass die rechte Seite dieser Absch\"atzung, die in
  $\theta$ stetig ist, f\"ur dieses $\theta$ maximal wird und
  definiere $S=S(\theta_0)$. Dieses Maximum ist mindestens der
  Durchschnittswert \"uber $\theta\in[-\pi,\pi]$. Wegen \[\frac1{2\pi}
  \int\limits_{-\pi}^\pi \cos_+(\alpha-\theta)\,d\theta=\frac1\pi\]
  unabh\"angig von $\alpha$ ist dieser Durchschnitt nach unten durch
  $\frac1\pi\sum\limits_{i=1}^N |z_k|$ abgesch\"atzt und wir erhalten
  die Behauptung.
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{kompl mass beschr thm}
  Sei $\mu$ ein komplexes Ma\ss{} auf einer $\sigma$-Algebra \"uber
  $X$. Dann gilt $|\mu|(X)<\infty$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir nehmen zun\"achst an, dass es ein $E\in\mathcal A$ mit
  $|\mu|(E)=\infty$ gibt. Wir definieren $t=\pi(1+|\mu(E)|)$ mit
  $|\cdot|$ weiter au\ss{}en als oben. Wegen $|\mu|(E)>t$ gibt es eine
  Partition $\{E_i\}_i$, $i\ge1$, von $E$, $E_i\in\mathcal A$, mit
  $\sum\limits_{i=1}^N|\mu(E_i)|>t$ f\"ur ein gen\"ugend gro\ss{}es
  $N\in\N$. Wir wenden nun Lemma \ref{kompl zahlen lem} auf
  $z_i=\mu(E_i)$ an und erhalten mit $A=\bigcup\limits_{i\in
    S}E_i$ \[|\mu(A)| >\frac t\pi>1.\] F\"ur $B:=E\setminus A$
  erhalten wir daher \[|\mu(B)| =|\mu(E)-\mu(A)| \ge|\mu(A)|-|\mu(E)|
  >\frac t\pi-|\mu(E)| =1.\] Wir haben also $E=A\dot\cup B$ mit
  $|\mu(A)|>1$ und $|\mu(B)|>1$. Da $|\mu|$ ein $\sigma$-additives
  Ma\ss{} ist, folgt $|\mu|(A)=\infty$ oder $|\mu|(B)=\infty$. \par
  Ist nun $|\mu|(X)=\infty$, so k\"onnen wir nach Obigem $X$ als
  $X=A_1\dot\cup B_1$ mit $|\mu(A_1)|>1$ und $|\mu|(B_1)=\infty$
  aufteilen. Ebenso erhalten wir $B_1=A_2\dot\cup B_2$ mit
  $|\mu(A_2)|>1$ und $|\mu|(B_2)=\infty$. Induktiv erhalten wir
  disjunkte Mengen $\{A_i\}_i$ mit $|\mu(A_i)|>1$ f\"ur $i\ge1$. Die
  $\sigma$-Additivit\"at von $\mu$ impliziert
  nun \[\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\right)
  =\sum\limits_{i=1}^\infty \mu(A_i).\] Die Summe auf der rechten
  Seite kann aber wegen $|\mu(A_i)|>1$ nicht
  konvergieren. Widerspruch.
\end{proof}

\begin{remark}
  Die komplexen Ma\ss{}e auf einer gemeinsamen $\sigma$-Algebra
  $\mathcal A$ bilden mit $(\mu+\lambda)(E):=\mu(E)+\lambda(E)$ und
  $(c\mu)(E):=c\mu(E)$ f\"ur $E\in\mathcal A$ und $c\in\K$ einen
  Vektorraum. Mit $\Vert\mu\Vert:=|\mu|(X)$ wird dies zu einem
  normierten Raum. 
\end{remark}

\begin{remark}[und Definition]
  Sei $\mu$ ein reelles Ma\ss{} auf einer $\sigma$-Algebra
  $\mathcal A$, \dh ein komplexes Ma\ss{}, das nur reelle Werte
  annimmt. $\mu$ wird auch als ein signiertes Ma\ss{}
  bezeichnet. F\"ur $|\mu|$ wie oben setzen
  wir
  \[\mu^+:=\tfrac12(|\mu|+\mu)\quad\text{und}\quad
    \mu^-:=\tfrac12(|\mu|-\mu).\] Dann sind $\mu^\pm$ positive (kleine
  \"Ubung) und nach Theorem \ref{kompl mass beschr thm} beschr\"ankte
  Ma\ss{}e auf $\mathcal A$. Es gelten $\mu=\mu^+-\mu^-$ und
  $|\mu|=\mu^++\mu^-$. $\mu^+$ hei\ss{}t die positive Variation von
  $\mu$, $\mu^-$ die negative.
\end{remark}

\begin{definition}[absolutstetig]
  Seien $\mu$ ein positives Ma\ss{} auf einer $\sigma$-Algebra
  $\mathcal A$ und $\lambda$ ein weiteres positives, reell- oder
  komplexwertiges Ma\ss{} auf $\mathcal A$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $\lambda$ \emph{absolutstetig} bez\"uglich
    $\mu$, $\lambda\ll\mu$, falls aus $\mu(E)=0$ auch $\lambda(E)=0$
    f\"ur alle $E\in\mathcal A$ folgt.
  \item Gibt es $A\in\mathcal A$ mit $\lambda(E)=\lambda(A\cap E)$
    f\"ur alle $E\in\mathcal A$, so hei\ss{}t $\lambda$ auf $A$
    \emph{konzentriert}.
  \item Gibt es disjunkte Mengen $L,M\in\mathcal A$, so dass $\lambda$
    auf $L$ und $\mu$ auf $M$ konzentriert sind, so hei\ss{}en
    $\lambda$ und $\mu$ \emph{wechselseitig singul\"ar zueinander},
    $\lambda\perp\mu$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Es gelten die folgenden einfach einzusehenden Eigenschaften:
\begin{proposition}
  \label{mass zerl prop}
  Seien $\lambda,\lambda_1,\lambda_2$ positive oder komplexe Ma\ss{}e
  und sei $\mu$ ein positives Ma\ss{} auf einer $\sigma$-Algebra
  $\mathcal A$. Dann gelten:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\lambda$ auf $A$ konzentriert, so auch $|\lambda|$. 
  \item Aus $\lambda_1\perp\lambda_2$ folgt $|\lambda_1|\perp
    |\lambda_2|$. 
  \item Aus $\lambda_1\perp\mu$ und $\lambda_2\perp\mu$ folgt
    $\lambda_1+\lambda_2\perp\mu$.
  \item Aus $\lambda_1\ll\mu$ und $\lambda_2\ll\mu$ folgt
    $\lambda_1+\lambda_2\ll\mu$.
  \item Aus $\lambda_1\ll\mu$ und $\lambda_2\perp\mu$ folgt
    $\lambda_1\perp\lambda_2$.
  \item Aus $\lambda\ll\mu$ und $\lambda\perp\mu$ folgt $\lambda=0$. 
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
  % Proposition 6.8, Rudin
\end{proof}

Als technisches Lemma im Beweis des Satzes von Radon-Nikodym
ben\"otigen wir
\begin{lemma}
  \label{pos L1 fkt lem}
  Sei $(X,\mathcal A,\mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma\ss{}raum. Dann
  gibt es eine Funktion $w\in L^1(\mu)$ mit $0<w(x)<1$ f\"ur alle
  $x\in X$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(E_n)_{n\in\N}\subset\mathcal A$ mit $\mu(E_n)<\infty$ und
  $\bigcup\limits_{n\in\N} E_n=X$. Wir definieren $w_n\colon X\to\R$
  durch $w_n:=\frac{\chi_{E_n}}{2^{n+1}(1+\mu(E_n))}$. Dann leistet
  $w:=\sum\limits_{n\in\N}w_n$ das Gew\"unschte. 
\end{proof}

Die zweite Aussage des folgenden Theorems wird wir als Satz von
Radon-Ni\-ko\-dym bezeichnet.
\begin{theorem}[Radon-Nikodym]
  \label{radon nikodym thm}
  Sei $(X,\mathcal A,\mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma\ss{}raum und
  $\lambda$ ein komplexes Ma\ss{} auf $\mathcal A$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann gibt es komplexe Ma\ss{}e $\lambda_a$ und $\lambda_s$ auf
    $\mathcal A$ mit $\lambda=\lambda_a+\lambda_s$, $\lambda_a\ll\mu$
    und $\lambda_s\perp\mu$. (Lebesguezerlegung)
  \item Es gibt eine eindeutig bestimmte Funktion $h\in L^1(\mu)$
    mit \[\lambda_a(E) =\int\limits_Eh\,d\mu\] f\"ur alle
    $E\in\mathcal A$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Funktion $h$ hei\ss{}t Radon-Nikodym Ableitung von
    $\lambda_a$ bez\"uglich $\mu$. Wir schreiben $d\lambda_a=h\,d\mu$
    oder $h=\frac{d\lambda_a}{d\mu}$.
  \item Die Zerlegung in $\lambda_a$ und $\lambda_s$ im Satz von
    Radon-Nikodym folgt im Falle eines $\sigma$-endlichen positiven
    Ma\ss{}es $\lambda$ aus dem endlichen Fall.  $\lambda_a$ und
    $\lambda_s$ sind ebenfalls $\sigma$-endliche positive Ma\ss{}e.
    Ist $\lambda$ ein endliches Ma\ss{}, so auch $\lambda_a$ und
    $\lambda_s$.
  \item Ist $X$ lediglich $\sigma$-endlich f\"ur das Ma\ss{}
    $\lambda$, so schreiben wir $X=\bigcup\limits_{n\in\N} X_n$ mit
    $\lambda(X_n)<\infty$ f\"ur disjunkte Mengen $X_n\in\mathcal
    A$. Dann k\"onnen wir den Satz von Radon-Nikodym auf die Ma\ss{}e
    $E\mapsto \lambda(E\cap X_n)$ anwenden und erhalten nach
    Aufsummieren eine Lebesguezerlegung von $\lambda$ sowie eine
    messbare Funktion $h$ mit \[\lambda_a(E) =\int\limits_Eh\,d\mu\]
    f\"ur alle $E\in\mathcal A$. Es gilt $h\in
    L^1\left(\bigcup\limits_{i=0}^N X_n,\R,\mu\right)$ f\"ur beliebige
    $N\in\N$, jedoch im Allgemeinen nicht mehr $h\in L^1(X,\R,\mu)$.
  \item Zur Eindeutigkeit der Lebesguezerlegung von $\lambda$
    bez\"uglich $\mu$: Sei $(\lambda_a',\lambda_s')$ eine weitere
    solche Zerlegung. Dann folgen
    $\lambda'_a-\lambda_a =\lambda_s-\lambda_s'$,
    $\lambda_a'-\lambda_a\ll\mu$ und
    $\lambda_s-\lambda_s'\perp\mu$. Somit erhalten wir nach
    Proposition \ref{mass zerl prop}
    $\lambda_a'-\lambda_a=0 =\lambda_s-\lambda_s'$.
  \item Zur Eindeutigkeit der Radon-Nikodym Ableitung: Seien $h_1$ und
    $h_2$ zwei solche Ableitungen. Dann ist $\{x\in X\colon
    h_1(x)-h_2(x)>0\}\in\mathcal A$ eine $\mu$-Nullmenge (Details:
    \"Ubung). Durch Vertauschen der Rollen von $h_1$ und $h_2$
    erhalten wir die Eindeutigkeit. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Der folgende Beweis geht auf John von Neumann zur\"uck. 
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{radon nikodym thm}]
  Sei $\lambda$ zun\"achst ein positives endliches Ma\ss{} auf
  $\mathcal A$.  Wir definieren durch $d\phi:=d\lambda+w\,d\mu$ mit
  $w$ wie in Lemma \ref{pos L1 fkt lem}
  verm\"oge \[\int\limits_Xf\,d\phi :=\int\limits_Xf\,d\lambda
  +\int\limits_X fw\,d\mu\] f\"ur charakteristische Funktionen
  $f=\chi_E$ ein positives endliches Ma\ss{} $\phi$ auf $\mathcal
  A$. (Wir h\"atten $\phi$ auch direkt als Ma\ss{} definieren
  k\"onnen, indem wir $w:=\sum\limits_{i\in\N} a_i\chi_{E_i}$
  schreiben und $\phi(A):= \lambda(A) +\sum\limits_{i\in\N}
  a_i\mu(E_i\cap A)$ definieren.) Die Integralgleichheit \"ubertr\"agt
  sich auf einfache Funktionen $f$ und auf beliebige nichtnegative
  messbare Funktionen $f$. \par Sei nun $f\in L^2(\phi)$
  beliebig. Dann erhalten wir aus der Cauchy-Schwarzschen
  Ungleichung \[\left|\,\int\limits_Xf\,d\lambda\,\right|
  \le\int\limits_X|f|\,d\lambda \le\int\limits_X|f|\,d\phi
  \le\left(\,\int\limits_X|f|^2\,d\phi\right)^{1/2}
  \cdot\underbrace{(\phi(X))^{1/2}}_{<\infty}.\] Somit ist $f\mapsto
  \int\limits_Xf\,d\lambda$ ein beschr\"anktes lineares Funktional auf
  $L^2(\phi)$. Daher gibt es nach dem Satz von Riesz ein (eindeutig
  bestimmtes) $g\in L^2(\phi)$ mit \[\int\limits_Xf\,d\lambda
  =\int\limits_Xfg\,d\phi\] f\"ur alle $f\in L^2(\phi)$. Den Satz von
  Riesz werden wir zwar erst als Theorem \ref{Riesz thm} behandeln,
  jedoch ist der Beweis dort unabh\"angig von diesem Kapitel. \par Sei
  $E\in\mathcal A$ mit $0<\phi(E)<\infty$. Wir wenden diese
  Identit\"at auf $f=\chi_E$ an und erhalten wegen
  $0\le\lambda\le\phi$ \[0\le\frac1{\phi(E)}\int\limits_Eg\,d\phi
  =\frac{\lambda(E)}{\phi(E)} \le1=\frac1{\phi(E)}
  \int\limits_E1\,d\phi.\] Somit folgt $g(x)\in[0,1]$ f\"ur fast alle
  $x\in X$ (Details: \"Ubung). Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir daher
  $g(x)\in[0,1]$ f\"ur alle $x\in X$ annehmen. Unter Benutzung der
  Definition von $\phi$ erhalten wir \[\int\limits_X f\,d\lambda
  =\int\limits_X fg\,d\phi =\int\limits_Xfg\,d\lambda
  +\int\limits_Xfgw\,d\mu\] und somit
  \begin{equation}
    \label{(1-g)f eqn}
    \int\limits_X(1-g)f\,d\lambda =\int\limits_Xfgw\,d\mu.
  \end{equation}
  Wir definieren nun Mengen \[A:=\{x\in X\colon 0\le
  g(x)<1\}\quad\text{und}\quad B:=\{x\in X\colon g(x)=1\}\] sowie
  Ma\ss{}e $\lambda_a$ und $\lambda_s$
  durch \[\lambda_a(E):=\lambda(A\cap E) \quad\text{sowie}\quad
  \lambda_s(E):=\lambda(B\cap E)\] f\"ur alle $E\in\mathcal A$. \par
  Wir benutzen nun \eqref{(1-g)f eqn} mit $f=\chi_B$ und erhalten
  $0=\int\limits_B w\,d\mu$. Wegen $w(x)>0$ f\"ur alle $x\in X$
  erhalten wir $\mu(B)=0$. Somit folgt $\lambda_s\perp\mu$. \par Nun
  verwenden wir \eqref{(1-g)f eqn} mit $f=(1+g+\ldots+g^n)\chi_E$,
  wobei $n\in\N_{>0}$ und $E\in\mathcal A$ sind, und
  erhalten \[\int\limits_E 1-g^{n+1}\,d\lambda =\int\limits_E
  g(1+g+\ldots+g^n)w\,d\mu.\] In $B$ gilt $g=1$ und somit
  $1-g^{n+1}=0$. In $A$ gilt $g^{n+1}\searrow0$ f\"ur
  $n\to\infty$. Aufgrund des Satzes \"uber monotone Konvergenz folgt
  f\"ur die linke Seite \[\int\limits_E 1-g^{n+1}\,d\lambda
  \to\lambda(A\cap E) =\lambda_a(E).\] Der Integrand auf der rechten
  Seite ist nichtnegativ und in $n$ monoton wachsend. Sei $h$ der
  punktweise monotone Grenzwert f\"ur $n\to\infty$. Dann folgt aus dem
  Satz von der monotonen Konvergenz \[\int\limits_E
  g(1+g+\ldots+g^n)w\,d\mu \to\int\limits_Eh\,d\mu\] f\"ur
  $n\to\infty$. Also folgt \[\lambda_a(E) =\int\limits_E h\,d\mu\]
  f\"ur alle $E\in\mathcal A$. W\"ahlen wir insbesondere $E=X$, so
  folgt aus der Endlichkeit von $\lambda$ bzw.{} $\lambda_a$ auch
  $h\in L^1(\mu)$. \par $\lambda_a\ll\mu$ ist wegen
  $\lambda_a(E)=\int\limits_Eh\,d\mu$ klar.\par
  Ist $\lambda$ komplexwertig, so zerlegen wir
  $\lambda=\lambda_1+i\lambda_2$ mit reellwertigen Ma\ss{}en
  $\lambda_i$ und wenden das obige Argument auf die positiven und
  negativen Variationen $\lambda_i^\pm$ von $\lambda_i$ an. 
\end{proof}

Das nachfolgende Theorem erkl\"art, warum wir von Absolutstetigkeit
sprechen.
\begin{theorem}
  \stern Seien $\lambda,\mu$ endliche Ma\ss{}e auf $\mathcal A$. Dann
  sind die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{zwei mass i} $\lambda\ll\mu$.  
  \item\label{zwei mass ii} F\"ur jedes $\epsilon>0$ gibt es ein
    $\delta>0$, so dass f\"ur alle $E\in\mathcal A$ die Implikation
    $\mu(E)<\delta$ \impliziert{} $\lambda(E)<\epsilon$ gilt. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item \glqq\eqref{zwei mass ii} \impliziert{} \eqref{zwei mass
      i}\grqq: Klar.
  \item \glqq\eqref{zwei mass i} \impliziert{} \eqref{zwei mass
      ii}\grqq: Angenommen, \eqref{zwei mass ii} w\"are falsch. Dann
    gibt es $\epsilon>0$ und eine Gegenbeispielfolge
    $(E_n)_{n\in\N}\subset\mathcal A$ mit $\mu(E_n)<2^{-n}$ und
    $\lambda(E_n)\ge\epsilon$. Wir
    setzen \[A_n:=\bigcup\limits_{i=n}^\infty E_i\quad\text{und}\quad
    A=\bigcap\limits_{n=0}^\infty A_n.\] Dann folgt
    $\mu(A_n)<2^{-n+1}$ und $A_n\supset A_{n+1}$. Also ist $\mu(A)=0$
    aufgrund der Stetigkeit des Ma\ss{}es von oben. Weiterhin gilt
    aufgrund der Stetigkeit des Ma\ss{}es von oben und der
    Endlichkeit \[\lambda(A)
    =\lim\limits_{n\to\infty} \lambda(A_n) \ge\lim\limits_{n\to\infty}
    \lambda(E_n)\ge\epsilon.\] Dies widerspricht jedoch
    $\lambda\ll\mu$ und wir erhalten die Behauptung. \qedhere.
  \end{itemize}
\end{proof}
} % weg

\subsection{Dualraum \optional}
Die Aussage von Theorem \ref{Lp dual thm} ist kein Zusatzstoff.
% Bei gen\"ugend Zeit dieses Kapitel doch behandeln.

Aus Theorem \ref{dualraum thm} folgt der wichtige Spezialfall: 
\begin{theorem}
  \label{Lp dual thm}
  Sei $\mu =\mathcal L^n$ das $n$-dimensionale Lebesgema\ss{} und sei
  $\Omega\subset\R^n$. Seien $1\le p<\infty$ und $1<q\le\infty$ mit
  $\frac1p +\frac1q =1$. Dann ist
  $\left(L^p(\Omega)\right)^* \cong L^q(\Omega)$. Der Isomorphismus
  ist dadurch gegeben, dass wir $f\in L^q(\Omega)$ verm\"oge
  \[g\mapsto \int\limits_\Omega f\cdot g\,d\mathcal L^n\quad
    \text{f\"ur }g\in L^p(\Omega)\] als Element des Dualraumes von
  $L^p(\Omega)$ auf{}fassen.
\end{theorem}
\weg{
\begin{proof}[Beweis. Trivialer Teil]
  Aufgrund der H\"olderschen Ungleichung ist \[|f(g)|\le\Vert
  f\Vert_{L^q(\Omega)} \cdot \Vert g\Vert_{L^p(\Omega)}.\] 
  Daher ist das Integral wohldefiniert und
  $\int\limits_\Omega f\cdot\fbox{\phantom{x}}\,d\mathcal L^n \in
  L\left(L^p(\Omega),\R\right)$. 
\end{proof}

% Zur Erinnerung wiederholen wir die Formulierung des Satzes von
% Ra\-don-Ni\-ko\-dym. 
% \begin{theorem}[Radon-Nikodym]
%   Sei $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ ein $\sigma$-endlicher
%   Ma\ss{}raum. Sei $\nu\colon\mathcal A\to\K$ eine $\sigma$-additive
%   Abbildung mit $|\nu|(\Omega)<\infty$. Sei $\nu$ bez\"uglich $\mu$
%   absolutstetig. Dann gibt es genau ein $f\in L^1(\mu)$ mit
%   $\nu(E)=\int\limits_Ef\,d\mu$ f\"ur alle $E\in\mathcal A$.
% \end{theorem}
% \begin{proof}[Beweis]
%   Beispielsweise \cite[Satz 4.11]{AltFA}.
% \end{proof}

\begin{theorem}\label{dualraum thm}
  Seien $\mu$ (ein Radonma\ss{}) und $\Omega\subset\R^n$ gegeben.  Sei
  $1\le p<\infty$. Sei $q\in(1,\infty]$ mit $\frac1p+\frac1q=1$. Sei
  $f\in L^q(\Omega)$. Definiere
  $J\colon L^q(\Omega)\to (L^p(\Omega))^*$
  durch
  \[(J(f))(g):=\int\limits_\Omega g\bar f \quad\text{f\"ur }g\in
    L^p(\Omega).\] Dann ist $J$ ein konjugiert linearer isometrischer
  Isomorphismus.
\end{theorem}
Siehe \cite[Satz 4.12]{AltFA} f\"ur eine allgemeinere Formulierung des
Satzes mit $\sigma$-endlichen Ma\ss{}r\"aumen, \dh der Raum ist
abz\"ahlbare Vereinigung von Mengen endlichen Ma\ss{}es.\par Der
Dualraum von $L^\infty$ ist nicht $L^1$ sondern gr\"o\ss{}er: Auf
$C^0\left(\ol\Omega\right)\subset L^\infty(\Omega)$ definieren wir
$\delta_x(f):=f(x)$. Dies ist ein stetiges lineares Funktional auf
$C^0$ mit der Supremumsnorm. Dann l\"asst sich dies nach dem Satz von
Hahn-Banach, Theorem \ref{Hahn-Banach}, zu einem stetigen linearen
Funktional auf $L^\infty$ fortsetzen. \par $q$ hei\ss{}t der zu $p$
konjugierte oder duale Exponent. Er wird auch mit $p'$ bezeichnet.
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nach der H\"olderschen Ungleichung gilt $\Vert J(f)\Vert\le
    \Vert f\Vert_{L^q}$. Somit ist $J$ wohldefiniert. Klar ist, dass
    $J$ konjugiert linear ist. 
  \item $J$ ist injektiv: Dies folgt aus dem Lemma von Du Bois
    Reymond, siehe \ref{du bois reymond lem}, oder explizit wie folgt:
    Aus $J(f)=0$ folgt im Fall $p>1$ mit $g:=|f|^{q-2}f\in
    L^p(\Omega)$ (da $|g|^p=|f|^q\in L^1$ ist) $(J(f))(g)
    =\int\limits_\Omega |f|^q=0$ Somit ist $f=0$ und wir erhalten die
    Injektivit\"at f\"ur $p>1$. Im Fall $p=1$ ist mit $f\in L^\infty$
    die Funktion $g:=\chi_{\Omega_i}f\in L^1$, wobei
    $\Omega_i\nearrow\Omega$ eine Aussch\"opfung von $\Omega$ durch
    Mengen von endlichem Ma\ss{} ist. Somit folgt aus $0=Jf$ auch
    $0=(J(f))(g) =\int\limits_{\Omega_i}|f|^2$ und daher $f=0$ (fast
    \"uberall) in $\Omega_i$. Mit $i\to\infty$ erhalten wir $f=0$.
  \item $J$ ist normtreu: F\"ur $p>1$ gelten mit $g:=|f|^{q-2}f$ 
    \begin{align*}
      \Vert g\Vert_{L^p} =&\,\left(\int|f|^{(q-1)p}\right)^{1/p}
      =\left(\int|f|^q\right)^{1-\frac1q}
      =\left(\int|f|^q\right)^{\frac{q-1}q} =\Vert f\Vert_{L^q}^{q-1}
      \intertext{und} |(Jf)(g)| =&\int|f|^q =\Vert f\Vert_{L^q}^q
      =\Vert f\Vert_{L^q}\cdot \Vert f\Vert_{L^q}^{q-1} =\Vert
      f\Vert_{L^q}\cdot\Vert g\Vert_{L^p}.
    \end{align*}
    Also ist $\Vert Jf\Vert\ge\Vert f\Vert_{L^q}$. \par
    Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir $f\not\equiv0$ annehmen.  Im
    Fall $p=1$ w\"ahlen wir zu $\epsilon>0$ eine Menge
    $A\subset\Omega$ sodass ohne Einschr\"ankung
    $|f|\ge\sup|f|-\epsilon\equiv M-\epsilon>0$ in $A$ und
    $0<|A|<\infty$ gelten. Setze
    \[g(x):=\begin{cases}
      \frac f{M\cdot|A|}&\text{f\"ur } x\in A,\\
      0&\text{sonst.}
    \end{cases}\] Dann gelten $1\ge\Vert g\Vert_{L^1}
    \ge\frac{M-\epsilon}M$ und
    \begin{align*}
      |(Jf)(g)|\ge&\,\int\frac{f\bar f}{M\cdot|A|}\chi_A
      \ge\int\frac{(M-\epsilon)^2}M\frac{\chi_A}{|A|}
      =\int\limits_A\frac{(M-\epsilon)^2}M \underbrace{\frac
        M{|f|}}_{\ge1}
      \underbrace{\frac{|f|\chi_A}{M\cdot|A|}}_{=g}\\
      \ge&\,\frac{(M-\epsilon)^2}M\cdot \Vert g\Vert_{L^1} \to
      M\cdot\Vert g\Vert_{L^1}=\sup|f|\cdot\Vert g\Vert_{L^1}
    \end{align*}
    f\"ur $\epsilon\to0$. Also erhalten wir $\Vert Jf\Vert\ge\Vert
    f\Vert_{L^\infty}$.
  \item Sei $F\in (L^p(\Omega))^*$. Wir behaupten, dass es ein $f\in
    L^q(\Omega)$ mit \[F=J(f)\quad\text{und}\quad \Vert
    f\Vert_{L^q}\le \Vert F\Vert_{(L^p)^*}\] gibt. Die zweite
    Behauptung folgt zwar bereits aus der ersten und dem, was wir
    bereits oben gezeigt haben, sie ist jedoch im Beweis trotzdem
    n\"utzlich. 
  \item\label{mass omega endlich item} Sei zun\"achst
    $|\Omega|<\infty$. Wir wollen nachweisen, dass $\nu$, durch
    $\nu(E):=F(\chi_E)$ f\"ur messbare Mengen definiert, die
    Voraussetzungen des Satzes von Radon-Nikodym erf\"ullt. Betrachte
    dazu disjunkte messbare Mengen $E_1,\ldots,E_m\subset\Omega$ mit
    $\nu(E_i)\neq0$. Dann gilt
    \begin{align*}
      \sum\limits_{i=1}^m|\nu(E_i)|
      =&\,\sum\limits_{i=1}^m\sigma_i\nu(E_i),\quad \text{wobei }
      \sigma_i:=\frac{\ol{\nu(E_i)}}{|\nu(E_i)|} \text{ ist,}\umbruch\\
      =&\,F\left(\sum\limits_{i=1}^m\sigma_i\chi_{E_i}\right) \le\Vert
      F\Vert_{(L^p)^*} \cdot\left\Vert\sum\limits_{i=1}^m
        \sigma_i\chi_{E_i}\right\Vert_{L^p}\umbruch\\
      =&\,\Vert F\Vert\cdot\left(\sum_{i=1}^m|E_i|\right)^{1/p},
      \quad\text{da }|\sigma_i|=1,\umbruch\\
      \le&\,\Vert F\Vert\cdot|\Omega|^{1/p}.
    \end{align*}
    Somit ist die totale Variation von $\nu$ ein endliches Ma\ss{}:
    $|\nu|(\Omega)<\infty$. Daher ist auch $\nu$ ein endliches
    Ma\ss{}.\par
    Seien nun $E_i\subset\Omega$, $i\in\N$, messbar mit $E_i\subset
    E_{i+1}$ und gelte $E=\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i$. Wir
    erhalten
    \[|\nu(E)-\nu(E_i)| =|F(\chi_{E\setminus E_i})| \le\Vert
    F\Vert_{(L^p)^*}\cdot |E\setminus E_i|^{1/p}\to 0\] f\"ur
    $i\to\infty$ aus dem Satz von der dominierten Konvergenz. Dies ist
    \"aquivalent zur $\sigma$-Additivit\"at f\"ur disjunkte Mengen
    $A_k$, denn es gilt \[\nu\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty
      A_k\right) -\lim_{i\to\infty}\sum_{k=1}^i \nu\left(A_k\right)
    =\lim_{i\to\infty}\left\{\nu\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty
        A_k\right) -\nu\left(\bigcup_{k=1}^i A_k\right)\right\}=0.\]
    Somit ist $\nu$ $\sigma$-additiv und daher ein Ma\ss{}.  Die
    Absolutstetigkeit ist klar. \par Somit k\"onnen wir den Satz von
    Radon-Nikodym anwenden und erhalten $f\in L^1(\Omega)$
    mit \[\nu(E) =F(\chi_E) =\int\limits_\Omega\chi_E\bar f\] f\"ur
    alle messbaren Mengen $E$.  Nach Lemma \ref{Rn L infty approx}
    lassen sich Funktionen $g\in L^\infty(\Omega)$ durch endliche
    Linearkombinationen von charakteristischen Funktionen $\chi_E$ mit
    messbaren Mengen $E\subset\Omega$ in $L^\infty$ approximieren. Es
    gilt $L^\infty\subset L^p$. Somit ist $F$ auch auf $L^\infty$
    stetig und wir erhalten
    \begin{equation}
      \label{F darstellbar eq}
      F(g)=\int\limits_\Omega g\bar f      
    \end{equation}
    f\"ur alle $g\in L^\infty$. \par Sei nun $m\in\N$ und $1\le
    Q<\infty$. Wir setzen
    \begin{align*}
      A_m:=&\,\{x\in\Omega\colon 0<|f(x)|\le m\}
      \intertext{und}
      g:=&\,\chi_{A_m}|f|^{Q-2}f.
    \end{align*}
    Dann ist $g\in L^\infty$ und wir erhalten aus \eqref{F darstellbar
      eq}
    \[\int\limits_{A_m}|f|^Q =F(g) \le\Vert F\Vert_{(L^p)^*}\cdot
    \Vert g\Vert_{L^p} =\Vert F\Vert_{(L^p)^*}\cdot
    \left(\,\,\int\limits_{A_m} |f|^{p(Q-1)}\right)^{1/p}.\] Ist
    $p>1$, so verwenden wir $Q=q$. Dann folgt $p(Q-1)=q$. Also folgt
    durch K\"urzen \[\left(\,\,\int\limits_{A_m}|f|^q\right)^{1/q}
    \le\Vert F\Vert_{(L^p)^*}.\] Lasse nun $m\to\infty$. Dann folgt
    mit dem Satz \"uber monotone Konvergenz $f\in L^q(\Omega)$ und
    $\Vert f\Vert_{L^q(\Omega)}\le\Vert F\Vert$. \par Ist $p=1$, so
    w\"ahlen wir $Q\in\N$ und erhalten per
    Induktion \[\int\limits_{A_m}|f|^Q\le \Vert F\Vert_{(L^p)^*}\cdot
    \int\limits_{A_m}|f|^{Q-1} \le\Vert
    F\Vert^Q_{(L^p)^*}\cdot|A_m|.\] Hieraus
    folgt \[\Vert\chi_{A_m}f\Vert_{L^Q(\Omega)}
    =\left(\,\,\int\limits_{A_m} |f|^Q\right)^{1/Q} \le\Vert
    F\Vert_{(L^p)^*}\cdot |A_m|^{1/Q} \le\Vert
    F\Vert_{(L^p)^*}\cdot|\Omega|^{1/Q}.\] Mit $Q\to\infty$ folgt
    $\Vert\chi_{A_m}f\Vert_{L^\infty(\Omega)}\le\Vert
    F\Vert_{(L^p)^*}$. Mit $m\to\infty$ folgt $\Vert
    f\Vert_{L^\infty(\Omega)}\le\Vert F\Vert_{(L^p)^*}$ wie
    behauptet. \par Die Gleichung \eqref{F darstellbar eq} gilt f\"ur
    $g\in L^\infty(\Omega)$. Da solche Funktionen dicht in
    $L^p(\Omega)$ liegen, siehe z.\,B. Theorem \ref{stet approx Lp
      thm}, k\"onnen wir auf beiden Seiten eine gegebene Funktion
    $g\in L^p(\Omega)$ durch $g_k\in L^\infty(\Omega)$ approximieren
    und erhalten, da die rechte Seite aufgrund der $L^q$-Absch\"atzung
    f\"ur $f$ nach H\"older stetig ist, $F=J(f)$: \[F(g)\leftarrow
    F(g_k) =\int\limits_\Omega g_k\bar f\to\int\limits_\Omega g\bar
    f.\] Dies zeigt die Behauptung im Fall $|\Omega|<\infty$.
  \item Sei nun $\Omega\subset\R^n$ eine beliebige offene
    Menge. (Dieser Teil ist im Euklidischen technisch einfacher als
    der Beweis f\"ur allgemeine $\sigma$-endliche Ma\ss{}r\"aume.)
    W\"ahle eine Aussch\"opfung von $\Omega$ durch Mengen $\Omega_m$,
    $m\in\N$, mit $\Omega_m\subset\Omega_{m+1}$,
    $\bigcup\limits_{m\in\N}\Omega_m =\Omega$ sowie
    $|\Omega_m|<\infty$. (Bis auf die Endlichkeit des Ma\ss{}es wird
    dies auch mit $\Omega_m\nearrow\Omega$ abgek\"urzt.) Wir
    definieren $F_m(g):=F(\chi_{\Omega_m}g)$ f\"ur $g\in
    L^p(\Omega_m)$ (ohne Notations\"anderung durch $0$ nach
    $\Omega\setminus\Omega_m$ fortgesetzt; die charakteristische
    Funktion steht nur der Deutlichkeit halber da) und erhalten $\Vert
    F_m\Vert_{(L^p(\Omega_m))^*}\le \Vert F\Vert_{(L^p(\Omega))^*}$,
    da $L^p(\Omega_m)\subset L^p(\Omega)$ verm\"oge dieser
    Fortsetzung. Somit ist $F_m\in (L^p(\Omega_m))^*$. Nach Teil
    \eqref{mass omega endlich item} existiert somit f\"ur jedes
    $m\in\N$ genau ein $f_m\in L^q(\Omega_m)$ (das wir ohne
    Notations\"anderung ebenfalls durch $0$ fortsetzen)
    mit \[F_m(g)=\int\limits_\Omega g\ol{f_m} =\int\limits_{\Omega_m}
    g\ol{f_m}\] f\"ur alle $g\in L^p(\Omega_m)$. Ebenfalls nach
    \eqref{mass omega endlich item} gilt $\Vert
    f_m\Vert_{L^q(\Omega_m)} =\Vert F_m\Vert_{(L^p(\Omega_m))^*}$. Wie
    beim Beweis der Injektivit\"at sieht man, dass $f_m=f_k$ fast
    \"uberall in $\Omega_m\cap\Omega_k$ gilt. Somit erhalten wir
    $|f_m|\le|f_k|$ f\"ur $\Omega_m\subset\Omega_k$. Weiterhin folgt
    in diesem Fall \[\Vert f_m\Vert_{L^q(\Omega)} \le\Vert
    f_k\Vert_{L^q(\Omega)} =\Vert F_k\Vert_{(L^p(\Omega_k))^*}
    \le\Vert F\Vert_{(L^p(\Omega))^*}<\infty.\] Wir
    definieren \[f(x):=f_m(x) \quad\text{f\"ur ein $m$ mit
    }x\in\Omega_m.\] Es folgt $\Vert f\Vert_{L^q(\Omega)} \le\Vert
    F\Vert_{(L^p)^*}<\infty$ nach dem Satz \"uber die dominierte
    Konvergenz.\par Sei nun $g\in L^p(\Omega)$ beliebig. Wir setzen
    $g_m:=\chi_{\Omega_m}g$ und erhalten $g_m\to g$ f\"ur $m\to\infty$
    in $L^p$, da $p<\infty$. Es gilt \[F(g_m) =F_m(g_m)
    =\int\limits_{\Omega_m}g_m\ol{f_m} =\int\limits_\Omega g_m\bar f
    =(J(f))(g_m).\] Lasse nun $m\to\infty$. Da $f\in L^q(\Omega)$ ist,
    konvergieren beide Seiten der Gleichung. Somit gilt
    $F(g)=(J(f))(g)$ f\"ur alle $g\in L^p(\Omega)$. Also folgt
    $F=J(f)$ mit $f\in L^q(\Omega)$. \par
    Wir haben bereits ganz am Anfang nachgewiesen, dass $J$ eine
    Isometrie ist, also $\Vert F\Vert_{(L^p)^*} =\Vert
    J(f)\Vert_{(L^p)^*} =\Vert f\Vert_{L^q}$ gilt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $1\le p\le\infty$,
  $\frac1p+\frac1q=1$. Dann sind f\"ur $f\colon\Omega\to\K$ folgende
  Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{cor lp dual i} $f\in L^p(\Omega)$
  \item\label{cor lp dual ii} $f\in L^1_{loc}(\Omega)$ und es gibt ein
    $c>0$ mit $\left|\int\limits_\Omega\zeta f\right|\le c\cdot\Vert
    \zeta\Vert_{L^q(\Omega)}$ f\"ur alle $\zeta\in
    C^\infty_c(\Omega)$.
  \end{enumerate}
  Ist eine dieser beiden Aussagen erf\"ullt, so gilt $c\ge\Vert
  f\Vert_{L^p(\Omega)}$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Aussage \"uber $c$ folgt aus dem ersten Teil (\glqq\eqref{cor lp
    dual i}$\Longrightarrow$\eqref{cor lp dual ii}\grqq) f\"ur
  $1<p<\infty$, da in der H\"olderschen Ungleichung Gleichheit gilt,
  wenn $f^p$ und $g^q$ (in der dortigen Notation) Vielfache
  voneinander sind: Mit $g:=|f|^{p/q}\frac{\bar f}{|f|}$ und als $0$
  definiert, falls der Nenner verschwindet erhalten wir stets mit
  Gleichheit \[\left|\int\limits_\Omega fg\right| =\int\limits_\Omega
  |f|\cdot |f|^{p/q} =\Vert f\Vert_{L^p}\cdot \left\Vert
    |f|^{p/q}\right\Vert_{L^q} =\Vert f\Vert_{L^p}\cdot\Vert
  g\Vert_{L^q}.\] Dies zeigt die Behauptung, falls zuf\"alligerweise
  $g\in C^\infty_c$ gilt. Sonst approximieren wir $g$ durch
  $C^\infty_c$-Funktionen bez\"uglich der $L^q$-Norm. Bis auf einen
  kleinen Fehler gilt die obige Gleichheit dann auch f\"ur die
  approximierenden Funktionen und wir erhalten die Behauptung \"uber
  $c$. \par  F\"ur $p=1,\infty$ lassen wir das als einfache
  \"Ubung.\par 
  \glqq\eqref{cor lp dual i}$\Longrightarrow$\eqref{cor lp dual
    ii}\grqq: Aus der H\"olderschen Ungleichung erhalten
  wir \[\left|\int\limits_\Omega\zeta f\right|\le \Vert
  \zeta\Vert_{L^q(\Omega)}\cdot\Vert f\Vert_{L^p(\Omega)}.\]
  \glqq\eqref{cor lp dual ii}$\Longrightarrow$\eqref{cor lp dual
    i}\grqq: Nach Voraussetzung ist $F$ mit
  $F(\zeta):=\int\limits_\Omega\zeta f$ auf $C^\infty_c(\Omega)$ mit
  der Norm $\Vert\cdot\Vert_{L^q(\Omega)}$ stetig. Ist $p>1$, so gilt
  $q<\infty$ und $C^\infty_c(\Omega)$ liegt nach Theorem \ref{stet
    approx Lp thm} und Gl\"attung bez\"uglich
  $\Vert\cdot\Vert_{L^q(\Omega)}$ dicht in $L^q$. Also l\"asst sich
  $F$ nach Theorem \ref{fortsetzungssatz thm} eindeutig zu einem
  stetigen Funktional $\tilde F$ auf $L^q(\Omega)$ fortsetzen. Dieses
  l\"a\ss{}t sich nach Theorem \ref{dualraum thm} mit $\tilde f\in
  L^p(\Omega)$ als $\tilde F(g)=\int\limits_\Omega g\tilde f$ f\"ur
  alle $g\in L^q(\Omega)$ darstellen. Dabei durften wir die komplexe
  Konjugation auch weglassen. Es gilt $\int\limits_\Omega
  gf=\int\limits_\Omega g\tilde f$ f\"ur alle $g\in
  C^\infty_c(\Omega)$. Nach dem Fundamentallemma der
  Variationsrechnung, Lemma \ref{du bois reymond lem}, folgt daher
  $f=\tilde f$ fast \"uberall. \par
  Sei nun $p=1$. Wir definieren
    \[g(x):=
    \begin{cases}
      \frac{\ol{f(x)}}{|f(x)|}&\text{f\"ur }f(x)\neq0,\\
      0&\text{sonst.}
    \end{cases}\] Sei $D\Subset\Omega$ und
    $(\eta_\epsilon)_{\epsilon>0}$ eine Standard Diracfolge wie bei
    Gl\"attungen. F\"ur kleines $\epsilon>0$ gilt
    $\zeta_\epsilon:=\eta_\epsilon*(\chi_Dg)\in
    C^\infty_c(\Omega)$. Nach Voraussetzung
    folgt \[\left|\int\limits_\Omega\zeta_\epsilon f\right|\le
  c\cdot\Vert\zeta_\epsilon\Vert_{L^\infty(\Omega)} \le c.\]
  Aus der $L^1$-Konvergenz $\zeta_\epsilon\to\chi_Dg$ folgt, dass eine
  Teilfolge punktweise fast \"uberall konvergiert. Nach dem Satz
  von der dominierten Konvergenz erhalten wir hieraus
  \[\int\limits_D|f|=\left|\int\limits_Dgf\right|\le c.\]
  \rule{0mm}{1mm}\\[-5ex]
\end{proof}
} % weg

\section{Der Satz von Hahn-Banach}

\subsection{Der Satz von Hahn-Banach}

Der Satz von Hahn-Banach besagt, dass sich ein lineares Funktional
normerhaltend fortsetzen l\"asst. Der Beweis benutzt das Zornsche
Lemma. 

\weg{
\begin{lemma}[Zornsches Lemma, Erinnerung \optional]
  Sei $M$ eine nichtleere Menge mit einer Teilordnung $\le$. Nimm an,
  dass jede total geordnete Teilmenge $\Lambda\subset M$ ($=$ Kette)
  eine obere Schranke $b\in M$ besitzt, \dh dass $x\le b$ f\"ur alle
  $x\in\Lambda$ gilt. Dann enth\"alt $M$ ein maximales Element $x_0$,
  \dh ein Element $x_0\in M$, so dass aus $x\le x_0$ bereits $x=x_0$
  folgt. (Beachte, dass $x_0$ i.\,a.{} nicht eindeutig bestimmt ist.)
\end{lemma}
F\"ur einen Beweis aus dem Auswahlaxiom verweisen wir auf Literatur
oder Veranstaltungen zur Logik. Das Zornsche Lemma wurde bereits beim
Beweis, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt, benutzt. 
} % weg

Wir zeigen zwei Varianten des Satzes von Hahn-Banach. Zun\"achst
behandeln wir die etwas allgemeinere Version mit einer konvexen
Funktion. 
\begin{theorem}[Satz von Hahn-Banach (mit einer konvexen Funktion)]
  Sei $E$ ein $\R$-Vektorraum, $W\subset E$ ein Unterraum und
  $\phi\colon W\to\R$ linear. Sei $p\colon E\to\R$ konvex und gelte
  $\phi\le p$ auf $W$. Dann gibt es eine lineare Fortsetzung
  $\tilde\phi\colon E\to\R$ von $\phi$ mit $\tilde\phi\le p$, \dh eine
  lineare Abbildung $\tilde\phi\colon E\to\R$ mit $\tilde\phi|_W=\phi$
  und $\tilde\phi\le p$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $x_0\not\in W$. Wir wollen $\phi$ zun\"achst auf
    $W\oplus\langle x_0\rangle$ fortsetzen. Jedes Element $x\in
    W\oplus\langle x_0\rangle$ l\"a\ss{}t sich in der Form
    $x=w+\lambda x_0$ mit $w\in W$ und $\lambda\in\R$ darstellen. Sei
    $\psi$ eine lineare Fortsetzung von $\phi$. Dann
    folgt \[\psi(x)=\psi(w)+\lambda\psi(x_0)
    =\phi(w)+\lambda\psi(x_0).\] K\"onnen wir $\psi(x_0)$ so w\"ahlen,
    dass $\psi(x)\le p(x)$ f\"ur alle $x\in W\oplus\langle x_0\rangle$
    gilt, so ist $\psi$ die gesuchte Fortsetzung auf $W\oplus\langle
    x_0\rangle$. \par Somit ist zu zeigen, dass $\psi(x_0)$ so
    gew\"ahlt werden kann, dass $\phi(w)+\lambda\psi(x_0) \le
    p(w+\lambda x_0)$ f\"ur alle $\lambda\neq0$ und alle $w\in W$
    gilt. Dies ist (nach Unterscheidung f\"ur $\lambda>0$ und
    $\lambda<0$) \"aquivalent
    zu \[\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{w\in
        W}{\mu>0}}\frac{\phi(w)-p(w-\mu x_0)}\mu
    \le\psi(x_0)\le\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{z\in
        W}{\lambda>0}}\frac{p(z+\lambda x_0)-\phi(z)}\lambda.\] Dazu
    wollen wir nachweisen, dass f\"ur alle $w,z\in W$ und alle
    $\lambda,\mu>0$ \[\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}
    \left(\frac{p(z+\lambda x_0)}{\lambda} +\frac{p(w-\mu
        x_0)}{\mu}\right) \ge \frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}
    \left(\frac{\phi(w)}\mu +\frac{\phi(z)}\lambda\right)\] gilt. Der
    zus\"atzliche Vorfaktor erleichtert nun die Rechnungen. Es gilt
    \begin{align*}
      &\,\frac\mu{\lambda+\mu} p(z+\lambda x_0)
      +\frac\lambda{\lambda+\mu}p(w-\mu x_0)\\
      \ge&\,p\left(\frac\mu{\lambda+\mu} z
        +\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu} x_0
        +\frac\lambda{\lambda+\mu}w
        -\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}x_0\right)\\
      =&\,p\left(\frac\mu{\lambda+\mu} z
        +\frac\lambda{\lambda+\mu}w\right)
      \ge\phi\left(\frac\mu{\lambda+\mu} z
        +\frac\lambda{\lambda+\mu}w\right)\\
      =&\,\frac\mu{\lambda+\mu}\phi(z)
        +\frac\lambda{\lambda+\mu}\phi(w).      
    \end{align*}
    Somit l\"a\ss{}t sich $\phi$ wie gew\"unscht auf $W\oplus\langle
    x_0\rangle$ fortsetzen.
  \item Die Fortsetzung auf ganz $E$ erhalten wir mit Hilfe des
    Zornschen Lemmas. Betrachte dazu die Menge $\mathcal M$ aller
    linearen Fortsetzungen $\psi$ von $\phi$ mit $\psi\le p$, \dh die
    Menge aller Tupel $(\psi,U)$, wobei $U\subset E$ ein Unterraum mit
    $W\subset U$ ist, $\psi|_W=\phi$ und $\psi\le p$ in $U$
    gelten. $(\phi,W)$ ist selber eine Fortsetzung von $\phi$, also
    ist $\mathcal M\neq\emptyset$. Auf $\mathcal M$ definieren wir
    eine Halbordnung durch $(\psi,U)\le \big(\tilde\psi,V\big)$, falls
    $U\subset V$ und $\tilde\psi|_U=\psi$ gelten. Sei also
    $\Lambda\subset\mathcal M$ eine total geordnete Teilmenge von
    $\mathcal M$, $\Lambda=\{(\psi_i,U_i)\colon i\in I\}$ f\"ur eine
    geeignete Indexmenge. Dann ist durch $(\psi,U)$ mit
    $U:=\bigcup\limits_{i\in I}U_i$ und $\psi(x):=\psi_i(x)$ f\"ur
    $x\in U_i$ eine obere Schranke gegeben: $U\subset E$ ist ein
    Unterraum, $\psi$ ist wohldefiniert, linear, stimmt auf $W$ mit
    $\phi$ \"uberein und erf\"ullt $\psi(x)\le p(x)$ f\"ur alle $x\in
    U$. Nach dem Zornschen Lemma gibt es also ein maximales
    Element. Dieses muss auf ganz $E$ definiert sein, denn sonst
    k\"onnte man es nach den obigen \"Uberlegungen auf $U\oplus\langle
    x_0\rangle$ f\"ur ein $x_0\in E\setminus U$ fortsetzen. Dies
    widerspr\"ache der Maximalit\"at.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Satz von Hahn-Banach]\label{Hahn-Banach}
  Sei $E$ ein normierter Raum, $W\subset E$ ein Unterraum und $\phi\in
  W^*$. Dann gibt es eine normerhaltende Fortsetzung $\tilde\phi\in
  E^*$ von $\phi$, \dh eine Abbildung $\tilde\phi\in E^*$ mit
  $\tilde\phi|_W=\phi$ und $\Vert\tilde\phi\Vert=\Vert\phi\Vert$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Im Falle $\K=\R$ folgt dies gerade aus dem Satz von
    Hahn-Banach mit einer konvexen Funktion: Die Norm ist wegen 
    \[\Vert tx+(1-t)y\Vert\le\Vert tx\Vert+\Vert(1-t) y\Vert
    = t\Vert x\Vert +(1-t)\Vert y\Vert\] f\"ur alle $x,y\in E$ und
    $t\in[0,1]$ konvex. Sei ohne Einschr\"ankung
    $\Vert\phi\Vert=1$. Setze $p(x):=\Vert x\Vert$. Dann gilt
    $\phi(x)\le\Vert x\Vert$. F\"ur die Fortsetzung $\tilde\phi$ erhalten wir
    \[\pm\tilde\phi(x)=\tilde\phi(\pm x)\le p(\pm x)=\Vert x\Vert,\]
    also $\Vert\tilde\phi\Vert\le 1$ und
    \[\Vert\tilde\phi\Vert =\sup_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\in E}{\Vert
        x\Vert=1}} \Vert\tilde\phi(x)\Vert \ge \sup_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\in
          W}{\Vert x\Vert=1}} \Vert\tilde\phi(x)\Vert
      =\sup_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\in W}{\Vert
          x\Vert=1}}\Vert\phi(x)\Vert =1.\]
      Somit ist $\Vert\tilde\phi\Vert=1$. 
\datum{Mo 10.05.2021}
    \item Sei nun $\K=\C$: Wir fassen $E$ als reellen Vektorraum auf
      und bezeichnen diesen mit $E_\R$. Sei $\phi\in E^*$. Es gilt
      $\phi=\Real\phi+i\Imag\phi$. Wegen \[\Real\phi(ix)+i\Imag\phi(ix)
      =\phi(ix) =i\phi(x) =i\Real\phi(x)-\Imag\phi(x)\] gilt
      $\Real\phi(ix) =-\Imag\phi(x)$. $\Real\phi$ und $\Imag\phi$ sind
      reelle Formen auf $E_\R$. Daher k\"onnen wir jede komplexe Form
      $\phi$ als 
      \begin{equation}
        \label{phi real imag teil eq}
        \phi(x)=\Real\phi(x)-i\Real\phi(ix)
      \end{equation} 
      f\"ur $x\in E$ schreiben. Umgekehrt sei $\psi$ eine reellwertige
      Form auf $E_\R$. Dann wird durch \[\phi(x):=\psi(x)-i\psi(ix)\]
      eine komplexe Form auf $E$ definiert, es gilt n\"amlich
      insbesondere $\phi(ix) =\psi(ix)-i\psi(-x) =i\psi(x)-i^2\psi(ix)
      =i\phi(x)$. F\"ur die Norm gilt $\Vert\phi\Vert=\Vert\psi\Vert$,
      denn es gilt einmal $|\phi(x)| =\sqrt{|\psi(x)|^2+|\psi(ix)|^2}
      \ge |\psi(x)|$. Andererseits gibt es zu $x\in E$ ein $t\in\R$
      mit $|\phi(x)|=e^{it}\phi(x)=\phi\left(e^{it}x\right)$. Da
      $\psi$ reellwertig ist und $|\phi(x)|\in\R$ gilt, erhalten
      wir \[|\phi(x)| =\psi\left(e^{it}x\right)
      \le\Vert\psi\Vert\cdot\Vert x\Vert\] f\"ur alle $x\in E$. \par
      Sei also $\phi\in W^*$. Setze $\psi:=\Real\phi\in
      (W_\R)^*$. Dann besitzt $\psi$ eine normerhaltende Fortsetzung
      $\tilde\psi$ nach $E_\R$. Somit
      ist \[\tilde\phi(x):=\tilde\psi(x)-i\tilde\psi(ix)\] f\"ur $x\in
      E$ eine normerhaltende Fortsetzung von $\phi$ auf $E$. Wegen
      \eqref{phi real imag teil eq} handelt es sich um eine
      Fortsetzung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}\label{Hahn Banach dual cor}
  Sei $E$ ein normierter Raum und $E^*$ sein Dualraum. Sei $x\in
  E$. Dann gilt \[\Vert
  x\Vert=\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\phi\in
      E^*,}{\Vert\phi\Vert=1}} |\langle x,\phi\rangle|.\] Das Supremum
  wird angenommen, \dh es gibt ein $\phi\in E^*$ mit
  $\Vert\phi\Vert=1$ und $\Vert x\Vert =|\langle x,\phi\rangle|$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus $|\langle x,\phi\rangle|\le\Vert\phi\Vert\cdot\Vert x\Vert$ folgt
  $\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\phi\in E^*,} {\Vert\phi\Vert=1}}
  |\langle x,\phi\rangle|\le\Vert x\Vert$. \par Sei $x\in E$ beliebig
  mit $x\neq0$, ohne Einschr\"ankung gelte $\Vert x\Vert=1$. Dann
  definieren wir $\phi\colon\langle x\rangle\to\K$ durch $\phi(\lambda
  x):=\lambda$. Aus $|\phi(\lambda x)| =|\lambda| =|\lambda|\cdot\Vert
  x\Vert$ folgt $\Vert\phi\Vert=1$. Sei $\tilde\phi$ die
  normerhaltende Fortsetzung von $\phi$ auf $E$. Dann folgt \[\Vert
  x\Vert =1 =\langle x,\tilde\phi\rangle
  \le\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\phi\in E^*,}
    {\Vert\phi\Vert=1}} |\langle x,\phi\rangle|.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{corollary}\label{Hahn Banach abg URaum}
  Sei $X$ ein normierter Raum, $M\subset X$ ein linearer Teilraum, \dh
  Unterraum, und $x_0\in X$. Setze $d:=\inf\limits_{y\in M}\Vert
  x_0-y\Vert$. Sei $d>0$. Dann gibt es $\phi\in X^*$ mit
  $\Vert\phi\Vert=1$, $\phi(x_0)=d$ und $\phi|_M=0$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $\lambda$ auf $M\oplus\langle x_0\rangle$ durch
  $\lambda(y+\alpha x_0):=\alpha d$ f\"ur $y\in M$ und
  $\alpha\in\K$. Es gilt
  \begin{align*}
    \Vert\lambda\Vert =&\,\sup_{\genfrac{}{}{0pt}{}{y+\alpha
        x_0\neq0}{y\in M,\,\alpha\in\K}} \frac{|\alpha d|}{\Vert
      y+\alpha x_0\Vert}
    =\sup_{\genfrac{}{}{0pt}{}{0\neq\alpha\in\K}{y\in M}}
    \frac{|\alpha d|}{\Vert y+\alpha x_0\Vert}
    =\sup_{\genfrac{}{}{0pt}{}{0\neq\alpha\in\K}{z\in M}}
    \frac{|\alpha d|}{\Vert -\alpha z+\alpha x_0\Vert}\\
    =&\,\sup_{z\in M}
    \frac{d}{\Vert x_0-z\Vert} =\frac{d}{\inf\limits_{z\in M}\Vert
      x_0-z\Vert} =\frac dd=1.
  \end{align*}
  Eine normtreue Fortsetzung $\phi$ aus dem Satz von Hahn-Banach
  liefert die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Trennungssatz]\label{trennungssatz thm}
  Sei $X$ ein normierter Raum, $M\subset X$ nichtleer, abgeschlossen
  und konvex. Sei $x_0\in\complement M$. Dann gibt es ein $\phi\in
  X^*$ und ein $\alpha\in\R$
  mit \[\Real\phi(x)\le\alpha\quad\text{f\"ur } x\in
  M\quad\text{und}\quad \Real\phi(x_0)>\alpha.\]   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei zun\"achst $\K=\R$. Sei ohne Einschr\"ankung $0\in\interior
  M$. (Durch Verschiebung k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung $0\in M$
  annehmen. Zeigen wir dann die Behauptung f\"ur $\tilde
  M:=\ol{\bigcup\limits_{x\in M}B_r(x)}$ f\"ur ein kleines $r>0$, so
  folgt die Behauptung.) Definiere das
  Minkowski-Funktional \[p(x):=\inf\left\{r>0\colon \frac xr\in
    M\right\}\] f\"ur $x\in X$. Wegen $0\in\interior M$ gilt $0\le
  p(x)<\infty$ f\"ur alle $x\in X$. Es ist $p\le 1$ in $M$, $p(x_0)>1$
  und $p(0)=0$. F\"ur $\lambda\ge0$ gilt $p(\lambda x)=\lambda
  p(x)$. Sind $\frac xr,\frac ys\in M$ mit $r,s>0$, so folgt aufgrund
  der Konvexit\"at auch $\frac{x+y}{r+s}=\frac r{r+s}\frac xr+\frac
  s{r+s}\frac ys\in M$. Somit erhalten wir $p(x+y)\le
  p(x)+p(y)$. Hieraus folgt, dass $p$ eine konvexe Funktion
  ist. Definiere $f\colon\langle x_0\rangle\to\R$ durch $f(\lambda
  x_0):=\lambda p(x_0)$ f\"ur $\lambda\in\R$. Dann folgt $f(\lambda
  x_0)=p(\lambda x_0)$ f\"ur $\lambda\ge0$ und $f(\lambda x_0)\le 0\le
  p(\lambda x_0)$ f\"ur $\lambda\le 0$. Somit gibt es nach Hahn-Banach
  eine lineare Fortsetzung $F\colon X\to\R$ von $f$ mit $F\le p$. Es
  gilt $F\le p\le 1$ in $M$. Daher ist $F$ stetig, Details dazu siehe
  weiter unten. Weiterhin gilt $F(x_0)=f(x_0)=p(x_0)>1$.\par Da es ein
  $\rho>0$ mit $\ol{B_\rho(0)}\subset M$ gibt, erhalten wir
  $\frac{x}{\frac1\rho\Vert x\Vert}\in M$ f\"ur beliebiges $x\in X$,
  also $p(x)\le\frac1\rho\Vert x\Vert$ und damit
  $F(x)\le\frac1\rho\Vert x\Vert$. Ebenso folgt
  $-F(x)=F(-x)\le\frac1\rho\Vert x\Vert$. Somit ist $F$ stetig und wir
  erhalten die Behauptung mit $\alpha=1$ und $\phi=F$. \par
  Ist $\K=\C$, so fassen wir $X$ als $\R$-Vektorraum auf und erhalten
  ein $F_\R\in X_\R^*$ mit den gew\"unschten Eigenschaften. Wie beim
  Beweis des Satzes von Hahn-Banach erh\"alt man die Aussage f\"ur
  $\phi(x)=F(x):=F_\R(x)-iF_\R(ix)$.
\end{proof}

\section{Hilbertr\"aume}

\subsection{Hilbertr\"aume}

\weg{
\begin{definition}
  \stern Sei $H$ ein $\K$-Vektorraum. Ein \emph{Skalarprodukt} auf $H$
  ist eine Abbildung $\langle\cdot,\cdot\rangle\colon H\times H\to\K$
  mit den folgenden Eigenschaften:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\langle u,u\rangle\ge0$ f\"ur alle $u\in H$; $\langle
    u,u\rangle=0$ gilt genau dann, wenn $u=0$ ist,
  \item $\langle u,v+w\rangle =\langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle$
    sowie $\langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle
    v,w\rangle$ f\"ur alle $u,v,w\in H$,
  \item $\langle\lambda u,v\rangle =\lambda\langle u,v\rangle$ f\"ur
    alle $u,v\in H$ und alle $\lambda\in\C$,
  \item $\ol{\langle u,v\rangle}=\langle v,u\rangle$.
  \end{enumerate}
  Einen $\K$-Vektorraum $H$ mit einem Skalarprodukt nennen wir
  \emph{Skalarproduktraum} oder \emph{Pr\"ahilbertraum}.
\end{definition}

\begin{beispiele}
  \stern
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Auf $H=\K^n$ mit $x=\left(x^i\right)_{1\le i\le n}, y\in H$
    ist \[\langle x,y\rangle:=\sum\limits_{i=1}^n x^i\ol{y^i}\] ein
    Skalarprodukt. 
  \item Auf $H=L^2(\Omega)$ ist \[\langle
    f,g\rangle=\int\limits_\Omega f\ol g\] ein Skalarprodukt. \par
    Beachte, dass das Integral aufgrund der H\"olderschen Ungleichung
    wohldefiniert ist, es gilt n\"amlich
    \[\left|\int\limits_\Omega f\ol g\right|\le
    \left(\int|f|^2\right)^{1/2}\cdot\left(\int|g|^2\right)^{1/2}.\] 
  \item Analog sieht man, dass $l^2(\N)$ mit
    $\left\langle\left(x^i\right),\left(y^i\right)\right\rangle
    :=\sum\limits_{i=1}^\infty x^i\ol{y^i}$ ein Pr\"ahilbertraum ist.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{theorem}
  \stern Sei $H$ ein Skalarproduktraum. Dann definiert $\Vert
  u\Vert:=\sqrt{\langle u,u\rangle}$ eine Norm auf $H$.
\end{theorem}
Auf Skalarproduktr\"aumen wollen wir stets diese Norm verwenden. 
\begin{proof}[Beweis]
  Lineare Algebra. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]
  \stern Sei $H$ ein Ska\-lar\-pro\-dukt\-raum. Dann gilt $|\langle
  u,v\rangle|\le\Vert u\Vert\cdot\Vert v\Vert$ f\"ur alle $u,v\in H$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Lineare Algebra. 
\end{proof}

\begin{definition}
  \stern Ist ein Skalarproduktraum $H$ mit der induzierten Norm bzw.{}
  Metrik vollst\"andig, so nennen wir $H$ einen \emph{Hilbertraum}.
\end{definition}
} % weg

\begin{remark}
  Sei $H$ ein Skalarproduktraum und $\hat H$ seine Vervollst\"andigung
  als metrischer Raum. Seien $H\ni u_n\to u\in\hat H$ sowie $H\ni
  v_n\to v\in\hat H$. Dann l\"asst sich das Skarprodukt auf genau eine
  Art und Weise stetig nach $\hat H$ fortsetzen, sodass $\hat H$ ein
  Hilbertraum wird, n\"amlich durch \[\langle u,v\rangle_{\hat
    V}:=\lim\limits_{n\to\infty} \langle u_n,v_n\rangle_V.\]
\end{remark}

\begin{lemma}[Parallelogrammgleichung]
  Sei $H$ ein Pr\"ahilbertraum. Dann gilt
  \[\Vert u+v\Vert^2+\Vert u-v\Vert^2=2\Vert u\Vert^2+2\Vert v\Vert^2\]
  f\"ur alle $u,v\in H$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Direktes Nachrechnen.
\end{proof}

\begin{lemma}[Polarisationsformel]
  Sei $H$ ein Pr\"ahilbertraum. Dann gilt 
  \[\langle x,y\rangle =\tfrac14\Vert x+y\Vert^2 -\tfrac14\Vert
  x-y\Vert^2\] f\"ur $\R$-Vektorr\"aume und 
  \[\langle x,y\rangle =\tfrac14\left(\Vert x+y\Vert^2 -\Vert
    x-y\Vert^2 +i\Vert x+iy\Vert^2 -i\Vert x-iy\Vert^2\right)
  \equiv\tfrac14\sum\limits_{k=0}^3 i^k\left\Vert
    x+i^ky\right\Vert^2\] f\"ur einen $\C$-Vektorraum und alle $x,y\in 
  H$.
\end{lemma}
Mit der Polarisationsformel kann man aus der Norm eines
Skalarproduktraumes das Skalarprodukt rekonstruieren. \par
Weiterhin folgt aufgrund der Stetigkeit der Norm, dass die Abbildung
$H\times H\ni (x,y)\mapsto\langle x,y\rangle\in\R$ stetig ist. 
\begin{proof}[Beweis]
  Direktes Nachrechnen. Im komplexen Fall ergeben die Terme mit $i$
  gerade den Imagin\"arteil. 
\end{proof}

\weg{
\begin{definition}
  \stern Sei $H$ ein Pr\"ahilbertraum.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Zwei Vektoren $u,v\in H$ hei\ss{}en \emph{orthogonal}, falls
    $\langle u,v\rangle=0$ gilt. Wir schreiben $u\perp v$.
  \item Eine Familie $(u_i)_{i\in I}$ von Vektoren hei\ss{}t
    \emph{orthonormal}, falls $\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij}$
    f\"ur alle $i,j\in I$ gilt.
  \item Zwei Unterr\"aume $U_1,U_2\subset H$ stehen \emph{orthogonal}
    aufeinander, $U_1\perp U_2$, falls $\langle u_1,u_2\rangle=0$
    f\"ur alle $u_1\in U_1$ und alle $u_2\in U_2$ gilt.
  \item Sei $U\subset H$ beliebig. Dann ist das \emph{orthogonale
      Komplement} $U^\perp$ durch
    \[U^\perp:=\{v\in H\colon \langle u,v\rangle=0\,\,\forall u\in
      U\}\] definiert.
  \end{enumerate}
\end{definition}
} % weg

\begin{lemma}\label{orth compl lem}
  Sei $H$ ein Hilbertraum, $M\subset H$ beliebig.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $M^\perp$ ein abgeschlossener Unterraum von $H$. 
  \item Es gilt $M^\perp =(\ol{M})^\perp =\langle
    M\rangle^\perp$. Auch mehrfaches Bilden der linaren H\"ulle oder
    Abschlie\ss{}en ver\"andert das Ergebnis nicht mehr. 
  \item Es gilt $M\cap M^\perp\subset\{0\}$. 
  \item Es gilt ${M^\perp}^\perp =\ol{\langle M\rangle}$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $y\in H$. Definiere $f$ durch $x\mapsto\langle
    x,y\rangle$. Da $f$ stetig ist, ist $\{y\}^\perp=f^{-1}(\{0\})$
    abgeschlossen. Wegen $M^\perp:=\bigcap\limits_{y\in M}\{y\}^\perp$
    ist auch $M^\perp$ abgeschlossen. \par Der Nachweis, dass
    $M^\perp$ ein Unterraum ist, ist einfach.
  \item Aus $A\subset B$ folgt stets $A^\perp\supset B^\perp$. Also
    ist nur $M^\perp\subset \left(\ol{M}\right)^\perp$ und
    $M^\perp\subset\langle M\rangle^\perp$ zu zeigen.
    \begin{enumerate}
    \item $M^\perp\subset \left(\ol{M}\right)^\perp$: Seien $x\in
      M^\perp$ und $y\in\ol M$. Dann ist $\langle x,y\rangle=0$ zu
      zeigen. Zu $y$ gibt es $y_n\in M$ mit $y_n\to y$. Da das
      Skalarprodukt stetig ist, folgt aus $0=\langle x,y_n\rangle$
      auch $0=\langle x,y\rangle$. 
    \item $M^\perp\subset\langle M\rangle^\perp$: Seien $x\in M^\perp$
      und $y\in\langle M\rangle$. Dann gibt es endlich viele $m_i\in
      M$ und $\lambda^i\in\K$, $1\le i\le N$, mit
      $y=\sum\limits_{i=1}^N\lambda^im_i$. Es
      folgt \[0=\sum\limits_{i=1}^N \lambda_i\langle m_i,x\rangle
      =\langle y,x\rangle.\] Die Inklusion folgt.
    \end{enumerate}
  \item Sei $x\in M\cap M^\perp$. Dann folgt $0=\langle x,x\rangle$,
    also $x=0$. (Ist $M$ ein Unterraum, so gilt Gleichheit.) 
  \item \"Ubung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\datum{Mo 17.05.2021}
\begin{proposition}[Pythagoras]
  Sei $H$ ein Skalarproduktraum. 
  Sei $(x_i)_{1\le i\le n}$ eine orthonormale Familie in $H$. Sei $x\in
  H$. Dann gilt \[\Vert x\Vert^2 =\sum\limits_{i=1}^n|\langle
  x,x_i\rangle|^2 +\left\Vert x-\sum\limits_{i=1}^n\langle
    x,x_i\rangle x_i\right\Vert^2.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Schreibe \[x=\underbrace{\sum\limits_{i=1}^n\langle x,x_i\rangle
    x_i}_{=:u_1} +\underbrace{x-\sum\limits_{i=1}^n\langle
    x,x_i\rangle x_i}_{=:u_2}.\] Dann gilt $u_1\perp u_2$. Also folgt
  $\Vert x\Vert^2 =\Vert u_1\Vert^2 +\Vert u_2\Vert^2$ durch direktes
  Ausmultiplizieren. Aufgrund der Orthogonalit\"at der $(x_i)_i$
  erhalten wir weiterhin \[\Vert u_1\Vert^2=
  \sum\limits_{i=1}^n|\langle x,x_i\rangle|^2.\] Somit folgt die
  behauptete Gleichheit. 
\end{proof}

\begin{corollary}[Besselsche Ungleichung]\label{bessel cor}
  \neueZeilealt Sei $H$ ein Pr\"ahilbertraum und sei
  $(x_i)_{1\le i\le n}$ eine orthonormale Familie in $H$. Dann
  folgt
  \[\Vert x\Vert^2\ge\sum\limits_{i=1}^n|\langle x,x_i\rangle|^2\]
  f\"ur alle $x\in H$. \par
  Aufgrund der Monotonie der Summe und der gleichm\"a\ss{}igen oberen
  Schranke $\Vert x\Vert^2$ gilt die Ungleichung auch f\"ur beliebige,
  \dh nicht notwendigerweise endliche, orthonormale Familien in $H$.
\end{corollary}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $H_1,H_2$ Pr\"ahilbertr\"aume. Dann hei\ss{}t
    $U\in L(H_1,H_2)$ \emph{Isometrie}, falls
    \[\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle\] f\"ur alle
    $x,y\in H_1$ gilt.
  \item Seien $H_1,H_2$ Hilbertr\"aume. Dann hei\ss{}t eine surjektive
    Isometrie \emph{Hil\-bert\-raum\-iso\-mor\-phis\-mus} oder
    \emph{unit\"ar}. Gibt es einen Hilbertraumisomorphismus
    $U\in L(H_1,H_2)$, so hei\ss{}en $H_1$ und $H_2$ \emph{isomorph}.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Direkte Summe]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $H_1,H_2$ Hilbertr\"aume. Dann definieren wir die
    \emph{direkte Summe} als den Vektorraum $H_1\oplus H_2
    :=\left\{\left(x^1,x^2\right)\colon x^1\in H_1,\, x^2\in
      H_2\right\}$ mit dem Skalarprodukt \[\left\langle
      \left(x^1,x^2\right),\left(u^1,u^2\right)\right\rangle :=
    \left\langle x^1,u^1\right\rangle +\left\langle
      x^2,u^2\right\rangle.\]
  \item Seien $(H_i)_{i\in I}$ Hilbertr\"aume. Dann definieren wir
    \[\bigoplus\limits_{i\in I}H_i:=\left\{\left(x^i\right)_{i\in I}\colon
      x^i\in H_i\,\forall\,i\in I\text{ und }\sum\limits_{i\in
        I}\left\Vert x^i\right\Vert_{H_i}^2<\infty\right\}\] mit dem
    Skalarprodukt \[\left\langle\left(x^i\right),
      \left(y^i\right)\right\rangle:=\sum\limits_{i\in I} \left\langle
      x^i,y^i\right\rangle.\]
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die direkte Summe von Hilbertr\"aumen ist wieder ein
    Hilbertraum. Bei der unendlichen direkten Summe geht man dabei
    analog zum Beweis f\"ur $l^2(\N)$ vor um die Vollst\"andigkeit
    nachzuweisen.
  \item In der (Linearen) Algebra fordert man, dass nur in endlich
    vielen Komponenten ein von Null verschiedener Eintrag stehen
    darf. Hier bekommt man mit einer solchen Forderung aber i.\,a.{}
    keinen vollst\"andigen Raum. Nach Definition k\"onnen aber
    h\"ochstens abz\"ahlbar viele Eintr\"age von Null verschieden
    sein; sonst konvergiert die Summe nicht.
  \item Den Nachweis, dass die unendliche Summe, mit der wir das
    Skalarprodukt definieren, existiert, f\"uhrt man wie bei $l^2$
    oder $L^2$.
  \item Versieht man die $l^2$-Norm mit Gewichten, betrachtet also
    $\sum\limits_{i\in I}a_i\langle x_i,y_i\rangle$ f\"ur $a_i>0$, so
    bekommt man i.\,a.{} keine Isometrie $x\mapsto x$ zwischen solchen
    Hil\-bert\-r\"au\-men mit unterschiedlichen Gewichten, die beiden
    Normen sind i.\,a.{} nicht einmal \"aquivalent.
\end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{Projektion auf konvexe Teilmengen}

\weg{
\begin{definition}[Konvexit\"at]
  \stern Sei $V$ ein $\K$-Vektorraum. Dann hei\ss{}t $K\subset V$
  \emph{konvex}, falls f\"ur alle $x,y\in K$ und alle $t\in[0,1]$ auch
  \[tx+(1-t)y\in K\] gilt. 
\end{definition}
} % weg

\begin{theorem}[Projektion auf konvexe Teilmengen]
  \neueZeilealt
  \label{proj konv TM thm}
  Sei $H$ ein Hilbertraum und sei $K\subset H$ eine nichtleere,
  abgeschlossene und konvexe Teilmenge. Sei $y_0\in H$. Dann gibt es
  genau ein n\"achstes Element $x_0\in K$, \dh ein $x_0\in K$ mit
  $\Vert x_0-y_0\Vert \le\Vert x-y_0\Vert$ f\"ur alle $x\in K$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
  Wir benutzen die sogenannte direkte Methode der
  Variationsrechnung. Sei $(x_n)_{n\in\N}\subset K$ eine Minimalfolge
  f\"ur die Funktion $K\ni x\mapsto\Vert x-y_0\Vert$, gelte also
  $\lim\limits_{n\to\infty}\Vert x_n-y_0\Vert =\inf\limits_{x\in
    K}\Vert x-y_0\Vert=:d$. Zun\"achst wollen wir nachweisen, dass
  $x_n$ eine Cauchyfolge ist. Aufgrund der Parallelogrammgleichung
  gilt
  \begin{align*}
    \Vert x_n-x_m\Vert^2
    &=2\Vert x_n-y_0\Vert^2 +2\Vert
      x_m-y_0\Vert^2 
      -4\Big\Vert \underbrace{\frac{x_n+x_m}2}_{\in
      K}-y_0\Big\Vert^2\\ 
    &\le2\Vert x_n-y_0\Vert^2+2\Vert x_m-y_0\Vert^2 -4d^2\to 0
  \end{align*}
  f\"ur $\min\{m,n\}\to\infty$. Da $K$ als abgeschlossene Teilmenge
  von $H$ vollst\"andig ist, existiert
  $x_0= \lim\limits_{n\to\infty}x_n$ in $K$. Da die Norm auf $H$
  stetig ist, folgt
  $\Vert x_0-y_0\Vert=\lim\limits_{n\to\infty}\Vert
  x_n-y_0\Vert=d$. \par
  Zur Eindeutigkeit: Sei $\hat x_0\in K$ ein weiteres n\"achstes
  Element. Da wir gezeigt haben, dass jede Minimalfolge eine
  Cauchyfolge ist, gilt dies auch f\"ur die Folge \[z_n:=
  \begin{cases}
    x_0&\text{f\"ur gerades n},\\
    \hat x_0&\text{f\"ur ungerades n}.
  \end{cases}\]
  Somit erhalten wir $x_0=\hat x_0$. 
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \optional
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da $H$ m\"oglicherweise unendlichdimensional ist, konnten wir
    hier keine Kompaktheit von $\ol{B_1(0)}$ nutzen.
  \item Die Eindeutigkeit h\"angt mit strikter Konvexit\"at der
    Einheitskugeln $B_1(0)$ zusammen und ist in
    $\ell^\infty\left(\R^2\right)$ nicht mehr gegeben: $K=\ol{B_1(0)}$
    und $y_0=(0,3)$.
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

Als Vorbereitung f\"ur den Nachweis der Stetigkeit von $\pi$ zeigen
wir
\begin{lemma}
  \label{min proj char lem}
  Sei $H$ ein reeller oder komplexer Hilbertraum und sei $K\subset H$
  eine nichtleere konvexe Teilmenge. Seien $x\in H$ und $p\in K$. Dann
  sind die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{naechster pkt aequiv i}
    $\Vert x-p\Vert =\inf\limits_{q\in K}\Vert x-q\Vert$ und
  \item\label{naechster pkt aequiv ii} $\Real{}\langle x-p, k-p\rangle
    \le0$ f\"ur alle $k\in K$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
  Wir lassen den Fall $\K=\C$ als leichte \"Ubung. Dazu f\"uge man im
  folgenden Beweis f\"unfmal einen Realteil ein. Sei also $\K=\R$.
  \begin{itemize}
  \item \glqq\eqref{naechster pkt aequiv i} \impliziert
    \eqref{naechster pkt aequiv ii}\grqq: Sei $k\in K$ beliebig. Dann
    gilt $p+\lambda(k-p)\in K$ f\"ur alle $0\le\lambda\le1$. Nach
    Voraussetzung gilt die erste Ungleichung in
    \begin{align*}
      \Vert x-p\Vert^2
      &\le \Vert x-(p+\lambda(k-p))\Vert^2
        =\Vert (x-p) -\lambda(k-p)\Vert^2\umbruch\\
      &=\Vert x-p\Vert^2 -2\lambda\langle x-p,k-p\rangle
        +\lambda^2\Vert k-p\Vert^2.
    \end{align*}
    F\"ur $\lambda>0$ erhalten wir $2\langle x-p,k-p\rangle
    \le\lambda\Vert k-p\Vert^2$ und somit im Grenzwert
    $\lambda\downarrow0$ die Behauptung.
\weg{
  \item \glqq\eqref{naechster pkt aequiv ii} \impliziert
    \eqref{naechster pkt aequiv i}\grqq: \optional (Diesen Teil der
    \"Aquivalenz ben\"otigen wir sp\"ater nicht mehr.) Ohne
    Einschr\"ankung d\"urfen wir $x\neq p$ annehmen, denn sonst sind
    beide Aussagen trivialerweise erf\"ullt. \par
    Sei $k\in K$ beliebig. Dann erhalten wir mit der
    Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und \eqref{naechster pkt aequiv
      ii}
    \begin{align*}
      \Vert x-k\Vert
      &\overset{\text{CSU}}\ge
        \left\langle x-k, \frac{x-p}{\Vert x-p\Vert}
        \right\rangle \umbruch\\
      &=\left\langle x-p-(k-p), \frac{x-p}{\Vert
        x-p\Vert}\right\rangle \umbruch\\
      &=\Vert x-p\Vert -\frac1{\Vert x-p\Vert} \langle k-p,
        x-p\rangle\umbruch\\ 
      &\overset{\text{\eqref{naechster pkt aequiv ii}}} \ge\Vert
        x-p\Vert 
    \end{align*}
    wie behauptet.
} % weg
    \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

Als Folgerung erhalten wir daraus
\begin{theorem}\label{naechster pkt konv menge stetig}
  Sei $H$ ein reeller oder komplexer Hilbertraum und sei $K\subset H$
  eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge. Sei
  $\pi\colon H\to K$ die nach Therem \ref{proj konv TM thm}
  wohldefinierte Abbildung, die $x\in H$ den Punkt $p\in K$ mit
  $\Vert x-p\Vert =\inf\limits_{q\in K}\Vert x-q\Vert$ zuordnet. Dann
  ist $\pi$ stetig; es gilt sogar
  $\Vert\pi(x)-\pi(y)\Vert\le\Vert x-y\Vert$ f\"ur alle $x,y\in H$.
\end{theorem}
\begin{proof}
  Wir beschr\"anken uns wieder auf den Fall $\K=\R$ und lassen den
  Fall $\K=\C$ als leichte \"Ubung. \par  
  Seien $x,y\in H$ beliebig.  Aus Lemma \ref{min proj char lem}
  \eqref{naechster pkt aequiv ii} erhalten wir wegen
  $\pi(y)\in K$
  \begin{align*}
    \langle x-\pi(x), \pi(y)-\pi(x)\rangle
    &\le 0,
      \intertext{woraus}
      \langle\pi(x),\pi(x)-\pi(y)\rangle
    &\le \langle x,\pi(x)-\pi(y)\rangle
      \intertext{folgt und ebenso mit $\pi(x)\in K$ aus
      $\langle y-\pi(y), \pi(x)-\pi(y)\rangle
      \le0$ oder aus Symmetriegr\"unden}
      \langle-\pi(y),\pi(x)-\pi(y)\rangle
    &\le\langle -y,\pi(x)-\pi(y)\rangle.
  \end{align*}
  Durch Aufsummieren erhalten wir daraus die erste Ungleichung und aus
  der Cau\-chy-Schwarzschen Ungleichung die zweite Ungleichung in
  \begin{align*}
    \Vert\pi(x)-\pi(y)\Vert^2
    &=\langle\pi(x)-\pi(y), \pi(x)-\pi(y)\rangle\umbruch\\
    &\overset{\text{s.\,o.}}\le\langle
      x-y,\pi(x)-\pi(y)\rangle\umbruch\\ 
    &\overset{\text{CSU}}\le\Vert x-y\Vert\cdot
      \Vert\pi(x)-\pi(y)\Vert. 
  \end{align*}
  Dies liefert die Behauptung im Fall $\pi(x)\neq\pi(y)$ und auch im
  (trivialen) Fall $\pi(x)=\pi(y)$.
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern Die Beweise von Lemma \ref{min proj char lem} und Theorem
  \ref{naechster pkt konv menge stetig} sind geometrisch durch
  \"Uberlegungen im $\R^2$ motiviert, die aber auch in beliebigen
  Hil\-bert\-r\"au\-men gelten.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Lemma \ref{min proj char lem}: Wir nehmen an, dass
    \eqref{naechster pkt aequiv i} gilt. Die Bedingung
    $\langle x-p, k-p\rangle\le 0$ definiert einen abgeschlossenen
    Halbraum, dessen Rand $p$ enth\"alt, in dem Punkte $k\in K$ liegen
    d\"urfen. Gibt es einen Punkt $k\in K$ au\ss{}erhalb dieses
    Halbraums, so liegt auch die konvexe Verbindung zwischen $k$ und
    $p$ in $K$. Diese hat dann aber nahe $p$ einen nichttrivialen
    Schnitt mit der offenen Kreisscheibe mit Radius $\Vert x-p\Vert$
    um $x$. Dies widerspricht der Tatsache, dass $p$ auf dem Rand der
    Kreisscheibe den Abstand zu $x$ minimiert.
  \item Theorem \ref{naechster pkt konv menge stetig}: Sei
    $\pi(x)\neq\pi(y)$.  Sei $S:=\{tx+(1-t)y\colon 0\le t\le1\}$ die
    Verbindungsstrecke zwischen $x$ und $y$,
    $P:=\{t\pi(x)+(1-t)\pi(y)\colon 0\le t\le1\}$ die
    Verbindungsstrecke zwischen $\pi(x)$ und $\pi(y)$ sowie
    $G:=\{t\pi(x)+(1-t)\pi(y)\colon t\in\R\}$ die Gerade durch
    $\pi(x)$ und $\pi(y)$. Dann haben wir nachgewiesen, dass die
    orthogonale Projektion von $S$ auf $G$ l\"anger ist als $P$. Die
    verwendeten Ungleichungen besagen sogar, dass die orthogonale
    Projektion von $S$ auf $G$ die Strecke $P$ umfasst. Beachte dazu,
    dass die orthogonale Projektion $p(x)$ von $x$ auf $G$ durch
    \[p(x):= \left\langle x-\pi(y),
        \frac{\pi(x)-\pi(y)}{\Vert\pi(x)-\pi(y)\Vert}\right\rangle
      \frac{\pi(x)-\pi(y)}{\Vert\pi(x)-\pi(y)\Vert} +\pi(y)\] gegeben
    ist. Dann ergibt sich auf $G$ die folgende Anordnung der vier
    Punkte: $p(x), \pi(x), \pi(y), p(y)$, gegebenenfalls mit
    Gleichheit oder in umgedrehter Anordnung. In Formeln dr\"uckt sich
    dies durch
    \[\langle p(x)-\pi(y),\pi(x)-\pi(y)\rangle \ge
      \langle\pi(x)-\pi(y),\pi(x)-\pi(y)\rangle\] aus. Durch Einsetzen
    von $p(x)-\pi(y)$ sehen wir nach ein wenig Vereinfachung, dass
    dies \"aquivalent zu
    \[\langle x-\pi(y),\pi(x)-\pi(y)\rangle
      \ge\langle\pi(x)-\pi(y),\pi(x)-\pi(y)\rangle\] oder
    $\langle x,\pi(x)-\pi(y)\rangle
    \ge\langle\pi(x),\pi(x)-\pi(y)\rangle$ ist. Somit ergibt sich
    gerade eine der im Beweis verwendeten Ungleichungen. Die andere
    ist symmetrisch dazu.     
  \item \"Ahnliche Argumente f\"uhren zur Aussage, dass f\"ur zwei
    konvexe Mengen $K_1\subset K_2\subset\R^2$ mit R\"andern aus
    endlich vielen Geradenst\"ucken f\"ur die L\"angen $L(\partial
    K_1) \le L(\partial K_2)$ gilt. Entsprechendes gilt auch f\"ur
    beliebige Mengen im $\R^n$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

% \begin{proof}[Alter Beweis]
%   Sei $x\in H$. Setze
%   $d(x):=d(x,K)=\inf\limits_{y\in K}\Vert x-y\Vert=\Vert
%   x-\pi(x)\Vert$. Dann ist $d$ stetig: Es gilt n\"amlich f\"ur
%   $x,y\in H$ zun\"achst
%   $d(y)=\Vert y-\pi(y)\Vert \le\Vert y-\pi(x)\Vert$ und damit
%   folgt mit der umgekehrten Dreiecksungleichung
%   \[d(y)-d(x)\le\Vert y-\pi(x)\Vert -\Vert x-\pi(x)\Vert
%     \le\Vert(y-\pi(x))-(x-\pi(x))\Vert =\Vert y-x\Vert.\] Aus
%   Symmetriegr\"unden folgt die Stetigkeit, sogar die
%   Lipschitzstetigkeit mit Konstante $1$. \par
%   Angenommen, $\pi$ ist nicht stetig. Dann gibt es einen Punkt $p$ in
%   dem $\pi$ nicht stetig ist und daher ein $\epsilon>0$ und eine Folge
%   $x_n\to p$ mit $\Vert\pi(x_n)-\pi(p)\Vert\ge\epsilon$ f\"ur alle
%   $n\in\N$. Wir setzen $r:= d(p) = \Vert p-\pi(p)\Vert$. Der Fall
%   $r=0$ ist ausgeschlossen, denn dann folgt $p =\pi(p)\in K$, $d(p)=0$
%   und damit $d(x_n)\to0$ f\"ur $x_n\to0$ auf Grund der Stetigkeit von
%   $d$, also wegen
%   $\Vert \pi(x_n)-p\Vert \le \Vert \pi(x_n) -x_n\Vert +\Vert
%   x_n-p\Vert =d(x_n) +\Vert x_n-p\Vert$ auch $\pi(x_n)\to p$. Wegen
%   $\epsilon\le \Vert \pi(x_n)-\pi(p)\Vert \le\Vert\pi(x_n)-p\Vert
%   +\Vert p-\pi(p)\Vert \to 0+0$ ist dies ausgeschlossen. \par Die Idee
%   ist nun, auszunutzen, dass $\pi(0)$ und $\pi(x_n)$ beinahe auf einer
%   Sph\"are mit Radius $r$ liegen, aber ihr Mittelpunkt, der aufgrund
%   der Konvexit\"at ebenfalls in $K$ liegt, n\"aher liegt, woraus wir
%   einen Widerspruch erhalten.\par Da
%   $x\mapsto\Vert x-\pi(x)\Vert =d(x)$ stetig ist, folgt
%   $\Vert x_n-\pi(x_n)\Vert =d(x_n)\to r$ f\"ur $n\to\infty$. Wir
%   erhalten also mit der Parallelogrammgleichung
%   \[\left\Vert\frac{x+y}2\right\Vert^2 =2\left\Vert\frac
%       x2\right\Vert^2 +2\left\Vert\frac y2\right\Vert^2
%     -\left\Vert\frac{x-y}2\right\Vert^2 =\frac12\Vert
%     x\Vert^2+\frac12\Vert y\Vert^2 -\frac14\Vert x-y\Vert^2.\] Wir
%   wenden dies mit $x=\pi(0)$ und $y=\pi(x_n)$ an und erhalten wegen
%   $\frac{\pi(0)+\pi(x_n)}2\in K$
%   \begin{align*}
%     r^2=&\,d(0)^2\le\left\Vert
%           p-\frac{\pi(p)+\pi(x_n)}2\right\Vert^2
%           =\left\Vert\frac{p-\pi(p)}2 +\frac{p-\pi(x_0)}2
%           \right\Vert^2\umbruch\\ 
%     =&\,\frac12\Vert p-\pi(p)\Vert^2 +\frac12\Vert p-\pi(x_n)\Vert^2
%        -\frac14\Vert\pi(p)-\pi(x_n)\Vert^2\umbruch\\
%     \le&\,\frac12d(p)^2+\frac12
%          \big(\underbrace{\Vert
%          p-x_n\Vert}_{\to0}+\underbrace{\Vert x_n-\pi(x_n)\Vert}_{\to  
%          r}\big)^2 -\frac14\epsilon^2\umbruch\\
%     \to&\,r^2-\frac14\epsilon^2.
%   \end{align*}
%   Widerspruch.
%   % K\"onnte man auch umstellen und daraus einen direkten Beweis
%   % machen. 
% \end{proof}

\datum{Di 25.05.2021} 
Zu Theorem \ref{proj konv TM thm} erhalten wir
\begin{corollary}\label{abg tr dir sum hr cor}
  Sei $H$ ein Hilbertraum und $M\subset H$ ein abgeschlossener
  Teilraum. Dann k\"onnen wir jeden Vektor $z\in H$ eindeutig als
  $z=x+y$ mit $x\in M$ und $y\in M^\perp$ schreiben, \dh es gilt
  $H=M\oplus M^\perp$. 
\end{corollary}
Aus der Konstruktion und Theorem \ref{naechster pkt konv menge stetig}
erhalten wir, dass $(x,y)$ stetig von $z$ abh\"angt. \par
Im nachfolgenden Beweis und gegebenenfalls sp\"ater notieren wir
manchmal nur den Fall f\"ur $\K=\C$, wenn sich der Fall f\"ur $\K=\R$
leicht aus dem Beweis f\"ur $\K=\C$ ablesen l\"asst.
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $z\in H$. Sei $x\in M$ der Punkt in $M$ mit minimalem Abstand zu
  $z$. Solch ein $x$ existiert nach Theorem \ref{proj konv TM
    thm}. Setze $y:=z-x$. \par Wir behaupten, dass $y\in M^\perp$ ist.
  Nach Definition von $x$ folgt \[\Vert z-x\Vert^2\le \Vert
  z-x+\lambda u\Vert^2 =\Vert z-x\Vert^2 +2\Real(\lambda\langle
  u,z-x\rangle) +|\lambda|^2\Vert u\Vert^2\] f\"ur alle $\lambda\in\K$
  und alle $u\in M$. Aus $0\le\Real(\lambda\langle u,z-x\rangle)
  +|\lambda|^2\Vert u\Vert^2$ folgt f\"ur reelle $\lambda$, dass
  $0=\Real(\langle u,z-x\rangle)$ und f\"ur $\lambda=-it$, $t\in\R$,
  dass $0=\Imag(\langle u,z-x\rangle)$ gilt. Also ist $y\in
  M^\perp$. \par Zur Eindeutigkeit: Gelte $z=x_1+y_1=x_2+y_2$ mit
  $x_1,x_2\in M$ und $y_1,y_2\in M^\perp$. Dann folgt $M\ni
  x_1-x_2=y_2-y_1\in M^\perp$. Wegen $M\cap M^\perp=\{0\}$ erhalten
  wir hieraus $x_1=x_2$ und $y_1=y_2$. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Riesz]
  \label{Riesz thm}
  Sei $X$ ein Hilbertraum und $T\in X^*$. Dann existiert genau ein
  $x_T\in X$ mit \[Tx=\langle x,x_T\rangle\quad\text{f\"ur alle }x\in
  X.\] Es gilt $\Vert T\Vert =\Vert x_T\Vert$. Die Abbildung $I\colon
  X^*\to X$ mit $T\mapsto x_T$ ist bijektiv, isometrisch und
  konjugiert linear (\dh bis auf komplexes Konjugieren von Skalaren
  linear).
\end{theorem}
% Siehe \cite[Theorem 6.8.8]{CGAnalysisII} f\"ur einen Beweis, in dem
% direkt ein Variationsproblem gel\"ost wird. 
%%% Wegen \"Ubungsaufgabe entfernt. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Konstruktion von $x_T$: $M:=N(T)=T^{-1}(\{0\})$ ist
    abgeschlossen. Also ist $X=M\oplus M^\perp$ nach Theorem \ref{abg
      tr dir sum hr cor}. Im Falle $M=X$ setzen wir $x_T:=0$. Gelte
    daher ab jetzt $M\neq X$. W\"ahle $y\in
    M^\perp\setminus\{0\}$. Dann folgt $Ty\neq0$. Definiere
    $x_T:=\frac{\ol{Ty}}{\Vert y\Vert^2}\cdot y$. Wir erhalten $\Vert
    x_T\Vert =\frac{|Ty|}{\Vert y\Vert}\neq0$ und damit
    $Tx_T=\frac{\ol{Ty}}{\Vert y\Vert^2}\cdot Ty =\Vert
    x_T\Vert^2\neq0$. \par Behauptung: Es gilt $Tx=\langle
    x,x_T\rangle$ f\"ur alle $x\in X$. Wir schreiben 
    \[x=\frac{Tx}{Tx_T}x_T +\left(x-\frac{Tx}{Tx_T}x_T\right)=:x_\perp
    +x_M.\] Die Notation legt nahe, dass $x_\perp\in M^\perp$ und
    $x_M\in M$ gelten. Die erste Behauptung ist klar, die zweite folgt
    aus \[Tx_M =T\left(x-\frac{Tx}{Tx_T}x_T\right)
    =Tx-\frac{Tx}{Tx_T}Tx_T =0\] nach Definition von $M$. Wir erhalten
    aus den obigen Rechnungen
    \[\langle x,x_T\rangle =\langle x_\perp +x_M,x_T\rangle
    =\frac{Tx}{Tx_T}\Vert x_T\Vert^2 +0 =\frac{Tx}{Tx_T}Tx_T =Tx.\]
  \item $I\colon T\mapsto x_T$ ist eine Isometrie: Es gilt $\Vert
    T\Vert =\sup\limits_{\Vert x\Vert\le 1}|Tx| =\sup\limits_{\Vert
      x\Vert\le 1}|\langle x,x_T\rangle| \le\Vert x_T\Vert$ sowie
    $\Vert T\Vert\ge\left|T\left(\frac{x_T}{\Vert
          x_T\Vert}\right)\right| =\Vert x_T\Vert$ aufgrund der obigen
    Rechnungen. 
  \item $x_T$ ist eindeutig bestimmt: F\"ur ein weiteres $\tilde x_T$
    mit $Tx=\langle x,x_T\rangle =\langle x,\tilde x_T\rangle$ f\"ur
    alle $x$ folgt $0=\langle x,x_T-\tilde x_T\rangle$ f\"ur alle $x$;
    wir w\"ahlen $x=x_T-\tilde x_T$ und erhalten $x_T=\tilde x_T$. 
  \item $I$ ist konjugiert linear: F\"ur $T=\lambda_1T_1
    +\lambda_2T_2$ erhalten wir
    \[Tx=\lambda_1T_1x +\lambda_2T_2x =\lambda_1\langle
    x,x_{T_1}\rangle +\lambda_2\langle x,x_{T_2}\rangle =\left\langle
      x,\ol{\lambda_1}x_{T_1} +\ol{\lambda_2}x_{T_2}\right\rangle\]
    und daher $IT=x_T=\ol{\lambda_1}x_{T_1} +\ol{\lambda_2}x_{T_2}
    =\ol{\lambda_1}IT_1 +\ol{\lambda_2}IT_2$. 
  \item $I$ ist surjektiv: Zu $y\in X$ ist durch $Tx:=\langle
    x,y\rangle$ ein lineares Funktional mit $IT=y$ definiert. 
  \item $I$ ist injektiv, da $\Vert T\Vert =\Vert x_T\Vert$
    gilt. \qedhere 
  \end{enumerate}  
\end{proof}

\section{Der Bairesche Kategoriesatz}

\subsection{Der Bairesche Kategoriesatz}

\begin{definition}
  Sei $E$ ein metrischer Raum. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Menge $A\subset E$ hei\ss{}t \emph{nirgends dicht}, falls
    $\interior{\ol{A}}=\emptyset$ gilt.
  \item Eine Menge $A\subset E$, die sich als abz\"ahlbare Vereinigung
    von nirgends dichten Mengen schreiben l\"a\ss{}t, hei\ss{}t von
    \emph{erster Kategorie} oder \emph{mager}.
  \item Eine Menge $A\subset E$, die nicht von erster Kategorie ist,
    hei\ss{}t von \emph{zweiter Kategorie} oder \emph{fett}.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Q\subset\R$ ist von erster Kategorie.
  \item $(\R\setminus\Q)\subset\R$ ist aufgrund des (nachfolgend
    bewiesenen) Baireschen Kategoriesatzes von zweiter Kategorie, denn
    sonst w\"are $(\R\setminus\Q)\cup\Q$ als abz\"ahlbare Vereinigung
    von nirgends dichten Mengen darstellbar.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{theorem}[Bairescher Kategoriesatz]
  Sei $E\neq\emptyset$ ein vollst\"andiger metrischer Raum und
  $A\subset E$ mager. Dann ist $E\setminus A$ dicht in
  $E$. Insbesondere ist $E$ eine Menge zweiter Kategorie.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da $A$ eine Menge erster Kategorie ist, gibt es Mengen $A_n$,
    $n\in\N$ mit \[A=\bigcup\limits_{n\in\N}A_n\quad\text{mit}\quad
    \interior{\ol A_n}=\emptyset\quad\text{f\"ur alle }n\in\N.\] Wir
    d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass alle Mengen $A_n$
    abgeschlossen sind, sonst ersetzen wir sie durch
    $\ol{A_n}$. Definiere $G_n:=E\setminus A_n\equiv\complement
    A_n$. Dann sind die Mengen $G_n$ offen. Setze \[G:=\complement A
    =\bigcap_{n\in\N}\complement A_n =\bigcap_{n\in\N}G_n.\] Sei nun
    $\emptyset\neq\Omega\subset E$ offen. Wir behaupten, dass
    $G\cap\Omega\neq\emptyset$ gilt.
  \item Wir konstruieren eine Folge von nichtleeren offenen Kugeln
    $B_n$ mit $\ol{B_{n+1}}\subset B_n\subset\ol{B_n}\subset\Omega\cap
    G_n$ f\"ur alle $n$ mit $\diam B_n\to 0$. Aus der
    Vollst\"andigkeit von $E$ folgt
    dann \[\emptyset\neq\bigcap_{k\in\N}
    \ol{B_k}\subset\bigcap\limits_{n\in\N} \Omega\cap
    G_n\subset\Omega\cap G.\] Hieraus erhalten wir den Baireschen
    Kategoriesatz.
  \item Konstruktion der Kugeln $B_n$: Da jede der Mengen $A_n$
    abgeschlossen und nirgends dicht ist, ist der Schnitt einer
    beliebigen nicht leeren offenen Menge mit $G_n$ offen und nicht
    leer.\par Somit gibt es zur offenen Menge $\Omega$ eine Kugel
    $B_0$ mit $\diam B_0<1/0=\infty$ und $\ol{B_0}\subset\Omega\cap
    G_0$. Zu $B_0$ gibt es eine Kugel $B_1$ mit $\diam(B_1)<1/1$ und
    $\ol{B_1}\subset B_0\cap G_1$. \ldots{} Zu $B_i$ gibt es eine
    Kugel $B_{i+1}$ mit $\diam(B_{i+1})<\frac1{i+1}$ und
    $\ol{B_{i+1}}\subset B_i\cap G_{i+1}$. \ldots{} Somit sind die
    oben verwendeten Kugeln konstruiert. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $(E,d)$ ein vollst\"andiger metrischer Raum. Dann ist der
  Durchschnitt einer abz\"ahlbaren Familie $(A_n)_{n\in\N}$ von
  dichten offenen Teilmengen von $E$ wieder dicht in $E$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls nicht, so gibt es $r>0$ und $x\in E$ mit
  $\ol{B_r(x)}\subset\complement\bigcap\limits_{n\in\N}A_n$.  Die
  Mengen $C_n:=\complement A_n\cap\ol{B_r(x)}$ sind abgeschlossen und
  erf\"ullen $\interior C_n=\emptyset$. Aus
  $\ol{B_r(x)} =\bigcup\limits_{n\in\N}C_n$ erhalten wir einen
  Widerspruch zum Baireschen Kategoriesatz. 
\end{proof}

\subsection{Anwendungen des Baireschen Kategoriesatzes}
\neueZeilealt
Die Bezeichnungen \glqq Prinzip von der gleichm\"a\ss{}igen
Beschr\"anktheit\grqq{} und \glqq Satz von Banach-Steinhaus\grqq{}
sind in der Literatur nicht klar getrennt. 
\begin{theorem}[Prinzip der gleichm\"a\ss{}igen Beschr\"anktheit]
  \label{unif bdd principle thm}
  Sei $E$ ein Banachraum, $F$ ein normierter Raum und $(A_i)_{i\in I}$
  eine Familie in $L(E,F)$, die punktweise beschr\"ankt ist, \dh es
  gibt f\"ur alle $x\in E$ ein $c(x)>0$ mit \[\sup_{i\in I}\Vert
  A_ix\Vert\le c(x).\] Dann ist die Familie gleichm\"a\ss{}ig
  beschr\"ankt, \dh es gibt ein $C>0$ mit \[\sup_{i\in I}\Vert
  A_i\Vert\le C.\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Zu $n\in\N$ definieren wir \[W_n:=\left\{x\in E\colon \sup_{i\in
      I}\Vert A_ix\Vert\le n\right\} =\bigcap_{i\in
    I}\underbrace{\{x\in E\colon \Vert A_ix\Vert\le n\}}_{=\text{
      abgeschlossen}}.\] $W_n$ ist als Schnitt von abgeschlossenen
  Mengen selbst abgeschlossen. Nach Voraussetzung gilt
  $E=\bigcup\limits_{n\in\N}W_n$. Nach dem Baireschen Kategoriesatz
  gibt es somit ein $W_n$ mit $\interior{W_n}\neq\emptyset$. Also gibt
  es $x_0\in E$ und $\rho>0$ mit $B_\rho(x_0)\subset W_n$
  und \[\sup_{i\in I}\sup_{x\in B_\rho(x_0)} \Vert A_ix\Vert\le n.\]
  Mit Hilfe der Dreiecksungleichung erhalten wir f\"ur alle $i\in
  I$ \[n\ge\sup_{x\in B_\rho(x_0)} \Vert A_ix\Vert =\sup_{y\in
    B_\rho(0)}\Vert A_i(y+x_0)\Vert \ge\underbrace{\sup_{y\in
      B_\rho(0)} \Vert A_iy\Vert}_{=\rho\Vert A_i\Vert}
  -\underbrace{\Vert A_ix_0\Vert}_{\le c(x_0)}.\] Umordnen liefert die
  behauptete in $i\in I$ gleichm\"a\ss{}ige Schranke f\"ur $\Vert
  A_i\Vert$. 
\end{proof}

\datum{Mo 07.06.2021}
Als direkte Folgerung erhalten wir
\begin{theorem}[Banach-Steinhaus]
  Sei $E$ ein Banachraum und $F$ ein normierter Raum. Sei $(A_i)_{i\in
    I}$ eine Familie von Abbildungen $A_i\in L(E,F)$, die punktweise
  beschr\"ankt ist. Dann ist $(A_i)_{i\in I}$ gleichgradig stetig (\dh
  $\delta$ in der \"ublichen Definition von Stetigkeit h\"angt nur von
  $\epsilon$ und $x_0$ und nicht von $i$ ab). (Aufgrund der
  Linearit\"at ist die Familie sogar gleichm\"a\ss{}ig gleichgradig
  stetig, \dh $\delta$ h\"angt auch nicht mehr von $x_0$ ab.)
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Es ist zu zeigen, dass zu $\epsilon>0$ ein $\delta>0$ existiert, so
  dass f\"ur alle $i\in I$ und alle $x,y\in E$ mit $\Vert
  x-y\Vert<\delta$ auch $\Vert A_ix-A_iy\Vert<\epsilon$ gilt. Nach dem
  Satz von der gleichm\"a\ss{}igen Beschr\"anktheit gibt es ein $c>0$
  mit $\Vert A_i\Vert\le c$ f\"ur alle $i$. Aus $\Vert A_ix-A_iy\Vert
  =\Vert A_i(x-y)\Vert \le\Vert A_i\Vert\cdot\Vert x-y\Vert \le
  c\cdot\Vert x-y\Vert$ sehen wir, dass die Behauptung folgt, wenn wir
  $\delta=\frac\epsilon{2c}$ w\"ahlen. 
\end{proof}

Eine weitere Folgerung ist
\begin{proposition}
  Sei $E$ ein Banachraum, $F$ ein normierter Raum und $(A_n)_{n\in
    \N}$ eine Folge in $L(E,F)$. Sei $A\colon E\to F$ eine
  Abbildung. Nehme an, dass $A_nx\to Ax$ f\"ur $n\to\infty$ gilt. (Die
  $A_n$'s konvergieren also punktweise gegen $A$.)  Dann ist $A\in
  L(E,F)$ und es gilt \[\Vert A\Vert\le\liminf_{n\to\infty}\Vert
  A_n\Vert<\infty.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Es ist einfach zu sehen, dass $A$ wieder eine lineare Abbildung
  ist. Wir benutzen die punktweise Konvergenz, die punktweise
  Beschr\"anktheit impliziert und den Satz \"uber die
  gleichm\"a\ss{}ige Beschr\"anktheit und erhalten
  \[\liminf\limits_{n\to\infty}\Vert A_n\Vert
  \le\sup\limits_{n\in\N}\Vert A_n\Vert<\infty.\]
  Weiterhin gilt \[\Vert Ax\Vert =\lim_{n\to\infty}\Vert A_nx\Vert
  =\liminf_{n\to\infty}\Vert A_nx\Vert \le\liminf_{n\to\infty}\Vert
  A_n\Vert\cdot\Vert x\Vert.\] Hieraus folgt $\Vert
  A\Vert\le\liminf\limits_{n\to\infty}\Vert A_n\Vert$. 
\end{proof}

\weg{
\begin{beispiel}
  \stern Wir definieren Abbildungen $A_n\colon l^2(\N)\to\R$ durch
  $e_n\mapsto1$ und $e_i\mapsto0$ f\"ur $i\ne n$. Dann gelten $A_nx\to
  Ax$ f\"ur $n\to\infty$ mit $A=0$, $\Vert
  A\Vert<\underset{n\to\infty}{\ul\lim}\Vert A_n\Vert$ sowie $\Vert
  A_n-A\Vert\not\to0$.
\end{beispiel}
} % weg

\begin{theorem}[Satz von der offenen Abbildung]
  \label{offen abb thm}
  \neueZeilealt
  Seien $E,F$ Banachr\"aume. Dann ist jede surjektive Abbildung $A\in
  L(E,F)$ offen. 
\end{theorem}
Elementar einzusehen ist, dass jede offene Abbildung $A\in L(E,F)$
auch surjektiv ist. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{offene abb i} Wir bezeichnen Kugeln in $E$ mit
    $B^E_r(x)$, Kugeln in $F$ mit $B^F_r(y)$. Zun\"achst wollen wir
    zeigen, dass es zu jedem $\epsilon>0$ ein $r>0$ mit
    $B^F_r(0)\subset \ol{A\left(B^E_{2\epsilon}(0)\right)}$ gibt:
    Fixiere $\epsilon>0$. Dann gilt $E=\bigcup\limits_{n\in\N}
    nB^E_\epsilon(0)$. Da $A$ surjektiv ist, gilt \[F=A(E)
    =\bigcup\limits_{n\in\N} nA\left(B^E_\epsilon(0)\right).\] Da $F$
    ein Banachraum ist, ist $F$ ein Raum zweiter Kategorie. Also gibt
    es ein $n_0\in\N$ mit $\interior{\ol{n_0A\left(B^E_\epsilon(0)
        \right)}} =n_0\interior{\ol{A\left(B^E_\epsilon(0)\right)}}
    \neq\emptyset$. Also gilt auch $\interior{\ol{A
        \left(B^E_\epsilon(0)\right)}}\neq\emptyset$. Es gibt also
    $x_0\in B^E_\epsilon(0)$ und $r>0$ mit $B^F_r(0)+Ax_0\equiv
    B^F_r(Ax_0)\subset \ol{A\left(B^E_\epsilon(0)\right)}$. Es folgt
    aufgrund der Dreiecksungleichung \[B^F_r(0) =B^F_r(Ax_0)
    -\underbrace{Ax_0}_{\in A\left(B^E_\epsilon(0)\right)}
    \subset\ol{A\left(B^E_{2\epsilon}(0)\right)}.\] Sch\"on w\"are es
    nun, noch den Abschluss auf der rechten Seite loszuwerden. 
    % Bis auf die Tatsache, dass auf der rechten Seite der Abschluss von
    % $A\left(B^E_{2\epsilon}(0)\right)$ und nicht
    % $A\left(B^E_{2\epsilon}(0)\right)$ selbst steht, zeigt dies die
    % Behauptung.
  \item Sei $\epsilon>0$ und $\epsilon_i:=\frac{\epsilon}{2^i}$ f\"ur
    $i\in\N^+$. Dann gibt es nach Teil \eqref{offene abb i} eine Folge
    $r_i>0$ mit $B^F_{r_i}(0)\subset\ol{A\left(
        B^E_{\epsilon_i}(0)\right)}$. Ohne Einschr\"ankung k\"onnen
    wir $r_i$ als (monotone) Nullfolge w\"ahlen. Wir behaupten, dass
    $B^F_{r_1}(0)\subset A\left(B^E_\epsilon(0)\right)$ gilt: \par
    Sei $y\in B^F_{r_1}(0)$. Wegen $y\in B^F_{r_1}(0)$ und
    $B^F_{r_1}(0)\subset \ol{A\left(B^E_{\epsilon_1}(0)\right)}$ gibt
    es ein $x_1\in B^E_{\epsilon_1}(0)$ mit $\Vert y-Ax_1\Vert<r_2$
    (statt $r_2$ k\"onnte man dies auch mit jeder anderen positiven
    Zahl erreichen). Nun ist $y-Ax_1\in B^F_{r_2}(0)$ und
    $B^F_{r_2}(0)\subset\ol{A\left(B^E_{\epsilon_2}(0)\right)}$. Somit
    gibt es $x_2\in B^E_{\epsilon_2}(0)$ mit $\Vert
    y-Ax_1-Ax_2\Vert<r_3$. Iterativ finden wir $x_i$'s
    mit \[\left\Vert y-A\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)
    \right\Vert<r_{n+1}\] f\"ur $n\ge1$. Wegen $\Vert
    x_i\Vert<\frac{\epsilon}{2^i}$ ist die Reihe
    $\sum\limits_{i\in\N}x_i=:x$ absolut konvergent und es gilt $\Vert
    x\Vert<\epsilon$. Au\ss{}erdem gilt $y=Ax$. Die Behauptung folgt. 
  \item Sei $\emptyset\neq\Omega\subset E$ offen, $x_0\in\Omega$
    und $\epsilon>0$, so dass $B^E_\epsilon(x_0)\subset\Omega$
    gilt. Wir haben gezeigt, dass es $r>0$ mit $B^F_r(0)\subset
    A\left(B^E_\epsilon(0)\right)$ gibt. Somit erhalten
    wir \[B^F_r(Ax_0) =Ax_0 +B^F_r(0)\subset Ax_0
    +A\left(B^E_\epsilon(0)\right) = A\left(B^E_\epsilon(x_0)\right)
    \subset A(\Omega).\] Die Behauptung folgt, da $Ax_0$ ein
    beliebiger Punkt in $A(\Omega)$ ist. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}[Satz von der inversen Abbildung]
  \label{inverse abb cor}
  \neueZeilealt
  Seien $E,F$ Banachr\"aume. Sei $A\in L(E,F)$ bijektiv. Dann ist $A$
  ein Hom\"oomorphismus. (Damit ist $A$ auch ein
  Banachraumisomorphismus, \dh $A$ und $A^{-1}$ sind linear, bijektiv
  und stetig.)
\end{corollary}

Zu Korollar \ref{inverse abb cor} erhalten wir
\begin{corollary}
  Seien $X_1=(X,\Vert\cdot\Vert_1)$ und $X_2=(X,\Vert\cdot\Vert_2)$
  Banachr\"aume mit \[\Vert x\Vert_1\le c\Vert x\Vert_2\] f\"ur alle
  $x\in X$ und ein $c>0$. Dann sind die Normen $\Vert\cdot\Vert_1$ und
  $\Vert\cdot\Vert_2$ \"aquivalent, \dh es gibt $C>0$ mit
  $\frac1C\Vert x\Vert_2\le\Vert x\Vert_1\le C\Vert x\Vert_2$ f\"ur
  alle $x\in X$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Voraussetzung ist $X_2\ni x\mapsto x\in X_1$ stetig. Die
  Behauptung folgt also aus Korollar \ref{inverse abb cor}. 
\end{proof}

\section{Der Satz vom abgeschlossenen Graphen}

\subsection{Dicht definierte Operatoren}

\begin{remark}
  Sei $X:=C^0([0,2\pi])$. Definiere auf $C^1([0,2\pi])\equiv
  D(\partial)\subset X$ den Ableitungsoperator $\partial\colon
  D(\partial)\to X$. Wegen $\Vert\partial (x\mapsto
  1/n\sin(nx))\Vert_{C^0}=1$ ist $\partial\colon D(\partial)\to X$
  nicht stetig. Daher betrachtet man in der Funktionalanalysis auch
  Operatoren, die nicht auf dem gesamten Banachraum, sondern lediglich
  auf einer dichten Teilmenge definiert sind. \par
  Wir schreiben $D(T)$ f\"ur den Unterraum, auf dem ein linearer
  Operator $T$ definiert ist.
\end{remark}

\begin{definition}
  Seien $X,Y$ normierte R\"aume, $D(T)\subset X$ ein linearer Teilraum
  und $T\colon D(T)\to Y$ linear. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $G(T):=\{(x,Tx)\colon x\in D(T)\}$ der
    \emph{Graph} von $T$.
  \item $T$ hei\ss{}t \emph{abgeschlossen}, falls
    $G(T)\subset X\oplus Y$ abgeschlossen ist.
  \item $T$ hei\ss{}t \emph{abschlie\ss{}bar}, falls es einen Operator
    $\ol T$ mit $G\left(\ol T\right)=\ol{G(T)}$ gibt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}\label{bild abg folge lem}
  Seien $X,Y$ normierte R\"aume.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{bild abg folge} Sei $T\colon D(T)\to Y$ ein (auf einem
    linearen Teilraum $D(T)$ definierter) linearer Operator. Dann ist
    $T$ genau dann abgeschlossen, wenn f\"ur alle Folgen $x_n\in D(T)$
    mit $x_n\to x$ und $Tx_n\to y$ f\"ur ein $y\in Y$ folgt, dass
    $x\in D(T)$ und $Tx=y$ gelten.
  \item\label{stet abg lem ii} Sei $T\in L(X,Y)$. Dann ist $T$
    abgeschlossen.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Klar. 
  \item Sei $x_n\to x$ eine Folge mit $Tx_n\to y$. Dann gilt $Tx_n\to
    Tx$ aufgrund der Stetigkeit, also $Tx=y$. Somit ist $T$ nach
    \eqref{bild abg folge} abgeschlossen.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}\label{graph norm lem}
  Seien $X,Y$ Banachr\"aume und $T\colon D(T)\to Y$ ein auf einem
  linearen Teilraum $D(T)\subset X$ definierter linearer
  Operator. Dann definiert
  \[\Vert x\Vert_T:=\Vert x\Vert_X +\Vert Tx\Vert_Y\] auf $D(T)$ eine
  Norm, die \emph{Graphennorm}. Der Raum $(D(T),\Vert\cdot\Vert_T)$
  ist genau dann ein Banachraum, wenn der Operator $T$ abgeschlossen
  ist.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt
  \Rueckrichtung Sei $T$ abgeschlossen. Sei $x_n\in D(T)$ eine
  Cauchyfolge bez\"uglich $\Vert\cdot\Vert_T$. Dann sind $x_n$ und
  $Tx_n$ Cauchyfolgen in $X$ bzw.{} $Y$, es gibt also -- da $X$ und
  $Y$ Banachr\"aume sind -- $x\in X$ und $y\in Y$ mit $x_n\to x$
  bez\"uglich $\Vert\cdot\Vert_X$ und $Tx_n\to y$ bez\"uglich
  $\Vert\cdot\Vert_Y$. Nach Lemma \ref{bild abg folge lem} erhalten
  wir $x\in D(T)$ und $Tx=y$. Somit folgt $x_n\to x$ bez\"uglich
  $\Vert\cdot\Vert_T$, $(D(T),\Vert\cdot\Vert_T)$ ist also ein
  Banachraum.\par
  \Hinrichtung Sei $(D(T),\Vert\cdot\Vert_T)$ ein Banachraum. Sei
  $(x_n,Tx_n)$ eine Cauchyfolge in $G(T)$. Wegen $\Vert x_n-x_m\Vert_T
  =\Vert x_n-x_m\Vert_X +\Vert Tx_n-Tx_m\Vert_Y$ ist $x_n$ eine
  Cauchyfolge in $(D(T),\Vert\cdot\Vert_T)$, besitzt also einen
  Grenzwert $x\in D(T)$ mit $\Vert x_n-x\Vert_T =\Vert x_n-x\Vert_X
  +\Vert Tx_n-Tx\Vert_Y\to 0$ f\"ur $n\to\infty$. Somit gilt
  $(x_n,T_nx)\to (x,Tx)\in G(T)$, $G(T)$ ist also abgeschlossen. 
\end{proof}

Als Vorbereitung f\"ur das n\"achste Resultat ben\"otigen wir
\begin{lemma}\label{isom br lem}
  Sei $X$ ein Banachraum, sei $Y$ ein normierter Raum und
  sei \[T\colon X\to Y\] ein Isomorphismus normierter R\"aume, \dh $T$
  ist linear, bijektiv und die Operatoren $T$ und $T^{-1}$ sind
  stetig. Dann ist auch $Y$ ein Banachraum.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(y_n)_{n\in\N}$ eine Cauchyfolge in $Y$. Dann ist aufgrund der
  Stetigkeit auch $(T^{-1}y_n)_{n\in\N}$ eine Cauchyfolge in $X$. Also
  gibt es $x\in X$ mit $T^{-1}y_n\to x$. Nochmals aufgrund der
  Stetigkeit folgt $y_n\to Tx\in Y$. Somit ist $Y$ ein Banachraum. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Seien $X,Y$ Banachr\"aume, $D(T)\subset X$ ein Unterraum und der
  lineare Operator $T\colon D(T)\to Y$ sei abgeschlossen. Dann sind
  die Aussagen
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{koerziv lem i} es gibt ein $c>0$ mit $\Vert Tx\Vert\ge
    c\Vert x\Vert$ f\"ur alle $x\in D(T)$ und
  \item\label{koerziv lem ii} $T$ ist injektiv und $R(T)=\im(T)$ ist
    abgeschlossen
  \end{enumerate}
  \"aquivalent. 
\end{lemma}
\datum{Mo 14.06.2021}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \glqq\eqref{koerziv lem
    i}$\Longrightarrow$\eqref{koerziv lem ii}\grqq: Wir benutzen die
  Graphennorm $\Vert x\Vert_T:=\Vert x\Vert_X +\Vert Tx\Vert_Y$ f\"ur
  $x\in X$. \par Der Operator $\tilde
  T\colon(D(T),\Vert\cdot\Vert_T)\to (R(T),\Vert\cdot\Vert_Y)$ mit
  $\tilde Tx:=Tx$ ist nach Definition surjektiv und nach
  \eqref{koerziv lem i} injektiv. Es gilt $\Vert Tx\Vert_Y\le\Vert
  x\Vert_X+\Vert Tx\Vert_Y \equiv\Vert x\Vert_T$ f\"ur alle $x\in
  D(T)$. Somit ist $\tilde T$ stetig mit Operatornorm $\big\Vert
  \tilde T\big\Vert\le1$. $\tilde T^{-1}$ existiert und ist nach
  \eqref{koerziv lem i} wegen $2\Vert Tx\Vert_Y\ge c\Vert
  x\Vert_X+\Vert Tx\Vert_Y \ge\min\{c,1\}\cdot\Vert x\Vert_T$
  stetig. Somit ist $\tilde T\colon(D(T),\Vert\cdot\Vert_T)\to
  (R(T),\Vert\cdot\Vert_Y)$ ein Isomorphismus normierter R\"aume. Nach
  Lemma \ref{graph norm lem} ist $(D(T),\Vert\cdot\Vert_T)$ ein
  Banachraum, da $T$ nach Voraussetzung abgeschlossen ist. Nach Lemma
  \ref{isom br lem} ist also auch $(R(T),\Vert\cdot\Vert_Y)$ ein
  Banachraum und damit insbesondere als Teilmenge von $Y$
  abgeschlossen.\par
  \glqq\eqref{koerziv lem ii}$\Longrightarrow$\eqref{koerziv lem
    i}\grqq: Folgt direkt aus Theorem \ref{inv stet thm} \eqref{inv
    stet thm iii}, angewandt auf $\hat T\colon D(T)\to R(T)$ mit $\hat
  Tx:=Tx$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Stetigkeit der Inversen]
  \label{inv stet thm}
  Seien $X,Y$ Banachr\"aume, $D(T)\subset X$ ein linearer
  Teilraum. Sei $T\colon D(T)\to Y$ ein abgeschlossener linearer
  Operator. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $T$ surjektiv. Dann ist $T$ eine
    offene Abbildung.
  \item\label{inv stet thm iii} Ist $T$ bijektiv, so ist $T^{-1}\colon
    Y\to D(T)$ stetig.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da $T$ abgeschlossen ist, ist $(D(T),\Vert\cdot\Vert_T)$ nach
    Lemma \ref{graph norm lem} ein Banachraum. Wegen $\Vert
    Tx\Vert_Y\le\Vert Tx\Vert_Y+\Vert x\Vert_X\equiv \Vert x\Vert_T$
    ist $\tilde T\colon(D(T),\Vert\cdot\Vert_T)
    \to(Y,\Vert\cdot\Vert_Y)$ mit $\tilde Tx:=Tx$ stetig mit
    Operatornorm $\le1$. \par Sei nun $U\subset D(T)$ bez\"uglich
    $\Vert\cdot\Vert_X$ offen. Da $\Vert\cdot\Vert_T$ auf $D(T)$ eine
    feinere Topologie als $\Vert\cdot\Vert_X$ erzeugt, ist $U\subset
    D(T)$ auch bez\"uglich $\Vert\cdot\Vert_T$ offen. Somit ist
    $\tilde TU=TU\subset Y$ nach dem Satz von der offenen Abbildung,
    Theorem \ref{offen abb thm}, offen.
  \item Die Offenheit impliziert gerade, dass $T^{-1}$ stetig
    ist. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Der Satz vom abgeschlossenen Graphen}

\begin{theorem}[Satz vom abgeschlossenen Graphen]
  Seien $E,F$ Banachr\"aume. Sei $A\colon E\to F$ linear. Dann ist $A$
  genau dann stetig, wenn $\graph A\subset E\times F$ abgeschlossen
  ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeilealt
  \Hinrichtung (Dies haben wir bereits in Lemma \ref{bild abg folge
    lem} \eqref{stet abg lem ii} gezeigt.)  Sei $((x_n,y_n))_{n\in\N}$
  eine Cauchyfolge in $\graph A$. Es gilt $y_n=Ax_n$. $(x_n)_{n\in\N}$
  ist ebenfalls eine Cauchyfolge. Da $E$ ein Banachraum ist, gibt es
  ein $x\in E$ mit $x_n\to x$. Da $A$ stetig ist, folgt $y_n=Ax_n\to
  Ax$. Somit folgt $(x_n,y_n)\to(x,Ax)\in\graph A$ und $\graph A$ ist
  abgeschlossen.\par
  \Rueckrichtung $G:=\graph A\equiv G(A)\subset E\oplus F$ ist ein
  linearer Teilraum. Da $G$ abgeschlossen ist, ist $G$ mit der von
  $E\oplus F$ induzierten Norm ein Banachraum. Seien $\pi_E\colon
  E\times F\to E$ und $\pi_F\colon E\times F\to F$ die (stetigen)
  Projektionen auf die erste bzw.{} zweite Komponente. Die
  Einschr\"ankung $\pi_E|_G\colon G\to E$ ist linear und
  stetig. $\pi_E|_G$ ist die Abbildung $(x,Ax)\mapsto x$. Daher ist
  $\pi_E|_G$ bijektiv und somit nach Korollar \ref{inverse abb cor}
  ein Hom\"oomorphismus. Daher ist $A=\pi_F\circ(\pi_E|_G)^{-1}$
  stetig.
\end{proof}

\begin{theorem}[Satz von Hellinger-Toeplitz]
  Sei $X$ ein Hilbertraum und \[T\colon X\to X\] ein linearer
  Operator. Gelte \[\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle\] f\"ur
  alle $x,y\in X$. Dann ist $T$ stetig.   
\end{theorem}
Derselbe Beweis funktioniert auch, wenn es einen linearen Operator
$S\colon X\to X$ mit $\langle Tx,y\rangle =\langle x,Sy\rangle$ gibt. 
\begin{proof}[Beweis]
  Wir weisen nach dass $G(T)\subset X\oplus X$ abgeschlossen ist. Dann
  folgt die Stetigkeit aus dem Satz vom abgeschlossenen Graphen. \par
  Gelte $G(T)\ni(x_n,Tx_n)\to (x,y)$. Zeige, dass $(x,y)\in G(T)$
  ist. Sei $z\in X$ beliebig. Dann folgt, da das Skalarprodukt stetig
  ist,
  \begin{align*}
    \langle y,z\rangle 
    =&\,\left\langle\lim_{n\to\infty}Tx_n,z\right\rangle
    =\lim_{n\to\infty}\langle Tx_n,z\rangle =\lim_{n\to\infty}\langle
    x_n,Tz\rangle =\left\langle\lim_{n\to\infty}x_n,Tz\right\rangle\\
    =&\,\langle x,Tz\rangle =\langle Tx,z\rangle.
  \end{align*}
  Aus $\langle Tx-y,z\rangle=0$ f\"ur alle $z\in X$ folgt mit $z=Tx-y$
  dass $Tx=y$ gilt. 
\end{proof}

\section{Das Wichtigste zu schwacher Konvergenz}
Dieses Kapitel stellt die wichtigsten Definitionen, Resultate und
Methoden zu schwacher Konvergenz am Beispiel des Hilbertraumes und
sp\"ater f\"ur den speziellen Hilbertraum $\ell^2(\N)$ dar und ist
insbesondere f\"ur diejenigen gedacht, die nur den ersten Teil der
Vorlesung Funktionalanalysis h\"oren. Die anderen sollten auch die
Inhalte von Kapitel \ref{schw konv refl sec} kennen.\par In diesem
Kapitel sei $H$ stets ein reeller Hilbertraum.

\subsection{Definition und erste Resultate}
Nach dem Satz von Riesz, Theorem \ref{Riesz thm}, ist $H$ isomorph zu
$H^*$. Somit wird aus Definition \ref{schw konv def}
\begin{definition}
  Sei $(x_n)_{n\in\N}\subset H$ eine Folge. Dann \emph{konvergiert}
  die Folge $(x_n)_{n\in\N}$ \emph{schwach} gegen $x\in H$,
  $x_n\wto x$, falls f\"ur alle $z\in H$
  \[\langle z,x_n\rangle \to \langle z,x\rangle\] f\"ur $n\to\infty$
  gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  Um den Unterschied zu schwacher Konvergenz zu betonen, bezeichnet
  man die \"ubliche Konvergenz auch h\"aufig als \emph{Normkonvergenz}
  oder \emph{starke Konvergenz}.
\end{remark}

\begin{beispiel}
  \label{en schwach bsp}
  Die Folge $(e_n)_{n\in\N}\subset\ell^2(\N)$ mit $e^k_n=\delta^k_n$
  konvergiert schwach gegen Null, $e_n\wto0$, aber sie konvergiert
  nicht stark gegen Null, $e_n\not\to0$ f\"ur $n\to\infty$.
\end{beispiel}
\begin{proof}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $z\in\ell^2(\N)$ beliebig. Aus
    $\sum\limits_{k\in\N} \left(z^k\right)^2<\infty$ folgt $z^k\to0$
    f\"ur $k\to\infty$. Nun gilt $\langle z,e_n\rangle =z^n \to0$
    f\"ur $n\to\infty$.
  \item Andererseits gilt $\Vert e_n-0\Vert_{\ell^2(\N)} =1$. Somit
    liegt keine starke Konvergenz vor.
\end{enumerate}
\end{proof}

Das Verh\"altnis zwischen starker und schwacher Konvergenz beschreibt
\begin{lemma}
  Sei $(x_n)_{n\in\N}\subset H$ und sei $x\in H$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{stark impliziert schwach item} Aus $x_n\to x$ folgt
    $x_n\wto x$ f\"ur $n\to\infty$.
  \item\label{schwacher limes eindeutig item} Der schwache Grenzwert
    einer Folge ist eindeutig bestimmt.
  \item Gilt $x_n\wto x$ f\"ur $n\to\infty$, so kann
    $(x_n)_{n\in\N}$ nicht stark gegen einen anderen Grenzwert als $x$
    konvergieren, muss aber nicht konvergieren.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $z\in H$. Dann gilt
    \[|\langle z,x_n\rangle -\langle z,x\rangle| =|\langle
      z,x_n-x\rangle| \le\Vert z\Vert\cdot \Vert x_n-x\Vert.\] Hieraus
    folgt die Behauptung.
  \item Angenommen, es gibt $x,y\in H$ mit $x_n\wto x$ und
    $x_n\wto y$ f\"ur $n\to\infty$. Nach der Definition von
    schwacher Konvergenz erhalten wir f\"ur alle $z\in H$
    \[\langle z,x_n\rangle \to \langle z,x\rangle \quad\text{und}\quad
      \langle z,x_n\rangle \to\langle z,y\rangle.\] Somit gilt
    $\langle z,x\rangle =\langle z,y\rangle$ f\"ur alle $z\in H$. Wir
    w\"ahlen nun speziell $z=x-y$ und erhalten
    $0 =\langle z,x-y\rangle =\Vert x-y\Vert^2$. Somit folgt $x=y$ wie
    behauptet.
  \item Dies folgt direkt aus \eqref{stark impliziert schwach item}
    und \eqref{schwacher limes eindeutig item}. Dass keine Konvergenz
    vorliegen muss, wissen wir bereits aus Beispiel \ref{en schwach
      bsp}. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

F\"ur die Normen bei schwacher Konvergenz erhalten wir
\begin{theorem}
  \label{schw konv norm thm}
  Seien $(x_n)_{n\in\N}\subset H$ und $x\in H$ mit $x_n\wto x$
  f\"ur $n\to\infty$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist die Folge $(x_n)_{n\in\N}$ beschr\"ankt.
  \item Es gilt
    \[\Vert x\Vert \le\liminf\limits_{n\to\infty} \Vert x_n\Vert.\]
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nach Definition konvergiert $(\langle z,x_n\rangle)_{n\in\N}$
    f\"ur alle $z\in H$. Daher gilt
    \[\sup\limits_{n\in\N} |\langle z,x_n\rangle| \le c(z)
      <\infty.\] Betrachten wir $x_n\in H$ verm\"oge
    $x_n(z) := \langle z,x_n\rangle$ als Abbildungen
    $x_n\colon H\to\R$, so folgt aus dem Prinzip von der
    gleichm\"a\ss{}igen Beschr\"anktheit, Theorem \ref{unif bdd
      principle thm},
    $\sup\limits_{n\in\N} \Vert x_n\Vert_{L(H,\R)}<\infty$. Wegen
    \[\Vert x_n\Vert_{L(H,\R)} =\sup\limits_{z\in H\setminus\{0\}}
      \frac{\langle z,x_n\rangle}{\Vert z\Vert} \le\sup\limits_{z\in
        H\setminus\{0\}} \frac{\Vert z\Vert_H\cdot \Vert
        x_n\Vert_H}{\Vert z\Vert_H} =\Vert x_n\Vert_H,\] wobei sogar
    Gleichheit gilt (nehme $z=x_n$ im Falle $x_n\neq0$), folgt die
    Behauptung.
  \item Sei $z\in H$. Dann folgt
    \[|\langle z,x\rangle| \leftarrow |\langle z,x_n\rangle| \le \Vert
      z\Vert \cdot\Vert x_n\Vert.\] Somit erhalten wir
    \[|\langle z,x\rangle| \le\liminf\limits_{n\to\infty} \Vert
      z\Vert\cdot\Vert x_n\Vert.\] Wir w\"ahlen nun speziell
    $z=x$. Dann folgt
    $\Vert x\Vert^2 \le \Vert x\Vert\cdot \liminf\limits_{n\to\infty}
    \Vert x_n\Vert$. Hieraus folgt die Behauptung im Falle $x\neq0$
    und sie gilt trivialerweise auch im Fall $x=0$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

F\"ur die Kombination von starker und schwacher Konvergenz gilt 
\begin{lemma}
  Seien $(x_n)_{n\in\N}, (z_n)_{n\in\N} \subset H$ mit $x_n\wto x$
  und $z_n\to z$ f\"ur $n\to\infty$. Dann folgt
  \[\langle x_n,z_n\rangle \to \langle x,z\rangle.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
  Es gilt
  \begin{align*}
    |\langle x_n,z_n\rangle -\langle x,z\rangle|
    &\le|\langle x_n,z_n\rangle -\langle x_n,z\rangle| +|\langle
      x_n,z\rangle -\langle x,z\rangle|\umbruch\\ 
    &\le \Vert x_n\Vert\cdot \Vert z_n-z\Vert +|\langle x_n-x,z\rangle|. 
  \end{align*}
  Der erste Term konvergiert gegen Null, da schwach konvergente Folgen
  nach Theorem \ref{schw konv norm thm} beschr\"ankt sind und der
  zweite Term konvergiert aufgrund der schwachen Konvergenz ebenfalls
  gegen Null. Somit folgt die Behauptung.
\end{proof}

\datum{Mo 21.06.2021}
\begin{lemma}
  Sei $(x_n)_{n\in\N}\subset H$. Dann sind die folgenden beiden
  Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $x_n\to x$ f\"ur $n\to\infty$,
  \item $\Vert x_n\Vert \to\Vert x\Vert$ und $x_n\wto x$ f\"ur
    $n\to\infty$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
  \"Ubung. Betrachte $\Vert x_n-x\Vert^2$.
\end{proof}

\subsection{Schwache Folgenkompaktheit}
Im $\R^n$ liegen beschr\"ankte Folgen in einer kompakten Menge
$\overline{B_R(0)}$ und enthalten daher eine konvergente Teilfolge. In
$\ell^2(\N)$ zeigt Beispiel \ref{en schwach bsp}, dass dies dort im
Allgemeinen nicht mehr richtig zu sein braucht.

Wie im $\R^n$ bezeichnen wir die Folgeglieder $x^k$ eines Elementes
$x =\left(x^k\right)_{k\in\N} \in \ell^2(\N)$ als Komponenten und
definieren
\begin{definition}
  Sei $(x_n)_{n\in\N}\subset \ell^2(\N)$ und sei
  $x\in\ell^2(\N)$. Dann \emph{konvergiert $(x_n)_{n\in\N}$
    komponentenweise} gegen $X$, falls f\"ur alle $k\in\N$
  \[x^k_n\to x^k\] f\"ur $n\to\infty$ gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  \label{komp schw konv rem}
  Komponentenweise Konvergenz ist gerade schwache Konvergenz mit den
  Testvektoren $e_0,e_1,\ldots$ statt mit beliebigem $z\in H$.
\end{remark}

Es gilt die folgende Beobachtung 
\begin{lemma}
  \label{komp konv lem}
  Sei $(x_n)_{n\in\N}\subset\ell^2(\N)$ beschr\"ankt. Dann besitzt
  $(x_n)_{n\in\N}$ eine komponentenweise konvergente Teilfolge mit
  komponentenweisem Grenzwert $x$. Es gelten $x\in\ell^2(\N)$ und
  \[\Vert x\Vert_{\ell^2(\N)} \le\sup\limits_{n\in\N} \Vert
    x_n\Vert_{\ell^2(\N)}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Der erste Teil des Beweises funktioniert analog zum Beweis des
    Satzes von Arzel\`a-Ascoli. Wir f\"uhren ihn der Vollst\"andigkeit
    halber trotzdem nochmals aus.\par
    Da $(x_n)_{n\in\N}$ beschr\"ankt ist, gibt es $C\ge0$ mit
    $\Vert x_n\Vert_{\ell^2(\N)}\le C$. Somit gilt f\"ur jedes
    $k\in\N$ die Absch\"atzung $\left|x^k_n\right|^2\le
    C^2$. Insbesondere gilt also $\left|x^0_n\right|\le C$. Daher
    finden wir eine Teilfolge $(x_{0n})_{n\in\N}$ von
    $(x_n)_{n\in\N}$, so dass $x^0_{0n}$ f\"ur $n\to\infty$ gegen ein
    dadurch definiertes $x^0\in[-C,C]$ konvergiert. \par
    Sei $i\in\N$. Induktiv finden wir nun eine Teilfolge
    $(x_{(i+1)n})_{n\in\N}$ von $(x_{in})_{n\in\N}$, so dass
    $x^{i+1}_{(i+1)n}$ f\"ur $n\to\infty$ gegen ein dadurch
    definiertes $x^{i+1}\in[-C,C]$ konvergiert. Als Teilfolge aller
    vorher betrachteten Teilfolgen erf\"ullt $(x_{(i+1)n})_{n\in\N}$
    auch $x^k_{(i+1)n}\to x^k$ f\"ur alle
    $k\in\{0,1,\ldots,i+1\}$. \par
    Wir betrachten nun die Diagonalfolge $(x_{nn})_{n\in\N}$. Sei
    $k\in\N$ beliebig. Dann ist $(x_{nn})_{n\in\N_{\ge k}}$ eine
    Teilfolge von $(x_{kn})_{n\in\N_{\ge k}}$. Somit folgt
    $x^k_{nn}\to x^k$ f\"ur $n\to\infty$ f\"ur beliebige
    $k\in\N$. Daher konvergiert $(x_{nn})_{n\in\N}$ komponentenweise
    gegen $x$.
  \item Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass die gesamte
    Folge $(x_n)_{n\in\N}$ komponentenweise gegen eine Abbildung
    $x\colon\N\to\R$ konvergiert. Gelte weiterhin
    $\Vert x_n\Vert_{\ell^2(\N)}\le C$ f\"ur alle $n\in\N$. \par
    Wir behaupten, dass auch $\Vert x\Vert_{\ell^2(\N)} \le C$
    gilt. Sei dazu $\epsilon>0$ beliebig. Es gen\"ugt der Nachweis,
    dass f\"ur beliebiges $N\in\N$
    \[\sum\limits_{k=0}^N \left(x^k\right)^2 \le C^2 +\epsilon\]
    gilt. Dann folgt n\"amlich auch
    \[C^2+\epsilon \ge \lim\limits_{N\to\infty} \sum\limits_{k=0}^N
      \left(x^k\right)^2 =\sum\limits_{k=0}^\infty \left(x^k\right)^2
      =\Vert x\Vert^2_{\ell^2(\N)}\] und somit, da $\epsilon>0$
    beliebig war, schlie\ss{}lich die Behauptung. \par
    Sei also $N\in\N$ beliebig fixiert. Aufgrund der komponentenweisen
    Konvergenz gibt es $n\in\N$ mit
    \[\left|\left(x^k_n\right)^2 -\left(x^k\right)^2\right| \le
      \frac\epsilon{N+1}\] (ohne Einschr\"ankung sogar f\"ur alle
    gr\"o\ss{}eren Indices als $n$). Somit erhalten wir
    \begin{align*}
      \sum\limits_{k=0}^N \left(x^k\right)^2
      &=\sum\limits_{k=0}^N \left\{ \left(x^k_n\right)^2
        +\left(x^k\right)^2 -\left(x^k_n\right)^2\right\}\umbruch\\ 
      &\le\sum\limits_{k=0}^N \left(x^k_n\right)^2
        +\sum\limits_{k=0}^N \left|\left(x^k\right)^2
        -\left(x^k_n\right)^2\right|\umbruch\\ 
      &\le\sum\limits_{k=0}^\infty \left(x^k_n\right)^2
        +\sum\limits_{k=0}^N \frac\epsilon{N+1}\umbruch\\ 
      &=\Vert x_n\Vert_{\ell^2(\N)}^2 +(N+1)\frac\epsilon{N+1}\umbruch\\ 
      &\le C^2+\epsilon
    \end{align*}
    wie behauptet. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $X\subset H$ eine Menge. Dann hei\ss{}t $X$ \emph{schwach
    folgenkompakt}, wenn jede Folge $(x_n)_{n\in\N} \subset X$ eine
  Teilfolge besitzt, die schwach konvergiert und deren schwacher
  Grenzwert ebenfalls in $X$ liegt.
\end{definition}

\weg{
\begin{remark}
  \stern
  Als unendlichdimensionalen Ersatz des Satzes von Heine-Borel, dass
  beschr\"ankte abgeschlossene Teilmengen des $\R^n$ kompakt sind,
  erhalten wir, dass beschr\"ankte abgeschlossene konvexe Teilmengen
  eines Hilbertraumes $H$ schwach folgenkompakt sind. Vergleiche dazu
  das Lemma von Mazur, Lemma \ref{mazur lem}.
\end{remark}
} % weg

Wir zeigen hier lediglich
\begin{theorem}
  \label{schw folgen komp thm}
  Sei $R>0$. Dann ist $\ol{B_R(0))} \subset\ell^2(\N)$ schwach
  folgenkompakt.
\end{theorem}
\begin{proof}
  Sei $(x_n)_{n\in\N}\subset\ol{B_R(0)}$ beliebig. Nach \"Ubergang zu
  einer Teilfolge d\"urfen wir nach Lemma \ref{komp konv lem} ohne
  Einschr\"ankung annehmen, dass $(x_n)_{n\in\N}$ komponentenweise
  gegen ein $x\in\ell^2(\N)$ konvergiert und
  $\Vert x\Vert_{\ell^2(\N)} \le\sup\limits_{n\in\N} \Vert
  x_n\Vert_{\ell^2(\N)} \le R$ gilt. \par
  Wir behaupten, dass $x_n\wto x$ f\"ur $n\to\infty$ gilt. Sei dazu
  $z\in\ell^2(\N)$ beliebig. Sei auch $\epsilon>0$ beliebig. Wegen
  $z\in\ell^2(\N)$ gibt es $k_0\in\N_{>0}$ mit
  $\sum\limits_{k=k_0}^\infty \left(z^k\right)^2
  \le\frac\epsilon{2R}$. Nun folgt
  \begin{align*}
    |\langle z,x_n\rangle -\langle z,x\rangle| 
    &=|\langle z,x_n-x\rangle|\umbruch\\
    &\le \sum\limits_{k=0}^{k_0-1} \left|z^k\cdot
      \left(x^k_n-x^k\right)\right| +\sum\limits_{k=k_0}^\infty
      \left|z^k\cdot\left(x^k_n-x^k\right)\right|. 
  \end{align*}
  Da $z$ fixiert ist, gibt es aufgrund der komponentenweisen
  Konvergenz ein $n\in\N$ mit
  $\left| z^k\cdot\left(x^k_n-x^k\right)\right|\le\frac\epsilon{2k_0}$
  f\"ur alle $k=0,1,\ldots,k_0-1$. \par
  Wenden wir nun auf die Endst\"ucke $\left(x^k\right)_{k\ge k_0}$ und
  $\left(x^k_n-x^k\right)_{k\ge k_0}$ die Cauchy-Schwarzsche
  Ungleichung an, so erhalten wir
  \begin{align*}
    |\langle z,x_n-x\rangle|
    &\le k_0\cdot\frac\epsilon{2k_0} +\left\langle
      \left(z^k\right)_{k\ge k_0}, \left(x^k_n-x^k\right)_{k\ge
      k_0}\right\rangle_{\ell^2(\N)}\umbruch\\ 
    &\le\frac\epsilon2+\left\Vert
      \left(z^k\right)_{k\ge k_0}\right\Vert_{\ell^2(\N)} \cdot
      \left\Vert \left(x^k_n-x^k\right)_{k\ge
      k_0}\right\Vert_{\ell^2(\N)}\umbruch\\ 
    &\le\frac\epsilon2 +\frac\epsilon{2R}\cdot \Vert
      x_n-x\Vert_{\ell^2(\N)}\umbruch\\ 
    &\le\frac\epsilon2 +\frac\epsilon{2R}\cdot \left(\Vert
      x_n\Vert_{\ell^2(\N)} +\Vert
      x\Vert_{\ell^2(\N)}\right)\umbruch\\ 
    &\le\frac\epsilon2 +\frac\epsilon{2R}\cdot 2R =\epsilon
  \end{align*}
  wie gew\"unscht. 
\end{proof}

Aus dem Beweis von Theorem \ref{schw folgen komp thm} erhalten wir 
\begin{lemma}
  \label{l2 aequiv schw komp lem}
  Sei $(x_n)_{n\in\N}\subset\ell^2(\N)$ eine beschr\"ankte Folge und
  sei $x\in H$. Dann sind die folgenden beiden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{l2 aequiv schw} $x_n\wto x$ f\"ur $n\to\infty$.
  \item\label{l2 aequiv komp} $(x_n)_{n\in\N}$ konvergiert
    komponentenweise gegen $x$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{remark}
  Diese \"Aquivalenz gilt auch ohne vorgegebenen Grenzwert. Dieser
  ergibt sich aus den vorangegangenen Resultaten n\"amlich ohnehin.
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{l2 aequiv schw komp lem}]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item \glqq\eqref{l2 aequiv schw} \impliziert \eqref{l2 aequiv
      komp}\grqq: Dies folgt direkt aus Bemerkung \ref{komp schw konv
      rem}.
  \item \glqq\eqref{l2 aequiv komp} \impliziert \eqref{l2 aequiv
      schw}\grqq: Dies ergibt sich aus dem Beweis von Theorem
    \ref{schw folgen komp thm}.  \qedhere
  \end{itemize}
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern Mit \"ahnlichen Ideen erh\"alt man Konvergenzresultate im
  Fall \emph{reflexiver} Banachr\"aume (Bidualraum ist isomorph zum
  Vektorraum, siehe Definition \ref{refl def}). Insbesondere gilt
  f\"ur $1<p<\infty$:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(x_k)_{k\in\N}\subset\ell^p(\N)$ eine beschr\"ankte
    Folge. Dann gibt es eine Teilfolge $(x_{k_l})_{l\in\N}$ und ein
    $x\in\ell^p(\N)$ mit $\phi(x_{k_l})\to\phi(x)$ f\"ur $l\to\infty$
    f\"ur jedes $\phi\in\left(\ell^p(\N)\right)^* \cong \ell^q(\N)$
    mit $\frac1p+\frac1q=1$.
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei
    $(u_k)_{k\in\N}\subset L^p(\Omega)$ eine beschr\"ankte Folge. Dann
    gibt es eine Teilfolge $(u_{k_l})_{l\in\N}$ und ein
    $u\in L^p(\Omega)$ mit $\int u_{k_l}\phi \to\int u\phi$ f\"ur
    $l\to\infty$ f\"ur jedes $\phi\in L^q(\Omega)$ mit
    $\frac1p+\frac1q=1$.
  \end{enumerate}
\end{remark}
} % weg

\section{Divergenzsatz}
\subsection{Zerlegung der Eins}
\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Familie $(\eta_i)_{i\in I}$ stetiger Funktionen
    $\eta_i\colon X\to [0,1]\subset\R$ hei\ss{}t \emph{Zerlegung der
      Eins}, falls $\sum\limits_{i\in I} \eta_i(x)=1$ f\"ur alle
    $x\in X$ gilt.
  \item Eine \emph{endliche} Zerlegung der Eins ist eine Zerlegung
    $(\eta_i)_{i\in I}$ der Eins mit endlicher Indexmenge $I$. 
  \item Eine Zerlegung der Eins hei\ss{}t \emph{lokal endlich},
    falls es f\"ur jedes $x\in X$ eine Umgebung $U$ von $x$ gibt, so
    dass nur endlich viele Funktionen $(\eta_i|_U)_{i\in I}$ von der
    Nullfunktion verschieden sind. 
  \item Sei $(U_j)_{j\in J}$ eine offene \"Uberdeckung von $X$. Dann
    hei\ss{}t eine Zerlegung der Eins $(\eta_i)_{i\in I}$ der
    \"Uberdeckung $(U_j)_{j\in J}$ \emph{untergeordnet}, falls f\"ur
    alle $i\in I$ ein $j\in J$ mit $\supp\eta_i\subset U_j$
    existiert. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\datum{Mo 28.06.2021}
\begin{lemma}
  \label{abschn fkt lem}
  Sei $r>0$ und sei $x_0\in\R^n$. Dann gibt es eine Funktion
  $\eta =\eta_{x_0,r}\colon\R^n\to\R$ mit
  $\eta\in C^\infty_c(\R^n)$, $0\le\eta\le1$, $\eta=1$ in $B_r(x_0)$
  und $\eta=0$ in $\R^n\setminus B_{2r}(x_0)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Funktion $\psi\colon\R\to\R$ mit
    \[\psi(x) :=
      \begin{cases}
        e^{-\frac1{x^2}},&x>0,\\
        0,&x\le0
      \end{cases}
    \]
    ist von der Klasse $C^\infty$, insbesondere an der Stelle $x=0$
    (\"Ubung, siehe auch Lemma \ref{abl hebbar lem}), und erf\"ullt
    $\psi=0$ f\"ur $x\le0$ sowie $\psi>0$ f\"ur $x>0$. (Dies ist die
    Standardfunktion an dieser Stelle, aber $\exp(-1/x)$ tut es auch
    schon.) 
  \item Man sieht leicht ein, dass $\phi\colon\R\to\R$ mit $\phi(x):=
    \frac{\psi(2-x)}{\psi(x-1) +\psi(2-x)}$ die folgenden
    Eigenschaften hat:
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item $\phi\in C^\infty(\R)$, \hfill (da der Nenner stets
      positiv ist) 
    \item $0\le\phi\le1$, \hfill (Z\"ahler $\le\psi(x-1)+\psi(2-x)$) 
    \item $\phi=0$ in $[2,\infty)$ und 
    \item $\phi=1$ in $(-\infty,1]$. \hfill (dort ist $\psi(x-1)=0$)      
    \end{enumerate}
  \item Nun leistet $\eta(x):=\phi\Big(\frac{|x-x_0|}r\Big)$ das
    Gew\"unschte. Beachte dazu insbesondere, dass aus $\eta(x)=1$ in
    $B_r(x_0)$ die Glattheit im Punkt $x_0$ folgt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
Wir erinnern an einen eindimensionalen Hebbarkeitssatz.
\begin{lemma}
  \label{abl hebbar lem} \stern 
  Sei $\Omega\subset\R$ offen mit $0\in\Omega$. Seien
  $f,g\colon\Omega\to\R$ stetig und $f$ in $\Omega\setminus\{0\}$
  stetig differenzierbar mit $f'=g$ in $\Omega\setminus\{0\}$. Dann
  ist $f$ in ganz $\Omega$ stetig differenzierbar und es gilt dort
  $f'=g$.
\end{lemma}
\begin{proof}
  Siehe \cite{OSAnaII}.
\end{proof}
} % weg

Wir ben\"otigen untergeordnete Zerlegungen der Eins in folgendem
einfachen Fall.
\begin{lemma}
  \label{unterg zerl lem}
  Sei $K\subset\R^n$ kompakt und $(U_j)_{j\in J}$ eine offene
  \"Uberdeckung von $K$. Dann gibt es eine endliche Zerlegung der
  Eins auf der Menge $K$, die dieser \"Uberdeckung untergeordnet
  ist.
\end{lemma}
\begin{proof}
  Zu jedem Punkt $x\in K$ gibt es einen Radius $r(x)>0$ mit
  $B_{3r(x)}(x)\subset U_j$ f\"ur ein $j\in
  J$. Offensichtlicherweise gilt
  $K\subset\bigcup\limits_{x\in K} B_{r(x)}(x)$. Da $K$ kompakt ist,
  gibt es endlich viele Punkte $x_1,\ldots,x_N$ mit
  $K \subset \bigcup\limits_{i=1}^N B_{r(x_i)}(x_i)$. Wir definieren
  $\eta_i:= \eta_{x_i,r(x_i)}$ in der Bezeichnung von Lemma
  \ref{abschn fkt lem}. Wir definieren weiterhin die Summe
  $s(x):=\sum\limits_{i=1}^N \eta_i(x)$. Dann ist
  $(\eta_i/s)_{1\le i\le N}$ eine endliche Zerlegung der Eins wie
  gesucht.
\end{proof}

\subsection{Integration \"uber Untermannigfaltigkeiten}
\begin{definition}
  \label{int mf def}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei
    $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$ eine Einbettung (oder eine Immersion,
    die bis auf eine $n$-dimensionale Lebesgue-Nullmenge injektiv
    ist). Dann definieren wir eine \emph{Metrik}
    $g=(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ (im Sinne der Differentialgeometrie
    und nicht im Sinne der Analysis I) auf $\Omega$
    durch \[g_{ij}(x):= \langle X_i(x), X_j(x)\rangle_{\R^{n+k}}.\]
    Wir setzen $M:=\im X=X(\Omega)$. Sei $f\colon M\to\R$ oder
    $f\colon M\to E$ eine Funktion. Ist
    $x\mapsto f(X(x))\cdot\sqrt{\det(g_{ij}(x))}$ \"uber $\Omega$
    integrabel, so definieren wir
    \[\int\limits_Mf:= \int\limits_\Omega
      f(X(x))\cdot\sqrt{\det(g_{ij}(x))}\,dx.\]
  \item Sei $M=M^n\subset\R^{n+k}$ eine $C^1$-Untermannigfaltigkeit
    und $(A_i)_{i\in\N}$ eine (lokal endliche) offene \"Uberdeckung
    von $M$. Seien weiterhin $X_i\colon\Omega_i\to\R^{n+k}$
    Einbettungen mit $\im X_i=M\cap A_i$. Sei $f\colon M\to\R$ oder
    $f\colon M\to E$, beispielsweise mit Hilfe einer untergeordneten
    Zerlegung der Eins, zerlegt als $f=\sum\limits_{i\in\N}f_i$ mit
    $\supp f_i\subset A_i$. \par Dann definieren
    wir \[\int\limits_Mf:= \sum\limits_{i\in\N} \,\,
      \int\limits_{A_i\cap M} f_i,\] falls s\"amtliche Integrale auf der
    rechten Seite existieren und die Summe sinnvoll ist.
  \item Wir definieren $L^p(M,\R)$ bzw.{} $L^p(M,E)$, $1\le
    p<\infty$, als den Raum derjenigen Funktionen, f\"ur die alle
    Funktionen $f\circ X_i$ messbar sind und \[\Vert
      f\Vert_{L^p}:= \left(\,\,\int\limits_M\Vert
        f\Vert^p\right)^{1/p}<\infty\] gilt. $L^\infty$ wird als der
    Raum der auf $M$ wesentlich beschr\"ankten Funktionen
    definiert. Wir erhalten Banachr\"aume mit den Normen
    $\Vert\cdot\Vert_{L^p}$ bzw.{} $\Vert\cdot\Vert_{L^\infty}$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  Das Integral \"uber eine Untermannigfaltigkeit ist unabh\"angig
  von den speziellen Wahlen in der Definition \ref{int mf def}
  definiert. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir zeigen, dass das Integral nicht von der Wahl der
    Einbettung abh\"angt und lassen den Rest als \"Ubung.
  \item Seien $X\colon\Omega\to\R^{n+k}$ und
    $Y\colon\Omega'\to\R^{n+k}$ zwei Einbettungen mit $\im X =\im
    Y$. Dann sind die Abbildungen $Y^{-1}\circ X$ und $X^{-1}\circ
    Y$ $C^1$-Diffeomorphismen. Dies sehen wir, indem wir die
    Abbildungen wie unten zu $\tilde X$ bzw.{} $\tilde Y$ fortsetzen
    und dann den Satz \"uber die inverse Funktion anwenden. Aufgrund
    des Transformationssatzes f\"ur Integrale gilt mit
    $\Phi=Y^{-1}\circ X$
    \begin{align*}
      &\,\int\limits_{\Omega'} f(Y(y))\cdot\sqrt{\det\langle
        Y_i(y),Y_j(y)\rangle}\,dy\umbruch\\
      =&\,\int\limits_\Omega
         f(Y\circ\Phi(x))\cdot \sqrt{\det\langle
         Y_i(\Phi(x)),Y_j(\Phi(x))\rangle}\cdot|\det D\Phi(x)|\,dx.
    \end{align*}
    Wegen $Y\circ\Phi(x)=X(x)$ gen\"ugt der Nachweis, dass
    \begin{equation}
      \label{int wohldef beh eq}
      \sqrt{\det\langle Y_i(\Phi(x)),Y_j(\Phi(x))\rangle} \cdot|\det
      D\Phi(x)| =\sqrt{\det\langle X_i(x),X_j(x)\rangle}
    \end{equation}
    gilt.  In dieser Situation k\"onnen wir den
    Determinantenmultiplikationssatz nicht anwenden, da
    $(X^\alpha_i)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le n}{1\le\alpha\le
        n+k}}$ keine quadratische Matrix ist. Dies wollen wir nun
    korrigieren.
  \item Fixiere dazu $x\in\Omega$ und setze $y=\Phi(x)$. Sei
    $\{a_1,\ldots,a_k\}$ eine Orthogonalbasis von $\langle
    X_1(x),\ldots,X_n(X)\rangle^\perp =\langle
    Y_1(y),\ldots,Y_n(y)\rangle^\perp$, wobei wir die letzte
    Gleichheit sehen, indem wir Kurven in $\im X$ betrachten. Wir
    definieren die Abbildungen $\tilde X$ und $\tilde Y$ auf
    $\Omega\times\R^k$ bzw.{} $\Omega'\times\R^k$ durch
    \begin{align*}
      \tilde X(u,v):=&\,X(u)+\sum\limits_{m=1}^k v^ma_m
                       \intertext{bzw.}
                       \tilde Y(u,v):=&\,Y(u)+\sum\limits_{m=1}^k v^ma_m.
    \end{align*}
    Es gelten $D\tilde X =(DX,a_1,\ldots,a_k)$ sowie $D\tilde
    Y=(DY,a_1,\ldots,a_k)$. Weiterhin folgt in
    $x$ \[\left(\left\langle\tilde X_I,\tilde
          X_J\right\rangle\right)_{1\le I,J\le n+k} =
      \begin{pmatrix}
        \langle X_i,X_j\rangle_{1\le i,j\le n} & 0\\
        0 & \eins_k
      \end{pmatrix}.\]
    Eine analoge Formel gilt f\"ur $\tilde Y$. 
  \item Wir behaupten, dass nahe $(x,0)$ die Identit\"at $\tilde
    Y^{-1}\circ\tilde X =(\Phi,\id_{\R^k})$ gilt: Nach dem Satz
    \"uber die inverse Funktion ist $\tilde Y$ nahe $y$ ein lokaler
    $C^1$-Diffeo\-mor\-phis\-mus. Es gen\"ugt daher, zu zeigen, dass
    $\tilde X =\tilde Y\circ(\Phi,\id_{\R^k})$ gilt. Es ist \[\tilde
      Y\circ(\Phi,\id_{\R^k})(u,v) =\tilde
      Y\left(Y^{-1}\circ X(u),v\right) =Y\circ Y^{-1}\circ X(u)
      +\sum\limits_{m=1}^k v^ma_m.\] Daher folgt die
    Zwischenbehauptung.
  \item Da Resultat folgt nun, indem wir in \eqref{int wohldef beh
      eq} zun\"achst $X$ durch $\tilde X$, $Y$ durch $\tilde Y$ und
    $\Phi$ durch $(\Phi,\id_{\R^k}) \equiv\tilde\Phi$ ersetzen und
    dann den Determinantenmultiplikationssatz anwenden. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\weg{
\begin{remark}
  \stern 
  Man kann zeigen, dass $\int\limits_Mf=\int\limits_Mf\,d\mathcal
  H^n$ ist, dass wir also gerade bez\"uglich des $n$-dimensionalen
  Hausdorffma\ss{}es integrieren. Dies ist klar, falls $M^n$ eine
  Teilmenge einer $n$-dimensionalen Hyperebene ist, da dort
  $\mathcal H^n$ und $\mathcal L^n$ \"ubereinstimmen. 
\end{remark}
} % weg

Lokal kann man stets annehmen, dass eine $C^1$-Untermannigfaltigkeit
als Graph einer Funktion gegeben ist. Insbesondere erhalten wir im
Fall $k=1$ das folgende Lemma, das auch f\"ur Lipschitzstetige oder
st\"uckweise $C^1$-Funktionen gilt:
\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^{n-1}$ offen. Sei $u\in C^1(\Omega)$ und
  $M:=\graph u$. Dann gilt \[\int\limits_Mf =\int\limits_\Omega
    f(x,u(x))\cdot \sqrt{1+|Du|^2}\,dx\] f\"ur Funktionen $f$, f\"ur
  die der Integrand auf der rechten Seite integrabel ist. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir verwenden die Einbettung $X\colon\Omega\to\R^n$ mit
  $X(x)=(x,u(x))$ und erhalten $X_i=e_i+u_ie_n$ und somit
  $g_{ij}=\delta_{ij}+u_iu_j$. Folglich wissen wir aus der linearen
  Algebra, dass $\det(g_{ij}) =1+|Du|^2$ gilt und erhalten die
  Behauptung. 
\end{proof}

\datum{Mo 05.07.2021}
\begin{lemma}[Normale]
  Sei $\Omega\subset\R^{n-1}$ offen und sei $u\in C^1(\Omega)$. Dann
  ist die \emph{Normale} $\nu\colon\Omega\to\R^n$ mit
  $\nu(x)=\pm\frac{(\nabla u,-1)^T}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}$
  senkrecht zu allen Tangentialvektoren $\fracp X{x^i}(x)$ und hat
  L\"ange $1$.
\end{lemma}
\begin{proof}
  Die Orthogonalit\"at folgt aus \[\left\langle\fracp
      X{x^i}(x),\nu(x)\right\rangle =\left\langle\left(e_i,\fracp
        u{x^i}(x)\right)^T, \left(\nabla
        u(x),-1\right)^T\right\rangle =\fracp u{x^i}(x)-\fracp
    u{x^i}(x) =0.\] Dir Normierung ist klar.  
\end{proof}

\subsection{Divergenzsatz}
\begin{theorem}[Divergenzsatz]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega$
  von der Klasse $C^1$, $\xi\in C^1\left(\ol\Omega,\R^n\right)$.
  Dann gilt
  $$\int\limits_\Omega\divergenz\xi=
  \int\limits_{\partial\Omega}\langle\xi,\nu\rangle.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Wir schreiben $x=(\hat x,x^n)$ mit $\hat
    x=(x^1,\ldots,x^{n-1})$. Sei $\phi\in C^1\left(\R^{n-1}\right)$,
    $f\in C^1\left(\R^n\right)$. Es gilt f\"ur $i<n$
    $$D_i\int\limits_0^{\phi(\hat x)}f(\hat x,x^n)\,dx^n=
    \int\limits_0^{\phi(\hat x)}D_if(\hat x,x^n)\,dx^n+f(\phi(\hat
    x),x^n)D_i\phi(\hat x).$$
  \item $\divergenz\xi:=D_i\xi^i$ ist unter linearen invertierbaren
    Transformationen und Translationen invariant.\par Dies ist f\"ur
    Translationen klar. \par Sei $\tilde x^j=a^j_ix^i$ eine lineare
    Transformation. Dann gilt $\fracp{\tilde x^j}{x^i}=a^j_i$ und
    $\tilde\xi^j=a^j_i\xi^i$. Wir erhalten
    \begin{align*}
      \fracp{}{\tilde x^i}\tilde\xi^i
      =&\,\fracp{x^k}{\tilde
         x^i}\fracp{}{x^k}\left(a^i_l\xi^l\right)\\
      =&\,\fracp{x^k}{\tilde x^i}a^i_l\fracp{}{x^k}\xi^l,\quad
         \text{da $a^i_k$ ortsunabh\"angig}\\
      =&\,\fracp{x^k}{\tilde x^i}\fracp{\tilde x^i}{x^l}
         \fracp{}{x^k}\xi^l\\
      =&\,\delta^k_l\fracp{}{x^k}\xi^l\quad\text{(Kettenregel)}\\
      =&\,\fracp{}{x^k}\xi^k=\divergenz\xi.
    \end{align*}
  \item \"Uberdecke $\ol\Omega$ durch (endlich viele) offene Mengen
    $V_j$, so dass jede dieser Mengen entweder ganz in $\Omega$
    liegt oder in einer Menge $U$ wie folgt enthalten ist:\par Nach
    einer geeigneten Rotation gibt es ein offenes und beschr\"anktes
    $\Sigma\subset\R^{n-1}$, so dass $U=\Sigma\times(0,2)$. Es gibt
    $\phi\in C^1\left(\R^{n-1}\right)$, $\frac12\le\phi\le\frac32$,
    mit
    $\{(\hat x,x^n):x^n<\phi(\hat x),\,\hat x\in\Sigma\}
    =U\cap\Omega$,
    $\{(\hat x,x^n):x^n=\phi(\hat x),\,\hat x\in\Sigma\}
    =\graph\phi|_\Sigma =U\cap\partial\Omega$,
    $\{(\hat x,x^n):x^n>\phi(\hat x),\,\hat
    x\in\Sigma\}=U\cap\complement\Omega$.
  \item Sei $(\eta_i)_{1\le i\le N}$ eine endliche, $\{V_j\}_j$
    untergeordnete Zerlegung der Eins auf $\ol\Omega$, vgl.{} Lemma
    \ref{unterg zerl lem}.
  \item Reduktion auf Vektorfelder $\xi$ mit Tr\"ager in einem
    $V_i$:
    \begin{align*}
      \int\limits_\Omega\divergenz\xi
      =&\,\int\limits_\Omega\divergenz
         \left(\xi\sum\limits_{i=1}^N\eta_i\right)\umbruch\\
      =&\,\sum\limits_{i=1}^N\int\limits_\Omega\divergenz(\xi\eta_i)
         =\sum\limits_{i=1}^N\int\limits_{V_i\cap\Omega}\divergenz(\xi\eta_i).
    \end{align*}
    Nehme nun an, dass der Divergenzsatz auf Gebieten $U$ wie oben
    schon gezeigt sei. Dann folgt, da $\xi\eta_i$ auf
    $(\partial\Sigma\times[0,2]) \cup(\Sigma\times\{0\})
    \cup(\Sigma\times\{2\})$ verschwindet,
    \begin{align*}
      \int\limits_\Omega\divergenz\xi
      =&\,\sum\limits_{i=1}^N
         \int\limits_{V_i\cap\partial\Omega}
         \langle\xi\eta_i,\nu\rangle\umbruch\\
      =&\,\int\limits_{\partial\Omega} \sum\limits_{i=1}^N\eta_i
         \langle\xi,\nu\rangle =\int\limits_{\partial\Omega}
         \langle\xi,\nu\rangle.
    \end{align*}
  \item Wir d\"urfen also annehmen, dass $\xi$ kompakten Tr\"ager in
    $U$ hat.  Wir benutzen schlie\ss{}lich den Hauptsatz der
    Differential- und Integralrechnung, dass das Volumenma\ss{} auf
    $\partial\Omega$ lokal durch $\sqrt{1+|D\phi|^2}d\hat x$ gegeben
    ist, dass $\frac{(-D\phi,1)}{\sqrt{1+|D\phi|^2}}$ die
    \"au\ss{}ere Einheitsnormale an $\partial\Omega$ ist und
    $\supp\xi\Subset U$.
    \begin{align*}
      \int\limits_\Omega\divergenz\xi
      =&\,\int\limits_\Omega
         D_i\xi^i\umbruch\\
      =&\,\int\limits_\Sigma\int\limits_0^{\phi(\hat
         x)} D_i\xi^i\,dx^n\,d\hat x\umbruch\\
      =&\,\int\limits_\Sigma\int\limits_0^{\phi(\hat x)}
         \sum\limits_{i=1}^{n-1}D_i\xi^i\,dx^n\,d\hat x
         +\int\limits_\Sigma\int\limits_0^{\phi(\hat
         x)}D_n\xi^n\,dx^n\,d\hat x\umbruch\\
      =&\,\sum\limits_{i=1}^{n-1}
         \int\limits_\Sigma\left\{D_i\int\limits_0^{\phi(\hat
         x)}\xi^i(\hat x,x^n)\,dx^n -\xi^i(\hat x,\phi(\hat
         x))D_i\phi(\hat x)\right\}d\hat x\\
       &\,+\int\limits_\Sigma\xi^n(\hat x,\phi(\hat
         x))-0\,d\hat x\umbruch\\
      =&\,\int\limits_\Sigma-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\xi^i(\hat
         x,\phi(\hat x))D_i\phi(\hat x) +\xi^n(\hat x,\phi(\hat
         x))\,d\hat x\umbruch\\
      =&\,\int\limits_\Sigma\left\langle\xi(\hat x,\phi(\hat x)),
         \frac{(-D\phi,1)}{\sqrt{1+|D\phi|^2}}\right\rangle
         \sqrt{1+|D\phi|^2}\,d\hat x\umbruch\\
      =&\,\int\limits_{\partial\Omega\cap U}\langle\xi,\nu\rangle
         =\int\limits_{\partial\Omega}\langle\xi,\nu\rangle.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Transformationssatz}

\begin{theorem}[Transformationssatz / Transformationsformel]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei
  $\Phi\colon\Omega\to\Phi(\Omega)$ ein $C^1$-Diffeomorphismus.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $f\colon\Omega\to[0,\infty]$ eine $\mathcal L^n$-messbare
    Funktion. Dann gilt
    \[\int\limits_{\Phi(\Omega)}f\,d\mathcal L^n=\int\limits_\Omega
      (f\circ\Phi)\cdot|\det D\Phi|\,d\mathcal L^n.\]
  \item Eine $\mathcal L^n$-messbare Funktion
    $f\colon \Phi(\Omega)\to\R$ ist genau dann
    $\mathcal L^n$-integrierbar, wenn
    $(f\circ\Phi)\cdot|\det D\Phi|\colon \Omega\to\R$ eine
    $\mathcal L^n$-integrierbare Funktion ist. In diesem Falle gilt
    die obige Integraltransformationsformel.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  Ein Beweis findet sich im herauskommentierten Teil von
  \cite{OSAnaIII}. (Im affin linearen Fall haben wir eine
  verwandte Aussage f\"ur das Jordanma\ss{} ohne den Nachweis
  $m_A=|\det A|$ gemacht.) 
\end{proof}


\section{\"Uberblick Sobolevr\"aume}
Sobolevr\"aume behandeln wir hier nur extrem kurz und genauer im
zweiten Teil der Vorlesung. 
\subsection{Schwache Ableitung und Definition}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $u\in C^1(\Omega)$ und $\phi\in
C^1_c(\Omega)$. Wir schreiben Indices f\"ur partielle Ableitungen und
erhalten mit partieller Integration
\begin{equation}
  \label{def schw abl eq}
  \int\limits_\Omega u(x)\phi_i(x)\,dx
  =-\int\limits_\Omega u_i(x)\phi(x)\,dx \quad\text{bzw.}\quad
  \int\limits_\Omega u \cdot D\phi =-\int\limits_\Omega Du\cdot\phi.
\end{equation}
Ausgehend von dieser Motivation sagen wir, dass $Du=v$ gilt und $v$
die schwache Ableitung von $u$ ist, falls $\int uD\phi=-\int v\phi$
f\"ur alle $\phi\in C^1_c(\Omega)$ gilt.  Dabei lassen wir
$u,v\in L^1(\Omega)$, dem Raum aller Lebesgue-integrablen Funktionen,
zu.  Schwache Differenzierbarkeit verallgemeinert die klassische
Differenzierbarkeit. Gilt $u,v\in L^p$, $1\le p\le\infty$, so
schreiben wir $u\in W^{1,p}(\Omega)$. Mit
$\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)} := \Vert u\Vert_{L^p(\Omega)} +\Vert
v\Vert_{L^p(\Omega)}$ wird $W^{1,p}(\Omega)$ zu einem
Banachraum. $W^{1,p}$ hei\ss{}t Sobolevraum.
\par Auf $\Omega=(-1,1)$ ist $u(x)=\max\{x,0\}$ ein Beispiel f\"ur
eine schwach, aber nicht klassisch differenzierbare Funktion. Es gilt
n\"amlich
\[\int\limits_{-1}^1 uD\phi =\int\limits_0^1 xD\phi(x)\,dx
  =-\int\limits_0^1 1\cdot\phi(x)\,dx +\left.x\cdot\phi(x)\right|_0^1
  =-\int\limits_{-1}^1 \chi_{(0,1)}(x)\phi(x)\,dx.\]
\subsection{Approximierbarkeit und Randwerte}
Sei nun stets $1<p<\infty$ und sei $\Omega\subset\R^n$ offen.  
\begin{enumerate}[(i)]
\item\label{friedrich glaettung pt} Mittels Gl\"attung mit einem
  Friedrischschen Gl\"attungskern $\eta_\epsilon$ erhalten wir, dass
  glatte Funktionen existieren, die $W^{1,p}(\Omega)$-Funktionen auf
  kompakten Teilmengen von $\Omega$ in $W^{1,p}(\Omega)$
  approximieren.
\item Sobolevfunktionen auf glatten beschr\"ankten Gebieten lassen
  sich mit kontrollierter Norm auf $\R^n$ fortsetzen: $\Vert \tilde
  u\Vert_{W^{1,p}(\R^n)} \le C(n,p,\Omega) \cdot\Vert
  u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$. 
\item Auf beschr\"ankten $C^1$-Gebieten $\Omega$ k\"onnen wir
  $W^{1,p}(\Omega)$-Funktionen Randwerte zuweisen (obwohl der Rand
  eine Nullmenge ist). Dies dr\"uckt man dadurch aus, dass
  $T\colon W^{1,p}(\Omega) \to L^p(\partial\Omega)$ (englisch
  ``trace'') ein linearer stetiger Operator ist, der auf stetigen
  Funktionen mit $u\mapsto u|_{\partial\Omega}$ \"ubereinstimmt. Wir
  definieren $W^{1,p}_0(\Omega) := T^{-1}(\{0\})$ als den Teilraum der
  Sobolevfunktionen mit Randwerten Null. Hier k\"onnen wir wie bei
  klassisch differenzierbaren Funktionen mit Randwerten Null partiell
  integrieren.
\end{enumerate}

\datum{Mo 12.07.2021}
Wir wollen einen Beweiseinblick in die glatte Approximierbarkeit
geben. 
\begin{proof}[Beweiseinblick in \eqref{friedrich glaettung pt}]
  Wir betrachten den Fall $\Omega=\R^n$ und globale Approximation.
  Sei $1\le p<\infty$ und sei $u\in W^{1,p}(\R^n)$.
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item\textbf{$L^p$-Schranke:} Sei $\epsilon>0$.  Sei
    $\eta\in C^\infty_c(B_1(0))$ ein Friedrichscher Gl\"attungskern
    (glatt, kompakter Tr\"ager, rotationssymmetrisch, nichtnegativ,
    Integral gleich eins) und
    \[u_\epsilon(x):=\int\limits_{B_1(0)}\eta(z)u(x-\epsilon z)\,dz.\]
    Dann erhalten wir f\"ur $x\in\R^n$ wegen $\frac1p+\frac{p-1}p=1$
    mit der H\"olderschen Ungleichung
    \begin{align*}
      |u_\epsilon(x)|
      &\le\int\limits_{B_1(0)} \eta(z)^{\frac{p-1}p}\cdot
        \eta(z)^{\frac1p}\cdot |u(x-\epsilon z)|\,dz\umbruch\\
      &\le\left(\,\int\limits_{B_1(0)} \eta(z)\right)^{\frac{p-1}p}
        \cdot\left(\,\int\limits_{B_1(0)} \eta(z)\cdot|u(x-\epsilon
        z)|^p\,dz\right)^{\frac1p}\umbruch\\
      &\le1\cdot\left(\,\int\limits_{B_1(0)} \eta(z)\cdot|u(x-\epsilon 
        z)|^p\,dz\right)^{\frac1p}.
    \end{align*}
    Wir integrieren die $p$-te Potenz davon nochmals und erhalten mit
    Fubini
    \begin{align*}
      \int\limits_{\R^n} |u_\epsilon(x)|^p\,dx
      &\le\int\limits_{B_1(0)} \eta(z) \int\limits_{\R^n}
        |u(x-\epsilon z)|^p\,dx\,dz\umbruch\\
      &\le1\cdot\int\limits_{\R^n} |u(y)|^p\,dy.
    \end{align*}
    Also folgt $\Vert u_\epsilon\Vert_{L^p(\R^n)} \le \Vert
    u\Vert_{L^p(\R^n)}$. 
  \item\textbf{$L^p$-Konvergenz:} Sei $\delta>0$ vorgegeben. Als
    Folgerung aus dem Satz von Lusin (in der Variante aus den
    \"Ubungen), siehe auch Theorem \ref{stet approx Lp thm}, gibt es
    $g\in C^0_c(\R^n)$ mit $\Vert u-g\Vert_{L^p(\R^n)}<\delta$.
    Aufgrund der obigen Absch\"atzungen erhalten wir
    $\Vert u_\epsilon-g_\epsilon\Vert_{L^p(\R^n)}\le\delta$.
    Betrachte nun
    \[\Vert u- u_\epsilon\Vert_{L^p(\R^n)} \le \Vert
      u-g\Vert_{L^p(\R^n)} +\Vert g-g_\epsilon\Vert_{L^p(\R^n)} +\Vert
      g_\epsilon-u_\epsilon\Vert_{L^p(\R^n)}.\] Wir haben bereits
    gesehen, dass der erste und der dritte Term durch $\delta$
    unabh\"angig von $\epsilon>0$ nach oben abgesch\"atzt sind. Da $g$
    stetig ist und Gl\"attungen stetige Funktionen in $C^0$
    approximieren, ist auch der zweite Term f\"ur hinreichend kleines
    $\epsilon>0$ durch $\delta$ nach oben abgesch\"atzt. Somit gibt es
    zu $u\in L^p(\Omega)$ f\"ur jedes $\delta>0$ ein $\epsilon>0$ mit
    $\Vert u-u_\epsilon\Vert_{L^p(\Omega)}\le\delta$ (auch f\"ur
    kleinere $\epsilon>0$).
  \item\textbf{Differenzierbarkeit:} Aufgrund der
    Transformationsformel f\"ur Integrale mit $z=\frac{x-y}\epsilon$
    oder Fubini und Approximation mit stetigen Funktionen erhalten wir
    f\"ur festes $\epsilon>0$
    \begin{align*}
      u_\epsilon(x)
      &=\int\limits_{B_1(0)} \eta(z) u(x-\epsilon z)\,dz
        =\int\limits_{\R^n} \eta\left(\frac{x-y}\epsilon\right) u(y)
        \epsilon^{-n}\,dy\umbruch\\
      &\equiv \int\limits_{\R^n}\eta_\epsilon(x-y)
        u(y)\,dy 
    \end{align*}
    mit
    $\eta_\epsilon(x) =\frac1{\epsilon^n}\eta\left(\frac
      x\epsilon\right)$. Wir schreiben auch
    $u_\epsilon =\eta_\epsilon * u =u*\eta_\epsilon$ und bezeichnen
    die Operation \glqq$*$\grqq{} als \emph{Faltung}.  F\"ur die
    Differenzierbarkeit nach $x$ betrachten wir f\"ur $0\neq h\to0$
    und $1\le i\le n$ die Differenzenquotienten
    \begin{align*}
      \frac{u_\epsilon(x+he_i)-u_\epsilon(x)}h
      &=\int\limits_{\R^n}
        \underbrace{\frac1h
        \left(\eta_\epsilon(x+he_i-y) 
        -\eta_\epsilon(x-y)\right)}_{\to\fracp{\eta_\epsilon}{x^i} 
        (x-y)} u(y)\,dy.
    \end{align*}
    Mit der Majorante $\Vert D\eta_\epsilon\Vert_{L^\infty} |u|$
    und dem Satz von der dominierten Konvergenz erhalten wir im
    Grenzwert die Differenzierbarkeit von $u_\epsilon$ und die
    Formel
    \[\fracp{}{x^i}u_\epsilon (x) =
      \int\limits_{\R^n} \fracp{\eta_\epsilon}{x^i} (x-y) u(y)\,dy.\]
    Analog zeigt man $u_\epsilon\in C^\infty$ und dass wir s\"amtliche
    Ableitungen in das Integral hineinziehen und auf $\eta_\epsilon$
    anwenden k\"onnen.
  \item\textbf{Ableitung und Gl\"attung:} Nach Kettenregel und
    Definition der schwachen Ableitung erhalten wir daher
    \begin{align*}
      \fracp{}{x^i}u_\epsilon (x)
      &=\int\limits_{\R^n} \fracp
        {\eta_\epsilon}{x^i} (x-y) u(y)\,dy\umbruch\\
      &=-\int\limits_{\R^n} \fracp
        {\eta_\epsilon}{y^i} (x-y) u(y)\,dy\umbruch\\
      &=\int\limits_{\R^n} 
        \eta_\epsilon(x-y) \fracp
        u{y^i}(y)\,dy\umbruch\\
      &=\left(\fracp u{x^i}\right)_{\epsilon}(x).
    \end{align*}
  \item\textbf{Approximation in $W^{1,p}$:} Es gilt f\"ur $u\in
    W^{1,p}(\R^n)$ 
    \begin{align*}
      \Vert u_\epsilon\Vert_{W^{1,p}(\R^n)}
      &=\Vert u_\epsilon-u\Vert_{L^p(\R^n)} +\Vert D(u_\epsilon)
        -Du\Vert_{L^p(\R^n)}\umbruch\\
      &=\Vert u_\epsilon-u\Vert_{L^p(\R^n)} +\Vert (Du)_\epsilon
        -Du\Vert_{L^p(\R^n)}. 
    \end{align*}
    Beide Terme auf der rechten Seite konvergieren nun f\"ur
    $\epsilon\to0$ aufgrund der oben gezeigten $L^p$-Konvergenz gegen
    Null. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Einbettungss\"atze}
Sei $\Omega=\R^n$ oder ein beschr\"anktes Gebiet mit $C^1$-Rand. 
\begin{enumerate}[(i)]
\item\label{p kl n est} \textbf{Sobolevscher Einbettungssatz:} Sei
  $p<n$.  Es gilt
  \[\Vert u\Vert_{L^{\frac{np}{n-p}}(\Omega)}\le
    C(n,p,\Omega)\cdot\Vert 
    u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}.\] Diese Sobolevfunktionen sind also in
  einem $L^q$-Raum mit h\"oherem $q$ als in der Definition gefordert.
\item\label{morrey est} \textbf{Morreyscher Einbettungssatz:} Sei
  $n<p<\infty$. Hier gilt (f\"ur geeignet gew\"ahlte Repr\"asentanten)
  $\Vert u\Vert_{C^{0,1-\frac np}(\Omega)} \le C(n,p,\Omega)\cdot
  \Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$.
\item \emph{Rellichscher Kompaktheitssatz:} Ist $\Omega$ beschr\"ankt
  mit $C^1$-Rand, so ist die Einbettung
  $W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega)$ f\"ur
  $1\le q<\frac{np}{n-p}$ und $1\le p<n$ ein kompakter (stetiger
  linearer) Operator, d.\,h.{} Bilder beschr\"ankter Mengen sind
  pr\"akompakt.
\end{enumerate}
Die Beweisstrategie ist stets, Absch\"atzungen f\"ur glatte Funktionen
zu zeigen, dann Sobolevfunktionen durch glatte Funktionen zu
approximieren und schlie\ss{}lich bei den gezeigten Absch\"atzungen
zum Grenzwert \"uberzugehen.

\begin{proof}[Beweiseinblick f\"ur \eqref{p kl n est}:]
  Wir betrachten als kleinen Einblick den Fall $n=2$, $p=1$,
  $\Omega=\R^2$ und
  $u\in C^1_c\left(\R^2\right)\subset W^{1,1}\left(\R^2\right)$. Hier
  zeigen wir die erste (nichttriviale) Ungleichung in
  \[\Vert u\Vert_{L^2\left(\R^2\right)}^2 \le \Vert
    Du\Vert_{L^1\left(\R^2\right)}^2 \le\Vert
    u\Vert_{W^{1,1}\left(\R^2\right)}^2:\] Seien $x,y\in\R$
  beliebig. Aus $u(x,y)=\int\limits_{-\infty}^x u_1(a,y)\,da$
  (Hauptsatz f\"ur $u(\cdot,y)$ und kompakter Tr\"ager) folgt
  $|u(x,y)|\le \int\limits_{\R} |Du(a,y)|\,da$. Aufgrund der Symmetrie
  erhalten wir
  \[|u(x,y)|^2 \le \int\limits_{\R}|Du(a,y)|\,da\cdot
    \int\limits_{\R}|Du(x,b)|\,db.\] Integration bez\"uglich $x$ und
  $y$ liefert nun
  $\Vert u\Vert_{L^2\left(\R^2\right)}^2
  =\int\limits_{\R^2}|u|^2\le\left(\,\int\limits_{\R^2}|Du|\right)^2
  =\Vert u\Vert_{L^1\left(\R^2\right)}^2$
  wie behauptet.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweiseinblick f\"ur \eqref{morrey est}]
  Wir betrachten den Fall $n=1$, $p=2$, $\Omega=\R$ und
  $u\in C^1(\R)\cap W^{1,2}(\R)$:
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item\label{morrey a}
    Sei $r>0$, sei $x\in\R$ und sei $-r\le s\le r$. Dann gilt
    \[|u(x+s)-u(x)| =\left|\int\limits_0^s\dt u(x+t)\,dt\right|
      \le\pm\int\limits_0^s|Du(x+t)|\,dt
      \le\int\limits_{B_r(x)}|Du|.\] Wir integrieren dies nochmals,
    dividieren durch $2r$ und erhalten mit
    $\fint\limits_{\Omega}:=\frac1{|\Omega|}\int\limits_\Omega$
    \begin{align*}
      \fint\limits_{B_r(x)}|u(y)-u(x)|\,dy
      &=\frac1{2r}
        \int\limits_{-r}^r |u(x+s)-u(x)|\,ds\umbruch\\  
      &\le\frac1{2r}\int\limits_{-r}^r1\,ds\cdot \int\limits_{B_r(x)}|Du|
        =\int\limits_{B_r(x)}|Du|.
    \end{align*}
\datum{Mo 19.07.2021}
  \item Mit \eqref{morrey a} k\"onnen wir nun die $C^0$-Norm
    absch\"atzen: Sei $x\in\R$. Dann erhalten wir aufgrund der
    H\"olderschen Ungleichung
    \begin{align*}
      |u(x)|
      &\le\fint\limits_{B_1(x)}|u(x)|\,dy
        \le\fint\limits_{B_1(x)}|u(y)-u(x)|\,dy +\fint\limits_{B_1(x)}
        |u(y)|\umbruch\\
      &\overset{\text{\eqref{morrey
        a}}}\le\int\limits_{B_1(x)}1\cdot|Du|
        +\frac12\int\limits_{B_1(x)} 1\cdot|u|\umbruch\\
      &\le \left(\,\,\int\limits_{B_1}1^2\right)^{1/2} \cdot
        \left(\,\int\limits_{B_1(x)}|Du|^2\right)^{1/2} 
        +\frac12 \cdot\left(\,\,\int\limits_{B_1}1^2\right)^{1/2}
        \cdot \left(\,\int\limits_{B_1(x)}
        |u|^2\right)^{1/2}\umbruch\\ 
      &\le\sqrt 2\cdot\Vert Du\Vert_{L^2(B_1(x))} +\frac1{\sqrt 2}\cdot
        \Vert u\Vert_{L^2(B_1(x))}\umbruch\\
      &\le \sqrt2\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,2}(\R)}.
    \end{align*}
  \item Auch f\"ur die Absch\"atzung des Differenzenquotienten nutzen
    wir wieder \eqref{morrey a}: Seien $x\neq y\in\R$. Wir setzen
    $r:=|x-y|$ und $W:=B_r(x)\cap B_r(y) =(x,y)$. Dann
    gilt \[|u(x)-u(y)| =\fint\limits_W |u(x)-u(y)|\,dz
      \le\fint\limits_W |u(x)-u(z)|\,dz +\fint\limits_W
      |u(y)-u(z)|\,dz.\]
    Wir betrachten nur eines der beiden Integrale und erhalten
    \begin{align*}
      \fint\limits_W |u(x)-u(z)|\,dz
      &=\frac22\frac1{r}\int\limits_W |u(x)-u(z)|\,dz \le2\fint\limits_{B_r(x)}
        |u(x)-u(z)|\,dz \umbruch\\
      &\overset{\text{\eqref{morrey a}}}\le2\int\limits_{B_r(x)}
        1\cdot |Du|
        \le2 \left(\,\,\int\limits_{B_r} 1^2\right)^{1/2}\cdot
        \left(\,\int\limits_{B_r(x)} |Du|^2\right)^{1/2}\umbruch\\
      &=2\sqrt{2r}\cdot \Vert Du\Vert_{L^2(B_r(x))}.
    \end{align*}
    Zusammengenommen erhalten wir also \[|u(x)-u(y)| \le 4\sqrt
      2\cdot\Vert Du\Vert_{L^2(\R)}\cdot|x-y|^{1/2}.\] 
  \item Insgesamt folgt daher f\"ur die H\"oldernorm die
    Absch\"atzung \[\Vert u\Vert_{C^{0,1/2}(\R)} \le 8\cdot\Vert
        u\Vert_{W^{1,2}(\R)}\] wie behauptet. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\faii{
\section{Schwache Konvergenz und Reflexivit\"at}
\label{schw konv refl sec}

\subsection{Schwache Konvergenz}

\begin{definition}
  \label{schw konv def}
  Sei $E$ ein normierter Raum. Eine Folge $(x_n)_{n\in\N}$ in $E$
  \emph{konvergiert schwach} gegen $x\in E$, $x_n\wto x$, falls f\"ur
  alle $\phi\in E^*$ \[\phi(x_n)\to\phi(x)\] f\"ur $n\to\infty$ gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item In topologischen R\"aumen sagt man, dass $x_n$ gegen $x$
    konvergiert, $x_n\to x$, falls jede Umgebung von $x$ fast alle
    Elemente $x_n$ enth\"alt.
  \item Die stetigen Funktionale $f\in L(X,\K)$ erzeugen nach
    Definition \ref{schw topo def} eine Topologie auf $X$, die
    schwache Topologie.
  \item Konvergenz $x_n\to x$ bez\"uglich der schwachen Topologie ist
    \"aquivalent zu $x_n\wto x$.
  \item Auf $X^*$ k\"onnen wir ebenfalls eine schwache Topologie
    einf\"uhren. Dann gilt $\phi_n\wto\phi$ in $X^*$, falls
    $f(\phi_n)\to f(\phi)$ f\"ur alle $f\in X^{**}$ gilt. 
  \item Auf $X^*$ gibt es auch die schwach*-Topologie: Es gilt
    $\phi_n\to\phi$ schwach*, falls $\phi_n(x)\to\phi(x)$ f\"ur alle
    $x\in X$ gilt.
  \item Um Missverst\"andnissen vorzubeugen, werden wir die \"ubliche
    Konvergenz, \dh $\Vert x_n-x\Vert\to 0$ f\"ur $n\to\infty$, auch
    als starke Konvergenz oder Normkonvergenz bezeichnen.
  \item Wie bei starker Konvergenz definiert man schwache und schwach*
    Cauchyfolgen sowie schwache und schwach* Folgenkompaktheit.
  \item In endlichdimensionalen Vektorr\"aumen sind schwache und
    starke Konvergenz \"aquivalent. 
  \item In $l^2(\N,\R)$ konvergiert $e_n\wto0$, aber $e_n\not\to0$
    f\"ur $n\to\infty$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{bidual schw konv lem}
  Sei $X$ ein normierter Raum.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die durch \[\langle\phi,Jx\rangle:=\langle x,\phi\rangle\]
    f\"ur alle $x\in X$ und alle $\phi\in X^*$ definierte Abbildung
    $J\colon X\to X^{**}$ ist eine Isometrie. Wir sagen, dass $J$ den
    Raum $X$ in seinen Bidualraum einbettet.
  \item Seien $x_n,x\in X$. Dann sind $x_n\wto x$ in $X$ und $Jx_n\to
    Jx$ schwach* in $X^{**}$ f\"ur $n\to\infty$ \"aquivalent. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt \[\Vert Jx\Vert =\sup_{\Vert\phi\Vert=1}
    |\langle\phi,Jx\rangle| =\sup_{\Vert\phi\Vert=1} |\langle
    x,\phi\rangle| =\Vert x\Vert\] nach Korollar \ref{Hahn Banach dual
      cor}.
  \item Dies folgt direkt nach Definition, da die Konvergenz
    in \[\langle x_n,\phi\rangle =\langle\phi,Jx_n\rangle \overset?\to
    \langle x,\phi\rangle=\langle\phi,Jx\rangle\] f\"ur die
    Ausdr\"ucke mit oder ohne $J$ \"aquivalent ist. \qedhere
  \end{enumerate}  
\end{proof}

\begin{theorem}\label{schw konv norm unterhalb stet thm}
  Sei $X$ ein normierter Raum.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Der schwache und der schwach* Grenzwert einer Folge sind
    eindeutig bestimmt.
  \item Starke Konvergenz impliziert schwache und schwach*
    Konvergenz. 
  \item Gelte $\phi_n\to\phi$ schwach* in $X^*$ f\"ur
    $n\to\infty$. Dann folgt \[\Vert\phi\Vert
    \le\liminf_{n\to\infty}\Vert\phi_n\Vert.\]
  \item Gelte $x_n\wto x$ in $X$ f\"ur $n\to\infty$. Dann
    folgt \[\Vert x\Vert\le\liminf_{n\to\infty}\Vert x_n\Vert.\] 
  \item Schwach konvergente und schwach* konvergente Folgen
    sind in Banachr\"aumen beschr\"ankt.
  \item Gilt $x_n\to x$ in $X$ und $\phi_n\to\phi$ schwach* in $X^*$
    f\"ur $n\to\infty$ oder $x_n\wto x$ und $\phi_n\to\phi$ (stark) in
    $X^*$, so folgt \[\langle x_n,\phi_n\rangle \to\langle
    x,\phi\rangle\] f\"ur $n\to\infty$. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Benutze den Satz von Hahn-Banach f\"ur die schwache
    Konvergenz. F\"ur die schwach* Konvergenz ist dies klar, da der
    Grenzwert eine Funktion $\phi$ ist, die wegen $\langle
    x,\phi_n\rangle\to \langle x,\phi\rangle$ eindeutig bestimmt ist.
  \item Klar.
  \item Sei $x\in X$. F\"ur $n\to\infty$ folgt
    \begin{align*}
      |\langle x,\phi\rangle|\leftarrow &\,|\langle x,\phi_n\rangle|
      \le\Vert\phi_n\Vert\cdot\Vert x\Vert,
      \intertext{also}
      |\langle x,\phi\rangle|\le&\,\liminf_{n\to\infty}
      \Vert\phi_n\Vert\cdot\Vert x\Vert
      \intertext{und damit nach Definition der Operatornorm}
      \Vert\phi\Vert\le&\,\liminf_{n\to\infty}\Vert\phi_n\Vert. 
    \end{align*}
  \item Analog zu eben erhalten wir $|\langle x,\phi\rangle|\le
    \Vert\phi\Vert\cdot\liminf\limits_{n\to\infty}\Vert
    x_n\Vert$. Benutze nun wieder Korollar \ref{Hahn Banach dual
      cor}. W\"ahle also $\phi$ mit $\Vert\phi\Vert=1$ und $\langle
    x,\phi\rangle=\Vert x\Vert$.
  \item Aus $\phi_n\to\phi$ schwach* in $X^*$ erhalten wir
    insbesondere $\sup\limits_{n\in\N}|\langle
    x,\phi_n\rangle|<\infty$ punktweise f\"ur alle $x\in X$. Daher
    folgt nach Banach-Steinhaus
    $\sup\limits_{n\in\N}\Vert\phi_n\Vert<\infty$. \par
    Aus $x_n\wto x$ in $X$ folgt nach Lemma \ref{bidual schw konv lem}
    $Jx_n\to Jx$ schwach* in $X^{**}$ mit $J$ wie in Lemma \ref{bidual
      schw konv lem}. Somit ist $Jx_n$ in $X^{**}$ beschr\"ankt, also
    auch $x_n$ in $X$.
  \item Es gilt
    \begin{align*}
      |\langle x,\phi\rangle -\langle x_n,\phi_n\rangle| \le&\,
      |\langle x,\phi-\phi_n\rangle| +|\langle x_n-x,\phi_n\rangle|\\
      \le&\,\underbrace{|\langle x,\phi-\phi_n\rangle|}_{\to 0}
      +\underbrace{\Vert x-x_n\Vert}_{\to
        0}\cdot\underbrace{\Vert\phi_n\Vert}_{\le c}
    \end{align*}
    f\"ur $n\to\infty$. \par Die zweite Aussage folgt durch
    eine analoge Argumentation mit \glqq vertauschten
    Rollen\grqq. \qedhere 
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \stern Ist $X$ lediglich normiert, so sind schwach konvergente
  Folgen ebenfalls beschr\"ankt (\"Ubung). \par Allerdings sind
  schwach* konvergente Folgen i.\,a.{} nicht mehr beschr\"ankt: Sei
  $X$ der Raum der abbrechenden Folgen in $l^2(\N)$. Der Dualraum von
  $X$ ist isomorph zu $l^2(\N)$. Dabei ist die Paarung durch das
  $l^2$-Skalarprodukt gegeben. $\phi_n=n\cdot e_n$ ist eine
  unbeschr\"ankte schwach*-konvergente Folge. Die Details lassen wir
  als \"Ubung. 
\end{remark}

\begin{theorem}\label{schwach stern folgenkompakt thm}
  Sei $X$ ein separabler normierter Raum. Dann ist $\ol{B_1(0)}\subset
  X^*$ schwach* folgenkompakt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(x_n)_{n\in\N}$ dicht in $X$. Sei $(\phi_k)_{k\in\N}$ eine
  Folge in $X^*$ mit $\Vert\phi_k\Vert\le1$. Dann sind die Folgen
  $(\langle x_n,\phi_k\rangle)_{k\in\N}$ f\"ur festes $n\in\N$ in $\K$
  beschr\"ankt. Daher finden wir mit einem Diagonalfolgenargument eine
  (nicht umbenannte) Teilfolge, so dass f\"ur alle $n\in\N$ 
  \[\lim_{k\to\infty}\langle x_n,\phi_k\rangle\in\K\] existiert. Setze
  $Y:=\langle\{x_n\colon n\in\N\}\rangle$. Sei $y\in Y$. Dann
  existiert der folgende Grenzwert \[\phi(y):=\lim_{k\to\infty}\langle
  y,\phi_k\rangle\] und die damit definierte Funktion $\phi\colon
  Y\to\K$ ist linear. Wegen \[|\phi(y)| =\lim\limits_{k\to\infty}
  |\langle y,\phi_k\rangle|\le\Vert y\Vert\] ist $\phi$ auf $Y$
  gleichm\"a\ss{}ig stetig und l\"a\ss{}t sich daher nach Theorem
  \ref{fortsetzungssatz thm}, dem Fortsetzungssatz, eindeutig zu einer
  stetigen linearen Abbildung $\Phi$ auf $\hat X$ und damit
  insbesondere auf $\ol{Y}=X\subset\hat X$ mit $\Vert\Phi\Vert\le 1$
  fortsetzen. Wir behaupten, dass $\phi_n\to\Phi$ schwach*
  konvergiert.\par Sei dazu $x\in X$ und $y\in Y$. Dann gilt
  \begin{align*}
    |\langle x,\Phi-\phi_n\rangle|\le &\,|\langle
    x-y,\Phi-\phi_n\rangle| +|\langle y,\Phi-\phi_n\rangle|\\
    \le&\,2\Vert x-y\Vert +|\langle y,\Phi-\phi_n\rangle|.
  \end{align*}
  Wir haben gesehen, dass der zweite Term f\"ur $n\to\infty$
  verschwindet. Der erste Term kann wegen $\ol Y=X$ zuvor beliebig
  klein gew\"ahlt werden. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

Der Satz von Banach-Alao\u{g}lu verallgemeinert dies wie folgt:
Benutzt man den Satz von Tychonoff, so kann man die
schwach*-Kompaktheit von $\ol{B_1(0)}\subset X^*$ auch f\"ur nicht
separable R\"aume zeigen.

Mit den Methoden aus Theorem \ref{schwach stern folgenkompakt thm}
zeigt man auch
\begin{proposition}
  Sei $X$ ein normierter Raum. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann gilt $x_n\wto x$ in $X$ genau dann, wenn
    $\sup\limits_{n\in\N}\Vert x_n\Vert<\infty$ ist und es eine dichte
    Teilmenge $D\subset X^*$ mit $\langle x_n,\phi\rangle\to
    \langle x,\phi\rangle$ f\"ur alle $\phi\in D$ gibt.
  \item Eine Folge $(x_n)_{n\in\N}$ in $X$ ist genau dann eine
    schwache Cauchyfolge, wenn $\sup\limits_{n\in\N}\Vert
    x_n\Vert<\infty$ ist und es eine dichte Teilmenge $D\subset X^*$
    gibt, so dass $(\langle x_n,\phi\rangle)$ f\"ur alle $\phi\in D$
    eine Cauchyfolge ist.
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $X$ ein Hilbertraum. Sei $(x_n)_{n\in\N}$ eine Folge in
  $X$. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $x_n\to x$ f\"ur $n\to\infty$,
  \item $\Vert x_n\Vert\to\Vert x\Vert$ und $x_n\wto x$ f\"ur
    $n\to\infty$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. Betrachte $\Vert x_n-x\Vert^2$. 
\end{proof}

\subsection{Reflexivit\"at}

\begin{definition}
  \label{refl def}
  Sei $X$ ein Banachraum und $J$ die Isometrie aus Lemma \ref{bidual
    schw konv lem}. Dann hei\ss{}t $X$ \emph{reflexiv}, falls
  $J\colon X\to X^{**}$ surjektiv (und damit eine bijektive Isometrie)
  ist.
\end{definition}
Wir h\"atten Reflexivit\"at auch f\"ur normierte R\"aume definieren
k\"onnen. Da jedoch $X^{**}$ stets vollst\"andig ist, gilt dies auch
f\"ur $X$. 

\begin{lemma}\label{refl lem}
  Sei $X$ ein Banachraum. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $X$ reflexiv, so stimmen schwache und schwach*
    Folgenkonvergenz in $X^*$ \"uberein. 
  \item\label{refl lem ii} Ist $X$ reflexiv, so ist jeder
    abgeschlossene Unterraum von $X$ reflexiv.
  \item\label{refl lem iii} Ist $Y$ ein Banachraum und $T\colon X\to
    Y$ ein Isomorphismus, so ist $X$ genau dann reflexiv, wenn $Y$
    reflexiv ist.
  \item $X$ ist genau dann reflexiv, wenn $X^*$ reflexiv ist. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Klar. 
  \item Sei $Y\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum. Sei $y''\in
    Y^{**}$. Wir definieren $x''$ durch \[\left\langle
      x',x''\right\rangle :=\left\langle x'|_Y,y''\right\rangle\]
    f\"ur alle $x'\in X^*$. Dann ist $x''\in X^{**}$. Definiere
    $x:=J^{-1}_Xx''$. Wir behaupten, dass $x\in Y$ gilt. Sei dazu
    $x'\in X^*$ mit $x'=0$ auf $Y$. F\"ur solche $x'$ folgt \[\langle
    x,x'\rangle =\langle x',x''\rangle =\langle x'|_Y,y''\rangle =0.\]
    $Y$ ist abgeschlossen. Nach Korollar \ref{Hahn Banach abg URaum}
    folgt also $x\in Y$. \par Wir behaupten weiterhin, dass $J_Yx=y''$
    gilt. Sei dazu $y'\in Y^*$ beliebig. Sei $x'\in X^*$
    eine Fortsetzung von $y'$ wie im Satz von Hahn-Banach. Wir
    erhalten wegen $x\in Y$ \[\langle x,y'\rangle =\langle x,x'\rangle
    =\langle x'|_Y,y''\rangle =\langle y',y''\rangle.\] Somit ist
    $y''=J_Yx$. Damit ist $J_Y$ surjektiv.
  \item Sei $X$ reflexiv. Wir wollen zeigen, dass $Y$ ebenfalls
    reflexiv ist: Sei $y''\in Y^{**}$. Wir definieren $x''\in X^{**}$
    durch \[\langle x',x''\rangle =\langle x'\circ T^{-1},y''\rangle
    \quad \text{f\"ur alle $x'\in X^*$}.\] F\"ur $y'\in Y^*$ mit
    $x':=y'\circ T$ gilt nach Definition von $x''$ \[\langle
    y',y''\rangle =\langle y'\circ T,x''\rangle =\left\langle
      J_X^{-1}x'',y'\circ T\right\rangle =\left\langle
      TJ_X^{-1}x'',y'\right\rangle.\] Also gilt $y''=J_YTJ_X^{-1}x''$
    und damit ist $J_Y$ surjektiv, $Y$ also ebenfalls reflexiv. 
  \item \Hinrichtung Sei $X$ reflexiv. Sei $x'''\in X^{***}$, so ist
    $x'''\circ J_X\in X^*$. F\"ur $x''\in X^{**}$ gilt \[\langle
    x'',x'''\rangle =\left\langle J_X^{-1}x'',x'''\circ
      J_X\right\rangle =\langle x'''\circ J_X,x''\rangle =\langle
    x'',J_{X^*}\circ x'''\circ J_X\rangle.\] Somit folgt
    $x'''=J_{X^*}(x'''\circ J_X)$. Also ist $J_{X^*}$ surjektiv und
    somit ist auch $X^*$ reflexiv.\par
    \Rueckrichtung Sei nun $X^*$ reflexiv. Aufgrund des ersten Teils
    ist auch $X^{**}$ reflexiv. $J_X$ ist eine Isometrie. Somit ist
    $J_X(X)\subset X^{**}$ abgeschlossen. Nach \eqref{refl lem ii} ist
    $J_X(X)$ daher reflexiv. Nach \eqref{refl lem iii} ist also $X$
    selbst reflexiv. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}\label{dual sep sep lem}
  Sei $X$ ein Banachraum. Dann ist $X$ separabel, falls $X^*$ separabel
  ist. 
\end{lemma}
Die Umkehrung ist falsch, da $L^1$ separabel ist, $L^\infty$, der
Dualraum von $L^1$ aber nicht. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\{\phi_n\colon n\in\N\}$ dicht in $X^*$. W\"ahle eine Folge
  $(x_n)_{n\in\N}$ in $X$ so dass $|\langle
  x_n,\phi_n\rangle|\ge\frac12\Vert\phi_n\Vert$ und $\Vert
  x_n\Vert=1$. Setze $Y:=\ol{\langle\{x_n\colon n\in\N\}\rangle}$. Sei 
  $\phi\in X^*$ mit $\phi=0$ auf $Y$, so folgt f\"ur alle $n$
  \begin{align*}
    \Vert\phi-\phi_n\Vert\ge&\,|\langle x_n,\phi-\phi_n\rangle|
    =|\langle x_n,\phi_n\rangle|\ge\tfrac12\Vert\phi_n\Vert\ge
    \tfrac12(\Vert\phi\Vert-\Vert\phi_n-\phi\Vert),
    \intertext{also}
    \Vert\phi\Vert\le&\,3\inf_{n\in\N}\Vert\phi-\phi_n\Vert=0,
  \end{align*}
  da $\{\phi_n\colon n\in\N\}$ dicht in $X^*$ liegt. Nach Korollar
  \ref{Hahn Banach abg URaum} erhalten wir $Y=X$. Da $Y$ nach
  Konstruktion separabel ist, ist auch $X$ separabel.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $X$ ein reflexiver Banachraum. Dann ist $\ol{B_1(0)}\subset X$
  schwach folgenkompakt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(x_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $\ol{B_1(0)}\subset X$. Definiere
  $Y:=\ol{\langle\{x_n\colon n\in\N\}\rangle}$. Dann ist $Y$ nach
  Lemma \ref{refl lem} selbst reflexiv. $Y$ ist nach Definition
  separabel. Somit ist auch das Bild $J_YY$ separabel. Da $J_Y$
  reflexiv ist, ist $J_Y$ surjektiv wir erhalten $Y^{**}=J_YY$. Nach
  Lemma \ref{dual sep sep lem} ist daher auch $Y^*$ separabel. Somit
  ist nach Theorem \ref{schwach stern folgenkompakt thm} die
  abgeschlossene Einheitskugel $\ol{B_1(0)}\subset Y^{**}$ schwach*
  folgenkompakt. Wir wenden dies auf die Folge $(J_Yx_n)_{n\in\N}$ in
  $Y^{**}$ an, deren Folgeglieder in $\ol{B_1(0)}\subset Y^{**}$
  enthalten sind. Es gibt also ein $y''\in Y^{**}$ und eine nicht
  umbenannte Teilfolge, so dass \[\langle y',J_Yx_n\rangle\to \langle
  y',y''\rangle\] f\"ur alle $y'\in Y^*$ f\"ur $n\to\infty$
  konvergiert. Definiere $x:=J_Y^{-1}y''\in Y$. Es folgt f\"ur alle
  $y'\in Y^*$ und $n\to\infty$ \[\langle x_n,y'\rangle =\langle
  y',J_Yx_n\rangle \to\langle y',y''\rangle =\langle x,y'\rangle.\]
  Sei $x'\in X^*$. Dann gilt $x'|_Y\in Y^*$. Auf Elemente in $Y\subset
  X$ angewandt stimmen $x'$ und $x'|_Y$ \"uberein. Wir erhalten also
  \[\underline{\langle x_n,x'\rangle} =\langle x_n,x'|_Y\rangle\to \langle
  x,x'|_Y\rangle =\underline{\langle x,x'\rangle}\quad\text{f\"ur
  }n\to\infty.\] Wir erhalten $x_n\wto x$ f\"ur $n\to\infty$. 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{schw folgen abg thm}
  Sei $X$ ein normierter Raum und $M\subset X$ konvex und
  abgeschlossen. Dann ist $M$ schwach folgenabgeschlossen, \dh sind
  $x_n\in M$, $n\in\N$, $x\in X$ und gilt $x_n\wto x$ f\"ur
  $n\to\infty$, so folgt $x\in M$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Folgt direkt aus dem Trennungssatz, Theorem \ref{trennungssatz thm},
  durch einen Widerspruchsbeweis. 
\end{proof}

\begin{lemma}[Lemma von Mazur]\label{mazur lem}
  Gelte $x_n\wto x$ in einem normierten Raum. Dann liegt $x$ im
  Abschluss der konvexen H\"ulle von $\{x_n\colon n\in\N\}$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Abschluss der konvexen H\"ulle ist konvex. Also folgt die
  Behauptung aus Theorem \ref{schw folgen abg thm}. 
\end{proof}

Vergleiche das folgende Resultat mit Theorem \ref{proj konv TM thm}.  
\begin{theorem}
  Sei $X$ ein reflexiver Banachraum, $M\subset X$ nichtleer, konvex
  und abgeschlossen. Dann gibt es zu $x_0\in X$ ein $x\in M$
  mit \[\Vert x-x_0\Vert =\dist(x_0,M).\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(x_n)_{n\in\N}$ mit $x_n\in M$ f\"ur alle $n\in\N$ eine
  Minimalfolge, gelte also $\Vert x_n-x_0\Vert\to\dist(x_0,M)$ f\"ur
  $n\to\infty$. Dann ist die Folge $(x_n)_{n\in\N}$
  beschr\"ankt. Somit gibt es nach eine schwach konvergente Teilfolge
  $x_n\wto x$ f\"ur ein $x\in X$. Nach Theorem \ref{schw folgen abg
    thm} erhalten wir $x\in M$. Aus der schwachen Konvergenz erhalten
  wir auch $x_n-x_0\wto x-x_0$. Da die Norm unter schwacher Konvergenz
  nach Theorem \ref{schw konv norm unterhalb stet thm} unterhalbstetig
  ist, folgt die mittlere Ungleichung in \[\dist(x_0,M)\le\Vert
  x-x_0\Vert\le\liminf_{n\to\infty}\Vert x_n-x_0\Vert =\dist(x_0,M).\]
  Die erste Ungleichung gilt nach Definition des Abstandes und die
  letzte, da $x_n$ als Minimalfolge gew\"ahlt war. Die Behauptung
  folgt. 
\end{proof}

Setzt man in der folgenden Definition $\alpha=1$, so erh\"alt man
lipschitzstetige Funktionen. 
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$. Sei $f\colon\Omega\to\R$ eine
  Funktion. (Die Definition f\"ur Funktionen mit Werten in einem
  anderen Banachraum ist analog.) Sei $0<\alpha<1$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Funktion $f$ hei\ss{}t in $x_0\in\Omega$ mit Exponent
    $\alpha$ \emph{h\"olderstetig}, falls
    \[\underset{\epsilon\searrow0}{\ol\lim}\,\,
      \sup_{x\in(\Omega\cap B_\epsilon(x_0))\setminus\{x_0\}}
      \frac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|^\alpha}<\infty\] ist.
  \item Die Funktion $f$ hei\ss{}t mit Exponent $\alpha$
    \emph{h\"olderstig},
    $f\in C^{0,\alpha}(\Omega)\equiv C^\alpha(\Omega)$, falls $f$ in
    allen Punkten $x\in\Omega$ mit Exponent $\alpha$ h\"olderstetig
    ist.
  \item Wir definieren
    \[C^\alpha\left(\ol\Omega\right) :=\left\{f\colon\Omega\to\R\colon
        \sup\limits_{x\neq y\in\Omega}
        \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}<\infty\right\}\] und die
    \emph{H\"olderhalbnorm}
    \[[f]_{C^\alpha(\Omega)}:=\sup\limits_{x\neq y\in\Omega}
      \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.\]
  \item Ist $\Omega\subset\R^n$ offen und $k\in\N$, so definieren
    wir \[C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right) :=\left\{f\in
      C^k\left(\ol\Omega\right)\colon [D^\beta
      f]_{C^\alpha(\Omega)}<\infty \text{ f\"ur alle }|\beta|=
      k\right\}.\]
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ und $0<\alpha<1$. Dann ist der Raum
    aller Funktionen $f\in C^\alpha(\Omega)$ mit \[\Vert
    f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)} :=\Vert f\Vert_{C^0(\Omega)}
    +[f]_{C^\alpha(\Omega)}<\infty\] mit der Norm
    $\Vert\cdot\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}$ ein Banachraum.\par
    Ist $\Omega\subset\R^n$ offen, so schreiben wir daf\"ur
    $C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$. 
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $0<\alpha<1$ und $k\in\N$. Dann
    ist der Raum aller Funktionen $f\in C^k\left(\ol\Omega\right)$ mit
    \[\Vert f\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}:= \Vert
    f\Vert_{C^k(\Omega)} +\sum\limits_{|\beta|=k} \left[D^\beta
      f\right]_{C^\alpha(\Omega)} <\infty\] mit der Norm
    $\Vert\cdot\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}$ ein Banachraum:
    $C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  H\"olderr\"aume sind i.\,a.{} nicht separabel. Betrachte dazu den
  Raum $C^\alpha([-1,1])$ und die Funktionen
  $u_{x_0}(x):=|x-x_0|^\alpha$. \hfill \mbox{(Details: \"Ubung.)}
\end{remark}

\section{Sobolevr\"aume}

\subsection{Definition und grundlegende Eigenschaften}

Wir folgen \cite{EvansPDE}.  Weitere gute \"Ubersichten zu
Sobolevr\"aumen und deren Umfeld vermitteln die B\"ucher von William
Ziemer \cite{ZiemerWeakDiffFctns} und Robert Adams
\cite{AdamsSobolev}.

\begin{remark}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$
  hei\ss{}t Testfunktion. Sei $u\in C^1(\Omega)$. Dann gilt
  $$\int\limits_\Omega u\phi_i=-\int\limits_\Omega u_i\phi,$$
  da $\phi=0$ auf $\partial\Omega$.  Sei $u\in C^k(\Omega)$. Dann gilt
  $$\int\limits_\Omega uD^\alpha\phi=(-1)^{|\alpha|}
  \int\limits_\Omega D^\alpha u\phi$$ f\"ur alle Multiindices
  $|\alpha|\le k$.
\end{remark}

\begin{definition}[Schwache Ableitung]
  Sei nun $u\in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$, $\Omega\subset\R^n$ offen.
  $v\in L^1_{\text{loc}}$ hei\ss{}t $\alpha$-te \emph{schwache
    Ableitung} von $u$, falls
  $$\int\limits_\Omega uD^\alpha\phi=(-1)^{|\alpha|}
  \int\limits_\Omega v\phi$$ f\"ur alle Testfunktionen $\phi$
  gilt. Wir schreiben $D^\alpha u=v$.
\end{definition}

\begin{lemma}[Eindeutigkeit der schwachen Ableitung]
  \label{eindeutigkeit Du}\neueZeilealt
  Seien $v$, $\tilde v\in L^1_\text{loc}(\Omega)$ schwache Ableitungen
  von $u\in L^1_\text{loc}(\Omega)$.  Dann gilt $v=\tilde v$.
\end{lemma}

Zum Beweis ben\"otigen wir das Lemma von Du Bois-Reymond.  Wir folgen
der Darstellung in \cite{CGPDE}.
\begin{lemma}[Du Bois-Reymond]\label{du bois reymond lem}
  Sei $f\in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$, $\Omega\subset\R^n$ offen.
  Gilt
  $$\int\limits_\Omega f\phi=0$$
  f\"ur alle Testfunktionen $\phi$, so gilt $f=0$ fast \"uberall,
  $f=0$ in $L^1_{\text{loc}}(\Omega)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt, $f\in L^1(\Omega)$ zu betrachten, $\Omega\subset \R^n$
  offen und beschr\"ankt. Definiere
  $$g(x):=\begin{cases}
    \frac{f(x)}{|f(x)|},&f(x)\neq0,\\
    0,&f(x)=0.
  \end{cases}$$ Es gelten $|g|\le1$ und $f\cdot g=|f|$. Da $g\in
  L^\infty(\Omega)$ ist, folgt auch $g\in L^2(\Omega)$. Somit
  existiert eine Folge $\eta_\epsilon\in C^\infty_c(\Omega)$, so dass
  $\eta_\epsilon\to g$ in $L^2(\Omega)$ konvergiert. Nach Theorem
  \ref{tf konv pktw fue thm}, siehe auch \cite[Theorem 3.12]{Rudin},
  konvergiert nun eine (nicht umbenannte) Teilfolge der
  $\eta_\epsilon$ dann fast \"uberall gegen $g$. Wir d\"urfen
  annehmen, dass die Folge $\eta_\epsilon$ durch Gl\"attung entstanden
  ist. Somit gilt \[\Vert\eta_\epsilon\Vert_{L^\infty}\le\Vert
  g\Vert_{L^\infty}\le1.\] Aufgrund des Satzes \"uber dominerende
  Konvergenz folgt nun \[0=\int\limits_\Omega
  f\cdot\eta_\epsilon\to\int\limits_\Omega f\cdot
  g=\int\limits_\Omega|f|.\] Wir schlie\ss{}en also, dass fast
  \"uberall $f=0$ gilt und erhalten $f=0$ in $L^1(\Omega)$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{eindeutigkeit Du}]
  Es gilt
  $$\int\limits_\Omega uD^\alpha\phi=
  (-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega v\phi=
  (-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega\tilde v\phi$$ f\"ur alle
  Testfunktionen $\phi$.  Wir erhalten also
  $$\int\limits_\Omega(v-\tilde v)\phi=0$$
  und somit aufgrund des Lemma von Du Bois-Reymond auch $v=\tilde v$
  in $L^1_{\text{loc}}(\Omega)$.
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{stet klass diffb lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Seien $u\colon\Omega\to\R$,
  $v\colon\Omega\to\R^n$ stetig und gelte \[\int\limits_\Omega
  uD\phi=-\int\limits_\Omega v\phi\] f\"ur alle $\phi\in
  C^\infty_c(\Omega)$. Dann ist $u\in C^1(\Omega)$ und es gilt $Du=v$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$ und sei $\eta_\epsilon$ ein
  symmetrischer Friedrichscher Gl\"attungskern mit einem hinreichend
  kleinen $\epsilon>0$. \par Wir
  definieren \[\phi_\epsilon(x):=\int\limits_\Omega
  \eta_\epsilon(x-y)\phi(y)\,dy.\] Entsprechend definieren wir
  $u_\epsilon$ und $v_\epsilon$ auf kompakten Teilmengen von $\Omega$,
  so dass diese Integrale wohldefiniert sind. Ist $\epsilon>0$
  hinreichend klein, was wir nachfolgend annehmen, so gilt
  $\phi_\epsilon\in C^\infty_c(\Omega)$. Wir behaupten, dass
  $v_\epsilon=D(u_\epsilon)$ gilt. Dazu betrachten wir $\int
  v_\epsilon\phi$, benutzen die Voraussetzung und erhalten
  \begin{align*}
    \int v_\epsilon(x)\phi(x)\,dx =&\,\int\int
    v(y)\eta_\epsilon(x-y)\,dy\,\phi(x)\,dx\umbruch\\
    =&\,\int v(y)\int\phi(x)\eta_\epsilon(x-y)\,dx\,dy\umbruch\\
    \overset{sym.}=\hspace*{-1.75mm}&\,\int v(y)\phi_\epsilon(y)\,dy
    \overset{n.\,V.}= -\int 
    u(y)D_y\phi_\epsilon(y)\,dy\umbruch\\
    =&\,-\int u(y)D_y\int\phi(x)\eta_\epsilon(y-x)\,dx\,dy\umbruch\\
    =&\,-\int u(y)\int\phi(x)D_y\eta_\epsilon(y-x)\,dx\,dy\umbruch\\
    =&\,-\int \int u(y)D_y\eta_\epsilon(y-x)
    \,dy\,\phi(x)\,dx\umbruch\\  
    =&\,\int\int u(y) D_x\eta_\epsilon(y-x)\,dy\,\phi(x)\,dx\umbruch\\ 
    =&\,\int D_x\int u(y)\eta_\epsilon(y-x)\,dy\,\phi(x)\,dx\umbruch\\
    =&\,\int D_x\int u(y)\eta_\epsilon(x-y)\,dy\,\phi(x)\,dx\umbruch\\
    =&\,\int D_xu_\epsilon(x)\phi(x)\,dx. 
  \end{align*}
  Nach dem Lemma von Du Bois-Reymond folgt somit die Behauptung. Nun
  gelten $v_\epsilon\rightrightarrows v$ und
  $u_\epsilon\rightrightarrows u$ ($u_\epsilon\to u$ gen\"ugt
  auch). Aufgrund der Resultate \"uber die Differentiation von
  Funktionenfolgen erhalten wir nun die Behauptung.
\end{proof}

\begin{example}
  Sei $\Omega=(0,2)\subset\R$,
  \begin{align*}
    u(x)=\begin{cases}
      x,&0<x\le1,\\
      1,&1\le x<2,
    \end{cases}\umbruch\\
    v(x)=\begin{cases}
      1,&0<x\le1,\\
      0,&1<x<2,
    \end{cases}
  \end{align*}
  Dann ist $v$ die schwache Ableitung von $u$.
\end{example}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\phi$ eine Testfunktion
  \begin{align*}
    \int\limits_0^2u\phi'=&\,\int\limits_0^1x\phi'+\int\limits_1^2\phi'
    =-\int\limits_0^1\phi+x\phi|_{x=1}-x\phi|_{x=0}
    +\phi(2)-\phi(1)\umbruch\\
    =&\,-\int\limits_0^1\phi =-\int\limits_0^2v\phi.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{example}
  Sei $\Omega=(0,2)\subset\R$,
  $$u(x)=\begin{cases}x,&0<x\le1,\\
    2,&1<x<2.\end{cases}$$ Dann besitzt $u$ keine Ableitung im
  schwachen Sinne.
\end{example}
\begin{proof}[Beweis]
  Nehme an, $v\in L^1_\text{loc}$ w\"are eine schwache Ableitung. Dann
  folgt f\"ur alle Testfunktionen $\phi$
  \begin{align*}
    -\int\limits_0^2v\phi=&\,\int\limits_0^2u\phi'
    =\int\limits_0^1x\phi'+2\int\limits_1^2\phi'\umbruch\\
    =&\,-\int\limits_0^1\phi+x\phi|_{x=1}-x\phi|_{x=0}
    +2\phi(2)-2\phi(1)
    =-\int\limits_0^1\phi-\phi(1).
  \end{align*}
  Sei $\phi_m$ eine Folge von Testfunktionen mit $0\le\phi_m\le 1$,
  $\phi_m(1)=1$, $\phi_m(x)\to0$ f\"ur $x\neq1$. Dann gilt f\"ur
  $m\to\infty$
  $$\xymatrix{
    {-\int\limits_0^2v\phi_m}\ar[d]\ar@{=}[r]&
    {-\int\limits_0^1\phi_m-\phi_m(1)}\ar[d]\\
    0&\rule{3em}{0ex}0-1=-1.}$$ Daher kann es keine solche Funktion
  $v$ geben.
\end{proof}

\begin{definition}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Seien $k\in\N$, $1\le p\le\infty$, $\Omega\subset\R^n$ offen.
    Wir definieren
    $$W^{k,p}(\Omega):=
    \left\{u\in L^1_\text{loc}(\Omega):D^\alpha u\in L^p(\Omega)
      \text{ im schwachen Sinn f\"ur alle }|\alpha|\le k\right\}.$$
  \item Die R\"aume $H^k(\Omega):=W^{k,2}(\Omega)$ und
    $H^0(\Omega)=L^2(\Omega)$ sind, wie wir sp\"ater sehen werden,
    Hilbertr\"aume.
  \item F\"ur $u$, $v\in W^{k,p}(\Omega)$ schreiben wir $u=v$, falls
    $u=v$ in $L^1_\text{loc}(\Omega)$, d.\,h., falls $u=v$ fast
    \"uberall gilt.
  \item Wir definieren die folgende Norm
    $$\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}:=
    \begin{cases}
      \infty,&u\not\in W^{k,p}(\Omega),\\
      \left(\sum\limits_{|\alpha|\le k}\int\limits_\Omega \left\vert
          D^\alpha u\right\vert^p\right)^{1/p},&
      1\le p<\infty,\\
      \sum\limits_{|\alpha|\le k}\sup\limits_\Omega \left\vert
        D^\alpha u\right\vert,&p=\infty.
    \end{cases}$$ Hier benutzen wir das wesentliche Supremum. Mit
    dieser Norm wird der Raum $W^{k,p}(\Omega)$ zu einem Banachraum.
    Dies beweisen wir sp\"ater.
  \item $u\in W^{k,p}_\text{loc}(\Omega)$, falls $u\in
    W^{k,p}(\Omega')$ f\"ur alle $\Omega'\Subset\Omega$ gilt.
  \item Wir schreiben $u_m\to u$ in $W^{k,p}(\Omega)$, falls
    $$\Vert u_m-u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}\to0$$
    und $u_m\to u$ in $W^{k,p}_\text{loc}(\Omega)$, falls
    $$\Vert u_m-u\Vert_{W^{k,p}(\Omega')}\to0$$
    f\"ur alle $\Omega'\Subset\Omega$.
  \item Wir definieren
    $$W^{k,p}_0(\Omega):={\ol{C^\infty_c(\Omega)}}^{W^{k,p}(\Omega)}.$$
    Wir bemerken, dass es somit zu jedem $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$
    Funktionen $u_m\in C^\infty_c(\Omega)$ mit $u_m\to u$ in
    $W^{k,p}(\Omega)$ gibt. Unter geeigneten Voraussetzungen gilt
    f\"ur $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ auch $D^\alpha u=0$ auf
    $\partial\Omega$ f\"ur alle $|\alpha|\le k-1$. Diese Aussage ist
    nicht trivial, da $\partial\Omega$ eine Nullmenge ist.
  \item $H^k_0(\Omega)=W^{k,2}_0(\Omega)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}
  Sei $\Omega=B_1(0)\subset\R^n$,
  $$u(x)=|x|^{-\alpha}\quad\text{f\"ur }x\neq0.$$
  F\"ur welche Werte von $\alpha>0$, $n$ und $p$ gilt $u\in
  W^{1,p}(\Omega)$?\par
  F\"ur $x\neq 0$ gilt
  \begin{align*}
    u_i(x)=&\,\frac{-\alpha x_i}{|x|^{\alpha+2}},\umbruch\\
    |Du(x)|=&\,\frac{|\alpha|}{|x|^{\alpha+1}}.
  \end{align*}
  Sei $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$ eine Testfunktion und
  $\epsilon>0$. Es folgt
  $$\int\limits_{\Omega\setminus B_\epsilon(0)}u\phi_i
  =-\int\limits_{\Omega\setminus B_\epsilon(0)}u_i\phi
  +\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)}u\phi\cdot\left(-\frac{x_i}{|x|}\right).$$ Wir
  erhalten
  $$\left|\int\limits_{\partial B_\epsilon(0)}u\phi
    \cdot\left(-\frac{x_i}{|x|}\right)
  \right|\le\Vert\phi\Vert_{L^\infty}\cdot\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)} \epsilon^{-\alpha}\le
  c\cdot\epsilon^{n-1-\alpha}\to0$$ f\"ur $\epsilon\searrow0$, falls
  $n-1-\alpha>0$ gilt.\par
  Es gelten die folgenden Integralabsch\"atzungen
  $$\int\limits_{B_1(0)}|Du|\le c\cdot\int\limits_0^1
  r^{-\alpha-1+n-1}dr\le c,$$ falls $-\alpha-1+n>0$ und
  $$\int\limits_{B_1(0)}u\le c\cdot\int\limits_0^1r^{-\alpha+n-1}dr
  \le c,$$ falls $-\alpha+n>0$ ist. Die entsprechenden Integrale
  werden klein, wenn wir nur \"uber eine Umgebung des Ursprungs
  integrieren. Somit erhalten wir f\"ur $\epsilon\searrow0$
  $$\int\limits_\Omega u\phi_i=-\int\limits_\Omega u_i\phi$$
  f\"ur alle Testfunktionen $\phi$. $u_i(0)$ ist frei w\"ahlbar.
  Aufgrund der Eindeutigkeit der Ableitung ist die schwache Ableitung
  au\ss{}erhalb des Ursprungs gleich der klassischen Ableitung. Die
  obigen Rechnungen zeigen, dass $u$ in ganz $\Omega$ schwach
  differenzierbar ist.\par
  Wann sind $u$ und $Du\in L^p$? Es gilt
  $$\int\limits_{B_1(0)}|u|^p=c\cdot\int\limits_0^1 
  r^{-\alpha p+n-1}<\infty
  \Longleftrightarrow-\alpha p+n>0$$ und
  $$\int\limits_{B_1(0)}|Du|^p=c\cdot\int\limits_0^1 r^{-\alpha
    p-p+n-1}<\infty \Longleftrightarrow-\alpha p-p+n>0.$$ Die letzte
  Bedingung ist am einschr\"ankendsten. Somit gilt
  $$u\in W^{1,p}(\Omega)\Longleftrightarrow\alpha<
  \frac{n-p}p$$ und f\"ur $p\ge n$ ist $u(x)$ in keinem
  $W^{1,p}(\Omega)$-Raum.
\end{example}

\begin{remark}
  Sei $y_k$ eine dichte Folge in $B_1(0)$. Dann ist
  $$u(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1{2^k}|x-y_k|^{-\alpha}\in
  W^{1,p}(B_1(0)),$$ falls $\alpha<\frac{n-p}p$. (Um einfach
  nachzuweisen, dass nicht nur die endlichen Summen in
  $W^{1,p}(B_1(0))$ sind, benutzt man am besten die Vollst\"andigkeit
  von $W^{1,p}(B_1(0))$, die wir in Theorem \ref{Wkp BR} zeigen
  werden.)  Es ist also m\"oglich, dass eine Funktion $u\in W^{1,p}$
  auf einer dichten Teilmenge unbeschr\"ankt wird (selbst wenn man $u$
  auf einer Nullmenge ab\"andert).
\end{remark}

\begin{theorem}[Eigenschaften schwacher Ableitungen]
  Seien $u$, $v\in W^{k,p}(\Omega)$. Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $D^\alpha u\in W^{k-|\alpha|,p}(\Omega)$ und
    $D^\beta\left(D^\alpha u\right)=D^\alpha\left(D^\beta u\right)
    =D^{\alpha+\beta}u$ f\"ur $|\alpha|+|\beta|\le k$.
  \item $\lambda$, $\mu\in\R$ $\Longrightarrow$ $\lambda u+\mu v\in
    W^{k,p}(\Omega)$ und $D^\alpha(\lambda u+\mu v)=\lambda D^\alpha
    u+\mu D^\alpha v$.
  \item Ist $\Omega'\subset\Omega$ offen, so folgt $u\in
    W^{k,p}(\Omega')$.
  \item Ist $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$, so folgt $\zeta u\in
    W^{k,p}(\Omega)$ und es gilt die Leibnizregel
    $$D^\alpha(\zeta u)=\sum\limits_{\beta\le\alpha}
    \genfrac{(}{)}{0pt}{}{\alpha}{\beta}D^\beta\zeta
    D^{\alpha-\beta}u,$$ wobei
    $$\genfrac{(}{)}{0pt}{}{\alpha}{\beta}
    =\frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}$$ ist und
    $\alpha!:=\alpha_1!\cdot\ldots\cdot\alpha_n!$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$. Dann ist auch
    $D^\beta\phi\in C^\infty_c(\Omega)$. Somit gilt
    \begin{align*}
      \int\limits_\Omega D^\alpha uD^\beta\phi=&\,
      (-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega uD^{\alpha+\beta}\phi\umbruch\\
      =&\,(-1)^{|\alpha|}(-1)^{|\alpha+\beta|}\int\limits_\Omega
      D^{\alpha+\beta}u\phi\umbruch\\
      =&\,(-1)^{|\beta|}\int\limits_\Omega D^{\alpha+\beta}u\phi.
    \end{align*}
    Somit gilt $D^\beta\left(D^\alpha u\right)=D^{\alpha+\beta}u$ im
    schwachen Sinne.
  \item Ist klar.
  \item Ist klar.
  \item Seien $|\alpha|=1$ und $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$.  Dann
    gilt
    \begin{align*}
      \int\limits_\Omega\zeta uD^\alpha\phi=&\, \int\limits_\Omega
      uD^\alpha(\zeta\phi)
      -\int\limits_\Omega u\left(D^\alpha\zeta\right)\phi\umbruch\\
      =&\,-\int\limits_\Omega D^\alpha u\zeta\phi
      -\int\limits_\Omega u\left(D^\alpha\zeta\right)\phi\umbruch\\
      =&\,-\int\limits_\Omega\left(\zeta D^\alpha
        u+uD^\alpha\zeta\right)\phi.
    \end{align*}
    Somit gilt nun
    $$D^\alpha(\zeta u)=\zeta D^\alpha u+uD^\alpha\zeta.$$
    Der Rest folgt nun per Induktion wie f\"ur klassisch
    differenzierbare Funktionen.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{Wkp BR}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Dann ist $W^{k,p}(\Omega)$ f\"ur
  $k\in\N$ und $1\le p\le\infty$ ein Banachraum.
\end{theorem}

\begin{remark}
  Dies ist f\"ur $k=0$ bekannt. Dann gilt n\"amlich
  $W^{0,p}(\Omega)=L^p(\Omega)$.
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{Wkp BR}]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir wollen zun\"achst zeigen, dass
    $\Vert\cdot\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}$ eine Norm ist: Es ist nur die
    Dreiecksungleichung im Falle $p<\infty$ nachzuweisen. Seien also
    $u$, $v\in W^{k,p}(\Omega)$. Dann gilt
    \begin{align*}
      \Vert u+v\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}=&\,
      \left(\sum\limits_{|\alpha|\le k}
        \Vert D^\alpha u+D^\alpha
        v\Vert^p_{L^p(\Omega)}\right)^{1/p}\umbruch\\ 
      \le&\,\left(\sum\limits_{|\alpha|\le k} \left(\Vert D^\alpha
          u\Vert_{L^p}
          +\Vert D^\alpha v\Vert_{L^p}\right)^p\right)^{1/p},\\
      &\,\text{da die Dreiecksungleichung in $L^p$ gilt,}\umbruch\\
      \le&\,\left(\sum\limits_{|\alpha|\le k} \Vert D^\alpha
        u\Vert^p_{L^p}\right)^{1/p} +\left(\sum\limits_{|\alpha|\le k}
        \Vert D^\alpha v\Vert^p_{L^p}\right)^{1/p},\\
      &\,\text{da $\left(\R^l,\Vert\cdot\Vert_{l^p}\right)$ ein
        Banachraum ist.}\umbruch\\
      =&\,\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}+\Vert v\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}.
    \end{align*}
  \item Zur Vollst\"andigkeit: Sei $u_m$ eine Cauchyfolge in
    $W^{k,p}(\Omega)$. Dann ist auch $D^\alpha u_m$ eine Cauchyfolge
    in $L^p(\Omega)$ f\"ur alle $|\alpha|\le k$. Somit existiert f\"ur
    alle $\alpha$ mit $|\alpha|\le k$ ein Grenzwert,
    \begin{align*}
      D^\alpha u_m\to&\,u_\alpha,\\
      u_m\to&\,u.
    \end{align*}
    Es fehlt nun noch der Nachweis, dass die Grenzwertbildung mit dem
    Ableiten vertauscht, also dass $u_\alpha=D^\alpha u$ gilt.  F\"ur
    alle $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$ gilt
    $$\begin{xy}
      \xymatrix{ \int\limits_\Omega u_mD^\alpha\phi \ar@{=}[r]\ar[d]&
        (-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega D^\alpha u_m\phi\ar[d]\\
        \int\limits_\Omega uD^\alpha\phi\ar@{=}[r]&
        (-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega u_\alpha\phi.}
    \end{xy}$$ Die Konvergenz folgt hier, da $\phi$ in jedem
    $L^q$-Raum ist. Somit ist $D^\alpha u=u_\alpha$ und es gilt
    $u_m\to u\in W^{k,p}(\Omega)$.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Approximierbarkeit}
In glatten beschr\"ankten Gebieten lassen sich $W^{k,p}$-Funktionen
durch glatte Funktionen in der $W^{k,p}$-Norm approximieren.

\begin{theorem}[Lokale Approximierbarkeit durch glatte Funktionen]
  \label{lok approx}\neueZeilealt
  Sei $u\in W^{k,p}(\Omega)$, $\Omega\subset\R^n$ offen und $1\le
  p<\infty$. Sei $\eta$ eine Friedrichsche Gl\"attungsfunktion,
  $\eta_\epsilon$ die zugeh\"orige Diracfolge. Sei
  $$\Omega_\epsilon:=\{x\in\Omega:\dist(x,\partial\Omega)>\epsilon\}.$$
  Dann ist
  $$u^\epsilon=\eta_\epsilon*u\in C^\infty(\Omega_\epsilon)$$
  und es gilt
  $$u^\epsilon\to u\text{ in }W^{k,p}_{\text{loc}}(\Omega)$$
  f\"ur $\epsilon\to0$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Regularit\"atsaussage ist bekannt.  Sei also $|\alpha|\le
  k$. Wir behaupten, dass
  $$D^\alpha u^\epsilon=\eta_\epsilon*D^\alpha u\text{ in }
  \Omega_\epsilon$$ gilt, dass also Gl\"atten und schwaches Ableiten
  kommutieren.  F\"ur $x\in\Omega_\epsilon$ gilt
  \begin{align*}
    D^\alpha u^\epsilon(x)=&\,D^\alpha\int\limits_\Omega
    \eta_\epsilon(x-y)u(y)dy
    =\int\limits_\Omega D^\alpha_x\eta_\epsilon(x-y)u(y)dy\umbruch\\
    =&\,(-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega D^\alpha_y\eta_\epsilon(x-y)
    u(y)dy
    =\int\limits_\Omega\eta_\epsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy,
  \end{align*}
  da $y\mapsto\eta_\epsilon(x-y)$ f\"ur festes $x\in\Omega_\epsilon$
  eine Testfunktion ist. Somit folgt
  $$D^\alpha u^\epsilon(x)=\left(\eta_\epsilon*D^\alpha u\right)(x).$$
  Sei nun $\Omega'\Subset\Omega$. Da die Mollifizierungen in $L^p$
  konvergieren, erhalten wir
  $$D^\alpha u^\epsilon\to D^\alpha u\text{ in }L^p(\Omega').$$
  Also konvergiert jeder Bestandteil der Norm und es gilt auch
  \[u^\epsilon\to u\text{ in } W^{k,p}(\Omega').\qedhere\]
\end{proof}

\begin{remark}
  Dies funktioniert im Falle $p=\infty$ nicht, da sich
  $L^\infty$-Funk\-tion\-en i.\,a.\ aufgrund ihrer Sprungstellen nicht
  durch glatte Funktionen in $L^\infty$ approximieren lassen.
\end{remark}

\begin{theorem}[Globale Approximierbarkeit durch glatte Funktionen]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $u\in
  W^{k,p}(\Omega)$ f\"ur $1\le p<\infty$. Dann gibt es $u_m\in
  C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$, so dass $u_m\to u$ in
  $W^{k,p}(\Omega)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweisskizze]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Zerlege mit Hilfe von Abschneidefunktionen $u$ in Anteile auf
    \glqq Zwiebelschalen\grqq. Betrachte also $u\eta_i$ statt $u$,
    wobei $(\eta_i)$ eine Zerlegung der Eins ist, wobei die Tr\"ager
    dieser Funktionen jeweils in einer festen Anzahl benachbarter
    Zwiebelschalen enthalten sind.
  \item Approximiere dort bis auf einen Fehler $\frac\delta{2^{i+1}}$
    in der $W^{k,p}$-Norm, so dass der Tr\"ager der Approximation
    maximal in zwei zus\"atzliche benachbarte Schichten reicht.
  \item Die Summe der Approximationen ist lokal endlich und daher in
    $C^\infty$. Auf $\Omega'\Subset\Omega$ sch\"atzt man den Fehler in
    der Approximation mit Hilfe der Dreiecksungleichung
    gleichm\"a\ss{}ig in $\Omega'$ nach oben durch $\delta$ ab.  Lasse
    nun $\Omega'\nearrow\Omega$ und erhalte eine bis auf $\delta>0$
    approximierende Funktion.
  \item Verwende nun $\delta>0$ als Folgenindex.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Wir ben\"otigen keine Randregularit\"at von $\Omega$ und bekommen
  daf\"ur nur $u_m\in C^\infty(\Omega)$ und nicht $u_m\in
  C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.
\end{remark}

\begin{theorem}[Globale Approximierbarkeit in
  $C^\infty\left(\ol\Omega\right)$]
  \neueZeilealt
  \label{glob approx thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$. Seien $u\in W^{k,p}(\Omega)$ und $1\le p<\infty$. Dann gibt es
  $u_m\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)\cap W^{k,p}(\Omega)$, so dass
  $$u_m\to u\text{ in }W^{k,p}(\Omega).$$
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{glatt approx eins} Sei $x_0\in\partial\Omega$. Da
    $\partial\Omega$ von der Klasse $C^1$ ist, existiert (nach
    Umbenennen der Koordinatenachsen) eine Funktion
    $\gamma:\R^{n-1}\to\R$ von der Klasse $C^1$, so dass
    $$\Omega\cap B_r(x_0)=\{x\in 
    B_r(x_0):x^n>\gamma(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1})\}$$ gilt. Definiere
    $V:=\Omega\cap B_{r/2}(x_0)$.
  \item Definiere f\"ur $x\in V$ und $\epsilon>0$ den Punkt
    $x^\epsilon:=x+\lambda\epsilon e_n$. Da $\partial\Omega$ von der
    Klasse $C^1$ ist, existiert ein $\lambda=\lambda(|D\gamma|)\gg1$,
    so dass $B_\epsilon(x^\epsilon)\subset\Omega\cap B_r(x_0)$ f\"ur
    $x\in V$ gilt, falls $\epsilon>0$ klein genug ist. Definiere
    $u_\epsilon(x):=u(x^\epsilon)$ f\"ur alle $x$ mit
    $x^\epsilon\in\Omega$, die um $\lambda\epsilon$ in Richtung $e_n$
    verschobene Funktion. Mollifiziere und definiere
    $v^\epsilon:=\eta_\epsilon*u_\epsilon$. Dies ist f\"ur
    $\lambda\gg1$ in der Menge $V$ wohldefiniert. Wir erhalten
    insbesondere $v^\epsilon\in C^\infty\left(\ol V\right)$.
  \item Sei $|\alpha|\le k$. Wir erhalten
    $$\Vert D^\alpha v^\epsilon-D^\alpha u\Vert_{L^p(V)}\le
    \Vert D^\alpha v^\epsilon-D^\alpha u_\epsilon\Vert_{L^p(V)} +\Vert
    D^\alpha u_\epsilon-D^\alpha u\Vert_{L^p(V)}.$$ Wie in Theorem
    \ref{lok approx} sehen wir, dass $D^\alpha v^\epsilon-D^\alpha
    u_\epsilon\to 0$ in $L^p$ gilt. Weiterhin gilt $D^\alpha
    u_\epsilon-D^\alpha u\to0$ in $L^p$, da Translationen in $L^p$
    stetig sind. Hieraus folgt dann $v^\epsilon\to u$ in $W^{k,p}(V)$.
    \par
    Wir wollen noch genauer begr\"unden, warum Translationen in $L^p$
    f\"ur $1\le p<\infty$ stetige Abbildungen sind. Seien also
    $\delta>0$ und $u\in L^p$ vorgegeben. Wir wollen nachweisen, dass
    $u(\cdot)-u(\cdot-h)\to0$ f\"ur $|h|\to 0$ in $L^p$
    gilt. Approximiere dazu zun\"achst die Funktion $u$ bis auf
    $\delta/3$ in $L^p$ durch eine glatte Funktion.  Das Ergebnis,
    $\tilde u$, hat einen beschr\"ankten Gradienten, wobei die
    Schranke von der Approximation abh\"angt. Dies funktioniert so nur
    auf beschr\"ankten Gebieten. Auf unbeschr\"ankten Gebieten sind
    aber die Beitr\"age zum $L^p$-Integral au\ss{}erhalb einer
    gro\ss{}en Kugel ohnehin klein und k\"onnen direkt abgesch\"atzt
    werden.  Da Translationen f\"ur Funktionen mit beschr\"anktem
    Gradienten in $L^p$ stetig sind, erhalten wir $\tilde
    u(\cdot)-\tilde u(\cdot-h)\to0$ f\"ur $|h|\to0$ in $L^p$. Wir
    w\"ahlen nun $|h|$ so klein, dass auch diese Differenz durch
    $\delta/3$ beschr\"ankt ist. Wir erhalten somit
    \begin{align*}
      \Vert u(\cdot)-u(\cdot-h)\Vert_{L^p}\le&\, \Vert u(\cdot)-\tilde
      u(\cdot)\Vert_{L^p}
      +\Vert\tilde u(\cdot)-\tilde u(\cdot-h)\Vert_{L^p}\\
      &\,\quad+\Vert\tilde u(\cdot-h)-u(\cdot-h)\Vert_{L^p}\umbruch\\
      \le&\,\delta/3+\delta/3+\delta/3=\delta.
    \end{align*}
  \item Sei nun $\delta>0$. Da $\Omega$ beschr\"ankt ist, existieren
    endlich viele Punkte $x_i^0\in\partial\Omega$ und Radien $r_i>0$,
    so dass $V_i=\Omega\cap B_{r_i/2}(x^0_i)$ wie in \eqref{glatt
      approx eins} ist und
    $\partial\Omega\subset\bigcup\limits_{i=1}^N B_{r_i/2}(x^0_i)$
    gilt. Wie oben gezeigt, gibt es also $v_i\in C^\infty\left(\ol
      V_i\right)$ mit $\Vert
    v_i-u\Vert_{W^{k,p}(V_i)}\le\delta$. W\"ahle noch
    $V_0\Subset\Omega$, so dass
    $\Omega\subset\bigcup\limits_{i=0}^NV_i$ gilt. Nach Theorem
    \ref{lok approx} gibt es $v_0\in C^\infty\left(\ol V_0\right)$ mit
    $\Vert v_0-u\Vert_{W^{k,p}(V_0)}\le\delta$.
  \item Sei nun $\zeta_i$ eine den Mengen $\tilde V_i=\ol\Omega\cap
    B_{r/2}(x_i^0)$ und $\tilde V_0=V_0$ untergeordnete glatte
    Zerlegung der Eins. Definiere
    $v:=\sum\limits_{i=0}^N\zeta_iv_i$. Es gilt $v\in
    C^\infty\left(\ol\Omega\right)$. Sei $|\alpha|\le k$. Wir erhalten
    die Absch\"atzung
    \begin{align*}
      \Vert D^\alpha v-D^\alpha u\Vert_{L^p(\Omega)}=&\,
      \left\Vert\sum\limits_{i=0}^ND^\alpha(\zeta_iv_i)-
        \sum\limits_{i=0}^ND^\alpha(\zeta_iu)
      \right\Vert_{L^p(\Omega)}\umbruch\\
      \le&\,\sum\limits_{i=0}^N\Vert D^\alpha(\zeta_iv_i)
      -D^\alpha(\zeta_iu)\Vert_{L^p(V_i)}\umbruch\\
      \le&\,c\cdot\sum\limits_{i=0}^N\Vert
      v_i-u\Vert_{W^{k,p}(V_i)}\umbruch\\ 
      \le&\,c\cdot(N+1)\delta,
    \end{align*}
    wobei wir im vorletzten Schritt benutzt haben, dass die
    Ableitungen der Funktionen $\zeta_i$ gleichm\"a\ss{}ig
    beschr\"ankt sind. Die Behauptung folgt.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Fortsetzbarkeitss\"atze}\neueZeilealt
In glatten beschr\"ankten Gebieten lassen sich
$W^{k,p}(\Omega)$-Funktionen nach $\R^n$ als
$W^{k,p}\left(\R^n\right)$-Funktionen mit kompaktem Tr\"ager
fortsetzen, so dass deren Norm durch die ur\-spr\"ung\-li\-che Norm
abgesch\"atzt bleibt.

\begin{theorem}[Fortsetzungssatz]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$.  Sei $V\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\Omega\Subset
  V$. Dann gibt es eine beschr\"ankte lineare Abbildung
  $$E:W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}\left(\R^n\right),\quad1\le p\le\infty,$$
  so dass f\"ur $u\in W^{1,p}(\Omega)$ folgendes gilt
  \begin{itemize}
  \item $Eu=u$ fast \"uberall in $\Omega$,
  \item $\supp(Eu)\subset V$,
  \item $\Vert Eu\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}\le
    c(p,\Omega,V)\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$.
  \end{itemize}
  Die Funktion $Eu$ hei\ss{}t Fortsetzung von $u$ auf $\R^n$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $x_0\in\partial\Omega$. Nehme zun\"achst an, dass lokal
    $\partial\Omega\subset\{x^n=0\}$ gilt. Dann gibt es $r>0$, so dass
    ohne Einschr\"ankung
    \begin{align*}
      B^+:=&\,B_r(x_0)\cap\{x^n\ge0\}\subset\ol\Omega,\umbruch\\
      B^-:=&\,B_r(x_0)\cap\{x^n\le0\}\subset\R^n\setminus\Omega.
    \end{align*}
  \item Nehme zun\"achst an, dass $u\in
    C^\infty\left(\ol\Omega\right)$ gilt. Definiere eine Spiegelung
    von h\"oherer Ordnung durch
    $$\ol u(x):=\begin{cases}
      u(x),&\,x\in B^+,\\
      -3u\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1},\,-x^n\right)
      +4u\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1},\,-\tfrac12x^n\right),&\,x\in B^-.
    \end{cases}$$
  \item Wir behaupten zun\"achst, dass $\ol u\in C^1(B_r(x_0))$ ist.
    Definiere dazu $u^-:=\ol u|_{B^-}$ und $u^+:=\ol u|_{B^+}$. F\"ur
    die Normalenableitungen erhalten wir
    $$\fracp{u^-}{x^n}=
    3\fracp{u}{x^n}\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1},\,-x^n\right) -2\fracp
    u{x^n}\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1},\,-\tfrac12x^n\right).$$ Somit
    gilt auf $\{x^n=0\}\cap B_r(x_0)$ f\"ur die Normalenableitungen
    $u^-_{x^n}=u^+_{x^n}$. Auf der Menge $\{x^n=0\}\cap B_r(x_0)$
    stimmen die Funktionswerte von $u^+$ und $u^-$ und damit auch die
    Tangentialableitungen \"uberein. Somit gilt nach dem
    Hebbarkeitssatz aus Analysis II $\ol u\in C^1(B_r(x_0))$.
  \item Es gilt 
    $$\Vert\ol u\Vert_{W^{1,p}(B_r(x_0))}\le c\cdot
    \Vert u\Vert_{W^{1,p}(B^+)},$$ da in der Definition der Spiegelung
    h\"oherer Ordnung nie weiter als bisher von $\{x^n=0\}$ entfernt
    ausgewertet wird. Da die Spiegelung eine Linearkombination von
    $W^{1,p}$-Funktionen ist und da das neue Argument die Norm
    h\"ochstens um eine Konstante vergr\"o\ss{}ert, folgt die
    Behauptung.
  \item Ist der Rand nicht eben/flach, so biegt man den Rand
    zun\"achst flach, setzt dann fort und transformiert
    anschlie\ss{}end zur\"uck.
  \item Da sich der Rand nicht mit einer solchen Umgebung \"uberdecken
    l\"a\ss{}t, zerlegt man die Funktion zun\"achst mit einer
    geeigneten Zerlegung der Eins und baut das Resultat
    anschlie\ss{}end wieder zusammen.
  \item Durch Multiplikation mit einer Abschneidefunktion, die Null
    wird bevor man Stellen erreicht, an denen $u$ nicht mehr von der
    Klasse $C^1$ ist, stellt man
    sicher, dass der Tr\"ager der fortgesetzten Funktion nicht zu
    gro\ss{} wird.
  \item Wir erhalten also die Absch\"atzung
    $$\Vert\ol u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}\le c\cdot\Vert 
    u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)},$$ falls $u\in
    C^\infty\left(\ol\Omega\right)$ ist. Die Details zu den letzten
    Schritten sind eine \"Ubung.
  \item Seien nun $1\le p<\infty$ und $u\in W^{1,p}(\Omega)$. Wir
    approximieren $u$ durch Funktionen $u_m\in C^\infty\left(\ol
      u\right)$ in $W^{1,p}(\Omega)$. Nach \"Ubergang zu einer
    Teilfolge d\"urfen wir $u_m\to u$ fast \"uberall in $\Omega$
    annehmen. Damit folgt sp\"ater $Eu=u$ in $\Omega$. Die Abbildung
    $v\mapsto Ev:=\ol v$ ist ein linearer Operator. Die Stetigkeit
    folgt dabei aus der obigen Absch\"atzung f\"ur glatte
    Funktionen. Diese Absch\"atzung liefert aber auch
    $$\Vert Eu_m-Eu_l\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
    \Vert u_m-u_l\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}.$$ Daher ist $Eu_m$ eine
    Cauchyfolge in $W^{1,p}\left(\R^n\right)$. Wir definieren nun $\ol
    u=Eu$ als den Grenzwert dieser Folge. $Eu$ ist von der Wahl der
    approximierenden Folge unabh\"angig und die gesuchte
    Fortsetzung. Die Normabsch\"atzung f\"ur $Eu$ folgt durch
    Grenz\"ubergang. 
  \item Der Fall $p=\infty$ ist ebenfalls eine \"Ubung.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  F\"ur $\partial\Omega\in C^2$ funktioniert die obige Konstruktion
  auch noch f\"ur $W^{2,p}(\Omega)$-Funktionen. % nicht gecheckt.
  Dabei bleibt eine $C^2$-Funktion jedoch nicht in dieser Klasse.\par
  Mit Hilfe von Spiegelungen h\"oherer Ordnung kann man analog aber
  auch Fortsetzungsoperatoren f\"ur die R\"aume $W^{k,p}$
  konstruieren. Dies bleibt als \"Ubung.
  % Hinweise f\"ur einen geeigneten Ansatz: Vermutlich GTBook oder 
  % EvansPDE.
\end{remark}

\subsection{Spuren von Sobolevfunktionen}
Wir wollen Randwerte von $W^{1,p}$-Funk\-tio\-nen definieren. Diese
Funktionen sind i.\,a.\ nicht stetig und $\partial\Omega$ ist eine
Nullmenge.

Sei $\Omega$ beschr\"ankt.  Ist $u\in W^{1,p}(\Omega)$ mit
$\partial\Omega\in C^1$, $1\le p<\infty$, so besitzt $u$ Randwerte als
$L^p$-Funktion.

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$ und $1\le p<\infty$. Dann gibt es einen beschr\"ankten linearen
  Operator
  $$T:W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\partial\Omega),$$
  so dass $Tu=u|_{\partial\Omega}$, falls $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap 
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ ist und 
  $$\Vert Tu\Vert_{L^p(\partial\Omega)}\le c(p,\Omega)\cdot
  \Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$$
  f\"ur $u\in W^{1,p}(\Omega)$ gilt.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nehme zun\"achst an, dass $u\in C^1\left(\ol\Omega\right)$
    ist, dass $\partial\Omega$ in der N\"ahe eines Randpunktes
    $x_0\in\partial\Omega$ flach ist, lokal also
    $\partial\Omega\subset\{x^n=0\}$ gilt. W\"ahle nun $r>0$ so, dass
    $B_r(x_0)\cap\Omega=B_r(x_0)\cap\{x^n>0\}$ gilt. Definiere $\hat
    B:=B_{r/2}(x_0)$ und $B:=B_r(x_0)$. Setze weiterhin
    $\Gamma:=\partial\Omega\cap\{x^n=0\}\cap\hat B$ und
    $(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1})=\hat x\in\R^{n-1}=\{x^n=0\}$, wobei das
    letzte Gleichheitszeichen die Identifikation der beiden Mengen
    andeutet.\par
    Sei $\zeta\in C^\infty_c(B)$, $\zeta\ge0$ und $\zeta=1$ in $\hat
    B$.  Setze $B^+:=B\cap\Omega$. Wir erhalten die Ab\-sch\"atz\-ung
    \begin{align*}
      \int\limits_\Gamma|u|^pd\hat x\le&\,
      \int\limits_{\{x^n=0\}}\zeta\cdot|u|^pd\hat x\umbruch\\
      =&\,-\int\limits_{B^+}\left(\zeta|u|^p\right)_{x^n}dx
      \quad\text{(Hauptsatz)}\umbruch\\
      \le&\,\int\limits_{B^+}|D\zeta|\cdot|u|^p+p|u|^{p-1}|Du|
      \zeta\umbruch \intertext{(f\"ur $p=1$ erh\"alt man dieselbe
        obere Absch\"atzung mit $\pm\zeta u$ punktweise und integriert
        dann in $\hat x$)}
      \le&\,c\cdot\int\limits_{B^+}|u|^p+|Du|^p\quad\left(\text{Young,
        } \tfrac{p-1}p+\tfrac1p=1\right).
    \end{align*}
  \item F\"ur ein allgemeines $C^1$-Gebiet $\Omega$, eine kleine
    Umgebung $\Gamma$ von $x_0\in\partial\Omega$ in $\partial\Omega$
    erh\"alt man durch Aufbiegen ebenfalls
    $$\int\limits_\Gamma|u|^p\le c\cdot\int\limits_\Omega|u|^p+|Du|^p.$$
  \item \"Uberdecke nun $\partial\Omega$ mit solchen Randst\"ucken
    $\Gamma$, zerlege mit Hilfe einer Zerlegung der Eins und erhalte
    $$\Vert u\Vert_{L^p(\partial\Omega)}\le c\cdot
    \Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)},$$ falls $u\in
    C^1\left(\ol\Omega\right)$ ist. Definiere
    $Tu:=u|_{\partial\Omega}$ f\"ur $u\in
    C^1\left(\ol\Omega\right)$. Es folgt
    $$\Vert Tu\Vert_{L^p(\partial\Omega)}\le 
    c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)},$$ falls $u\in
    C^1\left(\ol\Omega\right)$ ist. Wir bemerken, dass $T$ ein
    linearer Operator ist.
  \item Sei nun $u\in W^{1,p}(\Omega)$ beliebig. Sei $u_m\in
    C^\infty\left(\ol\Omega\right)$ eine approximierende Folge, also
    $u_m\to u$ in $W^{1,p}(\Omega)$. Wir erhalten $$\Vert
    Tu_m-Tu_l\Vert_{L^p(\partial\Omega)}\le c\cdot\Vert
    u_m-u_l\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}.$$ Daher ist $Tu_m$ eine
    Cauchyfolge in $L^p(\partial\Omega)$.  Wir definieren also
    $$Tu:=\lim\limits_{m\to\infty}Tu_m\text{ in }L^p(\partial\Omega).$$
    Diese Definition ist unabh\"angig von der approximierenden Folge
    $u_m$. Die Norm\-ab\-sch\"atz\-ung f\"ur $Tu$ folgt durch
    Grenz\"ubergang.
  \item Sei schlie\ss{}lich $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap
    C^0\left(\ol\Omega\right)$. Die in Theorem \ref{glob approx thm}
    konstruierte Folge ist so definiert, dass sie in diesem Falle auf
    ganz $\ol\Omega$ gleichm\"a\ss{}ig gegen $u$ konvergiert. Daher
    folgt hier $Tu=u|_{\partial\Omega}$. Da der Grenzwert aber von der
    approximierenden Folge unabh\"angig ist, gilt dies auch, wenn man
    andere approximierende Folgen verwendet.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{aequi rw null}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$ und $1\le p<\infty$. Sei $u\in W^{1,p}(\Omega)$. Dann gilt
  $$u\in W^{1,p}_0(\Omega)\quad\Longleftrightarrow\quad Tu=0\text{ auf } 
  \partial\Omega. $$
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]\neueZeilealt
  \Hinrichtung Sei zun\"achst $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$. Dann gibt es
  nach Definition der $W^{1,p}_0(\Omega)$-Funktionen eine Folge von
  Funktionen $u_m\in C^\infty_c(\Omega)$, so dass $u_m\to u$ in
  $W^{1,p}(\Omega)$. F\"ur alle Folgenglieder gilt $Tu_m=0$ auf
  $\partial\Omega$. Da $T:W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\partial\Omega)$ ein
  stetiger linearer Operator ist, folgt auch $Tu=0$ auf
  $\partial\Omega$.\par
  \Rueckrichtung Sei nun $u\in W^{1,p}(\Omega)$ und gelte $Tu=0$ auf
  $\partial\Omega$.  Wir benutzen eine Zerlegung der Eins und biegen
  den Rand $\partial\Omega$ lokal auf. Daher d\"urfen wir annehmen,
  dass $u\in W^{1,p}\left(\R^n_+\right)\equiv W^{1,p}(\{x^n>0\})$,
  $\supp u\Subset\ol{\R^n_+}$ und $Tu=0$ auf $\partial\R^n_+=\R^{n-1}$
  gelten. Wir wollen nachweisen, dass sich $u$ in
  $W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$ durch
  $C^\infty_c\left(\R^n_+\right)$-Funktionen approximieren l\"a\ss{}t.
  Es gilt $Tu=0$ auf $\R^{n-1}$. Daher gibt es $u_m\in
  C^1\left(\ol{\R^n_+}\right)$, so dass
  \begin{align*}
    u_m\to&\,u\,\text{ in }W^{1,p}\left(\R^n_+\right),\umbruch\\
    Tu_m=u_m|_{\R^{n-1}}\to&\,0\,\text{ in
    }L^p\left(\R^{n-1}\right).
  \end{align*}
  Sei nun $\hat x\in\R^{n-1}$ und $x^n\ge0$. Mit Hilfe des Hauptsatzes
  der Differential- und Integralrechnung erhalten wir
  $$|u_m(\hat x,x^n)|\le|u_m(\hat x,0)|+\int\limits_0^{x^n}
  |u_{m,x^n}(\hat x,t)|dt.$$ Wir betrachten die $p$-te Potenz dieser
  Ungleichung und sch\"atzen mit Hilfe der H\"olderschen Ungleichung
  mit den Exponenten $p$ und $\frac p{p-1}$ ab
  \begin{align*}
    \int\limits_{\R^{n-1}}|u_m(\hat x,x^n)|^pd\hat x\le&\,
    c(p)\cdot\int\limits_{\R^{n-1}}|u_m(\hat x,0)|^pd\hat x\\
    &\,\quad+c(p)\cdot\int\limits_{\R^{n-1}}
    \left(\int\limits_0^{x^n}1\cdot|Du_m(\hat x,t)|dt\right)^pd\hat x
    \umbruch\\
    \le&\,c(p)\cdot\int\limits_{\R^{n-1}}|u_m(\hat x,0)|^pd\hat x\\
    &\,\quad+c(p)\cdot(x^n)^{p-1}
    \cdot\int\limits_0^{x^n}\int\limits_{\R^{n-1}} |Du_m(\hat
    x,t)|^pd\hat x\,dt.
  \end{align*}
  % Wir integrieren dies bez\"uglich $x^n$
  % \begin{align*}
  %   \int\limits_0^{x^n}\int\limits_{\R^{n-1}} |u_m(\hat x,t)|^pd\hat
  %   x\,dt\le&\,
  %   c(p)\cdot x^n\cdot\int\limits_{\R^{n-1}}|u_m(\hat x,0)|^pd\hat x\\
  %   &\,\quad+c(p)\int\limits_0^{x^n}t^{p-1}\int\limits_0^t
  %   \int\limits_{\R^{n-1}}|Du_m(\hat x,\tau)|^pd\hat x\,d\tau\,dt.
  % \end{align*}
  F\"ur $m\to\infty$ gilt $u_m\to0$ in
  $L^p\left(\partial\R^n_+\right)$ und $u_m\to u$ in
  $W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$.  Wegen $u_m\to u$ in
  $W^{1,p}(\{x^n>t\})$ ergibt sich $u_m\to u$ in $L^p(\{x^n=t\})$.
  Daher folgt
  \[\int\limits_{\R^{n-1}}
  |u(\hat x,t)|^p\,d\hat x\le
  c(p)t^{p-1}\int\limits_0^t\int\limits_{\R^{n-1}} |Du(\hat
  x,\tau)|^pd\hat x\,d\tau.\] Wir integrieren dies bez\"uglich $t$ und
  erhalten
  \begin{equation}\label{rnd absch}
    \int\limits_0^{x^n}\int\limits_{\R^{n-1}}
    |u(\hat x,t)|^p\,d\hat x\,dt\le
    c(p)\int\limits_0^{x^n}t^{p-1}\int\limits_0^t\int\limits_{\R^{n-1}}
    |Du(\hat x,\tau)|^pd\hat x\,d\tau\,dt.
  \end{equation}
  Definiere nun die approximierenden Funktionen mit Randwerten
  Null. Sei $\zeta\in C^\infty(\R_+)$ mit $0\le\zeta\le 1$ und
  $$\begin{cases}
    \zeta\equiv1&\text{in }[0,1],\\
    \zeta\equiv0&\text{in }\R_+\setminus[0,2].
  \end{cases}$$ Definiere f\"ur $x\in\R^n_+$ Funktionen
  $$\zeta_m(x):=\zeta(mx^n)$$
  und
  $$w_m(x):=u(x)(1-\zeta_m(x)).$$
  Es folgt
  \begin{align*}
    w_{m,x^n}=&\,u_{x^n}(1-\zeta_m)-mu\zeta' \intertext{und} D_{\hat
      x}w_m=&\,D_{\hat x}u(1-\zeta_m).
  \end{align*}
  Zeige nun, dass $w_m\to u$ in $W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$
  konvergiert.  Es gilt $w_m\to u$ in $L^p$ aufgrund der Stetigkeit
  des Integrals bez\"uglich des Integrationsgebietes. Wir sch\"atzen
  wie folgt ab
  $$\int\limits_{\R^n_+}|Dw_m-Du|^p\le 
  c(p)\int\limits_{\R^n_+}|\zeta_m|^p|Du|^p
  +c(p,\zeta)m^p\int\limits_0^{2/m}\int\limits_{\R^{n-1}}|u|^p \equiv
  A+B.$$ Wir benutzen nochmals die Stetigkeit bez\"uglich des
  Integrationsgebietes (oder den Satz von der dominierenden Konvergenz
  mit entsprechend ``abgeschnittenen'' Funktionen) und erhalten
  $A\to0$ f\"ur $m\to\infty$. Das zweite Integral sch\"atzen wir mit
  Hilfe von \eqref{rnd absch} ab
  \begin{align*}
    B\le&\,c\cdot m^p\int\limits_0^{2/m}t^{p-1}\int\limits_0^t
    \int\limits_{\R^{n-1}}|Du(\hat x,\tau)|^pd\hat xd\tau dt\umbruch\\
    \le&\,c\cdot m^p\left(\int\limits_0^{2/m}t^{p-1}dt\right)\cdot
    \left(\int\limits_0^{2/m}\int\limits_{\R^{n-1}}
      |Du(\hat x,t)|^pd\hat xdt\right)\umbruch\\
    \le&\,c\cdot\int\limits_0^{2/m}\int\limits_{\R^{n-1}}
    |Du(\hat x,t)|^pd\hat xdt\umbruch\\
    \to&\,0
  \end{align*}
  f\"ur $m\to\infty$. Wir erhalten also $w_m\to u$ in
  $W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$. Andererseits gilt $w_m=0$ f\"ur
  $0<x^n<1/m$. Daher erh\"alt man durch Mollifizierung der $w_m$ eine
  Folge $u_m\in C^\infty_c\left(\R^n_+\right)$ mit $u_m\to u$ in
  $W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$ und es gilt (wie behauptet) $u\in
  W^{1,p}_0\left(\R^n_+\right)$.
\end{proof}

\section{Sobolevungleichungen und Einbettungss\"atze}

Sobolevr\"aume betten in andere Funktionenr\"aume ein. Diese
Einbettungen $$\left(W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow\,?\right)$$
unterscheiden sich, je nachdem, ob
\begin{itemize}
\item $1\le p<n$,
\item $p=n$ oder 
\item $n<p\le\infty$ 
\end{itemize}
gilt. Es gen\"ugt, die entsprechenden Absch\"atzungen f\"ur glatte
Funktionen zu beweisen, da diese dicht in den entsprechenden
Sobolevfunktionen liegen.

\subsection{Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-Ungleichung}

\begin{definition}
  Sei $1\le p<n$. Der zu $p$ \emph{konjugierte Sobolevexponent} ist
  $p^*=\frac{np}{n-p}$, $\frac1{p^*}=\frac1p-\frac1n$.  Es gilt
  $p^*>p$.
\end{definition}

\begin{theorem}[Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-Ungleichung]
  \label{gn sob ungl}\neueZeilealt
  Sei $1\le p<n$. Dann gibt es eine Konstante $c$, die nur von $p$ und
  $n$ abh\"angt, so dass
  $$\Vert u\Vert_{L^{p^*}(\R^n)}\le c\cdot\Vert Du\Vert_{L^p(\R^n)}$$
  f\"ur alle $u\in C^1_c\left(\R^n\right)$ gilt.
\end{theorem}

\begin{remark} 
  Aufgrund des Skalierungsverhaltens der Ungleichung bei einer
  Funktionenfamilie der Form $u_\lambda(x)=u(\lambda x)$ sieht man
  (\"Ubung), dass solch eine Ungleichung nur f\"ur den hier
  angegebenen Wert von $p^*$ richtig sein kann.
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{gn sob ungl}]
  \emph{Sei zun\"achst $p=1$.} Da $u$ kompakten Tr\"ager hat, folgt
  f\"ur festes $i\in\{1,\,\ldots,\,n\}$ und $x\in\R^n$
  $$u(x)=\int\limits_{-\infty}^{x^i}u_i\left(x^1,\,\ldots,\,x^{i-1},\,
    y^i,\,x^{i+1},\,\ldots,\,x^n\right)dy^i.$$ Wir schlie\ss{}en
  hieraus zun\"achst, dass
  $$|u(x)|\le\int\limits_{-\infty}^\infty
  \left|Du\left(x^1,\ldots,y^i,\ldots,x^n\right)\right|dy^i$$ gilt und
  erhalten somit auch
  $$|u(x)|^{\frac n{n-1}}\le\prod\limits_{i=1}^n
  \left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty
    |Du(x^1,\ldots,y^i,\ldots,x^n)|dy^i\right)^{\frac1{n-1}}.$$ Diese
  Ungleichung integrieren wir nun bez\"uglich der Variablen $x^1$
  \begin{align*}
    \int\limits_{-\infty}^\infty|u|^{\frac n{n-1}}\,dx^1\le&\,
    \int\limits_{-\infty}^\infty\prod\limits_{i=1}^n
    \left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty
      |Du|\,dy^i\right)^{\frac1{n-1}}dx^1\\ 
    =&\,\left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty
      |Du|\,dy^1\right)^{\frac1{n-1}}\cdot 
    \int\limits_{-\infty}^\infty\prod\limits_{i=2}^n
    \left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,
      dy^i\right)^{\frac1{n-1}}dx^1\\ 
    &\,\text{da im ersten Faktor nun keine $x^1$-Abh\"angigkeit mehr
      vorliegt}\umbruch\\
    \le&\,\left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|
      \,dy^1\right)^{\frac1{n-1}}\cdot 
    \left(\prod\limits_{i=2}^n\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty
      \int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,dx^1\,dy^i\right)^{\frac1{n-1}}
  \end{align*}
  aufgrund der verallgemeinerten H\"olderschen Ungleichung, angewandt
  auf den zweiten Faktor f\"ur die Variable $x^1$.\par
  Wir fahren nun analog zu dieser Rechnung fort. Zun\"achst
  integrieren wir be\-z\"ug\-lich $x^2$, ziehen wieder einen Faktor,
  in dem kein $x^2$ vorkommt, nach vorne und verwenden dann f\"ur den
  Rest wiederum die verallgemeinerte H\"oldersche Ungleichung
  \begin{align*}
    \int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty
    |u|^{\frac n{n-1}}&\,dx^1\,dx^2\le
    \left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty
      |Du|\,dx^1\,dy^2\right)^{\frac1{n-1}}\cdot\\
    &\,\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty
    \left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|
      \,dy^1\right)^{\frac1{n-1}}\cdot \left(\prod\limits_{i=3}^n
      \;\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,
      dx^1\,dy^i\right)^{\frac1{n-1}}dx^2\umbruch\\
    \le&\,\left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty
      \int\limits_{-\infty}^\infty 
      |Du|\,dx^1\,dy^2\right)^{\frac1{n-1}}\cdot
    \left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty
      |Du|\,dy^1\,dx^2\right)^{\frac1{n-1}}\cdot\\
    &\,\quad\cdot
    \prod\limits_{i=3}^n\left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty
      \int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty
      |Du|\,dx^1\,dx^2\,dy^i\right)^{\frac1{n-1}}.
  \end{align*}
  Per Induktion erh\"alt man hieraus durch weitere Integrationen die
  Ungleichung
  \begin{align*}
    \int\limits_{\R^n}|u|^{\frac n{n-1}}\le&\,
    \prod\limits_{i=1}^n\left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty\cdots
      \int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,dx^1\ldots\,dy^i\ldots\,dx^n
    \right)^{\frac1{n-1}}\umbruch\\
    =&\,\left(\;\int\limits_{\R^n}|Du|\right)^{\frac n{n-1}}.
  \end{align*}
  Dies ist gerade die behauptete Ungleichung im Falle $p=1$
  $$\Vert u\Vert_{L^{\frac n{n-1}}\left(\R^n\right)}\le
  \Vert Du\Vert_{L^1\left(\R^n\right)}.$$
  \emph{Sei nun $1<p<n$ beliebig.} F\"ur $\gamma>1$ ist (wie man leicht
  direkt nachrechnet) mit $u$ auch $|u|^\gamma\in
  C^1_c\left(\R^n\right)$.  Aus der obigen Ungleichung im Falle $p=1$
  erhalten wir mit Hilfe der H\"olderschen Ungleichung
  $\left(\frac1p+\frac{p-1}p=1\right)$
  \begin{align*}
    \left(\;\int\limits_{\R^n}|u|^{\frac{\gamma n}{n-1}}
    \right)^{\frac{n-1}n}\le&\,
    \int\limits_{\R^n}\left|D|u|^\gamma\right|\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{\R^n}\gamma\cdot|u|^{\gamma-1}|Du|\umbruch\\
    \le&\,\gamma\cdot\left(\;\int\limits_{\R^n}|u|^{(\gamma-1)\frac
        p{p-1}} \right)^{\frac{p-1}p}\cdot
    \left(\;\int\limits_{\R^n}|Du|^p\right)^{1/p}.
  \end{align*}
  Wir w\"ahlen nun $\gamma$ so, dass die Exponenten in den Integralen
  mit $|u|$ \"ubereinstimmen, also so dass
  $$\frac{\gamma n}{n-1}=(\gamma-1)\frac p{p-1}$$
  gilt. Dies ist der Fall f\"ur
  $$\gamma=\frac{p(n-1)}{n-p}>1.$$
  Mit dieser Wahl von $\gamma$ gilt dann auch
  $$\frac{\gamma n}{n-1}=\frac{pn}{n-p}=(\gamma-1)\frac p{p-1}=p^*$$
  und
  $$\frac{n-1}n-\frac{p-1}p=\frac{np-p-np+n}{pn}
  =\frac{n-p}{pn}=\frac1{p^*}.$$ Wir erhalten somit die behauptete
  Ungleichung
  $$\left(\;\int\limits_{\R^n}|u|^{p^*}\right)^{1/p^*}\le
  \frac{p(n-1)}{n-p}\cdot
  \left(\;\int\limits_{\R^n}|Du|^p\right)^{1/p}.$$ 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{sobolev omega}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$.  Sei $1\le p<n$, $u\in W^{1,p}(\Omega)$.  Dann gilt $u\in
  L^{p^*}(\Omega)$ und
  $$\Vert u\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}\le c\cdot\Vert
  u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$$ 
  mit $c=c(p,n,\Omega)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\ol u$ eine $W^{1,p}$-Fortsetzung von $u$ mit kompaktem
  Tr\"ager in $\R^n$,
  $$\Vert\ol u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
  \Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}.$$ Da $\ol u$ kompakten Tr\"ager hat,
  gibt es Funktionen $u_m\in C^\infty_c\left(\R^n\right)$, so dass
  $$u_m\to\ol u\text{ in }W^{1,p}\left(\R^n\right)\text{
    konvergiert.}$$ 
  Nach Theorem \ref{gn sob ungl} folgt somit
  $$\Vert u_m-u_l\Vert_{L^{p^*}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
  \Vert Du_m-Du_l\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}.$$ Da $u_m$ eine
  Cauchyfolge in $W^{1,p}$ ist, ist auch $u_m$ eine Cauchyfolge in
  $L^{p^*}$ und es gilt $u_m\to v\in L^{p^*}$ f\"ur ein $v\in
  L^{p^*}$. Da aber beide Konvergenzen auch
  $L^1_{\text{loc}}$-Konvergenz implizieren, stimmen die Grenzwerte
  \"uberein und es gilt somit $u_m\to\ol u$ auch in $L^{p^*}$.  Wir
  wenden nun nochmals Theorem \ref{gn sob ungl} an und erhalten
  $$\Vert u_m\Vert_{L^{p^*}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
  \Vert u_m\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}.$$ Gehen wir hierbei zum
  Grenzwert \"uber, so erhalten wir die mittlere Ungleichung in der
  folgenden Ungleichungskette. Die erste Ungleichung folgt aufgrund
  der Inklusion der beteiligten Gebiete und die letzte Ungleichung ist
  eine Konsequenz der Fortsetzungseigenschaft von $\Omega$. Insgesamt
  ergibt sich also
  $$\Vert u\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}\le
  \Vert\ol u\Vert_{L^{p^*}\left(\R^n\right)}\le c\cdot\Vert\ol
  u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)} \le c\cdot\Vert
  u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)},$$ was gerade die Behauptung des Theorems
  ergibt.
\end{proof}

Einen solchen Einbettungssatz bekommen wir auch, wenn das Gebiet nicht 
von der Klasse $C^1$ ist, die Sobolevfunktion daf\"ur aber Randwerte 
Null hat. 
\begin{theorem}[Poincar\'eungleichung]\label{poincare eins}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen mit $|\Omega|<\infty$. Seien $1\le
  p<n$ und $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$. Dann gilt
  $$\Vert u\Vert_{L^q(\Omega)}\le c\cdot\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}$$
  f\"ur beliebiges $q\in[1,p^*]$, wobei $c=c(p,q,n,\Omega)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ ist, gibt es Funktionen $u_m\in
  C^\infty_c(\Omega)$, die in $W^{1,p}(\Omega)$ gegen $u$
  konvergieren. Setze diese durch Null nach $\R^n$ fort.  Benutze
  Theorem \ref{gn sob ungl} und lasse $m\to\infty$. Es folgt
  $$\Vert u\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}\le c\cdot\Vert
  Du\Vert_{L^p(\Omega)}.$$ 
  Da $|\Omega|$ beschr\"ankt ist, bekommen wir aufgrund der
  H\"olderschen Ungleichung eine Schachtelung der $L^p$-R\"aume und
  wir erhalten
  $$\Vert u\Vert_{L^q(\Omega)}\le c\cdot\Vert
  u\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}$$ 
  f\"ur $1\le q\le p^*$.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{norm aequi}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen mit $|\Omega|<\infty$ und sei $1\le
  p<n$.  Dann sind auf $W^{1,p}_0(\Omega)$
  $$\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}\quad\text{und}\quad
  \Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$$ \"aquivalente Normen.
\end{corollary}

% \subsection{H\"olderr\"aume}

% \begin{definition}
%   Sei $u:\Omega\to\R$ stetig und beschr\"ankt. Wir definieren f\"ur
%   $0<\alpha<1$ die \emph{H\"olderhalbnorm}
%   $$[u]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
%   :=\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x,y\in\Omega}{x\neq y}}
%   \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}$$ Im Fall $\alpha=1$ erhalten wir
%   lipschitzstetige Funktionen.\par
%   Wir definieren die \emph{H\"oldernorm}
%   $$\Vert u\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
%   :=\Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}
%   +[u]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.$$ Der H\"olderraum
%   $C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, $k\in\N$, besteht aus allen
%   Funktionen $u\in C^k\left(\ol\Omega\right)$, f\"ur die die Norm
%   $$\Vert u\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}:=
%   \sum\limits_{|\beta|\le k} \left\Vert D^\beta
%     u\right\Vert_{C^0(\Omega)} +\sum\limits_{|\beta|=k}
%   \left[D^\beta u\right]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.$$ endlich ist.
% \end{definition}

% \begin{remark}
%   Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Die R\"aume
%   $C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ sind Banachr\"aume.  F\"ur
%   $0<\alpha<1$ ist $C^{0,\alpha}$ nicht separabel, da eindimensional
%   die Funktionen $u_i(x)=|x-x_i|^\alpha$ einen Abstand in
%   $C^{0,\alpha}$ haben, der f\"ur $x_i\to x_j$ nicht gegen Null
%   konvergiert.
% \end{remark}

\subsection{Morreyungleichung}

\begin{theorem}[Morrey]
  Sei $n<p<\infty$. Dann gibt es $c=c(p,n)$, so dass
  $$\Vert u\Vert_{C^{0,\gamma}\left(\R^n\right)}\le
  c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}$$ f\"ur alle $u\in
  C^1\left(\R^n\right)$, ggf.\ mit unendlicher rechter Seite, gilt,
  wobei $\gamma=1-\frac np$ ist.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Fixiere eine Kugel $B_r(x)\subset\R^n$.  Wir behaupten
    zun\"achst, dass es eine Konstante $c=c(n)$ gibt, so dass
    $$\fint\limits_{B_r(x)}|u(y)-u(x)|\,dy\le c\cdot
    \int\limits_{B_r(x)}\frac{|Du(y)|}{|y-x|^{n-1}}\,dy.$$ Dies sieht
    man wie folgt ein: Fixiere $w\in\partial B_1(0)$.  Dann gilt f\"ur
    $0<s<r$
    \begin{align*}
      |u(x+sw)-u(x)|=&\,\left|\int\limits_0^s\dt
        u(x+tw)\,dt\,\right|\umbruch\\ 
      =&\,\left|\int\limits_0^s\langle
        Du(x+tw),w\rangle\,dt\,\right|\umbruch\\ 
      \le&\,\int\limits_0^s|Du(x+tw)|\,dt.
    \end{align*}
    Integriere dies bez\"uglich $w$ \"uber die Sph\"are und erhalte
    $$\int\limits_{\partial B_1(0)}|u(x+sw)-u(x)|\,dw
    \le\int\limits_0^s\int\limits_{\partial
      B_1(0)}|Du(x+tw)|\,dw\,dt.$$ Setze nun $y:=x+tw$. Dann gilt
    $t=|x-y|$ und es folgt
    \begin{align*}
      \int\limits_{\partial B_1(0)}|u(x+sw)-u(x)|\,dw\le&\,
      \int\limits_0^st^{n-1}\int\limits_{\partial B_1(0)}
      \frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dw\,dt\umbruch\\
      =&\,\int\limits_{B_s(x)}\frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dy
      \le\int\limits_{B_r(x)}\frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dy,
    \end{align*}
    da $0<s<r$ ist. Wir multiplizieren diese Ungleichung nun mit
    $s^{n-1}$, integrieren \"uber $s$ von $0$ bis $r$ und erhalten wie
    behauptet die Ungleichung
    $$\int\limits_{B_r(x)}|u(y)-u(x)|\,dy\le
    \frac{r^n}n\int\limits_{B_r(x)}\frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dy.$$
  \item Fixiere nun $x\in\R^n$. Mit Hilfe der soeben gewonnenen
    Absch\"atzung erhalten wir
    \begin{align*}
      |u(x)|=&\,\fint\limits_{B_1(x)}|u(x)|\,dy\umbruch\\
      \le&\,\fint\limits_{B_1(x)}|u(x)-u(y)|\,dy
      +\fint\limits_{B_1(x)}|u(y)|\,dy\umbruch\\
      \le&\,c\cdot\int\limits_{B_1(x)}\frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dy
      +c\cdot\Vert u\Vert_{L^p(B_1(x))}\umbruch\\
      \le&\,c\cdot\left(\,\;\int\limits_{\R^n}|Du|^p\right)^{1/p}\cdot
      \left(\,\int\limits_{B_1(x)}
        \frac1{|x-y|^{(n-1)\frac p{p-1}}}dy\right)^{\frac{p-1}p}\\
      &\,\quad+c\cdot\Vert u\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}\umbruch\\
      \le&\,c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)},
    \end{align*}
    wobei wir f\"ur die letzte Ungleichung die folgende
    Integralabsch\"atzung verwendet haben
    \begin{align*}
      \int\limits_{B_1(x)} \frac1{|x-y|^{(n-1)\frac p{p-1}}}dy
      =&\,c\cdot\int\limits_0^1r^{n-1}r^{-(n-1)\frac
        p{p-1}}dr\umbruch\\ 
      =&\,\left.c\cdot r^{n-(n-1)\frac p{p-1}}\right|_0^1<\infty,
    \end{align*}
    da $n>(n-1)\frac p{p-1}$ genau dann gilt, wenn $p>n$ ist.  Somit
    folgt
    $$\sup\limits_{\R^n}|u|\le 
    c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}.$$
  \item Seien nun $x\not= y\in\R^n$ beliebig und $r:=|x-y|$. Wir
    definieren $W:=B_r(x)\cap B_r(y)$. Dann gilt
    \begin{align*}
      |u(x)-u(y)|=&\,\fint\limits_W|u(x)-u(y)|dz\umbruch\\
      \le&\,\fint\limits_W|u(x)-u(z)|dz +\fint\limits_W|u(y)-u(z)|dz.
    \end{align*}
    Wir benutzen nun wiederum den ersten Teil des Beweises und
    erhalten
    \begin{align*}
      \fint\limits_W|u(x)-u(z)|dz\le&\,
      c\cdot\fint\limits_{B_r(x)}|u(x)-u(z)|dz
      \le c\cdot\int\limits_{B_r(x)}
      \frac{|Du(z)|}{|z-x|^{n-1}}dz\umbruch\\  
      \le&\,c\cdot\left(\;\int\limits_{B_r(x)}|Du|^p\right)^{1/p}\cdot
      \left(\;\int\limits_{B_r(x)}\frac1{|x-z|^{(n-1)
            \frac p{p-1}}}dz\right)^{\frac{p-1}p}\umbruch\\
      \le&\,c\cdot\left(r^{n-(n-1)\frac
          p{p-1}}\right)^{\frac{p-1}p}\cdot
      \Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}\umbruch\\
      =&\,c\cdot r^{1-\frac np}\cdot\Vert
      Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}.
    \end{align*}
    Analog folgt
    $$\fint\limits_W|u(y)-u(z)|dz\le
    c\cdot r^{1-\frac np}\cdot\Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}.$$
    Somit erhalten wir insgesamt
    \begin{align*}
      |u(x)-u(y)|\le&\,c\cdot r^{1-\frac np}\cdot
      \Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}\umbruch\\
      =&\,c\cdot|x-y|^{1-\frac np}\cdot \Vert
      Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}.
    \end{align*}
    F\"ur den noch nicht abgesch\"atzten Anteil der H\"oldernorm folgt
    also
    \begin{align*} [u]_{C^{0,1-\frac np}\left(\R^n\right)}\equiv&\,
      \sup\limits_{x\neq y}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{1-\frac np}}
      \umbruch\\ 
      \le&\,c\cdot\Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}
    \end{align*}
    und es ergibt sich die Behauptung des Theorems.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}\optional
  Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt
  f\"ur $u\in C^1\left(\R^n\right)$ auch noch
  $$\Vert u\Vert_{C^{0,1}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
  \Vert u\Vert_{W^{1,\infty}\left(\R^n\right)}.$$ Durch leichte
  Modifikation des Beweises bekommt man
  $$|u(y)-u(x)|\le c\cdot r^{1-\frac
    np}\cdot\left(\;\int\limits_{B_{2r}(x)} 
    |Du|^p\right)^{1/p}$$ f\"ur $u\in C^1(B_{2r}(x))$, $y\in B_r(x)$
  und $n<p<\infty$. W\"ahlen wir nun jeweils einen stetigen
  Repr\"asentanten der hier auftretenden Funktionen so folgt die
  letzte Ungleichung durch Approximation auch noch f\"ur $u\in
  W^{1,p}(B_{2r}(x))$.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

\begin{remark}
  Durch Approximation beweist man, dass die Morreysche Ungleichung
  auch noch f\"ur $u\in W^{1,p}\left(\R^n\right)$ gilt. Dabei ist zu
  beachten, dass die Morreysche Ungleichung gleichm\"a\ss{}ige
  H\"olderschranken f\"ur die Funktionen der approximierenden Folge
  liefert. Daher k\"onnen wir auch f\"ur den Grenzwert $u$ einen
  H\"ol\-der\-ste\-ti\-gen Repr\"asentanten w\"ahlen. In Zukunft
  werden wir stets diesen Repr\"asentanten betrachten.
\end{remark}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$. Sei $n<p<\infty$, $u\in W^{1,p}(\Omega)$. Dann besitzt $u$
  einen stetigen Repr\"asentanten, $u^*\in C^{0,\gamma}
  \left(\ol\Omega\right)$, $\gamma=1-\frac np$, und es gilt
  $$\Vert u^*\Vert_{C^{0,\gamma}\left(\ol\Omega\right)}\le
  c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}\left(\Omega\right)}$$ mit
  $c=c(p,n,\Omega)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Beweis benutzt den Morreyschen Einbettungssatz genauso, wie im
  Beweis von Theorem \ref{sobolev omega} der Sobolevsche
  Einbettungssatz, Theorem \ref{gn sob ungl}, eingeht. Details:
  \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

F\"ur Funktionen, die schwache Ableitungen h\"oherer Ordnung besitzen,
erh\"alt man den folgenden Einbettungssatz. Zum Beweis wendet man
einfach solange den Sobolevschen oder Morreyschen Einbettungssatz an,
bis dies nicht mehr m\"oglich ist.
\begin{theorem}\optional 
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$.  Sei $u\in W^{k,p}(\Omega)$.
  \begin{enumerate}
  \item Falls $k<\frac np$ gilt, dann ist $u\in L^q(\Omega)$ mit
    $$\frac1q=\frac1p-\frac kn$$
    und es gilt die Absch\"atzung
    $$\Vert u\Vert_{L^q(\Omega)}\le c\cdot
    \Vert u\Vert_{W^{k,p}},$$ wobei $c=c(k,p,n,\Omega)$ ist.
  \item Falls $k>\frac np$ gilt, so ist 
    $$u\in C^{k-\left\lfloor\frac
        np\right\rfloor-1,\gamma}\left(\ol\Omega\right),$$ wobei
    $\lfloor\cdot\rfloor$ die Gau\ss{}klammer oder Abrundefunktion ist
    und $$\gamma=\begin{cases}
      \left\lfloor\frac np\right\rfloor+1-\frac np,&\frac np\not\in\N,\\
      <1\text{ (beliebig)},&\frac np\in\N.
    \end{cases}$$ Es gilt
    $$\Vert u\Vert_{C^{k-\left\lfloor\frac np\right\rfloor-1,\gamma}
      \left(\ol\Omega\right)}\le c(k,p,n,\gamma,\Omega)\cdot \Vert
    u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}.$$
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $k<\frac np$. Nach Definition gilt $D^\alpha u\in
    L^p(\Omega)$ f\"ur $|\alpha|\le k$. Aufgrund der
    Gagliardo-Nirenberg-Sobolev Ungleichung erhalten wir
    $$\left\Vert D^\beta u\right\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}\le c\cdot
    \Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}\text{ f\"ur }|\beta|\le k-1.$$
    Somit ist
    $$u\in W^{k-1,p^*}(\Omega)\text{ mit
    }\frac1{p^*}=\frac1p-\frac1n$$ 
    und
    $$\Vert u\Vert_{W^{k-1,p^*}(\Omega)}\le
    c\cdot\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}.$$ Analog folgt
    $$\Vert u\Vert_{W^{k-2,(p^*)^*}(\Omega)}\le
    c\cdot\Vert u\Vert_{W^{k-1,p^*}(\Omega)}\text{ mit }
    \frac1{p^{**}}=\frac1{p^*}-\frac1n=\frac1p-\frac2n.$$ Die
    Behauptung folgt nun per Induktion.
  \item Sei $k>\frac np$ und $\frac np\not\in\N$. Wie im ersten Teil
    erhalten wir
    $$\Vert u\Vert_{W^{k-l,r}(\Omega)}\le
    c\cdot\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}$$ f\"ur
    $\frac1r=\frac1p-\frac ln$, falls $lp<n$ ist. W\"ahle $l$ maximal,
    so dass dies erf\"ullt ist, d.\,h.\
    $$l<\frac np<l+1,\quad l=\left\lfloor\frac np\right\rfloor.$$
    Man \"uberpr\"uft direkt, dass
    $$r=\frac{pn}{n-pl}>n$$
    ist. Nun k\"onnen wir die Morreysche Ungleichung anwenden und
    erhalten
    $$D^\alpha u\in C^{0,1-\frac nr}\left(\ol\Omega\right)$$
    f\"ur $|\alpha|\le k-l-1$. Es gilt nach Definition von $r$
    $$1-\frac nr=1-\frac np+l=1-\frac np+\left\lfloor\frac
      np\right\rfloor.$$ Unter Ber\"ucksichtigung von Lemma \ref{stet
      klass diffb lem} ist daher
    $$u\in C^{k-\left\lfloor\frac np\right\rfloor-1,
      \left\lfloor\frac np\right\rfloor+1-\frac
      np}\left(\ol\Omega\right)$$ mit den entsprechenden
    Normabsch\"atzungen.
  \item Sei $k>\frac np$ und $\frac np\in\N$.  Setze
    $l=\left\lfloor\frac np\right\rfloor-1=\frac np-1$. Wie oben
    erhalten wir
    $$u\in W^{k-l,r}(\Omega)\text{ mit }r=\frac{np}{n-pl}=n.$$
    Nach der Ungleichung von Gagliardo-Nirenberg-Sobolev erhalten wir
    somit $D^\alpha u\in L^q(\Omega)$ f\"ur alle $q$ mit $n\le
    q<\infty$ und $|\alpha|\le k-l-1=k-\left\lfloor\frac
      np\right\rfloor$.  Nun k\"onnen wir den Morreyschen
    Einbettungssatz anwenden und erhalten $D^\alpha u\in C^{0,1-\frac
      nq}\left(\ol\Omega\right)$ mit $n<q<\infty$ und $|\alpha|\le
    k-\left\lfloor\frac np\right\rfloor-1$.  Wir erhalten somit,
    nochmals mit Lemma \ref{stet klass diffb lem}, wie gew\"unscht
    $$u\in C^{k-\left\lfloor\frac
        np\right\rfloor-1,\gamma}\left(\ol\Omega\right) 
    \text{ f\"ur alle }0<\gamma<1$$ samt entsprechender
    Normabsch\"atzungen.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Kompaktheitss\"atze}

F\"ur $1\le p<n$, $p^*=\frac{np}{n-p}$ sind die Einbettungen
$W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^{p^*}(\Omega)$ stetig.
$W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega)$ ist f\"ur $1\le q<p^*$
sogar eine kompakte Einbettung.

\begin{definition}
  Seinen $X$, $Y$ Banachr\"aume, $X\subset Y$. $X$ ist \emph{kompakt}
  enthalten in $Y$,
  $$X\Subset Y,$$
  falls
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Vert x\Vert_Y\le c\cdot\Vert x\Vert_X\quad\forall x\in X,$
  \item jede beschr\"ankte Folge in $X$ ist in $Y$ pr\"akompakt. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}[Rellich-Kondrachov]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$, $1\le p<n$. Dann gilt
  $$W^{1,p}(\Omega)\Subset L^q(\Omega)$$
  f\"ur alle $1\le q<p^*$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Sobolevschen Einbettungss\"atze und die Beschr\"anktheit
    von $\Omega$ liefern die Stetigkeit der Einbettung.
  \item Sei also $u_m$ in $W^{1,p}(\Omega)$ eine beschr\"ankte
    Folge. Es gen\"ugt, eine in $L^q(\Omega)$ konvergente Teilfolge zu
    finden.
  \item Da sich die Funktionen $u_m$ zu
    $W^{1,p}\left(\R^n\right)$-Funktionen mit kompaktem Tr\"ager in
    einer gro\ss{}en Kugel $B_R$ fortsetzen lassen, gen\"ugt es,
    solche Funktionen mit
    $$\sup\limits_m\Vert u_m\Vert_{W^{1,p}(B_R)}<\infty$$
    zu betrachten.\par
    Wir gl\"atten und definieren $u^\epsilon_m:=\eta_\epsilon*u_m$
    f\"ur $1\ge\epsilon>0$, wobei wir annehmen d\"urfen, dass $\supp
    u^\epsilon_m\Subset B_{R+1}$ gilt.
  \item Wir behaupten zun\"achst, dass $u^\epsilon_m\to u_m$ f\"ur
    $\epsilon\to0$ in $L^q$ konvergiert und zwar sogar
    gleichm\"a\ss{}ig in $m$.\par
    Zum Beweis dieser Behauptung betrachten wir zun\"achst glatte
    Funktionen $u_m$ und erhalten
    \begin{align*}
      u^\epsilon_m(x)-u_m(x)=&\,\int\limits_{B_\epsilon(x)}
      \epsilon^{-n} \eta_\epsilon\left(\frac{x-z}\epsilon\right)
      u_m(z)\,dz -u_m(x)\umbruch\\
      =&\,\int\limits_{B_1(0)}\eta(y)
      (u_m(x-\epsilon y)-u_m(x))\,dy\umbruch\\
      =&\,\int\limits_{B_1(0)}\eta(y)\int\limits_0^1\dt u_m(x-\epsilon
      ty)\,dt\,dy
      \umbruch\\
      =&\,-\epsilon\int\limits_{B_1(0)}\eta(y)\int\limits_0^1 \langle
      Du_m(x-\epsilon ty),y\rangle\,dt\,dy.
    \end{align*}
    Hieraus folgt
    \begin{align*}
      \int\limits_{B_{R+1}}
      \left|u^\epsilon_m(x)-u_m(x)\right|\,dx\le&\,  
      \epsilon\int\limits_{B_1(0)}\eta(y)
      \int\limits_0^1\int\limits_{B_{R+1}} 
      |Du_m(x-\epsilon ty)|\,dx\,dt\,dy\umbruch\\
      \le&\,\epsilon\int\limits_{B_{R+2}(0)}|Du_m(z)|\,dz.
    \end{align*}
    Da das Ma\ss{} dieser Kugel endlich ist, folgt
    \begin{align*}
      \left\Vert u^\epsilon_m-u_m\right\Vert_{L^1(B_{R+1})}\le&\,
      \epsilon\cdot\Vert Du_m\Vert_{L^1(B_{R+2})}\umbruch\\
      \le&\,\epsilon\cdot c\cdot\Vert Du_m\Vert_{L^p(B_{R+2})}.
    \end{align*}
    Mittels Approximation sehen wir, dass diese Ungleichung auch noch
    f\"ur $W^{1,p}$-Funktionen mit Tr\"ager in $B_R(0)$ gilt. \par
    Da $\Vert Du_m\Vert_{L^p(B_R)}$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt
    ist, ist die folgende Konvergenz f\"ur $\epsilon\to0$
    gleichm\"a\ss{}ig in $m$
    $$u^\epsilon_m\to u_m\text{ in }L^1(B_{R+1}).$$
    Dies zeigt die Behauptung im Falle $q=1$. Im allgemeinen Fall ist
    $1<q<p^*$. Daher gibt es $\theta$ mit $0<\theta<1$, so dass
    $$\frac1q=\frac\theta1+\frac{1-\theta}{p^*}$$
    gilt. Somit gilt auch
    $$1=\frac{\theta q}1+\frac{(1-\theta)q}{p^*}$$
    und wir erhalten die folgende Interpolationsungleichung f\"ur
    $L^p$-R\"aume
    \begin{align*}
      \Vert f\Vert_{L^q}=&\,\left(\int |f|^q\right)^{1/q}
      =\left(\int |f|^{\theta q}\cdot
        |f|^{(1-\theta)q}\right)^{1/q}\umbruch\\ 
      \le&\,\left(\int |f|\right)^\theta\cdot\left(\int
        |f|^{p^*}\right)^{\frac{1-\theta}{p^*}}\umbruch\\
      =&\,\Vert f\Vert^\theta_{L^1}\cdot \Vert
      f\Vert_{L^{p^*}}^{1-\theta}.
    \end{align*}
    In unserem Falle folgt also
    $$\left\Vert u^\epsilon_m-u_m\right\Vert_{L^q(B_{R+1})}\le
    \left\Vert u^\epsilon_m-u_m\right\Vert_{L^1(B_{R+1})}^\theta
    \left\Vert
      u^\epsilon_m-u_m\right\Vert_{L^{p^*}(B_{R+1})}^{1-\theta}.$$ Der
    zweite Faktor auf der rechten Seite hier ist aufgrund der
    Gagliardo-Nirenberg-Sobolev Ungleichung gleichm\"a\ss{}ig
    beschr\"ankt.  Benutze dabei insbesondere, dass $\left\Vert
      u^\epsilon_m\right\Vert_{L^{p^*}}\le \left\Vert
      u_m\right\Vert_{L^{p^*}}$ ist, siehe \cite[Thm
    1.6.1]{ZiemerWeakDiffFctns}.  Im ersten Teil dieses Teilbeweises
    haben wir gesehen, dass der erste Faktor gegen Null geht. Somit
    erhalten wir auch $u^\epsilon_m\to u_m$ in $L^q(B_{R+1})$,
    gleichm\"a\ss{}ig in $m$, und die Behauptung folgt.
  \item Als n\"achstes behaupten wir, dass die Folge $u^\epsilon_m$
    f\"ur festes $\epsilon>0$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt und
    gleichgradig stetig ist.\par
    W\"ahle dazu $x\in\R^n$. Beachte f\"ur die nachfolgenden
    Rechnungen, dass bei Gl\"attungen, um das $L^1$-Integral konstant
    zu halten, $\eta_\epsilon(x)=\frac1{\epsilon^n}\eta\left(\frac
      x\epsilon\right)$ ist. Wir erhalten also
    \begin{align*}
      \left|u^\epsilon_m(x)\right|\le&\,\int\limits_{B_\epsilon(x)}
      \eta_\epsilon(x-y)|u_m(y)|dy
      \umbruch\\
      \le&\,\Vert\eta_\epsilon\Vert_{L^\infty\left(\R^n\right)}\cdot
      \Vert u_m\Vert_{L^1(B_{R+1}(0))}\le\frac
      c{\epsilon^n}<\infty\umbruch
      \intertext{und}\umbruch\\
      \left|D u^\epsilon_m(x)\right|\le&\,\int\limits_{B_\epsilon(x)}
      |D\eta_\epsilon(x-y)|\cdot|u_m(y)|dy\umbruch\\
      \le&\,\Vert D\eta_\epsilon\Vert_{L^\infty\left(\R^n\right)}\cdot
      \Vert u_m\Vert_{L^1(B_{R+1}(x))}\le\frac
      c{\epsilon^{n+1}}<\infty.
    \end{align*}
    Dies zeigt die Behauptung.
  \item Sei nun $\delta>0$. Wir behaupten, dass es eine Teilfolge
    $u_{m_j}$ der $u_m$ gibt, so dass
    $$\limsup\limits_{j,k\to\infty}\Vert
    u_{m_j}-u_{m_k}\Vert_{L^q(B_{R+1})} 
    \le\delta$$ gilt. Sei also $\epsilon>0$ so klein gew\"ahlt, dass
    \begin{equation}\label{uem glm m}
      \Vert u^\epsilon_m-u_m\Vert_{L^q(B_{R+1})}\le\frac\delta3
    \end{equation}
    gilt. Fixiere nun $\epsilon>0$ entsprechend.  Aufgrund der oben
    bewiesenen gleich\-m\"a\-\ss{}i\-gen Konvergenz, k\"onnen wir dies
    unabh\"angig von $m$ erreichen. Nach Arzel\`a-Ascoli gibt es f\"ur
    festes $\epsilon>0$ eine in $B_{R+1}$ gleichm\"a\ss{}ig
    konvergente Teilfolge $u^\epsilon_{m_j}$ der $u^\epsilon_m$.
    Insbesondere gilt f\"ur diese Teilfolge also
    $$\limsup\limits_{j,k\to\infty}\Vert 
    u^\epsilon_{m_j}-u^\epsilon_{m_k}\Vert_{L^q(B_{R+1})}=0.$$ Mit
    Hilfe der Dreiecksungleichung und \eqref{uem glm m} folgt also die
    Behauptung.
  \item Das Theorem folgt nun, wenn wir in der letzten Behauptung
    $\delta\searrow0$ lassen und die Teilfolgen iterativ aus
    vorhergehenden (f\"ur eine Folge von $\delta_i\to0$) w\"ahlen.
    Eine Diagonalfolge aus dieser Folge von Teilfolgen ist dann die
    gesuchte Cauchyfolge in $L^q$.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt stets $p^*>p$ und $p^*\to\infty$ f\"ur $p\nearrow n$.
    Daher gilt
    $$W^{1,p}(\Omega)\Subset L^p(\Omega)\quad\forall\; 1\le p\le\infty$$
    f\"ur $\Omega$ wie oben. Im Falle $n<p\le\infty$ benutzt man dazu
    die Morreysche Ungleichung und ebenfalls den Satz von
    Arzel\`a-Ascoli.
  \item Falls $\Omega$ nur offen und beschr\"ankt ist, gilt auch noch
    $$W^{1,p}_0(\Omega)\Subset L^p(\Omega).$$
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

\begin{theorem}[Poincar\'e]
  Sei die Menge $\Omega\subset\R^n$ zusammenh\"angend, offen und
  beschr\"ankt, $\partial\Omega\in C^1$. Sei $1\le p\le\infty$. Dann
  gibt es $c=c(n,p,\Omega)$, so dass
  $$\Vert u-(u)_\Omega\Vert_{L^p(\Omega)}\le c\cdot
  \Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}$$ f\"ur alle $u\in W^{1,p}(\Omega)$
  gilt, wobei
  $$(u)_\Omega=\frac1{|\Omega|}\int\limits_{\Omega}u.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls dies nicht der Fall ist, finden wir $u_k\in W^{1,p}(\Omega)$,
  $k\in\N$, mit
  $$\Vert u_k-(u_k)_\Omega\Vert_{L^p(\Omega)}>k\cdot
  \Vert Du_k\Vert_{L^p(\Omega)}.$$ Hierzu definieren wir
  (Wohldefiniertheit folgt nach Annahme)
  $$v_k:=\frac{u_k-(u_k)_\Omega}
  {\Vert u_k-(u_k)_\Omega\Vert_{L^p(\Omega)}}.$$ Nach Definition
  gelten $(v_k)_\Omega=0$ und $\Vert v_k\Vert_{L^p(\Omega)}=1$. Wir
  erhalten nach Definition der $u_k$
  $$\Vert Dv_k\Vert_{L^p(\Omega)}=\frac{\Vert Du_k\Vert_{L^p(\Omega)}}
  {\Vert u_k-(u_k)_\Omega\Vert_{L^p(\Omega)}}<\frac1k.$$ Insbesondere
  sind die $v_k$ also in $W^{1,p}(\Omega)$ gleichm\"a\ss{}ig
  beschr\"ankt. Daher konvergiert nach Rellich-Kondrachov eine (nicht
  umbenannte) Teilfolge,
  $$v_k\to v\text{ in }L^p(\Omega).$$
  Auch im Limes bleiben die Eigenschaften $(v)_\Omega=0$ und $\Vert
  v\Vert_{L^p(\Omega)}=1$ erhalten. Sei nun $\phi\in
  C^\infty_c(\Omega)$ eine Testfunktion. Dann gilt
  $$\int\limits_\Omega v\cdot D_i\phi=\lim\limits_{k\to\infty}
  \int\limits_\Omega v_k\cdot D_i\phi
  =-\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_\Omega D_iv_k\phi=0,$$ da
  $Dv_k\to 0$ in $L^p$ konvergiert. Damit ist $v\in W^{1,p}(\Omega)$
  mit $Dv=0$ fast \"uberall in $\Omega$. Also ist (\"Ubung) die
  Funktion $v$ konstant. Wegen $(v)_\Omega=0$ folgt daher $v\equiv0$
  im Widerspruch zu $\Vert v\Vert_{L^p}=1$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Poincar\'e f\"ur eine Kugel]
  \label{poin ball}
  Sei $1\le p\le\infty$. Dann gibt es $c=c(n,p)$ mit
  $$\Vert u-(u)_{B_r(x)}\Vert_{L^p(B_r(x))}\le c\cdot r\cdot
  \Vert Du\Vert_{L^p(B_r(x))}$$ f\"ur alle Kugeln $B_r(x)\subset\R^n$
  und f\"ur alle $u\in W^{1,p}(B_r(x))$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. Betrachte zun\"achst eine feste Kugel und skaliere dann, um
  die genaue Abh\"angigkeit vom Radius $r$ zu erhalten.
\end{proof}

\begin{remark}
  \stern Sei $u\in W^{1,n}\left(\R^n\right)\cap L^1\left(\R^n\right)$,
  $B_r(x)\subset\R^n$ und $r>0$. Nach Theorem \ref{poin ball} mit
  $p=1$ folgt nun
  \begin{align*}
    \fint\limits_{B_r(x)}\left|u-(u)_{B_r(x)}\right|\le&\,
    c\cdot r\cdot\fint\limits_{B_r(x)}|Du|\umbruch\\
    \le&\,c\cdot r\cdot
    \left(\,\;\;\;\fint\limits_{B_r(x)}|Du|^n\right)^{1/n}
    \text{ (H\"older-)}\umbruch\\
    \le&\,c\cdot\left(\,\int\limits_{B_r(x)} |Du|^n\right)^{1/n}
    \le c\cdot\left(\;\;\int\limits_{\R^n}|Du|^n\right)^{1/n}.
  \end{align*}
  Definiere die BMO-Halbnorm (``bounded mean oscillation'') als
  $$[u]_{\text{BMO}\left(\R^n\right)}:=
  \sup\limits_{B_r(x)\subset\R^n}\left\{\;\;\; \fint\limits_{B_r(x)}
    \left|u-(u)_{B_r(x)}\right|\right\}.$$ Die obige Rechnung zeigt
  somit, dass
  $$[u]_{\text{BMO}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
  \Vert Du\Vert_{L^n\left(\R^n\right)}$$ gilt.
\end{remark}

\subsection{Differenzenquotienten \optional}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $x\in\Omega'\Subset\Omega$,
  $1\le i\le n$ und $h\neq0$. Sei
  $0<|h|<\dist(\Omega',\partial\Omega)$ und $u:\Omega\to\R$.
  Definiere den $i$-ten \emph{Differenzenquotienten} der G\"o\ss{}e
  $h$ durch
  \begin{align*}
    D^h_iu(x):=&\,\frac{u(x+he_i)-u(x)}h,\umbruch\\
    D^hu:=&\,\left(D^h_1u,\,\ldots,\,D^h_nu\right).
  \end{align*}
\end{definition}

% Wir werden nun folgendes benutzen: 
% \begin{remark}[Funktionalanalysis]
%   \neueZeile
%   \begin{enumerate}[(i)]
%   \item Eine Folge $u_k$ in einem Banachraum $X$ konvergiert schwach
%     gegen $u\in X$,
%     $$u_k\rightharpoondown u,$$
%     falls
%     $$u^*(u_k)\to u^*(u)$$
%     f\"ur jedes beschr\"ankte lineare Funktional $u^*\in X^*$ gilt.
%   \item Beispiel $\R^n$. \par
%     Beispiel in $l^2$ f\"ur schwache Konvergenz von
%     $e_i=(\underbrace{0,\ldots,0}_{i-1\text{ St\"uck}},1,0,\ldots)$
%     ohne Konvergenz: $e_i\rightharpoondown 0$, aber $e_i\not\to0$.
%     (ausf\"uhren).
%   \item Es gilt
%     $$u_k\to u\quad\Longrightarrow u_k\rightharpoondown u.$$
%   \item Jede schwach konvergente Folge ist beschr\"ankt
%     (Banach-Steinhaus),
%     $$\Vert u\Vert\le\liminf\limits_{k\to\infty}\Vert u_k\Vert.$$
%   \item Ein Banachraum heisst reflexiv, falls die kanonische
%     Einbettung in den Bidualraum ein Isomorphismus ist.
%   \item F\"ur $1\le p<\infty$ und eine offenen Menge
%     $\Omega\subset\R^n$ gilt
%     $$\left(L^p(\Omega)\right)^*=L^q(\Omega)$$
%     mit 
%     $$\frac1p+\frac1q=1.$$
%     Somit ist $L^p(\Omega)$ f\"ur $1<p<\infty$ reflexiv.
%   \item Weiterhin ist jeder Hilbertraum reflexiv.
%   \item In einem reflexiven Banachraum gilt: Jede 
%     beschr\"ankte Folge enth\"alt eine schwach konvergente Teilfolge.
%   \end{enumerate}
% \end{remark}

\begin{theorem}[Differenzenquotienten und schwache Ableitungen]
  \label{diff quot thm}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $1\le p<\infty$ und $u\in
    W^{1,p}(\Omega)$. F\"ur $\Omega'\Subset\Omega$ gibt es ein
    $c=c(\Omega,\Omega',n,p)>0$, so dass
    $$\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c\cdot
    \Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}$$ f\"ur alle
    $0<|h|<\frac12\dist(\Omega',\partial\Omega)$.
  \item Sei $1<p<\infty$, $u\in L^p(\Omega)$ und $\Omega\subset \R^n$
    offen. Gibt es $c>0$ und $\Omega'\Subset\Omega$ mit
    $$\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c$$
    f\"ur alle $0<|h|<\frac12\dist(\Omega',\partial\Omega)$, so gilt
    $u\in W^{1,p}(\Omega')$ und
    $$\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega')}\le c.$$
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $1\le p<\infty$ und sei $u$ glatt.  Sei $x\in\Omega'$,
    $1\le i\le n$ und $0<|h|<\frac12
    \dist(\Omega',\partial\Omega)$. Es gilt
    \begin{align*}
      u(x+he_i)-u(x)=&\,\int\limits_0^1u_i(x+the_i)h\,dt\umbruch\\
      |u(x+he_i)-u(x)|\le&\,|h|\cdot\int\limits_0^1 |Du(x+the_i)|\,dt
      \intertext{und aufgrund der H\"olderschen Ungleichung}
      \int\limits_{\Omega'}\left|D^hu\right|^p\le&\,
      c\sum\limits_i\int\limits_{\Omega'}\int\limits_0^1
      |Du(x+the_i)|^p\,dt\,dx\umbruch\\
      =&\,c\sum\limits_i\int\limits_0^1\int\limits_{\Omega'}
      |Du(x+the_i)|^p\,dx\,dt
      \le c\int\limits_\Omega|Du|^p.
    \end{align*}
    Da $\Omega'$ von $\partial\Omega$ mindestens Abstand $2|h|$ hat,
    folgt die Behauptung durch Approximation.
  \item Gelte $\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c$.  Sei
    $\phi\in C^\infty_c(\Omega')$ eine Testfunktion. Dann gilt die
    folgende ``partielle Integrationsformel'', falls $|h|\le c(\phi)$
    klein genug ist
    \begin{align*}
      \int\limits_{\Omega'}u(x)\frac{\phi(x+he_i)-\phi(x)}{h}dx=&\, 
      -\int\limits_{\Omega'}\frac{u(x)-u(x-he_i)}
      h\phi(x)\,dx,\umbruch\\ 
      \int\limits_{\Omega'}u\left(D^h_i\phi\right)
      =&\,-\int\limits_\Omega  
      \left(D^{-h}_iu\right)\phi.
    \end{align*}
    Nach Voraussetzung ist
    $$\sup\limits_h\left\Vert
      D^{-h}_iu\right\Vert_{L^p(\Omega')}<\infty.$$ 
    Daher existiert $v_i\in L^p(\Omega')$ und eine Folge $h_k\to0$, so 
    dass
    $$D^{-h_k}_iu\rightharpoondown v_i\quad\text{in }L^p(\Omega').$$
    Es folgt
    \begin{align*}
      \int\limits_{\Omega'}u\phi_i=&\, \int\limits_\Omega u\phi_i
      =\lim\limits_{h_k\to0}\int\limits_\Omega u\cdot D^{h_k}_i\phi
      =\lim\limits_{h_k\to0}-\int\limits_\Omega
      D^{-h_k}_iu\phi\umbruch\\
      =&\,\lim\limits_{h_k\to0}-\int\limits_{\Omega'} D^{-h_k}_iu\phi
      =-\int\limits_{\Omega'}v_i\phi.
    \end{align*}
    Somit gilt $v_i=u_i$ im schwachen Sinne.  Wegen der schwachen
    Konvergenz ist $v_i\in L^p(\Omega')$ und wir erhalten $Du\in
    L^p(\Omega')$.  Da auch $u\in L^p(\Omega')$ ist, folgt $u\in
    W^{1,p}(\Omega')$.  Die Normabsch\"atzung folgt aus der
    Unterhalbstetigkeit der Norm.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

% \begin{xca}
%   \neueZeile
%   \begin{itemize}
%   \item Zeige, dass der zweite Teil von Theorem \ref{diff quot thm}
%     f\"ur $p=1$ falsch ist.
%   \item Lies \cite[S. 279-281]{EvansPDE}.
%   \item Zeige, dass
%     $$u\in W^{1,\infty}\quad\Longleftrightarrow\quad u
%     \text{ ist gleichm\"a\ss{}ig Lipschitz}.$$
%   \item Zeige, dass eine Funktion $u\in W^{1,p}$ f\"ur $p>n$ fast
%     \"uberall differenzierbar ist.
%   \end{itemize}
% \end{xca}

\section{Spektralsatz}

\subsection{Spektrum}

Sei $\K$ entweder $\R$ oder $\C$.

\begin{definition}
  Sei $X$ ein Banachraum und $T\in L(X,X)\equiv L(X)$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Menge $\rho(T)\subset\K$ aller rellen oder komplexen
    Zahlen $\lambda$, so dass $T-\lambda\id\equiv T-\lambda$ ein
    Banachraumisomorphismus ($T-\lambda$ ist stetig, bijektiv und
    $(T-\lambda)^{-1}$ ist ebenfalls stetig) ist, hei\ss{}t
    \emph{Resolventenmenge} von $T$.
  \item $\sigma(T):=\K\setminus\rho(T)$ hei\ss{}t \emph{Spektrum} von
    $T$.
  \item $\sigma_p(T):=\{\lambda\in\K\colon T-\lambda \text{ ist nicht
      injektiv}\}$ hei\ss{}t das \emph{Punktspektrum} von $T$. 
  \item $\sigma_c(T):=\{\lambda\in\K\colon T-\lambda \text{
      injektiv},\, \ol{R(T-\lambda)}=X,\, (T-\lambda)^{-1}\colon
    R(T-\lambda)\to X \text{ nicht stetig}\}$ hei\ss{}t das
    \emph{kontinuierliche Spektrum} von $T$.
  \item
    $\sigma_r(T):=\{\lambda\in\K\colon T-\lambda \text{ injektiv},\,
    \ol{R(T-\lambda)}\neq X\}$ hei\ss{}t das \emph{residuelle
      Spektrum} oder \emph{Restspektrum} von $T$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}[Neumannsche Reihe]
  Sei $X$ ein Banachraum. Sei $T\in L(X)$ mit $\Vert T\Vert<1$. Dann
  ist $\id-T\equiv\eins-T$ invertierbar, es gelten
  $(\eins-T)^{-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty T^n\in L(X)$ und
  $\Vert(\eins-T)^{-1}\Vert\le\frac1{1-\Vert T\Vert}$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der geometrischen Reihe konvergiert die Reihe absolut:
  \[\left\Vert\sum\limits_{n=0}^NT^n\right\Vert\le
  \sum\limits_{n=0}^N\left\Vert T^n\right\Vert 
  \le\sum\limits_{n=0}^N\Vert T\Vert^n
  \le\sum\limits_{n=0}^\infty\Vert T\Vert^n =\frac1{1-\Vert T\Vert}.\]
  Die angegebene Reihe ist invers zu $\eins-T$, denn es
  gilt \[\sum\limits_{n=0}^N T^n\cdot(\eins-T) =\eins-T^{N+1}
  =(\eins-T)\cdot \sum\limits_{n=0}^NT^n.\] Mit $N\to\infty$ folgt die
  Behauptung, da $\left\Vert T^{N+1}\right\Vert\le\Vert
  T\Vert^{N+1}\to0$.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{invertierbar offen cor}
  Seien $X,Y$ Banachr\"aume. Sei $T\in L(X,Y)$, $S\in L(Y,X)$ und
  gelte $ST=\eins_X$ sowie $TS=\eins_Y$. $S$ hei\ss{}t dann Inverse zu
  $T$. Dann gibt es eine Umgebung $U$ von $T$ in $L(X,Y)$, so dass
  alle $\tilde T\in U$ eine Inverse in $L(Y,X)$ besitzen.
\end{corollary}
Der Beweis funktioniert auch f\"ur einseitige Inverse. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei \[U:=\left\{\tilde T\in L(X,Y)\colon \Vert S\Vert\cdot
    \big\Vert\tilde T-T\big\Vert<1\right\}.\] Sei $\tilde T\in U$
  beliebig. Es gilt $S\tilde T=ST+S\big(\tilde T-T\big)
  =\eins+S\big(\tilde T-T\big)$. Dann ist $S\tilde T\in L(X)$ mit
  $\big\Vert\eins-S\tilde T\big\Vert =\big\Vert S\big(\tilde
  T-T\big)\big\Vert \le\Vert S\Vert\cdot\big\Vert\tilde
  T-T\big\Vert<1$. Somit ist $S\tilde T=\eins-\left(\eins-S\tilde
    T\right)$ mit Hilfe der Neumannschen Reihe invertierbar. Sei $A\in
  L(X)$ die Inverse zu $S\tilde T$. Es folgt $\eins=(AS)\tilde T$.\par
  Analog bekommen wir eine rechtsseitige Inverse.\par Rechtsseitige
  und linksseitige Inverse stimmen \"uberein. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $X$ ein Banachraum. Sei $T\in L(X)$. Dann ist
  $\sigma(T)\subset\K$ abgeschlossen.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir haben in Korollar \ref{invertierbar offen cor} gezeigt, dass
  $\K\setminus\sigma(T)=\rho(T)$ offen ist. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $X$ ein Banachraum. Sei $T\in L(X)$. Dann ist
  $\sigma(T)$ kompakt.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\lambda\in\K$ mit $|\lambda|>\Vert T\Vert$. Dann ist $T-\lambda
  =(-\lambda)(\eins-\lambda^{-1}T)$ invertierbar, da
  $\Vert\lambda^{-1}T\Vert<1$ gilt. Somit ist $\sigma(T)$ beschr\"ankt
  und die Behauptung folgt, da $\sigma(T)$ abgeschlossen ist.
\end{proof}

\subsection{Selbstadjungierte Operatoren}

In diesem Kapitel benutzen wir auch \cite{WittstockLinOp}.

\begin{proposition}[Adjungierte Abbildung]
  Seien $E,F$ normierte R\"aume. Sei $A\in L(E,F)$. Dann gibt es eine
  Abbildung $A^*\in L(F^*,E^*)$, die adjungierte oder duale Abbildung
  mit \[\langle Ax,w\rangle =\langle x,A^*w\rangle\] f\"ur alle
  $(x,w)\in E\times F^*$. Die Abbildung $A^*$ ist eindeutig bestimmt
  und es gilt $\Vert A\Vert =\Vert A^*\Vert$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \textbf{Existenz:} Sei $w\in F^*$. Dann ist
  $\phi(x):=\langle Ax,w\rangle$ mit $x\in E$ eine lineare Form auf
  $E$. Es gilt $\phi\in E^*$, \dh $\phi$ ist stetig: Es gilt
  n\"amlich \[|\phi(x)| =|\langle Ax,w\rangle| \le\Vert
  w\Vert\cdot\Vert Ax\Vert \le (\Vert w\Vert\cdot\Vert
  A\Vert)\cdot\Vert x\Vert\] und daher $\Vert\phi\Vert\le\Vert
  w\Vert\cdot\Vert A\Vert$. Definiere nun $A^*w:=\phi$. Nach
  Definition von $\phi$ ist $A^*$ linear, also eine lineare Abbildung
  von $F^*$ nach $E^*$. Aus $\Vert A^*w\Vert\le\Vert w\Vert\cdot\Vert
  A\Vert$ folgt $\Vert A^*\Vert\le\Vert A\Vert$. Andererseits folgt
  aus der Definition von $A^*$ die Gleichheit $\langle Ax,w\rangle
  =\langle x,A^*w\rangle$ und somit gilt
  \[|\langle Ax,w\rangle| =|\langle
  x,A^*w\rangle| \le\Vert A^*w\Vert\cdot\Vert x\Vert \le\Vert
  A^*\Vert\cdot\Vert w\Vert\cdot\Vert x\Vert.\] Hieraus folgt mit
  einem Korollar zum Satz von Hahn-Banach, siehe Korollar \ref{Hahn
    Banach dual cor}, $\Vert Ax\Vert\le\Vert A^*\Vert\cdot\Vert
  x\Vert$ f\"ur alle $x\in E$. Wir erhalten $\Vert A\Vert\le\Vert
  A^*\Vert$.\par
  \textbf{Eindeutigkeit:} Sei $A'\in L(F^*,E^*)$ eine Abbildung, die
  ebenfalls $\langle Ax,w\rangle =\langle x,A'w\rangle$ f\"ur alle
  $(x,w)\in E\times F^*$ erf\"ullt. Dann erhalten wir $\langle
  x,(A^*-A')w\rangle=0$ f\"ur alle $(x,w)\in E\times F^*$ und somit
  $A^*w=A'w$ f\"ur alle $w\in F^*$.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Sei $A\in L(H)$. Seien $x,y\in H$. Sei
  $I\colon H^*\to H$ wie im Satz von Riesz, Theorem \ref{Riesz
    thm}. In der folgenden Rechnung schreiben wir explizit hin, wenn
  es sich um das Skalarprodukt und nicht im die Paarung zwischen $H$
  und $H^*$ handelt. Es gilt
  \begin{align*}
    \langle Ax,y\rangle_{\text{Skp.}} =&\,\left\langle
    Ax,I^{-1}y\right\rangle =\left\langle x,A^*I^{-1}y\right\rangle
  =\left\langle x,I^{-1}IA^*I^{-1}y\right\rangle\umbruch\\
  =&\,\left\langle x,IA^*I^{-1}y\right\rangle_{\text{Skp.}}.
  \end{align*}
  Dann nennen wir $IA^*I^{-1}\in L(H)$ die
  \emph{Hilbertraumadjungierte} von $A$ und bezeichnen diese Abbildung
  wieder mit $A^*$. \par
  Gilt $A=A^*$, so hei\ss{}t $A$ \emph{selbstadjungiert}.
\end{definition}
Statt der Rechnung mit $I\colon H^*\to H$ in der Definition der
Hilbertraumadjungierten kann man den Beweis der Existenz einer
allgemeinen Adjungierten auch an Hilbertr\"aume anpassen (\"Ubung).

\begin{proposition}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Dann hat die Abbildung $*\colon L(H)\to
  L(H)$ mit $A\mapsto A^*$ die folgenden Eigenschaften: 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $A^{**}=A$, \dh $*$ ist eine Involution.
  \item $(\lambda A+\mu B)^*=\bar\lambda A^*+\bar\mu B^*$ f\"ur
    $\lambda,\mu\in\K$,
  \item $(AB)^*=B^*A^*$,
  \item $\Vert A\Vert=\Vert A^*\Vert$,
  \item $\Vert AA^*\Vert=\Vert A\Vert^2$.
  \item Besitzt $A$ eine stetige Inverse, so auch $A^*$. Es gilt dann
    $(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$.
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $H$ ein Hilbertraum.  Ein Operator $A\in L(H)$ hei\ss{}t
  \emph{normal}, falls $AA^*=A^*A$ gilt.
\end{definition}

\begin{proposition}\label{sa erhalten prop}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(A_n)_{n\in\N}$ eine Folge selbstadjungierter Operatoren,
    $A\in L(H)$ und gelte $A_n\to A$ punktweise (oder sogar in der
    Operatornorm). Dann ist $A$ selbstadjungiert.
  \item Seien $A,B$ selbstadjungiert. Dann ist die Verkn\"upfung $AB$
    genau dann selbstadjungiert, wenn $A$ und $B$ vertauschen.
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item  Seien $x,y\in H$ beliebig. Dann folgt
    \[\langle Ax,y\rangle \leftarrow\langle A_nx,y\rangle =\langle
    x,A_ny\rangle \to\langle x,Ay\rangle\] f\"ur $n\to\infty$ und
    damit die Behauptung.
  \item Dies folgt aus $AB\overset?=(AB)^*=B^*A^*=BA$, wobei die
    Gleichheitszeichen stets gelten. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}\label{RA NA lem}
  Sei $H$ ein Hilbertraum.  Sei $A\in L(H)$. Dann gilt
  $H=\ol{R(A)}\oplus N(A^*)=\ol{R(A^*)}\oplus N(A)$. Die Summanden
  stehen jeweils senkrecht aufeinander.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $A^{**}=A$ gen\"ugt es, die erste Gleichheit zu beweisen. \par
  Wir erinnern weiterhin an Lemma \ref{orth compl lem}, wonach
  $\ol{R(A)}^\perp =R(A)^\perp$ gilt. \par
  \glqq$N(A^*)\subset\ol{R(A)}^\perp$\grqq: Sei $y\in N(A^*)$. Dann
  gilt $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^*y\rangle =0$ f\"ur alle
  $x\in H$. Also ist $y\in R(A)^\perp$. \par
  \glqq$\ol{R(A)}^\perp\subset N(A^*)$\grqq: Sei
  $y\in\ol{R(A)}^\perp$. Dann folgt $\langle x,A^*y\rangle =\langle
  Ax,y\rangle =0$ f\"ur alle $x\in H$. Somit ist $y\in N(A^*)$. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Seien $A,B\in L(H)$ selbstadjungiert.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $A$ \emph{kleiner} als $B$, $A\le B$, falls
    $\langle Ax,x\rangle \le\langle Bx,x\rangle$ f\"ur alle $x\in H$
    gilt.
  \item $A$ hei\ss{}t \emph{positiv (semidefinit)} oder
    \emph{monoton}, falls $0\le A$ gilt.
  \item $A$ hei\ss{}t \emph{gleichm\"a\ss{}ig positiv definit}, falls
    es ein $c>0$ mit \[c\cdot\Vert x\Vert^2\le \langle Ax,x\rangle\]
    f\"ur alle $x\in H$ gibt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Ist $A\ge0$, so gilt auch $A^n\ge0$, da wir rund die H\"alfte der
  Operatoren $A$ im Skalarprodukt auf die andere Seite schreiben
  d\"urfen. 
\end{remark}

\begin{theorem}
  \label{unten beschr inv thm}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Erf\"ulle $A\in L(H)$ \[\Vert Ax\Vert\ge
  c\Vert x\Vert\quad\text{f\"ur alle }x\in H\] f\"ur ein $c>0$ und sei
  $A^*$ injektiv. Dann ist $A$ stetig
  invertierbar.
\end{theorem}
Die Injektivit\"at von $A^*$ ist automatisch gegeben, wenn $A$
selbstadjungiert ist. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $R(A)$ ist abgeschlossen, denn aus $Ax_x=y_n\to y$
    folgt \[\Vert x_n-x_m\Vert\le\frac 1c\Vert Ax_n-Ax_m\Vert =\frac
    1c\Vert y_n-y_m\Vert.\] Somit bilden die $x_n$ eine
    Cauchyfolge. Gelte $x_n\to x$. Dann folgt $Ax=y$. 
  \item Nach Lemma \ref{RA NA lem} gilt $H=N\left(A^*\right)\oplus
    \ol{R(A)}$. Nach Voraussetzung ist $N\left(A^*\right)=\{0\}$. Da
    $R(A)$ abgeschlossen ist, folgt $H=R(A)$. Somit ist $A$ bijektiv.
  \item Sei $B$ die Inverse zu $A$. Dann ist $B$ linear und wegen 
    \[\Vert By\Vert\le\tfrac1c\Vert ABy\Vert =\tfrac1c\Vert y\Vert\]
    f\"ur alle $y\in H$ ist $B$ auch beschr\"ankt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{sa spekt reel thm}
  Sei $H$ ein Hilbertraum und sei $A\in L(H)$ selbstadjungiert. Dann
  gilt $\sigma(A)\subset\R$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt \[\langle Ax,x\rangle -\lambda\Vert x\Vert^2
  =\langle(A-\lambda\eins)x,x\rangle.\] Da $A$ selbstadjungiert ist,
  gilt $\langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle =\ol{\langle
    Ax,x\rangle}$. Folglich ist dieser Ausdruck reell.  Da $A$
  selbstadjungiert ist, erhalten wir
  weiterhin \[|\Imag\lambda|\cdot\Vert x\Vert^2
  =|\Imag\langle(A-\lambda\eins)x,x\rangle|
  \le\Vert(A-\lambda\eins)x\Vert\cdot\Vert x\Vert.\] Es ist
  $(A-\lambda\eins)^*=A-\ol\lambda\eins$. \par Sei nun
  $\lambda\in\C\setminus\R$.  Wir erhalten
  \[\left\langle\left(A-\bar\lambda\eins\right)x,x\right\rangle
  =\underbrace{\langle Ax,x\rangle}_{\in\R}
  -\ol\lambda\underbrace{\Vert x\Vert^2}_{\in\R}\not\in\R\] 
  f\"ur $x\neq0$. Somit ist $(A-\lambda\eins)^*$ injektiv. Nach
  Theorem \ref{unten beschr inv thm} ist $A-\lambda\eins$ daher stetig
  invertierbar. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $H$ ein Hilbertraum und sei $A\in L(H)$ mit $A\ge0$. Dann gilt
  $\sigma(A)\subset[0,\infty)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{sa spekt reel thm} gilt stets
  $\sigma(A)\subset\R$. F\"ur $\lambda<0$ erf\"ullt
  $B:=A-\lambda\eins$ die Voraussetzungen aus Theorem \ref{unten
    beschr inv thm}:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $x\neq0$. Dann gilt
    \[\Vert Bx\Vert =\Vert Ax-\lambda\eins x\Vert \ge\frac{\langle
      Ax-\lambda\eins x,x\rangle}{\Vert x\Vert}
    \ge\frac{0-\lambda\Vert x\Vert^2}{\Vert x\Vert} =-\lambda\Vert
    x\Vert\equiv c\Vert x\Vert.\]
  \item Es gilt $B^*=B$ und die Injektivit\"at von $B$ folgt aus der
    obigen Absch\"atzung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Satz von Vigier]\label{vigier satz}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Sei $(A_n)_{n\in\N}$ eine Folge von
  selbstadjungierten Operatoren in $L(H)$ mit \[A_0\le
  A_1\le\ldots\le\kappa\eins\] f\"ur ein $\kappa>0$. Dann gibt es
  einen selbstadjungierten Operator $A\in L(H)$ mit $A_n\to A$
  punktweise.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir bemerken zun\"achst, dass man f\"ur selbstadjungierte Operatoren
  $B\ge0$ \"ahnlich wie in der Linearen Algebra eine
  Cauchy-Schwarzsche Ungleichung \[|\langle Bx,y\rangle|^2\le\langle
  Bx,x\rangle\langle By,y\rangle\] f\"ur alle $x,y\in H$ zeigt:
  Betrachte das Skalarprodukt
  $\langle(B+\epsilon\eins)\cdot,\cdot\rangle$ und lasse am Ende
  $\epsilon\to0$. \par
  Gelte ohne Einschr\"ankung $0\le A_0$ und $\kappa=1$. Es gen\"ugt
  nach Proposition \ref{sa erhalten prop} nachzuweisen, dass
  $(A_nx)_{n\in\N}$ f\"ur jedes $x\in H$ eine Cauchyfolge ist, da
  Linearit\"at und Stetigkeit erhalten sind. \par Sei $x\in H$ und sei
  $n>m\ge0$. Dann gilt $0\le A_n-A_m\le\eins$ und daraus erhalten wir
  mit der verallgemeinerten Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
  \begin{align*}
    \Vert(A_n-A_m)x\Vert^4 =&\,\langle(A_n-A_m)x,
    (A_n-A_m)x\rangle^2\umbruch\\
    \le&\,\langle(A_n-A_m)x,x\rangle\left\langle(A_n-A_m)^2x,
      (A_n-A_m)x\right\rangle\umbruch\\
    \le&\,\langle(A_n-A_m)x, x\rangle\Vert A_n-A_m\Vert^3\Vert
    x\Vert^2\umbruch\\
    \le&\,(\langle A_nx,x\rangle-\langle A_mx,x\rangle) \Vert
    x\Vert^2.
  \end{align*}
  Da die Folge $\langle A_nx,x\rangle$ eine monotone beschr\"ankte
  reelle Folge ist, ist sie eine Cauchyfolge. Somit ist auch
  $(A_nx)_{n\in\N}$ eine Cauchyfolge. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\subsection{Kompakte Operatoren}

\begin{definition}
  Seien $E,F$ normierte R\"aume und $f\colon E\to F$ eine Abbildung. 
  Dann hei\ss{}t $f$
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item schwach \emph{(folgen-)stetig}, falls aus $x_n\wto y$ auch
    $f(x_n)\wto f(y)$ folgt. 
  \item \emph{voll (folgen-)stetig}, falls $x_n\wto y$ impliziert,
    dass $f(x_n)\to f(y)$ gilt.
  \item \emph{kompakt}, falls Bilder beschr\"ankter Mengen relativ
    kompakt ($=$ kompakter Abschluss) sind.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{proposition}
  Seien $E,F$ normierte R\"aume. Sei $A\colon E\to F$ linear. Dann
  gilt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $A$ ist genau dann stetig, wenn $A$ schwach stetig ist. 
  \item Ist $A$ kompakt, so ist $A$ vollstetig.
  \item Ist $A$ vollstetig, so ist $A$ stetig. 
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \Hinrichtung Sei $A$ stetig und gelte $x_n\wto x$. Sei $w\in
    F^*$. Dann gilt \[\langle Ax_n,w\rangle =\langle x_n,A^*w\rangle
    \to\langle x,A^*w\rangle =\langle Ax,w\rangle.\] \Rueckrichtung
    Sei $A$ schwach stetig. Nehme an, dass $A$ nicht stetig ist. Dann
    ist $A$ nicht beschr\"ankt. Es gibt also eine Folge $(x_n)_n$ in
    $E$ mit $\Vert Ax_n\Vert> n\Vert x_n\Vert$. Wir definieren
    $y_n:=\frac1{\sqrt n}\frac{x_n}{\Vert x_n\Vert}$. Dann gilt
    $y_n\to0$, also auch $y_n\wto0$. Es gilt aber $\Vert
    Ay_n\Vert\ge\sqrt n$ sowie $Ay_n\wto 0$. Dies ist ein Widerspruch,
    da jede schwach konvergente Folge beschr\"ankt ist.
  \item Sei $A$ kompakt und gelte $x_n\wto x$. $A$ ist beschr\"ankt,
    da $A$ beschr\"ankte Mengen auf beschr\"ankte Mengen abbildet. Die
    Folge $(x_n)_{n\in\N}$ ist beschr\"ankt, da schwach
    konvergent. Somit ist $(Ax_n)_{n\in\N}$ relativ kompakt. Wir
    finden also eine (ohne Einschr\"ankung nicht umbenannte)
    konvergente Teilfolge. \par Wir behaupten, dass $Ax_n\to Ax$
    konvergiert. Dann besitzt n\"amlich jede Teilfolge der
    urspr\"unglichen Folge $Ax_n$ eine Teilfolge, die gegen $Ax$
    konvergiert. Da der Grenzwert von der Auswahl der ersten Teilfolge
    unabh\"angig ist, konvergiert (aufgrund eines einfachen
    Widerspruchsargumentes) die gesamte Folge. \par Nehme an, dass
    $Ax_n\to z$ gilt. Sei $w\in F^*$. Wir erhalten \[\langle
    z,w\rangle \leftarrow\langle Ax_n,w\rangle =\langle
    x_n,A^*w\rangle\to \langle x,A^*w\rangle =\langle Ax,w\rangle.\]
    Somit ist $Ax=z$ und die Behauptung folgt.
  \item Klar. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Projektoren}
\begin{definition}
  Sei $H$ ein Hilbertraum.  Ein \emph{Projektor} $P$ ist ein
  idempotenter ($P^2=P$) selbstadjungierter Operator in $L(H)$.
\end{definition}

\begin{proposition}
  Sei $M\subset H$ ein abgeschlossener Unterraum eines
  Hilbertraumes. Dann ist die Projektion auf $M$ wie in Theorem
  \ref{proj konv TM thm} oder Korollar \ref{abg tr dir sum hr cor} ein
  Projektor. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $H=M\oplus M^\perp$ und $z=x+y$ mit $(x,y)\in M\times M^\perp$
  wie in Korollar \ref{abg tr dir sum hr cor} zerlegt. Dann ist
  $Pz=x$. Die Linearit\"at folgt aus der Zerlegung $H=M\oplus
  M^\perp$. Die Stetigkeit haben wir in Theorem \ref{naechster pkt konv
    menge stetig} bereits nachgewiesen. Aus $\Vert z\Vert^2=\Vert
  Pz\Vert^2+\Vert y\Vert^2$ folgt sogar $\Vert P\Vert\le1$. $P^2=P$
  ist klar. \par
  $P$ ist selbstadjungiert: Seien $z_1=x_1+y_1$ und $z_2=x_2+y_2$
  Zerlegungen wie oben. Dann folgt $Pz_i=x_i$ f\"ur $i=1,2$
  und \[\langle Pz_1,z_2\rangle =\langle x_1,z_2\rangle =\langle
  x_1,x_2\rangle =\langle z_1,x_2\rangle =\langle
  z_1,Pz_2\rangle.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{proposition}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Sei $P\in L(H)$ ein Projektor. Dann ist
  $M:=R(P)=P(H)$ ein abgeschlossener Unterraum, der genau die
  Fixpunkte von $P$ enth\"alt. $P$ ist die Projektion aus Theorem
  \ref{proj konv TM thm} auf $M$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da $P$ linear ist, ist $M$ ein Unterraum.
  \item Sei $x$ ein Fixpunkt, so gilt $Px=x$, also $x\in P(H)=M$.\par
    Sei umgekehrt $x\in P(H)$, so existiert ein $y\in H$ mit
    $Py=x$. Also folgt $x=Py=P^2y=Px$. Somit ist $x$ auch ein
    Fixpunkt.\par Wegen $M=\{x\in H\colon Px-\eins x=0\}$ ist $M$
    abgeschlossen. 
  \item Sei $x\in H$ beliebig. Dann ist $x-Px\in M^\perp$, denn es
    gilt f\"ur beliebiges $y\in H$ \[\langle x-Px,Py\rangle =\langle
    Px-P^2x,y\rangle =0.\] Dies liefert eine Zerlegung $x=Px+(x-Px)$
    mit $Px\in M$ und $x-Px\in M^\perp$.  Um zu sehen, dass $P$ mit
    der Projektion auf $M$ aus Theorem \ref{proj konv TM thm}
    \"ubereinstimmt, zeigen wir, dass $Px$ das n\"achste Element aus
    $M$ zu $x$ ist. Beliebige andere Elemente aus $M$ lassen sich als
    $Px+y$ mit $y\in M$ darstellen. Nun gilt \[\Vert x-Px\Vert^2
    \le\Vert \underbrace{x-Px}_{\in M^\perp}\Vert^2+\Vert \underbrace
    y_{\in M}\Vert^2 =\Vert x-Px-y\Vert^2\] mit Gleichheit genau f\"ur
    $y=0$. Die Behauptung folgt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $H$ ein Hilbertraum und $A\in L(H)$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein Teilraum $M\subset H$ hei\ss{}t bez\"uglich $A$
    \emph{invariant}, falls $A(M)\subset M$ gilt.
  \item Ein Teilraum $M\subset H$ hei\ss{}t bez\"uglich $A$
    \emph{reduzierend}, falls $M$ bez\"uglich $A$ und bez\"uglich
    $A^*$ invariant ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{proposition}\label{inv aequiv prop}
  Sei $M\subset H$ ein abgeschlossener Unterraum eines Hilbertraumes,
  $P$ der Projektor auf $M$. Sei $A\in L(H)$. Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{inv aequiv prop i} $M$ ist genau dann bez\"uglich $A$
    invariant, wenn $P\circ A\circ P=A\circ P$ gilt.
  \item $M$ reduziert $A$ genau dann, wenn $A$ und $P$ vertauschen. 
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $P\circ A\circ P=A\circ P$ ist \"aquivalent zu $PAx=Ax$ f\"ur
    alle $x\in M$. Dies ist \"aquivalent zur Invarianz von $M$. 
  \item \Hinrichtung Angenommen, $M$ reduziert $A$. Dann gilt nach
    \eqref{inv aequiv prop i} $PA^*P=A^*P$ und ebenso
    $PAP=AP$. Hieraus folgt \[PA =(A^*P)^* =(PA^*P)^* =PAP =AP.\]
    \Rueckrichtung Gelte nun $AP=PA$. Dann folgt $AP=APP=PAP$, also
    $A(M)\subset M$. \par Aus $AP=PA$ folgt $A^*P=PA^*$ und dann
    ebenso, dass $A^*(M)\subset M$ gilt. Also reduziert $M$ den
    Operator $A$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proposition}\label{proj orth kompl prop}
  Sei $M\subset H$ ein abgeschlossener Teilraum eines
  Hilbertraumes. Dann gilt f\"ur die
  Projektoren \[\pr_{M^\perp}=\eins-\pr_M.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  $\pr_{M}$ sowie $\eins-\pr_{M}$ sind selbstadjungiert
  und es gilt $(\eins-\pr_M)^2 =\eins -\pr_M -\pr_M +\pr_M^2
  =1-\pr_M$. Somit ist $\eins-\pr_M$ ein Projektor. Aus der Zerlegung
  $H =M\oplus M^\perp$ folgt direkt, dass $(\eins-\pr_M)(H)=M^\perp$
  gilt. Somit ist $\eins-\pr_M$ ein Projektor auf $M^\perp$.
\end{proof}

\begin{proposition}
  \label{red prop}
  Ein abgeschlossener Teilraum $M\subset H$ eines Hilbertraumes ist
  genau dann ein $A\in L(H)$ reduzierender Teilraum, wenn $A$ die
  R\"aume $M$ und $M^\perp$ invariant l\"asst. \par In diesem Fall
  gibt es zu $A$ Operatoren $A_1\in L(M)$ und $A_2\in
  L\left(M^\perp\right)$, so dass $A$, wenn wir $H$ als $H=M\oplus
  M^\perp$ zerlegen, als \[A=
  \begin{pmatrix}
    A_1&0\\
    0&A_2
  \end{pmatrix}\]
  dargestellt werden kann, \dh es gilt f\"ur $x=x_1+x_2$ mit $x_1\in
  M$ und $x_2\in M^\perp$ \[Ax=A_1x_1+A_2x_2,\] 
  wobei wir $A_1x_1\in M$ und $A_2x_2\in M^\perp$ als Elemente in $H$
  betrachten. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \Hinrichtung Reduziert $M$ den Operator $A$, so
  vertauscht $A$ mit $\pr_M$, also auch mit
  $\pr_{M^\perp}=\eins-\pr_M$. Daher reduziert auch $M^\perp$ den
  Operator $A$. Somit sind $M$ und $M^\perp$ unter $A$ invariante
  Unterr\"aume. \par
  \Rueckrichtung Nehme an, dass $A$ die R\"aume $M$ und $M^\perp$
  invariant l\"asst. Setze $P:=\pr_M$. Dann folgt $AP=PAP$ nach
  Proposition \ref{inv aequiv prop}. Aus der Invarianz von $M^\perp$
  folgt ebenso $A(\eins-P)=(\eins-P)A(\eins-P)$. Wir multiplizieren
  aus und erhalten \[A-AP =A-PA\underbrace{-AP +PAP}_{=0} =A-PA.\]
  Somit vertauschen $A$ und $P$ und wir erhalten nach Proposition
  \ref{inv aequiv prop}, dass $M$ den Operator $A$ reduziert. \par
  Die Zerlegung von $A$ in Blockmatrixgestalt folgt direkt aus der
  Invarianz von $M$ und $M^\perp$ unter $A$.
\end{proof}

\begin{proposition}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Seien $P_1,P_2\in L(H)$ Projektoren auf
  $M_1$ bzw.{} $M_2$. Dann ist $P:=P_1\circ P_2$ genau dann ein
  Projektor, wenn $[P_1,P_2]=0$ gilt. In diesem Fall ist $P$ ein
  Projektor auf den Raum $M:=M_1\cap M_2$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Proposition \ref{sa erhalten prop} ist $P$ genau dann
  selbstadjungiert, wenn $[P_1,P_2]=0$ gilt. Hieraus folgt
  dann \[P^2=P_1\circ P_2\circ P_1\circ P_2 =P_1^2\circ P_2^2
  =P_1\circ P_2 =P.\] Somit ist $P$ ein Projektor. \par 
  Aus $P=P_1\circ P_2$ folgt $R(P)\subset M_1$. Ebenso folgt aus
  $P=P_2\circ P_1$ die Inklusion $R(P)\subset M_2$. Insgesamt erhalten
  wir also $R(P)\subset M_1\cap M_2$. 
\end{proof}

\begin{proposition}\label{komm orthog prop}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Seien $P_1,P_2\in L(H)$ Projektoren auf
  $M_1$ bzw.{} $M_2$. Dann gilt $M_1\perp M_2$ genau dann, wenn
  $P_1\circ P_2=0$ ist.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt
  \Hinrichtung Seien $M_1$ und $M_2$ orthogonal zueinander. Seien
  $x,y\in H$ beliebig. Dann folgt $0=\langle P_1x,P_2y\rangle =\langle
  x,P_1P_2 y\rangle$. Somit ist $P_1P_2=0$. \par
  \Rueckrichtung Seien $x\in M_1$ und $y\in M_2$. Dann gilt $\langle
  x,y\rangle =\langle P_1x,P_2y\rangle =\langle x,P_1P_2y\rangle =0$. 
\end{proof}

\begin{proposition}\label{orth sum proj}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Seien $P_1,P_2\in L(H)$ Projektoren auf
  $M_1$ bzw.{} $M_2$. Dann ist $P:=P_1+P_2$ genau dann ein Projektor,
  wenn $P_1\circ P_2=0$ gilt. In diesem Fall ist $P$ ein Projektor auf
  $M=M_1\oplus M_2$, die orthogonale Summe von $M_1$ und $M_2$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \Hinrichtung Ist $P$ ein Projektor, so ist $P$
  idempotent. W\"are $P_1P_2\neq0$, so folgt nach Korollar \ref{komm
    orthog prop}, dass $M_1\not\perp M_2$ gilt. Ohne Einschr\"ankung
  nehmen wir also an, dass es $M_1\ni x =y_2+y_2^\perp$ mit
  $\left(y_2,y_2^\perp\right)\in M_2\times M_2^\perp$ und $y_2\neq0$
  gibt. Dann gelten $P_1x=x$, $P_2y_2=y_2$ und $P_2y_2^\perp=0$. Wir
  erhalten also
  \begin{align*}
    Px=&\,(P_1+P_2)(x) =x+P_2\left(y_2+y_2^\perp\right) =x+y_2\\
    =P^2x =&\,(P_1+P_2)(x+y_2) =x+P_1y_2 +P_2x +P_2y_2
    =x+P_1y_2+y_2+y_2 
    \intertext{und hieraus folgt}
    P_1y_2=&\,-y_2.
  \end{align*}
  Also ist $y_2\neq0$ ein Eigenvektor von $P_1$ zum Eigenwert
  $-1$. Dies ist absurd, da Projektoren nur die Eigenwerte $0$ oder
  $1$ haben k\"onnen, es gilt n\"amlich f\"ur einen Eigenvektor $z$
  zum Eigenwert $\lambda$ stets \[\lambda z =Pz =P^2z =P(\lambda z)
  =\lambda^2z,\] also $0=\lambda(\lambda-1)$. \par
  \Rueckrichtung Gelte $P_1P_2=0$. Aus Korollar \ref{komm orthog prop} 
  erhalten wir auch $P_2P_1=0$. Somit ist $P:=P_1+P_2$
  idempotent. Nach Proposition \ref{sa erhalten prop} oder direkter
  \"Uberlegung ist $P$ auch selbstadjungiert.\par
  Sei also $P$ ein Projektor. Die R\"aume $M_1,M_2\subset H$ stehen
  orthogonal aufeinander. F\"ur $x=x_1+x_2$ mit $x_i\in M_i$, $i=1,2$
  gilt $Px=P_1x_1+P_1x_2+P_2x_1+P_2x_2 =x_1+0+0+x_2=x$. Also gilt
  $M_1\oplus M_2\subset R(P)$. Andererseits gilt $R(P)\subset
  R(P_1)\oplus R(P_2) =M_1\oplus M_2$. Somit folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{proposition}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Seien $M_i\subset H$, $i=1,2$,
  abgeschlossene Teilr\"aume mit zugeh\"origen Projektoren $P_i$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $P:=P_2-P_1$ genau dann
    ein Projektor, wenn $M_1\subset M_2$ gilt. 
  \item $P$ projiziert auf das orthogonale Komplement von $M_1$ in
    $M_2$. 
  \item Es gilt \[M_1\subset M_2\quad \Longleftrightarrow\quad
    P_1=P_2P_1\quad \Longleftrightarrow\quad P_1\le P_2.\] 
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Nach Proposition \ref{proj orth kompl prop} ist $P=P_2-P_1$
    genau dann ein Projektor, wenn $Q:=\eins -P=(\eins-P_2)+P_1$ ein
    Projektor ist. Nach Proposition \ref{orth sum proj} ist dies
    \"aquivalent zu $(\eins -P_2)\circ P_1=0$ oder $P_1=P_2P_1$. Dies
    ist \"aquivalent zu $M_1\subset M_2$. 
  \item Betrachte die Einschr\"ankungen auf $M_2$. Dort ist $P_2$ die
    Identit\"at und die Behauptung folgt aus Proposition \ref{proj
      orth kompl prop}. Elemente von $M_2^\perp$ werden durch $P_1$
    und $P_2$ auf Null abgebildet. 
  \item Die erste \"Aquivalenz ist klar. \par \Hinrichtung Sei
    $M_1\subset M_2$. Dann gibt es einen abgeschlossenen Unterraum $M$
    von $H$ mit $M_2=M_1\oplus M$, wobei die Summe orthogonal ist, $M$
    also das orthogonale Komplement von $M_1$ in $M_2$. Sei $x\in
    H$. Es folgt $P_2x=P_1(P_2x)+\ol x=P_1x+\ol x$ f\"ur ein $\ol x\in
    M$. Da die Zerlegung orthogonal ist, erhalten wir $\Vert
    P_1x\Vert^2\le\Vert P_2x\Vert^2$ f\"ur $x\in H$. Da beide $P_i$'s
    selbstadjungiert sind, erhalten wir $\langle
    P_1x,x\rangle\le\langle P_2x,x\rangle$ f\"ur alle $x\in H$ und
    somit $P_1\le P_2$.\par
    \Rueckrichtung Sei $P_1\le P_2$. Sei $x\in M_1$. Dann folgt $\Vert
    x\Vert^2\le \Vert P_2x\Vert^2$ wie in den letzten Zeilen
    oben. Andererseits gilt $\Vert P_2x\Vert^2\le\Vert x\Vert$, da
    $P_2$ eine Projektion ist (zerlege $H$ in $M_2\oplus
    M_2^\perp$). Somit gilt $\Vert P_2x\Vert^2 =\Vert x\Vert^2$ f\"ur
    $x\in M_1$. Mittels orthogonaler Zerlegung von $M_1$ in $M_2\cap
    M_1$ und das zugeh\"orige orthogonale Komplement erhalten wir
    $P_2x=x$ f\"ur $x\in M_1$. Somit gilt $M_1\subset M_2$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Aus dem Satz von Vigier, Theorem \ref{vigier satz}, erhalten wir
\begin{proposition}\label{vigier cor prop}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Sei $(P_n)_{n\in\N}$ eine monoton
  wachsende (oder fallende) Folge von Projektoren $P_n\in L(H)$. Dann
  gibt es einen Projektor $P$, so dass $P_n\to P$ punktweise
  konvergiert.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $0\le P\le\eins$ ist jeder Projektor gleichm\"a\ss{}ig
  beidseitig beschr\"ankt. Betrachte ohne Einschr\"ankung den Fall
  einer monoton wachsenden Folge $P_0\le P_1\le P_2\le\ldots$. Nach
  dem Satz von Vigier konvergiert somit $P_n\to P$ punktweise und $P$
  ist selbstadjungiert. \par $P$ ist auch idempotent, denn es
  gilt \[\left\langle P^2x,y\right\rangle =\langle Px,Py\rangle
  =\lim\limits_{n\to\infty}\langle P_nx,P_ny\rangle
  =\lim\limits_{n\to\infty}\langle P_nx,y\rangle =\langle Px,y\rangle.
  \qedhere\]  
\end{proof}

\begin{remark}\label{bilder proj rem}
  Es ist leicht zu sehen, dass der punktweise Grenzwert $P$ einer
  monoton wachsenden Folge von Projektoren
  $P_n$ \[R(P)=\ol{\bigcup\limits_{n\in\N} R(P_n)}\] erf\"ullt. 
\end{remark}

\subsection{Orthonormalbasen}
\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X$ ein Banach- oder Hilbertraum. Dann hei\ss{}t
    $S\subset X$ \emph{Banach-} oder \emph{Hilbertraumbasis}, falls
    $S$ linear unabh\"angig ist und $\ol{\langle S\rangle}=X$ gilt.
  \item Eine Hilbertraumbasis $S$ von $H$ hei\ss{}t
    \emph{Orthonormalbasis}, falls $\Vert x\Vert=1$ und
    $\langle x,y\rangle=0$ f\"ur alle $x\neq y\in S$ gilt.
  \item Zur deutlicheren Unterscheidung bezeichnen wir eine Basis im
    Sinne der Linearen Algebra als \emph{Hamelbasis}. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Die Vektoren $\{e_i\}_{i\in\N}$ mit $e_i=(0,\ldots,0,\overset
  i1,0,\ldots)\in l^2(\N)$ bilden eine Orthonormalbasis von $l^2(\N)$,
  aber keine Hamelbasis von $l^2(\N)$.
\end{beispiel}

\begin{lemma}\label{endl dim proj lem}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. 
  Sei $\{e_1,\ldots,e_n\}$ ein Orthonormalsystem in $H$, \dh gelte
  $\langle e_i,e_j\rangle =\delta_{ij}$. Setze $M:=\langle e_1,\ldots,
  e_n\rangle$ und sei $P$ die Projektion auf $M$. Dann
  gilt \[Px=\sum\limits_{i=1}^n\langle x,e_i\rangle e_i.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $P_i$ als den Projektor auf den Teilraum $\langle
  e_i\rangle$. Dann gilt $P_ix =\langle x,e_i\rangle e_i$ f\"ur $x\in
  H$. Die Behauptung folgt nun aus Proposition \ref{orth sum proj} per
  Induktion. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Jeder separable Hilbertraum $H$ besitzt eine h\"ochstens
  abz\"ahlbare Orthonormalbasis, die durch Gram-Schmidt
  Orthonormalisierung aus einer gegebenen Basis gewonnen werden kann. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach dem Zornschen Lemma existiert eine Basis, die man aus einer
  abz\"ahlbaren dichten Teilmenge gewinnt. \par 
  Die Orthonormalisierung funktioniert genau so wie in der Linearen
  Algebra. Beachte dazu, dass die Erzeugnisse der ersten $n$ Vektoren
  einer gegebenen Basis und der Orthonormalisierung davon
  \"ubereinstimmen. 
\end{proof}

\begin{proposition}
  Sei $H$ ein unendlich dimensionaler Hilbertraum. Dann erf\"ullt eine
  orthonormale Folge $(e_n)_{n\in\N}$ genau dann
  $\ol{\langle\{e_n\colon n\in\N\}\rangle} =H$, wenn sie \[\Vert
  x\Vert^2 =\sum\limits_{n=0}^\infty|\langle x,e_n\rangle|^2\]
  (Parsevalsche Identit\"at) oder, \"aquivalent
  dazu, \[x=\sum\limits_{n=0}^\infty\langle x,e_n\rangle e_n\] f\"ur
  alle $x\in H$ erf\"ullt.
\end{proposition}
Vergleiche dies mit der Besselschen Ungleichung, Korollar \ref{bessel
  cor}.
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt
  \Hinrichtung Gelte $\ol{\langle\{e_n\colon
    n\in\N\}\rangle}=H$. Setze $M_n:=\langle e_0,\ldots,e_n\rangle$
  und $M=\bigcup\limits_{n=0}^\infty M_n$. Dann ist $M$ dicht in
  $H$. Definiere $P_n$ als den Projektor auf $M_n$. Aus Proposition
  \ref{vigier cor prop}, Bemerkung \ref{bilder proj rem} und Lemma
  \ref{endl dim proj lem} erhalten wir
  \begin{align*}
    \sum\limits_{i=0}^n\langle x,e_i\rangle e_i =&\,P_nx\to x
    \quad\text{f\"ur alle }x\in H
    \intertext{und somit}
    \sum\limits_{i=0}^n|\langle x,e_i\rangle|^2 =&\,\Vert P_nx\Vert^2
    \to\Vert x\Vert^2\quad\text{f\"ur alle }x\in H. 
  \end{align*}
  \Rueckrichtung Sei nun die Parsevalsche Identit\"at erf\"ullt. Wir
  definieren Projektoren $P_n$ durch $P_nx:=\sum\limits_{i=0}^n
  \langle x,e_i\rangle e_i$. Dann ist $(P_n)_{n\in\N}$ eine monoton
  wachsende beschr\"ankte Folge von Projektoren, konvergiert also
  punktweise gegen einen Projektor $P$. W\"are $P\neq\eins$, so folgt
  $R(P)\subsetneq H$. Ein zu $R(P)$ orthogonaler Vektor $y\neq0$ steht
  auch auf allen Vektoren $e_n$ senkrecht. Somit gilt f\"ur ihn die
  Parsevalsche Ungleichung nicht. Widerspruch. Aus $P=\eins$ folgt die
  Behauptung direkt.
\end{proof}

\subsection{Spektralsatz}
Die Zerlegung kompakter selbstadjungierter Operatoren ist eine
Verallgemeinerung der Resultate aus Kapitel 6.8, \glqq
Diagonalisierung von selbstadjungierten linearen Endomorphismen\grqq,
in \cite{OSLA1}.

\begin{lemma}\label{eigenraeume orthog lem}
  Sei $H$ ein Hilbertraum.  Sei $A\in L(H)$ selbstadjungiert. Dann
  sind alle Eigenwerte reell und die Eigenvektoren zu verschiedenen
  Eigenwerten sind orthogonal zueinander.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Lineare Algebra.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{komp sa ew lem}
  Sei $H$ ein Hilbertraum. Sei $A\in L(H)$ ein kompakter
  selbstadjungierter Operator. Sei die Familie $(e_i)_{i\in I}$ ein
  unendliches Orthonormalsystem aus Eigenvektoren von $A$ mit
  $Ae_i=\lambda_ie_i$ f\"ur $i\in I$. Dann ist $0$ der einzige
  H\"aufungspunkt der Familie $(\lambda_i)_{i\in I}$ und die Menge der
  Eigenwerte ist h\"ochstens abz\"ahlbar.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $|\lambda_i|\le\Vert A\Vert$ f\"ur $i\in I$ sind die
  Eigenwerte gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. Somit besitzen die
  Eigenwerte einen H\"aufungspunkt $\lambda\in\R$. \par Wir zeigen,
  dass $\lambda=0$ gilt. Somit gibt es auch h\"ochstens abz\"ahlbar
  viele Eigenwerte, da dann jeder Annulus um den Ursprung nur endlich
  viele Eigenwerte enthalten kann.\par Angenommen, es g\"alte doch
  $\lambda\neq0$. Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung $I=\N$ und
  $\lambda_i\to\lambda$ f\"ur $i\to\infty$ annehmen.  Seien $e_i$ die
  zugeh\"origen Eigenvektoren mit $\Vert e_i\Vert=1$. Nehme weiterhin
  ohne Einschr\"ankung $\lambda_i\neq0$ f\"ur alle $i\in\N$ und
  $e_i\wto e$ f\"ur ein $e\in H$ an. Es gilt
  $\lambda_i^{-1}Ae_i=e_i$. Da $A$ kompakt ist, folgt $Ae_i\to
  Ae$. Somit erhalten wir \[e_i=\lambda_i^{-1}Ae_i\to\lambda^{-1}Ae,\]
  die Vektoren $e_i$ konvergieren also nicht nur schwach, sondern
  sogar stark. Da der schwache Grenzwert eindeutig bestimmt ist, folgt
  auch $e_i\to e$. Da die Vektoren $(e_i)_{i\in\N}$ jedoch ein
  Orthonormalsystem bilden, gilt $\Vert e_i-e_j\Vert=\sqrt2$ f\"ur
  $i\neq j$. Widerspruch.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{komp eigenraum endl dim cor}
  Sei $H$ ein Hilbertraum.  Sei $A\in L(H)$ kompakt und
  selbstadjungiert. Ist $\lambda\neq0$ ein Eigenwert von $A$ mit
  Eigenraum $E_\lambda$, so gilt $\dim E_\lambda<\infty$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Andernfalls k\"onnten wir mit dem
  Gram-Schmidt\-schen-Ortho\-nor\-ma\-li\-sier\-ungs\-ver\-fah\-ren
  induktiv ein abz\"ahlbares Orthonormalsystem in $E_\lambda$
  konstruieren. Widerspruch zur Kompaktheit.
\end{proof}

Da wir f\"ur unendliche Vektorr\"aume i.\,a.{} keine Determinante und
somit auch kein charakteristisches Polynom haben, benutzen wir
variationelle Methoden um Eigenwerte zu finden. 
\begin{lemma}\label{sa besitzt ew lem}
  Sei $H$ ein Hilbertraum.  Sei $0\neq A\in L(H)$ ein kompakter
  selbstadjungierter Operator. Dann besitzt $A$ mindestens einen
  Eigenwert $\lambda\neq0$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte das Variationsproblem \[J(x)=\frac{\langle
    Ax,x\rangle}{\Vert x\Vert^2}\to\text{max}\] f\"ur $0\neq x\in H$
  oder, \"aquivalent dazu, \[j(x)=\langle Ax,x\rangle\to\text{max}\]
  f\"ur $x\in H$ mit $\Vert x\Vert=1$. \par
  Wir bemerken zun\"achst, dass \[\inf\limits_{\Vert x\Vert=1}\langle
  Ax,x\rangle =0 =\sup\limits_{\Vert x\Vert=1}\langle Ax,x\rangle,\]
  also $\langle Ax,x\rangle=0$ f\"ur alle $x$ nicht auftreten kann,
  da sonst f\"ur $\tilde x=x+Ax$ 
  \begin{align*}
    \langle A\tilde x,\tilde x\rangle =&\,\langle A(x+Ax),x+Ax\rangle
    =\langle Ax+AAx,x+Ax\rangle\umbruch\\ =&\,\underbrace{\langle
      Ax,x\rangle}_{=0} +2\underbrace{\langle Ax,Ax\rangle}_{=\Vert
      Ax\Vert^2} +\underbrace{\langle AAx,Ax\rangle}_{=0}    
  \end{align*}
  gilt, was nur f\"ur $A=0$ m\"oglich ist.\par
  Definiere $\lambda:=\sup\limits_{\Vert x\Vert=1}\langle
  Ax,x\rangle$.  Da $A$ selbstadjungiert ist, gilt $\lambda\in\R$.
  Wir nehmen ohne Einschr\"ankung (betrachte sonst $-A$) an, dass
  $\lambda>0$ gilt. \par Sei $x_n$, $n\in\N$, mit $\Vert x_n\Vert=1$
  eine Maximalfolge f\"ur $j$, \dh gelte $\langle Ax_n,x_n\rangle
  \to\lambda$. Eine ohne Einschr\"ankung nicht umbenannte Teilfolge
  konvergiert dann schwach: $x_n\wto x$. Da $A$ kompakt ist, folgt
  $Ax_n\to Ax$ und wir erhalten
  \[\langle Ax,x\rangle =\lim\limits_{n\to\infty}\langle
  Ax_n,x_n\rangle =\lambda>0.\] Somit ist $x\neq0$. Da $\{x\colon\Vert
  x\Vert\le 1\}$ nach Definition der Norm eine konvexe Menge ist
  (benutze $\Vert tx+(1-t)y\Vert\le t\Vert x\Vert +(1-t)\Vert
  y\Vert$), folgt nach dem Lemma von Mazur, Lemma \ref{mazur lem},
  $\Vert x\Vert\le1$ (Alternative: Benutze die Unterhalbstetigkeit der
  Norm unter schwacher Konvergenz.). Andererseits gilt \[\lambda
  =\sup\limits_{\Vert y\Vert=1}j(y) =\sup\limits_{y\neq0}J(y)\ge
  J(x)=\frac{\langle Ax,x\rangle}{\Vert x\Vert^2}
  =\frac{\lambda}{\Vert x\Vert^2}.\] Somit ist $\Vert
  x\Vert\ge1$. Also gilt $\Vert x\Vert=1$, das Funktional $j$ nimmt
  also, ebenso wie $J$, sein Maximum in $x$ an. \par Wir erhalten
  f\"ur beliebiges $y\in H$ und $t\in\R$ mit $|t|\ll1$, also
  $x+ty\neq0$, 
  \begin{align*}
    0=&\,\left.\dt J(x+ty)\right|_{t=0},\umbruch\\
    \langle A(x+ty),x+ty\rangle =&\,\langle Ax,x\rangle +t\langle
    Ax,y\rangle +t\langle Ay,x\rangle +t^2\langle
    Ay,y\rangle,\umbruch\\
    \langle Ax,y\rangle +\langle Ay,x\rangle =&\,\langle Ax,y\rangle
    +\langle y,Ax\rangle =\langle Ax,y\rangle +\ol{\langle
      Ax,y\rangle} =2\Real\langle Ax,y\rangle,\umbruch\\
    \Vert x+ty\Vert^2 =&\,\Vert x\Vert^2 +2t\Real\langle x,y\rangle
    +t^2\Vert y\Vert^2,\umbruch\\
    \left.\dt J(x+ty)\right|_{t=0} =&\,\frac2{\Vert x\Vert^4}
    \Big(\underbrace{\Vert x\Vert^2}_{=1}\cdot\Real\langle Ax,y\rangle
    -\underbrace{\langle Ax,x\rangle}_{=\lambda}\cdot\Real\langle
    x,y\rangle \Big)\umbruch\\
    =&\,2\Real\langle Ax-\lambda x,y\rangle.
  \end{align*}
  Somit folgt $Ax=\lambda x$. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Spektralsatz]
  Sei $H$ ein Hilbertraum und $A\in L(H)$ ein kompakter
  selbstadjungierter Operator. Dann besitzt $A$ h\"ochstens
  abz\"ahlbar viele Eigenwerte $(\lambda_i)_{i\in I}$. Sei $M_{\lambda_i}$
  der (abgeschlossene) Eigenraum zum Eigenwert $\lambda_i$ und
  $E_{\lambda_i}$ der Projektor auf $M_{\lambda_i}$. Dann
  gelten \[A=\sum\limits_{i\in I}\lambda_iE_{\lambda_i}\quad\text{und}
  \quad\eins=\sum\limits_{i\in I}E_{\lambda_i},\] wobei die Reihen
  punktweise konvergieren. \par Die Eigenr\"aume zu Eigenwerten
  $\lambda_i\neq0$ sind endlichdimensional. Gibt es abz\"ahlbar viele
  Eigenwerte $\lambda_i$, so k\"onnen wir $I=\N$ w\"ahlen und erhalten
  $\lambda_i\to0$ f\"ur $i\to\infty$. 
\end{theorem}
Ist $\dim H<\infty$, so ist dieser Satz bereits aus der Linearen
Algebra in \"aquivalenter Formulierung bekannt. 
\begin{proof}[Beweis]
  Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir $A\neq0$ annehmen. Ist
  $N(A)\neq\{0\}$, so ist $0$ ein Eigenwert mit Eigenraum $N(A)$.  Da
  $A$ selbstadjungiert ist, gilt nach Lemma \ref{RA NA lem}
  $\ol{R(A)}\oplus N(A)=H$. Somit ist $N(A)$ ein reduzierender
  Unterraum, siehe Proposition \ref{red prop}. Wir setzen $\mathcal
  H:=N(A)^\perp$. K\"onnen wir das Theorem f\"ur $A|_{\mathcal H}\in
  L(\mathcal H)$ zeigen, so folgt das Theorem auch f\"ur den
  urspr\"unglichen Operator $A$. Wir d\"urfen also ohne
  Einschr\"ankung annehmen, dass $N(A)=\{0\}$ gilt, dass also $A$
  injektiv ist. Wegen $A\neq0$ folgt auch $\mathcal H\neq\{0\}$. Der
  Fall $\dim\mathcal H<\infty$ ist aus der Linearen Algebra
  bekannt. Sei also $\dim\mathcal H=\infty$. \par
  Seien $(\lambda_i)_{i\in I}$, $I$ eine geeignete Indexmenge, die
  Eigenwerte von $A$ mit Eigenr\"aumen $M_{\lambda_i}$ und Projektoren
  $E_{\lambda_i}$. Gelte $\lambda_i\neq\lambda_j$ f\"ur $i\neq j$. Es
  gilt $\lambda_i\neq0$ f\"ur alle $i\in I$. Nach Lemma \ref{sa
    besitzt ew lem} besitzt $A$ mindestens einen Eigenwert. Nach Lemma
  \ref{komp sa ew lem} ist $I$ h\"ochstens abz\"ahlbar, also gilt ohne
  Einschr\"ankung $I\subset\N$. Nach Korollar \ref{komp eigenraum endl
    dim cor} gilt $\dim M_{\lambda_i}<\infty$ f\"ur alle $i\in I$. Ist
  $I$ abz\"ahlbar (noch ist nicht klar, dass es \"uberhaupt mehr als
  einen Eigenwert gibt), so ist die Menge $\{\lambda_i\colon i\in I\}$
  beschr\"ankt und besitzt somit einen H\"aufungspunkt. Nach Lemma
  \ref{komp sa ew lem} ist dies Null.\par
  Nach Lemma \ref{eigenraeume orthog lem} sind die Eigenr\"aume
  $M_{\lambda_i}$ paarweise orthogonal zueinander. Somit konvergiert
  die Reihe der Projektoren $E_{\lambda_i}$ punktweise gegen einen
  Projektor $E$, $E=\sum\limits_{i\in I}E_{\lambda_i}$. Wir wenden
  dazu Proposition \ref{vigier cor prop}, die Folgerung aus dem Satz
  von Vigier, an. \par Es gilt $E=\eins_{\mathcal H}$: Da jeder
  Eigenraum von $A$ den Operator $A$ reduziert, da $A^*(M_{\lambda_i})
  =A(M_{\lambda_i}) \subset M_{\lambda_i}$ klar ist, gilt dies auch
  f\"ur $R(E)$, da man in $AP_nx=P_nAx$ mit $P_n=\sum\limits_{i=0}^n
  E_{\lambda_i}$, wobei wir ohne Einschr\"ankung $I\subset\N$
  annehmen, zum Grenzwert $AEx=EAx$ \"ubergehen kann. Somit reduziert
  $R(E)$ den Operator $A$. Benutze Bemerkung \ref{bilder proj
    rem}. W\"are $R(E)^\perp\neq\{0\}$, so g\"abe es darin aufgrund
  der Injektivit\"at von $A$ einen Eigenvektor zu einem Eigenwert
  ungleich Null. Widerspruch. Somit ist $R(E)=\mathcal H$. Nach Lemma
  \ref{komp eigenraum endl dim cor} ist somit $I$ abz\"ahlbar.\par
  Es gilt $\eins=\sum\limits_{i\in I}E_{\lambda_i}$. Die Konvergenz
  ist punktweise. \par
  Sei schlie\ss{}lich $x\in H$ beliebig. Dann folgt
  $x=\sum\limits_{i\in I}E_{\lambda_i}x$. Da $A$ stetig ist, erhalten
  wir \[Ax=\sum\limits_{i\in I}AE_{\lambda_i}x =\sum\limits_{i\in
    I}\lambda_iE_{\lambda_i}x\] wie behauptet.
\end{proof}
} % faii - herauskommentiert

% Fredholmsche Alternative

\begin{appendix}
  \section{Einige Mathematiker aus diesem Skript \stern}
  \subsection{Historisches}
  {\tiny
  \begin{itemize}
  \item Leonidas Alaoglu, 1914-1981, Chicago
  \item Ren\'e-Louis Baire, 1874-1932, Paris
  \item Stefan Banach, 1892-1945, Krakau, Lemberg (= Lw\'ow, Lviv)
  \item Friedrich Bessel, 1784-1846, K\"onigsberg
  \item Augustin Cauchy, 1789-1859, Paris, Dijon
  \item Paul Du Bois-Reymond, 1831-1889, Berlin, Freiburg
  \item Hans Hahn, 1879-1934, Wien
  \item Georg Hamel, 1877-1954, Berlin
  \item Ernst Hellinger, 1883-1950, Frankfurt, Chicago
  \item David Hilbert, 1862-1943, K\"onigsberg, G\"ottingen
  \item Otto H\"older, 1859-1937, Stuttgart, T\"ubingen, K\"onigsberg,
    Leipzig 
  \item Nikolai Lusin, 1883-1950, Irkutsk, G\"ottingen, Moskau
  \item Stanis\l{}aw Mazur, 1905-1981, Lemberg, Warschau
  \item Hermann Minkowski, 1864-1909, Russland, K\"onigsberg,
    Berlin, Bonn, Z\"urich, G\"ottingen
  \item Charles B. Morrey, 1907-1984, Columbus, Ohio, Berkeley
  \item John von Neumann, 1903-1957, Budapest, Los Alamos, Princeton
  \item Otto Nikodym, 1887-1974, Warschau, Krakau, Ohio, New York
  \item Marc-Antoine Parseval, 1755-1836, Paris
  \item Pythagoras, 570-510 v. Chr., Griechenland
  \item Johann Radon, 1887-1956, Breslau, Wien
  \item Hermann Schwarz, 1843-1921, Berlin, G\"ottingen
  \item Sergei Sobolev, 1908-1989, St.{} Petersburg, Moskau
  \item Hugo Steinhaus, 1887-1972, G\"ottingen, Lw\'ow
  \item Marshall Stone, 1903-1989, New York, Madras
  \item Otto Toeplitz, 1881-1940, Breslau, G\"ottingen, Kiel, Bonn,
    Jerusalem 
  \item Jean-Pierre Vigier, 1920-2004, Paris
  \item Karl Weierstra\ss{}, 1815-1897, Berlin
  \item Max Zorn, 1906-1993, Hamburg, Bloomington, Indiana
  \end{itemize}}

Man lese \"uber die Lemberger / Polnische
Mathematikerschule / Funktionalanalysisschule und deren trauriges Ende
1941 durch die deutsche Besatzung nach.
\end{appendix}

\renewcommand{\refname}{Literatur}
\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}
\def\unterstrich{\underline{\rule{1ex}{0ex}}} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
% \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR.
\providecommand{\MRhref}[2]{%
  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{10}

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  Vorlesung.

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Oliver~C. Schn\"urer, \emph{{Analysis II}}, 2020, Skript zur
  Vorlesung.

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Oliver~C. Schn\"urer, \emph{{Analysis III}}, 2021, Skript zur
  Vorlesung.

\bibitem{OSElDG}
Oliver~C. Schn\"urer, \emph{{Elementare Differentialgeometrie}},
  2012, Skript zur Vorlesung.

\bibitem{OSLA1}
Oliver~C. Schn\"urer, \emph{{Lineare Algebra I}}, 2010, Skript zur
  Vorlesung.

\bibitem{OSTopo}
Oliver~C. Schn\"urer, \emph{{Topologie}}, 2007, Skript zur
  Vorlesung.

\bibitem{wiki}
Wikipedia, \emph{{\rm \texttt{http://www.wikipedia.org}}}.

\bibitem{WittstockLinOp}
Gerd Wittstock, \emph{{Lineare Operatoren auf dem
  Hilbertraum}}, 2003, Skript zur Vorlesung.

\bibitem{ZiemerWeakDiffFctns}
William~P. Ziemer, \emph{Weakly differentiable functions}, Graduate Texts in
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\end{thebibliography}

\end{document}
