% 
% Funktionentheorie 1
% Oliver Schn\"urer
% FU Berlin, Sommer 2005, Funktionentheorie 1
% Konstanz, Sommer 2010, Funktionentheorie
% Konstanz, Winter 2011/12, Mathematik f\"ur Physiker III
%
\documentclass{amsart} 

% K\"urzungen f\"ur 2 SWS-Vorlesung
\long\def\lang#1{#1} % Langversion
%\long\def\lang#1{} % Kurzversion

% K\"urzungen f\"ur die Vorlesung Mathematik f\"ur Physiker III
% 2. Argument ist ein Ersatztext. 
 \long\def\physiker#1#2{#1} % Mathematikerversion
%\long\def\physiker#1#2{#2} 
% Kurzversion f\"ur Mathematik f\"ur Physiker III 

\usepackage{citesort}
\usepackage{amssymb,amsmath} 
\usepackage{ngerman}
\usepackage{enumerate}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\graph}{graph}
\DeclareMathOperator*{\fueralle}{\forall}
\DeclareMathOperator*{\existiert}{\exists}
\DeclareMathOperator{\interior}{int}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rang}
\DeclareMathOperator{\ind}{ind}
\DeclareMathOperator{\Null}{null}
\DeclareMathOperator{\divergence}{div}
\DeclareMathOperator{\divergenz}{div}
\DeclareMathOperator{\Real}{Re}
\DeclareMathOperator{\Imaginaer}{Im}
\DeclareMathOperator{\Res}{Res}
\def\Re{\Real}
\def\Im{\Imaginaer}
\def\ol#1{\overline{#1}}
\def\ul#1{\underline{#1}}
\def\R{{\mathbb{R}}}
\def\N{{\mathbb{N}}}
\def\C{{\mathbb{C}}}
\def\S{{\mathbb{S}}}
\def\Q{{\mathbb{Q}}}
\def\Z{{\mathbb{Z}}}
\def\O{{\mathcal{O}}}
\def\P{{\mathcal{P}}}
\def\B{{\mathcal{B}}}
\def\U{{\mathcal{U}}}
\def\F{{\mathcal{F}}}
\def\M{{\mathcal{M}}}
\def\theta{{\vartheta}}
\def\phi{{\varphi}}
\def\epsilon{{\varepsilon}}
\def\dt{{\frac{d}{dt}}}
\def\fracp#1#2{{\frac{\partial #1}{\partial #2}}}
\def\tfracp#1#2{{\tfrac{\partial #1}{\partial #2}}}
\long\def\umbruch{{\displaybreak[1]}}
\long\def\neueZeile{{\rule{0mm}{1mm}\\[-3.5ex]\rule{0mm}{1mm}}}
\long\def\neueZeilealt{{\rule{0mm}{1mm}\\\rule{0mm}{1mm}}}
\def\dh{d.\,h.\ }
\def\impliziert{\ensuremath{\Longrightarrow}\text{ }}
\def\folgtaus{\ensuremath{\Longleftarrow}\text{ }}
\def\aequivalent{\ensuremath{\Longleftrightarrow}\text{ }}
\def\Hinrichtung{\glqq\ensuremath{\Longrightarrow}\grqq:\text{ }}
\def\Rueckrichtung{\glqq\ensuremath{\Longleftarrow}\grqq:\text{ }}
\def\eins{\mbox{\ensuremath{1\hspace*{-0.9ex}1}}}
\def\interior#1{\overset{{}_\circ}{#1}}

\mathchardef\ordinarycolon\mathcode`\:
  \mathcode`\:=\string"8000
  \begingroup \catcode`\:=\active
    \gdef:{\mathrel{\mathop\ordinarycolon}}
  \endgroup

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{satz}[theorem]{Satz}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Korollar}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Beispiel}
\newtheorem{beispiel}[theorem]{Beispiel}
\newtheorem{beispiele}[theorem]{Beispiele}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{xca}[theorem]{\"Ubung}
\newtheorem{herleitung}[theorem]{Herleitung}

\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}[section]
\newtheorem{remark}[theorem]{Bemerkung}
\newtheorem{bemerkung}[theorem]{Bemerkung}

\numberwithin{equation}{section}
\setcounter{tocdepth}{1}
\setcounter{secnumdepth}{2}

\hyphenation{}

\begin{document}
\title{Funktionentheorie}

\author{Oliver C. Schn\"urer}
\address{Oliver C. Schn\"urer, Universit\"at Konstanz, 78457
  Konstanz, Germany}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
\thanks{Skript f\"ur vierst\"undige Vorlesung: \"Andere \LaTeX-Befehl
  \glqq$\backslash$\texttt{lang}\grqq.}

%    General info
\subjclass[2000]{30-01\lang{, 49Q05}}
% 30-xx Functions of a complex variable
% 30-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.)
% 49Qxx:49Q05 Minimal surfaces [See also 53A10, 58E12]

\date{\today}

\dedicatory{}

\keywords{}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Funktionentheorie an der 
  \begin{itemize}
  \item Freien Universit\"at Berlin im Sommer 2005 (Funktionentheorie
    I).
  \item Universit\"at Konstanz im Sommer 2010 (Funktionentheorie). 
  \item Universit\"at Konstanz im Winter 2011/12 (Mathematik f\"ur
    Physiker III). 
  \end{itemize}
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{0.2em}

Dieses Skript orientiert sich insbesondere an dem Buch von J. Bak und
D. Newman \cite{BakNewman}.
\phantom{\cite{Rudin,FischerLieb,Conway,FreitagBusam,BakNewman}}

\section{Die komplexen Zahlen}
\begin{theorem}
  Die reellen $2\times2$-Matrizen der Form $\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a    
  \end{pmatrix}$, $a,b\in\R$, bilden bez\"uglich komponentenweiser
  Addition und Matrixmultiplikation einen K\"orper.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{itemize}
  \item Statt $\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a\end{pmatrix}$ schreiben wir
    auch $a+ib$.
  \item Es gilt $\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}^2
    =\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$.
  \item F\"ur $a,b\in\R$ gibt es $r\ge0$, $\phi\in\R$ (oder
    $0\le\phi<2\pi$), so dass $$\begin{pmatrix} a&-b\\
      b&a \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix}\cos\phi &-\sin\phi\\
      \sin\phi &\cos\phi\end{pmatrix}$$ mit $r^2=a^2+b^2$
    gilt. Matrizen dieser Form operieren daher als Drehstreckungen auf
    $\R^2$.
  \item F\"ur $(a,b)\neq(0,0)$ gilt $$\begin{pmatrix} a&-b\\
      b&a \end{pmatrix}^{-1}=\frac1{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a&b\\
      -b&a \end{pmatrix}.$$
  \end{itemize}
\end{remark}

\begin{definition}
  $\C$ ist der K\"orper der komplexen
  Zahlen, $$\C=\left\{\begin{pmatrix} a&-b\\
      b&a \end{pmatrix}:a,b\in\R\right\}$$ mit komponentenweiser
  Addition und Matrixmultiplikation. Es
  ist $$\C\cong\{a+ib:a,b\in\R\}$$ mit
  \begin{align*}
    (a+ib)\cdot(c+id):=&\,(ac-bd)+i(ad+bc),\\
    (a+ib)+(c+id):=&\,(a+c)+i(b+d).
  \end{align*}
  Dies ist das Bild der komplexen oder Gau\ss{}schen Zahlenebene. \par
  Die komplexe Konjugation ist durch
  \begin{align*}
    a+ib=z\mapsto &\,\ol z=a-ib,\\
    \C\to&\,\C
  \end{align*}
  definiert. Sei $z\in\C$, $z=a+ib$ mit $a,b\in\R$. 
  \begin{itemize}
  \item $a=\frac12(z+\ol z)$ hei\ss{}t Realteil von $z$, $\Re z$.
  \item $b=\frac1{2i}(z-\ol z)$ hei\ss{}t Imagin\"arteil von $z$, $\Im
    z$.
  \item Der Betrag von $z=a+ib$ ist durch $|z|=\sqrt{z\ol
      z}=\sqrt{a^2+b^2}$ definiert.
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{remark}
  Seien $z,w\in\C$. Es gilt
  \begin{itemize}
  \item $\C\cong\R\left[X^2+1\right]$.
  \item $\{z\in\C:\Im z=0\}\cong\R$. Wir identifizieren diese beiden
    Mengen.
  \item $\ol{\ol z}=z$
  \item $\ol{z+w}=\ol z+\ol w$
  \item $\ol{z\cdot w}=\ol z\cdot\ol w$
  \item Komplexe Konjugation ist ein involutiver Automorphismus von
    $\C$, der $\R$ festh\"alt.
  \item $z=\ol z$ \aequivalent $z\in\R$
  \item $-|z|\le\Re z\le|z|$, $-|z|\le\Im z\le|z|$
  \item Der K\"orper $\C$ ist kein angeordneter K\"orper.
  \item $|z|\ge0$ und Gleichheit gilt genau dann, wenn $z=0$ ist.
  \item $|w+z|\le|w|+|z|$
  \item $|w\cdot z|=|w|\cdot|z|$
  \item Die komplexe Konjugation entspricht einer Spiegelung an der
    Achse $\{\Im z=0\}\subset\C$, wobei wir f\"ur $\C$ das Modell der
    komplexen Zahlenebene verwenden.
  \item Auf $\C$ definieren wir durch $\Vert z\Vert:=|z|$ eine Norm.
  \item $B_\epsilon(z):=\{w\in\C:|z-w|<\epsilon\}$. Wir k\"onnen somit
    von offenen Mengen in $\C$ und Konvergenz von Folgen komplexer
    Zahlen sprechen.
  \item $\R^2\ni(a,b)\mapsto a+ib\in\C$ ist ein normtreuer $\R$
    Vektorraumisomorphismus. Somit entsprechen sich Konvergenz und
    topologische Begriffe wie beispielsweise Offenheit in $\R^2$ und
    $\C$.
  \item Insbesondere ist $f:\C\to\C$ genau dann stetig, wenn die
    Komposition aller dieser Abbildungen stetig ist:
    $$(x,y)\mapsto x+iy\mapsto f(x+iy)\mapsto 
    (\Re f(x+iy),\Im f(x+iy)),$$ wobei au\ss{}en Elemente von $\R^2$
    und innen Elemente von $\C$ stehen.
  \item Komplexe Addition und Multiplikation sind stetige Abbildungen.
  \item Eine offene zusammenh\"angende Menge hei\ss{}t Gebiet. 
  \item Je zwei Punkte in einem Gebiet lassen sich durch einen
    endlichen Polygonzug verbinden. Es gen\"ugt auch, Strecken zu
    verwenden, f\"ur die $\Im z$ oder $\Re z$ konstant sind.
  \end{itemize}
\end{remark}

\begin{remark}[Stereographische Projektion]
  $$\C\ni x+iy\mapsto \left(\frac x{x^2+y^2+1}, \frac y{x^2+y^2+1}, 
  \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+1}\right)\in 
\partial B_{\frac12}\left(\left(0,0,\tfrac12\right)\right)
\subset\R^3$$ hei\ss{}t Inverse der stereographische
Projektion. Bilden wir einen Punkt $\infty$ auf $(0,0,1)$ ab, so
k\"onnen wir $\C$ mit Hilfe dieser Abbildung kompaktifizieren.
\end{remark}

\section{Funktionen der Variablen $z$}
$x^2-y^2+2ixy=(x+iy)^2$ ist ein Polynom in $x+iy$, nicht aber
$x^2+y^2-2ixy$.

\begin{definition}
  $P$ hei\ss{}t analytisches Polynom, falls
  \begin{align*}
    P(x,y)=&\,\alpha_N(x+iy)^N+\ldots+\alpha_2(x+iy)^2 
    +\alpha_1(x+iy) +\alpha_0,\umbruch\\
    P(z)=&\,\alpha_Nz^N +\ldots +\alpha_2z^2 +\alpha_1z+\alpha_0
  \end{align*}
  mit $\alpha_i\in\C$.
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ und seien $u,v$ reellwertig. Definiere
  \begin{align*}
    \fracp fx=&\,\fracp ux +i\fracp vx,\umbruch\\
    \fracp fy=&\,\fracp uy +i\fracp vy,
  \end{align*}
  falls diese Ableitungen existieren. Wir schreiben auch $f_x=\fracp
  fx$.
\end{definition}

\begin{proposition}
  Ein Polynom $P:\C\to\C$ ist genau dann analytisch, wenn $P_y=iP_x$
  gilt.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \Hinrichtung Sei $P$ analytisch. Differenzieren
  liefert unmittelbar $P_y=iP_x$.\par \Rueckrichtung Gelte
  $P_y=iP_x$. Dann ist diese Bedingung insbesondere auch f\"ur alle
  Terme $n$-ten Grades erf\"ullt. Es gen\"ugt daher, ein Polynom der
  folgenden Form zu betrachten
  $$P(x,y)=C_0x^n+C_1x^{n-1}y+C_2x^{n-2}y^2+\ldots 
  +C_ny^n.$$ Wegen $P_y=iP_x$ folgt
  \begin{align*}  &\,C_1x^{n-1}+2C_2x^{n-2}y+\ldots+nC_ny^{n-1}\\
  =&\,i\left[nC_0x^{n-1}+(n-1)C_1x^{n-2}y+\ldots+C_{n-1}y^{n-1}\right].
  \end{align*}
  Koeffizientenvergleich liefert
  \begin{align*}
    C_1=&\,inC_0=i\binom n1C_0,\umbruch\\
    C_2=&\,\frac{i(n-1)}2C_1=i^2\frac{n(n-1)}2C_0 
    =i^2\binom n2C_0,\umbruch\\
    \intertext{und per Induktion erhalten wir}
    C_k=&\,i\frac{n-k+1}kC_{k-1} =i^k\frac{n-k+1}k\binom n{k-1}C_0
    =i^k\binom nkC_0.
  \end{align*}
  Daher hat $P$ die Gestalt
  \begin{align*}
    P(x,y)=&\,\sum\limits_{k=0}^nC_kx^{n-k}y^k 
    =C_0\sum\limits_{k=0}^k\binom nkx^{n-k}(iy)^k
    =C_0(x+iy)^k.
  \end{align*}
  Somit ist $P$ analytisch. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen]
  Ist $f=u+iv$, so folgt aus $f_y=if_x$, dass 
  $u_y+iv_y=i(u_x+iv_x)$ und somit
  \begin{align*}
    u_x=&\,v_y,\umbruch\\
    u_y=&\,-v_x.
  \end{align*}
\end{theorem}

\begin{definition}[Komplexe Differenzierbarkeit]
  Sie $f$ nahe $z\in\C$ definiert. Dann hei\ss{}t $f$ in $z$ (komplex)
  differenzierbar, falls
  $$\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{h\to0}{h\neq0}}
  \frac{f(z+h)-f(z)}h$$ existiert. Der Grenzwert wird mit $f'(z)$
  bezeichnet.
\end{definition}

\begin{remark}
  F\"ur $f(z)=\ol z$ gilt
  $$\frac{f(z+h)-f(z)}h=\frac{\ol h}h$$
  und dies ist gleich $1$, falls $h$ reell ist und gleich $-1$, falls
  $h$ rein imagin\"ar ist, d.\,h., wenn $\Re h=0$ gilt.\par
  Summen, Produkte und Quotienten (lokal ohne Nennernullstelle) sind
  differenzierbar, falls dies die Bestandteile sind. Es gelten
  Summen-, Produkt- und Quotientenregel. \par Analytische Polynome
  sind \"uberall differenzierbar.
\end{remark}

\begin{theorem}
  Eine Potenzreihe der Form $$\sum\limits_{k=0}^\infty C_kz^k$$
  konvergiert in $B_R(0)$ und divergiert in $\C\setminus\ol{B_R(0)}$
  mit $$R=\frac1{\limsup|C_k|^{1/k}}.$$ $R$ hei\ss{}t
  Konvergenzradius. In $B_R(0)$ ist die Konvergenz lokal
  gleichm\"a\ss{}ig.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wie im Reellen. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Wie im Reellen kann man im Konvergenzbereich Potenzreihen addieren
  oder mit Hilfe des Cauchyproduktes
  multiplizieren. $$\left(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n\right)
  \left(\sum\limits_{n=0}^\infty b_nz^n\right)
  =\sum\limits_{n=0}^\infty
  \left(\sum\limits_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)z^n.$$
\end{remark}

\begin{theorem}
  Konvergiere $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty C_nz^n$ f\"ur
  $|z|<R$. Dann existiert $f'(z)$ f\"ur $|z|<R$ und es gilt
  dort $$f'(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty nC_nz^{n-1}.$$
\end{theorem}
\physiker{
\begin{proof}[Beweis]
  (Eigentlich ist dies bereits aus dem Reellen bekannt.) Die zweite
  Potenzreihe konvergiert, da 
  \begin{align*}
    \limsup|nC_n|^\frac1{n-1}=&\,\limsup\left(|nC_n|^{1/n}\right)^\frac
    n{n-1}\umbruch\\ =&\,\lim n^{1/n}\cdot\limsup|C_n|^{1/n}
    =\limsup|C_n|^{1/n}.
  \end{align*}
  Nehme an, dass $0<R<\infty$ gilt. Sei $|z|=R-2\delta$ f\"ur
  $\delta>0$. Sei $|h|<\delta$ und $h\neq0$. Dann ist
  $|z+h|<R-\delta$. Es gilt
  \begin{align*}
    \frac{f(z+h)-f(z)}h=\sum\limits_{n=0}^\infty
    C_n\frac{(z+h)^n-z^n}h =\sum\limits_{n=0}^\infty
    nC_nz^{n-1} +\sum\limits_{n=2}^\infty C_nb_n
  \end{align*}
  mit $$b_n=\frac{(z+h)^n-z^n}h-nz^{n-1}
  =\sum\limits_{k=2}^n\genfrac{(}{)}{0pt}{}nk h^{k-1}z^{n-k},$$ da
  durch $h$ dividiert wurde.  F\"ur $z=0$ gilt $b_n=h^{n-1}$. Die
  Behauptung folgt in diesem Falle. Sei nun also $z\neq0$. F\"ur
  $k\ge2$ gilt, wenn man zwei Faktoren im Z\"ahler durch $n$
  absch\"atzt, $$\genfrac(){0pt}{}nk=\frac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}
  \le n^2\genfrac(){0pt}{}n{k-2}.$$ Damit folgt
  \begin{align*}
    |b_n|\le&\,\frac{n^2|h|}{|z|^2}
    \sum\limits_{k=2}^n\genfrac(){0pt}{}n{k-2}
    |h|^{k-2}|z|^{n-(k-2)} \le\frac{n^2|h|}{|z|^2}
    \sum\limits_{j=0}^n\genfrac(){0pt}{}nj |h|^j|z|^{n-j}\umbruch\cr
    =&\,\frac{n^2|h|}{|z|^2} (|z|+|h|)^n
    \le\frac{n^2|h|}{|z|^2}(R-\delta)^n.
  \end{align*}
  Somit ergibt sich 
  \begin{align*}
    \left|\frac{f(z+h)-f(z)}h -\sum\limits_{n=0}^\infty
      nC_nz^{n-1}\right| \le\frac{|h|}{|z|^2}
    \sum\limits_{n=0}^\infty n^2|C_n|(R-\delta)^n.
  \end{align*}
  Wie oben konvergiert die unendliche Summe auf der rechten Seite
  aufgrund des Wurzelkriteriums. Der Ausdruck ist also durch eine
  Konstante mal $|h|$ abgesch\"atzt und die Behauptung folgt indem wir
  $h\to0$ streben lassen.
\end{proof}
}
{
  \begin{proof}[Beweis]
    Wie im Reellen. 
  \end{proof}
} % physiker

\begin{corollary}\label{unendl diffbar Kor}
  Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzradiusses beliebig oft
  differenzierbar.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Induktion
\end{proof}

\begin{corollary}\label{Abl Taylor koeff cor}
  Hat $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty C_nz^n$ positiven
  Konvergenzradius, so gilt $C_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ f\"ur alle
  $n$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Differenziere beide Seiten und vergleiche im Punkt $z=0$. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Eindeutigkeitssatz f\"ur Potenzreihen]
  Verschwinde $\sum\limits_{n=0}^\infty C_nz^n$ f\"ur alle Punkte
  $z_k\neq0$ einer Nullfolge. Dann verschwinden alle Koeffizienten
  $C_n$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da f\"ur alle Punkte $z_k$ der Folge $\sum\limits_{n=0}^\infty
  C_nz_k^n=0$ gilt, hat diese Potenzreihe einen positiven
  Konvergenzradius. Setze $f(z)=C_0+C_1z+C_2z^2+\ldots$. Da $f$ im
  Ursprung stetig ist, folgt \[C_0=f(0) =\lim\limits_{z\to0}f(z)
  =\lim\limits_{z_k\to0}f(z_k)=0.\] Aufgrund des Wurzelkriteriums
  hat \[g(z):=\frac{f(z)}z =C_1+C_2z+C_3z^2+\ldots\] denselben
  Konvergenzradius wie $f$ und ist insbesondere im Ursprung
  stetig. Somit folgt nach Voraussetzung \[C_1=g(0)
  =\lim\limits_{z\to0}\frac{f(z)}z
  =\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(z_k)}{z_k} =0.\]
  Die Behauptung folgt nun per Induktion.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Konvergieren $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n$ und
  $\sum\limits_{n=0}^\infty b_nz^n$ und stimmen sie auf einer Menge,
  die den Ursprung als H\"aufungspunkt besitzt, \"uberein, so gilt
  $a_n=b_n$ f\"ur alle $n$.
\end{corollary}

\section{Analytische Funktionen}
Analytische Funktionen werden auch als holomorph bezeichnet.
Erinnerung: $f$ ist in $z$ differenzierbar,
falls \[\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{h\to0}{h\neq0}}
\frac{f(z+h)-f(z)}h\] existiert, wobei $\C\ni h\to0$ beliebig ist und
wir sp\"ater (der Bequemlichkeit halber) $h\neq0$ weglassen werden.

\begin{proposition}
  Sei $f=u+iv$ im Punkte $z$ differenzierbar, so existieren dort die
  partiellen Ableitungen $f_x$ und $f_y$ und erf\"ullen die
  Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen \[f_y=if_x\] oder,
  \"aquivalent dazu,
  \begin{align*}
    u_x=&\,v_y,\umbruch\cr u_y=&\,-v_x.
  \end{align*}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei zun\"achst $h\in\R$. Wir lassen $h\to0$ und erhalten
  \[\frac{f(z+h)-f(z)}h=\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}h\to f_x.\]
  Sei nun $\eta$ reell. Wir betrachten $\eta\to0$ und $h=i\eta$. Dann
  gilt \[\frac{f(z+h)-f(z)}h =\frac{f(x,y+\eta)-f(x,y)}{i\eta}
  \to\frac{f_y}i.\] Da diese beiden Limites \"ubereinstimmen folgt
  \begin{align*}
    f_y=&\,if_x\umbruch \intertext{und daher} u_y+iv_y=&\,i(u_x+iv_x).
  \end{align*}
  In diesen Gleichungen m\"ussen Real- und Imagin\"arteil jeweils
  schon einzeln \"ubereinstimmen. Hieraus folgt
  \begin{align*}
    u_x=&\,v_y,\umbruch\cr u_y=&\,-v_x. \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Es gilt die folgende Form der Umkehrung
\begin{proposition}
  Existieren $f_x$ und $f_y$ in einer Umgebung von $z$, sind in $z$
  stetig und gilt in $z$, dass $f_y=if_x$ ist, so ist $f$ in $z$
  differenzierbar.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f=u+iv$ und $h=\xi+i\eta$. Es gen\"ugt zu zeigen,
  dass \[\frac{f(z+h)-f(z)}h\to f_x(z)=u_x(z)+iv_x(z)\] f\"ur $h\to0$
  gilt.\par Es gilt
  \begin{align*}
    \frac{u(z+h)-u(z)}h=&\,\frac{u(x+\xi,y+\eta)-u(x,y)}{\xi+i\eta}\umbruch\cr
    =&\, \frac{u(x+\xi,y+\eta)-u(x+\xi,y)}{\xi+i\eta}
    +\frac{u(x+\xi,y)-u(x,y)}{\xi+i\eta}\umbruch\cr
    =&\,\frac{\eta}{\xi+i\eta}u_y(x+\xi,y+\theta_1\eta)
    +\frac{\xi}{\xi+i\eta}u_x(x+\theta_2\xi,y)
  \end{align*}
  f\"ur $0<\theta_k<1$ aufgrund des reellen Mittelwertsatzes f\"ur
  Funktionen einer Variablen. Ebenso folgt \[\frac{v(z+h)-v(z)}h
  =\frac\eta{\xi+i\eta}v_y(x+\xi,y+\theta_3\eta)
  +\frac\xi{\xi+i\eta}v_x(x+\theta_4\xi,y)\] mit $0<\theta_k<1$,
  $k=1,\ldots,4$. Wir erhalten \[\frac{f(z+h)-f(z)}h
  =\frac{\eta}{\xi+i\eta}[u_y(z_1)+iv_y(z_2)]
  +\frac\xi{\xi+i\eta}[u_x(z_3)+iv_x(z_4)],\] wobei $|z-z_k|\to0$
  f\"ur $h\to0$ und $k=1,\ldots,4$ gilt. \par Andererseites erhalten
  wir wegen $f_y=if_x$ in $z$
  \begin{align*}
    f_x(z) =&\,\frac{\eta}{\xi+i\eta}f_y
    +\frac{\xi}{\xi+i\eta}f_x\umbruch\cr
    =&\,\frac{\eta}{\xi+i\eta}(u_y+iv_y)+\frac{\xi}{\xi+i\eta}(u_x+iv_x).
  \end{align*}
  Subtrahieren liefert
  \begin{align*}
    \frac{f(z+h)-f(z)}h-f_x(z)=&\,\frac{\eta}{\xi+i\eta}
    \left[(u_y(z_1)-u_y(z)) +i(v_y(z_2)-v_y(z))\right]\umbruch\cr
    &\,+\frac{\xi}{\xi+i\eta}\left[(u_x(z_3)-u_x(z))
      +i(v_x(z_4)-v_x(z))\right].
  \end{align*}
  Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen in $z$ impliziert, dass
  die Terme in den eckigen Klammern f\"ur $h\to0$ gegen $0$
  konvergieren. Weiterhin gilt $\left|\frac\eta{\xi+i\eta}\right|\le1$
  und $\left|\frac\xi{\xi+i\eta}\right|\le1$. Somit erhalten
  wir \[\lim\limits_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}h=f_x(z). \qedhere\]
\end{proof}

\begin{definition}
  $f$ hei\ss{}t in einem Punkt (einer Menge) analytisch, falls $f$ in
  einer Umgebung des Punktes (der Menge) (komplex) differenzierbar
  ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  Analytische Polynome sind gem\"a\ss{} dieser Definition analytische
  Funktionen.\par Eine Potenzreihe der Form $\sum\limits_{n=0}^\infty
  a_nz^n$ mit positivem Konvergenzradius ist \glqq im Inneren des
  Konvergenzradiusses\grqq{} eine analytische Funktion.\par Wie im
  Reellen ist die Verkettung differenzierbarer Funktionen wieder
  differenzierbar und damit analytisch. \par In ganz $\C$ analytische
  Funktionen hei\ss{}en ganze Funktionen.
\end{remark}

\begin{definition}
  Seien $S,T$ offenen Mengen, sei $f:S\to T$ bijektiv. $g$ ist die
  Inverse von $f$ in $T$, falls $f(g(z))=z$ f\"ur alle $z\in T$
  gilt. $g$ hei\ss{}t Inverse zu $f$ in $z_0$, falls $g$ in einer
  Umgebung von $z_0$ zu $f$ invers ist.
\end{definition}

\begin{proposition}\label{inverse analytisch}
  Sei $g$ zu $f$ in einem Punkt $z_0$ invers und sei $g$ dort
  stetig. Ist $f$ in $g(z_0)$ differenzierbar mit $f'(g(z_0))\neq0$,
  dann ist $g$ in $z_0$ differenzierbar und es
  gilt \[g'(z_0)=\frac1{f'(g(z_0))}.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur $z\neq z_0$ nahe $z_0$ gilt \[\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}
  =\frac1{\frac{f(g(z))-f(g(z_0))}{g(z)-g(z_0)}}.\] Die Stetigkeit von
  $g$ in $z_0$ liefert, dass $g(z)\to g(z_0)$ f\"ur $z\to z_0$
  konvergiert. Aufgrund der Differenzierbarkeit von $f$ folgt
  daher \[\lim\limits_{z\to z_0}\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}
  =\frac1{f'(g(z_0))}.\]
\end{proof}

\subsection{Konsequenzen aus der Analytizit\"at}
\begin{proposition}
  Sei $f=u+iv$ in einem Gebiet $D$ analytisch und sei $u$
  konstant. ($u$ und $v$ seien wie stets bei einer solchen Darstellung
  reell.) Dann ist $f$ konstant.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $u$ konstant ist, folgt $u_x=u_y=0$. Aufgrund der
  Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erhalten wir daher
  $v_x=v_y=0$ und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{betrag konst prop}
  Sei $f$ in einem Gebiet analytisch und $|f|$ dort konstant. Dann ist
  $f$ konstant.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Ist $|f|\equiv0$, so ist die Behauptung offensichtlich. Sonst
  erhalten wir f\"ur $f=u+iv$, dass $u^2+v^2\equiv c\neq0$ gilt und
  erhalten daraus mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen
  Differentialgleichungen
  \begin{align*}
    0=&\,uu_x+vv_x=uu_x-vu_y,\umbruch\cr 0=&\,uu_y+vv_y=vu_x+uu_y.
  \end{align*}
  Wir multiplizieren nun die erste Gleichung mit $u$, die zweite mit
  $v$ und erhalten nach Addition $(u^2+v^2)u_x=0$. Somit ist
  $u_x=0$. Analog erhalten wir nach Multiplikation der ersten
  Gleichung mit $-v$ und der zweiten Gleichung mit $u$, dass $u_y=0$
  ist. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\subsection{Die komplexe Exponentialfunktion}
Wir suchen eine ganze analytische Funktion $f:\C\to\C$, so dass
\begin{align*}
  f(z_1+z_2)=&\,f(z_1)\cdot f(z_2)&\forall\,z_1,z_2\in\C,\umbruch\\
  f(x)=&\,e^x&\forall x\in\R
\end{align*}
gilt. \par Es gilt $f(z)=f(x+iy)=f(x)\cdot f(iy)=e^xf(iy)$. Wir machen
den Ansatz $f(iy)=A(y)+iB(y)$ und erhalten \[f(z)=e^xA(y)+ie^xB(y).\]
Aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen schlie\ss{}en
wir
\begin{align*}
  u_x=v_y\quad\impliziert&\,A(y)=B'(y),\umbruch\cr
  u_y=-v_x\quad\impliziert&\,A'(y)=-B(y)
\end{align*}
und erhalten daraus $A''=-A$. Daher ist
\begin{align*}
  A(y)=&\,\alpha\cos y+\beta\sin y,\umbruch\cr
  B(y)=&\,-A'(y)=-\beta\cos y+\alpha\sin y.
\end{align*}
Wegen $f(x)=e^x$ schlie\ss{}en wir, dass $A(0)=\alpha=1$ und dass
$B(0)=-\beta=0$ gelten. Setze daher \[f(z)=e^x(\cos y+i\sin y).\] Die
oben geforderten Eigenschaften sind erf\"ullt (\"Ubung). Wir schreiben
$f(z)=e^z$.

\begin{remark}
  Es gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\left|e^z\right|=e^x$,
  \item $e^z\neq0$, $e^z\cdot e^{-z}=e^0=1$.
  \item F\"ur jedes $\alpha\neq0$ besitzt $e^z=\alpha$ abz\"ahlbar
    viele L\"osungen.
  \item $(e^z)'=(e^z)_x=e^z$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{Sinus und Kosinus}
Sei $y\in\R$. Es gilt
\begin{align*}
  e^{iy}=&\,\cos y+i\sin y,\umbruch\cr e^{-iy}=&\,\cos y-i\sin
  y,\umbruch\cr \sin
  y=&\,\frac1{2i}\left(e^{iy}-e^{-iy}\right),\umbruch\cr \cos
  y=&\,\frac12\left(e^{iy}+e^{-iy}\right).
\end{align*}
Definiere daher
\begin{align*}
  \sin z=&\,\frac1{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right),\umbruch\cr
  \cos z=&\,\frac12\left(e^{iz}+e^{-iz}\right).
\end{align*}

\begin{remark}
  Wie im Reellen gilt 
  \begin{align*}
    \sin 2z=&\,2\sin z\cdot \cos z,\umbruch\cr
    \sin^2z+\cos^2z=&\,1,\umbruch\cr (\sin z)'=&\,\cos z.
  \end{align*}
  Aber $|\sin z|\le 1$ gilt f\"ur allgemeines $z\in\C$ nicht mehr.
\end{remark}

\section{Linienintegrale und ganze Funktionen}
\textbf{Ziel:} Eine ganze Funktion besitzt eine \"uberall konvergente
Darstellung als Potenzreihe.


\begin{definition}
  Sei $f:[a,b]\subset\R\mapsto\C$ stetig, $f(t)=u(t)+iv(t)$. Wir
  definieren \[\int\limits_a^bf(t)\,dt :=\int\limits_a^bu(t)\,dt
  +i\int\limits_a^bv(t)\,dt.\]
\end{definition}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $z(t)=x(t)+iy(t)$, $a\le t\le b$. Die durch $z(t)$
    beschriebene Kurve ist st\"uckweise differenzierbar, falls $x$ und
    $y$ auf $[a,b]$ stetig und die Einschr\"ankungen auf
    $[a,x_1],[x_1,x_2],\ldots,[x_n,b]$ f\"ur geeignete $x_i$'s
    differenzierbar sind. Schreibweise: $\dot z(t)=x'(t)+iy'(t)$.
  \item Eine Kurve hei\ss{}t in $t$ regul\"ar, falls $\dot z(t)\neq0$
    ist. Falls nicht anders erw\"ahnt, nehmen wir ab jetzt stets an,
    dass alle Kurven in h\"ochstens endlich vielen Punkten nicht
    regul\"ar sind.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $C$ eine durch $z(t)$, $a\le t\le b$, gegebene Kurve. Sei $f$
  auf $C$ stetig. Das Integral von $f$ entlang $C$ ist
  durch \[\int\limits_Cf(z)\,dz =\int\limits_a^bf(z(t))\dot z(t)\,dt\]
  definiert.
\end{definition}

\begin{definition}
  Zwei Kurven
  \begin{align*}
    C_1:&\,z(t),\quad a\le t\le b,\umbruch\\
    C_2:&\,w(t),\quad c\le t\le d,
  \end{align*}
  hei\ss{}en \"aquivalent, falls es eine $C^1$-Bijektion
  $\lambda(t):[c,d]\to[a,b]$ mit $\lambda(c)=a$, $\lambda(d)=b$,
  $\lambda'(t)>0$ f\"ur alle $t$ und $w(t)=z(\lambda(t))$ gibt.\par Es
  ist leicht nachzurechnen, dass dies eine \"Aquivalenzrelation
  definiert.
\end{definition}

\begin{proposition}
  Seien $C_1$ und $C_2$ \"aquivalente Kurven, so
  gilt \[\int\limits_{C_1}f=\int\limits_{C_2}f.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $f(z)=u(z)+iv(z)$, $C_1$ und $C_2$ wie oben,
  $z(t)=x(t)+iy(t)$. Nach Definition (in Real- und Imagin\"arteil
  aufgespalten) gilt
  \begin{align*}
    \int\limits_{C_1}f=&\, \int\limits_a^bu(z(t))x'(t)\,dt
    -\int\limits_a^bv(z(t))y'(t)\,dt\umbruch\\
    &\,+i\int\limits_a^bu(z(t))y'(t)\,dt
    +i\int\limits_a^bv(z(t))x'(t)\,dt\umbruch \intertext{und}
    \int\limits_{C_2}f=&\, \int\limits_c^d[u(z(\lambda(t)))
    +iv(z(\lambda(t)))] \cdot[x'(\lambda(t)) +iy'(\lambda(t))]
    \lambda'(t)\,dt.
  \end{align*}
  Ausmultiplizieren liefert \"Ubereinstimmung,
  z.\,B.{} \[\int\limits_c^d u(z(\lambda(t))) x'(\lambda(t))
  \lambda'(t)\,dt =\int\limits_a^bu(z(t)) x'(t)\,dt\] aufgrund der
  Transformationsformel f\"ur Integrale.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei die Kurve $C$ durch $z(t)$, $a\le t\le b$, gegeben. Dann ist
  $-C$ durch $z(b+a-t)$, $a\le t\le b$, definiert, \dh die Kurve wird
  andersherum durchlaufen.
\end{definition}

\begin{proposition}
  Es gilt \[\int\limits_{-C}f=-\int\limits_Cf.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Kettenregel und (komponentenweise angewandter)
  Transformationsformel folgt
  \begin{align*}
    \int\limits_{-C}f=&\, -\int\limits_a^b f(z(b+a-t)) \dot z(b+a-t)\,
    dt\umbruch\\ =&\,\int\limits_b^af(z(b+a-t)) \dot
    z(b+a-t)\,dt\umbruch\\ =&\,-\int\limits_a^bf(z(t)) \dot z(t)\,dt
    =-\int\limits_Cf.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{example}
  Sei 
  \begin{align*}
    f(z)=&\,\frac1z=\frac x{x^2+y^2}-i\frac y{x^2+y^2},\umbruch\\
    C:&\,z(t)=R\cos t +iR\sin t,\quad 0\le t\le 2\pi,\quad
    R\neq0.\umbruch \intertext{Dann folgt} \int\limits_Cf(z)\,dz
    =&\,\int\limits_0^{2\pi} \left(\frac{\cos t}R -i\frac{\sin
        t}R\right)\cdot
    (-R\sin t+iR\cos t)\,dt\umbruch\\
    =&\,\int\limits_0^{2\pi}i\,dt=2\pi i.
  \end{align*}
\end{example}

\begin{proposition}\label{linearitaet}
  Sei $C$ eine Kurve, $f$ und $g$ seien auf $C$ stetig. Sei
  $\alpha\in\C$. Dann gilt
  \begin{align*}
    \int\limits_C[f(z)+g(z)]\,dz=&\, \int\limits_Cf(z)\,dz
    +\int\limits_Cg(z)\,dz,\umbruch\\ \int\limits_C\alpha f(z)\,dz
    =&\,\alpha\int\limits_Cf(z)\,dz.
  \end{align*}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Klar.
\end{proof}

Die folgende Notation ist nicht \"uberall verbreitet.
\begin{notation}
  Seien $\alpha,\beta\in\C$. Wir schreiben $\alpha\ll\beta$, falls
  $|\alpha|\le|\beta|$ gilt.
\end{notation}

\begin{lemma}\label{int dreiecksungl}
  Sei $[a,b]\ni t\mapsto G(t)\in\C$ stetig. Dann
  gilt \[\int\limits_a^b G(t)\,dt \ll \int\limits_a^b|G(t)|\,dt.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $R\ge0$, $\theta\in\R$, so
  dass \[\int\limits_a^bG(t)\,dt=Re^{i\theta}\] ist. Dann folgt nach
  Proposition
  \ref{linearitaet} \[\int\limits_a^be^{-i\theta}G(t)\,dt=R.\] Da die
  rechte Seite
  reell ist, erhalten
  wir \[R=\int\limits_a^b\Re\left(e^{-i\theta}G(t)\right)\,dt.\] Da
  aber $\Re(z)\le|\Re(z)|\le|z|$ gilt, erhalten
  wir \[R\le\int\limits_a^b|G(t)|\,dt\] und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{lemma}[$M$-$L$ Absch\"atzung]
  Sei $C$ eine Kurve der L\"ange $L$, sei $f$ auf $C$ stetig mit $f\ll
  M\in\R$ auf $C$. Dann gilt \[\int\limits_Cf(z)\,dz\ll ML.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $C$ durch $z(t)=x(t)+iy(t)$, $a\le t\le b$, gegeben. Mit Lemma
  \ref{int dreiecksungl} erhalten wir
  \begin{align*}
    \int\limits_Cf(z)\,dz=&\, \int\limits_a^bf(z(t))\dot z(t)\,dt
    \ll\int\limits_a^b|f(z(t))\dot z(t)|\,dt\umbruch\\
    \le&\,\max\limits_{z\in C}|f(z)|\cdot\int\limits_a^b|\dot
    z(t)|\,dt.
  \end{align*}
  F\"ur die Bogenl\"ange $L$ von $C$ erhalten wir
  \begin{align*}
    L=&\,\int\limits_a^b\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt
    =\int\limits_a^b|\dot z(t)|\,dt\umbruch \intertext{und somit}
    \int\limits_Cf(z)\,dz\ll&\, ML.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{proposition}
  Sei $f_n$ eine Folge stetiger Funktionen, die auf einer Kurve $C$
  gleichm\"a\ss{}ig gegen einen Funktion $f$ konvergiert. Dann
  gilt \[\int\limits_Cf(z)\,dz=\lim\limits_{n\to\infty}
  \int\limits_Cf_n(z)\,dz.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz ist $f$ stetig. \par Es
  gilt \[\int\limits_Cf(z)\,dz-\int\limits_Cf_n(z)\,dz
  =\int\limits_C(f(z)-f_n(z))\,dz.\] Fixiere $\epsilon>0$ und w\"ahle
  $n$ gro\ss{} genug, so dass $|f(z)-f_n(z)|<\epsilon$ f\"ur alle
  $z\in C$ gilt. Sei $L$ die L\"ange von $C$. Dann
  gilt \[\int\limits_Cf(z)\,dz
  -\int\limits_Cf_n(z)\,dz\ll\epsilon\cdot L.\] Wir lassen
  $\epsilon\to0$ und erhalten \[\int\limits_Cf(z)\,dz
  =\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_Cf_n(z)\,dz\] wie behauptet.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{komplexer hauptsatz}
  Sei $f$ die Ableitung einer analytischen Funktion $F$ auf $C$, \dh
  gelte $f(z)=F'(z)$ auf $C$. Dann
  gilt \[\int\limits_Cf(z)\,dz=F(z(b))-F(z(a)).\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt, dies in einem Intervall zu beweisen, in dem $C$ durch
  $z(t)$ dargestellt ist und zus\"atzlich $z$ glatt ist und $\dot
  z\neq0$ gilt. Nehme ohne Einschr\"ankung ein, dass dies f\"ur $a\le
  t\le b$ der Fall ist. Die allgemeine Behauptung folgt dann durch
  Aufsummieren. \par Definiere $\gamma(t):=F(z(t))$, $a\le t\le
  b$. Wir beweisen zun\"achst das komplexe Analogon zur Kettenregel:
  \begin{align*}
    \dot\gamma(t)=&\,\lim\limits_{h\to0}
    \frac{F(z(t+h))-F(z(t))}h\umbruch\\
    =&\,\lim\limits_{h\to0}\frac{F(z(t+h))-F(z(t))}{z(t+h)-z(t)}\cdot
    \frac{z(t+h)-z(t)}h,\umbruch \intertext{da $\dot z\neq0$
      impliziert, dass $z(t+h)\neq z(t)$ gilt, falls $h\neq0$ klein
      genug ist} =&\,\underbrace{\lim\limits_{h\to0}
      \frac{F(z(t+h))-F(z(t))}{z(t+h)-z(t)}}_{=F'(z(t))}
    \cdot\underbrace{\lim\limits_{h\to0} \frac{z(t+h)-z(t)}h}_{=\dot
      z(t)}\umbruch\\ =&\,f(z(t))\cdot \dot z(t).
  \end{align*}
  Also folgt aufgrund des reellen Hauptsatzes der Differential- und
  Integralrechnung
  \begin{align*}
    \int\limits_Cf(z)\,dz=&\, \int\limits_a^bf(z(t))\dot z(t)\,dt
    =\int\limits_a^b\dot\gamma(t)\,dt\umbruch\\
    =&\,\gamma(b)-\gamma(a) =F(z(b))-F(z(a)). \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\subsection{Satz \"uber geschlossene Kurven f\"ur ganze Funktionen}
Ab diesem Kapitel werden wir einige Resultate f\"ur ganze Funktionen
beweisen, die aber auch entsprechend f\"ur Funktionen gelten, die in
Kreisscheiben oder (noch zu definierenden) einfach zusammenh\"angenden
Gebieten definiert sind. Da wir sp\"ater nur auf die entsprechenden
Beweisschritte verweisen werden, ist es jetzt schon sinnvoll, sich zu
merken, dass die betrachteten Funktionen f\"ur die G\"ultigkeit des
jeweiligen Satzes h\"aufig nicht in ganz $\C$ definiert zu sein
brauchen.
\begin{definition}
  Eine Kurve $C$ hei\ss{}t geschlossen, falls Anfangs- und Endpunkt
  \"ubereinstimmen, \dh falls $C$ durch $z(t)$, $a\le t\le b$, mit
  $z(a)=z(b)$ gegeben ist. \par $C$ hei\ss{}t einfach geschlossen,
  falls keine weiteren Punkte auf der Kurve \"ubereinstimmen, \dh
  falls aus $z(t_1)=z(t_2)$ mit $t_1<t_2$ folgt, dass $t_1=a$ und
  $t_2=b$ gelten.\par Unter dem Rand eines (achsenparallelen)
  Rechtecks verstehen wir eine einfach geschlossene Kurve entlang des
  mengentheoretischen Randes des Rechtecks, so dass das Rechteck bei
  wachsendem Parameter $t$ auf der linken Seite der Kurve liegt. (Die
  Kurve wird entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen.)
\end{definition}

\begin{theorem}[Rechteckstheorem]\label{rechteck thm}
  Sei $f$ eine ganze Funktion und $\Gamma$ der Rand eines Rechtecks
  $R$. Dann gilt \[\int\limits_\Gamma f(z)\,dz=0.\]
\end{theorem}

\begin{lemma}
  Ist $f$ zus\"atzlich affin linear, so gilt das Rechteckstheorem.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f(z)=\alpha+\beta z$ und sei $\Gamma$ durch $\Gamma:z(t)$,
  $a\le t\le b$, gegeben. $f$ ist \"uberall die Ableitung der
  analytischen Funktion \[F(z)=\alpha z+\tfrac12\beta z^2.\] Nach
  Proposition \ref{komplexer hauptsatz} folgt \[\int\limits_\Gamma
  f(z)\,dz =\int\limits_\Gamma F'(z)\,dz
  =F(z(b))-F(z(a))=0. \qedhere\]
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{rechteck thm}]
  Setze $I:=\int\limits_\Gamma f(z)\,dz$. Wir behaupten, dass $I=0$
  gilt. Nehme an, dies w\"are nicht der Fall. Dann unterteilen wir $R$
  in vier Rechtecke mit jeweils den halben Seitenl\"angen von $R$:
  $R_1,\ldots,R_4$ mit R\"andern $\Gamma_1,\ldots,\Gamma_4$. Da die im
  inneren von $R$ liegenden Strecken jeweils in entgegengesetzter
  Richtung durchlaufen werden, erhalten wir \[\int\limits_\Gamma
  f=\sum\limits_{i=1}^4\int\limits_{\Gamma_i}f.\] W\"ahle eines der
  Rechtecke, $R^{(1)}$ mit Rand $\Gamma^{(1)}$, so
  dass \[\int\limits_{\Gamma^{(1)}}f(z)\,dz\gg\frac I4\] gilt. Wir
  iterieren dies mit $R^{(i)}$ und $\Gamma^{(i)}$ statt $R$ und
  $\Gamma$ und erhalten Folgen
  \begin{align*}
    R\supset&\,R^{(1)}\supset R^{(2)}\supset\ldots\umbruch
    \intertext{mit R\"andern}
    \Gamma,&\,\Gamma^{(1)},\Gamma^{(2)},\ldots,\umbruch
    \intertext{so dass}
    \diam R^{(k+1)}=&\,\tfrac12\diam R^{(k)}\umbruch
    \intertext{und}
    \int\limits_{\Gamma^{(k)}}f(z)\,dz\gg\frac I{4^k}
  \end{align*}
  gelten. Sei $z_0\in\bigcap\limits_{k=1}^\infty R^{(k)}$. Nutze nun
  die Analytizit\"at von $f$ im Punkte
  $z_0$. Da \[\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\to f'(z_0)\] gilt, existiert
  $\epsilon_z$, so dass \[f(z)=f(z_0) +f'(z_0)\cdot(z-z_0)
  +\epsilon_z\cdot(z-z_0)\] mit $\epsilon_z\to0$ f\"ur $z\to z_0$
  ist. Nun gilt \[\int\limits_{\Gamma^{(n)}}f(z)\,dz
  =\int\limits_{\Gamma^{(n)}}[f(z_0)+f'(z_0)\cdot(z-z_0)
  +\epsilon_z\cdot(z-z_0)]\,dz
  =\int\limits_{\Gamma^{(n)}}\epsilon_z\cdot (z-z_0)\,dz,\] da das
  Integral \"uber den linearen Anteil verschwindet. Bezeichne die
  L\"ange der l\"angsten Seite von $\Gamma$ mit $s$. Wir erhalten
  f\"ur die L\"ange von $\Gamma^{(n)}$ die Absch\"atzung
  $\int\limits_{\Gamma^{(n)}}|dz|\le\frac{4s}{2^n}$ und f\"ur
  $z\in\Gamma^{(n)}$, dass $|z-z_0|\le\frac{\sqrt 2s}{2^n}$ gilt.\par
  Sei $\epsilon>0$ fest. Wir w\"ahlen $N\in\N$ so gro\ss{}, dass aus
  $|z-z_0|\le\frac{\sqrt2\cdot s}{2^N}$ folgt, dass
  $\epsilon_z\ll\epsilon$ gilt. F\"ur $n\ge N$ folgt damit nach der
  $M$-$L$-Absch\"atzung \[\int\limits_{\Gamma^{(n)}}f(z)\,dz
  \ll\epsilon\cdot\frac{\sqrt 2s}{2^n}\frac{4s}{2^n}.\] Nach Wahl von
  $\Gamma^{(n)}$ folgt \[\frac
  I{4^n}\ll\int\limits_{\Gamma^{(n)}}f(z)\,dz\ll\epsilon\frac{4\sqrt
    2s^2}{4^n}\] und damit $I\ll\epsilon 4\sqrt 2s^2$. Da $\epsilon>0$
  beliebig war, erhalten wir $I=0$.
\end{proof}

Die Orientierung der Rechtecke war nicht wesentlich, nur, dass sie
einheitlich war. Wir wollen in Zukunft jeweils so um konvexe Mengen
herum integrieren, dass diese auf der linken Seite liegen.

\begin{theorem}[Integraltheorem]\label{integral thm}
  Sei $f$ eine ganze Funktion. Dann ist $f$ \"uberall die Ableitung
  einer analytischen Funktion, \dh es gibt eine ganze Funktion $F$, so
  dass $F'(z)=f(z)$ f\"ur alle $z\in\C$ gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $F(z)$ durch \[F(z):=\int\limits_0^zf(\zeta)\,d\zeta,\]
  wobei $\int\limits_0^z$ das Integral auf geraden Strecken von $0$
  nach $\Re z$ und weiter von $\Re z$ nach $z$ bezeichnet. \par Analog
  bezeichnet $\int\limits_z^{z+h}$ das Integral auf geraden Strecken
  von $z$ nach $z+\Re h$ und weiter von $z+\Re h$ nach $z+h$. \par Es
  gilt \[F(z+h)=F(z)+\int\limits_z^{z+h}f(\zeta)\,d\zeta,\] da sich
  die beiden Ausdr\"ucke nur um das Integral um ein Rechteck herum
  unterscheiden. Nun ist f\"ur
  $h\neq0$ \[\frac1h\int\limits_z^{z+h}1\,d\zeta =\frac1h(z+h-z)=1.\]
  Zusammengenommen ergibt sich nun \[\frac{F(z+h)-F(z)}h
  -f(z)=\frac1h\int\limits_z^{z+h}[f(\zeta)-f(z)]\,d\zeta.\] Sei nun
  $\epsilon>0$ gegeben. Dann gilt f\"ur hinreichend kleines $|h|$ im
  Integral stets $|f(\zeta)-f(z)|\le\epsilon$. Aufgrund der
  $M$-$L$-Formel ist also \[\frac{F(z+h)-F(z)}h
  -f(z)\ll\frac1{|h|}2|h|\epsilon=2\epsilon\] und somit gilt
  $F'(z)=f(z)$ f\"ur alle $z\in\C$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Satz \"uber geschlossene Kurven]\label{geschl kurven
    satz}
  Sei $f$ eine ganze Funktion und $C$ eine geschlossene Kurve, so
  gilt \[\int\limits_Cf(z)\,dz=0.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $F$ eine ganze Funktion wie im Integraltheorem, Theorem
  \ref{integral thm}, \dh es gelte $F'(z)=f(z)$. Wir erhalten in der
  auch bisher schon verwendeten Notation f\"ur
  Kurvenintegrale \[\int\limits_Cf(z)\,dz =\int\limits_CF'(z)\,dz
  =F(z(b))-F(z(a))=0,\] da $C$ eine geschlossene Kurve ist.
\end{proof}

\section{Eigenschaften ganzer Funktionen}
\subsection{Cauchysche Integralformel und Taylordarstellung}
Sei $f$ eine ganze Funktion. Definiere $g$ durch
\[g(z):=\begin{cases}
  \frac{f(z)-f(a)}{z-a},&z\neq a,\\
  f'(a),&z=a
\end{cases}\] f\"ur festes $a\in\C$. Da $f$ eine ganze Funktion ist,
ist $g$ stetig. Erst einmal ist nicht klar, ob $g$ auch ganz ist. \par
\textbf{Ziel:} Das Integraltheorem, Theorem \ref{integral thm}, und
der Satz \"uber geschlossene Kurven, Theorem \ref{geschl kurven satz},
gelten auch f\"ur $g$.

\begin{theorem}[Rechteckstheorem II]\label{rechteck thm II}
  Sei $f$ ganz und $g$ wie oben, dann gilt \[\int\limits_\Gamma
  g(z)\,dz=0\] f\"ur den Rand $\Gamma$ eines Rechteckes $R$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir unterscheiden drei F\"alle:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $a\not\in R$: $g$ ist in $R$ analytisch und der bisherige
    Beweis funktioniert unge\"andert.
  \item $a\in\Gamma$: Unterteile $R$ so in sechs kleine Rechtecke,
    dass (bis auf ein sehr kleines Rechteck) alle Rechtecke einen
    positiven Abstand zu $a$ besitzen. In offensichtlicher Notation
    erhalten wir \[\int\limits_\Gamma
    g=\sum\limits_{i=1}^6\int\limits_{\Gamma_k}g.\] Da $g$ stetig ist,
    folgt $g\ll M\in\R$ in $R$ f\"ur eine geeignete Konstante
    $M$. Habe nun das Rechteck $R_1$ mit $a$ auf dem Rand $\Gamma_1$
    einen Umfang kleiner als $\epsilon$. Dann folgt aufgrund der
    $M$-$L$-Formel \[\int\limits_{\Gamma_1}g\ll M\epsilon\] und da
    aufgrund des ersten Teiles $\int\limits_{\Gamma_k}g=0$ f\"ur
    $k=2,\ldots,6$ ist, erhalten wir, dass $\int\limits_\Gamma g\ll
    M\epsilon$ gilt. Wir erhalten somit $\int\limits_\Gamma g=0$.
  \item $a\in\interior R$: Unterteile das Rechteck (\"ahnlich wie
    oben) in neun Rechtecke. Acht Rechtecke davon liefern wiederum
    keinen Beitrag. Wie im letzten Fall l\"asst sich der Beitrag
    des Rechtecks mit $a$ absch\"atzen, wenn der Umfang klein
    gew\"ahlt wird.
  \end{enumerate}
  \vspace{-4ex}
\end{proof}

\begin{corollary}\label{int geschl cor}
  Sei $g$ wie oben. Dann gelten das Integraltheorem \ref{integral thm}
  und der Satz \"uber geschlossene Kurven, Theorem \ref{geschl kurven
    satz}, auch f\"ur $g$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Verwende in den entsprechenden Beweisen das Rechteckstheorem II,
  Theorem \ref{rechteck thm II}, statt des ersten Rechteckstheorems
  \ref{rechteck thm}. Der Rest des jeweiligen Beweises bleibt
  unver\"andert.
\end{proof}

\begin{theorem}[Cauchysche Integralformel]\label{cauchy thm}
  Sei $f$ eine ganze Funktion, $a\in\C$ und sei $C$ die
  Kurve \[C:Re^{i\theta},\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad R>|a|.\] Dann
  gilt \[f(a)=\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Korollar \ref{int geschl cor}
  folgt \[\int\limits_C\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz=0.\] Da der Integrand
  entland der Kurve nirgends singul\"ar ist, d\"urfen wir das Integral
  wie folgt aufsplitten \[f(a)\int\limits_C\frac{dz}{z-a}
  =\int\limits_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz.\] Das folgende Lemma
  liefert \[\int\limits_C\frac{dz}{z-a}=2\pi i\] und damit folgt die
  Behauptung.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{Kreis int lem}
  Sei $a$ im Kreis $C_\rho$ enthalten, \dh $C_\rho$ hat Mittelpunkt
  $\alpha\in\C$, Radius $\rho$ und es gilt $|a-\alpha|<\rho$. Dann
  gilt \[\int\limits_{C_\rho}\frac{dz}{z-a}=2\pi i.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir betrachten zun\"achst die zentrierte Situation
\[\int\limits_{C_\rho}\frac{dz}{z-\alpha} =\int\limits_0^{2\pi}
\frac{i\rho e^{i\theta}}{\rho e^{i\theta}}\,d\theta=2\pi i,\] wobei
wir im Z\"ahler des mittleren Integrals die Ableitung des Weges im
Nenner haben. Weiterhin gilt f\"ur $1\le k\in\N$ wie
oben \[\int\limits_{C_\rho}\frac{dz}{(z-\alpha)^{k+1}}
=\frac1{\rho^k}\int\limits_0^{2\pi}ie^{-ik\theta}\,d\theta=0.\]
Alternativ kann man benutzen, dass $\frac1{(z-\alpha)^{k+1}}$ die
Stammfunktion $\frac{-1}{k(z-\alpha)^k}$ besitzt.  Im allgemeinen
Fall, \dh wenn $a\neq\alpha$ ist, gilt
\[\frac1{z-a} =\frac1{(z-\alpha)-(a-\alpha)}
=\frac1{(z-\alpha)\left[1-\frac{a-\alpha}{z-\alpha}\right]}
=\frac1{z-\alpha}\cdot\frac1{1-\omega},\] wobei
$\omega=\frac{a-\alpha}{z-\alpha}$ ist. Auf $C_\rho$ gilt
$|\omega|=\frac{|a-\alpha|}\rho<1$. Daher liefert die geometrische
Reihe dass
\begin{align*}
  \frac1{1-\omega}=&\,1+\omega+\omega^2+\ldots\umbruch \intertext{und
    somit folgt} \frac1{z-a}=&\,\frac1{z-\alpha}\left[1
    +\frac{a-\alpha}{z-\alpha} +\frac{(a-\alpha)^2}{(z-\alpha)^2}
    +\ldots\right]\\ =&\,\frac1{z-\alpha}
  +\frac{a-\alpha}{(z-\alpha)^2} +\frac{(a-\alpha)^2}{(z-\alpha)^3}
  +\ldots\,.
\end{align*}
Da die Konvergenz auf $C_\rho$ gleichm\"a\ss{}ig ist, erhalten wir
aufgrund der obigen Rechnungen
\[\int\limits_{C_\rho}\frac1{z-a}\,dz
=\int\limits_{C_\rho}\frac1{z-\alpha}\,dz +\sum\limits_{k=1}^\infty
\,\, \int\limits_{C_\rho}\frac{(a-\alpha)^k}{(z-\alpha)^{k+1}}\,dz
=2\pi i.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{theorem}[Taylordarstellung ganzer Funktionen]\label{Taylor ganz
    fkt thm}
  Ist $f$ eine ganze Funktion, so besitzt $f$ eine
  Potenzreihendarstellung, $f^{(k)}(0)$ existiert f\"ur
  $k=1,2,3,\ldots$ und es gilt \[f(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty
  \frac{f^{(k)}(0)}{k!}z^k\] f\"ur alle $z\in\C$. (Die Potenzreihe hat
  also den Konvergenzradius $\infty$.)
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $a\neq0$, $R=|a|+1$. Sei $C$ der Kreis um den Ursprung mit
  Radius $R$. Die Cauchysche Integralformel liefert \[f(z)=\frac1{2\pi
    i}\int\limits_C\frac{f(w)}{w-z}\,dw\] f\"ur alle $z\ll a$. Wie
  oben gilt, da aus $z\ll a$ folgt, dass $\left|\frac zw\right|<1$
  ist, \[\frac1{w-z} =\frac1{w\left(1-\frac zw\right)} =\frac1w +\frac
  z{w^2} +\frac{z^2}{w^3} +\ldots\,.\] Da die Konvergenz auf $C$
  gleichm\"a\ss{}ig ist, erhalten wir
  \begin{align*}
    f(z)=&\,\frac1{2\pi i}\int\limits_Cf(w) \left[\frac1w +\frac
      z{w^2} +\frac{z^2}{w^3} +\ldots\right]\,dw\umbruch\\
    =&\,\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(w)}w\,dw +\left(\frac1{2\pi
        i} \int\limits_C\frac{f(w)}{w^2}\,dw\right)z
    +\left(\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(w)}{w^3}\,dw\right)z^2
    +\ldots\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_{k=0}^\infty C_kz^k
  \end{align*}
  mit $C_k=\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(w)}{w^{k+1}}\,dw$.  Die
  Koeffizienten k\"onnten nun noch von $a$ und $R$ abh\"angen. Die
  angegebene Formel gilt jedoch f\"ur alle $z\ll a$. Da die
  Potenzreihe f\"ur $z\ll a$ mit $f$ \"ubereinstimmt hat sie einen
  positiven Konvergenzradius, mindestens $|a|$. Nach Korollar
  \ref{unendl diffbar Kor} ist $f$ daher f\"ur $|z|<|a|$ beliebig oft
  differenzierbar und nach Korollar \ref{Abl Taylor koeff cor} gilt
  $C_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ f\"ur alle $k$. Somit h\"angt $C_k$
  nicht von $a$ ab. Dasselbe Argument liefert also die gleiche
  Potenzreihe f\"ur alle $a$ und mit $|a|\to\infty$ folgt die
  Behauptung.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Eine ganze Funktion ist beliebig oft differenzierbar.
\end{corollary}
Wir bemerken, dass man nicht von unendlich oft differenzierbaren
Funktionen sprechen sollte, da keine $\infty$-te Ableitung existiert. 
\begin{proof}[Beweis]
  Eine ganze Funktion besitzt eine \"uberall konvergente
  Potenzreihendarstellung. Potenzreihen sind im Inneren ihres
  Konvergenzradiusses (eigentlich: im Inneren eines Balles mit dem
  Konvergenzradius als Radius) beliebig oft differenzierbar.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{pot reihe ganz ex}
  Sei $f$ eine ganze Funktion und $a\in\C$. Dann gilt \[f(z) =f(a)
  +f'(a)(z-a) +\frac{f''(a)}{2!}(z-a)^2 +\ldots\] f\"ur alle $z\in\C$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $g(\zeta):=f(\zeta+a)$ eine ganze Funktion ist, folgt
  \begin{align*}
    g(\zeta)=&\,g(0) +g'(0)\zeta +\frac{g''(0)}{2!}\zeta^2
    +\ldots\umbruch \intertext{und daher} f(\zeta+a)=&\,f(a)
    +f'(a)\zeta +\frac{f''(a)}{2!}\zeta^2 +\ldots\,.
  \end{align*}
  Wir setzen nun $\zeta=z-a$ und erhalten die Behauptung.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{fg ganz}
  Sei $g$ wie in der Einleitung des Kapitels definiert. Dann ist $g$
  eine ganze Funktion.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Korollar \ref{pot reihe ganz ex} gilt \[g(z) =f'(a)
  +\frac{f''(a)}{2!}(z-a) +\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(z-a)^2 +\ldots\]
  f\"ur $z\neq a$ und f\"ur $z=a$. Diese Reihe konvergiert \"uberall
  da die Koeffizienten betragsm\"a\ss{}ig kleiner als die
  entsprechenden Koeffizienten von $f'$ sind. Daher ist $g$ eine ganze
  Funktion.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $f$ eine ganze Funktion mit paarweise verschiedenen Nullstellen
  in $a_1,a_2,\ldots,a_N$. Wir definieren $g$
  durch \[g(z)=\frac{f(z)}{(z-a_1)(z-a_2)\cdot\ldots\cdot(z-a_N)}\]
  f\"ur $z\neq a_k$. Dann existieren die Grenzwerte $\lim\limits_{z\to
    a_k}g(z)$ f\"ur $k=1,2,\ldots,N$. Definieren wir $g(a_k)$ als
  diesen Grenzwert, so ist $g$ eine ganze Funktion.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir gehen per Induktion vor. Setzt $f_0(z):=f(z)$ und
  definiere \[f_k(z)=\frac{f_{k-1}(z)-f_{k-1}(a_k)}{z-a_k}
  =\frac{f_{k-1}(z)}{z-a_k}\] f\"ur $z\neq a_k$. Ist $f_{k-1}$ eine
  ganze Funktion, so folgt nach Proposition \ref{fg ganz}, dass
  $f_k(z)$ f\"ur $z\to a_k$ einen Grenzwert besitzt, der
  $f'_{k-1}(a_k)$ ist und $f_k$ l\"asst sich als ganze Funktion
  nach $a_k$ fortsetzen. Mit Induktion folgt daher die Behauptung.
\end{proof}

\subsection{S\"atze von Liouville und der Fundamentalsatz der Algebra}

\begin{theorem}[Satz von Liouville]\label{Liouville thm}\neueZeilealt
  Eine beschr\"ankte ganze Funktion ist konstant.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis] 
  Sei $f$ ganz. Seien $a,b\in\C$ und $C$ ein Kreis mit Radius
  $R>\max(|a|,|b|)$ und Mittelpunkt $0$; er enth\"alt also $a$ und
  $b$. Aufgrund der Cauchyschen Integralformel erhalten wir daher
  \begin{align*}
    f(b)-f(a)=&\, \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(z)}{z-b}\,dz
    -\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz\umbruch\\
    =&\,\frac1{2\pi
      i}\int\limits_C\frac{f(z)(b-a)}{(z-a)(z-b)}\,dz\umbruch\\
    \ll&\,\sup|f|\cdot\frac{|b-a|\cdot R}{(R-|a|)(R-|b|)}.
  \end{align*}
  Wir lassen nun $R\to\infty$ und erhalten $f(a)=f(b)$. Somit ist $f$
  konstant.
\end{proof}

\begin{theorem}[Erweiterter Satz von Liouville]\label{Liouville allg thm} 
  Sei $f$ eine ganze Funktion. Sei $k\in\N$ und seien
  $A,B>0$. Gilt \[|f(z)|\le A+B|z|^k\] f\"ur alle $z\in\C$, so ist $f$
  ein Polynom, dessen Grad h\"ochstens $k$ betr\"agt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur $k=0$ ist dies gerade der Satz von Liouville. \par Sei daher
  $k>0$. Definiere \[g(z):=
  \begin{cases}
    \frac{f(z)-f(0)}z,&z\neq0,\\ f'(0),&z=0.
  \end{cases}\] $g$ ist eine ganze Funktion und erf\"ullt nach
  Voraussetzung an $f$ die folgende Wachstumsbedingung: \[|g(z)|\le
  C+D|z|^{k-1}\] f\"ur alle $z\in\C$ und f\"ur geeignete Konstanten
  $C,D>0$. Nach Induktionsannahme ist daher $g$ ein Polynom vom Grade
  $\le k-1$. Somit ist $f$ ein Polynom vom Grade $\le k$.
\end{proof}
(Dies funktioniert auch f\"ur ein beliebiges $k\ge0$ mit einem
analogen Resultat.)

\begin{lemma}[Wachstumslemma f\"ur Polynome]
  Sei $0<n\in\N$, $a_i\in\C$ mit $a_n\neq0$ und
  sei \[f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0\] ein Polynom. Dann
  gibt es $R>0$, so dass
  \[\frac12|a_n|\cdot|z|^n\le |f(z)|\le 2|a_n|\cdot|z|^n\] f\"ur alle
  $z\in\C$ mit $|z|\ge R$ gilt. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $|z|^k\le|z|^n$ f\"ur $k\le n$ und $|z|\ge1$
  \begin{align*}
    |f(z)|\le&\,|a_n|\cdot|z|^n+|a_{n-1}|
    \cdot|z|^{n-1}+\ldots+|a_0|\\ 
    \le&\,|a_n|\cdot|z|^n
    +\left(|a_{n-1}|+\ldots+|a_0|\right)|z|^{n-1}\\
    \le&\,|a_n|\cdot|z|^n
    +\frac{|a_{n-1}|+\ldots+|a_0|}{|z|}|z|^n\\
    \le&\,2|a_n|\cdot|z|^n
  \end{align*}
  f\"ur $|z|\cdot|a_n|\ge|a_{n-1}|+\ldots+|a_0|$. \par
  Andererseits folgt \"ahnlich wie oben 
  \begin{align*}
    |f(z)|\ge&\,\frac12|a_n|\cdot|z|^n
    +\underbrace{\left(\frac12|a_n|\cdot|z|
        -(|a_{n-1}|+\ldots+|a_0|)\right)}_{\ge0\text{ f\"ur }|z|\ge 
      R}|z|^{n-1}\\ 
    \ge&\,\frac12|a_n|\cdot|z|^n,
  \end{align*}
  falls $R$ gro\ss{} genug ist. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Fundamentalsatz der Algebra]
  Jedes nicht-konstante Polynom in $\C[X]$ besitzt eine Nullstelle.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $P(x)$ ein beliebiges Polynom. Besitzt $P(z)$ keine Nullstelle
  in $\C$, \dh gilt $P(z)\neq 0$ f\"ur alle $z\in\C$, so ist
  $f(z):=\frac1{P(z)}$ eine ganze Funktion. $f(z)$ ist beschr\"ankt
  (weil $P(z)$ konstant ist oder $|P(z)|\to\infty$ f\"ur
  $|z|\to\infty$ gilt). Nach dem Satz von Liouville ist daher $f$
  konstant. Somit ist auch $P$ konstant.
\end{proof}

\begin{corollary}
  In $\C[X]$ zerf\"allt jedes Polynom in Linearfaktoren.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Induktion.
\end{proof}

\section{Eigenschaften analytischer Funktionen}

\subsection{Potenzreihendarstellung f\"ur analytische Funktionen in
  Kreisscheiben}

\begin{theorem}
  Sei $f$ in $B_r(\alpha)$ analytisch. Wenn das abgeschlossene
  Rechteck $R$ und der Punkt $a$ beide in $B_r(\alpha)$ enthalten sind
  und $\Gamma$ der Rand von $R$ ist, so gelten \[\int\limits_\Gamma
  f(z)\,dz =0 \quad\text{und}\quad\int\limits_\Gamma
  \frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz=0.\] (Ist $a\not\in B_r(\alpha)$, so gilt das
  Theorem auch, wenn man statt $f(a)$ eine beliebige Zahl einsetzt.)
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wie beim Rechteckstheorem, Theorem \ref{rechteck thm} und Theorem
  \ref{rechteck thm II}, da $f$ in $R\subset B_r(\alpha)$ analytisch
  ist.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{stammfkt ex lok}
  Sei $f$ in $B_r(\alpha)$ analytisch und $a\in B_r(\alpha)$. Dann
  gibt es in $B_r(\alpha)$ analytische Funktionen $F$ und $G$, so
  dass \[F'(z)=f(z),\quad G'(z)=\frac{f(z)-f(a)}{z-a},\] wobei wir
  hier und sp\"ater bei dieser Schreibweise $\frac{f(z)-f(a)}{z-a}$ im
  Punkte $z=a$ als $f'(z)$, also als den Grenzwert in diesem Punkt,
  definieren.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere \[F(z):=\int\limits_\alpha^zf(\zeta)\,d\zeta\]
  und \[G(z):=\int\limits_\alpha^z\frac{f(\zeta)-f(a)}{\zeta-a}\,d\zeta,\]
  wobei wir entlang horizontaler und vertikaler Strecken in
  $B_r(\alpha)$ integrieren. (Aufgrund des Rechteckstheorems, Theorem
  \ref{rechteck thm} und Theorem \ref{rechteck thm II}, ist dies
  wohldefiniert.) Wie beim Beweis des Integraltheorems, Theorem
  \ref{integral thm}, mit Hilfe des Rechteckstheorems, Theorem
  \ref{rechteck thm}, folgt \[F'(z)=f(z) \quad\text{und}\quad
  G'(z)=\frac{f(z)-f(a)}{z-a}. \qedhere\]
\end{proof}

\begin{theorem}\label{geschl kurve int verschw thm}
  Sei $f$ in $B_r(\alpha)$ analytisch, $a\in B_r(\alpha)$ und sei $C$
  eine in $B_r(\alpha)$ enthaltene geschlossene Kurve. Dann
  gelten \[\int\limits_Cf(z)\,dz =0\quad\text{und}\quad
  \int\limits_C\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz =0.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{stammfkt ex lok} existiert eine in $B_r(\alpha)$
  analytische Funktion $G$ mit \[G'(z)=\frac{f(z)-f(a)}{z-a}.\] Daher
  gilt mit den \"ublichen Bezeichnungen f\"ur einen
  Weg \[\int\limits_C\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz =\int\limits_CG'(z)\,dz
  =G(z(b))-G(z(a))=0.\] Analog sieht man, dass
  $\int\limits_Cf(z)\,dz=0$ gilt.
\end{proof}

\begin{theorem}[Cauchyscher Integralformel]
  Sei $f$ in $B_r(\alpha)$ analytisch, $0<\rho<r$,
  $|a-\alpha|<\rho$. Dann gilt \[f(a) =\frac1{2\pi
    i}\int\limits_{C_\rho} \frac{f(z)}{z-a}\,dz,\] wobei
  $C_\rho:\alpha+\rho e^{i\theta}$, $0\le\theta\le 2\pi$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze Theorem \ref{geschl kurve int verschw thm} und argumentiere
  wie in Lemma \ref{Kreis int lem}.
\end{proof}

Wir untersuchen die Darstellbarkeit analytischer Funktionen in
Kreisscheiben als Potenzreihen.
\begin{theorem}\label{konv in Br thm}
  Sei $f$ in $B_r(\alpha)$ analytisch. Dann gibt es Konstanten $C_k$,
  so dass \[f(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty C_k(z-\alpha)^k\] f\"ur alle
  $z\in B_r(\alpha)$ gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Beweis funktioniert ganz analog zu dem in Theorem \ref{Taylor
    ganz fkt thm}. Lasse jedoch $R\nearrow r$ statt
  $R\to\infty$. (Au\ss{}erhalb von $B_r(\alpha)$ mu\ss{} $f$ nicht
  analytisch sein und es ist auch \"uberhaupt nicht klar, ob die Reihe
  dort konvergiert.) Wiederum gilt $C_k=\frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}$.
\end{proof}

\subsection{Analytische Funktionen in beliebigen Gebieten}
\begin{theorem}
  Sei $f$ in einer offenen Menge $D\subset\C$ analytisch. Dann gibt es
  zu jedem $\alpha\in D$ Konstanten $C_k$, so
  dass \[f(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty C_k(z-\alpha)^k\] f\"ur alle
  $z$ in der gr\"o\ss{}ten Kugel $B_r(\alpha)$ mit $B_r(\alpha)\subset
  D$ konvergiert.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies ist eine Umformulierung von Theorem \ref{konv in Br thm}. 
\end{proof}

(Konvergenz auf gr\"o\ss{}eren Mengen kann man im allgemeinen nicht
erwarten, da Potenzreihen stets auf Kreisscheiben (und
unterschiedlichen Teilen des Randes) konvergieren. Im Beweis
entspricht dies bei einem Quadrat der Tatsache, dass es keinen Kreis
innerhalb des Quadrates gibt, der den Mittelpunkt des Quadrates und
einen Punkt sehr nahe an einer Ecke umschlie\ss{}t.)

\subsection{Eindeutigkeit, Mittelwertsatz und Maximumprinzip}
\begin{proposition}
  Ist $f$ in $\alpha$ analytisch, so auch \[g(z):=
  \begin{cases}
    \frac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha},&z\neq\alpha,\\
    f'(\alpha),&z=\alpha.
  \end{cases}\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Analog zur globalen Version in Proposition \ref{fg ganz}.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Ist $f$ in $z$ analytisch, so ist $f$ in $z$ beliebig oft
  differenzierbar.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  $f$ ist lokal analytisch. Stelle $f$ als Potenzreihe
  dar. Potenzreihen sind lokal beliebig oft differenzierbar.
\end{proof}

\begin{theorem}[Eindeutigkeitssatz]\label{eind thm}
  Sei $f$ in einem Gebiet $D$ analytisch und gelte $f(z_n)=0$ f\"ur
  eine Folge $D\ni z_n\to z\in D$, $z_n\neq z$. Dann gilt $f\equiv 0$
  in $D$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nahe $z$ besitzt $f$ eine Darstellung als Potenzreihe. Der
  Eindeutigkeitssatz f\"ur Potenzreihen liefert, dass $f=0$ nahe $z$
  gilt. Definiere 
  \begin{align*}
    A:=&\,\{z\in D:z\text{ ist ein Grenzwert von Punkten $\neq z$,
      in $D$,}\\
    &\,\text{ f\"ur die $f$ verschwindet}\},\umbruch\\
    B:=&\,\{z\in D:z\not\in A\}.
  \end{align*}
  Es gilt $A\cap B=\emptyset$. \par
  $A$ ist offen: Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes f\"ur Potenzreihen
  folgt wie oben, dass $f\equiv0$ nahe $z$ ist, falls $z\in A$
  gilt.\par $B$ ist offen: Sei $z\in B$. Dann gibt es ein $\delta>0$,
  so dass $f(\tilde z)\neq0$ f\"ur $0<|z-\tilde z|<\delta$ gilt. Somit
  ist $B_{\delta/2}(z)\subset B$ und die Offenheit von $B$ folgt.\par
  Da $D$ zusammenh\"angend ist, folgt, dass $A=\emptyset$ oder
  $B=\emptyset$ gilt. Da aber $z\in A$ ist, folgt $B=\emptyset$ und
  $A=D$. Aufgrund der Stetigkeit ist nun $f\equiv0$ in $D$.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Seien $f$ und $g$ in einem Gebiet $D$ analytisch. Stimmen $f$ und
  $g$ auf einer Menge mit einem H\"aufungspunkt in $D$ \"uberein, so
  gilt $f=g$ in $D$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte $f-g$. 
\end{proof}
(Wir bemerken, dass dies nicht zu gelten braucht, wenn der
H\"aufungspunkt auf $\partial D$ liegt, wie das Beispiel $\sin\frac1z$
und $z_n=\frac1{n\pi}$ zeigt.)

\begin{theorem}
  Sei $f$ eine ganze Funktion. Gilt $f(z)\to\infty$ f\"ur
  $z\to\infty$, so ist $f$ ein Polynom. \par (Die Konvergenz
  \glqq$\to\infty$\grqq{} ist betragsm\"a\ss{}ig zu verstehen.)
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  W\"ahle $M>0$, so dass $|z|>M$ impliziert, dass $|f(z)|>1$ gilt. $f$
  besitzt h\"ochstens endlich viele Nullstellen
  $\alpha_1,\ldots,\alpha_N$, da sonst die Nullstellen einen
  H\"aufungspunkt h\"atten und $f\equiv0$ gelten w\"urde. Wir
  dividieren die Nullstellen
  heraus \[g(z):=\frac{f(z)}{(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_N)}.\]
  Bei Nullstellen mit h\"oherer Vielfachheit ist dies gegebenenfalls
  (entsprechend der Vielfachheit) zu wiederholen. Die Vielfachheit ist
  aber stets endlich, da sonst die Potenzreihenentwicklung um den
  entsprechenden Punkt die Nullfunktion ergeben w\"urde.\par Nach
  Proposition \ref{fg ganz} ist $g$ eine ganze Funktion ohne
  Nullstellen. Definiere \[h(z)=\frac1{g(z)}
  =\frac{(z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_N)}{f(z)}.\] $h$ ist eine
  analytische Funktion. Da $f\to\infty$ f\"ur $z\to\infty$ geht
  ($|f|\ge1$ w\"urde auch gen\"ugen), folgt $|h(z)|\le A+B|z|^N$. Nach
  dem erweiterte Satz von Liouville, Theorem \ref{Liouville allg thm},
  ist $h$ daher ein Polynom. Nach Konstruktion ist $g$
  nullstellenfrei. $h$ hat auch keine Nullstellen. Aufgrund des
  Fundamentalsatzes der Algebra gilt daher $h(z)=k\in\C$ und wir
  erhalten \[f=\frac
  1k(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_N). \qedhere\]
\end{proof}
(Umgekehrt \"uberzeugt man sich leicht, dass f\"ur nichtkonstante
Polynome $f(z)\to\infty$ f\"ur $z\to\infty$ gilt, da der Term mit dem
gr\"o\ss{}ten Exponenten f\"ur gro\ss{}e $z$ dominiert.)

\begin{theorem}[Mittelwertsatz]
  Sei $f$ in einem Gebiet $D$ analytisch, $\alpha\in D$. Sei
  $\ol{B_r(\alpha)}\subset D$. Dann gilt \[f(\alpha)=\frac1{2\pi}
  \int\limits_0^{2\pi} f\left(\alpha+re^{i\theta}\right)\,d\theta.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  (Dies ist eine Umformulierung der Cauchyschen Integralformel.)  Auf
  den Mittelpunkt angewandt liefert die Cauchysche
  Integralformel \[f(\alpha)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{C_r}
  \frac{f(z)}{z-\alpha}\,dz.\] Wir verwenden die Parametrisierung
  $z=\alpha+re^{i\theta}$, so dass $z_\theta=ire^{i\theta}$ und
  $z-\alpha=re^{i\theta}$ gelten. Wir erhalten \[f(\alpha)=\frac1{2\pi
    i} \int\limits_0^{2\pi} f\left(\alpha+re^{i\theta}\right)
  \frac{ire^{i\theta}}{re^{i\theta}}\,d\theta,\] was direkt die
  Behauptung liefert.
\end{proof}

Analog zur reellen Situation sagen wir, dass $f$ ein relatives Maximum
in $z$ hat, falls $|f(z)|\ge|f(w)|$ f\"ur alle $w$ in einer Umgebung
von $z$ gilt. Analog definieren wir ein relatives Minimum. 

\begin{theorem}[Maximumprinzip](Maximum-Modulus Theorem) Eine
  nicht-konstante analytische Funktion $f$ in einem Gebiet $D$ besitzt
  kein inneres Maximum: F\"ur jedes $z\in D$ und $\delta>0$, so dass
  $\ol{B_\delta(z)}\subset D$ gilt, gibt es $w\in\ol{B_\delta(z)}$, so
  dass $|f(w)|>|f(z)|$ ist. \par (Statt $\ol{B_\delta(z)}\subset D$ zu
  fordern kann man auch $\delta$ f\"ur den Beweis entsprechend
  verkleinern.)
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Mittelwertsatz liefert
  \[f(z) =\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(z+\delta
    e^{i\theta}\right)\,d\theta.\] Daraus folgt \[|f(z)|
  \le\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} \left|f\left(z+\delta
      e^{i\theta}\right)\right|\,d\theta \le\max\limits_\theta
  \left|f\left(z+\delta e^{e\theta}\right)\right|.\] Daher existiert
  ein $w\neq z$ nahe $z$ mit $|f(z)|\le|f(w)|$. Wir erhalten nur dann
  keine strikte Ungleichung, wenn \"uberall Gleichheit gilt (und dies
  f\"ur alle kleinen Radien). Betrachten nur den Fall, in dem
  Gleichheit gilt. Dann ist $|f|$ in $B_r(z)$ f\"ur ein $0<r<\delta$
  konstant und nach Proposition \ref{betrag konst prop} ist $f$ in
  $B_r(z)$ konstant. Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes ist daher $f$
  in $D$ konstant. Widerspruch.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sei $D$ ein beschr\"anktes Gebiet. Wir nennen eine in $D$
  analytische und auf $\ol D$ stetig fortsetzbare (und ohne
  Einschr\"ankung fortgesetzte) Funktion in $D$ C-analytisch (C f\"ur
  ``continuous'').\par Aufgrund des Maximum-Modulus Theorems nimmt
  eine solche Funktion ihr betragsm\"a\ss{}iges Maximum auf $\partial
  D$ an.
\end{remark}

\begin{theorem}[Minimum-Modulus-Theorem]
  Sei $f$ eine in einem beschr\"ankten Gebiet $D$ nicht-konstante
  analytische Funktion. Dann ist kein Punkt $z\in D$ ein relatives
  Minimum au\ss{}er es gilt $f(z)=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wenn $f$ keine Nullstelle in $z$ besitzt, so erf\"ullt $w
  \mapsto\frac1{f(w)}$ f\"ur $w$ nahe $z$ die Bedingungen f\"ur das
  Maximum-Modulus-Theorem.
\end{proof}

\begin{remark}
  Alternativ kann man das Maximum-Modulus-Theorem beweisen, indem man
  den ersten nicht-konstanten Term (kleinster Exponent) in der
  Taylorentwicklung betrachtet, der in der N\"ahe von $z$ gegen\"uber
  dem Rest dominiert.
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $0\neq a\in\C$. Sei $a=re^{i\phi}$, $r>0$ und (\"ublicherweise)
  $0\le\phi<2\pi$. Dann hei\ss{}t $\phi$ das Argument von $a$.
\end{definition}

\lang{
Das folgende Resultat hei\ss{}t auch ``anti-calculus proposition'',
weil im Maximum $f'(z)\neq0$ gilt. Es geht auf Erd\"os zur\"uck. Es
gilt analog auch in Gebieten mit innerer Kugelbedingung. Vergleiche
dies mit dem Hopfschen Randpunktlemma aus den partiellen
Differentialgleichungen. Beachte, dass Analytizit\"at in $\ol{B_r}$
eine st\"arkere Voraussetzung als C-Analytizit\"at in $B_r$ ist.
\begin{proposition}
  Sei $f$ in $\ol{B_r}$ analytisch. Nimmt die Funktion $f$ ihr Maximum
  (\"uber $\ol{B_r}$) in einem Randpunkt $\alpha$ an, so gilt
  $f'(\alpha)\neq0$ oder $f$ ist konstant.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  $f$ ist in $\alpha$ analytisch. Daher gilt nahe $\alpha$ \[f(z)=C_0
  +C_1(z-\alpha) +C_2(z-\alpha)^2 +\ldots\,.\] Angenommen es ist
  $C_1=f'(\alpha)=0$. Dann gilt \[f(z)=C_0+C_2(z-\alpha)^2+\ldots\]
  nahe $\alpha$. Wir nehmen an, dass $C_2\neq0$ gilt. Falls $C_k$ der
  erste Koeffizient $\neq0$ ist ($k>1$), verfahren wir analog. Gilt
  $C_k=0$ f\"ur alle $k>1$, so ist $f$ konstant.\par Wir m\"ochten
  $z=\alpha+\delta e^{i\theta}$ betrachten, so dass $C_0$ und
  $C_2\delta^2e^{2i\theta}$ dasselbe Argument haben. Dies ist immer
  m\"oglich, falls nicht die entsprechenden $\theta$'s
  Tangentialrichtungen an die Kreisscheibe entsprechen. Im letzteren
  Fall modifiziert man $\theta$ leicht, so dass der Punkt im Inneren
  der Kreisscheibe liegt. Es gilt
  \begin{align*}
    \left|C_0+C_2(z-\alpha)^2\right|=&\,
    \left|C_0+C_2\delta^2e^{2i\theta}\right| \ge
    |C_0|+\tfrac12\left|C_2\delta^2\right|\umbruch \intertext{und
      damit folgt} |f(z)|\ge&\,|C_0| +\tfrac14\left|C_2\delta^2\right|
    >|C_0|=|f(\alpha)|,
  \end{align*}
  da die restlichen Terme f\"ur kleine $\delta>0$ von der Ordnung
  $\delta^3$ sind. Wir erhalten einen Widerspruch zur Annahme, dass
  $f$ in der Kreisscheibe in $\alpha$ maximal ist.
\end{proof}
} % lang

\section{Weitere Eigenschaften analytischer Funktionen}

\subsection{Satz von der offenen Abbildung und Schwarzsches Lemma}

\begin{theorem}[Satz von der offenen Abbildung]
  Das Bild einer offenen zusammenh\"angenden Menge unter einer
  nichtkonstanten analytischen Abbildung ist eine offene Menge.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  (nach Carath\'eodory) Wir wollen zeigen, dass das Bild einer
  (kleinen) Kreisscheibe um $\alpha$ eine Kreisscheibe um $f(\alpha)$
  enth\"alt. Wir nehmen ohne Einschr\"ankung an, dass $f(\alpha)=0$
  gilt. Der Eindutigkeitssatz f\"ur Potenzreihen liefert, dass es
  einen Kreis $C$ um $\alpha$ mit $f(z)\neq0$ f\"ur alle $z\in C$
  gibt. (Sonst gibt es eine nichttriviale Folge $\to\alpha$, f\"ur die
  $f$ verschwindet. Daraus w\"urde dann lokal $f\equiv 0$
  folgen.) \par Sei $2\epsilon=\min\limits_{z\in C}|f(z)|$. \par
  Wir behaupten, dass $B_\epsilon(0)$ im Bild der Kreisscheibe mit
  Rand $C$ unter $f$ enthalten ist: Sei $w\in
  B_\epsilon(0)$. Betrachte $f(z)-w$. F\"ur $z\in C$ gilt
  \begin{align*}
    |f(z)-w|\ge&\,|f(z)|-|w|\ge\epsilon,\umbruch\\
    |f(\alpha)-w|=&\,|-w|<\epsilon.
  \end{align*}
  Daher nimmt $|f(z)-w|$ ein lokales Minimum innerhalb von $C$
  an. Aufgrund des Minimum-Modulus-Theorems gibt es daher ein $z$
  innerhalb von $C$ mit $f(z)-w=0$. Der Wert $w$ wird also angenommen.
\end{proof}

\begin{theorem}[Schwarzsches Lemma]\label{schwarz thm}
  Sei $f$ in der Einheitskreisscheibe analytisch und gelte dort
  $f\ll1$. Sei $f(0)=0$. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{schwarz i} $|f(z)|\le|z|$ f\"ur alle $z\in B_1(0)$ und
  \item\label{schwarz ii} $|f'(0)|\le1$.
  \end{enumerate}
  Gleichheit gilt in \eqref{schwarz i} f\"ur ein $z\neq0$ oder in
  \eqref{schwarz ii} genau dann, wenn \[f(z)=e^{i\theta}z \text{ f\"ur
    ein }\theta\in\R\text{ ist}.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte die in $B_1(0)$ analytische Funktion \[g(z):=
  \begin{cases}
    \frac{f(z)}z,&0<|z|<1,\\
    f'(0),&z=0.
  \end{cases}\] Auf $\partial B_r(0)$ gilt $g\ll\frac1r$. Aufgrund des
  Maximum-Modulus-Theorems ist daher $g\ll\frac1r$ in $B_r(0)$. Mit
  $r\nearrow1$ erhalten wir $|g(z)|\le1$ in $B_1(0)$. Nach Definition
  von $g$ folgt daher \eqref{schwarz i} und da $f(0)=0$ ist, erhalten
  wir auch \eqref{schwarz ii}. \par Gelte Gleichheit in \eqref{schwarz
    i} oder \eqref{schwarz ii}. Dann folgt $|g(z_0)|=1$ f\"ur ein
  $|z_0|<1$. Aufgrund des Maximum-Modulus-Theorems ist dann $g$ eine
  Konstante vom Betrag $1$. Somit gilt $f(z)=e^{i\theta}z$.
\end{proof}

\lang{
\begin{proposition}
  Sei $f$ eine ganze Funktion mit \[|f(z)|\le\frac1{|\Im z|}\] f\"ur
  alle $z$. Dann gilt $f\equiv 0$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur $|\Im z|>1$ erhalten wir $f\ll 1$, aber $f$ k\"onnte nahe der
  reellen Achse noch unbeschr\"ankt werden. Definiere die
  Hilfsfunktion \[g(z)=\left(z^2-R^2\right)f(z).\] F\"ur $z$ mit
  $|z|=R$ und $\Re z\ge0$ gilt \[|(z-R)f(z)|\le \frac{|z-R|}{|\Im z|}
  \le\sqrt 2\le\frac32.\] Dabei ist ein Bild f\"ur die zweite
  Ungleichung hilfreich. Analog erhalten wir f\"ur $|z|=R$ und $\Re
  z\le0$ die Ungleichung $|(z+R)f(z)|\le\sqrt 2\le\frac32$. Da $|z|=R$
  ist, erhalten wir mit Hilfe dieser beiden Ungleichungen und der
  Dreiecksungleichung \[|g(z)| =|z+R|\cdot|z-R|\cdot|f(z)| \le3R.\]
  Das Maximum-Modulus-Theorem liefert nun f\"ur $|z|\le R$ \[|g(z)|
  =\left|z^2-R^2\right|\cdot |f(z)|\le 3R.\] $R>0$ war beliebig. Also
  folgt \[|f(z)|\le\frac{3R}{\left|z^2-R^2\right|}\text{ f\"ur
  }|z|<R.\] Mit $R\to\infty$ folgt $f(z)=0$. Da dies f\"ur beliebige
  Punkte $z\in\C$ gilt, folgt die Behauptung.
\end{proof}
} % lang

\subsection{Die Umkehrung von Cauchys Theorem; Moreras Theorem;
  Schwarzsches Spiegelungsprinzip}

\begin{theorem}[Morera]
  Sei $f$ in einer offenen Menge $D\subset\C$
  stetig. Gilt \[\int\limits_\Gamma f(z)\,dz=0\] f\"ur alle R\"ander
  abgeschlossener Rechtecke $R\subset D$, so ist $f$ in $D$
  analytisch. \par (Die Stetigkeit ist n\"otig, da das Ab\"andern in
  einem Punkt das Integral nicht \"andert. Wir ben\"otigen die
  Voraussetzung im Beweis nur f\"ur achsenparallele Rechtecke.)
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $z_0\in D$. In einer kleinen Umgebung von $z_0$ definieren wir
  eine Stammfunktion \[F(z):=\int\limits_{z_0}^zf(\zeta)\,d\zeta,\]
  wobei wir zun\"achst horizontal und dann vertikal von $z_0$ nach $z$
  integrieren. F\"ur den Differenzenquotienten erhalten wir wie beim
  Integraltheorem, Theorem \ref{integral thm}, da $\int\limits_\Gamma
  f=0$ f\"ur Kurven $\Gamma$ um die entsprechenden Rechtecke herum
  gilt, \[\frac{F(z+h)-F(z)}h =\frac1h
  \int\limits_z^{z+h}f(\zeta)\,d\zeta\to f(z)\] f\"ur $h\to0$, da $f$
  stetig ist. Somit ist $F$ nahe $z_0$ analytisch. Auch $F'=f$ ist
  nahe $z_0$ analytisch. Somit ist $f$ in $D$ analytisch.
\end{proof}

\begin{definition}
  Seien $f_n$ und $f$ in $D$ definiert. $f_n$ konvergiert lokal
  gleichm\"a\ss{}ig gegen $f$, falls $f_n$ auf jeder kompakten
  Teilmenge $K\subset D$ gleichm\"a\ss{}ig gegen $f$ konvergiert. Wir
  schreiben $f_n\rightrightarrows f$ in $K$.\par
  (Beachte, dass im Reellen der gleichm\"a\ss{}ige Limes
  differenzierbarer Funktionen nicht wieder differenzierbar zu sein
  braucht. Der gleichm\"a\ss{}ige Limes harmonischer Funktionen ist
  wieder harmonisch und differenzierbar.)
\end{definition}

\begin{theorem}\label{glm lim analyt thm}
  Sei $f_n$ eine in $D$ definierte Folge analytischer Funktionen, die
  lokal gleichm\"a\ss{}ig gegen $f$ konvergiert. Dann ist $f$ in $D$
  analytisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $K\subset D$ kompakt, $f_n\rightrightarrows f$ in $K$. Dann ist
  $f$ in $K$ stetig. F\"ur jedes Rechteck in $K$ gilt aufgrund der
  gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz und da jedes $f_n$ analytisch
  ist \[\int\limits_\Gamma f =\int\limits_\Gamma\lim\limits_n f_n
  =\lim\limits_n \int\limits_\Gamma f_n =0.\] Der Satz von Morera
  liefert nun, dass $f$ in $D$ analytisch ist.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{linie hebbar thm}
  Sei $f$ in einer offenen Menge $D$ stetig und f\"ur eine Gerade $L$
  sei $f$ in $D\setminus L$ analytisch. Dann ist $f$ in $D$
  analytisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte ohne Einschr\"ankung $L=\R$ (sonst $g(z):=f(Az+B)$) und
  $D=B_1(0)$ eine Kreisscheibe. \par Wir behaupten, dass
  $\int\limits_\Gamma f=0$ f\"ur jedes achsenparallele Rechteck
  $\Gamma$ in $D$ gilt.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{linie hebbar i} Ist $\Gamma\cap\R=\emptyset$, so folgt
    wie im Beweis des Rechteckstheorems, Theorem \ref{rechteck thm},
    die Behauptung $\int\limits_\Gamma f=0$, da $f$ analytisch ist.
  \item\label{linie hebbar ii} Eine Seite von $\Gamma$ liegt auf $L$:
    Approximiere $\Gamma$ durch Rechtecke $\Gamma_\epsilon$, die auf
    einer Seite von $L$ liegen. Es folgt nach \eqref{linie hebbar
      i} \[\int\limits_\Gamma f =\lim\limits_{\epsilon\to0}
    \int\limits_{\Gamma_\epsilon}f=0,\] da $f$ stetig ist.
  \item Liegen auf beiden Seiten von $L$ Teile des Rechteckes, so
    unterteilen wir $\Gamma$ in zwei Rechtecke wie in \eqref{linie
      hebbar ii} und erhalten aufgrund der Resultate aus \eqref{linie
      hebbar ii} \[\int\limits_\Gamma f =\int\limits_{\Gamma_1}f
    +\int\limits_{\Gamma_2}f=0.\]
  \end{enumerate}
  Nach dem Satz von Morera ist $f$ daher in $D$ analytisch. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Schwarzsches Spiegelungsprinzip]
  Sei $f$ in einem Gebiet $D$ C-analytisch (d.\,h.{} zus\"atzlich bis
  zum Rand stetig). Sei $D$ in der oberen (oder unteren) Halbebene
  enthalten und enthalte ein Geradenst\"uck $L$ auf der reellen Achse
  im Rand (nur f\"ur dieses Randst\"uck ist die stetige
  Fortsetzbarkeit wichtig). Sei $f$ f\"ur reelle $z$ reell. Sei
  $D^*:=\{z:\bar z\in D\}$. Dann ist die Fortsetzung $g$, definiert
  durch \[g(z):=\begin{cases} f(z),&z\in D\cup L,\\ \ol{f(\bar z)},&
    z\in D^*, \end{cases}\] in $D\cup L\cup D^*$ analytisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  In $D$ ist $g=f$ analytisch. F\"ur $z,z+h\in D^*$
  gilt \[\frac{g(z+h)-g(z)}h =\frac{\overline{f\left(\bar z+\bar
        h\right)-f(\bar z)}}h =\overline{\left[\frac{f\left(\bar
          z+\bar h\right)-f(\bar z)}{\bar h}\right]}
  \to\overline{f'(\bar z)}\] f\"ur $h$ bzw.{} $\bar h\to0$. Daher ist
  $g$ in $D^*$ analytisch. Da $f$ auf $L$ reell ist, ist $g$ in $D\cup
  L\cup D^*$ stetig. Nach Theorem \ref{linie hebbar thm} ist $g$ daher
  in $D\cup L\cup D^*$ analytisch.
\end{proof}

Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes erhalten wir daraus
\begin{corollary}
  Sei $f$ in einem bez\"uglich der reellen Achse spiegelsymmetrischen
  Gebiet analytisch und f\"ur reelle $z$ reellwertig. Dann gilt
  $f(z)=\ol{f(\bar z)}$.
\end{corollary}

\section{Allgemeiner Cauchyscher Integralsatz}

\physiker{
\subsection{Einfach zusammenh\"angende Gebiete}
\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. (Hier gen\"ugt es, offene Teilmengen
  $X\subset\C$ zu betrachten.)
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine stetige Abbildung $\gamma:\S^1\to X$ hei\ss{}t
    geschlossene Kurve. 
  \item Zwei geschlossene Kurven $\gamma_0,\,\gamma_1:\S^1\to X$,
    hei\ss{}en homotop, falls es eine stetige Abbildung
    $H:\S^1\times[0,1]\to X$ mit $H(\cdot,0)=\gamma_0$ und
    $H(\cdot,1)=\gamma_1$ gibt.
  \item Eine geschlossene Kurve $\gamma$ hei\ss{}t konstant, falls
    $\gamma(x)=\gamma(y)$ f\"ur alle $x,\,y\in\S^1$ gilt.
  \item Eine geschlossene Kurve hei\ss{}t nullhomotop (oder
    zusammenziehbar oder kontrahierbar), falls sie homotop zu einer
    konstanten Kurve ist.
  \item Sei $D\subset\C$ offen. $D$ hei\ss{}t einfach
    zusammenh\"angend, falls alle geschlossenen Kurven $\gamma:\S^1\to
    D$ nullhomotop sind. (Bemerkung: Diese Definition gilt auch f\"ur
    beliebige topologische R\"aume.)
  \item Seien $\gamma_0,\,\gamma_1:[0,1]\to X$ stetige Kurven mit
    gleichen Anfangs- und Endpunkten: $\gamma_0(0)=\gamma_1(0)$ und
    $\gamma_0(1)=\gamma_1(1)$. Dann hei\ss{}en $\gamma_0$ und
    $\gamma_1$ homotop, falls es eine stetige Abbildung (Homotopie)
    $H:[0,1]\times[0,1]\to X$ mit $H(\cdot,0)=\gamma_0$ und
    $H(\cdot,1)=\gamma_1$ gibt, so dass $H(0,t)=\gamma_0(0)$ und
    $H(1,t)=\gamma_0(1)$ f\"ur alle $t\in[0,1]$ gelten.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine konvexe Menge ist einfach zusammenh\"angend. 
  \item $\C\setminus\{0\}$ ist zusammenh\"angend aber nicht einfach
    zusammenh\"angend. Dies folgt aus Bemerkung \ref{motiv bem} und
    Theorem \ref{Cauchy thm}. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\subsection{Kurvenintegrale f\"ur $C^0$-Kurven}
\begin{definition}[Kurvenintegrale f\"ur $C^0$-Wege]
  Sei $D\subset\C$ offen.  Sei $\gamma:[0,1]\to D$ ein stetiger
  Weg. Sei $f$ in $D$ analytisch. Wir definieren \[\int\limits_\gamma
  f(z)\,dz:= \lim\limits_{n\to\infty}
  \int\limits_{\gamma_n}f(z)\,dz,\] wobei $\gamma_n:[0,1]\to D$,
  $n\in\N$, eine Familie von st\"uckweise $C^1$-Wegen mit
  $\Vert\gamma-\gamma_n\Vert_{C^0([0,1],\C)}\to0$ f\"ur $n\to\infty$
  ist.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{cauchy ball lemma}
  Das Kurvenintegral f\"ur $C^0$-Wege ist wohldefiniert. \par Ist
  $D=B_r(a)$, $a\in\C$ und $r>0$, so verschwindet das Kurvenintegral
  \"uber geschlossene Wege.
\end{lemma}
Damit stimmt es insbesondere f\"ur st\"uckweise $C^1$-Wege mit dem
bisherigen Kurvenintegral \"uberein.
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte zun\"achst den Fall $D=B_r(a)$ f\"ur $a\in\C$ und $r>0$:
  Sei $F$ in $D$ eine Stammfunktion zu $f$, siehe Theorem
  \ref{stammfkt ex lok}.  Es
  gilt \[\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{\gamma_n}f(z)\,dz =
  \lim\limits_{n\to\infty} F(\gamma_n(1))-F(\gamma_n(0))
  =F(\gamma(0))-F(\gamma(1)).\] In diesem Falle folgt die
  Behauptung. Hier kommt es also sogar nur darauf an, dass die
  Endpunkte konnvergieren. \par Sei nun $D$ beliebig. \"Uberdecke
  $\im\gamma$ durch endlich viele Kugeln $B_i\subset D$. Dann gibt es
  $t_i$ mit $0=t_1<t_2<\ldots<t_{m-1}<t_m=1$ und
  $\im\gamma|_{[t_i,t_{i+1}]}\subset B_i$. Dies gilt auch f\"ur
  $\gamma_n$, falls $n$ gro\ss{} genug ist. Da das Kurvenintegral auf
  jedem Intervall wohldefiniert ist, ist es auch insgesamt
  wohldefiniert. Es h\"angt auch nicht von der Auswahl der Kugeln
  $B_i\subset D$ ab. 
\end{proof}

\subsection{Allgemeiner Cauchyscher Integralsatz}
\begin{remark}\label{motiv bem}
  \textbf{Motivation:} Sei $f$ in einer Kreisscheibe analytisch. Dann
  gilt $\int\limits_\Gamma f=0$ f\"ur jede geschlossene Kurve $\Gamma$
  in $D$, aber $\int\limits_{|z|=1}\frac1z\,dz=2\pi i\neq0$. \par
  \textbf{Ziel:} Finde allgemeine Gebiete, f\"ur die das Integral
  \"uber geschlossene Kurven von analytischen Funktionen verschwindet.
\end{remark}

\begin{theorem}\label{homot gl int thm}
  Sei $D\subset\C$ offen. Sei $f$ in $D$ analytisch.  Seien
  $\gamma_0,\,\gamma_1:[0,1]\to D$ stetige homotope Wege. Dann
  gilt \[\int\limits_{\gamma_0}f(z)\,dz =
  \int\limits_{\gamma_1}f(z)\,dz.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $H$ eine Homotopie die zeigt, dass die beiden Wege homotop
  sind. Da $\im H$ kompakt ist, wird es von endlich vielen B\"allen
  $B_m\subset D$ \"uberdeckt. Aufgrund der Kompaktheit und der
  gleichm\"a\ss{}igen Stetigkeit finden wir $n\gg1$, so dass $\im
  H|_{\left[\frac{i-1}n,\frac in\right]\times\left[\frac{j-1}n, \frac
      jn\right]}$ f\"ur alle $1\le i,j\le n$ in einem solchen Ball
  $B_m$ enthalten ist. Nach Lemma \ref{cauchy ball lemma} verschwindet
  das Kurvenintegral \"uber die Kurve
  $H\left(\partial\left(\left[\frac{i-1}n,\frac
        in\right]\times\left[\frac{j-1}n, \frac
        jn\right]\right)\right)$. Aufsummieren liefert die Behauptung.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{konst endpkt hom}
  Sei $D\subset\C$ offen. Sei $H:\S^1\times[0,1]\to D$ eine Homotopie
  geschlossener Kurven. Sei $p\in\S^1\subset\C$. Dann gibt es eine
  Homotopie $\tilde H:[0,1]\times[0,1]\to D$, so dass f\"ur jedes
  $t\in[0,1]$ der Weg $\tau\mapsto\tilde H(\tau,t)$ bis auf
  Umparametrisierung gerade aus den folgenden Wegen zusammengesetzt
  ist:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Aus einem Weg $[0,t]\ni\tau\mapsto H(p,\tau)$,
  \item einem Weg $[0,2\pi]\ni\theta\mapsto
    H\left(pe^{i\theta},t\right)$
  \item und einem Weg $[0,t]\ni\tau\mapsto H(p,t-\tau)$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere
  \[\tilde H(\tau,t):=
  \begin{cases}
    H(p,4\tau),&0\le\tau\le\frac14t,\\
    H\left(p\cdot\exp\left(\frac{2\pi i\left(\tau-\frac14t\right)}
        {1-\frac12t}\right),t\right),
    &\frac14t\le\tau\le1-\frac14t,\\
    H(p,1-4\tau),&1-\frac14t\le\tau\le1.
  \end{cases}\]
  \rule{1mm}{0mm}\\[-4ex]
\end{proof}
}{} % physiker

\begin{theorem}[Allgemeiner Cauchyscher Integralsatz]\label{Cauchy
    thm}
  Sei $f$ in einem einfach zu\-sam\-men\-h\"an\-gen\-den Gebiet $D$
  analytisch und sei $C$ eine geschlossene Kurve in $D$. Dann
  gilt \[\int\limits_Cf=0.\]
\end{theorem}
\physiker{
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $H$ eine Homotopie, die zeigt, dass $C$ nullhomotop ist.  Nach
  Lemma \ref{konst endpkt hom} gibt es eine zugeh\"orige Homotopie mit
  festen Anfangs- und Endpunkten. Beim Berechnen der entsprechenden
  Kurvenintegrale ist nur der mittlere Teil der Kurven in diesem Lemma
  relevant, da die Anfangs- und Endst\"ucke jeweils einmal in
  entgegengesetzten Richtungen durchlaufen werden. Theorem \ref{homot
    gl int thm} liefert nun die Behauptung, da die Homotopie eine
  Homotopie zu einem konstanten Weg mit Kurvenintegral Null ist.
\end{proof}
}
{
  \begin{proof}[Beweisskizze]
    Ein einfach zusammenh\"angendes Gebiet ist ein Gebiet, in dem man
    jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammenziehen kann. Man
    \"uberlegt sich, dass sich das Kurvenintegral bei kleinen
    Deformationen der Kurve nicht \"andert, weil man den Bereich
    zwischen zwei Kurven in kleine Gebiete aufteilen kann, \"uber
    deren Rand das Kurvenintegral verschwindet. Die Differenz der
    beiden Kurvenintegrale l\"asst sich nun als Summe dieser \glqq
    kleinen\grqq{} Kurvenintegrale schreiben. Somit erh\"alt man f\"ur
    das Kurvenintegral denselben Wert wie f\"ur eine konstante Kurve,
    also Null.
  \end{proof}
} % physiker

\begin{theorem}\label{Cauchy stamm thm}
  Sei $D\subset\C$ ein einfach zusammenh\"angendes Gebiet. Sei $f$ in
  $D$ analytisch. Dann gibt es eine analytische Stammfunktion $F$,
  d.\,h.{} es gilt $F'=f$ in $D$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  W\"ahle $z_0\in D$ und definiere
  $F(z):=\int\limits_{z_0}^zf(z)\,dz$, wobei wir \"uber eine beliebige
  Kurve von $z_0$ nach $z$ integrieren. Nach Theorem \ref{Cauchy thm}
  ist $F$ wohldefiniert. Wie im Beweis des Integraltheorems, Theorem
  \ref{integral thm}, folgt, dass $F'=f$ in $D$ gilt. 
\end{proof}

\begin{remark}\neueZeile\label{annulus bem}
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gen\"ugt, wenn man $D$ auf ein einfach zusammenh\"angendes
    Gebiet verkleinern kann, das $C$ enth\"alt: F\"ur
    $C:\alpha+re^{i\theta}$, $0\le\theta\le2\pi$ und $|a-\alpha|>r$
    gilt \[\int\limits_C\frac{dz}{z-a}=0.\]
  \item Sei $f$ in $\{1\le|z|\le 4\}$ analytisch. Dann
    ist \[\int\limits_{|z|=2}f(z)\,dz =\int\limits_{|z|=3}f(z)\,dz.\]
    Dies sieht man, indem man den Annulus zwischen den beiden Kreisen
    an der $x$-Achse zerteilt und benutzt, dass das Integral \"uber
    den Rand f\"ur jedes dieser Teilgebiete verschwindet.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{Der komplexe Logarithmus}

\begin{definition}\label{def log}
  $f$ hei\ss{}t analytischer Zweig von $\log z$ in einem Gebiet $D$,
  falls
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f$ in $D$ analytisch ist,
  \item\label{def log ii} $f$ in $D$ zur Exponentialfunktion
    invers ist, \dh falls $\exp(f(z))=z$ f\"ur alle $z\in D$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur jedes $k\in\Z$ ist mit $f(z)$ auch $g(z):=f(z)+2\pi ik$
    ein analytischer Zweig von $\log z$.
  \item Wegen $e^\omega\neq0$ f\"ur $w\in\C$ ist $\log0$ nicht
    definiert. Ist $z=Re^{i\theta}$, $R>0$, $f(z)=\text{\glqq}\log
    z\text{\grqq}=u(z)+iv(z),$ so folgt $\exp(f(z))=e^{u(z)}\cdot
    e^{iv(z)} =Re^{i\theta}$. Daher ist $e^{u(z)}=|z|=R$ und
    $v(z)=\arg(z)=\theta+2\pi k$, wobei wir mit $\arg$ das Argument
    von $z$ bezeichnen.
  \end{enumerate}
  Also ist $f(z)=\log|z|+i\arg(z)$ stets eine L\"osung zu \eqref{def
    log ii} in Definition \ref{def log}. Die Definition von $\arg$
  unterscheidet sich teilweise um ganzzahlige Vielfache von
  $2\pi$.\par Stetigkeit und Analytizit\"at sind nicht klar.\par Die
  Formel f\"ur die Ableitung der Umkehrfunktion einer analytischen
  Funktion liefert $f'(z)=\frac1z$, falls $f$ existiert. (Dies ist die
  Motivation f\"ur das nachfolgende Theorem.)
\end{remark}

\begin{theorem}
  Sei $D$ einfach zusammenh\"angend und $0\not\in D$. Sei $z_0\in
  D$. W\"ahle einen Wert von $\log z_0$ (der \eqref{def log ii} in
  Definition \ref{def log} erf\"ullt) und
  definiere \[f(z)=\int\limits_{z_0}^z\frac{d\zeta}\zeta +\log z_0.\]
  Dann ist $f$ ein analytischer Zweig von $\log z$ in $D$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  $f$ ist wohldefiniert, da $\zeta\mapsto\frac1\zeta$ in $D$
  analytisch ist und somit nach Theorem \ref{Cauchy thm}
  $\int\limits_\Gamma\frac{d\zeta}\zeta=0$ f\"ur eine geschlossene
  Kurve $\Gamma$ in $D$ gilt.\par Es gilt $f'(z)=\frac 1z$. Somit ist
  $f$ in $D$ analytisch.\par Wir behaupten, dass $\exp(f(z))=z$
  gilt:\par Betrachte $g(z):=z\cdot e^{-f(z)}$. Wegen
  $g'(z)=e^{-f(z)}-zf'(z)e^{-f(z)}=0$ ist $g$ konstant. Aus
  $g(z)=g(z_0)=z_0e^{-f(z_0)}=1$ folgt daher $e^{f(z)}=z$.
\end{proof}

\section{Isolierte Singularit\"aten analytischer
  Funktionen}

\subsection{Klassifikation isolierter Singularit\"aten, Riemanns
  Prinzip und das Theorem von Casorati-Weierstra\ss{}}

\begin{notation}
  Eine punktierte Kreisscheibe von $z_0$ ist durch $\{z:0<|z-z_0|<d\}$
  definiert. Eine punktierte Umgebung von $z_0$ ist eine Menge der
  Form $U\setminus\{z_0\}$, falls $U$ eine Umgebung von $z_0$ ist.
\end{notation}

\begin{definition}
  $f$ besitzt in $z_0$ eine isolierte Singularit\"at, falls $f$ in
  einer punktierten Umgebung von $z_0$ analytisch ist, aber nicht in
  $z_0$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Nach Theorem \ref{linie hebbar thm} ist $f$ in $z_0$ unstetig: Es
  kann sein, dass $f$ in $z_0$ gar nicht definiert ist. Ist $f$ in
  $z_0$ definiert und stetig, so ist es au\ss{}erhalb einer Geraden
  analytisch und sonst stetig, damit aber nach Theorem \ref{linie
    hebbar thm} auch in $z_0$ analytisch.
\end{remark}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \[f(z)=\begin{cases}\sin z,&z\neq2,\\ 0,&z=2,\end{cases}\]
    besitzt in $z=2$ eine isolierte Singularit\"at.
  \item $g(z)=\frac1{z-3}$ besitzt eine isolierte Singularit\"at im
    Punkt $z=3$.
  \item $\exp\left(\frac1z\right)$ besitzt in $z=0$ eine isolierte
    Singularit\"at.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
  Habe $f$ in $z_0$ eine isolierte Singularit\"at.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gibt es eine Funktion $g$, so dass $f(z)=g(z)$ f\"ur alle $z$
    in einer punktierten Umgebung von $z_0$ gilt und ist $g$ in $z_0$
    analytisch, so besitzt $f$ eine hebbare Singularit\"at in $z_0$.
  \item Falls sich f\"ur $z\neq z_0$ (nahe $z_0$) $f$ in der Form
    $f(z)=\frac{A(z)}{B(z)}$ darstellen l\"asst, wobei $A(z)$ und
    $B(z)$ in $z_0$ analytisch sind, $A(z_0)\neq0$, $B(z_0)=0$, so
    besitzt $f$ einen Pol in $z_0$. Hat $B$ in $z_0$ eine Nullstelle
    der Ordnung $k$, so hat $f$ in $z_0$ einen Pol der Ordnung $k$.
  \item Ist die Singularit\"at von $f$ in $z_0$ weder hebbar noch ein
    Pol, so besitzt $f$ in $z_0$ eine wesentliche Singularit\"at.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}[Riemanns Prinzip hebbarer Singularit\"aten]
  Besitzt $f$ in $z_0$ eine isolierte Singularit\"at und
  gilt \[\lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0,\] so ist die
  Singularit\"at hebbar.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte \[h(z)=\begin{cases}(z-z_0)f(z),&z\neq z,\\ 0,&
    z=z_0.\end{cases}\] $h$ ist in $z_0$ stetig und in einer
  punktierten Umgebung von $z_0$ analytisch. Nach Theorem \ref{linie
    hebbar thm} ist $h$ in $z_0$ analytisch. Da $h(z_0)=0$ ist, ist
  auch $g(z)=\frac{h(z)}{z-z_0}$ in $z_0$ analytisch mit $g(z)=f(z)$
  f\"ur $z\neq z_0$.
\end{proof}

\lang{
\begin{corollary}
  Ist $f$ in einer punktierten Umgebung einer isolierten
  Singularit\"at beschr\"ankt, so ist die Singularit\"at hebbar.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Klar. 
\end{proof}
} % lang

\lang{
\begin{theorem}
  Ist $f$ in einer punktierten Umgebung von $z_0$ analytisch und gibt
  es $k\in\N$, $k>0$, so dass
  \begin{align*}
    \lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)^kf(z)\neq0\umbruch
    \intertext{aber}
    \lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)^{k+1}f(z)=0,
  \end{align*}
  so besitzt $f$ in $z_0$ einen Pol der Ordnung $k$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze \[g(z):=
  \begin{cases}
    (z-z_0)^{k+1}f(z),&z\neq z_0,\\
    0,&z=z_0. 
  \end{cases}\]
  $g$ ist in $z_0$ stetig. Daher ist $g$ in $z_0$ auch analytisch. Es
  ist $g(z_0)=0$. Daher ist \[A(z):=\frac{g(z)}{z-z_0}=(z-z_0)^kf(z)\]
  ebenfalls in $z_0$ analytisch. Nach Annahme ist $A(z_0)\neq0$. Also
  ist \[f(z)=\frac{A(z)}{(z-z_0)^k}\quad\text{f\"ur }z\neq z_0\] und
  die Behauptung folgt. 
\end{proof}
}

\lang{
\begin{remark}
  Insbesondere besitzen Pole immer eine ganzzahlige Ordnung. Zum
  Beispiel folgt aus $|f(z)|\le\frac1{\sqrt{|z|}}$, dass $f$ im
  Ursprung eine hebbare Singularit\"at beistzt. 
\end{remark}
}

\begin{theorem}[Casorati-Weierstra\ss{}]
  Besitzt $f$ in $z_0$ eine wesentliche Singularit\"at und ist $D$
  eine punktierte Umgebung von $z_0$, so ist das Bild $\{f(z):z\in
  D\}$ in $\C$ dicht.   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls nicht, so gibt es $B_\delta(w)\subset\C$, so dass
  $B_\delta(w)\cap\{f(z):z\in D\}=\emptyset$. Daher gilt stets
  $|f(z)-w|\ge\delta$ und folglich \[\left| \frac1{f(z)-w} \right|
  \le\frac1\delta \quad\text{in }D.\] Nach Riemanns Prinzip hat daher
  $\frac1{f(z)-w}$ in $z_0$ h\"ochstens eine hebbare
  Singularit\"at. Die (geeignet nach $z_0$ fortgesetzte) Funktion
  $g(z):=\frac1{f(z)-w}$ ist also in $z_0$ analytisch und wir
  erhalten, dass $f(z)=w+\frac1{g(z)}$ gilt. Dies bedeutet, dass $f$
  in $z_0$ einen Pol (falls $g(z_0)=0$ ist) besitzt oder (falls
  $g(z_0)\neq0$ ist) eine hebbare Singularit\"at. Widerspruch.
\end{proof}

Es gilt sogar die folgende Versch\"arfung des Theorems von
Casorati-Weierstra\ss{}. 
\begin{remark}[Picards Theorem]
  Nahe einer wesentlichen Singularit\"at nimmt eine analytische
  Funktion alle Werte aus $\C$ mit h\"ochstens einer Ausnahme an. 
\end{remark}

\subsection{Laurentreihen}
\textbf{Ziel:} F\"ur in Annuli definierte analytische Funktionen
wollen wir eine Laurentreihendarstellung herleiten.

\begin{definition}
  Wir schreiben $\sum\limits_{k=-\infty}^\infty\mu_k=L$, falls
  $\sum\limits_{k=0}^\infty\mu_k$ und
  $\sum\limits_{k=1}^\infty\mu_{-k}$ konvergieren und
  falls \[\sum\limits_{k=0}^\infty\mu_k
  +\sum\limits_{k=1}^\infty\mu_{-k}=L\] gilt. 
\end{definition}

\begin{theorem}\label{Laurent Annulus konv thm}
  Die Funktion $f(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty a_kz^k$
  konvergiert im Kreisring \[D=\{z:R_1<|z|<R_2\},\] wobei
  \begin{align*}
    R_2=&\,\frac1{\limsup\limits_{k\to\infty}|a_k|^{1/k}},\umbruch\\
    R_1=&\,\limsup\limits_{k\to\infty}|a_{-k}|^{1/k}
  \end{align*}
  ist, falls $R_1<R_2$ ist. $f$ ist in $D$ analytisch. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund des Wurzelkriteriums
  konvergiert \[f_1(z):=\sum\limits_{k=0}^\infty a_kz^k\] f\"ur
  $|z|<R_2$. Analog folgt, dass \[f_2(z):=\sum\limits_{k=-\infty}^{-1}
  a_kz^k =\sum\limits_{k=1}^\infty a_{-k}\left(\frac1z\right)^k\] f\"ur
  $\left|\frac1z\right|<\frac1{R_1} \,\Longleftrightarrow\,|z|>R_1$
  konvergiert. Somit konvergiert $\sum\limits_{k=-\infty}^\infty a_kz^k$
  f\"ur $R_1<|z|<R_2$. $f_1$ ist eine Potenzreihe und es ist
  $f_2(z)=g\left(\frac1z\right)$, wobei $g$ eine Potenzreihe
  ist. Daher sind $f_1$ und $f_2$ im Konvergenzbereich
  analytisch. Also ist auch $f$ dort analytisch. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $f$ in $A:=\{z:R_1<|z|<R_2\}$ analytisch. Dann besitzt $f$ im
  Annulus $A$ eine Laurentreihenentwicklung,
  $f(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty a_kz^k$ in $A$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $R_1<r_1<r_2<R_2$. Seien $C_1$ und $C_2$ Kreise um $0$ mit
  Radius $r_1$ und $r_2$. Sei $r_1<|z|<r_2$. Dann
  ist \[g(w):=\frac{f(w)-f(z)}{w-z}\] in $A$ analytisch. Wie in
  Bemerkung \ref{annulus bem} folgt aus dem Cauchyschen
  Integralsatz \[\int\limits_{C_2-C_1}g(w)\,dw=0.\] (Dies folgt, indem
  wir die beiden Kreise in Halbkreise zerschneiden un die
  Verbindungsst\"ucke auf der reellen Achse hinzuf\"ugen. Dann
  verschwinden die Integrale \"uber den oberen und \"uber den unteren
  Teil individuell. Beim Zusammenf\"ugen heben sich die Beitr\"age
  \"uber die zus\"atzlichen Strecken gerade wieder gegenseitig auf.)
  Entlang $C_i$ sind die Integranden nichtsingul\"ar, wir d\"urfen das
  Integral also auseinanderziehen
  \begin{equation}
    \label{Cauchy int fml}
    \int\limits_{C_2-C_1}\frac{f(z)}{w-z}\,dw
    =\int\limits_{C_2-C_1}\frac{f(w)}{w-z}\,dw. 
  \end{equation}
  Nach Lemma \ref{Kreis int lem} erhalten wir, da $C_2$ den Punkt $z$
  umschlie\ss{}t $\int\limits_{C_2} \frac{dw}{w-z}=2\pi i$. Nach
  Cauchy (Theorem \ref{Cauchy thm}) gilt, da $C_1$ im Inneren keine
  Singularit\"at enth\"alt $\int\limits_{C_1}\frac{dw}{w-z}=0$. Wir
  erhalten also \[\int\limits_{C_2-C_1} \frac{f(w)}{w-z}\,dw =2\pi
  if(z).\] Mit \eqref{Cauchy int fml} folgt daher \[f(z)=\frac1{2\pi
    i}\int\limits_{C_2}\frac{f(w)}{w-z}\,dw -\frac1{2\pi
    i}\int\limits_{C_1}\frac{f(w)}{w-z}\,dw.\] Auf $C_2$ gilt
  $|w|>|z|$. Wir erhalten somit \[\frac1{w-z} =\frac1{w\left(1-\frac
      zw\right)} =\frac 1w +\frac z{w^2} +\frac{z^2}{w^3} +\ldots\,.\]
  Auf $C_1$ gilt $|w|<|z|$ und daher erhalten wir \[\frac1{w-z}
  =\frac{-1}{z-w} =-\,\frac1z -\frac w{z^2} -\frac{w^2}{z^3}
  -\ldots\,.\] In beiden geometrischen Reihen ist die Konvergenz lokal
  gleichm\"a\ss{}ig. Daher erhalten wir \[f(z)=\frac1{2\pi
    i}\int\limits_{C_2}\left(\,\sum\limits_{k=0}^\infty
    \frac{f(w)z^k}{w^{k+1}}\right)\,dw +\frac1{2\pi
    i}\int\limits_{C_1}\left(\,\sum\limits_{k=-\infty}^{-1}
    \frac{f(w)z^k}{w^{k+1}}\right)\,dw.\] Aufgrund der lokal
  gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz d\"urfen wir die Integration und die
  Summation vertauschen und erhalten
  \begin{align*}
    f(z)=&\,\sum\limits_{k=-\infty}^\infty a_kz^k,\umbruch
    \intertext{mit}
    a_k=&\,\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(w)}{w^{k+1}}\,dw,
  \end{align*}
  wobei $C$ irgendein Kreis in $A$ ist, der im Ursprung zentriert
  ist.  Zun\"achst war \[C=
  \begin{cases}
    C_2&\text{f\"ur }k\ge0,\\
    C_1&\text{f\"ur }k<0. 
  \end{cases}\] Da aber $g(w)=\frac{f(w)}{w^{k+1}}$ in $A$ analytisch
  ist, ist das Integral aufgrund des Cauchyschen Satzes f\"ur
  geschlossene Kurven unabh\"angig vom speziellen Kreis. Da nun der
  Kreis beliebig ist, folgt die Konvergenz nicht nur in
  $B_{r_2}(0)\setminus \overline{B_{r_1}(0)}$, sondern in ganz $A$.
\end{proof}

\begin{remark}
  Die Laurentreihe einer in einem Kreisring analytischen Funktion ist
  eindeutig bestimmt. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir behaupten, dass aus $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_nz^n$
  folgt, dass auch \[a_k=\frac1{2\pi i}\int\limits_C
  \frac{f(z)}{z^{k+1}}\,dz\] gilt. Daraus folgt dann die
  Eindeutigkeit. \par Konvergiert $\sum\limits_{n=-\infty}^\infty
  a_nz^n$ in $A$, so ist die Konvergenz auf $C$
  gleichm\"a\ss{}ig. Daher erhalten wir \[\int\limits_C
  \frac{f(z)}{z^{k+1}} =\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \int\limits_C
  a_nz^{n-k-1}\,dz =a_k2\pi i,\] denn f\"ur $n\neq k$ verschwindet das
  Integral und wir erhalten die rechte Seite aus dem Summanden
  $n=k$. Daraus folgt die Behauptung. 
\end{proof} 

\begin{corollary}\label{laurent annulus cor}
  Sei $f$ im Annulus $R_1<|z-z_0|<R_2$ analytisch. Dann besitzt $f$ in
  diesem Annulus eine eindeutige Laurentreihenentwicklung
  \begin{align*}
    f(z)=&\,\sum\limits_{k=-\infty}^\infty a_k(z-z_0)^k,\umbruch
    \intertext{wobei} a_k=&\,\frac1{2\pi i}\int\limits_C
    \frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}\,dz 
  \end{align*}
  ist sowie $C=\partial B_r(z_0)$ und $R_1<r<R_2$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  $g(z)=f(z+z_0)$ ist in $R_1<|z|<R_2$ analytisch, also existiert dort
  eine eindeutige Laurentreihenentwicklung. 
\end{proof}

F\"ur $R_1=0$ erhalten wir den folgenden Spezialfall.
\begin{corollary}
  Besitzt $f$ in $z_0$ eine isolierte Singularit\"at, dann gibt es ein
  $\delta>0$, so dass \[f(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty
  a_k(z-z_0)^k\quad\text{f\"ur }0<|z-z_0|<\delta\] gilt, wobei $a_k$
  wie in Korollar \ref{laurent annulus cor} definiert ist. 
\end{corollary}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\frac{(z+1)^2}z=\frac1z +2 +z$ f\"ur $z\neq0$,
  \item
    \begin{align*}
      \frac1{z^2(1-z)}=&\,
      \frac1{z^2}\left(1+z+z^2+\ldots\right)\umbruch\\ 
      =&\,\frac1{z^2} +\frac1z +1 +z +\ldots\quad\text{f\"ur }0<|z|<1, 
    \end{align*}
  \item
    \begin{align*}
      \frac1{z^2(1-z)}=&\,\frac{-1}{z^2(z-1)}
      =\frac{-1}{[1+(z-1)]^2(z-1)}\umbruch\\ =&\,\frac{-1}{z-1} +2
      -3(z-1) +4(z-1)^2\mp\ldots\quad\text{f\"ur
      }0<|z-1|<1,\quad\text{da}\umbruch\\
      \frac1{1+a}=&\,1-a+a^2-a^3\pm\ldots,\umbruch\\
      \left(\frac1{1+a}\right)^2=&\,1-2a+3a^2-4a^3\pm\ldots,
    \end{align*}
  \item $\exp\left(\frac1z\right) =1 +\frac1z +\frac1{2z^2}
    +\frac1{3!z^3} +\ldots$ f\"ur $z\neq0$.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
  Ist \[f(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty a_k(z-z_0)^k\] die
  Laurentreihenentwicklung von $f$ um eine isolierte Singularit\"at
  $z_0$ herum, so hei\ss{}t \[\sum\limits_{k=-\infty}^{-1}
  a_k(z-z_0)^k\] Hauptteil von $f$ in
  $z_0$; \[\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k\] hei\ss{}t
  analytischer Teil. 
\end{definition}

\begin{lemma}[Charakterisierung des Hauptteils] 
  Besitze $f$ in $z_0$ eine isolierte Singularit\"at.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist die Singularit\"at hebbar, so verschwinden alle
    Koeffizienten $a_{-k}$, $k>0$, in der Laurentreihendarstellung um
    $z_0$. 
  \item Besitzt $f$ in $z_0$ einen Pol der Ordnung $k$, $k>0$, so gilt
    $a_{-k}\neq0$ und $a_{-N}=0$ f\"ur $N>k$. 
  \item Besitzt $f$ in $z_0$ eine wesentliche Singularit\"at, so
    treten im Hauptteil unendlich viele Koeffizienten / Summanden
    $\neq0$ auf. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur $z\neq z_0$ gilt $f(z)=g(z)$ f\"ur eine auch in $z_0$
    analytische Funktion. Die Eindeutigkeit der Laurentreihe liefert,
    dass die Laurentreihe von $f$ mit der Taylorreihe von $g$
    \"ubereinstimmt. Beispiel:
    \[\frac{\sin z}z =1 -\frac{z^2}{3!} +\frac{z^4}{5!}\mp\ldots\,.\] 
  \item Es gilt $f(z)=\frac{A(z)}{B(z)}$ wobei $A(z_0)\neq0$ ist und
    $B$ in $z_0$ eine Nullstelle $k$-ter Ordnung besitzt. Daher gilt
    $f(z)=\frac{Q(z)}{(z-z_0)^k}$, wobei $Q$ in $z_0$ analytisch und
    von Null verschieden ist. Somit gilt
    \begin{align*}
      Q(z)=&\,\sum\limits_{n=0}^\infty b_n(z-z_0)^n,\quad
      b_0\neq0,\umbruch
      \intertext{ und daher}
      f(z)=&\,\sum\limits_{n=0}^\infty b_n\frac{(z-z_0)^n}{(z-z_0)^k}
      =\sum\limits_{j=-k}^\infty \underbrace{b_{j+k}}_{=a_j} (z-z_0)^j.
    \end{align*}
    Somit ist $a_{-k}=b_0\neq0$.
    \item Falls nicht, w\"are $(z-z_0)^Nf(z)$ f\"ur gro\ss{}es
      $N\in\N$ in $z_0$ analytisch. Dann h\"atte $f$ einen Pol in
      $z_0$. 
  \end{enumerate}
  \vspace{-4ex}
\end{proof}

\begin{lemma}[Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen]
  Seien $P$ und $Q$ Polynome mit $\deg P<\deg
  Q$, \[Q(z)=(z-z_1)^{k_1}\cdot (z-z_2)^{k_2} \cdot\ldots\cdot
  (z-z_n)^{k_n}\] mit $k_i\in\N\setminus\{0\}$ und $z_i\neq z_j$ f\"ur
  $i\neq j$. Dann l\"asst sich $R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ als Summe von
  Polynomen in $\frac1{z-z_k}$, $k=1,2,\ldots,n$, darstellen.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  $R$ besitzt in $z_1$ einen Pol der Ordnung $\le k_1$. Aus der
  Laurentreihendarstellung um $z_1$ folgt
  daher \[R(z)=\underbrace{P_1\left(\frac1{z-z_1}\right)}_{
    \text{Hauptteil}} +\underbrace{A_1(z).}_{\text{analytischer
      Teil}}\] Daher besitzt
  $A_1(z)=R(z)-P_1\left(\frac1{z-z_1}\right)$ in $z_1$ eine hebbare
  Singularit\"at und denselben Hauptteil wie $R(z)$ in
  $z_2,\ldots,z_n$. Induktiv erhalten
  wir \[A_n(z)=R(z)-\left[P_1\left(\frac1{z-z_1}\right)
    +P_2\left(\frac1{z-z_2}\right) +\ldots
    +P_n\left(\frac1{z-z_n}\right)\right].\] Nach geeigneter
  Fortsetzung in die hebbaren Singularit\"aten $z_1,z_2,\ldots,z_n$
  ist $A_n$ eine ganze Funktion. Aufgrund der Homogenit\"aten und da
  keine konstanten Terme auftreten, gilt
  \begin{align*}
    R(z)\to0&\quad\text{f\"ur }z\to\infty,\umbruch\\
    P_i\left(\frac1{z-z_i}\right)\to0&\quad\text{f\"ur }z\to\infty.
  \end{align*}
  Nach dem Satz von Liouville, Theorem \ref{Liouville thm}, ist
  $A_n$ daher konstant. Durch eine analoge Betrachtung der
  Homogenit\"aten wie oben erhalten wir sogar $A_n\equiv0$. Somit
  gilt \[R(z)=P_1\left(\frac1{z-z_1}\right)
  +P_2\left(\frac1{z-z_2}\right)
  +\ldots+P_n\left(\frac1{z-z_n}\right).\qedhere\] 
\end{proof}

\section{Der Residuensatz}
\textbf{Ziel:} Sei $\gamma$ ein geschlossener Weg in einem einfach
zusammenh\"angenden Gebiet und sei $f$ dort analytisch. Wir wollen den
Cauchyschen Integralsatz $\int\limits_\gamma f=0$ auf Funktionen mit
isolierten Singularit\"aten verallgemeinern.\par
Sei \[f(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty C_k(z-z_0)^k\] nahe einer
isolierten Singularit\"at in $z_0$, $\gamma$ ein Kreis um $z_0$. Dann
wollen wir nachweisen, dass \[\int\limits_\gamma f=2\pi iC_{-1}\]
gilt. 

\begin{definition}
  Gilt $f(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty C_k(z-z_0)^k$ in einer
  punktierten Umgebung von $z_0$, so hei\ss{}t $C_{-1}$ das Residuum
  von $f$ in $z_0$. \[C_{-1}=\Res(f;z_0).\]
\end{definition}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{einf pol item} Besitzt $f$ einen einfachen Pol in $z_0$,
    \dh gilt $f(z)=\frac{A(z)}{B(z)}$, $A(z_0)\neq0$, wobei $A$ und
    $B$ in $z_0$ analytisch sind und $B$ in $z_0$ eine einfache
    Nullstelle besitzt, so gilt \[C_{-1}=\lim\limits_{z\to
      z_0}(z-z_0)f(z)=\frac{A(z_0)}{B'(z_0)}.\]
    \begin{proof}[Beweis]
      Es gilt
      \begin{align*}
        f(z)=&\,\frac{C_{-1}}{z-z_0}+C_0+C_1(z-z_0)+\ldots,\umbruch\\
        (z-z_0)f(z)=&\,C_{-1} +C_0(z-z_0) +C_1(z-z_0)^2
        +\ldots\umbruch \intertext{und daher folgt} \lim\limits_{z\to
          z_0}(z-z_0)f(z)=&\,C_{-1}.\umbruch \intertext{Weiterhin
          gilt} \lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)
        =&\,\lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)\frac{A(z)}{B(z)}
        =\lim\limits_{z\to z_0} \frac{A(z)}{\frac{B(z)-B(z_0)}{z-z_0}}
        =\frac{A(z_0)}{B'(z_0)}. \qedhere
      \end{align*}
    \end{proof}
  \item Besitzt $f$ einen Pol der Ordnung $k$ in $z_0$, so
    gilt \[C_{-1} =\frac1{(k-1)!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}
    \left.\left[(z-z_0)^kf(z)]\right]\right|_{z=z_0},\] wobei die
    rechte Seite als Grenzwert zu lesen ist.
    \begin{proof}[Beweis]
      Sei
      \begin{align*}
        f(z)=&\,C_{-k}(z-z_0)^{-k} +\ldots +C_{-1}(z-z_0)^{-1} +C_0
        +C_1(z-z_0) +\ldots,\umbruch\\
        g(z)=&\,(z-z_0)^kf(z) =C_{-k}+\ldots +C_{-1}(z-z_0)^{k-1}
        +C_0(z-z_0)^k +\ldots,\umbruch\\ \frac{d^{k-1}}{z^{k-1}} g(z)
        =&\,(k-1)! C_{-1} +k!C_0(z-z_0)+\ldots\,.
      \end{align*}
      Die Behauptung folgt.
    \end{proof}
  \item 
    \begin{enumerate}[a)]
    \item Da in $z=i$ ein einfacher Pol vorliegt, erhalten wir 
      \begin{align*}
        \Res\left(\frac1{z^4-1},i\right)
        =&\,\Res\left(\frac1{z^2-1}\cdot\frac1{z^2+1},i\right)
        =\Res\left(-\frac12\frac1{z^2+1},i\right) \umbruch\\
        =&\,\Res\left(-\frac12\frac1{2i} \left(\frac1{z-i}
            -\frac1{z+i}\right), i\right) =-\frac1{4i}=\frac i4.
      \end{align*}
      Mit \eqref{einf pol item} folgt alternativ
      \begin{align*}
        \Res\left(\frac1{z^4-1},i\right)=&\,\frac1{4i^3}=\frac i4.
      \end{align*}
    \item $\Res\left(\frac1{z^3},0\right)=0$,
    \item $\Res\left(\sin\frac1{z-1},1\right)=1$, da 
      \[\sin\frac1{z-1} =\frac1{z-1}-\frac1{3!(z-1)^3}
      +\frac1{5!(z-1)^5}\mp\ldots\,.\]
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}[Windungszahl]
  Sei $\gamma$ eine geschlossene Kurve und $a\not\in\gamma$. Dann
  hei\ss{}t \[n(\gamma,a)=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma
  \frac{dz}{z-a}\] Windungszahl von $\gamma$ um $a$. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $\gamma$ ein im Gegenuhrzeigersinn einmal durchlaufener
  Kreis. Dann gilt \[n(\gamma,a)=
  \begin{cases}
    1,&\text{falls $a$ in der Kreisscheibe liegt},\\
    0,&\text{falls $a$ au\ss{}erhalb der Kreisscheibe liegt.}
  \end{cases}\] Dies folgt aus Lemma \ref{Kreis int lem} bzw.{} aus
  dem Satz \"uber geschlossene Kurven, Theorem \ref{geschl kurve int
    verschw thm}. \par
  Wird der Punkt $a$ nun $k$-mal umlaufen, also ist
  $\gamma(t)=a+re^{it}$, $0\le t\le2\pi k$, so
  folgt \[n(\gamma,a)=\frac1{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi k} i\,dt
  =k.\]
\end{beispiel}

\begin{theorem}
  Sei $\gamma$ eine geschlossene Kurve und $a\not\in\gamma$. Dann ist
  $n(\gamma,a)\in\Z$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\gamma$ durch $z(t)$ parametrisiert, $0\le
  t\le1$. Definiere 
  \begin{align*}
    F(s):=&\,\int\limits_0^s\frac{\dot z(t)}{z(t)-a}\,dt,\quad 0\le
    s\le 1.\umbruch \intertext{Dann liefert der Hauptsatz} \dot
    F(s)=&\,\frac{\dot z(s)}{z(s)-a}.
  \end{align*}
  Daher verschwindet die Ableitung von  $(z(s)-a)\cdot e^{-F(s)}$ und
  somit ist diese Funktion konstant. Wir schlie\ss{}en weiter
  \begin{align*}
    (z(s)-a)\cdot e^{-F(s)}=&\,z(0)-a,\umbruch\\
    e^{F(s)}=&\,\frac{z(s)-a}{z(0)-a},\umbruch\\
    e^{F(1)}=&\,\frac{z(1)-a}{z(0)-a}
    =\frac{z(0)-a}{z(0)-a}=1,\umbruch
    \intertext{da $z$ geschlossen ist,}
    F(1)=&\,2\pi ik,\quad k\in\Z,\umbruch
    \intertext{und erhalten daher}
    n(\gamma,a)=&\,\frac1{2\pi i}F(1)=k\in\Z.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{remark}
  Solange $a\not\in\gamma$ ist, h\"angt $n(\gamma,a)$ nach Definition
  stetig von $a$ ab. Da $n(\gamma,a)\in\Z$ ist, ist $n(\gamma,a)$ also
  auf den Zusammenhangskomponenten von $\C\setminus\gamma$
  konstant. Weiterhin gilt $n(\gamma,a)=0$ auf der unbeschr\"ankten
  Komponente, da wir aus Integralabsch\"atzungen $n(\gamma,a)\to0$
  f\"ur $a\to\infty$ bekommen. \par
  Statt Bildchen: In einer \glqq Acht\grqq{} ist in die Windungszahl
  in einem Gebiet $1$ im anderen $-1$. In einem Halbkreis ist die
  Windungszahl $1$. Besteht dir Kurve aus zwei im Gegenuhrzeigersinn
  durchlaufenen, sich in einem Punkt ber\"uhrenden Kreisen, so ist die
  Windungszahl ganz im Inneren $2$ und im Zwischenbereich $1$.\par Zum
  Beweis deformiert man die Kurve entweder in einen Kreis oder benutzt
  die Analytizit\"at von $\frac1{z-a}$ \glqq innerhalb\grqq{} der
  Kurve. \par Aufgrund des Jordanschen Kurvensatzes erhalten wir: Ist
  $\gamma$ einfach geschlossen und geeignet orientiert. Dann besteht
  $\C\setminus\gamma$ aus genau zwei Zusammenhangskomponenten, die
  durch $n=0$ (die unbeschr\"ankte Komponente, s.\,o.) und $n=1$ (die
  beschr\"ankte Komponente) charakterisiert sind. \par
  \textbf{Beweis:} Vorlesung Nichtlineare Funktionalanalysis oder
  Topologie.
\end{remark}

\begin{definition}
  Eine einfach geschlossene Kurve $\gamma$ hei\ss{}t regul\"are
  geschlossene Kurve, falls $n(\gamma,a)\in\{0,1\}$ f\"ur
  $a\not\in\gamma$ gilt. Wir definieren dann
  $\{a\in\C\setminus\gamma:n(\gamma,a)=1\}$ als das Innere von
  $\gamma$ und $\{a\in\C\setminus\gamma:n(\gamma,a)=0\}$ als das
  \"Au\ss{}ere von $\gamma$.
\end{definition}
Das Innere von $\gamma$ liegt dann immer \glqq links\grqq{} der Kurve.

\begin{theorem}[Residuensatz (Cauchy)]
  Sei $D$ einfach zusammenh\"angend, $f$ in
  $D\setminus\{z_1,z_2,\ldots,z_m\}$ analytisch (m\"oglicherweise) mit
  Singularit\"aten in $z_1,\ldots,z_m$. Gelte $z_i\neq z_j$ f\"ur
  $i\neq j$. Sei $\gamma$ eine geschlossene Kurve in
  $D\setminus\{z_1,\ldots,z_m\}$. Dann gilt \[\int\limits_\gamma
  f=2\pi i\sum\limits_{k=1}^m n(\gamma,z_k)\cdot\Res(f,z_k).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir subtrahieren die Hauptteile $H_1\left(\frac1{z-z_1}\right),
  \ldots, H_m\left(\frac1{z-z_m}\right)$.  Beachte dabei, dass die
  Hauptteile nach Theorem \ref{Laurent Annulus konv thm} in
  $\C\setminus\{z_i\}$ analytisch sind.  Dann
  ist \[g(z):=f(z)-H_1\left(\frac1{z-z_1}\right)
  -H_2\left(\frac1{z-z_2}\right) -\ldots
  -H_m\left(\frac1{z-z_n}\right)\] in $D$ analytisch. Somit gilt
  $\int\limits_\gamma g=0$ und wir schlie\ss{}en,
  dass \[\int\limits_\gamma f =\sum\limits_{k=1}^m\int\limits_\gamma
  H_k\left(\frac1{z-z_k}\right)\,dz.\] Sei
  \[H_k\left(\frac1{z-z_k}\right) =\frac{C_{-1}}{z-z_k}
  +\frac{C_{-2}}{(z-z_k)^2} +\ldots\,.\] Wir erhalten
  daher \[\int\limits_\gamma H_k\left(\frac1{z-z_k}\right)\,dz
  =C_{-1}\cdot\int\limits_\gamma\frac{dz}{z-z_k} =2\pi in(\gamma,z_k)
  \cdot\Res(f,z_k)\] wie behauptet.
\end{proof}

Mit Hilfe des Jordanschen Kurvensatzes erhalten wir daraus
\begin{corollary}
  Seien $f,\,D$ wie oben. Ist $\gamma$ zus\"atzlich eine regul\"are
  geschlossene Kurve, so gilt \[\int\limits_\gamma f=2\pi
  i\sum\limits_k \Res(f,z_k),\] wobei wir nur \"uber Singularit\"aten
  von $f$ in $\gamma$ summieren.
\end{corollary}

\physiker{
\subsection{Brouwerscher Fixpunktsatz}
Wir folgen \cite{VaethFA}. 
\begin{theorem}\label{weg inv thm}
  Seien $\gamma_1,\gamma_2$ auf $[a,b]$ parametrisierte geschlossene
  Kurven. Gelte \[|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|<|\gamma_1(t)-z_0|\quad
  \forall t\in[a,b].\] Dann ist $n(\gamma_1,z_0)=n(\gamma_2,z_0)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $\gamma(t):=\frac{\gamma_2(t)-z_0}{\gamma_1(t)-z_0}$. Dann
  gilt \[|1-\gamma(t)| =\left|\frac{\gamma_1(t)-\gamma_2(t)}
    {\gamma_1(t)-z_0}\right| <1.\] Somit ist $\gamma([a,b])\subset
  B_1(1)$. Also liegt $0$ in der unbeschr\"ankten
  Zusammenhangskomponente von $\C\setminus\im\gamma$. Daher gilt
  $n(\gamma,0)=0$. Wir benutzen nun die Definitionen der Windungszahl
  und des Kurvenintegrals und erhalten
  \begin{align*}
    0=&\,n(\gamma,0) =\frac1{2\pi i} \int\limits_a^b
    \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)}\,dt\umbruch\\ =&\,\frac1{2\pi i}
    \int\limits_a^b \left(\log\frac{\gamma_2-z_0}
      {\gamma_1-z_0}\right)'\,dt \umbruch\\ =&\,\frac1{2\pi i}
    \int\limits_a^b \left(\frac{\gamma_2'}{\gamma_2-z_0}
      -\frac{\gamma_1'}{\gamma_1-z_0}\right)\,dt\umbruch\\
    =&\,n(\gamma_1,z_0) -n(\gamma_1,z_0). 
  \end{align*}
  Da $\gamma\subset B_1(1)$ ist, ist der Logarithmus wohldefiniert. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Bisher haben wir nur die Windungszahl von Kurven betrachtet, die
  st\"uckweise von der Klasse $C^1$ sind. Da wir aber gesehen haben,
  dass die Windungszahl unter kleinen Deformationen sich nicht
  \"andert, k\"onnen wir die Windungszahl eines $C^0$-Weges als die
  Windungszahl eines $C^1$-Weges definieren, der $C^0$-nahe am
  gegebenen $C^0$-Weg ist. 
\end{remark}

\begin{theorem}[Homotopieinvarianz]\label{homot inv thm}
  Sei $H:[0,1]\times[a,b]\to\C$ stetig, $\gamma_t:=H(t,\cdot)$
  erf\"ulle $\gamma_t(a)=\gamma_t(b)$. Liegt $z_0$ nicht im Bild von
  $H$, so ist $n(\gamma_t,z_0)$ unabh\"angig von $t\in[0,1]$.  
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Approximiere durch $C^0$-nahe $C^1$-Wege und benutze, dass
  $n(\gamma_t,z_0)$ nach Theorem \ref{weg inv thm} in $t$ lokal
  konstant ist.
\end{proof}

\begin{remark}
  Die Kurve $\gamma(t)=z_0+e^{it}$, $0\le t\le2\pi$, $z_0\in\C$,
  l\"asst sich in $\C\setminus\{z_0\}$ nicht stetig zu einem Punkt
  homotopieren (deformieren), da $n(\gamma,z_0)=1$ und
  $n(\text{pt.},z_0)=0$ ist, was nach Theorem \ref{homot inv thm} aber
  nicht sein kann. 
\end{remark}

\begin{theorem}[Brouwerscher Fixpunktsatz in der Ebene]
  Sei $f:\ol{B_1(0)}\to\ol{B_1(0)}\subset\C$ stetig. Dann besitzt $f$
  einen Fixpunkt, \dh es existiert $z_0\in\ol{B_1(0)}$ mit
  $f(z_0)=z_0$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Angenommen, es g\"abe eine solche Funktion $f$ ohne
  Fixpunkte. Definiere die Homotopie $H:[0,1]\times[0,2\pi]\to\C$
  durch
  \[H(t,s):=
  \begin{cases}
    e^{is}-2tf\left(e^{is}\right),&t\le\tfrac12,\\
    2(1-t)e^{is}-f\left(2(1-t)e^{is}\right),&t\ge\tfrac12.
  \end{cases}\] F\"ur $t=\frac12$ stimmen diese beiden Definitionen
  \"uberein. Daher ist $H$ stetig. Falls $H(t,s)=0$ ist, folgt
  $t<\frac12$, da $f$ keinen Fixpunkt besitzt. Somit gilt $e^{is} =2t
  f\left(e^{is}\right)$. Es ist $\left|e^{is}\right|=1$ und $|f|\le
  1$. Daher folgt $t=\frac12$. Dies ist ein Widerspruch. Wir hatten
  angenommen, dass $H(t,s)=0$ gilt. Dies kann also nicht sein und
  somit ist $H\neq0$. Nun benutzen wir f\"ur $\gamma_t:=H(t,\cdot)$
  die Homotopieinvarianz der Umlaufzahl. Wir
  erhalten \[1=n(\gamma_0,0)=n(\gamma_1,0)=0,\] dann f\"ur $t=0$ ist
  $\gamma_t$ ein Kreis und f\"ur $t=1$ ist $\gamma_1=f(0)$, also ein
  Punkt. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Die Nicht-Zusammenziehbarkeit der Kurve $e^{it}$, $0\le t\le2\pi$,
  in $\C\setminus\{0\}$ kann man auch aus dem Brouwerschen
  Fixpunktsatz ableiten. Diese beiden Aussagen sind also \"aquivalent.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $H$ eine solche Homotopie. Definiere \[f(z):=-\frac{H(1-|z|,\arg
    z)}{|H(1-|z|,\arg z)|}.\] Wir behaupten, dass
  $f:\ol{B_1(0)}\to\ol{B_1(0)}$ stetig und fixpunktfrei ist. Die
  Stetigkeit ist klar, da $H(1,\cdot)$ eine konstante Abbildung
  ist. Sei also $z$ ein Fixpunkt. Da stets $|f(z)|=1$ gilt, folgt auch
  $|z|=1$. Wir erhalten also $z=f(z)=-\frac{H(0,\arg z)}{|H(0,\arg
    z)|}.$ Es gilt aber $H(0,t)=e^{it}$, $H(0,\arg z)=z$ und daher
  $z=-z$. Widerspruch.
\end{proof}
}{} % physiker

\subsection{Anwendungen des Residuensatzes}

\physiker{
\begin{definition}
  Eine Funktion $f$, die in einem Gebiet $D$ bis auf isolierte
  Polstellen analytisch ist, hei\ss{}t meromorph. 
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei $\gamma$ eine regul\"are geschlossene Kurve. Ist $f$ in und 
  auf $\gamma$ meromorph und besitzt $f$ keine Nullstellen oder Pole
  auf $\gamma$, so gilt \[\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma
  \frac{f'}f =\mathcal Z-\mathcal P,\] wobei $\mathcal Z$ die Anzahl
  der Nullstellen von $f$ in $\gamma$ und $\mathcal P$ die Anzahl der
  Polstellen von $f$ in $\gamma$ sind, jeweils mit Vielfachheiten (der
  Ordnung) gez\"ahlt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Au\ss{}erhalb der Nullstellen und Pole von $f$ is $\frac{f'}f$
  analytisch. Habe $f$ eine Nullstelle der Ordnung $k$ im Punkt
  $z=a$. Dann folgt $f(z)=(z-a)^kg(z)$ mit $g(z)\neq0$ f\"ur $z$ nahe
  $a$. Es folgt
  \begin{align*}
    f'(z)=&\,(z-a)^{k-1}\cdot[kg(z)+(z-a)g'(z)]\umbruch\\
    \frac{f'(z)}{f(z)}=&\,\frac k{z-a}+\frac{g'(z)}{g(z)}. 
  \end{align*}
  Daher besitzt $\frac{f'}f$ in $z=a$ einen einfachen Pol mit Residuum
  $k$. Habe $f$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$. Dann erhalten wir
  \begin{align*}
    f(z)=&\,(z-a)^{-k}g(z),&\quad g(z)\neq0\quad\text{nahe
    }z=a,\umbruch\\
    f'(z)=&\,-k(z-a)^{-k-1}g(z) +(z-a)^{-k}g'(z),\umbruch\\
    \frac{f'(z)}{f(z)}=&\,\frac{-k}{z-a} +\frac{g'(z)}{g(z)}.
  \end{align*}
  Wir sehen daher, dass $\frac{f'}f$ in $z=a$ einen einfachen Pol mit
  Residuum $-k$ besitzt. Daher liefert der Residuensatz \[\frac1{2\pi
    i}\int\limits_\gamma\frac{f'}f =\sum\Res\left(\frac{f'}f\right)
  =\mathcal Z-\mathcal P.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{corollary}\label{Nst kor}
  Sei $f$ in und auf einer regul\"aren geschlossenen Kurve $\gamma$
  analytisch und $f\neq0$ auf $\gamma$, so gilt \[\mathcal
  Z(f)=\#\text{ Nullstellen von $f$ in $\gamma$ }=\frac1{2\pi
    i}\int\limits_\gamma\frac{f'}f.\]
\end{corollary}

\begin{theorem}[Rouch\'e]
  Seien $f$ und $g$ in und auf einer regul\"aren geschlossenen Kurve
  $\gamma$ analytisch. Gilt $|f(z)|>|g(z)|$ f\"ur alle $z\in\gamma$,
  so ist \[\mathcal Z(f+g)=\mathcal Z(f).\]  
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Ist $f(z)=A(z)\cdot B(z)$, so gilt
  \begin{align*}
    \frac{f'}f=&\,\frac{A'}A+\frac{B'}B\umbruch \intertext{und daher}
    \int\limits_\gamma\frac{f'}f =&\,\int\limits_\gamma\frac{A'}A
    +\int\limits_\gamma\frac{B'}B. 
  \end{align*}
  Da $f+g=f\cdot\left(1+\frac gf\right)$ ist und nach Voraussetzung
  $1+\frac gf\neq0$ auf $\gamma$ gilt erhalten wir 
  \begin{align*}
    \mathcal Z(f+g)=&\,\frac1{2\pi
      i}\int\limits_\gamma\frac{(f+g)'}{f+g} =\frac1{2\pi
      i}\left(\int\limits_\gamma\frac{f'}f +\int\limits_\gamma
      \frac{\left(1+\frac gf\right)'}{1+\frac gf}\right)\umbruch\\
      =&\,\mathcal Z(f)+\frac1{2\pi
        i}\int\limits_\gamma\frac{\left(1+\frac gf\right)'}{1+\frac
        gf}. 
  \end{align*}
  Auf $\gamma$ gilt $\left|\frac gf\right|<1$. Sei
  $\alpha:=\left(1+\frac gf\right)(\gamma(\cdot))$. Dann gilt
  $\im\alpha\subset B_1(1)$. Die Windungszahl von $\alpha$ um $0$ ist
  Null: \[0=n(\alpha;0) =\frac1{2\pi
    i}\int\limits_\alpha\frac1{\alpha-0}.\qedhere\]
\end{proof}
}{} % physiker

\begin{theorem}[Verallgemeinerte Cauchysche Integralformel] 
  Sei $f$ in einem einfach zusammenh\"angenden Gebiet $D$
  analytisch. Sei $\gamma$ eine regul\"are geschlossene Kurve in
  $D$. Dann gilt f\"ur $z$ in $\gamma$ und
  $k=0,\,1,\,2,\,\ldots$ \[f^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi i}
  \int\limits_\gamma\frac{f(w)}{(w-z)^{k+1}}\,dw.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  In einer Umgebung von $z$ gilt 
  \begin{align*}
    f(w)=&\,f(z)+f'(z)\cdot(w-z)+\ldots+\frac{f^{(k)}(z)}{k!}(w-z)^k
    +\ldots\,.\umbruch \intertext{Daraus folgt}
    \Res\left(\frac{f(w)}{(w-z)^{k+1}};z\right)
    =&\,\frac{f^{(k)}(z)}{k!}.
  \end{align*}
  Die Funktion $\frac{f(w)}{(w-z)^{k+1}}$ besitzt au\ss{}er $z$ keine
  weiteren Singularit\"aten in $D$. Somit folgt die Behauptung aus dem
  Residuensatz.  
\end{proof}

\begin{theorem}\label{glm konv abl thm}
  Sei $f_n$ eine Folge in $D$ analytischer Funktionen, die auf
  kompakten Teilmengen von $D$ gleichm\"a\ss{}ig gegen $f$
  konvergieren. Dann ist $f$ analytisch, $f'_n\to f'$ in $D$ und die
  Konvergenz ist auf kompakten Teilmengen von $D$ gleichm\"a\ss{}ig. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{glm lim analyt thm} ist $f$ analytisch. Sei
  $B_r(z_0)\subset D$, $C=\partial B_{\frac{3r}4}(z_0)$. Dann folgt
  aus der Cauchyschen Integralformel \[f'_n(z)-f'(z)=\frac1{2\pi
    i}\int\limits_C\frac{f_n(w)-f(w)}{(w-z)^2}\,dw,\quad
  z\in\ol{B_{r/2}(z_0)}.\] Da $f_n\to f$ in $\ol{B_{\frac{3r}4}(z_0)}$
  gleichm\"a\ss{}ig konvergiert, konvergiert somit auch $f'_n\to f'$
  gleichm\"a\ss{}ig in $\ol{B_{r/2}(z_0)}$. Mit einem
  \"Uberdeckungsargument erhalten wir Konvergenz f\"ur eine beliebige
  kompakte Teilmenge von $D$. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\physiker{
\begin{theorem}[Hurwitz]
  Sei $f_n$ eine Folge analytischer Funktionen, die in einem Gebiet
  $D$ nicht verschwinden (keine Nullstellen besitzen). Gelte $f_n\to
  f$ gleichm\"a\ss{}ig auf kompakten Teilmengen von $D$. Dann gilt
  $f\equiv0$ in $D$ oder $f(z)\neq0$ f\"ur alle $z\in D$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f(z)=0$ f\"ur ein $z\in D$. Gilt $f\not\equiv0$, so gibt es
  einen um $z$ zentrierten Kreis $C$ in $D$, so das $f(z)\neq0$ auf
  $C$ gilt. Wir erhalten
  \begin{align*}
    \frac{f'_n}{f_n}\to\frac{f'}{f}\umbruch
    \intertext{gleichm\"a\ss{}ig auf $C$. Daher gilt } \frac1{2\pi
      i}\int\limits_C\frac{f'}f=&\,\mathcal Z(f)\ge1,\umbruch\\
    \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f_n'}{f_n}=&\,\mathcal Z(f_n)=0. 
  \end{align*}
  Die letzte Gleichheit gilt hier nach Voraussetzung. Wir erhalten
  einen Widerspruch. Somit gilt $f\equiv0$. 
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Es gilt $\sin\pi=0$. Daher existiert ein $n_0$, so
  dass \[z-\frac{z^3}{3!}
  +\frac{z^5}{5!}\mp\ldots\pm\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\] f\"ur
  $|z-\pi|<1$ und $n\ge n_0$ eine Nullstelle besitzt.
\end{beispiel}

\begin{corollary}\label{a ang cor}
  Sei $f_n$ eine Folge analytischer Funktionen, die in einem Gebiet
  $D$ nirgends $f_n(z)=a$ erf\"ullen. Gilt $f_n\to f$
  gleichm\"a\ss{}ig auf Kompakta in $D$, so gilt $f\equiv a$ oder
  $f\neq a$ in $D$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte $g_n(z)=f_n(z)-a$, \ldots\,. 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{inj erh thm}
  Konvergiere eine Folge analytischer Funktionen $f_n$ lokal
  gleich\-m\"a\-\ss{}ig in $D$ gegen $f$. Sind die Funktionen $f_n$
  f\"ur alle $n$ in $D$ injektiv, so ist $f$ in $D$ konstant oder
  ebenfalls injektiv.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $z_1\neq z_2\in D$ mit $f(z_1)=f(z_2)=a$. Seien $D_1\ni z_1$
  und $D_2\ni z_2$ disjunkte Kreisscheiben um $z_1$ bzw.{} $z_2$ in
  $D$. \par Gilt $f\not\equiv a$, so besitzt $f_n(z)=a$ f\"ur
  gro\ss{}e $n$ eine L\"osung in $D_1$. (Sonst g\"abe es eine
  Teilfolge, ohne Einschr\"ankung $f_n$, mit $f_n\neq a$ in $D_1$ und
  daher h\"atten wir nach Korollar \ref{a ang cor} $f\neq a$ in $D_1$
  oder $f\equiv a$. Widerspruch.) Ebenso besitzt $f_n(z)=a$ f\"ur
  gro\ss{}e $n$ eine L\"osung in $D_2$. Dies ist aber ein Widerspruch
  zur vorausgesetzten Injektivit\"at von $f_n$.
\end{proof}
}{} % physiker

\section{Anwendungen des Residuensatzes}
\subsection{Integrale der Form $\int\limits_{-\infty}^\infty
  \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$} 
\begin{herleitung}
  $P$ und $Q$ seien Polynome, der Nenner $Q$ sei (f\"ur reelle $x$)
  nullstellenfrei, $\deg Q-\deg P\ge2$. Dann existiert aufgrund von
  S\"atzen aus der Analysis
  $2$ \[\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx
  =\lim\limits_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx.\] \par
  Alternativ zu den folgenden \"Uberlegungen kann man auch eine
  Partialbruchzerlegung durchf\"uhren.\par Sei $C_R$ der Rand der
  oberen Halbkugel $B_R^+$. Sei $R$ so gro\ss{}, dass $C_R$ alle
  Nullstellen von $Q$ in der oberen Halbebene uml\"auft. Sei
  $\Gamma_R$ der obere Halbkreis. \par Nun liefert uns der
  Residuensatz \[\int\limits_{C_R}\frac{P(z)}{Q(z)}\,dz=2\pi
  i\sum\limits_k\Res\left(\frac PQ;z_k\right),\] wobei $z_k$ die
  Nullstellen (ohne Vielfachheiten) von $Q$ in der oberen Halbebene
  sind. Daher ist \[\int\limits_{-R}^R\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx
  +\int\limits_{\Gamma_R}\frac{P(z)}{Q(z)}\,dz =2\pi
  i\sum\limits_k\Res\left(\frac PQ;z_k\right).\] Da $\deg Q-\deg
  P\ge2$ ist, folgt aus der
  M-L-Absch\"atzung \[\int\limits_{\Gamma_R}\frac PQ\ll\pi R\frac
  A{R^2}\] f\"ur eine Konstante $A$. Somit
  ist \[\lim\limits_{R\to\infty}\int\limits_{\Gamma_R}
  \frac{P(z)}{Q(z)}\,dz=0\] und es
  folgt \[\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx=2\pi
  i\sum\limits_k\Res\left(\frac PQ;z_k\right).\]
\end{herleitung}

\begin{beispiel}\label{int bsp eins}
  \[\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^4+1} =2\pi
  i\sum\limits_{k=1}^2 \Res\left(\frac1{z^4+1};z_k\right),\] wobei die
  Nullstellen von $z^4+1$ in der oberen Halbebene $z_1=e^{i\pi/4}$ und
  $z_2=e^{3i\pi/4}$ sind. \par Wir bestimmen die Residuen: Nahe $z_1$
  gelte \[\frac1{z^4+1}=\ldots+a_{-2}\frac1{(z-z_1)^2}+a_{-1}\frac1{z-z_1}
  +a_0 +a_1\cdot(z-z_1)+\ldots\,.\] Es gilt (Da alle Nullstellen von
  $z^4+1$ Vielfachheit $1$ haben existiert der folgende Grenzert.)
  \begin{align*}
    a_{-1}=&\,\lim\limits_{z\to z_1}\frac{z-z_1}{z^4+1}
    =\lim\limits_{z\to z_1}\frac1{\frac{z^4+1}{z-z_1}}\umbruch\\
    =&\,\frac1{\lim\limits_{z\to z_1}\frac{(z^4+1)-(z_1^4+1)}
      {z-z_1}}\quad \text{(da $z_1$ eine Nullstelle von $z^4+1$
      ist)}\umbruch\\
    =&\,\frac1{\left.\frac d{dz}\left(z^4+1\right)\right|_{z=z_1}}
    =\frac1{4z_1^3}.\umbruch \intertext{Daher gilt}
    \Res\left(\frac1{z^4+1};e^{i\pi/4}\right) =&\,\frac1{4e^{3i\pi/4}}
    =\frac14\cdot\left(-e^{i\pi/4}\right)\umbruch\\
    =&\,-\frac14\left(\frac1{\sqrt 2}+\frac i{\sqrt 2}\right)
    =-\frac{\sqrt 2}8(1+i).\umbruch \intertext{Ebenso erhalten wir}
    \Res\left(\frac1{z^4+1};e^{3i\pi/4}\right)=&\,\frac1{4
      e^{3\cdot3i\pi/4}} =\frac1{4e^{i\pi/4}} =\frac{e^{-i\pi/4}}4\umbruch\\
    =&\,\frac14\left(\frac1{\sqrt 2}-\frac i{\sqrt 2}\right)
    =\frac{\sqrt 2}8(1-i).\umbruch \intertext{Insgesamt erhalten wir
      also}
    \int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^4+1}=&\,\frac{\pi\sqrt
      2}2.
  \end{align*}
\end{beispiel}

\lang{
\subsection{Integrale der Form $\int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\cos
  x\,dx$ oder $\int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\sin x\,dx$}\label{bsp
  int sub sec}
Sei $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, wobei $P$ und $Q$ Polynome sind,
$Q(x)\neq0$ f\"ur $x\in\R$. ($R(x)$ darf an Nullstellen von $\sin x$
oder $\cos x$ einen einfachen Pol haben.) \par Aufgrund des
Leibnizkriteriums konvergiert das Integral (mit $\sin x$ oder $\cos
x$), falls $\deg Q>\deg P$ ist. Sei $C_M$ bzw.{} $C_R$ wie in Beispiel
\ref{int bsp eins} definiert, $\Gamma_R$ der obere Halbkreis.\par
Betrachte $\int\limits_{C_M}R(z)e^{iz}\,dz$. Sp\"ater werden wir uns
nur f\"ur den Real- oder Imagin\"arteil hiervon interessieren. \par
Wir behaupten,
dass \[\int\limits_{\Gamma_M}R(z)e^{iz}\,dz\to0\quad\text{f\"ur }
M\to\infty\quad\text{konvergiert}.\] Sei $A:=\{z\in\Gamma_M:\Im z\ge
h\}$ und $B:=\{z\in\Gamma_M:\Im z<h\}$ f\"ur $h>0$. Zun\"achst
bekommen wir wegen $R(z)\ll\frac K{|z|}$ aus der
M-L-Absch\"atzung \[\int\limits_AR(z)e^{iz}\,dz\ll K\frac{e^{-h}}M\pi
M \equiv C_1e^{-h},\] da $\left|e^z\right|=e^{\Re z}$,
$\left|e^{iz}\right|=e^{-\Im z}$. \par Andererseits folgt mit
$\left|e^{iz}\right|\le 1$, da $\Im z>0$, und da $B$ k\"urzer als $4h$
ist aus der M-L-Absch\"atzung \[\int\limits_BR(z)e^{iz}\,dz\ll\frac
KM4h\equiv C_2\frac hM.\] wir setzen nun $h=\sqrt M$ und
erhalten \[\int\limits_{\Gamma_M}R(z)e^{iz}\,dz\ll C_1e^{-\sqrt M}
+\frac{C_2}{\sqrt M}\to0\quad\text{f\"ur }M\to\infty.\] Somit erhalten
wir f\"ur $M\to\infty$ \[\int\limits_{C_M} R(z)e^{iz}\,dz \to
\int\limits_{-\infty}^\infty R(x)e^{ix}\,dx.\] Der Residuensatz
liefert f\"ur den Realteil \[\int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\cos
x\,dx =\Re\left[2\pi i\sum\limits_k \Res\left(R(z)e^{iz};
    z_k\right)\right]\] und f\"ur den
Imagin\"arteil \[\int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\sin x\,dx
=\Im\left[2\pi i\sum\limits_k\Res\left(R(z)e^{iz};z_k\right)\right],\]
wobei $z_k$ die endlich vielen Pole von $R(z)$ in der oberen Halbebene
sind.

(Das folgende Beispiel folgt nicht exakt dem obigen Schema.)
\begin{beispiel}
  Betrachte \[\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}x\,dx.\] Da
  $\frac{e^{ix}}x$ im Punkt $x=0$ singul\"ar wird, betrachten wir
  stattdessen \[\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}x\,dx
  =\Im\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}-1}x\,dx.\]
  $\frac{e^{iz}-1}z$ hat in der oberen Halbebene keine
  Singularit\"aten (und auch sonst nicht). Der Cauchysche Integralsatz
  liefert f\"ur $C_M$ und $\Gamma_M$ wie
  oben \[0=\int\limits_{C_M}\frac{e^{iz}-1}z\,dz =\int\limits_{-M}^M
  \frac{e^{ix}-1}x\,dx +\int\limits_{\Gamma_M} \frac{e^{iz}-1}z\,dz.\]
  Daraus folgt
  \begin{align*}
    \int\limits_{-M}^M\frac{e^{ix}-1}x\,dx
    =&\,\int\limits_{\Gamma_M}\frac{1-e^{iz}}z\,dz
    =\int\limits_{\Gamma_M}\frac1z\,dz
    -\int\limits_{\Gamma_M}\frac{e^{iz}}z\,dz\umbruch\\ =&\,\pi
    i-\int\limits_{\Gamma_M}\frac{e^{iz}}z\,dz, 
  \end{align*}
  wobei wir f\"ur das erste Integral nur $\pi i$ erhalten, da wir
  lediglich \"uber einen Halbkreis integrieren und das zweite Integral
  konvergiert aufgrund der Rechnungen in Kapitel \ref{bsp int sub sec}
  f\"ur $M\to\infty$ gegen Null. Wir erhalten
  also \[\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}-1}x\,dx=\pi
  i\quad\text{und somit}\quad\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin
    x}x\,dx=\pi.\] 
\end{beispiel}

\subsection{Integrale der Form
  $\int\limits_0^\infty\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$} 
F\"ur die Konvergenz der Integrale wollen wir annehmen, dass $\deg
Q-\deg P\ge2$ sowie $Q(x)\neq0$ f\"ur $x\ge0$ gelten. Ist der
Integrand eine gerade Funktion, so gilt $\int\limits_0^\infty
\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx =\frac12\int\limits_{-\infty}^\infty
\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$. Definiere $R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$.  Sei
$M\ge1$ und $0<\epsilon<1$. Wir betrachten einen Integrationsweg
$K_{\epsilon,M}$, eine Kreisscheibe mit einem dicken Schlitz, der aus
den folgenden Teilen besteht:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $I_1$ ist ein Geradenst\"uck von $i\epsilon$ nach
  $\sqrt{M^2-\epsilon^2}+i\epsilon$. 
\item $C_M$ ist ein Teil eines Kreises vom Radius $M$ um den Ursprung,
  der im Punkt $\sqrt{M^2-\epsilon^2}+i\epsilon$ startet und durch
  $iM$, $-M$ und $-iM$ nach $\sqrt{M^2-\epsilon^2}-i\epsilon$ f\"uhrt.
\item $I_2$ ist ein Geradenst\"uck von
  $\sqrt{M^2-\epsilon^2}-i\epsilon$ nach $-i\epsilon$. 
\item $C_\epsilon$ ist ein Halbkreis mit Radius $\epsilon$ um den
  Ursprung von $-i\epsilon$ \"uber $-\epsilon$ nach $i\epsilon$, der
  den Integrationsweg schlie\ss{}t. 
\end{enumerate}
$K_{\epsilon,M}$ umschlie\ss{}t ein einfach zusammenh\"angendes Gebiet
ohne $0$. Dort existiert daher $\log z$ als analytische
Funktion. Nehme an, dass $0<\arg z<2\pi$ gilt. Der Residuensatz
liefert nun, wobei der Grenzwert aufgrund der linken Seite aufgrund
unserer Annahmen existiert,
\begin{align*}
  \lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon\to0}{M\to\infty}}
    \int\limits_{K_{\epsilon,M}} R(z)\log z\,dz =&\,2\pi
    i\sum\limits_k \Res(R(z)\log z;z_k),
\end{align*}
wobei $z_k$ die Singularit\"aten von $R(z)\log z$ au\ss{}erhalb von
$\{x:x\ge0\}$ durchl\"auft. Nach Voraussetzung sind dies gerade die
Singularit\"aten von $R(z)\log z$ au\ss{}erhalb des Ursprunges oder
die Pole von $R(z)$. \par Wir nehmen an, dass $\epsilon>0$ klein und
$M$ gro\ss{} genug ist, so dass $K_{\epsilon,M}$ alle Pole von $R$
uml\"auft. Wir stellen nun zwischen dem Pfadintegral und
$\int\limits_0^\infty R(x)\,dx$ eine Beziehung her:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Wir benutzen die M-L-Absch\"atzung und erhalten
  \begin{align*}
    \int\limits_{C_\epsilon}R(z)\log z\,dz
    \ll&\,\pi\epsilon\max\limits_{C_\epsilon}|R(z)\log z|\ll
    A\epsilon(|\log\epsilon|+1)
  \end{align*}
  f\"ur eine Konstante $A\in\R$, da $R$ im Ursprung stetig ist und da
  aufgrund der Dreiecksungleichung $|\log z|<|\log|z||+2\pi$
  gilt. Somit folgt \[\lim\limits_{\epsilon\to0}
  \int\limits_{C_\epsilon} R(z)\log z\,dz=0.\]
\item Aufgrund der M-L-Absch\"atzung und der Voraussetzung an die
  Grade der Polynome in $R$ erhalten wir f\"ur $M$ gro\ss{} genug
  \begin{align*}
    \int\limits_{C_M}R(z)\log z\,dz\ll&\,2\pi M\cdot\max\limits_{C_M}
    |\log z|\cdot|R(z)|\umbruch\\ \le&\,AM\log M\cdot\frac1{M^2}.
  \end{align*}
  Auch hier erhalten wir also 
  \[\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_{C_M}R(z)\log z\,dz=0.\]
\item Es gilt
  \begin{align*}
    \lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon\to0}{M\to\infty}}
      \int\limits_{I_1}R(z)\log z\,dz =&\,\int\limits_0^\infty
      R(x)\log x\,dx,\umbruch \intertext{und}
      \lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon\to0}{M\to\infty}}
        \int\limits_{I_2}R(z)\log z\,dz =&\,-\int\limits_0^\infty
        R(x)(\log x+2\pi i)\,dx. 
  \end{align*}
\end{enumerate}
Durch Aufaddieren erhalten wir 
\[\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon\to0}{M\to\infty}}
\int\limits_{K_{\epsilon,M}}R(z)\log z\,dz =-2\pi
i\int\limits_0^\infty R(x)\,dx.\] Der Trick dabei ist, dass sich die
beiden zus\"atzlichen Logarithmusterme gerade gegenseitig
aufheben. Also gilt \[\int\limits_0^\infty R(x)\,dx
=-\sum\limits_k\Res(R(z)\log z;z_k),\] wobei sich die Summe \"uber die
Pole von $R(z)$ erstreckt.

\begin{beispiel}
  Wir wollen $\int\limits_0^\infty\frac{dx}{1+x^3}$ berechnen. Dabei
  werden wir $\cos\frac\pi3=\frac12$,
  $e^{i\pi/3}=\frac12+i\sqrt{\frac34}$ und $e^{i\pi}=-1$ benutzen. Es
  gilt
\begin{align*}
  1+z^3=&\,(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)\umbruch\\
  \equiv&\,\left(z-e^{i\pi/3}\right)(z-(-1))\left(z-e^{i\pi5/3}\right). 
\end{align*}
F\"ur die Residuen erhalten wir
\begin{align*}
  \Res\left(\frac{\log
      z}{1+z^3};z_1\right)=&\,\frac{i\pi}3\frac1{e^{i\pi/3}+1}
  \frac1{e^{i\pi/3}-e^{i\pi5/3}}\umbruch\\
  =&\,\frac{i\pi}3 \frac1{\frac32+i\sqrt{\frac34}} \frac1{i\sqrt 3}
  =\frac\pi9\left(\frac{\sqrt 3}2-i\frac12\right),\umbruch\\
  \Res\left(\frac{\log
      z}{1+z^3};z_2\right)=&\,i\pi\frac1{-1-e^{i\pi/3}}
  \frac1{-1-e^{i\pi 5/3}}\umbruch\\
  =&\,i\pi\frac1{-\frac32-i\sqrt{\frac34}}
  \frac1{-\frac32+i\sqrt{\frac34}} =\frac{i\pi}{\frac94+\frac34}
  =\frac{i\pi} 3,\umbruch\\
  \Res\left(\frac{\log z}{1+z^3};z_3\right)
  =&\,i\pi\frac53\frac1{e^{i\pi5/3}-e^{i\pi/3}}
  \frac1{e^{i\pi5/3}+1}\umbruch\\ =&\,i\pi\frac53\frac1{-i\sqrt
    3}\frac 2{3-i\sqrt 3} =-\frac{5\pi}{18}(\sqrt 3+i).
\end{align*}
Zusammengenommen folgt hieraus
\[\sum\limits_k\Res\left(\frac{\log z}{1+z^3};z_k\right)
=-\frac{2\pi}9\sqrt 3.\] Also
gilt \[\int\limits_0^\infty\frac{dx}{1+x^3} =\frac29\pi\sqrt 3.\] 
\end{beispiel}

\subsection{Ausdr\"ucke der Form
  $\int\limits_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta$}
Hier ist $R$ eine rationale Funktion und mit $z=e^{i\theta}$,
$0\le\theta\le 2\pi$, gilt \[\int\limits_{|z|=1}f(z)\,dz
=\int\limits_0^{2\pi} f\left(e^{i\theta}\right)ie^{i\theta}\,d\theta.\]
Speziell gilt
\begin{align*}
  \cos\theta=&\,\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2
  =\frac12\left(z+\frac1z\right),\umbruch \intertext{und}
  \sin\theta=&\,\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
  =\frac1{2i}\left(z-\frac1z\right). 
\end{align*}
Somit erhalten wir
\[\int\limits_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta
=\int\limits_{|z|=1} R\left(\frac12\left(z+\frac1z\right), \frac1{2i}\left(z-\frac1z\right)\right)\,\frac{dz}{iz}.\]

\begin{beispiel}
  Es gilt
  \begin{align*}
    \int\limits_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\cos\theta}=&\,
    \int\limits_{|z|=1} \frac1{iz}
    \frac1{2+\frac12\left(z+\frac1z\right)}\,dz\umbruch\\
    =&\,-2i\int\limits_{|z|=1}\frac1{z^2+4z+1}\,dz\umbruch\\
    =&\,-2i\int\limits_{|z|=1} \frac1{\left(z-\left(-2-\sqrt
          3\right)\right) \left(z-\left(-2+\sqrt
          3\right)\right)}\,dz\umbruch\\
    =&\,4\pi\Res\left(\frac1{z^2+4z+1};\sqrt 3-2\right)\umbruch\\
    =&\,\frac{2\pi}{\sqrt 3} =\frac{2\pi}3\sqrt3.
  \end{align*}
\end{beispiel}

% Ausgelassen Anwendungen des Residuensatzes aus \cite[Kapitel 11.2
% und 12]{BakNewman}. 
} % lang/Anwendungen des Residuensatzes

\physiker{
\section{Konforme Abbildungen}
\label{konf abb kap}
\subsection{Konforme \"Aquivalenz}
Generalvoraussetzung: In diesem Kapitel seien alle Kurven regul\"ar,
\dh es gelte $\dot z(t)\neq0$ f\"ur alle $t$.

\begin{definition}
  Seien $C_1$ und $C_2$ zwei Kurven, die sich in $z_0$ schneiden. Der
  Winkel von $C_1$ nach $C_2$ in $z_0$, $\sphericalangle\,C_1,C_2$ ist
  als der im Gegenuhrzeigersinn durchlaufene Winkel vom Tangentialvektor
  an $C_1$ in $z_0$ zum Tangentialvektor an $C_2$ in $z_0$ definiert. 
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $f$ in einer Umgebung von $z_0$ definiert. $f$ hei\ss{}t in
  $z_0$ konform, wenn es dort Winkel erh\"alt: Seien $C_1$ und $C_2$
  zwei Kurven, die sich in $z_0$ schneiden. Sei $\Gamma_1=f(C_1)$,
  $\Gamma_2=f(C_2)$. $f$ ist konform, wenn f\"ur alle
  Kurven \[\sphericalangle\,C_1,C_2 =\sphericalangle\,\Gamma_1,\Gamma_2\]
  in $f(z_0)$ gilt. $f$ hei\ss{}t in einem Gebiet $D$ konform, falls
  $f$ in allen Punkten $z\in D$ konform ist. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Die Abbildung $z\mapsto z^2$ ist in $z=0$ nicht konform. Das Bild
  von reeller und imagin\"arer Achse sind beide in $\R$ enthalten.\par
  Wir werden sp\"ater sehen, dass diese Abbildung f\"ur alle anderen
  Punkte der komplexen Ebene konform ist. 
\end{beispiel}

\begin{definition}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f$ hei\ss{}t lokal injektiv (1-1) in $z_0$, falls es ein
    $\delta>0$ gibt, so dass f\"ur $z_1\neq z_2\in B_\delta(z_0)$
    folgt, dass $f(z_1)\neq f(z_2)$ ist. 
  \item $f$ hei\ss{}t in einem Gebiet $D$ lokal injektiv, falls $f$ in
    jedem $z\in D$ lokal injektiv ist.
  \item $f$ hei\ss{}t in $D$ injektiv, falls f\"ur alle $z_1\neq
    z_2\in D$ auch $f(z_1)\neq f(z_2)$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
  $f(z)=z^2$ ist in $z=0$ nicht lokal injektiv, da $f(z)=f(-z)$ ist,
  aber f\"ur alle $z\neq0$. 
\end{beispiel}

\begin{theorem}\label{konf inj thm}
  Sei $f$ in $z_0$ analytisch und gelte $f'(z_0)\neq0$. Dann ist $f$
  in $z_0$ konform und lokal injektiv. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Zur Konformit\"at: Sei $C:z(t)=x(t)+iy(t)$ eine glatte Kurve mit
  $z(t_0)=z_0$. Die Tangente in $z_0$ hat dieselbe Richtung (normiert)
  wie $\dot z(t_0)=\dot x(t_0)+i\dot y(t_0)$. Somit ist der Winkel mit
  der reellen Achse $=\arg\dot z(t_0)$. \par Betrachte nun das Bild
  $\Gamma=f(C)$, parametrisiert durch $w(t)=f(z(t))$. In $f(z_0)$ ist
  der Winkel der Tangente an $\Gamma$ mit der reellen Achse $=\arg\dot
  w(t_0) =\arg(f'(z_0)\cdot \dot z(t_0)) =\arg f'(z_0)+\arg\dot
  z(t_0)$, wobei wir im letzten Schritt die Funktionalgleichung des
  Logarithmusses verwendet haben. Dies bedeutet, dass $f$ alle Kurven
  so abbildet, dass sich deren Winkel mit der Horizontalen um die
  Konstante $\arg f'(z_0)$ \"andert. Somit bleiben Schnittwinkel
  erhalten. Daher ist $f$ in $z_0$ konform. \par
  Eine andere Begr\"undung ist die folgende: Das Differential einer
  analytischen Funktion ist die Multiplikation mit einer komplexen
  Zahl. Komplexe Zahlen operieren (bei Multiplikation) als
  Drehstreckungen auf $\C$. \par Zur Injektivit\"at in einer Umgebung
  von $z_0$: Setze $f(z_0)=:\alpha$. W\"ahle $\delta'>0$ so klein,
  dass $f(z)-\alpha$ in $\ol{B_{\delta'}(z_0)}$ au\ss{}er $z_0$ keine
  weiteren Nullstellen besitzt. (Dies geht, da sonst $z_0$ ein
  H\"aufungspunkt von Nullstellen w\"are. Nach Theorem \ref{eind thm}
  impliziert dies $f\equiv\alpha$ nahe $z_0$ im Widerspruch zu
  $f'(z_0)\neq0$.) Setze $C=\partial B_{\delta'}(z_0)$,
  $\Gamma=f(C)$. Da $f(z)-\alpha$ lokal nur eine Nullstelle besitzt,
  liefert das Argumentprinzip, Korollar \ref{Nst kor}, \[1=\frac1{2\pi
    i}\int\limits_C\frac{f'(z)}{f(z)-\alpha}\,dz =\frac1{2\pi
    i}\int\limits_\Gamma\frac{dw}{w-\alpha} =\frac1{2\pi
    i}\int\limits_\Gamma\frac{dw}{w-\beta}\] f\"ur alle $\beta$ in
  einer hinreichend kleinen Kreisscheibe $B_\epsilon(\alpha)$, da die
  Umlaufzahl lokal konstant ist und da $\alpha\not\in\Gamma$, denn
  $f-\alpha$ besitzt auf $\Gamma$ keine Nullstelle. Da $f$ stetig ist,
  gibt es ein $\delta\le\delta'$, so dass $B_\delta(z_0)\subset
  f^{-1}(B_\epsilon(\alpha))$ gilt. Sei also $z_1\in
  B_\delta(z_0)$. Wir wenden nun die obige Formel mit $f(z_1)$ statt
  $\beta$ an und erhalten \[1=\frac1{2\pi i}\int\limits_\Gamma
  \frac{dw}{w-f(z_1)} =\frac1{2\pi i}\int\limits_C
  \frac{f'(z)}{f(z)-f(z_1)}\,dz.\] Der Wert $f(z_1)$ wird innerhalb
  von $C$ also nur einmal angenommen. Somit ist $f$ in $z_0$ lokal
  injektiv.
\end{proof}

\begin{beispiel}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Ableitung der Exponentialfunktion $z\mapsto\exp z$ ist
    stets ungleich Null, aber die Funktion ist nicht global
    injektiv. Die Mengen $\{z:\Re z=\text{konst.}\}$ werden unter der
    Exponentialabbildung auf Kreise um den Ursprung und die Mengen
    $\{z:\Im z=\text{konst.}\}$ werden auf Ursprungsgeraden
    abgebildet. Diese schneiden sich jeweils im rechten Winkel.
  \item Die Funktion $f:z\mapsto z^2$ ist f\"ur $z\neq0$ konform. Es
    ist $\Re f(z)=x^2-y^2$ und $\Im f(z)=2xy$. Die Urbilder der Mengen
    $\{z:\Re z=\text{konst.}\}$ und $\{z:\Im z=\text{konst.}\}$ sind
      also gerade Hyperbeln. 
  \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{remark}
  Eine injektive Abbildung wird auch als $1-1$ bezeichnet.
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $0\neq k\in\N$. Eine Abbildung von $D_1$ auf $D_2$ hei\ss{}t
  $k-1$, falls die Gleichung $f(z)=\alpha$ f\"ur alle $\alpha\in D_2$
  genau $k$ L\"osungen (mit Vielfachheit gez\"ahlt - was bei
  analytischen Abbildungen m\"oglich ist) in $D_1$ besitzt. 
\end{definition}

Das folgende Lemma beschreibt den Prototyp einer solchen Abbildung. 
\begin{lemma}
  Sei $f(z)=z^k$, $0<k\in\N$. Dann vergr\"o\ss{}ert $f$ Winkel im
  Ursprung um den Faktor $k$ (sp\"ater dann modulo $2\pi$ betrachtet)
  und ist eine $k-1$ Abbildung von $B_\delta(0)$ auf $B_{\delta^k}(0)$
  f\"ur $\delta>0$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen $f\left(re^{i\theta}\right)=r^ke^{ik\theta}$ bildet $f$
  Halbgeraden aus dem Ursprung mit Argument $\theta$ auf Halbgeraden
  aus dem Ursprung mit Argument $k\theta$ ab. (Somit werden Winkel
  ver-$k$-facht. Bei allgemeinen Kurven verschwindet der
  Tangentialvektor wegen $f'(0)=0$.) \par F\"ur $\alpha\neq0$ besitzt
  $z^k=\alpha$ gerade $k$ verschiedene L\"osungen mit
  $|z|=|\alpha|^{1/k}$. (Das Bild des entsprechenden Kreises wird
  $k$-mal durchlaufen. Mit $z$ ist auch $ze^{\frac{2\pi i}kl}$ eine
  Nullstelle und diese sind f\"ur $l=0,1,\ldots,k-1$ alle
  verschieden. Die erste Nullstelle erhalten wir beispielsweise aus
  dem Fundamentalsatz der Algebra.) F\"ur $\alpha=0$ liegt eine
  $k$-fache Nullstelle in $z=0$ vor.
\end{proof}

Das n\"achste Theorem ist eine Variante von Theorem \ref{konf inj thm}
f\"ur den Fall $f'(z_0)=0$. 
\begin{theorem}
  Sei $f$ in $z_0$ analytisch und gelte $f'(z_0)=0$. Sei $f$ nahe
  $z_0$ nicht konstant. Dann gibt es eine kleine Umgebung von $z_0$,
  so dass $f$ dort eine $k-1$ Abbildung ist und $f$ vergr\"o\ss{}ert
  Winkel in $z_0$ um den Faktor $k$. Es
  ist \[k=\min\{l\in\N:f^{(l)}(z_0)\neq0\}.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nehme ohne Einschr\"ankung an, dass $f(z_0)=0$ ist. Dann besitzt $f$
  nahe $z_0$ die Potenzreihendarstellung
  \begin{align*}
    f(z)=&\,a_k(z-z_0)^k +a_{k+1}(z-z_0)^{k+1} +a_{k+2}(z-z_0)^{k+2}
    +\ldots\umbruch\\ =&\,(z-z_0)^k \left[a_k +a_{k+1}(z-z_0)
      +a_{k+2}(z-z_0)^2 +\ldots\right],
  \end{align*}
  wobei $a_k=\frac1{k!}f^{(k)}(z_0)\neq0$ ist. Wir setzen \[g(z):=a_k
  +a_{k+1}(z-z_0) +a_{k+2}(z-z_0)^2 +\ldots\,.\] Da $g(z_0)\neq0$ ist,
  existiert in einer kleinen Kreisscheibe $B_\delta(z_0)$ eine
  analytische $k$-te Wurzel, die wir beispielsweise \"uber den
  Logarithmus definieren, $g^{1/k}$. Somit gilt \[f(z)=[h(z)]^k\quad
  \text{in }B_\delta(z_0),\] wobei $h(z)=(z-z_0)g^{1/k}(z)$ ist. Es
  gilt $h(z_0)=0$, $h'(z_0)=g^{1/k}(z_0)\neq0$. Also ist in einer
  hinreichend kleinen Umgebung $D$ von $z_0$ die Funktion $f$ die
  Verkn\"upfung einer injektiven analytischen ($1-1$) Abbildung $h$
  verkn\"upft mit $z\mapsto z^k$. Da $z\mapsto z^k$ im Ursprung Winkel
  um einen Faktor $k$ vergr\"o\ss{}ert, vergr\"o\ss{}ert $f$ Winkel in
  $z_0$ ebenfalls um einen Faktor $k$ (f\"ur geeignete Wege wie
  oben). $z\mapsto z^k$ ist $k-1$ in Kreisscheiben um den
  Ursprung. Sei $B_\epsilon(0)\subset h(B_\delta(z_0))$ und $\tilde
  D:=h^{-1}(B_\epsilon(0))$. Dann ist $f$ auf $\tilde D$ eine $k-1$
  Abbildung. 
\end{proof}

Als Kombination der obigen Resultate erhalten wir
\begin{theorem}
  Sei $f$ eine in einem Gebiet $D$ analytische Funktion. Sei $f$
  $1-1$. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f^{-1}$ existiert und ist in $f(D)$ analytisch,
  \item $f$ und $f^{-1}$ sind in $D$ bzw.{} $f(D)$ konform. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $f$ $1-1$ ist, folgt $f'\neq0$. Nach Proposition \ref{inverse
    analytisch} ist $f^{-1}$ ebenfalls analytisch und es gilt
  $\left(f^{-1}\right)'=\frac1{f'}$, wenn wir an der richtigen Stelle
  auswerten. Somit gilt $\left(f^{-1}\right)'\neq0$. Somit sind $f$
  und $f'$ konform.
\end{proof}

Dies motiviert die folgende Definition
\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine $1-1$ analytische Abbildung hei\ss{}t konforme Abbildung.
  \item\label{def geb konf aequiv}
    Zwei Gebiete $D_1$ und $D_2$ hei\ss{}en konform \"aquivalent,
    falls es eine konforme Abbildung von $D_1$ nach $D_2$ gibt. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Es handelt sich in \eqref{def geb konf aequiv} um eine
  \"Aquivalenzrelation, da insbesondere die Verkettung konformer
  Abbildungen wieder konform ist.\par
  Der Riemannsche Abbildungssatz (den wir in Kapitel \ref{riem kap}
  behandeln werden) besagt, dass je zwei einfach zusammenh\"angende
  Gebiete $\neq\C$ konform \"aquivalent sind.
\end{remark}

\subsection{Spezielle Abbildungen}
\begin{remark}[Elementare Abbildungen]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $w=az+b$, $a\neq0$, ist eine Streckung um $|a|$, gefolgt von
    einer Drehumg um $\arg a$ und einer Verschiebung um $b$. Dies ist
    eine $1-1$ analytische Abbildung von $\C$ in sich. 
  \item $w=z^\alpha=e^{\alpha\log z}$, $\alpha=$ reell, ist in einem
    einfach zusammenh\"angenden Gebiet, das nicht den Ursprung
    enth\"alt, analytisch. \par W\"ahle einen Zweig des Logarithmus,
    der auf der positiven reellen Achse reell ist. Dann folgt, dass
    $z\mapsto z^\alpha$ die positive reelle Achse auf sich selbst
    abbildet. $z=re^{i\theta}\mapsto r^\alpha
    e^{i\alpha\theta}$. Damit bildet $z\mapsto z^\alpha$ den Kegel
    $S=\{z:\theta_1<\arg z<\theta_2\}$ auf den Kegel
    $T=\{w:\alpha\theta_1<\arg w<\alpha\theta_2\}$ ab. Sei
    $\alpha>0$. Falls $\alpha\theta_2-\alpha\theta_1\le 2\pi$ oder,
    \"aquivalent dazu, falls $\theta_2-\theta_1\le\frac{2\pi}\alpha$
    und $\theta_2-\theta_1\le 2\pi$ gelten, so ist die Abbildung eine
    konforme Abbildung von $S$ auf $T$. \par
    \textbf{Beispiele:} $z\mapsto z^2$ bildet die obere Halbebene auf
    die an der positiven reellen Achse geschlitzte Ebene ab.\par
    $z\mapsto z^{1/2}$ bildet die rechte Halbebene auf einen Kegel mit
    \"Offungswinkel $90^\circ$ ab, der symmetrisch um die positive
    reelle Achse ist. 
  \item $w=e^z=e^xe^{iy}$ bildet $y_1<y<y_2$ auf $y_1<\arg w<y_2$
    ab. Falls $y_2-y_1\le2\pi$ gilt, ist die Abbildung $1-1$.\par
    \textbf{Beispiel:} Der Streifen mit Imagin\"arteil zwischen $0$
    und $\pi i$ wird durch die Exponentialfunktion auf die obere
    Halbebene abgebildet. Die Logarithmusfunktion ist nat\"urlich
    gerade die Umkehrfunktion hierzu.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}[M\"obiustransformationen]
  \[f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\quad\text{mit }ad-bc\neq0\] hei\ss{}t
  M\"obiustransformation oder bilineare Transformation. Es
  gilt \[f'(z)=\frac{ad-bc}{(cz+d)^2}\neq0.\] Somit ist $f$ lokal
  $1-1$ und konform. \par $f$ ist sogar \"uberall injektiv, da
  aus \[\frac{az_1+b}{cz_1+d} =\frac{az_2+b}{cz_2+d}\] nach
  Durchmultiplizieren $(ad-bc)(z_1-z_2)=0$ und somit $z_1=z_2$
  folgt. Die Abbildung \[\C\setminus\left\{-\frac dc\right\}\ni
  z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}\in\C\setminus\left\{\frac ac\right\}\]
  ist surjektiv, da $w=\frac{az+b}{cz+d}$ f\"ur alle $w\neq\frac ac$
  die L\"osung $z=\frac{dw-b}{-cw+a}$ besitzt, wovon man sich durch
  direktes Nachrechnen \"uberzeugt. \par
  Wir bemerken, dass $f$ zu einer $1-1$ Abbildung der Riemannschen
  Zahlenkugel auf sich selbst wird, wenn wir $f(\infty)=\frac ac$ und
  $f\left(-\frac dc\right)=\infty$ setzen. Diese Fortsetzung ist
  stetig. \par Die obige Formel f\"ur die Inverse (die
  Determinantenbedingung bleibt erf\"ullt) und Abgeschlossenheit unter
  Verkn\"upfungen (was man direkt nachrechnen kann) zeigen, dass die
  M\"obiustransformationen eine Gruppe bilden. Vergleiche dies mit
  $\left(\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d \end{smallmatrix}\right)$
  und Matrizenmultiplikation.
\end{remark}

Bilineare Abbildungen bilden Geraden und Kreise auf Geraden und Kreise
ab. Wir rechnen dies zun\"achst f\"ur $f(z)=\frac1z$ nach:
\begin{lemma}
  Sei $S$ ein Kreis oder eine Gerade und $f(z)=\frac1z$. Dann ist
  $f(S)$ ebenfalls ein Kreis oder eine Gerade.
\end{lemma}
% Alternativbeweis: Benutze die Riemannsche Zahlenkugel und eine
% \"Ubungsaufgabe. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei zun\"achst $S=\partial B_r(\alpha)$ ein Kreis. Es
  ist \[f(S)=\left\{w=\frac1z:z\in S\right\}.\] Die definierende
  Gleichung f\"ur $S$ ist $(z-\alpha)(\bar z-\bar\alpha)=r^2$ oder,
  \"aquivalent dazu, $z\bar z-\alpha \bar z-\bar\alpha
  z=r^2-|\alpha|^2$. Dies ist wiederum im Falle $z\neq0$ \"aquivalent
  zu 
  \begin{equation}
    \label{kr gl eq}
    \frac1w\frac1{\bar w}-\frac\alpha{\bar w}-\frac{\bar\alpha}w
    =r^2-|\alpha|^2.
  \end{equation} 
  Wir betrachten zun\"achst den Spezialfall, dass $r=|\alpha|$
  gilt. Dann ist $S$ eine Kreis durch den Ursprung. Wir erhalten aus
  \eqref{kr gl eq} $1-\alpha w-\bar\alpha\bar w=0$ oder, \"aquivalent
  dazu, $\Re\alpha w=\frac12$. Setze $\alpha=x_0+iy_0$ und
  $w=u+iv$. Dann gilt $ux_0-vy_0=\frac12$. Dies ist eine
  Geradengleichung in der Ebene. Somit ist $f(S)$ eine Gerade. \par
  Gilt $r\neq|\alpha|$, so ist \eqref{kr gl eq} \"aquivalent zu \[w\bar
  w-\left(\frac{\bar\alpha}{|\alpha|^2-r^2}\right)\bar w
  -\left(\frac\alpha{|\alpha|^2-r^2}\right)w
  =\frac{-1}{|\alpha|^2-r^2}.\] Wir setzen
  $\beta=\frac{\bar\alpha}{|\alpha|^2-r^2}$ und erhalten
  \begin{align*}
    w\bar w-\beta\bar w-\bar\beta w+|\beta|^2=&\,
    \frac{r^2}{\left(|\alpha|^2-r^2\right)^2}\umbruch \intertext{und
      daraus} |w-\beta|^2=&\,\left(\frac
      r{|\alpha|^2-r^2}\right)^2.\umbruch \intertext{Somit ist}
    f(S)=&\,\partial B_{\left|\frac r{|\alpha|^2-r^2}\right|}(\beta).
  \end{align*}
  Sei nun $S$ eine Gerade. Dann gibt es $a,b,c\in\R$,
  $(a,b)\neq(0,0)$, so dass $z=x+iy\in S$ genau dann gilt, wenn
  $ax+by=c$ ist. Wir setzen $\alpha=a-ib$. Dann ist $z$ genau denn in
  $S$, wenn $\Re\alpha z=c$ gilt. Dies formen wir \"aquivalent in
  $\alpha z+\bar\alpha\bar z=2c$ und weiter in $2cw\bar w=\alpha\bar
  w+\bar\alpha w$ um. Analog zu oben folgt nun, dass $f(S)$ ein Kreis
  oder eine Gerade ist, je nachdem, ob $c=0$ oder $c\neq0$ gilt.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Die Abbildung \[f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\quad\text{mit } ad-bc\neq0\]
  bildet Kreise und Geraden auf Kreise oder Geraden ab. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Im Falle $c=0$ ist $f$ affin linear und die Behauptung ist klar. \par
  Sonst gilt \[\frac{az+b}{cz+d}
  =\frac1c\left[\frac{acz+ad-ad+bc}{cz+d}\right] =\frac1c
  \left[a-\frac{ad-bc}{cz+d}\right].\] Dies ist eine Darstellung von
  $f$ als Verkn\"upfung von affin linearen Abbildungen und
  $z\mapsto\frac1z$. Die Menge aller Kreise und Geraden ist hierunter
  jeweils invariant.
\end{proof}

\lang{
\begin{beispiel}
  Finde eine konforme Abbildung, die die halbe
  Kreisscheibe \[S=\{z:|z|<1,\Im z>0\}\] auf die obere Halbebene
  abbildet. \par Die Abbildung $g(z)=\frac1{z+1}$ hat in $z=-1$ einen
  Pol. Daher werden das Intervall $[-1,1]$ und der obere Halbkreis auf
  Halbgeraden abgebildet. Diese haben den Punkt $g(1)=\frac12$ als
  gemeinsamen Startpunkt. Da $g$ eine konforme Abbildung ist,
  schneiden sich diese Halbgeraden dort orthogonal. Weiterhin gilt
  $f(i)=\frac1{1+i}=\frac{1-i}2$ und $f(0)=1$. Dies bestimmt die
  Halbgeraden und somit bildet $g$ die Menge $S$ auf den um $\frac12$
  nach rechts verschobenen rechten unteren Quadranten ab. \par Wir
  erhalten also die gesuchte Abbildung als
  \[f(z)=\left[i\left(g(z)-\frac12\right)\right]^2
  =\frac{-(z-1)^2}{4(z+1)^2}.\] 
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
  Seien $C_1$ und $C_2$ Kreise, von denen der eine den anderen
  umfa\ss{}t und die sich in einem Punkt $\alpha$
  ber\"uhren. Betrachte eine Folge von kleinen Kreise im
  sichelf\"ormigen Zwischenraum von $C_1$ und $C_2$, die sich und
  beide Kreise $C_i$ jeweils ber\"uhren. Seien $a,b,c,d,\ldots$ die
  Ber\"uhrpunkte zwischen jeweils zwei kleinen Kreisen. Dann behaupten
  wir, dass die Punkte $a,b,c,d,\ldots$ alle auf einem Kreis
  liegen.\par Betrachte das Bild dieses Diagrammes unter der Abbildung
  $f(z)=\frac1{z-\alpha}$. Da $f$ eine $1-1$ Abbildung ist und in
  $\alpha$ einen Pol besitzt, werden $C_1$ und $C_2$ auf parallele
  Geraden abgebildet. Die anderen (kleinen) Kreise werden wiederum auf
  Kreise abgebildet. Die Bilder dieser kleinen Kreise liegen also
  zwischen den beiden parallelen Geraden und ber\"uhren diese und ihre
  jeweiligen Nachbarn. Daher liegen diese Ber\"uhrpunkte
  $f(a),f(b),f(c),f(d),\ldots$ alle auf einer Geraden. Die Punkte
  $a,b,c,d,\ldots$ liegen auf dem Urbild dieser Geraden unter $f$. Da
  $f$ bilinear ist, ist das Urbild dieser Geraden ein Kreis und die
  Behauptung folgt.
\end{beispiel}
} % lang

\begin{definition}
  Eine konforme Abbildung eines Gebietes auf sich selbst hei\ss{}t
  Automorphismus dieses Gebietes. 
\end{definition}

\begin{lemma}\label{konf aequiv char lem}
  Sei $f:D_1\to D_2$ eine konforme Abbildung. Dann gilt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Jede konforme Abbildung $h:D_1\to D_2$ ist von der Form
    $g\circ f$, wobei $g$ ein Automorphismus von $D_2$ ist.
  \item Jeder Automorphismus $h$ von $D_1$ ist von der Form
    $f^{-1}\circ g\circ f$, wobei $g$ ein Automorphismus von $D_2$
    ist. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f$ und $h$ sind konforme Abbildungen von $D_1$ auf
    $D_2$. Somit ist $h\circ f^{-1}$ ein Automorphismus von $D_2$ und
    es gilt $h=g\circ f$ mit $g=h\circ f^{-1}$. 
  \item Sie $h$ eine Automorphismus von $D_1$. Dann ist $g:f\circ
    h\circ f^{-1}$ ein Automorphismus von $D_2$. Es folgt
    $h=f^{-1}\circ g\circ f$. 
  \end{enumerate}
  \vspace{-4ex}
\end{proof}

Wir wollen nun alle Automorphismen der Einheitskreisscheibe bestimmen.
\begin{lemma}\label{B1 aut lem}
  Die einzigen Automorphismen $f$ der Einheitskreisscheibe $B_1(0)$
  mit $f(0)=0$ sind von der Form $f(z)=e^{i\theta}z$ mit
  $\theta\in\R$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  $f$ bilde $B_1(0)$ als $1-1$ Abbildung auf sich ab und es gelte
  $f(0)=0$. Das Schwarzsche Lemma, Theorem \ref{schwarz thm},
  impliziert, dass $|f(z)|\le|z|$ f\"ur $|z|<1$ gilt. $f^{-1}$ bildet
  ebenfalls $B_1(0)$ als $1-1$ Abbildung auf sich ab und es gilt
  $f^{-1}(0)=0$. Wie oben folgt daher $\left|f^{-1}(z)\right|\le|z|$
  f\"ur $|z|<1$. Zusammengenommen erhalten wir $|f(z)|=|z|$ f\"ur alle
  $|z|<1$. Aufgrund des Schwarzschen Lemmas erhalten wir daher
  $f(z)=e^{i\theta}z$. 
\end{proof}

\lang{
\begin{remark}\label{aut einh krs rem}
  Wir suchen nun Automorphismen der Einheitskreisscheibe mit
  $f(\alpha)=0$, wobei $\alpha$ mit $0<|\alpha|<1$ fest vorgegeben
  ist. Nehme an, dass $f$ bilinear ist. $f$ ist global $1-1$. $f$
  bildet die Einheitskreisscheibe auf sich selbst ab.\par Wir
  behaupten, dass $f\left(\frac1{\bar\alpha}\right)=\infty$
  gilt. Definiere $g(z)=i\left(\frac1{z+1}-\frac12\right)
  =i\frac{1-z}{2(z+1)}$. $g$ bildet $B_1(0)$ konform auf die obere
  Halbebene ab. Wie man direkt nachrechnet ist die Inverse zu $g$
  durch $h(z)=\frac{i-2z}{2z+i}$ gegeben. Da $f$ den Rand $\partial
  B_1(0)$ auf $\partial B_1(0)$ abbildet, bildet $g\circ f\circ h$
  auch $\R$ auf $\R$ ab. Nach dem Schwarzschen Spiegelungsprinzip gilt
  daher 
  \begin{equation}\label{schwarz kons eq}
    g\circ f\circ h(\bar z)=\ol{g\circ f\circ h(z)}.
  \end{equation}
  Betrachte nun $z$, so dass $h(\bar z)=\alpha$ gilt. Es folgt $\bar
  z=g(\alpha)$ und $z=\ol{g(\alpha)}$. Somit ist $g\circ f\circ h(\bar
  z)=g\circ f(\alpha)=g(0)=\frac i2$. Nach \eqref{schwarz kons eq}
  erhalten wir $-\frac i2=g\circ f\circ
  h\big(\ol{g(\alpha)}\big)$. Wir wenden $h$ an und erhalten
  $\infty=h\left(-\frac i2\right) =f\circ h\big(\ol{g(\alpha)}\big)
  =f\left(\frac1{\bar\alpha}\right)$, wobei man die letzte Gleichheit
  anhand der Definitionen von $g$ und $h$ direkt nachrechnet. Somit
  ist $f\left(\frac1{\bar\alpha}\right) =\infty$. Dies hatten wir
  behauptet.\par
  Daher hat $f$ die Form \[f(z)=c\cdot\frac{z-\alpha}
  {z-\frac1{\bar\alpha}}.\] Da $f$ aber auch den Rand $\partial
  B_1(0)$ auf sich selbst abbildet erhalten wir
  $1=|f(1)|=|c\alpha|$. (Die letzte Gleichheit sieht man leicht, wenn
  man $f(1)\cdot\ol{f(1)}$ ausrechnet.) Daher l\"asst sich $f$ in der
  Form \[f(z)=e^{i\theta}\frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha z}\] darstellen.
\end{remark}
}

Dies legt das folgende Resultat nahe.
\begin{theorem}\label{auto b1 thm}
  Die Automorphismen der Einheitskreisscheibe sind von der Form
  \[g(z)=e^{i\theta}\left(\frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha z}\right)\]
  f\"ur ein $\alpha$ mit $|\alpha|<1$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $g(z)=\frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha z}$. Zeige zun\"achst, dass
  dies ein Automorphismus ist: F\"ur $|z|=1$ gilt \[|g(z)|^2
  =\frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha z}\cdot \frac{\bar
    z-\bar\alpha}{1-\alpha\bar z} =\frac{|z|^2-z\bar\alpha -\alpha\bar
    z+|\alpha|^2}{1-\alpha\bar z-\bar\alpha z+|\alpha|^2|z|^2} =1.\]
  Es gilt $g(\alpha)=0$. Also ist $g\not\equiv$ konstant. Daher ist
  $g(B_1(0))$ eine offene Menge, deren Rand gerade -- denn $g$ ist als
  bilineare Abbildung bijektiv und $g(\partial B_1(0))\subset\partial
  B_1(0)$ -- $\partial B_1(0)$ ist. Wir schlie\ss{}en, dass
  $g(B_1(0))=B_1(0)$ gilt und somit ist $g$ ein Automorphismus der
  Einheitskreisscheibe. \par Sei nun $f$ ein Automorphismus der
  Einheitskreisscheibe mit $f(\alpha)=0$. Dann ist $h=f\circ g^{-1}$
  ein Automorphismus mit $h(0)=0$. Nach Lemma \ref{B1 aut lem} folgt
  daher $h(z)=e^{i\theta}z$ f\"ur ein $\theta\in\R$. Somit
  ist \[f(z)=h\circ g(z) =e^{i\theta}\frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha
    z}.\]
\end{proof}

\lang{
\begin{remark}
  Wir suchen nun eine konforme Abbildung $h$ der oberen Halbebene auf
  die Einheitskreisscheibe. Nehme wieder an, dass $h$ bilinear ist und
  dass $h(\alpha)=0$ f\"ur ein $\alpha$ mit $\Im\alpha>0$ gilt. Mit
  $g$ wie in Bemerkung \ref{aut einh krs rem} folgt: $g\circ h$ bildet
  die obere Halbebene auf sich ab, insbesondere $\R\cup\{\infty\}$ auf
  $\R\cup\{\infty\}$. Somit liefert das Schwarzsche
  Spiegelungsprinzip \[g\circ h(z)=\ol{g\circ h(\bar z)}.\] Mit
  $z=\alpha$ folgt $\frac i2=g(0)=\ol{g\circ h(\bar\alpha)}$. Somit
  ist $g^{-1}\left(-\frac i2\right)=\infty =h(\bar\alpha)$. Damit ist
  $h$ von der Form \[h(z)=c\frac{z-\alpha}{z-\bar\alpha}.\]
\end{remark}

\begin{theorem}\label{aut obere halb thm}
  Die konformen Abbildungen der oberen Halbebene auf die
  Einheitskreisscheibe sind von der
  Form \[h(z)=e^{i\theta}\frac{z-\alpha}{z-\bar\alpha} \quad\text{mit
  } \Im\alpha>0.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $f(z)=\frac{z-\alpha}{z-\bar\alpha}$. F\"ur $z\in\R$ gilt
  $|z-\alpha|=|z-\bar\alpha|$. Somit bildet $f$ die reelle Achse nach
  $\partial B_1(0)$ ab. Wegen $f(\alpha)=0$, $\Im\alpha>0$, ist $f$
  auch surjektiv. \par Sei nun $h$ eine beliebige konforme Abbildung
  der oberen Halbebene auf die Einheitskreisscheibe mit
  $h(\alpha)=0$. Nach Lemma \ref{konf aequiv char lem} gibt es daher
  einen Automorphismus $g$ der Einheitskreisscheibe, so dass $h=g\circ
  f$ gilt. Wir erhalten $0=h(\alpha)=g\circ f(\alpha)=g(0)$. Nach
  Lemma \ref{B1 aut lem} schlie\ss{}en wir, dass $g(z)=e^{i\theta}z$
  f\"ur ein $\theta\in\R$ gilt. Daher
  folgt \[h(z)=e^{i\theta}\frac{z-\alpha}{z-\bar\alpha}.\] 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Die Automorphismen der oberen Halbebene sind von der
  Form \[f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\] mit $a,b,c,d\in\R$ und $ad-bc>0$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  $f$ bildet $\R\cup\{\infty\}$ surjektiv auf $\R\cup\{\infty\}$
  ab. (Benutze dazu z.\,B.{} die Aussage, dass Geraden unter
  bilinearen Abbildungen auf Geraden oder Kreise abgebildet werden.)
  Es gilt \[\Im f(i)=\frac{ad-bc}{c^2+d^2}>0.\] Somit ist $f$ ein
  Automorphismus der oberen Halbebene. Definiere
  $h(z):=\frac{z-i}{z+i}$. Damit ist $h$ nach Theorem \ref{aut obere
    halb thm} eine konforme Abbildung der oberen Halbebene auf die
  Einheitskreisscheibe mit $h^{-1}(z)=-i\frac{z+1}{z-1}$. Die
  Automorphismen verschiedener Gebiete sind zueinander konjugiert und
  die Automorphismen der Einheitskreisscheibe sind bekannt: Sie sind
  von der Form \[g(z)=e^{i\theta}\left(\frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha
      z}\right),\] f\"ur $|\alpha|<1$ und $\theta\in\R$.  Daher ist
  jeder Automorphismus der oberen Halbebene von der Form
  \begin{align*}
    &\,h^{-1}\circ g\circ h\quad\text{mit $g$ wie oben}\umbruch\\
    =&\,\left(h^{-1}\circ\left(z\mapsto e^{i\theta}\right)\circ
      h\right) \circ\left(h^{-1}\circ\left(z\mapsto
        \frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha
          z}\right)\circ h\right)\umbruch\\
    =&\,\left(z\mapsto \frac{z(1+\cos\theta)+\sin\theta}
      {z(-\sin\theta)+(1+\cos\theta)}\right)\circ \left(z\mapsto
      \frac{z(1-\Re\alpha)+\Im\alpha}
      {z\Im\alpha+(1+\Re\alpha)}\right)\umbruch\\
    =&\,\left(z\mapsto \frac{z\cos\frac\theta2+\sin\frac\theta2}
      {-z\sin\frac\theta2+\cos\frac\theta2}\right)\circ \left(z\mapsto
      \frac{z(1-\Re\alpha)+\Im\alpha}
      {z\Im\alpha+(1+\Re\alpha)}\right).
  \end{align*}
  Jede dieser Abbildungen erf\"ullt die Anforderungen des
  Theorems. \par Wenn wir die bilineare Abbildung
  $z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}$ der Matrix
  $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ zuordnen, so wird -- wie man
  direkt nachrechnet -- die Verkn\"upfung zweier solcher Abbildungen
  auch der Komposition der entsprechenden Matrizen zugeordnet. Daher
  bleibt auch die angegebene Positivit\"atsbedingung unter der
  Verkn\"upfung erhalten und das Theorem folgt. 
\end{proof}

Wir wollen nun zeigen, dass es eine eindeutig bestimmte bilineare
Abbildung gibt, die beliebige paarweise verschiedene Punkte
$z_1,z_2,z_3$ auf drei ebenfalls paarweise verschiedene Punkte
$w_1,w_2,w_3$ abbildet. 

\begin{definition}
  $z_0$ hei\ss{}t Fixpunkt einer Funktion $f$, falls $f(z_0)=z_0$
  gilt. 
\end{definition}

Im Folgenden wollen wir die bilinearen Transformationen stets auf die
Riemannsche Zahlenkugel fortsetzen. 

\begin{proposition}
  Eine bilineare Transformation, die nicht die Identit\"at ist,
  besitzt h\"ochstens zwei Fixpunkte. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$. \par Sei zun\"achst $c\neq0$. Dann ist
  $f(z)=z$ \"aquivalent zu $az+b=cz^2+dz$. Es gibt h\"ochstens zwei
  L\"osungen dieser quadratischen Gleichung, also auch h\"ochstens
  zwei Fixpunkte. Beachte dabei auch, dass $f(\infty)=\frac
  ac\neq\infty$ gilt. \par Sei nun $c=0$. Dann ist $f$ linear.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\frac ad=1$ und $b=0$, so gilt $f(z)=z$.
  \item Ist $\frac ad=1$ und $b\neq0$, so besitzt $f$ in $\C$ keinen
    Fixpunkt. Hier ist jedoch $f(\infty)=\infty$.
  \item Ist $\frac ad\neq1$, so besitzt $f$ einen Fixpunkt. Wegen
    $f(\infty)=\infty$ erhalten wir noch einen zweiten Fixpunkt. 
  \end{enumerate}
  \vspace{-4ex}
\end{proof}

\begin{lemma}\label{eind bilin abb lem}
  Die einzige bilineare Abbildung, die $z_1,z_2,z_3$ auf $\infty,0,1$
  abbildet, ist \[z\mapsto T(z):=\frac{(z-z_2)(z_3-z_1)}
  {(z-z_1)(z_3-z_2)}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Eigenschaften von $T$ rechnet man direkt nach. \par
  Zur Eindeutigkeit: Seien $S$ und $T$ wie gefordert. Dann besitzt
  $S\circ T^{-1}$ wenigstens drei Fixpunkte. Also gilt $S=T$. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Das Lemma gilt auch mit dem entsprechenden Grenz\"ubergang, falls
  eines der $z_i$ gleich $\infty$ ist.
\end{remark}

\begin{definition}
  Das Doppelverh\"altnis von vier komplexen Zahlen $z_1,z_2,z_3,z_4$,
  $(z_1,z_2,z_3,z_4)$, ist das Bild von $z_4$ unter der bilinearen
  Abbildung, die $z_1,z_2,z_3$ auf $\infty,0,1$ abbildet.
\end{definition}

\begin{remark}
  Es gilt \[(z_1,z_2,z_3,z_4)=\frac{z_4-x_2}{z_4-z_1}\cdot
  \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}.\] 
\end{remark}

\begin{proposition}\label{doppel verh inv prop}
  Das Doppelverh\"altnis von vier Punkten ist invariant unter
  bilinearen Abbildungen $S$, d.\,h.{} es gilt \[(Sz_1,Sz_2,Sz_3,Sz_4)
  =(z_1,z_2,z_3,z_4).\] 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis nach Ahlfors]
  Sei $T$ die bilineare Abbildung, die $z_1,z_2,z_3$ auf $\infty,0,1$
  abbildet. Dann bildet $T\circ S^{-1}$ die Punkte $Sz_1,Sz_2,Sz_3$
  auf $\infty,0,1$ ab. Somit gilt nach
  Definition \[(Sz_1,Sz_2,Sz_3,Sz_4) =T\circ S^{-1}(Sz_4) =Tz_4
  =(z_1,z_2,z_3,z_4).\]   
\end{proof}

\begin{theorem}
  Die eindeutig bestimmte bilineare Abbildung $z\mapsto w=f(z)$, die
  $z_1,z_2,z_3$ auf $w_1,w_2,w_3$ abbildet, ist
  durch \[\frac{(w-w_2)(w_3-w_1)}{(w-w_1)(w_3-w_2)}
  =\frac{(z-z_2)(z_3-z_1)}{(z-z_1)(z_3-z_2)}\] bestimmt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir zeigen das Theorem nur in dem Fall, in dem alle auftretenden
  Punkte $\neq\infty$ sind. \par Nach Lemma \ref{eind bilin abb lem}
  existiert die entsprechende Abbildung. \par Zur Eindeutigkeit: Nach
  Proposition \ref{doppel verh inv prop} folgt \[(w_1,w_2,w_3,w)
  =(z_1,z_2,z_3,z).\] Somit ist $w$ f\"ur festes $z$ eindeutig
  bestimmt. 
\end{proof}
} % lang

\section{Der Riemannsche Abbildungssatz} 
\label{riem kap}
\begin{theorem}
  Seien $R_1,R_2$ zwei einfach zusammenh\"angende Gebiete
  $\neq\C$. Dann sind $R_1$ und $R_2$ konform \"aquivalent.
\end{theorem}

Dies folgt aus dem folgenden Theorem. 
\begin{theorem}\label{riem kons thm}
  Sei $R\neq\C$ ein einfach zusammenh\"angendes Gebiet und $z_0\in
  R$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte konforme Abbildung $\phi$
  von $R$ auf $U\equiv B_1(0)$, so dass $\phi(z_0)=0$ und
  $\phi'(z_0)>0$ gelten.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis -- Eindeutigkeit]
  Seien $\phi_1$ und $\phi_2$ zwei solche Abbildungen. Dann ist
  $\Phi:=\phi_1\circ \phi_2^{-1}$ ein Automorphismus der
  Einheitskreisscheibe mit $\Phi(0)=0$ und $\Phi'(0)>0$. Nach Theorem
  \ref{auto b1 thm} gilt daher $\Phi(z)=e^{i\theta}z$ f\"ur ein
  $\theta\in\R$. Da aber $0<\Phi'(0)=e^{i\theta}$ ist, folgt
  $\Phi(z)=z$ und daher auch $\phi_1=\phi_2$.
\end{proof}

F\"ur den Existenzbeweis werden wir bis zum Ende des Kapitels
brauchen. 

\begin{lemma}
  Sei $\alpha\in U$ und $f:U\to U$ analytisch. Dann wird
  $\max\{|f'(\alpha)|\}$ unter allen Funktionen $f$ wie beschrieben
  f\"ur eine Funktion $f$ mit $f(\alpha)=0$ angenommen. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei zun\"achst f\"ur eine feste analytische Funktion $f:U\to U$ die
  Bedingung $f(\alpha)\neq0$ erf\"ullt.
  Definiere \[g(z)=\frac{f(z)-f(\alpha)}{1-\ol{f(\alpha)}f(z)}.\] Die
  Abbildung \[w\mapsto \frac{w-f(\alpha)}{1-\ol{f(\alpha)}w}\] mit
  $|f(\alpha)|<1$ ist ein Automorphismus von $U$. Somit ist $|g(z)|<1$
  f\"ur $z\in U$. Eine direkte Rechnung liefert
  \begin{align*}
    g'(z)=&\,\frac{f'(z)\left(1-\ol{f(\alpha)}f(z)\right)
      +(f(z)-f(\alpha))\ol{f(\alpha)}f'(z)}
    {\left(1-\ol{f(\alpha)}f(z)\right)^2}.\umbruch  
    \intertext{Somit gilt}
    g'(\alpha)=&\,\frac{f'(\alpha)}{1-|f(\alpha)|^2}
  \end{align*}
  und wir schlie\ss{}en, dass $|g'(\alpha)|>|f'(\alpha)|$ ist. Damit
  kann das Maximum h\"ochstens f\"ur eine Funktion $f$ mit
  $f(\alpha)=0$ angenommen werden. \par Definiere
  \begin{align*}
    B_\alpha(z):=&\,\frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha z}\umbruch
    \intertext{und die Inverse}
    B^{-1}_\alpha(z)=&\,\frac{z+\alpha}{1+\bar\alpha z}\umbruch
    \intertext{sowie}
    h:&\,U\to U,\\
    h(z):=&\,f\circ B^{-1}_\alpha(z).
  \end{align*}
  Es gilt \[h'(0)=\left.f'\right|_{B^{-1}_\alpha(0)}\cdot
  \left(B^{-1}_\alpha\right)'(0)
  =f'(\alpha)\cdot\left(1-|\alpha|^2\right).\] Nach dem Schwarzschen
  Lemma, Theorem \ref{schwarz thm}, folgt
  \begin{equation}
    \label{schw kon eq}
    |h'(0)|\le1
  \end{equation}
  und daher $|f'(\alpha)|\le\frac1{1-|\alpha|^2}$. Nun
  gilt \[\left.B'_\alpha(z)\right|_{z=\alpha} =\frac1{1-|\alpha|^2},\]
  das Maximum wird also f\"ur die Funktion $B_\alpha$ angenommen.
\end{proof}

\begin{remark}
  Gilt in \eqref{schw kon eq} Gleichheit, so ist aufgrund des
  Schwarzschen Lemmas $h(z)=e^{i\theta}z$ und daher folgt
  \[f(z)=e^{i\theta}\frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha z}.\] Damit wird das
  Maximum genau an den konformen Selbstabbildungen von $U$ mit
  $f(\alpha)=0$ angenommen.\par
  Dies legt die folgende Beweisstrategie nahe:\\
  Sei $R\neq\C$ einfach zusammenh\"angend und $z_0\in R$. Sei
  $\mathcal F$ die Menge aller analytischen $1-1$ (injektiven)
  Funktionen $f:R\to U$ mit $f'(z_0)>0$. W\"ahle $\phi$, so
  dass \[\phi'(z_0)=\sup\limits_{f\in\mathcal F}f'(z_0).\] Dann folgt
  der Riemannsche Abbildungssatz, falls wir noch folgendes zeigen:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{riem i} $\mathcal F$ ist nichtleer.
  \item\label{riem ii} $\sup\limits_{f\in\mathcal F}f'(z_0)=M<\infty$
    und es gibt eine Funktion $\phi\in\mathcal F$, so dass
    $\phi'(z_0)=M$.
  \item\label{riem iii} Eine Funktion $\phi$ wie in \eqref{riem ii}
    ist eine konforme surjektive Abbildung von $R$ auf $U$ mit
    $\phi(z_0)=0$ und $\phi'(z_0)>0$. ($\phi(z_0)=0$ und die
    Surjektivit\"at stecken noch nicht in \eqref{riem ii} drin.)
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{riem kons thm} -- Ende] 
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \textbf{$\mathcal F$ ist nichtleer:}\\ Falls
    $B_\delta(\rho_0)\subset\complement R$ ist, ist
    $f(z)=e^{i\theta}\frac{\delta}{z-\rho_0}\in\mathcal
    F$. M\"oglicherweise enth\"alt $\complement R$ aber gar keine
    Kreisscheibe. \par Sei $\rho_0\not\in R$. Da $R$ einfach
    zusammenh\"angend ist, ist $\frac{z-\rho_0}{z_0-\rho_0}$
    nullstellenfrei. Somit existiert eine analytische Funktion $g$ mit
    $g(z)=\sqrt{\frac{z-\rho_0}{z_0-\rho_0}}$ und $g(z_0)=1$. Wir
    behaupten, dass $g$ von $-1$ weg beschr\"ankt ist, dass also eine
    positive untere Schranke f\"ur $|g(z)-(-1)|$, $z\in R$,
    existiert. Sonst gibt es $\xi_n\in R$, so dass \[g(\xi_n)
    =\sqrt{\frac{\xi_n-\rho_0} {z_0-\rho_0}}\to-1\]
    konvergiert. Hieraus folgt durch Quadrieren
    $\frac{\xi_n-\rho_0}{z_0-\rho_0}\to1$ und daher $\xi_n\to
    z_0$. Dies widerspricht aber der Stetigkeit von $g$ im Punkt
    $z_0$. Daher gibt es ein $\eta>0$, so dass \[|g(z)-(-1)|
    =|g(z)+1|>\eta\quad \text{f\"ur }z\in R\] gilt. Definiere
    daher \[f(z)=\frac{\eta}{g(z)+1}.\] Es gilt $|f(z)|<1$. Man sieht
    direkt, dass $f$ die Verkn\"upfung von $1-1$ Funktionen und daher
    selber $1-1$ ist. Es gilt \[g'(z_0)=\frac12\frac1{z_0-\rho_0}\neq0.\]
    Daher gibt es ein $\theta\in\R$, so dass \[\tilde f:z\mapsto
    e^{i\theta}f(z)\] $\tilde f'(z_0)>0$ erf\"ullt. Somit ist $\tilde
    f\in\mathcal F$ und wir schlie\ss{}en, dass $\mathcal
    F\neq\emptyset$.
  \item Es gilt $\sup\limits_{f\in\mathcal F}f'(z_0)<\infty$:\\ $R$
    ist offen. Daher gibt es ein $\delta>0$, so dass
    $B_{2\delta}(z_0)\subset R$ ist. Sei $f\in\mathcal F$ beliebig. Es
    folgt mit der M-L-Absch\"atzung, denn f\"ur $f:R\to U$ folgt
    $|f(z)|<1$ \[|f'(z_0)| =\left|\frac1{2\pi i} \int\limits_{\partial
        B_\delta(z_0)} \frac{f(z)}{(z-z_0)^2}\,dz\right|
    \le\frac1\delta.\]
    Wir behaupten, dass das Supremum auch angenommen wird:\\
    Sei $M=\sup\limits_{f\in\mathcal F}f'(z_0)$. W\"ahle
    $f_n\in\mathcal F$, so dass $|f'_n(z_0)|\to M$ f\"ur $n\to\infty$
    konvergiert. Wir wollen nun eine Teilfolge der $f_n$'s finden, die
    auf kompakten Teilmengen von $R$ gleichm\"a\ss{}ig
    konvergiert. \par
    Aus Integralabsch\"atzungen wie oben schlie\ss{}en wir, dass
    $f'_n$ auf kompakten Teilmengen von $R$ gleichm\"a\ss{}ig
    beschr\"ankt ist. Nach Arzel\`a-Ascoli gibt es daher eine nicht
    umbenannte Teilfolge der $f_n$, so dass $f_n\to\phi$
    gleichm\"a\ss{}ig auf kompakten Teilmengen von $R$
    konvergiert. (Dies ben\"otigt ein Diagonalfolgenargument.) Nach
    Theorem \ref{glm lim analyt thm} ist $\phi$ als
    gleichm\"a\ss{}iger Grenzwert analytischer Funktionen wieder
    analytisch. Nach Theorem \ref{glm konv abl thm} gilt
    $f'_n\to\phi'$ gleichm\"a\ss{}ig auf Kompakta, denn die
    $C^0$-Konvergenz und die Integralformel liefern auch
    $C^1$-Konvergenz. Somit erhalten wir nach Definition von $\mathcal
    F$ \[\phi'(z_0)=\lim\limits_{n\to\infty}f'_n(z_0) =M>0.\] Daher
    ist $\phi$ keine Konstante. Deshalb ist aber $\phi$ nach Theorem
    \ref{inj erh thm} als lokal gleichm\"a\ss{}iger Limes von $1-1$
    Funktionen wieder $1-1$. \par (Wir bemerken, dass in Wirklichkeit
    sogar die gesamte Folge konvergiert, da jede Teilfolge wiederum
    eine konvergente Teilfolge besitzt und da der Grenzwert eindeutig
    ist, falls auch \eqref{riem iii} gezeigt ist.)
  \item Wir behaupten, dass $\phi(z_0)=0$ gilt:\\ Falls nicht, so ist
    $\phi(z_0)=\alpha$ mit $0<|\alpha|<1$. Die letzte strikte
    Ungleichung folgt dabei aus der Offenheit der Abbildung. Dann
    ist \[f(z) =\frac{\phi(z)-\alpha}{1-\bar\alpha\phi(z)}\] ebenfalls
    eine $1-1$ Abbildung von $R$ nach $U$. Es gilt dann \[f'(z_0)
    =\frac{\phi'(z_0)}{1-|\alpha|^2}>\phi'(z_0)\] im Widerspruch zur
    Maximalit\"at.\par
    Zur Surjektivit\"at:\\
    Ist $\phi$ nicht surjektiv, so gibt es $0\neq w\in B_1(0)$, so
    dass $\phi(z)\neq w$. Wir schreiben $w=-t^2e^{i\theta}$ f\"ur ein
    $0<t<1$ und $\theta\in\R$. \par Wir wollen nun $\phi$ in mehreren
    Schritten so modifizieren, dass wir in diesem Fall zu einem
    Widerspruch zur Maximalit\"at der Ableitung kommen. \par Definiere
    $g(z):=e^{-i\theta}\phi(z)$. $g$ bildet dann $R$ nach $U$ ab, es
    gilt $g(z_0)=0$ und $|g'(z_0)|=\phi'(z_0)$. Weiterhin ist
    $g(z)\neq -t^2$ f\"ur alle $z\in R$. \par Als n\"achstes
    verkn\"upfen wir $g$ mit der Abbildung
    $z\mapsto\frac{z-\alpha}{1-\bar\alpha z}$, $\alpha=-t^2$, einer
    Selbstabbildung von $U$. Daher bildet auch $f_1$
    mit \[f_1(z)=\frac{g(z)+t^2}{1+t^2g(z)}\] von $R$ nach $U$ ab. Es
    ist $f_1(z_0)=t^2$. Da $g(z)\neq-t^2$ ist, erhalten wir
    $f_1(z)\neq0$. Daher gibt es genau eine analytische Wurzel
    $f_2(z)=\sqrt{f_1(z)}$, so dass $f_2(z_0)=t$ gilt.\par Definiere
    nun noch \[f_3(z)=\frac{f_2(z)-t}{1-tf_2(z)}.\] Es ist $f_3:R\to
    U$ und $f_3(z_0)=0$. Die Abbildung $f_3$ ist als Verkettung von
    $1-1$ Abbildungen selbst wieder $1-1$. Es gilt
    \begin{align*}
      f'_1(z_0)=&\,g'(z_0)-t^2t^2g'(z_0)\quad\text{da
      }g(z_0)=\phi(z_0)=0\\
      =&\,g'(z_0)\cdot\left(1-t^4\right),\umbruch\\
      f'_2(z_0)=&\,\frac{f'_1(z_0)}{2\sqrt{f_1(z_0)}}
      =\frac{f'_1(z_0)}{2t} \quad\text{da
      }\sqrt{f_1(z_0)}=t,\umbruch\\
      f'_3(z_0)=&\,\frac{f'_2(z_0)}{1-t^2}\quad\text{da
      }f_2(z_0)=t. \umbruch 
      \intertext{Aufgrund der Kettenregel folgt nun}
      f'_3(z_0)=&\,\frac{g'(z_0)\left(1+t^2\right)}{2t}.
    \end{align*}
    F\"ur $0<t<1$ gilt aber $1+t^2>2t$. Damit folgt
    $|f'_3(z_0)|>\phi'(z_0)$. $f_3$ ist $1-1$ und
    analytisch. Multiplizieren wir also $f_3$ mit $e^{i\theta'}$,
    $\theta'\in\R$ geeignet, so ist $e^{i\theta'}f_3\in\mathcal F$ und
    wegen $e^{i\theta'}f_3'(z_0)>M$ erhalten wir einen
    Widerspruch. Somit war $\phi$ schon surjektiv.     
  \end{enumerate}
  Der Riemannsche Abbildungssatz folgt.
\end{proof}
}{} % physiker

\lang{
\section{Minimalfl\"achen}
Wir benutzen teilweise \cite{JostMinimalflaechen}. Davon gibt es
mittlerweile eine Neuauflage. 
\begin{definition}[Minimalfl\"ache]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $u\in
  C^1\left(\ol\Omega\right)$. Die Oberfl\"ache von $\graph u$ ist
  als \[\mathcal A[u]:=\int\limits_\Omega\sqrt{1+|Du|^2}\]
  definiert. (Sie stimmt mit dem $n$-dimensionalen Hausdorffma\ss{}
  von $\graph u$ \"uberein.) \par Graph $u$ hei\ss{}t Minimalfl\"ache,
  falls $u$ ein kritischer Punkt des Oberfl\"achenfunktionals ist,
  d.\,h.{} wenn f\"ur alle $\phi\in C^1_c(\Omega)$ \[\left.\dt\mathcal
    A[u+t\phi]\right|_{t=0}=0\] gilt. (Diese Definition gilt auch
  f\"ur unbeschr\"ankte Gebiete und $u\in C^1(\Omega)$, solange man
  nur in der Definition von $\mathcal A$ \"uber ein beschr\"anktes
  Gebiet integriert, das $\supp u$ enth\"alt. Genauer handelt es sich
  in dieser Definition um Hyperfl\"achen, die f\"ur das
  Oberfl\"achenfunktional kritisch sind. Man kann aber recht leicht
  zeigen, dass sie tats\"achlich auch minimal sind.)
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u\in C^2(\Omega)$. Ist $\graph u$
  eine Minimalfl\"ache, so gilt \[\divergenz\left(\frac{Du}
    {\sqrt{1+|Du|^2}}\right)=0.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$. Dann gilt
  \begin{align*}
    0=&\,\left.\dt\mathcal A[u+t\phi]\right|_{t=0} =\int\limits_\Omega
    \left.\dt\sqrt{1+|D(u+t\phi)|^2} \right|_{t=0}\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega \frac{\langle
      Du,D\phi\rangle}{\sqrt{1+|Du|^2}} =-\int\limits_\Omega
    \divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right) \phi.
  \end{align*}
  Es gilt $\divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right) \in
  C^0(\Omega)$. Angenommen, dieser Ausdruck w\"are in einem Punkt (und
  damit auch in einer Umgebung) positiv. (Im negativen Fall
  funktioniert es analog.) Dann erhalten
  wir aus der obigen Rechnung einen Widerspruch, wenn wir eine
  Testfunktion $\phi$ w\"ahlen, die in einer hinreichend kleinen
  Umgebung dieses Punktes positiv ist und sonst verschwindet. Die
  Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{definition}\label{g h def}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $g_{ij}$ (Definitionsbereich, Indices, \ldots erkl\"aren)
    hei\ss{}t induzierte Metrik einer Hyperfl\"ache und ist f\"ur den
    Graphen einer Funktion $u:\R^n\to\R$ (oder auch f\"ur eine auf
    einer offenen Teilmenge definierten Funktion)
    durch \[g_{ij}=\delta_{ij} +u_iu_j\] gegeben. ($u_i$ bezeichnet
    hier partielle Ableitungen.) \par (Wir bemerken, dass
    $\int\limits_\Omega\sqrt{\det g_{ij}} =\mathcal A[u]$ gilt.)
  \item $h_{ij}$ hei\ss{}t zweite Fundamentalform einer Hyperfl\"ache
    und ist f\"ur Graphen durch \[h_{ij} =\frac{u_{ij}}
    {\sqrt{1+|Du|^2}}\] gegeben.
  \item Sei $X:\R^n\to\R^{n+1}$ der Einbettungsvektor einer
    Hyperfl\"ache. Dann ist \[g_{ij}=\langle X_i,X_j\rangle.\]
    (Diese Definition gilt auch lokal und in h\"oherer Kodimension.)
  \item Der Laplace-Beltrami Operator bez\"uglich einer Metrik
    $g_{ij}$ ist durch \[\Delta_g f=\frac1{\sqrt{\det g_{ij}}}
      \fracp{}{x^k} \left(\sqrt{\det g_{ij}}g^{kl}\fracp{}{x^l}
        f\right)\] definiert.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur Graphen der Kodimension $1$ stimmen die beiden
    Definitionen der Metrik aus Definition \ref{g h def} \"uberein. 
  \item Metrik und zweite Fundamentalform lassen sich auch
    unabh\"angig von einer speziellen graphischen Darstellung der
    Hyperfl\"ache invariant definieren.
  \item Eine als Graph dargestellte minimale Hyperfl\"ache erf\"ullt 
    \[H\equiv g^{ij}h_{ij}=0.\] Die erste Gleichheit ist dabei eine
    Definition und $g^{ij}$ ist die Inverse zu $g_{ij}$. 
  \item Sei $X:\R^n\to\R^{n+1}$ der Einbettungsvektor einer
    Minimalfl\"ache. Dann ist \[\Delta_gX=0,\] wobei $g_{ij}$ die
    induzierte Metrik ist. \par Dies gilt auch lokal. Allgemein ist
    $\Delta_gX=-H\nu$. 
  \end{enumerate}
  Aus den Rechnungen folgt, dass alle diese Charakterisierungen von
  Hyperfl\"achen \"aquivalent sind, wenn man Hyperfl\"achen lokal als
  Graphen darstellt. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)] 
  \item Ein Einbettungsvektor f\"ur $\graph u$ ist durch $X=(x,u(x))$
    gegeben. Dann ist $X_i=(e_i,u_i)$ und wir
    erhalten \[g_{ij}=\langle X_i,X_j\rangle =\delta_{ij}+u_iu_j.\] 
  \item Die Definition $g_{ij}=\langle X_i,X_j\rangle$ ist
    invariant.\par Die zweite Fundamentalform ist invariant als
    $h_{ij}=-\langle X_{ij},\nu\rangle$ definiert, wobei $\nu$ ein
    Normalenvektor ist. \par F\"ur Graphen wollen wir
    stets \[\nu=\frac{(Du,-1)} {\sqrt{1+|Du|^2}}\] verwenden. \par
    Beachte, dass $\nu$ stets die L\"ange eins hat und senkrecht auf
    den Tangentialvektoren $X_i$
    steht, \[\langle\nu,X_i\rangle=0,\qquad \langle\nu,\nu\rangle=1.\]
    F\"ur Graphen gilt $X_{ij}=(0,u_{ij})$ und daraus erhalten
    wir \[h_{ij}=-\langle X_{ij},\nu\rangle
    =\frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}.\] 
  \item Es gilt $g^{ij}=\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}$. Daraus
    folgt \[H=g^{ij}h_{ij} =\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}} \left(\Delta u
      -\frac{u^iu^ju_{ij}}{1+|Du|^2}\right)
    =\divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)=0.\] 
  \item Wir zeigen: Ist $X$ wie oben und gilt
    $\divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)=0$, so gilt
    $\Delta_gX=0$. \par Es gilt $g_{ij}=\delta_{ij}+u_iu_j$ und daraus
    folgt $\det g_{ij}=1+|Du|^2$ sowie $g^{ij}=\delta^{ij}
    -\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}$. Wir betrachten nun die ersten
    Komponenten und erhalten
    \begin{align*}
      \Delta_gx^i=&\,\frac1{\sqrt{\det g_{ij}}} \fracp{}{x^k}
      \left(\sqrt{\det g_{ij}} g^{kl}\delta^i_l\right)\umbruch\\
      =&\,\frac1{\sqrt{\det g_{ij}}} \fracp{}{x^k}
      \left(\sqrt{1+|Du|^2} \delta^{ki}
        -\frac{u^ku^i}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)\umbruch\\
      =&\,\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}}
      \left(\frac{u^ru_{rk}\delta^{ki}}{\sqrt{1+|Du|^2}} -\frac{\Delta
          uu^i+u^ku_k^i}{\sqrt{1+|Du|^2}}
        +\frac{u^ku^iu^ru_{rk}}{\sqrt{1+|Du|^2}^3} \right)\umbruch\\
      =&\,\frac{-u^i}{1+|Du|^2} \left(\Delta
        u-\frac{u^ku_{kr}u^r}{1+|Du|^2} \right)\umbruch\\
      =&\,\frac{-u^i}{\sqrt{1+|Du|^2}} \divergenz
      \left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right) =0.
    \end{align*}
    F\"ur die letzte Komponente erhalten wir
    \begin{align*}
      \Delta_gu=&\,\frac1{\sqrt{\det g_{ij}}} \fracp{}{x^k}
        \left(\sqrt{\det g_{ij}} g^{kl}\fracp{}{x^l}u\right)\umbruch\\
        =&\,\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}} \fracp{}{x^k}
        \left(\sqrt{1+|Du|^2} \left(u^k -\frac{u^ku^lu_l}{1+|Du|^2}
          \right) \right)\umbruch\\ =&\,\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}}
        \fracp{}{x^k} \left(\frac{u^k}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)=0.
      \end{align*}
  \end{enumerate}
  \vspace{-3ex}
\end{proof}

\begin{remark}
Die Gleichung $\langle\Delta_gX,\nu\rangle=0$ l\"asst sich auch wie
folgt herleiten:\par Sei $X$ der Einbettungsvektor einer
$C^2$-Hyperfl\"ache, die kritischer Punkt f\"ur das
Oberfl\"achenfunktional ist. Betrachte $X+t\phi\nu$, $\phi\in
C^\infty_c$. F\"ur hinreichend kleines $t$ ist dies ebenfalls eine
Einbettung. Daraus folgt
\begin{align*}
  \left.E\dt\mathcal A(X+t\phi\nu)\right|_{t=0}
  =&\,\left.\dt\int\sqrt{\det g_{ij}}\right|_{t=0}\umbruch\\
  =&\,\left.\int\frac12\frac{\det g_{ij}}{\sqrt{\det g_{ij}}}
    g^{ij}\dt g_{ij}\right|_{t=0}\umbruch\\ 
  =&\,\int\sqrt{\det g_{ij}} g^{ij} \left\langle \fracp{}{x^j}X,
    \fracp{}{x^i}(\phi\nu)\right\rangle\umbruch\\
  =&\,-\int\left\langle\fracp{}{x^i} \left(\sqrt{\det g_{ij}}
      g^{ij}\fracp{}{x^j}X\right),\phi\nu\right\rangle \intertext{da
    der Term in der gro\ss{}en Klammer tangential ist}
  =&\,-\int\left\langle \frac1{\sqrt{\det g_{ij}}} \fracp{}{x^i}
    \left(\sqrt{\det g_{ij}} g^{ij}\fracp{}{x^j}X\right),\phi\nu
  \right\rangle \sqrt{\det g_{ij}}\umbruch\\ =&\,-\int\left\langle
    \Delta_gX,\phi\nu\right\rangle \sqrt{\det g_{ij}}
\end{align*}
Die Behauptung folgt. 
\end{remark}

\begin{definition}[Hauptkr\"ummungen]
  Die Eigenwerte von $h_{ij}$ bez\"uglich $g_{ij}$ hei\ss{}en
  Hauptkr\"ummungen. Die Eigenwertgleichung lautet \[\lambda
  g_{ij}\xi^j=h_{ij}\xi^j.\]
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^2$ offen. Dann hei\ss{}t $X:\Omega\to\R^3$ eine
  konforme oder isotherme Parametrisierung eines Fl\"achenst\"uckes,
  falls \[g_{11}=g_{22}\quad \text{und} \quad g_{12}=0\] in $\Omega$
  gelten. 
\end{definition}
\begin{remark}
  In zwei Dimensionen existieren solche Parametrisierungen stets
  lokal. Wir werden dies hier aber nicht behandeln.
\end{remark}

\begin{lemma}
  F\"ur ein konform parametrisiertes Fl\"achenst\"uck mit
  $g_{ij}=\lambda^2\delta_{ij}$ und $\lambda>0$
  gilt \[H=\frac{h_{11}+h_{22}}{\lambda^2}.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $g^{ij}=\frac1{\lambda^2}\delta^{ij}$.
\end{proof}

\begin{lemma}
  F\"ur ein konform parametrisiertes Fl\"achenst\"uck ist der
  Einbettungsvektor $X$ harmonisch, d.\,h.{} es gilt $\Delta X=0$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei wieder $g_{ij}=\lambda^2\delta_{ij}$, wobei $\lambda$ eine
  positive Funktion ist. Es gilt \[0=\Delta_gX =\frac1{\lambda^2}
  \fracp{}{x^k} \left(\lambda^2 \frac{\delta^{kl}}{\lambda^2}
    \fracp{}{x^l} X\right) =\frac1{\lambda^2}\Delta X.\]
\end{proof}

Ab jetzt wollen wir nur noch Fl\"achen im $\R^3$ betrachten.
\begin{remark}[Komplexe Hilfsfunktion]\label{kompl hfkt rem}
  Sei $\Omega\subset\R^2$ offen und der Einbettungsvektor
  $X:\Omega\to\R^3$ parametrisiere ein $C^2$-Fl\"achenst\"uck.\par
  Betrachte $\Omega$ als Teilmenge von $\C$, $z=x+iy$, und definiere
  $F:\Omega\to\C^3$ durch \[F(z)=\fracp Xx-i\fracp Xy =2\fracp{}zX.\] 
  Definiere f\"ur $F=\left(F^1,F^2,F^3\right)$ \[F\cdot
  F=\left(F^1\right)^2 +\left(F^2\right)^2 +\left(F^3\right)^2\] (was
  kein hermitesches Skalarprodukt ist) und \[|F|^2 =\left\langle \fracp
    Xx,\fracp Xx\right\rangle +\left\langle \fracp Xy,\fracp
    Xy\right\rangle =g_{11}+g_{22}.\] Es gilt
  \begin{align}
    F\cdot F=&\,\fracp{X^1}x\fracp{X^1}x -\fracp{X^1}y\fracp{X^1}y
    -2i\fracp{X^1}x\fracp{X^1}y +\left(F^2\right)^2
    +\left(F^3\right)^2\umbruch\nonumber\\ =&\,\left\langle\fracp
      Xx,\fracp Xx\right\rangle -\left\langle\fracp Xy,\fracp
      Xy\right\rangle
    -2i\left\langle\fracp Xx,\fracp Xy\right\rangle 
    \label{FF eq}\umbruch\\
    =&\,g_{11}-g_{22}-2ig_{12}.\nonumber
  \end{align}
  Daher ist die Parametrisierung genau dann isotherm bzw.{} konform,
  wenn $F\cdot F\equiv0$ gilt. 
\end{remark}

\begin{lemma}\label{min analyt lem}
  Sei $X:\Omega\to\R^3$ eine Minimalfl\"ache in isothermen
  Parametern. Dann ist die Abbildung $F$ analytisch, d.\,h.{} es
  gilt \[\fracp F{\bar z}:=\frac12\left(\fracp Fx+i\fracp
    Fy\right)=0.\] Dies bedeutet, dass jede Komponente analytisch ist
  und ist eine andere Art und Weise, die Cauchy-Riemannschen
  Differentialgleichungen aufzuschreiben. Weiterhin gilt $F\cdot
  F=0$. \par Ist umgekehrt $\Omega\subset\R^2$ einfach
  zusammenh\"angend und $F:\Omega\to\C^3$, so dass
  \begin{align*}
    \fracp F{\bar z}=&\,0,\umbruch\\
    F\cdot F\equiv&\, 0\umbruch
    \intertext{und}
    |F|^2>&\,0
  \end{align*}
  in $\Omega$ gelten, so ist durch \[X(z):=\Re\int\limits_{z_0}^z
  F(\zeta)\,d\zeta\] eine Minimalfl\"ache definiert. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt
  \Hinrichtung Aus Bemerkung \ref{kompl hfkt rem} wissen wir, dass
  $F\cdot F\equiv 0$ gilt, da die Parametrisierung konform ist. Es
  ist \[2\fracp F{\bar z} =\left(\fracp{}x+i\fracp{}y\right)
  \left(\fracp Xx-i\fracp Xy\right) =\fracp{^2X}{x^2}+\fracp{^2X}{y^2}
  =\Delta X=0.\]
  \Rueckrichtung Wegen $\fracp F{\bar z}=0$ ist $F$ analytisch. Da
  $\Omega$ einfach zusammenh\"angend ist, ist das Integral
  unabh\"angig vom gew\"ahlten Verbindungsweg und daher
  wohldefiniert. Es gilt
  \begin{align*}
    \fracp Xz=&\,\frac12\left(\fracp Xx-i\fracp Xy\right)\umbruch\\
    =&\,\frac12\left(\fracp{}z\int\limits_{z_0}^zF(\zeta)\,d\zeta
      +\fracp{}z
      \ol{\int\limits_{z_0}^zF(\zeta)\,d\zeta}\right)\umbruch\\
    =&\,\frac12 F(z) +\frac12\ol{\fracp{}{\bar z}\int\limits_{z_0}^z
      F(\zeta)\,d\zeta}. \umbruch \intertext{Beim Vertauschen von
      $\fracp{}z$ und $\ol{\phantom{X}}$ entsteht $\fracp{}{\bar z}$,
      wie man an der Schreibweise mit $\fracp{}x$ und $\fracp{}y$
      sieht.} =&\,\frac12 F(z),
  \end{align*}
  da die Stammfunktion analytisch ist. Somit erhalten wir \[\Delta
  X=4\fracp{}{\bar z}\fracp{}z X=2\fracp{}{\bar z}F=0\] und $X$ ist
  somit harmonisch. \par Es gilt $0<|F|^2=g_{11}+g_{22}$, also ist
  $DX\neq0$. Daher ist $X$ der Einbettungsvektor eines
  Fl\"achenst\"uckes, das wegen $\Delta X=0$ minimal ist. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Ist $X$ harmonisch, so ist $F\cdot F$ analytisch: Wir erhalten
  n\"amlich (unter Verwendung des bilinearen, nicht des sesquilinearen
  Skalarproduktes)
  \begin{align*}
    \fracp{}{\bar z}(F\cdot F) =&\,\fracp{}{\bar z}\left\langle \fracp
      Xx-i\fracp Xy,\fracp Xx-i\fracp Xy\right\rangle\quad\text{(nach
      \eqref{FF eq})}\umbruch\\ =&\,\fracp{}{\bar z}\left\langle
      \fracp Xz,\fracp Xz\right\rangle\umbruch\\ =&\,2\left\langle
      \fracp Xz,\fracp{^2X}{z\partial\bar z}\right\rangle=0.
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{remark}
  Unser Ziel ist wie folgt: Wir wollen (f\"ur eine offene Menge
  $\Omega\subset\C$) eine holomorphe Abbildung \[F:\Omega\to\C^2\] mit
  $F\cdot F\equiv0$ betrachten und daraus
  \"uber \[X(z)=\Re\int\limits_{z_0}^z F(\zeta)\,d\zeta\] eine
  Minimalfl\"ache erhalten. \par Dabei gibt es das folgende Problem:
  Im allgemeinen gilt nicht $|F|^2\neq0$. Dies liefert
  Verzweigungspunkte (branch points). Falls $F\not\equiv0$ ist,
  besitzt $F$ auf einem zusammenh\"angenden Gebiet aber nur isolierte
  Nullstellen. 
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\C$ ein zusammenh\"angendes Gebiet. Ist eine
  nichtkonstante Abbildung $X\in C^2\left(\Omega,\R^3\right)$
  harmonisch und konform, d.\,h.{} gilt
  \begin{itemize}
  \item $\Delta X=0$,
  \item $\left\langle\fracp Xx,\fracp Xx\right\rangle
    =\left\langle\fracp Xy,\fracp Xy\right\rangle$,
    $\left\langle\fracp Xx,\fracp Xy\right\rangle=0$, 
  \end{itemize}
  so parametrisiert $X$ eine (m\"oglicherweise verzweigte)
  Minimalfl\"ache. 
\end{definition}

\begin{theorem}\label{min F hg thm}
  Sei $\Omega\subset\C$ ein einfach zusammenh\"angendes Gebiet. Sei
  $F:\Omega\to\C^3$ analytisch und erf\"ulle \[F\cdot F\equiv0.\]
  (Dies sichert die Konformit\"at und wir k\"onnen daraus eine
  (m\"oglicherweise verzweigte) Minimalfl\"ache erhalten.) Ist
  $F^1\equiv iF^2$ und damit $F^3\equiv0$, so ist die
  durch \[X(z)=\Re\int\limits_{z_0}^z F(\zeta)\,d\zeta\] definierte
  Minimalfl\"ache Teil einer Ebene. (Dies folgt bereits aus
  $F^3\equiv0$.)\par Sonst gibt es eine analytische Funktion $h$ und
  eine meromorphe Funktion $g$ auf $\Omega$, so dass in den Punkten,
  in denen $g$ einen Pol der Ordnung $m$ besitzt, $h$ eine Nullstelle
  der Ordnung $\ge2m$ hat und 
  \begin{equation}\label{intro h g}
    \begin{split}
      F^1=&\,\frac12h(1-g^2),\\
      F^2=&\,\frac i2h(1+g^2),\\
      F^3=&\,hg
    \end{split}
  \end{equation}
  gilt. \par Seien umgekehrt $h$ und $g$ wie oben. Definiere $F$ durch
  \eqref{intro h g}. Dann ist $F$ analytisch und es gilt $F\cdot
  F\equiv0$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt
  \Hinrichtung Definiere $h:=F^1-iF^2$, $g:=\frac{F^3}{F^1-iF^2}$. $h$
  ist analytisch, $g$ ist meromorph. Es gilt
  \begin{align*}
    \left(F^1-iF^2\right)\left(F^1+iF^2\right) =&\,\left(F^1\right)^2
    +\left(F^2\right)^2=-\left(F^3\right)^2,\umbruch\\ -hg^2
    =&\,-\left(F^1-iF^2\right)
    \frac{\left(F^3\right)^2}{\left(F^1-iF^2\right)^2}
    =\frac{\left(F^1\right)^2 +\left(F^2\right)^2}
    {F^1-iF^2}\umbruch\\ =&\,\frac{\left(F^1+iF^2\right)
      \left(F^1-iF^2\right)} {F^1-iF^2} =F^1+iF^2,\umbruch\\
    F^3=&\,gh,\quad\text{klar nach Definition von $g$ und
      $h$,}\umbruch\\ \frac12h(1-g^2)=&\,\frac12 h-\frac12 hg^2
      =\frac12\left(F^1-iF^2\right) +\frac12\left(F^1+iF^2\right)
      =F^1,\umbruch\\ \frac i2h(1+g^2) =&\,\frac i2 h+\frac i2 hg^2
      =\frac i2\left(F^1-iF^2\right) -\frac i2\left(F^1+iF^2\right)\\
      =&\,\frac12\left(iF^1+F^2-iF^1+F^2\right)=F^2. 
  \end{align*}
  Die Bedingung an die Nullstellen und Polstellen ist n\"otig um
  sicherzustellen, dass $F$ analytisch ist. \par
  \Rueckrichtung Sei $F$ wie oben definiert. Zeige, dass $F\cdot F=0$
  ist. Es gilt
  \begin{align*}
    F\cdot F=&\,\left(F^1\right)^2+\left(F^2\right)^2
    +\left(F^2\right)^2\umbruch\\
    =&\,\frac14h^2(1-g^2)^2-\frac14h^2(1+g^2)^2+h^2g^2\umbruch\\
    =&\,\frac14h^2\left(-2g^2+g^4-2g^2-g^4+4g^2\right)=0.
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{konf param ex thm}
  Jeder Punkt einer Minimalfl\"ache besitzt eine Umgebung, in der
  konforme Parameter existieren.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies ist ein l\"angerer Beweis (4 Seiten), siehe
  \cite[Kapitel 4.5, Satz 4.6]{JostMinimalflaechen}.
\end{proof}

Zu Theorem \ref{min F hg thm} erhalten wir
\begin{corollary}
  Jede in isothermen Parametern dargestellte einfach
  zu\-sam\-men\-h\"an\-gen\-de Minimalfl\"ache im $\R^3$ (also nach
  Theorem \ref{konf param ex thm} lokal jede Minimalfl\"ache im
  $\R^3$) l\"asst sich als
  \begin{align*}
    X^1(z)=&\,\Re\int\limits_{z_0}^z\frac12h(\xi)(1-g^2(\xi))\,d\xi
    +c_1,\umbruch\\ X^2(z)=&\,\Re\int\limits_{z_0}^z\frac i2h(\xi)
    (1+g^2(\xi))\,d\xi+c_2,\umbruch\\ X^3(z)=&\,\Re\int\limits_{z_0}^z
    h(\xi)g(\xi)\,d\xi+c_3 
  \end{align*}
  darstellen, falls sie nicht $F^3\equiv$ konstant beziehungsweise
  $X^3\equiv$ konstant erf\"ullt. (Im ausgeschlossenen Fall liefert
  $g=0$, $h=2$ gegebenenfalls eine andere Parametrisierung.)
  Hierbei sind $h$ und $g$ wie in Theorem \ref{min F hg thm}, $c_i$
  sind Konstanten und $z_0$ ist im Parameterbereich beliebig. \par $X$
  ist genau dann regul\"ar (= nicht verzweigt, = die Ableitung
  verschwindet nirgends; definiert also \"uberall ein
  Fl\"achenst\"uck), wenn $h$ nur in den Polstellen von $g$
  verschwindet und in einer Polstelle von $g$ der Ordnung $m$ die
  Funktion $h$ eine Nullstelle mit Ordnung genau gleich $2m$ hat. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X:\Omega\to\R^3$ eine Minimalfl\"ache in konformen
  Parametern. Definiere \[F(z):=\fracp Xx-i\fracp Xy.\] Es gilt
  \begin{align*}
    F=&\,2\fracp Xz,\umbruch\\ \tilde X=&\,\Re\int\limits_{z_0}^z
    F(\zeta)\,d\zeta =\Re\int\limits_{z_0}^z2\fracp Xz
    =2\Re\{X(z)-X(z_0)\}\umbruch\\ =&\,2(X(z)-X(z_0)).
  \end{align*}
  Die Darstellungsformel folgt nun aus Lemma \ref{min analyt lem} und
  Theorem \ref{min F hg thm}. Die $c_i$'s errechnen sich aus
  $X(z_0)$. Den Faktor $2$ baut man als $\frac12$ in $h$ ein. Beachte
  dazu, dass eine skalierte Minimalfl\"ache wegen $\Delta X=0$ wieder
  eine Minimalfl\"ache ist. Nach Bemerkung \ref{kompl hfkt rem} ist
  die Fl\"ache genau dort nicht regul\"ar, wo $|F(z)|^2=0$ gilt. Wegen
  $X=\Re\int\limits_{z_0}^zF$ folgt
  \begin{align*}
    4|F|^2=&\, 4\left\langle\fracp Xz,\fracp X{\bar z}\right\rangle
  =4\fracp{X^1}z\fracp{X^1}{\bar z} +4\fracp{X^2}z\fracp{X^2}{\bar z}
  +4\fracp{X^3}z\fracp{X^3}{\bar z}\umbruch\\ =&\,F^1\cdot\ol{F^1}
  +F^2\cdot\ol{F^2} +F^3\cdot\ol{F^3}\umbruch\\ =&\,\frac14|h|^2
  \left(1-g^2 -\bar g^2+|g|^4+1+g^2+\bar g^2+|g|^4
    +4|g|^2\right)\umbruch\\
  =&\,\frac14|h|^2\left(2+4|g|^2+2|g|^4\right)\umbruch\\
  =&\,\frac12|h|^2\left(1+|g|^2\right)^2. 
  \end{align*}
  Dies verschwindet genau dann, wenn $h$ eine Nullstelle g\"o\ss{}erer
  Ordnung als die doppelte Ordnung des Poles ($=0$, falls kein Pol
  vorliegt) von $g$ im entsprechenden Punkte hat. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Hier werden wir sehen, wie man darauf kommen kann, solch eine
  Funktion $g$ zu betrachten.\par Es gilt
  \begin{align*}
    \fracp Xx=&\,\Re\fracp{}x\int\limits_{z_0}^zF(\zeta)\,d\zeta =\Re
    F(z),\umbruch\\ \fracp Xy=&\,\Re\fracp{}y \int\limits_{z_0}^z
    F(\zeta) \,d\zeta =\Re(F(z)\cdot i) =-\Im F(z).
  \end{align*}
  Bestimme einen Normalenvektor an die Fl\"ache:
  \begin{align*}
    \begin{pmatrix}
      \Re F^1\\ \Re F^2\\ \Re F^3
    \end{pmatrix}
    \times
    \begin{pmatrix}
      -\Im F^1\\ -\Im F^2\\ -\Im F^3
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \begin{pmatrix}
      -\Re F^2\Im F^3+\Re F^3\Im F^2\\ 
      -\Re F^3\Im F^1+\Re F^1\Im F^3\\
      -\Re F^1\Im F^2+\Re F^2\Im F^1
    \end{pmatrix}
    \umbruch\\
    =&\,\Im\left(F^2\ol{F^3},F^3\ol{F^1},F^1\ol{F^2}\right),
    \end{align*}
    \begin{align*}
      \Im\left(F^2\ol{F^3}\right) =&\,\Im\left(\frac i2|h|^2\bar
        g(1+g^2)\right) =\frac12|h|^2\Re(\bar g(1+g^2))\umbruch\\
      =&\,\frac14|h|^2\left(\bar g+g|g|^2+g+\bar g|g|^2\right)
      =\frac14|h|^2(g+\bar g)\left(1+|g|^2\right)\umbruch\\
      =&\,\frac12|h|^2\Re g\left(1+|g|^2\right),\umbruch\\
      \Im\left(F^3\ol{F^1}\right)
      =&\,\Im\left(\frac12|h|^2g\left(1-\bar g^2\right)\right)
      =\frac1{4i}|h|^2\left(g-\bar g|g|^2-\bar
        g+g|g|^2\right)\umbruch\\
      =&\,\frac12|h|^2\left(1+|g|^2\right)\Im g,\umbruch\\
      \Im\left(F^1\ol{F^2}\right)=&\,\Im\left(-\frac
        i4|h|^2(1-g^2)\left(1+\bar g^2\right)\right)
      =-\frac14|h|^2\Re\left(1-g^2+\bar g^2-|g|^4\right)\umbruch\\
      =&\,-\frac14|h|^2\left(1-|g|^4\right)
      =-\frac14|h|^2\left(1-|g|^2\right)\left(1+|g|^2\right).
  \end{align*}
  Damit ist der Normalenvektor, auf L\"ange $1$ normiert, durch
  \[\left(\frac{2\Re g}{1+|g|^2}, \frac{2\Im g}{1+|g|^2},
    \frac{|g|^2-1}{1+|g|^2}\right)\] gegeben. Dies l\"asst sich auch
  in Punkten hinschreiben, in denen die Parametrisierung nicht
  regul\"ar ist. An dieser Formel sehen wir, dass $g$ und $\nu$ \"uber
  die stereographische Projektion (mit Sph\"arenmittelpunkt im
  Ursprung) zusammenh\"angen.
\end{remark}

\begin{example}[Ennepersche Minimalfl\"ache]
  Sei $h(z)=2$, $g(z)=z$. Dann erhalten wir \[F^1=1-z^2,\quad
  F^2=i(1+z^2),\quad F^3=2z.\] Es folgt
  \begin{align*}
    X^1=&\,\Re\int\limits_0^z\left(1-\zeta^2\right)\,d\zeta
    =\Re\left(z-\frac13z^3\right) =x-\frac13\left(x^3-3xy^2\right)
    =x-\frac13x^3+xy^2,\umbruch\\
    X^2=&\,\Re\int\limits_0^zi\left(1+\zeta^2\right)\,d\zeta
    =\Im\left(z+\frac13z^3\right) =y+\frac13(3yx^2-y^3)
    =y+yx^2-\frac13y^3,\umbruch\\
    X^3=&\,\Re\int\limits_0^z2\zeta\,d\zeta =\Re 2\frac12z^2
    =x^2-y^2. 
  \end{align*}
\end{example}
} % lang/Minimalfl\"achen

\lang{
\begin{appendix}
  \section{Allgemeiner Cauchyscher Integralsatz -- Rechteckversion}
  In diesem Kapitel werden wir eine alternative Herangehensweise an
  den Cauchyschen Integralsatz kennenlernen.

  \begin{definition}
    Ein Gebiet $D$ hei\ss{}t einfach zusammenh\"angend, falls \glqq
    das $\epsilon$-Kom\-ple\-ment in $\epsilon$-Abstand mit $\infty$
    verbunden ist\grqq, d.\,h., falls f\"ur alle $z_0\in\complement D$
    und f\"ur alle $\epsilon>0$ eine stetige Kurve $\gamma(t)$, $0\le
    t<\infty$, existiert, so dass
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item\label{ezush i} $d(\gamma(t),\complement D)<\epsilon$ f\"ur
      alle $t\ge0$,
    \item\label{ezush ii} $\gamma(0)=z_0$,
    \item\label{ezush iii} $\lim\limits_{t\to\infty}\gamma(t)=\infty$.
    \end{enumerate}
    Eine Kurve wie in \eqref{ezush ii} und \eqref{ezush iii} verbindet
    $z_0$ mit $\infty$.
  \end{definition}

  \begin{definition}
    Sei $\Gamma$ ein polygonaler Weg (= ein Weg, der aus einer
    endlichen Folge von horizontalen und vertikalen Strecken
    besteht). Die Anzahl der Ebenen ist als die Anzahl der
    verschiedenen Werte $y_0$ definiert, f\"ur die die Gerade $\Im
    z=z_0$ eine horizontale Strecke von $\Gamma$ enth\"alt.
  \end{definition}

  Im folgenden Lemma passiert die nichttriviale Arbeit des Kapitels.
  \begin{lemma}\label{rechtecke enthalten lem}
    Sei $\Gamma$ ein einfach geschlossener polygonaler Weg in einem
    einfach zusammenh\"angenden Gebiet $D$. Bestehe die oberste Ebene
    von $\Gamma$ aus den Punkten $\{(x,y):y=y_1,\,x\in X_1\}$ und ist
    die n\"achste Ebene durch $\{(x,y):y=y_2,\,x\in X_2\}$
    gegeben. Dann ist die Menge \[R:=\{z=x+iy:y_2\le y\le y_1,\,x\in
    X_1\}\] in $D$ enthalten.
  \end{lemma}
  \begin{proof}[Beweis]
    $R$ ist disjunkte Vereinigung abgeschlossener Rechtecke
    $R_i$. \par
    \textbf{Behauptung:} F\"ur jedes $z_0\in R$ und jede Kurve
    $\gamma$, die $z_0$ mit $\infty$ verbindet, gilt $\gamma\cap
    \Gamma\neq\emptyset$. \par Falls dies gezeigt ist, folgt das Lemma
    wie folgt: $\complement D$ ist abgeschlossen, $\Gamma$ ist
    kompakt. Da $\Gamma$ in $D$ enthalten ist, folgt
    $\dist(\Gamma,\complement D)=\delta>0$. Daher hat eine Kurve
    $\gamma$, die $z_0$ mit Unendlich verbindet, nicht immer einen
    Abstand kleiner als $\frac\delta2$ zu $\complement D$.  Dies
    wenden wir nun insbesondere auf Kurven aus der Definition einer
    einfach zusammenh\"angenden Menge an. Es folgt $z_0\in D$.\par Zur
    Behauptung $\gamma\cap\Gamma\neq\emptyset$:\par
    Wir f\"uhren den Beweis per Induktion nach der Anzahl der
    Ebenen: \par
    2 Ebenen: $\Gamma$ ist der Rand eines einzelnen Rechtecks. In
    diesem Falle ist die Behauptung klar. (Betrachte den ersten Punkt
    auf der Kurve $\gamma$, f\"ur den der Realteil mit dem Realteil
    einer der vertikalen Strecken oder der Imagin\"arteil mit dem
    Imagin\"arteil einer der horizontalen Strecken \"ubereinstimmt. So
    ein Punkt existiert, da sonst die Kurve $\gamma$ nicht nach
    unendlich f\"uhren k\"onnte. Er liegt auf $\Gamma$.)\par Sonst:
    Betrachte $L:=\{x+iy:y=y_2,\,x\in X_1\setminus X_2\}$. Da $z_0$ in
    einem der Rechtecke, ohne Einschr\"ankung $R_1$, von $R$ enthalten
    ist, muss $\gamma$ den Rand von $R_1$ treffen. Falls $\gamma$
    nicht $R\cap\Gamma$ trifft, trifft $\gamma$ zumindest $L$. Nehme
    dies an. Definiere $t_0:=\sup\left\{t:\gamma(t)\in R\right\}$. Wir
    erhalten $\gamma(t_0)\in\partial R$ und daher $\gamma(t_0)\in
    L$. F\"ur kleine $h>0$ liegt $\gamma(t_0+h)$ zwischen den beiden
    obersten Ebenen einer einfach geschlossenen Kurve $\Gamma'$, die
    eine Zusammenhangskomponente von $\left(\Gamma\cap\complement
      R\right)\cup\ol L$ ist. Die Kurve $\Gamma'$ hat mindestens eine
    Ebene weniger als $\Gamma$. Nach Induktionsannahme folgt
    $\gamma(t)\in\Gamma'$ f\"ur ein $t>t_0+h$. Da $\gamma(t)\not\in R$
    f\"ur $t>t_0$ ist und da $L\subset R$ ist, gilt
    $\gamma(t)\in\Gamma$.
  \end{proof}

  \begin{theorem}\label{einf zshg thm alt}
    Sei $f$ in einem einfach zusammenh\"angenden Gebiet $D$ analytisch
    und $\Gamma$ ein einfach geschlossener polygonaler Weg in
    $D$. Dann gilt $\int\limits_\Gamma f=0$.
  \end{theorem}
  \begin{proof}[Beweis]
    Wir f\"uhren den Beweis per Induktion \"uber die Anzahl der Ebenen
    von $\Gamma$. \par Seien $L$, $R$, $\Gamma'$ wie im Beweis von
    Lemma \ref{rechtecke enthalten lem}. Dann gilt (wobei wir \"uber
    alle Zusammenhangskomponenten $\Gamma'$
    summieren) \[\int\limits_\Gamma f =\int\limits_{\partial\tilde R}f
    +\sum\int\limits_{\Gamma'}f,\] da $L$ in entgegengesetzte
    Richtungen durchlaufen wird. $\partial R$ besteht aus den
    R\"andern von Rechtecken. $f$ ist in diesen Rechtecken analytisch,
    da diese nach Lemma \ref{rechtecke enthalten lem} in $D$ enthalten
    sind. Aufgrund des Rechteckstheorems, Theorem \ref{rechteck thm},
    gilt daher $\int\limits_{\partial R}f=0$. $\Gamma'$ hat nun aber
    (mindestens) eine Ebene weniger als $\Gamma$. Nach
    Induktionsvoraussetzung folgt also $\int\limits_{\Gamma'}f=0$ und
    damit $\int\limits_\Gamma f=0$.
  \end{proof}

  \begin{remark}
    Da sich jeder polygonale Weg in endlich viele einfach geschlossene
    polygonale Wege und zweimal in entgegengesetzte Richtung
    durchlaufene Strecken zerlegen l\"asst, gilt Theorem \ref{einf
      zshg thm alt} auch f\"ur geschlossene polygonale Wege in $D$.
  \end{remark}

  \begin{theorem}\label{Cauchy stamm thm alt}
    Sei $f$ in einem einfach zusammenh\"angenden Gebiet $D$
    analytisch. Dann existiert eine in $D$ analytische Funktion $F$
    (\glqq Stammfunktion\grqq), so dass $F'=f$ gilt.
  \end{theorem}
  \begin{proof}[Beweis]
    W\"ahle $z_0\in D$ und
    definiere \[F(z)=\int\limits_{z_0}^zf(\zeta)\,d\zeta.\] Dabei ist
    der Integrationsweg ein beliebiger polygonaler Weg in $D$. Das
    Integral ist wohldefiniert, denn seien $\Gamma_1$ und $\Gamma_2$
    zwei solche polygonale Wege. Dann ist $\Gamma:=\Gamma_1-\Gamma_2$
    (\glqq erst $\Gamma_1$, dann $\Gamma_2$ in umgekehrter
    Richtung\grqq) ein geschlossener polygonaler Weg. Nach Theorem
    \ref{einf zshg thm alt} gilt $\int\limits_\Gamma f=0$ und daher
    $\int\limits_{\Gamma_1}f=\int\limits_{\Gamma_2}f$.  Vergleiche
    dazu auch das Integraltheorem, Theorem \ref{integral thm}, und
    Theorem \ref{stammfkt ex lok}.
    \par
    $F'=f$: Betrachte \[\frac{F(z+h)-F(z)}h
    =\frac1h\int\limits_z^{z+h}f(\zeta)\,d\zeta,\] wobei wir (f\"ur
    kleine $|h|$) zwischen $z$ und $z+h$ ohne Einschr\"ankung einen
    Integrationsweg beim Beweis des Integraltheorems verwenden
    d\"urfen. Wie dort folgt auch hier $F'(z)=f(z)$.
  \end{proof}

  \begin{theorem}[Allgemeiner Cauchyscher Integralsatz]\label{Cauchy
      thm alt}
    Sei $f$ in einem einfach zu\-sam\-men\-h\"an\-gen\-den Gebiet $D$
    analytisch und sei $C$ eine geschlossene Kurve in $D$. Dann
    gilt \[\int\limits_Cf=0.\]
  \end{theorem}
  \begin{proof}[Beweis]
    Wir benutzen \"ubliche Notation und Theorem \ref{Cauchy stamm thm
      alt} und erhalten \[\int\limits_Cf =\int\limits_CF'(z)\,dz
    =F(z(b))-F(z(a))=0,\] da die Kurve geschlossen ist.
  \end{proof}
\end{appendix}
} % lang/Cauchyscher Integralsatz, Rechteckversion. 

\bibliographystyle{amsplain} 
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{BakNewman}
Joseph Bak and Donald~J. Newman, \emph{Complex analysis}, second ed.,
  Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1997.

\bibitem{Conway}
John~B. Conway, \emph{Functions of one complex variable}, second ed., Graduate
  Texts in Mathematics, vol.~11, Springer-Verlag, New York, 1978.

\bibitem{FischerLieb}
Wolfgang Fischer and Ingo Lieb, \emph{Funktionentheorie}, Vieweg Studium:
  Aufbaukurs Mathematik, vol.~47, Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig, 1980,
  Aufbaukurs Mathematik.

\bibitem{FreitagBusam}
Eberhard Freitag and Rolf Busam, \emph{Funktionentheorie}, Springer-Lehrbuch.,
  Springer-Verlag, Berlin, 1993.

\lang{
\bibitem{JostMinimalflaechen}
J{\"u}rgen Jost, \emph{Differentialgeometrie und {M}inimalfl\"achen},
  Springer-Lehrbuch, Springer-Verlag, Berlin, 1994.
}

\bibitem{Rudin}
Walter Rudin, \emph{Real and complex analysis}, McGraw-Hill Book
  Co., New York, 1987.

\bibitem{VaethFA}
Martin V\"ath, \emph{{Einf\"uhrung in die Funktionentheorie I}},
  2004, Lecture Notes, Freie Universit\"at Berlin.

\end{thebibliography}

\end{document}
