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\begin{document}
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\hyphenation{ste-reo-gra-phisch ste-reo-gra-phi-schen}

O. Schn"urer, J. Ehrt \hfill Sommersemester 2005
\bigskip
\medskip\par
\begin{center}
{\large\textsc{ \"Ubungen zur Funktionentheorie}}\\
\medskip
{Blatt 1}
\end{center}


\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 1:}} \\[+1ex]
Zeige, dass die Menge der reellen $2\times2$-Matrizen der Form 
\begin{displaymath}
A=\left(
\begin{array}{cc}  
a & -b\\
b & a
\end{array}
\right)
\end{displaymath}
 bezüglich der komponentenweisen Addition und der Matrixmultiplikation einen
 Körper bilden. Beweise die Isomorphie aus Definition 1.3.

\bigskip\bigskip\bigskip


\underline{{\bf Aufgabe 2:}}\\[+1ex]
Wir betrachten die in der Vorlesung eingef"uhrte stereographische Projektion 
\[\mathcal{P}:\C\longrightarrow\partial 
B_{\frac{1}{2}}\left(\left(0,0,\frac{1}{2}\right)\right).\] 

\begin{itemize}
\item[ a)]
Zeige, dass das Bild eines Kreises
in der komplexen Zahlenebene unter der stereographischen Projektion wieder ein
Kreis ist.
\item[ b)]
Zeige, dass das Bild einer Geraden in der komplexen Zahlenebene unter der
stereographischen Projektion ein Kreis auf der Kugel ist, dem der Pol $(0,0,1)$
fehlt (dem Kreis fehlt also genau ein Punkt, dieser ist immer der Pol der Kugel
$(0,0,1)$). 
\item[ c)]
Zeige, dass das Urbild eines Kreises unter der stereographischen
Projektion ein Kreis oder eine Gerade ist. Eine Gerade erh\"alt man
genau dann, wenn der Kreis in der Zahlenkugel $\partial B_{1/2}
((0,\,0,\,1/2))$ durch den Nordpol $(0,\,0,\,1)$ verl\"auft. 
\end{itemize}
\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 3:}} \\[+1ex]
Sie $P:\C\longrightarrow\C$ ein komplexes Polynom. Zeige, dass gilt:
\[ P(x,y)\:\: \textrm{ist analytisch} \Longleftrightarrow \:P(x+iy,0)=P(x,y).\]

\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 4:}} \\[+2ex] 
a) Sei $P:\C\longrightarrow\C$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei 
$z\in\C$ eine Nullstelle von $P$. Zeige, dass dann $\bar{z}$ auch eine Nullstelle
von $P$ ist.\\[1ex]
b) Bestimme die Nullstellen der Polynome $f(z)=z^4+1$ sowie
$g(z)=z^3-i$.


\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

{\bf Abgabe:} Bis Di., 26.04.2005, 14.00 Uhr, in das
Tutorenfach oder in der Vorlesung.
\end{document}
