O. Schnürer, J. Ehrt Sommersemester 2005

Übungen zur Funktionentheorie

Blatt 2

\underline{Aufgabe 5:}

a) Zeige, dass f(z) = f(x, y) = e^{x}(cos y + i sin y) folgende Relationen erfüllt:

(i) f(z_{1} + z_{2}) = f(z_{1}) · f(z_{2}), z_{1}, z_{2} ∈ ℂ, (ii) f(x) = e^{x}, x ∈ ℝ.

b) Beweise folgende Aussagen:

(i) |e^{z}| = e^{x} mit z = x + iy ∈ ℂ (ii) e^{z} ≠ 0 (iii) Für α ≠ 0 hat die Gleichung e^{z} = α genau abzählbar viele Lösungen. (iv) (e^{z})′ = (e^{z})_{x} = e^{z}.

c) Zeige, dass | sin z| < 1 im Allgemeinen falsch ist.

d) Wir definieren die komplexe Tangensfunktion als tan z = \frac{sin z}{cos z}. Zeige, dass diese eine ungerade, π−periodische Funktion ist. (Hinweis: Drücke den Tangens durch e^{2iz} aus.) \underline{Aufgabe 6:} Entwickle die komplexe Funktion f(z) = \frac{1}{z^{2}+1} um den Punkt z = 0 als Potenzreihe und bestimme deren Konvergenzradius. \underline{Aufgabe 7:} Sei f : ℂ ⟶ ℂ definiert durch

f(z) = f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy(x+iy)}{x^{2}+y^{2}} & z ≠ 0 \\ 0 & z = 0 \end{matrix} .

Zeige, dass die partiellen Ableitungen von f im Punkt z = 0 die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen, dass f in z = 0 jedoch nicht komplex differenzierbar ist. \underline{Aufgabe 8:} Sei k ∈ ℤ, k ≠ −1, und C eine Kurve um den Ursprung, gegeben durch C : z = Re^{iθ}, 0 ≤ θ ≤ 2π. Zeige, dass dann ∫_{C} z^{k} dz = 0 gilt, indem Du

a) eine Stammfunktion benutzt,

b) das Integral direkt unter Verwendung der Parametrisierung der Kurve C ausrechnest. Berechne nochmals

∫_{C} \frac{1}{z} dz.

Abgabe: Bis Di., 3.05.2005, 14.00 Uhr, in das Tutorenfach oder in der Vorlesung.