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\begin{document}
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O. Schn"urer, J. Ehrt \hfill Sommersemester 2005
\bigskip
\medskip\par
\begin{center}
{\large\textsc{ \"Ubungen zur Funktionentheorie}}\\
\medskip
{Blatt 2}
\end{center}


\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 5:}} \\[+1ex]
a) Zeige, dass $f(z)=f(x,\,y)=e^x(\cos y+i\sin y)$ folgende Relationen
erf\"ullt:
\begin{itemize}
\item[(i)] $f(z_1+z_2)=f(z_1)\cdot f(z_2)$, $z_1,\,z_2\in\C$,
\item[(ii)] $f(x)=e^x$, $x\in\R$.
\end{itemize}
b) Beweise folgende Aussagen:
\begin{itemize}
\item[(i)] $|e^z|=e^x$ mit $z=x+iy \in \C$
\item[(ii)] $e^z \neq 0$
\item[(iii)]F"ur $\alpha\neq 0$ hat die Gleichung $e^z=\alpha$ genau abz"ahlbar viele
L"osungen.
\item[(iv)] $(e^z)'=(e^z)_x=e^z$.
\end{itemize}
c) Zeige, dass $|\sin z|<1$ im Allgemeinen falsch ist. \\
d) Wir definieren die komplexe Tangensfunktion als $\tan z=\frac{\sin z}{\cos
z}$.\\
Zeige, dass diese eine ungerade, $\pi-$periodische Funktion ist.\\ 
(Hinweis: Dr"ucke den Tangens durch $e^{2iz}$ aus.)
\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 6:}}\\[+1ex]
Entwickle die komplexe Funktion $f(z)=\frac{1}{z^2+1}$ um den Punkt $z=0$ als
Potenzreihe und bestimme deren Konvergenzradius.

\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 7:}} \\[+1ex]
Sei $f:\C\longrightarrow\C$ definiert durch
\[f(z)=f(x,y)=\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy(x+iy)}{x^2+y^2} & z\neq0\\
0 & z=0
\end{array} \right. .
\qquad\qquad\]
Zeige, dass die partiellen Ableitungen von f im Punkt $z=0$ die
Cauchy-Riemannschen Differen\-tial\-glei\-chun\-gen 
erfüllen, dass f in $z=0$ jedoch
nicht komplex differenzierbar ist.
\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 8:}} \\[+1ex] 
Sei $k\in\Z$, $k\neq -1$, und $C$ eine Kurve um den Ursprung, gegeben durch
$C:z=Re^{i\theta},0\leq\theta\leq2\pi$. 
Zeige, dass dann $\int_C z^k\, {\rm d}z=0$ gilt, indem Du
\begin{itemize}
\item[a)] eine Stammfunktion benutzt,
\item[b)] das Integral direkt unter Verwendung der Parametrisierung der Kurve
$C$ ausrechnest.
\end{itemize} 
Berechne nochmals 
$$\int\limits_C\frac1z\,{\rm d}z.$$
\bigskip

{\bf Abgabe:} Bis Di., 3.05.2005, 14.00 Uhr, in das
Tutorenfach oder in der Vorlesung.
\end{document}
