O. Schnürer, J. Ehrt Sommersemester 2005

Übungen zur Funktionentheorie

Blatt 3

\underline{Aufgabe 9:}

Zeige: Eine komplex differenzierbare Funktion f : ℂ ⟶ ℂ, die nur reelle (oder nur rein imaginäre) Werte animmt, ist konstant.

\underline{Aufgabe 10:}

Sei f eine ganze Funktion und C ein Kreis um den Ursprung. Zeige zuerst, dass für jedes k ∈ ℕ gilt:

f^{(k)}(0) = \frac{k!}{2πi} ∫_{C} \frac{f(w)}{w^{k+1}} dw .

Zeige dann hiermit den Satz von Liouville.

\underline{Aufgabe 11:}

Verwende die vorherige Aufgabe um folgendes zu zeigen:

a) Sei f eine ganze Funktion und auf |z| = R durch M beschränkt (es gelte also |f(z)| ≤ M ∀z ∈ ℂ mit |z| = R). Zeige, dass dann die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von f um den Ursprung beschränkt sind durch

|C_{k}| ≤ \frac{M}{R^{k}} .

b) Sei g ein analytisches Polynom, das auf der Einheitskreisscheibe durch eins beschränkt ist. Zeige, dass dann die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von g auch durch eins beschränkt sind.

\underline{Aufgabe 12:}

Beweise: Für alle z_{1}, z_{2} ∈ ℂ gilt

• e^{z_{1}}e^{z_{2}} = e^{z_{1}+z_{2}},

• sin^{2} z + cos^{2} z = 1,

• cos(2z) = cos^{2} z − sin^{2} z,

• sin(2z) = 2 sin z cos z.

Abgabe: Bis Di., 10.05.2005, 14.00 Uhr in das Tutorenfach oder in der Vorlesung.