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\begin{document}
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\newcommand{\ee}{\end{equation}}
\newcommand{\s}{\sum_{n=1}^\infty}
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}

O. Schn"urer, J. Ehrt \hfill Sommersemester 2005
\bigskip
\medskip\par
\begin{center}
{\large\textsc{ \"Ubungen zur Funktionentheorie}}\\
\medskip
{Blatt 3}
\end{center}


\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 9:}} \\[+1ex]
Zeige:\\
Eine komplex differenzierbare Funktion $f:\C\longrightarrow\C$, die nur reelle
(oder nur rein imagin"are) Werte animmt, ist konstant. 

\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 10:}}\\[+1ex]
Sei $f$ eine ganze Funktion und C ein Kreis um den Ursprung. Zeige zuerst, dass
f"ur jedes $k\in \N$ gilt:
\[f^{(k)}(0)=\frac{k!}{2\pi i}\int_C \frac{f(w)}{w^{k+1}}{\rm d}w\:.\]
Zeige dann hiermit den Satz von Liouville.

\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 11:}} \\[+1ex]
Verwende die vorherige Aufgabe um folgendes zu zeigen:
\begin{itemize}
\item[a)]Sei $f$ eine ganze Funktion und auf $|z|=R$ durch $M$ beschr"ankt (es
gelte also $|f(z)|\le M\, \forall z\in\C$ mit $|z|=R$). Zeige,
dass dann die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f$ um den Ursprung
beschr"ankt sind durch
\[|C_k|\leq\frac{M}{R^k}.\]
\item[b)] Sei $g$ ein analytisches Polynom, das auf der Einheitskreisscheibe durch
eins beschr"ankt ist. Zeige, dass dann die Koeffizienten der 
Potenzreihenentwicklung von $g$ auch durch eins beschr"ankt sind.
\end{itemize}

\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 12:}} \\[+1ex] 
Beweise: F"ur alle $z_1,z_2\in \C$ gilt
\begin{itemize}
\item $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$,
\item $\sin^2z+\cos^2z=1$,
\item $\cos(2z)=\cos^2z-\sin^2z$,
\item $\sin(2z)=2\sin z\cos z$.
\end{itemize}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

{\bf Abgabe:} Bis Di., 10.05.2005, 14.00 Uhr in das
Tutorenfach oder in der Vorlesung.
\end{document}
