O. Schnürer, J. Ehrt Sommersemester 2005

Übungen zur Funktionentheorie

Blatt 4

\underline{Aufgabe 13:} Seien a, b ∈ ℝ^{+} und α, β : [0, 1] ⟶ ℂ gegeben durch

α(t) = a cos(2πt) + ia sin(2πt),
β(t) = a cos(2πt) + ib sin(2πt).

a) Zeige:

∫_{α} \frac{1}{z}dz = ∫_{β} \frac{1}{z}dz.

b) Es gilt

2π ; ∫_{0} \frac{1}{a^{2} cos^{2} t + b^{2} sin^{2} t}dt = \frac{2π}{ab} .

\underline{Aufgabe 14:} Zeige, dass das Bild eines Gebietes unter einer analytischen, nicht-konstanten Funktion f wieder ein Gebiet ist.

\underline{Aufgabe 15:} Sei f eine C-analytische, nicht-konstante Funktion auf einem beschränkten Gebiet D.

(i) Zeige, dass dann Ref und Imf ihre Maxima und Minima auf dem Rand annehmen. (ii) Zeige: Ist f(z) ein Randpunkt von f(D), dann ist z Randpunkt von D.

\underline{Aufgabe 16:} Sei f eine auf der Einheitskreisscheibe C-analytische Funktion und es gelte:

f(S^{1}) = S^{1} mit S^{1} := {z ∈ ℂ, |z| = 1} .

f bildet also den Einheiskreis auf sich selbst ab. Zeige, dass dann f die ganze Einheiskreisscheibe auf sich abbildet. (Hinweis: Verwende die vorangegangene Aufgabe.)

Abgabe: Bis Di., 17.05.2005, 14.00 Uhr in das Tutorenfach oder in der Vorlesung.