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\begin{document}
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\newcommand{\integ}[2]
{\overset{\:\:#2}{\underset{#1\:\:}{\int}}}

O. Schn"urer, J. Ehrt \hfill Sommersemester 2005
\bigskip
\medskip\par
\begin{center}
{\large\textsc{ \"Ubungen zur Funktionentheorie}}\\
\medskip
{Blatt 4}
\end{center}


\bigskip\bigskip\bigskip

\long\def\raus{
\underline{{\bf Aufgabe 13:}} \\[+1ex]
Berechne $\int_C(z-i){\rm d}z$ wobei C gegeben ist durch 
\[z(t)=t+it^2 \quad\qquad t\in[-1,1]\]
indem Du
\begin{itemize}
\item[(i)] eine Stammfunktion von (z-i) angibst,
\item[(ii)] die Kurve C geeignet schließt und das Reststück integrierst.
\end{itemize}
\bigskip\bigskip\bigskip
}

\underline{{\bf Aufgabe 13:}} \\[+1ex]
Seien $a,b\in\R^+$ und $\alpha,\beta:[0,1]\longrightarrow\C$ gegeben durch
\[\begin{array}{lcc}
\alpha(t)&=&a\cos(2\pi t)+ia\sin(2\pi t),\\
\beta(t)&=&a\cos(2\pi t)+ib\sin(2\pi t).
\end{array}\]
\begin{itemize}
\item[a)] Zeige:
\[\int_\alpha \frac{1}{z}{\rm d}z=\int_\beta \frac{1}{z}{\rm d}z.\]
\item[b)] Es gilt 
\[\integ{0\:\:}{\:2\pi} \frac{1}{a^2 \cos^2 t+b^2\sin^2 t}{\rm d}t
=\frac{2\pi}{ab}.\]
\end{itemize}
\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 14:}}\\[+1ex]
Zeige, dass das Bild eines Gebietes unter einer analytischen, nicht-konstanten
Funktion f wieder ein Gebiet ist.
\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 15:}} \\[+1ex]
Sei $f$ eine C-analytische, nicht-konstante Funktion auf einem 
beschr\"ankten Gebiet $D$.
\begin{itemize}
\item[(i)]
Zeige, dass dann Re$f$ und Im$f$ ihre Maxima und Minima auf dem Rand annehmen.
\item[(ii)] Zeige: Ist $f(z)$ ein Randpunkt von $f(D)$, dann ist $z$
Randpunkt von $D$.
\end{itemize}
\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 16:}} \\[+1ex] 
Sei f eine auf der Einheitskreisscheibe C-analytische Funktion und es gelte:
\[ f(S^1)=S^1\quad\textrm{mit}\quad S^1:=\left\{z\in \C,|z|=1\right\}.\]
$f$ bildet also den Einheiskreis auf sich selbst ab.\\
Zeige, dass dann $f$ die ganze Einheiskreisscheibe auf sich abbildet.\\
(Hinweis: Verwende die vorangegangene Aufgabe.)
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

{\bf Abgabe:} Bis Di., 17.05.2005, 14.00 Uhr in das
Tutorenfach oder in der Vorlesung.
\end{document}
