O. Schnürer, J. Ehrt Sommersemester 2005

Übungen zur Funktionentheorie

Blatt 5

\underline{Aufgabe 17:} Zeige, dass es keine bijektive, analytische Funktion f : ℂ → B_{1}(0) gibt, deren Umkehrabbildung auch analytisch ist. \underline{Aufgabe 18:} Eine Menge S ⊂ ℂ heißt sternförmig, falls es ein Element α ∈ S gibt, so dass die gerade Verbindungslinie von α nach z, d. h. {τα + (1 − τ)z : 0 ≤ τ ≤ 1}, für beliebiges z ∈ S in S liegt.

(i) Zeige, dass sternförmige Gebiete einfach zusammenhängend sind. (ii) Zeige, dass konvexe Gebiete einfach zusammenhängend sind. \underline{Aufgabe 19:}

a) Zeige, dass der Kreisring A := {z ∈ ℂ, 1 < |z| < 2} nicht einfach zusammenhängend ist.

b) Sei S ein einfach zusammenhängendes Gebiet, das den Kreis C := {z ∈ ℂ : |z − α| = r}

enthält. Zeige, dass dann S die ganze Kreisscheibe D := {z ∈ ℂ : |z − α| ≤ r} enthält. \underline{Aufgabe 20:} Bereite den angehängten Appendix I so auf und vor, dass Du ihn im Tutorium erklären kannst. Abgabe: Bis Di, 24.05.2005, 14.00 Uhr, in das Tutorenfach oder in der Vorlesung.