O. Schnürer, J. Ehrt Sommersemester 2005

Übungen zur Funktionentheorie

Blatt 6

\underline{Aufgabe 21:}

a) Gibt es eine analytische Funktion f mit isolierter Singularität in 0, so dass

|f(z)| ∼ e^{\frac{1}{|z|}}

für z nahe 0 gilt?

b) Sei f : ℂ \ {0} → ℂ analytisch und gelte

|f(z)| ≤ \sqrt{|z|} + \frac{1}{\sqrt{|z|}}.

Bestimme alle Funktionen f mit diesen Eigenschaften.

\underline{Aufgabe 22:} Zeige, dass das Bild der Ebene unter einer nichtkonstanten ganzen Abbildung dicht in der Ebene liegt. (Hinweis: Betrachte zunächst den Fall, dass f ein Polynom ist.)

\underline{Aufgabe 23:} Formuliere und beweise ein zu Theorem 8.8 (Definition eines Zweiges des Logarithmusses in einem einfach zusammenhängenden Gebiet.) analoges Theorem für \sqrt{z}.

\underline{Aufgabe 24:} Definiere eine in ℂ \ {x ∈ ℝ : x ≤ 0} analytische Funktion f, so dass f(x) = x^{x} für x > 0 gilt. Bestimme f(i) und f(−i). Zeige, dass f(\overline{z}) = \overline{f(z)} gilt.

Abgabe: Bis Di., 31.05.2005, 14.00 Uhr, in das Tutorenfach oder in der Vorlesung.