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\begin{document}
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{\overset{\:\:#2}{\underset{#1\:\:}{\int}}}

O. Schn"urer, J. Ehrt \hfill Sommersemester 2005
\bigskip
\medskip\par
\begin{center}
{\large\textsc{ \"Ubungen zur Funktionentheorie}}\\
\medskip
{Blatt 6}
\end{center}

\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 21:}} \\[+1ex]\rule{0mm}{1mm}
\begin{itemize}
\item[a)] Gibt es eine analytische Funktion $f$ mit isolierter
  Singularit\"at in $0$, so dass 
  $$|f(z)|\sim e^{\frac1{|z|}}$$
  f\"ur $z$ nahe $0$ gilt?
\item[b)] Sei $f:\C\setminus\{0\}\to\C$ analytisch und gelte
  $$|f(z)|\le\sqrt{|z|}+\frac1{\sqrt{|z|}}.$$
  Bestimme alle Funktionen $f$ mit diesen Eigenschaften.
\end{itemize}
\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 22:}}\\[+1ex]
Zeige, dass das Bild der Ebene unter einer nichtkonstanten
ganzen Abbildung dicht in der Ebene liegt.
(Hinweis: Betrachte zun\"achst den Fall, dass $f$ ein
Polynom ist.)
\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 23:}}\\[+1ex]
Formuliere und beweise ein zu Theorem 8.8 (Definition eines
Zweiges des Logarithmusses in einem einfach zusammenh\"angenden
Gebiet.) analoges Theorem f\"ur $\sqrt z$. 
\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 24:}} \\[+1ex] 
Definiere eine in $\C\setminus\{x\in\R:x\le0\}$ analytische
Funktion $f$, so dass $f(x)=x^x$ f\"ur $x>0$ gilt. Bestimme
$f(i)$ und $f(-i)$. Zeige, dass $f(\overline z)=\overline{f(z)}$
gilt. 
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

{\bf Abgabe:} Bis Di., 31.05.2005, 14.00 Uhr, in das
Tutorenfach oder in der Vorlesung.
\end{document}
